Abstract - media.mentoreurope.eumedia.mentoreurope.eu/static/SRP2015/Symmetri.pdf · og...

Annemette Kærsgaard Hansen, 3.z Symmetrier i partikelfysik

Abstract

This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates

the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space

from the theory about a normed vector space. Also the groups of symmetries of the square is

outlined. Here the two symmetries rotation and re�ection and their operators are included to

give a concrete example of symmetry operations. It implicates the translation operation, and

shows that invariance leads to conservation of the momentum. Furthermore that the generator of

a time displacement leaves the energy unaltered. In this section an unitary operator is derived.

All this theory is used to describe the parity, charge conjugation and time reversal symmetries.

All these symmetries are individually represented, but also CP-symmetry and CPT-symmetry are

mentioned. When dealing with the symmetries, it is natural to discuss the violation of these.

Basically the study is set out to explain the symmetries and violation of symmetries connected to

the topic particle physics. The conclusion that the CPT-symmetry is not universal can be drawn

on behalf of the issue that the symmetries do not explain the matter-antimatter imbalance.

Side 1


Indhold

1 Indledning 3

2 Algebraiske strukturer 3

3 Vektorrum og Hilbertrum 4

4 Schrödingerligningen 7

5 Symmetrioperationer på kvadrat 8

6 Translationer 12

7 Bevarelseslove 14

8 Paritets symmetri 15

9 Ladningskonjungation 17

10 CP-symmetri 18

11 Tidsomvending 19

12 CPT-symmetri 20

13 Konklusion 20

14 Litteraturliste 22

15 Bilag 1 23

Side 2


1 Indledning

Symmetri er et ord, der nedstammer fra græsk. For de gamle grækere betød ordet synmetron noget

velbalanceret, der var tæt knyttet til begrebet skønhed. I vores moderne verden, betyder symmetri

noget, der har en bestemt struktur. En struktur siges at være symmetrisk over for en afbildning,

hvis afbildningen holder strukturen invariant. Den første, der så symmetrierne i sammenhæng

med fysikken, var grækeren Galileo Galilei. Det siges, at han �k ideen engang, han var ombord

på et skib, hvor han så en kanonkugle udsendt fra et andet skib. Ud fra kanonkuglens bane, der

havde selv samme kurve som jorden, �k han ideen om, at fysikkens love er invariante over for rum-

lige translationer. Han kunne altså ikke ud fra formen af kanonkuglens bane afgøre, om han selv

bevægede sig eller var i hvile. Hvis dette igen skal overføres til den moderne fysik, beskriver vi det

som, at en symmetri er et udtryk for noget, der ikke lader sig måle. Eksempelvis hvis tidslige trans-

lationer og rumlige drejninger er bevarede symmetrier, kan vi ikke måle absolut position, retning

eller tid. På samme måde hvis paritet er en bevaret symmetri, så kan man ikke absolut de�nere

- eller måle - hvad højre eller venstre betyder. Paritet udgør sammen med landingskonjugation

og tidsomvending CPT-symmetrien. CPT teoremet danner grundlag for den omdiskuterede stan-

dardmodel, der er den mest universelle beskrivelse af verden, vi kender til. Derfor er symmetrierne

i fysikken så utrolig vigtige. For at forstå dette symmetribegreb, er det nødvendigt at gennemgå

en del grundlæggende matematisk teori. Denne teori indebærer algebraiske strukturer, vektorrum

og konkrete symmetrioperationer. Det er nødvendigt at kende til vektorrum for at kunne de�nere

et Hilbertrum. I forbindelse med dette vil der fremgå en kobling med Schrödingerligningen, der

introducerer fysiske begreber og sammenhænge. Derefter bliver nogle symmetrier vist konkret, ved

brug af symmetrioperatorer på et kvadrat. Her vil det forklares, hvordan operatorer arter sig. Der

vil også blive præsenteret bevarelseslove, og hvordan disse kan udledes ved hjælp af operatorer. Til

sidst gøres rede for symmetrierne C, P og T både hver for sig og i sammenhængene CP og CPT.

Der vil der også være fokus på bruddene i de forskellige symmetrier og hvilke vekselvirkninger, der

henholdsvis opfylder eller bryder med symmetrierne.

2 Algebraiske strukturer

Først de�neres de grundlæggende algebraiske strukturer. Når der er givet en mængde M med en

komposition ∗, kalder vi parret (M, ∗) for en organiseret mængde eller en algebraisk struktur. En

mængde M med en komposition ∗ kaldes associativ, hvis det gælder, at ∀a, b, c ∈M : (a ∗ b) ∗ c =

a ∗ (b ∗ c). Den associative lov er altså opfyldt, hvis det er ligegyldigt hvilke to naboelementer, der

startes med at sammensætte, så længde vi ikke ændrer på elementernes rækkefølge. Addition og

Side 3


multiplikation er eksempler på kompositioner, der opfylder den associative lov. Der �ndes også en

kommutativ lov, der er givet ved: En komposition ∗ i en mængdeM kaldes kommutativ hvis ∀a, b ∈

M : a∗ b = b∗a. Den kommutative lov angiver at rækkefølgen af elementerne er betydningsløs, og

kan derfor blandt andet opfyldes af addition og multiplikation, ligesom den associative lov. Herefter

indføres et neutralt element, der de�neres som følger: Lad (M, ∗) være en organiseret mængde,

hvori der �ndes et element e, for hvilket det gælder, at ∀a ∈ M : a ∗ e = e ∗ a = a. Således må e

være neutralt element for den algebraiske struktur (M, ∗). Til hver komposition hører altså højst

et neutralt element, der ved sammensætning med en værdi a giver den selv samme værdi a. Til

en organiseret mængde (M, ∗), hvori der �ndes et neutralt element e, vil et element a ∈M kaldes

invertibelt, hvis der �ndes et element x ∈ M , således at: a ∗ x = x ∗ a = e. Elementet x kaldes

det inverse element til a og betegnes med a−1∗. På denne måde må ethvert a ∈ M have højst

ét inverst. Herefter de�neres gruppebegrebet: En organiseret mængde (M, ∗) kaldes en gruppe,

hvis kompositionen er associativ, hvis der �ndes et neutralt element e, og hvis ethvert element

i M er invertibelt. Hvis også kompositionen ∗ er kommutativ, kaldes gruppen en kommutativ

gruppe.1 Til sidst introduceres den distributive lov: Lad en mængde M have to kompositioner ∗

og ♦, hvor der gælder både højredistributivitet: a∗ (b♦c) = (a∗ b)♦(a∗ c) og venstredistributivitet:

(b♦c)∗a = (b∗a)♦(c∗a). Et eksempel på den distributive lov er med kompositionerne multiplikation

og addition: a · (b + c) = a · b + a · c. Den distributive lov tillader i dette tilfælde at multiplicere

ind i en additionsparentes.2 Herved er de nødvendige algebraiske strukturer de�neret og forklaret.

3 Vektorrum og Hilbertrum

Der �ndes en særlig algebraisk struktur, der kaldes et vektorrum. En repræsentant for en vektor

er som bekendt et linjestykke med størrelse og retning indenfor plan- og rumgeometrien, der op-

fylder kompositionerne addition og multiplikation med skalar. Disse regneregler gælder også for

eksempelvis talrummet Rn, der er et symbol for mængden af alle ordnede talsæt som indeholder

n reelle elementer.3 Det kan bevises, at regnereglerne er de selv samme i begge tilfælde, og derfor

er det muligt at lave en generalisering af teorien for geometriske vektorer, der gælder generelt. Et

vektorrum V er herved de�neret som enhver mængde, der omfattes af teoriens betingelser.4

1[7], s. 43-892[12]3[5]4[6]

Side 4


definition 3.1: Vektorrum

Lad L betegne mængden af reelle tal R eller mængden af komplekse tal C, og lad V være en

mængde af matematiske elementer, der opfylder de to følgende stabilitetskrav:

1. Ved addition af elementer dannes en sum ∀a,b ∈ V ∃c ∈ V : a + b = c

2. Ved multiplikation af element a ∈ V med skalar k ∈ L, dannes et produkt a · k = k · a = c,

hvor c ∈ V .

V kaldes et vektorrum, hvori der �ndes elementer, der kaldes vektorer, hvis de følgende otte

kompositioner er opfyldt:

1. Addition er kommutativ: a + b = b + a, hvor a,b ∈ V

2. Addition er associativ, (a + b) + c = a + (b + c), hvor a,b, c ∈ V

3. I V �ndes et neutralt element 0 med hensyn til addition: a + 0 = a, hvor a ∈ V

4. Til ethvert element a ∈ V �ndes et inverst element −a ∈ V med hensyn til addition: a +

(−a) = 0, hvor a ∈ V

5. Produkt med skalar er associativ: k1(k2a) = (k1k2)a, hvor k1, k2 ∈ L og a ∈ V .

6. Den distributive regel (k1 + k2)a = k1a + k2a, hvor k1, k2 ∈ L og a ∈ V er opfyldt

7. Den distributive regel k1(a + b) = k1a + k1b, hvor k1 ∈ L og a,b ∈ V er opfyldt

8. Skalaren 1 er neutral i produkt med vektorer: 1a = a, hvor a ∈ V

Hvis L i de�nition 3.1 de�nerer mængden af de reelle tal R, vil V være et vektorrum over de reelle

tal. Herved kan skalaren k kun være et arbitrært reelt tal. Dette gælder naturligvis tilsvarende

for de komplekse tal. Fremragende eksempler på vektorrum er mængden af vektorer i planen og

mængden af vektorer i rummet, da disse opfylder både de to stabilitetskrav og de otte kompositioner

i de�nition 3.1. På samme måde er det også muligt for mængden af reelle funktioner at optræde

som et vektorrum og dermed opfylde de�nition 3.1. Dette vises i eksempel 3.2:

Side 5


Eksempel 3.2:

Mængden af reelle, kontinuerte funktioner betegnes F (R). Additionen s = f + g af to funktioner

f, g ∈ F (R) de�neres ved:

s(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x), hvorx ∈ R og s ∈ F (R)

Multiplikationen p = k · f af funktionen f ∈ F (R) med reel skalar k ∈ R de�neres ved:

p(x) = (k · f)(x) = k · f(x), hvorx ∈ R og p ∈ F (R)

Således vil F (R) være et vektorrum, da s(x) og p(x) er reelle, kontinuerte funktioner, og herved

har F (R) opfyldt de to stabilitetskrav. Endvidere �ndes der en nulfunktion, der antager værdien

0 for alle x ∈ R, hvilken siges at være nulvektor i vektorrummet. Der eksisterer også en invers

vektor −f , som for alle x ∈ R har værdien −f(x). Herved opfylder mængden F (R) også de otte

kompositioner. Med denne argumentation, kan det konkluderes at mængden af reelle, kontinuerte

funktioner F (R) er et vektorrum.5

I midlertid �ndes også et normeret vektorrum. Et normeret vektorrum er et par (V, || − ||), der

består af enten et reelt eller komplekst vektorrum V og en normfunktion || − ||.: V → R+, hvor

der gælder tre regler. Den første regel er, at ||av|| = |a| ||v||, for alle v ∈ V og a ∈ R eller a ∈ C.

Regel nummer to angiver at ||v|| = 0 ⇔ v = 0, for alle v ∈ V . Den sidste er trekantsuligheden:

||v + w||≤||v|| + ||w||, for alle v,w ∈ V . Hvis et vektorrum V opfylder disse tre regler, og er

fuldstændigt ifølge metrikken6, kaldes det et Banachrum.7 Et Banachrum er dog kun fuldstændigt,

hvis en Cauchyfølge8 af vektorer altid konvergerer mod en grænse i vektorrummet, altså hvis

denne følge har en velde�neret grænseværdi i rummet.9 Per de�nition er et Hilbertrum også et

Banachrum. Et Hilbertrum er et vektorrum, der er har et indreprodukt (x, y), således at H har

normen, der er de�neret ved:

||x|| =√

(x, x)

Eksempelvis ses et skalarproduktet i Hilbertrummet af bølgefunktionerne Φ(x) og Ψ(x) (Φ,Ψ)

angiver (Φ,Ψ) =´

Φ∗(x)Ψ(x)d3x, hvor ∗ betyder kompleks konjugeret10. Herved vil normen være

||Φ|| =√

(Φ,Φ). Et Hilbertrum kan altså angive mængden af vektorer eller funktioner med et

skalarprodukt.11 men et Hilbertrum kan også betegne en mængde af kvadratisk integrerbare kom-

5Ibid6Metrikken betegner et afstandsmål i vektorrummet: d(x, y) = ||x− y||7[14]8En følge er Cauchy hvis ∀ε > 0∃N < 0|x− x0| < N ⇒ |f(x)− b| < ε, hvor lim f(x) = b for x→ x0.9[11]

10Den oprindelige funktion og den kompleks konjugerede funktion er et funktionspar, der har ens reel del ogimaginær del af samme størrelse, men med modsat fortegn.

11[13]

Side 6


plekse funktioner. Disse er funktioner hvor integralet´s

f(x)2dx eksisterer. Her vil skalarproduktet

være (f, g) =´s

f(x)g(x)dx, hvor normen vil være ||f || =√

(f, f) =√´

s

f(x)2dx.12

4 Schrödingerligningen

Som i eksempel 3.2 kan elementerne i et vektorrum opfattes som reelle funktioner, og i Hilbertrum-

met kan disse eksempelvis være egenfunktionerne for Hamlintonoperatoren H, der beskriver partik-

lers egentilstande med bestemt energi. Dette kan eksempelvis være den tidsafhængige Schrödingerlign-

ing, hvis løsning er en bølgefunktion for en partikel. Schrödingerligningen er en partiel di�erential

ligning, der som løsning giver Ψ(x, t). Et element i et Hilbertrum kan også være en tilstandsvek-

tor. En tilstandsvektor beskriver en fysisk tilstand, og bølgefunktionens tilstandsvektor Ψ(x) er

derfor også element i Hilbertrummet. Kvadratet på bølgefunktionen |Ψ(x, t)|2 angiver sandsyn-

ligheden for at træ�e partiklen eksempelvis et bestemt sted i rummet. Denne er et produkt af

Ψ og dens kompleks konjugerede Ψ∗(x, t). En sandsynlighed skal være reel og ikke negativ, hvor

Ψ(x, t) generelt er kompleks, så derfor må sandsylighedstætheden for positionen af en partikel være

givet ved: P (x, t) = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t) = |Ψ(x, t)|2. Sandsynligheden for at �nde partiklet et sted i

rummet må naturligvis være 1. Det ses også at udtrykket for P (x, t) indebærer at bølgefunktionen

er normaliseret, og derfor må det gælde at:´|Ψ(x, t)|2d3x = 1. Det antages at integralet rækker

over hele regionen.13

Schrödingerligningen �ndes også i en tidsuafhængig udgave, der simpelt er givet ved: HΨ = EΨ,

her er H er Hamlintonoperatoren14, Ψ er partiklens egentilstand og energien E er egenværdien.

Det første led betyder at vi lader Hamlintonoperatoren virke på bølgefunktionen Ψ, og leddet til

højre er et produkt af skalaren E og bølgefunktionen Ψ. Hvis vi betrager dette i sammenhæng med

brintatomet, vil værdierne af E præcist give energierne i brintatomets orbitaler. Hvis dette nu skal

generaliseres til en hvilken som helst partikel i rummet, der påvirkes af en operator A, kan dette

skrives således: AΨ = aΨ. På samme måde som før er A en arbitrær operator, a er egenværdien og

Ψ egenfunktionen, der beskriver partiklens egentilstand. Tilstande er kun samtidigt egentilstande

for to forskellige operatorer, hvis disse kommuterer15: AB = BA ⇔ (AB − BA) = [A,B] = 0,

hvor A og B er arbitrære operatorer, der kommuterer. Man kan forstå egenfunktionerne som

basisvektorer i et uendeligdimensionalt Hilbertrum, hvorudfra man kan udtrykke en hvilken som

12[8], s. 16313[8], s. 19-3114Når vi lader en sådan operator virke på en egenfunktion i et Hilbertrum, laves en afbildning fra et Hilbertrum

over i at andet.15Hvis A og B kommuterer kan de have egenværdier samtidigt

Side 7


helst funktion i Hilbertrummet som en linearkombination16 af egenfunktionerne. Ved eksperiment

udvælges én af basisvektorerne, som så får en bestemt værdi.17

5 Symmetrioperationer på kvadrat

Som sagt er en symmetri en egenskab ved en genstand, der forbliver invariant under nogle opera-

tioner. En symmetri har altså brug for både et objekt og en operator, der virker på objektet. Efter

denne operator har virket, skal objektet altså ikke have ændret sig, for at der er tale om symmetri.

For at demonstrere og præcisere begrebet, lader vi nogle symmetrioperationer virke på et simpelt

kvadrat. Til dette bruges operationerne rotation og spejling, og hvert af kvadratets hjørner får

tildelt et bogstav: A, B, C, D. Først benyttes symmetrioperatoren rotation til at rotere kvadratet

90° med uret, se �gur 5.1:

Figure 5.1: Rotationsoperation R: kvadratet er roteret 90° med uret

Det ses, hvis der ses bort fra hjørnernes betegnelse, at kvadratet efter operationen er identisk med

kvadratet før operationen. Her er brugt en operator R. En anden operation kaldes m1, hvilken

re�ekterer kvadratet i en vertikal akse gennem kvadratets geometriske centrum, hvilket ses på �gur

5.2:

Figure 5.2: Re�ektionsoperation m1: spejling af kvadratet i en vertikal akse gennem dets ge-ometriske centrum.

Efter denne re�ektionsoperation vil kvadratet på samme måde forblive invariant, hvis der ses bort

fra hjørnernes betegnelse.

Der indføres nu en operator R2, der roterer kvadratet 180°. Operatoren R2 må således være

identisk med R2 = RR. Dette vides, da det er muligt at der ud fra to operationer kan opstå en

16En linearkombination er kombination af to funktioner f1 og f2: k1 · f1(x) + k2 · f2(x), hvor k1, k2 ∈ L17Ibid

Side 8


ny: XY = Z, hvor X, Y og Z alle er arbitrære operatorer. Denne komposition, der betegnes

multiplikation, angiver i hvilken rækkefølge vi skal lade operatorerne virke. Her skal vi altså først

lade X virke og derefter Y for at frembringe resultatet af operation Z. Der kan på denne måde

argumenteres for, at sammensætning af operatorer er associativ, altså at: X(Y Z) = (XY )Z, hvor

X, Y og Z alle som før er arbitrær operatorer. Hvis kvadratet roteres tre gange, altså 270°, med

uret, vil operatoren angives som RRR = R3. Det er tydeligt, at dette må være det samme som

at rotere kvadratet 90° mod uret, altså benytte operatoren R−1 = R3. R−1 er det inverst af

rotationsoperatoren R, og der må derfor gælde at R−1R = e, hvor e er neutralt. Det betyder helt

simpelt at hvis der roteres en gang mod uret og derefter en gang med uret er kvadratet tilbage

ved udgangspunktet e, som kaldes for identiteten. På et kvadrat kan der virke �re forskellige

spejlingsoperatorer, disse ses på �gur 5.3:

Figure 5.3: Kvadratets �re spejlingsakser

Ved to ens re�ektionsopertioner på kvadratet fremkommer også her identiteten mimi = m2i =

e, hvor mi er en arbitrær re�ektionsoperator, der virker på kvadratet. På denne måde er en

spejlingsoperator sin egen invers operator m1 = m−11 , og derfor er det muligt på samme måde at

skrive mim−1i = e.18

Alle disse operationer, der virker på et kvadrat, hvorefter det forbliver invariant, danner en gruppe

D4 = {e,R,R2, R3,m1,m2,m3,m4}. Dette er muligt da alle kriterierne for en gruppe, som er

de�neret i afsnit 1, er opfyldt. Det kan konkluderes at gruppen D4 er lukket, da enhver sammen-

sætning af to operatorer resulterer i en operator, der �ndes i gruppen D4. Det ses eksempelvis ved

RR = R2. Ethvert element i gruppen D4 har sit eget inverst, der også er den del af gruppen D4,

hvilket antages ud fra blandt andet (R2)−1 = R2. Der er før gjort rede for, at enhver sammensæt-

ning af operatorer fra gruppen D4 er associativ. Til sidst �ndes der også en identitet e, for hvilken

der gælder, at eX = Xe = X, for alle X ∈ D4.

18[9], s. 3-7

Side 9


For at tjekke om gruppen D4 er kommutativ, udføres operationen Rm1 og derefter operationen

m1R. Dette ses på �gur 5.4. Hvis slutproduktet er invariant for alle kombinationer af elementer i

en gruppe, er gruppen kommutativ.

Figure 5.4: Kombinerede symmetrioperationer på kvadrat

På �gur 5.4 ses det, at slutproduktet af Rm1 og m1R ikke er identisk, Rm1 6= m1R. Således

kommutererm1 og R ikke. Dog er der andre operatorer inden for gruppenD4, der kommuterer. Det

viser sig, at både rotationsoperatoren og re�ektionsoperatoren kommuterer med sig selv. Herved

er gruppen D4 ikke kommutativ, men nogle af operatorerne indenfor gruppen er kommuterende.

Denne D4-gruppe kaldes Diheral-4-gruppen, fordi det er en symmetrigruppe for 4-kanter som

kvadratet. Derfor vil en symmetrigruppe for en n-kant kaldes en Dn gruppe. Dihedral-4-gruppen

består af 8 operatorer, og er derfor en endelig gruppe, hvori antallet af elementer kaldes gruppens

orden, der betegnes |D4| = 8. Det er muligt for en endelig gruppe at opstille en Cayleytabel,

også kaldet en multiplikationstabel. Denne tabel kan ses på bilag 1. Så �ndes D4-gruppens

generatorer. Generatorerne er de grundlæggende operatorer for en gruppe, altså den mindste

mængde operatorer, der kan beskrive alle operatorer i gruppen. For Dihedral-4-gruppen gælder

det, at vi ud fra operatorerne {R,m1} kan generere alle de andre operatorer. Dette kan hurtigt

konkluderes ud fra D4-gruppens Cayleytabel, der kan �ndes på bilag 1. Her gælder følgende:

R2 = RR, R3 = RRR, m2 = R2m1, m3 = Rm1, m4 = m1R og e = m1m1. På denne måde er der

argumenteret for, at gruppen D4 er genereret af en delmængde af generatorerne {R,m1}.19

Dette kvadrat og dets operatorer kan beskrives ret simpelt matematisk ved hjælp af matricer. Det

antages at dette kvadrat be�nder sig et reelt vektorrum, hvilket er de�neret i afsnit 3. Der indføres

et koordinatsystem i planen med basisvektorer: i =

1

0

og j =

0

1

. Origo placeres i (0, 0) og

i dette punkt placeres kvadratets geometrisk centrum også. Herefter kan ethvert punkt beskrives

19Ibid

Side 10


ved en stedvektor: A = xi + yj. Ved brug reglerne for addition af vektor, der er beskrevet i

de�nition 3.1, står det klart at:

A = xi + yj =

xy

En operator kan også udtrykkes med matricer. Lad en operator M være en 2 × 2 matrix på den

følgende form:

M =

a b

c d

, hvor a, b, c, d ∈ R

Alle elementerne i D4-gruppen er altså udtrykt på denne form som en 2 × 2 matrix. Lad øverste

venstre hjørne af kvadratet være de�neret ved stedvektoren A =

−1

1

, herved vil identitetsop-

eratoren være givet ved:

e =

1 0

0 1

Som også kaldes identitetsmatricen. Vi ved at hvis vi benytter rotationsoperatoren R på kvadratet

vil hjørnet A erstatte hjørnet Bs plads, som ses på �gur 5.1. Dette er altså beskrevet som:

B = R

−1

1

=

1

1

Det ses at operatoren R har en matrix ækvivalent med: R =

0 1

−1 0

. Hvis denne operator

benyttes på stedvektoren A fås altså stedvektoren B, eller tværvektoren A til A, således må

A =B.

De resterende operatorer fra D4 kan beregnes til:

R2 =

−1 0

0 −1

, R3 =

0 −1

1 0

, m1 =

−1 0

0 1

m2 =

1 0

0 −1

, m3 =

0 −1

−1 0

, m4 =

0 1

1 0

For at argumentere for, at dette er sandfærdigt, vælges kombinationen Rm1 fra Cayley tabellen

på bilag 1. Det ses at Rm1 = m4, og dette regnes efter:

Side 11


0 1

−1 0

−1 0

0 1

=

0 1

1 0

Det ses at denne sidste matrix repræsenterer operatoren m4. Det er vigtigt at vektorrummet er

reelt, da alle skalarer er reelle og derfor �ndes i rummet. Derved er der gjort rede for, at operatorer

kan opfattes som matricer.20

6 Translationer

Som vist, kan et system påvirkes af en operator og stadig forblive invariant. Et eksempel på en

operator er translationsoperatoren. Ved en translation bruges en translationsoperator T . Denne

operator bevirker at når et partikelsystem �yttes med a, vil det forblive invariant når koordinat-

systemet �yttes med −a. Dette skrives på følgende måde:

x′ = T (a)x = x + a og x = T−1(a)x′ = x′ − a

Hvor x og a er vektorer. Lad os antage at vores system består af en enkel partikel. Som nævnt

er bølgefunktionen for en partikel Ψ(x), og hvis dette system translateres med a, noteres den nye

bølgefunktionen Ψ′(x). De to funktioner Ψ(x) og Ψ′(x) kan kombineres med en operator kaldet

den unitære operator U(a):

Ψ′(x) = U(a)Ψ(x)

Operatoren U er den unitære repræsentation af translationsgruppen, som er den gruppe af trans-

formationer, som udgøres af translationerne T . Systemet her er lukket, og dets fysiske egenskaber

bliver derfor ikke ændret ved translation, så derfor må:

Ψ′(x′) = Ψ′(x + a) = Ψ′(Tx) = Ψ(x)

og:

Ψ′(x) = Ψ(TT−1x) = Ψ(T−1x) = Ψ(x− a) = U(a)Ψ(x) [1]

Ud fra dette ses det, at det er opfyldt, at systemet er invariant under en translation. Heller ikke

bølgefunktionens normalisering21 ændres, og derfor må det gælde at skalarproduktet: (Ψ′,Ψ′) =

(Ψ,Ψ). Da vi ved at Ψ′ = UΨ, kan vi fæste kravet at:

20[9], s. 8-1021Normen ||Φ|| =

√(Φ,Φ) vil forblive invariant under translation. Dette er forklaret nærmere sidst i afsnit 3.

Side 12


(UΨ, UΨ) = (Ψ,Ψ)

For en hermitisk konjugeret operator X† gælder det at: (XΦ,Ψ) = (Φ, X†Ψ). Det vides at U er

hermitisk, og derfor kan det konkluderes at:

(UΨ, UΨ) = (Ψ, U†UΨ) = (Ψ,Ψ)

Det bekræftes at U er en unitær operator, da U†U = 1 = UU† [2]. Altså er de�nitionen på en

unitær operator; en operator der kombineret med sin egen hermitisk konjugerede operator, er en

operator, der har et neutralt element som identitetsoperator. Efterfølgende bestemmes en eksplicit

form af operatoren U ved at betragte e�ekten af at lade en uendelig lille translation ∆a virke på

bølgefunktionen. Af dette fremkommer en Taylorudvikling i ∆a:

Ψ′(x) = Ψ(x−∆a)

= Ψ(x)− (∆a)1∂

∂x1(Ψ(x))− (∆a)2

∂

∂x2(Ψ(x))− (∆a)3

∂

∂x3(Ψ(x))− ...

= (1−∆a.∇)Ψ(x)

Hvis vi sammenligner med [1] opstår U(∆a) = (1 − ∆a.∇), hvor ∇ =(

∂∂x1

, ∂∂x2

, ∂∂x3

). Ved

indføring af impulsoperatoren P = p = −i~∇22 fås U(∆a) = 1 − i∆a.P/~. Dette er kun muligt

fordi P er generator for de uendelig små translationer, når den virker på bølgefunktionen, og fordi

PΨ = pΨ. Vi kan dog opnå endelig translation ved at udøve små transformationer af ∆a ved at

bruge ∆a = an , hvor n er et helt tal, vi lader gå mod uendelig n→∞:

U(a) = lim∏

U(∆a)

= limn→∞

∏n

U(a

n)

= limn→∞

∏n

(1− −ia.Pn~

)

= e−iaP~ [3]

Impulsoperatoren P er hermitisk P = P †, og ud fra resultat [2] er det let at se, at U er en unitær

operator da: U†(a) = e+iaP~ . Fordi hvis de to resultater for U(a) og U†(a) multipliceres, giver

de skalaren 1: U†(a)U(a) = U(a)U†(a) = 1. Hvis tilstanden Ψ er en egentilstand af impulsen og

22i =√−1 og ~ = h

2π, hvor h er Plancks konstant

Side 13


egenværdien for impulsen er p, så gælder det både at PΨ = pΨ og U(a)Ψ = e−iaP~ Ψ23. Det er

nu vist, at translation invarians leder til impulsbevarelse. På samme måde leder invarians overfor

translation i tid til energi bevarelse.24

7 Bevarelseslove

Noget af vigtigste i symmetri er bevarelser eller såkaldt invarians. Der argumenteres for, at disse

er gældende ud fra antagelser i forrige afsnit.

Hvis U er en unitær operator, der virker på Schrödingerligningen fås: Ψ′ = UΨ, og hvis H er

Hamlintonoperatoren, må det gælde at: (Ψ′, HΨ′) = (Ψ, HΨ)[4] fordi energien er den samme før

og efter operationen for en symmetri. Grundet [2], kan venstresiden også skrives som: (Ψ, HΨ) =

(Ψ, U†HUΨ), og dermed gælder det at U†HU = H. Det er ovenfor i [3] vist, at en unitær operator

kan skrives på formen: U = eiεA, hvor A er en hermitisk operator A† = A og ε er et helt tal. Hvis

vi foretager en første ordens Taylorudvikling i en lille værdi af ε, får vi at: U w 1 + iεA.25 Herefter

vil det fremkomme at:

U†HU = (1− iεA†)H(1 + iεA)

= H − iε(AH −HA)

= H − iε[A,H]

= H

Led til anden orden i epsilon ε2 forsvinder, fordi når ε er lille, må ε2 være utrolig lille, og derfor i

denne sammenhæng ikke-eksisterende. Ud fra dette ses, at kommutatoren (AH −HA) = [A,H] =

0, hvilket betyder at A og H kommuterer.26 Det er i afsnit 4 forklaret at egentilstande for partikler

kan optræde som linearkombinationer af egenfunktioner, og derfor er det nødvendigt at indføre be-

grebet forventningsværdi. Forventningsværdien er middelværdien, altså den gennemsnitlige værdi

en størrelse antager efter et stort antal forsøg. Forventningsværdien er faktisk givet ved [4], så der

gælder således at forventningsværdien er et skalarprodukt: < A >= (Ψ, AΨ) =´

Ψ∗(x)AΨ(x)d3x.

Dette er tydeligt da Ψ∗ og Ψ som beskrevet i afsnit 4 i integralet giver 1.27 Forventningsværdien

23Hvis Ψ er en egentilstand af en operator A med egenværdi a, så vil f(A)Ψ = f(a)Ψ, hvis f(a) er en arbitrærfunktion af A.

24[1], s. 56-5925Tangentligningen for ex: ex = ex0 + ex0 (x− x0), lader x0 → 0, så fås: ex w 1 + x26[1] s. 59-6027[8], s. 27

Side 14


er et helt generel kvantemekanisk begreb og opfylder normalt:

id

dt< A >=< [A,H] >

Ud fra dette forstås at hvis Hamiltonoperatoren er invariant under en symmetritransformation, så

kommuterer den med sig selv, og så er forventningsværdien < A > for transformationen en bevaret

størrelse.28

Til tidsforskydning af en bølgefunktion er Schrödingerligningen i~ ∂∂tΨ = HΨ brugt. Der benyttes

en unitær tidsforskydningsoperator UT , sådan at:

UT (t−∆t)Ψ(x) = Ψ(t−∆t)

Igen benyttes en Taylorudvikling, denne gang i ∆t:

Ψ(t−∆t) = Ψ(t)−∆t · ∂∂t

Ψ(t) + ...

= (1−∆t∂

∂t)Ψ(t)

= (1 +i ·∆t ·H

~)Ψ(t)

Af dette udledes det, at UT (t) = eiHt~ . Det ses at generatoren for tidsforskydning er energioper-

atoren H, og ud fra overstående forklaring, kan det konkluderes at energien er bevaret under en

tidsforskydningstransformation.29

8 Paritets symmetri

Paritet er de�neret som en operation, der spejler koordinatsystemet, så en vektor R bliver til −R.

På �gur 8.1 ses en illustration af hændelsen.

28[10]29[1], s. 59-60

Side 15


Figure 8.1: Paritet

Det vides, at hvis paritetsoperatoren P kommuterer med Hamilton operatoren H [H,P] = 0 så,

som lige bevist, er paritet bevaret, og så kan egentilstandens egenværdi for paritet �ndes.30 Denne

symmetri er bevaret i stærke kernereaktioner og elektromagnetiske reaktioner.

Det er forklaret, at når vi lader paritetsoperatoren virke på et isoleret system, sker en spejling

af rummet: x = Px = −x, hvor x er en vektor i rummet. Dette system antages at bestå af

en partikel, og derfor opereres på partiklens bølgefunktion: PΨ(x) = Ψ(−x). Det er i afsnit 5

beskrevet at en spejling er sin egen invers P = P−1, og derfor må det også gælde at:

PPΨ(x) = PΨ(−x) = Ψ(x)

Dette viser at egenværdien for P er +1 eller −1: PΨ(x) = ±1Ψ(x). Hvis vi så inddrager

impulsoperatoren P , sker der følgende:

P ′Ψ(x) = P†PPΨ(x)

= P(−i~∇)PΨ

= P(−i~∇)(±Ψ(x))

= P(±pΨ(x))

= −pΨ(x)

= −PΨ(x)

Her ses at impulsvektoren vendes ved en paritetsoperation. Ved tilsvarende udregninger for im-

pulsmomentet L og spinvektor σ fås: L′ = L og σ′ = σ. Impulsmomentet og spin ændrer altså

30[3], s. 19-20

Side 16


ikke fortegn ved en paritetsoperation. Grundet dette resultat opstår der et problem.31

Indtil år 1956 troede man, at alle fysiske lov adlød denne spejlsymmetri, men efter forsøg med den

radioaktive isotop 60Co fandt man et brud for de svage vekselvirkninger.

Figure 8.2: Helicitet

For betahenfald gælder det, at alle udsendte neutrinoer har negativ helicitet. Dette vil sige, at de

er venstrehåndet cirkulært polariserede, og derfor er spinnet modsat rettet bevægelsesretningen.

Det er lige set, at impulsen skrifter retning, når den påvirkes af en paritetsoperation, og derfor vil

neutrinoen efter operationen være højrehåndsdrejet, hvilket ses på �gur 8.2. Denne chiralitet er

således et brud i den ellers velopfyldte paritetssymmetri. 32

9 Ladningskonjungation

På samme måde som paritet, �ndes også ladningskonjugation, der stiller spørgsmålet: Er fysikkens

love ens for partikler og antipartikler? Hvis man benytter ladningskonjugationsoperatoren C på

en tilstandsvektor for en partikel, ændrer denne partiklen til dens antipartikel. Efter en operation

vil impulsen og spin forblive uændret, mens ladningen omvendes. Det vides at operatoren C

kommuterer med H, altså at [C , H] = 0 og dermed er ladningskonjugation en bevaret størrelse

og disse kan have egentilstande samtidigt. Dette gælder dog ikke for den svage vekselvirkning.

C-symmetri er opfyldt i elektromagnetiske og stærke vekselvirkninger, men ikke i et regime, hvor

svage vekselvirkninger er dominerende.33 Det er klart, at der brud i C-symmetri samme sted

som ved P-symmetri, da disse retter op på hinanden. Den svage kraft føles kun af venstrehåndet

31[1], s. 68-6932[3], s. 19-2233[1], s.77-78

Side 17


cirkulært polariserede partikler og højrehåndet cirkulært polariserede antipartikler. Her er C- og

P-symmetri brudt hver for sig, og derfor tyder det på, at CP-symmetri er opfyldt.

10 CP-symmetri

Når hverken paritets symmetri eller ladnings symmetri er universelt gældende, hvad så med en

kombination af disse? CP-symmetrien er netop opfyldt af betahenfaldet, da antineutrinoer modsat

almindelige neutrinoer, har positiv helicitet. Tilsvarende er heliciteten af elektroner og positroner

også modsat hinanden. Dette løser problemer, som hverken C- eller P-symmetrierne kunne løse

alene. CP-symmetrien er illustreret på �gur 10.1.

Figure 10.1: CP-symmetri

Dog �ndes der også i denne symmetri et brud i henfald af den neutrale kaon. Den neutrale kaon

henfalder ved en svag vekselvirkning. En neutral kaon kan enten henfalde til to pioner eller til tre

pioner. De neutrale kaoner K0 og K0 opfører sig som de er en linearkombination af to tilstandsvek-

torer, som betegnes K1 og K2. Både K0- og K0-mesonen er ikke i sig selv CP egentilstande. Dette

kan ses ud fra deres tilstandsvektorer: C PK0 = K0, da dette udtryk indeholder ikke en egen-

funktion for CP-operatoren. De neutrale kaoner er nemlig egentilstande af hyperladning Y 34, og

denne størrelse er bevaret i stærke vekselvirkninger, og ikke i svage vekselvirkninger. Dog kan vi

udvidde tilstandsvektorerne ved at introducere to nye tilstandsvektorer for K1 og K2. Hver af

disse skal have egenværdier på henholdsvis +1 og −1 for CP , og derfor er de acceptable tilstande

af K0-mesonen. Idet de neutrale kaoners spin er nul, så må impulsmomentet for tilstanden af to

pioner, som er produktet af henfaldet, også være nul. Det skal tilføjes, at pioners spin er nul. Hvis

vi lader CP-operatorerne virke på tilstanden af to pioner, hvor impulsmomentet er lig 0, skal egen-

værdien være +1. Derfor må K1 henfalde til 2 eller 3 pioner, mens K2 skal henfalde til 3 pioner for

34Dette er et kvantetal, der er relateret til den stærke vekselvirkning.

Side 18


at få egenværdi −1. Således er det ikke muligt, ifølge denne teori, at K2, med en C P-egenværdi

på −1, at henfalde til to pioner.

I 1964 udførtes en række forsøg med disse kaoner, og fandt i meget få tilfælde at K2 henfaldte til

to pioner:

K2 → π+ + π−

Dette betød et brud i den ellers velfungerende CP-symmetri, hvilket indtil videre er det eneste

brud på CP-symmetri, der er fundet.35

11 Tidsomvending

Når tidsomvendingsoperatoren benyttes på et system bliver t til −t. Til at vise dette, kan vi benytte

den tidsafhængige Schrödingerligning: HΨ(x, t) = i~ ∂∂tΨ(x, t). Nu lader vi t → −t, hvormed vi

antager at Hamiltonoperatoren H er tidsuafhængig og reel.

HΨ(x, t) = −i~ ∂∂t

Ψ(x,−t)

Ved at kompleks konjugere ligningen, fremkommer igen den originale ligning: HΨ∗(x, t) = +i~ ∂∂tΨ

∗(x, t).

Både bølgefunktionen Ψ(x, t) og Ψ∗(x,−t) opfylder den samme Schrödingerligning, og har dermed

samme fysiske egenskaber som den oprindelige bølgefunktion. Udtrykket Ψ∗(x,−t) kaldes den

tidsomvendte bølgefunktion. Operatoren T er de�neret som T = UTK, hvor UT er en unitær

operator og K er en operator, der virker på den kompleks konjugerede del. Hvis vi lader tid-

somvendingsoperatoren T virke på bølgefunktionen fås:

T HΨ(t) = T i~∂

∂tΨ(t) = −i~ ∂

∂tT Ψ(t)

Herefter antages det at T og H kommuterer T H = HT ⇔ [T , H] = 0 og at der derfor gælder:

HT Ψ(t) = −i~ ∂∂t

T Ψ(t)

Nu lader vi så t→ −t , hvilket vil sige at T Ψ(−t) opfylder Schrödingerligningen:

HT Ψ(−t) = i~∂

∂tT Ψ(−t)

35[1], s. 227-229

Side 19


Dette gælder hvis, og kun hvis T og H kommuterer.36 Både impulsen og impulsmomentet vendes

ved tidsomvending. Både CERN og Fermilab har rapporteret T-symmetribrud i det neutrale

kaonsystem. Det er ikke det samme som ved C- og CP-brud, men det er de samme mesoner, der

virker til at bryde symmetrien.37

12 CPT-symmetri

Separat er de alle symmetrier invariant overfor den elektromagnetiske og stærke vekselvirkning,

men ikke overfor den svage vekselvirkning. Selv CP-operationen har et minimalt brud ved den

svage vekselvirkning. Derfor opereres der nu med CPT-symmetri, hvor kombinationen af disse tre

symmetrier kan forgå i en tilfældig rækkefølge.38 CPT er gældende for alle fysiske fænomener,

og er lige nu fysikkens bud på den universelle symmetri, da der indtil videre ikke er vist noget

brud i CPT-symmetri. Dog er der mange, der leder efter et brud i CPT teoremet, da der er visse

ting, den ikke forklarer. Som allerede nævnt er fysikernes bedste beskrivelse af mikroverdenen, der

kaldes standardmodellen, baseret på CPT teoremet. Teoremet forudsiger blandt andet at stof og

antistof opfører sig ens over for fysikkens love, da C-symmetrien indgår. Men hvis stof og antistof

opfører sig fuldkommen ens, hvorfor består vores verden så af næsten udelukkende stof og næsten

intet antistof? Det vides med stor sikkerhed, at der ved Big Bang var ækvivalente mængder stof

og antistof, og når disse mødes sker der annihilation. Derfor arbejder højtuddannede forskere på

højtryk på CERN for at �nde årsagen til denne ubalance. Det er almen viden blandt fysikere, at

standardmodellen ikke er det endelige svar, men kun et midlertidigt svar, der kan forbedres.39

13 Konklusion

Afslutningsvis kan det konkluderes at paritets-, ladningskonjugations- og tidsomvendingssymmetri

til sammen udgør den grundlæggende CPT-symmetri for alle kendte fysiske fænomener. Den nød-

vendige fysik og matematik tilhørende emnet er behandlet nøje, for at skabe en samlet forståelse.

Der er gjort rede for algebraiske strukturer, vektorrum og konkrete symmetrioperationer. Vektor-

rum er de�neret og ved hjælp af andre egenskaber ved vektorrum, nåede vi frem til Hilbertrummet.

Herefter blev det forklaret hvordan Schrödingers ligning er de�neret. Ved symmetrioperationerne

er det introduceret hvordan operatorer arter sig. De vigtige bevarelseslove, der har en stærk sam-

menhæng med symmetrier er forklaret og konkluderet på. Til sidst blev alt denne teori brugt til

36[1], s. 72-7337[4]38[1], s. 79-8039[2]

Side 20


at gøre rede for C-, P- og T-symmetrier og symmetribrud. Også CP- og CPT-symmetri og sym-

metribrud er diskuteret. Det er forklaret hvilke vekselvirkninger, der er årsag til brud og hvilke

der opfylder symmetrierne.

Side 21


14 Litteraturliste

1. Brandsen, B.H. m.�.: The Fundamental Particles. 1. udg. Van Nostrand Raynhold,

1973. (Bog)

2. Close, Frank: Antimatter. 1. udg. Oxford University Press, 2009. (Bog)

3. Discrete Symmetries. Udgivet af J.F.J van den Brand. Internetadresse: http://www.nat.vu.nl/~jo/course.pdf

- Besøgt d. 14.12.2013 (Internet)

4. Elvang, Henriette: CERN og Fermilab rapporterer T-symmetribrud. I: NBI: Gamma

112, 14.12.1995, s. 35-39.

5. eNote 1: Talrum. Udgivet af DTU. Internetadresse: http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID17-

tn1/ - Besøgt d. 9.12.2013 (Internet)

6. eNote 7: Vektorrum. Udgivet af DTU. Internetadresse: http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID18-

tn7/ - Besøgt d. 9.12.2013 (Internet)

7. Jensen, Helle: A�ne afbildninger og Algebra. Side 43-89. 1. udg. FAG, 1982. (Bog)

8. Schi�, Leonard: Quantum Mechanics. 3. udg. McGraw-Hill, 1968. (Bog)

9. Symmetry in Physics. Udgivet af Eugene A. Lim. Internetadresse: http://damtp.cam.ac.uk/user/eal40/teach/symmetry2013/sym_chap.pdf


10. Time Derivative of Expectation Values. Udgivet af Jim Branson. Sidst opdateret:

04.22.2013. Internetadresse: http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node189.html


11. Wikipedia: Banach rum. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Banach_space


12. Wikipedia: Distributiv lov. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://no.wikipedia.org/wiki/Distributiv_lov


13. Wikipedia: Hilbertrum. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space


14. Wikipedia: Normeret vektorrum. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space


Side 22


15 Bilag 1

Cayley tabel for D4

Side 23

Abstract - media.mentoreurope.eumedia.mentoreurope.eu/static/SRP2015/Symmetri.pdf · og...

Documents

Transcript of Abstract - media.mentoreurope.eumedia.mentoreurope.eu/static/SRP2015/Symmetri.pdf · og...