บทที 8 กลศาสตร์ของของไหล (Fluid...
Transcript of บทที 8 กลศาสตร์ของของไหล (Fluid...
บทท 8
กลศาสตรของของไหล (Fluid mechanics)
บทนา
ของไหล คอ สสารทสามารถไหลไดตามธรรมชาต และมรปรางเปลยนแปลงไปตาม
ภาชนะทบรรจ แบงไดเปนสองชนด คอ ของเหลว (Liquid) และกาซ (Gas) ของเหลวโดยทวไปจะม
ปรมาตรคงทและรปรางจะเปลยนแปลงตามภาชนะทบรรจภายใตความโนมถวงของโลก สวนกาซ
เมอบรรจอยในภาชนะและประกอบกนเปนของเหลวจะอยตดกนเสมอ แตในสภาพทเปนกาซ
โมเลกลตาง ๆ จะแยกจากกนเปนอสระ เราจะไดศกษาตอไปในทฤษฎจลนของกาซระหวาง
ของเหลวและกาซมขอแตกตางกนทเหนไดชดอยางหนง คอ การเปลยนแปลงปรมาตรภายใตแรง
กดดนภายนอก เมอทงของเหลวและกาซอยในภาชนะปดสนท (Compressibility) เชน เมอของเหลว
อยในกระบอกสบจะทมลกสบปดสนทพอด เมอออกแรงภายนอกกดลกสบอยางรนแรง ปรมาตร
ของของเหลวในกระบอกสบจะลดลงเพยงเลกนอย จนถอไดวาปรมาตรเทาเดม จงแยกวาของไหล
ทไมสามารถกดใหหดได (Incompressible fluid) สาหรบกาซเมอออกแรงเพยงเลกนอยตอลกสบ
ปรมาตรของกาซภายในลกสบจะเปลยนแปลงอยางงายดายและเหนไดชด จงเรยกกาซวาเปน
ของไหลทสามารถกดใหหดได (Compressible fluid) ของไหลทกชนดเมอมการเคลอนทจะเกด
แรงเสยดทานภายในชนทประกอบเปนของไหลเอง ซงกคอแรงเสยดทานระหวางโมเลกลของไหล
ทอยนงเมอมวตถเคลอนทผานกจะมแรงตานทานการเคลอนทของวตถเกดขนเชนกน แรงดงกลาวน
เรยกวา แรงหนด(Viscous force) สมบตของของไหลททาใหเกดแรงหนดไดนเรยกวา ความหนด
(Viscosity)
8.1 สถตศาสตรของของไหล (Fluid static)
สถตศาสตรของของไหล เปนการศกษาคณสมบตของของเหลวและกาซทอยนง ณ
อณหภมปกต โดยจะศกษาเกยวกบความดนหลกของอารคมดส ความตงผว และความหนด
8.1.1 ความดนของของไหลและกฎของปาสคาล
แรงกระทาของระบบโมเลกลตอภายนอก ทมโมเลกลยดกนเปนของแขงหรอเปน
ของไหลกตามจะปรากฏเฉพาะทผวของสสารเทานน แรงทผวนถาเปนของแขงแรงนสามารถ
แสดงออกไดทกทศทางของพนทผวของของแขงนน แตสาหรบของของไหลหรอของเหลว แรงท
พนทผวจะเกดในทศทางตงฉากกบพนผวเทานน ทงนถาเกดแรงทไมตงฉากขนเมอใด ของเหลวนน
211
จะไมสมดลและจะไหลเปลยนรปทรงจนทาใหแรงนตงฉากกบพนผวจงจะเกดสมดลและรกษา
รปทรงไวได
ของไหลแตละชนดมแรงกระทาในแนวตงฉากตอพนผวมากหรอนอยเทาไร ขนอย
กบปรมาณของของไหลและพนผวทหอหมของไหลนนดวย ซงยากตอการเปรยบเทยบและกลาว
อาง ดงนนจงไดกาหนดคาทสามารถแสดงออกในเชงทดแทนแรงกระทาไดเปนคาความดน
(Pressure, P) โดยนยามความดน คอ ขนาดของแรงกระทาในแนวตงฉากกบพนผวตอหนงหนวย
พนผวนน ถาแรงกระทาเปน F และพนทเปน A เราสามารถเขยนสมการความดนไดเปน
P = AF
…..(8-1)
หนวยของความดน คอ N/m2 แตอาจจะบอกเปนบรรยากาศ (atm) ปาสคาล (Pa)
บาร (bar) ทอร (Torr) หรอมลลเมตรของปรอท โดยกาหนดความสมพนธดงน
ความดน 1 บรรยากาศ = 760 mm.Hg
ความดน 1 บรรยากาศ = 1.013 105 N/m2
ความดน 1.013 105 N/m2 = 1 bar
ความดน 1 N / m2 = 1 Pa
ความดน 1 mm.Hg = 1 Torr
สาหรบของไหลทมพนผวอยในจาพวกรปทรงธรรมดา การหาคาความดน
จะเหมาะสมขน ถาใชอนพนธของฟงกชน คอ
P = A
Fitlim
0A ΔΔ
Δ =
dAdF
…..(8-2)
โดยของไหลจะมการเปลยนแปลงความหนาแนนหรอปรมาตร เมอม
การเปลยนแปลงความดนและอณหภมของของไหลนน ดงนนการกาหนดความหนาแนนของของ
ไหลทกครง จะตองกากบดวยวาคานนเปนความหนาแนนทความดนและอณหภมเทาไรดวย
ตวอยางท 8-1 นามนเครองมวล 1,430 kg บรรจในถงรปทรงกระบอกซงมเสนผาศนยกลาง 0.7 m
จงคานวณหาความดนทกนถงรปทรงกระบอกน
วธทา ขนาดของแรงทกระทาตอกนถง = 1,430 9.8 = 14,014 N
พนทกนถงรปทรงกระบอก = 4d 2π
= 4
)7.0( 2π
= 0.385 m3
212
ดงนนความดนทกนถง P = AF
= 385.0014,14
= 36,400 N/m2 ตอบ
ความดนในของไหล ณ จดใด ๆ
ความสมพนธระหวางความดน P ณ จดใด ๆ ในของไหลกบความสง y จากระดบ
อางองพจารณาดงน ถาของไหลอยในสภาวะสมดล ทกสวนภายในของไหลจะอยในสภาวะสมดล
ดวย พจารณาของไหลแผนบาง ๆ ดงรปท 8-1 ซงมความหนา dy มพนทผว A ของไหลม
ความหนาแนน มวลของของไหลสวนเลก ๆ นจะมคา Ady และมนาหนก dW = gAdy แรงท
กระทาตอชนของไหลอนเนองมาจากของไหลทลอมรอบยอมตงฉากกบผวชนของไหลนทกจด แรง
ลพธในแนวราบทกระทาตอชนของไหลยอมเทากบศนย สวนแรงดนขนจะอยตรงผวดานลาง คอ
PA และแรงดนลงหรอกดลงทผวดานบนของชนของไหล คอ (P + dP)A
รปท 8-1 แรงกระทาตอชนเลก ๆ ของของไหลทอยในสมดล
(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.396)
เนองจากของไหลชนนอยในสภาวะสมดล คอ ไมมการไหล ดงนน
Fy = 0
PA – (P + dP)A - gAdy = 0
dAdP
= -g …..(8-3)
เนองจาก และ g เปนบวกและมคาคงท ดงนน เมอ dy เพมขนหรอสวนสง
เพมขน dP จะมคาลดลง ถา P1 และ P2 เปนความดนทระดบ y1 และ y2 เหนอระดบอางองแลว
Integrated สมการท (8-3) ได
P2 - P1 = -g(y2 - y1) …..(8-4)
213
รปท 8-2 ตาแหนงความดนของของเหลวทตองการหา
(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.397)
เมอนาสมการท (8-4) นมาใชกบของเหลวทอยในภาชนะเปด ดงรปท 8-2
โดยกาหนดใหจดท 1 มความดน P และจดท 2 อยทผวของของเหลวทมความดนเทากบความดน
บรรยากาศ Pa ดงนน
Pa - P = -g(y2 - y1)P = Pa + gh …..(8-5)
เมอ h คอ ความลกของของเหลวเมอวดจากผวของของเหลว และจากสมการท
(8-5) ถาเพมความดน Pa เพมขนจะทาใหความดน P ทความลกใด ๆ เพมขนเปนจานวนเทากบ
ความดนทเพมขนน
รปท 8-3 ความดนไมเปลยนแปลงไปกบรปรางของภาชนะ
(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.397)
214
จากผลทไดจะเหนวาทความลก h ใด ๆ จะมคาแรงดนเทากนหมด ไมวาภาชนะนน
จะมรปรางเปนอยางไรกตาม ดงรปท 8-3 ซงกหมายความวาความดนทกระทาตอผนงของภาชนะท
ระดบเดยวกน และตงฉากกบพนผวเทากนเชนกน
จากการศกษาความดนของของไหลทจดใด ๆ น ปาสคาลเปนผพบ เรยกวา กฎของ
ปาสคาล (Pascal’s Law) มใจความวา “ถาออกแรงกดของไหลทอยในพนทผวกาหนดแนนอน แรง
กดนจะถกถายทอดไปทวทงของไหลนนโดยไมลดลงเลย และจะแสดงออกทผวหรอทผนงของ
ภาชนะดวยความดนทเทากนทกจด” เรานาหลกการนมาใชประโยชน คอ ทาเครองอดไฮดรอลก
ดงรปท 8-4
รปท 8-4 เครองอดไฮดรอลกพนทหนาตด A และ a
(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.397)
เมอออกแรงกดขนาด f ทลกสบเลกจะเกดความดน f/a สงผานไปตลอดทก ๆ สวน
ของของไหล ซงมตอไปยงลกสบใหญเกดแรงขนาด F = PA ในเมอความดนของทงสองลกสบ
เทากน ดงนน
P = af
= AF
หรอ F = aA
f …..(8-6)
จะเหนไดวาถาเราทาให F ใหญมากเทาใดกไดทปลอดภยและสะดวก แตถาลกสบ
ใหญมาก ๆ ตองใชของไหลมากและเสยเวลามาก เครองใชอาศยหลกการนกอยางเชน เกาอชาง
ทาฟน เกาอชางตดผม แมแรงยกของ หามลอไฮดรอลค เปนตน
215
ตวอยางท 8-2 ลกสบเลกและลกสบใหญในเครองไฮดรอลค ซงมขนาดเสนผาศนยกลาง 3 cm และ
24 cm ตามลาดบ ถาออกแรงกระทาทลกสบเลก 600 N จงคานวณวาแรงทเกดทลกสบใหญกนวตน
วธทา จากสมการท (8-6) แรงทกระทาตอลกสบใหญจะมคาเทากบ
F = aA
f
เมอ A = (12 10-2)2 และ a = (1.5 10-2)2 และ f = 600 N แทนคา จะได
F = 22
22
)105.1(
)1012(-
-
ππ 600
F = 38,400 N ตอบ
เครองมอวดความดน
เครองมอวดความดนทพบมากทสด คอ แบบมาโนมเตอร (Manometer) ดงรปท
8-5 ซงมลกษณะเปนหลอดแกวรปตวย โดยปลายหลอดดานขวามอเปดสบรรยากาศซงมความดน
บรรยากาศ Pa สวนบรเวณดานซายมอเปนบรเวณทตองการวดความดน ภายในหลอดแกวรปตวย
จะมของเหลวทมความหนาแนน บรรจอย
รปท 8-5 นาโนมเตอรบรรจของเหลวความหนาแนน
สมมตวาบรเวณทจะวดความดนมความดนเทากบ P และระดบของเหลวปลายปด
เมอเทยบกบระดบอางองอยท y1 และปลายเปดอยท y2 ตามลาดบ จะได
ความดนทกนหลอดดานซายมอ = P + gy1
ความดนทกนหลอดดานขวามอ = Pa + gy2
เนองจากความดนทระดบเดยวกน (กนหลอด) ยอมเทากน ดงนน
P + gy1 = Pa + gy2
P - Pa = g(y2 – y1) = gh …..(8-7)-
ความดน P เรยกวา ความดนสมบรณ (Absolute pressure) สวนผลตางของ
ความดนสมบรณกบความดนบรรยากาศ คอ P - Pa เรยกวา ความดนเกจ (Gauge pressure)
216
สวนเครองมอวดความดนอกแบบหนงทนยมใช คอ แบบบารโรมเตอร ซงเปน
เครองทใชวดความดนของบรรยากาศ มลกษณะเปนหลอดแกวปด บรรจของเหลวความหนาแนน
แลวควาลงในกระบะอางทบรรจของเหลวชนดเดยวกน ดงแสดงในรปท 8-6 ซงทาใหจด P2 ม
ความดนเปนศนย และจด P1 = Pa ซงเปนคาทตองการทราบ ดงนน
รปท 8-6 บารโรมเตอรบรรจปรอท ความหนาแนน
ความดนทกนกระบะอางเนองจากตาแหนงท 1 = Pa + gy1
ความดนทกนกระบะอางเนองจากตาแหนงท 2 = 0 + gy2
ความดนทระดบเดยวกนยอมเทากน นนคอ
Pa + gy1 = 0 + gy2
Pa = g(y2 - y1) = gh …..(8-8)
ถาในกระบะอางบรรจปรอท จะเหนวาความสงของลาปรอทแปรผนโดยตรงกบ
ความดนบรรยากาศ เราจงมกบอกความดนของบรรยากาศและความดนอน ๆ เปนความสงของ
ปรอท เชน ความดน 760 มลลเมตรของปรอท เปนตน
ตวอยางท 8-3 จงคานวณหาความดนบรรยากาศในวนหนงซงความสงของปรอทในบารโรมเตอร
อานได 76 cm กาหนดใหความหนาแนนของปรอทเทากบ 13.6 103 kg/m3 และอตราเรงเนองจาก
ความโนมถวงของโลกเทากบ 9.8 m/s2
วธทา จากสมการท 8-8 ความดนบรรยากาศ
Pa = g(y2 - y1) = gh
= 13.6 103 9.8 0.76
= 1.013 105 N/m2 ตอบ
217
ตวอยางท 8-4 จงคานวณหาความดนเครองวดทพอดใชกบแมแรงไฮดรอลค ซงลกสบมพนท 800
cm2 เพอยกรถยนตทมมวล 1,500 kg
วธทา แรงสทธ = ความดนของเครองวด พนท
1,500 9.8 = Pg 800 10-4
ดงนน Pg = 1.84 105 N/m2
หรอ Pg = 184 kPa ตอบ
8.1.2 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส
หลกการลอยตวของเรอ หรอของวตถทลอยตวอยในของเหลว หรอนาหนกขอ
วตถลดลงขณะอยในของเหลวนน ทงหมดนเปนไปตามหลกของอารคมดส ซงไดกลาวไววา “วตถ
ใด ๆ จะมบางสวนจมอยในของเหลวหรอจมอยในของเหลวทงหมดกตาม วตถนนจะถกแรงลอยตว
กระทาตลอดเวลา โดยแรงลอยตวทกระทาตอวตถนนจะเทากบนาหนกของของเหลวทมปรมาต
เทากบปรมาตรของวตถสวนทอยในของเหลวนน หรออาจกลาวไดอกอยางหนงคอปรมาตรของ
ของเหลวทถกแทนทนนเอง”
แรงลอยตวทกระทาตอวตถนจะตองผานจศนยกลางมวลของวตถนน วตถจงจะอย
ในสภาวะสมดลได เมอใดกตามถาแรงลอยตวไมกระทาผานจดศนยกลางมวล เชน การลอยของเรอ
ทเอยงจะเกดการปรบตวของเรอจนแรงลอยตวผานจดศนยกลางมวลจะทาใหเรอกลบสจดสมดลได
รปท 8-7 แรงดนทดานใตวตถแรงดนลงบนวตถ
218
พจารณาจากรปท 8-7 ถาแทงวตถรปสเหลยมซงมพนทหนาตด A จมอยใน
ของเหลวทมความหนาแนน ทผวดานขางมแรงดนจากของเหลวกระทาในแนวราบและจะหกลาง
กนหมด สวนผวดานบนของวตถจะไดรบแรงดน F1 ซงเปนแรงดนลง มคาเทากบ
F1 = P1A = (Pa + gh1)A
และแรง F2 ซงเปนแรงดนขน เทากบ
F2 = P2A = (Pa + gh2)A
ดงนน แรงลพธ = F2 - F1 = g(h2 - h1)A
= ghA
= นาหนกของของเหลวปรมาตรเทาวตถ
แรงลพธ = นาหนกของของของเหลวทถกแทนท .....(8-9)
กรณของเรอดานาทลอยนงอยใตทะเล ณ ความลกคาหนงได เพราะนาหนกของเร
เทากบนาหนกของนาทะเลทถกแทนท นนคอความหนาแนนเฉลยของเรอดาน าจะเทาก บ
ความหนาแนนของนาทะเล วตถทมความหนาแนนเฉลยนอยกวาความหนาแนนของของเหลว
สามารถลอยในของเหลว และบางสวนของวตถจะโผลเหนอผวของของเหลว เรอทกลานอกจาก
จะสรางใหลอยนาไดแลวยงตองสรางใหอยในสภาวะสมดลเสถยรและไมโคลงเคลงไปมาดวย ดงน
ในการตอเรอใด ๆ จงตองทาใหแนวแรงลอยตวของเรอผานจดศนยกลางมวลของเรอดวย
ตวอยางท 8-5 อลมเนยมชนหนงหนก 24 N ในอากาศ และ 15.1 N เมอจมมดในนา จงหาปรมาต
ของอลมเนยมชนน และความหนาแนนของอลมเนยม
วธทา นาหนกทหายไปในนา เทากบ 24 - 15.1 = 8.9 N ซงเปนนาหนกของนาทถกแทนท
เนองจากนา 1 m3 หนก 1,000 9.8 = 9,800 N เพราะ
ดงนนนาหนกของนา 8.9 N จะม
ปรมาตร = 800,99.8
= 9.1 10-4 m3
ดงนน ความหนาแนนของอลมเนยม คอ
= Vm
= 4101.9
8.9/24-
= 2.69 103 kg/m3 ตอบ
219
ตวอยางท 8-6 แทงอลมเนยมหนก 63 N เมอชงในอากาศ และหนก 45 N เมอจมอยในของเหลว
ชนดหนง ถาความหนาแนนของอลมเนยมเทากบ 2.7 103 kg/m3 จงหาความหนาแนนของ
ของเหลวนน
วธทา ปรมาตรของอลมเนยม คอ
V = ρm
= 3107.2
8.9/63
= 2.38 10-3 m3
และ
แรงลอยตวของแทงอลมเนยม = นาหนกของของเหลวทถกแทน
63 - 45 = 1 2.38 10-3 9.8
ความหนาแนนของของเหลว
1 = 7.7 102 kg/m3 ตอบ
ตวอยางท 8-7 อยากทราบวาภเขานาแขงลอยโผลเหนอผวนาทะเลรอยละเทาไรของปรมาตร
ทงกอน เมอกาหนดใหความหนาแนนของนาแขงและนาทะเลเทากบ 9.2 102 kg/m3 และ
1.03103 kg/m3 ตามลาดบ
วธทา นาหนกของนาแขง Wi = iVig โดย Vi คอปรมาตรของนาแขงและนาหนกของนาท
ปรมาตร VW ทถกแทนท คอ แรงลอยตว B = WVWg
เนองจาก Wi = B ดงนน WVWg = iVig
จดเทอมจะได i
W
VV
= W
i
ρρ
= 3
2
1003.1
102.9
= 0.89
นนคอ ปรมาตรของนาทถกแทนท คอปรมาตรของนาแขงสวนทจมเทากบ 89% หรอโผล
พนนา 11% ตอบ
220
8.1.3 ความตงผว (Surface tension)
จากทกลาวมาแลววาของเหลวเปนสสารทมโมเลกลยดกนแบบหลวม ๆ ทาใหผว
ของของเหลวปรากฏแรงกระทาสภายนอกในทศตงฉากกบพนผวนน การยดกนของโมเลกลตามผว
ของของเหลวสามารถทจะยดกบโมเลกลตางชนดกนไดดวยแรงกระทาระหวางโมเลกล เราสามารถ
แบงแยกออกเปน 2 ประเภท ไดดงนคอ
1) แรงยดตด (Cohesive force) เปนแรงยดระหวางโมเลกลชนดเดยวกน
2) แรงเกาะตด (Adhesive force) เปนแรงยดระหวางโมเลกลตางชนดกน
สาหรบพฤตกรรมของแรงเกาะตดของของเหลวน สามารถแสดงไดโดยการเอา
หวงลวดเลก ๆ จมลงในของเหลว แลวคอย ๆ ดงขนมาจะปรากฏวา จะตองออกแรงมากกวาแรงยก
นาหนกของหวงลวดนนขนมา และระหวางทกาลงจะพนผวของของเหลว จะเหนวาของเหลว
จะเกาะตดหวงนนสงตามหวงลวดขนมาดวย ดงแสดงในรปท 8-8 และ รปท 8-9
รปท 8-8 การหาความตงผว
พจารณารปท 8-8 เปนลวดวงแหวนผกหอยเปนสาแหรก ซงนยมใชสาหรบหาคา
ความตงผว ถากาหนดให L คอ ความยาวของเสนรอบวงของลวด ของเหลวจะยดลวดไวทงสองผว
คอทงผวดานในและผวดานนอก สมมตวาแรงทเพมขน F นพอด ทาใหขดลวดหลดออกจากผว
ของเหลวได ดงนน F = 2L แรงนหาไดโดยแขวนปลายเชอกไวกบตาชงสปรง แลวคอย ๆ ดงถวย
ของเหลวลง สปรงจะยดออกจนกระทงผวของแผนฟลมเนองจากของเหลวหลดออกจากขดลวด
อานคาของแรง F ทเพมขนจากเดมตอนขดลวดอยนงในของเหลวกบตอนทพอดหลดออกจาก
ของเหลว โดยคาความตงผว คอ
= L2F
…..(8-10)
221
รปท 8-9 ลวดยาว L อยในสมดลภายใตแรงตงผว 2L กบแรงดงลง F = W1 + W2
หรอกรณของรปท 8-9 แสดงกรอบลวดรปตวย มลวดเกลยงตรงอนหนงเลอนไป
มาไดคลองบนขาตวย เมอจมลวดนลงในนาฟองสบ แลวคอย ๆ ดงขนชา ๆ ถานาหนกของลวด W1
ไมมากนก จะเหนเปนแผนฟลมตดอยทกรอบลวด เพมนาหนก W2 ลงไป แรง F = W1 + W2 จะฉด
ใหแผนฟลมยดออกและยงคงอยในสภาวะสมดล พนทของแผนฟลมบาง ๆ จะมขนาดคงท
ถาอณหภมคงท พนทนจะเปลยนไปมากตามคณสมบตของความตงผวของฟลม วาจะทนแรงดงได
มากนอยเทาใด ถาความยาวของลวดทเลอนไดยาว L แตเนองจากผวฟลมมสองผว ดงนนความยาว
ของผวลวดทถกแรงกระทาจงยาวเทากบ 2L ความตงผว มนยามเปนอตราสวนระหวางแรง F ท
กระทาไปตามผวตอความยาวของผวทถกแรงนนกระทา ความยาวนตองตงฉากกบแรงดวย
เพราะฉะนนเราสามารถเขยนความตงผวไดตามสมการท 8-10 โดยมหนวยเปน N/m สาหรบตาราง
ท 8-1 แสดงคาของความตงผวของสารบางอยาง จากตารางนเราจะเหนวาความตงผวของนา
จะลดลงเมออณหภมเพมขน
222
ตารางท 8-1 คาความตงผวของสสารบางชนดทไดจากการทดลอง
ของเหลวเมอสมผสกบอากาศ อณหภม (C) ความตงผว (N/m)
กลเซอรน 20 6.3110-2
คารบอนเตตระคลอไรด 20 2.6810-2
นา 0 7.5610-2
นา 20 7.2810-2
นา 60 6.6210-2
นา 100 5.8910-2
นาสบ 20 2.5010-2
นามนมะกอก 20 3.2010-2
เบนซน 20 2.8910-2
ปรอท 20 4.6510-1
เอธลแอลกอฮอล 20 2.2310-2
ออกซเจน -193 1.5710-2
นออน -247 5.1510-3
ฮเลยม -269 1.2010-4
(ก) (ข)
รปท 8-10 (ก) ของเหลวในหลอดแกวขนสงจนนาหนกของลาของของเหลวเทากบความตงผวทแตกออกไป
ตามแนวดง (ข) ของเหลวทไมเปยกภาชนะซงมมมสมผสเกน 90 ของเหลวทอยในหลอดจะตากว
ขางนอกหลอด
223
สาหรบหลอดแกวรเลกปลายเปด เมอจมลงในของเหลว ดงแสดงในรปท 8-10
ของเหลวจะขนไปตามหลอดแกวสงกวาระดบของเหลวในภาชนะ ในกรณของปรอทระดบปรอท
ในหลอดแกวจะตากวาระดบปรอทในภาชนะสาหรบของเหลวทขนไปตามหลอดแกวได เนองจา
แรงดงดดระหวางโมเลกลของของเหลวมคานอยกวาหรอมากกวาแรงดงดดตางโมเลกลระหวาง
ของเหลวกบแกว
ในการคานวณหาความสงของของเหลวทขนไปตามหลอดแกว ดงรปท 8-10 (ก)
เนองจากของเหลวเกาะหลอดแกวเปนรปวงกลมตามรปทรงของหลอด ณ เสนสมผสของเหลวทา
มม กบผนงของหลอดแกว มมนเรยกวา มมสมผส (Contact angle) ของเหลวจะขนสงจนกระทง
นาหนกของลาของเหลวซงสง h มคาเทากบแรงตงผวทแยกออกไปตามแนวดง ถาให เปน
ความตงผว และ r เปนรศมของรหลอดแกว ของเหลวทามมสมผสรอบหลอดไปตามเสนรอบวง
ซงยาว 2r ดงนน
แรงดงขนทงหมด คอ
F = 2rcos
และแรงดงลง คอ นาหนกของของเหลวในหลอดแกวซงมคาเทากบ
W = mg
gV = gr2h
เพราะวาของเหลวในหลอดแกวอยในสภาวะสมดล ดงนน
h = gr
cos2ρ
θγ …..(8-11)
สาหรบของเหลวทเปยกหลอดแกวมมสมผส จะเลกมาก คาของ cos
มคาประมาณหนง เชน กรณนากบแกว สาหรบปรอทกบแกว คา เทากบ 139 จะไดคา h จาก
สมการท 8-11 เปนคาลบ ดงแสดงในรปท 8-9 (ข) ถาเปนนากบโลหะเงน คา เทากบ 90 และน
จะไมขนไปตามหลอดโลหะเงน มมสมผสระหวางของเหลวกบของแขงชนดตาง ๆ สามารถแสดง
ไดดงรปท 8-11
รปท 8-11 มมสมผสระหวางของเหลวและของแขง
224
หลกการของความตงผวทเกยวของกบชวตประจาวนมหลายอยาง เชน การเตมสบ
หรอผงซกฟอกลงไปในนาเพอลดแรงตงผวของนา ทาใหนาซมเขาไปในเสอผาไดงาย และผลกด
สงสกปรกออกมา กรณเสอกนนากใชวธการฉาบสารบางอยางบนเสอผาเพอลดแรงดงดดระหวา
โมเลกลนากบเสอผา นาจะไมเปยกเสอผา แตจะรวมตวกนเปนหยดนาแลวหลดรวงไป จากสงทกลา
ทงห มดจ ะเ หนว าป ราก ฏกา รณ ทนา หลอดแ กว ร เลก ๆ ป ลาย เปด ไป จมในข องเ หลว
แลวของเหลวจะไหลขนไปในรหลอดสงกวาระดบของเหลวภายนอก ปรากฏการณเชนน เรยกวา
คะปลลารต (Capillarity) ตวอยางทอาศยหลกการคะปลลารต เชน การซมของนามนกาดขนไปตา
ไสตะเกยง การซมของนาในเสอผา หรอกระดาษซบ การซมของนาใตดน การล าเลยงนาและอาหา
ลาตนของพช เปนตน
ตวอยางท 8-8 จมลวดวงแหวนซงมเสนผาศนยกลาง 75 mm ลงในนามนดบ ปรากฏวาตองออกแร
8.62 10-3 N จงจะดงใหหลดพนจากนามนดบนได จงหาความตงผวของนามนดบน
วธทา เมอดงลวดออกจากผวของนามนดบ ผวฟลมจะเกาะทงดานในและดานนอกของเสนรอบ
วงของผวฟลมทงสองดานน โดยมลกษณะเปนวงกลมรวมจดศนยกลางเดยวกน และม
เสนผาศนยกลางประมาณเทากบเสนผาศนยกลางของลวดวงกลม
เสนรอบวงของลวด = เสนผาศนยกลาง
= 3.14 75 10-3
= 0.236 m
จากความตงผวของนามนดบ
= L2F
= 236.021062.8 3
-
= 0.0183 N/m ตอบ
225
ตวอยางท 8-9 เมอเอาหลอดคะปลลารจมลงในของเหลวชนดหนง ปรากฏวาระดบของเหลวนน
สงขน 5 mm และผวของเหลวสวนทตดกบผนงหลอดแกวทามม 30 ถาหลอดแกวมเสนผาศนยกลาง
เทากบ 1 mm และของเหลวนมความหนาแนนเทากบ 1.3 103 kg/m3 จงหาความตงผวของ
ของเหลวน
วธทา จากปรากฏการคะปลลารตความสง
h = gr
cos2ρ
θγ
เมอ h = 5 10-3 m, = 300, = 1.3 103 kg/m3 และ r = 0.510-3 m ดงนน
= θρcos2
grh
= 30cos2
105105.08.9103.1333 --
= 0.018 N/m ตอบ
8.2 พลศาสตรของของไหล (Fluid Dynamic)
พลศาสตรเปนวชาทวาดวยการเคลอนทของสสารใด ๆ โดยเฉพาะอยางยงการเคลอนท
ของของไหล ในตอนเรมตนนจะพจารณาลกษณะของไหลทเรยกวา ของไหลในอดมคต (Ideal
fluid) กลาวคอ เปนของไหลทอดไมไดและไมมความหนด หรอไมมแรงเสยดทานภายในของเหลว
นนเอง สาหรบขอสมมตเรองสภาพอดไมไดนใชไดดในกรณทเปนของเหลว สวนกาซนนสามารถ
พจารณาวาไมถกอดตวเมอการไหลนนอยในสภาพทความดนไมแตกตางกนมากนก ความเสยดทาน
ภายในของไหลจะทาใหเกดความเคนเฉอน เมอชนของไหลสองชนเคลอนทสมพทธกน หรอเมอ
ของไหลไหลในหลอดหรอไหลรอบสงกดขวางการไหลจรง ๆ สวนใหญแลวพอทจะตดแรงเฉอนน
ทงได เพราะมคานอยมากเมอเทยบกบแรงโนมถวงของโลก และแรงทเกดจากความดนทแตกตางกน
8.2.1 ความหนด (Viscosity)
เปนความเสยดทานภายในของของไหล ซงเปนความเสยดทานระหวางโมเลกล
ของของไหล เวลาไหลไป หรอระหวางวตถอนกบของไหลขณะเคลอนทไปในของไหลนน
ในการหาความหนด สมมตใหของไหลจานวนหนงถกแรงกระทาทชนบนสด
และมทศทางไปทางขวามอของของไหลนน ชนบนของของไหลจะพยายามไหลตามแรงทกระทา
แตถกแรงเสยดทานซงมทศทางตรงกนขามตานไว ทาใหของไหลชนตาง ๆ ไหลตาม แตความเรว
จะคอย ๆ นอยลง ดงแสดงในรปท 8-12
226
รปท 8-12 แสดงการไหลของของไหลเมอถกกระทาดวยแรง F
ถาพจารณาของไหลบรเวณ a b c d เมอถกแรง F กระทาจะเปลยนไปเปน a b dcจากพฤตกรรมทเกดขนน ถาหาอตราเฉลยของแรงกระทาตอพนทจะไดเทากบ F/A และอตราเฉลย
เปลยนแปลงความเรวตอความหนาจะไดเทากบ v/L ซงอตราทงสองนจะเปนปฏภาคโดยตรง
หรอผนแปรกนโดยตรงตอกน นนคอ
AF
Lv
ตามหลกการพนฐานทางคณตศาสตร จะได
AF
= Lv
เมอ (อานวา Eta) เปนคาคงท ซงจะตองเปนคณสมบตเฉพาะของของไหลนน
เรยกวาคาสมประสทธความหนด (Coefficient of viscosity) หรอเรยกสน ๆ วา ความหนด (Viscosity)
ดงนน
= vAFL
…..(8-12)
หรอ F = L
vA
หนวยของ มหนวยเปน N/m2 หรอ dyne-sec/cm2 สาหรบหนวยเฉพาะทนยมใช
คอ Poise โดยกาหนดให 1 Poise = 1 dyne-sec/cm2
สโตค (Stokes) ไดทาการศกษาเรองความหนดของของไหล โดยนาเอาวตถทรง
กลมเคลอนทไปในของไหล และในทสดสามารถหาความสมพนธ ทเรยกวา กฎของสโตค
(Stokes’s Law) ซงกาหนดให
Ff = 6rv …..(8-13)
เมอ Ff คอ แรงเสยดทานภายในของเหลว
คอ ความหนด
227
r คอ รศมทรงกลม
v คอ ความเรวเฉลยทวตถทรงกลมเคลอนทไปในของเหลวนน
รปท 8-13 แสดงวตถทรงกลมกาลงเคลอนในของไหล
คาความเรว v ในสมการท 8.13 สามารถหาไดจากการทดลอง ดงแสดงในรปท
8-13 หรอหาจากการคานวณ โดยการคานวณหาคาความเรว v นนเรมจากการหานาหนกของ
ทรงกลม คอ
W = mg = 34 r3g
และแรงลอยตว B = 34 0r
3g
เมอ เปนความหนาแนนของทรงกลม
0 เปนความหนาแนนของของไหล
ถาสมมตวาวตถทรงกลมเคลอนทลงมา จากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน
จะได
W - B- Ff = ma …..(8-14)
หรอ a = g - m
FB f
ถากาหนดใหแรงเสยดทานภายในของเหลว Ff = 0 และเรมปลอยวตถทรงกลม
ในของเหลวทตาแหนงจดหยดนง v = 0 วตถทรงกลมตกลงมาดวยความเรง a0 ดงนน
a0 = g - mB
= g - 3
30
r34
gr34
πρ
πρ
a0 = g ρρρ 0-
…..(8-15)
228
แสดงวา ขณะทลกทรงกลมกาลงเคลอนทไปในของไหลดวยความเรง a0 ความเรว
จะเพมขนเรอย ๆ ซงหมายความวาแรงตานหรอแรงเสยดทานภายในของเหลวเพมขนดวย
เมอความเรวถงจดพอเหมาะหรอสมดล ความเรวนนจะคงท คาความเรงจะเปนศนย ดงนนสมการท
(8-14) จะเปน
W - B- Ff = 0 …..(8-14)
หรอ 34 r3g =
34 0r
3g + 6rv
ดงนน v = 92
ηρρ )(gr 0
2 - …..(8-16)
ตวอยางท 8-10 จงหาความเรวปลายของลกปนทรงกลมรศม 2 mm ในกลเซอรน ถากาหนดให
ความหนาแนนของเหลก 7.9 10-3 kg/m3 และของกลเซอรน 1.3 103 kg/m3 สวนความหนดของ
กลเซอรนเทากบ 0.833 N.s/m2
วธทา จากรปท 8-12 แรงภายนอกทกระทาตอลกปน คอแรงโนมถวงของโลกในทศทางพงลง
และแรงลอยตวมทศพงขน จากกฎของสโตค และสมการท (8.16) จะได
v = 92
ηρρ )(gr 0
2 -
เมอ r = 2 10-3 m, = 7.9 103 kg/m3, 0 = 1.3 103 kg/m3
ดงนนแทนคาจะได
v = 92
833.0)3.19.7(8.9)102( 323 --
= 0.069 m/s
ดงนนความเรวปลายของลกปนขณะตกลงมาคอ 0.069 m/s ตอบ
8.2.2 สมการตอเนอง (The Equation of continuity)
เมอบางสวนหรอทงหมดของของไหลถกแรงกระทา ไมวาจะเปนแรงภายนอก
หรอแรงภายในกตาม ของไหลจะเกดการเคลอนททนท เนองจากโมเลกลของของไหลยดตดกน
แบบหลวม ๆ และมความหนดในของไหล ทาใหการเคลอนทของแตละสวนของของไหล
มความสมพนธซงกนและกนตลอด ซงเปนพฤตกรรมการไหล ถาพฤตกรรมการไหลของของไหล
เปนระเบยบเรยบรอยเราเรยกวา การไหลสมาเสมอ (Steady flow) และถาการไหลของของไหล
ไมเปนระเบยบหรอไมสมาเสมอจะเรยกวา การไหลแบบปนปวน (Non steady flow)
229
สาหรบการไหลแบบสมาเสมอ จะหมายถงการไหลแบบสายกระแส หรอเส
กระแส (Stream line flow หรอ laminar flow) ณ จดใดจดหนงในบรเวณทมการไหลนน ของไหล
ทจดนนจะมความเรวเทากบ v และเมอของไหลจานวนนผานไปแลว ของไหลจานวนใหมทผาน
เขาถงจดนนจะมความเรวเทากบ v เชนเดม อาจกลาวไดวาการไหลแบบเปนระเบยบเสมอนเปน
การไหลในหลอด ซงเรยกแนวบรเวณการไหลนวา หลอดกระแส (Tube of flow)
(ก) แสดงความเรวของของไหลทจดใด ๆ (ข) หลอดการไหลหอมลอมดวยสายกระแส
รปท 8-14 แสดงความเรวและสายกระแส
(ทมา: Young Huge D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.403)
พจารณาการเคลอนทของของไหลจากรปท 8-14 (ก) เปนการไหลแบบสายกระแส
โดยทกๆ โมเลกลของของไหล เมอเคลอนทมาถงจด a จะตองมความเรวเทากบ va แลวเคลอนท
มาถงจด c จะตองมความเรวเทากบ vc โดยเสนแนวทางการไหลจะขนานกบทศทางความเรวตลอด
ดงแสดงเปนรปหลอดกระแสในรปท 8-14 (ข) ดงนนการไหลแบบสายกระแสจงสามารถกาหนด
ขอบเขตการไหลทตองการไดสะดวก ซงเปนลกษณะหลอดของการไหลดงทกลาวมาแลว
การไหลของของไหลแตละสวนหรอแตละโมเลกลของของไหลนน สามารถจะม
ความเรวทแตกตางกนและมความเรวทเปลยนไปตามจดตาง ๆ ได แตจานวนมวลของของไหลท
ผานไป ณ จดใดจดหนงจะตองเทากนกบจดอน ๆ ในชวงเวลาเดยวกนเสมอ กลาวคอ อตราการ
เปลยนมวลในหนงหนวยเวลา ซงเรยกวา มวลฟลกซ (Mass flux) จะคงท
t
m
ΔΔ
= constant …..(8-17)
230
รปท 8-15 พนทแรเงาแสดงปรมาณ
การไหล
ถาพจารณาสองบรเวณในการไหลแบบสายกระแส ดงแสดงในรปท 8-15 มวลของ
ของไหลในหลอดของการไหลจะไมสญเสยไปนอกบรเวณเลย ถาทจด P มพนทหนาตด A1 ของ
ไหลมความเรว v1 และทจด Q มพนทหนาตด A2 มความเรว v2 ดงนนในชวงระยะเวลา dt ทจด P
จะมมวลไหลผาน
P
t
m
ΔΔ
= v11A1 …..(8-18)
และทจด Q
Q
t
m
ΔΔ
= v22A2 …..(8-19)
เนองจากในหลอดกระแสของการไหลเดยวกน มวลฟลกซจะตองคงทเสมอ ดงนน
= v11A1 = v22A2
หรอ vA = constant …..(8-20)
สาหรบของไหลชนดเดยวกน ความหนาแนน () จะไมเปลยนแปลง นนคอจะได
สมการ
vA = constant …..(8-21)
คาของ vA นอาจจะเรยกเปนอตราปรมาตรของของไหล (Volume Flux) หรออตรา
การไหล (Volume flow rates) ได และเรยกสมการท 8-21 วาสมการตอเนอง (Equation of Continuity)
ตวอยางท 8-11 นาในทอตรงทมพนทภาคตดขวาง 1.0 10-3 m2 มความเรว 1.2 m/s เมอไหลไปถง
ทอทมพนทภาคตดขวาง 2.0 10-4 m2 จะมความเรวเทาใด
วธทา จากสมการตอเนอง
vA = constant
ดงนน 2
1
vv
= 2
1
AA
231
แทนคา จะได v2 = v1 2
1
AA
= 1.2 4
3
100.2
100.1-
-
v2 = 6.0 m/s
นนคอ ของไหลขณะเคลอนทผานพนท 2.010-4 m2 จะมความเรวเทากบ 6.0 m/s ตอบ
8.2.3 สมการเบอรนล (Bernoulli’s equation)
พจารณาของไหลทไหลในทออยางสมาเสมอ ดงรปท 8-16 ใหพนทภาคตดขวาง
ของทอเปน A1 ทางปลายทอดานซายมออยสงจากระดบอางอง y1 ทอคอย ๆ โตขนและสงขน
พรอม ๆ กนไปจนมพนทหนาตด A2 และอยเหนอระดบอางอง y2 จะพจารณาเฉพาะสวนทแรเงาไว
และเรยกของไหลสวนนวา “ระบบ (System)” สงเกตการเคลอนทของระบบจากตาแหนง ดงแสดง
ในรปท 8-16 (ก) ไปยงรปท 8-16 (ข) ทก ๆ จดในสวนทแคบของทอมความดน P1 ความเรว v1 และ
ในสวนทอกวางมความดน P2 ความเรว v2
(ก) (ข)
รปท 8-16 สวนของไหลเคลอนทผานทอจากตาแหนง ดงแสดงในรป (ก) ไปยงรป (ข)
จากทฤษฎงานและพลงงานทกลาววา “งานทกระทาโดยแรงลพธตอระบบมคา
เทากบการเปลยนพลงงานจลน” ในรปท 8-16 แรงทกระทาตอระบบ คอ P1A1 และ P2A2 ซงกระทา
ทางซายและทางขวา ตามลาดบ กบแรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก เมอของไหลไหลไปตามทอ
ผลทไดเมอเทยบระหวางรปทงสองกคอ ยกของไหลสวนทแรเงาในรปท 8-16 (ก) ไปยงตาแหนงใน
รปท 8-16 (ข) ปรมาณของของไหลทแรเงาไมเปลยนแปลงเนองจากการไหล เราสามารถหางาน W
ทแรงลพธกระทาตอระบบไดดงน คอ
1) งานเนองจากแรงดน P1A1 คอ P1A1x1
2) งานเนองจากแรงดน P2A2 คอ -P2A2x2 (เครองหมายลบหมายถงงานเนองจาก
ระบบ)
232
3) งานเนองจากแรงโนมถวงของโลกซงยกของไหลสวนทแรเงาจากระดบความสง
y1 ไปยงความสง y2 คอ -mg(y2 - y1) เมอ m เปนมวลของของไหลสวนทแรเงา เครองหมายลบ
แสดงถงงานทระบบกระทาเพอตานแรงโนมถวง ดงนนงานลพธ W ทเกดจากแรงลพธกระทาตอ
ระบบจะหาไดจากผลบวกทางพชคณตของแตละเทอมขางบน คอ
W = P1A1x1 -P2A2x2 - mg(y2 - y1)
เนองจาก A1x1 เทากบ A2x2 และเปนปรมาตรของของไหลสวนทแรเงา ซงมคา
เทากบ m/ เมอ เปนความหนาแนนของของไหลซงคงท ดงนน
W = (P1 - P2) ρm
- mg(y2 - y1)
เนองจากของไหลเคลอนทจากตาแหนงท 1 ซงมความเรว v1 ไปยงตาแหนงท 2
ซงมความเรว v2 การเปลยนแปลงพลงงานจลนของของไหลกคองานทใชในการเคลอนท ดงนน
W = (Ek)1 - (Ek)2
= 22mv
21
- 21mv
21
22mv
21
- 21mv
21
= (P1 - P2) ρm
- mg(y2 - y1)
จดรปแบบสมการใหม จะได
P1 + 21v
21ρ +gy1 = P2 + 2
2v21ρ +gy2=
หรอ P + 21 v2 +gy = constant …..(8-22)
สมการท (8-22) เรยกวา สมการเบอรนล (Bernoulli’s equation) ใชไดกบของ
ไหลทไมหนด อดไมได และไหลสมาเสมอ
ตวอยางท 8-12 นาไหลในทอดวยอตราการไหลเทากบ 10 ลกบาศกเมตรตอนาท ทอนผานจดสอง
จดมระดบตางกน 0.6 m ทระดบสงทอมเสนผาศนยกลาง 0.3 m มความดนนาเทากบ 105 N/m2
สวนจดทอยระดบตาทอมเสนผาศนยกลางเทากบ 0.15 m ทจดระดบตานจะมความดนเทาไร
วธทา จากสมการตอเนอง
v1A1 = v2A2
เมออตราการไหลของนาเทากบ 10 ลกบาศกเมตรตอนาท = 0.16 m3/s ดงนน
v1A1 = v2A2 = 0.16
สามารถคานวณหา
233
v1 = 1A16.0
= 2
215.0
16.0
π
= 9.05 m/s
และ v2 = 2A
16.0 = 2
230.0
16.0
π
= 2.26 m/s
สาหรบ y2 - y1 = 0.6 m , ความหนาแนน = 103 kg/m3 และ g = 9.8 m/s2
จากสมการเบอรนล
P1 + 21v
21ρ +gy1 = P2 + 2
2v21ρ +gy2=
หรอ P1 = P2 + )vv(21 2
222 -ρ +g(y2 - y1)
แทนคาจะได P1 = 105 + 21 103(2.262 - 9.052) + 103 9.8 0.6
= 6.79 104 N/m2 ตอบ
ประโยชนของสมการเบอรนล (Application of Bernoulli’s equation)
เราสามารถนาสมการเบอรนลมาประยกตใชไดหลายอยาง เชน ทฉดยากนยง ทฉดนาหอม
เครองฉดนาใหเปนละอองฝอย เปนตน นอกจากนเรายงสามารถใชสมการเบอรนลพสจนหาความด
ทจดใด ๆ ในของเหลวทบรรจในภาชนะปดใด ๆ ดงแสดงในรปท 8-17 ถาความเรวทจดท 1 และ 2
มคาเทากบ v1 = v2 = 0 และความดนทจดท 2 คอ P2 = Pa ซงเปนความดนบรรยากาศ
รปท 8-17 ของเหลวบรรจอยในภาชนะปดใด ๆ
ดงนน จากสมการเบอรนล ในสมการท (8-22)
P1 + 21v
21ρ +gy1 = P2 + 2
2v21ρ +gy2
234
ดงนนนน เมอแทนคาจะสามารถหาความดนทจดท 1 ได ดงน
P1 = P2 + (h2 - h1) = Pa +gh
ซงผลลพธทไดจะใหผลลพธเชนเดยวกบสมการท (8-5)
ทฤษฎของเทอรรเชลล (Thorri Celli’s theorem)
ทฤษฎเทอรรเชลลกลาววา “ของเหลวทไหลออกมาจากรขางถงบรรจของเหลว จะม
ความเรวเทากบของเหลวนนตกลงมาอยางอสระภายใตแรงโนมถวงของโลก จากระยะทางเทากบ
ความลกของจดนนในของเหลว” ดงแสดงในรปท 8-18
รปท 8-18 แสดงความเรวของของไหล
จากสมการเบอรนล
P1 + 21v
21ρ +gy1 = P2 + 2
2v21ρ +gy2
ในสภาพของของเหลวไหลจากร ณ ตาแหนงท 1 ทความสง h1 เมอวดจากกนถง ความดน
ในของเหลวจะเทากบความดนบรรยากาศ ดงนน P1 = P2 = Pa สาหรบความเรวของของเหลว
ทตาแหนงท 2 จะมคาเทากบศนย และเมอแทนคาในสมการเบอรนล จะได
Pa + 21v
21ρ +gh1 = Pa + gh2
21v
21ρ = g(h2 - h1) = gh
v1 = gh2 …..(8-23)
หมายเหต: ความเรวจากการตกอยางอสระพจารณาจาก 21v =
22v + 2gh เมอ v2 = 0
235
เครองวดเวนจร (Venturi meter)
เปนเครองมอวดความเรวของของไหลภายในทอมลกษณะ ดงรปท 8-19 ถากาหนดให v1
และ v2 เปนความเรวของของไหลทมพนทภาคตดขวาง A1 และ A2 ซงมความดนทวดโดยเครองมอ
วดความดน G1 และ G2 คอ P1 และ P2 ตามลาดบ
รปท 8-19 เวนจรมเตอรใชวดความเรวของของไหล
เราอาจหาความเรวของของไหลในรปผลตางของความดนได ถาพจารณาจากสมการ
ตอเนอง
2
1
vv
= 2
1
AA
หรอ v2 = 2
1
AA v1
กรณททอทงสองปลายอยในแนวราบ ดงนนสมการเบอรนล จะเปน
P1 + 21v
21ρ +gy1 = P2 + 2
2v21ρ +gy2
P1 + 21v
21ρ = P2 + 2
2v21ρ
P1 + 21v
21ρ = P2 +
2
12
1v
AA
21
ρ
P1 - P2 = 2
12
1v
AA
21
ρ - 2
1v21ρ
แกสมการจะได v1 =
1
A
A
)PP(22
22
21
21
-
-
A2 = )AA(
)PP(222
21
21
-
-
ρ
236
และมอตราการไหลเทากบ
A1v1 = A1A2)AA(
)PP(222
21
21
-
-
ρ
ตวอยางท 8-13 นามนมความหนาแนน 8.5102 kg/m3 ไหลในทอขนาดเสนผาศนยกลาง 3 cm
มความดน 1.6105 N/m2 และไหลในทอขนาดเสนผาศนยกลาง 2 cm มความดน 1.0 105 N/m2
จงคานวณหาอตราการไหลของนามนในทอ
วธทา จากโจทยกาหนด P1 = 1.6105 N/m2 และ P2 = 1.0105 N/m2
ดงนน P1 - P2 = 6.0 104 N/m2
และ 2
2
1
AA
=
2
2
2
)02.0(4
)03.0(4
π
π = 5.06
จาก v1 =
1
A
A
)PP(22
22
21
21
-
-
= 06.5105.8
10622
4
= 5.89 m/s
ดงนน อตราการไหลของนามน = A1v1
= 89.5)03.0(4
2π
= 4.16 10-3 m3/s
237
แบบฝกหด
1. ลกสบของแมแรงไฮดรอลกมเสนผาศนยกลาง 14 cm จงหาความกดดนเปน N/m2 เพอใชยก
รถยนตมวล 2,000 kg
2. ถาของเหลวในมานอมเตอรปลายเปดดงรป คอปรอท และมคา h = 5 cm ความดนบรรยากาศ
เทากบ 970 mbar
รปภาพ สาหรบโจทยขอท 2
(ก) ความดนสมบรณทกนหลอดแกวรปตวยเปนเทาไร
(ข) ความดนสมบรณในหลอดปลายเปดทความลก h = 5 cm จากผวเปนเทาไร
(ค) ความดนสมบรณของกาซในถง A เปนเทาไร
(ง) อานความกดดนของกาซจากเครองมอวดไดกเซนตเมตรของปรอท
(จ) ความดนทอานไดนเทากบกเซนตเมตรของนา
3. ความดนคาหนงดนนาใหสง 60 cm แตดนนาเกลอไดสง 50 cm ถามวานาเกลอม
ความหนาแนนเทาใด
4. ลกสบของแมแรงไฮดรอลกมรศม 5 cm และ 30 cm
(ก) จะตองออกแรงทลกสเลกเทาไร จงจะไดแรงดนทลกสบใหญ 5, 000 N
(ข) ความดนทลกสบใหญเทากบเทาใด
(ค) ความดนทลกสบเลกเทากบเทาใด
238
5. วงลวดเหลกเสนรอบวงยาว 160 mm หยอนใหแตะผวแอลกอฮอล ปรากฏวาตองออกแรงดง
อนเนองจากแรงตงผว 7.22 10-3 จงจะดงวงลวดออกจากแอลกอฮอลได จงหาความตงผว
ของแอลกอฮอล
6. หลอดแกวปลายปดมพนทภาคตดขวาง 1 cm2 ตดตงอยกบกระบะสง 1 cm ซงกระบะอางนม
พนทหนาตด 100 cm2 เมอเตมนาลงทางปลายหลอดแกวจนสง 100 cm จากกนของกระบะอาง
ดงรป
รปภาพ สาหรบโจทยขอท 6
(ก) แรงดนของนาทกนกระบะเปนเทาไร
(ข) นาทงหมดมนาหนกเทาไร
7. แทงไมรปลกบาศกยาวดานละ 0.1 m ลอยอยระหวางนากบนามนดงรป ดานลางอยตากว
ผวสมผสระหวางนามนและนา 0.02 m ถานามนมความหนาแนน 600 kg/m3 จงหา
รปภาพ สาหรบโจทยขอท 7
(ก) มวลของแทงไม
(ข) ความดนเกจทดานลางของแทงไม
8. หลอดแกวมเสนผาศนยกลางภายนอกและภายในเทากบ 4 และ 3.5 cm ตามลาดบ จมอยในน
โดยหลอดแกวอยในแนวดง จงหาแรงดงทกระทาตอหลอดแกวอนนเนองจากแรงตงผว
กาหนดความตงผวของนาเทากบ 0.074 N/m
239
9. จงคานวณหาความตงผวของของเหลวซงขนไปไดสง 50 cm ในหลอดแกวขนาด
เสนผาศนยกลางภายใน 0.04 mm ความหนาแนนของของเหลวเทากบ 8.0 102 kg/m2 มม
สมผสระหวางของเหลวกบหลอดแกวเทากบ 20
10. จงคานวณหาพนทหนาตดของกอนนาแขงหนา 30 cm ซงสามารถรองรบคนหนก 784 N ไวได
โดยไมจม ถาความหนาแนนของกอนนาแขงเทากบ 9.17 102 kg/m3 ละนาแขงลอยอยใน
นาจด
11. โลหะผสมทองและอลมเนยมหนก 49 Nแขวนกบตาชงสปรง แลวจมโลหะนลงในอางนาอา
นาหนกได 32.9 N จงหานาหนกของทองในโลหะผสมน กาหนดใหความหนาแนนของทอ
และอลมเนยมเทากบ 1.93 104 kg/m3 และ 2.5 103 kg/m3 ตามลาดบ
12. วตถ A แขวนกบตาชงสปรง D และจมอยในของเหลว C ทบรรจอยในภาชนะ B ดงรป
ถานาหนกของภาชนะ B เทากบ 9.8 N นาหนกของของเหลวเทากบ 14.7 N ตาชงสปรง D
อานคาได 24.5 N และเครองชง E อานคาได 73.5 Nปรมาตรของวตถ A เทากบ 2.710-3 m3
จงหาความหนาแนนของของเหลว C
รปภาพ สาหรบโจทยขอท 12
240
13. ถาตองการใหนาพงออกจากปลายทอนาดบเพลงดวยความเรว 24 m/s ดงรป จงหาความดนเกจ
ทจดซงอยหางจากปลายทอ A เลกนอย กาหนดใหเสนผาศนยกลางของทอ A และ B มคา
เทากบ 8 และ 4 cm ตามลาดบ
รปภาพ สาหรบโจทยขอท 13
14. จงหาความเรวปลายของทรงกลมรศม 2 mm ในกลเซอรน กาหนดใหความหนาแนนของเหลก
และกลเซอรนเทากบ 7.9103 kg/m3 และ 1.3 103 kg/m3 ตามลาดบ และคาสมประสทธของ
ความหนดของกลเซอรนเทากบ 0.833 Ns/m2
15. จงหาความเรวปลายของฟองอากาศขนาดเสนผาศนยกลาง 1 mm กาลงลอยขนในของเหลวทม
สมประสทธความหนด 1.5 cent-poise และมความหนาแนน 9 102 kg/m3 ในทานองเดยวกน
ถาของเหลวนนเปนนาซงคาความหนด 0.656 centi-poise ความเรวปลายของฟองอากาศจะเปน
เทาไร
16. ทอสงนาอนหนง ดงรป เมอวดพนทหนาตดของรใหญ A และทอรเลก B ได 0.02 และ 0.01 m2
ตามลาดบ ถาตาแหนงศนยกลางทอเลก B อยตากวา A เทากบ 0.1 m ขณะทมการสงนาดว
ปรมาณ 2 m3/s และวดความดนในทอ B ได 7,000 N/m2 จงหาความดนในทอ A
รปภาพ สาหรบโจทยขอท 16
17. เครองบนลาหนงตองมแรงยก 20 N/m2 จงจะสามารถบนขนได ถาความเรวของอากาศทพด
ผานสวนลางของปกเทากบ 300 m/s จงหาความเรวของอากาศทพดผานสวนบนของปกเพอให
เกดแรงยก 20 N/m2 กาหนดความหนาแนนของอากาศในขณะนนเทากบ 1.29103 kg/m3