ADVANCED CONTROL

Ali KarimpourAssociate Professor

Ferdowsi University of Mashhad

ADVANCEDADVANCED CONTROL CONTROL

Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

lecture 3

Dr. Ali Karimpour Nov 2013

2

Lecture 3

Basic Idea of Basic Idea of Linear Algebra-Part IILinear Algebra-Part IITopics to be covered include: Functions of Square Matrix.

Lyapunov Equation.

Some Useful Formula.

Quadratic Form and Positive Definiteness.

Singular Value Decomposition.

Norm of Matrices

lecture 3


3

آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید

محاسبه تو�ابع ماتریس مربعی• چند جمله ای مینیمال و معادله مشخصه•

A چند جمله ای های معادل بر روی طیف ماتریس •

معادله لیاپانوف و حل آن• ماتریس متقارن و فرم مربعی و ماتریس متعامد•

ماتریس مثبت/منفی معین• تجزیه مقادیر تکین • محاسبه فضای رنج و پوچ از تجزیه مقادیر تکین •

نرم ماتریسی •

• Calculation of Function of Square Matrix

• Cayley-Hamilton Theorem

• Equal Polynomials on the Spectrum of A

• Lyapunov Equation and its Solution

• Symmetric Matrix and Quadratic Form and Orthogonal Matrix

• Matrix and PD/ND Matrix

• Singular Value Decomposition

• Null Space and Range Space From SVD

• Norm of Matrices

قضیه کیلی همیلتون•• Minimal Polynomials and Characteristic Polynomials

lecture 3


4

Function of Square Matrix

62)( 23 f IAAAf 62)( 23 چند جمله ای از ماتریس های مربعی

ماتریس های بلوکی

2

1

00A

AA

2

2

212

00

AAA

k

kk

AA

A2

1

00

)(00)(

)(2

1

AfAf

Af

فرم جردن

AQQAQAQA 11 ˆ,ˆ

1111 ˆˆ...............ˆˆ QAQQAQQAQQAQA kk

QAfQAfQAQfAf )()ˆ(,)ˆ()( 11

و در حالت کلی

lecture 3


5

400110

1201A

و تبدیل مربوطه داده A و فرم قطری ماتریس Aماتریس : 1-3مثال شده است.


0031010112

Q

100010004

ˆ 1AQQA

246مطلوبست: 312 AAA

1246246 ˆ3ˆ12ˆ312 QAAAQAAAمی دانیم:

16000160007216

100010004

3100010004

12100010004

ˆ3ˆ12ˆ2

2

2

4

4

4

6

6

6

246 AAA

721600240016028800016

0031010112

16000160007216

0031010112

312

1

246 AAA

lecture 3


6


چند جمله ای مونیک:

چند جمله ای مینیمال:

چند جمله ای مشخصه:

چندجمله ای چند جمله ای که ضریب بزرگترین درجه آن برابر یک باشد نامیده می شود. مثالمونیک

5312 246

آن را برابر ماتریس Aچند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریس چند جمله ای مینیمالصفر کند نامیده می شود. A ماتریس

عبارتست از: nn با ابعاد Aچند جمله ای مشخصه ماتریس in

iiAI )()( nn

ii

)(

lecture 3


7


آن را برابر صفر کند Aچند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریس محاسبه چند جمله ای مینیمال: ماتریس چند جمله ای مینیمال

A )نامیده می شود.)با توجه به خاصیت نیل پوتنت


iiAI )()( nn

ii

inii)()( nnn

ii

ii

در معادله مشخصه خود Aماتریس )قضیه کیلی همیلتون(: 1-3قض�یه صادق است.

اثبات:)()()()( hin

ii

0)(.0)()()( AhAhAA

lecture 3


8


محاسبه چند جمله ای مینیمال:


iiAI )()( nn

ii

inii)()( nnn

ii

ii

مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمال : 2-3مثال ماتریسهای زیر

2

1

1

1

1

00000000010000100001

)

AI

)()()()( 24

1 inii

AI

)()()()( 24

1 inii

2

1

1

1

1

00000000000000100001

)

AII

)()()()( 24

1 inii

AI

)()()()( 23

1 inii

lecture 3


9




iiAI )()( nn

ii

inii)()( nnn

ii

ii

مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای )ادامه(: 2-3مثال مینیمال ماتریسهای زیر

2

1

1

1

1

00000000010000000001

)

AIII

)()()()( 24

1 inii

AI

)()()()( 22

1 inii

2

1

1

1

1

00000000000000000001

)

AIV

)()()()( 24

1 inii

AI

)()()()( 22

1 inii

lecture 3


10




iiAI )()( nn

ii

inii)()( nnn

ii

ii

2

1

1

1

1

00000000000000000000

)

AV

)()()()( 24

1 inii

AI

))(()()( 21 inii

مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای )ادامه(: 2-3مثال مینیمال ماتریسهای زیر

lecture 3


11


را در نظر بگیرید. nn با ابعاد A و ماتریس f(λ)چند جمله ای دلخواه را به صورت مقابل بیان نمود. f(λ) می توان

)()()()( hqf

داریم: f(A)حال برای محاسبه

)()()()( AhAAqAf

حال با توجه به قضیه کیلی همیلتون:

)()(0).()( AhAhAqAf

بر روی f(λ) معادل h()نکته مهم: چند جمله ای ؟h()نکته: درجه نامیده میشود؟Aطیف

)()( AhAf

؟h()نکته: محاسبه

lecture 3


12


)()()()( hqf

دارای مقادیر ویژه غیر تکراری A برای حالتی که ماتریس h()محاسبه است.

011

1 ...)()()(

nnqf

در رابطه فوق داریم:Aبا قرار دادن مقادیر ویژه

0111

11111 ...)()()(

nnqf 011

1111 ...)(

n

nf

0211

21222 ...)()()(

nnqf 021

1212 ...)(

n

nf

......................................................

011

1 ...)()()( n

nnnnnn qf 01

11 ...)(

nn

nnnf

مجهول داریم:n معادله nپس از حل

.....................................

0121 ,...,,, nn

lecture 3


13

Function of Square Matrix دارای مقادیر ویژه تکراری A برای حالتی که ماتریس h()محاسبه

است.

1

110....)(

n

nh

minlhf iil

il ,...,2,1 and 1,...,1,0for )()(

محاسبه می شود.h() مجهول زیر ضرایب مجهول n معادله nپس از حل

با معادله مشخصه زیر nn با ابعاد A و ماتریس f(λ)معادله : 2-3قض�یه را در نظر بگیرید.

m

i in

i

m

innwherei

11)()(

A بر روی طیف f(λ) و معادلn-1 از درجه h()چند جمله ای بصو�رت زیر تعریف میشود.

که در این رابطه:l

ll

l

ll

dhdh

dfdf

)()(,)()(

)()(و نهایتا: AhAf

lecture 3


14

21

10A

A100.مطلوبست محاسبه : 3-3مثال


f(λ)=λ100.فرض کنید

محاسبه شود.Aحال باید مقادیر ویژه 12

211

)( 2

AIA 121

را بصورت زیر در نظر بگیریم:h()حال باید 10)( h

10100)1()1()1( hf

199)1(100)1()1( hf

عبارتست از:h()حال 10099)( h

10110010099

2110

1001001

99100A

lecture 3


15

301010200

A eAtمطلوبست محاسبه : 4-3مثال


f(λ)=eλt.فرض کنید

محاسبه شود.Aحال باید مقادیر ویژه )2()1()( 2 AIA 2,1 321

2 را بصورت زیر در نظر بگیریم:h()حال باید 210)( h

210)1()1( tehf

21 2)1()1( ttehf

عبارتست از:f(A)حال

tttt

t

tttt

At

eeeee

eeeeAAIe

22

22

2

210

2000

2202....

2102 42)2()2( tehf

tt ete 20 2

ttt eete 21 223

ttt eete 22

lecture 3


16

311010220

A eAtمطلوبست محاسبه : 5-3مثال



محاسبه شود.Aحال باید مقادیر ویژه )2()1()( 2 AIA 2,1 321

2 را بصورت زیر در نظر بگیریم:h()حال باید 210)( h

210)1()1( tehf

21 2)1()1( ttehf

عبارتست از:f(A)حال

ttttt

t

ttttt

At

eeteeee

eeteeeAAIe

22

22

2

210

200

2222....

2102 42)2()2( tehf

tt ete 20 2

ttt eete 21 223

ttt eete 22

مقایسه با مثال قبل!

lecture 3


17

1

1

1

1

000100010001

ˆ

A



عبارتست از:Aمقادیر ویژه 14321

3 را بصورت زیر در نظر بگیریم:h()حال باید 13

212110 )()()()( h

0111 )()()( fhf

)(000!1/)()(00!2/)(!1/)()(0!3/)(!2/)(!1/)()(

)ˆ(

1

11

1

12

11

1

13

12

11

1

ffffffffff

Af

tAeمطلوبست محاسبه : 6-3مثال ˆ

111

11

11 )()()( fhf

212

12

12 2)()()( fhf 31

31

31

3 6)()()( fhf

t

tt

ttt

tttt

tA

eteeetteeetettee

e

1

11

111

1111

00000

!2/0!3/!2/

2

32

ˆ

lecture 3


18

2

2

1

1

1

00001000000000100001

A


حال با توجه به مثال قبل داریم:

مطلوبست محاسبه : 7-3مثال -1A)-(sIوAte

t

tt

t

tt

ttt

tA

etee

eteeettee

e

2

22

1

11

111

0000000

000000000!2/2

2

222

1

211

31

211

1

10000

11000

00100

00110

00111

)(

s

ss

s

ss

sss

AsI

lecture 3


19


...)(سری نمایی:!

...!2

122

Inttte

nnt

...!

...!2

22

nn

At AntAttAIe

Ateخواص مهم

در رابطه فوق Aبا قرار دادن داریم:

Ie 0 2121 )( AtAtttA eee

AtAt ee 1 AeAeedtd AtAtAt

و خاصیت خیلی مهم:

مطلوبست اثبات چهار خاصیت فوق(I)با کمک رابطه : 1-3تمرین

BtAttBA eee )( ولی در حالت خاص:........

lecture 3


20


...سری نمایی:!

...!2

122

nttte

nnt

...!

...!2

22

nn

At AntAttAIe

در رابطه فوق Aبا قرار دادن داریم:

می دانیم:)1(

!

k

k

sktL

پس: ...... 12321 nnAt AsAsAsIseL

با قدری ساده سازی داریم:

1)( AsIeL At 11 )( AsILeAt

lecture 3


21

Lyapunov Equation

معادله مقابل را در نظر بگیرید.

CMBAM mmnn

mnmn

معادلهnmاین معادله، معادله لیاپانوف نام دارد و در واقع دارای ( می باشد.M مجهول )درایه های ماتریس nmو

yx A

یادآوری:

1

1

mnm

n

معادله لیاپانوف نیز بصورت زیر قابل نمایش است:

CMBAM

mmnn

mnmn

),,( CBAlyapM حل معادله لیاپانو�ف:

lecture 3


22

Lyapunov Equation

yxمعادله خطی جبری: A

یافت شود که v نام دارد اگر بردار غیر صفر A مقدار ویژه اسکالر

CMBAM

mmnn

mnmn

معادله لیاپانوف:

lecture 3


23

Some Useful Formula

)(),(min)( BAAB

)()()( DAAAC

است در این صورت nm ماتریس Bو A ، mnفرض کنید )det()det( BAIABI nm

n

m

n

m

n

m

IBAI

PIB

IQ

IAI

N0

0

)det()det()det()det( PQPNPP )det()det()det()det( BAIQPNPABI nm

ماتریسهای مربعی هستند در این صورتB و Aفرض کنید

ماتریسهای مربعی دلخواه غیر منفرد D و Cفرض کنید هستند

برای اثبات فرض کنید :

lecture 3


24

Quadratic Form and Orthogonal Matrix

24

1, MMIMM TT

ماتریسهای متقارن و فرم مجذوری )مربعی( و ماتریس متعامد )یکانی(

نامیده ( symmetric)متقارن: یک ماتریس 1-3تعریف می شو�د اگر ترانهاده آن

ماتریس با خودش برابر باشد. یعنی:

nnRM

TMM xTMx عبارت x و هر بردار M : برای یک ماتریس متقارن2-3تعریف

نامیده می شود.فرم مجذوری )مربعی( نامیده ( orthogonal)متعامد: یک ماتریس 3-3تعریف

می شود اگر تمام ستونهای آن متعامد یکه باشند. در این ماتریسها:

nnRM

lecture 3


25

Quadratic Form and Positive Definiteness

25

Q، یک ماتریس متعامد Mبرای هر ماتریس حقیقی متقارن : 3-3قض�یه وجو�د دارد بگونه ای که:

MQQDorQDQM TT حقیقی بوده M، یک ماتریس قطری است که مقادیر ویژه Dماتریس قرار دارد و Dو بر روی قطر

می باشد.M هم بردارهای ویژه Qستونهای

اثبات: است پس M، تبدیل همانندی ماتریس Dواضح است که ماتریس

برای اثبات قضیه کافی است نشان دهیم که حقیقی است -بردار ویژه توسعه یافته نداریم M-مقادیر ویژه متعامد استQو -ماتریس

است پسM مقادیر ویژه فرض کنید vMv vvMvv ** vvMvv ** حقیقی

حقیقی است نشان دهید برای یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه : 4-3تمرین

توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل به فرم قطری می تواند متعامد باشد.

lecture 3


2626

positive)مثبت معین : یک ماتریس متقارن 4-3تعریف ماتریسهای معینdefinite ) نامیده می شود

(M>0)اگر برای هر داشته باشیم

nnRM nRxRxMxT


negative)منفی معین : یک ماتریس متقارن 5-3تعریف definite ) نامیده می شود

(M<0)اگر برای هر داشته باشیم

nnRM nRxRxMxT

مثبت نیمه معین : یک ماتریس متقارن 6-3تعریف (positive semi definite )

اگر برای هر داشته باشیم(M≥0)نامیده می شود

nnRM nRx 0 RxMxT

منفی نیمه معین : یک ماتریس متقارن 7-3تعریف (negative semi definite )

اگر برای هر داشته باشیم(M0)نامیده می شود

nnRM nRx

0 RxMxT

lecture 3


27


27

( مثبت نیمه معین، مثبت معین )Mماتریس حقیقی متقارن : 4-3قض�یه است اگر و فقط اگر هر کدام از

شرایط زیر برقرار باشد.

( باشد.مثبت یا صفر، مثبت )Mتمام مقادیر ویژه ماتریس - 1

مثبت یا ، مثبت )Mتمام کهادهای یا ماینورهای اصلی مقدم ماتریس - 2( باشد.صفر

M=NTN وجود داشته باشد که nn با ابعاد Nماتریس غیر منفرد- 3 با mn با ابعاد N و یا ماتریس nn با ابعاد Nماتریس غیر منفرد)

m<n وجو�د داشته باشد کهM=NTN )

lecture 3


28


28

: 5-3قض�یه است اگر و n دارای رتبه m ≥ n و فرض mn، با ابعاد Hماتریس - 1

که بعد HTHفقط اگر ماتریس nn دارد دارای رتبه n بوده یا det(HTH)≠0

است اگر و m دارای رتبه m n و فرض mn، با ابعاد Hماتریس - 2 که بعد HHTفقط اگر ماتریس

mm دارد دارای رتبه m بوده یا det(HHT)≠0

اثبات: قسمت اول را اثبات می کنیم و قسمت دوم بصورت مشابه اثبات

می شود. واضح است که باید در طرف قض�یه اثبات شود یعنی نشان دهیم:

nHnHHI T )()()(

nHHnHII T )()()(

وحود v نباشد پس بردار غیر صفر n مساوی Hفرض کنیم رتبه دارد به قسمی که:

0Hv 0 HvH T تناقض

وحود v نباشد پس بردار غیر صفر n مساوی HTHفرض کنیم رتبه دارد به قسمی که:

0HvH T 0 HvHv TT تناق)(0ض 2

2 HvHvHv T 0 Hv

lecture 3


29

Singular Value Decomposition (SVD)

HUYM

000S

0........21 r

r

S

...00......0...00...0

2

1

],......,,[],,......,,[ 2121 ml uuuUyyyY

و Rlm در اینصورت ماتریس MClmفرض کنید که : 6-3قض�یه YCllماتریسهای یکانی که

وجود دارد به قسمی که:UCmmو که

ها عبارتست از.......................iکه در رابطه فوق

عبارتست از.......................Yستونهای ماتریس عبارتست از.......................Uستونهای ماتریس

lecture 3


30

Singular Value Decomposition (SVD)

824143121

M

H

M

27.055.079.053.077.035.080.033.050.0

.000053.400077.9

.17.034.092.0

51.077.038.085.053.004.0

79.035.050.0

1u 11 77.992.038.004.0

77.9 yMu

55.077.033.0

2u 22 53.434.077.053.0

53.4 yMu

27.053.080.0

3u Has no affect on the output or 03 Mu

مطلوبست تجزیه مقادیر تکین ماتریس مقابل: 8-3مثال

عبارتست از.......................Mفض�ای رنج ماتریس عبارتست از.......................Mفض�ای پوچ ماتریس

lecture 3


31

Norm of vectors

iiax

1 For p=1 we have 1-norm or sum norm

2/12

2

iiaxFor p=2 we have 2-norm or euclidian norm

iiax max

For p=∞ we have ∞-norm or max norm

1

1

pax

pp

iip

p-norm is:

lecture 3


32

Norm of matrices

Sum matrix norm (extension of 1-norm of vectors) is: ji

ijsumaA

,

Frobenius norm (extension of 2-norm of vectors) is:2

,

jiijF

aA

Max element norm (extension of max norm of vectors) is: ijjiaA

,maxmax

نرم برداری را می توان به ماتریسها هم گسترش داد.

lecture 3


33

Induced matrix norm

BAAB .

pxipAxA

p 1max

یک نرم برای ماتریسها نرم ماتریسی نامیده می شود اگر دارای خاصیت زیر باشد:

نرم القایی بصورت زیر تعریف می شود:

هر نرم القایی نرم ماتریسی است.

lecture 3


34

Matrix norm for matrices

i

ijjxiaAxA maxmax

1111

Maximum column sum

jijixi

aAxA maxmax1

Maximum row sum

pxipAxA

p 1max

)()()(maxmax max12

2

121222

AAAx

AxAxA

xxi

در رابطه نرم القایی داریم:p=1با فرض

در رابطه نرم القایی داریم:p=با فرض

در رابطه نرم القایی داریم:p=2با فرض

lecture 3


35

Exercisesتمرینها

...!

...!2

122

nttte

nnt

روابط زیر را اثبات کنید.

Ie 0 2121 )( AtAtttA eee AtAt ee 1 AeAeedtd AtAtAt

با کمک رابطه: 1-3تمرین

نشان دهید در یک ماتریس مربعی با مقادیر ویژه مجزا، : 3-3تمرین بردارهای ویژه از هم مستقل هستند. )راهنمایی: اثبات با برهان خلف و

نشان دهید برای یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه : 4-3تمرین تشکیل ( توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل به فرم قطری می تواند متعامد

باشد. )راهنمایی: اثبات با برهان خلف(

n

kiin vIAIA

12 ))....((

lecture 3


36


بردار x بوده و A مقدار ویژه ماتریس λنشان دهید اگر : 5-3تمرین بوده و f(A) مقدار ویژه ماتریس f(λ)ویژه متناظر آن باشد در اینص�ورت

x .بردار ویژه متناظر آن است

نشان دهید توابع یک ماتریس خاصیت جابجایی دارد یعنی:: 6-3تمرین f(A)g(A)=g(A)f(A)

فرض کنید : 7-3تمرین . eB=C بگونه ای که Bمطلوبست تعیین

وجود ندارد.B باشد آنگاه λi=0نشان دهید که اگر

3

2

1

000000

C

حال فرض کنید

000001

C . آیا درست است که برای eB=C بگونه ای که Bمطلوبست تعیین

eB=C وجود دارد که B غیر منفرد ماتریس Cهر

متقارن باشد رابطه بین مقادیر ویژه و مقادیر Aاگرماتریس : 8-3تمرین (A=A2تکین چیست؟ )راهنمایی: در ماتریسهای متقارن داریم:

lecture 3


37


:9-3تمرین

:10-3تمرین

برای ماتریسهای زیر9-3تکرار : 11-3تمرین

lecture 3


38


:12-3تمرین

:13-3تمرین

:14-3تمرین

نشان دهید که::15-3تمرین

lecture 3


39

Answers to selected problems

:11-3پاسخ تمرین



ADVANCED CONTROL

Documents

Transcript of ADVANCED CONTROL