Ak7 Simplex Method

24
Operations Research Unit 3 Sikkim Manipal University 39 Unit 3 Simplex Method Structure 3.1. Introduction 3.2. Standard form of L.P.P 3.2.1 The standard form of the LPP 3.2.2 Fundamental Theorem of L.P.P. 3.3. Solution of L.P.P – Simplex method 3.3.1 Initial basic feasible solution of a LPP 3.3.2 To Solve problem by Simplex Method 3.4. The Simplex Algorithm 3.4.1 Steps 3.5. Penalty cost method or Big Mmethod 3.6. Two phase method 3.7. Maximisation – Examples 3.8. Summary Terminal Questions Answers to SAQs & TQs 3.1 Introduction The simplex method provides an efficient technique which can be applied for solving LPP of any magnitude involving two or more decision variables. In this method the objective function used to control the development and evaluation of each feasible solution to the problem. The simplex algorithm is an iterative procedure for finding the optimal solution to a linear programming problem. In the earlier methods, if a feasible solution to the problem exists, it is located at a corner point of the feasible region determined by the constraints of the system. The simplex method, according to its iterative search, selects this optimal solution from among the set of feasible solutions to the problem. The efficiency of this algorithm is, because it considers only those feasible solutions which are provided by the corner points, and that too not all of them. We consider a minimum number of feasible solutions to obtain an optimal solution.

Transcript of Ak7 Simplex Method

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  39 

Unit 3  Simplex Method 

Structure 

3.1.  Introduction 

3.2.  Standard form of L.P.P 

3.2.1 The standard form of the LPP 

3.2.2 Fundamental Theorem of L.P.P. 

3.3.  Solution of L.P.P – Simplex method 

3.3.1 Initial basic feasible solution of a LPP 

3.3.2  To Solve problem by Simplex Method 

3.4.  The Simplex Algorithm 

3.4.1 Steps 

3.5.  Penalty cost method or Big M­method 

3.6.  Two phase method 

3.7.  Maximisation – Examples 

3.8.  Summary 

Terminal Questions 

Answers to SAQs & TQs 

3.1 Introduction The simplex method provides an efficient technique which can be applied for solving LPP of any 

magnitude involving two or more decision variables.  In this method the objective function used to 

control the development and evaluation of each feasible solution to the problem. 

The  simplex  algorithm  is  an  iterative  procedure  for  finding  the  optimal  solution  to  a  linear 

programming problem.    In  the earlier methods,  if  a  feasible solution  to  the  problem exists,  it  is 

located at a corner point of the feasible region determined by the constraints of the system.  The 

simplex method, according to its iterative search, selects this optimal solution from among the set 

of feasible solutions to the problem.  The efficiency of this algorithm is, because it considers only 

those feasible solutions which are provided by the corner points, and that too not all of them.   We 

consider a minimum number of feasible solutions to obtain an optimal solution.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  40 

Learning Objectives: 

After studying this unit, you should be able to understand the following 

1.  To write the standard form of LPP from the given hypothesis 2.  Apply the simplex algorithm to the system of equations 3.  Understand the big M­technique 4.  Know the importance of the two phase method. 5.  Formulate the dual from the primal (and vice versa). 

3.2  The Standard Form Of LPP The characteristics of the standard form are: 

1.  All constraints are equations except for the non­negativity condition which remain inequalities 

(≥, 0) only. 

2.  The righthand side element of each constraint equation is non­negative. 

3.  All variables are non­negative. 

4.  The objective function is of the maximization or minimization type. 

The  inequality constraints  can  be  changed  to equations by adding or  substracting  the  lefthand 

side of each such constraints by a non­negative variable. The non­negative variable that has to 

be added  to  a  constraint  inequality  of  the  form ≤ to  change  it  to an equation  is  called a slack 

variable. The non­negative variable that has to be substracted from a constraint inequality of the 

form ≥ to change it to an equation is called a surplus variable. The right hand side of a constraint 

equation can be made positive by multiplying both sides of the resulting equation by (­1) wherever 

necessary. The remaining characteristics are achieved by using the elementary transformations 

introduced with the canonical form. 

3.2.1  The Standard Form Of The LPP Any standard form of the L.P.P. is given by 

Maximize or Minimize  i xi C z n 

1 i ∑ = =

Subject to:  . m . .......... 2 , 1 i ) 0 b ( b S x a  i i i j ij 

1 j = ≥ = ± ∑

=

&   xj ≥ 0,  j = 1, 2, ­­­ n. 

S i ≥ 0, i = 1, 2, ­­­ m.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  41 

3.2.2  Fundamental Theorem Of L.P.P. Given a set of m simultaneous linear equations in n unknowns/variables, n ≥ m, AX = b, with  r(A) 

= m.  If there is a feasible solution X ≥ 0, then there exists a basic feasible solution. 

Self Assessment Questions 1 

State True / False 

1.  We add surplus variable for “≤” of constraint 

2.  The right hand side element of each constraint is non­negative. 

3.3  Solution Of The Linear Programming Program – Simplex Method Consider a LPP given in the standard form, 

To optimize  z = c1 x1 + c2 x2 + ­­­+ cn xn Subject to 

a11 x1 + a12 x2 + ­­ + an x n ± S1 = b1 

a21 x1 + a22 x2 + ­­­­+ a2n xn ± S2 = b2 

…………………………………………………………………. 

…………………………………………………………………. 

am1 x1 + am2 x2 + ­­  + amn xn ± Sm = bm 

x1, x2, ­­­ xn, S1, S2  ­­­, Sm ≥ 0. 

To each of  the constraint equations add a new variable called an artificial variable  on  the  left hand  side  of  every  equation  which  does  not  contain  a  slack  variable.  Then  every  constraint 

equation contains either a slack variable or an artificial variable. 

The introduction of slack and surplus variables do not alter either  the constraints or  the objective function.  So  such  variables  can be  incorporated  in  the  objective  function  with  zero  coefficients. However, the artificial  variables do change the constraints, since these are added only to one side i.e., to the left hand side of the equations. The new constraint equations so obtained  is equivalent to  the original equations  if   and only  if all artificial variables have value zero. To guarantee such assignments in the optimal solutions, artificial variables are incorporated into the objective function with very large positive coefficient M in the minimization program and very large negative coefficient – M in  the maximization program. These coefficients represent the penalty  incurred in making an unit assignment to the artificial variable. 

Thus the standard form of LPP can be given as follows : Optimize  Z = C T X

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  42 

Subject to  AX = B, 

and  X ≥ 0 

Where X is a column vector with decision, slack, surplus and artificial variables, C is  the vector corresponding  to  the  costs, A  is  the  coefficient matrix of  the  constraint  equations and B  is  the column vector of the righthand side of the constraint equations. 

Example 1:  Consider the LPP Minimize  Z = 4x1 + x2 Subject to  3x1 + x2 = 3 

4x1 + 3x2 ≥ 6 

x1 + 2x2 ≤ 3, 

x1, x2 ≥ 0 

Rewriting in the standard form, Minimize  Z = 4x1 + x2 + 0.S1 + 0.S2 + M (A1 + A2) Subject to  3x1+ x2 + A1 = 3 

4x1 + 3x2 – S1 + A2 = 6 x1 + 2x2 + S2  = 3 x1, x2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0 

When S2  is slack variable, S1  is a surplus variable and A1 & A2 an artificial variables. 

Representing this program in matrixes, we have 

Minimize  Z =  (4 1 0 0 M M)

A A S S x x 

Subject to

0 0 1 0 2 1 1 0 0 1 3 4 0 1 0 0 1 3

A A S S x x 

=

3 6 3 

and

A A S S x x

≥ 0

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  43 

3.3.1  Initial basic feasible solution of a LPP Consider a system of  m equations in n unknowns  x1, x2  ­ ­ xn, 

a11 x1 + a12 x2 + ­ ­ + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ­ ­ + a2n xn = b2 

……………………………………………………… 

……………………………………………………… 

am1 x1 + am2 x2 + ­ ­ + amn xn = bn Where  m ≤ n. 

To solve this system of equations, we first assign any of  n – m variables with value zero. These variables  which  have  assigned  value  zero  initially  are  called  the  non­basic  variables,  the remaining  variables  are  called  basic  variables.  Then  the  system  can be  solved  to  obtain  the values of  the basic variables. If one or more values of  the basic variables are also zero valued, then  solution  of  the  system  is  said  to  degenerate.  If all basic variable,  have  non­zero  values, then the solution is called a non­degenerate solution. 

A basic solution is said to be feasible, if it satisfies all constraints. 

Example 2:  Consider the system of equations 2x1 + x2 – x3 = 2 3x1 + 2x2 + x3 = 3 

where  x1, x2, x3 ≥ 0. 

Since there are 3 variables and two equations, assign 3 – 2 = 1 variable, the value zero initially. 

Case (i): Let  x3 = 0  i.e.,  x3 be a non­basic variable, then equation becomes 2x1 + x2 = 2 3x1 + 2x2 = 3 

Solving, we get x1 = 1, x2 = 0.

∴ The solution degenerates, but is feasible. 

Case (ii) : Let  x2 be a non­basic variable i.e.,  x2 = 0, then solution is x1 = 1 and x3 = 0 Here also the solution degenerates but feasible. 

Case (iii) :  Let  x1 be non­basic i.e.,  x1= 0 

Solution is  x2 =  3 1 , x3 =  –  3 

1 . 

The solution non­degenerates, but is not feasible.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  44 

Consider a LPP given in the standard form Optimize  Z = C T X Subject to  AX = B, 

X ≥ 0. 

The initial solution of such a problem denoted by X0, is obtained by treating all decision and surplus variables as non­basic variables i.e., they have assigned value zero, all slack and, artificial variables as basic  variables  and  have  assigned  values  which  are  on  R.H.S.  of  the  corresponding  constraint equations. 

3.3.2  To Solve problem by Simplex Method 

1.  Introduce stack variables (Si’s) for “ ≤” type of constraint. 

2.  Introduce surplus variables (Si’s) and Artificial Variables (Ai) for “ ≥” type of constraint. 

3.  Introduce only Artificial variable for “=” type of constraint. 

4.  Cost (Cj) of slack and surplus variables will be zero and that of Artificial variable will be “M” 

Find Zj  ­ Cj for each variable. 

5.  Slack  and  Artificial  variables  will  form  Basic  variable  for  the  first  simplex  table.    Surplus 

variable will never become Basic Variable for the first simplex table. 

6.  Zj  = sum of  [cost of variable x its coefficients in  the constraints – Profit or cost coefficient of 

the variable]. 

7.  Select  the most negative value of Zj  ­ Cj.  That column is called key column.   The variable 

corresponding to the column will become Basic variable for the next table. 

8.  Divide  the quantities by  the corresponding values of  the key column  to get  ratios select  the 

minimum ratio.  This becomes the key row.  The Basic variable corresponding to this row will 

be replaced by the variable found in step 6. 

9.  The element that lies both on key column and key row is called Pivotal element. 

10. Ratios with negative and “α” value are not considered for determining key row. 

11. Once an artificial variable is removed as basic variable, its column will be deleted from next 

iteration. 

12. For  maximisation  problems  decision  variables  coefficient  will  be  same  as  in  the  objective 

function.   For minimization problems decision variables coefficients will have opposite signs 

as compared to objective function.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  45 

13. Values  of  artificial  variables  will  always  is  –  M  for  both  maximisation  and  minimization 

problems. 

14. The process is continued till all Zj ­ Cj ≥ 0. 

Self Assessment Questions 2 State True / False 

1.  A basic solution is said to be a feasible solution if it satisfies all constraints. 

2.  If one or more values of basic variable are zero then solution is said to be degenerate. 

3.4  The Simplex Algorithm To  test  for  optimality  of  the  current  basic  feasible  solution  of  the  LPP,  we  use  the  following algorithm called simplex algorithm. Let us also assume that there are no artificial variable existing in the program. 

3.4.1 Steps 1)  Locate the most negative number in the last (bottom) row of the simplex table, excluding that 

of last column and call the column in which this number appears as the work column. 2)  Form  ratios by dividing each positive number  in the work column, excluding  that of  the  last 

row  into  the  element  in  the same  row and  last  column. Designate  that  element  in  the work column that yields the smallest ratio as the pivot element.  If more than one element yields the same smallest ratio choose arbitrarily one of them. If no element in the work column is non negative the program has no solution. 

3)  Use elementary row operations to convert  the pivot element  to unity (1) and then reduce all other elements in the work column to zero. 

4)  Replace  the  x  ­variable  in  the  pivot  row  and  first  column  by  x­variable  in  the  first  row  pivot column. The variable which  is  to be  replaced is called the outgoing variable and  the variable that  replaces  is called  the  incoming variable. This new first column is  the current set of basic variables. 

5)  Repeat steps 1  through 4 until  there are no negative numbers  in  the  last  row excluding  the last column. 

6)  The optimal solution is obtained by assigning to each variable in the first column that value in the corresponding row and last column. All other variables are considered as non­basic and have  assigned  value  zero.  The  associated  optimal  value  of  the  objective  function  is  the number  in  the  last  row and  last column for a maximization program but  the negative of  this number for a minimization problem.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  46 

Examples: 3)  Maximize  z = x1+ 9x2 + x3 

Subject to  x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 9 

3x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 15 

x1,  x2,  x3 ≥ 0. 

Rewriting in the standard form Maximize  z = x1 + 9x2 + x3 + 0.S1 + 0.S2 

Subject to the conditions x1 + 2x2 + 3x3 + S1 = 9 3x1 + 2x2 + 2x3 + S2 = 15 

x1, x2, x3, S1, S2 ≥ 0. Where S1 and S2 are the slack variables. The initial basic solution is  S1 = 9, S2 = 15

∴ X0 =

1 S S 

,  C0 =

0 0 

The initial simplex table is given below : 

x1 1 

x2 9 

x3 1 

S1 

0 S2 

0 Ratio 

S1  0 S2  0 

1 3 

2*2 

3 2 

1 0 

0 1 

9 15  2 

9  = 4.5 ←

2 15 = 7.5 

Zj – cj  –1  –9 ↑

–1  0  0 

Work column * – pivot element. 

S1 – outgoing variable, x2  incoming variable. 

Since there are three Zj – Cj which are negative, the solution is not optimal. 

We choose the most negative of these i.e. – 9, the corresponding column vector x2 enters the basis replacing S1, since ratio is minimum. We use elementary row operations to reduce the pivot element to 1 and other elements of work column to zero. 

First Iteration – The variable x1 becomes a basic variable replacing S1. The following table is obtained.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  47 

x1  x2  x3  S1  S2 

1  9  1  0  0 X2  9 

2 1  1 

2 3 

2 1  0 

2 9 

S2  0  2  0  – 1  – 1  1  6 

2 9  0 

2 25 

2 9  0 

2 81 

Since  all  elements  of  the  last  row  are  non­negative  the  optimal  solution  is  obtained.  The 

maximum value of the objective function Z is 2 81  which is achieved for  x2 =  2 

9  S2 = 6 which 

are the basic variables. All other variables are non­basic. 

4)  Use Simplex method to solve the LPP 

Maximize  Z = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 Subject to  x1 + 3x2 + x4 ≤ 4 

2x1 + x2 ≤ 3 x2 + 4x3 + x4 ≤ 3 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 

Rewriting in the standard form Maximize  Z = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 

Subject to  x1 + 3x2 + x4 + S1 = 4 2x1 + x2 + S2 = 3 x2 + 4x3 + x4 + S3 = 3 x1, x2, x3, x4, S1, S2, S3 ≥ 0. 

The initial basic solution is  S1 = 4, S2 = 3, S3 = 3

∴X0 =

S S S 

=

3 3 4 

C0 =

0 0 0

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  48 

The initial table is given by 

X1  x2  x3  x4  S1  S2  S3  Ratio 

2  4  1  1  0  0  0 

S1 0  1  3*  0  1  1  0  0  4 3 4 ←

S2 0  2  1  0  0  0  1  0  3 1 3 

S3 0  0  1  4  1  0  0  1  3 1 3 

Zj­cj  – 2  – 4  – 1  – 1  0  0  0  0

work column  * pivot element 

S1  is the outgoing variable, x2  is the incoming variable to the basic set. 

The first iteration gives the following table : 

x1  x2  x3  x4  S1  S2  S3  Ratio 

2  4  1  1  0  0  0 

x2  4 3 1  1  0 

3 1 

3 1  0  0 

3 4 

S2  0 3 5  0  0  – 

3 1  – 

3 1  1  0 

3 5 

S3  0  – 3 1  0  4* 

3 2  – 

3 1  0  1 

3 5 

12 5 ←

Zj­Cj  – 3 2  0  – 1 

3 1 

3 4  0  0 

3 16

Work column

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  49 

x3 enters the new basic set replacing S3, the second iteration gives the following table : 

x1  x2  x3  x4  S1  S2  S3  Ratio 

2  4  1  1  0  0  0 

x2  4 3 1  1  0 

3 1 

3 1  0  0 

3 4  4 

S2 0 3 5 *  0  0  – 

3 1  – 

3 1  1  0 

3 5  1←

x3  1  – 12 1  0  1 

6 1  – 

12 1  0 

4 1 

12 5 

Zj­Cj – 4 3  0  0 

6 1 

4 5  0 

4 1 

4 23  1/2

Work column 

x1 enters the new basic set replacing S2, the third iteration gives the following table: 

x1  x2  x3  x4  S1  S2  S3 

2  4  1  1  0  0  0 

x2  4  0  1  0 5 2 

5 2  – 

5 1  0  1 

x1  2  1  0  0 – 5 1  – 

5 1 

5 3  0  1 

x3  1  0  0  1 20 3  – 

10 1 

20 1 

4 1 

2 1 

Zj­Cj  0  0  0 20 7 

10 11 

20 9 

4 1 

2 13 

Since all elements of the last row are non­negative,  the optimal solution is  Z = 2 13  which is 

achieved for  x2 = 1, x1 = 1, x3  =  2 1  and  x4 = 0. 

5)  A manufacturing  firm has discontinued production of  a certain  unprofitable product  line. 

This  created  considerable  excess  production  capacity.  Management  is  considering  to 

devote this excess capacity to one or more of three products: call them product 1, 2 and 3. 

The available capacity on the machines which might limit output are given below :

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  50 

Machine Type  Available Time (in machine hours per week) 

Milling Machine  250 Lathe  150 Grinder  50 

The number of machine­hours required for each unit of the respective product is given below : 

Productivity (in Machine hours/Unit) 

Machine Type  Product 1  Product 2  Product 3 Milling Machine  8  2  3 Lathe  4  3  0 Grinder  2  –  1 

The unit profit would be Rs. 20,  Rs. 6 and Rs. 8 for products 1, 2 and 3. Find how much of 

each product the firm should produce in order to maximize profit ? 

Let  x1, x2, x3 units of products 1, 2 and 3 are produced in a week. 

Then total profit from these units is 

Z = 20 x1 + 6 x2 + 8 x3 

To produce these units the management requires 

8x1 + 2x2 + 3x3 machine hours of Milling Machine 

4x1 + 3x2 + 0 x3 machine hours of Lathe 

and  2x1 + x3 machine hours of Grinder 

Since time available for these three machines are 250, 150 and    50 hours respectively, we 

have 

8x1 +2x2 + 3x3 ≤ 250 

4x1 + 3x2 ≤ 150 

2x1 + x3 ≤ 50. 

Obviously  x1, x2, x3 ≥ 0 

Thus the problem is to 

Maximize  Z = 20x1 + 6x2 + 8x3 

Subject to  8x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 250 

4x1 + 3x2 ≤ 150 

2x1 + x3 ≤ 50, 

x1, x2, x3 ≥ 0.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  51 

Rewriting in the standard form, 

Maximize  Z = 20x1 + 6x2 + 8x3 + 0S1 + 0S 2 + 0S 3 Subject to  8x1 + 2x2 + 3x3 + S1 = 250 

4x1 + 3x2 + S2 = 150 

2x1 + x3 + S3 = 50, 

x1, x2, x3, S1, S2, S 3 ≥ 0. 

The initial basic solution is 

X0 =

S S S 

=

50 150 250 

The initial simplex table is given by 

x1  x2  x3  S1  S2  S3  Ratio 

20  6  8  0  0  0 

S1 0  8  2  3  1  0  0  250 31 

8 250

=

S2 0  4  3  0  0  1  0  150 4 

150 = 37.5 

S3 0  2*  0  1  0  0  1  50 2 50 = 25 ←

ZJ – Cj  – 20  – 6  – 8  0  0  0  0

Work column  * pivot element 

x1  enters  the  basic  set  of  variables  replacing  the  variable  s3.  The  first  iteration  gives  the 

following  table: 

x1  x2  x3  s1  s2  s3  Ratio 

20  6  8  0  0  0 

s1 0  0  2  – 1  1  0  – 4  50 2 50 = 25

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  52 

s2 0  0  3*  – 2  0  1  – 2  50 3 50 

x1 20  1  0 2 1  0  0 

2 1  25 

Zj – Cj  0  – 6  2  0  0  10  500

Work column  * pivot element 

x2  enters  the basic set of variables  replacing  the variable s2. The second  iteration gives  the 

following table: 

x1  x2  x3  S1  S2  S3  Ratio 

20  6  8  0  0  0 

S1 0  0  0 3 1  1  –2/3  – 

3 8 

3 50  50 

X2 6  0  1  – 3 2  0 

3 1  – 

3 2 

3 50  – 

X1 20  1  0 2 1 *  0  0 

2 1  25  50 

Zj  – 

Cj 

0  0  – 2  0  2  6  600

work column   * pivot element. 

x3 enters the basic set of variables replacing the variable x1. The third iteration yields the following 

table: 

x1  x2  x3  S1  S2  S3 

20  6  8  0  0  0 

S1 0  – 3 2  0  0  1  – 

3 2  – 3  0 

X2 6 3 4  1  0  0 

3 1  0  50 

X3 8  2  0  1  0  0  1  50 

Zj – cj  4  0  0  0  2  8  700 

Since all zj – cj ≥ 0 in the last row, the optimum solution is 700.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  53 

i.e., the maximum profit is Rs. 700/­ which is achieved by producing 50 units of product 2 and 

50 units of product 3. 

3.4.2.  Self Assessment Questions 3 

State Yes / No 

1.  The key column is determined by Zj  ­ Cj  row. 

2.  Pivotal element lies on the crossing of key column and key row 

3.  The –ve and infinite ratios are considered for determining key row. 

3.5  Penalty Cost Method Or Big­M Method Consider a L.P.P. when atleast one of the constraints is of the type ≥ or = . While expressing in 

the standard form, add a non negative variable to each of such constraints. These variables are 

called artificial variables. Their addition causes violation of  the corresponding constraints, since 

they are added to only one side of an equation, the new system is equivalent to the old system of 

constraints  if and only  if  the artificial variables are zero. To guarantee such assignments  in  the 

optimal solution, artificial variables are incorporated into the objective function with large positive 

coefficients  in  a  minimization  program  or  very  large  negative  coefficients  in  a  maximization 

program. These coefficients are denoted by ±M. 

Whenever artificial variables are  part of  the  initial  solution X0,  the  last  row of simplex  table will 

contain  the  penalty  cost  M.  The  following  modifications  are  made  in  the  simplex  method  to 

minimize the error of incorporating the penalty cost in the objective function. This method is called 

Big M­method or Penalty cost method. 

1)  The  last  row  of  the  simplex  table  is  decomposed  into  two  rows,  the  first  of  which  involves those terms not containing M, while the second involves those containing M. 

2)  The Step 1 of the simplex method is applied to the last row created in the above modification and followed by steps 2, 3 and 4 until this row contains no negative elements. Then step 1 of simplex algorithm is applied  to  those elements next  to the  last  row  that are positioned over zero in the last row. 

3)  Whenever an artificial variable ceases to be basic, it is removed from the first column of  the table  as  a  result  of  step  4,  it  is  also deleted  from  the  top  row  of  the  table  as  is  the  entire column under it. 

4)  The last row is removed from the table whenever it contains all zeroes.

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  54 

5)  If  non  zero  artificial  variables  are  present  in  the  final  basic  set,  then  the  program  has  no solution. In contrast, zero valued artificial variables in the final solution may exist when one or more of the original constraint equations are redundant. 

Examples: 6)  Use Penalty Cost method to 

Maximize  z = 2x1 + 3x2 Subject to  x1 + 2x2 ≤ 2 

6x1 + 4x2 ≥ 24, 

x1, x2 ≥ 0. Rewriting in the standard form, we have Maximize  z = 2x1 + 3x2 + 0S1 + 0S2 –  M A1 

Subject to  x1 + 2x2 + S1 = 2 6x1 + 4x2 – S2 + A1 = 24, 

x1, x2, S1, S2, A1 ≥ 0. The initial simplex table is 

x1  x2  S1  S2  A1 

2  3  0  0  – M  Ratio 

S1  0  1*  2  1  0  0  2 1 2 = 2 

A1 – M  6  4  0  –1  1  24 6 24 

= 4 

–2  –3  0  0  0  0 

– 6M  – 4M  0  M  – M  –24M

Work column 

The first iteration gives the following table : 

x1  x2  S1  S2  A1 

2  3  0  0  – M 

x1  2  1  2  1  0  0  2 

Ai – M  0  – 8  – 3  – 1  1  12 

0  1  2  0  0  4

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  55 

0  8M  6M  1M  0  – 12M 

Since  all  elements  of  the  last  two  rows  are  non  negative,  the  procedure  is  complete.  But 

existence of  non  zero artificial  variable  in  the  basic  solution  indicates  that  the  problem  has no 

solution. 

3.5.1  Self Assessment Questions 4 State Yes / No 

1.  The value of artificial value is “M” 2.  Artificial variables enters as Basic Variable. 

3.6  Two Phase Method The drawback  of  the penalty  cost method  is  the  possible  computational  error  that  could  result from assigning a very large value to the constant M. To overcome this difficulty, a new method is considered, where the use of M is eliminated by solving the problem in two phases.  They are 

Phase I: Formulate the new problem by eliminating the original objective function by the sum of the  artificial  variables  for  a  minimization  problem  and  the  negative  of  the  sum  of  the  artificial variables for a maximization problem. The resulting objective function is optimized by the simplex method with  the  constraints  of  the  original  problem.  If  the  problem has a  feasible  solution,  the optimal value of the new objective function is zero (which indicates that all artificial variables are zero). Then we proceed to  phase II. Otherwise, if the optimal value of the new objective function is non zero, the problem has no solution and the method terminates. 

Phase II : Use the optimum solution of the phase I as the starting solution of the original problem. Then  the  objective  function  is  taken  without  the  artificial  variables  and  is  solved  by  simplex 

method. 

Examples: 7)  Use the two phase method to 

Maximise  z = 3x1 – x2 Subject to  2x1 + x2 ≥ 2 

x1 + 3x2 ≤ 2 

x2 ≤ 4, 

x1, x2 ≥ 0 

Rewriting in the standard form,

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  56 

Maximize  z = 3x1 – x2 + 0S1 – MA1 + 0.S2 + 0.S3 

Subject to  2x1 + x2 – S1 + A1 = 2 

x1 + 3x2 + S2 = 2 

x2 + S3 = 4, 

x1, x2, S1, S2, S3, A1 ≥ 0. 

Phase I : Consider the new objective, 

Maximize  Z* = – A1 

Subject to 2x1 + x2 – S1 + A1 = 2 

x1 + 3x2 + S2 = 2 

x2 + S3 = 4, 

x1, x2, S1, S2, S3, A1 ≥ 0. 

Solving by Simplex method, the initial simplex table is given by 

x1  x2  S1  A1  S2  S3 

0  0  0  –1  0  0  Ratio 

A1  –1  2*  1  –1  1  0  0  2 2 2 = 1 ←

S2  0  1  3  0  0  1  0  2 1 2 = 2 

S3  0  0  1  0  0  0  1  4 

–2  –1  1  0  0  0  –2

↑ Work column     * pivot element 

x1 enters the basic set replacing A1. 

The first iteration gives the following table: 

x1  x2  x1  A1  S2  S3 

0  0  0  –1  0  0 

X1  0  1 

2 1 

– 2 1 

2 1  0  0  1 

S2  0  0 2 5 

2 1 

– 2 1  1  0  1 

S3  0  0  1  0  0  0  1  4 

0  0  0  1  0  0  0

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  57 

Phase I is complete, since there are no negative elements in the last row. 

The Optimal solution of the new objective is Z* = 0. 

Phase II: Consider the original objective function, 

Maximize  z = 3x1 – x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 

Subject to  x1 + 2 

x 2  – 2 

S 1  =1 

2 5  x2  + 

S 1  + S2 =1 

x2  +  S3 = 4 

x1, x2, S1, S2, S3 ≥ 0 

with the initial solution  x1 = 1, S2 = 1, S3 = 4, the corresponding simplex table is 

x1  x2  S1  S2  S3 

3  –1  0  0  0  Ratio 

x1  3  1 

2 1 

– 2 1  0  0  1 

S2  0  0 2 5 

2 1 * 

1  0  1 

2 1 1  =  2 

S3  0  0  1  0  0  1  4 

0 2 5  – 

2 3  0  0  3

↑ Work column     * pivot element 

Proceeding to the next iteration, we get the following table: 

x1  x2  S1  S2  S3 

3  –1  0  0  0 

x1  3  1  3  0  1  0  2 

S1  0  0  5  1  2  0  2 

S3  0  0  1  0  0  1  4 

0  10  0  3  0  6

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  58 

Since all elements of the last row are non negative, the current solution is optimal. 

The maximum value of the objective function Z = 6  which is attained for  x1 = 2, x2 = 0. 

8)  Maximize  z = 3x1 + 2x2, 

subject to  2x1 + x2 ≤ 2, 

3x1 + 4x2  – S2 + A1 ≥ 12, 

x1, x2 ≥ 0. 

Rewriting in the standard form, 

Maximize  z = 3x1 + 2x2 + 0S1 + 0.S2 – MA1 

Subject to  2x1 + x2 + S1 = 2 

3x1 + 4x2 – S2 + A1 = 2 

x1, x2, S1, S2, A1 ≥ 0. 

Solving by two phase method. 

Phase I : Consider the new objective function 

Maximize  z* = – A1 

Subject to  2x1 + x2 + S1 =2 

3x1 + 4x2 – S2 + A1 = 12, 

x1, x2, S1, S2, A1 ≥ 0. 

The initial Simplex table is given by 

x1  x2  S1  S2  A1  Ratio 

0  0  0  0  –1 

S1  0  2  1*  1  0  0  2 1 2  = 2 

A1  – 1  3  4  0  –1  1  12 4 12 = 3 

–3  – 4  0  1  0  –12

↑ Work column

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  59 

The first iteration gives the following table : 

x1  x2  S1  S2  A1 

0  0  0  0  –1 

X2  0  2  1  1  0  0  2 

A1  –  1  – 5  0  – 4  – 1  1  4 

5  0  4  1  0  – 4 

Since all elements of the last row an non negative, the procedure is complete. 

But the existence of non zero artificial variable in the basic set indicates that the problem has no solution. 3.7  Minimization Examples Example 10 Minimize = Z = 3x1 + 8x2 Subject to 

x1 + x2 = 200 

x1 ≥ 80 

x2 ≤ 60 

x1  , x2 ≥ 0 

Solution 

In a standard form 

Minimize Z = 3x1 + 8x2 + MA1 + OS1 + MA2 + OS2 

Subject to 

x1 + x2 +A1 = 200 

x1 – S1 + A2 = 80 

x2 + S2 = 60 

S1, S2, A1, A2 ≥ 0 

Simplex Table 1 

Cj  ­ 3  ­ 8  0  0  ­ M  ­ M 

C.B  B.V  x1  x2  S1  S2  A1  A3  Qty  Ratio 

­ M  A1  1  1  0  0  1  0  200  200 

­ M  A2  1 

P.E 

0  ­ 1  0  0  0  80  80 ← K R

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  60 

0  S2  0  1  0  1  0  1  60 α

Zj  ­ Cj  ­2M +3 ↑ K C  ­M + 8  M  0  0  0 

Simplex Table 2 

Cj  ­ 3  ­ 8  0  0  ­ M 

C.B  B.V  x1  x2  S1  S2  A1  Qty  Ratio  Transformation 

­ M  A1  0  1  1  0  1  120  120  R1 1 = R1­R2 

­ 3  x1  1  0  ­1  0  0  80 α R2 1 = R2 

0  S2  0  1 

P.E 

0  1  0  60  60 ← K 

R R3 

1 = R3 

Zj  ­ Cj  0 ­M + 8↑

K C 

­M + 

3 0  0 

Simplex Table 3 

Cj  ­ 3  ­ 8  0  0 

C.B  B.V  x1  x2  S1  S2  A1  Qty  Ratio  Transformation 

­ M  A1  0  0  1 

P.E 

­ 1  1  60  60 R1 

1 = R1 

­ 3  x1  1  0  ­ 1  0  0  80  ­ve  R2 1 = R2 

­ 8  x2  0  1  0  1  0  60 α R3 1 = R3 – R1 

Zj  ­ Cj  0  0 ­ M + 3 ↑

KC M ­ 8  0  0 

Simplex Table 4 

Cj  ­ 3  ­ 8  0  0 

C.B  B.V  x1  x2  S1  S2  Qty  Ratio  Transformation 

0  S1  0  0  1  ­ 1  60  ­ ve  R1 1 = R1 

­ 3  x1  1  0  0  ­ 1  140  ­ve  R2 1 = R2 + R1 

­ 8  x2  0  1  0  1

P.E 

60  80 ← K 

R R3 

1 = R1 1 

Zj  ­ Cj  0  0  0  ­ 5 

Simplex Table 5

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  61 

Cj  ­ 3  ­ 8  0  0 

C.B  B.V  x1  x2  S1  S2  Qty  Ratio  Transformation 

0  S1  0  1  1  0  120  R1 1 = R1 + R3 

­ 3  x1  1  1  0  0  200  R2 1 = R2 + R3 

0  S2  0  1  0  1  60  R3 1 = R3 

Zj  ­ Cj  0  4  0  0 

Since all Zj  ­ Cj ≥ 0, the optimum solution is x1 = 200  x2 = 0 

Min Z = 60 

3.8.  Summary In this unit we solved the L.P.P by simplex method.  The constraints for which slack, surplus and 

artificial variables to be introduced and the method of solving L.P.P is explained with examples. 

Terminal Questions 

1.  Maximize  z = 3x1 – x2 

Subject to2x1 + x2 ≥ 2 

x1 + 3x2 ≤ 3 

x2 ≤ 4, 

x1, x2 ≥ 0. 

2.  Minimize Z = 6x1 + 7x2 Subject to the constraints 

x1 + 3x2 ≥ 12 

3x1 + x2 ≥ 12 

x1 + x2 ≥ 8 

x1 + x2 ≥ 0 

Answers To Self Assessment Questions Self Assessment Questions 1 

1. False  2. True 

Self Assessment Questions 2 1. True  2. True

Operations Research  Unit 3 

Sikkim Manipal University  62 

Self Assessment Questions 3 

1. Yes  2. Yes  3. No 

Self Assessment Questions 4 1. Yes  2. Yes 

Answer For Terminal Questions 1.  Z = 9  x1 = 3  x2 = 0 

2.  Z = 5.8  x1 = 8 /3  x2 = 6