Acoustique non-linéaire : Application à la caractérisation...

N° d’ordre 05 ISAL 0038 Année 2005

Thèse

Acoustique non-linéaire : Application à la caractérisation ultrasonore de l’endommagement des matériaux hétérogènes

et à la prédiction de la durée de vie

présentée devant L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

pour obtenir

le grade de docteur

Ecole doctorale : Matyériaux de Lyon

Spécialité : Génie des matériaux

par

Mourad BENTAHAR

Soutenue le 20 juin 2005 devant la Commission d’examen

Jury

P. JOHNSON Professeur. Los Alamos National Laboratory. USA (Président) R. EL GUERJOUMA Professeur. INSA de Lyon. GEMPPM. (Directeur) B. CASTAGNEDE Professeur. Université du Maine. LAUM (Rapporteur) J. COURBON Professeur. INSA de Lyon. GEMPPM M. SCALERANDI Professeur. Ecole Polytecnique de Turin. Italie M. LETHIECQ Professeur. Université de Tours. LUSSI (Rapporteur) V. GARNIER Maître de Conférence. Université de la Méditérranée (membre invité)

Thèse préparée au laboratoire GEMMPM UMR CNRS 5510 de l’INSA de Lyon

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Directeur : STORCK A. Professeurs : AMGHAR Y. LIRIS AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE BABOT D. CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENTS IONISANTS BABOUX J.C. GEMPPM*** BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIERE BAPTISTE P. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIERE BASKURT A. LIRIS BASTIDE J.P. LAEPSI**** BAYADA G. MECANIQUE DES CONTACTS BENADDA B. LAEPSI**** BETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE BIENNIER F. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BLANCHARD J.M. LAEPSI**** BOISSE P. LAMCOS BOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE BOIVIN M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES SOLIDES BOTTA H. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain BOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain BOULAYE G. (Prof. émérite) INFORMATIQUE BOYER J.C. MECANIQUE DES SOLIDES BRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtiment BREMOND G. PHYSIQUE DE LA MATIERE BRISSAUD M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE BRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDES BRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION BUFFIERE J-Y. GEMPPM*** BUREAU J.C. CEGELY* CAMPAGNE J-P. PRISMA CAVAILLE J.Y. GEMPPM*** CHAMPAGNE J-Y. LMFA CHANTE J.P. CEGELY*- Composants de puissance et applications CHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine COMBESCURE A. MECANIQUE DES CONTACTS COURBON GEMPPM COUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures DAUMAS F. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et Thermique DJERAN-MAIGRE I. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL DOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUE DUBUY-MASSARD N. ESCHIL DUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURES DUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIERE EMPTOZ H. RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISION ESNOUF C. GEMPPM*** EYRAUD L. (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE FANTOZZI G. GEMPPM*** FAVREL J. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS FAYARD J.M. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS FAYET M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES SOLIDES FAZEKAS A. GEMPPM FERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURES FLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTS FLEURY E. CITI FLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATIONS FOUGERES R. GEMPPM*** FOUQUET F. GEMPPM*** FRECON L. (Prof. émérite) REGROUPEMENT DES ENSEIGNANTS CHERCHEURS ISOLES GERARD J.F. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES GERMAIN P. LAEPSI**** GIMENEZ G. CREATIS** GOBIN P.F. (Prof. émérite) GEMPPM*** GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GONTRAND M. PHYSIQUE DE LA MATIERE GOUTTE R. (Prof. émérite) CREATIS** GOUJON L. GEMPPM*** GOURDON R. LAEPSI****. GRANGE G. (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GUENIN G. GEMPPM*** GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE GUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIERE

GUINET A. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS

GUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE HEIBIG A. MATHEMATIQUE APPLIQUEES DE LYON JACQUET-RICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURES JAYET Y. GEMPPM*** JOLION J.M. RECONNAISSANCE DE FORMES ET VISION Novembre 2003 JULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures JUTARD A. (Prof. émérite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE KASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique KOULOUMDJIAN J. (Prof. émérite) INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION LAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE LALANNE M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES STRUCTURES LALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique LALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique LAREAL P (Prof. émérite) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique LAUGIER A. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE LAUGIER C. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE LAURINI R. INFORMATIQUE EN IMAGE ET SYSTEMES D’INFORMATION LEJEUNE P. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE LUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTS MASSARD N. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE MAZILLE H. (Prof. émérite) PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE MERLE P. GEMPPM*** MERLIN J. GEMPPM*** MIGNOTTE A. (Mle) INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLE MILLET J.P. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE MIRAMOND M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MOREL R. (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDES ET D’ACOUSTIQUES MOSZKOWICZ P. LAEPSI**** NARDON P. (Prof. émérite) BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS NAVARRO Alain (Prof. émérite) LAEPSI**** NELIAS D. LAMCOS NIEL E. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE NORMAND B. GEMPPM NORTIER P. DREP ODET C. CREATIS** OTTERBEIN M. (Prof. émérite) LAEPSI**** PARIZET E. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE PASCAULT J.P. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES PAVIC G. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE PECORARO S. GEMPPM PELLETIER J.M. GEMPPM*** PERA J. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Matériaux PERRIAT P. GEMPPM*** PERRIN J. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE PINARD P. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE PINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION PONCET A. PHYSIQUE DE LA MATIERE POUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE PREVOT P. INTERACTION COLLABORATIVE TELEFORMATION TELEACTIVITE PROST R. CREATIS** RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux REDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE RETIF J-M. CEGELY* REYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures RICHARD C. LGEF RIGAL J.F. MECANIQUE DES SOLIDES RIEUTORD E. (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDES ROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES ROUBY D. GEMPPM*** ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON – Thermique de l’Habitat RUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION SACADURA J.F. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux SAUTEREAU H. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES SCAVARDA S. (Prof. émérite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE SOUIFI A. PHYSIQUE DE LA MATIERE SOUROUILLE J.L. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE THOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE THUDEROZ C. ESCHIL – Equipe Sciences Humaines de l’Insa de Lyon

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UBEDA S. CENTRE D’INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICES VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTS VERMANDE P. (Prof émérite) LAEPSI VIGIER G. GEMPPM*** VINCENT A. GEMPPM*** VRAY D. CREATIS** VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE Directeurs de recherche C.N.R.S. : BERTHIER Y. MECANIQUE DES CONTACTS CONDEMINE G. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE COTTE-PATAT N. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE ESCUDIE D. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON FRANCIOSI P. GEMPPM*** MANDRAND M.A. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE POUSIN G. BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE ROCHE A. INGENIERIE DES MATERIAUX POLYMERES SEGUELA A. GEMPPM*** VERGNE P. LaMcos Directeurs de recherche I.N.R.A. : FEBVAY G. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS GRENIER S. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS RAHBE Y. BIOLOGIE FONCTIONNELLE, INSECTES ET INTERACTIONS Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. : KOBAYASHI T. PLM PRIGENT A.F. (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE MAGNIN I. (Mme) CREATIS** * CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON ** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE ET DU SIGNAL ***GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX ****LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

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INSA de Lyon Département des Etudes Doctorales

LISTE DES ECOLES DOCTORALES

SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE

CDL

CHIMIE DE LYON Responsable : M. Denis SINOU [email protected]

Université Claude Bernard Lyon 1 Lab Synthèse Asymétrique UMR UCB/CNRS 5622 Bât 308, 2ème étage. 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.44.81.83 ; [email protected]

E2MC

ECONOMIE, ESPACE ET MODELISATION DES COMPORTEMENTS Responsable : M. Alain BONNAFOUS [email protected]

Université Lyon 2 14 avenue Berthelot MRASH M. Alain BONNAFOUS Laboratoire d’Economie des Transports. 69363 LYON Cedex 07 Tél : 04.78.69.72.76 [email protected]

E.E.A.

ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE M. Daniel BARBIER [email protected]

M. Daniel BARBIER INSA DE LYON Laboratoire Physique de la Matière. Bâtiment Blaise Pascal.69621 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43.64.43 [email protected]

E2M2

EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2 M. Jean-Pierre FLANDROIS [email protected]

M. Jean-Pierre FLANDROIS UMR 5558 Biométrie et Biologie Evolutive Equipe Dynamique des Populations Bactériennes Faculté de Médecine Lyon-Sud Laboratoire de Bactériologie BP 1269600 OULLINS Tél : 04.78.86.31.50 ; [email protected]

EDIIS

INFORMATIQUE ET INFORMATION POUR LA SOCIETE http://www.insa-lyon.fr/ediisM. Lionel BRUNIE

M. Lionel BRUNIE INSA DE LYON. EDIIS, Bâtiment Blaise Pascal, 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43.60.55 , [email protected]

EDISS

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE http://www.ibcp.fr/ediss M. Alain Jean COZZONE [email protected]

M. Alain Jean COZZONE IBCP (UCBL1) 7 passage du Vercors 69367 LYON Cedex 07 Tél : 04.72.72.26.75 [email protected]

EDML

MATERIAUX DE LYON http://www.ec-lyon.fr/sites/edml M. Jacques JOSEPH [email protected]

M. Jacques JOSEPH Ecole Centrale de Lyon Bât F7 Lab. Sciences et Techniques des Matériaux et des Surfaces 36 Avenue Guy de Collongue BP 163. 69131 ECULLY Cedex Tél : 04.72.18.62.51; [email protected]

Math IF

MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE FONDAMENTALE http://www.ens-lyon.fr/MathIS M. Franck WAGNER [email protected]

M. Franck WAGNER Université Claude Bernard Lyon1 Institut Girard Desargues UMR 5028 MATHEMATIQUES Bâtiment Doyen Jean Braconnier Bureau 101 Bis, 1er étage 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43.27.86 [email protected]

MEGA

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUEhttp://www.lmfa.ec-lyon.fr/autres/MEGA/index.html M. François SIDOROFF [email protected]

M. François SIDOROFF Ecole Centrale de Lyon Lab. Tribologie et Dynamique des Systêmes Bât G8 36 avenue Guy de Collongue BP 163 69131 ECULLY Cedex Tél :04.72.18.62.14 [email protected]

mailto:[email protected]






http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2



http://www.insa-lyon.fr/ediis


http://www.ibcp.fr/ediss



http://www.ec-lyon.fr/sites/edml



http://www.ens-lyon.fr/MathIS



http://www.lmfa.ec-lyon.fr/autres/MEGA/index.html



Remerciements Je tiens à remercier Monsieur Jean-Yves CAVAILLE, directeur du Groupe de Métallurgie Physique et de Physique des Matériaux (GEMPPM), pour m’avoir accueillis dans son laboratoire au sein duquel ce travail de thèse a été réalisé. La direction de cette thèse a été assurée par Monsieur Rachid EL GUERJOUMA, professeur au Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine (LAUM), et Monsieur Jean-Claude BABOUX, professeur à l’INSA de Lyon. Qu’ils trouvent ici l’expression de ma reconnaissance et ma profonde gratitude pour avoir initié et dirigé ce travail. Je ne les remercierai jamais assez pour avoir mis à ma disposition les éléments nécessaires à l’accomplissement de ce travail. Mes plus vifs remerciements vont aux Profeseurs Bernard CASTAGNEDE du LAUM et Marc LETHIECQ du laboratoire LUSSI de l’Université de Tours, qui ont accepté d’examiner ce mémoire. Leurs remarques et leurs indications furent importantes pour la clarté de ce travail. Monsieur le Professeur Paul Allen JOHNSON du Los Alamos National Laboratory (USA) m’a fait l’honneur de présider le jury de soutenance. Qu’il soit remercier pour l’intérêt qu’il a manifesté à l’égard de ce travail ainsi que pour le soutien et les conseils fructueux dont il m’a fait part. Je remercie chaleureusement le Professeur Joël COURBON, responsable du groupe Durabilité Ultrasons et Structures Intelligentes (DUSI) du GEMPPM, pour les bonnes conditions de travail dont j’ai bénéficié au sein de son groupe, pour ses encouragements ainsi que pour sa participation au Jury de soutenance. Mes remerciements vont également au Professeur Marco SCALERANDI de l’Ecole Polytechnique de Turin (Italie) pour sa participation au jury ainsi que pour sa fructueuse collaboration à laquelle s’est associé Monsieur Michele GRIFFA. Qu’ils sachent que travailler avec eux était un plaisir et qu’ils trouvent l’expression de mon amitié. Merci aussi à toute l’équipe du Département de Physique de l’Ecole Polytechnique de Turin pour le chaleureux accueil qu’ils m’ont réservé. Merci également à Monsieur Vincent GARNIER pour l’intérêt qu’il a manifesté pour ce travail ainsi que pour sa participation au jury en tant que membre invité. Merci aux permanents du GEMPPM et en particulier ceux du DUSI Philipe GUY, Nathalie GODIN et Yves JAYET pour leur accueil et leur soutien durant les trois années passées au laboratoire. Je ne peux oublier d’exprimer ma reconnaissance à mes amis et collaborateurs Lucien DEVILLE, Laurent GOUJON et Thomas MONNIER, qui m’ont beaucoup appris tant sur le plan scientifique qu’amical. Mes amis anciens et nouveaux thésards au DUSI merci pour votre soutien et disponibilité. Je pense tout particulièrement à Hanane NECHAD, Marie-Aude PLOIX et Maher SHAIRA. Merci pour tout ce que vous avez fait pour moi. Haruko, ton amour inconditionnel, ton écoute, ton aide et ta patience m’ont apporté beaucoup plus que tu ne le pense. Merci pour tout. Aishtirio Enfin, je tiens à remercier mes amis Lotfi, Mehdi, fateh, Redouane, Krimo, Zine, Omar, Rabah et tous les autres pour leur soutien et leur amitié qui dure depuis plus de dix ans déjà !!!

A mes grands-parents A mes parents

A mes Frères et sœurs A mes neveux et nièces

A tous ceux qui me sont Chers

TABLE DE MATIERES INTRODUCTION GENERALE...........................................................................................15 Chapitre I : Matériaux – Elaboration, propriétés mécaniques et caractérisation ultrasonore 1. Introduction...........................................................................................................................212. Le béton ................................................................................................................................21

2.1 Présentation du matériau...........................................................................................212.2 Qualité du béton : Influence des différents paramètres ............................................22

2.2.1 Les pores ...........................................................................................................232.2.2 Rapport eau / ciment .........................................................................................232.2.3 Rapport granulat/ciment....................................................................................242.2.4 Les adjuvants ....................................................................................................24

2.3 Endommagement du béton .......................................................................................252.3.1 Comportement en compression uniaxiale.........................................................262.3.2 Comportement en traction uniaxiale.................................................................27

2.4 Elaboration du béton objet de cette étude .................................................................292.5 Caractérisation ultrasonore .......................................................................................30

3. Composites base polymère ...................................................................................................313.1 Matrices.....................................................................................................................32

3.1.1 Matrices organiques ou résineuses....................................................................323.2 Fibres de renfort........................................................................................................34

3.2.1 Fibres de verre...................................................................................................343.2.2 Autres types de fibres........................................................................................35

3.3 Endommagement des composites .............................................................................363.3.1 Fissuration matricielle.......................................................................................363.3.2 Rupture de fibre ................................................................................................363.3.3 Décohésion fibre-matrice..................................................................................373.3.4 Délaminage .......................................................................................................37

3.4 Composite SMC : caractérisation vibratoire et ultrasonore......................................383.4.1 Comportement mécanique : mécanismes d’endommagement..........................383.4.2 Caractérisation vibratoire ultrasonore...............................................................38

4. Caractérisation acoustique nonlinéaire de l’endommagement .............................................414.1 Acoustoélasticité des matériaux endommagés..........................................................414.2 Génération d’harmoniques et modulation nonlinéaire..............................................434.3 Méthode de résonance...............................................................................................44

5. Conclusion ............................................................................................................................45

11

CHAPITRE II : Elasticité non-linéaire hystérétique : faits expérimentaux et

HAPITRE III : Caractérisation non-linéaire du Béton de Génie Civil: Expériences et imulations

1. Introduction...........................................................................................................................492. Théorie classique ..................................................................................................................493. Essais quasi-statiques............................................................................................................524. Espace de Preisach-Mayergoysz (P-M Space) .....................................................................53

4.1 Protocole de pression et UMH..................................................................................554.2 Détermination de la densité d’UMH.........................................................................57

5. Essais dynamiques ................................................................................................................595.1 Génération d’harmoniques........................................................................................605.2 Méthode de résonance...............................................................................................62

6. Modèle d’interaction locale ..................................................................................................656.1 Le modèle..................................................................................................................666.2 Equation de mouvement ...........................................................................................686.3 Protocole à deux états ...............................................................................................696.4 Application du modèle LISA....................................................................................71

6.4.1 Conditions initiales et conditions aux limites ...................................................716.4.2 Modélisation du comportement élastique .........................................................726.4.3 Essais dynamiques en résonance ......................................................................75

7. Conclusion ............................................................................................................................77

. Introduction...........................................................................................................................812. Mode opératoire ....................................................................................................................81

2.1 Dispositif expérimental.............................................................................................822.2 Choix des pastilles piézoélectriques et du couplant..................................................822.3 Limite de linéarité du dispositif expérimental ..........................................................84

3. Caractérisation acoustique non-linéaire du béton sain et endommagé .................................863.1 Adaptation du modèle LISA .....................................................................................86

3.1.1 Equation d’état ..................................................................................................873.1.2 Description double-état des interstices .............................................................883.1.3 Processus de relaxation dans le formalisme à deux états..................................893.1.4 Equation de mouvement ...................................................................................89

3.2 Résultats expérimentaux et théoriques......................................................................903.2.1 Dynamique rapide.............................................................................................903.2.2 Dynamique lente ...............................................................................................95

4. Conclusion ............................................................................................................................98

modélisations

CS 1

12

CHAPITRE IV : Caractérisation acoustique non-linéaire et par émission acoustique ’un composite base polymère endommagé progressivement

. Introduction.........................................................................................................................103

. Mode opératoire ..................................................................................................................1032.1 Dynamique rapide dans le SMC .............................................................................104

2.1.1 Etude du spectre de vibration..........................................................................1042.1.2 Suivi de l’endommagement : Indicateur d’endommagement .........................105

2.2 Dynamique lente dans le SMC ...............................................................................1082.2.1 Dynamique lente comme indicateur d’endommagement ...............................112

3. Détection de l’endommagement par émission acoustique..................................................1163.1 Description..............................................................................................................1163.2 Caractéristiques d’un signal d’émission acoustique ...............................................1173.3 Irréversibilité de l’émission acoustique : Effet Kaiser............................................1183.4 Application au SMC ...............................................................................................119

3.4.1 Endommagement graduel et émission acoustique ..........................................1203.4.2 Dynamique rapide et émission acoustique......................................................1213.4.3 Dynamique lente et émission acoustique........................................................1253.4.4 Mécanismes d’endommagement et durée de vie ............................................130

4. Conclusion ..........................................................................................................................132

d 12

CONCLUSION GENERALE ............................................................................................131 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ………………………………………………..135

13

INTRODUCTION GENERALE

INTRODUCTION

Dans les domaines industriels de pointe (aéronautique, nucléaire, etc.), l’évaluation de

l’endommagement des matériaux est un point clé pour la maîtrise de la durabilité et de la

fiabilité des pièces et matériaux en service. Dans cette perspective, il est nécessaire non

seulement de quantifier l’endommagement mais aussi d’identifier les différents mécanismes

qui en sont responsables. Il est donc indispensable de bien caractériser les matériaux et définir

les indicateurs les plus sensibles à la présence d’endommagement afin de prévenir leur ruine

et à les utiliser de manière optimale.

Pour répondre à cette problématique, les méthodes acoustiques sont intéressantes en raison de

leur aspect non-destructif et de leur sensibilité à l’endommagement. Ainsi, les méthodes

acoustiques ultrasonores linéaires ont souvent montré leur aptitude à caractériser

l’endommagement, à travers les variations de vitesse et d’atténuation d’ondes ultrasonores.

Cependant, plusieurs expériences ont montré que les méthodes acoustiques linéaires ne sont

pas assez sensibles au tout début du processus d’endommagement ou à l’endommagement très

localisé. Souvent, les premiers mécanismes d’endommagement sont des précurseurs de la

rupture finale et sont de ce fait très importants à identifier. Devant une telle difficulté, les

méthodes acoustiques nonlinéaires présentent une alternative intéressante capable de détecter

et éventuellement de caractériser les endommagements faibles ou précoces, localisés ou

diffus. Ainsi depuis quelques années, l’acoustique nonlinéaire apparaît de plus en plus comme

une nouvelle voie très prometteuse pour le contrôle et l’évaluation non destructive des

matériaux de structure. En effet, si les nonlinéarités acoustiques peuvent très élevées pour les

matériaux inhomogènes comme les roches [Johnson et McCall-1994, Moussatov,

Castagnède et al.-2001], elles augmentent sensiblement en présence d'endommagement

[Zaitsev, Gusev et al.-2003 ; Lacouture, Johnson et al.-2003]. Des phénomènes

nonlinéaires associés à l'endommagement sont également observés dans des matériaux

beaucoup plus homogènes tels que les métaux ou les verres [Moussatov, Gussev et al.-2003].

De nombreuses applications potentielles existent en acoustique nonlinéaire tant pour la

15


caractérisation de fissures macroscopiques localisées que pour l'évaluation d'endommagement

diffus dû à la présence de microfissures. Dans ce dernier cas, du fait de leur grande sensibilité,

les méthodes acoustiques nonlinéaires sont particulièrement performantes notamment dans la

détection et la caractérisation des endommagements précoces. Notre travail s'inscrit dans ce

cadre. Nous avons privilégié une approche globale nonlinéaire en résonance, en étudiant les

potentialités des méthodes nonlinéaires en résonance à caractériser finement

l'endommagement à travers de nouveau indicateurs. Pour ce faire, nous avons exploré de

nouvelles voies exploitant les phénomènes de dynamiques lente et rapide (Slow and Fast

Dynamics) associés au comportement nonlinéaire hystérétique des matériaux endommagés.

Cela concerne deux matériaux hétérogènes très différents: un composite base polymère et un

béton du génie civil.

L’étude du comportement mécanique des matériaux hétérogènes béton et composite base

polymère est présentée dans le premier chapitre. Selon une description matrice-renforts, nous

décrivons les différents constituants de ces deux matériaux composites. Sachant que nos

échantillons sont endommagés par des essais mécaniques, nous présentons la réponse de

chaque type de matériau aux essais statiques de compression et de traction. Dans ce cas, nous

insistons sur les mécanismes d’endommagement ayant lieu aux niveaux des constituants et

des interfaces. Après avoir décrit le composite SMC et le béton objets de ce travail, nous

introduisons les méthodes d’identification des modes de vibration en résonance puis

présentons les différentes méthodes nonlinéaires utilisées pour la caractérisation de

l’endommagement.

Le deuxième chapitre est consacré à la présentation des différents modèles théoriques

décrivant le comportement élastique nonlinéaire des matériaux. Dans un premier temps, nous

présentons la théorie d’élasticité classique. Après avoir montré l’incapacité de cette dernière à

prendre en compte les comportements élastiques hystérétiques observés dans divers

matériaux, nous décrivons les différents modèles qui tiennent compte de l’hystérésis selon une

description phénoménologique dans un espace de pression appelé « Espace Preisach-

Mayergoysz ». Plus particulièrement, nous présenterons l’approche dite LISA (Local

Interaction Simulation Approach), qui est utilisée pour la simulation du comportement

nonlinéaire hystérétique du béton en résonance.

Les résultats issus de la caractérisation du béton sont présentés dans le troisième chapitre.

Dans un premier temps, nous décrivons le dispositif expérimental (appareils et céramiques)

avant de nous intéresser à sa limite de fonctionnement linéaire. La caractérisation du béton

consiste essentiellement à étudier le comportement nonlinéaire hystérétique à l’état intact et

16


endommagé. Dans ce cas, l’évolution de la fréquence de résonance en mode d’Young est

suivie pour des niveaux d’excitation croissants (Dynamique Rapide). Après avoir soumis le

matériau à un conditionnement continu à fort niveau d’excitation, sa relaxation est suivie à

travers la variation temporelle de la fréquence de résonance (Dynamique Lente). Cette fois,

nous nous sommes servis d’une adaptation du modèle LISA afin de reproduire

qualitativement et quantitativement les variations fréquentielles relatives au comportement

hystérétique non-linéaire du béton. Les résultats expérimentaux et simulés sont présentés de

façon superposée.

Le dernier chapitre est dédié à la caractérisation du SMC (Sheet Moulding Compound) à

travers le suivi du sixième mode de résonance en flexion. Dans ce cas, l’endommagement est

quantifié dans un premier temps par l’évolution nonlinéaire de l’atténuation. Nous observons

ensuite l’évolution du temps de relaxation en fonction de l’endommagement. De nouveaux

indicateurs d'endommagement liés à ces phénomènes dynamiques sont discutés.

L'endommagement est également caractérisé par émission acoustique à travers l'énergie

élastique libérée par le matériau. A l’aide de ce contrôle d’endommagement nous avons

corrélé, pour la première fois, les indicateurs nonlinéaires d’endommagement et l’énergie

élastique libérée par le matériau. Cela a également permis de mettre en lumière des lois de

variation logarithmique essentielles pour envisager l'estimation de la durée de vie des

matériaux. Enfin, à l’aide de la discrimination des différents mécanismes d’endommagement,

réalisée à partir des signaux d’émission acoustique, nous proposons comme perspective une

corrélation entre ces mécanismes et l’évolution du comportement nonlinéaire. Cette démarche

pourra certainement aider à mieux identifier les mécanismes qui contribuent le plus à

l’évolution du comportement non-linéaire hystérétique des matériaux endommagés.

17


18

CHAPITRE I : Matériaux – Elaboration, propriétés mécaniques et caractérisation ultrasonore

CHAPITRE I : Matériaux – Elaboration, propriétés mécaniques et caractérisation ultrasonore 1. Introduction .......................................................................................................................... 21 2. Le béton................................................................................................................................ 21

2.1 Présentation du matériau .......................................................................................... 21 2.2 Qualité du béton : Influence des différents paramètres............................................ 22

2.2.1 Les pores .......................................................................................................... 23 2.2.2 Rapport eau / ciment ........................................................................................ 23 2.2.3 Rapport granulat/ciment................................................................................... 24 2.2.4 Les adjuvants.................................................................................................... 24

2.3 Endommagement du béton....................................................................................... 25 2.3.1 Comportement en compression uniaxiale ........................................................ 26 2.3.2 Comportement en traction uniaxiale ................................................................ 27

2.4 Elaboration du béton objet de cette étude ................................................................ 29 2.5 Caractérisation ultrasonore....................................................................................... 30

3. Composites base polymère................................................................................................... 31 3.1 Matrices.................................................................................................................... 32

3.1.1 Matrices organiques ou résineuses................................................................... 32 3.2 Fibres de renfort ....................................................................................................... 34

3.2.1 Fibres de verre.................................................................................................. 35 3.2.2 Autres types de fibres ....................................................................................... 35

3.3 Endommagement des composites ............................................................................ 36 3.3.1 Fissuration matricielle ...................................................................................... 36 3.3.2 Rupture de fibre................................................................................................ 36 3.3.3 Décohésion fibre-matrice ................................................................................. 37 3.3.4 Délaminage....................................................................................................... 37

3.4 Composite SMC : caractérisation vibratoire et ultrasonore ..................................... 38 3.4.1 Comportement mécanique : mécanismes d’endommagement ......................... 38 3.4.2 Caractérisation vibratoire ultrasonore .............................................................. 38

4. Caractérisation acoustique non-linéaire de l’endommagement ........................................... 41 4.1 Acoustoélasticité des matériaux endommagés......................................................... 41 4.2 Génération d’harmoniques et modulation non-linéaire............................................ 43 4.3 Méthode de résonance.............................................................................................. 44

5. Conclusion............................................................................................................................ 45

19


20


1. Introduction L’étude de l’endommagement des matériaux et son évaluation non destructive par ultrasons

ne peuvent se faire sans étude préalable des matériaux en question depuis leur élaboration

jusqu’au comportement mécanique du produit fini. Ce chapitre a pour but de présenter les

deux matériaux sur lesquels nous avons travaillé. En particulier, leur composition et leurs

caractéristiques mécaniques seront décrites, ainsi que leur processus d’endommagement en

relation avec leur microstructure. Pour chaque matériau, la technique ultrasonore utilisée pour

l’étude des modes propres de vibration sera présentée. Pour conclure, les bases des différentes

techniques acoustiques non-linéaires de caractérisation de l’endommagement seront

présentées.

2. Le béton

En général, le béton du génie civil est fabriqué à partir de trois constituants de base: le ciment,

les granulats et l’eau. La pâte de ciment, formée de ciment et d’eau, est mélangée avec les

granulats dont les dimensions peuvent aller de 100 µm dans le cas du sable jusqu’à 10 ou 20

mm lorsqu’on utilise des inclusions rocheuses. Un examen plus fin montre l’existence d’une

zone, appelée zone de transition interfaciale (ZTI), servant à relier les agrégats à la matrice

faite de pâte de ciment souvent plus poreuse que le reste du matériau. De ce fait, toute

tentative visant à présenter le béton comme un matériau composite doit considérer au moins

trois phases distinctes: la matrice, les agrégats et les différentes ZTI comme montré sur la

figure I-1 [Garboczi et Berryman-2000], sans compter les micro-vides (porosité) et micro-

fissures produits lors de l’élaboration du matériau. Cette approche est néanmoins d’une

grande utilité lorsqu’il s’agit d’expliquer les différentes observations expérimentales

effectuées lors d’essais statiques ou dynamiques servant à caractériser le matériau béton.

2.1 Présentation du matériau

Le béton durci est produit à la suite de l’hydratation du ciment Portland qui réagit avec l’eau

pour former des silicates de calcium hydratés (C-S-H) selon la réaction d’hydratation

suivante : [Neville-2000]

21


Figure I- 1 : Béton considéré comme un matériau composite: Représentation triphasique

C3H

ou + H2O → C-S-H + Ca (OH)2 + T° (I-1)

C2H

Les C-S-H (la pâte de ciment durcie) jouent le rôle de colle qui solidarise les granulats entre

eux pour former un matériau rigide. La plupart des propriétés du béton sont directement liées

à la pâte de ciment durcie. La figure I-2, empruntée à Pigeon, montre une représentation

schématique d’une pâte de ciment partiellement hydratée où l’on trouve : [Pigeon-1981]

a. Des grains de ciment non-hydratés dont les dimensions varient de 10 à 80 µm.

b. Des capillaires totalement ou partiellement remplis d’eau.

c. Des hydrates, surtout des C-S-H, et des cristaux de chaux qui remplissent

graduellement les espaces entre les grains de ciment.

Toutefois il faut noter que la figure I-2 ne présente ni les pores ni les bulles d’air dont les

dimensions sont trop petites (5µm jusqu’à 40 Å) et trop grandes ( > 1 mm) respectivement.

2.2 Qualité du béton : Influence des différents paramètres

La qualité d’un béton est évaluée par sa résistance à la compression. Cet essai simple permet

de quantifier la qualité des propriétés mécaniques et notamment la résistance à la compression

qui dépend des constituants et de la microstrure du béton. Dans ce qui suit, les éléments

structuraux les plus importants sont définis ainsi que leur influence sur la qualité du béton.

22


Figure I- 2: Représentation schématique de la pâte de ciment hydraté

2.2.1 Les pores

Les pores à l’intérieur du béton sont soit des bulles d’air piégées lors du malaxage, soit des

espaces laissés libres lorsque l’excédent d’eau contenue dans le béton s’évapore. A un degré

moindre, il peut aussi y avoir des pores créés par la montée d’eau lors du ressuage, lorsque

cette eau reste piégée sous les gros granulats. Cela est surtout favorisé par la faible densité de

l’eau par rapport à celles de tous les constituants du béton, et l’incapacité de ces derniers à

retenir toute l’eau de gâchage lorsqu’ils sont entraînés vers le bas [Rössler et Odler-1985].

La résistance du béton est fondamentalement dépendante du volume des pores qu’il

comporte : air occlus, pores capillaires, pores de gel et air entraîné. Une faible porosité est

synonyme d’une faible perméabilité dont l’avantage est de retarder la pénétration de l’eau et

des autres agents potentiellement agressifs (sulfates, CO2, Cl-, etc.)

2.2.2 Rapport eau / ciment

Le rapport eau / ciment exerce une grande influence sur la porosité de la pâte de ciment

hydraté car il gouverne directement l’espacement initial entre les grains de ciment en

suspension dans l’eau de gâchage. Plus le rapport eau / ciment est faible, plus, initialement,

23


les grains de ciment sont rapprochés les uns des autres. Les espaces à combler entre les grains

de ciment sont moins grands et il y a moins de chance d’avoir un grand vide ne pouvant pas

être complètement rempli par les hydrates. Pratiquement la quantité d'eau nécessaire dans un

mélange normal est toujours très supérieure à celle qui est nécessaire pour l'hydratation du

ciment pour qu'il atteigne sa forme finale dans le béton. Une grande partie de l'eau

supplémentaire nécessaire dans les mélanges pour les rendre malléables se sera évaporée

lorsque le béton atteindra sa forme finale. La densité finale de la pâte de ciment une fois

durcie, et par conséquent quelques autres propriétés importantes comme la résistance et la

porosité, sont déterminées par le rapport eau-ciment du mélange original. Le rapport eau-

ciment constitue donc une sorte d’indice de résistance dans les mélanges de béton. A partir

d’un seuil de mouillage, plus le rapport eau-ciment est faible plus la résistance de la pâte

durcie, c'est-à-dire du béton, est élevée. [Gilkey-1961; Neville-2000]

2.2.3 Rapport granulat/ciment

Comparé au rapport eau/ciment, le rapport granulat/ciment et en particulier le rapport

sable/ciment est un facteur de deuxième importance quant à la résistance du béton. Les

matières inertes formant les granulats sont liées entre elles par le ciment. Pour un rapport

eau/ciment constant, il a été démontré qu’un béton plus faiblement dosé (rapport

granulat/ciment faible) était plus résistant [Popovics-1990]. Les raisons exactes d’un tel

comportement ne sont toujours pas connues, mais l’explication la plus probable provient du

fait que la teneur totale en eau par mètre cube de béton est plus faible dans un béton

faiblement dosé en ciment que dans un béton fortement dosé. Il en résulte que le pourcentage

de vides par rapport au volume total de béton est plus faible dans un béton faiblement dosé en

ciment et que ce sont justement ces vides qui ont un effet négatif sur la résistance. [Neville-

2000; Stock, Hannant et al.-1979]

2.2.4 Les adjuvants

Contrairement au ciment, aux granulats et à l’eau, les adjuvants ne sont pas essentiels au

béton. Cependant ce sont des constituants de plus en pus utilisés au point qu’actuellement

dans la majorité des applications, un béton sans adjuvant est une exception. Différents types

d’adjuvants peuvent être utilisés selon les besoins : adjuvants accélérateurs, retardateurs,

24


réducteurs d’eau, etc. Il y a toutefois lieu d’insister sur le fait que même utilisés de manière

adéquate et bénéfique pour le béton tant sur le plan technique qu’économique, ils ne peuvent

en aucun cas servir à corriger la mauvaise qualité des autres constituants, ni leur dosage

incorrect. [Ramachandran-1984]

2.3 Endommagement du béton

Plusieurs études ont montré que même avant l’application de charge, il existe de très petites

fissures à l’interface pâte de ciment-granulat. Ces fissures sont attribuées aux différences entre

les propriétés mécaniques existant entre les granulats et la pâte de ciment hydraté, couplées au

retrait et aux déformations d’origine thermique. Aussi longtemps que les fissures demeurent

stables, leur présence n’est pas dangereuse. Paradoxalement, alors que l’interface entre la pâte

de ciment hydraté et les gros granulats est le lieu privilégié de microfissuration précoce, ce

sont les gros granulats qui empêchent l’ouverture d’une grosse fissure unique. Les granulats

entravent donc la propagation des microfissures montrant ainsi le caractère bénéfique de

l’hétérogénéité du béton. La figure I-3 obtenue à l’aide d’un microscope électronique à

balayage, montre la présence de microfissures dans un échantillon de béton brut de

fabrication. [Elaqra-2004]

Lorsque le béton est mis sous sollicitation, certains défauts agissent comme des zones de

concentration de contraintes, rendant ainsi la sollicitation en ces zones beaucoup plus élevée

que dans le reste du matériau. Cela permet aux microfissures de se développer pour de

modestes valeurs de la contrainte appliquée. Les vides ou les pores se trouvant dans la pâte de

ciment, ne se comportent pas nécessairement comme des défauts. Mais les fissures dans les

cristaux individuels associées aux vides ou encore causées par le retrait ou le défaut

d’adhérence, peuvent agir comme des points de faiblesse [Alford, Groves et al.-1982].

L’augmentation de la charge appliquée entraîne la croissance des microfissures qui se

connectent entre elles pour former une macrofissure. Cette dernière provoque la rupture du

matériau, qui se manifeste par une diminution des contraintes et une augmentation des

déformations. Ce comportement appelé comportement quasi-fragile ou adoucissant est

associé à un phénomène de localisation des déformations. Dans le cas du béton, la

concentration des déformations s’effectue le long des macrofissures, localisant ainsi la

déformation dans des zones de faibles dimensions au moment où le reste du matériau a

tendance à se décharger. L’hétérogénéité du béton rend son comportement très complexe,

25


allant du non-linéaire dans le cas de contraintes multiaxiales jusqu’à la dépendance au temps

dans les cas du fluage et/ou du retrait.

50 µm

Figure I- 3: Mise en évidence de fissures dans le béton dans son état initial : image obtenue à l'aide d'un microscope électronique à balayage

2.3.1 Comportement en compression uniaxiale

Le comportement du béton soumis à une compression uniaxiale est décrit par la figure I-4. Le

matériau présente un comportement quasi-élastique qui dure jusqu’à 40 % de sa contrainte

limite en compression σmax, avant d’entamer la zone de comportement non-linéaire.

Sur la même figure, nous remarquons l’existence de deux parties: [Ashby et Jones-1991]

- Une partie ascendante durant laquelle le béton ne contient que des microfissures non

visibles à l’œil nu.

- Une partie descendante dite d’adoucissement où nous voyons l’apparition de

macrofissures au niveau de la surface.

Lors de l’essai de compression, l’endommagement est localisé dans une certaine région. En

dehors de cette zone d’endommagement, le béton semble intact même après la fin de l’essai.

L’évolution des fissures dans les bétons sollicités en compression uniaxiale a été étudiée par

Hsu et al. En examinant au microscope des disques de béton extraits de différents échantillons

testés, ils ont pu montrer l’existence de deux mécanismes responsables de la fissuration

interne. Dans le premier la création et la propagation des microfissures se fait au niveau de

26


l’interface grain-matrice alors que dans le deuxième elle s’effectue dans le mortier enrobant

les grains les plus grossiers. [Hsu, Slate et al.-1963].

2.3.2 Comportement en traction uniaxiale

Etant conçues pour supporter des efforts de compression, les structures en béton sont rarement

testées en traction : les résultats expérimentaux de traction uniaxiale restent peu nombreux ce

qui est en partie dû à la difficulté de mise en œuvre de l’essai en traction du fait du

comportement fragile du matériau [Dorlot, Baïlon et al.-1986]. La figure I-5 représente la

réponse du béton à la traction uniaxiale. Une grande différence avec l’essai de compression

réside dans la faiblesse de la valeur limite de la contrainte en traction devant celle en

compression. Dans le cas général le rapport entre ces deux grandeurs est voisin de dix. Cette

différence est essentiellement attribuée aux microfissures dont le comportement évolue en

fonction de la contrainte appliquée. Lorsque la charge augmente, les microfissures demeurent

stables jusqu’à environ 30% ou plus de la charge maximale, après quoi elles commencent à

s’allonger, à s’élargir et à se multiplier. La contrainte totale sous laquelle ces microfissures se

développent est sensible au rapport eau/ciment de la pâte. Ceci correspond au stade de la

propagation stable des fissures. Pour des valeurs de la charge situées entre 70 et 90% de la

résistance maximale, les fissures s’ouvrent à travers le mortier (pâte de ciment et granulats

fins) et s’interconnectent de manière à former un réseau continu de fissuration. Ce stade de

propagation rapide de la fissure se poursuit jusqu’à conduire le matériau à la rupture finale. La

nature du béton ne le rend pas efficace pour résister aux efforts de tension ou de flexion par

lui-même. Pour de telles applications, le béton dit armé est utilisé. Ce matériau est du béton

renforcé avec des armatures métalliques qui supportent les efforts de tension, laissant au béton

les rôles de résistance à la compression et de maintien de la structure. [Lemaitre et

Chaboche-2001]

27


Figure I-4: Courbe contrainte-déformation du béton soumis à une compression uniaxiale

Figure I-5: Courbe contrainte-déformation du béton soumis à une traction uniaxiale

28


2.4 Elaboration du béton objet de cette étude

Les échantillons de béton ont été réalisés par H. Elaqra du groupe Céramique et composites

du GEMPPM. La fabrication des éprouvettes a été menée à l’aide de mélange de sable, ciment

et eau distillée. Le sable utilisé est un sable normalisé dont la taille des grains est comprise

entre 0.08 mm et 2 mm. Les éprouvettes utilisées sont de forme cylindrique de 30 mm de

diamètre et 60 mm de long. L’eau collée aux surfaces des différents grains de sable est

évaporée par échauffement de sable à 500°C. Le sable et le ciment secs sont introduits dans

un malaxeur, qui tourne pendant une durée de 5 minutes suffisante pour disperser les grains

de sable et de ciment. L’eau distillée est ensuite ajoutée lentement pendant 5 autres minutes.

Le mélange ainsi réalisé est ensuite versé dans des moules cylindriques lubrifiés et fixés sur

une table vibrante. Lors du processus de gâchage, une évaporation lente de l’eau est assurée à

l’aide d’un film en plastique posé sur les différents moules. Après avoir séjourné dans un

environnement 100% humide pendant 28 jours, les éprouvettes sont récupérées et coupées

afin d’assurer un bon parallélisme entre les deux faces. Un porosimètre à mercure est utilisé

pour déterminer la distribution des pores de tailles allant de 0.5 µm jusqu’à 315 µm et de

fraction volumique correspondant à 14% du volume total de l’éprouvette. Le béton étudié n’a

pas d’orientation préférentielle de grain et la longueur des fissures peut aller jusqu’à 2

millimètres avec une ouverture de quelques microns [Elaqra-2004]. Le matériau est ensuite

endommagé par un essai de compression, comme montré sur la figure I-6. Durant cet essai, la

création, la propagation ainsi que la coalescence des micro-fissures ont été suivies par

émission acoustique, comme on peut le voir sur la même figure où le nombre de signaux

d’émission acoustique est représenté. Les résultats d’émission acoustique seront traités en

détail lors de la caractérisation du composite SMC, mais on peut déjà noter que la présence de

micro-fissures est détectée même avant tout processus d’endommagement où il est facile de

voir d’après la figure I-3 que le lieu de fissuration privilégié est l’interface pâte-granulat à

partir duquel les fissures se propagent dans la matrice. Cette apparition de fissures est, en

général, attribuée aux différences entre les propriétés mécaniques des granulats et de la pâte

de ciment hydratée, couplées au retrait et aux déformations d’origine thermique. [Elaqra-

2004]

29


2.5 Caractérisation ultrasonore

La méthode de caractérisation que nous avons choisie est basée sur le suivi de l’évolution

d’un mode de résonance en fonction du niveau d’excitation pour différents états

d’endommagement. A partir du moment où le spectre de vibration d’un matériau présente une

panoplie de modes accompagnés de leurs harmoniques (multiples entiers), il est nécessaire

d’identifier et de choisir un mode de vibration donné. En général, pour des raisons liées à

l’atténuation notamment dans les matériaux hétérogènes, on ne s’occupe pas des harmoniques

et on ne s’intéresse qu’aux modes fondamentaux pouvant produire le maximum de

déformation dans la zone endommagée. En ce qui concerne les échantillons de béton, nous

avons calculé les vitesses de propagation d’ondes longitudinale (VL) et transversale (VT) à

partir des temps de vol d’impulsions ultrasonores mesurées par intercorrélation1. Cela nous a

permis de remonter aux valeurs du module d’Young dynamique E et du coefficient de Poisson

ν à l’aide des deux formules suivantes, le matériau étant considéré comme isotrope:

)21()1()1(2

νννρ −+

−= EVL , )1(22

νρ += EVT (I-2)

ρ est la masse volumique du matériau. La fréquence de résonance correspondant au premier

mode de vibration en mode épaisseur appelé communément mode d’Young est calculée à

l’aide de la relation suivante :

LEf 2

10 ρ= (I-3)

où L est la longueur de l’échantillon. Le tableau (1) regroupe les différentes données

correspondant au béton étudié.

Tableau I-1: Caractéristiques des échantillons de béton

E(Gpa) ν ρ (g/cm3) L (mm) f0 (kHz) VL (m/s) VT (m/s)

24 0.126 2.1676 61 26.7684 3390 2217

1 Les vitesses sont mesurées avec un transducteur résonant à 1 MHz.

30


Il est utile de noter que dans le cas de matériaux instrumentés de faible épaisseur tels que les

composites base polymère (isotropes ou anisotropes), l’application de cette simple technique

de calcul n’est plus valable. Dans ce cas, l’identification des différents modes de vibration

nécessite l’utilisation de techniques plus élaborées telle que la simulation ou l’imagerie en C-

Scan. Ces différentes techniques ainsi que les matériaux composites base polymères sont

présentés dans la partie suivante.

Contrainte Nombre de salves d’EA

FigureI-6: Essai de compression appliqué à l'échantillon de béton au voisinage de sa contrainte de rupture [Elaqra-2004]

3. Composites base polymère

Le deuxième matériau étudié dans notre travail est un composite base polymère, matrice

polyester renforcé par des fibres de verre appelé composite SMC (Sheet Moulding

Compound). Avant de décrire ce matériau, nous allons en quelques lignes présenter les

matériaux composites notamment base ploymère, et leur processus d’endommagement. Les

différentes exigences de l’industrie moderne (légèreté, tenue à la corrosion, facilité de mise en

œuvre, isolation, tenue à la fatigue, dureté et souplesse) ont été à l’origine de la naissance des

matériaux composites base polymère. Ces derniers sont obtenus en combinant divers types de

matériaux normalement non miscibles, tout en contrôlant leur morphologie et leur répartition,

pour obtenir des composites dont les propriétés sont optimales par rapport à celles des

31


composants de base. Selon les applications, différents types de matrice et de renfort (fibres en

général) peuvent être utilisés. La disposition particulière des fibres dans la matrice est un

moyen efficace qui permet de favoriser la résistance du composite dans certaines directions

plus que d’autres. Dans ce cas, la liaison entre les fibres joue un rôle important dans la

résistance du composite. Par ailleurs, la liaison entre fibres et matrice créée pendant

l’élaboration du composite est d’une importance capitale pour les propriétés mécaniques. Les

trois zones, matrice, fibres et liaisons, seront détaillées dans cette partie afin de mieux

comprendre les mécanismes d’endommagement qui interviennent lorsque le composite est

mis sous contrainte.

3.1 Matrices

Dans un matériau composite, la matrice est utilisée pour incorporer les fibres avec

suffisamment d’adhérence afin d’optimiser le transfert des contraintes mécaniques appliquées.

Cependant, la matrice ne doit pas être trop rigide pour ne pas contrarier le travail des fibres ce

qui fait de sa ductilité un paramètre important [Dorlot, Baïlon et al.-1999]. La satisfaction

simultanée de tous ces critères étant difficile, les matrices sont choisies selon le domaine

d’utilisation du matériau composite. Cela a donné naissance à différentes matrices utilisées

selon la fonction pour laquelle le composite est destiné. Il est possible d’avoir une matrice à

partir de la carbonisation d’une matière organique à haute température. Dans ce cas, le dépôt à

chaud des grains de carbone assure une liaison mécanique entre les fibres et bouche ainsi les

vides laissés entre elles. L’utilisation de ces matrices est destinée essentiellement aux

applications à haute température comme dans le cas des systèmes de freinage d’automobiles

et d’avions. Pour des températures encore plus élevées (supérieure à 500 °C, température

d’oxydation du carbone), les métaux s’avèrent chimiquement inertes et apportent une nette

amélioration aux propriétés des composites pour des directions différentes de celles des fibres

[Gay-1991]. Mis à part ces deux types de matrices, il existe des matrices organiques

constituées de matières plastiques (résines ou polymères) auxquelles nous nous intéressons et

qui sont détaillées ci-dessous.

3.1.1 Matrices organiques ou résineuses

A l’origine, ce sont les polymères transformés à l’état liquide qui ont été les plus utilisés dans

la fabrication des composites, et ce grâce à la facilité de leur mise en œuvre sans pression

32


[Chatain-2003]. On sépare souvent les polymères en deux familles: les thermoplastiques et

les thermodurcissables.

3.1.1.1 Matrices thermoplastiques

Les matrices thermoplastiques sont constituées de polymères à chaîne linéaire et sont

caractérisées par leur point de fusion. Leur moulage est obtenu par changements d’états:

solide → liquide ou pâteux (mise en forme) → solide (refroidissement).

On en distingue deux types:

- Les amorphes : ils n’ont pas d’ordre moléculaire apparent ni de température de fusion

précise mais plutôt une phase de ramollissement. Ils sont caractérisés par une stabilité

dimensionnelle, une bonne tenue au choc, une assez bonne résistance au fluage et une

grande résistance à la traction. Exemples : PVC, PMMA, PPS, etc.

- Les cristallins : ils sont constitués de cristallites ordonnées et reliées dans une matrice

amorphe. Leur température de fusion est précise. On définit alors un taux de

cristallinité qui caractérise l’importance de la structure cristalline dans l’ensemble de

la matière. Il dépend des conditions de moulage mais aussi de la tendance du matériau

à être cristallin selon l’arrangement de la macromolécule. Ils sont caractérisés par une

bonne tenue à la fatigue dynamique et un faible coefficient de frottement. On y

trouve : PE, PET, PTFE, etc.

3.1.1.2 Matrices thermodurcissables

Les matrices thermodurcissables ont une structure réticulée, sans point de fusion et leur

moulage se fait par réaction chimique d’un mélange d’ingrédients dans un moule. Après

durcissement, il n’y a pas de reformation possible. Dans cette famille, les structures

moléculaires sont très complexes et difficilement représentables. Elles constituent un réseau

tridimensionnel de motifs de base. On y trouve surtout les polyesters, époxydes, phénoliques,

etc. Leur mise en œuvre résulte d’une réaction chimique entre une résine de base et son

durcisseur ou catalyseur accompagné de différents ingrédients destinés à apporter une

particularité à la réaction (accélérateur, inhibiteurs, etc.) ainsi qu’à la matière (charges

diverses). Après durcissement, on ne peut qu’usiner le matériau, il n’y pas de fusion possible.

33


3.2 Fibres de renfort

L’influence des fibres sur les propriétés finales du matériau composite est primordiale. Ces

fibres peuvent être de nature différente et exigent, de ce fait, différents procédés de

fabrication, parfois complexes. En plus de leurs caractéristiques mécaniques, la disposition

des fibres a une grande influence sur le comportement du matériau composite. En effet, les

composites sont considérés comme isotropes lorsque les fibres de renfort sont aléatoirement

distribuées dans le volume, sous forme de fibres courtes ou d’un mat de fibres longues

(isotrope dans le plan des mats). Par contre, il est courant d’aligner les fibres pour renforcer le

composite selon certaines directions plus que d’autres. Dans ce cas, le degré d’anisotropie

varie du composite unidirectionnel jusqu’au multidirectionnel comme cela est détaillé dans la

figure I-7 empruntée à Dorlot et al. [Dorlot, Baïlon et al.-1999; Naslain-1985].

Figure I-7: Différentes dispositions des fibres (1) fibres unidirectionnelles; (2) mat; (3) tissage tridirectionnel orthogonal; (4) tissu. Dans les trois premiers cas, la résistance du composite selon une direction perpendiculaire au plan de disposition des fibres est toujours faible. Le tissage 3D permet d’obtenir une résistance élevée dans les trois directions.

34


3.2.1 Fibres de verre

Les fibres de verre représentent les premiers matériaux de renfort utilisés dans les composites

de première génération dans les années quarante [Dorlot, Baïlon et al.-1999]. Selon leurs

caractéristiques chimiques, physiques et mécaniques, les fibres de verres sont classées en

variétés E, R et S. Dans ces variétés, les propriétés mécaniques sont améliorées et la

température maximale d’utilisation est élevée dès lors que le pourcentage de silice utilisé

devient plus important. Cela explique que l’utilisation des fibres de silice soit courante lors

des utilisations haute performance. Aussi, le module d’Young élevé et voisin de celui de

l’aluminium, rend l’utilisation des fibres de verre intéressante lorsqu’elles sont associées à

une matrice de faible rigidité telle que les polymères. En général, le plus grand problème

associé à ces fibres est leur haute sensibilité aux endommagements superficiels, en particulier

les rayures qui limitent leur résistance mécanique et créent des zones de concentration de

contrainte. Cela est évité lors de la fabrication en empêchant tout contact entre les fibres elles-

mêmes et avec tout autre objet, en recouvrant les fibres d’un enduit qui a pour second rôle de

favoriser l’adhésion entre les fibres et la matrice. Malgré cela, il faut faire très attention lors

de la manipulation des fibres afin d’éviter les éventuels endommagements superficiels.

[Dorlot, Baïlon et al.-1986]

3.2.2 Autres types de fibres

A coté des fibres de verre, nous trouvons les fibres de polymère connues pour leur faible

rigidité allant de 1 à 20 GPa. Cela a limité leur utilisation dans les renforcements jusqu’à

l’apparition des fibres de polyamides aromatiques connues sous le nom de « Kevlar ». Ces

dernières ayant une rigidité supérieure à celle des fibres de verre (~130 GPa). Elles sont

essentiellement utilisées dans la fabrication des câbles, des pneumatiques (à la place des fibres

d’acier) et comme renfort à haute performance. De leur coté, les fibres de carbone sont

fabriquées suite à une carbonisation des fibres de polymères. Leurs remarquables propriétés

résultent de la forte orientation préférentielle des cristallites parallèlement à l’axe des fibres.

Cela se traduit par une rigidité et une résistance très élevées dans la direction longitudinale,

associées à un très faible coefficient de dilatation linéique dans cette direction. Selon le

procédé de fabrication, leur module d’Young peut monter jusqu’à 420GPa. [Dorlot, Baïlon

et al.-1986]

35


3.3 Endommagement des composites

Lorsqu’ils sont soumis à des contraintes externes, les matériaux composites subissent

différents types de dégradation résultant de l’endommagement local au niveau de la matrice,

des fibres et de l’interface fibre-matrice. Généralement, ces mécanismes se produisent

simultanément, réduisant ainsi les propriétés mécaniques du matériau composite. Les

mécanismes de dégradation se développent suivant la nature des matériaux et les conditions

de sollicitation mécanique imposées. Dans un matériau composite, la redistribution des

contraintes, et par conséquent le processus de rupture résultant, dépend principalement de la

contrainte à la rupture des fibres, de la capacité de la matrice à absorber l’énergie libérée, des

propriétés de l’interface fibre-matrice, de la fraction volumique des fibres ainsi que de l’état et

des conditions de sollicitation mécanique imposées. [Berthelot-1999]

3.3.1 Fissuration matricielle

Dans la matrice, la fissuration peut être transverse ou longitudinale. La première se produit

lorsque la contrainte en traction dans la matrice atteint la contrainte de rupture de la matrice,

alors que la seconde a lieu lorsque la contrainte de cisaillement dans la matrice atteint la

contrainte en cisaillement à la rupture généralement au voisinage d’une fibre. Ce dernier

mode de rupture appelé « splitting » se produit lorsque la contrainte de décohésion est

supérieure à la contrainte de cisaillement à la rupture de la matrice. Dans le cas de composites

industriels à fibres de verre, les performances à la rupture peuvent être limitées par une

déformabilité trop faible de la matrice. Il apparaît donc nécessaire d’adapter au mieux les

propriétés de la matrice à celles des fibres pour optimiser les performances à la rupture des

matériaux composites. [Berthelot-1999]

3.3.2 Rupture de fibre

Dans certains cas, l’endommagement dans les composites est initié par une rupture de fibre.

Cela se produit en général lorsque l’orientation des fibres coïncide plus ou moins avec l’axe

de sollicitation du matériau composite. La rupture a lieu lorsque la contrainte de rupture de la

fibre est atteinte. L’endommagement produit ne cesse de progresser à mesure que la

contrainte est appliquée, et provoque ainsi la rupture de la matrice et autres fibres jusqu’à la

rupture totale du matériau.

36


3.3.3 Décohésion fibre-matrice

Dans la pratique, même après avoir choisi les constituants fibres et matrice avec soin en les

soumettant à des contrôles précis, l’interface issue de leur interaction ne peut être totalement

maîtrisée par les efforts d’analyse et de prévision. Dans le cas particulier où les fibres sont

discontinues, la zone interfaciale est le siège d’initiation de fissures et devient de ce fait

critique à l’accumulation de l’endommagement. Cela est dû essentiellement à l’efficacité du

transfert de charges à l’interface fibre-matrice ainsi qu’à la concentration des contraintes aux

extrémités des fibres. Le comportement de l’interface fibre-matrice dépend essentiellement de

ses propriétés mécaniques comparées à celles des fibres et de la matrice. Généralement la

décohésion a lieu dans deux cas :

- Lorsque la cohésion est inférieure à la contrainte de cisaillement à la rupture de la

matrice.

- Lorsque l’adhérence fibre-matrice est faible : dans ce cas, la rupture de la matrice

traverse les fibres sans qu’il y ait rupture de fibres, mais avec décohésion de l’interface

fibre-matrice.

Dans le cas d’une adhérence fibre-matrice élevée, la rupture initiée, soit par rupture de fibres,

soit par rupture de la matrice, induit en front de fissure des concentrations de contraintes

conduisant à une propagation de la rupture successivement dans les fibres et dans la matrice.

[Berthelot-1999]

3.3.4 Délaminage

Dans le cas d’un stratifié ou multicouche, aux mécanismes élémentaires précédemment

décrits s’ajoute un mécanisme de rupture entre couches appelé rupture par délaminage. Ce

type d’endommagement dépend de la nature des constituants, de l’architecture des couches et

du mode de sollicitation mécanique imposée. Le délaminage, qui apparaît après la phase

d’endommagement intralaminaire, commence souvent sur les bords avant de s’étendre sur

toute l’éprouvette. Il correspond un un fissuration qui a tendance à separer les plis ou couche

du composite[Berthelot-1999; Daviaud et Filliatre-1985]

37


3.4 Composite SMC : caractérisation vibratoire et ultrasonore

3.4.1 Comportement mécanique : mécanismes d’endommagement

Le deuxième matériau étudié dans notre travail est un composite verre polyester appelé SMC

(Sheet Moulding Compound) de qualité commerciale. Plus précisément le SMC est une

combinaison d’une résine en polyester, d’un enduit en carbonate de calcium, d’adjuvant

thermoplastique et de fibres de verres aléatoirement orientées. Les fibres de verre sont

coupées en longueurs de 2.5 cm, prises en sandwich entre deux couches de films sur

lesquelles la pâte de résine est déjà posée. La fraction volumique relativement faible des fibres

de verre qui est de l’ordre de 30% et le manque de contrôle de la distribution des différents

autres constituants lors de la fabrication du matériau, conduisent à une structure hautement

hétérogène ayant des zones de concentration de contraintes situées en différents endroits

(extrémités des fibres, interfaces, etc.). Le résultat est que pour des valeurs modérées de

contraintes, différentes formes d’endommagement peuvent être localement créées, comme

montré dans la figure I-8 à titre indicatif.

Figure I-8: Endommagement des SMC (a) rupture des fibres, (b) micro-fissuration matricielle et décohésion fibre-matrice

3.4.2 Caractérisation vibratoire ultrasonore

La méthode de caractérisation de l’endommagemnt que nous avons choisie est basée sur le

suivi de l’évolution d’un mode de résonance en fonction du niveau d’excitation. Du point de

vue géométrique, la structure de composite instrumenté est très différente de celle du béton

précédemment étudié, comme montré dans la figure I-9. En effet, l’anisotropie du matériau et

la forme parallélépipédique des échantillons aux bords desquelles les pastilles

piézoélectriques sont fixées, donne à l’ensemble une forme particulière qui rend difficile

38


l’identification des modes de résonance de manière analytique. Pour s’affranchir de cette

difficulté, nous avons simulé les vibrations de ces échantillons par éléments finis à l’aide du

code de calcul ABAQUSTM, afin d’identifier les modes propres de vibration des matériaux

instrumentés ainsi constitués. Préalablement à cela, la détermination des constantes

d’élasticité du matériau a été effectuée par ultrasons [Guy, Monnier et al.-2000]. Ces

données ainsi que d’autres nécessaires à la modélisation sont présentées dans le tableau I-2.

Les électrodes des transducteurs pouvant être considérées comme étant des circuits ouverts,

nous avons négligé les propriétés piézoélectriques des capteurs lors de la procédure

d’identification des fréquences de résonances et de ce fait nous n’avons considéré que leurs

propriétés mécaniques. Un exemple de résultat de la simulation est montré sur la figure I-10.

Figure I-9: Echantillon SMC instrumenté par deux capteurs piézoélectriques PZT

Tableau I-2: Propriétés de la plaque SMC ainsi que celles des pastilles piézoélectriques

Composantes des tenseurs de raideurs (GPa) Matériau Densité

C11 C12 C22 C13 C23 C33 C66 C55 C44

SMC 1.926 21.3 7.1 21.3 6.5 6.5 16.2 7.1 4.3 4.3

PZT 7.650 121.0 75.4 121.0 75.2 75.2 111.0 21.1 22.6 22.6

D’un point de vue expérimental, le matériau est excité autour d’une fréquence de

résonance identifiée à partir du spectre de vibration de la structure. Au même moment les

vibrations de la structure sont caractérisées de manière optique grâce à un vibromètre laser

comme indiqué sur la figure I-11, de manière à cartographier les vibrations en question, des

balayages suivant les axes x et y sont effectués à l’aide de moteurs pas à pas. Le pas de 0.5

mm choisi à cet effet est suffisant pour nous donner des images de bonne qualité. Un exemple

d’image obtenue par ce dispositif est montré sur la figue I-12 .

39


Figure I-10: Exemple de résultat de la simulation effectuée à l'aide du logiciel ABAQUSTM : vibrations correspondant au 6éme mode flexion de fréquence 17. 9 KHz

Figure I-11: Dispositif expérimental utilisé pour l'imagerie vibratoire : le pas de mesure est réglé à 0.5mm pour améliorer la qualité des images 2D.

40


Figure I-12: Imagerie du premier mode correctement amplifié correspondant au sixième mode de flexion (16.685 KHz)

Le mode représenté sur cette figure est du même ordre que celui simulé et représenté sur la

figure I-10. Nous pouvons constater une très bonne adéquation entre le résultat expérimental

et la modélisation. Avant de présenter les résultats relatifs à l’approche acoustique non-

linéaire, pour la caractérisation de l’endommagement du béton de génie civil et du composite

SMC, nous allons brièvement rappeler le principe des différentes méthodes acoustiques non-

linéaires potentielles pouvant être mise en œuvre pour cela.

4. Caractérisation acoustique non-linéaire de l’endommagement

4.1 Acoustoélasticité des matériaux endommagés

Cette approche est basée sur le développement de la loi de Hooke à un ordre supérieur jusqu’à

inclure les constantes élastiques effectives du second et du troisième ordres. Pour un solide

isotrope, sont utilisés les coefficients de Lamé (λ∗ et µ∗) ainsi que ceux de Murnaghan (l*,

m* et n*) pour les constantes d’élasticité du second et du troisième ordre respectivement :

)1( ** εβεσ += E (I-4)

où E* est le module d’Young effectif et β* représente le coefficient de non-linéarité effectif

défini comme :

)*2*(2*)2*(2)*2*(3*

µλµλβ

++++= ml (I-5)

L’éfficacité de cette approche a été montrée par R. El Guerjouma et al. [El Guerjouma,

Bentahar, et al.-2004] dans le cas d’un alliage d’aluminium 7010 progressivement

endommagé en traction. L’endommagement de matériau est suivi à travers un facteur

d’endommagement défini de deux façons différentes:

41


- En fonction du module d’Young : 0

1 EED −= où (E0 ,E) sont les modules d’Young

avant et après endommagement respectivement.

- En fonction du coefficient de non-linéarité : 0

1 ββ

β −=D où (β0 ,β ) sont les

coefficients de non-linéarité avant et après endommagement respectivement.

A travers les courbes de la figure I-13, nous pouvons constater la faible sensibilité à

l’endommagement du paramètre D lié au module d’Young et ce, même pour des déformations

plastiques locales très élevées. Ce n’est pas le cas du paramètre Dβ, lié au coefficient de non-

linéarité β et qui semble dans les mêmes conditions beaucoup plus sensible à

l’endommagement. En effet, on peut constater sur la figure I-13 que le paramètre Dβ atteint

une valeur 14 fois supérieure à celle de D et ce pour des déformations plastiques ne dépassant

pas les 3 %.

Figure I-13: Détection de l'évolution de l'endommagement pour un alliage d'aluminium (7010) endommagé par traction : (a) faible évolution de D pour des déformations plastiques allant jusqu’à 15% ; (b) évolution importante de Dβ pour des déformations plastiques ne dépassant pas 3%.

Cette méthode particulièrement sensible présente cependant des limites prohibitives, sachant

qu’elle exige une mesure précise des constantes d’ordre deux et trois et leur suivi sous charge.

Cette approche s’avère extrêmement difficile pour les matériaux anisotropes et/ou de forme

compliquée.

42


4.2 Génération d’harmoniques et modulation non-linéaire

La méthode de génération d’harmoniques est basée sur la déformation d’une onde sinusoïdale

de forte intensité traversant un matériau ou un milieu donné. Lorsque le matériau ne présente

pas d’hétérogénéité, les différentes zones excitées par la perturbation ultrasonore vibrent à la

même vitesse, l’onde ultrasonore ne subit alors aucune perturbation et sa forme reste la même

c'est-à-dire sinusoïdale. Par contre, la présence d’hétérogénéité dans le milieu traversé est à

l’origine d’une augmentation locale de la densité et du module durant la compression et d’une

diminution locale de la densité et du module durant la dilatation. Cela a pour conséquence la

modification de la forme de l’onde donc de son contenu spectral. L’onde n’est plus

sinusoïdale mais contient alors des harmoniques d’ordre supérieur. Ce phénomène peut-être

utilisé comme moyen de caractérisation de l’endommagement. Dans ce cas, l’indicateur qui

pourrait être utilisé est basé sur le coefficient de non-linéarité β défini comme suit :

21

228

AA

ak=β (I-6)

où k est le nombre d’onde, a est la distance de propagation, et A1 et A2 sont les amplitudes du

fondamental et de la 2éme harmonique respectivement.

Si le matériau hétérogène est traversé, simultanément, par deux ondes sinusoïdales, nous

aurons un phénomène de modulation qui se traduit par l’apparition d’harmoniques

accompagnées de lobes latéraux dont les fréquences représentent les sommes et différences

des fréquences initiales des deux ondes primaires, comme cela est montré sur la figure I-14.

Figure I-14: Génération d'harmoniques (multiples entiers de la fréquence d’excitation) et de lobes latéraux (somme et différence des deux fréquences d’excitation) dans un matériau endommagé.

43


Cette méthode a prouvé une grande sensibilité à la présence de micro-inhomogénéités dans

différents types de matériaux. Seulement, son caractère fortement lié au chemin parcouru par

les perturbations ultrasonores, la rend très sensible à la géométrie de la structure et la qualifie

plutôt pour la détection d’endommagement localisé.

4.3 Méthode de résonance

La méthode de résonance est basée sur l’excitation et le suivi d’un ou de plusieurs modes de

résonance en fonction du niveau d’excitation. Lorsqu’il s’agit d’un matériau homogène pris à

l’état sain (non-linéarité d’ordre atomique), une augmentation du niveau d’excitation n’a peu

d’effet sur la valeur de la fréquence de résonance. Par contre lorsqu’il s’agit d’un matériau

hétérogène ou endommagé (micro-fissuré), l’augmentation de la sollicitation acoustique est

accompagnée d’une perte de rigidité et ce pour des taux de déformation aussi faibles que 10-8.

Par conséquent, la fréquence de résonance se décale vers les basses fréquences et les courbes

de résonance deviennent plus larges témoignant d’une augmentation de l’atténuation (figure I-

15). A cet aspect d’adoucissement rapide appelé dynamique rapide s’ajoute un processus plus

lent appelé dynamique lente. Dans ce cas, il s’agit d’exciter le matériau à fort niveau de façon

continue autour d’un de ses modes propres de vibration. Pendant cette étape dite de

« conditionnement » les mêmes effets que ceux observés pour la dynamique rapide ont lieu.

Par contre, lorsque la forte excitation est brutalement arrêtée et remplacée par une onde de

faible niveau jouant le rôle de sonde, le matériau entre dans une étape dite de relaxation

durant laquelle il retourne vers son état d’équilibre d’avant conditionnement.

Figure I-15 : Courbes de résonance pour des niveaux d’excitation croissants. Matériau intact : pas de décalage en fréquence. Matériau endommagé : la fréquence de résonance se décale vers les basses fréquences et les courbes de résonance deviennent plus larges.

44


5. Conclusion

Ce chapitre a permis de présenter les deux matériaux concernés par notre étude : le béton et le

composite base polymère. La nature hétérogène de ces matériaux a motivé la description de

leurs élaborations, constituants et réponses aux essais mécaniques de traction et de

compression. Ces informations sont d’une grande utilité pour la compréhension des

comportements non-linéaires particuliers que manifestent ces matériaux lors des différents

essais dynamiques ultrasonores. Un tel intérêt dépasse le cadre académique. En effet, la mise

en service des méthodes non-linéaires expérimentales et théoriques peut avoir des applications

aussi diverses que le bâtiment, le génie civil, la résistance des matériaux (essais de fatigue,

incendies), l’aérospatial, etc. Dans ce cas, la compréhension des mécanismes responsables du

comportement non-linéaire hystérétique est plus que souhaitable. Cela fera l’objet du prochain

chapitre.

45


46

CHAPITRE II : Elasticité non-linéaire hystérétique: faits expérimentaux et modélisations

CHAPITRE II : Elasticité non-linéaire hystérétique : faits expérimentaux et modélisations 1. Introduction .......................................................................................................................... 49 2. Théorie classique.................................................................................................................. 49 3. Essais quasi-statiques ........................................................................................................... 52 4. Espace de Preisach-Mayergoysz (P-M Space)..................................................................... 53

4.1 Protocole de pression et UMH ................................................................................. 55 4.2 Détermination de la densité d’UMH ........................................................................ 57

5. Essais dynamiques................................................................................................................ 59 5.1 Génération d’harmoniques ....................................................................................... 60 5.2 Méthode de résonance.............................................................................................. 62

6. Modèle d’interaction locale.................................................................................................. 65 6.1 Le modèle................................................................................................................. 66 6.2 Equation de mouvement........................................................................................... 68 6.3 Protocole à deux états............................................................................................... 69 6.4 Application du modèle LISA ................................................................................... 71

6.4.1 Conditions initiales et conditions aux limites .................................................. 71 6.4.2 Modélisation du comportement élastique ........................................................ 72 6.4.3 Essais dynamiques en résonance...................................................................... 75

7. Conclusion............................................................................................................................ 77

47


48


1. Introduction

Le comportement acoustique non-linéaire observé dans différents solides peut être le résultat

d’une variété de mécanismes ayant lieu à différentes échelles. Cela comprend la non-linéarité

due à une macro-fissure jusqu’à celle produite à l’échelle atomique. Le comportement non-

linéaire classique (produit à l’échelle atomique) a déjà été modélisé avec succès par Landau et

Lifchitz [Landau et Lifchitz-1967]. Par contre, un nouveau type de non-linéarité, caractérisé

par l’existence d’une hystérésis, rend l’utilisation de la théorie classique inadéquate et impose

le développement de nouvelles approches pour traiter au mieux les phénomènes non-linéaires

hystérétiques [Meegan, Johnson et al.-1993]. Après une courte description du modèle

classique, les essais quasi-statiques montrant le comportement non-linéaire hystérétique

seront présentés. Ensuite, les différents modèles visant à étudier la distorsion d’ondes

ultrasonores (génération d’harmoniques) ainsi que le comportement en résonance dans les

matériaux non-linéaires hystérétiques seront présentés. Parmi ces modèles, l’accent sera mis

sur une approche dite LISA (Local Interaction Simulation Approach) proposée par Delsanto

et al. [Delsanto et Scalerandi-2003] dont la capacité à reproduire les essais dynamiques dans

les dits matériaux sera présentée.

2. Théorie classique

La théorie classique d’élasticité décrit le mouvement d’un point matériel d’un solide lorsqu’il

se déplace d’une position xi vers une autre position x’i. Dans ce cas, le vecteur déplacement

est donné par :

iii xxu −= ' (II-1)

En utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à un élément de volume et

moyennant certaines hypothèses [Royer et Dieulesaint-1996], il est possible d’écrire

l’équation de mouvement élastique sous la forme :

)3,2,1,(,0 =∂∂= kixu

k

iki σρ && (II-2)

où ρ0 est la densité du matériau à l’équilibre, et σik est le tenseur de contraintes.

49


La relation entre le tenseur de contraintes et le vecteur de déplacement peut s’exprimer à

l’aide du tenseur des déformations dont l’expression est donnée par:

( )kii

k

k

iik xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂+∂

∂+∂∂= ll

21ε (II-3)

Les faibles amplitudes des déplacements mis en en jeu font que le dernier terme du tenseur

des déformations est négligé devant les deux premiers. Le tenseur des déformations devient

alors symétrique. Cette constatation, combinée à des considérations thermodynamiques liées

aux processus adiabatiques, nous permet d’écrire l’expression de la variation de l’énergie

interne pour des petites déformations dans un matériau isotrope comme :

220 2 ikikee εµδελ +=− ll (II-4)

Où λ et µ sont les constantes de Lamé.

Il suffit de différencier cette dernière expression par rapport à la déformation pour obtenir

l’expression de la relation contrainte-déformation dans le cas d’un solide isotrope:

ikikik εµδελσ 2+= ll (II-5)

Cela montre que, dans l’approximation linéaire, il est possible de décrire le comportement

élastique d’un solide isotrope à travers les deux constantes de Lamé.

Cette loi de comportement ne permet pas de décrire le comportement elastique non-linéaire

Pour ce faire, il faut tenir compte du terme quadratique dans l’expression du tenseur des

déformations (II-3) dans l’écriture de l’équation de mouvement [Thurston et Brugger-

1964] :

k

iki x

Pu ∂∂=&&0ρ (II-6)

Où le tenseur Pik, généralement appelé tenseur de Piola-Kirchhoff, a pour expression:

)(ki

ik

xueP

∂∂∂∂= (II-7)

50


L’expression détaillée du tenseur Pik fait intervenir les constantes de Lamé ainsi que trois

autres constantes A,B et C appelées constates de Landau [Landau et Lifchitz-1967]. Ces

dernières correspondent aux termes d’ordre trois du développement de la densité d’énergie en

fonction des invariants du tenseur des déformations :

)(33324322 εεεεεεεεµεµ Θ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= llilikklilikllik CBAKe (II-8)

Où Θ(ε4) sont les termes proportionnels à ε4 et K est le coefficient de compression uniforme,

donné par la relation :

µλ 32+=K (II-9)

Il est également possible de remplacer les constantes de Landau (A,B,C) par celles de

Murnaghan (l,m,n), et ce à travers les relations suivantes : [Murnaghan-1951]

AnBAmCBl =+=+= ,2, (II-10)

La description montrée ci-dessus, dite des cinq constantes, ne concerne que les matériaux

isotropes. Lorsqu’il s’agit de décrire un milieu anisotrope, un cristal triclinique par exemple,

l’écriture devient beaucoup plus lourde, dans la mesure où le nombre de constantes élastiques

indépendantes dont il faut tenir compte est de 21 pour les constantes du second ordre et 56

pour celles du troisième ordre.

Cette façon de formuler, dans laquelle la contrainte est considérée comme une fonction

analytique de la déformation, a connu un grand succès dans la description des phénomènes

statiques et dynamiques dans une grande variété de matériaux solides [Naugolnykh et

Ostrovsky-1998] et même dans les liquides [Hamilton-1986]. Cependant, divers matériaux

élastiques ont manifesté des comportements élastiques compliqués lors de certaines

expériences (statiques et/ou dynamiques), montrant ainsi un comportement non-linéaire plus

fort que celui prévu par la théorie classique. Le comportement hystérétique lors des essais

quasi-statiques, l’apparition de mémoire discrète, la variation de l’atténuation en fonction de

l’amplitude des vibrations, la variation du module d’Young en fonction de l’amplitude de

déformation, etc. sont tous des phénomènes confirmés par l’expérience et que la théorie

51


classique ne prend pas en considération [Holcomb-1981; Naugolnykh et Ostrovsky-1998;

Ostrovsky et Johnson-2001]. De ce fait, le développement en série de puissances sur lequel

la théorie classique est basée ne s’avère pas un formalisme général capable d’expliquer et de

reproduire les phénomènes non-linéaires précédemment évoqués de manière qualitative et/ou

quantitative. Il est donc évident que pour rendre compte de ces différents phénomènes, la

relation contrainte-déformation doit être reconsidérée.

3. Essais quasi-statiques

Les observations fondamentales de la non-linéarité élastique dans les solides viennent des

essais quasi-statiques contrainte-déformation. Ces derniers sont effectués à l’aide d’une

configuration expérimentale semblable à celle montrée sur la figure II-1, basée sur

l’application d’une contrainte axiale accompagnée d’une mesure de la déformation produite

dans la même direction. Le matériau est ainsi soumis à un certain protocole de contrainte

durant lequel la courbe contrainte-déformation est tracée, ce qui est schématisé par la figure

II-2. [Guyer et Johnson-2000; Johnson et Rasolofosaon-1996]

Durant cette expérience, une forte non-linéarité dans la relation contrainte-déformation a été

mise en évidence. Cela se traduit par l’apparition d’une hystérésis qui témoigne d’un

comportement sensible à l’historique de la contrainte appliquée, chose qui n’a pas été

observée sur un échantillon de verre soumis au même protocole de contrainte [Guyer et

Johnson-1999]. De plus, à chaque fois que le protocole impose un changement de sens à la

contrainte appliquée, le matériau exhibe une mémoire discrète « end points memory »

montrant ainsi une capacité à se souvenir du dernier état de déformation maximale [Guyer,

McCall et al.-1997; Ostrovsky et Johnson-2001]. Ces expériences de base montrent de

façon claire le comportement non-linéaire de certains matériaux tels que les roches, le béton,

ainsi que les matériaux endommagés. Seulement ces mêmes expériences ne donnent aucune

information quant à l’origine du comportement non-linéaire qui caractérise ces matériaux et

qui ne peut être connue qu’au prix de recherches plus approfondies.

Soupçonnant le système de liaison d’être la cause principale du comportement non-linéaire

des matériaux sus-cités, Gist a conduit une expérience simple à travers laquelle il a renforcé

les systèmes de liaison existant au sein d’un échantillon de grès [Gist-1994]. Dans un premier

temps, un essai quasi-statique est conduit afin de montrer le caractère non-linéaire du grès à

travers l’apparition de boucles d’hystérésis et de mémoire discrète. Ensuite, l’échantillon est

placé dans du vide où il a subit une injection d’époxy liquide, suite à laquelle il est mis dans

52


une centrifugeuse pour éliminer l’époxy des pores. Après ce traitement, les mêmes essais

quasi-statiques ont été appliqués sur le matériau. Cette fois, l’hystérésis a pratiquement

disparu et le module ne semble plus dépendre de la contrainte appliquée.

Les manifestations décrites ci-dessus ont d’importantes conséquences sur le module élastique

du matériau. En d’autres termes, les essais statiques montrent que la valeur du module dépend

de l’historique de la contrainte ainsi que de la relation contrainte-déformation et des

changements discontinus. Considérer un tel constat à sa juste valeur, revient à comprendre les

mécanismes qui sont à l’origine de ce comportement et à les inclure dans un modèle capable

de reproduire au moins qualitativement le comportement des matériaux non-linéaires.

[Ostrovsky et Johnson-2001]

4. Espace de Preisach-Mayergoysz (P-M Space)

Le comportement non-linéaire des roches, observé à partir des essais quasi-statiques, pose un

certain nombre de questions auxquelles la théorie classique ne peut répondre. L’hystérésis et

la mémoire discrète observées lors de ces essais laissent croire que les relations liant la

contrainte et la densité d’énergie à la déformation produite dans les roches ne peuvent

s’exprimer de façon analytique. [Gist-1994; Holcomb-1981; Scholz et Hickman-1983]

En se basant sur les travaux de Franz Preisach et Isaac Mayergoysz [Mayergoysz-1985;

Preisach-1935], un modèle théorique phénoménologique a été développé afin de décrire au

mieux les observations liées au comportement non-linéaire de certains matériaux lors des

essais quasi-statiques. [Guyer, McCall et al.-1995; Guyer, McCall et al.-1997; McCall et

Guyer-1996]

La supposition fondamentale de ce modèle s’appuie sur le fait que le comportement

macroscopique des matériaux non-linéaires est essentiellement dû à un grand nombre de

structures mésoscopiques au sein du matériau, appelées Unités Mésoscopiques Hystérétiques

(UMH). Dans un premier temps, les UMH sont caractérisées de manière individuelle avant

d’évaluer l’influence d’un ensemble UMH sur le comportement du matériau à l’échelle

macroscopique.

53


Figure II-1: Configuration expérimentale d’un essai uniaxial contrainte-déformation

Figure II-2: Courbe contrainte-déformation du grès soumis à un protocole de charge uniaxiale

Les UMH sont des éléments constitutifs du matériau représantant des discontinuités qui

peuvent être soit ouvertes soit fermées. Ainsi, les UHM sont caractérisés par des longueurs

d’équilibre qui peuvent basculer de manière hystérétique entre deux configurations, ouverte lo

ou fermée lf et ce pour les pressions Po et Pf respectivement, comme montré sur la figure II-3.

Ainsi, la réponse élastique de ces unités, et donc celle du matériau, dépend de l’historique de

la pression à la laquelle le matériau a été soumis. En d’autres termes, une description

rigoureuse du comportement élastique ne peut avoir lieu sans une connaissance préalable de

l’historique de la pression appliquée, accompagnée de la loi de comportement liant ce même

historique au comportement hystérétique global des unités mécaniques. Le grand nombre

54


d’UMH exige une autre simplification liée aux longueurs de fermeture lf et d’ouverture lo. En

effet, lf et lo sont supposées identiques pour tous les éléments mécaniques. Cela a pour

conséquence de différencier les UMH uniquement par les paires de pressions (Pf,Po)

auxquelles elles correspondent. Le suivi de l’évolution des UMH peut donc s’effectuer dans

une représentation (Pf,Po) appelée espace Preisach-Mayergoysz (P-M) [McCall et Guyer-

1994]. Dans cet espace, un point de la diagonale, caractérisé par Po = Pf, correspond à un

élément mécanique qui se ferme et qui s’ouvre à la même pression. En d’autres termes, cet

élément n’est pas hystérétique. Lorsque toutes les unités sont situées sur la diagonale, le

matériau n’exhibe pas un comportement hystérétique et le modèle se réduit à la théorie

d’élasticité classique de Landau. L’enjeu est donc de connaître le degré d’hystérésis à travers

la détermination de la densité d’unités dans l’espace P-M.

Figure II-3 : Modèle lié à une Unité Mésoscopique Hystérétique: la longueur change instantanément et dépend du sens de variation de la pression

4.1 Protocole de pression et UMH Les longueurs d’ouverture et de fermeture étant supposées les mêmes pour toutes les UMH, il

est possible d’appliquer un protocole de pression semblable à celui de la figure II-4-a et de

suivre le comportement des éléments mécaniques dans un espace P-M, comme montré sur la

figure II-4-b [McCall et Guyer-1996]. Ainsi sur cette figure on peut voir que pour une

pression correspondant à celle du point A, les éléments mécaniques se trouvant dans le

triangle OAH sont considérés comme fermés, la pression P qui leur est appliquée est

supérieure à la pression de fermeture de ces éléments. Une augmentation supplémentaire de la

55


pression aura pour conséquence de fermer les éléments se trouvant dans le trapèze ABGH.

Baisser la pression selon le parcours BA’ de la figure II-4-a aura pour conséquence la

réouverture les éléments mécaniques se trouvant dans le triangle ABZ où Z est le point

d’intersection des segments AE et BG. Toutefois, on peut noter que lorsque la pression

augmente de A vers B les éléments mécaniques situés à l’intérieur du trapèze ABGH

changent d’état: la variation de pression de B vers A’ n’a d’influence que sur les éléments se

trouvant dans le triangle ABZ, lesquels retournent à leur état original. De ce fait il existe une

hystérésis dans le nombre des éléments ouverts et fermés. Ce schéma est susceptible

d’expliquer le comportement hystérétique de certains matériaux tels que les roches, le béton,

etc.

Figure II-4-a: Protocole de pression appliqué à une roche

Figure II-4-b: Zones d'unités ouvertes et fermées correspondant au protocole de pression

56


L’image de l’espace P-M développée jusque là traite les éléments mécaniques comme étant

des entités indépendantes. Chacune répond individuellement à la pression extérieure sans

subir une influence quelconque de son environnement (éléments voisins). Cela ne correspond

évidemment pas à la réalité. Dans les roches ou dans un matériau endommagé, l’arrangement

aléatoire des éléments mécaniques a pour effet de produire une distribution de pression

inhomogène. Quelques éléments auront donc à supporter une pression supérieure ou

inférieure à la moyenne. Il est toutefois nécessaire de vérifier le degré de validité de cette

approximation. Cela est possible en choisissant deux protocoles de pression légèrement

différents, où l’un produirait plus d’éléments ouverts (ou fermés)dans l’un que dans l’autre. Si

les deux courbes contrainte-déformation ont les mêmes hystérésis, alors l’approximation faite

sur les éléments mécaniques peut être validée. [Guyer, McCall et al.-1997; McCall et

Guyer-1996]

4.2 Détermination de la densité d’UMH

La construction d’un modèle théorique capable de reproduire le comportement non-linéaire

des matériaux lors des essais quasi-statiques est intimement liée à la connaissance de la

densité des UMH dans l’espace P-M. Dans le cas des essais quasi-statiques unidirectionnels, il

serait correct de traiter le problème à une dimension.

Soit une chaîne constituée de N éléments (i=1,…,N) de même longueur d’ouverture et de

fermeture [McCall et Guyer-1996]. Dans ce cas, la longueur de l’échantillon considéré est:

[ )1( flflNL fo −+= ] (II-11)

où f est la fraction des éléments mécaniques se trouvant à l’état fermé. Il est évident que f est

fonction du protocole de pression, en d’autres termes la relation (L - f) est directement liée à la

relation (L-P). C’est l’équation de l’état élastique: à P=0 on a f=0 et L(0) = N lo.

Les matériaux non-linéaires sont caractérisés par une relation contrainte-déformation

hystérétique avec mémoire discrète. Cela exige une définition du module qui respecte ces

propriétés et qui va dans le sens des résultats expérimentaux. L’équation d’état contrainte-

déformation doit résulter des essais quasi-statiques.

Le module statique correspondant à ce genre d’essais est défini comme suit :

1- Si la pression est augmentée, P → P +∆P,

57


PPLPPL

PLK ∆−∆+−= )()(

)(11 (II-12)

2- Si la pression est diminuée, P → P - ∆P

PPPLPL

PLK ∆−∆−−−= )()(

)(11 (II-13)

Trouver la distribution ρ (Pf,Po) qui décrirait au mieux le comportement du matériau peut se

faire par deux moyens. Le premier est de choisir les paramètres les plus influents, les intégrer

dans un modèle et développer les conséquences qui en découlent [Cheng et Toksöz-1979;

O'Connell et Budiansky-1978]. Le second traite le problème inverse, en d’autres termes,

extrait les informations nécessaires à partir des données contrainte-déformation (σ-ε) afin de

trouver les éléments mécaniques responsables du comportement hystérétique du matériau.

[Guyer, McCall et al.-1995]

En combinant les expressions du module avec celle donnant la longueur de l’échantillon, nous

obtenons lorsque la pression augmente:

[ )()(1 PfPPfPK −∆+∆∆= ]ε (II-14)

et lorsque la pression baisse:

[ )()(1 PPfPfPK ∆−−∆∆= ]ε (II-15)

Lorsque l’augmentation (resp. la diminution) de pression est suffisamment faible (∆P petit), il

est facile de voir que la mesure du module K est équivalente à une mesure de la densité dans

la bande étroite de l’espace P-M de largeur ∆P.

Il ne reste donc plus qu’à diviser l’espace P-M en cellules (m x n ) où chaque UMH aura pour

coordonnées (Pf,Po) = (m∆P,n∆P). Dans ce cas les deux expressions du module K peuvent

être réécrites sous la forme:

∑=∆

∆==m

jmmjmPPKK 1),()(

11 ρε (II-16)

58


∑=∆

∆==n

innniPPKK 1),()(

11 ρε , pour m = n (II-17)

L’application de cette approche sur les roches a permis de voir que pratiquement 50% des

unités mécaniques se trouvent sur la diagonale de l’espace P-M. La densité chute rapidement

lorsqu’on s’éloigne de la diagonale. Cependant cette chute de densité s’avère moins rapide

pour de faibles valeurs de pression, où la réponse de la majorité des éléments mécaniques

hystérétiques est activée.[Guyer, McCall et al.-1997; McCall et Guyer-1996]

5. Essais dynamiques

Les matériaux homogènes (aluminium, acier, plexiglas, etc.) non endommagés sont

caractérisés par une réponse non-linéaire extrêmement faible et de ce fait très difficile à

détecter de part son origine atomique ou moléculaire. Les phénomènes non-linéaires relatifs à

la propagation d’une onde ultrasonore dans ces matériaux sont alors expliqués à travers la

théorie de Landau [Landau et Lifchitz-1967]. Cependant, lorsque pour les mêmes matériaux,

les essais quasi-statiques contrainte-déformation révèlent l’existence d’une hystérésis

accompagnée de mémoire discrète, l’approche classique n’est plus valable. Dans ce cas,

l’application d’une perturbation (oscillation sinusoïdale ou impulsion) conduit à une

diminution du module et du facteur de qualité Q du matériau non-linéaire hystérétique.

Simultanément, l’onde élastique présente dans le matériau se distord, donnant naissance à des

harmoniques et/ou une modulation avec une diminution de la vitesse de propagation

[Ostrovsky et Johnson-2001]. De plus, un effet de mémoire de la déformation est induit et

permet d’avoir des courbes de résonance différentes selon que l’on balaye en fréquence dans

le sens ascendant ou descendant. Ces effets sont des signatures de ce qui est communément

appelé dynamique rapide non-linéaire hystérétique [Delsanto et Scalerandi-2003]. Le

module ainsi que l’atténuation ne recouvrent pas instantanément leurs valeurs initiales lorsque

l’excitation est levée, mais au bout d’un temps relativement long (103-104 secondes) selon une

loi logarithmique (log(t)). Cet effet est la signature du phénomène appelé dynamique lente

[Johnson, Zinszner et al-1996, TenCate et Shankland-1996]. De ce fait, tout

développement d’un nouveau formalisme doit prendre en compte les caractéristiques

59


essentielles de l’onde progressive ou stationnaire générée dans le milieu non-linéaire

hystérétique. [Johnson et Rasolofosaon-1996, Gusev-2004]

5.1 Génération d’harmoniques Les matériaux désordonnés (roches, bétons, composites, etc.) sont caractérisés par une forte

élasticité non-linéaire. La présence de défauts de structure, tels que les micro-fissures et les

vides, fait que le module du matériau change considérablement en fonction de la contrainte

appliquée. De ce fait, le rapport entre les constantes élastiques du troisième ordre et celles du

second ordre est supérieur de plusieurs ordres de grandeur à celui trouvé pour d’autres solides

tel que l’acier [Nazarov, Ostrovsky et al.-1988]. Dans ces conditions, le comportement non-

linéaire d’une onde est accompagné d’une augmentation locale de la densité et du module

durant la compression et d’une diminution locale de la densité et du module durant la

dilatation. Les différentes parties du solide ne vibrant pas de la même façon, l’onde

commence à changer de forme et de nouvelles composantes spectrales apparaissent. Cette

génération d’harmoniques prend de l’ampleur à mesure que l’onde se propage jusqu’à ce que

l’atténuation commence à dominer. [McCall-1994, Johnson et McCall-1994, Abeele-1996]

L’approche théorique développée par McCall traite le cas d’une onde plane se déplaçant dans

un solide non-linéaire. Dans ce cas, la fonction de Green a été utilisée comme moyen

analytique pour la résolution de l’équation de mouvement du champ de déplacement

[McCall-1994]. Lorsque la relation contrainte-déformation est limitée à l’ordre deux,

l’équation de mouvement d’une perturbation longitudinale se déplaçant dans la direction x en

l’absence d’atténuation s’écrit dans le domaine fréquentiel comme suit:

∫ ∂∂

∂∂

∂∂−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

xxu

xwxudw

xwxSwxuk

x),()',(

2'),(),(2

2

2 φπ

β (II-18)

où u(x,w) est le déplacement, S(x,w)est la source extérieure, k2 = w2/c2 où c est la vitesse

longitudinale et β est le coefficient non-linéaire défini par:

)2(2)2(2)2(3

µλµλβ

++++= ml (II-19)

60


Dans le cas d’un milieu infini et pour une excitation sinusoïdale continue de fréquence w0 et

d’amplitude U, le champ de déplacement solution u(x,t) est de la forme:

[ ])22(cos14

)(sin),( 00

20

2

00 twxkxkUtwxkUtxu −+−−= β (II-20)

Cette solution exprime un processus d’auto-interaction de l’onde lors de son passage dans le

matériau. En effet, l’excitation de fréquence w0 crée d’autres ondes de fréquences w0 - w0 =0

et w0 +w0=2 w0. Les termes non-linéaires évoluent de façon linéaire en fonction de la distance

de propagation x et du paramètre β , et de façon quadratique en fonction de la fréquence, de

l’amplitude de la source w0 et de U. Si la source contient plus d’une fréquence, le spectre sera

plus riche en harmoniques. Dans le cas de deux fréquences w1 et w2 par exemple, l’auto-

interaction au premier ordre de non-linéarité va créer des ondes de fréquences 2 w1, 2 w2, w1

+w2, w1 -w2 [Johnson et McCall-1994]. Cela dit, tant que les résultats expérimentaux

montrent que l’harmonique paire 2w et impaire 3w sont proportionnelles à U2et U3

respectivement, nous sommes toujours dans le cadre de la théorie classique. Par contre, si la

non-linéarité du matériau se développe jusqu’à ce que cela ne soit plus vrai, nous sommes

alors dans le cas hystérétique [Meegan, Johnson et al.-1993]. Ce dernier cas exige de

développer la relation contrainte-déformation à un ordre supérieur en mettant en jeu le

paramètre δ pour exprimer la forte non-linéarité, ainsi que le paramètre α pour tenir compte

de l’hystérésis. [McCall et Guyer-1994 ; McCall et Guyer-1996 ; Guyer, McCall et al.-

1995 ; Abeele et Johnson-1996]

Le mécanisme complet de la réponse non-linéaire n’est toujours pas bien compris, mais fort

heureusement cela n’empêche pas l’application de la méthode d’harmoniques ou de l’une de

ses dérivées pour la détection de l’endommagement, comme cela a été le cas pour les

antennes paramétriques [Mousatov, Castagnède et al.-2002] ou pour l’effet Luxembourg-

Gorky [Zaitsev, Gusev et al.-2002]. En général, les méthodes de génération d’harmoniques et

de modulation consistent à exciter le matériau à l’aide d’une onde harmonique de forte

amplitude et de faible fréquence (onde BF), dite « pompe » en même temps qu’une onde de

faible amplitude et de haute fréquence (onde HF) dite ‘sonde’. Lorsque le matériau est à l’état

intact (linéarité de l’ordre atomique), l’onde résultante issue de l’interaction des deux ondes

primaires ne montre aucune modulation. Par contre, lorsque des défauts sont créés au sein du

matériau , la perturbation des fissures créée par l’onde pompe à l’échelle de sa fréquence de

modulation produit la modulation de l’onde HF de faible amplitude. L’exploitation de ces

61


effets, qui témoignent de la présence de micro-fissures ou d’hétérogénéités dans les

matériaux, reste possible tant que l’endommagement n’atteint pas un stade avancé faisant

augmenter l’atténuation et empêchant l’observation d’harmoniques supérieures. La méthode

de génération d’harmoniques et de fréquences latérales a ainsi permis de mettre en évidence et

d’exploiter le comportement non-linéaires hystérétique d’une grande variété de matériaux

(roches, verres, aluminium, tuiles, bétons, composites, etc.) [Abeele, Johnson et al.-2000 ;

Jhang et Kim-1999 ;Morris, Buck et al.-1979, Moussatov, Castagnède et al.-2001].

5.2 Méthode de résonance

Un autre moyen de mettre en évidence l’élasticité hystérétique non-linéaire des matériaux

consiste à étudier leur mode de résonance. Pour de tels matériaux, il est possible d’écrire le

champ de contrainte déterminant la propagation de l’onde élastique comme :

xu

xu

xuKx

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂+

∂∂+= ...1)(

2

0 δβσ (II-21)

où ∂u/∂x est le champ de déformation, K0 est le module linéaire, β et δ sont les coefficients de

non-linéarité quadratique et cubique. [Abeele-1996; Landau et Lifchitz-1967]

L’hystérésis et la mémoire discrète sont décrites par la présence d’éléments élastiques dont le

comportement est fortement lié à l’historique du matériau[McCall et Guyer-1994] . Dans le

cas d’un matériau unidimensionnel (un cylindre de roche par exemple), la contribution de ces

éléments au champ de contrainte a pour forme:

xu

xuKH ∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂±∆= εασ 0 (II-22)

où ∆ε est la contrainte maximale, α est le paramètre d’hystérésis, le signe (±) correspond au

module lorsque la déformation croît ou décroît respectivement. [Abeele-1996]

En considérant le champ de contrainte comme étant la somme des deux contributions

classique et hystérétique, il est possible de dériver l’équation de mouvement du champ de

déplacement. A partir de là, et moyennant certaines approximations relatives au phénomène

de résonance, l’expression de l’amplitude de la courbe de résonance a été développée

62


[Timoshenko, Young et al.-1974]. Seulement dans cette dernière, le terme non-linéaire dans

l’expression de la fréquence de résonance ne dépend pas du temps, ce qui est en contradiction

avec les observations expérimentales[TenCate et Shankland-1996]. En effet, outre les effets

d’hystérésis et de mémoire discrète qui caractérisent les matériaux non-linéaires hystérétiques

lors des essais quasi-statiques, l’apparition d’une dynamique lente dans le comportement du

module de certains matériaux est une caractéristique essentielle dont il faut tenir compte

lorsqu’on s’intéresse à la modélisation du comportement vibratoire de ces matériaux [Gusev-

2005]. Dans la littérature, il est facile de constater que le peu de modèles qui existent traitent

en majorité le problème de façon phénoménologique en se basant sur la description dans

l’espace P-M. Cela est dû au fait que l’origine physique exacte de ces phénomènes reste

inconnue. En effet, le nombre des effets responsables des dynamiques rapide et lente apparaît

aussi grand que celui des matériaux étudiés. Les raisons ne peuvent être les mêmes dans le cas

d’échantillons de verres endommagés, de roches, de métaux endommagés, de composites, de

bétons, etc. où il apparaît difficile voire impossible de trouver une raison commune pour tous

ces matériaux. [Johnson et Sutin-2005, Gusev et Aleshin-2002]

Dans le but de se rapprocher de la réalité, Guyer et al. ont introduit des modules élastiques

non-linéaires dépendant du temps dans l’expression de l’amplitude de résonance [Guyer,

McCall et al.-1998]. A travers cette approche phénoménologique, ils expliquent l’existence

de dynamique lente dans les roches comme étant un effet de mémoire qui s’enclenche à

chaque fois que le matériau est sollicité au-delà de son domaine linéaire, c’est à dire à fort

niveau. Cependant ce modèle néglige initialement la dynamique des éléments hystérétiques et

ne considère la dépendance temporelle de la relation amplitude-fréquence que pour la

relaxation du matériau. De leur côté, Capogrosso-Sansone et Guyer ont introduit une version

dynamique du modèle quasi-statique, précédemment présenté, pour décrire les systèmes

hautement non-linéaires, hystérétiques et présentant une mémoire discrète [Capogrosso-

Sansone et Guyer-2002]. Dans la limite de la description des essais quasi-statiques le modèle

se réduit à celui présenté par McCall et Guyer [McCall et Guyer-1994]. Ce modèle suppose

des éléments élastiques possédant chacun leurs propres degrés de liberté ainsi que leur propre

dynamique hystérétique. Cela se traduit par un ensemble de liaisons harmoniques (ressorts)

pouvant occuper chacune une des deux configurations selon la valeur d’une variable d’état

relative à chaque liaison. Ladite variable change dans un environnement énergétique en

réponse aux forces internes portées par les liaisons. Cela a permis de vérifier les résultats

obtenus lors des essais dynamiques sur les roches et d’expliciter le comportement des unités

hystérétiques, et ce en proposant de nouveaux traitements pour tenir compte d’autres effets tel

63


que l’influence de la saturation et de la température sur le comportement linéaire et non-

linéaire des unités mésoscopiques hystérétiques [Capogrosso-Sansone et Guyer-2002].

L’idée des éléments hystérétiques n’a pas été le seul moyen pour traiter les phénomènes non-

linéaires hystérétiques. En effet, un mécanisme thermoélastique est proposé par Zaitsev et al.

pour la description du phénomène de dynamique lente lors d’interactions d’ondes élastiques

avec des macrofissures. Ce dernier repose sur le caractère essentiellement bi-dimensionnel de

l’échauffement et du refroidissement au niveau des périmètres de fissures et des contacts

internes. Les auteurs argumentent l’utilisation d’une telle approche par le comportement

symétrique de la fréquence de résonance dans le temps lors du conditionnement et de la

relaxation. En d’autres termes, le périmètre de la macrofissure ainsi que les micro-contacts

allongés de géométrie cylindrique présentent la cause principale de la dissipation d’énergie et

créent ainsi un échauffement acoustique local. Cela peut fortement perturber l’état des

contacts à travers les nano-déformations aux interfaces de la macrofissure [Zaitsev, Gusev et

al.-2003]. A cela s’ajoutent les déformations créées par les différents gradients de

température. Ces arguments ont été appuyés par une imagerie infra-rouge montrant un

échauffement de quelques degrés dû à la perturbation acoustique, au niveau des zones de

concentration de contraintes situées aux pointes et aux lèvres des différentes fissures. En

conséquence, lorsque la contribution principale à la dynamique lente est liée au mécanisme de

rupture ou de restauration graduelle d’un grand nombre de contacts locaux, nous devrions

nous attendre à trouver des pentes différentes lorsque les zones contacts sont fortement

sollicitées (conditionnement) et lorsqu’elles se relaxent. [Zaitsev, Gusev et al.-2003]

Jusqu’à présent, il existe deux modèles qui ont pu relier les dynamiques rapide et lente dans

un cadre plus général que celui présenté par Zaitsev et al. Le plus récent est celui présenté par

Vakhnenko et al, basé sur les travaux de Davydov [Vakhnenko, Vakhnenko et al-2004 ;

Davydov et Ermakov-1987]. Cette approche consiste à séparer un système physique en deux

sous-systèmes non-linéaires rapide et lent, tout en considérant le couplage mutuel entre les

deux sous-systèmes. Dans le cas d’un échantillon de grès, les sous-systèmes rapide et lent

sont identifiés au champ de déplacement longitudinal rapide ainsi qu’aux concentrations de

défauts dans les zones de contacts inter-granulaires. Cependant, la présence de l’eau dans le

grès (ou dans le béton) complique le choix du sous-système lent. En effet, l’eau retenue dans

le matériau à travers la condensation de la vapeur d’eau sur les différentes surfaces concaves

d’une structure poreuse a une grande influence sur le comportement vibratoire du matériau

[Guyer et Johnson-1999]. Cela est appuyé par des considérations thermodynamiques qui

montrent que les zones de liaison deviennent moins rigides en présence d’eau, ainsi que par

64


d’autres expériences qui montrent une chute du module d’Young pour une saturation en eau

de 20% [Abeele, Carmeliet et al.-2002]. Cela ajouté à d’autres effets tels que les forces de

capillarité ainsi que les réactions d’hydrolyse rend le nombre de sous-systèmes lents plus

important. La difficulté est donc de trouver un nombre de sous-systèmes suffisant à travers

lequel le comportement du matériau est correctement décrit. Néanmoins, en supposant les

paramètres utilisés dans ce modèle (la densité moyenne, coefficient de frottement,

concentration de défauts, etc.) indépendants de la température ainsi que de la saturation en

eau, et en considérant l’effet essentiel comme étant la variation linéaire du module d’Young

en fonction de la concentration de défauts, ce travail a permis de décrire et reproduire le

comportement non-linéaire vibratoire du grès durant les dynamiques rapide et lente

[Vakhnenko, Vakhnenko et al-2004]. Un peu moins récent que celui de Vakhnenko et al., le

modèle LISA (Local Interaction Simulation Approach) proposé par P.P. Delsanto et M.

Scalerandi, est basé sur la description de la non-linéarité hystérétique dans l’espace P-M

[Delsanto et Scalerandi-2003]. Dans ce cadre, le matériau est supposé constitué de zones

élastiques linéaires (grains) séparés par des zones de liaison hystérétiques qui peuvent occuper

un des deux états élastiques, décrits au paragraphe précédent, selon la contrainte appliquée et

l’historique du matériau. Dans ce qui suit le modèle LISA est présenté de manière détaillée.

L’appoche LISA est à la base de la modélisation présentée dans le chapitre 3, travail dans

lequel nous avons testé la capacité de ce modèle à reproduire les résultats qualitatifs et

quantitatifs obtenus sur le béton. .

6. Modèle d’interaction locale

Les approches analytiques utilisées dans la description des phénomènes non-linéaires doivent

être établies sur la base de considérations très simples afin de reproduire au mieux les

observations expérimentales. Lorsque cela n’est pas possible, les calculs numériques peuvent

servir d’alternative pour une meilleure description théorique permettant même le passage

d’une à plusieurs dimensions. Les modèles numériques, basés sur une approche

microscopique tels que la technique de dynamique moléculaire, permettent de comprendre le

comportement des matériaux sous contrainte à l’échelle atomique [Cleri, Yip et al.-1999].

Cependant, même pour un nombre limité d’atomes, l’application de telles méthodes exige un

énorme temps de calcul ce qui handicape de façon considérable le passage de l’échelle

microscopique à l’échelle macroscopique. Pour palier à cet inconvénient P.P. Delsanto, M.

65


Scalerandi et al. ont proposé une approche basée sur le modèle de l’oscillateur harmonique

qu’ils ont appelé LISA (Local Interaction Simulation Approach). Une telle approche permet

d’introduire des hétérogénéités localisées à l’échelle mésoscopique dont le comportement est

parfois très complexe [Delsanto, Schechter et al.-1994; Delsanto et Scalerandi-1998;

Scalerandi, Agostini et al.-2003].

6.1 Le modèle

Le modèle suppose un matériau granulaire unidimensionnel isotrope dans lequel tous les

grains sont homogènes, alignés et de même longueur «ε ». Le matériau peut être représenté

par une suite de zones élastiques (grains), chacune de masse m et séparées par des interstices

(UMH) de masse nulle. En suivant le modèle harmonique, chaque nœud « i » est divisé en

deux sous-nœuds « i± » qui délimitent les frontières de chaque UMH. L’application d’une

force perturbe le repos du matériau et engendre une force sur chaque nœud i représentée par

deux forces élastiques Fi+(t) et Fi

-(t), appliquées aux deux sous nœuds i+ et i- respectivement,

comme présenté sur la figure (II-5). Par conséquent les deux sous-nœuds subissent les

déplacements ui+(t) et ui

-(t). Afin de mettre au mieux le rôle des interstices en évidence, le

modèle introduit une variable ri pour différencier les liaisons rigides de celles à longueurs

variables. Dans le cas où la densité ρ est considérée comme étant constante, il est possible

d’écrire les masses comme suit: [Scalerandi, Delsanto et al.-2003]

121

21 ++− == iiii lmetlm ρρ (II-23)

En négligeant l’effet de la température (considérée comme constante) les forces Fi± dépendent

directement de la déformation des grains εi, alors que les forces fi± dépendent de facteurs

externes de façon plus complexe. En fait, vu que les interstices sont considérés comme des

zones de liaison entre grains, les forces fi± représentent en même temps la réaction des

liaisons à la perturbation externe ainsi que les effets des grains environnants.

De ce fait, l’expression explicite de fi± devrait découler d’une connaissance détaillée des

mécanismes d’interaction à l’échelle moléculaire ou mésoscopique (théorie des dislocations

[Gremaud et Kustov-1999], théorie de Biot pour les pressions capillaires [Aknine,

Castagnede et al.-1997], etc). Dans la mesure où une telle information reste inconnue pour le

66


moment, le modèle suppose que la force fi± dépend de la perturbation externe, de la

déformation de l’interstice ainsi que de sa première dérivée par rapport au temps selon les

relations:

),,( δδ &Pffff === −+ (II-24)

−+−+ −=−= uuetFFP δ (II-25)

où u± sont les déplacements des deux sous-nœuds i±, et f += f -, puisque les interstices sont

supposés de masse nulle. Les deux forces, f ± et F± , sont supposées positives lorsqu’elles sont

dirigées vers la droite, et les déformations sont supposées positives pour les compressions

[Delsanto et Scalerandi-2003]. Dans ce qui suit, l’indice i sera omis pour alléger l’écriture

des différentes équations.

Figure II-5: Modélisation unidimensionnelle d’un matériau granulaire. Les points noirs

représentent les sous nœuds délimitant les bords d’interstices. La représentation simplifiée de

chaque UMH est un ressort dont la longueur au repos lit varie dans le temps. [Scalerandi,

Delsanto et al.-2003]

En supposant dans un premier temps que les forces au niveau des grains et des interstices sont

linéaires, nous pouvons écrire les équations :

67


±± ±= εKF (II-26)

δδ &321 aaPaf ++= (II-27)

où K est la constante élastique (linéaire) du grain, ε − = εi , ε + = εi+1 et an (n= 1,2,3) sont les

coefficients linéaires du développement et δ est la déformation de l’interstice. Les termes non-

linéaires peuvent (et devraient) être ajoutés aux équations II-26 et II-27. L’interstice est

supposé dans un état linéaire (an constants) excepté pour certaines transitions, relatives au

passage de l’état linéaire vers un autre état, en raison des modifications locales induites par la

perturbation. La non-linéarité est négligée de façon totale dans les équations (II-26) et de

façon explicite dans les équations (II-27), de manière à ce que seuls an pourraient dépendre de

P.

Dans ce modèle, le terme « protocole » signifie la dépendance explicite an(P) incluant les

conditions initiales. En vérité, une connaissance précise de la dépendance an(P) est nécessaire

pour une prédiction détaillée du comportement de l’interstice, mais en pratique, à l’échelle

macroscopique, le grand nombre d’interstices (plusieurs milliers) affranchit d’une telle

dépendance. De ce fait, même en considérant un simple protocole il est possible de reproduire

de façon qualitative les phénomènes observés lors des essais quasi-statiques et dynamiques.

[Scalerandi, Delsanto et al.-2003]

Une caractéristique de base, qui doit être considérée dans tout protocole, est la capacité

naturelle des surfaces de grains ainsi que celle de la matière dans les interstices à retourner

vers l’état initial lorsque la perturbation est levée. En effet, cela conduit à une dépendance

an(P) différente selon que P croît ou décroît, manifestant ainsi une boucle d’hystérésis. A cela

s’ajoute la possibilité d’avoir des transitions thermiques aléatoires, essentiellement, entre deux

dépendances an(P), possibilité qui doit être à son tour prise en compte dans un protocole.

6.2 Equation de mouvement

A partir des relations constitutives, les équations de mouvement des deux sous-nœuds i±

s’écrivent de la façon suivante:

±±±± −±= ufFum &&& γ (II-28)

68


où γ représente le coefficient d’atténuation.

Le grand nombre d’interstices diminue l’importance des spécificités de certaines d’entre elles.

Cela permet d’écrire les longueurs comme étant : l + = l - = l.

En appliquant le formalisme des différences finies au premier ordre et en choisissant un pas

temporel τ = 1, nous obtenons le déplacement δ de l’interstice:

[ ])1()()()(2)12(1)1( 21 −+−++−−=+ tmtamPamt δαδαδ (II-29)

et pour le déplacement y du centre de masse :

[ ])1()2()(421)1( −−−+++=+ −+ tymtymFFmty γγ (II-30)

où 23γα −=a , )(2

1 −+ += uuy .

A partir des définitions de « y » et « δ », il devient possible d’obtenir les équations

correspondant à u+ et u-. [Delsanto et Scalerandi-2003]

6.3 Protocole à deux états

Lorsqu’on considère les états linéaires des interstices avec des transitions non-linéaires

instantanées d’un état vers un autre, cela suppose que les informations liées à chaque état et à

chaque transition ainsi que celles relatives aux pressions auxquelles les transitions ont lieu,

répondent à de simples considérations physiques. En principe, on devrait s’attendre à ce que

pour chaque interstice les transitions s’effectuent graduellement en fonction de la pression

appliquée « P », avec des chemins de retour différents, créant ainsi une boucle d’hystérésis.

Cependant, le grand nombre d’interstices écarte une description détaillée et permet ainsi de

décrire chaque interstice par deux états au lieu d’une série de transitions graduelles. Ces deux

états qui coexistent dans la gamme de pression (P1,P2) représentent le comportement

interstitiel lorsque la pression augmente ou diminue ce qui est représenté par deux valeurs

d’une variable binaire r où r = 0 ou r =1, comme indiqué sur la figure II-6.

En plus du comportement hystérétique, la figure II-6, indique la présence de taux de

transitions thermiques aléatoires (q1,q2) entre les deux états linéaires. Les états (r = 0, r = 1)

peuvent être supposés élastiques (δ variable) ou rigides (δ constant) ou bien l’un rigide et

69


l’autre élastique. Le modèle utilise le dernier choix (r =0 état rigide et r =1 état élastique)

[Scalerandi, Delsanto et al.-2003]. Le protocole est donc défini comme suit :

A partir d’un interstice se trouvant à une pression P < P1, δ (la longueur d’interstice) est

supposée varier de façon élastique (r =1) jusqu’à ce que P = P1 où l’interstice devient rigide

(r = 0). Inversement, lorsque P décroît, l’interstice reste rigide jusqu’à ce que P = P2, où r

varie subitement (r = 1) et l’interstice devient de nouveau élastique. Sachant que l’état rigide

(r = 0) est supposé plus stable que l’état élastique, il est supposé pour les taux de transitions

thermiques que q1 > q2. Ces deux taux croissent évidemment avec la température, mais

comme l’étude ne prend en compte que les processus isothermes, la dépendance thermique

n’est pas explicitée. De la même façon, toute variation des taux en fonction d’un autre

paramètre tel que la pression appliquée par exemple est également négligée.

Figure II-6: Boucle d'hystérésis correspondant à chaque HMU. Dans cette représentation r = 1 correspond à l'état élastique et r = 0 à l'état rigide. Entre les deux états, les transitions thermiques peuvent avoir lieu avec des taux q1 et q2. [Delsanto et Scalerandi-2003]

Il est évident que le choix d’un jeu de paramètres (P1,P2) correspondant à chaque interstice est

crucial pour la performance de tout protocole donné. Un tel jeu de paramètres est représenté

dans un espace P-M dans lequel les points de cordonnées (P1,P2) sont distribués. Dans le cas

d’essais quasi-statiques où les pressions mises en jeu peuvent aller jusqu’à 108 Pa, la

distribution de l’espace P-M est obtenue à partir des données expérimentales [Guyer, McCall

et al.-1997; Ruffino et Scalerandi-2000]. Pour les simulations des essais dynamiques, les

pressions mises en jeu sont beaucoup plus faibles que celles utilisées lors des essais quasi-

statiques. Cela a pour conséquence de n’utiliser qu’une infime partie de l’espace P-M

correspondant aux pressions se trouvant aux alentours de la pression atmosphérique P0. De ce

70


fait, la petitesse de la zone d’exploration rend le choix d’une distribution uniforme de l’espace

P-M raisonnable.

En conséquence du protocole choisi et de la convention (r = 0, 1) l’expression de δ (t+1)

devient :

[ )1()()()1( 321 −−++=+ tbtbPbrtt ]δδδδ (II-31)

où les bn sont les coefficients de l’état élastique (r =1) donnés par:

α−−= m

ab 12 11 ; α

α−++= m

amb 22

2 ; αα

−+= m

mb3 (II-32)

6.4 Application du modèle LISA

Dans le but d’illustrer l’applicabilité du modèle LISA ainsi que celle du protocole discuté

précédemment, plusieurs exemples numériques ont été effectués. Dans un premier temps, il

est essentiel de voir la façon dont évolue le comportement du module d’Young d’un matériau

granulaire en réponse aux variations de pression. Ensuite, nous allons nous intéresser à la

réponse du même matériau soumis à des essais dynamiques de résonance. Même si les

résultats ne sont pour l’instant que qualitatifs, ils demeurent néanmoins importants pour nos

expériences qui visent à caractériser l’endommagement de matériaux hétérogènes en

résonance.

6.4.1 Conditions initiales et conditions aux limites

Dans les « expériences virtuelles », avant l’application de toute perturbation, le matériau est

supposé totalement relaxé et la pression atmosphérique P0 est la seule contrainte qui lui est

appliquée. Vu que la pression P0 garde une valeur constante, elle sera considérée comme étant

égale à zéro pour des raisons de simplification. Dans ce cas, seuls trois états sont permis :

1- P2 > 0 : dans ce cas le seul état permis est r = 1.

2- P1 < 0 : dans ce cas le seul état permis est r = 0.

3- P2 < 0 < P1 : les deux états sont permis.

Le matériau n’étant soumis à aucune contrainte et complètement relaxé, la distribution des

différents états se trouve en condition d’équilibre. Leurs probabilités sont:

71


21

2)0(1)1(qq

qrprp

+==−== (II-33)

Dans les expériences dynamiques, les conditions aux limites sont données par la force externe

appliquée au matériau [par exemple : F = F0 cos(wt) ] sur une face, et par une force nulle sur

l’autre face supposée libre.

6.4.2 Modélisation du comportement élastique

Si le matériau unidimensionnel est constitué d’unités dont chacune contient un grain et un

interstice, la constante élastique effective de chacune des unités (Ki) obtenue à partir de celle

du grain (K) et celle de l’interstice K’ est donné par:

'111KKKi

+= (II-34)

Il est à noter que K’ varie dans le temps et dans l’espace, donc il en est de même pour Ki. De

ce fait, le module de la barre peut être donné à n’importe quel instant t comme :

∑=

+==l

i

e

i KN

KKlk 1 '1111 (II-35)

où Ne est le nombre d’interstices qui se trouvent à l’instant t à l’état élastique (la contribution

des autres interstices est nulle puisqu’ils sont à l’état rigide). Le nombre Ne dépend de la

distribution locale de la pression (de l’amplitude de l’excitation appliquée au matériau) et de

l’historique de la pression appliquée au matériau.

Lors de cette expérience dynamique, la pression locale est supposée, dans un premier temps,

varier entre - Π 1 et Π 1. En négligeant les effets d’activations thermiques, qui ne prennent de

l’importance que sur des durées plus longues que celles des essais dynamiques, plusieurs

configurations peuvent avoir lieu selon l’endroit où se trouve le couple (P1,P2) dans l’espace

P-M, comme le montrent les figures II-7-a,b et c: [Delsanto et Scalerandi-2003]

72


1- Dans la région de l’espace P1 > Π 1 , P2 > - Π 1 (région en gris clair), les interstices

(UMH) sont élastiques en permanence.

2- Dans la région P1 < Π 1 , P2 < - Π 1 (région en gris foncé), les UMH sont en

permanence rigides.

3- Dans la région - Π 1 < P1 , P2 < Π 1 (région avec motifs), les UMH balancent deux

fois par cycle entre les deux états. Leur contribution à la constante élastique est

proportionnelle au nombre d’UMH occupant l’état r = 1.

4- Dans la région P1 > Π 1 , P2 < - Π 1 (région en blanc), les UMH restent dans leur état

initial.

A mesure que l’on augmente l’amplitude d’excitation, le domaine de variation de la pression

locale s’élargit à - Π 2 < P < Π 2. En conséquence, les propriétés élastiques des UMH

changent comme montré sur la figure II-7. La symétrie du problème exige que les variations

des UMH, dont l’état élastique varie avec le temps (Π 1 < P1 < Π 2 ; - Π 2 < P2 et - Π 2 < P2 <

- Π 1 ; P1< Π1), se compensent mutuellement. Cela n’est pas vrai pour les autres régions

affectées (Π 1 < P1 < Π 2 ; P2 < - Π 2 et - Π 1 < P2 < - Π 2 ; P1 > Π 2) vu que la distribution

initiale des unités rigides est dominante (q1 > q2) par rapport à la distribution des unités

élastiques. Le matériau devient de ce fait moins rigide.

Lorsqu’on réduit instantanément l’amplitude d’excitation de Π 2 vers Π 1, sans laisser au

matériau le temps de se relaxer, la configuration ressemble à celle présentée dans la figure

(II-7-c). Il est intéressant de remarquer que les unités ne retournent pas toutes vers leur état

initial tel que présenté par la figure (II-7-a) et que le module élastique du matériau garde

pratiquement la même valeur que celle de la grande amplitude Π2. Notons que l’état des

unités dans la région Π 1 < P1 < Π 2 ; - Π 1 < P2 < - Π 2 dépend fortement du comportement

de la pression lors de la transition vers la faible excitation et ne peut a priori pas être prédit.

A partir de la configuration de la figure (II-7-c) et après un temps suffisamment long, le

matériau se relaxe. En fait, dans la région P1 > Π 1 et P2 < - Π 1, la pression est en

permanence dans la zone (P1,P2). En conséquence, les transitions aléatoires conduisent

lentement le matériau vers la configuration de la figure (II-7-a).

73


a

b

c

Figure II-7: Distribution des UMH selon leurs propriétés élastiques: constamment élastiques (gris clair), constamment rigides (gris foncé), changeant entre ces deux états (motifs), figées dans leur état initial (blanc). (a) - Π1 < P < Π1 ; (b) - Π2 < P < Π 2 avec Π1 < Π2 ; (c) retour instantané vers la zone - Π1 < P < Π1. [Delsanto et Scalerandi-2003]

74


6.4.3 Essais dynamiques en résonance

Les paramètres choisis dans les simulations dynamiques (exprimés en unités arbitraires) sont

donnés dans le tableau (II-1).

Tableau II-1: Valeurs utilisées dans la simulation en unités arbitraires

L K a1 a2 a3 ρ γ q1 q2

1000 1 0.99 3 1 1 0.001 0.0003 0.0001

Les pressions d’ouverture et de fermeture des UMH ont été choisies dans la zone [-0.1, 0.1].

La simulation suppose des ondes monochromatiques d’amplitude F0 et de fréquence variable

f, induites par un transducteur collé sur l’une des faces du barreau. Les vibrations produites

sont enregistrées à l’aide d’un accéléromètre attaché à l’autre face de l’échantillon. Pour

chaque niveau d’excitation, on effectue un balayage en fréquence autour de la fréquence de

résonance fR de l’échantillon et l’amplitude de l’accélération A moyennée dans le temps

(condition stationnaire) est enregistrée. Cette procédure de recherche des courbes de

résonance est répétée pour plusieurs niveaux d’excitation.

Au cours des expériences, plusieurs effets macroscopiques, résultant de l’interaction

microscopique proposée par le modèle LISA, peuvent être observés:

1- Les interactions mécaniques induisent des variations dans le module élastique effectif

des UMH, qui sont directement perturbées par l’excitation externe. En conséquence un

décalage de la fréquence de résonance est observé.

2- Des effets d’historique de la force (contrainte) sont également induits, conduisant à

des variations dans le module dynamique qui ne disparaissent pas immédiatement

lorsque la perturbation est levée. En d’autres termes, l’échantillon est conditionné, ce

qui veut dire que la fréquence de résonance correspondant à un niveau d’excitation

donné dépend de l’historique de l’échantillon.

3- Lorsque la perturbation est totalement levée, les fluctuations thermiques induisent une

relaxation dans le module dynamique vers un état d’équilibre. Cela a pour

conséquence de faire varier la fréquence de résonance vers sa valeur initiale lentement

et de façon logarithmique.

75


6.4.3.1 Résultats de dynamique rapide

Sur la figure II-8, le décalage en fréquence peut être observé. L’accélération moyenne

enregistrée sur la face libre de l’échantillon y est représentée en fonction de la fréquence pour

plusieurs valeurs de l’amplitude d’excitation. En conséquence, la fréquence de résonance se

décale vers les basses fréquences à mesure que l’amplitude d’excitation augmente, ce qui est

en accord avec les observations expérimentales de la littérature [Johnson, Zinszner et al.-

1996]. Dans la même figure, il est également possible de remarquer la présence d’une

atténuation non-linéaire due aux effets d’hystérésis. L’amplitude des courbes de résonance

n’est donc plus proportionnelle à celle du signal d’excitation, ce qui a pour effet d’élargir les

courbes de résonance.

Ces résultats peuvent être exploités de différentes façons. En effet, le tracé de l’évolution de la

valeur relative de la fréquence de résonance (0

0

fffR

f−=∆ , où f0 est la fréquence de résonance

linéaire et fR la fréquence de résonance non-linéaire) en fonction de l’amplitude d’excitation,

montre une dépendance linéaire et non pas quadratique comme le prévoit la non-linéarité

classique [Guyer et Johnson-1999].

Figure II-8: Simulations du décalage de la fréquence de résonance : amplitude du signal reçu en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de la force d'excitation F0

76


Une dégradation dans l’état du matériau correspondrait dans ce cas à une réduction du module

au niveau des interstices, ce qui revient à changer (réduire) la valeur du paramètre a2. Cela a

pour conséquence de maintenir une dépendance linéaire dont la pente évolue en fonction du

niveau de dégradation. L’atténuation non-linéaire quant à elle peut être suivie à travers

l’évolution du facteur de qualité Q ( ffQ R

∆= , où ∆f est la largeur de la courbe de résonance

correspondant à la hauteur 2/maxA ). Dans ce cas, l’évolution de l’atténuation en fonction du

niveau d’excitation est linéaire et sa pente évolue avec le niveau de dégradation du matériau.

6.4.3.2 Résultats de dynamique lente

Une autre expérience montrant un nouveau comportement du matériau peut être réalisée. Pour

cela le matériau est excité à un certain niveau F0 suffisamment faible pour ne pas changer sa

fréquence de résonance. Cette dernière se comporte donc comme indiqué sur le début de la

figure (II-9-a). A l’instant t = 1200 τ, une très forte excitation F1 perturbe la quiétude du

matériau et fait chuter considérablement sa fréquence de résonance. La force F1 est ensuite

supprimée et remplacée par F0. A travers cette dernière il est possible de voir que la fréquence

de résonance du matériau retourne lentement vers sa valeur initiale, comme cela est montré

par la succession de courbes de résonance de la figure (II-9-b). Sur cette même figure, il est

possible de voir que l’atténuation a également été changée et qu’elle recouvre également sa

valeur initiale. La figure (II-9-c) montre que le recouvrement fréquentiel évolue en fonction

du logarithme du temps sur un intervalle de 6000 τ environ, ce qui est également en accord

avec les observations expérimentales de la littérature. [Guyer, TenCate et al.-1999]

7. Conclusion

Dans cette partie nous avons vu que la théorie classique ne prend en compte que la non-

linéarité d’ordre atomique dite classique. L’hystérésis observée lors des essais quasi-statiques

et les essais dynamiques de conditionnement et de relaxation ont révélé l’existence d’une

nouvelle classe de matériaux pour lesquels l’approche classique n’est plus valable. Pour palier

à l’insuffisance classique, différentes approches basées essentiellement sur la description dans

un espace de pression dit de Preisach-Mayergoysz ont été développées. Parmi les différents

77


modèles proposés, nous nous sommes intéressés à l’approche appelée « LISA ». Nous avons

tenu à présenter les différents phénomènes non-linéaires dynamiques simulés par le modèle

pour mieux le présenter et montrer sa capacité à prendre en compte les effets des dynamiques

rapide et lente simultanément. De ce fait, LISA semble être un bon candidat pour suivre de

façon quantitative la réponse non-linéaire hystérétique des matériaux auxquels nous nous

intéressons, en l’occurrence le composite SMC et surtout le béton du génie civil, qui semble

répondre le mieux aux hypothèses de ce modèle (isotropie, unidimensionnalité, etc.). Cela est

effectué moyennant certains aménagement dans le modèle qui seront présentés au prochain

chapitre.

Figure II-9: Simulation de dynamique lente: (a) fréquence de résonance en fonction du temps pour une valeur faible de l'excitation F0 appliquée après avoir fortement excité le matériau pendant une très courte durée à l’instant t = 1200 τ ; (b) Evolution des courbes de résonance dans le temps lors du processus de relaxation ; (c) Evolution de la fréquence de résonance, présentée en (a), sur une échelle logarithmique. [Delsanto et Scalerandi-2003]

78

CHAPITRE III : Caractérisation non-linéaire du Béton : Expériences et Simulations

CHAPITRE III : Caractérisation non-linéaire du Béton de Génie Civil: Expériences et Simulations 1. Introduction .......................................................................................................................... 81 2. Mode opératoire ................................................................................................................... 81

2.1 Dispositif expérimental ............................................................................................ 81 2.2 Choix des pastilles piézoélectriques et du couplant ................................................. 82 2.3 Limite de linéarité du dispositif expérimental.......................................................... 84

3. Caractérisation acoustique non-linéaire du béton sain et endommagé ................................ 85 3.1 Adaptation du modèle LISA .................................................................................... 86

3.1.1 Equation d’état ................................................................................................. 87 3.1.2 Description double-état des interstices............................................................. 88 3.1.3 Processus de relaxation dans le formalisme à deux états ................................. 88 3.1.4 Equation de mouvement................................................................................... 89

3.2 Résultats expérimentaux et théoriques..................................................................... 90 3.2.1 Dynamique rapide ............................................................................................ 90 3.2.2 Dynamique lente .............................................................................................. 95

4. Conclusion............................................................................................................................ 98

79


80


1. Introduction

Ce chapitre a pour but de présenter les résultats expérimentaux relatifs à la caractérisation

acoustique non-linéaire d’échantillons de béton du génie civil. La géométrie cylindrique de

ces derniers ainsi que celle des plaques en composites, étudiées dans le prochain chapitre,

nécessitent l’utilisation d’une approche globale capable d’interroger le matériau sans se

soucier de sa géométrie. Pour cela nous avons utilisé la méthode de caractérisation non-

linéaire en résonance. La capacité de cette méthode à faire vibrer le matériau, notamment les

zones endommagées, la rend capable de détecter la présence d’endommagement diffus ou

localisé. Dans un premier temps, le dispositif expérimental sera présenté ainsi que les

différentes précautions prises pour minimiser ses non-linéarités. Ensuite, les résultats

expérimentaux obtenus en dynamiques rapide et lente sur du béton intact et endommagé par

compression seront présentés. Enfin, Ces derniers seront superposés à ceux obtenus par

simulation à travers une adaptation du modèle LISA à nos conditions expérimentales.

2. Mode opératoire

La méthode de caractérisation appliquée est basée sur le suivi du comportement non-linéaire

en résonance en fonction du niveau d’excitation des matériaux contrôlés dans leur état intact

et pour des niveaux d’endommagement croissants. Pour cela, différents choix au niveau de

l’excitation et de la réception ont été effectués. Les pastilles piézoélectriques (excitation et

réception) et les différents appareils utilisés dans la chaîne de mesure doivent nous permettre

de suivre l’évolution des courbes de résonance d’un mode de vibration donné, et de détecter le

comportement non-linéaire du matériau en dehors de toute influence externe. En particulier, la

chaîne de mesure ne doit pas générer des non-linéarités d’origine électronique pour ne

détecter que celles issues du matériau. Ces différents points seront discutés dans ce qui suit.

2.1 Dispositif expérimental

Le dispositif expérimental mis en œuvre pour la caractérisation non-linéaire en résonance est

représenté sur la figure III-1. Il a pour fonction d’exciter le matériau à fort niveau autour d’un

mode de résonance choisi. Pour ce faire, l’analyseur de réseaux «HP 4194 A » génère une

onde d’excitation sinusoïdale continue. La fréquence de l’onde varie entre deux valeurs

81


limites entre lesquelles se trouve la fréquence de résonance du mode auquel nous nous

intéressons. Ce signal après amplification par l’amplificateur Amplifier Research de puissance

«ar modèle 150A100B » est appliqué à la pastille d’émission générant des ondes de forts

niveaux dans le matériau. Les niveaux d’excitation mis en jeu permettent à l’amplificateur de

garder un niveau de gain de 52dB et ce malgré la rupture d’impédance existant entre

l’amplificateur et le transducteur émetteur. Le contrôle de la qualité des signaux électriques

émergents de l’amplificateur est effectué à l’aide d’un coupleur « ar modèle DC2600A »

placé entre l’amplificateur et le transducteur émetteur. Ce coupleur est bidirectionnel et

permet un contrôle simultané des signaux transmis et réfléchis, et ce pour des puissances

allant jusqu’à 600 watts en continu lorsque la fréquence varie de 10 kHz à 100 MHz. Les

spectres des signaux transmis sont affichés par l’analyseur de spectres «Advantest R3131A »

qui permet ainsi de connaître le niveau d’excitation à partir duquel les harmoniques du signal

fondamental apparaissent. La souplesse du dispositif expérimental permet de caractériser des

matériaux ayant des géométries simples (cylindrique, parallélépipédiques, etc.) ou

compliquées (pièces mécaniques). Ainsi la réception des ondes après propagation dans le

matériau est effectuée soit par contact, soit sans contact à l’aide d’un interféromètre laser

« Polytec ofv 3001 », donnant accès aux vitesses de déplacement.

2.2 Choix des pastilles piézoélectriques et du couplant

La majorité des applications des matériaux piézoélectriques (capteurs, actionneurs et

transducteurs) utilisent des céramiques ferroélectriques polarisées dont la composition la plus

connue est le PZT (Plomb, Zirconium, Titane) avec une faible quantité d’additifs. Le succès

des PZT est essentiellement dû à leurs coefficients de couplage électromécanique élevés, à la

facilité de leur fabrication ainsi qu’à leur faible coût de revient [Tran-Huu-Hue, Levassort et

al.-2000; Xu, Akiyama et al.-1998]. A présent il est important de savoir à quel point le PZT

choisi est capable de répondre aux besoins expérimentaux qu’exige l’acoustique non-linéaire.

82


Figure III-1: Dispositif expérimental utilisé pour la caractérisation non-linéaire

En d’autres termes, il faut vérifier si les différentes propriétés des céramiques piézoélectriques

PZT sont suffisantes pour supporter une forte excitation à l’émission sans générer de non-

linéarités dues au transducteur tout en détectant de façon efficace les vibrations générées dans

le matériau. Exiger une émission linéaire à forte excitation est une condition qui pose déjà un

problème vu que les PZT en général, sous l’effet de fortes sollicitations électriques, atteignent

rapidement le domaine non-linéaire. Cela se traduit par l’apparition d’instabilités qui limitent

les performances des transducteurs et qui font apparaître des décalages dans les fréquences de

résonance ainsi que des boucles d’hystérésis [Aurelle, Guyomar et al.-1996; Rödel et

Kreher-2003]. Les multiples essais que nous avons conduits nous ont amené à choisir le Pz26

de la société danoise Ferromperm Piezoceramics (céramique de type Navy I, de dimensions

20 x 2 mm2 pour le composite et 30 x 2 mm2 pour le béton). Hormis ses faibles pertes

diélectriques et sa bonne stabilité dans le temps, le Pz26 est connu pour avoir une température

de Curie et un facteur de qualité mécanique élevés. Ces propriétés qualifient ce matériau dur

pour une utilisation haute puissance sans risquer une surchauffe ou une dépolarisation. La

réception exige quant à elle une bonne sensibilité du capteur piézoélectrique. Pour cela, nous

avons opté pour un matériau plus souple, le Pz27 du même fabricant (céramique type Navy II

de mêmes dimensions). Ce matériau est réputé pour sa grande sensibilité et ses grands

déplacements. La sensibilité du Pz27 à la température ne pose pas de problème sachant que

les températures mises en jeu au niveau de la réception correspondent à la température

83


ambiante [Dubus, Haw et al.-2002]. Cependant, si toutes les précautions sont prises au

niveau des transducteurs, il ne faut cependant pas négliger le comportement du couplant qui

doit garantir une neutralité et une répétitivité sous l’effet des contraintes mécaniques et des

éventuelles variations de température surtout au niveau de l’excitation. Pour cela, nous avons

utilisé une résine époxy haute température qui assure une bonne adhérence des pastilles

émettrice et réceptrice, et qui évite de générer des effets non-linéaires parasites aux

températures d’essai.

2.3 Limite de linéarité du dispositif expérimental

Les différents choix effectués pour le couplant, les PZT et les différents appareils doivent

assurer une bonne linéarité du dispositif expérimental. Néanmoins, il est nécessaire de tester

la chaîne de mesure sur un matériau dont le comportement est considéré comme linéaire (non-

linéarité d’ordre atomique) comparé à celui du béton ou du SMC, qui seront caractérisés avec

le même dispositif.

Pour un échantillon en aluminium de forme cylindrique, nous avons déterminé la fréquence

de résonance correspondant au premier mode de vibration en mode épaisseur appelé

communément mode d’Young et calculée à l’aide de la relation suivante :

LEf 2

10 ρ= (III-1)

où L est la longueur de l’échantillon. Le tableau (1) regroupe les différentes données

correspondant à l’échantillon en aluminium.

Tableau III-1: Caractéristiques de l'aluminium pris comme référence

E (GPa) ν ρ (g/cm3) L (mm) f0 (kHz) VL (m/s) VT (m/s)

72.22 0.3468 2.7854 61 40 6406.7 3102.6

Une fois le mode de vibration identifié, nous excitons l’échantillon en aluminium à des

niveaux croissants, pour des fréquences avoisinant le mode de vibration en épaisseur (f = 40

kHz). Cela a donné les courbes de résonance présentées sur la figure III-2 et qui montrent un

comportement linéaire de la chaîne de mesure qui dure jusqu’au moment où la fréquence de

résonance commence à basculer vers les basses fréquences (BF). Le point à partir duquel la

84


chaîne de mesure change de comportement est déterminé en effectuant un lissage autour du

pic de résonance. En effet, la qualité des courbes de résonance nous permet aisément de

choisir le polynôme d’interpolation qui recouvre au mieux les points expérimentaux.

L’annulation de la dérivée du polynôme choisi nous permet d’estimer la valeur de la

fréquence de résonance à 0.1 Hz près, ce qui est suffisant comparé aux valeurs des fréquences

de résonance qui sont de quelques dizaines de kilohertz. Cela nous a permis d’identifier la

valeur limite de la déformation qui est de l’ordre de ε = 10-5 pour une excitation de 500 mV.

Expérimentalement, une telle limite est suffisante car les matériaux hétérogènes exhibent un

comportement non-linéaire pour des valeurs de déformation de l’ordre de 10-8. A partir de

cette valeur limite, le comportement de la chaîne de mesure est considéré comme non-

linéaire. Toutes les mesures effectuées demeureront donc en dessous de cette valeur limite.

Figure III-2: Courbes de résonance du mode d'Young d'un échantillon cylindrique d'aluminium :

degré de linéarité du dispositif expérimental

3. Caractérisation acoustique non-linéaire du béton sain et endommagé

Comme tous les matériaux hétérogènes, le béton peut être le siège d’apparition et de

propagation de micro-fissures et ce pour des contraintes bien inférieures à celle correspondant

à la rupture du matériau. A ce stade d’endommagement précoce, alors que les inspections

visuelles ne s’avèrent pas efficaces, les méthodes vibratoires apparaissent comme

85


suffisamment sensibles pour détecter et suivre l’évolution de l’endommagement et ce même

pour des micro-fissures situées dans le volume du matériau [Abeele et De Visscher-2000].

Cependant, les techniques de vibration les plus répandues sont les méthodes linéaires basées

soit sur la perte de rigidité (ou vitesse de propagation) soit sur la croissance de l’atténuation

en fonction de l’endommagement. Généralement, la sensibilité de ces techniques à

l’endommagement microscopique n’est pas à la hauteur des attentes. Face à cette insuffisance

les méthodes non-linéaires apparaissent comme une alternative capable de caractériser

l’endommagement diffus ou localisé et ce pour de faibles déformations [Abeele, Carmeliet et

al.-2000; Abeele, Johnson et al.-2000; Johnson, Zinszner et al.-1996]. Pour ces expériences

préliminaires à celles menées sur le composite SMC, notre but avec le béton, matériau

relativement bien connu et sujet de multiples travaux, est d’étudier les phénomènes non-

linéaires en résonance en suivant le mode de vibration en épaisseur (mode d’Young). Les

résultats expérimentaux en dynamique lente et rapide sont confrontés de manière quantitative

à ceux prévus par le modèle LISA qui a déjà fait ses preuves qualitativement [Scalerandi,

Delsanto et al.-2003]. Les simulations conduites en collaboration avec nos collègues de

l’Ecole Polytechnique de Turin visent à reproduire pour la première fois le comportement

hystérétique du béton de façon quantitative [Bentahar, Griffa, et al.-2005-1]. Les résultats

théoriques et expérimentaux seront présentés de façon superposée.

3.1 Adaptation du modèle LISA

Au début de la partie expérimentale, nous avons déterminé la limite de linéarité du dispositif

expérimental. Lorsque les tensions d’excitation appartiennent au domaine de fonctionnement

linéaire, la contrainte σext appliquée par le transducteur piézoélectrique PZT à la surface du

matériau est proportionnelle à la tension « V » délivrée par l’analyseur gain/phase. Dans ce

cas il parait judicieux de définir un coefficient d’efficacité « e » dont le rôle est de relier la

contrainte σext à la tension V transmise au matériau de telle façon que:

Veext =σ (III-2)

Cependant, il est intéressant de noter que la valeur du coefficient « e » dépend de la chaîne de

mesure et des propriétés d’impédance du matériau. En effet, l’impédance acoustique du

système peut varier selon que l’amplificateur est branché ou non, que l’on change

86


d’échantillon ou encore que l’état du matériau change. Dans ce cas, il n’est plus possible de

considérer le coefficient « e » comme une constante vu que l’efficacité de l’excitation peut

changer d’une expérience à une autre et l’état du matériau lui-même évolue. « e » est donc un

paramètre à identifier.

Dans les expériences dynamiques en résonance que nous avons menées, les échantillons en

béton intact et endommagé ont une longueur L = 61 mm et une section Σ = 10 mm2. Le

rapport (L / Σ), ainsi que les dimensions de la pastille piézoélectrique (30 mm de diamètre et 2

mm d’épaisseur) utilisée pour la génération d’ondes de compression, valident une description

unidimensionnelle pour modéliser la propagation de la perturbation ultrasonore. De plus, le

béton est connu pour sa microstructure complexe dans laquelle alternent grains et interstices

(figure I-3). Cela rend l’utilisation de l’approche LISA, qui schématise le matériau comme

une succession de régions dures (grains) et molles (interstices) ayant différentes équations

d’état, tout à fait correcte pour modéliser le comportement vibratoire unidimensionnel du

béton [Delsanto et Scalerandi-2003]. Sachant que la fraction volumique des pores dans le

matériau est estimée à 14 % du volume total et que l’ouverture des fissures est de quelques

microns, il devient correct de supposer les dimensions des interstices nettement plus faibles

que celles des grains (rapport de l’ordre de 1 pour quelques dizaines de microns).

3.1.1 Equation d’état

Dans le modèle, le béton est représenté par une alternance de grains viscoléastiques linéaires

et d’intersticse représentant les régions molles sources de non-linéarités. La relation

contrainte-déformation dans les régions linéaires est décrite par l’équation

viscoélastique classique:

εηεσ &+=K (III-3)

σ est la contrainte, K est le module d’Young, η le coefficient d’atténuation et ε = du/dx est la

déformation (u est le déplacement), le point représente la dérivée par rapport au temps.

Comme nous l’avons précisé plus haut, toute la non-linéarité est alors attribuée aux

interstices, qui sont des éléments élastiques hystérétiques EEH dans ce cas. La différence est

que les UMH sont caractérisées par une variation instantanée de longueur, alors que les EEH

sont caractérisées par des variations instantanées de leurs propriétés élastiques.

87


L’approche phénoménologique relative aux interstices présentée dans le chapitre II, est alors

adoptée, et la contrainte appliquée à l’interstice est reliée à celle appliquée par les grains

voisins ainsi qu’à la déformation de l’interstice par:

δδτ &321)5.0( aaPa ++−= (III-4)

3.1.2 Description double-état des interstices

D’après l’approche basée sur la description dans l’espace Preisach-Mayergoyz (PM), les

interstices sont supposés dans un état fermé pour (a1 = 0.5, a2 = 0, a3 = a 3r) et dans un état

ouvert pour (a1 = a1e< 0.5, a2 = a 2e ≠ 0, a3 = a 3e). L’état fermé étant rigide, la déformation

ne change pas en fonction du temps : à n’importe quel instant, la contrainte à laquelle les EEH

sont soumis est égale à la contrainte appliquée σext. Inversement, à l’état ouvert la longueur de

l’interstice change dans le temps selon la contrainte appliquée.

Les règles de passage entre les deux états sont définies par la contrainte appliquée aux

interstices. Même si des protocoles plus réalistes peuvent être appliqués [Gliozzi, Nobili et

al.-2005], il est suffisant de suivre la description déterministe usuelle [Delsanto et

Scalerandi-2003; Guyer, McCall et al.-1995]. Pour cela, nous introduisons pour chaque

interstice un couple de pressions (Pf, Po) avec Pf > Po, pour construire l’espace PM décrivant

le système hystérétique. Dans ce cas, la non-linéarité est générée à travers les transitions entre

les deux états de la façon décrite dans le chapitre II. Cela implique que la non-linéarité du

matériau peut être évaluée à travers les trois paramètres ai. En particulier, plus leurs valeurs

s’éloignent de celles de l’état rigide, plus le système est non-linéaire (endommagé dans notre

cas). Aussi nous nous limitons à une description uniforme de l’espace PM. La seule valeur

utile est donc celle de Pmax (valeur maximale de | Pf | ): - Pmax < Pf < Pmax.

3.1.3 Processus de relaxation dans le formalisme à deux états

D’après les descriptions précédentes, il est évident que les EEH sont dans un état d’équilibre

bien défini, rigide ou poro-élastique, uniquement lorsque la pression appliquée est supérieure

à Pf ou inférieure à Po. Pour les pressions intermédiaires, deux états sont possibles et l’état

actuel du système est déterminé à travers la connaissance de l’histoire de contrainte. Il devient

alors possible d’introduire des transitions aléatoires entre les deux états extrêmes avec des

probabilités qf et qo correspondant aux transitions vers l’état élastique fermé et ouvert

88


respectivement [Delsanto et Scalerandi-2003]. Vu que la relaxation correspond à un

durcissement, comme nous allons le voir plus loin, nous prendrons qf > qo, ce qui est en

accord avec le fait qu’il faut plus d’énergie pour rompre une liaison rigide (fermée).

Dans ce modèle, il est également supposé que les probabilités dépendent de la forme de la

boucle à deux états. En effet, lorsque la pression est maintenue à une valeur P, la probabilité

de saut dépend de l’écart P-Pf /o. De ce fait, on s’attend à ce que les relaxations d’un état vers

un autre soient plus faciles lorsque les pressions mises en jeu sont proches des transitions

déterministes. Cela dit, la définition suivante pour les taux de transition effectifs est adaptée:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−=

max

,,, 2

1P

PPqq of

ofof lorsque Po <P < Pf (III-5-a)

0, =ofq ailleurs (III-5-b)

Le processus de relaxation ainsi défini permet d’introduire la configuration initiale du

système. En négligeant les variations thermiques, le matériau est supposé dans un état

complètement relaxé où les longueurs des EEH correspondent à leur état d’équilibre (P=0,

température et humidité constantes pour une période de temps suffisamment longue). Les

unités pour lesquelles Po > 0 sont à l’état ouvert, les unités avec Pf < 0 sont à l’état fermé. Les

autres éléments sont dans un état ouvert/fermé avec des probabilités )(/, ofof qqq +

respectivement.

3.1.4 Equation de mouvement

A partir des équations d’état (III-3) et (III-4), il est possible d’écrire les équations du

mouvement :

υρεσυρ Qw

xEx −∂∂=∂

∂=& pour les grains (III-6-a)

υρετυρ 'Qw

xEx −∂∂=∂

∂=& pour les interstices (III-6-b)

où υ est la vitesse de vibration et w la fréquence de l’onde ultrasonore. Q et Q’ sont les

facteurs de qualité du grain et de l’interstice respectivement. La continuité de la vitesse ainsi

que celle du déplacement aux extrémités des grains et des interstices définit les conditions aux

89


limites relatives à chaque région de l’échantillon. Contrairement à l’extrémité libre de

l’échantillon, au niveau du premier grain en contact avec le transducteur, il faut prendre en

compte la force extérieure Aext sin (wt) telle que :

)(sin wtAQw

xEx ext+−∂∂=∂

∂= υρεσυρ & (III-7)

3.2 Résultats expérimentaux et théoriques

Pour la simulation des résultats relatifs aux essais de dynamique rapide, les caractéristiques du

béton montrées dans le chapitre I sont utilisées. De plus, le facteur de qualité est pris égal à

600. Les dimensions des grains et des interstices sont prises comme ε0 = 75 µm et δ0 = 1.5

µm, respectivement, pour un nombre de nœuds de discrétisation correspondant à N = 810 pour

cette approche numérique. Le jeu de paramètres servant à décrire la non-linéarité a été choisi

de façon à obtenir le meilleur lissage des points expérimentaux. Il a par ailleurs été constaté

qu’un changement de 1% dans la valeur de a1e change la valeur de la fréquence de résonance

wr de 10%. Tenant compte de cette sensibilité, les résultats dans l’état poro-élastique ont été

pris comme a1e = 0.4995, a2e = 2 10-5 K, a3e = 14 pour l’état intact (faible non-linéarité). Pour

l’état endommagé, la présence de non-linéarité plus importante a nécessité l’utilisation des

valeurs suivantes a1e = 0.48725, a2e = 6.5 10-5 K, a3e = 7. Les paramètres de relaxation utilisés

dans ces simulations ont pour valeurs q0=5.410-6 , qf = 8 10-4 évènements/seconde.

3.2.1 Dynamique rapide

Des mesures successives de courbes de résonance sont effectuées pour différentes amplitudes

d’excitation. Cela est fait de manière continue sans laisser au matériau le temps de se relaxer.

Des tensions d’excitation allant de 10 à 100 mV sont générées par l’analyseur gain/phase.

Afin d’exciter le matériau avec suffisamment d’énergie, ces signaux sont amplifiés à un gain

constant correspondant à 52 dB avant d’exciter le béton instrumenté. Etant donné que la

tension d’entrée de l’analyseur est limitée aux faibles signaux (5 volts), nous avons mis un

atténuateur de 40 dB afin d’afficher les courbes de résonance sur l’écran de l’analyseur avant

de les acquérir sur micro-ordinateur. Après l’acquisition, les signaux sont évidemment

multipliés par un facteur de 100 pour la valeur réelle des vitesses de vibration.

Pour l’état intact le coefficient d’efficacité a pour valeur e=54N/m3mV. Pour le matériau

endommagé, les microfissures créées provoquent un changement dans l’impédance du

90


matériau et par-là une diminution du coefficient d’efficacité e. En conséquence, pour simuler

l’état endommagé, le coefficient d’efficacité est e=27 N / m3 mV.

Les figures (III-3-a) et (III-3-b) présentent la superposition des résultats expérimentaux et

simulés de dynamique rapide correspondant aux courbes de résonance pour différentes

valeurs de l’amplitude d’excitation σext. Les données expérimentales et les résultats de

simulation sont en bon accord qualitativement et quantitativement, comme cela peut être

observé. La figure (III-3-a) montre que déjà à l’état intact, le matériau se comporte de façon

légèrement non-linéaire. Cela peut être observé à travers les deux types de données

(expérimentales et théoriques) où un léger décalage de la fréquence de résonance vers les

basses fréquences a lieu lorsque l’excitation σext devient plus importante. Par contre, la

contribution de la non-linéarité à l’atténuation apparaît plus évidente. En effet, en considérant

le rapport des amplitudes à la résonance entre le plus bas et le plus haut niveau d’excitation,

nous remarquons qu’il est voisin de 9. Cette valeur est bien différente de celle de 10 qui

correspond au rapport des deux niveaux d’excitation. Par ailleurs, l’atténuation non-linéaire

peut également être observée à travers l’évolution de la largeur des courbes de résonance en

fonction de la tension d’excitation. Dans ce cas, les résultats des simulations sont en accord

avec les données expérimentales. Plus particulièrement, les fréquences de résonance ainsi que

les vitesses de vibration particulaire ont pu être retrouvées de façon quantitative. La largeur

des courbes de résonance a aussi donné satisfaction quoique avec moins de précision. Dans ce

cas, il est possible de remarquer que par rapport aux largeurs des courbes expérimentales, les

courbes simulées sont plus étroites pour les faibles excitations et plus larges pour les fortes

excitations. Néanmoins l’accord entre les deux résultats est très satisfaisant. [Bentahar,

Griffa, et al.-2005-1; Bentahar, Griffa, et al.-2005-2]

Des considérations similaires restent valables pour l’échantillon endommagé (figure III-3-b).

Dans ce cas, les effets non-linéaires précédemment discutés sont plus importants et peuvent

être facilement détectés (il suffit de remarquer la variation de la fréquence angulaire dans ce

cas). Au-delà des variations de fréquence et d’atténuation, il est facile de remarquer que les

courbes de résonance sont considérablement distordues comparées à la forme classique

(symétrique) d’une courbe de résonance. Là aussi, un accord quantitatif optimal est trouvé

pour les fréquences de résonance correspondant aux excitations σext. Cet accord est plus précis

que celui trouvé pour les largeurs des courbes de résonance. Une meilleure appréciation de

l’effet de l’endommagement sur l’atténuation et le décalage fréquentiel peut être obtenu en

représentant la déformation (normalisée par rapport à l’excitation) en fonction de la fréquence

91


pour les états endommagé et non endommagé, pour les excitations 10mV et 50 mV, comme le

montre la figure III-4.

Figure III-3: Superposition des résultats théoriques et expérimentaux relatifs au comportement du béton en dynamique rapide. (a) état intact ; (b) état endommagé.

Figure III-4: Courbes de résonance (déformation-fréquence) pour les échantillons intact et endommagé excités à 10 mV et 50 mV

92


Des observations quantitatives sont reportées dans les figures III-5-a, III-5-b et III-6. Ici sont

représentées les variations relatives de la fréquence de résonance ainsi que celles du facteur de

qualité en fonction de l’amplitude de l’excitation, selon les relations :

0

0)(

r

rextr

r

r

www

ww −

=∆ σ

(III-8)

0

0)(Q

QQQQ ext −

=∆ σ (III-9)

où wr (σext) est la fréquence de résonance correspondant à l’amplitude d’excitation σext et wr0

est la fréquence de résonance pour la plus faible amplitude d’excitation (σext = e 10 mV). Le

facteur de qualité Q a été calculé comme étant le rapport de la fréquence de résonance sur la

largeur de la courbe de résonance correspondant à –3 dB de la valeur de vibration maximale.

93


b

Figure III-5: Variations de la fréquence relative en fonction de la vitesse de vibration particulaire pour les états intact et endommagé : superposition des résultats théoriques et expérimentaux sur échantillons intact et endommagé. (a) état intact ; (b) état endommagé.

Figure III-6: Variation du facteur de qualité Q dans le cas du béton endommagé: superposition des résultats théoriques et expérimentaux

94


Les deux quantités évoluent de façon linéaire en fonction de l’excitation avec un bon accord

entre les points expérimentaux (carrés) et théoriques (triangles). Dans les deux cas,

endommagé et non endommagé, le matériau s’adoucit lorsque l’amplitude augmente et le

facteur de qualité décroît (plus d’atténuation). Les effets non-linéaires sont plus importants

dans le cas endommagé ce qui peut être évalué à travers les valeurs des pentes de variation

des dernières figures. Il est important de noter que les variations des pentes des deux

évolutions relatives par rapport à l’état intact sont de l’ordre de 400 pour le décalage en

fréquence et 3.5 pour l’atténuation. Cela prouve qu’il est possible d’utiliser au moins l’une de

ces deux grandeurs comme indicateur fiable d’endommagement.

3.2.2 Dynamique lente

Lors d’une expérience de dynamique lente, le matériau est excité à fort niveau pendant

quelque temps. Pendant ce temps appelé temps de conditionnement, des variations dans la

fréquence de résonance et dans l’atténuation sont observées. En effet, comme nous le verrons

pour le SMC, le conditionnement a pour effet de faire baisser la fréquence de résonance et de

faire augmenter l’atténuation. Lorsque le conditionnement est arrêté, le matériau se relaxe et

tend à revenir vers son état initial. Le suivi de la relaxation peut s’effectuer à l’aide d’un

faible niveau d’excitation. Cela permet de suivre l’évolution de la courbe de résonance dans le

temps, et d’évaluer le temps de relaxation fréquentiel.

Dans nos expériences, le matériau est conditionné avec un signal de 40mV amplifié de 52dB

pendant 5 minutes. Pendant la relaxation, l’amplificateur est débranché et la relaxation est

suivie avec une faible excitation de 10mV. Les résultats simulés relatifs à cette relaxation sont

représentés sur la figure III-7, où l’on peut voir l’évolution de la courbe de résonance du mode

d’Young dans le temps pour le béton endommagé. Comme attendu, le matériau s’adoucit en

réponse à la forte perturbation, mais l’effet est complètement réversible et la fréquence de

résonance recouvre lentement sa valeur initiale d’avant perturbation (la valeur trouvée avant

le conditionnement pour une faible excitation de 10mV).

La figure III-8 représente les courbes de résonance théoriques et expérimentales pour trois

instants de relaxation du béton à l’état intact et endommagé. L’accord entre les résultats

théoriques et expérimentaux est satisfaisant pour les deux états intact et endommagé. Les

simulations reproduisent avec suffisamment de fidélité les variations de la fréquence de

résonance dans les deux états pour ces instants ainsi que pour les autres. La réduction de

95


l’atténuation non-linéaire lors de la relaxation est bien reproduite, quoique avec moins de

précision comme précédemment discuté lors des expériences de dynamique rapide.

Figure III-7: Evolution de la courbe de résonance du mode d'Young dans le cas du béton endommagé: Résultats simulés

a a a

b b b

Figure III-8: Superposition des courbes de résonance du mode d'Young (⎯ expérimentales et ---- théoriques) lors de la relaxation du béton. Trois instants sont choisis pour l’état (a) intact et (b) endommagé.

96


Du point de vue qualitatif, le comportement à la relaxation de l’état intact est similaire à celui

de l’état endommagé en raison de la non-linéarité hystérétique générée par les fissures déjà

présentes dans le béton non endommagé. Par contre, du point de vue quantitatif, l’effet dans le

cas endommagé est considérablement plus apparent, comme cela est montré sur la figure III-

9, où la fréquence de résonance est suivie dans le temps. L’évolution logarithmique de la

fréquence en fonction du temps, observée pour les états intact et endommagé du béton,

montre que le béton partage le même comportement en dynamique lente trouvé dans le cas

d’autres matériaux à comportement non-linéaire hystérétique. Le tableau III-2, résume les

principales observations liées à la dynamique lente.

Tableau III-2: Variations de la fréquence et du temps de relaxation pendant la dynamique lente

Décalage fréquentiel dû au conditionnement Temps de relaxation (s)

Intact 0.02 % 30 Hz 5000

Endommagé 0.7 % ~1 KHz 8000

Figure III-9: Evolution de la fréquence de résonance lors de la relaxation du béton: Le temps de relaxation dans le cas du béton endommagé (b) est plus important que celui du béton intact (a)

97


D’après le tableau III-2, nous pouvons remarquer que le décalage fréquentiel dû au

conditionnement apparaît comme un indicateur fiable d’endommagement vu que l’effet du

conditionnement à l’état endommagé est 35 fois supérieur à celui trouvé à l’état intact. A cela

s’ajoute l’évolution du temps de relaxation qui passe de 5000 à 8000 secondes lorsque le

matériau est endommagé (évolution d’un facteur de 1.6). Ce dernier semble également être un

bon indicateur d’endommagement quoique coûteux en temps de mesure. [Bentahar, Griffa,

et al.-2005-1; Bentahar, Griffa, et al.-2005-2]

4. Conclusion

La caractérisation du béton nous a permis de mettre en évidence les phénomènes de

dynamique rapide et lente et leur corrélation forte à l’endommagement. Les variations

observées lors de ces deux phénomènes ont été reproduites quantitativement à l’aide du

modèle LISA adapté aux conditions de nos expériences. A travers les approches

expérimentales et théoriques, nous avons tiré un certain nombre d’indicateurs non-linéaires

d’endommagement pour la caractérisation et le suivi de l’état de santé du béton. Notons

cependant que ces résultats sont obtenus pour deux états, l’un intact et l’autre endommagé. A

présent, il devient intéressant de suivre l’évolution du comportement non-linéaire hystérétique

lorsqu’un endommagement progressif est appliqué. Dans ce cas, il faut également trouver un

moyen pour quantifier les différents endommagements afin de les relier aux indicateurs non-

linéaires identifiés à chaque étape. Cela a été fait sur des plaques en composite SMC et les

résultats sont présentés dans le prochain chapitre.

98

CHAPITRE IV : Caractérisation non-linéaire du composite SMC

CHAPITRE IV : Caractérisation acoustique non-linéaire et par émission acoustique d’un composite base polymère endommagé progressivement 1. Introduction ........................................................................................................................ 101 2. Mode opératoire ................................................................................................................. 101

2.1 Dynamique rapide dans le SMC............................................................................. 101 2.1.1 Etude du spectre de vibration ......................................................................... 102 2.1.2 Suivi de l’endommagement : Indicateur d’endommagement ........................ 103

2.2 Dynamique lente dans le SMC............................................................................... 106 2.2.1 Dynamique lente comme indicateur d’endommagement............................... 110

3. Détection de l’endommagement par émission acoustique ................................................. 114 3.1 Description ............................................................................................................. 114 3.2 Caractéristiques d’un signal d’émission acoustique............................................... 115 3.3 Irréversibilité de l’émission acoustique : Effet Kaiser ........................................... 116 3.4 Application au SMC............................................................................................... 117

3.4.1 Endommagement graduel et émission acoustique ......................................... 118 3.4.2 Dynamique rapide et émission acoustique ..................................................... 119 3.4.3 Dynamique lente et émission acoustique ....................................................... 123 3.4.4 Mécanismes d’endommagement et durée de vie............................................ 128

4. Conclusion.......................................................................................................................... 130

99


100


1. Introduction Ce dernier chapitre est consacré à la caractérisation acoustique non-linéaire en résonance du

composite base polymère SMC (Sheet Moulding Compound). Pour ce matériau davantage

d’endommagement est considéré, de nouveaux indicateurs acoustiques non-linéaires

d’endommagement sont définis. Une analyse supplémentaire de l’endommagement par

émission acoustique a également été menée sur ce matériau. La quantification de

l’endommagement, ainsi effectuée in situ, a permis d’établir d’intéressantes corrélations entre

les indicateurs macroscopiques non-linéaires d’endommagement et l’énergie élastique libérée

par le matériau, témoin des processus microscopiques d’endommagement.

2. Mode opératoire Au chapitre I, nous avons présenté l’approche expérimentale et théorique visant à identifier

les modes de vibration du composite SMC. Ce qui n’a pas été mentionné est l’incapacité du

dispositif expérimental à détecter les premiers modes de vibrations. Cela est directement lié à

l’amplificateur dont la gamme de fréquence varie de 10 kHz à 200 MHz. Cependant, comme

précédemment montré, cette contrainte n’a pas empêché de retrouver des résultats en accord

avec ceux des simulations et d’identifier le premier mode correctement amplifié

correspondant au sixième mode de flexion de fréquence f = 16.685 KHz. Dans la suite, nous

nous servirons de ce mode de résonance pour suivre l’évolution de l’endommagement. En

effet, le bon niveau d’amplification de ce mode nous permettra de mieux détecter les premiers

stades d’endommagement et de suivre le comportement du matériau en vibration pour des

endommagements croissants allant jusqu’à l’apparition de macro-fissures. Mais avant cela, il

est impératif de tester la sensibilité de ce mode à la présence d’endommagement.

2.1 Dynamique rapide dans le SMC

Dans une expérience préliminaire, nous avons vérifié la sensibilité de la méthode de

résonance acoustique non-linéaire à l’endommagement du SMC avant toute tentative de

caractérisation complète. Pour ce faire, un endommagement localisé et de faible niveau est

créé à l’aide d’un essai de flexion trois points. Avant et après endommagement, nous avons

suivi l’évolution du sixième mode de résonance en flexion en fonction du niveau d’excitation.

Cela a donné des résultats satisfaisants montrant la sensibilité du mode suivi à la présence de

l’endommagement comme indiqué sur les figures IV-1-a et IV-1-b. Ces deux séries de

101


courbes montrent clairement le changement dans le comportement en résonance en fonction

de l’excitation lorsque l’endommagement est présent dans le matériau. Il nous est apparu

également intéressant de voir comment étaient affectés les autres modes de vibration. Ceci

nous a conduit à étudier les non-linéarités acoustiques, en fonction d’un endommagement

croissant et contrôlé, sur une plus grande étendue du spectre comme indiqué dans ce qui suit.

[Bentahar, El Guerjouma et al.- 2003]

a b

Figure IV-1: Courbes de résonance correspondant aux vibrations en mode flexion (a) avant endommagement (b) après un endommagement par essai de flexion trois points

2.1.1 Etude du spectre de vibration

Expérimentalement, il est toujours intéressant de voir le comportement de la totalité du

spectre pour savoir si les autres modes de vibration sont affectés par la détérioration de l’état

de santé du matériau et comment ils se comportent dans ce cas. Pour cela, nous avons induit

un endommagement progressif localisé. Cela consiste à appliquer des essais de flexion trois

points avec une flèche allant de 0 mm à 3 mm par pas de 0.5 mm, donnant accès à 6 états

d’endommagement. Pour chaque état d’endommagement, nous avons suivi les variations des

différentes fréquences de résonance correspondant au même niveau d’excitation. Les résultats

sont montrés sur la figure IV-2-a, où les fréquences sont normalisées par rapport au mode de

vibration suivi (6ème mode de flexion) du SMC. Sur cette figure, il est possible de voir la

variation de la fréquence de résonance lorsque l’endommagement croît, et cela en codant

l’amplitude en niveaux de gris allant du blanc pour le niveau le plus élevé au noir pour le plus

102


faible. Ce qui mérite d’être souligné est que le mode de flexion suivi n’est pas le seul a être

affecté par l’endommagement. En effet, à l’aide de la figure IV-2-b, qui représente la suite du

spectre présenté dans la figure IV-2-a, nous pouvons confirmer que le décalage en fréquence

et l’augmentation de l’atténuation affectent aussi les autres modes de vibration dans d’autres

proportions. Cela prouve que l’exploration d’autres modes de vibration (fondamentaux ou

harmoniques) est une voie intéressante capable de nous renseigner de façon plus précise sur

d’autres comportements du matériau, en excitant d’une meilleure façon les zones

endommagées, surtout lorsque l’hystérésis est présente. En d’autres termes, le suivi du mode

fondamental, qui reste la seule voie expérimentale utilisée jusqu’aujourd’hui en non-linéaire

(tous travaux compris), ne peut à elle seule décrire de façon rigoureuse un comportement non-

linéaire hystérétique, sans une connaissance des variations pouvant avoir lieu dans les

harmoniques impaires et paires du mode fondamental suivi. Malheureusement, pour certains

états où l’endommagement est bien développé (comme dans le cas du béton précédemment

étudié), l’atténuation devient très importante et affecte de façon sérieuse les modes

fondamentaux tout en bloquant l’accès à leurs harmoniques. [Bentahar, El Guerjouma et

al.-2004]

2.1.2 Suivi de l’endommagement : Indicateur d’endommagement

Généralement on définit un indicateur classique d’endommagement pour suivre la

détérioration de l’état de santé des matériaux en suivant les variations relatives d’une grandeur

linéaire telle que le module d’Young par exemple. Dans ce cas, le facteur d’endommagement

noté « DE » est donné par l’expression :

0

1EEDE −= (IV-1)

où E0 et E sont les modules d’Young pour les états intact et endommagé respectivement.

103


a b

Figure IV-2 : Evolution des différents modes de vibration en fonction de l’endommagement pour le même niveau d’excitation : le spectre est normalisé par rapport au 6éme mode flexion (mode suivi) : plus l’endommagement augmente plus l’atténuation augmente. Tout le spectre de vibration se décale vers les basses fréquences lorsque l’endommagement devient plus important.

D’après cette définition il découle que pour l’état intact DE = 0 et pour l’état complètement

endommagé DE = 1. De la même façon, nous avons adapté cette approche pour notre cas et

avons lié l’état d’endommagement à un facteur d’endommagement noté D. Les valeurs de D

représentent les variations relatives de l’aire sous les courbes de vibration correspondant à

chaque état d’endommagement. Cela peut être fait en considérant un ou plusieurs modes de

vibration. A partir des résultats expérimentaux, nous avons vérifié la faible différence existant

entre les deux approches sus-mentionnées et avons décidé de calculer le paramètre D

uniquement à partir des variations du mode de vibration en flexion. Dans ce cas, une valeur

nulle du facteur D équivaut à l’état initial (pris comme état de référence) où aucun

endommagement n’est induit dans le matériau. A mesure que l’endommagement progresse,

les vibrations deviennent moins importantes jusqu’à disparaître lorsque le matériau est

complètement fissuré (le signal d’excitation ne parvient plus au transducteur récepteur). Dans

ce cas, le facteur de qualité D vaut 1. D’après cette définition, le facteur D est calculé à l’aide

de la formule suivante :

0

1AA

D nn −= (IV-2)

où n est l’état d’endommagement, A0 et An sont les aires sous les courbes de résonance de

l’état intact et du n-ième état endommagé respectivement. Notons que dans cette méthode,

nous n’avons pas considéré l’évolution de la fréquence de résonance lors des différents états

104


endommagés, comme le montre la figure IV-3, et de ce fait le facteur D rend compte

uniquement de l’évolution de l’atténuation non-linéaire dans le matériau.

Figure IV-3: Principe de calcul du facteur d'endommagement. Les décalages en fréquence n’étant pas considérés dans le calcul de D, ce dernier suit exclusivement l’évolution non-linéaire de l’atténuation

Sur la figure IV-4, il est possible de voir les variations du facteur d’endommagement D et sa

sensibilité aux changements induits dans la structure du matériau, même pour de faibles

déplacements en flexion (faible endommagement). Les variations de D, qui reflètent l’énergie

libérée par le matériau au cours du processus d’endommagement, montrent au même moment

l’évolution de l’atténuation ayant lieu après chaque étape d’endommagement. La sensibilité

de D le conforte en bon candidat capable de détecter les variations non-linéaires dans les

matériaux, surtout dans le cas où le facteur de qualité des courbes de résonance, comme

calculé pour le béton, change dans le temps pendant les essais de dynamique lente sous une

forte excitation (conditionnement) ou pendant la relaxation. [Bentahar, El Guerjouma et al.-

2005-1]

105


Figure IV-4: Courbes de résonance correspondant au même niveau d'excitation pris à différents états d'endommagement. Les variations du facteur d’endommagement D montrent une nette progression à mesure que la santé du matériau se détériore.

2.2 Dynamique lente dans le SMC

Lorsque les matériaux non-linéaires hystérétiques sont soumis à un fort niveau d’excitation

(conditionnement), le module et le facteur de qualité décroissent instantanément, dans un

premier temps, et continuent leur décroissance jusqu’à atteindre un nouvel état d’équilibre où

aucun changement n’est plus signalé. Lorsque la forte excitation est levée, le matériau

retourne à son état initial d’avant excitation avec un recouvrement lent (relaxation). [Delsanto

et Scalerandi-2003; Johnson et Sutin-2005]

Pour le SMC, nous avons effectué les expériences de dynamique lente pendant lesquelles

nous suivons le comportement du matériau durant le conditionnement et la relaxation. Dans

un premier temps, une forte excitation est appliquée en utilisant l’amplificateur pendant

quelques minutes. Durant le conditionnement, nous avons vérifié que le seul paramètre

capable d’influencer le module et le facteur de qualité est l’amplitude du signal d’excitation.

Cela veut dire que le conditionnement reste indépendant de la façon dont le matériau est

conditionné. En d’autres termes, balayer la fréquence autour du mode flexion ou exciter à

fréquence constante donne les mêmes résultats. Pour l’état d’endommagement correspondant

à D = 0.4, nous avons conditionné le SMC à fort niveau pendant 13 minutes durant lesquelles

la fréquence a été balayée autour du sixième mode flexion. Les courbes de résonance

obtenues sont présentées sur la figure IV-5. Ces courbes montrent l’influence du niveau

d’excitation sur la fréquence et le module. Il est évident que les variations instantanées dans

106


les propriétés du matériau au moment où le conditionnement est appliqué ne peuvent être

observées. Par contre, après un certain temps la fréquence de résonance ainsi que l’atténuation

tendent vers une valeur limite qui dépend du niveau d’excitation ainsi que de l’état de santé

du matériau. La façon dont la fréquence change dans le temps est présentée dans la figure IV-

6. De plus, si nous considérons une variation logarithmique de la fréquence dans le temps

caractérisée par un coefficient m1 (m1 = -3 10-3 ), comme présenté sur la même figure, nous

pouvons dire que le SMC partage les mêmes caractéristiques universelles que celles des

roches, bétons, etc. et ce malgré les différences de leur microstructure et constituants.

[Bentahar, El Guerjouma et al.-2005-1]

Figure IV-5: Evolution des courbes de résonance correspondant au mode flexion pendant le conditionnement du matériau

107


Figure IV-6: Décroissance de la fréquence de résonance en log(t) sous l'effet de la forte excitation. Le conditionnement est caractérisé par un coefficient m1 = -3 10-3.

Afin de suivre la relaxation du matériau, l’amplificateur est débranché au moment où la valeur

limite de la fréquence est atteinte, et nous excitons le matériau avec la même onde sinusoïdale

mais de faible niveau. Son rôle est de sonder les changements qui ont lieu dans le matériau

sans influer sa relaxation. Par opposition au conditionnement précédemment décrit, la

relaxation prend plus de temps. La figure IV-7 présente les changements de la courbe de

résonance normalisée par rapport à la fréquence ultime du matériau. Les variations de

l’amplitude et de la fréquence montrent le retour progressif du matériau vers son état

d’équilibre initial. L’évolution temporelle de la fréquence de résonance durant le processus de

relaxation est présentée sur la figure IV-8. L’évolution est à nouveau logarithmique mais avec

un autre paramètre m2 ≠ m1 (m2= 3.59 10-4). Nous pensons que le cas où m1≠ m2 est plus

répandu que celui m1= m2 trouvé par Zaitsev et al. dans le cas d’échantillon de verre fissuré

où un mécanisme d’échauffement - refroidissement est supposé à l’origine de cette symétrie

[Zaitsev, Gusev et al.-2003]. L’existence de dissymétrie signifie que les contributions

dominantes dans la lente dérive observée sont liées à des mécanismes de ruptures ou de

restaurations progressives d’un grand nombre de contacts locaux lorsqu’ils sont fortement

excités et lorsqu’ils se relaxent. Cette importante observation, qui montre que la relaxation

suit un chemin différent de celui du conditionnement doit être prise en considération avant de

108


décider du type d’approche théorique à utiliser, qu’elle soit basée sur une description dans

l’espace PM ou sur un mécanisme thermoélastique ou autre, pour modéliser de façon

qualitative ou quantitative les différents phénomènes observés. [Delsanto et Scalerandi-

2003; Zaitsev, Gusev et al.-2003]

De plus, les variations logarithmiques de la fréquence et de l’atténuation nous font penser au

phénomène de fluage observé durant les essais quasi-statiques. Même si les deux phénomènes

sont provoqués de façons différentes (contrainte quasi-statique et onde sinusoïdale), il est bon

de noter que les niveaux de déformation mis en jeu lors des essais quasi-statiques (ε ~ 10-3)

sont extrêmement supérieurs à ceux trouvés pour les mesures dynamiques en élasticité non-

linéaire (ε ~ 10-8) [Johnson et Sutin-2005]. Il est intéressant de vérifier si la dynamique lente

dans le SMC dépend de la température comme cela a été montré pour les roches. Cependant

cela dépasse l’objectif de ce travail qui est de détecter l’endommagement à l’aide de méthodes

non-linéaires tout en définissant des indicateurs d’endommagement suffisamment sensibles à

la dégradation du matériau. De ce fait, nos mesures ont été effectuées à température ambiante

comme le sont les mesures ultrasonores effectuées in situ. [Bentahar, El Guerjouma et al.-

2005-1]

Figure IV-7: Evolution de la courbe de résonance correspondant au mode flexion pendant la relaxation du matériau

109


Figure IV-8: La fréquence de résonance recouvre vers sa valeur initiale lors de la relaxation du matériau en log(t)

2.2.1 Dynamique lente comme indicateur d’endommagement

Durant les expériences de dynamique lente, nous avons remarqué que les temps de

conditionnement et de relaxation dépendent de l’état du matériau. En particulier, la façon dont

le matériau se relaxe dépend du temps et du niveau de conditionnement. La relaxation dépend

également de l’état de santé du matériau, en d’autres termes de sa capacité à restituer l’énergie

accumulée lors du conditionnement. Cela ouvre la possibilité de relier l’état

d’endommagement au temps de relaxation (ou de conditionnement). Pour ce faire, nous avons

le choix d’appliquer l’une des deux procédures suivantes :

A chaque état d’endommagement, nous appliquons une excitation constante et nous

suivons l’évolution du temps de conditionnement. En effet, pour une excitation

donnée, les fréquences de résonance diminuent avec le temps jusqu’à une valeur

limite. La valeur limite et le temps de conditionnement sont caractéristiques de l’état

de santé du matériau.

110


A chaque état d’endommagement, nous conditionnons avec le même niveau

d’excitation appliqué pendant un temps fixe. Après chaque conditionnement, le

matériau met un certain temps pour se relaxer. Dans ce cas, le temps de relaxation est

une caractéristique de l’état de santé du matériau.

Evidemment le cas idéal serait de suivre les évolutions du conditionnement et de la relaxation

en fonction du temps. Seulement, cela n’a été fait que pour le temps de relaxation.

Argumenter ce choix revient à voir de plus près la deuxième procédure. Pour chaque état

d’endommagement nous excitons le matériau à faible niveau et nous notons la fréquence de

résonance correspondante notée f0. Ensuite, le matériau est conditionné à fort niveau durant 5

minutes, à la suite desquelles l’amplificateur est débranché et la relaxation est suivie avec le

même faible niveau initialement appliqué. Si le matériau retrouve sa fréquence de résonance

f0, cela signifie que le mécanisme de restauration est complet et que le conditionnement n’a eu

aucun effet supplémentaire sur le matériau. Par contre, si le matériau retourne à une fréquence

f0’ < f0, cela montre que l’accumulation d’énergie dans les zones de contact a induit des

ruptures irréversibles de liaisons. Cette dernière information reste impossible à prédire en

suivant uniquement le temps de conditionnement même si l’expérience est répétée plusieurs

fois. En d’autres termes, le suivi du temps de relaxation semble plus intéressant. Dans la

littérature, le seul travail de caractérisation dans lequel la dynamique lente est utilisée est celui

de TenCate et al. [TenCate, Smith et al.-2000; TenCate-2001]. Les mesures expérimentales

de temps de relaxation avaient pour but de différencier un échantillon en béton intact et un

autre endommagé par voie chimique. Il est à noter que dans ce travail, les échantillons de

béton n’étaient pas élaborés dans les mêmes conditions et l’endommagement n’était pas

quantifié. De plus, ce genre d’expérience exige un temps de relaxation de référence à travers

lequel l’évolution de la relaxation est suivie. Pour palier à ces insuffisances, nous avons

appliqué un endommagement contrôlé sur le même échantillon, nous présentons un temps de

référence, et en nous appuyant sur des résultats expérimentaux, nous prouvons la croissance

du temps de relaxation avec l’endommagement.

111


2.2.1.1 Evolution du temps de relaxation en fonction de l’endommagement

Pour une durée de 5 minutes et un niveau d’excitation constant, nous avons conditionné

l’échantillon en SMC pour quatre états d’endommagement. L’endommagement est induit par

des essais de flexion correspondant à des déplacements de 1, 1.5, 2 et 3 mm. Nous avons suivi

la relaxation à l’aide d’un faible niveau d’excitation et avons obtenu les courbes de la figure

IV-9. Cette dernière montre qu’à l’instant t = 0 s, la fréquence de résonance vers laquelle le

matériau se relaxe baisse à mesure que l’endommagement croît. De plus, la relaxation

fréquentielle qui évolue toujours en logarithme du temps devient de plus en plus lente. Cela

est dû à l’accumulation de l’énergie dans les zones de contact lors du conditionnement,

comme dans le cas de fibres rompues, matrice fissurée, délaminage ou déchaussement. A cela

s’ajoutent les relaxations thermiques qui induisent des variations dans les structures des zones

de contacts. Ces changements rendent les temps de relaxation plus lents à mesure que

l’endommagement progresse, et contribuent considérablement à rendre le recouvrement

fréquentiel imparfait ou « irréversible ». Expérimentalement, nous avons vérifié que pour les

états d1 et d2 (1 et 1.5 mm), le recouvrement fréquentiel était parfait, ce qui signifie que le

conditionnement n’a eu aucun effet, du moins détectable, sur la relaxation du matériau. Par

contre, cela n’a pas été le cas pour les autres états endommagés d3 et d4 (2 et 3 mm) où la

fréquence limite de relaxation n’a jamais recouvert sa valeur initiale avec des différences de 3

et 5 Hz respectivement. Comparées aux valeurs des fréquences de résonance, ces différences

sont faibles, mais elles restent cependant significatives par rapport à l’incertitude des mesures

qui est de 0.1 Hz. De ce fait, nous avons expérimentalement prouvé que le temps de relaxation

augmente avec l’endommagement et peut être utilisé comme un moyen sensible pour suivre

l’état de santé des matériaux hétérogènes, comme le montre la figure IV-10. [Bentahar, El

Guerjouma et al.-2005-2]

Nous sommes conscients de la nécessité d’une meilleure quantification de l’endommagement,

qui rende compte de l’évolution de la rigidité du matériau, et qui pourrait être corrélée à

l’évolution du temps de relaxation. En particulier, nous pensons à l’utilisation de l’émission

acoustique comme moyen de calculer l’énergie élastique libérée par le matériau lors des

changements de structure créés par l’endommagement. Lier cette énergie au temps de

relaxation fournit plus d’informations sur l’état de santé du matériau. Ces résultats seront

présentés en détail dans la partie suivante pour les mesures en dynamiques rapide et lente.

112


Figure IV-9: Evolution de la fréquence de résonance du mode flexion pour 4 états d'endommagement

Figure IV-10: Evolution du temps de relaxation pour différentes valeurs de déplacement en flexion

113


3. Détection de l’endommagement par émission acoustique Dans ce travail, l’utilisation de l’émission acoustique a pour unique but de quantifier

l’endommagement par un moyen autre que la force appliquée ou la déformation. Il est donc

nécessaire de présenter la méthode ainsi que ses principales caractéristiques.

3.1 Description

L’émission acoustique est basée sur la détection des ondes élastiques générées par une

déformation locale dans les matériaux soumis à une ou plusieurs contraintes. La méthode

ignore ainsi tout défaut bénin qui n’évolue pas lors des tests mécaniques ou pendant le

service. Elle ne sélectionne que ceux qui induisent des changements et qui sont de ce fait

potentiellement dangereux. Le principe de cette méthode, présenté sur la figure IV-11, repose

sur l’installation de capteurs piézoélectriques sur la surface du matériau mis sous contrainte.

Lorsqu’un endommagement a lieu à l’intérieur du matériau, ce dernier émet une onde

élastique qui sera « entendue » par le capteur lorsqu’elle atteint la surface du matériau.

L’onde est ensuite convertie en signal électrique avant d’être analysée par un système de

traitement de données. Le principe de la méthode, dans lequel le matériau joue le rôle

d’émetteur, n’exige ni l’utilisation d’un type particulier de matériau ni d’un environnement

spécifique. Cet avantage privilégie l’utilisation de l’émission acoustique lorsqu’il est question

de suivre in situ l’évolution de l’endommagement des matériaux en service. Cependant ce

même avantage est la source du plus grand problème pratique de cette technique. En effet, il

n’y a aucun moyen d’intensifier les ondes élastiques générées par un défaut et d’améliorer

ainsi la sensibilité des capteurs.

Dans la pratique l’émission acoustique peut être continue ou discrète : [Roget-1988]

- Emission Acoustique discrète: elle est constituée d’évènements d’énergie

importante. Les signaux générés dépendent des capteurs utilisés : sinusoïdes amorties

appelées « salves », dans le cas de capteurs résonants ou impulsions très courtes dans

le cas de capteurs large bande. C’est de ce type d’émission dont il s’agit lorsqu’on

détecte l’initiation de l’endommagement et que l’on suit son évolution jusqu’à la

rupture du matériau.

114


- Emission Acoustique continue : en général cela sous-entend une émission discrète

dont les signaux sont très rapprochés et ne peuvent être séparés par l’instrumentation.

Dans ce cas, de faibles niveaux d’énergies sont mis en jeu ce qui limite l’exploitation

de ce type d’émission.

3.2 Caractéristiques d’un signal d’émission acoustique

Les signaux électriques obtenus grâce aux micro-déplacements qui apparaissent dans les

matériaux sont appelés salves. La connaissance des caractéristiques de ces dernières est la

base même de cette méthode de contrôle. Sur la figure IV-12, qui représente une salve, nous

pouvons distinguer les paramètres suivants : [Roget-1988; Scruby-1985]

- Le seuil : c’est le paramètre qui gouverne le niveau à partir duquel les signaux

d’émission acoustique sont enregistrés. Il doit cependant être choisi de façon à prendre

uniquement les signaux issus du matériau en considération. Il est exprimé en décibels

(0dB ≡ 1µV).

- La durée: elle correspond au temps écoulé entre le premier et le dernier dépassement

de seuil, en général exprimé en microsecondes.

- Le nombre de coups : il s’agit du nombre de pics qui dépassent le seuil pendant la

durée de la salve.

- L’amplitude: il s’agit de l’amplitude maximale du signal, exprimée en décibels.

- Le temps de montée : c’est le temps qui sépare le premier dépassement de seuil et

l’amplitude maximale de la salve.

- L’énergie absolue qui correspond au contenu spectral du signal, elle est définie par la

relation: ∫=final

initial

t

tabs dtAmplitudeE 2)(

Figure IV-11:Détection de l'endommagement d'un matériau sous contrainte par émission acoustique

115


Il faut toutefois noter que les caractéristiques des salves sont intimement liés aux événements

générateurs, c'est-à-dire aux mécanismes d’endommagement. Le seul moyen qui permet de

remonter à l’événement d’origine est de connaître la fonction de transfert du capteur ainsi que

celle du milieu séparant la source du capteur. La difficulté de satisfaire cette dernière

condition, donne une idée des défis qui restent à relever dans le domaine de l’émission

acoustique.

Figure IV-12: Paramètres d'une salve d'émission acoustique

3.3 Irréversibilité de l’émission acoustique : Effet Kaiser

Tout comme la plupart des phénomènes générateurs, l’émission acoustique s’avère

irréversible. Cela est connu sous le nom d’effet Kaiser, qui se traduit lors d’une seconde

sollicitation par une activité nulle ou très faible tant que le niveau local de contraintes ne

dépasse pas la valeur précédemment atteinte. L’influence de l’histoire antérieure de la

structure a pour avantage de déterminer l’endommagement subi par le matériau entre deux

sollicitations consécutives. En général, l’effet Kaiser est plus respecté par les matériaux

métalliques sans défauts évolutifs que par les composites. Ces derniers étant de nature

viscoélastique, obéissent à des évolutions temporelles des déformations susceptibles de se

reproduire à contrainte constante. Ce phénomène connu sous le nom d’effet Felicity se

rencontre essentiellement dans les composites à matrice organique.

116


3.4 Application au SMC

Dans le but d’endommager de manière contrôlée le composite SMC, nous avons réalisé des

essais de flexion trois points. Cela s’est effectué en utilisant une machine de flexion

INSTRON avec une cellule de 5 kN. Dans le but de bien comprendre les processus

d’endommagement et les paramètres mécaniques à mettre en œuvre, nous avons conduit un

premier essai sur un échantillon SMC jusqu’à la rupture sans caractérisation acoustique non-

linéaire. Cet essai été suivi par émission acoustique à l’aide du système MISTRAS-2001.

Dans le but de s’affranchir des phénomènes de fluage, nous avons imposé au matériau un

déplacement lent de 0.04 mm/min suivi d’un déplacement rapide de 4 mm/min. Par ailleurs, il

est également important de différencier le bruit provenant du matériau pendant

l’endommagement de celui d’origine environnementale. Pour ce faire, nous avons dans un

premier temps observé la forme temporelle des signaux d’émission acoustique tout en ajustant

les paramètres nécessaires pour avoir des signaux bien échantillonnés, séparés dans le temps

et ne provenant que du matériau. Les signaux recueillis sont ensuite amplifiés à 40 dB sur une

plage de fréquence 20kHz -1.2MHz, suffisamment large pour des capteurs piézoélectriques

résonnant à 300 kHz. Durant les différents essais, seuls les signaux dont l’amplitude est

supérieure ou égale à 30 dB ont été pris en considération. Comme nous l’avons signalé plus

haut, différents paramètres de signaux d’émission acoustique peuvent être analysés et corrélés

au type d’endommagement leur donnant naissance [Huguet, Godin et al.-2002]. Dans notre

travail, nous avons choisi de suivre l’évolution de l’énergie absolue Eabs, qui à titre de rappel

décrit à la fois l’évolution de l’amplitude et de la durée des signaux d’émission acoustique

comme :

∫=final

initial

t

tabs dtAmplitudeE 2)( (IV-3)

Le dispositif expérimental de mise sous charge et la réponse mécanique du SMC mené

jusqu’à la rupture suivie par émission acoustique en terme d’énergie absolue cumulée sont

montrés sur la figure IV-13.

117


Figure IV-13: (a) Dispositif expérimental utilisé pour le suivi de l'endommagement en flexion trois points à l’aide la machine INSTRON suivi par émission acoustique ; (b) Endommagement du SMC jusqu’à la rupture : force appliquée (0.04mm/minute) et activité acoustique

3.4.1 Endommagement graduel et émission acoustique

En nous basant sur l’essai de flexion qui a mené l’échantillon SMC jusqu’à la rupture, nous

avons introduit sur une même éprouvette quatre niveaux d’endommagement croissant. Cela a

permis de voir la façon dont évolue l’énergie cumulée libérée par le matériau sous l’effet de la

sollicitation mécanique. L’irréversibilité des phénomènes à l’origine de l’émission acoustique

se traduit par l’effet Kaiser, présenté plus haut. La présence de l’effet Kaiser dans un matériau

permet de vérifier s’il a subi un endommagement entre deux sollicitations consécutives. Dans

le cas du SMC sollicité en flexion trois points, il est possible de voir l’absence quasi-totale de

signaux d’émission acoustique pour des valeurs de force inférieures à celles déjà appliquées

comme le montre la figure IV-14. La présence de l’effet Kaiser dans le SMC (du moins

lorsqu’il est sollicité en flexion) a pour avantage d’attribuer tout changement noté dans le

comportement du matériau à l’endommagement supplémentaire induit. Dans ce cas, le

contenu énergétique des signaux d’émission acoustique représente bien l’énergie élastique

libérée par le matériau lors du processus d’endommagement, auquel tous les changements

observés dans le comportement du matériau sont attribués. En conséquence, toute évolution

dans le comportement non-linéaire du matériau sera par la suite corrélée à l’énergie absolue.

118


a b

c d

Figure IV-14 : Evolution de l'amplitude des signaux d'émission acoustique pour quatre déplacements en flexion appliqués sur la même éprouvette : (a) 0.4 mm ; (b) 0.8 mm ; (c) 1.2 mm ; (d) 1.6 mm. A travers ces figures il est facile de voir l’irréversibilité de l’endommagement traduite sous le nom d’effet Kaiser.

3.4.2 Dynamique rapide et émission acoustique

Avant chaque série de mesures, le matériau est excité à faible niveau autour de son sixième

mode de flexion pour vérifier s’il est en relaxation ou non. Une relaxation parfaite signifie une

fréquence de résonance inchangée dans le temps. Même si l’intérêt d’une telle vérification

parait moins évident à l’état intact, elle prend cependant tout son sens à l’état endommagé. En

effet, à mesure que la sollicitation mécanique devient importante, nous ne sommes plus à

l’abri d’un effet de fluage dont les conséquences sur le décalage fréquentiel ne peuvent plus

être négligées. Une fois la relaxation vérifiée, nous effectuons des mesures successives de

119


courbes de résonance pour différentes amplitudes d’excitation. Cela est fait de manière

continue sans laisser au matériau le temps de se relaxer. Les différentes courbes de résonances

correspondant à l’état intact et aux quatre états d’endommagement sont représentées sur la

figure IV-15. A partir de cette dernière, il est possible de voir qu’à l’état intact le matériau

exhibe déjà un comportement non-linéaire. Cela peut être vérifié à travers l’évolution de la

fréquence de résonance qui diminue légèrement lorsque l’amplitude d’excitation augmente.

Par ailleurs, la contribution de la non-linéarité à l’atténuation apparaît, comme pour le béton,

plus évidente. Cela peut être vérifié en comparant le rapport des amplitudes d’excitation

(85mV/10mV = 8.5) et celui des amplitudes des courbes de résonance correspondantes

(0.1917/0.0277 = 6.9).

1t

Etat intac

2

120

Etat d

3
Etat d Etat d


4

Figure IV-15: Courbes de réen flexion trois points.

Pour les autres états endom

monotone, mais fluctue au

calculé à partir de la large

lui-aussi entre 20 et 18. P

effet, en plus de l’évolutio

l’évolution significative av

Ce résultat fort encourage

d’endommagement. Le tab

matériau calculées sur la b

Tableau IV-1: Pentes de d’endommagement

Etat i

Pentes - 0.078 ±

Energie absolue (a J) 0

Etat d

sonance pour l'état intact et quatre niveaux croissants d'endommagement

magés, nous avons vérifié que ce rapport ne suit pas une évolution

tour d’une valeur égale à 7. De son côté, le facteur de qualité Q

ur des courbes de résonance à –3dB (comme pour le béton) fluctue

ar contre, cela n’est pas le cas de la fréquence de résonance. En

n linéaire en fonction de l’amplitude, la figure IV-16 permet de voir

ec l’endommagement de la pente de ∆f en fonction de l’amplitude.

ant suggère l’utilisation des valeurs des pentes comme indicateur

leau IV-1 regroupe les pentes ainsi que les énergies libérées par le

ase des signaux d’émission acoustique.

dynamique rapide et énergie absolue libérée au cours du processus

ntact Etat d1 Etat d2 Etat d3 Etat d4

0.003 - 0.086 ± 0.002 - 0.1 ± 0.0025 - 0.11 ± 0.0014 - 0.15 ± 0.0013

1.23 x 105 7.17 x 106 6.28 x 107 6.34 x 10 8

121


Figure IV-16 : Evolution des pentes de résonance en fonction de l'état d'endommagement pour les mêmes excitations

La figure IV-17 montre de façon claire l’évolution de la dynamique rapide en fonction de

l’énergie « élastique » libérée par le matériau. Les différents points expérimentaux ne sont pas

liés par une fonction mathématique simple (contrairement à ce que laisserait croire la

décroissance de la même figure). Néanmoins une forte corrélation existe entre ces deux

paramètres.

Figure IV-17: Evolution de la pente en dynamique rapide en fonction de l'énergie élastique libérée par le matériau

122


3.4.3 Dynamique lente et émission acoustique Pour les essais en dynamique lente, nous avons pris le soin de vérifier que la fréquence de

résonance du sixième mode flexion reste inchangée lorsque le matériau est excité à faible

niveau. Une telle démarche est plus qu’essentielle pour les essais en dynamique lente vu que

les variations fréquentielles relatives sont de l’ordre de 10-3. Dans un premier temps, le

matériau est excité à l’état intact pendant 2 minutes à fort niveau autour du mode flexion sus-

mentionné. Comme attendu, le conditionnement a pour conséquence de faire chuter la

fréquence de résonance ainsi que l’amplitude de vibration. Lorsque le conditionnement est

levé, la relaxation du matériau est suivie avec une excitation de faible niveau. Comme nous

l’avons déjà mentionné, les variations instantanées, qui ont lieu au moment où le

conditionnement est appliqué et/ou levé, ne peuvent être expérimentalement mesurées. Par

contre, le suivi de la relaxation peut nous renseigner sur l’effet du conditionnement sur le

décalage en fréquence et le temps de relaxation. Sur la figure IV-18, il est facile de voir que la

fréquence de résonance évolue en fonction du logarithme du temps pour les états intact et

endommagés. L’originalité de cette figure réside dans le fait qu’elle permet de confirmer pour

la première fois que plus le matériau est endommagé, plus le décalage fréquentiel induit par

le conditionnement est grand, et plus le décalage fréquentiel est grand plus le temps de

relaxation est grand.

Figure IV-18: Evolution logarithmique de la fréquence de résonance du sixième mode flexion pour l'état intact et les quatre états endommagés induits par flexion trois points : le temps de relaxation et le décalage fréquentiel augmente avec l’endommagement.

123


D’une manière plus quantitative, le tableau IV-2 donne les valeurs des temps de relaxation

ainsi que celles des décalages fréquentiels imposés par le conditionnement. Le suivi et la

détection de l’endommagement par les essais de dynamique lente est d’une grande sensibilité.

En effet, par rapport à l’état intact, le temps de relaxation évolue de 108 % à 250 % pour les

états endommagés et le décalage fréquentiel évolue de 25% à 170%. Ce dernier résultat

montre qu’il est toujours intéressant de suivre le décalage fréquentiel produit pendant le

conditionnement vu que quelques minutes seulement (2 minutes dans notre cas) permettent

de révéler la présence d’endommagement.

Tableau IV-2: Effets du conditionnement sur le décalage en fréquence et le temps de relaxation en fonction de l'état d'endommagement

Décalage fréquentiel Temps de relaxation Etat d’endommagement %1 Hz %1 Seconde

Intact 44 3600 d1 25 55 108 7500 d2 68 74 125 8100 d3 116 95 192 10500 d4 170 119 250 12600

La représentation logarithmique de la relaxation fréquentielle montrée dans la figure IV-19,

incite à prendre la pente de variation comme indicateur d’endommagement. En effet, cette

figure montre que qualitativement, la pente croît lorsque l’endommagement du matériau est

plus important. Une telle constatation permet de lier les variations fréquentielles et

temporelles en trouvant l’équation de la droite . Le lissage des évolutions

fréquentielles avec une fonction logarithmique a donné les coefficients « a » dont les valeurs

sont présentées dans le tableau IV-5. Déjà à l’état d1, le paramètre « a » évolue de 14.44 %

par rapport à l’état intact pour aller jusqu’à 28.83 % à l’état d4 caractérisé par l’apparition

d’une macro-fissure.

)(log taf =

1 Les pourcentages sont calculés par rapport au décalage en fréquence et au temps de relaxation du matériau à l’état intact.

124


Figure IV-19: Représentation semi-logarithmique de l'évolution de la fréquence pendant la relaxation: il est déjà possible de voir que la pente croît avec l'endommagement.

Tableau IV-3: Evolution logarithmique de la fréquence de résonance en fonction du temps pendant la relaxation

Etat d’endommagement Intact d1 d2 d3 d4

Fréquence (Hz)

f = a log(t)

7.366 log(t)

10.61 log(t)

13.89 log(t)

16.51 log(t)

21.24 log(t)

% 14.44 18.85 22.41 28.83

Avant de relier les différents paramètres définis lors de la dynamique lente à l’énergie

élastique libérée par le matériau, une vision globale s’impose: pour un matériau parfaitement

sain soumis à un conditionnement donné (quelques minutes), la relaxation est quasi-

instantanée (t =0 s). Par contre, si le même conditionnement est appliqué à un matériau

complètement endommagé (ruiné), il mettra un temps infini à se relaxer . Par contre,

le décalage fréquentiel est nul dans le cas intact et infini dans le cas complètement

endommagé . Dans ce cas, il est intéressant de vérifier s’il existe des corrélations

entre l’inverse du temps de relaxation, l’inverse du décalage fréquentiel et l’énergie élastique

libérée. La corrélation existant entre le temps de relaxation et l’énergie libérée est montrée sur

la figure IV-20. Sur cette figure apparaît clairement la variation logarithmique du temps de

relaxation en fonction de l’énergie élastique libérée par le matériau. Cette variation révèle

l’existence d’un coefficient « a

)( ∞=t

)0( =∆ f

)( ∞=∆ f

t » caractéristique du matériau, comme exprimé dans

l’équation suivante:

125


00027.0)(log10749.91 6 +−= −absE

t (IV-4)

Lorsque nous avons corrélé le décalage en fréquence dû au conditionnement à l’énergie

libérée par le matériau, nous avons également obtenu une évolution logarithmique, comme le

montre la figure IV-21. Cette dernière révèle à son tour l’existence d’un deuxième coefficient

«af »qui permet de lier la fréquence à l’énergie sous la forme suivante :

03178.0)(log1064.111 4 +−=∆

−absE

f (IV-5)

Figure IV-20: Evolution du temps de relaxation en fonction de l'énergie élastique libérée par le matériau. Cette corrélation a permis de mettre en évidence une évolution logarithmique avec un coefficient at qui semble être une caractéristique du matériau.

126


Figure IV-21: Evolution du décalage fréquentiel dû au conditionnement en fonction de l'énergie élastique libérée par le matériau. Nous retrouvons également une relation logarithmique avec un deuxième coefficient af caractéristique du matériau.

Les évolutions du temps de relaxation ainsi que celles de la fréquence de résonance en

fonction de l’énergie élastique libérée peuvent être suivies simultanément en s’inspirant de la

représentation semi-logarithmique de la relaxation. Dans ce cas, les pentes représentent les

vitesses de relaxation fréquentielles. La vitesse de relaxation est infinie lorsque le matériau

est parfaitement intact et nulle lorsque le matériau est complètement endommagé. La figure

IV-22 montre l’évolution logarithmique de la vitesse de relaxation en fonction de l’énergie

élastique libérée par le matériau qui fait intervenir un coefficient mixte noté amix. Cette loi est

donnée par l’équation :

1386.0)(log004312.0 +−= absErelaxationdeVitesse (IV-6)

127


Figure IV-22: Evolution simultannée de la fréquence de résonance et du temps de relaxation en fonction de l'énergié élastique libérée par le matériau : à mesure que le matériau s'endommage, la relaxation est en perte de vitesse.

3.4.4 Mécanismes d’endommagement et durée de vie

Les figures IV-20, IV-21 et IV-22, montrent qu’il est possible d’utiliser l’émission acoustique

et la dynamique lente pour déterminer la durée de vie restante des matériaux hétérogènes, du

moins dans le cas du SMC. En effet, à travers la connaissance des coefficients at, af et/ou

amix, caractéristiques du matériau étudié, l’estimation du potentiel restant des matériaux en

service peut-être envisagée. De plus, l’avantage que nous avons avec l’émission acoustique

est la possibilité de connaître la contribution des différents types endommagements au

comportement non-linéaire que ce soit en dynamique rapide ou lente. A notre niveau, le suivi

des amplitudes de signaux d’émission acoustique recueillis à chaque étape d’endommagement

a donné les résultats de la figure IV-23. A travers les histogrammes tracés pour chaque étape

d’endommagement, nous remarquons l’existence de deux groupes distincts de signaux

d’émission acoustique ayant des amplitudes qui varient entre 32 et 42dB (groupe A) et entre

70 et 90 dB (groupe B). Entre les signaux de types A et B il existe un troisième groupe

intermédiaire (groupe C) qui apparaît de façon claire lors de la deuxième étape

d’endommagement. A priori, en se basant sur les résultats trouvés dans la littérature, les

signaux de forte amplitude correspondent aux ruptures de fibres, alors que ceux de faibles

amplitudes sont issus des différentes ruptures de la matrice polymère et des décohésions

fibre/matrice [Berthelot-1999]. Toutefois, une classification des signaux basée sur

128


l’amplitude ne peut être suffisante. En effet, une analyse plus approfondie doit inclure

d’autres paramètres tel que le temps de montée, la durée du signal, la décroissance du signal

ainsi que type du signal (résonant ou impulsionnel) [Huguet, Godin et al.-2002]. Une

corrélation entre les types d’endommagement et l’évolution du comportement non-linéaire

contribuera sans aucun doute à mieux comprendre les mécanismes qui influent sur le

comportement non-linéaire hystérétique des matériaux endommagés.

b C

AA

a

B

C

dc

C

ABA

C

Figure IV-23: Classification des différents types de signaux d’émission acoustique seamplitude. (a) état d’endommagement d1 apparition de deux types de signaux. Les signaux desont les plus émis (b) état d’endommagement d2: la présence du type C est prépondérante. (états d’endommagement d3 et d4 : Emission riche en types A et B comparés au type C (le typemoins émis).

129

B

B

lon leur type A

c) et (d) C est le


4. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté de nouveaux résultats sur liés au comportement non-

linéaire du matériau hétérogène SMC pris à l’état sain et graduellement endommagé. La

géométrie du matériau instrumenté et les limites fréquentielles au niveau de la génération ont

conduit à une démarche expérimentale à travers laquelle il a été possible d’identifier et de

choisir le mode le plus sensible à l’évolution de l’endommagement. Les essais de dynamiques

rapide et lente ont montré une grande sensibilité à la présence de l’endommagement induit par

des essais de flexion trois points et à son évolution. L’utilisation de l’outil émission

acoustique a permis de montrer d’intéressantes corrélations entre les différents paramètres

non-linéaires et l’énergie élastique libérée par le matériau à chaque création de micro-fissures.

Ces corrélations montrant pour la première fois l’existence de lois logarithmiques permettront

un meilleur suivi de l’état de santé des matériaux hétérogènes et amélioreront sans aucun

doute l’estimation de leur durée de vie.

130

CONCLUSION GENERALE

CONCLUSION

Le travail effectué dans cette thèse avait pour objectif d’utiliser des techniques de

caractérisation non-linéaire ultrasonore pour détecter et suivre l’évolution de

l’endommagement des matériaux hétérogènes et ce pour une meilleure estimation de leur

durée de vie. Pour cela nous avons choisi d’étudier le béton du génie civil et le composite

base polymère SMC (Sheet Moulding Compound). Ces deux matériaux composites, très

différents de part leurs constituants et compositions chimiques, ont été choisis du fait de leur

utilisation répandue dans des domaines industriels exigeants tels que le nucléaire ou

l’aéronautique.

Les géométries différentes des composites étudiés (béton cylindrique et SMC en plaque) ont

motivé le choix d’une approche globale et efficace pour la caractérisation d’endommagements

diffus ou localisés. Ainsi la méthode de spectroscopie en résonance ultrasonore non-linéaire a

été choisie pour suivre l’évolution de différents modes de résonance en fonction de

l’endommagement. A travers une telle démarche, nous avons tenu à trouver de nouveaux

indicateurs non-linéaires d’endommagement capables de nous renseigner au mieux sur l’état

de santé des matériaux étudiés dés les premières micro-fissures.

Dans un premier temps, nous avons montré les potentialités de l’acoustique non-linéaire pour

la détection et la caractérisation de l’endommagement du béton du génie civil. Pour cela nous

avons suivi de l’évolution du mode de vibration en épaisseur appelé « mode d’Young ». Dans

ce cas, nous avons montré que le suivi de la fréquence de résonance lorsque le matériau est

soumis à une forte excitation (dynamique rapide) et lorsqu’il se relaxe (dynamique lente) était

particulièrement sensible aux hétérogénéités de la structure et à la présence

d’endommagement. L’originalité théorique de cette partie est la reproduction quantitative des

différents phénomènes nonlinéaires observés. Cela s’est effectué en utilisant une approche

phénoménologique basée sur la description dans l’espace de Preisach – Mayergoitz selon

laquelle le matériau est formé d’un ensemble de grains élastiques linéaires séparés par des

interstices au comportement nonlinéaire hystérétique. Les résultats très encourageants obtenus

131

CONCLUSION GENERALE

par cette approche, rendent l’intérêt de cette démarche plus qu’académique, puisqu’elle ouvre

des perspectives très intéressantes notamment en contrôle non destructif (CND) des matériaux

et structures instrumentées.

L’étude des plaques instrumentées en SMC s’est effectuée en identifiant les modes de

vibrations par simulations et par imagerie ultrasonore en C-Scan. Pour ce matériau, nous nous

sommes arrangés pour obtenir un endommagement progressif par des essais de flexion trois

points appliqués sur la même éprouvette. Pour les différentes étapes d’endommagement nous

avons enregistré in situ les signaux d’émission acoustique émis par le matériau à chaque étape

d’endommagement. Ce travail nous a permis de confirmer, pour la première fois, que le

temps de recouvrement et le décalage fréquentiels observés pendant de relaxation deviennent

plus importants lorsque l’état de santé du matériau se détériore. L’exploitation de l’effet

Kaiser, qui représente dans ce cas l’irréversibilité de l’endommagement dans le SMC, a

permis de relier l’énergie des différents signaux enregistrés à l’énergie élastique libérée par le

matériau. A partir de la, il a été possible de relier toutes les variations dans le comportement

nonlinéaire du SMC à l’énergie élastique libérée par le matériau pendant son

endommagement. Le décalage fréquentiel observé lors de la dynamique lente et les variations

fréquentielles observées pendant la relaxation du matériau, se sont révèlés de bons indicateurs

d’endommagement. En particulier, le temps de relaxation et le décalage fréquentiel observés

pour différents stades d’endommagement sont proportionnels au logarithme de l’énergie

élastique libérée par le matériau. Ce résultat original trouve tout son intérêt lorsqu’il s’agit de

déterminer le potentiel de vie restant du SMC et des matériaux hétérogènes en général.

Le travail effectué jusque là montre également que beaucoup de voies restent encore à

explorer. Une meilleure classification des signaux d’émission acoustique qui inclurait le

temps de monté, la durée du signal, la forme du signal (impulsion ou signal résonant) ainsi

qu’une analyse temps-fréquence permettra sans doute d’identifier les différents types

d’endommagement et de mieux comprendre la contribution de chacun d’entre eux à

l’évolution du comportement non-linéaire du matériau. Une telle analyse ouvrira peut être la

voie vers une émission acoustique non-linéaire.

La méthode de résonance ne s’avère pas le seul moyen pour caractériser l’endommagement.

En effet, d’autres méthodes telle que la génération d’harmoniques ou l’effet Luxembourg-

Gorky sont également sensibles à la présence d’endommagement. Unir les deux méthodes

nonlinéaires sus-cités reviendrait à explorer le comportement vibratoire du mode fondamental

et des harmoniques supérieures. Cela peut donner d’importantes informations sur le

comportement hystérétique du matériau surtout lorsqu’il s’agit de comparer les harmoniques

132

CONCLUSION GENERALE

paires et impaires. A travers un tel travail, les différences entre les réponses des modes suivis

aux sollicitations auxquelles le matériau est soumis, permettront de mieux comprendre le

comportement nonlinéaire hystérétique des matériaux étudiés.

Enfin, dans le cas où le matériau est considéré comme un ensemble de zones dures (grains)

séparées par des zones molles (interstices), il devient très intéressant d’observer le

comportement de chacune des deux zones, en différents endroits, durant le conditionnement

et/ou la relaxation du matériau à l’aide d’un microscope électronique. Une telle démarche vise

à mieux comprendre le comportement élastique au niveau des grains et hystérétique au

niveau des interstices et permettra d’établir un meilleur lien entre les phénomènes

macroscopiques et mésoscopiques.

133

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Références bibliographiques Abeele, K. V. D. Elastic pulsed wave propagation in media with second- or higher-order

nonlinearity. Part I: Theoretical framework. J. Acoust. Soc. Am., 1996, vol. 99, n°6, pp. 3334-3345.

Abeele, K. V. D., Johnson, P. A. Elastic pulsed wave propagation in media with second- or higher-order

nonlinearity. Part II: Simulation of experimental measurements on Berea sandstone. J. Acoust. Soc. Am., 1996, vol. 99, n°6, pp. 3346-3352.

Abeele, K. V. D., Johnson, P. A., Guyer, R. A., McCall, K. On the quasi-analytic treatment of hysteretic nonlinear response in elastic wave

propagation. J. Acoust. Soc. Am., 1996, vol. 101, n°4, pp. 1885-1898. Abeele, K. V. D., Carmeliet, J., Wevers, M. 15th ISNA, 1-4 September 1999, Gottingen, Germany. American Institute of

Physics, 2000, 569 p. Abeele, K. V. D., Carmeliet, J., TenCate, J., A., Johnson, P. A. Nonlinear elastic wave spectroscopy (NEWS) techniques to discern material

damage, part II: Single-mode nonlinear resonance acoustic spectroscopy. Res. Nondestr. Eval., 2000, vol. 12, n° 1, pp. 31-42.

Abeele, K. V. D., De Visscher, J. Damage assessment in reinforced concrete using spectral and temporal

nonlinear vibration techniques. Cement and Concrete Research, 2000, vol. 30, n° 1, pp. 1453-1464.

Abeele, K. V. D., Johnson, P. A., Sutin, A. Nonlinear elastic wave spectroscopy (NEWS) techniques to discern material

damage, part I: Nonlinear wave modulation spectroscopy (NWMS). Res. Nondestr. Eval., 2000, vol. 12, n° 1, pp. 17-30.

Abeele, K. V. D., De Velde, K., V, Carmeliet, J. Inferring degradation of pultruded composites from dynamic nonlinear

resonance measurements. Polymer Composites, 2001, vol. 22, n° 4, pp.555-567. Abeele, K. V. D., Sutin, A., Carmeliet, J., Johnson, P. A. Micro-damage diagnostics using nonlinear elastic wave spectroscopy (NEWS).

NDT&E International, 2001, vol. 34, n° 1, pp. 239-248. Abeele, K. V. D., Carmeliet, J., Johnson, P. A., Zinszner, B. The influence of water saturation on the nonlinear elastic mesoscopic response

in earth materials and the implications to the mechanism of nonlinearity. J. Geophys. Res., 2002, vol. 107, n° 1, pp. 101029-101040.

Aknine, A., Castagnède, B., Depollier, C. Réflexion / réfraction d'ondes acoustiques à l'interface fluide - matériau poreux

Cahiers de Recherche de l’Académie des Sciences de Paris: Mécanique, Physique, Chimie, Astronomie, 1997, vol. II, n° 324, pp. 501-511.

Alford, N. M., Groves, G. W., Double, D. D. Physical properties of high strength cement paste. Cement and Concrete

Research, 1982, vol. 12, n° 1, pp. 349-358.

135


Ambrosini, D., Luccioni, B., Danesi, R. Theoretical-experimental damage determination in prestressed concrete beams

[en ligne]. NDTISS’99. 2000, vol. 5, n° 7. Disponible sur: <http://www.ndt.net/article/v05n07/ambrosin/ambrosin.htm> (consulté le 05.03.2004).

Ashby, M. F., Jones, D. R. H. Matériaux 2: Microstructures et mise en oeuvre. Paris, Dunod, 1991, 385 p. Aurelle, N., Guyomar, D., Richard, C., Gonnard, P., Eyraud, L. Nonlinear behaviour of an ultrasonic transducer. Ultrasonics, 1996, vol. 34, n°

1, pp 187-191. Bentahar, M., El Guerjouma, R., Goujon, L., Baboux, J.C

Approche Acoustique Non Linéaire pour l’Etude de l’Endommagement des Matériaux Hétérogènes: Application aux bétons du Génie Civil et aux Composites Base Polymère. GDR 2501, 8-12 décembre 2003, Aussois, France.

Bentahar, M., El Guerjouma, R., Monnier, T., Deville, L., Baboux, J.C Damage Characterisation and Structural Health Monitoring By Means of Nonlinear Acoustics. 7éme Congrès Français d’Acoustique / 30éme Congrès Allemand d’Acoustique, 22-25 Mars 2004, Strasbourg, France. Société Française d’Acoustique, 2004, 1268 p.

Bentahar, M., El Guerjouma, R., Monnier, T., Deville, L. Slow and fast dynamics to control damage in heterogeneous materials: application to concrete and glass/fibre polymer. Journal of Advanced Science. N°1. Vol. 17. 2005.

Bentahar, M., El Guerjouma, R., Monnier, T., Deville, L., Baboux, J.C Experimental investigations in nonlinear acoustics for damage characterisation in heterogeneous materials. Ultrasonics , 2005(en révision)

Bentahar, M., Griffa, M., Elaqra, H., El Guerjouma, R., Scalerandi, M. Hysteretic elasticity in damaged concrete: quantitative analysis of slow and fast dynamics Physical Review B, 2005 (en révision)

Bentahar, M., Griffa, M., El Guerjouma, R., Scalerandi, M. Méthodes émergentes en acoustique non-linéaires pour le contrôle non destructif et le contrôle de santé des matériaux. Congrès Français de Mécanique. 29 août- 2 septembre 2005. Troyes. France.

Berthelot, J.-M. Matériaux composites - Comportement mécanique et analyse des structures, 3ème édition. Paris. Éditions Tech & Doc, 1999, 642 p.

Bollaert, F., Lemasçon, A. Analyse de Défaillance, Pièces Plastiques, Elastomères ou Composites: Guide

Pratique. Paris, Lavoisier 2000, 282 p. Callister, W. D. J. Science et génie des matériaux. 5éme édition. Québec. Canada, 2001, 781 p. Chatain, M

Matériaux composites: présentation générale. In: Techniques de l'Ingénieur, Traité Plastiques et Composites. Paris : Techniques de l'Ingénieur, 2001, AM5000 1-11.

136


Cheng, C. H., Toksöz, M. N. Inversion of seismic velocities for the pore aspect ratio spectrum of a rock.

J.Geophys. Res., 1979, vol. 84, n° 1, pp. 7533-7543. Cleri, F., Yip, S. Wolf, D., Phillpot, S. R. Atomic-Scale Mechanism of Crack-Tip Plasticity: Dislocation Nucleation and

Crack-Tip Shielding. Phys. Rev. Lett., 1997, vol. 79, n° 7, pp. 1309-1312. Daviaud, R., Filliatre, C. Introduction aux matériaux composites: 1. Matrices organiques. Bordeaux.

CNRS Editions, 1985, 452 p. Davydov, A. S., Ermakov, V. N.

Linear and nonlinear resonance electron tunneling through a system of potential barriers. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1987, vol. 28, n° 2, pp. 168-180.

Delsanto, P., P, Schechter, R. S., Chaskelis, H. H., Mignigna, R. B. Connection machine simulation of ultrasonic wave propagation in materials. I:

The one-dimensional case. Wave Motion, 1992, vol. 16, n° 1, pp. 65-80. Delsanto, P., P., Scalerandi, M. A spring model for the simulation of the propagation of ultrasonic pulses

through imperfect contact interfaces. J. Acoust. Soc. Am., 1998, vol. 104, n° 5, pp. 2584-2591.

Delsanto, P., P, Johnson, P. A., Ruffino, E., Scalerandi, M. Simulation of acoustic wave propagation in nonclassical nonlinear media. 15th

ISNA, 1-4 September 1999, Gottingen, Germany. American Institute of Physics, 2000, 569 p.

Delsanto, P., P, Scalerandi, M. Modelling nonclassical nonlinearity, conditioning, and slow dynamics effects

in mesoscopic elastic materials. Phys. Rev. B, 2003, vol. 68, n° 1, pp. 0641071-0641079.

Dorlot, J. M., Baïlon, J. P., Masounave, J. Des Matériaux.. Québec. Canada, Editions de l’Ecole Polytechnique de

Montréal, 1999, 467 p. Dubus, B., Haw, G., Granger, C., Ledez, O. Characterisation of multilayered piezoelectric ceramics for high power

transducers. Ultrasonics, 2002, vol. 40, n° 1, pp. 903-906. Elaqra, H. Etude de l'endommagement et du renforcement de composites à matrice

cimentaire. Thèse Sciences des Matériaux. Lyon: INSA de Lyon. 2004, p 157. El Guerjouma, R., Bentahar, M., Monnier, T., Deville, L., Baboux, J.C.

Acoustique nonlinéaire pour le contrôle non-destructif et le contrôle santé des matériaux et de structures. Acoustique & Technique, 2004, vol. 36, pp. 20-25.

Elmore, P. A., Breazeale, M. A. Dispersion and frequency dependent nonlinearity parameters in a graphite-

epoxy composite. Ultrasonics, 2004, vol. 41, n° 9, pp.709-718. Feldman, R. F. Mechanism of creep of hydrated Portland cement paste. Cement and Concrete

Research, 1972, vol. 2, n°1, pp. 509-520.

137


Garboczi, E. J., Berryman, J. G. New effective medium theory for the diffusivity or conductivity of a multi-

scale concrete microstructure model. Concrete Science and Engineering, 2000, vol. 2, pp. 88-96.

Gay, D. Matériaux composites. Paris, Hermes, 1991, 569 p. Gilkey, H. J. Water/cement ratio versus strength - another look. J. Am. Concr. Inst, 1961,

vol. 57 n° 1, pp. 1851-1878. Gist, G. A. Fluid effects on velocity and attenuation in sandstones. J. Acoust. Soc. Am.,

1994, vol. 96, n° 2, pp. 1158-1173. Gremaud, G., Kustov, S.

Theory of dislocation-solute atom interactions in solid solutions and related nonlinear anelasticity. Phys. Rev. B, 1999, vol. 60, pp. 9353-9364.

Gusev, V., Aleshin, V. Strain wave evolution equation for nonlinear propagation in materials with mesoscopic mechanical elements. J. Acoust. Soc. Am. 112 (6), December 2002

Gusev, V. Frequency dependence of dynamic hysteresis in the interaction of acoustic wave with interface. J. Acoust. Soc. Am. 115 (3), March 2004

Gusev, V. On the interaction of counterpropagating acoustic waves in resonant rods composed of materials with hysteretic quadratic nonlinearity. Vitalyi Gusev J. Acoust. Soc. Am. 117 (4), April 2005

Guyer, R. A., McCall, K. R., Boitnott, G. N. Hysteresis, discrete memory, and nonlinear wave propagation in rock: A new

paradigm. Phys. Rev. Lett., 1995, vol. 74, n° 17, pp. 3491-3494. Guyer, R. A, McCall, K. R, Boitnott, G. N, Hilbert, L. B, Plona, T. J. Quantitative implementation of Preisach-Mayergoyz space to find static and

dynamic moduli in rock. J. Geophys. Res., 1997, vol.102, n° B3, pp. 5281-5293.

Guyer, R. A., McCall, K. R., Abeele, K. V. D. Slow elastic dynamics in a resonant bar of rock. Geophys. Res. Lett., 1998, vol.

25, n° 10, pp. 1585-1588. Guyer, R. A., Johnson, P. A. Nonlinear mesoscopic elasticity: Evidence for a new class of materials. Physics

Today, April 1999, pp. 30-36. Guyer, R. A., TenCate, J., A, Johnson, P. A. Hysteresis and the dynamic elasticity of consolidated granular materials. Phys.

Rev. Lett., 1999, vol. 82, n° 16, pp.3280-3283. Guyer, R. A., Johnson, P. A. Hysteresis, energy landscapes and slow dynamics: A survey of the elastic

properties of rocks. Journal of Materials Processing & Manufacturing Science, 2000, vol. 9, n° 1, pp. 14-26.

138


Hamilton, M. F. Fundamentals and Applications of Nonlinear Acoustics: Nonlinear Wave

Propagation in Mechanics. Winter Annual Meeting of the American Society of Mechanical Engineers, Anaheim, California, December 7-12, 1986. New York, American Society of Mechanical Engineers.

Holcomb, D., J. Memory, relaxation and micro-fracturing in dilatant rock. J. Geophys. Res.,

1981, vol. 86, n° B7, pp. 6235-6248. Hsu, T. C., Slate, F. O., Sturman, G. M., Winter, G. Micro-cracking of plain concrete and the shape of the stress strain curve.

Journal of the American Concrete Institute, 1963, vol. 60, n° 14, pp. 209-224. Huguet, S., Godin, N., Gaertner, R. Use acoustic emission to identify damage modes in glass fibre reinforced

polyester. Composites Sciences and Technology, 2002, vol. 62, pp.1433-1444. Jacquinet, P. Moulage par compression des SMC polyesters et phénoliques. In: Techniques

de l'Ingénieur, Traité Plastiques et Composites. Paris : Techniques de l'Ingénieur, 2003, vol. A3, n° 727, pp. 1-13..

Jhang, K-Y., Kim, K-C. Evaluation of material degradation using nonlinear acoustic effect. Ultrasonics, 1999, vol. 37, pp. 39-44

Johnson, P. A., Shankland, T. J., O'Connell, R. J., Albright, J. N. Nonlinear generation of elastic waves in crystalline rock. J. Geophys. Res.,

1987, vol. 92, n° B5, pp. 3597-3602. Johnson, P. A, Shankland, T. J. Nonlinear generation of elastic waves in granite and sandstone: continuous

wave and travel time observations. J. Geophys. Res., 1989, vol.94, n° B12, pp. 17729-17733.

Johnson, P. A., Migliori, A., Shankland, T. J. Continuous wave phase detection for probing nonlinear elastic wave

interactions in rocks. J. Acoust. Soc. Am., 1991, vol. 89, n° 2, pp. 598-603. Johnson, P. A., Hopson, T. M., Shankland, T., J. Frequency-domain travel time (FDTT) measurements of ultrasonic waves by use of linear and nonlinear sources. J. Acoust. Soc. Am., 1992, vol. 92, n° 5, pp. 2842-2850. Johnson, P. A., McCall, K. R. . Observation and implications of nonlinear elastic wave response in rock Geophysical Research Letters, 1994, vol. 21, n° 3, pp.165-168. Johnson, P. A., Rasolofosaon, P. N. J.

Nonlinear elasticity and stress-induced anisotropy in rock. J. Geophys. Res., 1996, vol. 101, n° B2, pp. 3113-3124.

Johnson, P. A. and Rasolofosaon, P., N,J. Manifestation of nonlinear elasticity in rock: convincing evidence over large frequency and strain intervals from laboratory studies. Nonlinear Processes in Geophysics, 1996, vol. 3, pp. 77-88.

139


Johnson, P. A., Zinszner, B., Rasolofosaon, P., N,J. Resonance and elastic nonlinear phenomena in rock. J.Geophys. Res., 1996,

vol. 101, n° B5, pp. 11553-11564. Johnson, P. A. The new wave in acoustic testing. Materials world: The J. Inst. Materials, 1999,

vol. 7, n° 1, pp. 544-546. Johnson, P. A., Sutin, A.

Slow dynamics and anomalous nonlinear fast dynamics in diverse solids. J. Acoust. Soc. Am., 2005, vol. 117, n° 1, pp. 124-130.

Kadish, A. Information paths and the determination of state relations from displacement

velocity measurements of elastic rods. J. Acoust. Soc. Am., 1995, vol. 97, n° 3, pp. 1489-1498.

Kadish, A., Johnson, P. A. and Zinszner, B. Evaluating hysteresis in earth materials under dynamic resonance. J. Geophys.

Res., 1996, vol. 101, n° B11, pp. 25139-25147. Kadish, A., TenCate, J., A, Johnson, P. A. Frequency spectra of nonlinear elastic pulse-mode waves. J. Acoust. Soc. Am.,

1996, vol. 100, n° 3, pp. 1375-1382. Kausch, H. H., Heymans, N., Plummer, C. J., Decroly, P. Matériaux Polymères: Propriétés Mécaniques et Physiques. Lausanne: Presses

Polytechniques et Universitaires Romandes, 2001, 657 p. Kazakov. Sensitive imaging of an elastic nonlinear wave-scattering source in a solid.

Appl. Phys. Lett., 2002, vol. 81, n° 4, pp. 646-648. Lacouture, J., C, Johnson, P. A., Cohen-Tenoudji, F. Study of critical behavior in concrete during curing by application of dynamic

linear and nonlinear means. J. Acoust. Soc. Am., 2003, vol. 113, n° 3, pp. 1325-1332.

Landau, L., Lifchitz, E. Physique théorique, Théorie de l'élasticité, tome VII. Moscou:MIR, 1967, 206 p. Lebdev, A., Ostrovsky, L. A., Sutin, A., et al. Resonant acoustic spectroscopy at low Q

factors. Acoustical Physics, 2003, vol. 49, n° 1, pp. 81-87. Lemaitre, J. and Chaboche, J. L. Mécanique des matériaux solides. Paris, 2001, 544 p. Mayergoysz, J. Hysteresis models from the mathematical and control theory points of view. J.

Appl. Phys., 1985, vol. 57, n° 8, pp. 3803-3805. McCall, K. R. Theoretical study of nonlinear elastic wave propagation. J.Geophys. Res., 1994,

vol. 99, n° B2, pp. 2591-2600. McCall, K. R., Guyer, R. A. Equation of state and wave propagation in hysteretic nonlinear elastic materials.

J. Geophys. Res., 1994, vol. 99, n° B12, pp. 23,887-23,897.

140


McCall, K. R., Guyer, R. A. A new theoretical paradigm to describe hysteresis, discrete memory and

nonlinear elastic wave propagation in rock. Nonlinear Processes in Geophysics, 1996, vol. 3, n°1, pp. 89-101.

Meegan, G. D., Johnson, P. A., Guyer, R. A., McCall, K. R. Observations of nonlinear elastic wave behavior in sandstone. J. Acoust. Soc.

Am., 1993, vol. 94, n° 6, pp. 3387-3391. Morris, W. L., Buck, O., Inman, R. V.

Acoustic harmonic generation due to fatigue damage in high-strength aluminium. J. Appl. Phys., 1979, vol. 50, n° 11, pp.6737-6741.

Moussatov, A., Castagnède, B., Gusev, V. Observation of nonlinear interaction of acoustic waves in granular materials:

demodulation process. Physics. Letters. A, 2001, vol. 283, pp. 216-223. Moussatov, A., Castagnède, B., Gusev, V. Frequency up-conversion and frequency down-conversion of acoustic waves in

damaged materials. Physics. Letters. A, 2002, vol. 301, pp. 281-290. Moussatov, A., Gusev, V., Castagnède, B. Self-induced hysteresis fo nonlinear acoustic waves in cracked material. Phys.

Rev. Lett., 2003, vol. 90, n° 12, pp. 1243011-1243014. Mullen, W. G., Dolch, W. L. Creep of Portland cement paste. Proceeding of American Society of Testing

Materials, 1964, vol. 64, pp. 1146-1171. Murnaghan, F. D. Finite deformation of an elastic solid. New York : John Wiley & Sons, 1951,

140 p. Naslain, R. Introduction aux matériaux composites-2. Bordeaux: Ed. du CNRS et Institut

des Matériaux Composites, 1985, 491 p. Naugolnykh, K., Ostrovsky, L. A. Nonlinear Wave Processes in Acoustics, Cambridge University Press, 1998, 296 p. Nazarov, V., Ostrovsky, L., Soustova, I., Sutin, A.

Nonlinear acoustics of microinhomogeneous media. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 1988, vol. 50, pp. 65-73.

Neville, A. M. Propriétés des bétons, Paris : Edtions Eyrolles, 2000, 806 p. O'Connell, R. J., Budiansky, B. Measures of dissipation in viscolelastic media. Geophys. Res. Lett., 1978, vol.

5, n° 1, pp. 5-8. Ostrovsky, L. A., Johnson, P. A., Shankland, T., J

The mechanism of strong nonlinear elasticity in earth solids. 15th ISNA, 1-4 september 1999, Gottingen, Germany. American Institute of Physics, 2000, 569p.

Ostrovsky, L. A. and Johnson, P. A. Dynamic nonlinear elasticity in geomaterials. Rivista del nuovo cimento, 2001, vol.024, n° 7, pp. 1-46.

141


Ostrovsky, L. A., Lebdev, A., Matveyev, A.. Application of three dimensional resonant acoustic spectroscopy method to rock

and building materials. J. Acoust. Soc. Am., 2001, vol. 110, n° 4, pp. 1770-1777.

Pecorari, C. Adhesion and nonlinear scattering by rough surfaces in contact: Beyond the

phenomenology of the Preisach–Mayergoyz framework J. Acoust. Soc. Am., 2004, vol. 116, n° 4, pp. 1938-1947.

Pigeon, M. Composition et hydratation du ciment Portland. Séminaire progrès dans le

domaine du béton, Québec, 1981, pp 36-72. Popovics, S. Analysis of the concrete strength versus water-cement ratio relationship. ACI

Materials Journal, 1990, vol. 87, n° 5, pp. 517-529. Preisach, F. Über die magnetische Nachwirkung. Z. Phys., 1935, vol. 94, pp. 277-302. Ramachandran, V. S. Concrete Admixtures Handbook: Properties, Sciences and Technology, Part I.

New Jersey, Noyes Publications, 1984, 1153 p. Rochat, N. Etude de l'émission acoustique différée dans les composites carbone-époxyde.

Thèse Sciences des Matériaux. Lyon : INSA de Lyon. 1991, 159 p. Rödel, J., Kreher, W. S. Modelling linear and nonlinear behaviour of polycristalline ferroelectric

ceramics. J. Eur. Ceram. Soc., 2003, vol. 23, pp. 2297-2306. Roget, J. Essais non destructifs: l'émission acoustique, mise en oeuvre et application.

CETIM, 1988, 196 p. Rössler, M., Odler, I. Investigations on the relationship between porosity, structure and strength of

hydrated Portland cement pastes. I. Effect of porosity. Cement and Concrete Research, 1985, vol. 15, n° 2, pp. 320-330.

Ruetz, W. A hypothesis for the creep of hardened cement paste and the influence of

simultaneous shrinkage. Proceedings of International conference on the structure of concrete. Cement and Concrete Association, London. England, 1968, vol. 3, n° 2, pp. 365-387.

Ruffino, E., Scalerandi, M. Analysis of the elastic behavior of nonclassical nonlinear mesoscopic materials

in quasi-static experiments. IL Nuovo Cimento., 2000, vol. B 115, pp. 645-652.

Scalerandi, M., Agostini, V. Nonlinear techniques for ultrasonic mico-damage diagnostics: a simulation

approach. J. Comput. Acoust., 2002, vol. 10, pp 275-282.

142


Scalerandi, M., Agostini, V., Delsanto, P. P, Abeele, K. V. D. Johnson, P. A. Local interaction simulation approach to modelling non-classical, nonlinear

elastic behavior in solids. J. Acoust. Soc. Am., 2003, vol. 113, n° 6, pp. 3049-3059.

Scalerandi, M., Delsanto, P., P and Johnson, P. A. Stress induced conditioning and thermal relaxation in the simulation of quasi-

static compression experiments. J. Phys. D: Appl. Phys., 2003, vol. 36, pp. 288-293.

Scholz, C. H., Hickman, S. H. Hysteresis in the closure of nominally flat joints. J. Geophys. Res., 1983, vol.

88, n° B8, pp. 6501-6504. Scruby, C. B. Quantitative Acoustic Emission Techniques. Nondestructive Testing, 1985,

Vol. 8. pp. 141-210. Sierra, R. 7th International Congress on the Chemistry of Cement. Paris. 1980, pp. 201-206. Smith, E., TenCate, J., A. Sensitive determination of nonlinear properties of Berea sandstone at low

strains. Geophysical Research Letters, 2000, vol. 27, n° , pp. 1985-1988. Solodov, I. Acoustic wave propagation and refelction on nonlinear boundaries. J. Acoust.

Soc. Am., 1997, vol. 101, n° 5, pp. 3081-3087. Stock, A. F., Hannant, D. J., Williams, R. I. T. The effect of aggregate concentration upon the strength and modulus of

elasticity of concrete. Mag. Concr. Res., 1979, vol. 109, n°12, pp 225-234. Tamtsia, B. T. and Beaudoin, J. J. Basic creep of hardened cement paste . A re-examination of the role of water.

Cement and Concrete Research, 2000, vol. 30, n° 9, pp. 1465-1475. TenCate, J., A, Abeele, K. V. D., Shankland, T., J, Johnson, P.A. Laboratory study of linear and nonlinear elastic pulse propagation in sandstone.

J. Acoust. Soc. Am., 1996, vol. 100, n° 3, pp. 1383-1391. TenCate, J., A., Shankland, T., J. Slow dynamics in the nonlinear elastic response of Berea sandstone.

Geophysical Research Letters, 1996, vol. 23, n° 21, pp. 3019-3022. TenCate, J., A, Smith, E., Byers, L. W, Shankland, T. J. Slow dynamics experiments in solids with nonlinear mesoscopic elasticity. 15th

ISNA, 1-4 September 1999, Gottingen, Germany. American Institute of Physics, 2000, 569 p.

TenCate, J., A, Smith, E., Guyer, R. A. Universal slow dynamic in granular solids. Phys. Rev. Lett., 2000, vol. 85, n°5,

pp. 1020-1023. TenCate, J., A. New nonlinear acoustic techniques for NDE. Review of Progress in

Quantitative Nondestructive Evaluation, 2001, vol. 20, pp. 1229-1235.

143


Thurston, R. N., Brugger, K. Third order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves

in homogeneously stressed media. Phys. Rev., 1964, vol. 133, n° 6A, pp. A1604-A1610.

Timoshenko, S., Young, D. H., Weaver, W. Vibration Problems in Engineering, 4th ed. New York , Wiley, 1974,

Tran-Huu-Hue,L.P., Levassort,F., Felix,N., Damjanovic, D., Wolny, W., Lethiecq, M., Comparison of several methods to characterise the high frequency behaviour of

piezoelectric ceramics for transducer applications. Ultrasonics, 2000, vol. 38, n° 5, pp. 219-223.

Ulrich, T. J., Darling, T. W. Observation of anomalous elastic behavior in rock at low temperature.

Geophys. Res. Lett., 2001, vol. 28, n° 11, pp. 2293-2296. Vakhnenko, O. O., Vakhnenko, V. O., Shankland, T., TenCate, J. A.

Strain-induced kinetics of intergrain defects as the mechanism of slow dynamics in the nonlinear resonant response of humid sandstone bars. Phys. Rev. E., 2004, vol. 70, pp. 0156021-0156024.

Wittmann, F. H. Influence of moisture content on the creep of hardened cement. Reol. Acta,

1970, vol. 9, n° 2, pp. 282-287. Xu, C. N., Akiyama, M., Nonaka, K. Electrical power generation characteristics of PZT piezoelectric ceramics.

IEEE . Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr., 1998, vol. 45, pp. 1065-1070. Zaitsev, V., Gusev, V., Castagnède, B. Luxemburg-Gorky effect retooled for elastic waves: A mechanism and

experimental evidence. Phys. Rev. Lett., 2002, vol. 89, n° 10, pp. 1055021-1055024.

Zaitsev, V., Gusev, V. Castagnède, B. Thermoelastic mechanism for logarithmic slow dynamics and memory in elastic

wave interactions with individual cracks. Phys. Rev. Lett., 2003, vol. 90, n° 7, pp. 0755011-0755014.

Zaitsev, V., Yu, Gusev, V., Castagnède, B. Observation of the Luxemburg-Gorky effect for elastic waves. Ultrasonics,

2002, vol. 40, pp. 627-631. Zinszner, B., Johnson, P. A. and Rasolofosaon, P., N,J. Influence of change in physical state on elastic nonlinear response in rock:

Significance of effective pressure and water saturation. J. Geophys. Res., 1997, vol. 102, n° B4, pp. 8105-8120.

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FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : BENTAHAR DATE de SOUTENANCE : 20 Juin 2005 Prénoms : Mourad TITRE : Acoustique nonlinéaire : Application à la caractérisation ultrasonore de l’endommagement des matériaux hétérogènes et à la prédiction de la durée de vie NATURE : Doctorat Numéro d'ordre : 05 ISAL 0038 Ecole doctorale : Matériaux de Lyon Spécialité : Génie des Matériaux Cote B.I.U. - Lyon : / et bis CLASSE : RESUME : Dans ce travail, nous avons étudié les potentialités des méthodes d'évaluation non destructive (END) par ondes acoustiques non-linéaires en résonance pour la caractérisation et le suivi de l'endommagement des matériaux hétérogènes (bétons et composites base polymère). Pour cela, un dispositif expérimental permettant une réception avec et sans contact et pouvant s’adapter à différentes géométries a été développé. Pour les deux matériaux, les variations de la fréquence de résonance observées en fonction du niveau d'excitation (dynamique rapide) sont directement corrélées aux niveaux d'endommagement. Après une forte excitation (conditionnement) des éprouvettes endommagées, un décalage vers les plus basses fréquences est observé pour les deux matériaux. Ce décalage ne disparaît pas immédiatement après l’arrêt de la forte excitation, mais se résorbe en fonction du logarithme du temps, fortement lié au degré d'endommagement. A travers ce phénomène appelé « dynamique lente » nous avons pu définir de nouveaux indicateurs d’endommagement ayant une grande sensibilité aux premiers états de dégradation du matériau. Pour le béton, ces observations, traduisant le comportement hystérétique non-linéaire des matériaux endommagés, sont étayées qualitativement et quantitativement par un modèle unidirectionnel, basé sur l'approche d'interaction locale dans le cadre de la description phénoménologique de Preisach-Mayergoitz. Enfin, nous avons trouvé d’intéressantes corrélations entre les indicateurs non-linéaires d’endommagement (dynamiques rapide et lente) et l’énergie élastique libérée sous forme d’émission acoustique par le matériau lors du processus d’endommagement. Ce résultat liant pour la première fois le comportement acoustique hystérétique non-linéaire et l’émission acoustique ouvre d’intéressantes perspectives pour la caractérisation de l’état de santé des matériaux hétérogènes et l’évaluation de leur potentiel restant. MOTS-CLES : Endommagement, Béton, Composite base polymère, Evaluation Non Destructive, Acoustique Nonlinéaire, Relaxation, Emission Acoustique, Durée de vie Laboratoire (s) de recherche : Groupe d’Etudes de Métallurgie Physique et de Physique des Matériaux. GEMPPM Directeur de thèse: R. EL GUERJOUMA Président de jury : P.A. JOHNSON Composition du jury : P.A. JOHNSON, R. EL GUERJOUMA, B. CASTAGNEDE, J. COURBON,

M. SCALERANDI, M. LETHIECQ

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