add-m3-1-finished

คณิตศาสตร์เพิ�มเติม ชั�นมธัยมศึกษาปีที� 3

เล่ม 1

สารบัญ หนา

คํานําคําชี้แจงคําชี้แจงการใชคูมือครู กกําหนดเวลาสอนโดยประมาณ งบทท่ี 1 กรณฑท่ีสอง 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1แนวทางในการจัดการเรียนรู 2

1.1 สมบัติของ a เมื่อ a > 0 2จุดประสงค 2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 21.2 การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง 3

จุดประสงค 3 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3

1.3 การนําไปใช 3จุดประสงค 3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 4

บทท่ี 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม 11ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 11แนวทางในการจัดการเรียนรู 122.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง 12

จุดประสงค 12 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 12

ขอเสนอแนะในการจดักิจกรรมการเรียนการสอน 122.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ 13

จุดประสงค 13 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 13 ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 13

2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม 14จุดประสงค 14

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 14ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 14

2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช 16 ทฤษฎีบทเศษเหลือ 16


คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 18กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 23

บทท่ี 3 สมการกําลังสอง 33ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 33แนวทางในการจัดการเรียนรู 343.1 ทบทวนสมการกําลังสอง 34

จุดประสงค 34ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 34

3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ 34 จุดประสงค 34


3.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสอง 36จุดประสงค 36


คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 38กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ 42

บทท่ี 4 พาราโบลา 50ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 50

แนวทางในการจัดการเรียนรู 514.1 สมการของพาราโบลา 51


4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 52จุดประสงค 52

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 524.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 53


4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 55จุดประสงค 55

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 554.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 56

จุดประสงค 56 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 56

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 56คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 57กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 79

บทท่ี 4 พื้นท่ีผิวและปริมาตร 83ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 83

แนวทางในการจัดการเรียนรู 845.1 พื้นที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลม 84

จุดประสงค 84 เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม 84ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 84

5.2 การนําไปใช 87จุดประสงค 87


คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม 88กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ 97

คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

4

2. ตัวอยางที่ 4 ตองการใหนักเรียนเขาใจวิธีการคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทา นักเรียนอาจนําวิธีการนี้ไปใชคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมชนิดอื่น ๆ เมื่อนักเรียนเขาใจแลวอาจใหจดจําเปนสูตรไวใชได 3. กิจกรรม “ทําไดไหม” ตองการใหนักเรียนนําความรูจากตัวอยางที่ 4 มาใช โดยครูอาจแนะใหนักเรียนแบงรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาออกเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 6 รูปที่เรียงชิดติดกันและมีจุดยอดรวมกัน เพื่อที่นักเรียนจะสามารถคิดตอไปได 4. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” ตองการเนนใหนักเรียนฝกใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับกรณฑที่สองของจํานวนตรรกยะ เชนเดียวกับกิจกรรม “บอกไดไหม” ในหัวขอ 1.2 5. กิจกรรม “กรณฑที่สองของจํานวนจริง” ตองการใหนักเรียนฝกทักษะการสังเกตแบบรูปและการวิเคราะหความสัมพันธ ครูควรฝกใหนักเรียนรูจักสังเกต คิดและคนหาความสัมพันธจากแบบรูปที่หาได 6. กิจกรรม “วางอยางไร” ตองการใหนักเรียนฝกบูรณาการทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรเพื่อแกปญหาที่เปนนามธรรม ครูอาจใหนักเรียนอธิบายเหตุผลของคําตอบที่ไดดวย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ยังจําไดไหม”

1. 1) 6 และ -6 2) 14 และ -14

3) 50 และ - 50 4) 200 และ - 200 5) 9

4 และ - 94 6) 75

24 และ - 7524

7) 0.4 และ -0.4 8) 049.0 และ - 049.0 2. 1) 16 2) 625

3) 25681 4) 0.1296

5) 12 6) 73

7) 0.9 8) 0.16

5

คําตอบกิจกรรม “กรณฑท่ีสองของ a2 เปนเทาไร”

1. เทา 2. เทา 3. เทา 4. เทา 5. เทา 6. เทา 7. เทา 8. 111 9. เทา10. เทา

คําตอบแบบฝกหัด 1.1

1. 1) 11 2) 17 3) -35 4) -140 5) 112

25 6) 8471

7) 17519- 8) -0.08

9) 0.5a2 เมื่อ a > 0 10) 43yx 43

11) 105nm 2511 12) 0.25a8b12

2. 1) 33 2) 72-

3) 210 4) 315 5) 295 6) 615 7) 250 8) 260

3. 1) 9 2) 24 3) 100 4) 7 5) 2 6) 25

11

6

7) ⏐0.08a9⏐ 8) 14m22 เมื่อ m ≠ 0

4. 1) ประมาณ 4.242 2) ประมาณ -8.660

3) ประมาณ 12.726 4) ประมาณ 15.588 5) ประมาณ -1.928 6) ประมาณ 391.300

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม”ตัวอยางคําตอบ 1. จริง เพราะ 53 = 5 3 3 ⋅⋅ = 15 3 ⋅ และ

35 = 3 5 5 ⋅⋅ = 15 5 ⋅ แต 3 นอยกวา 5 จะได 53 < 35 2. ไมจริง เพราะ 85 = 83 + 82 เนื่องจาก 53 นอยกวา 83 และ

32 นอยกวา 82 ดังนั้น 53 + 32 นอยกวา 83 + 82จะได 53 + 32 ≠ 85

3. ไมจริง เพราะ 5 มากกวา 2 ดังนั้น 1 + 5 มากกวา 3จะได 1 + 5 > 3

4. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 32 นอยกวา 4 จะได 32 – 3 < 1 5. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 32 นอยกวา 2 × 2 หรือ 4 และ

33 นอยกวา 3 × 2 หรือ 6 จะได 32 + 33 < 10 6. จริง เพราะ 2 ≈ 1.4, 3 ≈ 1.7 และ 5 นอยกวา 2.5 จะได 2 + 3 ≈ 3.1 ซ่ึงมากกวา 5

จะได 2 + 3 > 5 7. ไมจริง เพราะ 57 – 56 = 5 และ 5 มากกวา 2

จะได 57 – 56 > 2 8. จริง เพราะ 35 – 34 = 3 ซ่ึงมากกวา 1 แต 35 – 24 มากกวา

35 – 34จะได 35 – 24 > 1

7

9. จริง เพราะ 3 + 5 ≈ 1.7 + 5 หรือ 6.7 และ 5 + 3 ≈ 2.2 + 3 หรือ 5.2จะได 3 + 5 > 5 + 3

10. จริง เพราะ 2 + 3 + 5 ≈ 1.4 + 1.7 + 2.2 หรือ 5.3

จะได 2 + 3 + 5 > 5

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก

1. 1) 215 2) 78

3) 32 4) 7- 5) 26 6) 53 7) 312 8) 512-

2. 1) 312 – 63

2) 219 – 52 3) 54 – 216 4) 58 35 +

5) 358 – 23 6) 645 + 28

คําตอบกิจกรรม “ชวยคิดหนอย”

227

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข

1. 1) 105 2) 1510

3) 150 4) 14 + 355 5) 12 + 636 6) 45

8

2. 1) 9 2) 90 3) 7

25- 4) -72 5) ⏐2y⏐ 6) x6 3. 1) ประมาณ 2.475 2) ประมาณ 4.330 3) ประมาณ 11.429 4) ประมาณ 0.490 4. 1) 11

51

2) 251-

5. 6

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”

233 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”

ตัวอยางคําตอบ 1. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 315 นอยกวา 15 × 2 หรือ 30

จะได 315 < 30 2. ไมจริง เพราะ 310 = 3 10 10 ⋅⋅ หรือ 30 10 ⋅ และ

103 = 10 3 3 ⋅⋅ หรือ 30 3 ⋅ แต 10 มากกวา 3จะได 310 > 103

3. จริง เพราะ 3 × 5 = 15 ซ่ึงนอยกวา 4จะได 3 × 5 < 5

4. ไมจริง เพราะ 25 × 34 = 620 จะได 25 × 34 ≠ 69

14

11

2

a2

9

5. จริง เพราะ 2 × 7 = 14 และ 3 × 5 = 15จะได 2 × 7 < 3 × 5

6. ไมจริง เพราะ 220 = 10 แต 10 มากกวา 9 หรือ 3

จะได 220 > 3

7. ไมจริง เพราะ 26 มากกวา 5 ดังนั้น 526 มากกวา 1

จะได 526 > 1

8. จริง เพราะ 214 = 2

214 หรือ 27

จะได 214 > 7

9. จริง เพราะ ตัวเศษของ 53 นอยกวาตัวเศษของ 3

5 และตัวสวนของ 53

มากกวาตัวสวนของ 35

จะได 53 < 3

5

10. จริง เพราะ 3 × 01.0 = 3 × 0.1 = 0.3 และ 01.03 = 1.0

3 = 30

จะได 3 × 01.0 < 01.03


1. 1) 21 หรือ -21 2) 3 หรือ -5 3) 16 4) 99 2. 13 หนวย 3. 72 หนวย 4. 65 หนวย 5. 2 เทา

10

6. ประมาณ 38.2 เมตร 7. ประมาณ 0.7746 เทา

คําตอบกิจกรรม “กรณฑท่ีสองของจํานวนจริง”

1 = 1 121 = 1 1 12321 = 1 1 1 1234321 = 1 1 1 1 123454321 = 1 1 1 1 1 11234565432 = 1 1 1 1 1 1 3211234567654 = 1 1 1 1 1 1 1 543211234567876 = 1 1 1 1 1 1 1 1

คําตอบที่ไดเปนจํานวนที่มีเลขโดดเปน 1 ทั้งหมด โดยจํานวนของ 1 เทากับเลขโดดที่มากที่สุดของจํานวนที่อยูในเครื่องหมายกรณฑ เชน 1234321 = 1111มีจํานวนของ 1 เปน 4 ซ่ึงเทากับ 4 ที่เปนเลขโดดที่มากที่สุดของ 1 2 3 4 3 2 1

คําตอบกิจกรรม “วางอยางไร”

1.

2. 40 หนวย

8

56 7

123

4

18

5. สําหรับกิจกรรม “ตัวปญหา” มีเจตนาสรางเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร ใหนักเรียนไดฝกทกัษะในการแยกตวัประกอบและไดตรวจสอบความถกูตองของคาํตอบดวยการเชือ่มโยงกบัสาํนวนไทย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. (x + 3 )(x – 3 ) 2. (x + 7 )(x – 7 ) 3. ( 52 + x)( 52 – x) 4. ( 23 + x)( 23 – x)

5. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 23 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 23 x 6. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 65 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 65 x

7. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 15 x 3

1⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 15 x 31 8. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 62 x 4

5⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 62 x 45

9. ( x 7 + 62 )( x 7 – 62 ) 10. (x – 1 + 6 )(x – 1 – 6 )11. (x + 3 + 10 )(x + 3 – 10 ) 12. (x – 2 + 33 )(x – 2 – 33 )13. ( 25 + x – 4)( 25 – x + 4) 14. ( 24 + x + 5)( 24 – x – 5)15. (2x + 3 + 62 )(2x + 3 – 62 ) 16. (3x – 2 + 132 )(3x – 2 – 132 )17. (5x – 1 + 34 )(5x – 1 – 34 ) 18. ( 26 + 4x + 3)( 26 – 4x – 3)


1. (x + 14)(x + 10) 2. (x + 33)(x – 17) 3. (x – 13)(x – 15) 4. (x + 5)(x – 31) 5. (x + 4 + 6 )(x + 4 – 6 ) 6. (x + 1 + 6 )(x + 1 – 6 ) 7. (x – 3 + 7 )(x – 3 – 7 ) 8. (x – 1 + 11 )(x – 1 – 11 )

9. (x + 5 + 62 )(x + 5 – 62 ) 10. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 25 7 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 25 7 x

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 25 9 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 25 9 x 12. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 233 5 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 233 5 x

13. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 25 11 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 25 11 x 14. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 213 7 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 233 7 x

15. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 233 9 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 233 9 x 16. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 265 15 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 265 15 x

19


1. (x + 7)(3x – 2) 2. (11x + 1)(x – 13) 3. (x – 5)(15x – 2) 4. -2(x + 3 + 11 )(x + 3 – 11 )

5. -3(x – 4 + 21 )(x – 4 – 21 ) 6. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 637 5 x 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 637 5 x

7. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 393 9 x 6 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 393 9 x 8. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 441 9 x 4 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 441 9 x

9. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 457 1 x 2- ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 457 1 x 10. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 213 5 x - ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 213 5 x

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 20129 17 x 10 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 20129 17 x 12. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 4173 13 x4 -

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 4173 13 x

คําตอบกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน”

1. (x – 5 )2 2. 2

21 x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

3. (x + 32 )2 4. 2

31 x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−


1. (x + 3)(x2 – 3x + 9) 2. (y + 4)(y2 – 4y + 16) 3. (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) 4. (4z + 5)(16z2 – 20z + 25) 5. (3x + 8y)(9x2 – 24xy + 64y2) 6. (x + 7)(x2 – 13x + 103) 7. (4x – 5)(7x2 – x + 13) 8. (7x – 4)(19x2 – 77x + 151) 9. (x – 1)(x2 + x + 1) 10. (z – 6)(z2 + 6z + 36)11. (5y – 4)(25y2 + 20y + 16) 12. (10 – 6x)(100 + 60x + 36x2)13. (11y – 7z)(121y2 + 77yz + 49z2) 14. (4x – 2)(16x2 + 44x + 49)15. (x – 11)(127x2 + 131x + 67) 16. (5x – 8)(97x2 – 383x + 379)

20


1. (x2 + 25)(x + 5)(x – 5) 2. (9y2 + 25)(3y + 5)(3y – 5) 3. (9x2 + 16y2)(3x + 4y)(3x – 4y) 4. (x2 + x + 2)(x2 – x + 2) 5. (y2 + 2y + 5)(y2 – 2y + 5) 6. (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8) 7. (y2 + 6y + 18)(y2 – 6y + 18) 8. (y + 1)(y – 1)(y2 – y + 1)(y2 + y + 1) 9. (2x + 3)(2x – 3)(4x2 – 6x + 9)(4x2 + 6x + 9) 10. (x + y)(x – y)(x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2)11. (x2 + 6)(x4 – 6x2 + 36) 12. (7x2 + 10z2)(49x4 – 70x2z2 + 100z4)13. (8 – y2)(64 + 8y2 + y4) 14. (6x2 – 3y2)(36x4 + 18x2y2 – 9y4)

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ค

1. (x + 1)(x – 1)2 2. (y + 2)(y – 1)(y2 + y +1) 3. (z – 4)(z2 + 5z + 16) 4. (y – 6)(y2 + 15y + 36) 5. (x + 3)(x2 – 8x + 9) 6. (x + 2y)(6x2 + 4y2) 7. x(x – 3)(x + 2)(x – 2) 8. (3x2 + y + 3)(3x2 – y – 3) 9. (2x2 – y + 11)(2x2 – y – 11) 10. (3x2 – y + 3)(3x2 – y – 3)11. (1 + x + y2)(1 – x – y2) 12. (x2 + 2y2 + 5)(x2 – 2y2 – 5)13. (x2 – a + z)(x2 – a – z) 14. (2x2 – a + y – b)(2x2 – a – y + b)


1. 1) 40 2) 3

3) 1 4) 38 5) -60 6) 0

2. 1) 121 2) -60

3) 85 4) 0 5) 14 6) 0 3. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x3 – 2x2 – 2x + 121 ดวย x + 2 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว

21

วิธีทํา ให P(x) = x3 – 2x2 – 2x + 12 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(-2) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x + 2 P(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 – 2(-2) + 12 = -8 – 8 + 4 + 12 = -16 + 16 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0

นั่นคือ x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว 4. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x4 – 23x2 + 18x + 40 ดวย x – 4 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 วิธีทํา ให P(x) = x4 – 23x2 + 18x + 40 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(4) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x – 4 P(4) = 44 – 23(4)2 + 18(4) + 40 = 256 – 368 + 72 + 40 = 368 – 368 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0 นั่นคือ x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 5. 1) (x – 1)(x – 3)(x – 4) 2) (x + 2)(x2 – 4x + 6)

3) (x – 5)(x + 2)(x + 3) 4) (x – 1)2(x + 6) 5) (x + 2)(x + 4)(x – 4) 6) (x – 4)(x2 + 3x + 1) 7) (x – 2)2(x + 3)2 8) (x – 4)(x + 5)(x – 3)2

9) (x – 5)(x + 5)(x + 3)(x – 3) 10) (x + 2)(x + 1)(x – 3)(x + 4)(x – 4)

คําตอบกิจกรรม “คา k เปนเทาใด”

1. -6 2. 59 3. -27 4. -6

22

คําตอบกิจกรรม “ตัวปญหา”

1. x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)2. x2 + 4x + 1 = (x + 2 – 3 )(x + 2 + 3 )3. 81x2 – 169 = (9x + 13)(9x – 13)4. 27x3 – 1 = (3x – 1)(9x2 + 3x + 1)5. x4 + 64 = (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8)6. x2 – 28x + 196 = (x – 14)2

7. x3 + x2 – x – 1 = (x + 1)2(x – 1)สํานวนนั้นคือ อยาเอาพิมเสนไปแลกกับเกลือ

23

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

24

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1. 3x2 + x [ x(3x + 1) ] 2. x – 2x2 [ x(1 – 2x) ] 3. 2x(x – 3) + 3(x – 3) [ (x – 3)(2x + 3) ] 4. 3(2x – 1)2 + 4(2x – 1) [ (2x – 1)(6x + 1) ] 5. x2 + 4x – 5 [ (x + 5)(x – 1) ] 6. 2x2 – 5x + 3 [ (2x – 3)(x – 1) ] 7. a2 – a – 2 [ (a – 2)(a + 1) ] 8. a2 + 6a + 9 [ (a + 3)2 ] 9. 4x2 – 4x + 1 [ (2x – 1)2 ]10. 4y2 – 20y + 25 [ (2y – 5)2 ]11. 14y2 + y – 3 [ (7y – 3)(2y + 1) ]12. p2 – 1 [ (p – 1)(p + 1) ]13. 4x2 – 32 [ (2x + 3)(2x – 3) ]14. 12a2 – 27 [ 3(2a – 3)(2a + 3) ]15. 81 – 49x2 [ (9 – 7x)(9 + 7x) ]16. 9x2 – 121 [ (3x – 11)(3x + 11) ]17. (2x – 1)2 – 4 [ (2x – 3)(2x + 1) ]18. (x – 3)2 – y2 [ (x – y – 3)(x + y – 3) ]

25


1. จงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ตัวอยาง x2 – 8x – 16 = x2 – 2(x)(4) + 42

16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2(4x)(3) + 32

a2 + 3a + 49 = a2 + 2(a)

32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 23

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4a2 – a34 + 9

1 = (2a)2 – 2(2a)13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 21

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) a2 + 6a + 9 = …………………….. [ a2 + 2(a)(3) + 32 ] 2) y2 – 10y + 25 = …………………….. [ y2 – 2(y)(5) + 52 ] 3) x2 – 18x + 81 = …………………….. [ x2 – 2(x)(9) + 92 ] 4) 4x2 + 8x + 4 = …………………….. [ (2x)2 + 2(2x)(2) + 22 ] 5) 4x2 – 20x + 25 = …………………….. [ (2x)2 – 2(2x)(5) + 52 ] 6) 100x2 – 20x + 1 = …………………….. [ (10x)2 – 2(10x) + 12 ]

7) y2 + 5y + 425 = …………………….. [ y2 + 2(y)

52

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 25

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

8) a2 – 7a + 449 = …………………….. [ a2 – 2(a)

72

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 27

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

9) 41 a2 – 3a + 9 = …………………….. [

21a2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 21

a2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(3) + 32]

10) 2516 y2 + 8y + 25 = …………………….. [

24y5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 24

y5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(5) + 52 ]

26

2. จงเติมพจนในชองวางเพื่อทําใหพหุนามตอไปนี้เปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ แลวแยกตัวประกอบ ตัวอยาง x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 – 14x + 49 = (x – 7)2

a2 + 5a + 425 =

25a 2+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) x2 + ……….. + 25 = …………………… [ 10x, (x + 5)2 ] 2) 4x2 – ……….. + 1 = …………………… [ 4x, (2x – 1)2 ] 3) 9x2 – 24x + ……….. = …………………… [ 16, (3x – 4)2 ] 4) 9x2 + ……….. + 25 = …………………… [ 30x, (3x + 5)2 ] 5) ……….. + 6a + 1 = …………………… [ 9a2, (3a + 1)2 ] 6) 64y2 – 80y + ……….. = …………………… [ 25, (8y – 5)2 ]

7) x2 + ……….. + 41 = …………………… [ x,

21x 2+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

]

8) y2 – 3x + ……….. = …………………… [ 94 ,

23y 2−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

9) 64y2 ……….. + 161 = …………………… [ 4y,

218y 4+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

10) 25x2 + 15x + ……….. = …………………… [ 32 ,

235x 2+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

27

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b3) โดยใชปริมาตร

ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย (ให b ∠ a) กลองที่ 3 ขนาดกวาง b หนวย ยาว b หนวย และ สูง a หนวย กลองที่ 4 ขนาดกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย และ สูง a หนวย

กลองที่ 5 ขนาดกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย และ สูง a หนวย

ตัวอยาง

1a

aa

b

bb

2b b

a3

a – b b

4 a

a – b

a5

a

28

2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ]

ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ]ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ ab2 ]ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ]

3. นํากลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบเปนทรงสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีความสูง a หนวย ดังรูป ก แลวใหนักเรียนสังเกตวา ทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก นี้มีปริมาตรเทากับปริมาตรของ กลองที่ 1 หรือไม [เทากัน]

4. ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 1 และกลองที่ 2 เทากับเทาใด [ a3 + b3 ] 5. นํากลองที่ 2 วางซอนบนกลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก ในขอ 3 จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ดังรูป ข

a

5

b

a 3

a – b

4 a 1a

aa

รูป ก

ba – b

รูป ขa

5

b

a 3

b

a – b

4

2

ba – b

29

6. จากรูปเรขาคณิตสามมิติรูป ข ใหนักเรียนดึงกลองที่ 4 ออก แลวนําไปวางซอนดานบนของ กลองที่ 5 ใหไดดังรูป ค

7. ปริซึมรูป ค มีปริมาตรเทาใด [a3 + b3]

a – b b

4 aa

5

a 3

b

b a – bb

a – b

a

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2

รูป ค

a – b

รูป ค

a

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2

a – b

30

8. จากกิจกรรมในขอ 4 ขอ 6 และขอ 7 นักเรียนสามารถหาความสัมพันธของปริมาตรของรูปเรขาคณิต สามมิติในขอ 4 และขอ 7 เปน a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ไดหรือไม ถาได จงแสดงวิธีทํา

ได ดังแนวคิดตอไปนี้

ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 3 = b2(a + b) ลูกบาศกหนวย ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 4 และปริมาตรของกลองที่ 5 = a(a – b)(a + b) ลูกบาศกหนวย เนื่องจาก ในขอ 3 ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับปริมาตร ของกลองที่ 1 จะได ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับ ผลบวกปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 1 ดังนั้น b2(a + b) + a(a – b)(a + b) = b3 + a3

นั่นคือ a3 + b3 = (a + b)[b2 + a(a – b)] = (a + b)(a2 – ab + b2)

a

=1

a

aa

b

bb

2

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2b

a – b

31

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 – b3 = (a – b)(a2+ ab + b2) โดยใชปริมาตร

ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย ให b < a กลองที่ 3 ฐานยาวดานละ a หนวย สูง a – b หนวย กลองที่ 4 ฐานกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย สูง b หนวย

กลองที่ 5 ฐานกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย สูง b หนวย

2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ]

ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ]ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ b2(a – b) ]

a

a

a1

b bb

2

a – b

a

b

4b

a – b

b

5

aa3

a – b

32

3. นํากลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบกันเปนกลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ดังรูป ก นักเรียนคิดวา ทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก มีปริมาตรเทากับปริมาตรของกลองที่ 1 หรือไม

[เทากัน]

4. จากทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก ใหนักเรียนยกกลองที่ 2 ออกดังรูป จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีปริมาตรเทากับ a3 – b3 ใชหรือไม [ใช]

5. ใหนักเรียนหาผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 [ a2(a – b) + ab(a – b) + b2(a – b) ] 6. ผลบวกของปริมาตรที่ไดในขอ 5 นักเรียนสามารถเขียนใหอยูในรูปการคูณของพหุนามสองพหุนาม ไดหรือไม ถาได เขียนไดเปนอยางไร [ได และเขียนไดเปน (a – b)(a2 + ab + b2) ] 7. จากผลที่ไดในขอ 4 และขอ 6 มีความสัมพันธกันอยางไร [ a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ]

a – b a3

4 5b

a

b

a – b

b bb

2

a – b a3

4 5

a

2รูป ก

b

38

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 3.1

1. 1) 0 และ 3 2) 0 และ 2

5

3) 1 และ 3 4) ไมมีคําตอบ

5) 32 และ -1 6) 5

2

7) 25- และ 3

1 8) 53 และ 2

5-

9) 43 และ -2 10) 4

1-

11) 23- และ -1 12) 3

5 และ 1

13) 35 14) ไมมีคําตอบ

15) 37 และ 8 16) 3

4 และ 1 2. 1) 6 และ 6- 2) 17 และ 17-

3) 6 และ -6 4) ไมมีคําตอบ

5) 2 + 60 และ 2 – 60 6) ไมมีคําตอบ

7) 23 และ 2

9- 8) 323 4 − และ 3

23 4 +

9) 510 2+ และ 5

10 2 − 10) 1 และ 73-

11) 2 และ 34- 12) 2

3- และ 41-

13) 211 และ 4 14) ไมมีคําตอบ

15) ไมมีคําตอบ 16) 92

39


1. 10 3+ และ 10 3 − 2. 10 4- + และ 10 4 - −

3. ไมมีคําตอบ 4. 229 3- + และ 2

29 3- −

5. 3 6. ไมมีคําตอบ

7. 37 2+ และ 3

7 2 − 8. ไมมีคําตอบ

9. 233 2- + และ 2

33 2- − 10. 54 และ 2

3-

11. 433 9- + และ 4

33 9- − 12. ไมมีคําตอบ

13. 34 และ 2

1 14. 210-

15. 689 7+ และ 6

89 7 − 16. 0 และ 38

17. 3 และ -1 18. 1330 2- + และ 13

30 2- −

19. 257 7+ และ 2

57 7 − 20. 233 1- + และ 2

33 1- −

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”

1. -12 และ 12 2. 16 3. 25 4. 2 และ 18


1. 1) มีคําตอบ สองคําตอบ 2) มีคําตอบ สองคําตอบ

3) ไมมีคําตอบ 4) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ 5) มีคําตอบ สองคําตอบ 6) ไมมีคําตอบ 7) มีคําตอบ สองคําตอบ 8) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ

40

9) ไมมีคําตอบ 10) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ 2. 1) 1 และ 11 2) -2 และ 5 3) -2 + 3 และ -2 – 3 4) ไมมีคําตอบ

5) 27 และ -2 6) 2

3 และ 51

7) 71 8) 6

13 7+ และ 613 7 −

9) 417 7+ และ 4

17 7 − 10) 562 2- + และ 5

62 2- −

3.

1) 27 1+ และ 2

7 1− 2) 1 + 5 และ 1 – 5

3) 433 1+ และ 4

33 1− 4) ไมมีคําตอบ

5) 0 และ 41 6) 0

7) 7 และ 413- 8) 4

5 3+ และ 45 3 −

9) -4 และ 5 10) 1710 และ -2

คําตอบกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร”

1. ab- 2. a

c

ผลบวกของคําตอบของสมการเทากับ ab- และผลคูณของ

คําตอบของสมการเทากับ ac


1. กวาง 12 เมตร ยาว 15 เมตร 2. AB = 12 เซนติเมตร BC = 5 เซนติเมตร

41

AC = 13 เซนติเมตร 3. ความยาวของฐาน BC = 8 เซนติเมตร 4. 25 และ 27 5. กวาง 8 เซนติเมตร ยาว 15 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร 6. 4 เซนติเมตร 7. กวาง 5 เซนติเมตร ยาว 11 เซนติเมตร หรือกวาง 5.5 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร 8. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD มีขนาดยาวดานละ 6 เซนติเมตร รูปสี่เหล่ียมมุมฉาก PQRS มีขนาดกวาง 4 เซนติเมตร และยาว 9 เซนติเมตร 9. 50 แถว และแถวละ 40 ตน10. 49 ตารางวา และ 121 ตารางวา

42

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

43

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก

กิจกรรมนี้ใชเสริมกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” ในหนังสือเรียน หนา 82

นักเรียนทราบมาแลววาถา r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, cเปนคาคงตัว และ a ≠ 0 แลว r1 + r2 = a

b-

21 r r ⋅ = ac

ความสัมพันธของคําตอบของสมการดังกลาวสามารถนํามาแกปญหาได เชน

ตัวอยาง จงหาคา k จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ 1) kx2 – 2x + 7 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5

2

2) 4x2 – 11x + (k – 3) = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 23

วิธีทํา 1) kx2 – 2x + 7 = 0 เนื่องจาก r1 + r2 = 5

2

จะได ab- = 5

2

ดังนั้น k(-2)- = 5

2

นั่นคือ k = 5 ตอบ 5

2) 4x2 – 11x + (k – 3) = 0 เนื่องจาก 21 r r ⋅ = 2

3

จะได ac = 2

3

ดังนั้น 43k − = 2

3

k – 3 = 6 นั่นคือ k = 9

ตอบ 9

44

จงหาคา p จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้

1. 3px2 – 5x – p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5 13⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2. 2py2 + 4y – 6p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 34 3- 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

3. 5m2 – (p + 1)m – 2 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 53 [2]

4. 6x2 + x – 3p = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 23- [3]

5. px2 – 6x – 1 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 51- [5]

6. 32 px2 + 2px – 4 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 6 [-1]

45

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นการนําสูตรการหาคําตอบของสมการกําลังสองมาใชในการแยกตัวประกอบพหุนามที่อยูในรูป ax2 + bx + c

สูตรชวยได

นักเรียนเคยหาคําตอบของสมการกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และa ≠ 0 ไดจากสูตร

x = 2a4ac b b- 2 −± เมื่อ b2 – 4ac > 0

เราสามารถอาศัยสูตรนี้ชวยในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c

เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b2 – 4ac > 0 และ a ≠ 0 ได โดยกําหนดให r1 = 2a4ac b b- 2 −+

และ r2 = 2a4ac b b- 2 −−

สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะไดเปน ax2 + bx + c = a(x – r1)(x – r2)

คําอธิบายเพิ่มเติมสําหรับครูพิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b2 – 4ac > 0

และ a ≠ 0 โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณไดดังนี้

ax2 + bx + c = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++ a

c xab x a 2

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++ − a

c 2ab 2a

b xab x a

222

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+ 2

2

2

4a4ac b 2a

b x a

ถา b2 – 4ac > 0

จะได ax2 + bx + c = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+

22

2

2a4ac b 2a

b x a

46

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+ 2a4ac b

2ab x a

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

++ 2a4ac b 2a

bx 2

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+ 2a

4ac b bx a2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++ 2a

4ac b bx 2

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+2a

4ac b b-x a2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−− 2a

4ac b b-x 2

กําหนด r1 = a24ac b b- 2

−+ และ r2 = a24ac b b- 2

−−

ดังนั้น จะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสูตรไดดังนี้ ax2 + bx + c = a(x – r1)(x – r2) เมื่อ r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0

ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1) 2x2 – 3x + 1

2) 30x2 + 7x – 18 3) 3x2 – 2x – 4

วิธีทํา 1) 2x2 – 3x + 1

จากสูตร x = 2a4ac b b- 2 −±

ในที่นี้ a = 2, b = -3 และ c = 2

จะได x = 2(2)4(2)(1) (-3) )3-(- 2 −±

= 41 3 ±

นั่นคือ r1 = 1 หรือ r2 = 21

ดังนั้น 2x2 – 3x + 1 = 2(x – 1) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 21 x

หรือ = (x – 1)(2x – 1)

ลองตรวจสอบดูซิวาเปนจริงหรือไม

47

2) 30x2 + 7x – 18


ในที่นี้ a = 30, b = 7 และ c = -18

จะได x = 2(30)4(30)(-18) 7 7- 2 −±

= 6047 7- ±

นั่นคือ r1 = 32 หรือ r2 = 10

9-

ดังนั้น 30x2 + 7x – 18 = 30 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

− 32 x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

− 109- x

= 3 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 32 x 10 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 10

9 x

= (3x – 2)(10x + 9)

3) 3x2 – 2x – 4


ในที่นี้ a = 3, b = -2 และ c = -4

จะได x = 2(3)4(3)(-4) (-2) )-2(- 2 −±

= 652 2 ±

= 313 1 ±

นั่นคือ r1 = 313 1 + หรือ r2 = 3

13 1 −

ดังนั้น 3x2 – 2x – 4 = 3 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

− 313 1 x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

− 313 1 x

= ( )[ ]13 1 x3 +− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

− 313 1 x

48

ใหนักเรียนแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1. 2x2 + 11x – 6 [(x + 6)(2x – 1)] 2. 5x2 – 8x – 4 [(5x + 2)(x – 2)]

3. 3m2 – 4m – 1 3 2 7 2 7x x 3 3−

− −+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

4. 5y2 – 6y – 1 3 14 3 145 x x 5 5−

− −+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

5. 24x2 + 7x – 5 5 1

24 x x 8 3−+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

6. 2x2 + 9x + 6 9 33 9 33

2 x x 4 4−+

+ +⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

7. 3x2 + 12x + 1 6 33 6 33

3 x x 3 3−+

+ +⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

8. 25x2 – 10x – 1 1 2 1 2

25 x x 5 5−

− −+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

49


1. จํานวนสองจํานวนตางกันอยู 5 ถาผลคูณของทั้งสองจํานวนมากกวาสามเทาของผลบวกของทั้งสอง

จํานวนอยู 1 จงหาจํานวนทั้งสองนั้น + +⎡

⎢⎣

11 65 1 65, 2 2 หรือ

− − ⎤⎥⎦

11 65 1 65, 2 2

2. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานฐานยาวกวาความสูงอยู 3 เซนติเมตร ถาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเทากับ 120 ตารางเซนติเมตร ดานฐานของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาวเทาไร [ประมาณ 17.06 เซนติเมตร] 3. ดินสอแทงหนึ่งยาว 7 นิ้ว ใสลงในกระปองทรงกระบอกรัศมี 2 นิ้ว ความสูงของกระปองเทากับ ความยาวของดินสอพอดี ถาเลื่อนดินสอใหปลายขางหนึ่งชนกับขอบกระปองดานในที่อยูตรงขาม ดังรูป ดินสอจะเลื่อนลงจากขอบกระปองเปนระยะทางเทาไร [ประมาณ 1.26 นิ้ว]

4. ลุงพรมีที่ดินเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาอยูติดริมคลองสองดาน วัดความยาวรอบที่ดินได 74 เมตร ที่ดินกวาง 10 เมตร ดานที่ติดคลองลุงพรปลูกผักไว ทําใหเหลือเนื้อที่ตรงกลางเพียง 205 ตารางเมตร ดังรูป จงหาความกวางของแปลงผัก [ประมาณ 1.85 เมตร]

10 เม

ตร

ปลูกผัก

ปลูกผ

ัก

คลอง

คลอง

205 ตารางเมตร

7 นิ้ว

57

3. แบบฝกหัด 4.5 ขอ 2 ขอยอย 4) เปนคําถามทิ้งทายใหนักเรียนหาจุดตัดของกราฟบนแกน X ถาครูเห็นสมควรที่จะเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการหาคําตอบของสมการกําลังสองโดยใชกราฟพาราโบลา ครูอาจใหความรูเพิ่มเติมโดยใชกิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก็ได

4. สําหรับกิจกรรม “จานพาราโบลา” และ “สะพานแขวน” ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรูเกีย่วกบัพาราโบลาไปใชในชวีติจรงิ เปนการเชือ่มโยงสาระคณติศาสตรกบัศาสตรอ่ืน ครูอาจใหนกัเรยีนยกตวัอยางส่ิงตาง ๆ ที่อยูรอบตัวที่ใชประโยชนของพาราโบลาเพิ่มเติมอีกก็ได 5. สําหรับกิจกรรม “สูงแคไหน” และ “หาไดอยางไร” มีเจตนาใหเห็นการนําความรูเกี่ยวกับพาราโบลาไปใชแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาการหาคําตอบในกิจกรรมทั้งสองนี้ นักเรียนจะตองเขียนสมการที่กําหนดให ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กอน จะทําใหเห็นจุดสูงสุดของกราฟและชวยใหตอบคําถามอื่น ๆ ไดงายขึ้น

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู”

สมการเชิงเสนและมีกราฟเปนเสนตรง

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”

1. 1) a = 1, b = 1 และ c = -6

2) a = -2, b = 0 และ c = 03) a = 1, b = 0 และ c = 94) a = 2

1- , b = 2 และ c = 05) a = 1 , b = 6 และ c = 9

6) a = -1, b = -1 และ c = 41-

2. 1) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 0 และ c = 0

2) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

58

3) เปนสมการของพาราโบลา เพราะอยูในรูป y = ax2 + bx + c โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = -1

4) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = 1

5) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = -1, b = -2 และ c = -6

6) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = x2”

1. พาราโบลาหงาย 2. 16 3. 16 4. 3 หรือ -3 5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร 6. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 7. 0 8. มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 9. 0 ไดมาจากคา x เปน 010. ไมมี เพราะคา y เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ไมส้ินสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a > 0”

1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานมาก แตถา a มีคามากกราฟจะบานนอย

59

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = -x2”

1. พาราโบลาคว่ํา 2. -9 3. -9 4. 4 หรือ -4 5. เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร 6. มีคาลดลงเรื่อย ๆ 7. 0 8. มีคาลดลงเรื่อย ๆ 9. 0 ไดมาจากคา x เปน 010. ไมมี เพราะคา y ลดลงเรื่อย ๆ ไมส้ินสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a < 0”

1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานนอย แตถา a มีคามากกราฟจะบานมาก

คําตอบกิจกรรม “ภาพสะทอน”

เปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน

60


1. 1)

x -3 -2 -1 0 1 2 3y = 2x4

1 94 1 1

4 0 14 1 9

4

2)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x23 27

2 6 32 0 3

2 6 272

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4-6

4

-4

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4

-4

-6

4

61

3)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x32- -6 - 8

3 - 23 0 - 2

3 - 83 -6

4)x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x34- -12 - 16

3 - 43 0 - 4

3 - 163 -12

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 6 80-2-4-6-8

-14

Y

62

2.x -2 -1 0 1 2

y = 3x2 12 3 0 3 12y = 21 x3

43

13 0 1

343

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ

3.x -2 -1 0 1 2

y = -4x2 -16 -4 0 -4 -16y = 21- x4 -1 - 1

4 0 - 14 -1

Y

X

2

2 4

6

60-2

-2-4-6

4

-4

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

63

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ

4.x -2 -1 0 1 2

y = 25 x2 10 52 0 5

2 10

y = 25- x3 - 203 - 5

3 0 - 53 - 20

3

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ 5.

1) พาราโบลาหงาย พิจารณาไดจากคา a ซ่ึง a > 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดต่ําสุด 6. 1) พาราโบลาคว่ํา พิจารณาไดจากคา a ซ่ึง a < 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดสูงสุด

Y

2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

X

-6

64

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a > 0”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาต่ําสุดของ y เปน 2

จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 คือจุด (0, -2) และคาต่ําสุดของ y เปน -2

4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = 2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a < 0”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาสูงสุดของ y เปน 2

จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 คือจุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, -2) และคาสูงสุดของ y เปน -2

4. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = -2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.3

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 5x2 + 4 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, 4)

65

3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 5x2 + 4 ไดดังนี้

x 0 1 2y = 5x2 + 4 4 9 24

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3x2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, -2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3x2 – 2 ไดดังนี้

x 0 1 2y = -3x2 – 2 -2 -5 -14

X

2

4

6

8

10

12

2 4 6 80-2-4-6-8

Y

66

3) พิจารณากราฟของสมการ y = - 21 23 +x 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, 2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = - 21 23 +x ไดดังนี้

x 0 1 2y = - 21 23 +x 2 5

323

X2 4

4

60-2

-2-4

-4

-6

2

-6

Y

-12

-10

X2 4 6 8-2-4-6-8-2

-4

-6

-8

0Y

67

4) พิจารณากราฟของสมการ y = 21 - 14 x 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, -1) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 21 - 14 x ไดดังนี้

x 0 1 2y = 21 - 14 x -1 3- 4 0

2. c1 เปนกราฟของสมการ y = 5 x3

1 2−

c2 เปนกราฟของสมการ y = 3x2 – 5c3 เปนกราฟของสมการ y = -x2 + 1c4 เปนกราฟของสมการ y = 1 x4

1- 2+

Y

X

2

2 4

4

-6

60-2

-2-4

-4

-6

68

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2”

1. ทับกันไดสนิท 2. กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 มีเสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2x2 มีเสนตรง x = 0 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 มีเสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 คือจุด (0, -1) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (0, 1) 4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 อยูทางขวาของแกน Y 5. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 อยูทางซายของแกน Y 6. กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2

ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2

ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย 7. กราฟของสมการ y = -2x2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 0) กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 1)

กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, -1) 8. กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2

ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2

ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ก

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-1, 0) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

69

เขียนกราฟของสมการ y = (x + 1)2 ไดดังนี้

x -1 0 1y = (x + 1)2 0 1 4

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (1, 0) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 ไดดังนี้

x 1 2 3y = -3(x – 1)2 0 -3 -12

Y

2

64

X2 4 60-2-4-6

8

70

3) พิจารณากราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 0) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = -4(x + 2)2 0 -4 -16

-12

-2

-4

-6

-8-10

X0 2 4 6 8-2-4-6-8

Y

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 60-2-4-6-8

Y

71

4) พิจารณากราฟของสมการ y = (x – 3)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (3, 0) 3. เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = (x – 3)2 ไดดังนี้

x 3 4 5y = (x – 3)2 0 1 4

2.c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 5)2

c2 เปนกราฟของสมการ y = (x – 1)2

c3 เปนกราฟของสมการ y = (x + 3)2

c4 เปนกราฟของสมการ y = (x – 2)2

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k”

1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 คือจุด (1, 2) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (1, 0) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 2 คือจุด (1, -2)

Y

2

64

X2 4 60-2-4-6

8

72

4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 อยูเหนือแกน X จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = a(x – h)2

ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k > 0 และลงมาใตแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k < 0 6. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 0) กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 + 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 2)

กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, -2) 7. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ข

1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 1

3 (x – 1)2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (1, -2) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

เขียนกราฟของสมการ y = 13 (x – 1)2 – 2 ไดดังนี้

x 1 2 3y = 1

3 (x – 1)2 – 2 -2 5- 32- 3

73

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, -3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 ไดดังนี้

x -1 0 1y = -(x + 1)2 – 3 -3 -4 -7

X

2

2 4

4

60-2

-2-4-6-8

-4

Y

-12

-2

-4

-6

-8-10

X2 4 60-2-4-6-8

Y

74

3) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, 3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 ไดดังนี้

x -1 0 1y = -(x + 1)2 + 3 3 2 -1

4) พิจารณากราฟของสมการ y = 15 (x + 2)2 + 2

1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 1

5 (x + 2)2 + 2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = 1

5 (x + 2)2 + 2 2 115

145

2

-2

-4

X2 4 60-2-4-6-8

-6

-8

-10

Y

75

2.c1 เปนกราฟของสมการ y = (x + 4)2 – 1c2 เปนกราฟของสมการ y = (x + 2)2

c3 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 4)2

c4 เปนกราฟของสมการ y = -(x – 6)2 – 1 3. 1) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = 2 เปนเสนสะทอน

2) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = -1 เปนเสนสะทอน 3) แสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 ลงมาตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย หรือ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 ขึ้นไปตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย

4) แสดงการสะทอนหรือการเลื่อนขนาน ในกรณีแสดงการสะทอน มีแกน Y = 0 เปนเสนสะทอน ในกรณีแสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ของกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 ไปทางซายมือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย หรือกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 ไปทางขวามือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย

แบบฝกหัด 4.5 1. 1) สมการ y = x2 + 6x + 8

เขียนไดเปน y = (x + 3)2 – 1 พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 3)2 – 1

2

64

X2 4 60-2-4-6

Y

76

1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-3, -1) 3. เสนตรง x = -3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = x2 + 6x + 8 ไดดังนี้

x -3 -2 -1y = (x + 3)2 – 1 -1 0 3

2) สมการ y = -x2 – 4x – 2เขียนไดเปน y = -(x + 2)2 + 2

พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 2)2 + 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -x2 – 4x – 2 ไดดังนี้

x -2 -1 0y = -(x + 2)2 + 2 2 1 -2

2

4

6

8

-22 4 60-2-4-6-8

10Y

X

77

2.

สมการ y = 2x2 + 5x – 2 เขียนไดเปน y = 2

+5 41

2 x 4 8−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) กราฟเปนพาราโบลาหงาย

2) จุดต่ําสุดของกราฟคือจุด ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

841- ,4

5-

3) เสนตรง x = 45- เปนแกนสมมาตร

4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 0 ,4

41 5- และจุด ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 0 ,4

41 5-

สมการ y = -x2 + 6x – 4 เขียนไดเปน y = -(x – 3)2 + 5 1) กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2) จุดสูงสุดของกราฟคือจุด (3, 5) 3) เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ( 3 20 , 0+ ) และจุด ( 3 20 , 0− )

Y

2

-2

-4

X2 4 60-2-4-6-8

-6

-8

-10

78

คําตอบกิจกรรม “จานพาราโบลา”

ควรวางอุปกรณรับความรอนไวที่โฟกัส

คําตอบกิจกรรม “สูงแคไหน”

1. 8 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 64 เมตร2. 63 เมตร3. ประมาณ 3.1 วินาที และ 12.9 วินาที

คําตอบแบบฝกหัด

1. 5 เมตร 2. 5 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 50 เมตร 3. ประมาณ 10.27 วินาที

คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”

1. ขอบเขตที่ดินมีลักษณะเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขนาด 25 × 25 เมตร2

2. ขนาด 15.5 × 15.5 เมตร2

3. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ขนาด p4 × p

4 หนวย2

4. ขนาด 50 × 100 เมตร2 และไดพื้นที่ 5,000 ตารางเมตร

79

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

80

กิจกรรมเสนอแนะ 4.5

กิจกรรมนี้มีเจตนาเชื่อมโยงความรูเร่ืองสมการกําลังสองกับพาราโบลา เพื่อใหเห็นวิธีการหาคําตอบของสมการกําลังสองจากกราฟพาราโบลากับแกน X

แนวการจัดกิจกรรม ครูใชคําถามและยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของคําตอบของสมการกําลังสอง โดยพิจารณาจากจุดตัดของกราฟพาราโบลากับเสนตรง y = 0 หรือแกน X โดยใชคําถามตอเนื่องดังนี้ 1. ถากําหนดสมการของกราฟพาราโบลาเปน y = 2x2 – 4x นักเรียนคิดวา y เทากับเทาใด จึงจะทํา ให 2x2 – 4x = 0 [y = 0] 2. ถาสมการกําลังสองเปน 2x2 – 4x = 0 จํานวนใดเปนคําตอบของสมการนี้ [0 และ 2] 3. เสนตรง y = 0 เปนเสนตรงเดียวกันกับแกน X ใชหรือไม [ใช] 4. ใหนักเรียนพิจารณากราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 – 4x กับเสนตรง y = 0 หรือแกน X แลวตอบคําถามตอไปนี้

1) กราฟทั้งสองตัดกันที่จุดใด [(0, 0) และ (2, 0)]2) คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟทั้งสองคือจํานวนใด [0 และ 2]

2 4 6-2-4-6-2

2

4

6

8

10

X

Y

0

y = 2x2 – 4x

y = 0

81

3) คา x ที่ไดในขอ 2) กับคําตอบของสมการ 2x2 – 4x = 0 สัมพันธกันอยางไร [เปนจํานวนเดียวกัน] 4) นักเรียนสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสมการเปน 2x2 – 4x = 0 ไดโดยหาจุดตัด ของกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 + 4x กับแกน X ใชหรือไม [ใช]

5. ครูใหความรูกับนักเรียนวาโดยทั่วไป เราสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่อยูในรูปax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ไดโดยพิจารณาที่คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 กับกราฟของเสนตรง y = 0 หรือแกน X

6. ครูยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเห็นการหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสองคําตอบหนึ่งคําตอบและไมมีคําตอบ โดยพิจารณาจากกราฟพาราโบลากับแกน X ดังตัวอยางตอไปนี้

จากกราฟขางตนจะสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองไดดังนี้ เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 2x – 3 ตัดแกน X สองจุด คําตอบของสมการx2 – 2x – 3 = 0 จึงมี 2 คําตอบ คือ -1 และ 3 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -x2 – 4x – 4 ตัดแกน X หนึ่งจุด คําตอบของสมการ-x2 – 4x – 4 = 0 จึงมีคําตอบเดียว คือ -2 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 4x + 7 ไมตัดแกน X สมการ x2 – 4x + 7 = 0จึงไมมีคําตอบ

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

y = -x2 – 4x – 4

y = x2 – 2x – 3

y = x2 – 4x + 7Y

82

7. ครูใหนักเรียนพิจารณากราฟแลวหาคําตอบของสมการกําลังสองที่กําหนดให

1) -x2 + x + 6 = 0 [-2 และ 3] 2) x2 – 6x + 9 = 0

[ 3]3) -5x2 + 2x – 1 = 0

[ไมมีคําตอบ]

8. ใหนักเรียนหาคําตอบของสมการกําลังสองตอไปนี้ โดยใชกราฟที่กําหนดให

1) 2x2 – 4 = 0 [ 2 และ - 2 ]

2) -x2 + 10x – 25 = 0 [5]

3) -x2 – 10x – 27 = 0 [ไมมีคําตอบ]

4) x2 + 8x + 19 = 0 [ไมมีคําตอบ]

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

Y

y = -x2 + x + 6

y = -5x2 + 2x – 1

y = x2 – 6x + 9

-6

0 X-2-4-6-8-2

-4

2

4

6

8

-8

2 4 6 8

Yy = x2 + 8x + 19

y = -x2 + 10x – 25

y = 2x2 – 4

y = -x2 – 10x – 27

88

ครูควรเนนใหนักเรียนระมัดระวังในการใชหนวยตาง ๆ ในเรื่องนี้ ซ่ึงอาจตองเปลี่ยนหนวยใหสอดคลองกับความสัมพันธตามสูตร ครูอาจเลือกแบบฝกหัดใหนักเรียนทําเปนบางขอตามความเหมาะสม 7. สําหรับกิจกรรม “คิดเลนเย็นใจ” และ “เกาะน้ําแข็ง” มีเจตนาเชื่อมโยงกับสาระอื่น ๆ ใหนักเรียนนําความรูเกี่ยวกับความหนาแนนของน้ําและน้ําแข็งมาใชแกปญหา ครูอาจใหมีการอภิปรายเพิ่มเติมเกี่ยวกับภาวะโลกรอนเนื่องจากมนุษยทําลายชั้นของบรรยากาศโลก และสนทนาถึงการปองกันที่มนุษยควรจะชวยกันลดภาวะโลกรอนไดอยางไร 8. สําหรับกิจกรรม “พีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัด” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นแนวคิดในการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดที่มีฐานเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสและกรวยยอดตัดที่อยูในสิ่งแวดลอมรอบ ๆ ตัวนักเรียน และใหเห็นการนําความรูเร่ืองของความคลายและอัตราสวนมาใชในการแกปญหา ครูอาจขยายความรูจากวิธีการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดที่ใหไวในหนังสือเรียนไปพัฒนาเปนสูตรในรูปทั่วไป ครูอาจนํากิจกรรมเสนอแนะ 5.2 มาใหนักเรียนชวยกันทําในชั้นเรียน เพื่อใหเห็นสูตรการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัส 9. สําหรับกิจกรรม “เขาคิดอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวาคนในสมัยโบราณใชความรูทางเรขาคณิตหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัสไดดวยการแบงพีระมิดยอดตัดออกเปนสวนยอยที่เปนปริซึมและพีระมิด แลวหาผลบวกของปริมาตรของสวนยอยเหลานั้น ก็สามารถคํานวณหาสูตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัสไดโดยไมตองใชความรูเกี่ยวกับความคลาย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “สวนสูงเอียง”

1. เทากัน เพราะเปนความยาวของสันของพีระมิดตรง 2. เทากัน เพราะเปนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมดานเทา 3. เทากันทุกประการ เพราะรูปสามเหลี่ยมแตละคูมีความยาวของดานเทากันสามคู ซ่ึงเปน ความสัมพันธแบบ ด.ด.ด. 4. เทากัน เพราะรูปสามเหลี่ยมที่เปนหนาทั้งสามหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ 5. เทากัน เพราะเปนความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เทากันและมีฐานยาวเทากัน 6. เทากัน 7. เทากัน

89

คําตอบกิจกรรม “เทากันหรือไม”

1. เทากัน เพราะเปนความยาวของสันของพีระมิดฐานสี่เหล่ียมผืนผา 2. เทากัน เพราะ OX และ OY เปนสวนสูงของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซ่ึงจะแบงครึ่งฐาน 3. ยาวกวา เพราะ AB ยาวกวา BC 4. ส้ันกวา เพราะ BX ยาวกวา BY 5. ไมเทากัน

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ผิวเปนเทาใด”

1. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2. 196 ตารางเซนติเมตร 3. ได โดยนําความรูเร่ืองทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการคํานวณ และคํานวณได 24 เซนติเมตร 4. สวนสูงเอียง 5. 672 ตารางเซนติเมตร 6. 868 ตารางเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ผิวขางหาไดอยางไร”

1. มีรูปสามเหลี่ยม 8 รูป แตละรูปมีพื้นที่ la21 ตารางหนวย

2. 4al ตารางหนวย 3. lp2

1 ตารางหนวย


1. 432 ตารางเซนติเมตร 2. 150 ตารางเซนติเมตร 3. 96 ตารางเซนติเมตร 4. 936 ตารางเซนติเมตร 5. 6 เซนติเมตร 6. 8 เมตร

90

7. 1) 17 นิ้ว

2) 6,960 ตารางนิ้ว


1. ประมาณ 204.1 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

2. ประมาณ 42,743 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

3. พื้นที่ผิวประมาณ 75.36 ตารางเซนติเมตร และ ปริมาตรประมาณ 37.68 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 4. ประมาณ 942 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 5. 378 ตารางเซนติเมตร 6. รัศมียาว 3.5 เซนติเมตร และสูงประมาณ 6 เซนติเมตร

7. รัศมียาวประมาณ 14.7 เซนติเมตร ทํากรวยไดอยางมาก 3 อัน ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

แนวคิด 31πr2h = 297

21 × 7

22 × r2 × 14 ≈ 297 r2 ≈ 20.25

r ≈ 4.5 รัศมีของสังกะสีรูปวงกลมเทากับสูงเอียงของกรวย

จะได 2l ≈ 142 + 4.52

≈ 196 + 20.25 ≈ 216.25 l ≈ 14.7 พื้นที่ของสังกะสีรูปวงกลมเทากับ πr2

≈ 722 × 14.72

≈ 679.14 พื้นที่ผิวขางของกรวยเทากับ πrl ≈ 7

22 × 4.5 × 14.7 ≈ 207.9

91

ทํากรวยได 9.20714.679 ≈ 3 อัน

คําตอบแบบฝกหัด 5.1 ค

1.

1) ประมาณ 905.14 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

2) ประมาณ 361.43 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

3) ประมาณ 233.15 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

4) ประมาณ 550 ตารางเซนติเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

2. พื้นที่ผิวเทากับ 72π หรือประมาณ 226.08 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) ปริมาตรเทากับ 72 2 π หรือประมาณ 319.68 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14 และใช 2 ≈ 1.414) 3. 1) 2 : 3 2) 4 : 9 4. 1) ประมาณ 39,689.6 กิโลเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

2) ประมาณ 1.25 × 108 ตารางกิโลเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 3) ประมาณ 000,10

41 ของพื้นที่ผิวของโลกสวนที่ไมไดปกคลุมดวยน้ํา

5. ประมาณ 943.4 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 6. ประมาณ 30 เซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) แนวคิด แผนเงินรูปวงกลมมีพื้นที่ 1,413 ตารางเซนติเมตร จะได π 2l = 1413

พื้นที่ผิวคร่ึงทรงกลม เทากับ 2πr2

2πr2 = π 2l

2πr2 = 1413 2r2 = 1413

3.14 r2 ≈ 2

450

92

≈ 225 r ≈ 15 จะไดเสนผานศูนยกลางยาวมากที่สุดประมาณ 30 เซนติเมตร


1. 8 เทา 2. 2 : 1 3. แกวน้ําทรงกระบอกจุน้ําไดมากกวา เพราะวา แกวน้ําทั้งสองใบมีสวนลึกเทากัน แตพื้นที่ของ กนแกวรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสนอยกวาพื้นของกนแกวรูปวงกลม แสดงใหเห็นแนวคิดไดดังนี้ ใหความยาวรอบกนแกวแตละใบเปน l เซนติเมตร

จะได ความยาวของเสนรอบวงของวงกลมเปน 2πr = l เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม r = π 2

l

ดังนั้น พื้นที่ของรูปวงกลม เทากับ πr2 = π2

π 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ l

= π4 2l ตารางหนวย

ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเปน l หนวย จะได แตละดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาว 4

l หนวย

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส เทากับ 4l × 4

l

= 162l ตารางหนวย

เนื่องจาก π4 2l > 16

2l

ดังนั้น พื้นที่กนแกวของแกวน้ําทรงกระบอกมากกวาพื้นที่กนแกวของแกวน้ําปริซึมสี่เหล่ียมจัตุรัส นั่นคือ แกวน้ําทรงกระบอกจุน้ําไดมากกวา 4. 10 ลูก 5. ประมาณ 749.66 บารเรล

6. ประมาณ 666.85 ตารางเมตร ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ≈ 7

22 ใชคา π

7. ประมาณ 0.4 เซนติเมตร

93

8. ประมาณ 39,800 ลูกบาศกเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14)

แนวคิด พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา เทากับ 6 × 2a43

= 6 × 43 × 82 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ของวงกลมที่เปนรูกลวง เทกับ πr2

= π(1.5)2

จะไดพื้นที่หนาตัดของเสาเข็มเปน 8 43 6 2 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×× – π(1.5)2

≈ (6 × 16 × 1.732) – (3.14 × 1.52) ≈ 166.27 – 7.07

≈ 159.2 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของเสาเข็มประมาณ 159.2 × 250 ≈ 39,800 ลูกบาศกเซนติเมตร 9. 3 เซนติเมตร แนวคิด น้ําแข็งกอนหนึ่งมีปริมาตร 2,112 ลูกบาศกเซนติเมตร

สวนที่จมน้ํามีปริมาตร 87 × 2,112 = 1,848 ลูกบาศกเซนติเมตร

คูลเลอรน้ําทรงกระบอกมีรัศมีของฐานเปน 228 = 14 เซนติเมตร

มีพื้นที่ฐานของคูลเลอรที่เปนรูปวงกลมประมาณ 722 ×142 ≈ 616 ตารางเซนติเมตร

สวนของน้ําแข็งที่จมน้ําทําใหระดับน้ําสูงขึ้น 616848,1 = 3 เซนติเมตร

ดังนั้น ตองใสน้ําในคูลเลอรใหต่ํากวาปากขอบอยางนอย 3 เซนติเมตร10. 2 เซนติเมตร แนวคิด ปริมาตรของเหล็กทรงกลมตันเปน 3

4 π(73) ลูกบาศกเซนติเมตร ใหทรงกลมกลวงมีรัศมีภายในเปน x เซนติเมตร ทรงกลมกลวงมีรัศมีภายนอกเปน 2 เซนติเมตร จะไดปริมาตรของทรงกลมกลวงแตละลูกเทากับ 3

4 π(23 – x3) ลูกบาศกเซนติเมตร

ดังนั้น 49 × 34 π(23 – x3) = 3

4 π(73) 49(23 – x3) = 73

23 – x3 = 7 x3 = 8 – 7 x = 1

94

เสนผานศูนยกลางยาว 2x = 2 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “สัมพันธกันอยางไร”

1. 2πr3

2. 34 πr3

3. 32 πr3

4. เทากับ 5. 1 : 2 : 3 6. 6πr2

7. 4πr2

8. (1 + 5 )πr2

9. 1 + 5 : 4 : 6

คําตอบแบบฝกหัดในกิจกรรม

1. เสนผานศูนยกลางยาว 2 นิ้ว ทรงกลมมีปริมาตรเทากับ 3

4 π ลูกบาศกนิ้ว 2. เสนผานศูนยกลางยาว 2 นิ้ว กรวยมีปริมาตรเทากับ 3

2 π ลูกบาศกนิ้ว 3. 2 : 1 4. 1) 4 เทา

2) 8 เทา 5. 3

2 เทา 6. 2 เทา

คําตอบกิจกรรม “ทําไดงายดี”

1) 1,936 ลูกบาศกเซนติเมตร 2) 600 กอน

95

3) ประมาณ 2,520 กิโลกรัม

คําตอบกิจกรรม “ปริมาตรและความหนาแนน”

1. 0.00072 ลูกบาศกเมตร หรือ 720 ลูกบาศกเซนติเมตร 2. 30 เซนติเมตร 3. ประมาณ 9.36 กิโลกรัม 4. 71.6 กิโลกรัม 5. ทรงกลมตะกั่วมีน้ําหนักมากกวา เพราะตะกั่วมีความหนาแนนมากกวา 6. ประมาณ 0.68 × 103 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร 7. ทองแดง 8. 1.5 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดเลนเย็นใจ”

ประมาณ 6.344 × 107 ลูกบาศกกิโลเมตร แนวคิด พื้นที่ที่ปกคลุมดวยน้ําแข็ง เทากับ 97.6% ของ 13 ลานตารางกิโลเมตร คิดเปน 100

6.97 × 13 × 106 ตารางกิโลเมตร น้ําแข็งหนาเฉลี่ย 5 กิโลเมตร จะได ปริมาตรของน้ําแข็งประมาณ 100

6.97 × 13 × 106 × 5 ≈ 6,344 × 104 ลูกบาศกกิโลเมตร หรือ ≈ 6.344 × 107 ลูกบาศกกิโลเมตร

คําตอบกิจกรรม “เกาะน้ําแข็ง”

ประมาณ 47,0255.9 ลานตัน แนวคิด เกาะน้ําแข็งมีปริมาตรประมาณ 180 × (37 × 103) × (77 × 103) ≈ 51,282 × 107 ลูกบาศกเมตร น้ําแข็งมีความหนาแนนเปน 0.917 ของความหนาแนนของน้ํา จะได ปริมาตรของน้ําประมาณ 0.917 × 51,282 × 107

≈ 47025.59 × 107 ลูกบาศกเมตร จากสูตร ความหนาแนน = ปริมาตร

มวล

96

และความหนาแนนของน้ําเทากับ 1 × 103 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร จะได น้ําหนักของน้ําประมาณ 1 × 47025.59 × 1010 กิโลกรัม

≈ 3

10

1010 59.47025 × ตัน

≈ 47025.59 × 107 ตัน ≈ 470,255.9 ลานตัน

คําตอบกิจกรรม “พีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัด”

1. 1 : 7 2. ประมาณ 1,469.52 ลูกบาศกเซนติเมตร 3. 1 : 7 4. ประมาณ 3,700 ลูกบาศกเซนติเมตร 5. ประมาณ 7,600 ลูกบาศกนิ้ว 6. ประมาณ 32,340 ลูกบาศกเซนติเมตร 7. ประมาณ 18,567.06 ลูกบาศกเซนติเมตร

97

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

98


พื้นที่ผิวของทรงกลม

กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการหาพื้นที่ผิวของทรงกลมโดยใชความสัมพันธของความยาวของเสนผานศูนยกลางของเชือกและความยาวของเชือกที่ปดเนื้อที่ทั้งหมดบนพื้นผิวของทรงกลม

สื่อการเรียนรู 1. เชือกกลมขนาดเสนผานศูนยกลางประมาณ 0.5 เซนติเมตร ยาวประมาณ 3 เมตร 2. ลูกบอลที่ทําดวยพลาสติกบาง (ผิวไมล่ืน) ขนาดเล็ก 1 ลูก 3. ดินน้ํามันหรือดินเหนียว

ครูเตรียมอุปกรณสําหรับการสาธิตตามลําดับขั้น ดังนี้ขั้นที่ 1 ผาครึ่งลูกบอล ใสดินน้ํามันหรือดินเหนียวใหเต็มครึ่งทรงกลมพอดีขั้นที่ 2 ใชเชือกกลมทอนหนึ่งขดบนดินน้ํามันหรือดินเหนียวใหปดเนื้อที่ของรูปวงกลมพอดี (ใชเข็มหมุดตรึงปลายเชือกขางหนึ่งไวที่จุดศูนยกลางของวงกลม แลวขดเชือกรอบเปนวงกลม) ดังรูป

ขั้นที่ 3 ใชเชือกกลมขนาดเดียวกันอีกทอนหนึ่งวัดความยาวใหไดเปนสองเทาของความยาวของเชือกใน ขั้นที่ 2 แลวนําไปขดบนผิวของครึ่งทรงกลมใหปดเนื้อที่ทั้งหมด ดังรูป

99

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูนําเชือกขนาดเดียวกันกับที่ครูใชขางตนมา 1 ทอน ยาวประมาณ 10 เซนติเมตร ใหนักเรียน บอกวาเชือกทอนนี้มีลักษณะเปนรูปเรขาคณิตชนิดใด [ทรงกระบอก] 2. ครูวางเชือกทอนนี้ทาบบนกระดานดํา ใหนักเรียนคิดวิเคราะหวาถาตองการทราบวาเชือก ทอนนี้ปดเนื้อที่บนกระดานดําไดประมาณเทาใด จะตองทําอยางไร (ครูอาจเขียนรูปของเชือกทอนนี้บนกระดานซึ่งจะไดรูปสี่เหล่ียมผืนผา) [วัดความยาวของเชือกและหาความยาวของเสนผานศูนยกลาง จะไดวา ผลคูณของความยาว ของเชือกและความยาวของเสนผานศูนยกลาง เทากับพื้นที่ที่เชือกทอนนี้ปดเนื้อที่บน กระดานดําไว] 3. ครูนําอุปกรณในขั้นที่ 2 ใหนักเรียนบอกพื้นที่ของวงกลม โดยพิจารณาจากสวนที่เชือกปดทับ อยูทั้งหมด [ถาให r แทนรัศมีของวงกลม จะไดพื้นที่ของวงกลมเทากับ πr2] 4. ครูคลายเชือกจากวงกลมเปนเสนยาว ใหนักเรียนเห็นวาเชือกที่มีความยาวเทาที่คลายออกมา จากวงกลมนั้นปดเนื้อที่ของวงกลม ซ่ึงมีพื้นที่ของวงกลมเทากับ πr2 ตารางหนวย 5. ครูคลายเชือกออกจากผิวของครึ่งทรงกลมในอุปกรณขั้นที่ 3 แลววัดความยาวของเชือก เปรียบเทียบกับความยาวของเชือกในขอ 4 ซ่ึงเชือกเสนนี้ยาวเปนสองเทาของความยาวของ เชือกในขอ 4 ใหนักเรียนบอกพื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลมที่ถูกปดทับดวยเชือกเสนนี้ [2πr2 ตารางหนวย] 6. ครูใหนักเรียนชวยกันสรุปพื้นที่ผิวของทรงกลมจากแนวคิดที่ไดในขอ 5

[พื้นที่ผิวของทรงกลมเทากับ 2 × 2πr2 = 4πr2 ตารางหนวย] 7. ครูสรุปพื้นที่ผิวของทรงกลมจากแนวคิดในกิจกรรมนี้ใหนักเรียนเห็นวา สูตรที่ไดเหมือนกับ แนวคิดที่เสนอไวในหนังสือเรียน

100


กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นการนําแนวคิดในตัวอยางกิจกรรมพีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัดมาใชในการหาสูตรปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัส

ครูใชแนวคิดดังตัวอยางหนา 178 มาอธิบายใหเห็นที่มาของการหาสูตรปริมาตรพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหล่ียมจัตุรัส ดังนี้

เนื่องจาก ∆ AFC ∼ ∆ AGE จะได GE

FC = AGAF

2b2a

= t h t +

รูป ข

aa

b

รูป ก

b

a

hb

a

t

h bD E

A

B C a

G

F

รูป ง

a

B

bD

C

E

A

รูป ค

101

ba = t

h t +

at = bt + bh at – bt = bh t(a – b) = bh t = b a

bh −

ปริมาตรของพีระมิดยอดตัดเทากับ 2a31 (t + h) – tb3

1 2

= 2a31 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

− h b a

bh – 2b31

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− b abh

= 2a31 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−

−+ b a

bhah bh – 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b a

hb3

= 2a31 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

− b aah – 3

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b a

hb3

= 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b aha3

– 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− b a

hb3

= 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

b ah bh a 33

= 31

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−− b a

) b a(h 33

= h31

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−− ++

b a) b ab a)( b a( 22

= h31 (a2 + ab + b2)

ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดยอดตัดรูป ก = h31 (a2 + ab + b2)

add-m3-1-finished

Documents

Transcript of add-m3-1-finished