บทท่ี 2 การเคล่ือนท่ีในหนึ่งมติ ิ

(Motion in One Dimension)

การเคลื่อนที่ หมายถึง การที่วัตถุยายตําแหนงจากที่เดิมไปอยูที่ตําแหนงใหม ทุกสิ่งทุกอยางในจักรวาลนี้ตางก็เคลื่อนที่ดวยกนัทั้งสิ้นไมมีอะไรที่หยุดนิ่งอยางแทจริง

รูป 2.1 โลกกําลังหมุนรอบตัวเองตลอดเวลา

ในชีวิตประจําวันของทุกคน จะเห็นการเคลือ่นที่ของสิ่งตางๆมีรูปแบบการเคลื่อนที่ตางกัน ถาแบงประเภทของการเคลื่อนที่ตางๆจะแบงไดเปน 4 ประเภท คือ

1) การเคลื่อนที่ในแนวเสนตรง 2 ) การเคลื่อนที่ในแนวเสนโคง 3 ) การเคลื่อนที่แบบวงกลม 4 ) การเคลื่อนที่แบบสั่นหรือการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 23

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

ในหัวขอนี้จะกลาวถึงการเคลื่อนที่ในแนวเสนตรง หรือการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ 2.1 ตําแหนง ระยะทาง การกระจัด ความเร็วและอัตราเร็ว (position, distance ,displacement, velocity, speed) ตําแหนง (position) หมายถึงการบอกใหทราบวาวัตถุที่เราพิจารณาอยูที่ใด

รูป 2.2 ตําแหนงของสถานที่ตางๆ ระยะทาง (distance ; x ) คือ ความยาวตามเสนทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปไดทัง้หมด เปนปริมาณสเกลาร

รูป 2.3 ระยะทาง คือ ความยาวตามเสนทางที่เคลื่อนที่ไปไดทั้งหมด การกระจัด (displacement;Δ x) หมายถงึระยะทีว่ัดจากจุดตั้งตนของการเคลื่อนที่ ตรงไปยังตําแหนงสุดทาย เปนปริมาณเวกเตอร

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 24

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

รูป 2.4 การกระจัดคือระยะทางที่ลากตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจดุหนึ่ง 2.2 อัตราเร็วและความเร็ว (speed and velocity)

ในขณะทีว่ัตถุมกีารเคลื่อนที่ ไดระยะทางและการกระจัดในเวลาเดียวกนั และตองใชเวลาในการเคลื่อนที่ จึงทําใหเกิดปริมาณสัมพันธขึ้น 2 ปริมาณคือ อัตราเร็ว (speed; v ) คือ ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไดในหนึ่งหนวยเวลา เปนปริมาณ สเกลาร มีหนวยเปน เมตร/วนิาที ความเร็ว ( velocity; v ) คือ ขนาดของการกระจัดทีว่ัตถุเคลื่อนที่ไดในหนึง่หนวยเวลา จัดเปนปริมาณเวกเตอร มีหนวยเปน เมตร/วินาท ีเชนเดียวกัน คนทั่วไปใชคําวาความเร็วกับอัตราเร็วในความหมายที่เหมือนกัน แตในทางวิทยาศาสตรใชคําวาความเร็วกับอัตราเร็ว ในความหมายแตกตางกันดงันี้ คือ ความเร็วเฉล่ีย (average velocity) หมายถึงอัตราสวนระหวางการกระจัดตอเวลาที่ใชในการเคลื่อนที่ เปนปริมาณเวกเตอรหรือเขียนเปนสมการไดวา

avxvt

Δ=

Δ (2.2)

สวน อัตราเร็ว (average speed) หมายถึงการเปลี่ยนแปลงระยะทางในหนึ่งหนวยเวลา หรือเขียนเปนสมการไดวา

avxvt

Δ=

Δ (2.3)

ตัวอยาง 2.1 รถเร่ิมตนเคลื่อนที่จากจุด A ซ่ึงอยู หางจากปาย Limit Speed ไปทางขวามือเปนระยะทาง 30 เมตร จากนั้นวิ่งไปที่จดุ B ซ่ึงอยูหางจากปาย Limit Speed 52 เมตร แลวถอยหลังกลับไปที่ตําแหนง C , D และ F ตามลําดับดังรูป (a) และจุด F อยูหางปาย Limit Speedไปทางซายมือเปนระยะทาง 53 m

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 25

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

รูป 2.5 การเคลื่อนที่ของรถ

จากขอมูลในรปู (a) และ (b) จงหา

ก. การกระจดั ( )xΔ ของการเคลื่อนที่ทั้งหมด ข. ความเร็วเฉลี่ย ( )avv ค. อัตราเร็วเฉลี่ย ( )avv

วิธีทํา การกระจดั ( )xΔ ของการเคลื่อนที่หาไดจากสมการ

F Ax x xΔ = −

53 30 83x m m mΔ = − − = − ก) การกระจดัของการเคลื่อนที่ 83x mΔ = − ตอบ ความเร็วเฉลี่ยหาไดจากสมการ

avxvt

Δ=

Δ

เมื่อ 50tΔ = วินาที (ดูจากรูป b)

83 17 /50av

mv m ss

−= = −

ข) ความเร็วเฉล่ีย 17 /avv m s= − ตอบ อัตราเร็วเฉลี่ยหาไดจากสมการ

avxvt

Δ=

Δ

22 52 53 2.5 /50av

m m mv m ss

+ += =

ค) อัตราเร็วเฉลี่ย 2.5 /avv m s= ตอบ

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 26

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

เพื่อใหนักศึกษาเห็นถึงความแตกตางระหวางอัตราเร็วกบัความเร็ว จะขอยกตวัอยางการโยนลูกเทนนิสขึ้นในแนวดิ่งดวยความเร็วตน 80 /m s ดังรูป 2.6

รูป 2.6 โยนลูกเทนนิสขึ้นในแนวดิ่ง ดวยความเร็วตน 80 /m s

ถาเขียนกราฟความสัมพันธระหวางความเร็วกับเวลา และอัตราเร็วกับเวลา จะไดกราฟ ดังรูป 2.7

(a) (b) รูป 2.7 กราฟแสดงความสมัพันธระหวาง (a) กราฟความเร็ว - เวลา (b) กราฟอัตราเร็ว – เวลา นักศึกษาสามารถศึกษา กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง การกระจดั - เวลา ความเร็ว - เวลา

และความเรง - เวลา ไดจาก www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/lectureonline/ritphysics/kap2/cd028a.htm www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/C-K-NG/Kinematics.html

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 27

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

2.3 ความเร็วขณะใดขณะหนึง่ และอัตราเร็วขณะใดขณะหนึง่ (instantaneous velocity and instantaneous speed)

ความเร็วที่เวลาใดเวลาหนึ่ง หรือความเร็วขณะใดขณะหนึง่ (instantaneous velocity) เปนการหาคาความเร็วในชวงเวลาสั้น ๆ ชวงใดชวงหนึง่ของการเคลื่อนที่ เขียนเปนสมการไดวา

lim0x

xvt t

Δ=

Δ → Δ

หรือ xdxvdt

= (2.4)

สมการ (2.4) มีความหมายวา ความเร็วสามารถหาไดจากอนุพันธของระยะทางเทียบกับเวลา นักศึกษาสามารถศึกษา ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง และอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ไดจาก

www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/InstVelApplet.html www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/TwaveRefTranApplet.html

ตัวอยาง 2.2 ถาระยะทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคหนึ่งเปนไปตามสมการ 24 2x t t= − + และมีกราฟความเรว็- เวลา ( )x t− ดังรูป 2.8

จงหา ก) การกระจัด ( )xΔ ในชวงเวลา 0 1t = → วินาที และในชวงเวลา 1 3t = → วินาท ีข) ความเร็วเฉลี่ย ( )avv ใน ชวงเวลา 0 1t = → วินาที และในชวงเวลา 1 3t = → วินาท ีค) ความเร็วที่วินาทีที่ 2.5 2.5( )v

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 28

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

วิธีทํา การกระจัดในชวงเวลา 0 1t = → วินาท ี 0 1( )x →Δ หาไดจากสมการ 0 1 1 0x x x→Δ = − (1) จาก 24 2tx t t= − + ดังนั้น 2

1 4(1) 2(1) 2x m= − + = − (2) และ 0 0x = (3) แทนสมการ(2) และสมการ(3) ในสมการ (1) ได 0 1 ( 2) (0) 2x m→Δ = − − = − การกระจดัในชวงเวลา 0 1t = → วินาที 2m= − ตอบ การกระจดั ในชวงเวลา 1 3t = → วินาท ี 1 3( )x →Δ หาไดจากสมการ 1 3 3 1x x x→Δ = − (4) แทน 3t s= ในสมการ (4) ได 2

3 4(3) 2(3) 8x m= − + = + และ 2

1 4(1) 2(1) 2x m= − + = − แทนคาตางๆ ในสมการ (4) ได 1 3 ( 8) ( 2) 8x m→Δ = + − − = + การกระจดัในชวงเวลา 1 3t = → วินาที 1 3 8x m→Δ = + ตอบ

ข) ความเร็วเฉลี่ยหาไดจากสมการ avxvt

Δ=

Δ

ความเร็วเฉลี่ยในชวงเวลา 0 1t = → วินาที หาไดจากสมการ

0 1(0 1)av

xvt→

→

Δ=

Δ

(0 1)21av

mvs→

−=

ความเร็วเฉลี่ยในชวง 0 1t = → วินาที 2 /m s= − ตอบ ความเร็วเฉลี่ยในชวง 1 3t = → วินาท ี หาไดจากสมการ

1 3(1 3)av

xvt→

→

Δ=

Δ

(1 3)8 4 /2avmv m ss→ = = +

ความเร็วเฉลี่ยในชวง 1 3t = → วินาที 4 /m s= + ตอบ จากรูป 2.10 จะเหน็วาความเร็วเฉลี่ยมีคาเทากับความชนัของกราฟระยะทาง-เวลาในชวง A B→ และชวง B D→

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 29

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

ค) ความเร็วที่เวลาใดเวลาหนึ่ง หาไดจากสมการ

tdxvdt

=

2( 4 2 )

td t tv

dt− +

=

ได 4 4 /tv t m s= − + (5) แทน 2.5t s= ในสมการ (5) ได 2.5 4 4(2.5) /v m s= − + ความเร็วทีว่ินาทีที่ 2.5 2.5 6 /v m s= + ตอบ

2.4 ความเรง (acceleration) ความเรง (acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเรว็ในหนึ่งหนวยเวลา เนื่องจากความเร็วเปนปริมาณเวกเตอรทาตองมีทั้งขนาดและทิศทาง ดังนัน้การเปลี่ยนแปลงความเร็วจงึเกดิขึ้นได 3 กรณีดวยกัน ดังนี ้

1. เปลี่ยนอัตราเร็ว 2. เปลี่ยนทิศทาง 3. เปลี่ยนทั้งสองอยาง

เมื่อความเร็วของวัตถุเปลี่ยนไปก็แสดงวาวตัถุนั้นมีความเรง ดังรูป 2.9

รูป 2.9 รถมอเตอรไซคเคลื่อนที่ดวยความเรง

จากนยิามของความเรงเราสามารถเขียนในรูปของสมการทางคณิตศาสตรไดวา

จาก avvat

Δ=

Δ (2.5)

พิจารณาการเคลื่อนที่ของรถยนตคันหนึ่ง ที่มีกราฟความเร็ว- เวลา ดงัรูป 2.10 (b)

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 30

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

รูป 2.10 รถยนตเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจดุ B โดยมีความเร็วที่เวลาตางๆเปนไปตามรูป (b) ถาพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถยนตในชวงเวลาที่ส้ันมากๆ ( 0)tΔ →

จะไดวา 0

lim xx t

vatΔ →

Δ=

Δ

หรือ xx

dvadt

= (2.6)

สมการ (2.6) มีความหมายวาความเรงหาไดจากการหาอนุพันธลําดับท่ีหนึ่งของความเร็วเทียบกับเวลา

หรือ xd dxadt dt⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

จะได 2

2xd xadt

= (2.7)

สมการ(2.7)มีความหมายวาความเรงหาไดจากการหาอนุพันธลําดับท่ีสองของระยะทางเทียบกับเวลา ระยะทางความเร็วและความเรงมีความสัมพันธกัน ตามสมการ (2.6) ในทํานองเดียวกันถามีกราฟ ความสัมพันธระหวางระยะทาง – เวลา ก็สามรถแปลงใหเปนกราฟความสัมพันธระหวางความเรว็ – เวลา และความเรง - เวลา ได ดังรูป 2.11

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 31

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

รูป 2.11 เปรียบเทียบลักษณะของกราฟ x t− , v t− กับ a t−

(a) กราฟ ความเรง – เวลา

(b) กราฟ ความเรง – เวลา

รูป 2.12 เปรียบเทียบลักษณะของกราฟ v t− กับ a t−

สรุป 1) ความเร็วไดจากอนุพันธลําดบัที่หนึ่งของระยะทางเยบกบัเวลา

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 32

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

2) ความเรงไดจากอนุพันธลําดบัที่หนึ่งของความเร็วเทยีบกบัเวลา 3) หรือความเรงไดจากอนพุันธลําดับที่สองของระยะทางเทยีบกับเวลา

นักศึกษาสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่อง ความเรงและความหนวง ไดจาก

www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/BrakeApplet.html www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/CatchUpApplet.html

ตัวอยาง 2.4 ถาอนุภาคหนึง่มีสมการการเคลื่อนที่เปน 240 5tv t= − และเขียนกราฟความสัมพันธระหวางความเร็วกับเวลาไดดังรูป 2.14

รูป 2.13 กราฟความสัมพันธระหวางความเร็วกับเวลา

จงหา ก) ความเรงเฉลี่ยในชวงเวลา 0 2t = → (0 2)( )ava → ข) ความเรงที่วนิาทีที่ 2 วิธีทํา ก) ความเรงเฉลี่ยในชวงเวลา 0 2t = → วินาที (0 2)( )ava → หาไดจากสมการ

2 00 2

2 0

v vat t→

−=

− (1)

จาก 2(40 5 )tv t= − จะได 2

0 40 5(0) 40 /v m s⎡ ⎤= − = +⎣ ⎦ (2)

และ 22 40 5(2) 20 /v m s⎡ ⎤= − = +⎣ ⎦ (3)

แทนสมการ (2) และสมการ(3) ในสมการ (1) ได

20 2

(20 40) 10 /(2 0)

a m s→−

= = −−

ความเรงเฉลี่ยในชวงเวลา 0 2t = → 210 /m s= − ตอบ

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 33

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

ข) จาก dvadt

=

2(40 5 ) 10d ta t

dt−

= = −

ความเรงที่เวลาใดๆ 210 /ta t m s= −

22 10(2) 20 /a m s= − = −

ความเรงที่วนิาทีที่ 2 22 20 /a m s= − ตอบ

จะเห็นวาความเรงที่วินาทีที ่2 มีคาเทากับความชันของกราฟ v t− ที่วินาททีี่ 2 ดังนั้นการหาความเรงที่เวลาใดๆจึงทําไดโดยการความชันของกราฟ v t− ที่เวลานั้นๆ 2.5 การเคล่ือนท่ีใน 1 มิติดวยความเรงคงตัว (1-dimensional motionwith constant acceleration)

รูป 2.14 การเคลื่อนที่ใน 1 มิติดวยความเรงคงตัว

ตัวอยางของการเคลื่อนที่ในชีวติประจําวนัทีม่ีความเรงคงที่ไดแกการตกจากที่สูงของวัตถุตางๆบนโลก ดังรูป 2.14 ถาเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางความเร็วกับเวลาจะไดกราฟดังรูป 2.15

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 34

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

รูป 2.15 กราฟแสดงความสัมพันธระหวางความเร็ว ( )v กับเวลา ( )t เมื่อความเรง ( )a คงตัว

จากรูป 2.15 xVslopet

Δ=

Δ

xf xiv vslope

t−

=Δ

(2.8)

และความชนัในกราฟ v t− นี้มีคาเทากับความเรง ดังนั้นจึงไดวา

xf xix

v va

t−

=Δ

(2.9)

ได xf xi xv v a t= + (2.10) ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ดวยความเรงคงตัว ถาเขียนกราฟแสดงความสมัพันธระหวาง v - t, a - t และ x - t จะไดกราฟ ดังรูป 2.16

รูป 2.16 เปรียบเทียบลักษณะของกราฟ v t− , a t− และ x t− ของการเคลื่อนที่ดวยอัตราเรงคงตัว ถาวัตถุเคลื่อนที่ดวยความเรงคงตัว ดังรูป 2.16 ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่นี้หาได จากสมการ

2

xi xfav

v vv

+= (2.11)

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 35

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

และระยะทางที่เคลื่อนที่ได หาไดจากสมการ avx v tΔ = (2.12) แทนสมการ (2.11) ลงไปในสมการ (2.12) ได

จะได ( )

2xi xfv v

x t+

Δ = (2.13)

แทนสมการ (2.10) ลงไปในสมการ (2.13) จะได

( )2

xi xi xv v a tx t+ +⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

212xi xx v t a tΔ = +

หรือ 212f i xi xx x v t a t− = +

212f i xi xx x v t a t= + + (2.14)

และหาความเร็วไดจากสมการ

fxf

dxv

dt= (2.15)

จะได 212xf i xi x

dv x v t a tdt⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

xf xi xv v a t= +

จะได xf xi

x

v vt

a−

=

แทนคา t ในสมการ (2.13) จะได

( )

2xi xf xf xi

f ix

v v v vx x

a+ −⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2xf xi

f ix

v vx x

a−

− =

2 2 2 ( )xf xi x f iv v a x x= + − (2.16) ในกรณีที่ไมมคีวามเรง ( 0)a = จากสมการ (2.10) และสมการ (2.14) จะไดวา

xf xi x

f i x

v v v

x x v t

= = ⎫⎪⎬− = ⎪⎭

เมื่อ 0xa =

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 36

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

สรุป

สมการการเคลื่อนท่ีในแนวเสนตรงดวยความเร็วคงตัว

สมการ คําอธิบายสมการ

xf xi xv v a t= + ความเร็วที่เปนฟงกช่ันของเวลา

1 ( )2f i xi xfx x v v t− = + การกระจดัที่เปนฟงกช่ันของความเร็วและเวลา

212f i xi xx x v t a t− = + การกระจดัที่เปนฟงกช่ันของเวลา

2 2 2 ( )xf xi x f iv v a x x= + −

ความเร็วที่เปนฟงกช่ันของการกระจดั

ตัวอยาง 2.7 ในการลงจอดของเครื่องบินบนเรือบรรทุกเครื่องบิน ดังรูป 2.17

ขณะที่ลอแตะพื้นเครื่องบินมีความเร็ว 140 mi/hr ( 63 / )m s≈ จงหา (a) ความหนวงของเครื่องบินถาเครื่องบินหยุดนิ่งในเวลา 2 s (b) ระยะทางที่เครื่องบินวิ่งบนเรือบรรทุกเครื่องบินกอนที่จะหยุด

วิธีทํา จาก xf xix

v va

t−

=

20 63 / 31 /2x

m sa m ss

−= = −

ความหนวงของเครื่องบิน 231 /xa m s= − ตอบ จาก avx v tΔ =

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 37

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

จาก 2

xi xff i

v vx x t

+⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 (63 0)(2) 632f ix x m− = + =

ระยะทางที่เครื่องบินวิ่งบนเรือกอนที่จะหยดุ 63fx m= ตอบ

ตัวอยาง 2.7 รถคันหนึ่งวิ่งมาดวยความเรว็ 163 km/hr (ซ่ึงเปนความเร็วที่เกนิที่กฎหมายกําหนด) ผานรถตํารวจที่จอดอยูริมถนน ดังรูป 2.18 หลังจากนั้น 1 วินาท ี ตํารวจไดขบัรถตามไปดวยความเรง 3 2/m s จงหาเวลาที่ตํารวจตามรถคันนี้ทัน

รูป 2.18

วิธีทํา สมมติใหรถตํารวจตามรถที่วิ่งเร็วเกินกําหนดทันในเวลา t วินาท ี พิจารณาที่รถขับเร็วเกินกําหนด รถคันดังกลาวจะวิ่งไดระยะทาง ( )carx car B xcarx x v t= + 45 (45 / )carx m m s t= + (1) พิจารณาที่ตํารวจ ในชวงเวลาดังกลาวรถตํารวจวิ่งไดระยะทาง ( )policex

212police i xi xx x v t a t= + +

2 210 0 (3 / )2policex m s t= + + (2)

ในชวงเวลาดังกลาวรถทั้งสองคันจะเคลื่อนที่ไดระยะทางเทากัน คือ

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 38

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

(1) (2)=

2 21 (3 / ) 45 (45 / )2

m s t m m s t= +

21.5 45 45 0t t− − = 31t s= ตํารวจจะตามรถคันนี้ทันในเวลา 31 วินาที ตอบ

2.6 การตกอยางเสรี (free fall)

รูป 2.19 การตกอยางเสร ี

การตกของวัตถุใดๆบนพื้นโลกจะประมาณไดวาเปนการตกอยางเสรี เมื่อน้ําหนกัของวัตถุมีคามากกวาแรงตานของอากาศมากๆ เชนการตกของวัตถุทั่วๆไปในอากาศ ยกเวนการตกของสําลี ขนนก กระดาษ ฯลฯ (แรงตานของอากาศมีคามากเมื่อเทียบกับน้ําหนกั) การตกอยางเสรีจะมีความเรงเทากบั 29.8 /m s เทากัน นักศึกษาสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่อง การตกอยางเสรี ไดจาก

www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/physicstoy/ph4.html www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/explorescience/gravitation/index.htm

นักศึกษาสามารถชมวีดีโอเกี่ยวกับการตกอยางเสรี ไดจาก

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 39

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

www.atom.rmutphysics.com/charud/video/16/gravity.htm

ตัวอยาง2.8 ชายคนหนึ่งยนือยูที่ดาดฟาของตึกสูง ( )h 50 เมตร ดังรูป 2.20 แลวโยนลูกบอลขึ้นไปในแนวดิ่ง ดวยความเรว็ตน ( ) 20 /iv m s= จงหา ก) เวลาที่ลูกบอลเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด ข) ระยะสูงสุดทีลู่กบอลเคลื่อนที่ได max( )h ค) เวลาที่ลูกบอลจะตกลงมาอยูในตําแหนงเดิม ง) ความเร็วขณะที่ลูกบอลตกลงมาอยูตําแหนงเดิม จ) ความเร็วทีว่นิาทีที่ 5

รูป 2.20

วิธีทํา ก) จาก 0v v gt= + ที่จุดสูงสุด 0v =

20 20 / ( 9.8 / )m s m s t= + −

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 40

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

20 2.049.8

t s= =

เวลาที่ลูกบอลขึ้นไปถึงจุดสงูสุด 2.04Bt s= ตอบ

ข) จาก 20

12ty v t gt= +

2 2max

1(20 / )(2.04 ) ( 9.8 / )(2.04 )2

h m s s m s s= + −

ระยะสูงสุด max 20.4h s= ตอบ

ค) จาก 20

12 yy v t a t= +

ถาลูกบอลตกลงมาที่ตําแหนงเดิมแสดงวา 0y = ดังนั้นจะได 20 20 4.9t t= −

(20 4.9 ) 0t t− = ได 0, 4.08t = ลูกบอลจะตกลงมาที่ตําแหนงเดิมในเวลา 4.08t s= ตอบ ง) จาก 0t yv v a t= +

220 / ( 9.8 / )(4.08 )tv m s m s s= + − 20 /tv m s= − ความเร็วขณะที่ลูกบอลตกลงมาอยูตําแหนงเดิม 20 /v m s= − ตอบ จ) จาก 0t yv v a t= +

5 20 ( 9.8)(5) /v m s= + − 5 29 /v m s= − ความเร็วขณะเวลา 5t s= 5 29 /v m s= − ตอบ

สมการการเคลื่อนท่ี ท่ีไดมาจากแคลคูลัส (kinematic equations derive from calculus ) การเคลื่อนที่ใดๆที่ความเร็วไมคงตัว ถาเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางความเร็วกับเวลาจะไดกราฟดังรูป 2.21

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 41

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

รูป 2.21 การแบงพื้นที่ของกราฟ v t− ออกเปนสี่เหล่ียมเล็กๆ

พื้นที่ใตกราฟ v t− หมายถึงระยะทางของการเคลื่อนที่ การหาพื้นที่ใตกราฟทําไดโดยการแบงพื้นที่ใตกราฟออกเปนสี่เหล่ียมเล็กๆจํานวนมาก ดังรูป 2.21 พื้นที่ส่ีเหล่ียมเล็กๆแตละอันหาไดจากสูตร กวาง × ยาว หรือเขียนเปนสมการไดวา พื้นที่พื้นที่ xnv t= Δ ถารวมพื้นที่เล็กๆทุกอันเขาดวยกัน

พื้นที่ทั้งหมด 1

n

xn nv t= Δ∑

ถากําหนดใหแตละชิ้นมีขนาดเล็กมาก ( 0)ntΔ →

พื้นที่ทั้งหมด 0 1

limn

n

xn ntv t

Δ →= Δ∑

สามารถเขียนในรูปของอินทิกรัลไดวา

พื้นที่ทั้งหมด ( )f

i

t

t

v t dt= ∫ (2.17)

สมการ (2.17) มีความหมายวา ระยะทางของการเคลื่อนท่ี = พื้นท่ีใตกราฟ v – t ถาอัตราเร็วของการเคลื่อนที่มีคาคงตัว กราฟแสดงความสัมพันธระหวางอัตราเร็วกับเวลา จะเปนดงัรูป 2.22 การหาพื้นทีใ่ตกราฟในกรณีนี้ทาํไดงาย

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 42

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

รูป 2.22 กราฟความสัมพันธระหวางความเร็ว-เวลา เมื่อความเร็วมีคาคงตัว

ระยะทางของการเคลื่อนที่ทั้งหมดในชวง i ft t− มีคาเทากับพืน้ที่ใตกราฟหรือเขียนเปนสมการไดวาพื้นทีใ่ตเสนกราฟ

xix v tΔ = Δ เมื่อ xf xiv v= = คาคงตัว แตถาวัตถุเคลื่อนที่ดวยความเรงคงตัว กราฟแสดงความสัมพันธระหวางอัตราเร็วกับเวลาจะมีลักษณะดังรูป 2.23

รูป 2.23 กราฟความสัมพันธระหวางv t− เมื่อ a คงตัว จากรูป 2.23 ระยะทางของการเคลื่อนที่หาไดจากพื้นที่ใตกราฟ โดยพื้นที่ใตกราฟคํานวณหาไดจากสมการ

พื้นที่ใตกราฟ = 12ฐาน × สูง

1 ( )( )2 A x At a t=

212 x Aa t=

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 43

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

นักศึกษาสามารถศึกษา การทดลองเสมือนจริงเรื่อง การรวมพื้นที่ใตกราฟ ไดจาก

www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/IntAreaApplet.html www.rmutphysics.com/charud/virtualexperiment/virtual1/surendranath/IntDiffApplet.html สมการการเคลื่อนท่ี ในหัวขอ 2.5 ไดมีการหาสมการการเคลื่อนที่โดยอาศยักราฟ ความเรว็ – เวลา ตอไปนี้จะหาสมการการเคลื่อนที่ซํ้ากับหัวขอ 2.5 แตจะใชความรูเกี่ยวกับแคลคูลัส ดังนี้

จาก xx

dvadt

=

จะได x xdv a dt= เมื่ออินทิเกรตทั้งสองขาง จะได 1x xv a dt C= +∫

ในกรณีที่ความเรงมีคาคงตัว จะไดวา 1x xv a dt C= +∫

1x xv a t C= + (2.18) ถา 0t = ดังนั้น xv ก็คือความเร็วตน ( )xiv 1(0)xi xv a C= + จะได 1xiv C= แทน 1 xiC v= ลงในสมการ (2.18) จะได x xi xv v a t= + (2.19)

จาก xdxvdt

=

จะได xdx v dt= เมื่ออินทิเกรตทั้งสองขาง จะได 2xx v dt C= +∫ (2.20)

แทนสมการ (2.19) ในสมการ (2.20) จะได 2( )xi xx v a t dt C= + +∫ 2xi xx v dt a tdt C= + +∫ ∫

22

12xi xx v t a t C= + + (2.21)

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 44

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

เมื่อ 0t =

22

1(0) (0)2i xi xx v a C= + +

จะได 2ix C= แทน 2ix C= ลงในสมการ (2.21) จะได

212i xi xx x v t a t= + + (2.22)

สรุป สมการการเคลื่อนที่ ที่สําคัญมีดังนี้ คือ xf xi xv v a t= +

1 ( )2f i xi xfx x v v t− = +

212f i xi xx x v t a t= + +

ตัวอยาง 2.9 ทิ้งวัตถุลงมาจากหอสูง ดังรูป ถาวัตถุตกถึงพื้นในเวลา 5 s จงหา (a) อัตราเร็วขณะตกถึงพื้น (b) ระยะความสูงของวตัถุ

วิธีทํา จาก v v gt= + = 0 + (9.8 m/s2) (5 s) = 49 m/s (a) อัตราเร็วขณะตกถึงพื้น = 49 m/s ตอบ

จาก 212

y vt gt= +

= 0 + 21 (9.8 m/s2) (5 s)2 = 123 m

(b) ระยะความสูงของวัตถุ = 123 m ตอบ

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 45

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

ตัวอยาง 2.10 ขวางวัตถุลงมาจากหนาผาสูง 25 m ดวยความเร็วตน 8 m/s จงหา (a) อัตราเร็วเมื่อกระทบพื้น (b) เวลาเมื่อถึงพื้น

วิธีทํา (a) จาก 2 2

0 2fv v gy= + = (8 m/s)2 + 2(9.8 m/s) (25 m) = 554 m2/s2

จะได vƒ = 23.5 m/s อัตราเร็วเมื่อกระทบพื้น = 23.5 m/s ตอบ จาก 0fv v gt= + 23.5 m/s = 8 m/s + (9.8 m/s2)t จะได t = 1.58 s เวลาเมื่อถึงพื้น = 1.58 s ตอบ

ตัวอยาง 2.11 ลูกบอลถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่ง แลวกลับลงสูตําแหนงเริ่มตนในเวลา 4 s จงหาความเร็วตน

วิธีทํา จาก 2

012

s v t gt= +

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 46

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

เมื่อวัตถุตกกลบัมาที่เดิม 0s =

20

10 (4 ) (9.8 / )(4 )2

v s m s s= +

00 (4 ) 78.4v s m= + 0 19.6 /v m s= ความเร็วตน 19.6 /m s= ตอบ ตัวอยาง 2.12 ยิงปนขึ้นฟาในแนวดิ่งดวยความเร็วเร่ิมตน 500 m/s จงหา (a) ระยะสูงสดุที่ไปได (b) เวลาที่ถึงจุดสูงสุด (c) ความเร็วที่วินาทีที่ 60 (d) เวลาที่ลูกปนมีความสูง 10 km วิธีทํา จาก 2 2

0 2fv v gy= +

ที่จุดสูงสุด vƒ = 0 0 = (500 m/s) 2 + 2(–9.8 m/s2)y y = 12.8 km (a) ความสูงมากสุดที่จะไปได = 12.8 km ตอบ

จาก vƒ = v0 + gt

ที่จุดสูงสุด vƒ = 0 0 = 500 m/s + (–9.8 m/s2)t t = 51 s (b) เวลาที่ถึงจุดสูงสุด = 51 s ตอบ จาก 0fv v gt= +

หรือ vƒ = 500 m/s + (–9.8 m/s2) (60 s) = –88 m/s

(c) ความเร็วที่วินาทีที่ 60 = –88 m/s ตอบ

จาก 20

12

y v t gt= +

หรือ 10000 m = (500 m/s)t + 21 (–9.8 m/s2)t2

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 47

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

หรือ 4.9 t2 – 500 t + 10000 = 0

2 4

2b b act a

− ± −=

27 75t s s= , (d) ที่ t = 27 s ลูกปนจะอยูที่ความสูง 10 km 2 เวลาดวยกนัคือ t = 27 s และ t = 75 s ตอบ

ตัวอยาง 2.13 ตุมน้ําหนกักระทบเสาเข็มดวยความเร็ว 15 m/s จงหาความสูงที่อยูเหนอืเสาเข็ม

จาก 2 2

0 2fv v gy= + (5 m/s) 2 = 0 + 2(9.8 m/s2)y 25 m2/s 2 = (19.6 m/s2)y จะได y = 1.28 m ความสูงที่อยูเหนือเสาเข็ม = 1.28 m ตอบ

ถาตองการหนงัสือ สามารถซื้อไดท่ีรานหนังสือ ซีเอ็ด บุค แพรพิทยา ศูนยหนังสือจุฬาฯ ดอกหญา ศึกษาภัณฑ หรอืติดตอสัง่ซื้อทางไปรษณียไดท่ี สํานักพิมพ science publishing เลขท่ี 111/258 หมูบาน มนวดีกรีนพารค ต.พิมลราช อ.บางบัวทอง จ. นนทบุรี โทร 085-8086712

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 48

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

โจทยแบบฝกหัด ขอ 1. ถาบันทึกระยะทาง (x) กับเวลา (t) ของวัตถุที่กําลังเคลื่อนที่เปนตามตาราง

จงหาความเร็วเฉลี่ย ก) ในชวงวินาทีแรก ข) ในชวง 3 วินาทีแรก [คําตอบ (ก) 2.3 m/s (ข) 16.1 m/s ] ขอ 2. กราฟแสดงการกระจดักับเวลาของอนุภาค ที่เคลือ่นที่ตามแกน x แสดงดังรูป จงหาความเร็วเฉลี่ยในชวงเวลาตอไปนี้

ก) 0 2t = → วินาที ข) 0 4t = → วินาที ค) 2 4t = → วินาท ีง) 4 7t = → วินาที จ) 0 8t = → วินาท ี

[ คําตอบ (ก) 5.0 m/s (ข) 1.2 m/s (ง) -3.3 m/s (จ) 0 ] ขอ 3. ชายคนหนึ่งเริ่มตนวิ่งดวยอัตราเร็วคงที่เทากับ 5 m/s ในแนวเสนตรงจากจุด A ไปยังจดุ B จากนั้น เดินยอนกลับจาก B มายัง A ดวยอัตราเร็วคงตัว 3 m/s จงหา ก) ใหหาความเร็วเฉลี่ยตลอดการเดินของชายคนนี้ ข) การขจัดที่เกิดขึน้

X(m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5 t(s) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 49

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

[คําตอบ (ก) 3.75 m/s (ข) 0] ขอ 4. รถยนต 2 คันเดินทางจากจุดเริ่มตนและจุดสิ้นสดุเดียวกัน รถคันที่ 1 ออกเดินกอนรถคันที่ 2 เปนเวลา 1 ชม. และวิง่ดวยความเรว็คงตัว 40 /km hr จงหาวารถคันที่ 2 จะตองวิ่งดวยความเร็วเทาไร จึงจะถึงที่หมายพรอมรถคันที่หนึ่ง

[คําตอบ 50 km/h] ขอ 5. กราฟ x t− เปนดังรูป

จงหา (ก) ความเร็วเฉลี่ยในชวง 1.5 4t = → วินาท ี (ข) ความเรว็ t = 2s (ค) เวลาที่ความเร็วของอนภุาคเปนศูนย [ คําตอบ (ก) -2.5 m/s (ข) -3.4 m/s (ค) 4.2 s] ขอ 6. ที่เวลา t = 1 s อนุภาคเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ ขณะนั้นอนภุาคอยูที่ตําแหนง x = -3 m ตอมาที่เวลา t = 6 s ปรากฏวาอนุภาคดังกลาวอยูที่ตําแหนง x = 5 n

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 50

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

(ก) จงเขียนกราฟ x t− (ข) จงหาความเร็วของอนภุาค [คําตอบ (ข) 1.6 m/s] ขอ 7. จากขอมูลในรูปขอ 2. จงหาความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของอนภุาคที่เวลาตางๆ ดังนี้ (ก) ที่ t = 1.0 s (ข) ที่ t = 3.0s (ค) ที่ t = 4.5s [คําตอบ (ก) 5.0 m/s (ข) -2.5 m/s (ค) 0] ขอ 8. ถาการเคลื่อนที่ของอนุภาคเปนไปตามสมการ x = 2t+3t2 จงหาความเรว็และความเรง ณ เวลา t= 3s [คําตอบ 20 m/s , 6 m/s] ขอ 9. จากรูป

จงหา (ก) อัตราเร็วของอนุภาคที่วนิาทีที่ 10 และวินาทีที่ 20 (ข) ระยะทางที่อนุภาคเคลื่อนที่ไดภายในเวลา 20s [คําตอบ (ก) 20 m/s, 5 m/s (ข) 262 m] ขอ 10. ถาวัตถุเคลื่อนที่ดวยความเรงคงตัวทีต่ําแหนง x = 3 cm วัตถุมีความเร็ว 12 m/s2 และอีก 2 s ตอมาตําแหนงวัตถุอยูที่ตําแหนง x = 5 cm จงหาขนาดของความเรง [คําตอบ -16 cm/s] ขอ 11. เครื่องบินรอนลงจอดที่สนามบิน ดวยความเรว็ 100 m/s และมีความหนวงสูงสุดเทากับ 5 m/s2 ขณะที่จอดนิ่ง จงหา (ก) เวลาที่นอยที่สุดที่ทําใหเครื่องบินหยดุนิ่งได (ข) ถาสนามบินที่มีทางวิ่งยาว0.8 km เครื่องบินจะลงจอดไดอยางปลอดภยัหรือไม

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 51

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

[คําตอบ (ก) 20s (ข) ไมได] ขอ 12. นักศึกษาคนหนึง่โยนพวงกุญแจขึน้ไปในแนวดิง่ไปยังนกัศึกษาอีกคนหนึ่งซึ่งอยูที่หนาตางสูงจากเขา 4 m นักศึกษาที่อยูที่หนาตางยื่นมือรับพวงกุญแจไดภายในเวลา 1.5 s จงหา (ก) ความเร็วเร่ิมตนของพวงกุญแจ (ข) ความเร็วของพวงกุญแจขณะที่นักศกึษาคนทีสองยื่นมือมารับ [คําตอบ (ก) 10 m/s (ข) -4.68 m/s] ขอ 13. ชายคนหนึ่งโยนกอนหินขึ้นไปในแนวดิ่ง กอนหินขึ้นไปไดสูงสุดในระยะเวลา 3 วินาที จงหา (ก) ความเร็วตน (ข) ความสูงที่ลูกเบสบอลขึ้นไปได

[คําตอบ 29.4 m/s (ข) 4.1 m] ขอ 14. บอลลูนกําลังลอยขึ้นในแนวดิ่ง และความสูงของบอลลูนขึ้นกับเวลาดังสมการ h= 3t3 หลังจากที่บอลลูนลอยขึ้นไปเปนเวลา 2 วนิาที คนที่บอลลูนไดปลอยถุงทรายลงมา จงหาวาถุงทรายจะตกถึงพื้นดินในเวลากี่วินาที

การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ - 52

ฟสิกส 1 ระดับมหาวิทยาลัย

[คําตอบ 7.96s] ถาตองการหนงัสือ สามารถซื้อไดท่ีรานหนังสือ ซีเอ็ด บุค แพรพิทยา ศูนยหนังสือจุฬาฯ ดอกหญา ศึกษาภัณฑ หรอืติดตอสัง่ซื้อทางไปรษณียไดท่ี สํานักพิมพ science publishing เลขท่ี 111/258 หมูบาน มนวดีกรีนพารค ต.พิมลราช อ.บางบัวทอง จ. นนทบุรี โทร 085-8086712

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล