แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2...

236
แคลค ลัส 2 Calculus 2 สาขาว ชาคณ ตศาสตร คณะครุศาสตร มหาว ทยาลั ยราชภั ฏสวนสุนั นทา 2562

Transcript of แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2...

Page 1: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

แคลคลส 2Calculus 2

สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

2562

Page 2: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

MAC1303แคลคลส 2Calculus 2

ผช วยศาสตราจารย ดร.ธนชยศ จำปาหวายสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

Page 3: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

สารบญ

1 ลำดบและอนกรม 11.1 ลำดบของจำนวนจรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 อนกรมของจำนวนจรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 การทดสอบแบบอนทกรล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 การลเขาแบบสมบรณ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6 การทดสอบโดยใชอตราสวน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 อนกรมกำลง 412.1 รศมและชวงแหงการลเขา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 ฟงกชนในรปอนกรมกำลง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3 ทฤษฎบทของเทย เลอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 อนกรมเทย เลอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 ปรภมสามมต 653.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 เวกเตอรในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 เสนตรงในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4 ระนาบในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5 ฟงกชนคาเวกเตอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 ระบบพกดเชงขว 1194.1 พกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2 กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.3 การหาพนทของบรเวณในระบบพกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5 ฟงกชนหลายตวแปร 1475.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร . . . . . . . . . . . . . . . 1505.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.4 กฎลกโซ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Page 4: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

ข สารบญ

5.5 อนพนธอนดบสง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.6 การประมาณคาเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6 อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร 1736.1 อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.2 อนทกรลบนโดเมนทวไป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.3 อนทกรลบนระบบพกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7 สมการเชงอนพนธเบ องตน 2037.1 สมการเชงอนพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.2 สมการแยกตวแปรได . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.3 สมการเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.4 สมการแมนตรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.5 ตวประกอบอนทกรล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.6 สมการเชงเสนอนดบหนง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Page 5: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บทท 1ลำดบและอนกรม

1.1 ลำดบของจำนวนจรงบทนยาม 1.1.1 ลำดบ (Sequence) ของจำนวนจรง คอฟงกชนท โดเมนเปน N และคาเปนจำนวนจรง

ให a : N → R เปนลำดบของจำนวนจรง นยมเขยน a(n) แทนดวย an ดงนนa = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), ..., (n, an), ...}

เนองจาก an ตองคกบ n เสมอ ในคอนดบ (n, an) ดงนนจะเขยนลำดบ a ดวยสญลกษณ{a1, a2, a3, ..., an, ...} หรอ a1, a2, a3, ..., an, ... หรอ {an}

ตวอยาง 1.1.2 จงเตมคำตอบในชองวางใหสมบรณ

{a1, a2, a3, ..., an, ...} a1, a2, a3, ..., an, ... {an}

1, 2, 3, ..., n, ...

{1, 3, 5, 7, ...}

{(−1)n}

{1,

1

2,1

4,1

8, ...

}

2, 7, 12, 17, ...

{1,

1

2,1

6,1

24,

1

120, ...

}

1

Page 6: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2 บทท 1. ลำดบและอนกรม

บทนยาม 1.1.3 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ L ∈ R จะกลาววา L เปนลมตของ {an}กตอเมอ สำหรบจำนวนจรงบวก ε ใด ๆ จะม N ∈ N ททำให

|an − L| < ε ทก ๆ จำนวนนบ n > N

และเขยนแทนดวยสญลกษณ limn→∞

an = L

ทฤษฎบท 1.1.4 ให r, t ∈ R เปนเปนคาคงตว จะไดวา1. lim

n→∞

1

nt= 0 เมอ t > 0

2. limn→∞

rn = 0 เมอ |r| < 1

ตวอยาง 1.1.5 จงหาลมตตอไปน1. lim

n→∞3−n · 2n

2. limn→∞

n−3

3. limn→∞

1

n√n

4. limn→∞

2−n

ทฤษฎบท 1.1.6 ให {an} และ {bn} เปนลำดบของจำนวนจรง และ L,M, k ∈ R

โดยท limn→∞

an = L และ limn→∞

bn = M จะไดวา

1. limn→∞

k = k เมอ k เปนคาคงตว

2. limn→∞

kan = k limn→∞

an = kL เมอ k เปนคาคงตว3. lim

n→∞[an + bn] = lim

n→∞an + lim

n→∞bn = L+M

4. limn→∞

[an − bn] = limn→∞

an − limn→∞

bn = L−M

5. limn→∞

an · bn = limn→∞

an · limn→∞

bn = LM

6. limn→∞

anbn

=lim

n→∞an

limn→∞

bn=

L

Mเมอ M = 0

7. limn→∞

(an)m =

(lim

n→∞an

)m= Lm เมอ m ∈ N

8. limn→∞

m√an = m

√lim

n→∞an =

m√L เมอ m ∈ N และ m

√L ∈ R

Page 7: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.1. ลำดบของจำนวนจรง 3

ตวอยาง 1.1.7 จงหาคาลมตตอไปน

1. limn→∞

n2 + n+ 3

1− 3n+ 2n2

2. limn→∞

3n + 2n+1

3n−1 − 3 · 2n

3. limn→∞

√9n2 + 1

n+ 3√n3 + 1

4. limn→∞

(n−√n)

ทฤษฎบท 1.1.8 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง จะไดวา

limn→∞

an = 0 กตอเมอ limn→∞

|an| = 0

ตวอยาง 1.1.9 จงหาคาลมตตอไปน

1. limn→∞

(−1)n

n2. lim

n→∞

cosnπn2 + 1

Page 8: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4 บทท 1. ลำดบและอนกรมทฤษฎบท 1.1.10 The Squeeze Theoremให {an}, {bn} และ {cn} เปนลำดบของจำนวนจรง ถา n0 ∈ N เมอ L ∈ R ซง

an ≤ bn ≤ cn ทกจำนวนนบ n ≥ n0

และ limn→∞

an = limn→∞

cn = L แลว limn→∞

bn = L

ตวอยาง 1.1.11 จงหาคาลมตตอไปน

1. limn→∞

sinn√n

2. limn→∞

sinncosnn2 + 1

บทนยาม 1.1.12 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง จะกลาววา {an} เปน ลำดบลเขา (convergent)กตอเมอ มจำนวนจรง L ซง lim

n→∞an = L นอกจากนน {an} เปน ลำดบลออก (divergent)

ตวอยาง 1.1.13 จงพจารณาวาลำดบตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

1.{(n+ 1)3√n4 + 1

}2.{√

n2 + n+ 1− n}

Page 9: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.1. ลำดบของจำนวนจรง 5

ในบางกรณเราสามารถหาลมต limn→∞

an ไดจากการหาลมตlim

x→∞f(x)

เมอ f เปนฟงกชนคาจรงทกำหนดบนชวง [1,∞) และ f(n) = an ทก ๆ n ∈ N ดงนน

ถา limx→∞

f(x) = L, ∞ หรอ −∞ แลว limx→∞

f(x) = limn→∞

an

ตวอยาง 1.1.14 จงพจารณาวาลำดบตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

1.{2n

n

}

2.{ℓnnn

}

3.{nsin

(1

n

)}

4.{n

1n

}

Page 10: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6 บทท 1. ลำดบและอนกรม

บทนยาม 1.1.15 ให {nk} เปนลำดบของจำนวนจรง ซงn1 < n2 < n3 < · · ·

สำหรบลำดบ {an} ใด ๆ ถาให bk = ankจะไดวา {bk} เปนลำดบทมพจนท k เปนพจนท nk ของ

ลำดบ {an} จะเรยกวาลำดบ {bk} วา ลำดบยอย (subsequence) ของ {an}

ตวอยาง 1.1.16 จงยกตวอยางของลำดบยอยของ {n} มาอยางนอย 3 ลำดบ

ทฤษฎบท 1.1.17 ถาลำดบ {an} มลมตเปนจำนวนจรง L แลวจะไดวา ทกลำดบยอยของ {an}

มลมตเปน L

หมายเหต

1. ถาลำดบ {an} มลำดบยอยทลออก แลว {an} เปนลำดบลออก

2. ถาลำดบ {an} มสองลำดบยอยทลมตตางกน แลว {an} เปนลำดบลออก

ตวอยาง 1.1.18 จงแสดงวา{(−1)nn

n+ 1

}เปนลำดบลออก

Page 11: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.1. ลำดบของจำนวนจรง 7

บทนยาม 1.1.19 จะกลาววาลำดบของจำนวนจรง {an} ม ขอบเขต (bounded)กตอเมอ มจำนวนจรงบวก M ซง |an| ≤ M ทก n ∈ N

ทฤษฎบท 1.1.20 ถา {an} เปนลำดบลเขา แลว {an} เปนลำดบมขอบเขต

ตวอยาง 1.1.21 จงยกตวอยางลำดบทมขอบเขตแตไมเปนลำดบลเขา

บทนยาม 1.1.22 ให {an} เปนลำดบจำนวนจรง จะกลาววา {an} เปน

1. ลำดบเพม (increasing sequence) กตอเมอ an < an+1 ทก ๆ n ∈ N

2. ลำดบลด (decreasing sequence) กตอเมอ an > an+1 ทก ๆ n ∈ N

3. ลำดบไมเพม (nonincreasing sequence) กตอเมอ an ≥ an+1 ทก ๆ n ∈ N

4. ลำดบไมลด (nondecreasing sequence) กตอเมอ an ≤ an+1 ทก ๆ n ∈ N

และ {an} เปน ลำดบทางเดยว กตอเมอ {an} เปนลำดบไมเพมหรอเปนลำดบไมลด

ตวอยาง 1.1.23 จงแสดงวาลำดบตอไปน เปนลำดบทางเดยว

1.{1

n

}2.{

n2

n+ 1

}

Page 12: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

8 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ทฤษฎบท 1.1.24 ถา {an} เปนลำดบมขอบเขตและลำดบทางเดยว แลว {an} เปนลำดบลเขา

ตวอยาง 1.1.25 จงแสดงวา{2n

n!

}เปนลำดบลเขา

Page 13: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.1. ลำดบของจำนวนจรง 9

แบบฝ กหด 1.11. จงหาลมตตอไปน

1.1 limn→∞

√4n2 + 1 + n

3√n3 + 3

1.2 limn→∞

(2n+ 1)5(1− n)2

n4(2n− 1)3

1.3 limn→∞

(1− 1

n

)n

1.4 limn→∞

(√n2 + 1− n+ 1

)1.5 lim

n→∞

(−1)n

n√n

1.6 limn→∞

5− 3n√n+ 5

1.7 limn→∞

(en + n2

en + n

1.8 limn→∞

n2sin(1

n

)1.9 lim

n→∞

sin(n)− 2n2

n2 + 1

1.10 limn→∞

ℓn(3n2 + 1)

ℓn(n+ 1)

1.11 limn→∞

√n2 +

√n4 + 1

2n+ 3√n3 + 5

1.12 limn→∞

n

cos2n2. จงพจารณาวาลำดบตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

2.1{ℓnnn2

}2.2

{nsin (nπ

2

)n+ 1

}

2.3{(3n+ 1)2√

n4 + 4

}2.4

{√9n + n

2n + 3n

}

2.5{

n

ℓn(en + 1)

}2.6

{3n + 2

2n + 1

}2.7

{en(2n4 + n3 + 1)

n4(en + 2n)

}2.8

{n+ (−1)n

2n+ 1

}

2.9{

n

n(−1)n + 2

}2.10

{ℓnn

ℓn(n+ 1)

}2.11

{(2n− 1)!

(2n+ 1)!

}2.12

{n!2n

(2n)!

}

3. จงพจารณาวาลำดบ {an} ทนยามตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

3.1 a1 = 1, an+1 = 5an − 3 เมอ n = 1, 2, 3, ...

3.2 a1 = 6, an+1 =ann

เมอ n = 1, 2, 3, ...

3.3 a1 = 2, an+1 =an

1 + anเมอ n = 1, 2, 3, ...

4. จงทดสอบวาลำดบ an =1 · 3 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

n!เปนลำดบลเขาหรอลออก

5. จงหาลมตของลำดบ{√

2,√2√2,

√2√

2√2, ...

}

Page 14: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

10 บทท 1. ลำดบและอนกรม

1.2 อนกรมของจำนวนจรงบทนยาม 1.2.1 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3...

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n∑

k=1

ak

เรยก Sn วา ผลบวกยอย (partial sum) ของ n พจนแรกของ {an}และเรยก {Sn} วา อนกรมอนนต (infinite series) ของจำนวนจรง หรอ อนกรม (series)ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

ทฤษฎบท 1.2.2 ให {an} และ {bn} เปนลำดบของจำนวนจรง เมอ m ∈ N และ c เปนคาคงท จะไดวา

1.n∑

k=1

c = cn

2.n∑

k=1

cak = c

n∑k=1

ak

3.n∑

k=1

(ak ± bk) =n∑

k=1

ak ±n∑

k=1

bk

4.n∑

k=1

ak =m∑k=1

ak +n∑

k=m+1

ak เมอ 1 < m < n

ตวอยาง 1.2.3 ถา5∑

k=1

(k2 + ck − c) = 265 จงหาคา c

Page 15: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.2. อนกรมของจำนวนจรง 11

ทฤษฎบท 1.2.4 Telescoping Seriesให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง จะไดวา

n∑k=1

(ak − ak+1) = a1 − an

ตวอยาง 1.2.5 จงหาผลบวกตอไปน

1.100∑n=1

1

k(k + 1)

2.80∑n=1

1√n+

√n+ 1

3.100∑n=1

sink

ทฤษฎบท 1.2.6 สตรของเกาส (Gauss' Formula)n∑

k=1

k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

Page 16: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

12 บทท 1. ลำดบและอนกรมทฤษฎบท 1.2.7 จะไดวา

1.n∑

k=1

k2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

2.n∑

k=1

k3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

[n(n+ 1)

2

]2

ตวอยาง 1.2.8 จงหาผลบวกตอไปน

1.100∑n=1

(3k + 1)

2.100∑n=1

(2k + 1)2

3.100∑n=1

(k − 1)3

Page 17: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.2. อนกรมของจำนวนจรง 13

บทนยาม 1.2.9 ถา {Sn} เปนลำดบลเขา ซง limn→∞

Sn = S เมอ S ∈ R จะกลาววา∞∑n=1

an เปน

อนกรมลเขา และเรยก S วา ผลบวกของอนกรม ซงเขยนแทนดวย∞∑n=1

an = limn→∞

Sn = S

ทฤษฎบท 1.2.10 ให∞∑n=1

an เปนอนกรมของจำนวนจรง และ m ∈ N จะไดวา

1.∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา กตอเมอ∞∑

n=m

an เปนอนกรมลเขา

2.∞∑n=1

an เปนอนกรมออก กตอเมอ∞∑

n=m

an เปนอนกรมลออก

3. ถา∞∑

n=m

an เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1

an −m−1∑n=1

an เปนอนกรมลเขา

ทฤษฎบท 1.2.11 Telescoping Series Testให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง ถา lim

n→∞an มคา หรอ {an} เปนลำดบลเขา จะไดวา

∞∑n=1

(an − an+1) = a1 − limn→∞

an

ตวอยาง 1.2.12 จงพจารณาวาอนกรม∞∑n=1

1

n(n+ 1)เปนอนกรมลเขาหรอลออก

Page 18: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

14 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ตวอยาง 1.2.13 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

1

n(n+ 1)(n+ 2)

2.∞∑n=1

ℓn(

n

n+ 1

)

3.∞∑n=1

1√n+

√n+ 1

4.∞∑n=1

1

(n+ 1)√n+ n

√n+ 1

Page 19: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.2. อนกรมของจำนวนจรง 15

ทฤษฎบท 1.2.14 ให∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา แลวจะไดวา limn→∞

an = 0

การทดสอบอนกรมลออก (Divergent Test)โดยใชกฎแยงสลบทของทฤษฎบทนจะไดวา

ถา limn→∞

an = 0 แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1.2.15 จงแสดงวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลออก

1.∞∑n=1

n2 + 1

n2 − 12.

∞∑n=1

nsin(1

n

)

บทนยาม 1.2.16 อนกรมเรขาคณต (Geometric series) คออนกรมทอยในรป∞∑n=1

arn−1 = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + · · ·

ทฤษฎบท 1.2.17 อนกรมเรขาคณต∞∑n=1

arn−1 เปนอนกรมลเขา เมอ |r| < 1 โดยมผลบวกของ

อนกรมเปน a

1− rและเปนอนกรมลออกเมอ |r| ≥ 1

ตวอยาง 1.2.18 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

(−2)−n 2.∞∑n=1

3n

5n−1

Page 20: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

16 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ทฤษฎบท 1.2.19 ให∞∑n=1

an และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา โดยท α, β ∈ R เปนคาคงตว จะไดวา

∞∑n=1

(αan + βbn) เปนอนกรมลเขา

และ∞∑n=1

(αan + βbn) = α

∞∑n=1

an + β

∞∑n=1

bn

ทฤษฎบท 1.2.20 ให∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก จะไดวา

∞∑n=1

(an + bn) เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1.2.21 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

3n + 2n+1

4n

2.∞∑n=1

(1

2n+

n

n+ 1

)

Page 21: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.2. อนกรมของจำนวนจรง 17

ตวอยาง 1.2.22∞∑n=1

((−2

3

)n

+1

n(n+ 1)

)เปนอนกรมลเขาหรอลออก

ตวอยาง 1.2.23∞∑n=1

(2n + 3n)2

5nเปนอนกรมลเขาหรอลออก

Page 22: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

18 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ตวอยาง 1.2.24∞∑n=1

1

1 + 2 + 3 + · · ·+ nเปนอนกรมลเขาหรอลออก

ตวอยาง 1.2.25 จงยกตวอยางอนกรม∞∑n=1

an และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก ททำให

1.∞∑n=1

(an + bn) เปนอนกรมลออก 2.∞∑n=1

(an + bn) เปนอนกรมลเขา

Page 23: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.2. อนกรมของจำนวนจรง 19

แบบฝ กหด 1.2จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาลเขาจงหาผลบวกของอนกรมนน

1.∞∑n=1

1

(n+ 1)(n+ 3)

2.∞∑n=1

√n4 + n− 1

3n2 + 1

3.∞∑n=2

1

n2 − 1

4.∞∑n=1

ℓn(1 +

1

n

)

5.∞∑n=1

(4

3n+

(−3

5

)n)

6.∞∑n=1

32n

3n + 5n

7.∞∑n=1

32n − 4n

10n

8.∞∑n=1

5−n + 1

2n

9.∞∑n=1

(1

n2 + 4n+ 3+ 4−n

)

10.∞∑n=1

1

4n2 − 1

11.∞∑n=1

(n

n+ 1

)n

12.∞∑n=1

(n− n2

n+ 1

)

13.∞∑n=1

1√n+ 1 +

√n

14.∞∑n=1

n

n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

15.∞∑n=1

(1√n− 1√

n+ 1

)

16.∞∑n=1

n√n2 + 1

17.∞∑n=2

1

n3 − n

18.∞∑n=1

cosn

19.∞∑n=1

1

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

20.∞∑n=1

1

2 + 4 + 6 + · · ·+ (2n)

Page 24: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

20 บทท 1. ลำดบและอนกรม

1.3 การทดสอบแบบอนทกรลทฤษฎบท 1.3.1 การทดสอบแบบอนทกรล (Integral Test)ให

∞∑n=1

an เปนอนกรมจำนวนจรงซง an ≥ 0 และ เปนฟงกชนคาจรง ซงมสมบตดงน

1. f(n) = an ทก n ∈ N

2. ม n0 ∈ N ซง f เปนฟงกชนไมเพม และมความตอเนองบนชวง [n0,∞)

3. tn =

∫ n

n0

f(x) dx, n ≥ n0

จะไดวา∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา ถา {tn} เปนลำดบลเขา

และ∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก ถา {tn} เปนลำดบลออก

ตวอยาง 1.3.2 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

1

n2 + 12.

∞∑n=1

n

n2 + 1

Page 25: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.3. การทดสอบแบบอนทกรล 21

ตวอยาง 1.3.3 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

ℓnnn

2.∞∑n=1

(1√ne

√n+

(2

π

)n)

Page 26: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

22 บทท 1. ลำดบและอนกรม

บทนยาม 1.3.4 อนกรมพ (p-Series) คออนกรมทเขยนในรป∞∑n=1

1

npเมอ p ∈ R เปนคาคงตว

ทฤษฎบท 1.3.5 อนกรมพจะเปนอนกรมลเขา เมอ p > 1 และเปนอนกรมลออก เมอ p ≤ 1

ตวอยาง 1.3.6 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

1

n√n

2.∞∑n=1

n√n3

3.∞∑n=1

(2n

n+

1

n3

)

4.∞∑n=1

(n−2 + (−2)n

)

Page 27: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.3. การทดสอบแบบอนทกรล 23

แบบฝ กหด 1.31. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก โดยใชการทดสอบแบบอนทกรล

1.1∞∑n=1

n2

n4 + 1

1.2∞∑n=1

1√2n− 1

1.3∞∑n=1

ℓn(n+ 2)

n+ 2

1.4∞∑n=1

1

n2 + n

1.5∞∑n=1

arctan(n)n2 + 1

1.6∞∑n=1

n3

n4 + 4

1.7∞∑n=1

sin( 1n)

n2

1.8∞∑n=1

2n+ 1

n(n+ 1)

1.9∞∑n=1

n√2n2 + 1

1.10∞∑n=1

n2e−n3

1.11∞∑n=2

1

nℓnn

1.12∞∑n=1

2−ℓnn

n(2−ℓnn + 1)

1.13∞∑n=1

(e−n +

1

n 3√n

)

1.14∞∑n=2

√n

3√n

2. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

2.1∞∑n=2

n2

√n5

2.2∞∑n=2

√n

3√n

2.3∞∑n=1

(e−n +

1

n 3√n

)

2.4∞∑n=2

(ℓnnn

+1

n4

)

2.5∞∑n=1

(√3−n +

√n√n5

)

2.6∞∑n=2

(ℓnnn

+1

n4

)

Page 28: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

24 บทท 1. ลำดบและอนกรม

1.4 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบทฤษฎบท 1.4.1 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ (The Comparision Test)ให {an} และ {bn} เปนลำดบของจำนวนจรง สมมตวาม n0 ∈ N ททำให

0 ≤ an ≤ bn สำหรบ n ≥ n0

จะไดวา

1. ถา∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา

2. ถา∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก แลว∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1.4.2 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

1

n2 + 1

2.∞∑n=1

1

n2n

3.∞∑n=1

ℓnn√n

4.∞∑n=1

(sinnn

)2

Page 29: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.4. การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ 25

ทฤษฎบท 1.4.3 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบดวยลมต (The Limit Comparision Test)ให {an} และ {bn} เปนลำดบของจำนวนจรง ถา an ≥ 0 และ bn ≥ 0 ทก ๆ n ∈ N และ

limn→∞

anbn

= L

เมอ L เปนจำนวนจรง หรอ ∞ จะไดวา

1. ถา L > 0 แลว∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา กตอเมอ∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา

2. ถา L = 0 และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา

3. ถา L = ∞ และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1.4.4 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

n

n2 + 1

2.∞∑n=1

n+ 3

n3 + 3n2 + 1

3.∞∑n=1

√n2 + 1

3n2 + n+ 1

4.∞∑n=1

√n

2n

Page 30: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

26 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ตวอยาง 1.4.5 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

2n

5n − 3n

2.∞∑n=1

n+ 1

n2n − 1

3.∞∑n=1

1

ℓn(n+ 1)

4.∞∑n=1

3−n2

Page 31: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.4. การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ 27

แบบฝ กหด 1.41. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.1∞∑n=1

n2 + 1

(3n− 1)4

1.2∞∑n=1

(1 + cosn

n

)4

1.3∞∑n=1

( cosnn+ 1

)2

1.4∞∑n=1

n+ ℓnnn(n+ 1)3

1.5∞∑n=1

1√nℓn(n+ 1)

1.6∞∑n=1

3n

n3n + 5

1.7∞∑n=1

3√n2 + 1√n3 + 1

1.8∞∑n=1

ℓnnn√n

1.9∞∑n=1

√n+ (−1)n

n

1.10∞∑n=1

ℓnnenℓn(n+ 2)

1.11∞∑n=1

n

n3n − 2

1.12∞∑n=1

(n+ 2)−2ℓnn

1.13∞∑n=1

1

(n+ 1)5

1.14∞∑n=1

1√n3 + 1

1.15∞∑n=1

ℓnn2n

1.16∞∑n=1

4−n3

2. จงหาเงอนไขของจำนวนจรง p ซงทำใหอนกรม∞∑n=1

1

(n+ 1)p

เปนอนกรมลเขาและเปนอนกรมลออก

3. ถา {an} เปนลำดบมขอบเขต และ an ≥ 0 ทก ๆ n ∈ N จงพสจนวา∞∑n=1

an(n+ 1)p

เปนอนกรมลเขา ทก ๆ p > 1

Page 32: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

28 บทท 1. ลำดบและอนกรม

1.5 การลเขาแบบสมบรณบทนยาม 1.5.1 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ an > 0 ทก n ∈ N อนกรมในรป

∞∑n=1

(−1)nan หรอ∞∑n=1

(−1)n+1an

เรยกวา อนกรมสลบ (alternating series)

ทฤษฎบท 1.5.2 อนกรมสลบ∞∑n=1

(−1)nan เปนอนกรมลเขา ถาสอดคลอง 2 เงอนไขตอไปน

1. limn→∞

an = 0

2. ม n0 ∈ N ซง an+1 < an ทก n ≥ n0

ตวอยาง 1.5.3 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

(−1)n

n

2.∞∑n=1

(−1)nn

n+ 1

Page 33: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.5. การล เขาแบบสมบรณ 29

ตวอยาง 1.5.4 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

(−1)n

ℓn(n+ 1)

2.∞∑n=1

(−1)n

3n + ℓnn

Page 34: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

30 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ทฤษฎบท 1.5.5 ถา∞∑n=1

|an| เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา

ตวอยาง 1.5.6 จงตวอยางคานบทกลบของทฤษฎบท 1.5.5

ตวอยาง 1.5.7 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

cos(n2)

2n

2.∞∑n=1

(−1)n

n3

Page 35: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.5. การล เขาแบบสมบรณ 31

บทนยาม 1.5.8 ให∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา แลวเรยกอนกรมน วาเปนอนกรม

1. ลเขาแบบสมบรณ (absolute convergece) ถา∞∑n=1

|an| เปนอนกรมลเขา

2. ลเขาแบบมเงอนไข (conditional convergence) ถา∞∑n=1

|an| เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1.5.9 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาแบบสมบรณหรอลเขาแบบมเงอนไข

1.∞∑n=1

(−1)nn

n3 + 5

2.∞∑n=1

(−1)n

ℓn(n+ 1)

Page 36: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

32 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ตวอยาง 1.5.10 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาแบบสมบรณหรอลเขาแบบมเงอนไข

1.∞∑n=1

(−1)2

n2 + 1

2.∞∑n=1

arctannn2 + 1

Page 37: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.5. การล เขาแบบสมบรณ 33

แบบฝ กหด 1.51. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาแบบสมบรณหรอลเขาแบบมเงอนไข

1.1∞∑n=1

(−1)n

n!

1.2∞∑n=1

(−1)n√n

1.3∞∑n=1

n

ℓn(n+ 2)

1.4∞∑n=1

(−1)n

2ℓnn

1.5∞∑n=1

(−1)nn2

n4 − n+ 1

1.6∞∑n=1

(−1)n√n2 + 1

1.7∞∑n=1

(−1)n22n

4n + 3n

1.8∞∑n=1

arctann4n3 − 1

1.9∞∑n=1

(−1)nsin(πn

)1.10

∞∑n=1

(−1)narctann

1.11∞∑n=1

sin (n+ 12

1 +√n

1.12∞∑n=1

ncosnπ2n

1.13∞∑n=1

(−1)n

ℓn(en + 1)

1.14∞∑n=1

(−1)nℓnnℓn(n+ 2)

1.15∞∑n=1

(−1)n(√

n+ 1−√n)

1.16∞∑n=1

(−1)ne1n

2. จงหาคา p ททำใหอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขา

2.1∞∑n=1

(−1)n−1

np

2.2∞∑n=1

(−1)n

pn

2.3∞∑n=1

(−1)n

n+ p

2.4∞∑n=2

(−1)n−1 (ℓnn)pn

Page 38: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

34 บทท 1. ลำดบและอนกรม

1.6 การทดสอบโดยใชอตราส วนทฤษฎบท 1.6.1 การทดสอบโดยใชอตราส วน (The Ratio Test)ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง โดยท an = 0 ทก ๆ n ∈ N และ

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L

เมอ L เปนจำนวนจรง หรอ ∞ จะไดวา

1. ถา L < 1 แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา

2. ถา L > 1 และ L = ∞ แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก

3. ถา L = 1 สรปไมได

ตวอยาง 1.6.2 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

2n

n!

2.∞∑n=1

(−1)nn3

2n

Page 39: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.6. การทดสอบโดยใชอตราสวน 35

ตวอยาง 1.6.3 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

en

3ℓnn

2.∞∑n=1

nn

n!

Page 40: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

36 บทท 1. ลำดบและอนกรม

ทฤษฎบท 1.6.4 การทดสอบโดยใชการถอดกรณฑ (The Root Test)ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ

limn→∞

n√|an| = L

เมอ L เปนจำนวนจรง หรอ ∞ จะไดวา

1. ถา L < 1 แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา

2. ถา L > 1 และ L = ∞ แลว∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก

3. ถา L = 1 สรปไมได

ตวอยาง 1.6.5 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

(2

3

)n2

2.∞∑n=1

(2n+ 3

3n+ 2

)n

Page 41: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.6. การทดสอบโดยใชอตราสวน 37

ตวอยาง 1.6.6 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

(en+1 + 2n

3en + 5

)n

2.∞∑n=1

(n

ℓn(2n + 1)

)n

Page 42: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

38 บทท 1. ลำดบและอนกรม

แบบฝ กหด 1.61. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.1∞∑n=1

ℓn(n+ 1)

en

1.2∞∑n=1

(−1)n

n!

1.3∞∑n=1

(1− 1

n

)n2

1.4∞∑n=1

2n

4n + n+ 1

1.5∞∑n=1

cosnnn

1.6∞∑n=1

1

n5n

1.7∞∑n=1

(2n)!

(n!)2

1.8∞∑n=1

(n

ℓn(n+ 1)

)n

1.9∞∑n=1

nℓn(n+ 1)

3n

1.10∞∑n=1

2n

ℓn(n+ 1)

1.11∞∑n=1

(n

n+ 1

)n3

1.12∞∑n=1

(−3)n

(2n+ 1)!

1.13∞∑n=1

n

(2

3

)n

1.14∞∑n=1

(−2)n

nn

1.15∞∑n=1

(− 2n

n+ 1

)−5n

1.16∞∑n=1

n100100n

n!

2. จงหาจำนวนจรง x ททำใหอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขา

2.1∞∑n=1

(−1)n

xn2.2

∞∑n=1

xn

n!

Page 43: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

1.6. การทดสอบโดยใชอตราสวน 39

แบบฝ กหดระคนจงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

n2 + 1

(2n+ 3)2

2.∞∑n=1

sec4n3√n

3.∞∑n=1

( √n

n2 + 1+ n−n

)

4.∞∑n=1

n33−n

5.∞∑n=1

(n

n+ 1

)n

6.∞∑n=1

n2 + 1√n7 + 3

7.∞∑n=1

(√n2 + n+ 1− n

)

8.∞∑n=1

(−1)n

3n− 1

9.∞∑n=1

nn

3nn!

10.∞∑n=1

1

(n+ 3)ℓn(n+ 3)

11.∞∑n=1

n4−n2

12.∞∑n=1

2n

5n − n

13.∞∑n=1

(1

n

2

2n+ 1

)

14.∞∑n=1

(n+ 2)−ℓn(en+n)

15.∞∑n=1

1

nℓn(n+ 4)

16.∞∑n=1

(π − 2arctann)

17.∞∑n=1

√n

ℓn(n+ 1)

18.∞∑n=1

2−n2

nn

19.∞∑n=1

ℓnnn 4√n

20.∞∑n=1

1

ℓn(3n + 1)

21.∞∑n=1

(3 + cosn)−n

22.∞∑n=1

(n!)3

(3n)!

23.∞∑n=1

ℓn(n+ 10

n+ 5

)

24.∞∑n=1

(√n4 + 1− n2

)

25.∞∑n=1

(−1)n

n√n2 + 1

26.∞∑n=1

ℓn(n+ 1)

n!

27.∞∑n=1

1

n(2 + ℓnn)2

28.∞∑n=1

9−ℓnn

29.∞∑n=1

ℓnn3n − n

30.∞∑n=1

2n√n2n + 1

Page 44: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

40 บทท 1. ลำดบและอนกรม

31.∞∑n=1

(1

n+

3n

4n − 1

)

32.∞∑n=1

n

(5

4

)−n

33.∞∑n=1

(n√n+ 1 + 1

)−2n

34.∞∑n=1

(−1)n

1 + ℓnn

35.∞∑n=1

(n!

3n+

cos2n4n

)

36.∞∑n=1

(n+ 1)9

n3(n+ 2)10

37.∞∑n=1

sin(1

n

)

38.∞∑n=1

n!

(5)(7)(9) · · · (2n+ 3)

39.∞∑n=1

(2)(4)(6) · · · (2n)n!

40.∞∑n=1

(−1)n(1)(3)(5) · · · (2n− 1)

(2n− 1)!

41.∞∑n=1

1

1 + 12+ 1

3+ · · ·+ 1

n

42.∞∑n=1

(1√n− 1√

n+ 1

)

43.∞∑n=1

1

n+ ℓnn

44.∞∑n=1

sinn3n

45.∞∑n=1

nsin(

1

n3

)

46.∞∑n=1

3−ℓn(en+1)

47.∞∑n=1

cos(n!)n!

48.∞∑n=1

1 + n− 3n2

√n6 + 2

49.∞∑n=1

(−1)nℓn(n+ 2)

n

50.∞∑n=1

(sin2nn

+1√n

)

51.∞∑n=1

n

sinn

52.∞∑n=1

[(√n2 + 1− n

)cosn

]n

53.∞∑n=1

cos(nπ3)

n!

54.∞∑n=1

(n2 + 1

2n2 + 1

)n

55.∞∑n=1

3− cosnn

23 − 2

56.∞∑n=1

(1 +

1

n

)n2

57.∞∑n=1

1

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1)

58.∞∑n=1

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3

59.∞∑n=1

(3√n3 + n2 + 1− n

)

60.∞∑n=1

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2

n!

Page 45: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บทท 2อนกรมกำลง

อนกรมกำลง (power series) รอบจด a เมอ a ∈ R คออนกรมอนนตในรป∞∑n=0

cn(x− a)n

เรยก a วา จดศนยกลางของอนกรมกำลง (center of power series)และเรยก cn ∈ R วา สมประสทธของอนกรมกำลง (coefficients of power series)หมายเหต อนกรมกำลงเปนอนกรมลเขาเมอ x = a เสมอ

2.1 รศมและช วงแหงการลเขาตวอยาง 2.1.1 จงหา x ททำให

∞∑n=1

(x− 3)n

nเปนอนกรมลเขา

41

Page 46: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

42 บทท 2. อนกรมกำลงทฤษฎบท 2.1.2 สำหรบอนกรมกำลง

∞∑n=0

cn(x− a)n

จะเปนไปตามกรณใดกรณหนงใน 3 กรณน เทานน1. อนกรมลเขาเฉพาะเพยงจดเดยวทจดศนยกลาง x0

2. มจำนวนจรงบวก R ททำใหอนกรมลเขาทกคา x ซง |x− x0| < R และ อนกรมลออกทกคา x ซง |x− x0| > R

3. อนกรมลเขาทกคา x ∈ R

บทนยาม 2.1.3 จำนวน R ในทฤษฎบท 2.1.2 ขอ 2 เรยกวา รศมแหงการลเขา (radius ofconvergence) ของอนกรมกำลง ในขอ 1 ให R = 0 และในขอ 3 ให R = ∞

บทนยาม 2.1.4 เรยกเซต {x :

∞∑n=0

cn(x− a)n เปนอนกรมลเขา}

วา ชวงแหงการลเขา (interval of convergent) ของอนกรม∞∑n=0

cn(x− a)n

จะไดวาอนกรมกำลงทมรศมแหงการลเขา R มช วงแหงการลเขาแบบใดแบบหนงเทานน(a−R, a+R), (a−R, a+R], [a−R, a+R), [a−R, a+R] และ (−∞,∞)

ตวอยาง 2.1.5 จงหารศมและชวงแหงการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=0

(x+ 1)n

n!2.

∞∑n=1

nnxn

Page 47: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.1. รศมและชวงแหงการล เขา 43

ตวอยาง 2.1.6 จงหารศมและชวงแหงการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=0

(x− 2)2n

9n

2.∞∑n=1

xn

n

Page 48: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

44 บทท 2. อนกรมกำลง

ทฤษฎบท 2.1.7 ให∞∑n=1

cn(x−a)n เปนอนกรมกำลง สมมตวาม n0 ∈ R ซง cn = 0 ทก ๆ n ≥ n0

จะไดวารศมแหงการลเขาคอ

limn→∞

∣∣∣∣ cncn+1

∣∣∣∣ หรอ limn→∞

1n√

|cn|

ตวอยาง 2.1.8 จงหารศมและชวงแหงการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=1

(3x− 1)n

n

2.∞∑n=1

xn

nn

Page 49: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.1. รศมและชวงแหงการล เขา 45

แบบฝ กหด 2.11. จงหารศมและชวงแหงการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน

1.1∞∑n=1

(−1)nnxn

1.2∞∑n=0

(−1)nn2xn

2n

1.3∞∑n=1

(−1)nxn

ℓn(n+ 1)

1.4∞∑n=1

2n(x+ 1)n

n!

1.5∞∑n=1

n(x− 1)n

3n

1.6∞∑n=1

(n(x− 3)

cosn)n

1.7∞∑n=0

(n+ 1)(x− 2)n

n4 + 1

1.8∞∑n=1

nxn

n2 + 1

1.9∞∑n=1

(x− e)n

nen

1.10∞∑n=0

2n2

xn

1.11∞∑n=0

(2x− 1)n

5n

1.12∞∑n=1

(3x+ 1)n

n4n

1.13∞∑n=1

(x− 1)2n+1

n24n

1.14∞∑n=1

x3n

n · 27n

1.15∞∑n=1

(−1)nxn

√n+ 1

1.16∞∑n=1

n(x+ 2)n

3n+1

1.17∞∑n=1

(−3)nxn

n√n

1.18∞∑n=1

(−1)n(x+ 1)n

4nℓ lnn

1.19∞∑n=1

(5x− 3)n

n3

1.20∞∑n=1

(−1)n(x+ 1)2n+1

(2n+ 1)!

2. จงหาโดเมนของ ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) อนดบ 0 และ 1 ทกำหนดโดย

2.1 J0(x) =∞∑n=0

(−1)nx2n

22n(n!)22.2 J1(x) =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

n!(n+ 1)!22n+1

Page 50: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

46 บทท 2. อนกรมกำลง

2.2 ฟงกชนในรปอนกรมกำลงบทนยาม 2.2.1 ใหอนกรมกำลง

∞∑n=0

cn(x − a)n ลเขาบนชวง I ถาอนกรมน มผลบวกเปน f(x)

ทก ๆ x ∈ I นนคอ

f(x) =∞∑n=0

cn(x− a)n ทก ๆ x ∈ I

เรยก f วา ฟงกชนผลบวก (sum function) ของอนกรม∞∑n=0

cn(x− a)n บน I

ตอไปเราจะใชอนกรมเรขาคณต (เปนอนกรมกำลงรอบจด 0)1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · · =

∞∑n=0

xn เมอ |x| < 1

เปนเครองมอสำคญในการหาฟงกชนผลบวกดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 2.2.2 จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=0

x2n

2.∞∑n=0

xn+2

3.∞∑n=0

(−x)n

4.∞∑n=0

(2x− 1)n

Page 51: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.2. ฟงก ชนในรปอนกรมกำลง 47

ตวอยาง 2.2.3 จงหาอนกรมกำลงทมฟงกชนผลบวกตอไปน

1. 1

1 + 2x

2. 1

1 + x2

3. 1

x

4. 1

x2 + 4

5. x

x2 − 1

6. 1

x2 + 2x+ 2

Page 52: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

48 บทท 2. อนกรมกำลงบทนยาม 2.2.4 กำหนดให

f(x) =∞∑n=0

cn(x− a)n บนชวง (a−R, a+R)

เมอ R เปนรศมแหงการลเขาของอนกรมน จะไดวา f มอนพนธทกคา x ∈ (a−R, a+R) และ

f ′(x) =∞∑n=1

ncn(x− a)n−1 ทกคา x ∈ (a−R, a+R)

เมอ C เปนคาคงตว จะไดวา ∫f(x) dx = C +

∞∑n=0

cn(x− a)n+1

n+ 1

ตวอยาง 2.2.5 จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=0

nxn

2.∞∑n=0

n2xn+2

3.∞∑n=0

n3n(−x)n+1

4.∞∑n=0

(2x+ 1)n

n+ 1

Page 53: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.2. ฟงก ชนในรปอนกรมกำลง 49

ตวอยาง 2.2.6 จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x) =1

(1− x)2

ตวอยาง 2.2.7 จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x) =1 + x

(1− x)3

ตวอยาง 2.2.8 จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x) =x2

(1− 4x2)2

Page 54: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

50 บทท 2. อนกรมกำลงตวอยาง 2.2.9 ให f(x) = ℓn(x+ 1)

1. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x)

2. จงแสดงวา ℓn2 = 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · · =

∞∑n=1

(−1)n−1

n

Page 55: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.2. ฟงก ชนในรปอนกรมกำลง 51

ตวอยาง 2.2.10 ให f(x) = arctanx

1. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x)

2. จงแสดงวา π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · · =

∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1

Page 56: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

52 บทท 2. อนกรมกำลง

แบบฝ กหด 2.21. จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลงตอไปน

1.1∞∑n=1

(−3)n−1nxn

1.2∞∑n=0

n(n+ 1)xn

2

1.3∞∑n=1

nx2n−1

1.4∞∑n=0

n(−x)n−1

1.5∞∑n=1

n(2x)n

1.6∞∑n=0

nx3n

1.7∞∑n=1

4n−1xn+1

1.8∞∑n=0

2nxn

n+ 1

1.9∞∑n=1

n(−3x)n+1

1.10∞∑n=0

(2x+ 1)n

2n

2. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกพรอมทงช วงแหงการลเขา

2.1 f(x) =2

3− 2x

2.2 f(x) =3

1− x4

2.3 f(x) =1

x+ 10

2.4 f(x) =x

9 + x2

2.5 f(x) =1 + x

1 + x

2.6 f(x) =x

2x2 + 1

2.7 f(x) =1

x2 − x− 2

2.8 f(x) =1

x2 + 2x+ 2

2.9 f(x) = − x3

(1 + x)2

2.10 f(x) =1

(1− x)4

2.11 f(x) =x

(1− x2)2

2.12 f(x) =x2

(1− 5x)2

3. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกพรอมทงช วงแหงการลเขา3.1 f(x) = ℓn(5− x)

3.2 f(x) = xℓn(x+ 1)

3.3 f(x) = x2arctan(x3)

3.4 f(x) =x3

(x− 2)2

3.5 f(x) =

(x

2− x

)3

3.6 f(x) =x2 + x

(1− x)3

3.7 f(x) = ℓn(1 + x

1− x

)

Page 57: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.3. ทฤษฎบทของเทย เลอร 53

2.3 ทฤษฎบทของเทย เลอรบทนยาม 2.3.1 ให f เปนฟงกชนซงมอนพนธทจด a ถงอนดบท n จะกลาววา Tn(x)

เปน พหนามเทย เลอร (Taylor polynomial) ดกร n ของ f ทจด x = a กตอเมอ

Tn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n

ในกรณท a = 0 จะเรยกวา พหนามแมคลอรน (Maclaurin polynomial) นนคอ

Tn(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn

ตวอยาง 2.3.2 จงหาพหนามแมคลอรนดกร 5 ของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = ex 2. f(x) = sinx

ตวอยาง 2.3.3 จงหาพหนามเทย เลอรดกร 4 รอบจด x = 1 ของ f(x) = ℓnx

Page 58: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

54 บทท 2. อนกรมกำลงทฤษฎบท 2.3.4 ทฤษฎบทของเทย เลอร (Taylor's Theorem)ให f เปนฟงกชนซงมอนพนธถงอนดบท n+ 1 บนชวงเป ด I สำหรบ x, a ∈ I

จะไดวาม c อยระหวาง a กบ x ททำใหf(x) = Tn(x) +Rn(x)

เมอ Rn(x) =f (n+1)(c)

n!(x− a)n+1 เรยกวา เศษเหลอ (remainder)

หมายเหต ความผดพลาด Rn(x) โดยท

|Rn(x)| < 0. 000...0︸ ︷︷ ︸r+1

5

จะบอกคาประมาณความถกตองอยางนอยทศนยม r + 1 ตำแหนงตวอยาง 2.3.5 ให f(x) = 3

√2x− 1 จงหาประมาณคาของ 3

√2 โดยใชพหนามเทย เลอรดกร 3

ของ f รอบจด x = 1 พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด

Page 59: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.3. ทฤษฎบทของเทย เลอร 55

ตวอยาง 2.3.6 ให f(x) = ℓn(x + 1) จงหาประมาณคาของ ℓn(1.5) โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 7 ของ f พรอมทงบอกคาประมาณน วาถกตองอยางนอยทศนยมกตำแหนง

Page 60: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

56 บทท 2. อนกรมกำลง

ตวอยาง 2.3.7 ให f(x) = xsinx จงหาประมาณคาของ∫ 1

0

xsinx dx โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 5 ของ f พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด

Page 61: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.3. ทฤษฎบทของเทย เลอร 57

แบบฝ กหด 2.31. จงหาพหนามเทย เลอร Tn(x) ของฟงกชนตอไปน รอบจด a

1.1 f(x) = sinx ; a = 0 ; n = 9

1.2 f(x) = cosx ; a = 0 ; n = 8

1.3 f(x) = ℓn(x+ 1) ; a = 0 ; n = 6

1.4 f(x) =√x+ 1 ; a = 3 ; n = 5

1.5 f(x) = ex2 ; a = 0 ; n = 6

1.6 f(x) = x2ℓnx ; a = 1 ; n = 4

1.7 f(x) = 4x3 + 5x2 − 3x+ 1 ; a = 1 ; n = 3

1.8 f(x) = ℓn(cosx) ; a = π4; n = 3

1.9 f(x) = xcosx ; a = 0 ; n = 7

1.10 f(x) = x2sinx ; a = 0 ; n = 7

2. จงหาคาประมาณของคาตอไปน โดยใชพหนามเทย เลอรททำใหคำตอบถกตองอยางนอยทศนยมตำแนงท 32.1 sin12◦2.2 cos12◦2.3 ℓn(1.02)

2.4 √4.2

2.5 e0.5

2.6 3√7.9

3. ให f(x) =√x+ 1 จงหาประมาณคาของ √

1.2 โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 5 ของ f

พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด4. ให f(x) = ex จงหาประมาณคาของ

∫ 0.6

0

e−x2

dx โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 4 ของ f

พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด

Page 62: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

58 บทท 2. อนกรมกำลง

2.4 อนกรมเทย เลอรสมมตวา f เปนฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลง

∞∑n=0

cn(x− a)n โดยท |x− a| < R จะไดวา

f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + c4(x− a)4 + · · · (2.1)f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + 4c4(x− a)3 + · · · (2.2)f ′′(x) = 2c2 + 2 · 3c3(x− a) + 3 · 4c4(x− a)2 + · · · (2.3)f ′′′(x) = 2 · 3c3 + 2 · 3 · 4c4(x− a)2 + · · · (2.4)

เมอแทน x = a ในสมการ (2.1)-(2.4) จะได

c0 = f(a), c1 = f ′(a), c2 =f ′′(a)

2!และ c3 =

f ′′(a)

3!

โดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร cn =f (n)(a)

n!เมอ n = 0, 1, 2, 3, ...

บทนยาม 2.4.1 ให f เปนฟงกชนซงมอนพนธทกอนดบ และ f มคาทจด a อนกรมกำลงทเขยนในรป

f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·

หรอ∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n

เรยกวา อนกรมเทย เลอร (Taylor series) ของ f รอบจด a

ในกรณท a = 0 จะเรยกวา อนกรมแมคลอรน (Maclaurin series) นนคอ

f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · · หรอ

∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn

ตวอยาง 2.4.2 จงหาอนกรมเทย เลอรของ f(x) =1

xรอบจด 1

Page 63: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.4. อนกรมเทย เลอร 59

ทฤษฎบท 2.4.3 ให Tn(x) เปนพหนามเทย เลอรดกร n ของ f รอบจด a

f(x) = Tn(x) +Rn(x)

สำหรบ |x− a| < R เมอ R คอรศมแหงการลเขาของอนกรม∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n จะไดวา

f(x) =∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n กตอเมอ lim

n→∞|Rn(x)| = 0

ตวอยาง 2.4.4 จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชน

1. f(x) = ex

2. f(x) = sinx

Page 64: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

60 บทท 2. อนกรมกำลง

ตวอยาง 2.4.5 จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชน

1. f(x) = ℓn(x+ 1)

2. f(x) = arctanx

Page 65: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.4. อนกรมเทย เลอร 61

ตวอยาง 2.4.6 จงหาอนกรมเทย เลอรของฟงกชน f(x) =√x+ 1 รอบจด 3

ตวอยาง 2.4.7 จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชน f(x) = (x+ 1)k เมอ k เปนจำนวนจรง

Page 66: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

62 บทท 2. อนกรมกำลง

ตารางอนกรมเทย เลอร1

1− x=

∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · · R = 1

ex =∞∑n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+ · · · R = ∞

sinx =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · R = ∞

cosx =∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x3

3!− x4

4!+ · · · R = ∞

arctanx =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1= x− x3

3+

x5

5− x7

7+ · · · R = 1

ℓn(x+ 1) =∞∑n=1

(−1)n−1xn

n= x− x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · R = 1

(1 + x)k =∞∑n=0

(k

n

)xn = 1 + kx+

k(k − 1)

2!x2 + · · · R = 1

ตวอยาง 2.4.8 จงหาอนกรมเทย เลอรของฟงกชน f(x) = xℓnx รอบจด 1

Page 67: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

2.4. อนกรมเทย เลอร 63

ตวอยาง 2.4.9 จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรม∞∑n=0

x2n+1

n!

ตวอยาง 2.4.10 จงใชอนกรมแมคลอรนของ ex หาคาลมตของ limx→0

ex − 1− x

x2

Page 68: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

64 บทท 2. อนกรมกำลง

แบบฝ กหด 2.41. จงหาอนกรมเทย เลอรของฟงกชนตอไปน รอบจด a

1.1 f(x) = ℓn(1− x) ; a = 0

1.2 f(x) = cosx ; a = π

1.3 f(x) =√x ; a = 1

1.4 f(x) = 3√x ; a = 1

1.5 f(x) = 3√x+ 2 ; a = −1

1.6 f(x) =1

3− x; a = 2

1.7 f(x) =1

1 + x2; a = 0

2. จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชนตอไปน โดยใชตารางอนกรมเทย เลอร

2.1 f(x) = sin(x2)

2.2 f(x) = x2cosx2.3 f(x) = xℓn(x− 1)

2.4 f(x) = sin2x

2.5 f(x) = ex + e2x

2.6 f(x) = xcos(12x)

2.7 f(x) = x2ℓn(1 + x3)

2.8 f(x) =x√

4 + x2

3. จงฟงกชนผลบวกของอนกรมตอไปน

3.1∞∑n=0

(−1)nx4n+3

(2n)!3.2

∞∑n=0

(n+ 1)xn

n!

4. จงใชอนกรมแมคลอรนหาคาลมตของ limx→0

x− ℓn(1 + x)

x2

Page 69: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บทท 3ปรภมสามมต

3.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมตการบอกตำแหนงของจดใน ปรภมสามมต (three-dimensional space) ทำไดจากการอางองเสนตรงสามเสนคอ แกน X แกน Y และแกน Z ซงตดการทจด O เรยกวา จดกำเนด (origin)และเรยก

ระนาบทผาน แกน X และแกน Y วา ระนาบ XY (XY-plane)ระนาบทผาน แกน X และแกน Z วา ระนาบ XZ (XZ-plane)ระนาบทผาน แกน Y และแกน Z วา ระนาบ YZ (YZ-plane)

X

Y

Z

ระนาบ XY

X

Y

Z

ระนาบ XZ

X

Y

Z

ระนาบ YZระนาบพกดฉากทงสามจะแบงปรภมสามมตออกเปน 8 สวนเรยกวา อฐภาค (Octance)

X

Y

Z

65

Page 70: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

66 บทท 3. ปรภมสามมต

การเลอกทศทางทเปนบวกของพกดฉาก เรานยมใชกฎมอขวาโดยใหนวหวแมมอไปทางแกนZ บวก น วช ไปทางแกน X บวก และน วกลาง ช ไปทางแกน Y บวก ตงฉากกนเสมอ ตวอยางดงรปตอไปน เราจะเลอกใชแบบใดแบบหนงตามความเหมาะสม

X

Y

Z

Z

X

Y

X

Y

Z

Y

X

Z

การบอกตำแหนงของจด P ในปรภมสามมต มแกนพกดเปนทอางองบอกไดโดยใชจำนวนจรง(x, y, z) เรยกวาพกดฉากของจด P และใช R3 แทนเซตของจด (x, y, z) ในปรภมสามมต

XY

Z

P (x, y, z)

(x, 0, 0)

(x, 0, z)

(0, 0, z)

(x, y, 0)

(0, y, 0)

(0, y, z)

จากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XY ไปยงแกน Z จะไดจด (0, 0, z)

เรยกจดน วา ภาพฉาย (projection) ของ P แกน Zจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ YZ ไปยงแกน X จะไดจด (x, 0, 0)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P แกน Xจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XZ ไปยงแกน Y จะไดจด (0, y, 0)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P แกน Yจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Z ไปทระนาบ XY จะไดจด (x, y, 0)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P บนระนาบ XYจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน X ไปทระนาบ YZ จะไดจด (0, y, z)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P บนระนาบ YZจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Y ไปทระนาบ XZ จะไดจด (x, 0, z)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P บนระนาบ XZ

Page 71: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.1. ระบบพกดฉากในปรภมสามมต 67

ตวอยาง 3.1.1 จงหาภาพฉายทงหมดของจด P (1, 2, 3)

1. ภาพฉายบนระนาบ XY ของจด P คอ2. ภาพฉายบนระนาบ XZ ของจด P คอ3. ภาพฉายบนระนาบ YZ ของจด P คอ4. ภาพฉายบนแกน X ของจด P คอ5. ภาพฉายบนแกน Y ของจด P คอ6. ภาพฉายบนแกน Z ของจด P คอ

ตวอยาง 3.1.2 จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน

1. P (1,−2, 2)

X

Y

Z

2. Q(0, 2, 1)

X

Y

Z

3. R(1, 2, 2)

X

Y

Z

4. S(3, 1, 2)

X

Y

Z

Page 72: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

68 บทท 3. ปรภมสามมต

แบบฝ กหด 3.11. จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน

1.1 A(5, 0, 0)

1.2 B(0, 2, 1)

1.3 C(3, 1, 0)

1.4 D(−3, 0, 2)

1.5 E(1, 1, 3)

1.6 F (−4, 2,−3)

1.7 G(2, 1,−2)

1.8 H(3,−2, 6)

2. จงหาภาพฉายของจด P บนระนาบ XY, XZ และ YZ2.1 P (3, 1, 2)

2.2 P (1, 2,−2)

2.3 P (4,−1, 0)

2.4 P (−8, 9, 7)

3. จงหาภาพฉายของจด P บนแกน X, Y และ Z3.1 A(5, 0, 0)

3.2 B(0, 2, 1)

3.3 C(3, 1, 0)

3.4 D(−3, 0, 2)

Page 73: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 69

3.2 เวกเตอรในปรภมสามมตเวกเตอร (vector) คอปรมาณทมทงขนาดและทศทาง โดยทวไปใชส วนของเสนตรงเชอมโยงกนระหวางจดสองจดและมลกศรกำกบแทนเวกเตอร และความยาวของเสนตรงแทนขนาดของเวกเตอร ใชสญญาลกษณ −→

PQ แทนเวกเตอรทมจดเรมตนทจด P สนสดทจด Q มทศทางจาก P ไป Q และใช ∥−→PQ∥ แทนความยาวหรอขนาด (length/magnitude/norm) ของ −→

PQ และเวกเตอรทงสองจะเทากนกตอเมอทงสองมขนาดเทากนและทศทางเดยวกน

X

Y

Z

P

Q

O

A

บทนยาม 3.2.1 กำหนดให P (x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2)

แลว a เปนเวกเตอรตำแหนง (position vector) ของ −→PQ คอ

a = ⟨x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1⟩

ถา a1 = x2 − x1, a2 = y2 − y1 และ a3 = z2 − z1 ดงนน a = ⟨a1, a2, a3⟩ เรยก a1, a2 และ a3

วาสวนประกอบ (component) ของ a ตามแกน X แกน Y และ แกน Z ตามลำดบ

XY

Z

OA

a1 a2

a3

a

จากรปโดยใชความสมพนธของสามเหลยมมมฉากจะไดวา∥a∥ =

√a21 + a22 + a23

บทนยาม 3.2.2 เวกเตอรทมตวประกอบทกตวเปนศนย เรยกวา เวกเตอรศนย (zero vector)เขยนแทนดวย 0 = ⟨0, 0, 0⟩

ขอตกลง เมอ P เปนจดใน R3 และ O เปนจดกำเนด เราจะเขยนเวกเตอร −→OP แทนดวย P

Page 74: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

70 บทท 3. ปรภมสามมต

มมแสดงทศทางบทนยาม 3.2.3 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ = 0 เปนเวกเตอรททำมม α, β, γ กบแกน X แกน Y และแกน Z ดานบวกตามลำดบโดยท α, β, γ ∈ [0, π] เรยก α, β, γ วามมแสดงทศทาง (directionangles) ของ a และ cosα, cosβ, cosγ วาโคไซนแสดงทศทาง (direction cosines) ของ a

XY

Z

O

a1 a2

a3

a

α

β

γ

จากรปจะไดวา cosα =a1∥a∥

cosβ =a2∥a∥

cosγ =a3∥a∥

ตวอยาง 3.2.4 จงหาเวกเตอรตำแหนงของ −→PQ ขนาดและโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรนน

1. P (1, 2,−3) และ Q(−1, 0− 4) 2. P (4,−1, 2) และ Q(5,−2, 3)

ตวอยาง 3.2.5 จงหามมแสดงทศทางของเวกเตอร a = ⟨−1, 1,√2⟩

บทนยาม 3.2.6 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ k ∈ R

1. a = b กตอเมอ a1 = b1, a2 = b2 และ a3 = b3

2. a+ b = ⟨a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3⟩

3. ka = ⟨ka1, ka2, ka3⟩

4. a− b = a+ (−b)

Page 75: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 71

ตวอยาง 3.2.7 ให a = ⟨1,−2, 5⟩ และ b = ⟨−1,−4, 7⟩ จงหาเวกเตอรตอไปน1. a+ b

2. 2a+ 3b

3. 3a− 2b

ทฤษฎบท 3.2.8 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 และ c, k ∈ R แลว1. a+ b = b+ a

2. (a+ b) + c = a+ (b+ c)

3. a+ 0 = a

4. a+ (−a) = 0

5. (ck)a = c(ka) = k(ca)

6. c(a+ b) = ca+ cb

7. (c+ k)a = ca+ ka

8. 1a = a

9. 0a = 0

Page 76: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

72 บทท 3. ปรภมสามมต

เวกเตอรหนงหนวยบทนยาม 3.2.9 เราเรยกเวกเตอรทมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนงหนวย (unit vector)ให a เปนเวกเตอรทไมใช เวกเตอรศนยใน R3 และจะไดวา

a

∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศเดยวกบ a

− a

∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศตรงขามกบ a

ตวอยาง 3.2.10 จงหาเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรตอไปน

1. ⟨1,−2, 2⟩

2. ⟨1, 1,√2⟩

3. ⟨3sinθ, 4sinθ, 5cosθ⟩

เวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน X แกน Y และ แกน Z คอ i, j และ k ตามลำดบi = ⟨1, 0, 0⟩ j = ⟨0, 1, 0⟩ k = ⟨0, 0, 1⟩

ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ แลวจะไดวา

a = ⟨a1, a2, a3⟩ = a1⟨1, 0, 0⟩+ a2⟨0, 1, 0⟩+ a3⟨0, 0, 1⟩ = a1i+ a2j + a3k

Page 77: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 73

ผลคณเชงสเกลารบทนยาม 3.2.11 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ผลคณเชงสเกลาร (scalar product) ของ a และ b เขยนแทนดวย a · b นยามโดย

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

ตวอยาง 3.2.12 จงหาผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร a และ b

1. a = ⟨3,−1, 5⟩ และ b = ⟨1, 6,−3⟩

2. a = ⟨2, 1,−7⟩ และ b = ⟨4, 6, 2⟩

3. a = ⟨a, 1,−a⟩ และ b = ⟨a, a, a+ 1⟩

4. a = ⟨2sinx, cosx, 1⟩ และ b = ⟨sinx, 2cosx, 1⟩

Page 78: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

74 บทท 3. ปรภมสามมต

ทฤษฎบท 3.2.13 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 และ k ∈ R แลว1. a · b = b · a

2. a · (b+ c) = a · b+ a · c

3. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)

4. a · a = ∥a∥2

ตวอยาง 3.2.14 ให a และ b เปนเวกเตอรใน R3 จงแสดงวา1. a · a = 0 กตอเมอ a = 0

2. ∥a+ b∥2 = ∥a∥2 + 2a · b+ ∥b∥2

Page 79: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 75

มมระหวางเวกเตอรทฤษฎบท 3.2.15 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรใน R3 แลว

a · b = ∥a∥∥b∥cosθ

เมอ θ เปนมมระหวาง a และ b เมอ 0 ≤ θ ≤ π ดงรป

a

b

θ

ขอสงเกต a และ b ตงฉากกน (orthogonal) กตอเมอ a · b = 0 หรอ θ =π

2

ตวอยาง 3.2.16 ให A(1, 2, 0), B(0, 4, 2) และ C(3, 2,−2) เปนจดยอดของสามเหลยม ABC

จงหามม BAC

ตวอยาง 3.2.17 ให a = ⟨3, 2,−1⟩, b = ⟨1,−1, 1⟩ และ c = ⟨3, 4,−2⟩จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตงฉากกน

Page 80: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

76 บทท 3. ปรภมสามมต

ภาพฉายเวกเตอรบทนยาม 3.2.18 ให a = 0, b = 0 และ θ เปนมมระหวาง a และ b ลากเสนตรงจาก A ไปตงฉากกบ −−→

OB ทจด C ดงรป

B

A

θ

O C

a

bB

A

θ

OC

a

b

เรยก −→OC วา ภาพฉายเวกเตอร (vector projection) ของ a บน b

เขยนแทนดวย Projbaเรยก ∥a∥cosθ วา ภาพฉายสเกลาร (scalar projection/component) ของ a บน b

เขยนแทนดวย Compba

ทฤษฎบท 3.2.19 ให a = 0 และ b = 0 แลวจะไดวา

Projba =a · b∥b∥2

b และ Compba =a · b∥b∥

ตวอยาง 3.2.20 จงหาภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ a บน b

1. a = ⟨1, 2, 3⟩ และ b = ⟨1,−2,−2⟩

2. a = ⟨3, 1, 2⟩ และ b = ⟨1,−2, 4⟩

Page 81: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 77

ผลคณเชงเวกเตอรบทนยาม 3.2.21 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ผลคณเชงเวกเตอร (vector product/cross product) ของ a และ b เขยนแทนดวย a× b คอ

a× b = ⟨a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1⟩

หรอ

a× b =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣∣a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣∣− j

∣∣∣∣∣a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣เมอ |M | แทนดเทอรมแนนทของเมตรกซ M

b

a

a× b

ตวอยาง 3.2.22 กำหนดให a = ⟨1, 2,−1⟩, b = ⟨0, 2, 1⟩ และ c = ⟨−3, 1,−1⟩ จงหา1. a× b

2. a× (b+ c)

3. c× (a× b)

Page 82: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

78 บทท 3. ปรภมสามมต

ทฤษฎบท 3.2.23 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 และ k ∈ R แลว1. a× b = −(b× a)

2. a× (b+ c) = (a× b) + (a× c)

3. k(a× b) = (ka)× b = a× (kb)

4. a · (a× b) = 0 = b · (a× b)

ตวอยาง 3.2.24 จงหาเวกเตอรทตงฉากกบ a = ⟨1,−3, 4⟩ และ b = ⟨2, 2, 1⟩

Page 83: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 79

พ นทสเหลยมดานขนานทฤษฎบท 3.2.25 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรใน R3 และ θ เปนมมระหวาง a และ b แลว

∥a× b∥ = ∥a∥∥b∥sinθ

ขอสงเกต a และ b ขนานกน (paralell) กตอเมอ a× b = 0 หรอ θ = 0 หรอ π

ทฤษฎบท 3.2.26 ให a และ b เปนเวกเตอรใน R3 แลวพนทสเหลยมดานขนาน (parallelogram)ทมดานประชดเปน a และ b มคาเทากบ ∥a× b∥

a

b

ตวอยาง 3.2.27 จงหาพนทของสามเหลยมทมจดยอดเปน A(2, 1, 1), B(−1, 3, 1) และ C(0, 2,−3)

ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรบทนยาม 3.2.28 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 แลวผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร(scalar triple products) ของ a, b และ c คอ a · b× c หรอ a · (b× c) นนคอ

a · b× c =

∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣เมอ a = ⟨a1, a2, a3⟩, b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ c = ⟨c1, c2, c3⟩

โดยสมบตของดเทอรมแนนทจะไดวา a · b× c = b · c× a = c · a× b

Page 84: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

80 บทท 3. ปรภมสามมตตวอยาง 3.2.29 กำหนดให a = ⟨1, 2, 1⟩, b = ⟨0, 1, 2⟩ และ c = ⟨−1, 0, 1⟩ จงหา

1. a · b× c

2. c× b · c

3. (a+ b)× (a− b) · c

Page 85: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 81

ทฤษฎบท 3.2.30 ปรมาตรของรปทรงส เหลยมหนาขนาน (parallepiped) ซงมดานประชดเปน a, b และ c เทากบ |a · b× c|

b× c

c

b

a

A

h

θ

จากรป V = Ah = ∥b× c∥∥a∥|cosθ| = |a · b× c|

ตวอยาง 3.2.31 จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน ⟨1, 1,−1⟩,⟨2, 1, 0⟩ และ ⟨0, 1, 3⟩

ตวอยาง 3.2.32 จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 4,−7⟩, ⟨2,−1, 4⟩ และ⟨0,−9, 18⟩ อยบนระนาบเดยวกน (coplanar)

Page 86: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

82 บทท 3. ปรภมสามมต

แบบฝ กหด 3.21. กำหนดให a = ⟨1, 2, 0⟩, b = ⟨1,−1, 2⟩, c = ⟨1, 0, 3⟩ และ d = ⟨−2, 1, 5⟩ จงหา

1.1 2a− 3b

1.2 ∥c+ 2d∥+ ∥2a+ b∥

1.3 เวกเตอรหนงหนวยของ 2c− d

1.4 โคไซนแสดงทศทางของ b+ c

1.5 มมระหวาง a+ c กบ a− c

1.6 (a× b)× (c× d)

1.7 ภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ b บน c

1.8 เวกเตอร 5 หนวยทตงฉากกบ a และ c

1.9 จงหาเวกเตอรทตงฉากกบ a และ d

2. จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตอไปน ตงฉากกนบาง

a = ⟨1, 2, 1⟩, b = ⟨1,−2, 3⟩, c = ⟨−3, 3, 1⟩ และ d = ⟨−1, 1, 7⟩

3. จงหาพนทสามเหลยมทมจดยอดเปน (−3, 1, 2), (−5, 1, 0) และ (4,−2, 1)

4. กำหนดให A(1, 1, 2), B(2, 0, 3), C(3, 0, 0) และD(2, 1,−1) จงแสดงวารปสเหลยมABCD

เปนสเหลยมดานขนาน และหาพนทของรปสเหลยมน

5. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน a = ⟨2, 1,−3⟩,b = ⟨4,−1, 0⟩ และ c = ⟨−1, 4,−1⟩

6. จงยกตวอยางเวกเตอร a, b และ c ททำให a× (b× c) = (a× b)× c

7. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 5,−2⟩, ⟨3,−1, 0⟩ และ ⟨5, 9,−4⟩อยบนระนาบเดยวกน

8. ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 จงแสดงวา8.1 ∥a× b∥2 = ∥a∥2∥b∥2 − (a · b)

8.2 ถา a+ b+ c = 0 แลว a× b = b× c = c× a

8.3 (a− b)× (a+ b) = 2(a× b)

8.4 a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c

8.5 a× (b× c) + b× (c× a) + c× (a× b) = 0

8.6 (a× b) · (c× d) =

∣∣∣∣∣a · c b · ca · d b · d

∣∣∣∣∣

Page 87: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.3. เสนตรงในปรภมสามมต 83

3.3 เสนตรงในปรภมสามมตบทนยาม 3.3.1 ให P0 เปนจดใน R3 และ A = 0 เปนเวกเตอรใน R3 เราจะเรยก

เซตของจด P ใด ๆ ซงทำให −−→P0P ขนานกบ A วา เสนตรง (Line) ทผานจด P0 และขนานกบ A

และเรยก A วา เวกเตอรแสดงทศทาง (direction vector) ของเสนตรง

X

Y

Z P

P0

L

O

A

เนองจาก −−→P0P ขนานกบ A ดงนนจะไดวาม t ∈ R ททำให

−−→P0P = tA หรอ P = P0 + tA (3.1)

ถากำหนดจด P (x, y, z) และ P0(x0, y0, z0) และ A = ⟨a, b, c⟩ ดงนน⟨x, y, z⟩ = ⟨x0, y0, z0⟩+ t⟨a, b, c⟩ = ⟨x0 + at, y0 + bt, z0 + ct⟩ (3.2)

เรยกสมการ (3.1) หรอ (3.2) วา สมการเวกเตอร (vector equation) ของเสนตรง L

จากสมการ (3.2) เราจะแยกเขยนสมการสำหรบสวนประกอบไดเปนx = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct (3.3)

เรยกสมการ (3.3) วา สมการอางองตวแปรเสรม (parametric equation) ของเสนตรง L

ถา a, b, c ไมมจำนวนใดเปนศนย จะไดวาx− x0

a=

y − y0b

=z − z0

c(3.4)

เรยกสมการ (3.4) วา สมการสมมาตร (symmetric equation) ของเสนตรง L

ตวอยาง 3.3.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจด P0(1, 2, 3) และขนานกบ A = ⟨1, 2,−1⟩

Page 88: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

84 บทท 3. ปรภมสามมตตวอยาง 3.3.3 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจด P1(1, 3, 4) และ P2(1,−2, 3)

การตรวจสอบวาจด P (x, y, z) อยบนเสนตรง L หรอไมทำไดโดยการแทนคา x, y, z ลงในสมการเสนตรง L วาสอดคลองกบสมการของเสนตรง L หรอไมตวอยาง 3.3.4 จงตรวจสอบวาจด P (1,−2, 3) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม

1. x = 3− t, y = 2− 4t, z = 3 + t 2. x+ 1

2=

y + 5

3= z − 2

ตวอยาง 3.3.5 จด A(1, 2, 0), B(−1, 3, 4) และ C(−2, 1, 5) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

ตวอยาง 3.3.6 จงหาจดทเสนตรงตอไปน ตดระนาบ XY ระนาบ XZ และ ระนาบ YZ1. x = 1 + t, y = 2− 2t, z = t− 3 2. 1− x

3=

y − 10

5, z = 4

Page 89: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.3. เสนตรงในปรภมสามมต 85

ระยะทางระหวางจดกบเสนตรงการวดระยะทางระหวางจด B กบเสนตรง L คอความยาวทสนทสดจากจด B ไปยงเสนตรง L

หมายถงความยาวของเสนตงฉากทลากจากจด B ไปยงเสนตรง L ทจด M เรยกจด M วา จดเชงเสนตงฉาก (Orthogonal point)

X

Y

Z

P0

M

B

L

O

A

θ

จากรปจะไดวา ∥−−→BM∥ = ∥

−−→P0B∥sinθ เนองจาก A ขนานกบ −−→

P0M ดงนน θ เปนมมระหวาง−−→PB กบ A ดงนน

∥−−→BM∥ =

∥−−→P0B∥∥A∥sinθ

∥A∥=

∥−−→P0B × A∥

∥A∥

ตอไปเราจะหาจด M เนองจาก M อยบนเสนตรง L ดงนนม t ∈ R ททำให M = P0 + tA

เนองจาก −−→BM ตงฉากกบ A ดงนน0 =

−−→BM · A = (M − B) · A = (P0 + tA− B) · A = (P0 − B) · A+ t∥A∥2

แลวจะไดวาt =

(−−→OB −

−−→OP0) · A

∥A∥2

ดงนนM = P0 +

(B − P0) · A∥A∥2

A

Page 90: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

86 บทท 3. ปรภมสามมต

ตวอยาง 3.3.7 จงหาจดเชงเสนตงฉากของจด B(2, 1,−1) บนเสนตรงx = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t

พรอมทงหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรงน

Page 91: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.3. เสนตรงในปรภมสามมต 87

การตดกนของเสนตรงความสมพนธของเสนตรง L1 และ L2 ในปรภมสามมตมลกษณะดงน

1. ตดกน

X

Y

Z

L1

L2

O

2. ไมตดกน

2.1 ไมตดกน และไมขนานกน

X

Y

Z

L1 L2

O

2.2 ไมตดกน และขนานกน

X

Y

Z

L1

L2

O

ตวอยาง 3.3.8 จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด1. L1 : x = 2 + t, y = 4− t, z = 3 + 2t

L2 : x = 1− s, y = 9+ 3s, z = 2+ s2. L1 : 2− x = 3− y =

z − 1

2

L2 : 7− x

3= y = z − 1

Page 92: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

88 บทท 3. ปรภมสามมต

มมระหวางเสนตรงบทนยาม 3.3.9 มมระหวางเสนตรงสองเสน คอมมระหวางเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนนน

XY

Z

L1

L2

O

A1

A2

θ

cosθ =A1 · A2

∥A1∥∥A2∥

ตวอยาง 3.3.10 จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2

1. L1 : x = 2+t, y = 1+2t, 2z = 1+4t

L2 : x = −3s, y = 2+4s, z = 5s− 12. L1 : 2x− 1 = y =

1− z

3L2 : x

4= y − 1 = z

ตวอยาง 3.3.11 จงหาสมการเสนตรงทผานจด B(1,−1, 2) ซงตดและตงฉากกบเสนตรง

x− 1 =3− y

2= −z

Page 93: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.3. เสนตรงในปรภมสามมต 89

การขนานกนของเสนตรงบทนยาม 3.3.12 เสนตรงสองเสนขนานกน (parallel line) กตอเมอเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนขนานกนตวอยาง 3.3.13 จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2, 3) และขนานกบเสนตรง

x+ 2 =4− y

2= 1− z

การไขวตางระนาบของเสนตรงบทนยาม 3.3.14 เราจะเรยกเสนตรงสองเสนวา เสนไขวตางระนาบ (skew line) กตอเมอเราไมสามารถหาระนาบทเสนตรงทงสองอยบนระนาบเดยวกนได หรอกลาวไดอกอยางวาเสนตรงทงสองไมตดกนไมไมขนานกนตวอยาง 3.3.15 จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม

1. L1 : 2x = 1 + t, y = 2− t, 3z = t

L2 : x = 2− 3s, y = 6s, z = 1− 2s

2. L1 : x =y

2= z − 1

L2 : x+ 1

2= y − 1 =

z + 2

3

Page 94: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

90 บทท 3. ปรภมสามมต

ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนบทนยาม 3.3.16 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน คอระยะทสนทสดระหวางเสนตรงทงสอง

1. ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน

X

Y

Z

P2

P1 L2

L1

O

ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน

ให L1 และ L2 เปนเสนตรงสองเสนท ขนานกน ซงผานจด P1 และ P2 ตามลำดบ ระยะทางระหวาง L1 และ L2 คอ ระยะทางระหวางจด P1 ไปยง L2 หรอ P2 ไปยง L1 นนคอ

ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥−−→P1P2 × A1∥

∥A1∥หรอ ∥

−−→P2P1 × A2∥

∥A2∥

ตวอยาง 3.3.17 จงหาระยะทางระหวางเสนตรงL1 : x = 1 + t, y = 2− 2t, z = −1 + 2t และ L2 : x = 2− s, y = 1 + 2s, z = −2s

Page 95: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.3. เสนตรงในปรภมสามมต 91

2. ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทไมขนานกน

XY

Z P1

Q1

P2

Q2

L1

L2

O

A1 × A2

L1

L2

P2

P1

−−−→Q1Q2

จากรป Q1 และ Q2 เปนจดปลายของสวนเสนตรงทตงฉากกบ L1 และ L2 ดงนนระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥

−−−→Q1Q2∥

เนองจาก −−−→Q1Q2 ตงฉากกบ A1 และ A2 จะไดวา −−−→

Q1Q2 ขนานกบ A1 × A2 จากรปจะไดวา∥−−−→Q1Q2∥ = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ −−→

P2P1 บน A1 × A2

ดงนน

ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ |−−→P2P1 · (A1 × A2)|

∥A1 × A2∥

ตวอยาง 3.3.18 จงหาระยะทางระหวางเสนตรงL1 : x− 1

2= −y = −z

2และ L2 : x = −3t, y = 1 + 2t, z = t

Page 96: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

92 บทท 3. ปรภมสามมต

แบบฝ กหด 3.31. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจด

P0 และขนานกบ A

1.1 P0(2, 1, 1) และ A = ⟨1,−1, 3⟩ 1.2 P0(−1, 3, 5) และ A = ⟨0, 2,−1⟩

2. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจดP1 และ P2

2.1 P1(1,−1, 0) และ P2(2,−3, 5) 2.2 P1(−1,−3,−2) และ P2(−5, 0, 1)

3. จงตรวจสอบวาจด (1, 2,−3) อยบนเสนตรงใดตอไปนหรอไม

3.1 x = 3− 2t, y = 3 + t, z = 1− 4t

3.2 2x = 3+2t, y = 1−2t, 3z = 4t−7

3.3 2x− 1 =y + 2

2=

z

3

3.4 x+ 7

4= 4− y =

z + 9

3

4. จงพจารณาวาจด A(3, 3, 1), B(−1, 5,−7) และ C(5, 2, 5) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

5. จงหาระยะทางจากจด B(1,−2, 1) ไปยงเสนตรงตอไปน

5.1 x = 6 + 4t, y = 3− 2t, z = 1 + t 5.2 x− 1

2=

1− y

3=

z + 1

4

6. จงหาพกดของจดบนเสนตรงตอไปน ทอยใกลจดกำเนดมากทสด

6.1 x = 9 + 4t, y = t, z = 3 + 2t 6.2 8− x

6=

y − 2

2=

z + 7

8

7. จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด7.1 L1 : x = 2 + t, y = −1 + 3t, z = 2− 3t

L2 : x = 4 + s, y = 5 + 3s, z = s

7.2 L1 : x− 1

2= 2− y = z

L2 : 2x+ 1

3= y = z − 2

8. จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน8.1 L1 : x = 2 + t, y = 1− t, z = 5 + t

L2 : x = 2 + s, y = 5− 2s, z = 1− 3s

8.2 L1 : 1− x = y =z + 3√

2

L2 : x√2=

y − 3√2

=z + 1

2

Page 97: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.3. เสนตรงในปรภมสามมต 93

9. จงหาสมการเสนตรงทผานจดกำเนด ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x =3− y

2= z − 2

10. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (−1, 2, 1) และขนานกบเสนตรง x+ 3

2=

1− y

5= 2− z

11. จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม11.1 L1 : 2x = 1 + 4t, y = 2− t, z = t

L2 : x = −4s, y = 1 + 2s, 3z = 1− 6s

11.2 L1 : x− 1 =3− y

2= 2z + 1

L2 : 2− x =y − 1

2=

1− 4z

2

12. จงระยะทางระหวาง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน12.1 L1 : x = 7t, y = 2 + t, z = 4− 3t

L2 : x = 3− s, y = 5, z = 6 + 2s

12.2 L1 : x+ 5 =y + 3

4=

6− z

9

L2 : 2− x =4− y

4=

z + 1

−9

12.3 L1 : x = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t

L2 : x = 2− 8s, y = 1 + 2s, z = −1− 6s

12.4 L1 : x+ 1 =z + 1

2, y = 2

L2 : x = 2− t, y = 3 + 4t, z = 2t

Page 98: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

94 บทท 3. ปรภมสามมต

3.4 ระนาบในปรภมสามมตบทนยาม 3.4.1 ให P0 เปนจดใน R3 และ N = 0 เปนเวกเตอรใน R3 เราจะเรยก

เซตของจด P ใด ๆ ซงทำให −−→P0P ตงฉากกบ N วา ระนาบ (plane)ทผานจด P0 และตงฉากกบเวกเตอร N

และเรยก N วา เวกเตอรแนวฉาก (normal vector)

X Y

Z

O

N

P0

P

เนองจาก −−→P0P ตงฉากกบ N ดงนน −−→

P0P · N = 0 หรอ(P − P0) · N = 0 (3.5)

เราจะเรยกสมการ (3.5) วา สมการเวกเตอรของระนาบ (vector equation of the plane)

ถากำหนดให P0 = (x0, y0, z0), P = (x, y, z) และ N = ⟨a, b, c⟩ จะไดวาa(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (3.6)

เรยกสมการ (3.6) วา สมการสเกลาร (scalar equation) ของระนาบทผานจด (x0, y0, z0)

และม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก

ถาเราจดรปสมการ (3.6) โดยกำหนดให d = ax0 + by0 + cz0 จะไดวาax+ by + cz = d (3.7)

เรยกสมการ (3.7) วา สมการคารทเซยน (cartesian equation) ของระนาบ ทม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉากตวอยาง 3.4.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการสเกลาร และสมการคารทเซยนของระนาบทผานจด P0(1, 2, 3) และตงฉากกบ N = ⟨1,−1, 4⟩

Page 99: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.4. ระนาบในปรภมสามมต 95

ตวอยาง 3.4.3 จงหาสมการของระนาบทผานจด P (1, 2, 3), Q(3,−1, 6) และ R(5, 1, 0)

ตวอยาง 3.4.4 จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

1. x = 2

2. y = 1

3. z = 3

4. x+ y = 1

Page 100: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

96 บทท 3. ปรภมสามมต

ตวอยาง 3.4.5 จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

1. x+ y − z = 2 2. 2x+ 3y + 4z = 12

ตวอยาง 3.4.6 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1) และ Q(2, 3, 1) อยบนระนาบ x − 2y − 4z = 1

หรอไม

ตวอยาง 3.4.7 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1), Q(2, 0, 3), R(3, 4, 1) และ S(−2, 1, 2) อยบนระนาบเดยวกนหรอไม

Page 101: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.4. ระนาบในปรภมสามมต 97

ระยะทางระหวางจดกบระนาบบทนยาม 3.4.8 ระยะทางระหวางจดกบระนาบ คอระยะทางตงฉากจากจดนนไปยงระนาบ

ใหระนาบ M มสมการเวกเตอรเปน (P − P0) · N = 0 และ P1 เปนจดใน R3 ลากไปตงฉากกบระราบ M ทจด Q ดงรป

N

P0

P1

Q

N

P0

P1

Q

จากรปจะไดวา ∥−−→QP1∥ = ขนาดของภาพฉายของ −−→

P0P1 บน N จะไดวา

∥−−→QP1∥ =

|−−→P0P1 · N |∥N∥

=|(P1 − P0) · N |

∥N∥

กำหนดใหระนาบ M ผานจด P0 = (x0, y0, z0) และม N = ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก M จะมสมการคารทเซยนเปน ax+ by + cz = d เมอ d = ax0 + by0 + cz0 แลว

∥−−→QP1∥ =

|(P1 − P0) · N |∥N∥

=|⟨x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0⟩ · ⟨a, b, c⟩|√

a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1 − (ax0 + by0 + cz0)|√

a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2

ดงนนระยะทางระหวางจด P1(x1, y1, z1) กบระนาบ ax+ by + cz = d คอ|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2

ตวอยาง 3.4.9 จงหาระยะทางระหวางจด P1(4, 3,−1) กบระนาบ x− 2y + 2z = 5

Page 102: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

98 บทท 3. ปรภมสามมต

ตวอยาง 3.4.10 จงหาจดบนระราบ 2x+ y − 3z + 10 = 0 ซงอยใกลทสดกบจด P1(4, 2, 2)

เสนตรงกบระนาบเสนตรงกบระนาบมความสมพนธกน 3 ลกษณะคอ

1. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนจดเดยว เรยกวาเสนตรงตดกบระนาบ

2. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนมากกวาหนงจด นนคอเสนตองอยบนระนาบ

3. เสนตรงกบระนาบมไมมจดรวม นนคอเสนตรงขนานกบระรนาบ

ตวอยาง 3.4.11 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบตอไปน ตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไม

1. x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3− 3t และ x+ 4y + 2z = 5

Page 103: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.4. ระนาบในปรภมสามมต 99

2. x− 1 =y + 3

2= z และ 2x− y + z = 7

ตวอยาง 3.4.12 จงหาสมการของระนาบทผานเสนตรง L : x = y − 1 =z

2และผานจด

Q(1, 3,−1)

ตวอยาง 3.4.13 จงหาสมการของระนาบทขนานกบเสนตรงL1 : x− 1 =

y

2= z และ L2 :

x

2= y =

z

3

และผานจด Q(2,−3, 1)

Page 104: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

100 บทท 3. ปรภมสามมต

มมระหวางเสนตรงกบระนาบบทนยาม 3.4.14 ถาเวกเตอรแสดงทศทางของ L ทำมม θ กบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

เราจะกลาววามมระหวางเสนตรง L กบระนาบ M คอ

∣∣∣π2− θ∣∣∣

L

A

N

M

θπ2− θ

ตวอยาง 3.4.15 จงหามมระวางเสนตรง L :x

5=

1− y

2=

z

5กบระนาบ 2x+ y − 7z = 1

ตวอยาง 3.4.16 จงหาสมการของระนาบทผานจด Q(3,−6, 3) และตงฉากกบเสนตรงP = ⟨2, 0, 1⟩+ t⟨3,−1, 1⟩

ตวอยาง 3.4.17 จงระยะทางระหวางเสนตรง x− 1

2= y =

z + 2

3กบระนาบ x+ y − z = 9

Page 105: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.4. ระนาบในปรภมสามมต 101

การขนานกนของระนาบระนาบขนานกน กตอเมอเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกน

N1

N2

M2

M1

ตวอยาง 3.4.18 จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2,−3) และขนานกบระนาบ x+ 2y − z = 5

บทนยาม 3.4.19 ระยะทางระหวางระนาบทงสอง คอระยะฉากระหวางระนาบทงสองให M1 และ M2 เปนระนาบทขนานกนมสมการดงน ax+by+cz = d1 และ ax+by+cz = d2

ตามลำดบ ให P1(x1, y1, z1) เปนจดบนระนาบ M1 ดงนนระยะทางระหวางระนาบ M1 และ M2 = ระยะทางระหวางจด P1 กบระนาบ M2

=|ax1 + by1 + cz1 − d2|√

a2 + b2 + c2

=|d1 − d2|√a2 + b2 + c2

ตวอยาง 3.4.20 จงหาระยะทางระหวางระนาบ x+ 2y − 2z = 10 และ x+ 2y − 2z = 1

ตวอยาง 3.4.21 จงหาสมการระนาบทขนานกบระนาบ x+ y −√2z = 1 และระยะทางระหวาง

ระนาบทงสองเทากบ 5 หนวย

Page 106: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

102 บทท 3. ปรภมสามมต

การตดกนของระนาบระนาบทตดกนคอระนาบทไมขนานกน (พจารณาจากเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกนหรอไม) รอยตดทเกดยอมเปนเสนตรง

L

M2

M1

จากรปเนองจากเสนตรง L อยบนระนาบ M1 และ M2 ดงนนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงL ตองตงฉากกบ N1 และ N2 ดงนน A = N1 × N2

ตวอยาง 3.4.22 จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบ2x− y + z = 1 และ x+ y − 2z = 5

Page 107: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.4. ระนาบในปรภมสามมต 103

มมระหวางระนาบบทนยาม 3.4.23 มมระหวางระนาบสองระนาบ คอมมระหวางเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองตวอยาง 3.4.24 จงหามมระหวางระนาบ 2x+ y + 2z = 1 กบ 5x− 3y + 4z = 5

Page 108: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

104 บทท 3. ปรภมสามมต

แบบฝ กหด 3.41. จงหาสมการของระนาบทผานจด P0 และม N เปนเวกเตอรแนวฉาก

1.1 P0(2, 1, 1) และ N = ⟨2,−1, 5⟩

1.2 P0(−1, 0, 5) และ N = ⟨3, 2, 1⟩

1.3 P0(1, 3,−3) และ N = ⟨0, 3,−2⟩

1.4 P0(2, 6,−4) และ N = ⟨−1,−3, 1⟩

2. จงหาสมการของระนาบทผานจดทง 3 จด2.1 (1,−1, 0), (0,−1, 2) และ (−1,−3, 5)

2.2 (−1,−3,−2), (2, 5, 0) และ (1,−2, 1)

3. จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

3.1 x = z

3.2 3x+ y = 2

3.3 x− y + z = 2

3.4 2x− y + z = 5

3.5 5x+ 2y − 3z = 15

3.6 3x+ 3y + 2z = 6

4. จงพจารณาวาจดทง 4 จดอยบนระนาบเดยวกนหรอไม4.1 (1, 1, 1), (−2, 4, 1), (3, 1, 2) และ (5, 1, 3)

4.2 (1, 2, 7), (−1, 1, 2), (2, 0, 7) และ (1, 1, 2)

5. จงหาระยะทางระหวางจดกบระนาบทกำหนดใหตอไปน

5.1 (1,−2, 3) กบ 3x+ 2y − z = 12 5.2 (−1, 1,−2) กบ 3x+ 4y − 5z = 15

6. จงหาจดบนระราบ x− 2y + 3z = 4 ซงอยใกลทสดกบจด (2, 3,−2)

7. พจารณาเสนตรง L กบระนาบ M ทกำหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตดและมมระหวางเสนตรงกบระนาบ ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไมและจงหาระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ

7.1 L :x

6= y =

1− z

2M : x− 2y + 2z = 4

7.2 L :x

2=

y

2= z

M : 5x+ 4y − 3z = 15

7.3 L : x = 3+ t, y = −1 + 3t, z = 1+ 2t

M : 2x− y + 3z = 5

7.4 L : 1− x =y

2= z − 2

M : 3x+ y + z = 3

8. จงหาสมการระนาบทนสอดคลองเงอนไขตอไปน8.1 ผานจด (1, 0, 2) และเสนตรง x

3= y + 1 =

2− z

2

8.2 ผานเสนตรง x− 2

2= y + 1 = −z และ 1− x

2= −y = z + 1

8.3 ผานจด (2, 1,−3) และขนานกบเสนตรง x

2= y =

z

3และ x− 1 = y + 1 =

z

2

Page 109: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.4. ระนาบในปรภมสามมต 105

8.4 ผานเสนตรง x = 3 + 2t, y = −t, z = 2t และ x− 2 =−1− y

2= −3− z

8.5 ผานจด (2,−1, 0) และตงฉากกบเสนตรง x

2=

y

3= z

8.6 ผานจด (1, 2, 3) และ (2, 0, 2) และขนานกบเสนตรง x = y − 1 =z

2

9. จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบ M1 และ M2

9.1 M1 : x+ y + z = 2

M2 : 2x− y + z = 3

9.2 M1 : x+ y + 3z = 5

M2 : x− 5y + z = 1

10. จงหามมระหวางระนาบ M1 และ M2

10.1 M1 : 2x− 5y + 5z = 2

M2 : 1x− 2y + 7z = 1

10.2 M1 : x+ y + z = 3

M2 : x− y − z = 4

11. จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2, 3) , (2, 0, 1) และตงฉากกบระนาบ x+ y − z = 1

Page 110: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

106 บทท 3. ปรภมสามมต

3.5 ฟงกชนคาเวกเตอรบทนยาม 3.5.1 กำหนดให x, y, z เปนฟงกชนคาจรงบนชวง I แลวF (t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร (vector value function) จาก I ไป R2

F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร จาก I ไป R3

ในหวขอน ถากลาวถงฟงกชนคาเวกเตอร ใหหมายถงฟงกชนคาเวกเตอรจาก I ไป R2 หรอจาก I ไป R3

ตวอยาง 3.5.2 ให F (t) = ⟨t, t2⟩, 0 ≤ t ≤ 2 และ G(t) = ⟨sint, cost, t⟩, 0 ≤ t ≤ π จงหา1. F (1) 2. G

(π3

)

บทนยาม 3.5.3 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนจาก I ไป R และ t ∈ I

แลว1. (F + G)(t) = F (t) + G(t)

2. (uG)(t) = u(t)F (t)

3. (F · G)(t) = F (t) · G(t)

4. (F × G)(t) = F (t)× G(t)

ลมตของฟงกชนเวกเตอรบทนยาม 3.5.4 ให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร ลมตของ F (t) เมอ t เขาใกล t0 เขยนแทนดวย lim

t→t0F (t) แลว

limt→t0

F (t) มคา กตอเมอ limt→t0

x(t), limt→t0

y(t) และ limt→t0

z(t) มคา

และจะไดวา limt→t0

F (t) =

⟨lim

t→t0x(t), lim

t→t0y(t), lim

t→t0z(t)

⟩ตวอยาง 3.5.5 จงหาคาของ lim

t→1

⟨t2 + 1, cosπt, t

2 − 1

t− 1

บทนยาม 3.5.6 กำหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอรF มความตอเนอง t = t0 กตอเมอ F (t0) และ lim

t→t0F (t) มคา และ lim

t→t0F (t) = F (t0)

ถา F ตอเนองทกจดบนชวง I แลวจะกลาววา F มความตอเนองบนชวง I

Page 111: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.5. ฟงก ชนคาเวกเตอร 107

อนพนธของฟงกชนเวกเตอรบทนยาม 3.5.7 กำหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอรและตอเนองบนชวง I และ t0 ∈ I ถา

limh→0

F (t0 + h)− F (t0)

hมคา

จะเขยนแทนดวยd

dtF (t)|t=t0 = lim

h→0

F (t0 + h)− F (t0)

hหรอ F ′(t0) = lim

h→0

F (t0 + h)− F (t0)

h

เรยกวา อนพนธ (derivative) ของ F ทจด t0 ∈ I

ทฤษฎบท 3.5.8 กำหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เมอ t ∈ I และ x, y, z เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธบนชวง I จะไดวา F มอนพนธท t และ

F ′(t) = ⟨x′(t), y′(t), z′(t)⟩

ตวอยาง 3.5.9 จงหาอนพนธของ F (t) =⟨t2 + t− 3, cos2t, etsint⟩

ทฤษฎบท 3.5.10 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนคาจรง ถา F , G และu มอนพนธท t แลว

1. (F + G)′(t) = F ′(t) + G′(t)

2. (uG)′(t) = (u′F )(t) + (uF ′)(t)

3. (F · G)′(t) = F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)

4. (F×G)′(t) = F ′(t)×G(t)+F (t)×G′(t)

ตวอยาง 3.5.11 กำหนดให F = ⟨1, t, sint⟩ และ G = ⟨t2, t, 1⟩ จงหา1. (F · G)′(t) 2. F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)

Page 112: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

108 บทท 3. ปรภมสามมต

อนทกรลของฟงกชนเวกเตอรบทนยาม 3.5.12 กำหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนโดเมน D ⊂ Rถา x, y, z เปนฟงกชนคาจรงท อนทเกรตไดบนชวง [a, b] แลว F เปนฟงกชนท อนทเกรตได(integrable) บนชวง [a, b] ⊂ D และ∫ b

a

F (t)dt =

⟨∫ b

a

x(t)dt,

∫ b

a

y(t)dt,

∫ b

a

z(t)dt

ทฤษฎบท 3.5.13 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ c1, c2 เปนคตาคงตว และ u เปนฟงกชนคาจรง และ C เปนเวกเตอรคงตว แลว

1.∫ b

a

(c1F (t) + c2G)dt = c1

∫ b

a

F (t)dt+ c2

∫ b

a

G(t)dt

2.∫ b

a

F (t)dt =

∫ c

a

F (t)dt+

∫ b

c

F (t)dt เมอ a < c < b

3.∫ b

a

(uC(t)dt =

∫ b

a

u(t)dtC

4.∫ b

a

(C · F )(t)dt = C ·∫ b

a

F (t)dt เมอ C · F อนทเกรตไดบนชวง [a, b]

ตวอยาง 3.5.14 กำหนดให F (t) = ⟨cost, sint, t⟩ และ C = ⟨1, 2, 1⟩ จงหา∫ 2

1

C · F (t)dt

ตวอยาง 3.5.15 จงหา∫ 2π

0

∥⟨cost, sint, 1⟩∥dt

Page 113: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.5. ฟงก ชนคาเวกเตอร 109

กราฟแสดงการเคลอนทของฟงกชนคาเวกเตอรกราฟของการเคลอนท r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b คอ

กราฟความสมพนธ {(x(t), y(t)) : r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b}

r(t) = ⟨t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 4

X

Y

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

r(t) = ⟨3sint, 3cost⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t = 0

t = π2

t = π

t = 3π2

ตวอยาง 3.5.16 จงเขยนกราฟแสดงการเคลอนทตอไปน เมอ 0 ≤ t ≤ 4

1. r(t) = ⟨t, t+ 1⟩

X

Y

2. r(t) = ⟨t, t+ 1, 3 + 2t⟩

X

Y

Z

Page 114: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

110 บทท 3. ปรภมสามมต

ตวอยาง 3.5.17 จงเขยนกราฟแสดงการเคลอนทตอไปน เมอ 0 ≤ t ≤ 2π

1. r(t) = ⟨3cost, 2sint⟩

X

Y

2. r(t) =

⟨2cost, 2sint, t

2

X

Y

Z

Page 115: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.5. ฟงก ชนคาเวกเตอร 111

เวกเตอรความเรวและความเรงกำหนดให r(t) เปนฟงกชนการเคลอนท แลว

เวกเตอรความเรว V (t) = r′(t)

เวกเตอรความเรง A(t) = V ′(t) = r′′(t)

อตราเรว v(t) = ∥V (t)∥ = ∥r′(t)∥

อตราเรง a(t) = ∥A(t)∥ = ∥V ′(t)∥

ตวอยาง 3.5.18 ให r(t) = ⟨1, 2t, 3t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2 เปนสมการการเคลอนทของวตถจงหาตำแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอเวลา t = 1

ตวอยาง 3.5.19 ให r(t) = ⟨2cost, 2sint, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการการเคลอนทของวตถจงหาตำแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอเวลา t = π

4

Page 116: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

112 บทท 3. ปรภมสามมต

เวกเตอรสมผสใหเสนโคงหนงเปนกราฟฟงกชนเวกเตอร r(t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩ เมอ a ≤ t ≤ b

X

Y

Z

r′(t) เปนเวกเตอร ในแนวสมผสของเสนโคง ณ จด r(t) เวกเตอรท มขนาดหนงหนวยและทศเดยวกนกบ r′(t) เรยกวา เวกเตอรสมผสหนวย (unit tangent vector) ณ จด r(t) เขยนแทนดวย T (t) นนคอ

T (t) =r′(t)

∥r′(t)∥เมอ ∥r′(t)∥ = 0

เสนตรงทผานจด r(t) และขนานกบ T (t) เรยก เสนสมผส (tangent) ของเสนโคง ณ จด r(t)

เนองจาก T ′(t) เปนเวกเตอรซงตงฉากกบ T (t) ณ จด r(t) เวกเตอรทมขนาดหนงหนวยและทศเดยวกนกบ T ′(t) เรยกวา เวกเตอรแนวฉากหนวย (unit normal vector) เขยนแทนดวยN(t) นนคอ

N(t) =T ′(t)

∥T ′(t)∥เมอ ∥T ′(t)∥ = 0

ให V (t) = r′(t) และ v(t) = ∥r′(t)∥ จาก T (t) =r′(t)

∥r′(t)∥จะไดวา

V (t) = v(t)T (t)

V ′(t) = v(t)T ′(t) + v′(t)T (t)

A(t) = v(t)T ′(t) + v′(t)T (t)

จาก T ′(t) = ∥T ′(t)∥N(t) ดงนนA(t) = v′(t)T (t) + v(t)∥T ′(t)∥N(t)

เรยก v(t) วา สวนประกอบแนวสมผส ของ A(t)

และ v(t)∥T ′(t)∥ วา สวนประกอบแนวฉาก ของ A(t)

Page 117: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.5. ฟงก ชนคาเวกเตอร 113

ตวอยาง 3.5.20 ให r(t) = ⟨cost, sint, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการการเคลอนท จงหา1. เวกเตอรความเรว V (t)

2. เวกเตอรความเรง A(t)

3. มมระหวาง V (t) กบ A(t) เมอ เมอ t = π

4. เวกเตอรสมผสหนงหนวย T (t) และเวกเตอรแนวฉากหนงหนวย N(t) เมอ t = π

5. สวนประกอบแนวสมผสและสวนประกอบแนวฉากของ A(t) เมอ t = π

Page 118: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

114 บทท 3. ปรภมสามมต

เวกเตอรแนวฉากคใหเสนโคงหนงเปนกราฟฟงกชนเวกเตอร r(t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩ เมอ a ≤ t ≤ b และ r′(t) มคาทกคา a ≤ t ≤ b ทจด r(t) ซงมเวกเตอรสมผสหนงหนวยคอ T (t) และเวกเตอรแนวฉากหนงหนวยคอ N(t) แลว เวกเตอรแนวฉากค (binormal vector) ณ จด r(t) เขยนแทนดวย B(t)

นยามโดยB(t) = T (t)× N(t)

เสนตรงทผานจด r(t) คอเสนสมผส เสนแนวฉาก และเสนแนวฉากค ซงขนานกบ T , N , B ตามลำดบ ม 3 ระนาบทสำคญคอ

1. ระนาบซงผานเสนสมผสและเสนแนวฉาก ตงฉากกบ B

เรยกวาระนาบสมผสประชด2. ระนาบซงผานเสนแนวฉากและเสนแนวฉากค ตงฉากกบ T

เรยกวาระนาบแนวฉาก3. ระนาบซงผานเสนแนวฉากคและเสนสมผส ตงฉากกบ N

เรยกวาระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค

X

Y

Z

Page 119: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.5. ฟงก ชนคาเวกเตอร 115

ตวอยาง 3.5.21 ให r(t) = ⟨2cost, 2sint, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการของเสนโคง จงหาสมการของเสนสมผส เสนแนวฉาก และเสนแนวฉากคของเสนโคงทจด (−2, 0, π)

Page 120: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

116 บทท 3. ปรภมสามมต

ตวอยาง 3.5.22 ให r(t) = ⟨1 + sint, 1 − cost, 2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการสมการการเคลอนท จงหาสมการของ จงหาสมการของระนาบสมผสประชด ระนาบแนวฉาก และระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค เมอเวลา t = π

Page 121: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

3.5. ฟงก ชนคาเวกเตอร 117

แบบฝ กหด 3.51. จงหาคาของลมตตอไปน

1.1 limt→1

⟨2t+ 1,

t− 1

1−√t, tsinπt

⟩1.2 lim

t→0

⟨2− t2, tant, sint

t

⟩ 1.3 limt→0

⟨t2 + 1,

t3 − 1

t2 − 1, 1− 2t

⟩1.4 lim

t→0

⟨ttant, 2t3, 1

t− 1

2. กำหนดให F (t) = ⟨1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t⟩ และ G(t) = ⟨cost, sint, t⟩ จงหา2.1 F ′(t) + G′(t)

2.2 (F · G)′(t)

2.3 (F ′ × G′)(t)

2.4 (F · G′)(t)

3. จงหาคาตอไปน

3.1∫ 3

1

⟨t, 2t+ 1, t2

⟩dt

3.2∫ π

0

⟨tsint, cos2t, t+ 1

⟩dt

3.3∫ 1

0

⟨2cost, 3sint+ 1, sec22t⟩ dt

3.4∫ 1

0

⟨et,

1

1− t,√2− t

⟩dt

4. จงเขยนกราฟแสดงการการเคลอนทของฟงกชนเวกเตอรตอไปน4.1 r(t) = ⟨t,

√t2 − 1⟩ เมอ 1 ≤ t ≤ 3

4.2 r(t) =

⟨t+

1

t, t− 1

t

⟩เมอ 1 ≤ t ≤ 4

4.3 r(t) = ⟨1 + t, 2 + t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 5

4.4 r(t) = ⟨tan2t, sect⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2

4.5 r(t) = ⟨1, t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2

4.6 r(t) = ⟨sint, cost, 4⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2

5. จงหา ตำแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรงเมอกำหนดสมการการเคลอนทดงน ขณะเวลาทกำหนดให5.1 r(t) = ⟨t, t2 + 1⟩ เมอ t = 2

5.2 r(t) =

⟨t+

1

t, t− 1

t

⟩เมอ t = 1

5.3 r(t) = ⟨sin3t, cos2t⟩ เมอ t = π4

5.4 r(t) = ⟨sin2t, etcost, t⟩ เมอ t = 0

5.5 r(t) = ⟨ℓn2t, e2t, tcost⟩ เมอ t = 1

5.6 r(t) = ⟨tan2t, costsint, 2t⟩ เมอ t = π3

Page 122: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

118 บทท 3. ปรภมสามมต6. จงหา เวกเตอรสมผสหนวย เวกเตอรแนวฉากหนวย เวกเตอรแนวฉากค ส วนประกอบแนว

สมผส และสวนประกอบแนวฉาก ของเสนโคงตอไปนทจดทกำหนด

6.1 r(t) = ⟨sint, cost, 0⟩ เมอ t = π

6.2 r(t) = ⟨t, t, t2⟩ เมอ t = 1

6.3 r(t) = ⟨1 + t, 1− t, 1 + t2⟩ เมอ t = 1

6.4 r(t) = ⟨sint, cost, sint⟩ เมอ t = 0

6.5 r(t) = ⟨sin2t, cos2t, t⟩ เมอ t = π

6.6 r(t) = ⟨sint+ cost, sint− cost, et⟩ เมอ t = 0

7. จงหาสมการของเสนสมผส เสนแนวฉาก และเสนแนวฉากคของเสนโคงตอไปน ท จดท กำหนด

7.1 r(t) = ⟨sintcost, sint+ cost, t⟩ เมอ t = 0

7.2 r(t) = ⟨sin2t, cos2t, t⟩ เมอ t = π

7.3 r(t) = ⟨t, t, t2⟩ เมอ t = 1

7.4 r(t) = ⟨1 + t2, 1− t2, t− 2⟩ เมอ t = 1

7.5 r(t) = ⟨sint, 2cost, sint⟩ เมอ t = π2

8. จงหาสมการของระนาบสมผสประชด ระนาบแนวฉาก และระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค ของเสนโคงตอไปนทจดทกำหนด

8.1 r(t) = ⟨sint, cost, 2t⟩ เมอ t = π

8.2 r(t) = ⟨et, et, e2t⟩ เมอ t = 0

8.3 r(t) = ⟨1 + sin2t, 1 + cos2t, sin2t⟩ เมอ t = 0

8.4 r(t) = ⟨1, t, et⟩ เมอ t = 0

8.5 r(t) = ⟨sint, cost, et⟩ เมอ t = 0

Page 123: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บทท 4ระบบพกดเชงขว

4.1 พกดเชงขวบทนยาม 4.1.1 ให P เปนจดใด ๆ ในระนาบ XY

ถา r เปนระยะทางจาก O (จดกำเนด) ไปยงจด P และสวนของเสนตรง OP ทำมม θ กบแกนOX (วดแบบทวนเขมนากา)

เราจะเรยกจด (r, θ) วาพกดเชงขว (polar coordinate) ของจด P

X

O

ขว

P (r, θ)

r

แกนเชงขวθ

ตวอยาง 4.1.2 จงเขยนจดตอไปน ลงในระบบพกดเชง ขว A(1, π4), B(2, π

2), C(3, 3π

4),

D(4, 11π6), E(5, 4π

3), F (0, π

3), G(4.5,−π), และ H(2.5,−2π

3),

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

119

Page 124: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

120 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

บทนยาม 4.1.3 ถา P มพกดเชงขวเปน (r, θ) เมอ r > 0 แลว

(−r, θ) หมายถงพกดของจดปลายทไดจากการลากเสนตรงจากขวไปในทศตรงกนขามกบ −→OP

เปนระยะ r

X

π2

O

P (r, θ)

r

Q(−r, θ)

r

θ

ตวอยาง 4.1.4 จงเขยนจดตอไปนลงในระบบพกดเชงขว A(−1, π4), B(−2, 3π

2), C(−3.5, 5π

6),

D(−4, 7π6), E(−5,−4π

3), F (0,−π), และ G(−3,−2π

3)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

Page 125: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.1. พกดเชงขว 121

ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, θ) และพกดฉาก (x, y) ของจด P ใดๆทไมใช จดกำเนด

X

Y

O

P (r, θ), P (x, y)

r

x

y

θ

จะได x2 + y2 = r2

x = rcosθ และ y = rsinθ

ดงนน tanθ =y

x

ตวอยาง 4.1.5 จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π

1. (2, 0)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

2. (2, 2)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

3. (−2, 2√3)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

4. (−√3,−1)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

Page 126: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

122 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

ตวอยาง 4.1.6 จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปนมาอยางนอย 5 จด1. (1, 1) 2. (−1,

√3)

ตวอยาง 4.1.7 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

1. (6, π3)

2. (4, 5π3)

3. (−3, π6)

4. (−5,−3π4)

Page 127: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.1. พกดเชงขว 123

ตวอยาง 4.1.8 จงแปลงสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว1. x = 3

2. y = 5

3. y = x

4. y = x+ 1

ตวอยาง 4.1.9 จงแปลงสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว1. y = x2

2. y2 = 4x

3. x2 + y2 = 4

4. x2 + y2 − 2x = 0

5. 4x2 + 9y2 = 36

6. x2 − y2 = 1

Page 128: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

124 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

ตวอยาง 4.1.10 จงแปลงสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก1. r = 4sinθ

2. r = cos2θ

3. r = tanθ

4. r = csc2θ

ตวอยาง 4.1.11 จงแปลงสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก

1. r =6

3cosθ + 2sinθ

2. r =5

2− cosθ

Page 129: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.1. พกดเชงขว 125

แบบฝ กหด 4.11. จงหาพกดเชงขวของจดในระบบพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π

1.1 (−1, 1)

1.2 (−3,−3)

1.3 (−1,√3)

1.4 (4√3,−1)

1.5 (3√2,−3

√2)

1.6 (8, 4√3)

2. จงเขยนจดในระบบพกดฉาก และหาพกดฉากของจดตอไปน

2.1 A(2, π4)

2.2 B(−1, 3π3)

2.3 C(−3, 5π6)

2.4 D(4,−π4)

2.5 E(−5, 11π6)

2.6 E(2.5, 4π3)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

3. จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปนมาอยางนอย 5 จด3.1 (−1, 1) 3.2 (−3,−

√3) 3.3 (

√2,√6)

4. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากใหอยในระบบพกดเชงขว4.1 x+ y = 2

4.2 y = x2

4.3 x2 + y2 = 4

4.4 x2 + y2 = 2x

4.5 x2 − y2 = xy

4.6 1

x2+

1

y2= 1

5. จงเขยนสมการในระบบเชงขวใหอยในระบบพกดฉาก5.1 r = 3

5.2 r = 5sinθ5.3 r = 2cos2θ5.4 r = 1− sinθ

5.5 r =1

1− sinθ5.6 r = tanθ

Page 130: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

126 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

4.2 กราฟของสมการในระบบพกดเชงขวการเขยนกราฟของสมการ r = f(θ) ในระบบพกดเชงขว มแนวคดเหมอนกบการเขยนกราฟของสมการในระบบพกดฉาก โดยการนำจด (r, θ) ทสอดคลองสมการไปเขยนลงบนพกด ตอไปตวอยางกราฟของระบบพกดฉากทสำคญ

1. สมการ f(θ) = k

สมการ r = f(θ) = k เมอ k = 0 เปนกราฟวงกลมทมรศม |k| มจดศนยกลางอยท (0, 0)ตวอยางเช น r = 3

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 3

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 3

ตวอยาง 4.2.1 จงวาดกราฟของสมการ r = 2 และ r = −4 บนกราฟเดยวกนθ 0 π

6π4

π3

π2

π 3π2

r 2

θ 0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

r −4

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5 X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 131: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 1272. สมการ θ = θ0

สมการ θ = θ0 เปนกราฟเสนตรงททำมม θ0 กบแกนเชงขว ตวอยางเช น θ = π4

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

θ = π4

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

θ = π4

ตวอยาง 4.2.2 จงวาดกราฟของสมการ θ = 2π3และ θ = −π

6

θ 2π3

2π3

2π3

2π3

2π3

2π3

2π3

r

θ −π6

−π6

−π6

−π6

−π6

−π6

−π6

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 132: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

128 บทท 4. ระบบพกดเชงขว3. สมการ f(θ) = 2ksinθ และ f(θ) = 2kcosθสมการ r = f(θ) = 2ksinθ เมอ k = 0 และ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, π

2) รศม |k| ตวอยางเช น r = 4sinθ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4sinθ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4sinθ

ตวอยาง 4.2.3 จงวาดกราฟของสมการ r = 2sinθ และ r = −4sinθθ 0 π

6π4

π3

π2

π 3π2

r 0

θ 0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

r 0

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 133: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 129

สมการ r = f(θ) = 2kcosθ เมอ k = 0 และ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, 0) รศม |k| ตวอยางเช น r = 4cosθ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4cosθ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4cosθ

ตวอยาง 4.2.4 จงวาดกราฟของสมการ r = 2cosθ และ r = −4cosθθ 0 π

6π4

π3

π2

π 3π2

r 0

θ 0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

r 0

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 134: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

130 บทท 4. ระบบพกดเชงขว4. สมการ f(θ) = ksin2nθ และ f(θ) = kcos2nθสมการ r = f(θ) = ksin2nθ เมอ k = 0, n ∈ N และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 4n

กลบ ตวอยางเช น r = 4sin2θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4sin2θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4sin2θ

ตวอยาง 4.2.5 จงวาดกราฟของสมการ r = −4sin2θ และ r = 5sin4θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 135: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 131

สมการ r = f(θ) = kcos2nθ เมอ k = 0, n ∈ Z และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 4n

กลบ ตวอยางเช น r = 4cos2θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4cos2θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4cos2θ

ตวอยาง 4.2.6 จงวาดกราฟของสมการ r = −3cos2θ และ r = 4cos4θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 136: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

132 บทท 4. ระบบพกดเชงขว5. สมการ f(θ) = ksin(2n − 1)θ และ f(θ) = kcos(2n − 1)θ

สมการ r = f(θ) = ksin(2n − 1)θ เมอ k = 0, n ∈ N และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ2n− 1 กลบ ตวอยางเช น r = 4sin3θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4sin3θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4sin3θ

ตวอยาง 4.2.7 จงวาดกราฟของสมการ r = −3sin3θ และ r = 4sin5θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 137: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 133

สมการ r = f(θ) = kcos(2n − 1)θ เมอ k = 0, n ∈ N และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ2n− 1 กลบ ตวอยางเช น r = 4cos3θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4 cos 3θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4 cos 3θ

ตวอยาง 4.2.8 จงวาดกราฟของสมการ r = −3cos3θ และ r = 4cos5θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 138: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

134 บทท 4. ระบบพกดเชงขว6. สมการ f(θ) = r = a + bsinθ และ f(θ) = r = a + bcosθ

ถา |a| = |b| แลวกราฟนจะผานขว และเรยกกราฟน วา คารดออยด (cardioid)ถา |a| = |b| จะเรยกกราฟน วา ลมาซอง (limacon)

ถา |a| > |b| กราฟนจะไมผานขวถา |a| < |b| กราฟนจะผานขว และมวงวน (loop) อยภายใน

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 2 + 2 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 2 + 2 sin θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 2 + 3 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 2 + 3 sin θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 3 + 2 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 3 + 2 sin θ

Page 139: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 135ตวอยาง 4.2.9 จงวาดกราฟ r = 2 + 2cosθ

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ตวอยาง 4.2.10 จงวาดกราฟ r = 1 + 3cosθθ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 140: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

136 บทท 4. ระบบพกดเชงขวตวอยาง 4.2.11 จงวาดกราฟ r = 3 + 2cosθ

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ตวอยาง 4.2.12 จงวาดกราฟ r = 1− 3sinθθ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Page 141: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 137

ตวอยางกราฟเชงขว

X

r = 3

X

θ = π4

X

r = 4sinθ

X

r = 4cosθ

X

r = 4sin2θ

X

r = 4sin4θ

X

r = 4cos2θ

X

r = 4cos4θ

X

r = 4sin3θ

X

r = 4sin5θ

X

r = 4cos3θ

X

r = 4cos5θ

Page 142: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

138 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

X

r = 4cos8θ

X

r = θsinθ

X

r = 4sin2θ

X

r = 2 + 2sinθ

X

r = 2 + 3sinθ

X

r = 3 + 2sinθ

X

r = 2 + 2cosθ

X

r = 2 + 3cosθ

X

r = 3 + 2cosθ

X

r = 2− 2cosθ

X

r = 2− 2sinθ

X

r = 2 + 2sin2θ

Page 143: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 139

1−1

1

−1

r = sin2(2.4θ) + cos4(2.4θ)

2−2

2

−2

r = sin2(1.2θ) + cos3(6θ)

1−1

1

−1

r = sin(85θ)

6−6

6

−6

r =√θ

Page 144: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

140 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

แบบฝ กหด 4.21. จงเขนกราฟของสมการในระบบเชงขวตอไปน

1.1 r = 2

1.2 2θ = π

1.3 4θ = 3π

1.4 r = 5cos2θ1.5 r = −3sin4θ1.6 r = 4cos3θ

1.7 r = 5sin6θ1.8 r = 6cos7θ1.9 r = −4cos5θ

2. จงเขนกราฟของสมการในระบบเชงขวตอไปน

2.1 r = 1− 3cosθ2.2 r = 3 + 4cosθ

2.3 r = 1 + cosθ2.4 r = 2− 4sinθ

2.5 r = 3 + 3cosθ2.6 r = −4− 4sinθ

3. จงยกตวอยางสมการทใหกราฟกลบกหลาบ 5 กลบ มาอยางนอย 3 สมการ

4. จงยกตวอยางสมการทใหกราฟกลบกหลาบ 8 กลบ มาอยางนอย 3 สมการ

5. จงจบคสมการในระบบเชงขวในแตละขอตอไปน กบกราฟทกำหนดให5.1 r = 3sin3θ5.2 r = 3cosθ

5.3 r = 2 + 2cosθ5.4 r = 1− 2sinθ

5.5 r = 3cos4θ5.6 r = 3sinθ

X

Y

(ก)

X

Y

(ข)

X

Y

(ค)

X

Y

(ง)

X

Y

(จ)

X

Y

(ฉ)

Page 145: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.3. การหาพนทของบรเวณในระบบพกดเชงขว 141

4.3 การหาพ นทของบรเวณในระบบพกดเชงขวให R เปนพนทอาณาบรเวณทป ดลอมดวยฟงกชน r = f(θ) และเสนตรง θ = α และ θ = β เมอr > 0 แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท

α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β

X

O

r = f(θ)

R θ0 = αθ1

θi−1

θi

θn−1

β = θn

สำหรบ i = 1, 2, 3, ..., n ใหRi เปนพนทของอาณาบรเวณทป ดลอมดวย θ = θi−1 และ θ = θi ดวยเสนโคง r = f(θ)

Pi เปนจด (f(θi), θi) และ Pi−1 เปนจด (f(θi−1), θi−1)

ให θ∗i ∈ [θi−1, θi] และ P ∗i เปนจด (f(θ∗i ), θ

∗i )

X

O

Pi P ∗i

Qi

Pi−1

Qi−1r = f(θ)

θ∗i

θi−1

θi

พจารณาวงกลมรศม OP ∗i ตดกบเสนตรง θ = θi−1 ทจด Qi−1 และเสนตรง θ = θi ทจด Qi และ

ให ∆θi = θi − θi−1

Ri ≈ พนทเซกเตอร OQiQi−1 =1

2[f(θ∗i )]

2∆θi

ดงนน

R =n∑

i=1

Ri ≈n∑

i=1

1

2[f(θ∗i )]

2∆θi

Page 146: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

142 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

เมอแบง n มาก ๆ และทำให ∆θi มคานอยๆ และ r = f(θ) เปนฟงกชนตอเนอง โดยใชผลบวกของรมนนจะไดวา

พนท R = limn→∞

n∑i=1

1

2[f(θ∗i )]

2∆θi =

∫ β

α

1

2r2 dθ

ตวอยาง 4.3.1 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเป ดลอมดวย

1. r = 2− 2sinθ

X

Y

r = 2− 2sinθ

2. r = 4cos3θ

X

Y

r = 4cos3θ

Page 147: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.3. การหาพนทของบรเวณในระบบพกดเชงขว 143

ตวอยาง 4.3.2 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเป ดลอมดวย

1. r = 4cosθ บนชวง[π6,π

3

]

X

Y

θ = π3

θ = π6r = 4cosθ

2. r = 4sin2θ บนชวง[0,

π

2

]

X

Y

r = 4sin2θ

Page 148: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

144 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

ตวอยาง 4.3.3 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเป ดลอมดวย r = 6sinθ และ r = 2 + 2sinθบนชวง

6,5π

6

]

X

Y

Page 149: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

4.3. การหาพนทของบรเวณในระบบพกดเชงขว 145

ตวอยาง 4.3.4 จงหาพนทของอาณาบรเวณทอยภายในเสนโคง r = 2sin2θ และภายนอกวงกลม r =

√3

X

Y

Page 150: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

146 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

แบบฝ กหด 4.31. จงหาพนทของอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง

1.1 r = 1 + cosθ1.2 r = sinθ + cosθ1.3 r = 2cos2θ

1.4 r = 3− 2cosθ1.5 r = 2sin3θ1.6 r = 4cos2θ

2. จงหาพนทของอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง2.1 r = 4 + 3cosθ บนชวง [0, π]

2.2 r = 8cos2θ บนชวง[0,

π

4

]2.3 r = 12sin3θ บนชวง

[0,

π

6

]2.4 r = 2 + 2cosθ บนชวง [0, 2π]

2.5 r = 3sinθ บนชวง[π6,π

4

]2.6 r = 2− 2sinθ บนชวง

[0,

π

4

]3. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 4sinθ และ r = 4

√3cosθ

4. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 4sin2θ และ r = 4cosθ

5. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 2 + sinθ และ r = 2 +√3cosθ

6. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 2sin3θ และ r = 2sinθ

7. จงหาพนทอยภายในวงกลม x2 + y2 − x− y = 0 และ x2 + y2 + x− y = 0

8. จงหาพนทอยภายในวงกลม x2 + y2 − 4y = 0 เฉพาะสวนท x ≥√3

9. จงหาพนทอยภายในวงกลม x2 + y2 − 4x− 4y = 0 เฉพาะสวนท y ≥ 4

Page 151: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บทท 5ฟงกชนหลายตวแปรให f : D → R เมอ D ⊂ Rn = R × R × ... × R และ n เปนจำนวนเตมทมากกวา 1 จะเรยก f

วา ฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร ตวอยางเช นf(x, y) =

√x+ y, g(x, y, z) = xy + xz + yz และ h(x1, x2, x3, x4) =

√x21 + x2

2 + x23 + x2

4

สำหรบฟงกชนทไมระบโดเมนใหถอวาเปนโดเมนใหญสดทเปนสบเซตของ Rn

5.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปรตวอยาง 5.1.1 กำหนดให f(x, y) = ℓn(1− x2 − y2)

จงหาคาของ f(0, 0) และเขยนกราฟแสดงโดเมน

ตวอยาง 5.1.2 กำหนดให f(x, y) =1√

1 + x− y2

จงหาคาของ f(3, 0) และเขยนกราฟแสดงโดเมน

147

Page 152: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

148 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

ตวอยาง 5.1.3 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) = 12− 2x− 3y

ตวอยาง 5.1.4 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√9− x2 − 4y2

ตวอยาง 5.1.5 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√

x2 + y2

Page 153: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.1. ฟงก ชนคาจรงสองตวแปร 149

แบบฝ กหด 5.11. จงหาคาของฟงกชนทจดตอไปน

1.1 f(x, y) = x+√y ทจด (0, 1)

1.2 f(x, y) = x+ y + xy ทจด (1, 2)

1.3 f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2 ทจด (1,−2, 2)

1.4 f(x, y, z) = x2y2 − x4 + 4zx2 ทจด (a+ b, a− b, ab)

2. จงหาโดเมนของ f พรอมเขยนกราฟแสดงโดเมน2.1 f(x, y) = ℓn(1− x2 + y2)

2.2 f(x, y) =

√x+ y

x− y

2.3 f(x, y) =

√4− x2 − y2

y

2.4 f(x, y) =1

y − x2

3. จงหาโดเมนและเรจนของ f

3.1 f(x, y) = 4x2 + 9y2

3.2 f(x, y) = 1− x2 − 9y2

3.3 f(x, y) = −√

x2 + y2

3.4 f(x, y) = −√

1− x2 + y2

Page 154: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

150 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

5.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปรบทนยาม 5.2.1 ให D ⊂ R2 และ (x0, y0) ∈ D เราจะกลาววา (x, y) เปน จดลมต (limit point)ใน D กตอเมอ ทก ๆ r > 0

(Br(x0, y0)− {(x0, y0)}) ∩D = ∅

เมอ Br(x0, y0) = {(x, y) :√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < r}

บทนยาม 5.2.2 ให f : D → R เปนฟงกชนสองตวแปร และให (x0, y0) ∈ R2 ทมจดใน D ทอยใกล ๆ (x0, y0) เราจะกลาววา f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) เขยนแทนดวย

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L

กตอเมอ ทก ๆ จำนวนจรง ϵ > 0 มจำนวนจรงบวก δ > 0 ททำให

|f(x, y)− L| < ϵ ทก ๆ จำนวน (x, y) ∈ D ซง 0 <√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

ทฤษฎบท 5.2.3 ให f และ g เปนฟงกชนจาก D ไป R และ (x0, y0) เปนจดลมตของ D และใหc, L,M เปนจำนวนจรง แลว

1. lim(x,y)→(x0,y0)

c = c

2. lim(x,y)→(x0,y0)

x = x0

3. lim(x,y)→(x0,y0)

y = y0

4. ถา lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L และ lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = M แลว

4.1 lim(x,y)→(x0,y0)

[f(x, y) + g(x, y)] = L+M

4.2 lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)g(x, y) = LM

4.3 lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)

g(x, y)=

L

Mเมอ M = 0

4.4 lim(x,y)→(x0,y0)

|f(x, y)| = |L|

4.5 lim(x,y)→(x0,y0)

n√f(x, y) =

n√L เมอ n ∈ N และ n

√L เปนจำนวนจรง

Page 155: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.2. ลมตและความตอเนองของฟงก ชนสองตวแปร 151

ตวอยาง 5.2.4 จงหาคาลมตตอไปน

1. lim(x,y)→(1,−1)

(4x2y − x3y − 4x+ 1)

2. lim(x,y)→(2,−5)

(x√x2 − y)

3. lim(x,y)→(−2,−1)

(|x+ y − 1|)

4. lim(x,y)→(1,0)

sin(xy) + x

x− y

ตวอยาง 5.2.5 จงหาคาลมตตอไปน

1. lim(x,y)→(1,1)

x3 − y3

x2 − y2

2. lim(x,y)→(1,−1)

x4 − y4

x2 + 3xy + 2y2

3. lim(x,y)→(1,−1)

x2y + y2 − 3x2 − 3y

xy − 3x− y + 3

Page 156: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

152 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

ทฤษฎบท 5.2.6 ให f และ g เปนฟงกชนจาก D ไป R และ (x0, y0) เปนจดลมตของ D ถา

1. มจำนวนจรง M > 0 ซง |f(x, y)| < M ทก ๆ (x, y) ∈ D ซง 0 < ∥(x, y)− (x0, y0)∥ < δ

2. lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = 0

จะไดวาlim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y)g(x, y) = 0

ตวอยาง 5.2.7 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)

x2y4

x4 + y4

ตวอยาง 5.2.8 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)

2x2y3

x2 + y2

Page 157: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.2. ลมตและความตอเนองของฟงก ชนสองตวแปร 153

ทฤษฎบท 5.2.9 ให f : D → R และ (x0, y0) เปนจดลมตของ D และ C เปนเสนโคงใน R2 ทผานจด (x0, y0) จะไดวา lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = L กตอเมอ

f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) ตามเสนโคง C

ตวอยาง 5.2.10 กำหนดให f(x, y) = x2y

x4 + y2จงแสดงวา lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) ไมมคา

ตวอยาง 5.2.11 กำหนดให f(x, y) = x2 + y3

x2 + y4จงแสดงวา lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) ไมมคา

Page 158: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

154 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

บทนยาม 5.2.12 ให f : D → R และ (x0, y0) ∈ D จะกลาววา f ตอเนองทจด (x0, y0)

กตอเมอ1. lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) มคา

2. lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

และกลาววา f ตอเนองบนเซต S ⊂ D กตอเมอ f ตอเนองทกจดในเซต S

ตวอยาง 5.2.13 กำหนดให f(x, y) =

xy2

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

แลว f ตอเนองทจด (0, 0) หรอไม

Page 159: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.2. ลมตและความตอเนองของฟงก ชนสองตวแปร 155

ตวอยาง 5.2.14 กำหนดให f(x, y) =xy

x+ yแลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม

ทฤษฎบท 5.2.15 ให f : D → R เมอ D ⊂ R2 และ g เปนฟงกชนคาจรงซง Rf ∩ Dg = ∅สำหรบ (x0, y0) ∈ D

ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด (x0, y0) แลว g ◦ f จะตอเนองทจด (x0, y0)

ตวอยาง 5.2.16 กำหนดให f(x, y) =cos(x2 + y2)

x2 − y

แลว f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง

Page 160: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

156 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

แบบฝ กหด 5.21. จงหาคาของลมตตอไปน

1.1 lim(x,y)→(1,2)

(xy + x2)

1.2 lim(x,y)→(1,−1)

x2 − y2

x4 − y4

1.3 lim(x,y)→(1,1)

x2 − y2

x2y − xy2

1.4 lim(x,y)→(0,0)

x2 + y

x2 + y2

1.5 lim(x,y)→(0,0)

xy3

x4 + y4

1.6 lim(x,y)→(0,0)

xy3

x4 + y6

1.7 lim(x,y)→(0,0)

x3y4

x6 + y6

1.8 lim(x,y)→(0,0)

x3 + y4

x2 + y2

1.9 lim(x,y)→(0,0)

x4y4

(x2 + y4)3

1.10 lim(x,y)→(0,0)

y2x− y2

xy − y

1.11 lim(x,y)→(−1,2)

xy − 2x

xy − 6− 2x+ 3y

1.12 lim(x,y)→(0,0)

x2y4

x4 + x2y2 + y4

1.13 lim(x,y)→(1,0)

√x+ y −

√x− y

y

1.14 lim(x,y)→(0,0)

y2x

x2 + |xy|+ y2

1.15 lim(x,y)→(1,1)

x3 + 3xy − x2y − 3y2

x4 + xy2 − x3y − y3

1.16 lim(x,y)→(2,1)

x3 − 8y3

x2 − xy − 2y2

2. จงพจารณาวา f ตอเนองบนจดทกำหนดใหหรอไม

2.1 f(x, y) =x3y2

1− xyทจด (1, 1)

2.2 f(x, y) =

x2 − y2

x− yเมอ (x, y) = (1, 1)

1 เมอ (x, y) = (1, 1)

ทจด (1, 1)

2.3 f(x, y) =

xy2

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

1 เมอ (x, y) = (0, 0)

ทจด (0, 0)

3. กำหนดให f(x, y) =

x4 − y4

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

แลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม4. จงพจารณาวา f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง

4.1 f(x, y) =√y − x

4.2 f(x, y) =x2 + 4y2

x2 − 4y2

4.3 f(x, y) =1

3√x2 + y2 − 4

4.4 f(x, y) = exycos(xy2 + 1)

4.5 f(x, y) = 5x2yℓn|1− x2 − y2|

4.6 f(x, y) = arcsin(xy)

Page 161: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.3. อนพนธ ยอยของฟงก ชนสองตวแปร 157

5.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปรบทนยาม 5.3.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ (a, b) ∈ Df

อนพนธยอย (partial deivatives) ของ f เทยบกบ x ทจด (a, b) คอ

fx(a, b) = limh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

hถาลมตมคา

อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด (a, b) คอ

fy(a, b) = limh→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

hถาลมตมคา

ดงนนอนพนธยอยของฟงกชน f คอ fx และ fy

fx(x, y) = limh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

hและ fy(x, y) = lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

สญลกษณทนยมใชแทนอนพนธยอย

fx(x, y) = fx = f1 = D1f = Dxf =∂f

∂x=

∂f

∂x(x, y) =

∂z

∂x

fy(x, y) = fy = f2 = D2f = Dyf =∂f

∂y=

∂f

∂y(x, y) =

∂z

∂y

ตวอยาง 5.3.2 กำหนดให f(x, y) = x2y จงหาคาของ fx(1, 0) และ fy(1, 0) โดยใชบทนยาม

Page 162: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

158 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

ตวอยาง 5.3.3 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) =2x+ y2

x+ y

ตวอยาง 5.3.4 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) = ex2ysin2(5y)

Page 163: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.3. อนพนธ ยอยของฟงก ชนสองตวแปร 159

ตวอยาง 5.3.5 ให f(x, y) =

x3y − xy3

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)

Page 164: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

160 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธยอยตวอยาง 5.3.6 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว z = 4 + x2 − 4y2 กบระนาบx = 2 ทจด (2, 1, 4)

ตวอยาง 5.3.7 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว 3x2 + y2 + z2 = 8 กบระนาบy = −1 ทจด (1,−1,−2)

Page 165: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.3. อนพนธ ยอยของฟงก ชนสองตวแปร 161

แบบฝ กหด 5.31. จงหาอนพนธยอยของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x, y) = 3xy − 5x4y4

1.2 f(x, y) = 3

√1− sin2(xy)

1.3 f(x, y) = ℓn(cos√x+ y)

1.4 f(x, y) =x+ y

x2 + y2

1.5 f(x, y) = y2 + x2tan(xy)1.6 f(x, y) = 5ex

2y2 + exsin(x+ y2)

1.7 f(x, y) = ex(cosxy + sinxy)1.8 f(x, y) = arctan

(x

y

)

2. กำหนดให f(x, y) = x2yexy จงหาคาของ D1f(1, 1) และ D2f(1, 1)

3. กำหนดให f(x, y) = (x2 + y2)√

x2 − y2 จงหาคาของ f1(2, 1) และ f2(2, 1)

4. กำหนดให f(x, y) = (x2 + y2)−32 esin(x2y) จงหาคาของ fx(1, 0)

5. กำหนดให f(x, y) = 3√

x3 + y3 จงหาคาของ fx(0, 0)

6. กำหนดให f(x, y) =

x3 + y3

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)

7. กำหนดให f(x, y) =

x2y3

x2 + 4y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ ∂f

∂x(0, 0) และ ∂f

∂y(0, 0)

8. ให f(x, y) =

x2 − xy

x+ yเมอ x+ y = 0

0 เมอ x+ y = 0

จงหาคาของ D1f(0, y) เมอ y = 0 และ D2f(x, 0) เมอ x = 0

9. จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว x2 + 3y2 − z = 0 กบระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 7)

10. จงหาความชนของเสนโคงท เปนรอยตดของพนผว 9x2 − 36y2 − 4z2 = 36 กบระนาบy = −1 ทจด (

√12,−1,−3)

Page 166: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

162 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

5.4 กฎลกโซ ทฤษฎบท 5.4.1 กฎลกโซ (Chain Rule)กำหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนหนงตวแปรถา x, y หาอนพนธไดแลว

z

x y

tt

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt

ตวอยาง 5.4.2 กำหนดให z = x2y, x = tcost และ y = tsint จงหา dz

dt

ตวอยาง 5.4.3 กำหนดให z = ℓn(2x2 + xy), x =√t และ y = 3t− 1

จงหา dz

dtเมอ t = 1

Page 167: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.4. กฎลกโซ 163

ทฤษฎบท 5.4.4 กำหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(s, t), y = y(s, t)

เปนฟงกชนสองตวแปร ถา x, y หาอนพนธไดแลวz

y

s t

x

ts

∂z

∂s=

∂z

∂x

∂x

∂s+

∂z

∂y

∂y

∂s

∂z

∂t=

∂z

∂x

∂x

∂t+

∂z

∂y

∂y

∂t

ตวอยาง 5.4.5 กำหนดให z = exy, x = 2s+ t และ y =s

tจงหา ∂z

∂sและ ∂z

∂t

ตวอยาง 5.4.6 กำหนดให u = 3s− t2, s = x+ yℓnx และ t = x2 − yℓnyจงหา ∂u

∂xและ ∂u

∂yเมอ (x, y) = (1, 1)

Page 168: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

164 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

ตวอยาง 5.4.7 จงหา ∂z

∂xและ ∂z

∂yเมอ z นยามโดยปรยายซงเปนฟงกชนของ x และ y และ

สอดคลองสมการ x3 + y3 + z3 + 2xyz = 1

ตวอยาง 5.4.8 กำหนดให z = f(u− v, v − u) จงแสดงวา ∂z

∂u+

∂z

∂v= 0

Page 169: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.4. กฎลกโซ 165

ตวอยาง 5.4.9 จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยกลม ในขณะทความสง 30

น ว และรศมของฐานของกรวยยาว 20 น ว ถาความสงกำลงเพมขนในอตรา 2 น วตอนาท และรศมของฐานกำลงลดลงในอตรา 1 น วตอวนาท

ตวอยาง 5.4.10 นำรวออกจากถงรปทรงกระบอกดวยอตรา 4

5π ลกบาศก ฟตตอนาท ถาถง

ขยายตวลกษณะทยงคงรปเปนทรงกระบอกอย โดยรศมเพมดวยอตรา 0.002 ฟตตอนาท จงหาความสงของนำในถงจะเปลยนแปลงไปในอตราเทาใด ขณะทรศมของถงเปน 2 ฟต และปรมาตรของนำในถงเปน 20π ลกบาศกฟต

Page 170: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

166 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

แบบฝ กหด 5.41. จงหาอนพนธตอไปน

1.1 dz

dtเมอ z = x2ey, x = 2sint และ y = t4

1.2 dz

dtเมอ z = arctan

(yx

), x = ℓnt และ y = cost2

1.3 dz

dtเมอ z = x2y3 + xsiny + tx, x = t+

1

tและ y =

√t

1.4 ∂z

∂sและ ∂z

∂tเมอ z = 3x2 + xy + 2y2 + 3x− y, x = 2s− 3t และ y = st+ s2

1.5 ∂z

∂tและ ∂z

∂rเมอ z = e

yx , x = rcos2t และ y = r2sint

1.6 ∂z

∂rและ ∂z

∂θเมอ z = xyexy, x = rcosθ และ y = rsinθ

2. กำหนดให z =√

5 + x− 2xy4 เมอ x = t2 และ y = t− 1

จงหา dz

dtเมอ t = 1

3. กำหนดให z = f(x2 − y2) จงแสดงวา x∂z

∂y+ y

∂z

∂x= 0

4. ถารศมของกรวยกลมใบหนงกำลงเพมขนดวยอตรา 1 เซนตเมตรตอนาท และความสงกำลงลดลงดวยอตรา 2 เซนตเมตรตอนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรกรวยใบน เมอรศมและความสงของกรวยเปน 10 และ 20 เซนตมเตรตามลำดบ

5. สเหลยมผนผารปหนง ดานกวางกำลงเพมขนดวยอตรา 1 ฟตตอวนาท และดานยาวกำลงลดลงดวยอตรา 2 ฟตตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมรปนเมอความยาวของดานกวางเปน 6 ฟต และความยาวดายยาวเปน 12 ฟต

6. รางนำอนหนงยาว 300 เซนตเมตร หนาตดเปนรปสามเหลยมหนาจว ซงมมมหนงเปนมมฉาก ถาไขนำลงในรางดวยอตรา 50,000 ลกบาศกเซนตเมตรตอวนาท ระดบนำในรางจะสงขนดวยอตราเทาใด เมอนำลก 150 เซนตเมตร

Page 171: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.5. อนพนธ อนดบสง 167

5.5 อนพนธอนดบสงบทนยาม 5.5.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร จะเรยก ∂f

∂xและ ∂f

∂y

วาอนพนธยอยอนดบหนง (fisrt-order partial derivative) และนยามอนพนธยอยอนดบสอง (second-order partial derivative) ดงน

1. ∂

∂x(∂f

∂x) เขยนแทนดวย ∂2f

∂x2, fxx, f11 หรอ D11f

2. ∂

∂y(∂f

∂x) เขยนแทนดวย ∂2f

∂y∂x, fxy, f12 หรอ D12f

3. ∂

∂x(∂f

∂y) เขยนแทนดวย ∂2f

∂x∂y, fyx, f21 หรอ D21f

4. ∂

∂y(∂f

∂y) เขยนแทนดวย ∂2f

∂y2, fyy, f22 หรอ D22f

อนพนธยอยอนดบอน ๆ นยามทำนองเดยวกน

ตวอยาง 5.5.2 จงหาอนพนธอนดบสองของ f(x, y) = yexy + x3y2

Page 172: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

168 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปรตวอยาง 5.5.3 กำหนดให f(x, y) = x3y2 − x2siny จงหา fxxy

ตวอยาง 5.5.4 ให f(x, y) =

x3y − xy3

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ D12f(0, 0) และ D21f(0, 0)

Page 173: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.5. อนพนธ อนดบสง 169

ตวอยาง 5.5.5 กำหนดให z = f(x, y), x = 2t+ 3s และ y = st จงหา ∂2z

∂s∂t

ตวอยาง 5.5.6 กำหนดให z = f(x, y), x = x(r, θ) และ y = y(r, θ)

จงหา ∂2z

∂r2และ ∂2z

∂θ∂r

Page 174: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

170 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

แบบฝ กหด 5.51. จงหาอนพนธยอยอนดบสองของแตละขอตอไปน

1.1 f(x, y) = x2 − 2xy3 + 5y6 + 3

1.2 f(x, y) = ℓn(x2 − 5y)

1.3 f(x, y) = xey + yex

1.4 f(x, y) = sin(cos(2x+ 3y))

1.5 f(x, y) = exy + y√x

2. กำหนดให f(x, y) = x3y5 − 2x2y + x จงหา ∂3f

∂y∂x2, ∂3f

∂y∂x∂yและ ∂3f

∂y3

3. กำหนดให f(x, y) = (2x+ y)5 จงหา ∂3f

∂y∂x∂y, ∂3f

∂x2∂yและ ∂4f

∂y2∂x2

4. กำหนดให f(x, y) = x3e−5y จงหา fxyy(0, 1), fxxx(0, 1) และ fyyxx(0, 1)

Page 175: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

5.6. การประมาณคาเชงเสน 171

5.6 การประมาณคาเชงเสนบทนยาม 5.6.1 คาเชงอนพนธ (differential) ของ f ทจด (x, y) เขยนแทนดวย df(x, y) และกำหนดโดย

df(x, y) = fx(x, y)∆x+ fy(x, y)∆y

หรออาจจะเขยน ∆x = dx และ ∆y = dy

df(x, y) = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

ตวอยาง 5.6.2 กำหนดให f(x, y) = x2sinxy จงหา df(x, y)

เราจะประมาณคา f(x+ dx, y + dy)− f(x, y) ≈ df(x, y) เมอ ∥(dx, dy)∥ มคานอย ๆ เราจะไดสตรการประมาณคาเชงเสน (Linear approximation) ดงน

f(x+ dx, y + dy) ≈ f(x, y) + fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

ตวอยาง 5.6.3 จงใชคาอนพนธประมาณคาของ 3√

(2.01)2 + (1.98)2

ตวอยาง 5.6.4 จงหาปรมาตรโดยประมาณของกลองรปสเหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสซงมความยาวดานละ 5.003 เซนตเมตร และสง 9.997 เซนตเมตร

Page 176: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

172 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

แบบฝ กหด 5.61. จงหาคาเชงอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x, y) =√x2 + xy

1.2 f(x, y) = excosxy1.3 f(x, y) =

xy

x+ y

1.4 f(x, y) = x3sinxℓny

2. จงประมาณคาตอไปน

2.1 √(3.01)2 + (3.97)2

2.2 (1.002)e0.001

2.3 13√

(0.003)3+(7.979)3

2.4 (0.99)3.001

3. ทรงกระบอกใบหนงรศมฐานเปน 5.026 เซนตเมตร และวดสวนสงได 24.003 เซนตเมตรจงคำนวณปรมาตรโดยประมาณของทรงกระบอกน

4. กรวยกลมใบหนงมการเปลยนแปลงรศมจาก 3 ฟต และสง 4 ฟต ไปเปนรศม 2.9 ฟต และสง 4.3 ฟต จงหาคาสวนการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยใบน โดยใชคาอนพนธ

5. ในการคำนวณปรมาตรของกลองรปทรงสเหลยมมมฉากซงวดความกวาง ความยาว และความสงได 10 13 และ 16 น วตามลำดบ ถาวดความผดพลาดไมเกน 0.03 น ว จงหาขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ

Page 177: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บทท 6อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร

6.1 อนทกรลบนโดเมนรปส เหลยมผนผาให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d] พจารณาการแบงช วงแบง [a, b] ออกเปน m ชวง ดวยจด x0, x1, x2, ..., xm โดยท

a = x0 < x1 < x2 < ... < xm = b

แบง [c, d] ออกเปน n ชวง ดวยจด y0, y1, y2, ..., yn โดยทc = y0 < y1 < y2 < ... < yn = d

ให Dij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj] เปนสเหลยมผนผายอยของรป ij เมอ i = 1, 2, ...,m และj = 1, 2, ..., n

X

Y

a = x0 x1 xi−1 xi xm−1 xm = b

c = y0

y1

yj−1

yj

yn−1

d = yn

Dij

ให ∆xi = xi − xi−1 และ ∆yj = yj − yj−1 และ Dij = ∆Aij = ∆xi∆yj ให (xij, yij) ∈ Dij แลว

Smn =m∑i=1

n∑j=1

f(xij, yij)∆Aij

เรยก Smn วา ผลบวกรมนน (Reimann sum) ของ f บน D

173

Page 178: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

174 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ถาเราแบง ∆xi และ ∆yi มคาเขาใกลศนย เมอ m และ n มคามาก ๆ และlim

m→∞,n→∞Smn = L

แลวเราจะกลาววา f เปนฟงกชนทอนทเกรตได (integrable) บน D และเรยกคาลมต L วาอนทกรลสองชน (double integral) ของ f บน D ซงเขยนแทนดวย∫∫

D

f หรอ∫∫D

f dA หรอ∫∫D

f dxdy

พจารณาฟงกชน f(x, y) ≥ 0 ทก (x, y) ∈ D ซงอนทเกรตไดบน D

f(xij, yij)∆Aij = ปรมาตรรปทรงสเหลยมมมฉากทมความสง f(xij, yij) บนสเหลยมผนผา Dij

X

Y

Z

a

xi−1

xi

b

cyj−1

yj

d

(xij, yij)

Dij

f(xij, yij)

z = f(x, y)

ดงนน ∫∫D

f dA = ปรมาตรรปทรงตนซงอยภายใตผว z = f(x, y) บน D

สำหรบ f(x, y) = 1 จะไดวา ∫∫D

dA = พนทอาณาบรเวณของ D

Page 179: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.1. อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา 175ตวอยาง 6.1.1 กำหนดให f(x, y) = xy และ D = [0, 1]× [1, 2]

จงหา∫∫D

dA โดยใชลมตของผลบวกรมนน

Page 180: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

176 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

เนองจากการคำนวนคาอนทกรลสองชนผานลมตของผลบวกรมนนคอนขางยงยาก เราจงพจารณา เหมอนกบการอนทเกรตในหนงตวแปร∫

f(x, y) dx มอง y เปนคาคงตว และ∫

f(x, y) dy มอง x เปนคาคงตว

ตวอยางเช น∫ 1

0

∫ 2

1

xy dydx =

∫ 1

0

(∫ 2

1

xy dy

)dx =

∫ 1

0

[1

2xy2]y=2

y=1

dx

=

∫ 1

0

[1

2x22 − 1

2x12]dx =

∫ 1

0

3

2x dx =

[3

4x2

]x=1

x=0

=3

4

ตวอยาง 6.1.2 จงหาคาอนทกรลสองชน∫ 4

−2

∫ 3

1

(3x2 − 2xy + 3y2 + 2) dydx

ตวอยาง 6.1.3 จงหาคาอนทกรลสองชน∫ 1

−1

∫ 2

1

x+ y

ydydx

Page 181: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.1. อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา 177

ทฤษฎบท 6.1.4 ให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d]

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D แลว∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dxdy

ตวอยาง 6.1.5 จงหาคาอนทกรลสองชน∫ 3

0

∫ 1

0

2x√x2 + y dxdy

ตวอยาง 6.1.6 จงหาคาอนทกรลสองชน∫∫D

xsin(xy) dA เมอ D = [0, 1]× [0, π2]

Page 182: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

178 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.1.7 จงหาปรมาตรรปทรงตนทอยเหนอระนาบ XY ซงป ดลอมดวย

ระนาบ x+ y + z = 4 และปดลอมดวยระนาบ x = 0, x = 1, y = 1 และ y = 2

X

Y

Z

X

Y

Z

Page 183: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.1. อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา 179

แบบฝ กหด 6.11. จงหาคาอนทกรลสองชนตอไปน

1.1∫ 2

1

∫ 3

2

(x2y + xy2) dxdy

1.2∫ 1

0

∫ 6

1

1

x+ 1dxdy

1.3∫ 2

−2

∫ 8

3

dxdy

1.4∫ 2

0

∫ 1

0

ysinx dydx

1.5∫ π

π2

∫ 2

1

ycos(xy) dxdy

1.6∫ ℓn2

0

∫ ℓn3

0

ex+ysinx dxdy

2. จงหาคาอนทกรลสองชนตอไปนบนอาณาบรเวณทกำหนดให2.1

∫∫D

y

(xy + 1)2dA D = [0, 1]× [0, 1]

2.2∫∫D

ydA D = {(x, y) : −3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 5}

2.3∫∫D

x√1− x2dA D = อาณาบรเวณทป ดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 2

และ y = 3

2.4∫∫D

xcos(xy)cos2(πx)dA D = [0, 12]× [0, π]

3. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทอยภายใตพนทผว z = 4x3 + 3x2y และอยเหนอรปสเหลยมผนผา D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4}

4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงป ดลอมดวย

ระนาบ x = 0, z = 0, x = 5, z − y = 0 และ z = 6− 2y

Page 184: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

180 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

6.2 อนทกรลบนโดเมนทวไปให f : S −→ R เมอ S ⊂ D = [a, b]× [c, d]

X

Y

a b

c

d

S

ให f : D → R นยามโดย

f(x, y) =

f(x, y) เมอ x ∈ S

0 เมอ x /∈ S

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทกรลเปน ∫∫

S

f =

∫∫D

f

ตวอยาง 6.2.1 กำหนดให f(x, y) = xy และ S เปนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคงy =

√x และเสนตรง x = 2y จงหาคาของ

∫∫S

f

X

Y

x = 2y

y =√x

0 1 2 3 4 5

1

2

3

Page 185: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.2. อนทกรลบนโดเมนทวไป 181

เราสามารถหาอนทกรลสองชนโดยการพจารณาโดเมนไดสองลกษณคอ1. แบบท 1 S = {(x, y) : g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}

X

Y

a b

c

d y = g1(x)

y = g2(x)

S

f(x, y) =

0 เมอ c ≤ y < g1(x)

f(x, y) เมอ g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

0 เมอ g2(x) < y ≤ d

และ

∫∫S

f =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx

2. แบบท 2 S = {(x, y) : h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}

X

Y

a b

c

d

x = h2(y)x = h1(y) S

f(x, y) =

0 เมอ a ≤ x < h1(y)

f(x, y) เมอ h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

0 เมอ h2(y) < x ≤ b

และ

∫∫S

f =

∫ b

a

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy

Page 186: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

182 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.2.2 จงหาคาของ∫∫S

y เมอ S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π8, sinx ≤ y ≤ cosx}

X

Y

0 1 2

1

π8

π4

π2

y = sinx

y = cosx

ตวอยาง 6.2.3 จงหาคาอนทกรลสองชนของ f(x, y) = x − 3y2 บนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = |x|+ 1 และ y = 3

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

Page 187: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.2. อนทกรลบนโดเมนทวไป 183

ตวอยาง 6.2.4 จงหาคาของ∫∫S

xy2 dA

เมอ S เปนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = x2, x+ y = 2 และ y =1

2โดยท y ≥ x2

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

Page 188: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

184 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.2.5 จงเปลยนลำดบการอนทเกรตของ∫ 0

−2

∫ 5

1+y2f(x, y) dxdy

X

Y

1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

0

1

ตวอยาง 6.2.6 จงเปลยนลำดบการอนทเกรตของ∫ 6

2

∫ x2

|x−3|f(x, y) dydx

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

Page 189: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.2. อนทกรลบนโดเมนทวไป 185

ตวอยาง 6.2.7 จงหาคาของ∫ 4

0

∫ 2

√y

ex3

dxdy

X

Y

0 1 2 3

1

2

3

4

5

Page 190: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

186 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.2.8 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงป ดลอมดวยพนผว z = 4 − x2 − y2

และระนาบ x+ y = 1 โดยท x+ y ≤ 1

X

Y

Z

Page 191: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.2. อนทกรลบนโดเมนทวไป 187

ตวอยาง 6.2.9 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยเหนอระนาบ XY และปดลอมดวยพนผว x2 + y2 = 4 และระนาบ y + z = 4

X

Y

Z

Page 192: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

188 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

แบบฝ กหด 6.21. จงเปลยนลำดบการอนทเกรต และเขยนรปแสดงอาณาบรเวณของการอนทเกรต

1.1∫ 0

−2

∫ 2+√4−x2

2−√4−x2

f(x, y) dydx

1.2∫ 2

0

∫ ey

1

f(x, y) dxdy

1.3∫ 1

0

∫ 0

x2−4

f(x, y) dxdy

1.4∫ 3

0

∫ y+1

(y−1)2f(x, y) dxdy

2. จงหาคาของ

2.1∫ 2

0

∫ √4−y2

0

x dxdy

2.2∫ 2

1

∫ 2x

x

1

(x+ y)3dydx

2.3∫ 1

−1

∫ y

−1

xyex2

dxdy

2.4∫ 1

0

∫ 1

0

|x− y| dydx

2.5∫ 1

0

∫ y

0

x√y2 − x2 dxdy

2.6∫ π

π2

∫ x2

0

1

xcos(yx

)dydx

2.7∫ 3

1

∫ x

0

2

x2 + y2dydx

2.8∫ 1

0

∫ 3√x

√x

(1 + y6) dydx

2.9∫ 1

0

∫ x

4x

e−y2 dydx

2.10∫ 1

0

∫ π2

arcsinysec2(cosx) dxdy

3. จงหาคาอนทกรลสองชน∫∫S

f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกำหนดให

3.1 f(x, y) = cos(x+ y) S คออาณาบรเวณทป ดลอมดวย y = x, x = π และแกน X3.2 f(x, y) = xy2 S คออาณาบรเวณเหนอเสนตรง y = 1− x

และอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1

3.3 f(x, y) =2y − 1

x+ 1S คออาณาบรเวณทป ดลอมดวย y = 2x− 4, y = 0

และ x = 1

4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทป ดลอมดวย

4.1 ระนาบ x+ 2y + 3z = 6 ในอฐภาคทหนง4.2 พนผว z = 1− x2 − y2 เหนอระนาบ XY4.3 ระนาบ x+ y + z = 3, y = x, x+ y = 2, x = 0 และ z = 0 โดยท x+ y ≥ 2

4.4 พนผว 4x2 + y2 = 9 ระนาบ z = y + 3 และอยเหนอระนาบ XY4.5 พนผว z = x2 + y2 และ x2 + y2 = 4 ในอฐภาคทหนง

Page 193: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 189

6.3 อนทกรลบนระบบพกดเชงขวพจารณาโดเมน

D = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

X

O r = a r = b

D

θ = β

θ = α

ให f : D → R เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D จะแบงอาณาบรเวณ D ออกเปนสวนยอย ๆ คอแบง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยดวยจด r0, r1, r2, ..., rm โดยท

a = r0 < r1 < r2 < ... < rm = b

แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท

α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β

สำหรบ i = 1, 2, 3, ...,m และ j = 1, 2, 3, ..., n ให

Dij = {(r, θ) : ri−1 ≤ r ≤ ri, θj−1 ≤ θ ≤ θj}

X

O a = r0 r1 ri−1 ri rm−1 rm = b

Dij

θ0 = α

θ1

θj−1

θj

θn−1

θn = β

Page 194: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

190 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ให (xij, yij) เปนจดใน Dij ดงนน

xij = rijcosθij และ yij = rijsinθij เมอ ri−1 ≤ rij ≤ ri และ θj−1 ≤ θij ≤ θj

และ ∆Aij เปนพนทของอาณาบรเวณ Dij ดงนนผลบวกรมนนคอ

Smn =m∑i=1

n∑j=1

f(xij, yij)∆Aij

O

ri−1ri

Dijθj−1

θj

∆Aij =1

2r2i (θj − θj−1)−

1

2r2i−1(θj − θj−1) =

1

2(r2i − r2i−1)(θj − θj−1)

=1

2(ri + ri−1)(ri − ri−1)(θj − θj−1)

= rij(ri − ri−1)(θj − θj−1) ( เลอก rij =1

2(ri + ri−1) เปนจดกงกลาง )

ดนนนSmn =

m∑i=1

n∑j=1

f(rijcosθij, rijsinθij)rij(ri − ri−1)(θj − θj−1)

เนองจาก f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D ดงนน∫∫D

f = limm→∞,n→∞

Smn =

∫ β

α

∫ b

a

f(rcosθ, rsinθ)r drdθ

สรปไดวา ∫∫D

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ b

a

f(rcosθ, rsinθ)r drdθ

หรอ ∫∫D

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ β

α

f(rcosθ, rsinθ)r dθdr

Page 195: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 191

ตวอยาง 6.3.1 กำหนดให f(x, y) =√

x2 + y2 จงหาคาของ∫ π

0

∫ 1

0

f(rcosθ, rsinθ)r drdθ

ตวอยาง 6.3.2 ให D เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนง ซงอยระหวางวงกลม x2 + y2 = 1 และx2 + y2 = 4 จงหา ∫∫

D

1

x2 + y2 + 1dA

X

Y

Page 196: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

192 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.3.3 จงหาคาของ∫ 1

0

∫ √1−y2

0

ex2+y2 dxdy

X

Y

Page 197: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 193

การอนทเกรตบนโดเมน S ใดๆ เมอ f : S → R เปนฟงกชนทอนทเกรตได เราจะหาคาของ∫∫S

f โดยการสรางรป

D = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

ลอมรอบ S

X

Y

O

D

r = a r = b

S

θ = α

θ = β

และกำหนดฟงกชน f : D → R นยามโดย

f(x, y) =

f(x, y) เมอ x ∈ S

0 เมอ x /∈ S

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทกรลเปน ∫∫

S

f(x, y) dA =

∫∫D

f(x, y) dA

Page 198: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

194 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

การหาอนทกรลสองชนในระบบพกดเชงขวพจารณาโดเมนได 2 แบบคอ1. แบบท 1 S = {(r, θ) : g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), α ≤ θ ≤ β}

X

Y

O

Dg1(θ)

g2(θ)

r = a r = b

Sθ = α

θ = β

f(x, y) = f(rcosθ, rsinθ) =

0 เมอ a ≤ r < g1(θ)

f(rcosθ, rsinθ) เมอ g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ)

0 เมอ g2(θ) < r ≤ b

∫∫S

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ g2(θ)

g1(θ)

f(rcosθ, rsinθ)r drdθ

2. แบบท 2 S = {(r, θ) : h1(r) ≤ θ ≤ h2(r), a ≤ r ≤ b}

X

Y

O

Dh1(r)

h2(r)

r = a r = b

Sθ = α

θ = β

f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) =

0 เมอ α ≤ θ < h1(r)

f(rcosθ, rsinθ) เมอ h1(r) ≤ θ ≤ h2(r)

0 เมอ h2(θ) < θ ≤ β

∫∫S

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ h2(r)

h1(r)

f(rcosθ, rsinθ)r dθdr

Page 199: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 195

ตวอยาง 6.3.4 จงเขยนอนทกรล∫ 2

−2

∫ 2+√

4−y2

2−√

4−y2f(x, y) dxdy ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

−1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

Page 200: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

196 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.3.5 จงเขยนอนทกรล∫ 2

0

∫ 2

x

f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

0 1 2 3

1

2

3

ตวอยาง 6.3.6 จงเขยนอนทกรล∫ 2

0

∫ 3

x

f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

Page 201: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 197

ตวอยาง 6.3.7 จงเขยนอนทกรล∫ π

2

0

∫ 2secθ

0

r2sin2θ drdθ ใหอยในระบบพกดฉาก

X

Y

−2 −1 0 1 2

1

2

3

Page 202: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

198 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.3.8 จงหาคาของ∫∫S

sin(x2 + y2) dA เมอ S เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนงท

ป ดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 4 และ เสนตรง y = 0 และ y = x

X

Y

Page 203: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 199

ตวอยาง 6.3.9 จงหาคาของ∫ 2

1

∫ √4−x2

−√4−x2

1√x2 + y2

dydx

X

Y

Page 204: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

200 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ตวอยาง 6.3.10 จงหาพนทของอาณาบรเวณในจตภาคทหนงซงอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1

และวงกลม x2 + y2 = 2y

X

Y

Page 205: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 201

ตวอยาง 6.3.11 จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงลอมรอบดวยดานขางดวยพนผว x2 + y2 − 2x = 0 และสวนบนปดดวยพนผว z =

√4− x2 − y2

X

Y

Z

X

Y

Page 206: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

202 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

แบบฝ กหด 6.31. จงเขยนอนทกรลตอไปน ใหอยในรปพกดเชงขวพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอ

นทเกรต

1.1∫ 1

0

∫ √1−y2

1−y

f(x, y) dxdy

1.2∫ 1

−1

∫ √1−x2

0

f(x, y) dydx

1.3∫ √

2

−√2

∫ √4−y2

|y|f(x, y) dxdy

1.4∫ 1

−1

∫ 1

x2

f(x, y) dydx

2. จงเขยนอนทกรลตอไปน ใหอยในรปพกดฉากพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอนทเกรต

2.1∫ π

2

0

∫ cosθ

0

r2 drdθ 2.2∫ π

2

π3

∫ 2cscθ

cscθrcosθ drdθ

3. จงหาคาอนทกรลสองชน ∫∫S

f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกำหนดให

3.1 f(x, y) =√1 + 4x2 + 4y2 S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทป ดลอมดวย

x2 + y2 = 4

3.2 f(x, y) =1√

x2 + y2S คออาณาบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4x

และอยภายนอกวงกลม x2 + y2 = 4

3.3 f(x, y) = x+ y S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทป ดลอมดวยx2 + y2 = 4, y =

√3x และ y = 0

3.4 f(x, y) = y√

x2 + y2 S คออาณาบรเวณทป ดลอมดวยครงวงกลมy =

√2x− x2 และแกน X

4. จงหาพนทของบรเวณซงป ดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 1 และเสนตรง x = 3, y = x และy = 0

5. จงหาพนทของบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4 เมอ y ≥ 3

6. จงหาพนทของบรเวณซงป ดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 4x และเสนโคง y =√2x กบแกน

X7. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 1−x2−y2 และลอม

รอบดวยพนผวดานขางดวย x2 + y2 = x

8. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 4+ x+2y และลอมรอบดวยพนผวดานขางดวย x2 + y2 = 1

Page 207: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บทท 7สมการเชงอนพนธเบ องตน

7.1 สมการเชงอนพนธสมการทแสดงความสมพนธระหวาง ฟงกชนกบอนพนธของฟงกชนนน เรยกวาสมการเชงอนพนธ(differential equation) ตวอยางเช น

1. สมการการเคลอนท (Equation of motion)

md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx = f(t)

2. สมการการเตบโตของจำนวนประชากร (Population growth equation)dP

dt= kP

3. สมการคลนในหนงมต (One-dimensional wave equation)∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

บทนยาม 7.1.1 สมการเชงอนพนธของฟงกชนตวแปรเดยวเรยกวา สมการเชงอนพนธสามญ(Ordinary Differential Equation : ODE ) ถาสมการเชงอนพนธ ของฟงกชนมากกวาหนงตวแปรเรยกวา สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation : PDE )ตวอยาง 7.1.2 จงตรวจสอบวาสมการเชงอนพนธตอไปน เปน ODE หรอ PDE

สมการเชงอนพนธ ODE PDEd2y

dx2+ 3x

dy

dx= ex

d3x

dt3− 2

(dx

dt

)2

=d2x

dt2

∂2u

∂t2− λ

∂2u

∂x2= 2sinx

203

Page 208: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

204 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

บทนยาม 7.1.3 อนดบ (order) ของสมการเชงอนพนธ คออนดบสงสดของอนพนธทปรากฎในสมการนน ดกร (degree) ของสมการเชงอนพนธ คอกำลงสงสดของอนพนธ อนดบสงสดท ปรากฎทปรากฎในสมการนน เมอจดทก ๆ กำลงเปนจำนวนเตมบวกตวอยาง 7.1.4 จงบอกอนดบและดกรของสมการเชงอนพนธตอไปน

สมการเชงอนพนธ อนดบ ดกรdy

dx= x3

yd2y

dx2+

(dy

dx

)2

= 0

xu

(∂u

∂x

)2

+

(∂3u

∂t3

)3

= cost

xy2 = y′ +√

1 + y′

บทนยาม 7.1.5 เรยกสมการเชงอนพนธวา สมการเชงเสน (linear equation) ถา1. ทก ๆ ตวแปรตามและอนพนธของตวแปรตามมเลขชกำลงเปน 12. ไมมพจนในรปผลคณของตวแปรตาม และ/หรอ อนพนธของตวแปรตามปรากฏในสมการ3. ไมมพจนในรปฟงกชนอดสยของตวแปรตามหรอ อนพนธของตวแปรตามปรากฏในสมการ

และเรยกสมการเชงอนพนธทไมเปนสมการเชงเสนวา สมการไมเชงเสน (nonlinear equation)ตวอยาง 7.1.6 จงตรวจสอบวาสมการเชงอนพนธตอไปน เปนสมการเชงเสนหรอไม

สมการเชงอนพนธ สมการเชงเสน สมการไมเชงเสนd2y

dx2+

dy

dx+ y = 3x2

yd3y

dx3+

dy

dx= tanx

∂u

∂x+

(∂3u

∂t3

)2

= sinu

xy2 = y′ + yy′′

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ y = 0

Page 209: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.1. สมการเชงอนพนธ 205

สมการเชงอนพนธอนดบหนงดกรหนงจะเขยนไดเปนdy

dx= f(x, y) หรอ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

บทนยาม 7.1.7 เราจะเรยกฟงกชนซงไมเปนฟงกชนของอนพนธ และสอดคลองสมการเชงอนพนธวา ผลเฉลย (solution) ของสมการผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอาจจะอยในรปของฟงกชนทนยามแบบแจมชด (explicite function)หรอฟงกชนท นยามโดยปรยาย (implicite function) กได เราเรยกผลเฉลยของสมการเชงอนพนธท มคาคงตวไมเจาะจงวา ผลเฉลยทวไป (general solution) และผลเฉลยทกำหนดคาคงตวแนนอนวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)ตวอยาง 7.1.8 จงแสดงวา y = Ae−3x +Bex ผลเฉลยทวไปของสมการ y′′ + 2y′ = 3y

ตวอยาง 7.1.9 จงแสดงวา y =1 + cet

1− cetเปนผลเฉลยทวไปของสมการ dy

dt=

1

2(y2 − 1)

Page 210: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

206 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

ตวอยาง 7.1.10 จงแสดงวา y = x− 1

xผลเฉลยเฉพาะของสมการ xy′ + y = 2x

ตวอยาง 7.1.11 จงแสดงวา y = sinxcosx− cosx เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการy′ + (tanx)y = cos2x

ตวอยาง 7.1.12 จงแสดงวา x2y − xy2 = c สอดคลองสมการ (x2 − 2xy)y′ = y2 − 2xy

Page 211: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.1. สมการเชงอนพนธ 207

แบบฝ กหด 7.11. จงบอกอนดบ ดกร รวมทงระบวาสมการใดเปนสมการเชงเสน หรอเปนสมการไมเชงเสน

1.1 dy

dx+ 2xy = 4x

1.2 y′′′ + 2y′′ + 3y′ + 4y = cosx1.3 ex

dy

dx=√

x2 + y′

1.4(dy

dx

)5

+ xd2y

dx2= ℓnx

1.5 (x2 − 1)y′ + xy2 + 1 = 0

1.6 u∂2u

∂t2= −∂u

∂x

2. จงแสดงวาฟงกชนทกำหนดใหเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

2.1 y = cx+√1− c2 เปนผลเฉลยทวไปของ xy′ +

√1− (y′)2 = y

2.2 (x− c)2 + y2 = a2 เปนผลเฉลยทวไปของ y2(dy

dx

)2

+ y2 = a2

2.3 y2 − x = 0 เปนผลเฉลยเฉพาะของ y = 2xdy

dx

2.4 y = 4 +4

xเปนผลเฉลยเฉพาะของ x

d2y

dx2+ 2

dy

dx= 0

Page 212: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

208 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

7.2 สมการแยกตวแปรไดบทนยาม 7.2.1 สมการเชงอนพนธทสามารถเขยนในรป

dy

dx= f(x)g(x) หรอ M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy = 0

เรยกวาเปน สมการแบบแยกตวแปรได (variable separable equation)วธหาผลเฉลย ดงนนสมการแบบแยกตวแปรได คอสมการทสามารถเขยนไดในรป

M1(x)

N1(x)dx+

N2(y)

M2(y)dy = 0

การหาผลเฉลยของสมการแบบแยกตวแปรไดคอการอนทเกรตแตละสวน∫M1(x)

N1(x)dx+

∫N2(y)

M2(y)dy = c

เมอ c เปนคาคงตวไมเจาะจงตวอยาง 7.2.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. 3(1− y2) dx− 2xy dy = 0 2. dy

dx=

y − xy

x2 + 1

Page 213: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.2. สมการแยกตวแปรได 209

ตวอยาง 7.2.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. (ℓn y)2y′ = x2y เมอ y(2) = 1

2. 4sin2x dy + sec2y dx = 0 เมอ y(π2

)= π

Page 214: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

210 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

แบบฝ กหด 7.21. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1.1 dy

dx+ 2xy = 4x

1.2 (y4 + y)y′ = sinx− cosx1.3 x3 dy

dx=√

x2 − x2y2 เมอ x > 0

1.4 3(4y2 + 1) dx = y(x− 1) dy

1.5 1 + ex

1− e−ydy + ex+y dx = 0

1.6 (x2y + x2) dx = (xy2 − y2) dy

1.7 (x2 + 1)y′ + y2 + 1 = 0

1.8 (x2y2secxtanx+ xy2secx) dx+ xy3 dy = 0

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.1 cos2xdydx

= sin2y เมอ y(0) =π

2

2.2 √x2 + 1

dy

dx=

x

yเมอ y(

√3) = 2

2.3 dy =9ex

ey2 + y2e2dx เมอ y(1) = 3

2.4 x dy =y

x− x3dx เมอ y(2) = −2

Page 215: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.3. สมการเอกพนธ 211

7.3 สมการเอกพนธ บทนยาม 7.3.1 เรยกฟงกชน F (x, y) วาฟงกชนเอกพนธดกร n (homogeneous functionof degree n) ถามจำนวนเตม n ททำให

F (λx, λy) = λnF (x, y) สำหรบทก ๆ จำนวนจรงบวก λ

ตวอยาง 7.3.2 จงพจารณาฟงกชนตอไปน วาเปนฟงกชนเอกพนธหรอไม ถาเปนดกรเทาใด1. f(x, y) = x3 + 2xy2

2. f(x, y) =x2 − 2y2

xy

3. f(x, y) =1

ycos(x

y

)

4. f(x, y) = x2sin(xy)

บทนยาม 7.3.3 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 เปนสมการเชงอนพนธเอกพนธ (homogeneous differential equation) ถา M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธทมดกรเทากน หรอพจารณาสมการเชงอนพนธ

dy

dx= F (x, y)

เปนสมการเชงอนพนธเอกพนธกตอเมอ F (x, y) เปนสมการเอกพนธดกร 0วธหาผลเฉลย เนองจาก F (x, y) เปนสมการเอกพนธดกร 0 ดงนน F (x, y) = F (λx, λy)

ให λ =1

xเมอ x > 0 และ λ = −1

xเมอ x < 0 จะไดวา

F (x, y) = F (λx, λy) = F(1,

y

x

)= G

(yx

)ดงนนสมการเชงอนพนธเอกพนธจะอยในรป

dy

dx= G

(yx

)ให v =

y

xแลว y = vx ดงนน dy

dx= v + x

dv

dxทำใหไดวา

v + xdv

dx= G(v)

เหนไดชดวาเปนสมการแบบแยกตวแปรไดในพจนของ x และ v

Page 216: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

212 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

ตวอยาง 7.3.4 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน1. (y2 − x2) dx+ xy dy = 0

2. xdy

dx− y = xcos

(yx

)

Page 217: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.3. สมการเอกพนธ 213

ตวอยาง 7.3.5 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ

xyy′ = x2e−yx + y2 เมอ y(1) = 0

Page 218: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

214 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

แบบฝ กหด 7.31. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1.1 dy

dx=

y2 + 2xy

x2

1.2 x dy −(xtan

(yx

)+ y)dx = 0

1.3 (x2y + y3) dx+ x3 dy = 0

1.4 2xy dx+ (x2 + y2) dy = 0

1.5 xy′ = x+ y

1.6 x(1 + ℓn

(yx

))y′ = y

1.7 2x dy − 2y dx =√x2 + 4y2 dx เมอ x > 0

1.8 2yexy dx = (2xe

xy − y) dy

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.1 dy

dx=

x+ y

x− yเมอ y(−1) = 0

2.2 x2y dx− (x3 − y3) dy = 0 เมอ y(1) = 1

2.3 14xyy′ = 6x2 − 7y2 เมอ y(−2) = 1

2.4 x2y′ = 3x2 − 2xy + y2 เมอ y(1) =3

2

Page 219: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.4. สมการแมนตรง 215

7.4 สมการแมนตรงบทนยาม 7.4.1 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 เปนสมการเชงอนพนธแมนตรง (exact differential equation) กตอเมอมฟงกชน F (x, y) ททำให

∂F

∂x= M(x, y) และ ∂F

∂y= N(x, y)

ทก ๆ (x, y) ในอาณาบรเวณ R

วธหาผลเฉลย เนองจาก M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 ดงนน dF (x, y) = 0 นนคอผลเฉลยทวไปของสมการแมนตรงคอ F (x, y) = c

จากสมบตคาเชงอนพนธจะไดวาdF (x, y) = M(x, y) dx+N(x, y) dy

∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy = M(x, y) dx+N(x, y) dy

ดงนน∂F

∂x= M(x, y) และ ∂F

∂y= N(x, y)

จะไดวา ∂2F

∂y∂x=

∂M

∂yและ ∂2F

∂x∂y=

∂N

∂xถา M,N, ∂M

∂yและ ∂N

∂xตอเนองในอาณา

บรเวณ R จะไดวา∂M

∂y=

∂N

∂x

ดงนนF (x, y) =

∫M(x, y) dx+ C(y)

หา C(y) ไดจาก ∂F

∂y= N(x, y)

ในทำนองเดยวกนF (x, y) =

∫N(x, y) dy + C(x)

หา C(x) ไดจาก ∂F

∂x= M(x, y)

Page 220: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

216 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

ตวอยาง 7.4.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ(2xy3 − ye−x) dx+ (3x2y2 + e−x − 4) dy = 0

Page 221: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.4. สมการแมนตรง 217

ตวอยาง 7.4.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธx+ y2

xy2dy − y − 4

x2dx = 0 เมอ y(−2) = 1

Page 222: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

218 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

แบบฝ กหด 7.41. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1.1 2x− y3 − 3xy2y′ = 0

1.2 (2x− 5y) dy = (6x− 2y) dx

1.3 x(xcos(x2y)− 2y)y′ + 2xycos(x2y) = y2

1.4 (sinxy + xy + cosxy)dydx

+ y2cosxy = 0

1.5 3xy + 1

ydx+

2y − x

y2dy = 0

1.6 πy + (πx+ arcsiny)dydx

= sinx

1.7 ℓnyx

dx+ (ℓnxy

+ siny) dy = 0

1.8 (2xyex2+ siny) dx+ (x2ex

2y + xcosy − y) dy = 0

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.1 (3x2y + 2xy) dx+ (x3 + x2 + 2y) dy = 0 เมอ y(1) = 2

2.2 (ey + yex) dx− (ex + xey) dy = 0 เมอ y(1) = 0

2.3 (sin2x− 2ycosx)y′ − 2ysinxcosx+ y2sinx = 0 เมอ y(0) = −2

2.4 ℓn(1 + y2) =

(1

y− 2xy

1 + y2

)dy

dxเมอ y(2) =

√e− 1

Page 223: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.5. ตวประกอบอนทกรล 219

7.5 ตวประกอบอนทกรลในกรณท M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 เปนไมเปนสมการแมนตรงแตม µ(x, y) ททำให

µ(x, y)(M(x, y) dx+N(x, y) dy) = 0

เปนสมการแมนตรง เราจะเรยกฟงกชน µ(x, y) น วาตวประกอบอนทกรล (integrating factor)ของสมการเชงอนพนธน แลว

∂(µM)

∂y=

∂(µN)

∂x

µ∂M

∂y+M

∂µ

∂y= µ

∂N

∂x+N

∂µ

∂x

ดงนน1

µ

(N∂µ

∂x−M

∂µ

∂y

)=

∂M

∂y− ∂N

∂x

กรณท 1. µ เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงอยางเดยว1

µNdµ

dx=

∂M

∂y− ∂N

∂x

Nd

dxℓn|µ| = ∂M

∂y− ∂N

∂x

d

dxℓn|µ| = 1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)= f(x)

ดงนน µ = e∫f(x) dx

กรณท 2. µ เปนฟงกชนของตวแปร y เพยงอยางเดยวd

dyℓn|µ| = 1

M

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)= g(y)

ดงนน µ = e∫g(y) dy

สรปไดวา

1. สำหรบ f(x) =1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)มตวประกอบอนทกรลเปน µ = e

∫f(x) dx

2. สำหรบ g(y) =1

M

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)มตวประกอบอนทกรลเปน µ = e

∫g(y) dy

Page 224: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

220 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

ตวอยาง 7.5.1 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน1. (3x+ 2y2) dx+ 2xy dy = 0

2. (x2 + y2 + 1) dx+ x(x− 2y) dy = 0

Page 225: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.5. ตวประกอบอนทกรล 221

ตวอยาง 7.5.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (1 + xsiny)y′ + cosy = 0

ตวอยาง 7.5.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ

2y(x2 − y + x) dx+ (x2 − 2y) dy = 0 เมอ y(0) = −1

Page 226: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

222 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

แบบฝ กหด 7.51. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1.1 2xy dx+ (x3 + 2xy) dy = 0

1.2 (4xy − 3x− 3x2) dy − (2xy − y2 + y) dx = 0

1.3 (xy + y − 1) dx+ x3 x dy = 0

1.4 y(x+ y3) dx+ x(y3 − x) dy = 0

1.5 (xy − x2)y′ − xy + 1 = 0

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.1 y(1 + x2y) dx− x dy = 0 เมอ y(1) = −1

2.2 (x2 + y) dx+ (x2cosy − x) dy = 0 เมอ y(2) = 0

2.3 1 + (xtany − 2secy)y′ = 0 เมอ y(−1) = π

Page 227: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.6. สมการเชงเสนอนดบหนง 223

7.6 สมการเชงเสนอนดบหนงบทนยาม 7.6.1 สมการเชงเสนอนดบหนง คอสมการเชงอนพนธทอยในรป

dy

dx+ P (x)y = Q(x)

วธหาผลเฉลย สามารถจดรปไดเปน [P (x)y −Q(x)] dx+ dy = 0

ดงนน M(x, y) = P (x)y −Q(x) และ N(x, y) = 1 จะไดวา

P (x) =1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)

ดงนน µ = e∫P (x) dx

µdy

dx+ µP (x)y = µQ(x)

d

dx(µy) = µQ(x)

µy =

∫µQ(x) dx+ C

ดงนนผลเฉลยทวไปคอy =

1

µ

(∫µQ(x) dx+ C

)ตวอยาง 7.6.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ dy

dx− 2xy = x

Page 228: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

224 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

ตวอยาง 7.6.3 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (ycotx− sec2x) dx+ dy = 0

ตวอยาง 7.6.4 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ

(xy + x+ x3) dx+ (1 + x2) dy = 0 เมอ y(√3) = 1

Page 229: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.6. สมการเชงเสนอนดบหนง 225

สมการเชงอนพนธ อนดบหนงดกรหนงบางสมการไมเปนสมการเชงเสน เราอาจทำให เปนสมการเชงเสนโดยอาศยการเปลยนตวแปรทเหมาะสม เช นสมการตอไปน จะเรยกวา สมการแบรนลล (Bernoulli's equation)

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn

เมอ n เปนคาคงตว เปลยนตวแปรโดยให z = y1−n จะสมการแบรนลลจะเปลยนเปนสมการเชงเสนอนดบหนง

dz

dx+ (1− n)P (x)z = (1− n)Q(x)

จะได µ = e∫(1−n)P (x) dx ดงนนผลเฉลยทวไปคอ z =

1

µ

(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C

)หรอ

y1−n =1

µ

(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C

)ตวอยาง 7.6.5 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (1 + x2)

dy

dx+ xy = x3y3

Page 230: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

226 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตนตวอยาง 7.6.6 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ

dy

dx+

y

2x=

x

y3เมอ y(1) = 2

Page 231: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

7.6. สมการเชงเสนอนดบหนง 227

แบบฝ กหด 7.61. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1.1 dy

dx+ ycotx = 5ecosx

1.2 x2y′ + 3xy + 2x5 = 0

1.3 (2y − 4) dx+ dy = 0

1.4 xdy

dx+ 3y =

sinxx2

1.5 y′ − y =1

1− e−x

1.6 dy

dx+

y

xℓnx = x2

1.7 (3xy − 4y − 3x) dx+ (x2 − 3x+ 2) dy = 0

1.8 2(y − 3sinx)cosx dx+ sinx dy = 0

1.9 (x2 + y2) dx− 2xy dy = 0

1.10 (y + xy2) dx− dy = 0

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.1 (x− 1)3dy

dx+ 4(x− 1)2y = x+ 1 เมอ y(3) =

1

2

2.2 (y − exsinx) dx+ dy = 0 เมอ y(0) = −1

2.3 (cosx)y′ + y = 1 เมอ y(π4) = 2

2.4 dy

dx+

x3y

x4 + 1= x7 เมอ y(0) = 1

2.5 xy′ + y = y2x2ex เมอ y(1) = e

2.6 xdy

dx+ y + 3 = x3(y + 3)3 เมอ y

(−1

2

)= −1

Page 232: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

สรปสตรเกยวกบแคลคลสเอกลกษณตรโกณมต

1. sinxcscx = 1

2. cosxsecx = 1

3. cotxtanx = 1

4. sin2x+ cos2x = 1

5. sec2x− tan2x = 1

6. csc2x− cot2x = 1

7. sin(−x) = −sinx8. cos(−x) = cosx9. tan(−x) = −tanx10. sin(x± y) = sinxcosy ± cosxsiny11. cos(x± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny

12. tan(x± y) =tanx± tany1∓ tanxtany

13. sin(2x) = 2sinxcosx =2tanx

1 + tan2x14. cos2x = cos2x− sin2x

cos2x = 1− 2sin2x = 2cos2x− 1

cos2x = 2cos2x− 1

15. tan(2x) = 2tanx1− tan2x

16. cos2x =1

2(1 + cos2x)

17. sin2x =1

2(1− cos2x)

18. tan2x =1− cos2x1 + cos2x

19. tanx =sin2x

1 + cos2x =1− cos2xsin2x

20. sin3x = 3sinx− 4sin3x21. cos3x = 4cos3x− 3cosx22. sin3x =

1

4[3sinx− sin3x]

23. cos3x =1

4[3cosx+ cos3x]

24. tan3x =3tanx− tan3x1− 3tan2x

25. sinx+siny = 2sin(x+ y

2

)cos(x− y

2

)

26. sinx−siny = 2cos(x+ y

2

)sin(x− y

2

)

27. cosx+cosy = 2cos(x+ y

2

)cos(x− y

2

)

28. cosx−cosy = −2sin(x+ y

2

)sin(x− y

2

)

29. sinxcosy =1

2[sin(x+ y) + sin(x− y)]

30. cosxsiny =1

2[sin(x+ y)− sin(x− y)]

31. cosxcosy =1

2[cos(x+ y) + cos(x− y)]

32. sinxsiny = −1

2[cos(x+ y)− cos(x− y)]

Page 233: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

อนพนธของฟงกชน1. d

dxC = 0

2. d

dxx = 1

3. d

dxxn = nxn−1

4. (af)′(x) = af ′(x)

5. (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)

6. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x)

7.(f

g

)′

(x) =g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2

8. (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x)

9. d

dxex = ex

10. d

dxax = axℓna

11. d

dxℓn|x| = 1

x

12. d

dxloga|x| = 1

xℓna13. d

dxsinx = cosx

14. d

dxcosx = −sinx

15. d

dxtanx = sec2x

16. d

dxsecx = secxtanx

17. d

dxcotx = −csc2x

18. d

dxcscx = −cscxcotx

19. d

dxarcsinx =

1√1− x2

20. d

dxarccosx = − 1√

1− x2

21. d

dxarctanx =

1

1 + x2

22. d

dxarccotx = − 1

1 + x2

23. d

dxarcsecx =

1

|x|√x2 − 1

24. d

dxarccscx = − 1

|x|√x2 − 1

คาเชงอนพนธ1. dC = 0

2. d(u+ v) = du+ dv

3. d(ku) = kdu

4. u′dx = du

5. d(uv

)=

vdu− udv

v2

6. d(uv) = vdu+ udv

7. df(x, y) = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

Page 234: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

ปรพนธของฟงกชน1.∫

af(x)dx = a

∫f(x)dx

2.∫

f(x) + g(x)dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx

3.∫

kdx = kx+ C

4.∫

vdu = uv −∫

vdu

5.∫

xndx =xn+1

n+ 1+ C, n = −1

6.∫

1

xdx = ℓn|x|+ C

7.∫

exdx = ex + C

8.∫

eaxdx =1

aeax + C

9.∫

axdx =ax

ℓna + C

10.∫

sinxdx = −cosx+ c

11.∫

cosxdx = sinx+ C

12.∫

sec2xdx = tanx+ C

13.∫

secxtanxdx = secx+ C

14.∫

csc2xdx = −cotx+ C

15.∫

cscxcotxdx = −cscx+ C

16.∫

tanxdx = ℓn|secx|+ C

17.∫

secxdx = ℓn|secx+ tanx|+ C

18.∫

cotxdx = ℓn|sinx|+ C

19.∫

cscxdx = ℓn|cscx− cotx|+ C

Page 235: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

20.∫

eaxsinbxdx =eax

a2 + b2(asinbx− bcosbx) + C

21.∫

eaxcosbxdx =eax

a2 + b2(acosbx+ bsinbx) + C

22.∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C

23.∫

1

1 + x2dx = arctanx+ C

24.∫

1

|x|√x2 − 1

dx = arcsecx+ C

25.∫

ℓnxdx = xℓnx− x+ C

26.∫

cosaxdx =1

asinax+ C

27.∫

sinaxdx = −1

acosax+ C

28.∫

arcsinxdx = xarcsinx+√1− x2 + C

29.∫

arccosxdx = xarccosx−√1− x2 + C

30.∫

arctanxdx = xarctanx− 1

2ℓn(1 + x2) + C

31.∫

arccotxdx = xarccotx+1

2ℓn(1 + x2) + C

32.∫

arcsecxdx = xarcsecx− ℓn|x+√x2 − 1|+ C

33.∫

arccscxdx = xarccscx+ ℓn|x+√x2 − 1|+ C

Page 236: แคลคลูัส2 Calculus2 · 2019-12-12 · MAC1303 แคลคลูัส2 Calculus2 ผู ชวยศาสตราจารย ดร.ธนัชยศจำปาหวาย

บรรณานกรมดำรง ทพยโยธา, ณฏฐนาถ ไตรภพ และสรชย สมบตบรบรณ. (2559). แคลคลส ๒.

กรงเทพฯ: สำนกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.James Stewart. (2012). Calculus Early Transcendentals. Canada. Nelson Education,

Ltd.

ประวตผเขยน

ผช วยศาสตรจารย ดร.ธนชยศ จำปาหวาย

• ปจจบนดำรงตำแหนงผช วยศาสตรจารยประจำสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

• ปรญญาเอก วทยาศาสตรดษฎบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2557Ph.D. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2014

• ปรญญาโท วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2552M.Sc. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2009

• ปรญญาตร วทยาศาสตรบณฑต (คณตศาสาตร, เกยตรนยมอนดบสอง),จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2549B.Sc. (Mathematics, 2nd class honours),Chulalongkorn University, 2006

Email: [email protected]: www.facebook.com/Jampawai

Office: 1145Block: www.eledu.ssru.ac.th/thanatyod_ja

ผลงานทางวชาการ1. หนงสอความจรงทตองพสจน, 25602. เอกสารประกอบการสอนวชาหลกการคณตศาสตรสำหรบคร, 25593. ตำราวชาทฤษฎจำนวน, 2559