72 Ce.mil G=-"I

(5.2.10)

lab] = Eai bi = Eail ai2, etc.,

o que evidencia, uma vez mais, a bela concisao da notacao matrieial.

5.3 - Matriz dos Pesos

As observacoes efetuadas podem ser consideradas com uma amostra de urn universo de media u e variancia 0'2; dos parametres amostrais estimados, ue fr2, 0 segundo funciona como um indicativo de precisao das observacoes; indicativo que sera iitil no ajustamento.

Admitamos que as mencionadas observacoes nao oferecam 0 mesmo "grau de confianca"; podemos "homogeneiza-las" multiplicando-as por "pesos", isto e, por valores tanto rnaiores quanta maior a confianca que inspiram (quanto menor 0 valor.de fr2) (6.3).

Designemos por EL • a matriz variancia-covariancia (estimada) do vetor das observacoes; e por O'~

urn "fator de escala" , valor adimensional numericarnente igual a variancia da observacao a: qual foi atribuido "peso unitario" (6.3); dividindo EL. por 0'; obtemos uma nova matriz, simetrica, denomi­nada matriz dos coeficientes de peso:

(5.3.1)

Se a matriz Q for nao singular adrnitira uma inversa:

1 _ 2 r--l _ pQ­- 0'0 L.,L. - , (5.3.2

que recebe 0 nome de matriz dos pesos. A matriz P, tarnbem sirnetrica, se reduz a uma matriz diagonal quando as observacoes sOO nac

correlacionadas entre si; neste caso os elementos diagonais de P e Q sao, respectivamente, os pesos o inverso dos pesos das observacoes,

Vimos anteriormente a lei de propagacao das covariancias (4.8):

dividindo ambos os membros por 0';

Qy =DQx DT (5.3.

expressao que em desenvolvimentos futuros revelara a sua impor tancia.

97 Int rod ucgo ao Ajus te ment o de O'bservecces - Apficacfiea Gec deeicas

Eo que aconteceria se, mudando 0 criterio, arbitrassemos como unitario 0 peso da 2.a observacao?

P2 = l(m- 2 ) -- u~ = u~ = 9 (adimensional)

ui 9 PI 9 PI = uf = 4m2 ; P2 4

Como se ve, em ambos os exemplos, a relacdo entre os pesos permanece a mesma, 0 que sugere a possibilidade de se arbitrar 0 valor de u~ de acordo com as circunstancias.I'' .

OBSERVAr;OES

1) 0 problema de ponderar observacoes e urn dos mais complexos do ajustamento. No caso de amostras pequenas pode ser pouco significativo falar em variancia. Por vezes 0 calculista e levado a tomar pesos proporcionais ao mirnero de observacoes.

2) As observacoes no nivelamento geometrico, ajustadas pelo metodo parametrico (7.8.4) ou pelo metodo dos correlatos (8.9.1), constituem urn exemplo sugestivo: e tradicional atribuir aos desniveis medidos pesos inversamente proporcionais ao cornprimento das respectivas secoes.

3) Urn caso interessante, que sera abordado mais tarde, e 0 de observacoes sobre quantidades dimensionalmente heterogeneas.

4) E importante enfatizar que a (6.3.6)"e as que dela decorrem somente tern validade no caso de observacoes niio correlacionadas (MVC diagonal).

6.3.2 - Estimativa Pontual: Media Ponderada

a) Consideremos n observacoes independentes £i de uma grandeza x; sejam Pi os pesos de tais observacoes e designemos por x a sua "estimativa minimos quadrados" , ainda desconhecida:

x - £1 = Vl com peso PI

x- £2 = V2 com peso P2 (6.3.8)

1: - £n = V n com peso Pn

Uma observacao de peso Pi pode ser considerada como a media aritrnetica de Pi observacoes ficticias (de igual precisao), todas de peso unitririo. Tal observacao tera uma variancia (un, Pi vezes menor que a variancia da observacao de peso unitario; ou urn erro medic quadratico (desvio padrao), v'Pi vezes menor que 0 da observacao de peso unitario: a, = uo / VPi. Multiplicando cada "equacao de observacao" (6.3.8) pela raiz quadrada do respectivo peso obtemos urn conjunto "homogeneizado" de equacoes de observacao de "mesma precisao" :

29Na proxima se..ao veremos como estimar 17~ "apos 0 ajustamento", isto e, estimar a "variancia da unidade de peso a posteriori".

47

I rLZ:;=" 1.,

covariancia cruzada dos vetores X

3.9.2 - Propagacao

46 Ce mil ~,.: ..""~O"'~'-'·'·--'------~

Lx LXV] ] [n x n n x m ]" ;[(rn+n) x (m+n) = . ...... y X -.J}'" Tn x n m x m

o duplo indice na (3.9.2) denota a mctriz covarl.1ncia cru ztula de dois vetores; assim I:xy ea matriz e Y (nao necessariament.e quadrada], que envolve

entre cad a componente de X e as dernais de Y:

G X 1Y 2 G X 1Y J •• • G Xl Yrn [ U..u,

LXV _ "X'YI G X 2Y 2 (J' .E2Y3 •.. (1' X1.Yrn

(n X m) - .... .... . . .... . ....... ]GXI\Yl G X n Y 2 G X n Y 3 '" GXn.Yrn

LVX == L~V'

Considerernos agora urn segundo vetor S em condicoes similares as anteriores:

S:;=[~] e tal que:

X:;= F(U),

Y:;= F'(V).

Podemos exprimir a MVC de Z :;= [X YjT em func ao da MVC de S:

LZ :;= Dzs Es D~s

sendo

axDxu o &UDzs = [ Dyv ] == [ &~ ].j ..: o o av ~,

p~ Desenvolvendo a (3.9.7):

i: j, LX LXV x u o Eu r1; L:uv ] [DXU 01:;= [ D

[ ] [),'1; LVX LV J 0 Dyv LVU LV 0 Dyv

DxuEuv :;= [ DxuEu .[ DIu 0 T ]

]DyvEvu DyvLv o D yV

(3.9.2)

(3.9.:3)

(:3.9.4)

(:~9.5)

(39.8)

(3.9.6)

(3.97)

(3.9.9)

as covariancias

Intc(ldu<;.i(l ao

Segue-se:

3.10 ­

Aju",~amento de 0 b~ecva.<;;oc:l .; 'Aplic":.<;;oe; Gecdesicas

-,1.,.

[ Ex LXY }'"= [ DxuLu DIu

. E yx L}' DyvEvu DIu

LX:;= DxuLuDIu,

Ly = DyvLvDrv,

--_._-_._.._------_._------".,-~-~

Dxu,,"_ D,; ] (3.9.10)

Dl'v2:v Drv

(3.9.11)

(3.9.12)

LXV:;= DxuEuvD~v, (3.9.13)

~I'X:;= Dyv2:v uDIu, (3.9.14)

Ex y == E~x Eu v == Er.u· (3.9. J,5).

Aproxirnacao Linear da Serie de Taylor em Forma Matricial

A serie de TAYLOR nos proporciona 0 valor de uma funcao I(t) no ponto t :;= x quando conhecemos o valor da funcfio para t :;= a:

f X - a. (x - a)2I(x) :;= I(a) + I (a)-l!- + I

If

(a)-2-!- + ... (3.10.1)

Para valores de x proximos de a as potencias igual e superiores it segunda podem, em muitos casas praticos, ser negligenciadas: isto e, nas proximidades de a a curva f(1) po de ser substituida par uma ret.a:

f(x) :;= f(a) + j'(a)(i: - a) (3.10.2)

fUtI .'

r

~_~

t---/

r.Af ,r I I

J J I I~.. I I

I I r flxl"f!lllt+'I I I

"flOI! I rA'.{.~ll'({lll ?) I : , I , I "·0 I t

(I)Fi'i/.3./O.1

---._ .._~----'­~-----

"

_ I!

II

••• _ y

Ca.mil Gemael48

cujo coeficiente angular e1'(a), ou seja, 0 coeficiente angular da curva no ponto de abcissa a. No caso de uma funcao de duas variaveis a aproximacao linear escreve-se:

af I af I .f(Xl, X2) = f(at, 02) + a:;- (Xl - at) + ax? (X2 - 02)' (:3.103) 1 c i ... a2

Fazendo:

X = [ Xl ] ;D,X = [ Xl - 01 ]

; XO = lr at ]

X2 X2 - 02 a2

(3.10.4):; = [::1 ::J; resulta

f(X) = f(X O D,X, (3.10.5)) +!Ll ax xo

A expressao supra teria 0 mesmo aspecto formal se considerassemos n em vez de aperias duas variaveis,

Podemos ainda generalizar para 0 caso de m funcoes a n var iaveis:

I ° oft Ih(X) = h(X ) + ax x D,X O

r t h(X) = h(X

O) + ~i Ix D,X (3,10.6)

o~

Fazendo -,~.

f!.J..l .?1..L OXl &X'2"t ffu

... oX, h f, 1r f? u: u: !.J..:L ox, ox, aX n~ F = I - ,aF (3,10,7)~,~ 'ax .. . ... , ..1 i I~ , ..!!.l..m- !!.l..m­fm I ox, Or.2 ox. :1 ~{t,

obtemos a aproxima9ao linear da serie de TAYLOR em forma matricia/:'i;f

of IF(X ) =F(X 0 ) + ax x D,X. (3,10.8) o

~.~- - ..o +4~1J'''',,~·~,~~.,j;...;_.,;.·~.,"-".... ',..{~"'''···~''w':'w""'$f;;-'-·~i4iji'ijt%,~~;;,;rti;;.;;;~:~~':'~;'· .. ,-~-""._,.~~ IntrodlIlOao 300 AjUllla.men\o de Observa.lOOe, - "Ap-Ii.c.a.:;Oe3 Geodeaicas 49

,.... ."

Obviamente a aplicacao d~' formula (3.10.8) deve se restringiraos casas em .que a e urn valor suficientemente proximo de x; ou, nos exemplos praticos que iremos abordar, aos casos em que co­nhecemos valores suficientemente aproximados das incognitas; a influericia da aproximacao pode ser minirnizada, como veremos, mediante iieracoes.

3.11 - Distr ib uicao Normal n-Dimensional

Como fecho deste capitulo apresentamos a fdp conjunta de uma v.a. n-dimensional com dis­tribuicao normal. Designando por X a v.a. e por Xi as suas n componentes supostas nao correla­cionadas: .•

x= [Xt X2 ... xnf

a fdp conjunta assume a forma 1.56J:

. n 1 [1(X;-U;)2]-. --ex -- ., (3.11.1)¢(X) = 1>(Xt, X2 . " Xn) - II 0' ..,ji2 P 2 O'i i =1 z

que corresponde ao produto de n funcoes .densidade unidimensionais:

¢(X) = (' n/2 1 exp{_~[(Xl -?J1t)2 + (X2 - !2f ... (xn -lln )2] J (3.11.2)27r) (0'1.0'2 ... a., 2 O'i O'i O'~

_ 1 [ 1( t T -I ]¢ (X) - (27r)n/2 I~ 11/2 exp - 2 x - G) ~ (X - U) . (3.11.3)

o simbolo ~ que aparece na forma quadratica do expoente representa uma matriz diagonal com as variancias das n componentes independentes de X; as barras no denominador denotarn determinante. Fazendo n = 2 obtern-se a (3.2.2) do caso bidimensional.

Mas a (3.11.3) pode ser gener alizada; pOI' exemplo, substituindo a matriz diagonal pOI' uma matriz de mesma ordem, cornpleta, definida positiva qualquer, a funcao 1>( X) sera positiva para qualquer X como convem a urna fdp Considerando 0 caso geral de urn vetor X cujas componentes nao sao necessariamente independentes, podemos substituir ~ pOI' ~x = matriz variancia-covariancia de X:

¢(X) = (27r)n/2 ~ ~x 11/ 2 exp [ - ~(X - Uf~xt(X - U)]. (3.11.4)

Fazendo n = 2:

O'? O't2 ] . 2 2 2

~x = ,[~x I=O't0'2-0'12 (3.11.5) _ [ 0'2t 0'2

2

obternos, da (3.11.4), a (3.2.1) para 0 caso geral da v.a. bidimensional.

..........>.

: ..,. Ca.mil

(7.1.2)

Gemael .. .. ;:;

Introdu.;io ao Aj us t e men t o de Obse t-vacdes - A.plica.;oe~ Ge?~es.icj~s 117 . ~"i

116

Para que e , y e z possam ser realmente consideradas como as "melhores estimativas" das incognitas e para garantir a unicidade dos resultados varnos impor a condicao de minimos quadrados (neste topico

f(x, y, Z) = f( XO, v", ::;0) + J' (xO)dx + J'(yO)dy + I'! ZO )d::;; (7.1.8)usaremos, como ja foi feito anteriormente, ociassico simbolo de GAUSS [] para indicar soruat.or io]:

f'(XO) significa derivada parcial da funcao em relacao a x, no "ponto" z"; [pvv] = 11,fjNfMO xO, yO, ZO representam valores aproximados das incognitas;.">

dx, dy, dz passarn a ser as incognitas do ajustamento, ou seja qs valores que sornados aos aproximados conduzidio as "rnelhores estirnativas'' .

f=[pvv]= pdaIX+bIY+~IZ+ed2+ P2(a2x + b2y + C2Z + e2)2+

7.2 - Met.odo Parametrico p"(a,,x + boY + C"z + e,,)2 = 111ffN I MO.

As derivadas parciais de f em relacao as variaveis x, y e z clevem ser nulas:

f~ = f~ = f; = o.

Da primeira:

t;> 2PI(alX+blY+CIZ+eIl al+ 2p2(a2x + b2y + C2Z + f.2)a2+ (7.1.3)

2p,,(ao 'z; + boY + c"z + e")a,, = 0 ;

(Plaial +P2a2a2 + p"a"a,,)x+ (Plaib i + P2a2b2 + p"a"b,,)y+ (7.1.4 )(PI al CI + P2a2c2 + p"ane" )z+ (PlaIt\ + P2a2!.2 + Pna"en) = O.

Compactando:

[paa]x + [pab]y + [pac]z + [pa!.] = O. (7.1.5)

As derivadas parciais em rela<;5.0 aye a z proporcionam, de maneira analoga, rnais duas equacoes do tipo supra; varnos escreve-las em conjunto:

[paa] x + [pab] y + [pac] z + [pae] = 0, [pba] x + [Pbb] y + [Pbc] z + [PM] = 0, (7.1.6) [pca] x + [pcb] y + [pcc] z + [Pc£] = O.

Obtemos assim urn sistema de tres equacoes a t res incognitas denominado SISTEMA DE EQUA­GOES NORMAlS. A Algebra Linear nos diz como resolve-lo.

Quando as observacoes oferecem 0 mesmo grau de confiunca PI = P2 = .. Pn = 1 e 0 sirnbolo P pode ser omitido das equacoes normais.

Em alguns problemas a funcao

L= f(x,y,z) (7.1.7)

pode ser nao linear don de a necessidade de uma previa liuearizacao mediante urn desenvolvimento em serie:

Vamos agora rever 0 mesmo assunto utilizando linguagem matricial; e, 0 que e mais importante, avaliar a precisao de nossas est irnativas sem que as grandezas estimadas sejam, necessariamente, n ao

. ... correlacionadas. No case de observacoes diretas as nossas incognitas sao os valoi~s observados ~;ustados. Agora, caso

j de observacoes indiretas, queremos estimar grandezas que se vinculam as observadas; para distingui­las das primeiras e usual designa-Ias de pariimetros, 0 que explica a denorninacao, mais cor rente em nossos dias, de metodo purameirico.I

I

7.3 - Equacoes de Observacao

Sejam:

Li: vetor (nxl) dos valores observados; V: vetor (nxl) dos residues: La: vet or (nxl)dos valores observados ajustados:

La = t., + V. (7.3.1 )

X O : vetor (uxl) cujas cornponentes sao os valores aproximaclos dos parametres; X: vetor correcao (uxl); X a : vetor dos par ametros ejustados (um de nossos objetivosj..

x, =Xo+X. (7.3.2) -,

Quando os valores observados ajustados podem ser expressos explicitamente como uma funcao dos par ametros ajustados, isto e, quando se verifica 0 modelo matematico:

La = F(Xa) (7.3.3)

dizemos que 0 ajustamento se processa pelo metoda parametrico. Substituindo 0 primeiro membro pela (7.3.1) e linearizando 0 segundo com a formula de TAYLOR

(3.10.8):

8F I (7.3.4)i, + V = F(Xo + X) = F(Xo) + 8Y X.i.. J' a Xa=X"

Designando a funcao dos parametres aproximados por L o :

__

- - - ---

'~"""'''''''.O .''''_-i'''''''''''~ .~

Ce.mil=--,--.Int rc ducdc ao Aiue te m ••t o d e Obse rm,•• - ",",,- Om...cas118

! .' 119

; 'r"

7.4 - Equa-;oes Normais 1 LQ = F(Xo ) (7.3 ..5)• Minimizando a forma quadratica fundamental obtemos sucessivamente: !

e a matriz das der ivadas parciais por A:'1 if; = vT PV = (AX + L{ P(AX + L) =min. (7.4.1)1 l (7.3.6).A--Iof I ' - aX" X

ol a (7.3.4) se escreve sucessivamente: ¢ = (XTAT + LT)P (AX + L)"= X TAT PAX + X TAT PL + LTPAX + LT PL ~ min.I

'I I ! Li + If =L; + AX~ o leiter pode verificar que 0 2.0 e 0 3.0 termos sao iguais, don de:

! if; = XTATpAX + 2X TA TpL + LTpL = min.,I v = AX + L; - Lb.

Igualando a zero a deri vada primeira em relacao a X:I E, finalmente, fazendo:

L = L; - L, (7.3.7) a¢/aX =2A? PAX + 2AT PL =0

obtemos 0 modelo mctenuit.ico linearisado do meiodo dos par/lme/ros:

AT PAX + AT PL = 0 (7.4 .2) nVI=nAuuXI + nLI' (7.3.8)

o leitor ja deve ter percebido que a (7.3.8) sintetiza, na extraordinaria concisao da linguagem x = _(AT PA)-I AT PL (7.4.3)matricial, n equa,oes de observaciio do tipo da (7.1.2):

Fazendo: flL si: su. 8X<11 OX"2 ... &xau

[" N =AT PA (7.4.4)". .2.1:L .2.1:Lr OX a2 ... aXnu

(7.3.9)[~q ~l~

~~ + [ ~~ : U = AT PL (7.4.5)Xu

si: su. resulta OX", 1 OX a2 ..• aXnu .J £0

o indice na parte inferior direita da matriz dos coeficieutes das incognitas lembra que as derivadas NX +fJ = 0 (7.4.6)parciais sao calculadas numericamente com os valores aproximados das incognitas.

I Fazendo:

I A cquacao matricial (7.4.6) ou a (7.4.2) representa urn sistema de u equa,oes normais cuja solucao

edada pelo vetor: i= 1,2, ... ,nof;

(7.3.10)

I ai':::: --. . . 'u) axa) { )=1,2, .... X = -N-IU' (7.4.7)

a 1~ linha se escreve: e cujas cornponeutes convertem os par ametros aproximados em ajust adossj I

VI = UllXI +UI2X2 + ... + ajuXu + el ; etc. X a,= x, + X (7.4.8)

• - _'_··,,__~,.O~·~_.•.,.., .••• "' __<..,...-_"""~:<_._~"!"",-:,';).;::;:::.;::;;:( .~7