Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver

8/12/2019 Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver

1/12

A I A A 9 6 0 8 2 5

A e r o d y n a m i c C h a r a c t e r i s t i c s o f a n

A e r o s p a c e V e h i c l e D u r i n g a S u b s o n i c

P i t c h O v e r M a n e u v e r

W i l l i a m L . K l e b

N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r

H a m p t o n V i r g i n i a


2/12

A e r o d y n a m i c C h a r a c t e r i s t i c s o f a n A e r o s p a c e

V e h i c l e D u r i n g a S u b s o n i c P i t c h O v e r M a n e u v e r

W i l l i a m L . K l e b

N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r H a m p t o n V i r g i n i a 2 3 6 8 1 0 0 0 1

T i m e d e p e n d e n t C F D h a s b e e n u s e d t o p r e d i c t a e r o s p a c e v e h i c l e a e r o d y n a m i c s d u r i n g a s u b s o n i c r o t a t i o n

m a n e u v e r . T h e i n v i s c i d 3 D 3 U c o d e i s e m p l o y e d t o s o l v e t h e 3 D u n s t e a d y o w e l d u s i n g a n u n s t r u c t u r e d g r i d

o f t e t r a h e d r a . A s t h i s a p p l i c a t i o n r e p r e s e n t s a c h a l l e n g e t o t i m e d e p e n d e n t C F D o b s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g

s p a t i a l a n d t e m p o r a l r e s o l u t i o n a r e i n c l u d e d . I t i s s h o w n t h a t e v e n f o r a b e n i g n r o t a t i o n r a t e u n s t e a d y

a e r o d y n a m i c e e c t s a r e s i g n i c a n t d u r i n g t h e m a n e u v e r . P o s s i b l y m o r e s i g n i c a n t h o w e v e r t h e r o t a t i o n

m a n e u v e r c r e a t e s o w a s y m m e t r i e s l e a d i n g t o y a w i n g m o m e n t r o l l i n g m o m e n t a n d s i d e f o r c e w h i c h a r e n o t

p r e s e n t i n t h e q u a s i s t e a d y c a s e . A s e r i e s o f s t e a d y s o l u t i o n s a t d i s c r e t e p o i n t s i n t h e m a n e u v e r a r e a l s o

c o m p u t e d f o r c o m p a r i s o n w i t h w i n d t u n n e l m e a s u r e m e n t s a n d a s a m e a n s o f q u a n t i f y i n g u n s t e a d y e e c t s .

I n t r o d u c t i o n

N A S A s A c c e s s t o S p a c e S t u d y

1

r e c o m m e n d e d t h e

d e v e l o p m e n t o f a f u l l y R e u s a b l e L a u n c h V e h i c l e R L V

2

t o r e p l a c e t h e a g i n g S p a c e S h u t t l e . A m e t h o d o f r e a c h

i n g t h i s g o a l i s t o d e v e l o p a v e h i c l e w h i c h d o e s n o t r e l y

o n e x p e n d a b l e b o o s t e r s t o r e a c h o r b i t a s o c a l l e d S i n g l e

S t a g e t o O r b i t S S T O v e h i c l e .

3

O n e o f t h e S S T O c o n

g u r a t i o n s b e i n g i n v e s t i g a t e d i s t h e V e r t i c a l T a k e o a n d

V e r t i c a l L a n d i n g V T V L c o n g u r a t i o n .

3

I n o n e c o n

c e p t t h e V T V L v e h i c l e u p o n c o m p l e t i o n o f i t s m i s s i o n

i n l o w E a r t h o r b i t r e e n t e r s n o s e r s t d e c e l e r a t e s t o s u b

s o n i c s p e e d s a n d t h e n p e r f o r m s a r o t a t i o n m a n e u v e r

4 6

t o l a n d v e r t i c a l l y .

F i g u r e 1 p r e s e n t s a s c h e m a t i c o f t h e l a s t p o r t i o n o f

a t y p i c a l V T V L e n t r y . T h e p i t c h o v e r m a n e u v e r w h i c h

o c c u r s n e a r M a c h 0 . 2 i s c h a r a c t e r i z e d b y h i g h a n g l e o f

a t t a c k u n s t e a d y v o r t i c a l o w . A c c u r a t e l y p r e d i c t i n g

v e h i c l e p e r f o r m a n c e d u r i n g t h i s a e r o d y n a m i c p i t c h o v e r

m a n e u v e r i s q u i t e c h a l l e n g i n g . W h i l e g r o u n d b a s e d f a

c i l i t i e s c a n p r e d i c t t h e v e h i c l e s a e r o d y n a m i c s a t d i s c r e t e

p o i n t s d u r i n g t h e m a n e u v e r a c c o u n t i n g f o r t h e u n s t e a d y

e e c t s i n a w i n d t u n n e l i s d i c u l t .

7

T i m e d e p e n d e n t

C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s C F D o e r s a n o t h e r

m e a n s o f a n a l y z i n g t h e p i t c h o v e r m a n e u v e r . T h e m a

R e s e a r c h E n g i n e e r A e r o t h e r m o d y n a m i c s B r a n c h G a s D y

n a m i c s D i v i s i o n R e s e a r c h T e c h n o l o g y G r o u p .

C o p y r i g h t

c

1 9 9 6 b y t h e A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s

a n d A s t r o n a u t i c s I n c . N o c o p y r i g h t i s a s s e r t e d i n t h e U n i t e d

S t a t e s u n d e r T i t l e 1 7 U . S . C o d e . T h e U . S . G o v e r n m e n t h a s

a r o y a l t y f r e e l i c e n s e t o e x e r c i s e a l l r i g h t s u n d e r t h e c o p y r i g h t

c l a i m e d h e r e i n f o r G o v e r n m e n t a l p u r p o s e s . A l l o t h e r r i g h t s a r e

r e s e r v e d b y t h e c o p y r i g h t o w n e r .

Reentry

Aerodynamic

Pitch-overManeuver

Engine

Ignition

F i g u r e 1 T r a n s i t i o n t o l a n d i n g f o r a V T V L v e h i c l e .

o r i t y o f w o r k i n u n s t e a d y C F D h a s h o w e v e r b e e n r e

s t r i c t e d t o s m a l l a m p l i t u d e h a r m o n i c v a r i a t i o n s i n a n g l e

o f a t t a c k i n s u p p o r t o f a e r o e l a s t i c u t t e r p r e d i c t i o n s .

8

T h e o b j e c t i v e o f t h e p r e s e n t w o r k i s t o a p p l y u n

s t e a d y C F D m e t h o d s t o t h e p r o b l e m o f p r e d i c t i n g V T V L

v e h i c l e a e r o d y n a m i c s d u r i n g a n u n p o w e r e d p i t c h o v e r

m a n e u v e r . T h e i n v i s c i d 3 D 3 U c o d e o f B a t i n a

9

i s e m

p l o y e d t o s o l v e t h e 3 D u n s t e a d y o w e l d w i t h u n s t r u c

t u r e d g r i d s . A s t h i s a p p l i c a t i o n r e p r e s e n t s a n e w c h a l

l e n g e t o u n s t e a d y C F D o b s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g g r i d r e s

o l u t i o n t e m p o r a l r e s o l u t i o n a n d t h e s u i t a b i l i t y o f a s s u m

i n g o w e l d s y m m e t r y a r e d i s c u s s e d . A s e r i e s o f s t e a d y

s o l u t i o n s a t d i s c r e t e p o i n t s i n t h e m a n e u v e r a r e a l s o c o m

p u t e d f o r c o m p a r i s o n w i t h w i n d t u n n e l m e a s u r e m e n t s

a n d a s a m e a n s o f q u a n t i f y i n g u n s t e a d y e e c t s .

1

A m e r i c a n I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s


3/12

F i g u r e 2 V T V L v e h i c l e s h o w n w i t h a c o a r s e

s y m m e t r y p l a n e m e s h .

G e o m e t r y

F i g u r e 2 p r e s e n t s t h e g e o m e t r y e x a m i n e d . T h e f o r e

b o d y i s a n 8 d e g r e e h a l f a n g l e s p h e r e c o n e w i t h n o s e

r a d i u s e q u a l t o 0 . 3 o f t h e b a s e r a d i u s . T h e a f t b o d y b e

g i n n i n g a t t h e 8 5 p e r c e n t f u s e l a g e s t a t i o n i s a c y l i n d e r

w i t h a p a r t i a l l y s q u a r e d o c r o s s s e c t i o n p r o d u c i n g a t

s l i c e s e x t e n d i n g f r o m t h e b a s e o f t h e v e h i c l e t o a p p r o x

i m a t e l y t h e 6 0 p e r c e n t f u s e l a g e s t a t i o n . T h e g e o m e t r y

h a s b e e n n o n d i m e n s i o n a l i z e d s o t h a t h a l f t h e w i d t h o f

t h e b a s e i s o n e u n i t a n d t h e r a d i u s o f t h e c y l i n d r i c a l p o r

t i o n i s 1 . 1 2 . T h e v e h i c l e i s 7 . 1 6 u n i t s l o n g g i v i n g a n e

n e s s r a t i o o f 6 . 4 u s i n g a b a s e d i a m e t e r o f 2 . 2 4 . A m o r e

t h o r o u g h d e s c r i p t i o n o f t h e v e h i c l e i s g i v e n b y W o o d s .

1 0

C o m p u t a t i o n a l M e s h

T h e u n d e r l y i n g s u r f a c e d e n i t i o n d a t a b a s e w a s g e n

e r a t e d f r o m s t r u c t u r e d s u r f a c e p a t c h e s o b t a i n e d u s i n g

G R I D G E N

1 1

G r i d T o o l

1 2

a n d s i m p l e a n a l y t i c a l m e t h

o d s . T h e u n s t r u c t u r e d s u r f a c e a n d o w e l d g r i d s w e r e

t h e n g e n e r a t e d u s i n g F E L I S A

1 3

a n d T E T M E S H .

1 4

T w o d i e r e n t o p t i o n s f o r t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n

w e r e e m p l o y e d o n e m o d e l i n g t h e c o m p l e t e v e h i c l e a n d

a n o t h e r m o d e l i n g o n l y h a l f o f t h e v e h i c l e a s s u m i n g s y m

m e t r y a c r o s s t h e p i t c h p l a n e s e e F i g u r e 2 . T a b l e 1

d e t a i l s t h e s y m m e t r i c v e h i c l e g r i d s s h o w i n g n u m b e r o f

p o i n t s e t c . w h i l e T a b l e 2 p r o v i d e s s i m i l a r i n f o r m a t i o n

f o r t h e f u l l v e h i c l e g r i d s . A l l o f t h e r e s u l t s s h o w n i n t h i s

p a p e r a r e t h e r e s u l t o f u s i n g t h e c o a r s e s t m e s h e s M e s h

1 F a n d M e s h 1 S . T h i s i s f o r t h e s a k e o f c o n s i s t e n c y a n d

c o m p l e t e n e s s s i n c e t h e m a t r i x o f r u n s o n t h e n e r m e s h e s

i s n o t a s c o m p l e t e a s t h a t o n t h e c o a r s e r m e s h e s d u e t o

r e s o u r c e l i m i t a t i o n s . S o m e o f t h e n e r m e s h s o l u t i o n s

a r e h o w e v e r i n c o r p o r a t e d i n t h e g r i d r e s o l u t i o n r e s u l t s .

T a b l e 1 S y m m e t r i c v e h i c l e g r i d s .

M e s h 1 S M e s h 2 S

N o d e s 6 6 3 4 2 7 9 1 2

T e t r a h e d r a 3 2 3 7 4 1 5 7 5 9 9

B o u n d a r y n o d e s 2 5 9 6 5 1 8 3

B o u n d a r y t r i a n g l e s 5 1 8 8 1 0 3 6 2

A v e r a g e v e h i c l e s p a c i n g 0 . 1 0 . 1

A v e r a g e f a r e l d s p a c i n g 3 . 5 3 . 5

R a d i u s o f f a r e l d 3 . 5 3 . 5

T a b l e 2 F u l l v e h i c l e g r i d s .

M e s h 1 F M e s h 2 F

N o d e s 1 1 2 2 2 5 1 1 7 9

T e t r a h e d r a 6 0 5 9 7 3 0 8 1 0 8

B o u n d a r y n o d e s 2 7 8 1 3 7 8 9

B o u n d a r y t r i a n g l e s 5 5 5 4 7 5 7 0

A v e r a g e v e h i c l e s p a c i n g 0 . 1 0 . 1

A v e r a g e f a r e l d s p a c i n g 3 . 5 3 . 5

R a d i u s o f f a r e l d 3 . 5 3 . 5

F a r F i e l d B o u n d a r y

E v e n w i t h n o n r e e c t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f a r

e l d b o u n d a r y p l a c e m e n t c a n a e c t t h e s o l u t i o n f o r b o d

i e s p r o d u c i n g l i f t . F o r t h e r e s u l t s p r e s e n t e d t h e f a r

e l d b o u n d a r y c o n d i t i o n i s a p p l i e d o n a s p h e r e w h i c h

i s 3 1 2 b o d y l e n g t h s f r o m t h e v e h i c l e s c e n t e r . A s a

s p o t c h e c k o f t h e e e c t o f t h e f a r e l d b o u n d a r y p l a c e

m e n t t w o o t h e r g r i d s w e r e g e n e r a t e d w i t h t h e f a r e l d

l o c a t i o n a t 5 a n d 7 b o d y l e n g t h s f r o m t h e v e h i c l e s c e n

t e r . A t m o d e r a t e t o h i g h a n g l e s o f a t t a c k t h e c h a n g e

i n f a r e l d p l a c e m e n t p r o d u c e d n o a p p r e c i a b l e a e c t o n

t h e a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s t h u s t h e 3 . 5 b o d y l e n g t h

m e s h e s w e r e u s e d t o m i n i m i z e t h e r e s o u r c e s n e c e s s a r y

f o r t h e s o l u t i o n .

S y m m e t r y A s s u m p t i o n s

F l o w e l d s a b o u t s y m m e t r i c c o n g u r a t i o n s a t h i g h

a n g l e s o f a t t a c k e v e n w i t h z e r o s i d e s l i p o f t e n i n v o l v e

a s y m m e t r i c v o r t e x d o m i n a t e d o w e l d s .

1 5 1 8

A s r e

v i e w e d b y N e w s o m e e t a l

1 9

i n v i s c i d s i m u l a t i o n s c a n o e r

s o m e i n d i c a t i o n o f t h i s v i s c o u s d o m i n a t e d p h e n o m e n o n

t h r o u g h t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y r e q u i r e d b y t h e s c h e m e .

H e n c e s o l u t i o n s a r e c o m p a r e d f o r b o t h s t e a d y a n d u n

s t e a d y c o n d i t i o n s m o d e l i n g t h e c o m p l e t e v e h i c l e a n d

t h o s e w h i c h i m p o s e o w e l d s y m m e t r y a c r o s s t h e p i t c h

p l a n e .

2



4/12

N u m e r i c a l M e t h o d

T h e 3 D 3 U c o d e o f B a t i n a

9

w a s u s e d e x c l u s i v e l y i n

t h i s s t u d y . T h e 3 D 3 U c o d e w a s o r i g i n a l l y d e v e l o p e d t o

s t u d y h a r m o n i c a l l y p i t c h i n g w i n g s a n d w i n g b o d i e s i n

t r a n s o n i c o w . T h e c o d e c a n i n c o r p o r a t e a e r o e l a s t i c e f

f e c t s t h r o u g h a s s u m e d m o d e s h a p e s c o u p l e d w i t h a d e

f o r m i n g m e s h v i a t h e l i n e a r s p r i n g a n a l o g y .

I n v i s c i d u x e s c a n b e c o m p u t e d w i t h a n y o f t h e f o l

l o w i n g u x f u n c t i o n s R o e s u x d i e r e n c e s p l i t t i n g

2 0

L o u a n d S t e e n s A U S M s c h e m e

2 1

v a n L e e r s u x

v e c t o r s p l i t t i n g

2 2

o r E i n f e l d t s H L L E s c h e m e .

2 3

S e c o n d

o r d e r u x r e c o n s t r u c t i o n i s a c h i e v e d v i a v a n L e e r s

M U S C L a . k . a K a p p a s c h e m e

2 4

u s i n g n o d e a v e r a g e d

v a r i a b l e s a c c o r d i n g t o B a t i n a

9

o r F r i n k

2 5

w i t h M u l

d e r a n d v a n L e e r s c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e u x

l i m i t i n g .

2 6

T h i s p r o v i d e s g l o b a l s e c o n d o r d e r s p a t i a l a c

c u r a c y f o r a l l u x f u n c t i o n s e x c e p t t h e H L L E u x f u n c

t i o n w h i c h c a n n o t u s e h i g h e r o r d e r r e c o n s t r u c t i o n o f t h i s

f o r m .

F i r s t o r d e r t e m p o r a l a c c u r a c y i n a g l o b a l s e n s e i s

a c c o m p l i s h e d t h r o u g h f o r w a r d E u l e r t i m e s t e p p i n g w i t h

a n y o f t h r e e i m p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o n s c h e m e s

9

G a u s s

S e i d e l J a c o b i a n d P o i n t J a c o b i o r t h e e x p l i c i t M

S t a g e R u n g e K u t t a t i m e s t e p p i n g s c h e m e o f T u r k e l

S c h m i d t a n d J a m e s o n .

2 7

F o r t h i s s t u d y t h e c o d e w a s a p p l i e d t o a t r a n s i e n t

l a r g e a m p l i t u d e m o t i o n a t a f a i r l y l o w M a c h n u m b e r

r e p r e s e n t i n g a s i g n i c a n t d e p a r t u r e f r o m c a s e s w h i c h t h e

c o d e w a s o r i g i n a l l y i n t e n d e d . D u e t o t h i s n e w d e m a n d

i n g a p p l i c a t i o n a g r i d s t u d y a n d a t i m e s t e p s t u d y w i l l

b e p r e s e n t e d .

T h e f o l l o w i n g d e f a u l t s w e r e u s e d f o r t h e c o m p u t e d

r e s u l t s i n t h i s s t u d y u n l e s s o t h e r w i s e n o t e d R o e s u x

d i e r e n c e s p l i t t i n g a n e i g e n v a l u e l i m i t e r t h r e s h o l d v a l u e

o f 0 . 3 s e c o n d o r d e r u x r e c o n s t r u c t i o n u s i n g a o f 0 . 5

a n d G a u s s S e i d e l i m p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o n w i t h a C F L

n u m b e r o f o n e m i l l i o n .

C o e c i e n t D e n i t i o n s

D e s c r i b i n g t h e a e r o d y n a m i c s o f t h e V T V L v e h i c l e

d u r i n g t h e p i t c h o v e r m a n e u v e r r e q u i r e s s p e c i c a t i o n o f

t h e f o r c e a n d m o m e n t c o e c i e n t s a s a f u n c t i o n o f a n g l e

o f a t t a c k . T h e a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s n o r m a l f o r c e

C

N

a x i a l f o r c e C

A

a n d p i t c h i n g m o m e n t C

m

a r e d e

n e d r e l a t i v e t o t h e v e h i c l e s s t a b i l i t y a x e s a s s h o w n i n

F i g u r e 3 a . T h e n o r m a l f o r c e c o e c i e n t C

N

i s p o s i t i v e

i n t h e z d i r e c t i o n w h i l e t h e a x i a l f o r c e c o e c i e n t C

A

i s

d e n e d p o s i t i v e i n t h e x d i r e c t i o n . U s i n g t h e r i g h t h a n d

r u l e c r o s s i n g t h e z a x i s i n t o t h e x a x i s g i v e s t h e p o s i t i v e

o r i e n t a t i o n f o r t h e p i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t C

m

. T h e

r e m a i n i n g a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s s i d e f o r c e C

Y

a n d

y a w i n g m o m e n t C

n

a r e d e n e d a s s h o w n i n F i g u r e 3 b .

+CN

+CA

+Cm

Flow

z

x

+

a N o r m a l a n d a x i a l f o r c e s p i t c h i n g m o m e n t .

+CY

+Cn

Flow

y

x

+

b S i d e f o r c e a n d y a w i n g m o m e n t .

F i g u r e 3 O r i e n t a t i o n o f f o r c e a n d m o m e n t

c o e c i e n t s .

A p o s i t i v e r o l l i n g m o m e n t C i s g i v e n b y t h e r i g h t h a n d

r u l e a b o u t t h e x a x i s .

F o r t h i s v e h i c l e t h e s t a b i l i t y a x e s l o c a t e d a t t h e

c e n t e r o f g r a v i t y w a s g i v e n a s 4 . 3 8 8 5 0 0 . T h e r e f e r

e n c e l e n g t h f o r t h e m o m e n t c o e c i e n t s i s t h e b a s e r a d i u s

1 . 1 2 a n d t h e r e f e r e n c e a r e a f o r a l l t h e n o n d i m e n s i o n a l

c o e c i e n t s u s i n g t h e b a s e r a d i u s i s 3 . 9 4 .

P i t c h R a t e S c h e d u l e

T h e p i t c h s c h e d u l e c h o s e n f o r t h i s s t u d y i s s h o w n i n

F i g u r e 4 . T h e m a n e u v e r i s t h e r s t h a l f o f a s i n e f u n c

t i o n . T h e v e h i c l e i s a s s u m e d t o b e i n s t e a d y i g h t a t

1 7 . 5 d e g r e e s a n g l e o f a t t a c k M a c h 0 . 2 . A t t i m e z e r o

t h e v e h i c l e b e g i n s t h e p i t c h o v e r m a n e u v e r r e a c h i n g a

m a x i m u m p i t c h r a t e e x a c t l y h a l f w a y t h r o u g h t h e m a

n e u v e r a n d n i s h i n g a t a 1 8 0 d e g r e e a n g l e o f a t t a c k . F o r

t h i s s t u d y t h e t i m e t o c o m p l e t e t h e m a n e u v e r T

f

w a s

c h o s e n a s 9 0 s e c o n d s g i v i n g a m a x i m u m r o t a t i o n r a t e

o f 3 . 1 d e g r e e s p e r s e c o n d a t 4 5 s e c o n d s t h r o u g h t h e m a

n e u v e r . F o r s i m p l i c i t y i t i s a s s u m e d t h a t t h e f r e e s t r e a m

M a c h n u m b e r 0 . 2 r e m a i n s c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e m a

n e u v e r .

3



5/12

0

30

60

90

120

150

180

,

deg

Tf

0 Tf/4 Tf/2 3Tf/4

Time

a A n g l e o f a t t a c k .

0

1

2

3

4

Tf

0 Tf/4 Tf/2 3Tf/4

Time

deg/s

,.

b P i t c h r a t e .

-0.16

-0.08

0.00

0.08

0.16

Time

..,

deg/s2

Tf/4 3T

f/4 Tf

c P i t c h a c c e l e r a t i o n .

F i g u r e 4 D e n i t i o n o f p i t c h o v e r m a n e u v e r .

R e s o l u t i o n S t u d i e s

S i n c e t h i s i s t h e r s t t i m e t h e 3 D 3 U c o d e h a s b e e n

r u n t o p r e d i c t a t r a n s i e n t m o t i o n b o t h a g r i d c o n v e r

g e n c e a n d t i m e s t e p c o n v e r g e n c e s t u d y w e r e p e r f o r m e d .

S p a t i a l

F i g u r e 5 r e p r e s e n t s s t e a d y r e s u l t s f o r a n a n g l e o f

a t t a c k r a n g e f r o m 0 t o 9 0 d e g r e e s u s i n g a c o a r s e a n d a

n e g r i d . A s a l l u d e d t o e a r l i e r t h e e e c t s o f g r i d r e s o

l u t i o n o n t h e s e p a r a t i o n l i n e s i s s i g n i c a n t . T h i s i s d u e

t o t h e f a c t t h a t t h i s i s a n i n v i s c i d s i m u l a t i o n a n d t h e

0 15 30 45 60 75 900.0

0.6

1.2

1.8

2.4

CN

, deg

Mesh 1S

Mesh 2S

a N o r m a l f o r c e c o e c i e n t .

0 15 30 45 60 75 90-0.4

0.0

0.4

0.8

, deg

Mesh 1S

CA

Mesh 2S

b A x i a l f o r c e c o e c i e n t .

0 15 30 45 60 75 90-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

, deg

Mesh 1S

Cm

Mesh 2S

c P i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t .

F i g u r e 5 G r i d c o n v e r g e n c e s t u d y .

4



6/12

o n l y v i s c o s i t y p r e s e n t i s d u e t o t h e n u m e r i c d i s c r e t i z a

t i o n a n d a s t h e g r i d i s r e n e d t h e a m o u n t o f n u m e r i c a l

v i s c o s i t y d e c r e a s e s y i e l d i n g a m o r e n e a r l y i n v i s c i d s o

l u t i o n . S i n c e t h e o w t a k e s l o n g e r t o s e p a r a t e o n t h e

r e n e d g r i d d u e t o l e s s n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n t h e f o r c e

c o e c i e n t s a r e l o w e r e d d u e t o t h e s m a l l e r a r e a o f l o w

p r e s s u r e s e p a r a t e d o w o n t h e l e e w a r d p o r t i o n s o f t h e

v e h i c l e .

A s t h e g u r e c l e a r l y s h o w s t h e s o l u t i o n i s n o t g r i d

c o n v e r g e d b y a n y m e a s u r e . T h e q u e s t i o n o f g r i d c o n v e r

g e n c e o f a n i n v i s c i d s o l u t i o n f o r a o w p r o b l e m i n v o l v i n g

s e p a r a t e d o w d o e s n o t h a v e a t r u e a n s w e r s i n c e t h e g o v

e r n i n g e q u a t i o n s a r e n o t c o r r e c t . W i t h o u t m o d e l i n g t h e

N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d c a n a n d

s h o u l d o n l y b e u s e d q u a l i t a t i v e l y .

T e m p o r a l

F i g u r e 6 s h o w s e e c t o f s u c c e s s i v e l y r e n i n g t h e

t i m e s t e p . T h e t h r e e t i m e s t e p s c h o s e n w e r e 1 6 0 t h

1 1 2 0 t h a n d 1 2 4 0 t h o f a s e c o n d . T h e 1 1 2 0 t h d a t a i s

t h e u n m a r k e d l i n e b o u n d e d b y t h e 1 6 0 t h a n d 1 2 4 0 t h

l i n e s o n l y d i s g u i s h a b l e a r o u n d 4 5 d e g r e e s a n g l e o f a t

t a c k . S i n c e t h e t i m e s t e p p i n g s c h e m e i s f o r m a l l y r s t

o r d e r a c c u r a t e a n d t h e c o d e w a s r u n i n a n i m p l i c i t t i m e

s t e p p i n g m o d e a s i g n i c a n t e e c t w a s e x p e c t e d f o r v a r i

a t i o n o f t h e t i m e s t e p b u t a s F i g u r e 6 s h o w s t h e o n l y

e e c t o c c u r r e d i n t h e 3 0 t o 6 0 d e g r e e a n g l e o f a t t a c k

r a n g e o f t h e m a n e u v e r . T h i s i m p l i e s t h a t e x c e p t f o r t h a t

r e g i o n t h e i n i t i a l t i m e s t e p c h o s e n w a s s m a l l e n o u g h t o

r e s o l v e t h e o w i n a g l o b a l s e n s e . T h e t i m e d e p e n d e n t

r e s u l t s p r e s e n t e d w e r e c o m p u t e d u s i n g t h e 1 2 4 0 t h s e c

o n d t i m e s t e p a n d a r e c o n s i d e r e d t o b e t e m p o r a r i l y c o n

v e r g e d .

30 60 90 120 150 1800.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

t=1/240s

t=1/60s

CN

, deg

F i g u r e 6 T i m e s t e p c o n v e r g e n c e s t u d y n o r m a l f o r c e

c o e c i e n t f o r v a r i o u s t i m e s t e p s M e s h 1 F .

R e s u l t s

S t e a d y F l o w

A s a m e a n s t o e x a m i n e t h e u n s t e a d y e e c t s o f t h e

p i t c h o v e r m a n e u v e r i t s e l f s t e a d y o w a t s e l e c t e d a n g l e s

o f a t t a c k w e r e c o m p u t e d . F i g u r e 7 s h o w s a c o m p a r i s o n

o f t w o a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s w i t h t h e e x p e r i m e n t a l

d a t a o f W o o d s

1 0

f o r a n g l e s o f a t t a c k f r o m 0 t o 6 0 d e

g r e e s . T h e c o m p u t e d r e s u l t s a g r e e w e l l a t s m a l l a n g l e s

o f a t t a c k a n d d i v e r g e f r o m t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a s

t h e a n g l e o f a t t a c k i n c r e a s e s d u e t o t h e d i e r e n t p o s i t i o n

o f t h e l e e s i d e s e p a r a t i o n l i n e a v i s c o u s p h e n o m e n o n . A s

d i s c u s s e d e a r l i e r s i n c e t h e c o m p u t e d r e s u l t s a r e m o d e l

i n g i n v i s c i d o w t h e o n l y m e c h a n i s m f o r o w s e p a r a t i o n

i s t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n t h e s c h e m e . T h u s t h e

e x a c t l o c a t i o n o f t h e c o m p u t e d s e p a r a t i o n l i n e i s h i g h l y

g r i d a n d s c h e m e d e p e n d e n t . S i n c e t h e l e e s i d e s e p a r a t i o n

l i n e r u n s a l m o s t t h e e n t i r e l e n g t h o f t h e v e h i c l e a s l i g h t

d e v i a t i o n c a n m a k e a l a r g e d i e r e n c e i n t h e i n t e g r a t e d

c o e c i e n t s .

0 10 20 30 40 50 600.0

0.8

1.6

2.4

, deg

Computed

Experiment

CN


0 10 20 30 40 50 600.0

0.4

0.8

, deg

Computed

Experiment

Cm

b P i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t .

F i g u r e 7 C o m p a r i s o n o f s t e a d y r e s u l t s w i t h

e x p e r i m e n t o f W o o d s .

1 0

5



7/12

U n s t e a d y F l o w

F i g u r e 8 c o m p a r e s a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s f r o m

b o t h s t e a d y a n d u n s t e a d y c a l c u l a t i o n s . T h e s o l i d l i n e

r e p r e s e n t s t h e u n s t e a d y r e s u l t s a n d t h e s y m b o l s a r e

30 60 90 120 150 1800.0

0.6

1.2

1.8

2.4

CN

, deg

Steady

Unsteady


30 60 90 120 150 180-1.5

-0.5

0.5

1.5

, deg

Steady

Unsteady

CA

b A x i a l f o r c e c o e c i e n t .

30 60 90 120 150 180

-1.5

-0.5

0.5

1.5

, deg

Steady

Unsteady

Cm

c P i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t .

F i g u r e 8 C o m p a r i s o n o f s t e a d y a n d u n s t e a d y

a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s .

t h e s t e a d y o w r e s u l t s . R e c a l l F i g u r e 4 f o r t h e p i t c h

r a t e s a n d a c c e l e r a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o e a c h a n g l e o f

a t t a c k . R e a d i l y d i s c e r n i b l e i s t h a t t h e s t e a d y a n d u n

s t e a d y a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s a r e s i g n i c a n t l y d i e r

e n t . T h e p i t c h i n g m o m e n t c o e c i e n t a p p e a r s t o h a v e

t h e l e a s t q u a n t i a b l e d e v i a t i o n w h e r e a s t h e u n s t e a d y

a x i a l f o r c e c o e c i e n t h a s a c o m p l e t e l y d i e r e n t q u a l i t a

t i v e p a t t e r n t h a n t h a t f o r q u a s i s t e a d y o w . T h e n o r m a l

f o r c e c o e c i e n t a p p e a r s t o h a v e t h e t i m e l a g b e h a v i o r e x

p e c t e d i n m o d e r a t e l y u n s t e a d y o w s h o w i n g t h e s a m e

g e n e r a l q u a l i t a t i v e t r e n d t h r o u g h o u t t h e a n g l e o f a t t a c k

r a n g e b u t w i t h t h e u n s t e a d y r e s u l t s l a g g i n g b e h i n d t h e

s t e a d y r e s u l t s .

A s a m e t h o d o f m o r e c l o s e l y e x a m i n i n g t h e i n t e

g r a t e d a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s b e h a v i o r c o e c i e n t o f

p r e s s u r e c o n t o u r s a r e s h o w n i n F i g u r e 9 . T h i s g u r e

s h o w s c o n t o u r s o n t h e v e h i c l e a n d o n t h e p i t c h p l a n e f o r

s e v e r a l a n g l e s o f a t t a c k . T h e s t e a d y r e s u l t s a r e s h o w n

o n t h e l e f t a n d t h e i n s t a n t a n e o u s u n s t e a d y r e s u l t s a r e

s h o w n o n t h e r i g h t . M o s t n o t a b l e i s t h e s i d e o f t h e v e h i

c l e s f o r e b o d y t h e u n s t e a d y c a s e h a s c o n s i s t e n t l y h i g h e r

p r e s s u r e s t h a n t h e s t e a d y c a s e a t a l l a n g l e s o f a t t a c k .

A s i m i l a r t r e n d i s a l s o r e e c t e d i n t h e s y m m e t r y p l a n e

c o n t o u r s h e r e t h e u n s t e a d y c a s e h a s a g e n e r a l l y h i g h e r

p r e s s u r e w h e r e t h e v e h i c l e i s r o t a t i n g i n t o t h e o n c o m i n g

o w w i t h a m o r e s e v e r e e x p a n s i o n i n t h e b a s e r e g i o n a s

c o m p a r e d t o t h e s t e a d y r e s u l t s .

F l o w A s y m m e t r y

F i g u r e 1 0 s h o w s a c o m p a r i s o n b e t w e e n a s y m m e t

r i c a l l y m o d e l e d v e h i c l e a n d a f u l l y m o d e l e d v e h i c l e f o r

a n a n g l e o f a t t a c k r a n g e b e t w e e n 2 0 a n d 6 0 d e g r e e s f o r

s t e a d y o w . A s b o r n e o u t b y t h e g u r e w i t h i n t h e a c c u

r a c y o f t h e c o m p u t a t i o n t h e r e a p p e a r t o b e n o a p p r e c i a

b l e a s y m m e t r i e s i n t h e s t e a d y o w . N o t e t h e e x p a n d e d

s c a l e s f o r t h e s i d e f o r c e a n d y a w i n g m o m e n t c o e c i e n t .

H o w e v e r f o r t h e u n s t e a d y c a s e a s y m m e t r i c o w

i s a p p a r e n t i n F i g u r e 1 1 . T h i s g u r e s h o w s d i e r e n c e s

b e t w e e n s y m m e t r i c v e h i c l e a n d f u l l v e h i c l e f o r u n s t e a d y

o w . F i g u r e 1 1 a l s o s h o w s t h e a p p e a r a n c e o f a s i d e f o r c e

y a w i n g m o m e n t a n d r o l l i n g m o m e n t p r e v i o u s l y r e p o r t e d

b y W o o d s

1 0

a l t h o u g h a t m u c h l o w e r o v e r a l l v a l u e s . I n

a d d i t i o n f o r t h i s s t u d y t h e m o s t s i g n i c a n t m a n i f e s t a

t i o n s o f t h e a s y m m e t r i e s o c c u r i n t h e 9 0 t o 1 3 5 d e g r e e

a n g l e o f a t t a c k r a n g e w h e r e a s t h e m o s t p r o n o u n c e d d i f

f e r e n c e s i n t h e n o r m a l f o r c e c o e c i e n t o c c u r i n t h e 3 0 t o

6 0 d e g r e e r a n g e . N o t e W o o d s

1 0

d i d n o t p e r f o r m t e s t s

a b o v e 6 0 d e g r e e s a n g l e o f a t t a c k f o r t h i s g e o m e t r y a n d

o w c o n d i t i o n .

C o n c l u d i n g R e m a r k s

T h e o b j e c t i v e o f t h e p r e s e n t w o r k w a s t o f o c u s

a n u n s t e a d y C F D m e t h o d o n t h e p r o b l e m o f p r e d i c t

6



8/12


9/12


10/12

20 30 40 50 600.8

1.2

1.6

2.0

CN

, deg

Full vehicle

Symmetric vehicle


20 30 40 50 60-0.04

-0.02

0.00

, deg

CY

Full vehicle

Symmetric vehicle

b S i d e f o r c e c o e c i e n t .

20 30 40 50 600.0

0.4

0.8

, deg

CA

Full vehicle

Symmetric vehicle

c A x i a l f o r c e c o e c i e n t .

20 30 40 50 60-0.01

0.00

0.01

, deg

Full vehicle

Symmetric vehicle

Cn

d Y a w i n g m o m e n t c o e c i e n t .

F i g u r e 1 0 S t e a d y a s y m m e t r i e s i n t h e o w .

i n g V T V L v e h i c l e a e r o d y n a m i c s d u r i n g t h e p i t c h o v e r

m a n e u v e r . T h i s w a s a c c o m p l i s h e d t h r o u g h t h e u s e o f

t h e i n v i s c i d 3 D 3 U c o d e w i t h u n s t r u c t u r e d g r i d s . E v e n

t h o u g h t h e s i m u l a t i o n w a s p e r f o r m e d u s i n g a n i n v i s c i d

o w s o l v e r p r e d i c t i o n s f o r s t e a d y s t a t e c a s e s a g r e e d w i t h

e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a t t h e l o w a n g l e s o f a t t a c k . A s e

r i e s o f s t e a d y s o l u t i o n s a t d i s c r e t e p o i n t s i n t h e m a n e u v e r

w e r e c o m p u t e d a n d i t w a s s h o w n t h a t e v e n f o r t h e u n r e

a l i s t i c a l l y s l o w p i t c h o v e r r a t e s t u d i e d u n s t e a d y e e c t s

w e r e l a r g e . M o r e i m p o r t a n t l y t h e r o t a t i o n m a n e u v e r

a p p e a r s t o c r e a t e o w a s y m m e t r i e s l e a d i n g t o y a w i n g

m o m e n t s r o l l i n g m o m e n t s a n d s i d e f o r c e s w h i c h a r e n o t

s i g n i c a n t i n t h e q u a s i s t e a d y c a s e .

A s t h i s i s a n e x p l o r a t o r y s t u d y t h e r e i s c e r t a i n l y

r o o m f o r f u t u r e w o r k . T h e f o l l o w i n g i s j u s t a h a n d f u l

o f e x t e n s i o n s w h i c h w o u l d b e n e c e s s a r y t o c r e a t e a n e f

f e c t i v e d e s i g n t o o l i n c o r p o r a t i n g v i s c o u s e e c t s a l l o w

i n g m o v a b l e c o n t r o l s u r f a c e s c o u p l i n g a s i x d e g r e e o f

f r e e d o m r i g i d b o d y d y n a m i c s s o l v e r a d d i n g c o n t r o l l a w

a n d p o s s i b l y i n c o r p o r a t i n g g r i d a d a p t i v e c a p a b i l i t i e s .

A c k n o w l e d g m e n t s

T h a n k s a r e e x t e n d e d t o S c o t t W a r d a n d J o h n C o p

p e r o f M c D o n n e l l D o u g l a s S p a c e S y s t e m s C o m p a n y

H u n t i n g t o n B e a c h C a l i f o r n i a f o r p r o v i d i n g t h e c o n c e p t

g e o m e t r y u s e d i n t h i s s t u d y .

D r . N e i l C h e a t w o o d o f V i g y a n H a m p t o n V i r g i n i a

p r o v i d e d t h e s u r f a c e g e o m e t r y p a t c h d e n i t i o n w h i c h

w a s u s e d a s i n p u t f o r t h e u n s t r u c t u r e d g r i d g e n e r a t i o n

a n d D r . R a m a d a s P r a b h u o f L o c k h e e d E n g i n e e r i n g a n d

S c i e n c e s C o r p o r a t i o n H a m p t o n V i r g i n i a g e n e r a t e d t h e

u n s t r u c t u r e d s u r f a c e a n d v o l u m e g r i d s w h i c h u s i n g t h e

F E L I S A p a c k a g e .

1 3

T h a n k s a r e a l s o e x t e n d e d t o D r . J o h n B a t i n a

D r . N e a l F r i n k D r . R o b e r t M i t c h e l t r e e a n d R o b e r t

S c o t t o f N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r H a m p t o n V i r

g i n i a a s w e l l a s t o D r . D i m i t r i M a v r i p l i s o f I C A S E

H a m p t o n V i r g i n i a a n d D r . R u s s R a u s c h o f L o c k h e e d

9



11/12

30 60 90 120 150 1800.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Full vehicle

CN

, deg

Symmetric


30 60 90 120 150 180-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

, deg

CY

Full vehicle

Symmetric

b S i d e f o r c e c o e c i e n t .

30 60 90 120 150 180-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

, deg

Cn

Symmetric

Full vehicle

c Y a w i n g m o m e n t c o e c i e n t .

30 60 90 120 150 180-0.004

0.000

0.004

0.008

0.012

0.016

, deg

Symmetric

Full vehicle

Cl

d R o l l i n g m o m e n t c o e c i e n t .

F i g u r e 1 1 U n s t e a d y a s y m m e t r i e s i n t h e o w .

E n g i n e e r i n g a n d S c i e n c e s C o r p o r a t i o n H a m p t o n V i r

g i n i a f o r t h e i r h e l p f u l d i s c u s s i o n s t h r o u g h o u t t h i s s t u d y .

R e f e r e n c e s

1

B e k e y I . P o w e l l R . a n d A u s t i n R . N A S A S t u d

i e s A c c e s s t o S p a c e A e r o s p a c e A m e r i c a M a y 1 9 9 4

p p . 3 8 4 3 .

2

D o r n h e i m M . A . N A S A A w a r d s R L V C o n

t r a c t s A v i a t i o n W e e k S p a c e T e c h n o l o g y J u n e 2 7

1 9 9 4 p p . 2 2 2 3 .

3

A u s t i n R . E . a n d C o o k S . A . S S T O R o c k

e t s S t r e a m l i n i n g A c c e s s t o S p a c e A e r o s p a c e A m e r i c a

N o v e m b e r 1 9 9 4 p p . 3 4 3 8 .

4

D o r n h e i m M . A . D C X D e m o n s t r a t e s K e y M a

n e u v e r A v i a t i o n W e e k S p a c e T e c h n o l o g y J u l y 2 7

1 9 9 5 p p . 5 6 5 9 .

5

D a v i d L . D C X C o m p l e t e s P i v o t T e s t O v e r

W h i t e S a n d s S p a c e N e w s V o l . 6 N o . 2 7 J u l y 1 0 1 6

1 9 9 5 p p . 1 2 0 .

6

D o r n h e i m M . A . D C X H o l d s P r o m i s e B i g Q u e s

t i o n s R e m a i n A v i a t i o n W e e k S p a c e T e c h n o l o g y A u

g u s t 2 8 1 9 9 5 p p . 5 6 5 9 .

7

O L e a r y C . O . W e i r B . a n d W a l k e r J . M . A

N e w R i g f o r t h e M e a s u r e m e n t o f R o t a r y a n d T r a n s l a

t i o n a l D e r i v a t i v e s I C A S 9 4 3 . 4 . 1 S e p t e m b e r 1 9 9 4 . I n

1 9 t h C o n g r e s s o f t h e I n t e r n a t i o n a l C o u n c i l o f t h e A e r o

n a u t i c a l S c i e n c e s I C A S P r o c e e d i n g s .

8

E d w a r d s J . W . a n d M a l o n e J . B . C u r r e n t

S t a t u s o f C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s f o r T r a n s o n i c U n

s t e a d y A e r o d y n a m i c s a n d A e r o e l a s t i c A p p l i c a t i o n s i n

A G A R D C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s T r a n s o n i c U n s t e a d y

A e r o d y n a m i c s a n d A e r o e l a s t i c i t y n o . 5 0 7 p p . 1 1 1 2 4

M a r c h 1 9 9 2 .

9

B a t i n a J . T . I m p l i c i t U p w i n d S o l u t i o n A l g o

r i t h m s f o r T h r e e D i m e n s i o n a l U n s t r u c t u r e d M e s h e s

A I A A J o u r n a l V o l . 3 1 N o . 5 M a y 1 9 9 3 p p . 8 0 1 8 0 5 .

S e e a l s o A I A A P a p e r 9 2 0 4 4 7 .

1 0

W o o d s W . C . a n d M e r s k i N . R . A e r o d y n a m i c

1 0



12/12

C h a r a c t e r i s t i c s o f a V e r t i c a l T a k e o V e r t i c a l L a n d i n g

V T V L S i n g l e S t a g e t o O r b i t V e h i c l e f r o m M 0 . 1 t o

1 0 A I A A P a p e r 9 5 1 8 2 8 1 9 9 5 .

1 1

S t e i n b r e n n e r J . P . C h a w n e r J . R . a n d F o u t s

C . L . T h e G R I D G E N 3 D M u l t i p l e B l o c k G r i d G e n e r a

t i o n S y s t e m W r i g h t R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t C e n t e r

R e p o r t W R D C T R 9 0 3 0 2 2 O c t o b e r 1 9 8 9 .

1 2

S a m a r e h A b o l h a s s a n i J . G r i d T o o l A S u r f a c e

M o d e l i n g a n d G r i d G e n e r a t i o n T o o l i n P r o c e e d i n g s o f

t h e W o r k s h o p o n S u r f a c e M o d e l i n g G r i d G e n e r a t i o n

a n d R e l a t e d I s s u e s i n C F D S o l u t i o n s V o l . C P 3 2 9 1

p p . 8 2 1 8 3 1 N A S A M a y 1 9 9 5 .

1 3

P e r a i r e J . M o r g a n K . a n d P e i r o J . U n s t r u c

t u r e d F i n i t e E l e m e n t M e s h G e n e r a t i o n a n d A d a p t i v e

P r o c e d u r e s f o r C F D i n A G A R D C o n f e r e n c e P r o c e e d

i n g s A p p l i c a t i o n o f M e s h G e n e r a t i o n t o C o m p l e x 3 D

C o n g u r a t i o n s n o . 4 6 4 p p . 1 8 . 1 1 8 . 1 2 1 9 9 0 .

1 4

K e n n o n S . R . M e y e r i n g J . M . B e r r y C . W . a n d

O d e n J . T . G e o m e t r y B a s e d D e l a u n a y T e t r a h e d r a l

i z a t i o n a n d M e s h M o v e m e n t S t r a t e g i e s f o r M u l t i B o d y

C F D A I A A P a p e r 9 2 4 5 7 5 A u g u s t 1 9 9 2 .

1 5

Y o s h i n a g a T . T a t e A . a n d S e k i n e H . S i d e

F o r c e o f B l u n t e d C i r c u l a r C y l i n d e r s a t H i g h A n g l e s o f

A t t a c k i n S u p e r s o n i c F l o w A I A A P a p e r 9 4 3 5 2 0 A u

g u s t 1 9 9 4 . I n A I A A A t m o s p h e r i c F l i g h t M e c h a n i c s C o n

f e r e n c e P r o c e e d i n g s .

1 6

C o b l e i g h B . R . H i g h A n g l e o f A t t a c k Y a w i n g

M o m e n t A s y m m e t r y o f t h e X 3 1 A i r c r a f t f r o m F l i g h

T e s t A I A A P a p e r 9 4 1 8 0 3 J u n e 1 9 9 4 . I n 1 2 t h A I A A

A p p l i e d A e r o d y n a m i c s C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s .

1 7

D u s i n g D . W . a n d O r k w i s P . D . O n C o m p u t i n g

V o r t e x A s y m m e t r i e s A b o u t C o n e s a t A n g l e o f A t t a c k

U s i n g t h e C o n i c a l N a v i e r S t o k e s E q u a t i o n s A I A A P a

p e r 9 3 3 6 2 8 A u g u s t 1 9 9 3 . I n A I A A A t m o s p h e r i c F l i g h t

M e c h a n i c s C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s .

1 8

F i s h e r D . F . a n d C o b l e i g h B . R . C o n t r o l

l i n g F o r e b o d y A s y m m e t r i e s i n F l i g h t E x p e r i e n c e w i t h

B o u n d a r y L a y e r T r a n s i t i o n S t r i p s A I A A P a p e r 9 4

1 8 2 6 J u n e 1 9 9 4 . I n 1 2 t h A I A A A p p l i e d A e r o d y n a m i c s

C o n f e r e n c e P r o c e e d i n g s .

1 9

N e w s o m e R . W . a n d K a n d i l O . A . V o r t i c a l F l o w

A e r o d y n a m i c s P h y s i c a l A s p e c t s a n d N u m e r i c a l S i m u

l a t i o n A I A A P a p e r 8 7 0 2 0 5 J a n u a r y 1 9 8 7 .

2 0

R o e P . L . A p p r o x i m a t e R i e m a n n S o l v e r s P a

r a m e t e r V e c t o r s a n d D i e r e n c e S c h e m e s J o u r n a l o f

C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s V o l . 4 3 O c t o b e r 1 9 8 1 p p . 3 5 7

3 7 2 .

2 1

L i o u M . S . a n d C h r i s t o p h e r J . S t e e n J . A N e w

F l u x S p l i t t i n g S c h e m e N A S A T M 1 0 4 4 0 4 M a y 1 9 9 1 .

2 2

v a n L e e r B . F l u x V e c t o r S p l i t t i n g f o r t h e E u

l e r E q u a t i o n s L e c t u r e N o t e s i n P h y s i c s N o . 1 7 0 J u l y

1 9 8 2 p p . 5 0 7 5 1 2 .

2 3

E i n f e l d t B . M u n z C . D . R o e P . L . a n d S j o g r e e n

B . O n G o d u n o v T y p e M e t h o d s n e a r L o w D e n s i t i e s

J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s N o . 9 2 F e b r u a r y

1 9 9 1 p p . 2 7 3 2 9 5 .

2 4

v a n L e e r B . T o w a r d s t h e U l t i m a t e C o n s e r v a

t i v e S c h e m e . V . A S e c o n d O r d e r S e q u e l t o G o d u n o v s

M e t h o d J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s V o l . 3 2

1 9 7 9 p p . 1 0 1 1 3 6 .

2 5

F r i n k N . T . P a r i k h P . a n d P i r z a d e h S . A

F a s t U p w i n d S o l v e r f o r t h e E u l e r E q u a t i o n s o n T h r e e

D i m e n s i o n a l U n s t r u c t u r e d M e s h e s A I A A P a p e r 9 1

0 1 0 2 J a n u a r y 1 9 9 1 .

2 6

M u l d e r W . A . a n d v a n L e e r B . E x p e r i m e n t s

w i t h I m p l i c i t U p w i n d M e t h o d s f o r t h e E u l e r E q u a

t i o n s J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s V o l . 5 9 1 9 8 5

p p . 2 3 2 2 4 6 . S e e a l s o A I A A P a p e r 8 3 1 9 3 0 . .

2 7

J a m e s o n A . S c h m i d t W . a n d T u r k e l E . N u

m e r i c a l S o l u t i o n s o f t h e E u l e r E q u a t i o n s b y F i n i t e

V o l u m e M e t h o d s U s i n g R u n g e K u t t a T i m e S t e p p i n g

S c h e m e s A I A A P a p e r 8 1 1 2 5 9 J u n e 1 9 8 1 .

1 1


Aerodynamic Characteristics of an Aerospace Vehicle During a Subsonic Pitch-Over Maneuver

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