Advanced con 22014 - Personal...

Ali KarimpourAssociate Professor

Ferdowsi University of Mashhad

ADVANCEDADVANCEDCONTROLCONTROL

Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

lecture 2

Dr. Ali Karimpour Mar 2014

2

Lecture 2

Basic Idea of Basic Idea of Linear AlgebraLinear Algebra--Part IPart ITopics to be covered include:

Basis, Representation, and Orthonormalization.

Linear Algebraic Equations.

Similarity Transformation.

Diagonal and Jordan Form.

lecture 2


3

آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزیدRnبعدي - nفضاي برداري حقیقی •

استقالل خطی و وابستگی خطی •پایه هاي یک فضاي خطی و نرم •نرمال متعامدو متعامد بردارهاي •جبري خطی معادالت •فضاي پوچ، رتبه و پوچیفضاي رنج، •همانندي تبدیالت •بردار ویژه و بردار ویژه توسعه یافته •جردنو فرم مودالفرم قطري، فرم فرم کانونی، •

• n-dimensional Real Vector Space Rn

• Linearly Dependent and Linearly Independent

• Basis of a Linear Space and Norm • Orthogonal Vectors and Orthonormal Vectors

• Linear Algebraic Equations

• Range Space, Null Space, Rank and Nullity

• Similarity Transfomation

• Eigenvectors and Generalized Eigenvector

• Canonical Form, Diagonal Form, Modal Form and Jordan Form پوتنتو مقادیر ویژه، خاصیت نیل دترمینالارتباط •

• Determinant and Eigenvalues and nilpotent property

lecture 2


4

n-dimensional real vector space Rn

Rx

x

xx

i

n

2

1

x

Rnبعدي -nحقیقی برداري اعضاي فضاي

Rnبعدي -nحقیقی برداري خاصیت مهم فضاي

nn RRandR 2121 ,, xxxx مثال بعنوان

31

1

1x

05.25.0

2x 321

21175

47 R

xx

lecture 2


5


Rnبعدي - nحقیقی برداري وابستگی خطی در فضاي

نه تماما صفراگر مجموعه اندوابسته خطی Rnدر فضاي x1 ،x2 ، ....xm بردارهايمجموعه : 1-2تعریف 1 ،2 ،.... ،m یافت شود که

0....2211 mmxxx

داده شده بردارهاياگر رابطه فوق تنها براي برقرار باشد در اینصورت .می باشندمستقل خطی

0....21 m

lecture 2


6


؟ چرا؟اندزیر مستقل خطی بردارهايآیا : 1-2مثال


201

010

201

010

000

........وجود بردار صفر در هر مجموعه بردار : نکته

lecture 2


7


وابسته خطی بردارهايخاصیت جالب

0...2211 nnxxx

:وابسته باشند قطعا یک ضریب مخالف صفر است لذا بردارهااگر

ni

n

iii xxxx

...22

11

lecture 2


8


. است nبرابر Rnمستقل در فضاي بردارهايحداکثر تعداد :نکته مهم


01

1x

.زیر مستقل خطی نیستند یکی را بر حسب مابقی نمایش دهید بردارهاياگر : 4-2مثال

15

2x

32

3x

01

1x

15

2x

32

3x

lecture 2


9


Rnبرداري پایه هاي یک فضاي

را بتوان Rnپایه نامیده می شود اگر هر بردار Rnیک مجموعه بردار مستقل خطی در : 2-2تعریف . توسط پایه ها نمایش داد بفرديمنحصر بصورت

می باشد؟ چرا؟ R2مقابل پایه هاي فضاي بردارهايآیا : 5-2مثال

01

15

می باشد؟ چرا؟ R2مقابل پایه هاي فضاي بردارهايآیا : 6-2مثال

01

10

...............پایه هاي یک فضاي برداري : نکته

چرا؟. می باشد Rnپایه هاي Rnبردار مستقل خطی در nهر : نکته

lecture 2


10

Norms

RRn:.

0 xifonly and if 0x andR x,0x Positivity 1 n

R and x,xy Homogeneit 2 nRx

Ry x,,yx inequality Triangle 3 n yx

.نیاز داریم نرمبه مفهوم Rnبرداري براي سنجش اندازه یک بردار در یک فضاي .یک عدد حقیقی غیر منفی نسبت می دهد Rn بردارياست که به هر عضو یک فضاي تابعینرم

.نرم بایستی داراي خواص زیر باشد

lecture 2


11

Norm of vectors

iiax

1 For p=1 we have 1-norm

2/12

2

iiaxFor p=2 we have 2-norm or euclidian norm

iiax max

For p=∞ we have ∞-norm

1

1

pax

pp

iip

p-norm is:

lecture 2


12

Norm of vectors

21-1

Let x

2)2,1,1max(x

6211xThen

4)211(x 222

2

1

1x2

1x 1

1x

lecture 2


13

Orthogonal and Orthonormal Vectors

یکه متعامدو متعامد بردارهاي . نامیده می شود اگر نرم دو آن بردار برابر یک باشدنرمال یا یکه یک بردار : 3-2تعریف

مقابل یکه است؟ بردارهايکدام یک از : 7-2مثال

01

1x

15

2x

؟متعامدندمقابل بردارهايآیا : 8-2مثال

6.08.0

1x

8.0

6.02x

6.08.0

3x

x1نامیده می شود اگر متعامد x2و x1دو بردار : 4-2تعریف Tx2=0

x1نامیده می شود اگر یکه متعامد x2و x1دو بردار : 5-2تعریف Tx2=0 و هر دو بردار یکه باشند.

lecture 2


14

Orthonormal lization

)اشمیترویه (یکه از مجموعه بردار مستقل خطی متعامدساخت مجموعه بردار

11111 /, uuqeu

12122 )( qeqeu

222 / uuq

23213133 )()( qeqqeqeu

333 / uuq

lecture 2


15

Orthonormal lization

.زیر را بیابید بردارهايبا متناظر متعامد بردارهاي: 9-2مثال

21

62

lecture 2


16

Linear Algebraic Equation

:در یک بردار ماتریسمفهوم ضرب یک

51

35

010

3421

25

32

504112

301xA

Aیعنی چگونگی ترکیب ستونهاي xدر بردار A ماتریسضرب .معین می کند xبردار المانهايرا Aچگونگی ترکیب ستونهاي

:ماتریسمفهوم ضرب یک بردار در یک 24236312

242631

32

ATz

A سطرهايیعنی چگونگی ترکیب A ماتریسدر zبردار ترانهادهضرب

.معین می کند zبردار المانهايرا A سطرهايچگونگی ترکیب

lecture 2


17


در این بخش به مطالعه رابطه زیر می پردازیمyx A

mnmnnm RRAorA :: 11 yx

: A ماتریسفضاي رنج

.نامند Aرا رتبه A ماتریسحداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضاي رنج

: A ماتریسفضاي پوچ

.نامند Aرا پوچی A ماتریسحداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضاي پوچ

)(A

)(AN

lecture 2


18


.را تعیین کنید A ماتریسپنج عضو فضاي رنج ) الف

.مقابل را در نظر بگیرید ماتریس: 10-2مثال

.را تعیین کنید A ماتریسرتبه ) ب

.را تعیین کنید A ماتریسپنج عضو فضاي پوچ ) ج

.را تعیین کنید A ماتریسپوچی ) د

020243212110

A

000

210

021

231

4104

.است 2برابر A ماتریسرتبه

0000

01

11

1020

010

1010

11

31

.است 2برابر A ماتریسپوچی

lecture 2


19


.می باشد A ماتریس، بعد فضاي رنج و یا حداکثر تعداد ستون مستقل A ماتریسرتبه

.می باشد A ماتریس، بعد فضاي رنج و یا حداکثر تعداد سطر مستقل A ماتریسرتبه : نکته مهم

: پس

A ماتریسحداکثر تعداد ستون مستقل = A ماتریسحداکثر تعداد سطر مستقل

.باشد mn ماتریسیک Aفرض کنید : نکته مهم

nANA )()(

.باشد mn ماتریسیک Aفرض کنید : نکته مهم

},min{)( nmA

lecture 2


20


: 1- 2قضیه در معادله n1با ابعاد xیک جواب m1با ابعاد yو بردار mnبا ابعاد A ماتریسبراي -1

Ax=yباشد یعنی Aدر فضاي رنج yوجود دارد اگر و فقط اگر

(A)=([A y])

در n1با ابعاد xیک جواب m1با ابعاد yهر بردار براي mnبا ابعاد A ماتریسبراي -2معادله

Ax=y)رتبه کامل سطري. (باشد mداراي رتبه Aوجود دارد اگر و فقط اگر

lecture 2


21


پارامتري بصورتتمام جوابها : 2- 2قضیه یک جواب معادله xp، فرض کنید m1با ابعاد yو بردار mnبا ابعاد A ماتریسبراي

Ax=y(k=n-(A))باشد kبرابر Aباشد و فرض کنید پوچی

kkp nnnxx ...2211

. مستقل فضاي پوچ می باشد بردارهايها niها دلخواه بوده و iکه

.است بفردمنحصر xpدر اینصورت جواب داده شده (k=0)باشد nداراي رتبه Aاگر

معادله جوابهايدر اینصورت تمام (k>0)باشد nداراي رتبه کمتر از Aاگر Ax=y

. از رابطه زیر بدست می آید

lecture 2


22


کلیه جوابها مطلوبستبراي سیستم مقابل : 11-2مثال

084

020243212110x

:واضح است که یک جواب معادله فوق عبارتست از

2000

px

:معادله فوق عبارتست از جوابهايو تمامی

1020

01

11

2000

21 x

lecture 2


23


.و معادله زیر را در نظر بگیرید A مربعی ماتریس: 3-2قضیه Ax=y

منفرد Aداراي جواب غیر صفر است اگر و فقط اگر Ax=0معادله همگن - 2

. است Aمستقل خطی برابر با پوچی جوابهايتعداد . باشد

داشته و بفردمعادله یک جواب منحصر غیر منفرد باشد در اینصورت Aاگر - 1. بدست می آید A-1yجواب از رابطه

lecture 2


24

Similarity Transformation

:نظر بگیریدبردار مستقل خطی را در nو nnبا ابعاد A ماتریس

.زیر محاسبه می شود بصورتتبدیل همانندي بوده و AA

lecture 2


25


,110

011

,010

102311201

321

qandqqA

بر حسب پایه هاي داده شده A ماتریستبدیل همانندي مطلوبست: 12-2مثال

01

0

1Aq

001

A

201

2Aq

201031

A

122

3Aq

120210131

A

lecture 2


26


,100

010

,001

102311201

321

qandqqA

بر حسب پایه هاي داده شده A ماتریستبدیل همانندي مطلوبست: 13-2مثال

211

1Aq

211

A

01

0

2Aq

0211

01A

132

3Aq

102311201

A

lecture 2


27


AqqqqqqA nnˆ

2121

AQAQ ˆ

1ˆ QAQA AQQA 1ˆ

lecture 2


28


100

134012123

bA

b, Ab, A2bبر حسب پایه هاي A ماتریستبدیل همانندي : 14-2مثال

AbAq 1

010

A

bAAq 22

100100

A

1310

5

3Aq

5101501

1700A

bAqAbqbq 2321 ,,

lecture 2


29


)ˆdet()( AI nnnnn

12

21

1 ....)(

121

1000

01000010

ˆ

nn

A

000100

010001

ˆ

1

2

1

n

n

A

010

00100001

ˆ

121

nn

A

lecture 2


30

Diagonal Form

.البته اگر مقادیر ویژه تکراري نباشد. پایه ها انتخاب شود بعنوان A ماتریسویژه بردارهايکافیست

lecture 2


31

Diagonal Form

تکراري نبوده Aاگر مقادیر ویژه A ماتریسویژه بردارهايو

. پایه ها انتخاب شود بعنوان:در اینصورت

:Aچگونگی محاسبه مقادیر ویژه 0)( AI

:Aدر صورت تکراري نبودن مقادیر ویژه nnn

nn ...,,,0...)( 2111

1

:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرچگونگی محاسبه بردار ویژه

00)(

i

ii

vvIA

lecture 2


32

v1, v2, …, vnبر حسب پایه هاي A ماتریستبدیل همانندي

111 vAv

0

0ˆ

1

A

222 vAv

00

00

ˆ 2

1

A

n

A

00

0000

ˆ 2

1

Diagonal Form

lecture 2


33

110201000

A را A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدر صورت امکان فرم قطري : 15-2مثال .قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرم

)()A:)1)(2ابتدا محاسبه مقادیر ویژه AI

:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه

12,0 321 and

0110201000

)(,0 1111

vvIA

112

1v

0110

221002

)(,2 2222

vvIA

110

2v

0210211001

)(,1 3333

vvIA

12

0

3v

111211

002][ 321 vvvQ

100020000

ˆ 1AQQA

Diagonal Form

lecture 2


34

0101340111

A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدرصورت امکان فرم قطري : 16-2مثال .قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا

)()A:)134)(1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI


j32,,1 321

01101350110

)(,11111

vvIA

002

1v

03210

133201133

)(,32 2222

v

jj

jvIAj

132

1

2 jv

11032320

112][ 321 jjvvvQ

jjAQQA

32000320001

ˆ 1

Diagonal Form

132

1*

23 jvv

lecture 2


35

0101340111

Aمودال بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس مودالفرم : 17-2مثال

.تبدیل می کند تعیین کنید

)()A:)134)(1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI


j32,,1 321

0110

1330110

)(,1 1111

vvIA

002

1v

03210

133201133

)(,32 2222

v

jj

jvIAj

132

1

2 jv

010320012

][ 321 vvvQ

230320001

ˆ 1AQQA

Modal Form

030

,121

32 vv

lecture 2


36

Jordan Form

تکراري نبوده Aاگر مقادیر ویژه A ماتریسویژه بردارهايو

. پایه ها انتخاب شود بعنوان:در اینصورت

تکراري باشد، Aاگر مقادیر ویژه :در اینصورت

lecture 2


37

400110

1201A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدر صورت امکان فرم قطري : 18-2مثال

.قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا

Jordan Form

)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI

:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه 11,4 321 and

0000130

1203)(,4 1111

vvIA

31

12

1v

001

2v

0031010112

][ 321 vvvQ

100010004

ˆ 1AQQA

0300100

1200)(,1 2222

vvIA

010

3v

lecture 2


38

400410321

A را A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدر صورت امکان فرم قطري : 19-2مثال .قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرم

Jordan Form

)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI

:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه 11,4 321 and

0000430323

)(,4 1111

vvIA

34

3/17

1v

001

2v ?3 v0300400320

)(,1 2222

vvIA

:می رسیم و لذا براي این فرم جردنفرم امکان قطري سازي نیست پس به به بردار ویژه توسعه یافته نیاز داریم

lecture 2


39

Diagonal Form

)(A:0چگونگی محاسبه مقادیر ویژه AI

:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرچگونگی محاسبه بردار ویژه

00)(

i

ii

vvIA

0)(0)( 2

ii

ii

vIAvIA

0)(

0)(2

3

ii

ii

vIAvIA

2چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه

3چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه

ii vv 2 21 )( iii vIAv

ii vv 3 32 )( iii vIAv 21 )( iii vIAv

lecture 2


40

400410321

Aقطري بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا : 19-2مثال

.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنیا

Jordan Form

)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه

11,4 321 and

0000430323

)(,4 1111

vvIA

34

3/17

1v

001

2v ?3 v0300400320

)(,1 2222

vvIA

0300400320

)(0900

12001700

)(,1 222222

22

vvIAvvIA

010

22v

lecture 2


41

400410321

Aقطري بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 19-2مثال

.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنیا

Jordan Form

)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه

11,4 321 and

0000430323

)(,4 1111

vvIA

34

3/17

1v

0300400320

)(0900

12001700

)(,1 22222

2

22

vvIAvvIA

010

223 vv

010

3v

002

)( 322 vIAv

003104023/17

][ 321 vvvQ

100110004

ˆ 1AQQA

lecture 2


42

205.05.0025.02.000200002

A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 20-2مثال

.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا

Jordan Form

)()A:4)2ابتدا محاسبه مقادیر ویژه AI

:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه 24321

0

005.05.0005.02.000000000

)(,2 1111

vvIA 224 kNullity

:دو حالت ممکن است رخ دهد 2حال با توجه به پوچی ][2یافتن دو بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ

][3یافتن یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ

lecture 2


43

205.05.0025.02.000200002



Jordan Form


0

005.05.0005.02.000000000

)(,2 1111

vvIA 224 kNullity

0000000000000000

)(

0000000000000000

)(

005.05.0005.02.000000000

)( 3

1

2

11 IAIAIA

یافتن بردار ویژه توسعه یافته •

0110

0023

42 vv

داریم 2نداریم ولی دو مرتبه 3بردار ویژه توسعه یافته مرتبه

lecture 2


44

205.05.0025.02.000200002



Jordan Form


2یافتن بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •

0110

0023

42 vv

5.05.0

00

)(

5.04.0

00

)( 413211 vIAvvIAv

2000120000200012

ˆ 1AQQA

05.005.015.004.010200030

][ 4321 qqqqQ

تعداد بلوك

متناظر-2با ؟=

lecture 2


45

A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 21-2مثال .تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا

Jordan Form

)()A:4)2ابتدا محاسبه مقادیر ویژه AI:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه

24321

224 kNullity

:دو حالت ممکن است رخ دهد 2حال با توجه به پوچی ][2یافتن دو بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ

][3یافتن یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ

20000200012041112

A

0

00000000010041110

)(,2 1111

vvIA

lecture 2


46

20000200012041112



Jordan Form


0

00000000010041110

)(,2 1111

vvIA 224 kNullity

0000000000000000

)(

0000000000000100

)(

00000000010041110

)( 31

211 IAIAIA

3یا 2یافتن بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •

داریم 3یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •

0500

3q

lecture 2


47

20000200012041112



Jordan Form


داریم 3یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •

0500

3q

005

55

)( 312 qIAq

0005

)( 211 qIAq

:پسq4=0(A-1I)و یاشدمستقل بردارهاآخرین بردار ویژه، این بردار باید از سایر محاسیهحال براي

1040

4q0

00000000010041110

)( 441

qqIA

2000020001200012

ˆ 1AQQA

تعداد بلوك

متناظر-2با ؟=

lecture 2


48

Determinant and Eigenvalues

AQQA 1ˆ

:آن جردنو فرم A ماتریسرابطه

AQAQQAQA ˆˆˆ 11

:آن جردنفرم دترمینالو A ماتریس دترمینال

:و مقادیر ویژه آنA ماتریس دترمینال

1ˆ QAQA

i

n

iA

1

lecture 2


49

Nilpotent Property

:جردندر مورد بلوك هاي پوتنتخاصیت نیل

0000100001000010

IJ

2000120001200012

J

:مقابل را در نظر بگیرید جردنبلوك

0000000010000100

2IJ

0000000000001000

3IJ

0000000000000000

4IJ

lecture 2


50

Exercises تمرینها.زیر را بیابید بردارهايبا متناظر متعامد بردارهاي: 1-2تمرین

202

,120

,210

:زیر بردارهايو نرم بینهایت 2و نرم 1نرم مطلوبست: 2-2تمرین

12

,210

ba

:زیر ماتریسهايپوچی و رتبه مطلوبست: 3-2تمرین

100022104321

011023114

100000010

321 AAA

lecture 2


51

Exercises تمرینها:زیر ماتریسهايپایه هاي فضاي رنج و پایه هاي فضاي پوچ مطلوبست: 4-2تمرین

100022104321

011023114

100000010

321 AAA

:معادله جبري زیر را در نظر بگیرید: 5-2تمرین

yx

101

213312

’y=[1 1 1]است؟ آیا براي بفردفوق وجود دارد؟ آیا جواب منحصر معادالتبراي xآیا یک جواب جواب وجود دارد؟

.معادله جبري زیر را بیابید جوابهايکلیه : 6-2تمرین

123

100022104321x

lecture 2


52

Exercises تمرینها.A3bو b ،Ab ،A2bبر حسب پایه هاي Aتبدیل همانندي مطلوبست: 7-2تمرین

.قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسفرم قطري : 8-2تمرین

300020

1041A

.قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسفرم قطري : 9-2تمرین

342100010

A

1100

1000020001200012

bA

lecture 2


53

Exercises تمرینهازیر بدون انجام محاسبه ماتریسهاي دترمینان مطلوبست: 10-2تمرین

300020001

2A

2000120001200012

1A

300020012

4A

3000130000200012

3A

ویژه از هم مستقل بردارهايبا مقادیر ویژه مجزا، مربعی ماتریسنشان دهید در یک : 11-2تمرین )اثبات با برهان خلف و تشکیل : راهنمایی. (هستند

n

kiin vIAIA

12 ))....((

lecture 2


54

Answers to selected problems

1و 0، 1 بترتیبو پوچی 3و 3، 2 بترتیبرتبه ها : 3- 2جواب داده شده yو بدون جواب براي x=[1 1]T بفردیک جواب منحصر : 5- 2جواب : 7- 2جواب

710018010

200018000

A

Advanced con 22014 - Personal...

Documents

Transcript of Advanced con 22014 - Personal...