Aim: How do we integrate by partial fractions? (II)
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Aim: How do we integrate by partial fractions? (II) Do Now: Write the partial fraction decomposition of 2 2 − + 4 ( 2 + 4 ) ¿ + + 2 + 4 2 2 − + 4 = ( 2 + 4 ) + ( + ) + =2 , =− 1 , 4 =4 =1 , = 1 , =− 1 2 2 − + 4 3 + 4 = 1 + − 1 2 + 4
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Aim: How do we integrate by partial fractions? (II). Do Now: Write the partial fraction decomposition of. =. =. ,. , d u = 2 x d x. ,. ,. ,. - PowerPoint PPT Presentation
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Aim: How do we integrate by partial fractions? (II) Do Now: Write the partial fraction decomposition of
2𝑥2−𝑥+4𝑥 (𝑥2+4)
¿𝐴𝑥
+𝐵𝑥+𝐶𝑥2+4
2 𝑥2−𝑥+4=𝐴 (𝑥2+4 )+ (𝐵𝑥+𝐶 ) 𝑥
𝐴+𝐵=2 ,𝐶=−1 ,4 𝐴=4 𝐴=1 ,𝐵=1,𝐶=−1
2𝑥2−𝑥+4𝑥3+4 𝑥
=1𝑥
+ 𝑥−1𝑥2+4
∫ 2 𝑥2−𝑥+4𝑥3+4 𝑥
𝑑𝑥¿∫(1𝑥
+𝑥−1
𝑥2+4)𝑑𝑥
¿∫ 1𝑥𝑑𝑥+∫ 𝑥−1
𝑥2+4𝑑𝑥
¿∫ 1𝑥𝑑𝑥+∫ 𝑥
𝑥2+4𝑑𝑥−∫ 1
𝑥2+4𝑑𝑥
𝒖=𝒙𝟐+𝟒
𝒅𝒖=𝟐 𝒙 𝒅𝒙¿ 𝑙𝑛|𝑥|+ 12𝑙𝑛|𝑥2+4|− 1
2𝑡𝑎𝑛− 1( 𝑥2 )+𝐶
∫ 𝒅𝒙𝒙𝟐+𝒂𝟐
=𝟏𝒂𝒕𝒂𝒏−𝟏( 𝒙𝒂 )+𝑪
∫ 4 𝑥2−3 𝑥+24 𝑥2−4 𝑥+3
𝑑𝑥¿∫1+𝑥−1
4 𝑥2−4 𝑥+3𝑑𝑥
¿∫1𝑑𝑥+∫ 𝑥−1
(2 𝑥−1 )2+2 𝑑𝑥
𝟒𝒙𝟐−𝟒 𝒙+𝟑=(𝟐 𝒙−𝟏 )𝟐+𝟐 𝒖=𝟐 𝒙−𝟏 ,𝒅𝒖=𝟐𝒅𝒙𝒙=
𝟏𝟐
(𝒖+𝟏)
¿∫1𝑑𝑥+12∫
12
(𝑢+1 )−1
𝑢2+2𝑑𝑢¿ 𝑥+
14∫
𝑢−1
𝑢2+2𝑑𝑢
=
¿ 𝑥+18𝑙𝑛|𝑢2+2|− 1
4∙
1
√2𝑡𝑎𝑛−1( 𝑢√𝑎 )
¿ 𝑥+18𝑙𝑛|4 𝑥2−4 𝑥+3|− 1
4 √2𝑡𝑎𝑛−1( 2 𝑥−1
√2 )+𝐶
∫ 1−𝑥+2𝑥2−𝑥3
𝑥 (𝑥2+1)2 |𝑑𝑥=
𝟏− 𝒙+𝟐 𝒙𝟐− 𝒙𝟑
𝒙 (𝒙𝟐+𝟏)𝟐
𝑨(𝒙𝟐+𝟏)𝟐+𝒙 ( 𝑩𝒙+𝑪 ) (𝒙𝟐+𝟏)+𝒙 (𝑫𝒙+𝑬 )=−𝒙𝟑+𝟐 𝒙𝟐− 𝒙+𝟏
¿,
𝑨=𝟏 ,𝑩=−𝟏 ,𝑪=−𝟏 ,𝑫=𝟏 ,𝑬=𝟎
¿∫ 1𝑥−𝑥+1
𝑥2+1+
𝑥(𝑥2+1)2 𝑑𝑥∫ 1−𝑥+2𝑥2−𝑥3
𝑥 (𝑥2+1)2 𝑑𝑥
¿∫ 1𝑥𝑑𝑥−∫ 𝑥
𝑥2+1𝑑𝑥−∫ 1
𝑥2+1𝑑𝑥+∫ 𝑥
(𝑥2+1)2 𝑑𝑥
∫ 𝒙(𝒙𝟐+𝟏)𝟐
𝒅𝒙 , du = 2x dx
¿𝟏𝟐∫𝒖−𝟐𝒅𝒖=
−𝟏𝟐
𝒖−𝟏¿−𝟏
𝟐(𝒙𝟐+𝟏)
∫ 𝟏𝒙𝟐+𝟏
𝒅𝒙=𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙
∫ √𝑥+4𝑥
𝑑𝑥,
,
¿2∫ 𝑢2
𝑢2−4𝑑𝑢
¿2∫(1+4
𝑢2−4)𝑑𝑢
¿2∫1𝑑𝑢+8∫ 𝑑𝑢𝑢2−4
𝟏𝒖𝟐−𝟒
=𝟏
(𝒖−𝟐)(𝒖+𝟐)
¿𝑨
𝒖−𝟐+
𝑩𝒖+𝟐
𝑨𝒖+𝟐 𝑨+𝑩𝒖−𝟐𝑩=𝟏, ¿2𝑢+2∫ 1
𝑢−2𝑑𝑢−2∫ 1
𝑢+2𝑑𝑢
¿2√𝑥+4+2 𝑙𝑛|√𝑥+4−2|−2 𝑙𝑛|√𝑥+4+2|+𝐶¿2√𝑥+4+2 𝑙𝑛|√𝑥+4−2
√𝑥+4+2 |+𝐶
