A Uniformly Valid Solution for Three Dimensinal Inviscid Supersonic Flow Past Blunt Bodies With...

8/12/2019 A Uniformly Valid Solution for Three Dimensinal Inviscid Supersonic Flow Past Blunt Bodies With Strong Compressio

1/25

A e ta M e c h a n i c a 4 2 , 1 1 - - 3 5 ( 19 82 ) A C T A M E C H A N I C A9 b y S p r in g e r - V e r l a g 1 98 2

A Un iform ly Valid Solut ionfor the T hree Dim ens ional Invi sc id Superson ic F low

past Blunt Bodies with Strong Compress ion in the Shock WaveB y

I t . - F . S c h w a r z e , G S t t in g e n , F e d e r a l l ~ e p u b l ic o f G e r m a n yW i t h 1 0 F i g u r e s

(Received December 22, 198 0; revised Ja nu ary 1, 19 81)S umma r y

A n a r~ a ly t ic a l u n i f o r m l y v a l i d a p p r o x i m a t e s o l u t io n i s d e v e l o p e d fo r t h e s t e a d y t h r e e-d im e n s io r ~a l s u p e r s o n i c fl o w p a s t b l u n t b o d i e s . T h e i n v e r s e p r o b l e m i s i n v e s t i g a t e d , i . e . t h es h o c k s h a p e i s p r e sc r i b e d . V i s c o s i ty a n d h e a t c o n d u c t i o n a r e n e g l e c te d . T h e a p p r o x i m a t i o ni s b a s e d o n t w o m a i n a s s u m p t i o n s : i ) t h e d e n s i t y r a t i o a c r o s s t h e s h o c k i s v e r y s m a l l , if ) t h ep r e s s u r e d o e s n o t c h a n g e i t s o r d e r o f m a g n i t u d e a l o n g a n o r m a l t o t h e s h o c k s u r f a c e . Th ep a t t e r n o f t h e s t r e a m l in e s p r o j e c t e d o n t o t h e s h o c k s u rf a c e is c a l c u l a t ed fr o m a n o r d i n a r yd i f fe r e n ti M e q u a t i o n o f s e c o n d o r d e r b y t a k i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e p r e s s u r e g r ad i er ~ ts .B y e v a l u a t i n g t w o i n t e g r a l s t h e f l o w q u a n t i t ie s a n d t h e s t r e a m l i n e s a r e d e t e r m i n e d i n t h es h o c k l a y e r t o g e t h e r w i t h t h e b o d y s h a p e . T h e s o l u t i o n is a l s o v a l i d f o r s h a r p n o s e d b o d i e s .T h e m e t h o d i s a p p l i e d t o p a r a b o l o i d M o r h y p e r b o l o i d M s h o c k s h a p e s o f v a r i o u s c r o s ss e c t io n s , l ~ e s u lt s a r e p r e s e n t e d f o r t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s i n t h e e n t i r e f l o w f ie l d . T h ef lo w q u a n t i t i e s a n d t h e s t r e a m l i n e p a t t e r n i n t h e s h o c k la y e r a r e c a l c u l a te d i n th e s y m m e t r yp l a n e o f t h e f l o w f ie l d . T h e s t r e a m l i n e s d i f f e r f r o m t h e g e o d e si c s, i. e . t h e s o l u t i o n a c c o r d i n gt o t h e N e w t o n i a n m o d e l . T h e f l o w q u a n t i t i e s o n t h e b o d y a n d t h e b o d y s h a p e s h o w g o o da g r e e m e n t w i t h n u m e r i c a l r e s u lt s o f t h e d i r e c t p r o b l e m b y R u s a n o v .

1 . n t r o d u c t i o nS t e a d y s u p e r s o n i c in v i s c i d f lo w s a r e c o n s i d e r ed , i n w h i c h t h e f r e e s t r e a m

m o m e n t u m f l u x n o r m a l t o t h e b o d y s u r f a c e is m u c h g r e a t e r t h a n t h e u n d i s t u r b e dp r e s s u r e . T h e h y p e r s o n i c s i m i l a r i t y p a r a m e t e r i s l a r g e a n d t h e r e f o r e t h e b a s i ce q u a t i o n s c a n n o t b e l i n e a r i z e d . I n g e n e r a l t h i s s i t u a t i o n a r i s e s f o r v e r y h i g hf r e e s t r e a m M a e h n u m b e r s , b u t a l s o o c c u r s f o r m o d e r a t e M a c h n u m b e r s i n c e r t a i na r e a s o f t h e f l o w f ie l d a r o u n d b l u n t b o d i e s o r s l e n d e r b o d i e s a t l a r g e a n g l e s o fa t t a c k .

T h e f l o w f i e ld h e r e c o n s i d e r e d i s d o m i n a t e d b y t h e s t r o n g d e t a c h e d s h o c kw a v e w h i c h i s p r o d u c e d b y t h e b o d y . B y t h i s s h o c k t h e g a s is c o m p r e s s e d s t r o n g l ya n d a s a c o n s e q u e n c e t h e s h o c k la y e r i s t h i n . B e h i n d t h e s h o c k w a v e w e h a v e al o c a l s u b s o n i c f ie l d a r o u n d t h e s t a g n a t i o n r e g io n , w h i c h i s l i m i t e d b y t h e s o n i cs u r fa c e . D o w n s t r e a m o f t h e s o n i c s u r f a c e t h e f lo w f i e ld is s u p e r so n i c . T h e l i m i t -i n g c h a r a c t e r i s t i c s b o u n d t h a t p a r t o f t h e f l o w f i e l d w h i c h s t i l l i n f lu e n c e s th e

0 0 0 1 - 5 9 7 0 f 8 2 / 0 0 4 2 / 0 0 1 t / 0 5 . 0 0


2/25

12 K .-F. Schwarze:s u b s o n i c f i el d . T h e s u p e r s o n i c fl o w p a s t b l u n t b o d i e s i s a m i x e d e l l i p t i c - - h y p e r b o l i cb o u n d a r y a n d i n i t i a l v a l u e p r o b l e m .

F o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f h y p e r s o n i c f l o w f ie ld s p a s t b l u n t b o d i es s e v e ra la n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l m e t h o d s h a v e b e e n d e v e l o p e d . B e c a u s e o f t h e a v a i l a b i l i t yo f l a rg e h i g h - s p e e d c o m p u t e r s n u m e r i c a l m e t h o d s g a i n e d i m p o r t a n c e , l i k e f o ri n s t a n c e t h e f i n i t e d if f e r e n c e m e t h o d b a s e d o n t h e t i m e - d e p e n d a n c e p r i n c i p le o fL y u b i m o v a n d l ~ u s a n o v [1 ] f o r t h r e e - d i m e n s i o n a l f lo w s . B u t b e s id e s n u m e r i c a lm e t h o d s a n a l y t i c a l m e t h o d s s h o u l d b e d e v e lo p e d . T h e t e r m a n a l y t i c a l s o lu t i o n isu s e d i n t h e s e n s e t h a t t h e p r o b l e m c a n b e r e d u c e d a t l e a s t t o a b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m f o r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h u s u a l l y c a n b e s o l v e d o n l yn u m e r i c a l l y . T h e la c k o f u n i v e r s a l i t y o f t h e a n a l y t i c m e t h o d s - - t h e y u s u a l l yy i e l d i n f o r m a t i o n o n l y in a p a r t o f t h e f lo w f ie l d o r o n s p e c ia l q u a n t i t i e s - - isc o m p e n s a t e d b y a c o n s i d e r a b le r e d u c t i o n o f t h e c o m p u t e r t im e .

E x a c t a n a l y t i c a l s o l u ti o n s f o r th e p r o b l e m o f a r ea l is ti c m i x e d f l o w p a s t ab l u n t b o d y d o n o t e x i st , t h e re f o r e a p p r o x i m a t e a n a l y t ic a l m e t h o d s h a d t o b ed e v e l o p e d . T h e y a r e b a s e d o n v a r i o u s a ss u m p t i o n s , s u c h a s a t h i n s h o c k l a y e r o rc o n s t a n t d e n s i t y i n t h e s h o c k l a y e r . T h e s e v e r al a n a l y t i c a l m e t h o d s a l lo w a na p p r o x i m a t e s o l u t i o n fo r th e p r e s s u r e o n t h e b o d y , t h e b o d y o r s h o c k s h ap e , t h ef l o w f i el d in t h e v i c i n i t y o f t h e s t a g n a t i o n p o i n t , e t c . f o r m a n y v a l u e s o f d i f f e r e n tp a r a m e t e r s .

F u r t h e r m o r e , a p p r o x i m a t e a n a l y t i c al m e t h o d s c a n b e u ti l i z ed t o d e t e r m i n e t h ei n v is c id s tr e a m l i n e p a t h s o n t h e s u r fa c e o f t h e b o d y . T h i s k n o w l e d g e c a n b e u s e df o r t h e c o m p u t a t i o n o f b o u n d a r y l a y e r s . B r o n g a n d L e i t h [ 2 ] d e s c r i b e s u c ha p p r o x i m a t e m e t h o d s a n d a p p l y t h e m o n a y a w e d c y li n d e r w e d ge . L e i g h a n dl ~ os s [ 3] g e n e r a l i z e t h e m e t h o d s o n a r b i t r a r y b o d i e s . O n e o f t h e s e m e t h o d s isb a s e d o n a r e s u l t o f t h e N e w t o n - B u s e m a n n t h e o r y w h i c h s t a te s t h a t a p a r t ic l ef o l lo w s a g e o d e s i c t r a j e c t o r y . H o w e v e r , a c o m p a r i s o n o f t h e g e o d e s i c l in e s w i t he x p e r i m e n t a l r e s u l ts i n t h e f o r m o f o il s tr e a k p a t t e r n s s h ow s o n l y p o o r a g r e e m e n tf o r t h e f l o w p a s t a c y l i n d e r -w e d g e o r a s p h e r e - c o n e a t a n a n g l e o f a t t a c k . F o r ac o n e a t a n a n g l e o f a t t a c k t h e r e i s e v e n n o t h r e e - d i m e n s i o n a l e f f e c t i n t h e g e o d e -s ic s f r o m t h e v e r t e x : T h e a b o v e c i t e d a u t h o r s o b t a i n b e t t e r a g r e e m e n t b y a p p l y -i n g o t h e r m e t h o d s , f o r i n s t a n c e a m e t h o d w h i c h u s e s so m e o f t h e e x a c t f lo w f ie l de q u a t i o n s w i t h a n a s s u m e d p r e s s u r e d i s t r i b u ti o n .F o r t h e f o l l o w i n g i n v e s t i g a t i o n t h e p a p e r s o f C h e s t e r [ 4] , F r e e m a n [5 ] ( t w o -d i m e n s i o n a l f lo w ) , G u i r a u d [6 ] a n d M a i k a p a r [7 ] ( t h r e e - d i m e n s i o n a l fl o w ) a r e o fp a r t i c u l a r i n t e r es t . I n t h e s e p u b l i c at i o n s t h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r ee x p a n d e d i n p o w e r s o f ()J - - 1 ) / (y + 1 ) a n d M ~ 2, w h e re 7 i s t h e r a t i o o f s p e c i f i ch e a t s a n d M ~ t h e f r e e s t r e a m M a c h n u m b e r . I n t h e l im i t i n g c a s e ~ --~ 1 , M ~ @ ~ )- - t h e N e w t o n i a n f lo w a p p r o x i m a t i o n - - t h e s h o c k c o in c id e s w i t h t h e b o d y a n dt h e d e n s i t y o f t h e g a s b e h i n d t h e s h o c k i s i n f i n i t e l y l a rg e . T h e s t r e a m l i n e s i n t h el a y e r b e h i n d t h e s h o c k a r e t h e n d e t e r m i n e d a s u n a c c e l e r a t e d p a r t i c l e p a t h s o n t h es h o c k o r b o d y s u r f a c e a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l v e lo c i ti e s . T h e y a r e t h e g e o d e s i cl in e s o f t h e s u rf a c e . F r o m t h e g e o m e t r y o f t h e s t r e a m l i n e s p r o j e c t e d o n t o t h e g i v e ns u r f a c e th e p r e s s u r e w i t h i n t h e s h o c k l a y e r a n d o n t h e b o d y i s o b t a i n e d i n a f ir s ta p p r o x i m a t i o n . T h i s s o l u ti o n is i d e n t i ca l t o t h e N e w t o n - B u s e m a n n a p p r o x i m a t i o no r t h e N e w t o n t h e o r y p l u s c e n t ri f u g a l c o r r e c t i o n , w h i c h w a s g e n e ra l iz e d f o rt h r e e - d i m e n s i o n a l f lo w s b y H a y e s [ 8] . T h e t h e o r y g i ve s e x a c t s o l u ti o n s f o r y = 1


3/25

A Solut ion for the Invisc id Supersonic F low 13a n d M o o @ c o . F o r c o m m o n g as e s, h o w e v e r , t h e s e r i es c o n v e r g e - - i f a t a l l - - v e r ys l o w l y .

O t h e r d i f f ic u l ti e s w i t h t h e s e t h e o r i e s a r is e b y t r e a t i n g t h e d i f f e r e n t i a l q u o t i e n t si n t h e d i r e c t i o n t a n g e n t i a l t o t h e s t r ea m l i n e s i n t h e s a m e w a y a s n o r m a l t o t h es t re a m l i n e s. B e c a u s e o f t h e l o n g d i s t an c e s i n s t r e a m l i n e d i r e c t i o n o v e r w h i c h t h e s ed i f f e r e n t ia l q u o t i e n t s h a v e t o b e i n t e g r a t e d , t h e t e r m s b e c o m e o f a n o r d e r o fm a g n i t u d e w h i c h m a y n o t b e n e g l e c t ed . T h e r e f o r e t h e v e l o c i t y a l o n g a s t r e a m l i n em a y n o t b e s e t e q u a l to t h e v a l u e a t t h e e n t r a n c e o f t h e s tr e a m l i n e i n to t h e s h o c kl a y e r a s in t h e f i r st a p p r o x i m a t i o n o f C h e s t e r - F r e e m a n .a n d G u i r a u d .

S c h n e i d e r [9 ] t a k e s t h i s c h a n g e in t h e o r d e r o f m a g n i t u d e i n t o a c c o u n t w h e ni n v e s t i g a t in g t h e i n v e r s e p r o b l e m o f tw o - d i m e n s i o n a l f lo w s p a s t b l u n t b o d i e s. H es h o w e d t h a t h is s o l u t io n i s u n i f o r m l y v a l i d w i t h i n t h e w h o l e f l o w re g io n . T h et h e o r y o f S c h n e i d e r w a s u s e d b y B a s t o n [1 0] t o t r e a t t h e d i r e c t p r o b l e m . B ya s s u m i n g a l i n e a r d e p e n d e n c e o f v e l o c i t y a n d d e n s i t y o n t h e s t r e a m f u n c t i o na c r o s s t h e s h o c k l a y e r h e s o l v e s t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s n u m e r i c a l l y b y a ni t e r a t iv e p r o c e d u r e w h i c h is s im i l ar t o t h e m e t h o d o f i n t e g r a l re l a t io n s o f D o r o d -n i t s y n [ 1 1 ] a n d B e l o t s e r k o v s k i i [ 1 2 ] .

I n t h i s p a p e r t h e b a s i c id e a s o f S c h n e i d e r a r e u s e d t o g e t a u n i f o r m l y v a li ds o l u ti o n f o r t h e t h r e e -d i m e n s i o n M f lo w . T h e i n v e r s e p r o b l e m i s t r e a t e d , t h a t is t h es h a p e o f t h e s h o c k i s p r e s c r i b e d a n d t h e r e s u l t in g f l o w f i e ld a n d b o d y s h a p e m u s tb e d e t e r m i n e d .

2 Coordinate Systems and Assum ptionsI n F i g . 1 t h e s h o o k a n d t h e b o d y a n d i n F ig . 2 a p a r t o f t h e s h o o k su r f a c e a re

s h o w n . T h e s h a p e o f t h e s h o c k is g i v e n i n t e r m s o f t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e sX y Z .

I n f r o n t o f t h e s h o c k t h e f l o w f ie l d i s u n i f o r m a n d o f g i v e n d e n s i t y Z oo, p r e s -s u r e po o a n d v e l o c i t y v e c t o r w o o . rico s t h e a n g l e b e t w e e n t i le v e l o c i t y v e c t o r w o o a n d

i t s n o r m a l p r o j e c t i o n o n t o t h e x , z - p la n e , cr i s t h e a n g l e b e t w e e n t h i s p r o j e c t i o na n d t h e z - ax i s. F ig . 2 sh o w s a n a r b i t r a r y s t r e a m l i n e w h i c h e n t e r s t h e s h o c k l a y e ra t t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t P . A d d i t i o n a l l y t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f t h i s

, ' ~ h o ~ k . ' ~ j ' , - - ~ _ - J ~

~ - - . I . > , , .. ~ . , ~ . - , ~ ) . . . . . . 4 I

F i g. 1 . B l u n t b o d y i n a s u p e r s o n ic fl ow . C o o r d i n a t e s y s t e m a n d n o t a t i o n


4/25

14 It . -F. Schwarze:

F ig. 2 . S t reaml ine and p roject ion of the s t reaml ine on to the sho ck sur face ,curvi l inear coordinate sys tem

s t r e a m l i n e o n t o t h e s h o c k s u r f a c e is d e p i c t e d . / 5 is th e p r o j e c t i o n o f t h e s t r e a m l i n ep o i n t P . T w o p o i n t s o n t h e s h o c k s u r fa c e P * ( fi x in g t h e s t r e a m l i n e ) a n d P ( fi x in gt h e p o i n t o n t h is s t r e a m l in e ) c o r r e s p o n d t o e a c h p o i n t P w i t h i n t h e s h o c k la y e r .Q u a n t i t ie s i n P * a r e d e n o t e d b y a s u p e r s c r i p t * a n d t h o s e in P b y ^ . Q u a n t i t ie s} m m e d i a t e l y i n f r o n t o f t h e s h o c k a r e d is t in g u i s h e d f r o m t h o s e i m m e d i a t e l y b e h i n dt h e s h o c k b y t h e a d d i t io n a l s u b s c r i p t ~ .

I n a d d i t i o n t o t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m w e in t r o d u c e a n o r t h o g o n a l ,s h o c k - o r i e n t e d c o o r d i n a t e s y s t e m u l , u 2, u a w h e r e u 1 a n d u 2 a r e c u r v i l i n e a r c o -o r d i n a t e s i n t h e s h o c k s u r f a c e a n d u 3 is th e d i s t a n c e o f a p o i n t f r o m t h e s h o c ks u r f a c e . T h e u n i t v e c t o r s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e u l - , u 2-, u 3 - a x is a r e d e n o t e d b ye l , e e , e 3. I t i s u s e f u l t o i n t r o d u c e t w o s y s t e m s o f c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s , o n es y s t e m f o r g e o m e t r i c a l r e a s o n s w h e n d e t e r m i n i n g t h e p o s i t io n o f th e s t r e a m l i n e sa n d t h e o t h e r f o r p h y s i c a l r e a s o n s w h e n d e t e r m i n i n g t h e p h y s i c a l q u a n t i ti e s w i t h i nt h e s h o c k l a y e r . T h e c h o i c e o f t h e c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s u l a n d u s w i ll b e d o n e i nt h e c h a p t e r N u m e r i c a l t ~ e s u lt s .

T h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s a r e m a d e :T h e d e n s i t y i n f r o n t o f t h e s h o c k i s s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e d e n s i t y i m m e d i -a t e l y b e h i n d t h e s h o c k . B y i n t r o d u c i n g % he d e n s i t y r a t i o e o n e c a n w r i t e

- - 7 - ~ 1 a n d e * = - - ~ l . (1)T h e p r e s su r e p d o e s n ' t c h a n g e v e r y m u c h a l o n g a ~ o r m a l t o t h e sh o ck . T h e r e -

f o r e p i s a l w a y s o f t h e s a m e o r d e r a s ~ o n t h e s h o c k s u r f a c e :}/p = 0(1 ) . ( 2)

M a k i n g t h is a s s u m p t i o n d o e s n o t e x c l u d e t h e p o s s i b i li t y o f l a r g e p r e s s u r e c h a n g e sa l o n g t h e s h o c k . T h e r a t io o f t h e p r e s s u r e i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s h o c k a t t h ei n t e rs e c t io n p o i n t P * t o t h e p r e s s u r e d o w n s t r e a m o f P * o n th e s a m e s tr e a m l i n e ,p /p, m a y b e v e r y la r g e a c c o r d in g t o a s t ro n g e x p a n s i o n o n t h e s t re a m l i n e .

T h e g a s is i n l o ca l t h e r m o d y n a m i c e q u i l i b ri u m , v i s c o s i t y a n d h e a t c o n d u c t i o na r e n e g l e c t e d .


5/25

A S o l u t i o n f o r t h e I n v i s c i d S u p e r s o n i c F l o w 1 5

3 . G o v e r n i n g E q u a t i o n s , B o u n d a r y a n d I n i t ia l C o n d it io n sA s t e a d y , c o m p r e s s ib l e , i n v is c i d f lo w o v e r a s m o o t h c o n v e x b o d y i n a u n i f o r m

s u p e r s o n ic f r e e s t r e a m is c o n s id e r e d . T h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e t h r e e - d i m e n s i o n a li s o e n e r g e t i c f l o w a r e :C o n t i n u i t y I7 9 ( p w ) = 0 , ( 3 )

1M o m e n t u m ( w . V ) w = - - - - 1719, (4)E n e r g y 1 7 ( w + 2 i ) = 0 . ( 5)

T h e d e n s i t y ~ a n d t h e e n t h a l p y i c a n b e c a l c u l a te d f r o m e q u a t i o n s o f s t a t e o ft h e g a s :

O = ~ P , s ) , i = i p , s ) . (6)T h e s p ec if ic e n t r o p y s is c o n s t a n t o n s t r e am l i n e s , b u t v a r ie s f r o m s t r e a m l i n et o s t r e a m l i n e a f t e r p a s s i n g t h e s h o c k s u r f a c e a c c o r d i n g t o d i f f e r e n t i n c li n a t i o n so f t h e s h o c k s u r f ac e w i t h r e s p e c t t o t h e s t re a m l i n e s i n t h e f r e e s t r e a m :

E n t r o p y w . 1 7s ~ - O . (7)T h e v e l o c i t y v e c t o r w m a y b e e x p r e s s e d e i t h e r b y t h e p r o d u c t o f i ts m a g n i -

t u d e w a n d t h e u n i t v e c t o r i n s t re a m l i n e d i r e c ti o n ~ o r b y t h e v e l o c i t y v e c t o r sn o r m a l a n d t a n g e n t i a l t o t h e s h o c k s u rf a c e, w n a n d w t ( F i g . 2 ) :

w = w~ = wn w~; w. = w e~ w = wt~ Sa)w i t h

= co s ~ co s v~ e l ~ - co s ~ s in "8 e2 ~ s in ~ e3 . (8b )is t h e u n i t v e c t o r i n t h e d i r e c ti o n o f t h e n o r m a l p r o j e c t i o n o f th e s t r e a m l i n e

o n t o t h e s h o c k s u r fa c e , a is t h e a n g l e b e t w e e n t h e v e l o c i t y v e c t o r w a n d t h e s u r f a c eu 3 = c o n s t . , t h a t is t h e i n c l i n a t i o n a n g l e o f t h e s t r e a m l i n e i n P w i t h r e g a r dt o t h e s h o c k s u r f a c e , v~ i s t h e a n g l e b e t w e e n w t a n d t h e d i r e c t i o n o f t h e u l - a x i s .

s i n a = ~ . c a , t a n t$ = v . % . ( 9)T 9 1 3 1

T h e f r e e s t re a m v e l o c i t y v e c t o r w oo a n d t h e s h a p e o f t h e s h o c k a r e k n o w n .T h e r e f o r e t h e a n g l e s a a n d t~ i n f r o n t o f t h e s h o c k s u r fa c e c a n b e c a l c u l a t e d f o re v e r y p o i n t o n t h e s h o c k s u r f a ce f r o m E q . (9 ) g i v i n g ~ , ~ i n p o i n t P a n d *~ * i n P * . T h e r e la t io n s f o r t h e o b l iq u e s h o c k w a v e g i v e t h e f lo w q u a n t i t i e si m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s h o c k in te r m s o f t h e d e n s i t y r a t i o a c ro s s t h e s h o c ka n d t h e a n g l e ~ :

= w ~ V co s2 ~o~ ~- ~2 s in ~ ~ ,~) = ~oo ; t a n ~ = ~ t a n ~o~ , (10)25 = P ~ - f- 9 ~ w ~ ( 1 - - ~ ) s i n 2 ~ : r

1= i ~ @ -~ - w ~ ( 1 - - ~ ) s i n 2 8 ~ .


6/25

16 H. -F , Schwarze:W i t h * *~ , ~ a n d e * i n s t e a d o f 8 ~ , v g a n d ~ w e g e t a n a l o g o u s e q u a t i o n s f o r t h eq u a n t i t i e s i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s h o c k i n p o i n t zO *.

T h e s y s t e m o f t h e b a s i c E q s . ( 3 ) t o ( 5 ) h a s t o b e s o l v e d f o r t h e p r e s c r i b e db o u n d a r y o r i n i t i a l c o n d i t i o n s ( 1 0 ) . l ~ i r s t t h e p r o j e c t i o n s o f t h e s t r e a m l i n e so n t o t h e s h o c k s u r fa c e a r e d e t e r m i n e d , s e c o n d t h e p r e s s u r e w i t h i n t h e s h o c kl a y e r is c a l c u l a t e d a n d f i n a l l y t h e s t r e a m l i n e s a r e d i s t r i b u t e d w i t h i n t h e s h o c kl a y e r w h i ch d e t e r m i n e s t h e s h a p e o f t h e b o d y .

4 . P r o j e c t i o n o f t h e S t r e a m l i n e s o n t o t h e S h o c k S u r f a c eB y i n t ro d u c i n g ( 83 ) i n t o t h e m o m e n t u m E q . ( 4) w e g e t

w ~ d v d w 1d 7 + w ~ ~ . . . . V p . (1 1)is t h e a r c l e n g t h o f t h e s t r e a m l i n e . T h e l e f t - h a n d s i de o f E q . (1 1) i s t h e v e c t o r i a l

s u m o f a v e c t o r p e r p e n d i c u l a r t o t h e s t r e a m l i n e a n d a v e c t o r i n s t r e a m l i n ed i r e c t i o n .

T h e v e c t o r s ~ a n d dv,/d~ c a n b e d e c o m p o s e d i n t o v e c t o r s p a r a ll e l a n d p e r -p e n d i c u l a r t o t h e s h o c k s u r f a c e. T h e c o m p o n e n t s o f t h e v e c t o r s p a ,r all cl t o t h es h o c k s u r f a c e d e t e r m i n e t h e a n g l e v~ a n d i ts d e r i v a t i v e a l o n g t h e s t r e a m l i n ea n d t h e r e f o r e t h e d i r e c t i o n a n d c u r v a t u r e o f t h e p r o j e c t i o n s o f t h e s t r e a m l i n e so n t o t h e s h o c k s u r f ac e . T h u s b y d e t e r m i n i n g t h e c o m p o n e n t o f E q . (1 1) p a r a l l e lt o t h e s h o c k su r f a c e a n d n o r m a l t o t h e s t re a m l i n e , w h e r e t h e c o m p o n e n t o fd ~ / d ~ n o r m a l t o th e s h o c k s u r f a c e a n d t h e t e r m i n s t r e a m l i n e d i r e c ti o n d r o po u t , w e g e t a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e a n g l e v~ d e p e n d e n t o n t h e s t r e a m l i n ea r c l e n g t h ~ :

cos ~ d-----~ h - ~ sin v~ - - - - co s v~ -t- t a n ~ sin v~ co s ~ ~ in~ul ~u2] ~u3 (12)1 ( s i n v OP - - c o s ~ OP / .~wt2 ~ h i Ou1 h~ ~ ]

h ~, h 2, h a = 1 a r e t h e s c a l e - f a c t o r s o f t h e u l , u ~ , u a - c o o r d i n a t e s y s t e m .T h e d e n o m i n a t o r c o s ~ d ~ o f th e f i rs t t e r m i s t h e p r o j e c t i o n o f th e s t r e a m l i n ea r e l e n g t h i n c r e m e n t d o n t o t h e s h o c k - p a r a l l e l s u r f a c e Ua ---- e o n s t . ( c f. F i g . 2 ) .I t c a n b e e x p r e s s e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t d ~ a l o n g t h e p r o j e c t e ds t r e a m l i n e o n t h e s h o c k s u r f a c e :

c o s a d = (1 - - K z u a ) ' d ~ . (13)S i m i l a r e q u a t i o n s h o l d f o r t h e s c a l e f a c t o r s :

h ~ = 1 - - K ~ u . ) ~ , h ~ = 1 - - K ~ ) l ~ . 1 4)K i s t h e c u r v a t u r e o f t h e s h o c k s u r f a c e , d e f i n e d a s p o s i t i v e i f t h e s u r f a c e i s c o n -c a v e o n t h e s i d e o f p o s i t i v e % . T h e a d d i t i o n a l s u b s c r i p t a t K i n d i c a t e s t h e q u a n -t i t y w h i c h c h a n g e s a l o n g t h e c u r v e o n t h e s h o c k s u r f a c e i n w h i c h d i r e c ti o n t h ec u r v a t u r e i s t a k e n . K 1 i s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e u l - li n e , K ~ in t h e d i r e c t i o n o fthe u2-1ine.


7/25

A Solution for the Inviscid Supersonic Flow 17T h e a n g l e ~ a s w e l l a s o t h e r q u a n t i t ie s l i k e w , o , ~ , ~ d e p e n d o n t h e c o o r d i n a t e s

o f t h e e n t r y p o i n t o f t h e s t r e a m l i n e in t o t h e s h o c k l a y e r u ,* , u 2* a n d o n o n e o ft he s u r f a c e c oo r d i na t e s u l o r u2 :

= ~ u , , u l * , u 2 * ) . 1 5 a )S i m i l a r l y o n e c a n w r i t e f o r t h e d e p e n d e n t c o o r d i n a t e u 2 :

u 2 = u 2 ( u l , u l * , u 2 * ) . (15b)T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f a d e p e n d e n t v a r i a b l e w i t h r e s p e c t t o a n i n d e p e n d e n tv a r i a b l e o f E q . ( 1 5 ) a r e d e n o t e d b y ( ~ / S u l , ~ / ~ u l * , b / ~ u 2 * , r e s p e c t i v e l y . F r o m t h ede f i n i t i on ( 9 ) f o r t he ~ng l e ~ f o l l ow s :

_ h 2 ~ u s 1 6 )t a n - - ~-- - - .hI ~ulW i t h E q s . ( 13 ) a n d ( 1 6 ) t h e f i r s t t e r m o f E q . (1 2) c a n b e r e w r i t t e n a s

d~ _-- 1 co s~ ~(tan ~) (17)c o s a d ~ 1 - - K r 2 ~ h l~ ulI n t r o d u c i n g t h i s e x p r e s s i o n in t o E q . (1 2) w e g e t a n o n l i n e a r d i f f e re n t i a ] e q u a t i o no f f i r s t o r d e r f o r t h e t a n g e n t o f t h e a n g l e b e t w e e n t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n a n dthe u~-ax i s :

/ ~ (~ '- -- -~ ) + ( ~ t a n ~ + B o ) ( 1 + t a n 2 8 ) + { E l = 0 ( l S ~ )w i t h

B ~ t a n a t a n ~ V i + t a n uv - - ~ ( l n h~) _ 1 t a n v ~u% ( l n h~) dua~ % 1 - - K ~ u a h ~ ( ~ u ~ '~h ~p

B ~ ~ - h i h~ ~u~ . + - -~w t ~ h e ~u~1 8hs 1 8p

h~ h~ 8u~ ~w t ~ hi 8ulF r o m E q s . ( 1 6) a n d ( 1 8a ) a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f s e co n d o r d e r f o r u ~ ( u x , u ~ * , u s * )c a n b e d e r i v e d :

_ ~ ~u-- + A a + A s + A ~ - - + A o + B - - - - 0 (18b)w i t h ^

A0 ~-- ~ : ~ 0,h2~ = I;1B1 + g ,A ~ = ~ ;~ B . + g ,

A

A 3 = h ~ B 1 .hi2 A c ta M ech . 4 2 /1 2


8/25

18 H.-F. Schwarze:

T h e s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s (1 6) a n d ( 1 8 a ) o r o f d i f f e r e n t i a l e q u a -t i o n ( 1 8 b ) h a s t o s a t is f y th e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

U 1 ~--- Ul : U 2 = U2 ,1 9 )

t an : t a nhi \du i /u l= uiT h e p r o d u c t o f t h e s h o c k c u r v a t u r e t i m e s th e d i s t a n c e o f t h e s p e c if ie d p o i n t

t o t h e s h o c k s u r f a c e Kua i s a l w a y s s m a l l c o m p a r e d w i t h 1 i n t h e h e r e c o n s i d e r e dp r o b l e m o f su p e r s o n ic f lo w p a s t b l u n t b o d i es w i t h s t r o n g c o m p r e s s i o n i n t h es h o c k w a v e a n d c a n t h e r e f o r e b e n e g l e c t e d i n E q . (1 8). t ; o r t h e s a m e r e a s o nt h e s c al e f a c t o r s w i t h i n t h e s h o c k l a y e r c a n b e a p p r o x i m a t e d b y t h e s c al e f a c t o r so n t h e s h o c k a c c o r d i n g t o E q . ( 1r

A p p r o x i m a t i o n : Ku~ ~ 1 ~ hi ~ fh , h~ ~ f~2. (20)T h u s , f r o m e a c h t e r m o f E q . ( 1 8 ) a f a c t o r o f 0 ( 1 - - Ku3) - i i s cance l led .

T h e i n c l i n a t i o n o f t h e s t r e a m l i n e s w i t h r e s p e c t t o t h e s h o c k s u r f a c e i s s m a l li n t h e w h o l e f l o w fi e ld w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e s t a g n a t i o n r e g io n , w h e r e t h es t r e a m l i n e s e n t e r t h e s h o c k l a y e r n e a r l y p e r p e n d i c u l a r t o t h e s h o c k . I n t h i sr e g io n B i n E q . (1 8) m a y b e c o m e v e r y l a r g e. B e c a u s e t h e d e r i v a t i v e o f In hJh 0w i t h r e s p e c t t o u s i s O K) = O K*), t h e o r d e r o f B is

B = O K * ) t a n v ~ ~u~ . (21 )W h e n i n t e g r a t i n g E q . ( 1 8a ) o v e r u i B c o n t r i b u t e s t o t h e s o l u t io n f o r t a n ~ o n l ya q u a n t i t y o f O K*ua t a n v~*), w h i c h m a y b e n e g l e c t e d o n a c c o u n t o f a p p r o x i -m a t i o n ( 2 0 ) .

T h e c o e f f i c i e n t s o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 18 ) a r e c o m p o s e d o f t w o p a r t s . I nt h e f i r s t p a r t o f e a c h c o e f f i c i e n t o n l y t h e s c a le f a c t o r s h i /~ 2 a n d t h e i r d e r i v a t i v e sw i t h r e s p e c t t o u ~, u 2 a r e p r e s e n t . T h e s e a r e g e o m e t r i c a l q u a n t i t i e s w h i c h d e p e n do n l y o n t h e s h o c k s u r f a ce a n d o n t h e c h o ic e o f th e c o o r d i n a t e s u l, u2 . T h e s e c o n dp a r t o f e a c h c o e f f i c ie n t c o n s i st s o f t h e p r e s s u r e g r a d i e n t i n U l- o r u ~ - d i re c t io n( v e c t o rs t a n g e n t i a l t o t h e s h o c k s u r fa c e ) d i v i d e d b y t h e m o m e n t u m f l u x t a n -g e n t i a l t o t h e s h o c k s u r f a c e ~wt2. B y t h e s e t e r m s t h e i n f l u e n c e o f t h e f l o w f i e l do n t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s i s t a k e n i n t o a c c o u n t . I f t h e s e t e r m s a r e o m i t t e d ,t h a t i s i f t h e p r e s s u r e g r a d i e n t s p a r a l l e l t o t h e s h o c k s u r f a c e a r e n e g l e c t e d , t h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n (1 8) r e d u c e s t o t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e g e o d e s i c s o nt h e s u r f a c e . T h i s i s a n e x p e c t e d r e s u l t, b e c a u s e t h e g e o d e s i cs a r e t h e p a r t i c l ep a t h s o n a s u r f a c e if o n l y f o r c e s n o r m a l t o t h e s u r f a c e a c t o n t h e p a r t i c l e s . T h e s ep a t h s a r e d e t e r m i n e d b y t h e s u r f ac e g e o m e t r y a n d b y a n i n it ia l d i r e c t io n o f t h ep a t h i n d e p e n d e n t l y o f t h e p r e s s u r e a n d v e l o c i t y f ie ld .

T h u s , b y n e g l e c t i n g t h e p r e s s u r e t e r m s i n E q . ( 1 8 ) w e g e t f o r t h e s t r e a m l i n ep r o j e c t i o n s t h e s o l u t i o n o f t h e N e w t o n - B u s e m a n n a p p r o x i m a t i o n , r e s u l t s w h i c hw e r e o b t a i n e d b y G u i r a u d [ 6 ] i n h i s f i r s t a p p r o x i m a t i o n a n d b y M a i k a p a r [ 7 ] .T h e c a l c u l a t i o n o f t h e s t r e a m l i n e s i n t h e N e w t o u - B u s e m a n n a p p r o x i m a t i o nis j u s t a g e o m e t r ic a l p r o b l e m d e p e n d i n g o n t h e d i r e c t i o n o f t h e c o n s t a n t f r e e-s t r e a m v e l o c i t y v e c t o r a n d o n t h e s h o c k s u rf a c e.


9/25

A Solution for r Inviscid Supersonic Flow 19I n t h i s p a p e r t h e p r e s s u r e t e r m s i n t h e c o e ff ic i e n ts o f t h e d i ff e r e n t ia l e q u a t i o n

1 8) a re t a k e n i n t o a c c o u n t b y p r o p e r a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e q u a n t i t i e s w h i c hd e p e n d o n t h e f l o w fi e ld .

i ) T a n g e n t i a l V e l o c i t yF o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y w e p r o c e e d f r o m t h e e n e r g y

e q u a t i o n 5 ) w h i c h e x p r e ss e s a d e p e n d a n c e o f t h e v e l o c i t y a n d e n t h a l p y i n t h ep o i n t s P * a n d P e n a s t r e a m l i n e F ig . 2 ). W i t h S a ) i t f o ll o w s

- 2 i - i * ) 2 2 )w i t h

lnp /9lnp

f r o m t h e f i rs t la w o f t h e r m o d y n a m i c s , b e c a u s e t h e e n t r o p y is C o n s t a n t a l o n gs t r e a m l i n e s .

T h e o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h e i n t e g r a n d c a n b e e s t i m a t e d b y c o n s i d e ri n gt h e i s e n t r o p i e e x p o n e n t

w h i c h i s l a r g e r t h a n 1 f o r e v e r y k n o w n g a s . T h u s , a l o n g a s t r e a m l i n e t h e r e l a t i v ep r e s s u r e c h a n g e i s l a r g e r t h a n t h e r e l a t i v e d e n s i t y c h a n g e a n d , f o r d e c r e a s i n gd e n s i t y o n s t r e a m l i n e s , t h e i n t e g r a n d i n E q . 2 3 ) i s s m a l l e r t h a n t h e p r e s s u r e- - d e n s i t y r a t i o i n P * : ~-- = 0 ~ O e * w ~ s in 2 0* ) . 25)T h i s e s t i m a t i o n i s a l so v a l i d f o r i n e r e a s i n g d e n s i t y i n t h e s t a g n a t i o n r e g i o n f o ri n s ta n c e ) , s in e e th e p r e s s u r e p c a n n o t b e l a rg e e o m p a r e d w i t h p * .

T h e i n t e g r a l i n E q . 2 3) i s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s a n d i n t r o d u e e d i n t o E q . 2 2) :In~ lnp

Wn 2 p

my* In~ 26 )T h e f i r s t i n t e g r a t i o n i s p e r f o r m e d f r o m p r e s s u r e p * t o : b , v a l u e s w h i c h a r e g i v e nb y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e s h oc k . W i t h E q . 2 5) t h i s i n t e g r a l is

~ s i n 2 ~ * O s * l n ~ ) 2 7a )ooa n d m a y n o t b e c o n s i d e r e d O s* ), f o r t h e g a s m a y e x p a n d o n s t r e a m l i n e s to av e r y l o w p r e s s u r e p z O @ ), e s p e c i a l l y o n s t r e a m l i n e s c o m i n g o u t o f t h e s t a g n a t i o nr e gi o n . T h u s , ln p* /~5 ) m a y b e c o m e v e r y l a r g e a n d c h a n g e t h e o r d e r o f m a g n i t u d eo f th e i n t e g r a l. T h e s e c o n d i n t e g r a t i o n e x t e n d s f r o m p r e s su r e :5 t o t h e u n k n o w np r e s s u r e p . T h i s t e r m i s

w ~ s in 2 0 * 0 e* In = Woo


10/25

20 H.-F . Schwarze:i n t h e w h o l e f l o w re g i o n a c c o r d i n g t o a s s u m p t i o n (2 ) a n d c a n b e n e g l e c t e d i nE q . ( 2 6 ) i n c o m p a r i s o n w i t h t h e f i r s t i n t e g r a l .

T h e r a t i o o f t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s c a n b e e s t i m a t e d a s- - 2 = 0 < / W ~w t 2 ~ t 2 @ 0 \w~b I = O(~ ~ ta n e ~) @ 0@ 2) (28)

w h e r e t h e s u b s c r i p t b d e n o t e s t h e v e l o c i ti e s o n t h e b o d y ( f o r a p r o o f se e S c h n e i d e r[ 9] ). O u t s i d e t h e s t a g n a t i o n r e g i o n , w h e r e t a n 2 a = 0 ( 1 ) , t h i s r a t i o c a n b e n e g l e c t e di n E q . ( 2 6 ) w h i c h b e c o m e s

w t ~ - w t * ~ + 2[ i (p* , s*) i@, s*) ] + . . . . (29)I n t h is a p p r o x i m a t i o n t h e t a n g e n t i al v e l o c i ty d e p e n d s o n l y o n v a l u es i m m e d i a t e l yb e h i n d t h e s h o c k s u r f a c e . I t i s n o t v a l i d w i t h i n t h e r e g i o n w i t h t a n h > ~ 1 , b u ti t w as s h o w n w h e n c o n s i d e r in g t h e o r d e r o f / ~ t h a t t e r m s w i t h t a n e h a v e o n l yl i t t l e i n f l u e n c e o n t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s .

i i ) P r e s s u r e G r a d ie n t a n d D e n s i t yT h e p r e s s u r e t e r m s i n E q . (1 8) o r i g i n a t e f r o m t h e p r e s s u r e g r a d i e n t n o r m a l

t o t h e s t r e a m l i n e a n d p a r a l l e l t o t h e s h o c k s u r f a c e d i v i d e d b y t h e m o m e n t u mf l u x . T h e p r e s s u r e g r a d i e n t i s c o n n e c t e d t o t h e e n t h a l p y a n d e n t r o p y c h a n g eb y t h e f i r st la w o f t h e r m o d y n a m i c s . W i t h E q . (2 3) a n d t h e e s t i m a t i o n ( 2 7 b )f o r t h e i s e n t r o p i c e n t h a l p y c h a n g e d u e t o t h e p r e s s u r e d i f f e r e n c e 2 5 -- p t h e f i r s tl a w w r i t e s

i dp _ d 2 s i n 2 c r * O ( e * ) ] T @ , 8 * ) ~ r (p , 8 ) d ~ ( 3 0 ),o d n d u [ i @ , 8 ) + w ~ T @ , ~ *) d nw i t d 0- - = s i n v ~ - - c o s ~ - -dn i ~ ~ u h~ 0u~U s i n g a s s u m p t i o n (2) w e o b t a i n f o r t h e t e m p e r a t u r e r a t i o

T (P '8 * ) = 1 + 0 ( K - ~ ) = 1 + 0 ( e * ) .T@ , ~*)T h e e n t r o p y s is c o n s t a n t o n s t r ea m l i n e s a n d t h u s i n d e p e n d e n t o f t h e p r e s s u rec h a n g e a l o n g t h e s t re a m l i n e . T h e r e f o r e t h e p r e s s u r e g r a d i e n t d p / d n d i v i d e db y e i n E q . ( 18 ) c a n b e e x p r e s s e d b y q u a n t i t i e s o n t h e s h o c k s u r fa c e , i.e . b y t h eq u a n t i t i e s i n P * a n d b y t h e p r e s s u r e /5 i n s t e a d o f p , i f t e r m s o f o r d e r s * a ren e g l e c t e d .

T h u s w i t h t h e a d d i t i o n a l a p p r o x i m a t i o n s (2 0) f o r t h e s c a le f a c t o r s a n d (2 9)f o r t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y w e g e t f o r t h e c o e f f i c i e n t s B 0 a n d B 1 i n E q . (1 8)

B e - - I ~ + 1 ~_2_~ + . . . ,h i h20u~ o@, s* ) {wt 2 + 2[ i ( p* , s* ) - - i@ , s*)]} ]~ eu~ 31)_ i o~ i o ~ + . . . .

B 1 h2 h~- ~u l Q(~), s*) {w t*2 + 2[i(p*, s*) -- i(]3, s*)]} hi ~ul


11/25

A Solution for the Invisc id Supersonic Flow 21W i t h t h e s e a p p r o x i m a t i o n s f o r B 0 a n d B ~ t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n s f o r t h es t r e a m l in e p r o j e c t i o n s (1 8) t u r n i n t o o r d i n a r y d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n s o f f ir s ta n d s e c o n d o r d e r , r e s p e c t i v e l y . T h e y c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l l y b y o n e o f t h es o l u t i o n m e t h o d s f o r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , f o r e x a m p l e b y a R u n g e -K n t t a p r o ce d u re .

5 . S t r e a m l i n e s a n d F l o w Q u a n t i t ie s in t h e S h o c k L a y e r5 .1 I n t e g ra t i o n o] M o m e n t u m E q u a t i o n

B y i n t r o d u c i n g t h e t a n g e n t i a l a n d n o r m a l v e l o c i t y a c c o r d i n g t o E q . ( Sa )i n t o t h e m o n l e n t u m E q . ( 4 ) w e h a v e

1wtw (7 . [z ) ~ ~_ ~w (7. V ) wt 2:_ w ('~ . V) w n - - V p . (32)

T h e o p e r a t o r 7 . V is t h e d e r i v a t i v e i n s t r e a m l i n e d i r e ct io n . U s i n g E q . (1 3) i ti s s u b s t i t u t e d b y t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e a r c l e n g t h o f t h e p r o j e c t e ds t r e a m l i n e : d cos a d7 . V - - - - 3 3 )d~ 1 -- X~u3 d~W i t h t h e F r e n e t - S e r r e t f o r m u l a f o r t h e d e r i v a t i v e o f th e u n i t v e c t o r ~ E q . ( 32 )m a y n o w b e r e w r i t te n :

w t2~ f i + ~ ~ ~ + w t - - - V p . 3 4 )1 - - K ~ 2 de d~ ] ef i is t h e p r i n c i p a l n o r m a l a n d ]c t h e C u r v a t u r e o f t h e p r o j e c t e d s t r e a m l i n e .

T h e p r e s s u r e v a r i a t i o n b e t w e e n a p o i n t P o n t h e s h o c k s u r f a c e a n d a p o i n ti n si d e t h e s h o c k l a y e r P c a n b e o b t a i n e d b y i n t e g r a t i n g E q . (3 4) a l o n g t h e l i n ec o n n e c t i n g _P w i t h P . F o r r e a s o n s w h i c h w i l l b e e v i d e n t w h e n i n t e g r a t i n g t h ec o n t i n u i t y e q u a t i o n u s u a l l y P d o e s n o t f a ll o n a n o r m a l t o t h e s h o c k s u rf a c ei n P ( P d i f f e r s f r o m P , c f . F i g . 3 ). T h e i n t e g r a t i o n l in e i s a c u r v e d l i n e o r i g i n a t in gi n P . I t s a r c l e n g t h is d e n o t e d b y ~ a n d i ts d i r e c t io n b y t h e u n i t v e c t o r e~ . T h u sE q . ( 3 4 ) b e c o m e s / _ 1dw~ ~ . e ~ - - ~wt d~ + J (3 5 a )w i t h ~ t h e p r e s s u r e o n t h e s h o c k s u r f a c e a t ---- 0 a n d

f 1 .d w , . e~ ~wt d~ . (3 5 b )J ~- ] K~ deoT h e v e l o c i t y c o m p o n e n t w ~ is m u c h s m a l l e r t h a n w t o v e r m o s t o f t h e r a n g eo f t h e s o l ut io n .. T h i s is n o t t r u e i n t h e s t a g n a t i o n r e g i o n w h e r e w,~ m a y b e g r e a t e ro r e q u a l O(wt) . W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e s t a g n a t i o n r e g io n t h e t e r m J is o f s m a l l e ro r d e r t h a n t h e p r e c e d i n g te r m s . I t s c o n t r i b u t i o n t o t h e p r e s s u r e in t h e s t a g n a t i o nr e g io n is e s t i m a t e d i n C h a p t e r 5 . 3 a f t e r h a v i n g f o u n d a n e q u a t i o n f o r t h e d i s t a n c eo f t h e s t r e a m l i n e s f r o m t h e s h o c k s u r f ac e .


12/25

22 I-I.-F. Schwarze:

5 . 2 D i s t a n c e S h o c k S t r e a m l i n eF o r t h e c a l c u l a t io n o f t h e m a s s fl o w Q w t i n E q . 3 5) a n d t h e d i s t a n c e o f t h e

s t r e a m l i n e s f r o m t h e s h o c k a s t r e a m t u b e o f i n f in i t e si m a l c r os s s e c t io n is c o n -s id e r e d , F ig . 3 . O n e b o u n d i n g s t r e a m l i n e o f t h i s s t r e a m t u b e r u n s t h r o u g h t h ep o i n t s P * a n d P . T h e c ro s s s e c t io n o f th e s t r e a m t u b e a t P is l i m i t e d b y th e s h o c k -p a r a l l e l l i n e e l e m e n t d l a n d t h e l i n e e l e m e n t d ~ o f t w o n e i g h b o u r i n g t -l in e s . T h e s et - l in e s l ie i n a s u r f a c e w h i c h is n o r m a l t o t h e s h o c k s u r f a c e . I i s t h e a r c l e n g t h o ft h e i n t e r s e c t i o n l i n e o f b o t h s u r f a c e s , e~ i s th e u n i t v e c t o r o f i t s d i r e c t io n . E a c h~ -li ne is c r o s s e d b y a n i n fi n it e n u m b e r o f s t r e a m l i n e s w h i c h e n t e r t h e s h o c k l a y e rM o n g t h e s o c a ll e d e m i s s io n li n e o n t h e s h o c k s u r f a c e . T o e v e r y p o i n t o f th e s h o c ks u r f a c e , f o r w h i c h a s p e c i a l ~ - li n e w i ll b e d e f i n e d , t h e r e b e l o n g s o n e e m i s s i o nl in e . T h e a r c l e n g t h o f t h e e m i s s i o n l in e i s d e n o t e d b y e . I t is e q u a l t o z e r o i nt h e p o i n t w h e r e t h e m a x i m u m e n t r o p y s tr e a m l i n e b o d y s t re a m l i n e) i n te r s ec t st h e s h o c k s u r f a c e .

. / / 4 ./ ~ . - ~ ~ ' ~ 1 ,1 / Z ~ A

Fig. 3. Streamtube in the shook layer and emission l ine

T h e f l u x o f m a s s p a s s in g t h r o u g h t h e a r e a b e t w e e n t w o n e i g h b o u r i n g ~ - lin e se n t e r s t h e s h o o k la y e r b e t w e e n t h e t w o c o r r e s p o n d i n g e m i ss i o n l in e s, t h e d i s t a n c eo f w h i c h is d e n o t e d b y d n e. T h e e n t e r i n g f l u x t h r o u g h a n a r e a e l e m e n t b e t w e e nt h e e m i s s i o n l i n e s i n P * ,

~ w ~ ea* d e dn~ ,m u s t b e e q u a l to t h e f lu x t h r o u g h t h e s t r e a m t u b e i n P , t h a t i s t h r o u g h t h e a r e ae l e m e n t b e t w e e n t h e ~ - l i n e s ,

O w l 9 ( e ~ X e t ) e ll d ~ .T h e p a r t d l 9 c o s ~ w t , e e X e l ) i s e q u a l t o t h e d i s t a n c e d n o f t h e s t r e a m l i n e st h r o u g h t h e e n d p o i n t s o f t h e li n e e l e m e n t d l . T h u s t h e c o n s e r v a t i o n o f t h e f l o wo f m a s s b e t w e e n P * a n d P l e ad s t o

= * d e , 36)w t d u 3 ~ w t v a 9 e ~ c l~ d n e * sin ~oow h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e l in e e l e m e n t d l .


13/25

A Solut ion for the Invisc id Supersonic F low 23B y i n t e g r a t i n g t h i s e q u a t i o n a l o n g t h e e m i s s io n li n e f r o m e t o g , t h a t i s f r o m

a p o i n t o n t h e e m i s s i o n l in e t o F = P * ( u 3 = 0 ) = / 5 u 3 = 0 ), w e g e t t h e d i s t a n c eo f t h e c o n s i d e r e d s t r e a m l i n e t h r o u g h e f r o m t h e s h o c k a t g :

W i t h

u 8

d u a = O ~ w ~ ~ w dr0 ed e ~ - U3. 3 7 a )- - - s in f f c e

d = s i n ~ d e 3 7 b )t h e a r e le n g t h i n c r e m e n t o n t h e e m i s s i o n l in e m a y b e s u b s t i t u t e d b y t h e c o r -r e s p o n d i n g i n c r e m e n t o f t h e p r o j e c t i o n o f th e e m i s s io n li n e o n to a p l a n e n o r m a lt o t h e f r e e s t re a m v e l o c i ty v e c t o r w ~ . d is t h e d i s t a n c e o f t h e t w o s t r e a m l i n e si n th e f r e e s t r e a m t h r o u g h t h e e n d p o i n t s o f t h e l in e e l e m e n t de . T h e r a t i o o f d nt o t h e d i s t a n c e d h o f t h e c o r r e s p o n d i n g s t r e a m l i n e p r o j e c t io n s c a n b e e x p r e s s e ds i m i l a r l y t o E q . 1 3) b y t h e s h o c k s u r f a c e c u r v a t u r e i n th e d i r e c t io n n o r m a lt o t h e p r o j e c te d s t r e a m l i n e K ~ a n d t h e d i s ta n c e b e t w e e n / 5 a n d P .

W i t h t h e r a t i o d n e / d n t h e d i v e r g e n c e o f t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s w i t hg r o w i n g d i s ta n c e f r o m t h e i r e n t r y p o i n t s i n t o t h e s h o c k l a y e r P * i s t a k e n i n t oa c c o u n t . I n p l a n e f lo w t h i s r a t io i s o n e , in a x i s y m m e t r i c f lo w i t is g i v e n b y t h ed i s ta n c e r a t i o o f p o i n t P * a n d p o i n t P f r o m t h e s y m m e t r y a x is . I n t h r e e -d i m e n -s io n a l f lo w it m u s t b e d e t e r m i n e d f r o m t h e s t r e a m l in e p a t t e r n o n t h e s h o c ks u r f a c e w h i ch i s n o t k n o w n b e f o r e h a n d . W i t h E q . 1 5 b ) t h e d i f f e re n t i a l o f u ~in P ( u l , u . ~ ) is

d u 2 = ~ d u l * + ~u.__.~2du2* ~- ~u.....~d u l . 38)dul* du~* du 1T h e i n c r e m e n t s d U l a n d d u ~ o n a n o r m a l t o t h e s t r e a m l in e p r o je c t io n i n / 5 a n dt h e c o r r e s p o n d i n g i n c r e m e n t s d u ~ * , d u 2 * o n a n o r m a l t o t h e e m i s s io n l in e i n P *o n t h e s h o c k s u r f ac e c a n b e e x p r e s s e d b y t h e d i s ta n c e s d g a n d dn~* , r e s p e c t i v e l y ,a n d t h e a n g l e s 0 a n d v ~ e*. v~* d e n o t e s t h e a n g l e b e t w e e n t h e e m i s s i o n l in e a n dt h e u l - d i r e e t i o n i n P * , F i g . 3 . T h e d i f f e r e n t i a l q u o t i e n t du2/r3u~ i s t h e c h a n g eo f u 2 w i t h u ~ a l o n g t h e s t r e a m l i n e u ~* = e o n s t . , u 2* = e o n s t . ) a n d t h u s a f u n c t i o no f v~ a n d t h e m e t r i c c o e f f i c ie n t s i n /5 . T h u s w e g e t f o r t h e d i s t a n c e r a t i o s i nE q . 3 7 a ) :

d h _ co s ~ /c o s v~e h~du2 s in V~e ~2du~ 39)d n e * ~ h 2 d u 2 h l * ~ u l * ]d nd ~ = ( 1 - - K ~ u a ) . ( 4 0 )

R e s u l t 3 9) i s i d e n t i c a l to t h e r e s u l t o f N a i k a p a r [ 7] .T h e d i f f e r e n t i a l q u o t i e n t

v = d u J d u i * i = 1, 2)c a n b e d e t e r m i n e d b y p a r t i a l d i f f e r e n t i a ti o n o f E q . 1 8 b ) f o r t h e s t r e a m l i n ep r o j e c t i o n s w i t h r e s p e c t t o u s * . T h e r e s u l t i s a n o r d i n a r y n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l


14/25

24 H. -F . Schw~rze :e q u a t i o n o f s e c o n d o r d e r f o r v :

du--- ~ 3A a ~ul ~u---~

+ Ou~ \Ou ,l + eu~ ~du,l + Ou~ du: + o u r

(41)

I n o r d e r t o s o l v e t h i s e q u a t i o n f i r s t u ~ a n d &~,j~u~ m u s t b e c a l c u l a t e d f r o mE q . ( 1 8b ) . T h e b o u n d a r y c o n d i t io n s f o ll o w f r o m t h e g e o m e t r y o f t h e s h o c ks u r f a c e a n d t h e d i r e c ti o n o f t h e f r e e s t r e a m f l o w :

~I = ~I : ~ * , ~ ~ * a~--~ \ ~ t a n ~ * ,l t a n , ;~ul h~ du~ ~ u l ] ~ul \h~

42)

with v~* rom Eq. (9 ) .5 .3 Un i / o rml y V a l i d S o l u t i o n

T h e i n t e g r a l e q u a t i o n f o r t h e p r e s s u r e i n th e s h o c k l a y e r ( 3 5 a) a n d f o r t h ed i s t a n c e o f t h e s t r e a m l i n e s f r o m t h e s h o c k ( 3 7a ) w e r e o b t M n e d w i t h o u t a n ya s s u m p t i o n s b a s e d o n t h i n s h o c k l a y e r , s t r o n g c o m p r e s s i o n a c r o s s t h e s h o c ko r s m a l l d i f fe r e n c e b e t w e e n s h o c k a n d s t r e a m l i n e c u r v a t u r e . H o w e v e r t h e r es t i l l a p p e a r q u a n t i t i e s i n t h e i n t e g r a n d s w h i c h d e p e n d o n t h ~ s o l u t i o n .

I n t h e f o l lo w i n g t h e o r d e r o f J i n E q . ( 35 ) i s e s t i m a t e d . W i t h (3 6) a n d ( 3 7 b )w e g e t

f clwu ~- Wn dea e~ -- 1 ) 1 dT~ e*de p. (43)J = e ~ w ~ \ d e - ~ ea . e i 1 K ~ % d n~pT h e d e r i v a t i v e o f t h e n o r m a l v e c t o r o f t h e s h o c k s u r fa c e ea w i t h r e s p e c t t o t h es t r e a m l i n e p r o j e c t i o n a r c l e n g t h ~ i s ~ v e c t o r i n t h e s h o c k s u r f a c e w i t h t h e m a g n i -t u d e O(K$). I t s s c a l a r p r o d u c t w i t h e ~ i s O(Kc) , t oo , o r s m a l l e r . T h e r e c i p r o c a lv a l u e o f t h e s c a l a r p r o d u c t e3 9 e ~ i s 0 ( 1 ) , f o r e ~ i s e q u a l e a i n t h e i d e a l c a s e t h a te m i s s i o n li n e s r e s u l t i n t o S - li ne s w h i c h a r e n o r m M s o f th e s h o c k s u r f a c e : F o rp r o p e r l y c h o s e n e m i s si o n li n e s in o t h e r c a s es t h e a n g l e b e t w e e n e~ a n d e a s h o u l db e n o t g r e a t e r t h a n a b o u t u / 4 . T h u s t h e s e c o n d t e r m i n t h e b r a c k e t o f E q . (43 )is O w,K~ ).

T h e n o r m a l v e l o c i t y w~, c a n b e e x p r e s s e d b y t h e t a n g e n t i M v e l o c i t y w t a n dt h e i n c l i n a t i o n o f t h e s t r e a m l i n e w i t h r e s p e c t t o t h e s h o c k . S i n c e ~ =< s * t h ef i r s t l a w t o g e t h e r w i t h a s s u m p t i o n (2 ) g i v e s ~ = O(i) . T h e n f r o m t h e e n e r g ye q u a t i o n i t c a n b e c o n c l u d e d t h a f f w t ~ O ( ~ t) . T h u st%_ = 0 ~ 441w ,, = O t d~ / de ]


15/25

A Solut ion for the Invisc id Supersonic F low 2 5A s s u m i n g dw, / d~ t o b e c o n t i n u o u s i n t h e c l o s e d i n t e r v a l [ , gp] a n d dne*/dn = 0 ( 1 )o r s m ~ l le r , b e c a u s e i n t h e h e r e c o n s i d e r e d p r o b l e m s n e i g h b o u r i n g s t r e a m l i n e sw i l l d i v e r g e w i t h i n c r e a s i n g d i s t a n c e f r o m P * , Eq. (43) g ives

J = @ooWoo 0 ,l~ ~ t ,~, u3 d -~- 0 \ d ~ r n @ 0 K ~ f f t -'~ , Ua d .

(45)T h e i n t e g r a l i n t h i s e q u a t i o n d i v i d e d b y (gp - - ) is t h e d i s t a n c e o f t h e m a s sf lo w c e n t e r f r o m t h e s h o c k s u r fa c e .

T h e o r d e r o f u a c a n b e e s t i m a t e d f r o m ( 3 7a ), i n w h i c h t h e i n t e g r a t i o n a l o n ge i s r e p l a c e d b y a n i n t e g r a t i o n a l o n g . I n t h e w h o l e f l o w f i e ld i n c l u d i n g t h es t a g n a t i o n r e g i o n w t a n d @ a r e o f t h e s a m e o r d e r a s q u a n t i t i e s i n a n a s s u m e dd i s t r i b u t i o n w h e r e t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y a n d d e n s i t y v a r y l i n e a r l y w i t hf r o m t h e v a l u e o n t h e s h o c k in P ( s u p e rs c r ip t - - ) t o t h e v a l u e o n t h e b o d y ( su b -s c r i p t b ) , c L S c h n e i d e r [ 9 ] . I n t e g r a t i o n g i v e s

u a = O [ d n ] 0 ]n (46)[COS co W tb/fO - - @b/~ @b/~ + 1-- @ b /O) / @ p -~a n d i t f o l l o w s

?)ua d ~ 0 u3 dep\ co s ~ / Q b ~ 5 I n e ~ w t t ~ t i n w l b l ]-- ~blO ~ 1 -- wtt,/~t wt l J 47 )T h e t e r m i n t h e t h i r d b r a c k e d i s 0 ( 1 ), b e c a u s e wtb/~t an d @b/O a re 0 (1) an d w t J ~ ta n d @ b/~ c a n n o t b e s m a l l s i m u l t a n e o u s l y , f o r a n e x p a n s i o n t o s m a l l d e n s i ti e sl e a d s t o l a r g e v e l o c i t i e s .

T h e d e r i v a t i v e o f (4 7) w i t h r e s p e c t t o ~ - - t h i s t e r m a p p e a r s i n E q . (4 5) - -l e a d s t o t e r m s w i t h

d~p _ 0 ( s in Yo o) , d~o o_ O( /~e) a n d d~ = (~O e ~ co t Yoo).T h e d e r i v a t i v e o f ~ (@ oo, o o, woo s i n ao o) w i t h r e s p e c t t o ~ wa s e s t i m a t e d f r o m t h es h o c k c o n d i t io n s a n d f r o m a c o m p a r i s o n o f t h e R a n k i n e - H u g 0 n i o t r e l a t i o nw i t h a n i s e n t r o p i c c h a n g e o f s t a t e . T h u s w e g e t :

4d \cos ~ool

T h e t e r m s i n t h e b r a c k e t a r e 0 ( 1 ) i n t h e w h o l e f l o w fi e ld , b e c a u s e K eg p i s s m a l l e ro r e q u a l 0 ( 1 ) a n d c o s ~oo e q u a l O(KTe~p) n t h e s t a g n a t i o n r e g i o n . I f ooo a s y m p t o t i -c a l ly a p p r o a c h e s 0 - - t h e a n g l e b e t w e e n t h e f r e e s t r e a m f lo w a n d s h o c k s u r fa c em u s t b e g r e a t e r t h a n 0 - - , K e c o t ~oo i s o f t h e o r d e r o f t h e r e c i p r o c a l o f t h ed i s t a n c e o f t h e c o n s i d e r e d s h o c k p o i n t f ro m t h e t a n g e n t i a l p l a n e o n t h e s h o c k


16/25

26 H.-F . Schwarze:s u r f a c e i n t h e m a x i m u m e n t r o p y p o i n t . W i t h E q . (4 8) i t f o ll ow s f ro m (45 ) t h a t

J = O ( e ~ w ~ ) 0 \ d n ]i n t h e w h o l e f lo w r e g io n ; t h e r e f o r e J m a y b e n e g l e c t e d i n E q . ( 3 5a ) f o r t h ep r e s s u r e .

9T h e a p p r o x i m a t i o n ( 2 9 ) f o r t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y w t i s n o t v a l i d i n t h es t a g n a t i o n r e g io n , w h e r e t a n ~ 1 . I n t h e s t a g n a t i o n re g io n , h o w e v e r , t h ed e n s i t y i s a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t , w h i c h a c c o r d i n g to B e r n o u l l i 's e q u a t i o ng i v e s f o r t h e r e l a t i v e p r e s s u r e d i f f e r e n c e

P - ~ - o ( ~ * ) . ( 5 0 )pT h u s , u s i n g a p p r o x i m a t i o n (29 ) f o r t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y a n d f o r t h e d e r i v a t i v eof wt w i t h r e s p e c t t o ~ i n E q . (3 5 a ) f o r t h e p r e s s u r e l e a d s t o e r r o r s w h i c h a r e0 (~ ) i n t h e w h o l e fl o w r e g io n , e v e n i n t h e s t a g n a t i o n r e g i o n . W i t h E q . (3 6) t h ep r e s s u r e i s

9 ( 5 1 )

1 due 1 KZu a 1wt ~ e~ - _- K n u s i n a ~ . . .+ d~ e ~. e~ dr -w i t h

wt 2 = wt . 2 + 2 [ i (p* , s* ) - - i@ , s*) ] + . . . . 5 2 )I n E q . (5 1) t h e t e r m i n t h e c u r l y b r a c k e t s m a y b e n e g l e c t e d b e c a u s e o f Kua ~ 1W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h is t e r m a n d t h e s c a l a r p r o d u c t e a 9 e e o n t h e r i g h t - h a n ds id e o f E q . (5 1) t h e r e a r e o n l y q u a n t i ti e s w h i c h a r e k n o w n b y t h e s h o c k c o n d i ti o n s .e a 9 e~ m u s t b e d e t e r m i n e d f r o m t h e p r e v i o u s s t e p d u r i n g i n t e g r a t i o n a l o n g t h ee m i s s io n li n e, w h i c h u s u a l l y c a n b e d o n e o n l y n u m e r i c a ll y .

A f t e r k n o w i n g t h e t h e r m o d y n a m i c s t a t e w i t h e n t r o p y s = s*(u l* , u2*) a n dp r e s s u r e p( u l , u l * , u2* ) t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s u2(ul , ul*, us*) a r e d i s t r i b u t e do n t h e s h o c k l a y e r b y E q . (3 7 a ), t h a t is t h e d i s t a n c e u3 o f t h e s t r e a m l i n e f r o mt h e s h o c k is d e t e r m i n e d . F o r K n ~ c o n s t. , i.e . i n p l a n e a n d a x i s y m m e t r i c fl ow ,b u t a ls o in a s y m m e t r y p l a n e o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l f lo w , t h e i n t e g r a l o n t h el e f t - h a n d s i d e o f E q . ( 3 7 a ) w i t h (4 0) f o r d n / d h c a n b e s o l v e d w i t h o u t a n y a p -p r o x i m a t i o n r e s u l t i n g i n

(1 - - ]/1 - - 2 K , U ~ ) . (53a)~n ~ con st : u 3 =F o r K , @ c o n s t , t h e r a t i o d n / d h c a n b e a p p r o x i m a t e d b y u s in g u~ o f th e p r e v i o u ss t e p i n a n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n , E q . ( 4 0 ), o r b y s e t t i n g i t e q u a l to o n e w h i c h w o u l dl e a d t o

Kn ~ c on s t . : u3 ~ U3[1 + O(K,,u3) ]. ( 5 3 b )


17/25

A Solut ion for the Invise id Supersonic F low 27T h e d e n s i t y ~ i n E q . 3 7 a ) i s c a l c u l a t e d f r o m t h e s t a t e e q u a t i o n ~ = ~ p , s ).

E q . 5 2) f o r t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y , w h i c h i s n o t v a l i d i n t h e s t a g n a t i o n r e g io n ,l e a d s t o r e s u l t s f o r t h e p r e s s u r e w h i c h a r e v a l i d i n t h e s t a g n a t i o n r e g i o n , t o o .H o w e v e r , t h is e q u a t i o n c a n n o t b e t a k e n f o r w t i n E q . 3 7 a ) , b e c a u s e w t i s e q u a lo r s m a l l e r O e *). B e c a u s e t h e p r e s s u r e p i s k n o w n , t h e r i g h t - h a n d s i d e o f E q . 2 3)c a n n o w b e i n t e g r a t e d f r o m p * t o p . H a y e s a n d P r o b s t e i n [8 ] s h o w e d t h a t t h en o r m a l v e l o c i t y w , c a n b e n e g l e c t e d in c o m p a r i s o n w i t h w t e v e n i n t h e s t a g n a t i o nr e g i o n . T h u s f r o m t h e e n e r g y e q u a t i o n 2 2) i t f o l lo w s :

wt 2 = w t ~ + 2 [ i p * , s * ) - - i ( p , s * ) ] ~- . . . 5 4 )a n d f r o m 3 7 a )

- 55)1 d n e * s i n ~ *U a = ~ w ~ ~ o ~ p , s * ) { w t * ~ - 2 [ i * i p , s * ) ] } ~ / ~ d ~ de .

F o r c a l c u l a t i n g th e p r e s s u r e a n d s t r e a m l i n e s f r o m E q s . 5 1) t o 5 5) e m i s s i o nl i n e s o n t h e s h o c k s u r f a c e a r e g i v e n i n a d v a n c e . T h e s e e m i s s i o n l i n e s o r i g i n a t ei n t h e p o i n t o r li n e of m a x i m u m e n t r o p y . T h e p r e ss u r e p a n d d i s t a n c e u~ a r ed e t e r m i n e d b y a n u m e r i c a l in t e g r a t i o n a l o n g t h e ~ -lin e t h e o r i e n t a t i o n o f w h i c hf o ll o w s f r o m t h e l o c a t i o n o f t h e e m i ss io n l in e . B y p r o p e r l y c h o o s i n g t h e e m i s si o nl in e s t h e t a n g e n t o f t h e a n g l e b e t w e e n t h e ~ -]in e a n d t h e n o r m a l t o t h e s h o c ks u r f a c e sh o u l d n o t e x e e d 0 1 ) .

5 . 4 S i m p l i ] i c a t i o n o ] th e S o l u t i o n / o r a S y m m e t r y P l a n eT h e d e r i v e d s o l u t i o n f o r t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l f l o w f i e l d s i m p l i f i e s c o n -

s i d e r a b l y if t h e f lo w i s c o m p u t e d o n l y i n a s y m m e t r y p l a n e o f t h e f l o w f ie ld .T h e f l o w f ie l d is s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t o t h e s y m m e t r y p l a n e o f t h e s h o c ko r b o d y , i f t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y v e c t o r l ie s i n t h is p l a n e. I n t h e s y m m e t r yp l a n e u 2 = A 8 t h e s t r e a m l i n e s a n d e m i s s io n l in e s c o i n c i d e l i k e i n p l a n e o r a x i -s y m m e t r i c f l o w a n d t h e n o r m a l p r o j e c t i o n o f t h e s t r e a m l i n e s o n t h e s h o c k a r ek n o w n b e f o r e h a n d a s b e in g t h e s h o c k c o n to u r .

A p p l y i n g t h e s y m m e t r y c o n d i ti o n su 2 = A s : v ~ = ~ * = 0 , ~u--A~=0, ~3 _ -- 0, ~ = K ~ , C t = e ~ = e ~du 1 ~u~

o n E q s . 3 9) a n d 4 1) w e g e t f o r t h e d i v e r g e n c e o f t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n sf r o m t h e s y m m e t r y p l a n e

u2 = A s: d~ _ ~ 56)d u e * h2*(~u2*a n d f o r dUe/6Uz t h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

u2 = A ~ : du ~- ~ \ 6u ~ * / A - A 1 ~u -~ ~u~ * / + ~u~ ~u~ *T h e c o e f f i c i e n t s i n E q . 5 7) a r e g i v e n b y E q s . 1 8 b ) a n d 3 1) a n d b y

~A ~ [ ~bl ~hi ~ i l 2 1 ~2~D u--~ - - ~ u 2 I ~ 2 ~ u ~ ] ~ - ~ 2 Q ~ , s * ) {wt 2 ~- 2 [ i ( p* , s* ) - - i (~3 , s* ) ]} ~u2- - -~


18/25

2 8 H . - F . S c h w a r z e :E q . 5 1) f o r t h e p r e s s u r e r e d u c e s t o :

d e1 s i n a ce . . . .K r 1 - - - K ~ u358)

T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e s h o c k a n d t h e s t r e a m l i n e s is t h e n d e t e r m i n e d f r o mE q s . 5 3 a ) , 5 4 ) a n d 5 5 ) .

6 . 5 T u m e r i c al R e s u l t s a n d D i s c u s s i o nI n t h i s s e c t i o n r e s u l ts a r e p r e s e n t e d f o r t h e f l o w o f a p e r f e c t g a s y = 1 .4 ),

o b e y i n g= r - _ _ 2 2 5 9 );~ + 1 + ~ + I ) M ~ s i~ 2 ~oo

f o r th e d e n s i t y r a t i o a c r o s s t h e s h o c k , p a s t b l u n t b o d i e s w i t h c i r c u l a r a n d e l li p ti c alp a r a b o l o i d s o r h y p e r b o l o i d s a s s h o c k s. T h e s h o c k s u r f a ce i s p r e s c r ib e d b y t h ef o l l o w i n g e q u a t i o n s :I - lv nh rho lo i ~ : z + c ) 2 x ~ y2 1 0c~ a b

x yP a r a b o l o i d : z ~-- O .5 56 0 )

T h e z - a x i s i s i d e n t i c a l t o t h e a x i s o f t h e s h o c k s u r f a c e .F i g s . 4 a n d 5 s h o w t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s o n t o t h e s h o c k s u r f a c e i n t h e

e n t i r e f l o w f i e l d . T h e y a r e c a l c u l a t e d f r o m E q s . 1 6 ) a n d 1 8 a ) w i t h E q . 3 1 ) f o rt h e c o e f f i c i e n t s B 0 a n d B I . F i g s . 6 - - 1 0 p r e s e n t b o d y a n d s h o c k s h a p e s , s o n i cl i n e s , s t r e a m l i n e s a n d f l o w q u a n t i t i e s i n t h e s y m m e t r y p l a n e o f t h e f l o w f i e l d , a so b t a i n e d f r o m E q s . 5 3 ) - - 5 5 ) a n d 5 8 ) . F o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e s t r e a m l i n ep r o j e c t i o n s t h e l i n e s z = c o n s t , a n d t h e i r o r t h o g o n a l t r a j e c t o r i e s a r e c h o s e n a ss u r f a c e c o o r d i n a t e s u l , u 2 . H o w e v e r , i t i s a d v a n t a g e o u s t o t a k e l i n e s o f s i g n i f i -c a n t p h y s i c a l b e h a v i o u r c o n s t a n t e n t r o p y ) a s c o o r d i n a t e l i n e s f o r t h e d e t e r -m i n a t i o n o f t h e f l o w q u a n t i t i e s a n d t h e s t r e a m l i n e p a t t e r n i n t h e s h o c k l a y e r .T h e r e f o r e t h e d i v e r g e n c e o f t h e s t r e a m l i n e s f r o m t h e s y m m e t r y p l a n e y = 0i s c a l c u l a t e d i n a c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h u 2 = y . T h e n W u a ) v = 0 h a s t h e s a m ed i r e c t i o n a s t h e l i n e s o f c o n s t a n t e n t r o p y o n t h e s h o c k s u r f a c e .

I n F i g . 4 t h e n o r m a l p r o j e c t i o n s o f t h e s t r e a m l i n e s o n t o t h e s h o c k s u r f a c eh y p e r b o l o i d w i t h e l l i p t i c a l c r o s s s e c t i o n ) a r e s h o w n a s s o l i d l i n e s i n a n a x o n o -

m e t r i c v i e w , i n a s i d e v i e w a n d a p o l a r v i e w . B e f o r e e n t e r i n g t h e s h o c k l a y e rt h e s e s t r e a m l i n e s f o r m a c i r c u l a r s t r e a m t u b e o f r a d i u s 0 . 5 a r o u n d t h e s t r e a m l i n eo f m a x i m u m e n t r o p y . F o r c o m p a r i s o n s o m e o f t h e g e o d e s i c s w i t h t h e s a m ee n t r y p o i n t s a s t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s a r e g i v e n a s d a s h e d l i n e s . T h e y r e p -r e s e n t t h e N e w t o n i a n a p p r o x i m a t i o n , y = 1 , M o o ~ o ~ , f o r t h e s t r e a m l i n ep r o j e c t i o n s a c c o r d i n g t o G u i r a u d [ 6 ] a n d M a i k a p a r [ 7 ] . T h e y f o l l o w f r o m t h es a m e e q u a t i o n s a s t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s . O n l y t h e p r e s s u r e t e r m s a r e s e te q u a l t o z e r o .


19/25

A Solut ion for the Invisc id Supersonic F low 29z=2

1 2 I 2 3Z ~ y ~

Fig. 4 . Geodesics ( - - - ) and norm al project ions of the s t reaml ines ( - ) o n a hype r-boloidal sh ock w av e of elliptical cross section (a = 1, b = ]/2, c = 1.5) at 15~ angle of a t ta ck.Per fect gas, ? = 1A, Moo -- 5

T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s d i f fe r c l e a r ly f r o m t h eg e o d e s ic s o v e r n e a r l y t h e e n t i r e p a r t o f t h e f lo w f ie ld . T h e y a r e d e f l e c t e d f r o mt h e g e o d e s i c s t o w a r d s l o w e r p r e s s u r e s . T h e d e v i a t i o n s a r e m o s t s i g n i f i c a n t i nt h e r e g i o n s o f t h e f l o w f ie l d , w h e r e t h e p r e s s u r e i s h i g h . O n l y i n t h o s e p a r t s o ft h e f lo w fi e ld w h e r e t h e d i r e c ti o n o f t h e p r e s s u r e g r a d i e n t o n t h e s h o c k s u r f a c ei s n e a r l y t h e s a m e a s t h e d i r e c t i o n o f t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n t h e g e o d e si ci s a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n . T h i s i s t h e e a s e i n t h e w h o l ef l o w f ie l d o f p l a n e a n d a x i s y m m e t r i c fl o w s, w h e r e s t r e a m l i n e p r o j e c t i o n s a n dg e o d e si c s a re i d e n t ic a l , a n d i n t h r e e - d i m e n s i o n a l f lo w s i n t h e v i c i n i t y o f s y m -m e t r y p l a n e s o f t h e f lo w f ie ld . F o r b o d i e s w i t h n o n - c i r c u l a r c r o ss s e c t io n t h er e g io n o f t h e f l o w f ie ld , w h e r e t h e s t r e a m l i n e s a p p r o x i m a t e l y f o ll o w t h e g e o -d e s ic s , m o v e s w i t h i n c r e a s in g a n g l e o f a t t a c k aoo f r o m t h a t s y m m e t r y li n e o f t h es h o c k s u r f a c e , w h i c h is n o t l o n g e r s y m m e t r y li n e o f t h e f l o w f ie ld , t o t h e h i g hp r e s s u r e s i d e ( i f a / b < 1 ) o r t o t h e l o w p r e s s u r e s i d e ( i f a / b > 1 ) . T h i s c a n c l e a r l yb e s e e n i n F i g . 4 w h e r e o n e s t r e a m l i n e n e a r l y c o in c id e s w i t h t h e g e o d e si c o nt h e w i n d w a r d s id e a n d i n F ig . 5 w h e r e t h e s t r e a m l i n e s a n d g e o d e si cs a r e s h o w ni n t h e p o l a r v i e w f o r t h r e e d i f f e r e n t r a t i o s a /b

T h e l e f t p a r t o f F i g . 6 s h o w s t h e s h o c k o f c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n , t h e s t r e a m -l i n e s , t h e s o n i c l i n e s a n d t h e b o d y , t h e r i g h t p a r t s h o w s t h e r e c i p r o c a l d e n s i t yr a t io a n d t h e p r e s s u r e o n t h e b o d y a t z e ro i nc id e n c e f o r t h e f r e e s t r e a m M a t hn u m b e r M ~o = &. T h i s s o l u t io n f o r a n a x i s y m m e t r i c f lo w w a s u s e d a s a c o m -p a r i s o n w i t h t h e n u m e r i c a l s o l u ti o n o f t h e d i r e c t p r o b l e m b y l u s an o v [1 ]. T h es h o c k o f t u s an o v , w h i c h r e s u l t s f r o m t h e g i v e n h y p e r b o l o i d a l b o d y o f c ir c u l a rc r o s s s e c t i o n , i s a p p r o x i m a t e d b y a c i r c u l a r h y p e r b o l o i d w h i c h p r e s c r i b e s t h es h o c k f o r t h e i n v e rs e m e t h o d . T h o u g h b o t h s h o c k s s e e m t o a g r e e q u i t e w e lli n t h i s a x i s y m m e t r i c e x a m p l e , t h e y a r e n o t e x a c t l y t h e s a m e o n e s . E s p e c i a l l yt h e c u r v a t u r e w h i c h p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n th e c a l c u l a t i o n d if f er s i n s o m e


20/25

3 0 H . F . S e h w a r z e :

~ = F Tb

. .0 1 . 0

y -4 .-

- ~ = 1 a -= 1 /~ -b b

2 . 0 ~ ' ' ' ' . . . . . . . . . ..0 7 .0 2 . 0 3 . 0y - - - ~ - y - - - . . ~

F i g . 5 . G e o d e s i cs ( - - - ) a n d n o r m a l p r o j e c t i o n s o f t h e s t r e a m l i n e s ( ) o n a h y p e r -b o l o i d ~ l s h o c k w a v e ( a = I , o = 1 .5 ) f o r d i f f e r e n t r a t i o s o f t h e i m a g i n a r y s e m i a x e s~ / b = g i , 1 , 1 / ~ ) a t 25 ~ a n g l e o f a t t ~ o k , e e r f e c t g a s , ~ = ~ . ~ , M ~ = ~ 0

1 . 2

s h ~ ' c - - , O o 2

o o R U S A N O V l d i r e c t m e t h o d l 0o n , , c . n e ~ o , o , : . . . . . . _

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 O . B 1 . 0 1 . 2

0 . 6

O . L > i% o .

p ~ o w ;

o ~ RUS NOV

1 . 0P b

F i g . 6 . B o d y s h a p e , s o n i c l in e , s tr e a m l i n e s a n d p r e s s u r e a n d d e n s i t y r a t i o o ft t h e b o d ys urf a.e e f o r a n a x i s y m m e t r i e fl o w w i t h a h y p e r b o l o i d a l s h o c k w a v e i n e o m p a r i s o n w i t hr e s u l t s o f Ru s a n o v . P e r f e c t g a s , y = 1 .4

p a r t s a l o n g t h e sh o c k . N e v e r t h e l e s s t h e a g r e e m e n t o f th e b o d y s h a p e s , t h e d e n s i t ya n d t h e p r e s s u re o n t h e b o d y is g o o d , a l t h o u g h i s a l r e a d y l a r g e i n c o m p a r i s o nw i t h a s s u m p t i o n (1 ). T h e p r e s s u r e o n t h e b o d y d i f f er s f r o m t h e r e s u l t s o f g u s a n o vw i t h i n t h e n e i g h b o u r h o o d 9 f t h e s t a g n a t i o n p o i n t , b e c a u s e t h e i se n t r o p i c c h a n g eo f t h e p r e s s u r e a l o n g s t r e a m l i n e s i n t h e s t a g n a t i o n r e g i o n i s n e g l e c t e d s i n c e i te q u a ls ~ w ~ e * / 2 o n t h e s t a g n a t i o n p o i n t s t r e a m l i n e a n d i s t h e r e f o r e O e*~ow~).


21/25

A Solut ion for the Invise id Supersonic F low 31F o r h i g h e r f r e e s t r e a m M u c h n u m b e r s o r l o w e r r a t io s o f t h e s p e c i fi c h e a t s t h ed i f f e r e n c e d e c r e a s e s .

I n F i g . 7 t h e f l o w f ie l d i s s h o w n i n t h e s y m m e t r y p l a n e y ~ 0 fo r a s u p e r -s o n ic f l o w w i t h a n a n g l e o f a t t a c k ~ = 8 .r ~ w i t h r e s p e c t t o t h e a x i s o f t h e h y p e r -b o l o i d a l s h o c k . T h e r e s u l t s a re c o m p a r e d w i t h a r e s u l t o f R u s a n o v f o r a f l o wp a s t a p a r a b o l o i d a l b o d y a t a n a n g l e o f a t t a c k c % = 15 ~ w i t h r e s p e c t t o t h e b o d ya x i s . T h e d a t a w e r e t a k e n f r o m F i g . 1 0.1 o f [ 1] . F i g . 1 0 .1 0 a n d 1 0 .1 6 o f [1 ]d e m o n s t r a t e t h a t t h i s c i rc u l a r b o d y r e s u l t s i n a s h o c k o f a p p r o x i m a t e l y c i r cu l a rc r o ss se c ti o n , so t h a t t a k i n g a c i r c u la r h y p e r b o l o i d a l s h o c k fo r t h e i n v e r s e m e t h o d

~ yperbotod0.5 1.0 13

Z

oo J I

' /

// I/ /

o pressure onody {RUSANOVI

0.5 1.0P ~ P b

Fig. 7 . Body shape, sonic l ines , s t reaml ines and pressure and densi ty ra t io on the bodysurface for a hyperbo loidal shock wav e of c i rcular cross sect ion a t 8 .4 ~ angle o f a t tac k.Per fec t gas, y = 1.4

s h o u l d g i v e a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e s h o c k o f t { u s a n o v w i t h c o m -p a r a b l e s t r e a m l i n e d i v e r g e n c e i n th e v i c i n i t y o f y = 0 . T h e a g r e e m e n t o f th es h o c k a n d b o d y s h a p e s i s q u i t e g o o d o v e r a la r g e p o r t i o n o f t h e f l o w f ie ld . T h es l ig h t l y s m a l l e r s h o c k b o d y d i s t a n c e o f l ~ u s a n o v i n t h e s u b s o n i c r e g i o n m a yb e e x p l a in e d b y p l o t t in g a c c u r a c y a n d b y t h e h i g h e r p r e s su r e a n d d e n s i t y inI ~ u s a n o v ' s r e s u l t b e c a u s e o f t h e i s e n t ro p i e c o m p r e s s i o n i n th e s t a g n a t i o n r e g i on .O n t h e w i n d w a r d s id e ( n e g a t i v e x - v a lu e s ) t h e b o d i e s n e a r l y c o i n c id e u p t o l a rg ed i s ta n c e s f r o m t h e s t a g n a t i o n r eg io n . T h e s m a l l d e v i a t io n s i n t h is p a r t a r e p r o b -a b l y c a u s e d b y s l i g h t l y d i f f e r e n t c u r v a t u r e s o f t h e s h o c k s .

O n t h e l e e w a r d s id e ( p o s i ti v e x - v a lu e s ) th e s h o c k b o d y d i s t a n c e a n d t h ep r e s s u r e o n t h e b o d y o f R u s a n o v d i f fe r s f r o m t h e r e s u l t s of t h e p r e s e n t s o l u ti o ni n th e s u p e r s o n ic r e g i o n d o w n s t r e a m f r o m a b o u t z = 0 . 6, w h e r e d e n s i t y a n dp r e s s u r e b e c o m e s m a l l . F o r t h e c h o s e n h y p e r b o l o i d t h e p r e s e n t m e t h o d g i v e s


22/25

32 :[-I.-F. Sehwarze:a higher pressure on the body in this region than the solution of t~usanov. Thismeans that the centrifugal forces which reduce the pressure with increasingdistance from the shock are too small. The difference can not be removed neitherby a better approximation of the shock contour of Rusanov in this symmetryplane nor by taking into account the curvature terms in the curly brackets ofthe pressure Eq. 51) nor by special corrections concerning the pressure deter-minat ion on the basis of the obta ined results. Eq. 51) and 55) show th at l argervalues for the ratio dne /d f i decrease the pressure an d increase the shock bod ydistance. Therefore the cause for the difference in the two results is ~pparently

s h o c k

- - - w t I ~. . . . . . e x p ~ l ~

o 3 1b o d y - - - ~

0 .2 Z, .6 8

- ~ /- ~ = - 0 . 3 t l

b a d y

L E E W R D S ID E

\ ,

= o s / /F X

~ L ~ = o ~ s s I \ , \p ~ w s f ,1 2 . 4 . 6 8 1

.6 ,~ ,6

~ X : - 0 . 5 - , , ,, , 4

W I N D W R D S ID E

\ ' \ ' : ' \ , / /,%

-.. I. 2 ~ . . ~ -a - 7 I - - ..2 .~ . .5 .8

1k /~ = l . s \ \ . / ti i 1o o - ~ - - " " - ) , :

1

Fig. 8. Flow quantities on a normM to a hyperboloidal shock wave of circular cross sectiona = b = 1.22, c = 1.97) at 8.4 ~ angle of attack. Perfect gas, y = 1.4, Moo = 4

the non-circularity of the shock of Rusanov in the cross section which leads todifferent curvatures of the shock compared with our circular hyp6rboloid. Thecross-sectional curvature and with it the pressure derivative influence the stream-line and body shape very much in low pressure regions such as the leeward sideof the body far downstream from the subsonic area.

In Fig. 8 pressure, density, tangential velocity and ent ropy profiles alongnormals t o t he shock are present ed a t various points ~, ~ for the same flow asin Fig. 7. On the low pressure side the relative changes of the flow quantitieswithin the shock layer are larger than on the high pressure side of the shock.Due to the decreasing inclination of the shock versus the freestream flow directionand constancy of entropy along streamlines the entropy difference between thevalues at body and shock increases with growing distance from the stagnation


23/25

A S o l u t i o n f o r t h e I n v i s e i d S u p e r s o n i c F l o w 3 3p o i n t . T h e p r o f i l e o f t h e e x p ((s - - ) / ) - - c u r v e c h a n g e s i n th i s c a s e f r o m an e a r l y l i n ea r c u r v e i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f t h e s t a g n a t i o n p o i n t t o p ro f i l e sw h e r e t h e e n t r o p y c h a n g e o c c u r s c l o se r t o t h e b o d y w i t h g r o w i n g d i s t a n c ef r o m t h e s t a g n a t i o n p o i n t . I n t h e r e g io n o f t h e f l o w f ie ld s h o w n i n F i g . 8a c le a r e n t r o p y l a y e r c a n n o t y e t b e s e en , b u t s t a r t s t o e s ta b l is h o n t h e w i n d w a r ds i d e a t a b o u t ~ - - 1 . 5 .

I n F i g . 9 t h e i n f lu e n c e o f d i f f e r e n t c r o s s s e c t i o n s o f t h e s h o c k o n t h e b o d ys h a p e a n d t h e s o n i c l in e is s h o w n i n t h e s y m m e t r y p l a n e o f t h e f l o w y = 0 ,w h e r e t h e s h o c k s u r f a c e r e d u c e s t o t h e s a m e h y p e r b o l a i n a l l c o n s i d e r e d c a s e s( a = 0 .6 , c = 1). T h e i m a g i n a r y s e m i - a x i s o f t h e h y p e r b o l o i d i n y - d i r e c t i o n i s

1.0 - - - s h o ck : H y p e r b o l o i da = O . 6 c = 1

b o d y

H ~ = 1 0 / . . ,, , , /0 . 6 C ~ = O ~ / ~y = 1 .4 / / ' / /

v / / / / ~ / C

/ -// . , . / / / ~

)

0.~. . . . / / .

0.2 I /i l f F - ' - s ~i n e0 0 0.2Z

I 0 2 / / . / Y :

t ] l l

0.5 gg o = v g

p r e s s u r e- - - d e n s f f y

~ b = 0.30.6

1.2

tO

0.1 Z - ~ D . -F i g . 9 . B o d y s h a p e , s o n ic li n e a n d p r e s s u r e a n d d e n s i t y r a t i o o n t h e b o d y s u r f a c e f o r ah y p e r b o l o i d a l s h o c k w i t h v a r i o u s r a t i o s o f t h e i m a g i n a r y s e m i a x e s . P e r f e c t g a s , 7 = 1.4=

c h a n g e d f r o m t h e p l a n e fl o w c o n f i g u r a t i o n b @ 0 v i a b = 2 a ( f l a tt e n e d h y p e r -b o l o i d ) t o t h e a x i s y m m e t r i c c a s e b = a . T h e c a s e b = a / 2 c o r r e s p o n d s t o t h e s a m eh y p e r b o l o i d a s b = 2 a a n d s h o w s t h e r e su l t s f o r t h e s e c o n d s y m m e t r y p l a n ex = 0 o f t h e b = 2 a c a s e. A c c o r d i n g t o a l a r g e r d i s p l a c e m e n t e f f e c t th e s h o c kb o d y d i s t a n c e i n c r e a s e s w i t h l a r g e r b . F o r p l a n e f l o w t h is d i s t a n c e is a b o u t t w i c et h e v a l u e o f th e a x i s y m m e t r i c f lo w .

F u r t h e r m o r e F i g . 9 sh o w s t h a t t h e s o n ic l in e s d if f er q u a l i t a t i v e l y f o r t h ed i f f e r e n t a / b - r a t i o s . T h e y a r e m o r e c u r v e d i n t h e p l a n e f l o w (b ~ ~ ) t h a n f o rs h o c k s w i t h e l li p t ic a l o r c i rc u l a r c r o s s s e c t io n s . W i t h i n c r e a s i n g b t h e y c h a n g et h e i r c u r v a t u r e e v e n t u a l l y p a s s i n g f r o m c o n c a v e c u rv e s - - i f s e e n f r o m a n u p -s t r e a m v i e w - p o i n t - - t o c o n v e x o r S - c u r v e s . F o r b = a / 2 t h a t is f o r th i n s h o c ks h a p e s w i t h r e s p e c t t o t h e y - d ir e c t io n , t h e s o n ic re g i o n e x t e n d s f a r d o w n s t r e a mi n a s m a l l l a y e r a b o v e t h e b o d y s u r f ac e . T h e p r e s s u r e a n d d e n s i t y c u r v e s o n t h eb o d y a p p r o a c h a s y m p t o t i c a l l y a fi n a l v a lu e a c c o r d i n g to t h e a p p r o a c h o f t h e

3 Ac ta Me ch. 42/1 2


24/25

3 4 H . - F . S c h w a r z e :h y p e r b o l o i d a l s h o c k t o it s a s y m p t o t e . D u e t o t h e s m a l le r s h o c k b o d y d i s ta n c et h e p r e s s u re a n d d e n s i t y o n t h e b o d y i n cr e a se w i t h s m a l le r b .

I n t~ig. 1 0 r e s u l t s a r e p l o t t e d f o r a p a r a b o l o i d a l s h o c k o f c i rc u l a r c r o s s s e c t io ni n a f l o w a t M a t h n u m b e r M oo = 1 0 a n d f o r d i f f e r e n t a n g l e s o f a t t a c k c% o. T h eb o d y s h ap e a r o u n d t h e

A Uniformly Valid Solution for Three Dimensinal Inviscid Supersonic Flow Past Blunt Bodies With...

Documents

Transcript of A Uniformly Valid Solution for Three Dimensinal Inviscid Supersonic Flow Past Blunt Bodies With...