Al7ma20tepa0111 Sequence 06

5/28/2018 Al7ma20tepa0111 Sequence 06

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1Squence 6 MA20

Squence 6

Fonctions de rfrence

Fonctions usuelles

Sommaire

1. Prrequis

2. Fonction carr et fonction inverse

3. Fonctions polynmes de degr 2 ; fonctions homographiques4. Trigonomtrie

5. Algorithmique

6. Synthse de la squence

7. Exercices dapprofondissement

Cned Acadmie en ligne


2/36

3Squence 6 MA20

1PrrequisLes squences 1 et 3 du cours.

On rappelle en particulier les dfinitions suivantes

Dire que estcroissante sur lintervalleI signifie que pour tous rels et delintervalle I,

si u v , alors f u f v ( ) ( ).

La courbe reprsentative dunefonction croissante sur lintervalle I monte lorsque dcrit I.

Par exemple, on lit sur le dessin ci-dessous que f est croissante sur

I = [2,5 ; 2]

Dire que est dcroissante surlintervalle I signifie que pour tousrels et de lintervalle I,

si u v , alors f u f v ( ) ( ).

a courbe reprsentative duneonction dcroissante sur lintervalle Idescend lorsque dcrit I.

ar exemple, on lit sur le dessinci-dessous que est dcroissante sur

= [2,5 ; 2]

u

f(u)

v

f(v)

2-1-2

-1

-2

0 1

1

2

x

y

u

f(u)

v

f(v)

2-1-2

-1

-2

0 1

1

2

x

y

Pour tous rels u

et v, f u( ) et f v( )sont rangs dans le mme ordre que

u

et v.

our tous rels et v, f u( ) et f v( )sont rangs dans lordre contraire de

et v.

A

A



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4 Squence 6 MA20

Relations trigonomtriques dansle triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en A.

cos

;B =ctadjacent B

hypotnuse

BA

BC=

sinB =ct oppos B

hypotnuse

CA

CB

;=

tanB = ct oppos B

ctadjacent B

=

AAC

AB.

Si on connat la longueur de deux cts dun triangle rectangle, on peut laidedune calculatrice rgle en mode degr dterminer une valeur approche desangles de ce triangle.

Par exemple, si on sait que AB = 4 cm et BC = 5 cm, on peut en dduire que :

cos ,B =4

5= 0 8

et on en dduit en effectuant

2nde cos 0.8 que B 36,87

B

B

A

C

BA

C

B



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5Squence 6 MA20

Activits

La caisse gcher

L

l

H

h

imensions de la caisse gcher : L= 60 cm ; = 40 cm ; = 30 cm .

Calculer, en litres, le volume total de la caisse gcher.

Calculer, en litres, le volume deau contenu dans la caisse gcher pourune hauteur deau de 10 cm puis pour une hauteur deau de 20 cm. A-t-il

doubl?

Exprimer le volume V en litres) en fonction de a hauteur deau h (en cm).

a)Complter le tableau de valeur ci-dessous.

(cm) 0 4 8 12 16 20 24 28 30

(h

A

A

Activit 1Activit 1

2Fonction carret fonction inverse



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6 Squence 6 MA20

b) racer la courbe reprsentative du volume en fonction de la hauteur deau

x

yVen litres

hen cm

36

32

28

24

20

16

12

8

4

0 4 8 12 16 20 24 28 32

Un rectangle daire constante.

Lunit choisie est le cm.

Laire dun rectangle OABC est de 8.

On note x= OA et y= OC .

Exprimer en fonction de x.

Remplir le tableau de valeurs suivant (rsultats arrondis au centime sincessaire).

dsigne la fonction telle que y f x= ( ).

x 0,5 0,75 1 2 3 4 6 8 12 16

= f x( )

Activit 2Activit 2



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7Squence 6 MA20

Tracer la reprsentation graphique de la fonction dans le repre suivant :

x

y

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1-1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Pour quelle valeur de le rectangle OABC devient-il un carr ?

Cours

La fonction CARR

finition

La fonction dfinie sur ,qui tout nombre rel associe son

carr x2, est appele fonction carr.

Proprit :Sens de variation

La fonction carre f x x: 2

est strictement croissante sur

[0 ;+[.

La fonction carre f x x: 2

est strictement dcroissante sur

]-;0].

B

B



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8 Squence 6 MA20

x 0 +

f x

0

Soit et deux nombres rels tels que 0 < 0. On en dduit u uv2 < .

Lingalit u v< peut tre multiplie par car v > 0. On en dduit uv v< 2.

Puisque u uv2 < et uv v< 2 , on en dduit que u v2 2< .

Cette ingalit reste vraie si = 0 et < v.

Par suite, si 0


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9Squence 6 MA20

Si M( , ) appartient , alors y x= 2.

Le symtrique de M par rapport laxe

des ordonnes est le point M( x y; ).

Or( ) = =x x y2 2 2 donc Mappartient

.

La fonction INVERSE

Dfinition

La fonction dfinie sur ] ; [ ] ; [ ++0 0 qui tout nombre rel x

non nul associe son inverse

1

x , est appele fonction inverse.

Le nombre 0 nappartient pas lensemble de dfinition de la

fonction inverse car on ne peut pas diviser par 0.

Proprit :sens de variation

La fonction inverse g xx

: 1


]0 ;+[.


: 1


]-;0[.

x 0 +

g xx

( ) =1

Soit et deux nombres rels tels que 0 < 0. On en dduit u

uv

v

vu< soit

1 1

v u< .

Par suite, si 0 <


: 1

est donc bien

strictement dcroissante sur ]0 ;+ [.

On dmontrerait de manire analogue que est

strictement dcroissante sur ] ; [.0

DmonstrationDmonstration

Remarque

Deux nombres strictement positifs sont dans lor-

s stri t t iti s t s -dre contraire de leurs inverses.

re co tr ire de leur in erses.

Deux nombres strictement ngatifs sont dans lor-

D x ombres strictem t ati s son d ns l or-dre contraire de leurs inverses.

re co tr ir de leurs in e ses.

Remarque

Pour tout nom re re x x2 estpositif ou nul.

Grap iquement, ce a correspon

au ait que est au essus (ou encontact avec laxe des abscisses.

Remarque



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10 Squence 6 MA20

Reprsentation graphique

Tableau de valeurs

x 4 3 2 1 0 5, 0 25, 0,25 0,5 1 2 3 4

g xx

( ) =1 0 25,

1

30 5, 1 2 4 2 1 0,5

1

30,25

Courbe

Dans un repre orthogonal, la fonctioninverse est reprsente par unecourbe appele yperbole.

roprit :

Dans un repre orthogonal,

lhyperbole reprsentant

la fonction inverse est sym-

trique par rapport lorigine

O du repre.

Dmonstration

Pour dmontrer cette proprit, il suffitde dmontrer que si un point M(x,appartient , alors son symtriquepar rapport lorigine O du repreappartient aussi .

Si M(x, ) appartient , alors

yx

=1

.

Le symtrique de M par rapport laxe des ordonnes est le point M ( ; ) x y

Or1 1

= = x x y donc M appartient .

Synthse

Fonction carr Fonction inverse

La fonction carr est dfinie sur

par f x x( ) .= 2

a fonction inverse g est dfinie sur

] ; [ ] ; [ +0 0 par g x x( ) .=1

u

2-1-2

-1

-2

0 1

1

1/x

-1/x

M

M'

2

3

3-3

-3

xx-x

y

u

2-1-2

-1

-2

0 1

1

1/x

-1/x

M

M'

2

3

3-3

-3

xx-x

y

C

C



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11Squence 6 MA20

Elle est reprsente par une parabole

de sommet O.

-2 0 2

2

4

5

6

1

3

1-1 x

y

y = x2

O

La fonction carr est :

strictement dcroissante sur ] ; ]0

strictement croissante sur [0 ; +[

La parabole dquation y x= 2

reprsentant la fonction carr est

symtrique par rapport laxe des

ordonnes.

Elle est reprsente par une hyperbole.

2-1-2

-1

-2

0 1

1

y = 1/x

2

3

-3

y

x

O

La fonction inverse est :

strictement dcroissante sur ] ; [0 .

strictement dcroissante sur ]0 ; +[

Lhyperbole dquation yx

=1

reprsentant la fonction inverse est

symtrique par rapport lorigine O du

repre.

Exercices dapprentissage

Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer

a) 2 1822, et 2 18192,

b) ( , )1 00012 et ( , ) .0 99992

D

D

Exercice 1Exercice 1



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12 Squence 6 MA20

a)Construire la parabole dquation y x= 2 dans un repre orthogonal.

b) soudre graphiquement dans lquationx2 7= .

c) Rsoudre algbriquement dans lquation x2 7= .

d) Rsoudre dans en appuyant son raisonnement sur un graphique linquation

x2 7 .

a)Quelles sont les deux solutions de lquation x2 3= ?

b) ourquoi lquation x2 3= na-t-elle pas de solutions ?

c) Quelle est lunique solution de lquation x2

0= ?

Dterminer un encadrement de x2 dans chacun des cas suivants

a)1 5 x .

b) < 2 0 5x , .

a)Tracer la courbe de la fonction carr sur lintervalle [ 2 ; 2].

b) En dduire par lecture graphique un encadrement de x2 pour x [ 2 ; 2].

Dans un repre orthonorm (O , I, J), A est le point de coordonnes (0 ;1).Soit M le point de coordonnes (x ; 0) o xest un nombre rel. Soit B le pointdintersection de laxe des ordonnes et de la perpendiculaire en M au segment[AM]. Soit M le point dintersection de la perpendiculaire en M laxe desabscisses et de la perpendiculaire en B laxe des ordonnes.

Construire la figure (avec un logiciel de gomtrie si possible) ; que conjecturersur la courbe dcrite par le point M lorsque M dcrit laxe des abscisses?

Que vaut OB lorsque x= 0 ?

Supposons dornavant quex 0 . Soit une mesure de langle gomtrique

OBM .

a) Dmontrer que est aussi une mesure de langle gomtriqueOMA .

b) montrer que OM OB OA.2 =

c) En dduire que OB =x2 et la courbe dcrite par le point Mlorsque dcrit

ensemble des nombres rels.








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13Squence 6 MA20

a) Montrer que x x x x 2 6 8 2 4 + = ( )( ).

b) En dduire le signe de x x2 6 8 + si x] ; [.2 4

c) ean a plac les points A(2 ; 4) et B(4 ; 16) de la parabole dquation y x= 2dans un repre orthogonal. Il trace ensuite le segment [AB].

Ce segment contient-il un autre point de la parabole dquation y x= 2 queles points extrmits A et B ?

Un peu de logique

xdsigne un nombre rel. Dans chaque cas, dire si la proposition est vraie oufausse. Si elle vraie, indiquer la proprit qui permet de laffirmer. Si elle estfausse, expliquer pourquoi laide dun contre exemple.

a) Si x 3, alors x2 9 .

b) Si x 2, alors x2 4 .

c)Six 1 , alors x2 1 .

d) Si 5 1x alors 0 302 x .

e) Si 1 2x alors 1 42 x .

f)Si a b= , alors a b2 2= .

g) Si a b2 2 alors a b

h) Si a b2 2= alors a b= .

f est la fonction inverse. Calculer les images par des rels

a)3

4b)

1

8c)10 7 d) 2

Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer.

a)1

0 011 ,et

1

0 0099 , b)

1

21

115,.

a) Construire lhyperbole dquation yx

=1

dans un repre orthogonal.

b) Rsoudre graphiquement et algbriquement dans lquation1

3x= .

c) soudre dans en appuyant son raisonnement sur un graphique linquation1

3x .








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14 Squence 6 MA20

Utiliser le tableau de variation de la fonction inverse pour dire quel intervalle

appartient1

xlorsque :

a) x [1 ; 6] b) x] ; ]0 5 c) x ] ; ]2 14

d) x >2 e) x < 3.

Saider de la courbe reprsentative de la fonction inverse pour trouver lesnombres rels tels que :

a)1 1

6 x

b) 4 1 1

3xc)

1

2

14

x.

Dans un repre orthonorm (O, A, B), M est un point mobile autre que O sur ladroite (OA). La parallle (MB) passant par A coupe laxe des ordonnes en N. Lepoint H est tel que le quadrilatre OHMN soit un rectangle.

Sur quelle courbe se dplace la point H lorsque M se dplace sur la droite(OA) ?






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15Squence 6 MA20

Activit

Des proprits de la courbe reprsentative def: + x+ ( 0).

Cette activit utilise le logiciel gogbra tlchargeable gratuitement sur internet.Si vous navez pas daccs, vous pouvez nanmoins faire les questions 1. 2.a)b)

3.a)b)e) 4 la main et laide de votre calculatrice.

Avec le logiciel gogbra, construire la courbe (C) reprsentant la fonction carr.(Pour gogbra, crire y = x^2 dans la ligne de saisie puis taper sur ENTRE.)

a) Construire la courbe (C ) reprsentant la fonction f:x x ( ) +2 32 .

b) (C ) semble admettre un axe de symtrie? Pour quelle valeur de x le sens de

variation a-t-il lair de changer ? Dmontrer que le minimum de la fonction est 3.

c)En pressant maintenant sur le bouton gauche de la souris, dplacer la courbe(C) jusqu ce que son sommet corresponde avec le point de coordonnes

( ; ) .2 3 Cette courbe se superpose-t-elle avec (Cf) ?Effacer (Cf) ( laide dun clic droit sur la courbe).

a) Construire la courbe (C ) reprsentative de la fonction

g x x x : , , + 2 4 6 2 21(saisir g x x x ( ) ^ . .= + 2 4 6 2 21).

b) (C semble-t-elle admettre un axe de symtrie ? Pour quelle valeur de x le

sens de variation a-t-il lair de changer ?

c) Construire la droite dquation y= 4 et les deux points dintersection A et Bde cette droite et de la courbe (C

) (deuxime icne sur la gauche). Construire

e milieu de [AB](mme icne).

d) Dplacer avec le pointeur la droite jusqu ce que les points A et B semblentconfondus et observer labscisse du milieu de [AB] dans la fentre algbredurant ce dplacement. Que peut-on remarquer ?

e) Par le calcul, dterminer les antcdents de 2 21, par g et calculer la demi-somme des deux nombres obtenus.

Soit h dfinie sur par h x ax bx c ( ) ,= + +2 avec non nul. Par le calcul,

dterminer les antcdents de par h. Vrifier que leur demi-somme est gale

ba2

.

A

A

3Fonctions polynmes de degr 2 ;

fonctions homographiques.



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16 Squence 6 MA20

Cours

Fonctions polynmes de degr 2

B

B

La fonction fdfinie sur par f x ax bx c ( )== ++ ++2 avec a0estappele fonction polynme de degr 2.

Dfinition

La fonction fdfinie sur par f x ax bx c ( )== ++ ++2 avec a0estappele fonction polynme de degr 2.

(Admises)

La courbe reprsentative de la fonction f: x ax bx c 2 ++ ++ avec

a0est une parabole qui a lallure suivante selon les valeurs ducoefficient a.

La fonction f est dabord

dcroissante, puis croissante.

La parabole reprsentant fadmet

un axe de symtrie parallle

laxe des ordonnes.

La fonction fest dabord crois-

sante, puis dcroissante.

La parabole reprsentant f

admet un axe de symtrie paral-

lle laxe des ordonnes.

0 2

2

1

3

3 41

-1

-2

x

y

a0

0 2

2

1

3

31-1

-1

-2

x

y

a>0

roprit :(Admises)

La courbe reprsentative de la fonction f: x ax bx c 2 ++ ++ avec

a0est une parabole qui a lallure suivante selon les valeurs ducoefficient a.

i >

La fonction f est dabord

dcroissante, puis croissante.

La parabole reprsentant fadmet

un axe de symtrie parallle

laxe des ordonnes.

i 0



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17Squence 6 MA20

Soit la fonction dfinie sur par f x x x ( ) = 2 3 22 .

f x( ) est de laforme ax bx c 2 + + ( a 0 ). La reprsentation graphique de estune parabole

a=2 donc > 0 . Donc, est dcroissante puis croissante.

=b

a2

3

4donc le sommet de a pour abscisse

3

40 75= , . Son ordonne est

f( , ) ,0 75 3 125= .

fest donc dcroissante sur ] ; , ] 0 75 et croissante sur [ , ; [.0 75+

Pour prouver que f( , )0 75 est bien le minimum de fsur , on peut faire le calcul

f x f( ) ( , ). 0 75

f x f x x x x ( ) ( , ) , ( , , ) = + =0 75 2 3 1125 2 1 5 0 56252 2 == 2 0 752( , ) .x

Or( , )x 0 75 02 donc f x f( ) ( , ) . 0 75 0

Donc, pour tout nombre rel x, f x f( ) ( )

3

4 0 donc f x f( ) ( ).

3

4

Donc f( , ) ,0 75 3 125= est bien le minimum de la fonction fsur

On peut donc tracer le tableau de variation de la fonction fsur

x 0,75 +

f x( )

3,125

y c= .ax bx c c 2 + + = ax bx 2 0+ =

x ax b ( ) .+ = 00

b

a.

( , )b

a c

2

Remarque

On peut retenir labscisse du sommet de la parabole ou le retrouver aisment,

n p t t ni l bs ss u s m t d l l l r t v r is m t,

comme nous lavons fait dans lactivit dintroduction, car le sommet appartient

comme no s lavo s ait d ns l a tivit i troductio , car le sommet app rtien

laxe de symtrie de la parabole. Or, pour trouver labscisse dun point de laxe de

l axe de s m rie e la parabo e r, pour trou er l abscis e u poi t de l xe e

symtrie de la parabole, il suffit de couper cet axe par une droite horizontale, par

sy t i i s it u t it i t

exemple celle dquation

exempl ll d q ti n y c= . Cette droite coupe la parabole en deux points A

ett dr i u e l p b le en eux poin s A

et B dont les abscisses vrifient

et B ont les abscisses vrif entax bx c c 2 + + = soit

soit ax bx 2 0+ = ou encore

u n re

x ax b ( ) .+ = 0Cette quation a deux solutions

t q i u s ut ns0 et

t b

a.

On en dduit que laxe de symtrie est la droite parallle laxe des ordonnes

n n duit u l x sym tri st dr it p ll l d s or n s

passant par le milieu de [AB], le point C

p ssant pa le milie d AB], le point C ( , )b

a c

2.

.

Remarque

ExempleExemple



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18 Squence 6 MA20

Fonctions homographiques

Ainsi, la fonction f: x

x

x

2 1

2 5

+ est une fonction homographique dfinie si2 5 0x+ soit x

5

2.

On peut donc noter son ensemble de dfinition : E= +] ; [ ] ; [.5

2

5

2

Synthse

Soit trois nombres rels donns , bet avec a 0.

La fonction f dfinie sur par f x ax bx c ( ) = + +2 est appele fonctionpolynme du second degr.

Elle est reprsente par une parabole dont le sommet a pour abscisse b

a2, et

donc laxe de symtrie a pour quation x b

a=

2.

a>0

Le tableau de variations de f est le suivant :

x b/ 2a +

f x( ) (b/ 2a)

a


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19Squence 6 MA20

0 2

2

1

3

31-1

-1

-2

x

y

a>0

La parabole reprsentant est dite alors tourne vers le haut .

0 2

2

1

3

3 41

-1

-2

x

y

a


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20 Squence 6 MA20

Dterminer les coordonnes du sommet S de . Quelles sont les variations de ? Vrifier vos rsultats la calculatrice.

On lance un projectile du haut dune falaise.

Laltitude du projectile, en mtres, repre par rapport au niveau de leau est

exprime en fonction du temps coul, en secondes, depuis son dpart par

h t t t ( ) .= + +40 40 302

a) Vrifier que h t t( ) ( ) .= +40 1

2402

b) Quelle est la hauteur de la falaise sachant que le projectile est assimil audpart un point du sol de la falaise ?

c) Quelle est laltitude maximale du projectile ?

d) Au bout de combien de temps le projectile arrive-t-il dans leau ?

Dans un carr ABCD de ct 4 cm, I est lemilieu de [BC]. AM = DN = x.On considre la fonction qui associelaire du triangle MNI.Etudier les variations de sur lintervalle[0 ; 4].

Dterminer lensemble de dfinition desfonctions f, et hsuivantes

f: x x

x

+6

4 5g: x

x

+

3

1 7

:x x

x

1 5

5

+.

fest la fonction xx

++

4 1

1.

a) Identifier lensemble de dfinition de la fonction fb) ontrer que est une fonction homographique.

n peu de logique

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les rponses.

a) Pour tout rel xdiffrent de 3, 2

34

4 10

3x

x

x + =

.

b) pour laquelle 2 3

52

x

x

+

= .

c) Il existe une valeur de xpour laquelle2 3

52

x

x

+

= .

Soit f a fonction dfinie sur [3 ; 6] par f x

x

x( ) .=

+3 1

Montrer que f xx

( ) .= +3 1

A laide des variations de la fonction inverse, tudier les variations de f sur [3 ; 6].


M BA

D

N

C

I

M BA

D

N

C

I








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21Squence 6 MA20

Activits

Longueurs darc

Le repre (O, I, J) est orthonorm. Les

bissectrices des angles IOJ et JOI'

coupent e cercle de centre O et de

rayon 1 en A, B, C et D.Une bille rouge part de I et parcourt lecercle dans le sens indiqu par la flche.

Quelle longueur le centre de la bille a-t-il parcouru quand elle revient en Iaprs un tour complet ?

Quelle longueur aura-t-il parcouru quand elle arrive pour la premire fois :

a) en I (diamtralement oppos I)?en J ? en J(diamtralement oppos J).

b) en A, en B, en C? n D? En E, tel quele triangle IOE soit quilatral ?

O sarrte la bille aprs avoirparcouru une longueur gale

6 9 5

2

, , ?

Enroulement dun axe sur un cercle.

es notations sont celles de lactivitprcdente

La tangente au cercle en I, cest--dire la droite (IK), o K(1 ;1) dans lerepre orthonorm (O,I,J) , est graduede telle faon que I ait pour abscisse 0et K ait pour abscisse 1. La droite (IK)ainsi gradue reprsente lensemble

des nombres rels.

On enroule cette droite autour du cercle

, le point I commun la droite et aucercle restant fixe.

A

A

Activit 1Activit 1

Activit 2Activit 2

I

J'

J

I'

1 Kx

x

x

-1

-2

2

3

O

/2

-/2

+

4Trigonomtrie

A

J

J'

I' I

E

+

B

C D

O

Schma activit 2



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22 Squence 6 MA20

Ainsi, chaque nombre rel x de ladroite correspond un unique point M

de (voir ci-dessus)

a) Expliquer pourquoi le point Jcorrespond au rel

2?

b) Quel point de correspond au rel

2?

c) Expliquer pourquoi aux rels 0,2 et 2 correspond le mme point de ?

d) onner trois nombres rels correspondants aux points I.

e) Placer le point E correspondant au nombre rel2

3

.

Cours

Cercle trigonomtrique

Sur un cercle quelconque, il y a deux sens de parcours possibles : le sens des aiguillesdune montre et le sens inverse. Par convention, le sens inverse des aiguilles dunemontre est choisi comme positif sur le cercle.

Enroulement de la droite numrique sur un cercle

est le cercle trigonomtrique de centre O.(O, I, J) est un repre orthonorm tel que sur le cercle, on se dplace de I vers J,selon le trajet le plus court dans le sens positif.

Le repre (O, I, J) est dit orthonorm rect.

K est le point de coordonnes (1 ; 1). On munit la droite (IK) du repre (I, K) quipermet de reprsenter alors chaque nombre rel par un point de laxe (IK).

On enroule la droite (IK) sur le cercle trigonomtrique .

A tout point de laxe (IK) reprsentant un nombre rel correspond un unique

point M du cercle .

B

B

I1

+

O

I1

+

O

On appelle cercle trigonomtriqueun cercle de rayon 1, muni dunsens de parcours positif (le sensinverse des aiguilles dune mon-tre).

Dfinition

On appelle cercle trigonomtriqueun cercle de rayon 1, muni dunsens de parcours positif (le sensinverse des aiguilles dune mon-tre).



22/36

23Squence 6 MA20

Au point M ainsi dfini sont associs une infinit de rels

x x x x x , , , , ,+ + 2 2 4 4 etc.

Ainsi, le graphique ci-aprs montre deux valeurs de x associes au point M ; 2,4

et 2 4 2 3 88, ,

I

J'

J

I'

1

0

K

-1

-2

2

2,4

3

O

2

/2

-/2

+

I

K

J'

JM

I'

-1

0

-3

-2

2,4-2

1

O

32

2

-/2

+

-

-

Lenombre rel 0 est associ au point I(1; 0).

Par suite, cos 0= 1etsin 0 = 0.

Le nombre rel 2

est associ au point

(O, I, J) est un repre orthonorm direct et le

cercle trigonomtrique de centre O.M est le point associ au nombre relx.

Le cosinus de x, not , est du point M.

Le sinus de x, not , est du point M.

finition

(O, I, J) est un repre orthonorm direct et le

cercle trigonomtrique de centre O.M est le point associ au nombre relx.

Le cosinus de x, not cos x, est a scssedu point M.

Le sinus de x, not sin x, est or onnedu point M. I0

J'

J M

sinx

cosxI'

1 Kx

-1

2

O

/2

-/2

+

I0

J'

J M

sinx

cosxI'

1 Kx

-1

2

O

/2

-/2

+

ExemplesExemples



23/36

24 Squence 6 MA20

J(0; ).

Par suite, cos

2= 0etsin

2= .

Le nombre rel est associ au point I(1; 0).

Par suite, cos = 1 etsin = .

Lien avec la trigonomtrie ducollge

Supposons que le rel soit strictement

compris entre 0 et

2, ce qui entrane que

langle IOM est aigu.

En troisime, vous avez vu que :

cos IOM ct adjacenthypotnuse

= OH

OM= =

coscos .

xx

1

sinIOM ctoppos

hypotnuse

HM

OM=

OL

OM= = =

sinsin .

xx

1

Par suite, pour un rel strictement compris entre 0 et

2,

si le nombre rel est associ au point M, alors

cos cosx= IOM

et sin sinx= IOM

On peut trouver les valeurs exactes des sinus et cosinus de

6 4, et

3auxquels

sont respectivement associs les points M M et M31 2, tels que IOM1 =30,

IOM2 =45 et IOM3

= 60 (puisque est associ I et IOI' = 180 ). Nous en

verrons des exemples dans lexercice dapplication n 28.

Il est recommand de bien connatre le tableau de valeurs suivant.

Point de M1 M2 M3 J

Angle 0 30 45 60 90

Valeur de x

Associe0

6

4

3

2

cos x 1 3

2

2

2

1

20

sin x 0 1

2

2

2

3

21

I0

J'

J Msinx L

cosx

I'

1 Kx

-1

O H

+

I

0

J'

J Msinx L

cosx

I'

1 Kx

-1

O H

+

I0

J'

J

M1

M2M3

I'

1 K

-1

OI0

J'

J

M1

M2M3

I'

1 K

-1

O



24/36

25Squence 6 MA20

Synthse

a tangente au cercle en I, cest--dire la droite (IK), o K(1 ;1)dans le repre orthonorm (O,I,J) , est gradue de telle faonque I ait pour abscisse 0 et K ait pour abscisse 1. La droite (IK)

ainsi gradue reprsente lensemble des nombres rels.

On enroule cette droite autour du cercle

Ainsi, chaque nombre rel de la droite correspond un unique

point M de .

Le nombre os est la sc sse du point M.

Le nombre sin est lordonnedu point M

Pour un nombre rel xcompris entre 0 et

2, on a :

cos cosx= IOM et sin sinx= IOM

ce qui fait le lien entre le cosinus et le sinus dun nombre rel

compris entre 0 et

2et le cosinus et le sinus dun angle aigu

vu au collge.

Il est recommand de plus de bien connatre le tableau de

valeurs suivant :

Angle 0 30 45 60 90

Valeur dexassocie

0

6

4

3

2

cos x 1 3

2

2

2

1

20

sin x 0 1

2

2

2

3

2

1

[ ; ]0 IOM

IOI'

Remarque

Lorsque

L s u x

x[ ; ]0 , on dit que langle

, it u l l IOM a pour mesure

u m s x

xen radian.

d .

Ainsi, langle

Ai si, n leIOI' de mesure 180 a pour mesure

e m s re 80 p ur esure en radian.

r di n.

La troisime ligne du tableau donne la mesure en radian de langl

La ro si e li n u t b ea do ne l mesur ra i n e l n le de la deuxime

e d la euximligne correspondant mesur en degrs.

lig e correspo ant mesur en de rs.

Remarque

0

J'

J Msinx

cosxI'

O

+

I

1 Kx

-1

-2

2

3

-3

-

/2

-/2

0

J'

J Msinx

cosxI'

O

+

I

1 Kx

-1

-2

2

3

-3

-

/2

-/2

C

C



25/36

26 Squence 6 MA20

Exercices dapprentissage

Sur le cercle trigonomtrique, placer le point associ chacun des nombres rels

a b c d e f = = = = = =3

4 4

5

4

7

4

2

3

5

6

; ; ; ; ; .

M est un point du cercle trigonomtrique .

a)Quelle est la mesure de langle IOM lorsque M est associ au nombre rel

8?

b)Quelle est la longueur de larc IM lorsqueIOM = 40 ?

a)Quel est le point du cercle associ au nombre rel x=13

2

?

En dduire cos13

2

et sin .

13

2

b)Mme nonc avec le rel x= 19

3

.

Sur le cercle trigonomtrique le point M

est associ au nombre rel3

8

. MNPQ est

un rectangle dont les sommets sont sur le

cercle , (MN) tant parallle (II) et (MQ)

tant parallle (JJ).

Trouver le nombre rel de lintervalle ] ; ] associ chacun des points N, P et Q.

Dmontrer que :

a) sin 3

32

= b) cos .4

22

=

Avec la calculatrice en mode radian, donner la valeur approche par dfaut aumillime prs de

a) cos

5b) sin

8c) cos

19

12

.

dsigne un nombre rel tel que sin , .a= 0 2

a) Placer sur un cercle trigonomtrique les deux points possibles associs au rel .

D

D




I

J'

J MN

QP

I' O0 1

1

-1

-1

+

I

J'

J MN

QP

I'

O0 1

1

-1

-1

+Exercice 27Exercice 27






26/36

27Squence 6 MA20

b) A laide dune calculatrice rgle en mode radian, donner une valeur arrondie

au centime prs de la valeur de aappartenant lintervalle [0 ;

2], puis de

celle appartenant lintervalle [ , ].

2

bdsigne un nombre rel tel que cos , .b= 0 6

a) Placer sur un cercle trigonomtrique les deux points images possibles du rel a.

b) A laide dune calculatrice rgle en mode radian, donner la valeur arrondie au

centime prs de la valeur de b appartenant lintervalle [ ; ]0 , puis de celle

appartenant lintervalle [ , ].

2




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28 Squence 6 MA20

TP Mthode de Hron / Mthode de dichotomie

Lobjectif de ce TP est de calculer une valeur approche de 10 laide de deuxmthodes.

A. Mthode de Hron

Hron - mathmaticien dAlexandrie au 1ersicle aprs JC - a expos dans sestriquesla mthode suivante.

I. Approche gomtrique

Combien mesure le ct dun carr daire 10 cm ?

On veut construire un rectangle de mme aire que le carr prcdent (cest--dire 10 cm) de largeur 2 cm et de longueur 5 cm.

a) Ranger dans lordre croissant 22 , 52 et 10?

b) Que peut-on en dduire sur 2 5; et 10 ?c) Sur un axe, placer les nombres 2 5 10; ; .

On dispose dsormais dun rectangle 0 daire 10 cm dont les cts sont desnombres entiers encadrant 10.

Nous allons construire un nouveau rectangle 1daire 10 cm, partir du

rectangle 0 . Pour tre plus proche de 10 que ne le sont 2 et 5, on choisit

la longueur du rectangle 1

gale la moyenne arithmtique de 2 et 5 ;

cest--dire 2 5

23 5

+= , cm.

a) Combien mesure la largeur de 1?

b) aire un dessin sur lequel figurent 0 et 1

3,5 (longueur de 1 ) semble tre une meilleure valeur approche de 10

que ne lest 5 (longueur de 0 ). Cherchons une explication.

On pose pour cela e0 5 10= et e1 3 5 10= , .

a) laide dune identit remarquable, montrer que e e102

10=

5Algorithmique



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29Squence 6 MA20

b) En dduire quee e1 0< .

c) xpliquer lobservation faite au dbut de la question 4.

En vous appuyant sur la dmarche de la question 3, donner la longueur b puis

la largeur a dun nouveau rectangle 2 construit partir de 1 la place de0.

On pose e289

2810= .

a) laide dune identit remarquable, montrer quee e

212

7= .

b) En dduire quee e2 1< .

c) ustifier que la longueur b de 2 est une meilleure valeur approche de

10 que ne lest 3,5 (la longueur de 1 ).d) Quelle valeur approche de 10 a-t-on obtenu ?

e) Recopier laxe de la question 2c. en y faisant figurer les valeurs des largeurs et des

longueurs des rectangles 0 1 2, , . A laide de ce schma, expliquer pourquoi

on a lencadrement suivant 022

<

e b a

donc, coup sr, 0 0 022< e , .

f) Quelle prcision est-on certain dobtenir au 6d ?

II. Prolongement numrique

On souhaite rendre automatique le calcul des dimensions dun nouveau rectangle partir des dimensions de lancien. Pour cela, on considre lalgorithme suivant:

Entre Un nombre tel que 10< b et un nombre entier naturel N.

Traitement OUR de 1 jusqu FAIRE

DansbMETTRE1

2

10( )b

b+

FIN_DU_POUR

Sortie AFFICHER b

Ecrire le programme de cet algorithme pour la calculatrice TI-82- stat.fr

Faire fonctionner ce programme avec en entre :

a) b N= =5 2; b) b N= =5 3; c) b N= =5 4;

et dans chacun des cas, donner la valeur approche de 10 obtenue (avec 11dcimales).

partir de combien ditrations (autrement dit, quelle valeur faut-il donner

) les 11 premires dcimales de en sortie sont stables (cest--dire quellesrestent les mmes dune itration lautre) lorsquen entre on donne:



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30 Squence 6 MA20

1. b= 10 2. b= 100 3. b= 1000 4. b= 104

On note B bb

= +1

2

10( ) la nouvelle valeur approche de 10 calcule (

chaque nouvelle itration de lalgorithme) partir de la prcdente . On note

aussiE B= 10 la nouvelle erreur faite en remplaant 10 par la nouvelle

valeur approche BOn note enfin e b= 10 lancienne erreur (au tour de

boucle prcdent dans lalgorithme).

a) On sait que ( )b 10 02 . Montrer que cette ingalit implique que B 10.Cela signifie-t-il que les valeurs obtenues par lalgorithme sont des valeurs

approches de 10 par dfaut ou par excs ?

b) Vrifier queeb

E2

2= . En remarquant que 10 2> , en dduire, laide du 4a,

que 02

2

0 1,

a b+

>210

2

a b+2

a b+2

a b+2

Initialisation Dans

I itialisatio ans a ETTRE

ET RE 2

2

Dans

ans b

bMETTRE

ME TRE5

5

Traitement

Tr it me ANTQUE

ANTQUE b a > 0 1, FAIRE

F IRE

SI

SIa b+

>210

2

ALORS

Dans

D ns b

b ETTRE

ET REa b+

2SINON

SIN N

Dans

D ns aMETTRE

METTREa b+

2FIN_DU_SI

FIN_DU_ I

IN_DU_TANT_QUE

IN T NT U

Sortie

Sortie AFFICHER

FFICHERa b+

2



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31Squence 6 MA20

Faire fonctionner la mainlalgorithme et remplir le tableau de fonctionnementsuivant :

a b

a b+2

a b+

2

2

a b+

>2 10

2

b a b a > 0 1,

Quel est le but de lalgorithme ?

Ecrire le programme de lalgorithme prcdent pour le tableur CALC (OPENOFFICE).

On remplace la condition b a > 0 1, par la condition b a > 10 8 Quel est

le nombre dtapes ncessaires avec lalgorithme ainsi modifi pour obtenirune valeur approche de 10 10 8 prs. Comparer la performance de cet

algorithme avec celle de lalgorithme de Hron pour lapproximation de 10.

Cet algorithme porte le nom dalgorithme de dichotomie (du grec tomia= coupure, dikha = en deux) puisqu chaque tape de la boucle, lintervalledencadrement est coup en deux.



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32 Squence 6 MA20

Fonctions de rfrence : carr et inverses.

Fonction Carr

a fonction carr est dfinie sur

par f x x( ) .= 2

lle est reprsente par une parabole de sommet O.

-2 0 2

2

4

5

6

1

3

1-1 x

y

y = x2

O

a fonction carr est :

- strictement dcroissante sur ] ; ].0

- strictement croissante sur [0 ; +[

a parabole dquation y x= 2

reprsentant la fonction carr estsymtrique par rapport laxe desordonnes.

Fonction inverse

La fonction inverse est dfinie sur

] ; [ ] ; [ + 0 0 par g xx

( ) .=1

Elle est reprsente par une hyperbole

2-1-2

-1

-2

0 1

1

1/x

y = 1/x

2

3

-3

y

x

O

- strictement dcroissante sur ] ; [.0

- strictement croissante sur ]0 ; +[

Lhyperbole dquation yx

=1

reprsentant la fonction inverse g est

symtrique par rapport lorigine O du

repre.

6Synthse de lasquence



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33Squence 6 MA20

Fonctions polynmes de degr 2 et fonctions homographiques.

Soit trois nombres rels donns a, et cavec a 0.

La fonction f dfinie sur par f x ax bx c ( ) = + +2 est appele fonctionpolynme du second degr.

Elle est reprsente par une parabole dont le sommet a pour abscisse b

a2, et

donc laxe de symtrie a pour quation x b

a=

2.

a>

Le tableau de variations de est le suivant :

x b/ 2 +

f x( ) (b/ 2 )

0 2

2

1

3

31-1

-1

-2

x

y

a>0

La parabole reprsentant est dite alors tourne vers le haut .

a 6.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AC= 8 cm et H est le pied de la hauteurissue de A.

Dterminer la mesure en degrs de langle ACB afin que laire du triangle AHCsoit gale au tiers de laire du triangle ABC.

On considre le cercle trigonomtrique decentre O.

x est un nombre rel tel que 02

<

Al7ma20tepa0111 Sequence 06

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