Actividad 2.2

Las cónicas

G. Edgar Mata Ortiz

Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano

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Introducción La figura que aparece en la portada de este

documento representa la forma en la que se

obtienen las figuras que reciben el nombre de

cónicas.

Elabora un cono con cualquier material

adecuado y realiza los cortes necesarios para

obtener las cónicas. Elabora un reporte del

proceso y resultado incluyendo fotografías y/o

vídeos de esta actividad.

Las propiedades geométricas de las cónicas las vuelven muy útiles en la

resolución de problemas prácticos. Realiza una consulta y elabora una síntesis

que contenga la información de las cuatro cónicas: circunferencia, elipse,

parábola e hipérbola:

1. Definición geométrica de cada una de las cónicas y la representación

gráfica de estas definiciones (Lugar geométrico).

2. Ecuación en forma canónica cuando la curva está en el origen, es decir,

no se encuentra desplazada en ninguno de los ejes de coordenadas: Con

eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos de cada una de las

cónicas con sus gráficas.

3. Ecuación en forma canónica cuando la curva está fuera del origen, es

decir, cuando la curva se encuentra desplazada tanto en el eje equis

como en el eje ye: Con eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos

de cada una de las cónicas con sus gráficas.

4. Ecuación en forma general de cada una de las cónicas y realización del

proceso algebraico para expresarla en forma canónica; dos ejemplos de

cada una con sus gráficas.

5. Propiedades geométricas en cada ejemplo según corresponda: Vértices,

excentricidad, directriz, lado recto, distancia focal, asíntotas y focos.

6. Valores y significados de las distancias generalmente identificadas como

a, b, c.

7. Identificación de las distancias a, b, c, en las gráficas de todos los

ejemplos que se incluyen en el trabajo.

8. Citar la bibliografía cuidando que se haya verificado

la información en, al menos, tres libros. Indicar las

páginas de los libros donde se encuentra la

información.

La Geometría

Las Cónicas

Estas figuras reciben dicho

nombre debido a que

pueden obtenerse al

intersectar un doble cono,

con un plano.

Dependiendo de la

inclinación del plano con

respecto al cono, se puede

obtener una

circunferencia, una elipse,

una parábola o una

hipérbola.

Eran conocidas por los

geómetras griegos desde

alrededor de 400 años a. C.

según se desprende de los

trabajos de Menecmo y el

propio Euclides, sin

embargo, estos

documentos se han

perdido y sólo se conocen

por referencias.

El documento más

importante de que se

dispone sobre el estudio de

estas figuras geométricas

es “Las Cónicas” escrito por

Apolonio de Perga

(actualmente Turquía)

alrededor del 200 a. C.

Las cónicas en el plano

cartesiano

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Aplicaciones de las cónicas.

Al igual que las demás herramientas matemáticas, le estudio de las cónicas tiene un importante valor teórico,

sin embargo, es necesario que estos conocimientos teóricos se apliquen la resolución de problemas que se

presentan en la realidad, ya sea en la vida cotidiana o profesional. Resuelve los siguientes problemas aplicando

los conceptos acerca de las cónicas que se estudiaron para realizar el trabajo de síntesis que se elaboró

anteriormente.

Problemas de razonamiento.

1. Es necesario realizar una perforación para

colocar la polea que transmitirá el

movimiento mediante una banda como se

muestra en la figura. Para simplificar los

cálculos se han expresado las dimensiones

en coordenadas rectangulares. Utiliza los

puntos A, B y C para determinar la ecuación

de la circunferencia que nos indicará las

coordenadas del centro, donde se realizará

la perforación, y el radio de la polea que se

deberá utilizar.

2. Un puente colgante es sostenido por

dos torres de 25+NL/10 metros que

se encuentran a una distancia de

40+NL/10 metros entre sí. Es

necesario determinar las alturas de

los 6 soportes intermedios

(señalados con color azul) que se

encuentran a distancias iguales

entre sí sabiendo que el soporte

central mide 1+NL/10 metros de

altura. Utiliza como referencia el

plano cartesiano que se indica en la

figura.

3. Las órbitas de los planetas tienen la forma de una elipse con

el planeta en uno de los focos. En el caso de Plutón, el sol se

encuentra aproximadamente a 1467.74 millones de

kilómetros del centro de la elipse. En el punto más cercano,

Plutón se encuentra a 4445.78 millones de kilómetros del

sol. La distancia mínima de dicho planeta, hasta el centro de

la elipse es aproximadamente de 5728.48 millones de

kilómetros. Encuentra la ecuación de la elipse que modela la

órbita de Plutón y señala todas sus características geométricas.

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Bibliografía.