1

ฟังก์ช่ัน

นิยาม ฟังกช์ัน่คือเซตของคู่ล าดบั ซ่ึงมีคุณสมบติัวา่ ถา้ ( ) และ ( ) แลว้

ข้อสังเกต ความสัมพนัธ์ท่ีมีตวัหนา้ไม่ซ ้ ากนัเป็นฟังกช์ัน่

นิยาม โดเมนและเรนจข์องฟังกช์ัน่ นิยามลกัษณะเดียวกนักบัการนิยามความสัมพนัธ์

โดเมนของฟังกช์ัน่ { ( ) }

เรนจข์องฟังกช์ัน่ { ( ) }

นิยาม ค่าฟังกช์ัน่ของ f ท่ี x เขียนแทนดว้ย f(x) ก าหนดโดย y = f(x)

เช่น {( ) }

อาจเขียนแทนดว้ย f(x) = 2x +1

ถา้ x = 1 จะเรียก y ท่ี x =1 วา่ f(1) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( 1 ) = 2(1) +1 = 3

จะไดว้า่ ( )

ถา้ x = 4 จะเรียก y ท่ี x =4 วา่ f(4) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( 4 ) = 2(4) +1 = 9

จะไดว้า่ ( )

ถา้ x = a จะเรียก y ท่ี x =a วา่ f(a) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( a ) = 2(a) +1 = 2a +1

จะไดว้า่ ( )

ถา้ x = จะเรียก y ท่ี x = วา่ f( ) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( ) = 2( ) +1 = 2 +1

จะไดว้า่ ( )

ถา้ x = a+h จะเรียก y ท่ี x = a+h วา่ f(a+h) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( a+h ) = 2(a+h) +1 = 2a+2h+1

จะไดว้า่ ( )

นิยาม f เป็นฟังกช์ัน่จาก A ไป B ( function from A into B ) ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่ซ่ึงมี

และ

นิยาม f เป็นฟังกช์ัน่จาก A ไปทัว่ถึง B ( function from A onto B ) ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่ซ่ึงมี

และ

นิยาม f เป็นฟังกช์ัน่หน่ึงต่อหน่ึง จาก A ไป B ( one to one function from A onto B ) ก็ต่อเม่ือ

f เป็นฟังกช์ัน่ซ่ึงมี และ โดย ถา้ ( ) และ ( ) แลว้

นิยาม f เป็นการสมนยั 1-1 จาก A ไป B ( one to one correspondence ) ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่

1-1 จาก A ไปบน B

2

การพิจารณาวา่ความสัมพนัธ์ท่ีก าหนดใหเ้ป็นฟังกช์ัน่หรือไม่จากกราฟ

ถา้เส้นตรงขนานแกน y ทุกเส้นตดักราฟของ r ไดไ้ม่เกิน 1 จุด r จะเป็นฟังกช์ัน่

การพิจารณาวา่ฟังกช์ัน่ท่ีก าหนดใหเ้ป็นฟังกช์ัน่ 1-1 หรือไม่จากกราฟ

ถา้เส้นตรงขนานแกน x ทุกเส้นตดักราฟ f ไม่เกิน 1 จุด จะไดว้า่ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1

สูตร การหาจ านวนฟังก์ช่ัน

1. จ านวนฟังกช์ัน่ทั้งหมดจาก A ไป B เท่ากบั ( ) ( )

2. จ านวนฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป B เท่ากบั n(B)Pn(A)

n(B)Pn(A) = ( )

( ( ) ( ))

นิยาม ก าหนดให ้ f เป็นฟังกช์ัน่ จากสับเซตของ R ไป R และ

f เป็นฟังกช์ัน่เพิ่ม ( Increasing function ) ใน A ก็เม่ือ ส าหรับ ถา้ แลว้ ( ) ( ) f เป็นฟังกช์ัน่ลด ( Decreasing function ) ใน A ก็เม่ือ ส าหรับ ถา้ แลว้ ( ) ( ) f เป็นฟังกช์ัน่โมโนโทน ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่เพิ่มหรือฟังกช์ัน่ลด และถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ โมโนโทน

แลว้ f เป็น 1-1 ฟังกช์ัน่

ชนิดของฟังก์ช่ัน

ฟังกช์ัน่แบ่งไดเ้ป็น 2 ชนิด คือฟังกช์ัน่พีชคณิต ( Algebratic Function ) และฟังกช์ัน่อดิสัย ( Trancendental

Fuction)

ฟังก์ช่ันพชีคณติ คือฟังกช์ัน่ท่ีมีนิพจน์ประกอบดว้ยค่าคงท่ี ตวัแปร และเคร่ืองหมายบวก ลบ คูณ หาร

ยกก าลงั หรือถอดกรณ์ เช่น

- ฟังกช์ัน่เชิงเส้น ( Linear Function) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป ( )

- ฟังกช์ัน่คงท่ี ( Constant Function) หรือฟังกช์ัน่คงตวั คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป f(x) = b จะไดเ้ป็น

กราฟเส้นตรงท่ีขนานแกน x

- ฟังกช์ัน่ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูปค่าสัมบูรณ์ เช่น

f(x) = | |

- ฟังกช์ัน่ขั้นบนัได ( Step Function) คือฟังกช์ั้นท่ีมีค่าคงตวัเป็นช่วงๆ จะไดก้ราฟเป็นรูปขั้นบนัได

- ฟังกช์ัน่ก าลงัสอง ( Quardratic Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป ( ) เม่ือ

a , b , c เป็นจ านวนจริง และ จะไดก้ราฟเป็นรูปพาราโบลา โดยจะไดเ้ป็นรูปพาราโบลา

3

คว ่าเม่ือ และจะไดเ้ป็นกราฟพาราโบลาหงาย เม่ือ และใหจุ้ด ( ) เป็นจุด

วกกลบั จะไดว้า่

- ฟังกช์ัน่พหุนาม( Polynomial Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีมีฐานเป็นตวัแปร และมีก าลงัเป็นจ านวนเตม็

บวกหรือ ศูนย ์ ดงันั้น ฟังกช์ัน่เชิงเส้น ฟังกช์ัน่คงตวั และฟังกช์ัน่ก าลงัสองเป็นแบบต่างๆ ของ

ฟังกช์ัน่พหุนาม ซ่ึงเขียนไดใ้นรูป ( ) - ฟังกช์ัน่ตรรกยะ ( Rational Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป ( ) ( )

( ) ( )

เม่ือ p , q เป็นฟังกช์ัน่พหุนาม

- ฟังกช์ัน่ท่ีเป็นคาบ ( Periodic Function ) เป็นฟังกช์ัน่ท่ีเป็นคาบ ซ่ึง f(x+p ) = f(x) เม่ือ p เป็นจ านวน

จริงส าหรับทุกค่า x และ x+p ท่ีอยูใ่นโดเมนของ f

ฟังก์ช่ันอดิสัย คือฟังกช์ัน่ท่ีไม่ใช่ฟังกช์ัน่พีชคณิต เช่นฟังกช์ัน่ เอก็โปเนนเชียล ฟังกช์ัน่ลอการิทึม

ฟังกช์ัน่ ตรีโกณมิติ

อินเวอร์ส ( Inverse ) ของฟังกช์ัน่

นิยาม ให ้ f เป็นฟังกช์ัน่ จาก A ไป B อินเวอร์สของ f เขียนแทนดว้ย คือฟังกช์ัน่จาก B ไป A

ซ่ึงมีสมาชิกคู่ล าดบั ( ) โดยท่ี ( )

ขอ้สังเกต 1. ถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ใดๆ จะสามารถหา ไดเ้สมอ

2. ( )

3.

ทฤษฎบีทเกี่ยวกบัฟังก์ช่ันอนิเวอร์ส

1. ก าหนด f เป็นฟังกช์ัน่ เป็นฟังกช์ัน่ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 เท่านั้น

2. ถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป B จะไดว้า่ เป็นฟังก์ชัน่ 1-1 จาก ไปทัว่ถึง A

3. ถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไปบน B จะไดว้า่ เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 จาก B ไปบน A

4

ฟังก์ช่ันประกอบ ( Composite function )

นิยาม

1. ถา้ f : A B ; g : B C จะมี h : A C โดยท่ี h(a) = g( f(a))

เรียกฟังกช์ัน่ f วา่เป็นฟังกช์ัน่ประกอบของ f และ g

2. ให ้ f และ g เป็นฟังกช์ัน่และ ฟังกช์ัน่ประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ย

gof ก าหนดโดย ( gof)(x) = g ( f(x)) ทุก x ซ่ึง ( )

3. ถา้ f : A B และ g : B C แลว้จะได ้ และ

4. ( ) พชีคณติของฟังก์ช่ัน

คือการน าฟังกช์ัน่ตั้งแต่สองฟังกช์ัน่ข้ึนไปมา บวก ลบ คูณ หรือหารกนั

ให ้ f และ g เป็นฟังกช์ัน่ในเซตของจ านวนจริง

1. f + g = { ( x ,y ) y = f(x) + g(x) และ x }

2. f - g = { ( x ,y ) y = f(x) - g(x) และ x }

3. f g = { ( x ,y ) y = f(x) g(x) และ x }

4.

= { ( x ,y ) y =

( )

( ) และ x เม่ือ ( ) }

…………………………………………………………………………………………………………….

5

แบบฝึกหดัเร่ืองฟังกช์ัน่ชุดท่ี 1

1. ก าหนดให ้ { } { } จงเขียนฟังกช์ัน่ตามเง่ือนไข

ในแต่ละขอ้

1.1 ฟังกช์ัน่จาก A ไป B

……………………………………………………………………………………………………………

1.2 ฟังกช์ัน่จาก B ไป A ( เขียนใหดู้ 5 แบบ )

.....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

1.3 ฟังกช์ัน่จาก B ไป B ( เขียนใหดู้ 5 แบบ )

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

1.4 ฟังกช์ัน่จาก A ไป A ( เขียนใหดู้ 5 แบบ )

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

2. ก าหนดให ้ A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 4 , 5 , 6} จงเขียนฟังกช์ัน่ตามเง่ือนไขในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี

2.1 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป B

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

2.2 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก B ไป A

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

2.3 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป A

6

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

2.4 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก B ไป B

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

3. ฟังกช์ัน่ในขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ัน่จาก R ไปทัว่ถึง R

3.1 f(x) = x +3

3.2 f(x) =

3.3 ( ) | |

3.4 ( )

3.5 ( ) {

3.4 ( ) {

4. จงพิจารณาวา่ฟังกช์ัน่ในขอ้ใดเป็นฟังกช์ัน่แบบ 1-1

4.1 {( ) }

4.2 {( ) }

4.3 {( ) √ }

4.4 {( ) }

4.5 {( ) | | }

5. ก าหนดให ้ ( ) จงหาค่าต่อไปน้ี

5.1 f ( 1)

……………………………………………………………………………………………………

5.2 f ( b+1 )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

7

5.3 f ( x+h)

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

6. ก าหนดให ้ ( ) {

จงหาค่าของ

6.1 f ( 3 )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

6.2 f (-1)

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

6.3 (√ )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

6.4 f (5) + f ( -10 )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

7. ก าหนดให ้f ( x +2 ) = 2x+5 และ g ( 2x-1 ) = จงหาค่าของแต่ละขอ้ต่อไปน้ี

7.1 f ( 2 )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

7.2 g ( -2 )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

7.3 f ( g (3))

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

8

7.4 g ( x +7 )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

7.5 f (2x-3 )

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

8. จงหา และ ของฟังก์ชัน่ต่อไปน้ี

8.1 {( ) }

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

8.2 {( ) | |

}

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

8.3 {( ) | | | |

}

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

8.4 {( ) √ }

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

8.5 {( )

√ }

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

9

8.6 {( ) √ }

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

9. จงตรวจสอบวา่ฟังกช์ัน่ต่อไปน้ี เป็นฟังกช์ัน่เพิ่ม หรือฟังกช์ัน่ลดในเซตท่ีก าหนดให ้

9.1 f ( x ) = 2x+ 3 : R

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

9.2 ( )

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

9.3 ( ) | | ( )

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

9.4 ( ) ( )

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

9.5 ( ) ( )

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

10. จงหาค่าสูงสุด หรือต ่าสุดของฟังกช์ัน่ต่อไปน้ี

10.1

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

10.2

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

10

11. ลวดเส้นหน่ึงยาว 32 เซนติเมตร ตดัลวดออกเป็นสองส่วน เอาส่วนท่ีหน่ึง ยาว x เซนติเมตร ไปดดั

ใหเ้ป็นรูปวงกลม และ ส่วนท่ีสองท่ีเหลือ ไปดดัเป็นรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัส ถา้ผลบวกของพื้นท่ี ของ วงกลม

และส่ีเหล่ียมจตุัรัส เท่ากบั A ตารางเซนติเมตร จงเขียนฟังกช์ัน่แสดงความสัมพนัธ์ ระหวา่ง A และx

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

12. ลวดหนามยาว 200 เมตรน าไปลอ้มร้ัวรอบท่ีดินริมแม่น ้าเป็นรูปส่ีเหล่ียมผนืผา้ โดยกั้นเพียง 3 ดา้น

ดา้นริมแม่น ้าไม่ตอ้งลอ้มร้ัว จะลอ้มไดพ้ื้นท่ีมากท่ีสุดเท่าไร

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

13. ก าหนด *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

จงหา

13.1 fog

………………………………………………………………………………………………………………

13.2 gof

………………………………………………………………………………………………………………

13.3 hog

………………………………………………………………………………………………………………

13.4 goh

………………………………………………………………………………………………………………

11

13.5 foh

………………………………………………………………………………………………………………

13.6 ( hof)og

………………………………………………………………………………………………………………

14. ก าหนด *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) + จงหา

14.1 fog

………………………………………………………………………………………………………………

14.2

………………………………………………………………………………………………………………

14.3

………………………………………………………………………………………………………………

14.4 ( )

………………………………………………………………………………………………………………

14.5 ( )

………………………………………………………………………………………………………………

14.6 gof (2) + fog(5)

………………………………………………………………………………………………………………

15. ก าหนด *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ f = …………………………………………………………………………………….

16. ก าหนด ( ) ( ) จงหา

16.1 gof (x) = …………………………………………………………………………………

16.2 fog (x) = …………………………………………………………………………………..

16.4 gof (4 ) = …………………………………………………………………………………..

16.5 fog (-1) = …………………………………………………………………………………

16.6 (x) = ………………………………………………………………………………

12

17. ก าหนด ( ) ( ) √

17.1 จงหาโดเมนและเรจข์อง fog

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

18. ก าหนด ( ) {

และ ( )

จงหา ( ) ( )

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

19. ก าหนดให ้ ( ) และ ( )

จงหาค่า x ท่ีท าให ้ f(g(x)) = g (f(x))

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

20. ก าหนดให ้

( ) {

เม่ือ

( ) {

เม่ือ

จงหาค่าของ ( )( ) ( )( )

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

13

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

21. จงเขียนกราฟของ f และ เม่ือก าหนด f(x) ดงัต่อไปน้ี

21.1 f(x) = 3x+2 21.2 ( )

21.3 f(x) = 6 21.4 ( )

21.5 ( ) √ ( ) 21.6 ( ) √

14

22. ก าหนด ( ) จงหา ( )

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

23. ก าหนดให ้ ( ) { √

จงหา ( ) และ ( ) ( )

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

24. จงตรวจสอบวา่ฟังกช์ัน่ใดบา้งท่ีมีอินเวอร์สเป็นฟังก์ชัน่

24.1 ( )

24.2 ( )

24.3 ( ) √

24 .4 ( )

24.5 ( ) | |

24.6 ( )

25. ก าหนดให ้ *( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

25.1 f + g = …………………………………………………………………

25.2 f –g = ……………………………………………………………………

25.3 ……………………………………………………………………

25.4

= ………………………………………………………………………

15

26. ก าหนดให ้ ( ) และ ( ) จงหา

3.1 ( )( ) .....................................................................

3.2 .....................................................................

27. ก าหนดให ้ ( )

และ ( ) √ จงหา

4.1 ( )( ) .....................................................................

4.2 .....................................................................

28. ก าหนดให ้ ( )

และ ( )

| | จงหา

5.1 ( )( ) .....................................................................

5.2 .....................................................................

29. ก าหนดให ้ ( ) {

และ ( )

6.1 ( )( ) .....................................................................

6.2 ( ) ( )( ) .................................................

30. ก าหนดให ้ ( ) ( )( ) ( ) จงหา

30.1 ( ) ( ) .................................................................................................................. .............

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

30.2 ( )( )

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………