1.2.3 วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไมได ถามสงของทแตกตางกนจ านวน n สง วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทงหมดแบบพลกไมได ท าไดโดยการใหสงใดสงหนงอยคงท สงของทเหลอ n – 1 สง ใหจดเรยงแบบเชงเสน ซงจะได ( 1) !n - วธ นนคอ จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไมไดเทากบ ( 1) !n - วธ

ตวอยาง 1.2.17 จดนกเรยน 10 คน ใหนงรอบโตะกลม ซงม 10 ทนง ท าไดกวธ วธท า

ตวอยาง 1.2.18 มนสตชาย 6 คน และนสตหญง 6 คน ตองการจดคนทงหมดใหนงรอบโตะกลม ซงม 12 ทนง โดยทนสตชายกบนสตหญงตองนงสลบกน จะมวธจดทงหมดกวธ

วธท า

ตวอยาง 1.2.19 มนสตชาย 5 คน และนสตหญง 4 คน ตองการจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยไมมนสตสองคนใดเลยยนตดกน จะมวธจดทงหมดกวธ

วธท า

Note:

ตวอยาง 1.2.20 มคน 8 คน ในจ านวนนมมนส สมภพ และวชญา รวมอยดวย ถาใหคนทงหมดนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธการนงกวธ เมอ

1) มนส สมภพ วชญา นงตดกนเสมอ

2) มนส สมภพ วชญา นงแยกกนเสมอ

3) มนส นงตดกบสมภพ แตไมนงตดกบวชญา วธท า

วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได ถามสงของทแตกตางกนจ านวน n สง วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทงหมดแบบพลกได

เทากบ ( 1) !

2

n - วธ

ตวอยาง 1.2.21 รอยกญแจ 7 ดอกทแตกตางกนเขาพวงกญแจ จะมวธรอยทแตกตางกนทงหมดกวธ วธท า

ตวอยาง 1.2.22 ในการรอยพวงมาลยเปนวงกลมพวงหนง ใชดอกไม 9 ดอก แตละดอกไมเหมอนกน และมสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอก ทเหลอมสไมซ ากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกแบบ เมอ

1) ไมมเงอนไขอนเพมเตม 2) สขาวอยตดกน และสแดงอยตดกน วธท า

แบบฝกหด 1.2 ข 1. ตวอกษรทเปนสระในภาษาองกฤษ อยางละ 1 ตว น ามาเรยงสบเปลยนเชงวงกลมไดกวธ เมอ

1) เปนแบบพลกไมได 2) เปนแบบพลกได

2. ในการประชมตวแทนประเทศ ซงประกอบดวย ไทย มาเลเซย สงคโปร อนโดนเซย และฟลปปนส แตละประเทศสงตวแทนเขาประชมประเทศละ 2 คน และในการประชมใหจดทนงเปนวงกลม จะมวธการจดทนงของผแทนชาตตางๆ ไดกวธ เมอตวแทนชาตเดยวกนใหนงตดกน

3. มคน 7 คน ในจ านวนนมสมศกด สมคด และสมชายอยดวย ถาใหคนทงหมดนงบนมานง 7 ตว จะมวธการนงกวธ เมอไมตองการใหสมศกด หรอสมคด นงตดกบสมชาย และ

1) มานงทง 7 ตว วางเรยงเปนแถวยาว 2) มานงทง 7 ตว วางเรยงเปนวงกลม

4. มครอบครว 4 ครอบครว แตละครอบครวประกอบดวย พอ แม และลก 2 คน ถาใหคนทงหมดมานงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธการนงทงหมดกวธ เมอ

1) สมาชกในครอบครวเดยวกนอยตดกน

2) สมาชกในครอบครวเดยวกนอยตดกน และพอแมนงตดกน

3) สมาชกในครอบครวเดยวกนอยตดกน โดยมพอแมนงตรงกลาง

5. มเดก 8 คน ในจ านวนนมเดกชาย 3 คน ถาครน าเดกทงหมดมานงลอมรอบเปนวงกลมวงหนง จะมวธการนงทงหมดกวธ เมอ

1) เดกชายทงสามคนนงตดกน 2) เดกชายทงสามคนนงแยกกน 3) เดกหญงนงตดกนทกคน

6. มหนงสอคณตศาสตรทเหมอนกน 4 เลม หนงสอฟสกสทตางกน 3 เลม และหนงสอเคมทตางกน 2 เลม ตองการจดหนงสอทงหมดเปนวงกลม จะมวธการจดกวธ เมอ

1) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2) ตองการใหหนงสอคณตศาสตรอยตดกนทง 4 เลม แตหนงสอเคมอยแยกกน

7. มลกปดสแตกตางกนจ านวน 8 ลก ในจ านวนนมสฟาและสเขยวรวมอยดวย ถาน าลกปดเหลานทงหมดมารอยเปนก าไลขอมอ จะไดก าไลทแตกตางกนทงหมดกวง เมอ

1) สฟาอยตดกบสเขยว

2) สฟาอยตรงขามกบสเขยว

3) สฟาไมอยตดกบสเขยว

8. มแทงไมรปปรซม มฐานและดานบนเปนรปสามเหลยมดานเทา (ดงรป) มสทแตกตางกน 5 ส ตองการทาสดานขาง ดานฐาน และดานบนของแทงไมน ดานละส ไมซ ากน จะมวธการทาสทงหมดกวธ

1.3 วธจดหม (Combination)

การหาจ านวนวธจดหมของ n สงทแตกตางกนและน ามาจดหมคราวละ r สง ( nr 0 ) ถามสงของทตางกนทงหมด n สง น ามาจดหม โดยเลอกคราวละ r สง ( nr 0 ) จะมวธจดหมได

ทงหมด !

( ) ! !

n

n r r- วธ

จ านวนวธจดหมของสงของคราวละ r สง จากสงของทแตกตางกน n เขยนแทนดวยสญลกษณ n

rC

หรอ n rC หรอ

,n rC หรอ ( )

n

r (ในทนจะใชสญลกษณ

,n rC และ ( )

n

r)

นนคอ ,

!

( ) ! !( )n r

n nC

r n r r= =

-

ตวอยาง 1.3.1 มหนงสอนวนยายทนาอานอย 10 เลม ถาอนญาตใหนกเรยนคนหนงๆ ยมไดคราวละ 3 เลม นกเรยนคนหนงจะมวธยมหนงสอนวนยายทตางกนกวธ วธท า ตวอยาง 1.3.2 บาสเกตบอลหนงทมจะมผเลน 5 คน จงหาจ านวนวธทจะจดทมบาสเกตบอลจากนกกฬา

บาสเกตบอลจ านวน 11 คน วธท า

สงทนาสนใจ

1. ,

, !

n r

n r

PC

r=

2. , ,n r n n r

C C-

= หรอ ( ) ( )n n

r n r=

-

3. 1 1( ) ( )n n

nn

= =-

4. 10( ) ( )n n

n= =

ตวอยาง 1.3.3 หนวยงานแหงหนงตองการรบสมครคนงานชาย 3 คน และคนงานหญง 2 คน ถามผชายมาสมคร 5 คน และมผหญงมาสมคร 4 คน จงหาจ านวนวธทหนวยงานแหงนนจะเลอกคนงานดงกลาวเขาท างานครบตามตองการ

วธท า

ตวอยาง 1.3.4 มจด 10 จดบนระนาบ โดยไมม 3 จดใดๆ อยบนเสนตรงเดยวกน 1) ถาลากเสนตอจดเหลาน จะลากไดทงหมดกเสน 2) ถาจดทง 10 จดนเปนจดยอดของรปสามเหลยมใดๆ ลากเสนตอจดจะเกดรปสามเหลยม กรป

วธท า

ตวอยาง 1.3.5 ลากเสนขนาน 4 เสนในแนวนอน ตดกบเสนขนาน 3 เสนซงลากในแนวตง จะท าใหเกดรปสเหลยมดานขนานไดกรป

วธท า

ตวอยาง 1.3.6 มกระถางตนไมทแตกตางกน 10 ใบ เมอเลอกกระถางตนไม 7 ใบ แลวน ามาวางเรยงเปนวงกลมรอบเสาธง จะมวธการจดไดตางกนทงหมดกวธ

วธท า

การหาจ านวนวธการแบงของ n สงทแตกตางกนออกเปนกลม

การแบงสงของ n สงทแตกตางกนออกเปน k กลม กลมละ 1

n สง, 2

n สง, 3

n สง, ..., k

n สง

เมอ knnnn 321 (แตละกลมไมเทากน) จะแบงได !!!

!

21 knnn

n

วธ

เมอ 1 2 3

...k

n n n n= = = = (แตละกลมเทากน) จะแบงได !!!!

!

21 knnn

n

k วธ

ตวอยาง 1.3.7 ในการแขงขนแบดมนตนประเภทเยาวชนเดยวอายไมเกน 18 ป มผสมครเขาแขงขนทงหมด 10 คน โดยการแขงขนในรอบแรกจะตองพบกนหมด ถามวา คณะผจดการแขงขนจะจดไดทงสนกวธ

วธท า

ตวอยาง 1.3.8 มนกเรยนทงหมด 10 คน ตองการแบงนกเรยน 10 คนนออกเปน 3 กลม โดยมกลมละ 3 คน อย 2 กลม และอกกลมหนงม 4 คน จะแบงไดกวธ

วธท า

ตวอยาง 1.3.9 จงหาจ านวนวธทจะแบงคน 10 คน ใหเขาพกบานหลงหนงซงม 3 หองนอน คอ หองหนงจได 4 คน สวนอกสองหองจไดหองละ 3 คน

วธท า

ตวอยาง 1.3.10 จงหาจ านวนวธทจะจดคน 10 คน เขาพกบานหลงหนงซงม 2 หองนอน ซงหองหนงจได 6 คน และอกหองหนงจได 5 คน

วธท า

แบบฝกหด 1.3 1. จงหาคาของ n จากสมการตอไปน

1) ,3 ,4

5 24n n

P C× = × 2) ,2 2, 3

4n n

C C+

× =

3) 245( )

n

n

+= 4)

12 8( ) ( )n n

=

2. ถา ,

3, 024n r

P = และ ,

126n r

C = แลว

1) 10

1( )r + 2) 9

1( )r -

3. ถา 18 18

2( ) ( )r r=

+ แลว จงหา

1) ,5r

C 2) 1, 3r

P+

4. กลองใบหนงมลกบอลทแตกตางกน 11 ลก เปนสแดง 5 ลก สขาว 3 ลก และสน าเงน 3 ลก ถาตองการหยบลกบอลออกมา 3 ลก จงหาจ านวนวธการหยบ เมอ

1) ไดครบทกส 2) ไดสแดงอยางนอย 1 ลก 3) ไดสน าเงนอยางนอย 1 ลก แตไมไดสขาว

5. มโจทยคณตศาสตร จ านวน 10 ขอ นายแดงตองการท าขอสอบชดนใหครบ 7 ขอ นายแดงจะมวธเลอกขอสอบทงหมดกวธ เมอ

1) เลอกท า 2 ขอ จาก 3 ขอแรก ทเหลอเลอกจากขอสอบ 7 ขอหลง 2) ตองท า 2 ขอแรก 3) ตองท าอยางนอย 2 ขอ จาก 3 ขอแรก และท าอยางนอย 1 ขอ จาก 2 ขอหลง

6. มจดในระนาบจ านวน 10 จด ในจ านวนนมจด A และ B รวมอยดวย และไมมสามจดใดอยบนเสนตรงเดยวกน จงหาจ านวนรป

1) สามเหลยมซงม A เปนจดมมจดหนง 2) สามเหลยมซงไมม A เปนจดมม 3) สามเหลยมซงม A หรอ B เปนจดมม

7. ในการเลอกตงผแทนราษฎรของจงหวดหนง ซงมผแทนได 3 คน ปรากฏวามพรรคการเมองสงผสมคร 6 พรรค โดยม 3 พรรคเทานนทสงผสมครครบ 3 คน สวนอก 3 พรรค สงผสมครเพยงพรรคละ 2 คน จงหาจ านวนวธเลอกผแทนทง 3 คน โดยทอยตางพรรคกนทง 3 คน

8. ไพส ารบหนงม 52 ใบ แบงเปน 4 ชด (โพด า โพแดง ดอกจก ขาวหลามตด) แตละชดม 13 แตม จงหาจ านวนวธการหยบไพตามเงอนไขตอไปน

1) หยบไพ 4 ใบ โดยไดไพครบทกชด 2) หยบไพ 3 ใบ ไมซ าชดกนเลย 3) หยบไพ 3 ใบ แตมไมซ ากนเลย 4) หยบไพ 4 ใบ ซงไดไพ 2 ชด

9. มตวอกษรภาษาองกฤษทแตกตางกน 10 ตว ในจ านวนนเปนสระ 4 ตว ถาตองการน าตวอกษรเหลานมาสรางค า ซงไมจ าเปนตองมความหมาย ประกอบดวยตวอกษร 6 ตวไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกค า เมอ

1) มจ านวนพยญชนะและสระเทากน 2) มจ านวนพยญชนะมากกวาจ านวนสระ 3) มสระ 2 ตว และสระทงสองตวอยแยกจากกน

10. นกเรยนกลมหนงจ านวน 10 คน ในจ านวนนมมานะ ปต และวระ รวมอยดวย ถาตองการน านกเรยนมา 7 คน เพอนงบนเกาอ 7 ตว จะมวธการนงทงหมดกวธ เมอตองการใหในจ านวน 7 คนนน มมานะ ปต และวระรวมอยดวย และคนสามคนนนงตดกนเพยง 2 คน โดยท

1) เกาอวางเรยงเปนแถวยาว 2) เกาอวางเรยงเปนวงกลม

11. ในการสมภาษณผสมครเขาท างานของส านกงานแหงหนง มผสมครชาย 5 คน หญง 5 คน ถาผสมภาษณตดสนใจเรยกผสมครมาสมภาษณเพยง 5 คน โดยเลอกชาย 3 คน หญง 2 คน จากผสมครทงหมดอยางสม เขาจะมวธจดล าดบของการเขาสอบของผสมครทง 5 คนไดกวธ โดยให

1) ผสมครทเปนชายจะเขาสอบตดตอกนทเดยวทงสามคนไมได

๒) ผสมครทเปนหญงจะเขาสอบตดตอกนทเดยวทงสองคนไมได ๓) ผสมครทเปนชายและหญงไดเขาสอบสลบกนทละคน

12. มผชาย 6 คน และผหญง 6 คน ในจ านวนนมสามภรรยา 1 ค ถาเลอกผชาย 4 คน และผหญง 4 คน จากคนทงหมดน เพอไปนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธการนงกวธ เมอ

๑) ชายและหญงนงสลบกนทละคน ๒) ผหญงทกคนนงแยกจากกน ๓) ผหญงทกคนนงตดกน

13. นกกฬาเทนนส 9 คน ถกแบงเปน 3 กลม กลมละ 3 คน เพอไปแขงทสหรฐอเมรกา องกฤษ และฝรงเศส จะแบงไดกวธ

14. นกเรยน 7 คน เขาหองพก 3 หอง ซงมขนาด 3, 2, 2 คน แตละหองถอวาตางกน จะจดไดกวธ 15. นกเรยนหองหนงจ านวน 30 คน ในจ านวนนมพนองฝาแฝดอย 1 ค ตองการเลอกกรรมการหอง 4

ต าแหนงตางๆ กน ต าแหนงละหนงคน โดยทฝาแฝดผพบอกวาถาเขาไดรบเปนกรรมการหอง ฝาแฝดผนองตองไดรบเปนกรรมการดวย และถาเขาไมไดรบเปนกรรมการ ฝาแฝดผนองกตองไมไดรบเปนกรรมการดวย เมอเปนเชนนจะมวธการเลอกกรรมการหองไดกวธ

16. มลกอมทเหมอนกน 9 เมด ตองการแบงใหเดก 3 คน ตามเงอนไขตอไปน จะไดกวธ 1) ทกคนตองไดรบ (อยางนอยคนละ 1 เมด) 2) บางคนอาจจะไมไดรบ

1.4 ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)

ทฤษฎบททวนาม ถา x และ y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว

1( ) ... ...0 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n r r nn n n n

x y x x y x y yr n

- -+ = + + + + +

Note:

*

จ านวน , , , ..., , ...,0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n

r n ทเปนสมประสทธของแตละพจนในการกระจาย

( )nx y+ เรยกวา สมประสทธทวนาม ในการกระจาย ( )nx y+ เมอ {0,1,2, ...}n Î สมประสทธของแตละพจนแสดงไดดงน การกระจาย สมประสทธ

0( )x y+ 0

0( )

1( )x y+ 1

0( ) 1

1( )

2( )x y+ 2

0( ) 2

1( ) 2

2( )

3( )x y+ 3

0( ) 3

1( ) 3

2( ) 3

3( )

4( )x y+ 4

0( ) 4

1( ) 4

2( ) 4

3( ) 4

4( )

การเรยงสมประสทธขางตน เรยกวา สามเหลยมปาสคาล (Pascal’s triangle)

ตวอยาง ๑.๔.๑ จงกระจาย 4( 3 )x y+ โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า

แลวสามเหลยมปาสคาลมสงทนาสนใจเพมเตมมากกวานอกไหมนะ

ขอสงเกต เมอ n เปนจ านวนเตมบวก จะพบขอสงเกตจากการกระจาย ( )nx y+ ดงน 1. จ านวนพจนทไดจากการกระจายเทากบ n + 1 พจน

2. พจนแรกอาจเขยนไดวา 0

0( ) nn

x y และพจนสดทายอาจเขยนไดวา 0( ) nn

x yn

3. เลขชก าลงของ x ในแตละพจน จะเรมจากก าลง n และลดลงทละ 1 จนกระทงพจนสดทายจะเปนก าลง 0

4. เลขชก าลงของ y ในแตละพจน จะเรมจากก าลง 0 และเพมขนทละ 1 จนกระทงพจนสดทายจะเปนก าลง n

๕. ในแตละพจนของการกระจาย ผลบวกของเลขชก าลงของ x และ y จะเทากบ

n เสมอ

ตวอยาง 1.4.2 จงกระจาย 2 6(3 2 )a b+ โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า

ตวอยาง 1.4.3 จงกระจาย 3 5( 3 )m n- โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า

ตวอยาง 1.4.4 จงกระจาย 6 6( ) ( )x y x y+ + - โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า

ตวอยาง 1.4.5 จงกระจายและท าใหเปนผลส าเรจ 1) 4 4( ) ( )x y x y+ + -

2) 5 5( ) ( )x y x y+ + -

3) 6 6( ) ( )x y x y+ - -

4) 7 7( ) ( )x y x y+ - -

วธท า

จากตวอยาง ๑.๔.๔ พบวา หลงจากการกระจาย และท าใหเปนผลส าเรจของ ( ) ( )n nx y x y+ + - แลวจะไดผลลพธเทากบสองเทาของผลบวกของพจนทอยในต าแหนงเลขคของการกระจาย ( )nx y+ เทานน

ในท านองเดยวกน ( ) ( )n nx y x y+ - - จะไดผลลพธเทากบสองเทาของผลบวกของพจนทอยในต าแหนงเลขคของการกระจาย ( )nx y+

ในบางครง เราตองการพจนใดพจนหนง เพยงพจนเดยวซงไดจากการกระจาย ( )nx y+ เราไมจ าเปน ตองกระจายกอน แลวจงคอยหาพจนทตองการ เพราะจะท าใหเสยเวลา เรามวธการหาพจนเดยวทตองการได ดงจะกลาวตอไปน

พจารณา 0 1 2 2 0( ) ...0 1 2( ) ( ) ( ) ( )n n n n nn n n n

x y x y x y x y x yn

- -+ = + + + +

พจนท 1 พจนท 2 พจนท 3 พจนท n + 1

ถาให r

T แทนพจนท r จะไดวา

( 1) 1

1( ) n r r

r

nT x y

r

- - -=-

หรอ 1 ( ) n r r

r

nT x y

r

-

+=

ตวอยาง 1.4.6 จงหาพจนท 7 จากการกระจาย 11(2 )x y- วธท า ตวอยาง 1.4.7 จงหาพจนกลางจากการกระจาย 8(2 3 )x y- วธท า

ตวอยาง 1.4.8 จงหาพจนท 9 จากการกระจาย 8

1

2

x

x

วธท า

ตวอยาง 1.4.9 จากการกระจาย 2 11( )p q- จงหา

1) พจนทมตวแปร 10p

2) พจนทมตวแปร 7q วธท า

ตวอยาง 1.4.10 จงหาพจนทไมมตวแปร x จากการกระจาย 9

2 1

xx

วธท า

ตวอยาง 1.4.11 จากการกระจาย 6

2

3

2

1

xx จงหา

1) สมประสทธทวนามของพจน 5x -

2) สมประสทธของพจน 5x - วธท า

ตวอยาง 1.4.12 จากการกระจาย 6(2 3 )x y+ จงหา

1) ผลบวกของสมประสทธทวนามของทกพจน 2) ผลบวกของสมประสทธของทกพจน

วธท า

ตวอยาง 1.4.13 จากการกระจายและท าใหเปนผลส าเรจของ 2 3 4 5(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )x x x x x- + - + - + - + -

จงหา

1) สมประสทธของพจน x

2) สมประสทธของพจน 3

2x วธท า