敎育學 碩士學 位 請求 論文

중등수학교육과정에 나타난 대수학의 이해

A n ot e on s om e t opic s in ab s trac t alg ebra

re late d t o th e h ig h s ch oo l m athem atic s

200 1년 2월

仁荷 大 學校 敎 育大 學 院

數 學敎 育 專攻

金 元 根

敎育學 碩士學 位 請求 論文

중등수학교육과정에 나타난 대수학의 이해

A n ot e on s om e t opic s in ab s trac t alg ebra

re late d t o th e h ig h s ch oo l m athem atic s

200 1년 2월

指導 敎 授 朴 濟 男

이 논 문 을 석사 학 위 논 문 으로 제 출 함

仁荷 大 學校 敎 育大 學 院

數 學敎 育 專攻

金 元 根

본 論文을 金元根의 碩士學位 論文으로 認定함 .

2000년 12월

主審 :

副審 :

副審 :

목 차

Ⅰ. 서 론

A . 연구의 필요성 및 목적 ............................................................. 1

B. 향후 방향 .................................................................................... 2

Ⅱ. 내용 및 이론적 배경

제 1장. 인수분해

§1. 인수분해의 정의와 중등 수학에서의 의미

1) 전개와 분해의 정의 .............................................................. 3

2) 소수의 지도방안 .................................................................... 4

§2. 유크리드 호제법과 중등수학에서의 의미

1) 최대공약수 ............................................................................. 10

2) 유리수와 무리수의 분류 .................................................... 12

제 2장. 다항식과 방정식

§1. 다항식

1) 다항식의 대수적 정의 ........................................................ 16

2) 다항식의 인수분해와 그 의미 ......................................... 16

3) n차원 실수벡터공간으로서 다항식 .................................. 16

§2. 일 이차다항식

1) 최적화 (date fitting, 이·삼변수함수의 최소값 결정) .... 18

§3. 방정식과 판별식

1) 중등 수학에서의 방정식과 판별식의 의미 ................... 20

ⅰ

제 3장. 수의 체계

§1. 중등 수학에서의 체

1) 수집합에서의 닫힌연산 ................................................... 28

2) 작도 가능한 수집합 ......................................................... 29

§2. 대수적 의미에서의 수체계의 확장

1) 유리수체 .............................................................................. 30

2) 실수체 .................................................................................. 32

3) p- 진수 ................................................................................. 33

4) 복소수, 사원수, 행렬 ....................................................... 36

Ⅲ. 결론 및 제언 ......................................................... 40

참고문헌

ⅱ

국 문초 록

본 논문은 중등수학 교육과정에 나타난 대수학의 이론과 의미를 알아보았

다. 주요 대상 분야는 인수분해, 다항식, 그리고 체이다.

인수분해에서는 분해의 정의를 가환대수에서 찾았고 유크리드 호제법을

유리수와 무리수의 분류에 사용되는 연분수 개념으로 옮겨가 알아보았고 다

항식에서는 실가 벡터공간으로서의 역할에 대하여 내적에 기초를 둔 사영의

방법과 결과를 소개하였다. 그리고 체에서는 중등과정에서의 닫힌연산의 의

미, 실수체를 만드는 방법, 절대값 개념이 일반화되어 만들어지는 p- 진체, 그

리고 유리수체, 실수체, 사차원수체에 대하여 자세히 알아보았고 이들을 일반

화한 행렬환에 대하여 고찰하였다.

iii

Ⅰ서 론

A . 연구의 필요성 및 목적

현대 사회는 급속히 빠른 속도로 변하고 있으며, 그에 따른 정보의 양도 엄청나

게 늘어나고 있다. 이런 정보를 효율적으로 처리하기 위해서는 컴퓨터의 기능을

알고 활용 능력을 갖고 있으면 무척이나 좋을 것이라 생각한다. 그러나 그에 못

지 않게 많은 정보를 효율적으로 활용하기 위해서는 보다 종합적이고 논리적인

사고력이 필요하다고 본다. 이에 수학과목은 단순한 사칙 계산만이 아니라 우리

가 얻은 정보를 체계적으로 관리하기 위해서는 곡 필요한 과목이라고 할 수 있

다. 수학 과목의 성격을 살펴보면 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 이해하고

사물의 현상을 수학적으로 관찰하여 해석하는 능력을 기르며, 실생활의 여러 가

지 문제를 논리적으로 사고하고 합리적으로 해결하는 능력과 태도를 기르는 교

과라고 되어있다. 그런데 현재 우리 나라의 교육은 교과의 본질적 성격에 접근

하지 못한 실정이고, 그 중에서도 수학과목은 자연 현상이나 과학적 관찰을 논하

기보다는 단편적 지식을 적용하여 문제 풀이에만 치중하는 입시 위주의 교육이

수행되어 수학과목의 본질에서 너무나 멀리 떨어져 있고 학습의 양이 방대한 나

머지 많은 학생들이 너무나 쉽게 수학을 포기하고 있는 상태이다. 학교 현장에서

수업이란 교사가 주체가 되어 학생들이 배울 내용을 가르치며 학생은 이를 가능

한 한 많이 습득하는 관계가 당연시되어 왔다. 그런데, 현재 중등과정에서의 수

학과목 내용은 철저한 위계성을 갖고 있어, 이전 과정의 학습을 잘 알고 있어야

하며, 또한 학생 개개인의 학습능력은 무시된 상태로 수업이 진행되어 대다수의

학생들이 점차 수학과목에 대한 흥미가 줄어들고 관심 밖의 일로 되어 가고 있

다.

이러한 문제점을 조금이나마 해결하기 위해 이제는 수학과목이 단순한 지식의

습득보다는 학생들이 흥미를 갖고 학습에 참여할 수 있도록 도와주어야 하며 현

실 생활에서 수학이 눈에 보일 수 있는 과제로서 실용화 될 수 있어야함은 무엇

- 1 -

보다 중요하고 시급하다. 그런 연후에 학생 스스로가 문제를 찾아 제시하고 이를

해결해 보려는 과정을 중시하는 자발적인 사고와 창의력 향상에 목표를 두어야

한다. 이에 본 논문에서는 중등과정에서의 정의 내용을 살펴보고, 이러한 내용

을 폭 넓게 이해하기 위하여 대학 과정의 내용을 중등과정의 수준에 도입될 수

있는 것으로 보충하여 설명해 보았다. 이러한 과정이 수학의 모든 단원에 적용되

면 교사들이 중등 과정을 설명하는데 있어 커다란 도움이 될 것이라고 생각한다.

따라서 대학 과정 중에서 중등과정에 필요한 부분을 활용 할 수 있도록 이를

제시하고자 하였다.

B. 향후 방향

현재 고등학교 과정에서는 극한을 수학적으로 정의하지 못한 상태에서 그래프

를 이용한 시각적 의미에서 추상화한 극한값을 구하고, 극한에 관한 기본 성질을

사용하고 있다. 미분 또한 극한을 이용하여 간단하게 정의하고, 적분을 미분의

역 연산으로서 나타내고 있다. 따라서, 극한이나 미분, 적분에 관하여도 대학

과정을 도입한 쉬운 예로써 접근 할 수 있는 이론, 또 이차원 평면이나 삼차원

공간 도형까지도 쉽게 설명할 수 있도록 연구해 보았으면 한다.

앞으로 7차 교육 과정이 도입되면 국민 공통과정의 교과 과정도 중요하겠지만

선택 과목을 신청하는 학생들에게는 실용수학 뿐만이 아니라 미분이나 적분에

대한 깊이 있는 내용이 필요할 것으로 생각된다. 이외에도 수준별 학습과정에서

높은 수준에 도달한 상반의 학생인 경우 이를 활용할 수 있을 것이다. 보충·심

화과정이나 특기적성교육을 위한 교재로서 고등학교의 내용을 벗어나 대학과정

을 공부해 봄으로써 수학에 대한 관심을 끌어내는데 활용할 가치가 있다고 여기

며 해석학이나 기하학 분야에서도 교사들이 많은 연구를 할 수 있도록 앞으로의

과제로 제시하고자 한다.

- 2 -

제 1 장 인 수 분 해

§1. 인수분해의 정의와 중등수학에서의 의미

1. 전개와 분해의 정의

1) 중등과정의 내용

중학수학에서는 단항식과 다항식의 곱셈을 분배법칙을 이용하여

( - 2x + 3y - 4 ) 4x = ( - 2x ) 4x + 3y 4x - 4 4x

= - 8x 2 + 12xy - 16x

와 같이 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다고 하고, 전개하여 얻은 다항

식을 전개식이라 한다. 또한, 고등학교수학에서는

(1) 교환법칙 A B = B A

(2) 결합법칙 (A B ) C = A ( B C)

(3) 분배법칙 A ( B + C) = A B + A C

의 다항식의 연산법칙을 이용하여 몇 개의 다항식의 곱으로 된 식을 하나의 다

항식으로 나타내는 것을 그 다항식을 전개한다고 하였다.

따라서, 전개란 두 개이상의 다항식을 연산법칙을 이용하여 하나의 다항식으로 나

타내는 것을 말한다. 또한 중학교 수학에서는 곱셈공식 (x + 2) (x + 3 ) = x 2 + 5x + 6

이므로 좌변과 우변을 바꾸어 놓으면 x 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3 ) 이므로 하나의

( x + 2 )와 ( x + 3 )을 다항식 x 2 + 5x + 6의 인수라고 한다. 다항식을 두 개 이

상의 인수의 곱의 꼴로 나타내는 것을 그 다항식을 인수분해 한다고 하였다.

고등학교 수학에서는 3x 2 + 5x - 2 = ( 3x - 1) ( x + 2) 와 같이 하나의 다항식

을 두 개이상의 다항식의 곱의 꼴로 나타내는 것을 인수분해 한다고 하고, 곱을

나타내는 각 다항식을 그 다항식의 인수라고 한다. 이것은 수를 분해하여 수의

약수, 약수의 개수, 약수의 합 등을 알 수 있고, 다항식에서는 연산을 이해하는데

도움을 준다고 생각된다.

- 3 -

2) 이론

정의 1 .1 a , b Z 에 대하여 b = a c 인 정수 c 가 존재하면 a 를 b 의 약수

또는 인수라 하고 이것을 a b 로 나타낸다. 이때 a 는 b 를 나눈다. 또는 b 는

a 로 나누어 떨어진다고 말하며, 또 b 를 a 의 배수라 한다.

정리 1 .2 a b이고 a c이면, 임의의 x , y Z 에 대하여 a ( bx + cy ) 이다.

(증명 ) 가정에 의하여 b = ad , c = ae인 정수 d 와 e가 존재한다. 이 때

bx + cy = a d x + a e y = a ( d x + e y )이고, d x + e y Z이다. 따라서

a ( bx + cy ) .

정리 1.3 a Z , a 0 일 때 a b 이고 a c 이면, a ( b + c ) 이고

a ( b - c ) 이다.

(증명 ) 가정에 의하여 b = ad , c = ae 인 정수 d와 e 가 존재한다. 이때

b + c = a d + a e = a ( d + e ) 이고 d + e Z . 또 b - c = a d - a e

= a ( d - e ) 이고 d - e Z 이다. 따라서 a ( b + c ) 이고 a ( b - c ) 이다.

2. 소수의 지도

1) 중등과정

중학교수학에서는 1을 제외한 자연수 중에서 1과 자신만을 약수로 가지는

수를 소수라 하고, 1과 그 자신 이외에 또 다른 약수를 가지는 수를 합성수라

한다. 이것은 소인수 분해를 하기 위하여 구하는 것이며, 구하는 방법으로는

① 1은 소수가 아니므로 지운다.

② 다음에는 소수 2를 남겨 놓고 2의 배수들을 모두 지운다.

③ 다시 소수 3을 남겨 놓고 3의 배수를 모두 지운다.

이와 같은 방법으로 소수를 구한 방법을 에라토스테네스의 체 라고 한다.

- 4 -

그런데 비교적 작은 수에서는, 그 계산은 인간의 손에 의해서도 실행되어 소수

를 구할 수 있겠지만 큰 수가 되면 인간의 손으로는 어쩔 수가 없다, 오늘날에는

컴퓨터가 인간의 손으로 할 수 없는 계산을 해 주고 있고 더욱이 고도의 현대

수학을 이용한 소수 판정법 등도 여러가지 개발되었지만 지극히 큰 자연수가 되

면, 그것이 소수인가 합성수인가의 판단은 오늘날에는 역시 어려운 일이다. 여기

에서는 소수의 특성을 알고, 소수가 얼마나 많이 존재하는가에 대하여 생각해 본

다.

정리 1 .4 . 소수는 무한히 존재한다.

(증명 ) 결론을 부정하여 소수가 유한 개라 가정하고 최대인 소수를 P라 하자.

이때 모든 소수 1,2,3,7,. . . . , P의 곱에 1을 더한 수를 a 라 하면

a = ( 2 3 4 P ) + 1이다.

이때 a 는 P보다 크기 때문에 소수가 아니다. 즉 a 는 합성수이다. 따라서 a

는 소수의 곱으로 분해되어야 한다. 그런데 a 는 모든 소수 인 2, 3, 5, 7, . . .

., P의 어느 것으로도 나머지가 1이 남기 때문에 나누어 떨어지지 않는다. 따

라서 이것은 모순이고 소수가 유한 개라는 가정에 모순되어 소수는 무한히 존재

한다.

2) 이론을 이용한 지도

정리 1 .5 . 10자리인 소수를 일분에 하나씩 모두 찾아내는데 769年이 허비된다.

(증명 ) 양의 정수 n 에 대하여 ( n )을 n 이하인 소수의 개수라 하자. 즉,

( n ) =p n

1.

약 100年 전 독립적으로 Hadam ard (1896), Pou ssin (1896)은 소수정리(pr im e

number theorem )로 불리는 ( n ) n / ln n , ( n )를 보였다. 이는 n 이 무한히

증가할 때, 두 함수의 비율

( n ) / ( n / ln n )

이 1로 수렴함을 의미한다. 즉

- 5 -

limn

( n )n / ln n

= 1 .

물론 이 정리는 본질적으로 n 번째 소수를 p n 으로 표시했을 때,

p n n / ln n , ( n )

와 동치이다. 한편, P . L . Cheby shev (1852)는 충분히 큰 n 에 대하여 부등식

(1- 1) 0 .9 nln n

< ( n ) < 1 . 1 nln n

을 보였다. 정확히 10자리로 이루어진 소수의 개수는

( 10 10 ) - ( 10 9 )

이고 식 (1- 1)에서

(1- 2) 0 .9 10 9

9 ln 10< ( 10 9 ) < 1 . 1 10 9

9 ln 10,

(1- 3) 0 .9 10 10

10 ln 10< ( 10 10 ) < 1. 1 10 10

10 ln 10

를 얻는다. 따라서 식 (1- 2)와 (1- 3)을 결합하면 부등식

(1- 4) 3 .378 10 8 < ( 10 10 ) - ( 10 9 ) < 4 .343 10 8

를 얻는다. 이제 10 10 - 10 9 = 9 10 9개의 10자리 수들 중에서 소수를 일분에 하

나씩 족집게로 집어내도 대략 4 .04 10 8개의 소수를 찾아내려면 1年은

5 .256 10 5分이므로 768 .645年이 소모된다.

참고 . i) 10 10 - 10 9 = 9 10 9개의 10자리 수들을 처음부터 하나씩 Maple을 이용

하여 다음과 같이 판정할 수 있다.

> isprim e (1000000001);false

> isprim e (10^9 + 9);true

> isprim e (1000003751);true

- 6 -

> isprim e (1000005891);false

> isprim e (10^10 - 33);true

ii) 실제

( 10 9 ) = 50 , 847 , 534, ( 10 10 ) = 455 , 052 , 511

이며, 따라서 정확히 10자리로 이루어진 소수의 총 개수는

( 10 10 ) - ( 10 9 ) = 404 , 204 , 977 이다.

iii) 충분히 큰 n 에 대하여 n 보다 작은 모든 소수를 곱하면 다음 부등식

2 n <p n

p < ( 13/ 4) n

을 얻는다.

따라서 정확히 열자리인 ( 10 10 ) - ( 10 9 ) = 404 , 204 , 977개의 소수들의 곱이

( 13 2 8) 10 10

를 넘지 못함을 보일 수 있으며 소수정리를 이용하여 정확히 100자리

로 이루어진 소수의 총 개수를 대략

( 10 100 ) - ( 10 99 ) = 10 100

100 ln 10- 10 99

99 ln 103 .904263524 10 97 (개)

로 추정할 수 있다. 일초에 하나씩 모두 속아내는데 걸리는 시간(年)을 계산하면

대략 1 .238 10 90年을 얻지만 우주(univ er se)의 나이가 대략 1 .5 10 10年이므로

우리는 위 숫자 3 .904263524 10 97를 도저히 상상할 수 없다. 이제 100자리의 모

든 소수를 한번 일렬로 써보자. 우리가 사용하는 자는 1(mm )를 기본 표시로 하고

있다. 숫자를 쓸 때, 자의 각 눈금 안에 100자리 소수를 하나씩 차례로 구겨 집어

넣으면 그 길이는 대략 3 .904 10 97 (mm )이다. 이 길이를 光年으로 환산하자. 빛

의 속도는 3 10 8 (m/ s )이므로 1光年은

3 10 8 3 . 15360 10 7 10 3 9 .46080 10 18 (mm )

이다. 따라서 100자리 소수 하나 하나를 1mm로 하여 직선으로 나열하면 그 길이는

- 7 -

4 . 12678 10 78 (光年)

이다. 한편, 빅뱅(Big Bang ) 이후 빛이 퍼져나간 거리는 1.5 10 10 (光年)이다. 이

미 언급했듯이 100자리의 모든 소수는 대략 3 .904 10 97개이다. 이제 이 숫자들을

우주 공간에 뿌려보자. 만일 100자리 소수 하나가 차지하는 체적을 1입방 밀리미

터( m m 3 )라 가정하고 그들이 이루는 체적을 세제곱 밀리미터로 표시하면

3 .904 10 97 10 - 9 = 3 .904 10 88 ( m m 3 )

이다. 우주의 나이와 빛의 속도를 이용하면 우주(3차원 공간은 아니며 모양이 구

에 가깝다고 볼 수 있다. 편의를 위하여 정육면체로 가정하자.)의 체적이 대략

[ 2 {( 1 .5 10 10) (3 . 15360 10 7) s ec } (3 10 8m / s ec ) ] 3

2 .28637 10 79 ( m m 3 )

으로 계산된다. 그러므로 우리의 우주는 단지 100자리만으로 이루어진 모든 소수

들을 품기에도 너무 좁다.

정리 1 .6 . 92자리 이하의 모든 소수는 우리의 우주를 꽉 채우고도 남는다.

(증명 ) 각 소수의 체적을 1( m m 3 ) 로 했을 때, 다음을 만족하는 n 을 구해보자.

(1- 5) ( 10 n ) ( m m 3 ) = 우주의 체적( m m 3 ).

식 (1- 5)를 소수정리와 우주의 체적을 동일 단위( m m 3 )를 사용하여 같이 놓으면

(1- 6) 10 n

n ln 10= 2 .28637 10 79 10 9

이다. 등식 (1- 6)을 정돈하면

(1- 7) 10 n

n= 5 .26456 10 89

이다. 위 등식으로부터 n 은 89근처의 정수이다. n = 91 , 92을 식 (1- 7)에 대입

하면 각각10 9 1

911 .098 10 89, 10 92

9210 .869 10 89

을 얻는다. 따라서 우주에서 91자리 소수들은 막 팽창을 완료하였고 92자리 소수

들은 계속 팽창되고있다.

- 8 -

엄청난 에너지를 갖고있는 한 점이란 무엇인가? 이를 숫자로 생각하면, 예를

들어, 6은 2의 배수이고 따라서 배수인 6은 그의 약수인 2보다 더 큰 에너지를 갖

고 있다. 이제 영(0, zero)은 모든 수의 배수1) 이므로 영이 갖고있는 에너지는 상

상할 수없이 크다. 정리 1.6과 영은 모든 수의 배수라는 성질을 이용하면 다음 정

리를 얻는다.

정리 1 .7 . 우주는 약 150억年 전 한 점 영(0, zero)이 엄청난 폭발을 일으킨 후 소

수가 팽창을 계속하고 있다.

(증명 ) 영(0, zero)의 폭발 순간에서 10 - 43초 사이에 모든 한 자리 소수가 형성되

었으며 이때의 온도는 10 33 K (Kelvine)이상 이었다. 한편, 10 - 43초에서 10 - 35사이

에서는 두 자리까지의 소수로 우주는 팽창되었으며, 이 때의 온도는 10 32 K로 낮

아졌다. 현재까지는 정리 1.6에 의하여 91자리 소수들이 막 팽창을 완료하였고, 92

자리 소수들이 팽창을 계속하고 있다.

따름정 리 1 .8 . 93자리 소수란 물리적으로 존재하지 않는다.

(증명 ) 정리 1.6에 의하여 현재의 우주는 아직 92자리 소수까지는 팽창되지 않았

고 따라서 소수는 92자리 소수의 일부이다. 그러므로 93자리 소수란 물리적으로

존재하지 않는다.

1) 현행 중등과정에서는 약수와 배수를 자연수집합(양의 정수 집합) 범위에서 다루므로 0은 모든 수의 배수이다 는

제외된다. 만일 중학교(1학년) 과정에서 약수와 배수관계를 정수집합 전체에서 정의한다면 음의 소수까지도 도입

해야하며 따라서

- 6 = ( - 3) 2 = 3 ( - 2)로 너무나도 못생긴 소인수분해를 인정하여야한다. 이러한 번거로움을 피하기 위하여 현행 중등과정에선 자연

수 집합으로 그 범위를 제한한다고 사료된다. 특히 배수개념은 학생들에게 크기개념을 은연중에 부과함으로 0이

6의 배수라고 한다면 학생들의 대소개념은 매우 혼란에 빠질 수 있다. 그러나 가환대수 입장에서 0은 모든 수의

배수이다 는 지극히 자연스런 정의이다. 왜냐하면 이데알(ideal)의 시각에서 임의의 정수 n 에 대하여 0Z n Z

이기 때문이다. 일반적으로 m 이 n 의 배수란 집합으로서 m Z n Z 와 동치이다.

- 9 -

§2. 유크리드 호제법과 중등수학에서의 의미

1. 최대공약수

1) 중등과정의 내용

12의 약수의 집합을 A , 16의 약수의 집합을 B라 하면

A = 1, 2, 3, 4, 6, 12 , B = 1, 4, 6, 8, 16

따라서 A 와 B의 교집합 A B = 1, 2, 4 이고, 이것은 12의 약수이면서

16의 약수와 원소로 이루어진 집합이다. 이 집합의 원소 중 가장 큰 원소는

4이다. 이와 같이, 2개 이상의 자연수의 공통인 약수를 그 수들의 공약수라

하고, 공약수 중에서 가장 큰 수를 최대공약수라 한다. 그런데 두 개의 양수

a , b 의 최대공약수를 구하는 데에는 앞에서처럼 a , b 를 소인수 분해하게

된다. 이때 두 양수 a , b 의 최대공약수를 구하는 방법으로 유클리드의

호제법 이 있다.

정리 1 .9 유클리드의 호제법

두 양수 a , b의 최대공약수를 구하라.

증명 ) a b이고 a를 b 로 나눈 몫을 q, 나머지는 r 이라 하자 즉,

a = bq + r , 0 r〈b

라 하자. 이때 r = 0 이면 a가 b로 나누어 떨어지므로 b가 a와 b의 최대공약수이

다. 만약 r 0이면 r = a - bq 이므로 e 를 a와 b의 임의의 공약수라 하면 a - bq

는 e 로 나누어 떨어지므로 r 이 e 로 나누어 떨어진다. 따라서 e는 b와 r 의 공

약수이다. 한편, e '을 b , r 의 임의의 공약수라 하면, a = bq + r 이라는 식에서 e '

은 a를 나누어 떨어지게 하고, 따라서 e '는 a , b의 공약수가 된다. 따라서, a 와 b의

공약수는 b 와 r 의 공약수이고 역으로 b와 r의 공약수는 a와 b의 공약수가 된

다. 즉, ( a , b의 최대공약수) = ( b, r 의 최대공약수)임을 알 수 있다. 다음에 b를 r

로 나눈 나머지를 r 1 이라 하고, 위에서와 같은 형태를 r 1 = 0이면 r이 b 와 r

의 최대공약수이고, r 1 0 이라면

( a , b 의 최대공약수) = ( b, r의 최대공약수)

- 10 -

= ( r , r 1 의 최대공약수)

가 된다. 이 방법을 나누어 떨어질 때까지 계속하면, 유한번의 나눗셈에 의하여 반드

시 a , b 의 최대공약수를 구할 수 있다.

2) 이론

정의 1 .10 정수 a , b에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 음이 아닌 정수 d 를

a 와 b 의 최대공약수 (grea stest com m on divisor )라 하고, 이것을 ( a , b )로

나타낸다.

ⅰ) d a 이고 d b

ⅱ) e a 이고 e b 이면 e b

정리 1 .1 1 정수 a , b , c , q 사이에 등식 b = a q + c 가 성립하면

( a , b) = ( a , c)

(증명 ) 관계식 c = a ( - q ) + b 와 b = a q + c 에서 정리 1.2를 적용하면

e a 이고 e b e a 이고 e c

따라서 정의 1.9를 쓰면 ( a , b) ( a , c )와 ( a , c) ( a , b )를 얻는다.

이로부터 ( a , b) = ( a , c )를 얻으므로 ( a , b) = ( a , c ) 이다.

정리 1 .12 a , b Z 일 때 a 와 b 의 최대공약수 ( a , b)는 존재하고,

유일하다. 또한 ( a , b ) = a s + b t 인 정수 s , t 가 존재한다.

(증명 ) S = { a x + by x , y Z } 라 하자. 이 때,

a = a 1 + b 0 S , b = a 0 + b 1 S

특히, S 0 이다. 집합 S 의 원소 u 1 , u 2 를 택하면

u 1 = ax 1 + by 1 , u 2 = ax 2 + by 2인 정수 x 1 , y 1 , x 2 , y 2가 존재한다. 따라서

u 1 + u 2 = a (x 1 + x 2 ) + b (y 1 + y 2 ) S

u 1 - u 2 = a (x 1 - x 2 ) + b (y 1 - y 2 ) S이다. 그러므로 S = d Z 인 정수

- 11 -

d 0 가 존재한다. 이 때, d S 이므로, 적당한 정수 s 와 t 가 존재하여

d = a s + b t 로 표시된다. 이제 d 가 ( a , b) 임을 보이자. 먼저 a S ,

b S 이므로 d a 이고 d b .또 e a 이고 e b 이면 e d 이다. 따라서

d = ( a , b) 이다. 끝으로 유일성을 보이면 d 1 및 d 2가 정의 1.9를 만족한다고

하자. 이 때 d 1 d 2 이고 d 2 d 1 이므로 d 1 = d 2 이다. 한편 d 1 0 , d 2 0

이므로 d 1 = d 2 이다.

2. 유리수와 무리수의 분류

1) 중등과정

중학교수학 1 에서는 ½, ¾, - ¾ 과 같이 분모( 0이 아님), 분자가 모두 정수

인 분수로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 했으며, 수학 2 에서는 a , b가 정수이

고 b 0 일 때, 분수ab

로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 하였다. 또, 분

수를 소수로 나타내었을 때, 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수를 유

한 소수라 하고, 유한 소수가 아닌 소수를 무한 소수라 한다. 한편, 0.333 . . . . ,

0.424242 . . . . 와 같이 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이

한없이 되풀이되는 무한 소수를 순환 소수라고 한다. 이때, 유한 소수는 분수로

나타낼 수가 있다.

예제 1 .13 순환소수 0 .4 1 9를 분수로 나타내어라.

(풀 이 ) 0 .4 1 9를 χ 라 하면 χ 0.4191919 - - - - - ①

① 의 양변에 10을 곱하면 10χ 4.1919 - - - - - ②

② 의 양변에 다시 100을 곱하면 100χ 419.1919 - - - - - ③

순환하는 부분을 없애기 위하여 ③에서 ②를 빼면 990χ 415이고

χ9904 15

= 19883

중학교 수학 3에서는 순환하지 않는 무한 소수를 무리수라고 하였다.

- 12 -

2) 이론

연속된 분수를 사용하여 무리수를 연분수로 접근해보자. 이 과정은 유리수와

무리수의 완전한 차이점을 보여준다. 양의 유리수는 두 양의 정수의 비율 m / n이

다. 물론 두 수 m , n 을 서로소(relativ e prim e)2)라 가정할 수 있다. 예를 들어,

두 수

m = 43 , n = 30

에 Euclidean alg orithm을 적용하면 다음과 같다.

43 = 30 1 + 13

(1- 8) 30 = 13 2 + 4

13 = 4 3 + 1

이 과정을 분수로 전환하여 살펴보면 먼저

4330

= 30 1 + 1330

= 1 + 1330

= 1 + 13013

이고, 식 (1- 8)에서 30 의 분해를 사용하면

4330

= 1 + 13013

= 1+ 113 2 + 4

13

= 1 + 1

2 + 1134

이다. 다시 13 의 분해를 이용하면

(1- 9) 4330

= 1 + 1

2 + 1134

= 1 + 1

2 + 1

3 + 14

을 얻는다. 우리는 식 (1- 9)를 기호

< 1 ; 2 , 3 , 4 >

로 나타낸다. 유한 연분수 < a 0 ; a 1 , a 2 , , a n > 에서 각 a i 가 정수일 때, 이를

단순(simple)이라 한다. 유리수란 두 정수의 비율로 Euclidean alg orithm이 유한

2) 중등수학에서 두 집합 사이에 A B = 일 때 , 이들 두 집합을 서로소라 부른다 . 서로소인 두 집합이

란 용어 대신에 서로 만나지 않는 (pairw ise disjoint ) 두 집합으로 쓰는 것이 무난하다 .

- 13 -

step에서 끝이 나게되며, 이 유한 st ep을 분수형태로 역대입하면 상용 횟수가 유

한인 연속된 분수(유한 연분수) 식 (1- 9)을 얻는다. 따라서 Euclidean algorithm은

유리수를 유한 단순연분수로 완전히 나타낸다. 즉 유리수 = 유한 단순 연분수 이

다. 한편, 무한 단순 연분수는 무리수를 완전히 나타내며, 다음 예제는 2 를 무

한 단순 연분수로 표현하는 방법을 보여준다.

예제 1 .14 . 한편 2 를 무한 단순연분수

= 2 = < a 0 ; a 1 , a 2 , . . . > = a 0 + 1

a 1 + 1a 2 +

로 표현할 때, a i ( i = 0 , 1 , 2 , )는

i) 0 = , a 0 = [ 0 ] = 1,

ii) 1 = 10 - a 0

, a 1 = [ 1] = 2,

iii) i + 1 = 1i - a i

, a i + 1 = [ i + 1] = 2 ( i 0)

이다. 따라서 2 는 무한 단순연분수

2 = < 1 ; 2 , 2 , 2 , . . . > = 1 + 1

2 + 1

2 + 12 +

로 표현된다.

참고 . 예제 1.14에서 유리수인 제 n 근사분수

Un = < a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n >

에 대하여 i) 몇 개를 살펴보면

U0 = 1 , U 1 = 32

, U2 = 75

, U3 = 1712

, U4 = 4 129

이고, 특히

- 14 -

U4 = 1 + 1

2 + 1

2 + 1

2 + 12

=4 129

1 .4 13793103

은 그 분모가 29 이하인 어떠한 유리수보다도 훌륭한 2 의 근사값이다.

ii) limn

U n = 2.

- 15 -

제 2 장 다 항 식 과 방 정 식

§1. 다항식

1. 다항식의 대수적 정의

중학교 수학 1에서는 1000 또는 - 4x와 같이 수 또는 문자의 곱으로 나타내

어진 식을 단항식이라고 한다. 또 1000+ ( - 4x )와 같이, 단항식의 합으로 나타낸

식을 다항식이라고 한다.

한편 고등학교 공통수학에서는 5 , - 2x , x 2y와 같이, 몇 개의 수 또는 문자

의 곱으로 이루어진 식을 단항식이라고 하고, 단항식 또는 단항식들의 합으로 이

루어진 식을 다항식(또는 정식)이라 하고, 다항식을 이루고 있는 각 단항식을 그

다항식의 항이라고 한다. 다항식에서 어느 특정한 문자에 대하여 생각할 때, 그

문자를 포함하지 않는 항을 상수항이라 하고, 각 항의 차수 중 가장 높은 것을

그 다항식의 차수라고 한다.

2. 다항식의 인수분해와 그 의미

다항식에서 합, 차, 곱은 역시 다항식이다. 즉, 다항식 사이에서는 덧셈, 뺄셈,

곱셈이 자유로이 행해진다. 그러나 나눗셈은 자유롭게 할 수 없다. 즉, A , B 를

두 개의 다항식이라고 할 때, A = B Q 가 되는 다항식 Q가 꼭 존재한다고 할

수 없다. 다항식 A , B 에 대하여 A = B Q가 되는 다항식 Q가 존재할 때 B 를

A 의 약수 또는 인수, A 를 B 의 배수라고 한다. 주어진 다항식을 몇 개의 인

수의 곱의 꼴로 나타내는 것을 그 다항식의 인수분해라고 한다.

3. n차원 실수벡터공간(n - dim en sion al r eal v ector space)으로서 다항식

예제 2 .1 . 지수함수 e x 를 이차다항식으로 접근하자.

(풀 이 ) {1, x , x 2 }를 생성원으로 하는 C [ - 1 , 1 ] 의 3차원 부분공간

P 2 = { a + bx + cx 2 | a , b , c R }

에서 정의된 내적

- 16 -

< f , g > =1

- 1f (x ) g (x ) dx

에 대하여 Gram - Schmidt 방법을 이용하면 P 2 의 단위직교기저

{ 12

, 32

x , 12

52

( 3x 2 - 1)}를 얻는다. 그러므로

< e x , 12

>=1

- 1e x 1

2dx = 1

2( e - e - 1) ,

< e x , 32

x >=1

- 1e x 3

2x dx = 6 e - 1 ,

< e x , 12

52 (3x 2 - 1) > =

1

- 1e x 1

252 (3x 2 - 1)dx = 5

2 ( e - 7e - 1) .

따라서, 벡터 e x 는 P 2 의 원소가 아니며 벡터

( 334 e - 1 - 3

4 e) + 3 e - 1 x + 154 ( e - 7e - 1) x 2

는 P 2 의 원소로 e x 와 가장 가까운 벡터이다.

Maple을 이용하여 이 두 그래프의 가까운 정도를 눈으로 확인하자.

> f (x ):=exp (x );

f (x ) := exp (x )

> g (x ):=(33/ 4*ex p (- 1)- 3/ 4*exp (1)) +3*ex p (- 1)*x +

15/ 4*(exp (1)- 7*exp (- 1))*x ^2;

g (x ) := 33/ 4 exp (- 1) - 3/ 4 exp (1) + 3 exp (- 1) x

2+ 15/ 4 (exp (1) - 7 exp (- 1)) x

> plot ({f (x ),g (x )},x =- 1..1);

- 17 -

<그림 2- 1>

§2. 일 이차다항식

1. 최적화(dat e fitt in g , 이 삼변수 함수의 최소값 결정)

평면상에 n 개의 점

(2- 1) ( x 1 , y 1) , , ( x n , y n )

을 생각하자. 먼저 (2- 1)에서 n 개의 점들을 직선

(2- 2) y = a + bx

로 접근해보자. 변수 a 와 b 는 이 n 개의 점들을 잘 대변해야하는데 점들이 직선으

로부터 얼마나 벗어나는지 측정하기 위하여 거리의 제곱을 이용한 2변수함수

(2- 3) L ( a , b) =n

i = 1(y i - a - bx i)

2

을 도입하자. 변수 a 와 b 에 대하여 (2- 3)의 값이 최소이려면

{La

= - 2 ( y i - a - bx i ) = 0

Lb

= - 2 x i ( y i - a - bx i ) = 0

- 18 -

이다. 따라서 다음 연립방정식

(2- 4) {a n + b x i = y i

a x i + b x 2i = x i y i

의 근을 a = a * , b = b*라면 직선 y = a * + b* x 는 식 (2- 1)에서 주어진 n 개의

점을 거리 면에서 가장 잘 대변하는 일차다항식이다. 이제 (2- 1)의 데이터를 일반

적인 m 차다항식 f ( x ) = a 0 + a 1x + + a mx m 로 접근해보자(여기서 m n - 1.)

먼저 거리의 제곱에 합 L =n

i = 1( y i - f ( x i ) ) 2에서 연립방정식

La 0

= 0 , , La m

= 0

을 얻으며 특히 이차다항식으로 접근할 때, 다음 연립방정식을 얻는다.

a 0 n + a 1 x i + a 2 x 2i = y i

(2- 5) a 0 x i + a 1 x 2i + a 2 x 3

i = x i y i

a 0 x 2i + a 1 x 3

i + a 2 x 4i = x 2

i y i

(여기서 사용된 합은 i = 1부터 n 이다.)

참고 . 식 (2- 4) 또는 식 (2- 5)에서 계산기 사용 없이 값을 구하려면 평면에 주

어진 점의 개수가 작아야하며, 주어진 숫자도 매우 간단해야 한다. 따라서 주어

진 데이터가 방대한 경우 T I- 92나 Maple을 권장한다. 한편, 실험을 통하여 데이

터를 직접 구하려면 T I- 92를 사용하는 것이 바람직하다.

참고 . 식 (2- 4)와 (2- 5)를 행렬을 이용한 식으로 쓰면 공식의 형태를 사용하는데

도움이 된다. 식 (2- 4), (2- 5)를 행렬로 표시하면

(2- 4)′ [ ]n x i

x i x 2i

[ ]ab

= [ ]y i

x i y i

- 19 -

(2- 5)′n x i x 2

i

x i x 2i x 3

i

x 2i x 3

i x 4i

a 0

a 1

a 2

=y i

x i y i

x 2i y i

(여기서 사용된 합은 i = 1부터 n 이다.)

참고 . 식 (2- 4) 를 행렬을 이용하여 다시 풀어 써보자. n 은 데이터의 개수를 나

타내며 편의 상 n = 4 를 가정하자. 행렬

A =

1 x 1

1 x 2

1 x 3

1 x 4

에 대하여 전치행렬은

A T = [ ]1 1 1 1x 1 x 2 x 3 x 4

이다. 이 때,

[ ]4 x i

x i x 2i

= A TA , [ ]y i

x i y i

= A T

y 1

y 2

t3

y 4

임으로 식 (2- 4)′를 다음과 같이 쓸 수 있다

(2- 4)″ A A T [ ]ab

= A T

y 1

y 2

y 3

y 4

, [ ]ab

= (A A T ) - 1 A T

y 1

y 2

y 3

y 4

§3. 방정식과 판별식

1) 중등과정

중학교 수학1에서는 등식 중에서 x의 값에 따라, 참이 되기도 하고, 거짓이

되기도 하는 등식을 x에 관한 방정식이라고 한다. 방정식을 참이 되게 하는 x

의 값을 그 방정식의 해 또는 근 이라고 한다. 여기에는 ( x의 일차식)=0 인 1

- 20 -

차 방정식 즉, ax + b = 0의 형태와 ( x의 이차식)=0 인 2차 방정식 즉, a가

0이 아닌 정수라 하고, b , c를 정수로 하는 ax 2 + bx + c = 0 의 꼴로 나타내

어 진다.

2) 이론

우리가 중학교에서부터 만난 이차방정식

(2- 6) a x 2 + bx + c = 0

과 식 (2- 6)의 근의 공식

(2- 7) x = - b b2 - 4 a c2 a

을 다시 생각해보자. 다음을 생각해보자. 먼저 변수 x 를 로 사용하여 식 (2- 6)을

(2- 8) a 2 + b + c = 0

를 사용하자. 우리는 미분방정식

(2- 9) my ' ' + cy ' + k y = 0, y (0) = 1, y ' (0) = 0

을 알아보았다. 식 (2- 9)에서 만들어지는 해는 서로 독립인 두 (실가) 함수

y 1 , y 2를 찾으면 식 (2- 9)의 일반해는

(2- 10) c 1 y 1 + c2 y 2 (여기서 c 1 , c 2 는 실수)

로 표현된다. 따라서 서로 독립인 두 함수 y 1 , y 2는 먼저 지수함수 y = e t로

접근한다. 따라서 이차방정식

(2- 11) m 2 + c + k = 0

을 얻고 식 (2- 11)의 근

(2- 12) 1 = - c2m

+ 12m

c 2 - 4 m k , 2 = - c2m

- 12m

c2 - 4 m k

을 갖는다. 따라서 이 근들이 무슨 의미가 있는지 관심을 갖고, 편의상

m = k = 1 로 하여 이차방정식 2 + c + 1 = 0이 서로 다른 두 실근, 서로 다른

두 허근, 그리고 중근을 가질 때 나타나는 현상을 관찰하여보자. 주어진 초기조

건을 다시 언급하면 추를 원점 아래 1(cm )( y (0) = 1)에서 살며시( y ' (0) = 0 ) 놓

- 21 -

은 경우이다. 다음 세 경우를 생각해보자.

◇ 경 우 1 . (서로 다른 두 실근) 즉, c 2 > 4 m k 임으로 저항을 나타내는 c값이

상대적으로 큰 수임을 알 수 있다. 한편, 1 2 이므로 두 함수 {e 1 , e 2 }는

선형적으로 독립이고 따라서 식 (2- 9)의 일반해는 c 1 e 1 + c2 e 2 이고,

1 < 0 , 2 < 0 이므로 외부의 힘이 없을 때, 추는 빨리 정지한다. c = 3 일 때,

1 = - 3 + 52

, 2 = - 3 - 52

이다. 따라서 일반해(g en eral solution )

y ( t) = c 1 e- 3 + 5

2 t+ c2 e

- 3 - 52 t

를 얻는다. 식 (8- 3)에서의 초기조건을 이용하면 y (0) = 1에서

y (0) = c 1 + c 2 = 1,

그리고 y ' (0) = 0에서

y ' (0) = - 3 + 52

c 1 + - 3 + 52

c2 = 0

을 얻는다. 따라서

c 1 = 3 + 52 5

, c2 = 5 - 32 5

이다. 그러므로 식 (2- 8)의 특수해(part iculor solution )는

(2- 13) y ( t) = 3 + 52 5

e- 3 + 5

2 t+ 5 - 3

2 5e

- 3 - 52 t

이다. 이를 그래프로 살펴보자.

- 22 -

<그림 2- 2>

◇ 경 우 2 . (서로 다른 두 허근) 경우 1에서 c = 3으로 저항이 매우 크므로

<그림 2- 2> 에서 보듯이 추가 빠르게 정지하였다. 이제 c = 1로 줄여보자. 이

때, 두 허근 1 = - 1+ i 32 , 2 = - 1- i 3

2 은 공액 복소수로 서로독립이고

일반해 y ( t) = e- 1

2 t

(c 1 cos ( 32

t ) + c2 s in ( 32

t ) )를 얻는다. 이제 초기조건을

이용하면 y ( 0) = c 1 = 1 , 그리고 y ' (0) = - 12 ( 1 - 3 c 2) = 0 에서 c2 = 1

3을

얻는다. 따라서 해

(2- 14) y ( t) = e- 1

2 t

(cos ( 32

t ) + 13

s in ( 32

t ) )를 구하게 된다. 이 경우 저항이 상대적으로 작기 때문에 약간의 진동이 발생한

다. 그러나 음수가 있는 지수함수 e- 1

2t

가 곱해졌기 때문에 약간의 시간이 지

나면 추의 상하운동은 이 지수함수에 눌려 소멸한다. 한편 얼마나 빨리 소멸하

는 가는 이차방정식의 근 식 (2- 12)에서 e- c

2m 가 좌우한다. 즉 추가 가볍고 저

- 23 -

항이 세면 빨리 상하운동이 소멸하고 반대로 추가 무겁고 저항이 약하면 상하운

동이 상대적으로 오래 지속된다. 이제 (2- 14)를 그려보자.

<그림 2- 3>

◇ 경 우 3 . (중근을 가질 때) 우리는 서로독립인 두 함수를 구해야 이들이 일반

해를 만들어낸다는 것을 알고 있다. 그러나 중근인 경우는 실제로 근이 하나밖에

없기 때문에 꼭꼭 숨어있는 원소를 찾아내야 한다. 이 경우 겨우 하나 구한 해

y 1 에 대하여 y 2 = t y 1 가 식 (2- 6)을 만족함을 확인하자. 따라서 일반해는

(2- 15) y ( t) = c 1 y 1 + c2 t y 1 = ( c 1 + c 2 t ) e - t

이다. 중근을 갖게 하기 위해 c = 2로 설정하고 초기조건을 이용하자. 먼저,

y (0) = c 1 = 1이고 미분 후 0을 대입하면 y ' (0) = c2 - 1= 0 이다 따라서 특수해는

(2- 16) y ( t) = ( 1 + t ) e - t

이다. 이를 그림으로 그려보자.

- 24 -

<그림 2- 4>

<그림 2- 2> 와 < 그림 2- 4> 에서 차이점을 찾기가 매우 어렵다. 그러나 경우 3은

경우 1이 말하는 진동이 없는 상황과 경우 2가 말하는 진동이 있는 상황 사이에

절묘한 경계에 위치한다. 따라서 진동이 없는 서로 다른 실근을 갖는 경우와 비

교하면 (< 그림 2- 5> ) 중근을 갖는 경우의 그래프는 아래 위치하면서 그래프는

시간이 조금 흐르면 다소 완만하다. 즉, 무식하게 정지하는 것도 아니고 촐랑대

고 진동하는 것도 아닌 중립의 위치이다. 세 개의 그래프를 그리면 중근을 갖는

경우는 그래프가 나머지 사이에 위치한다(< 그림 2- 6> 참고).

- 25 -

<그림 2- 5>

<그림 2- 6>

예제 2 .2 . m y ' ' + cy ' + k y = 0 , y (0) = 0 . 15 , y ' (0) = 0 , m = 9 .082 , c , k = 890

에서 다음을 확인하자.

(1) c = 200일 때는

y ( t) = 0 .2463 e - 6 . 190 t - 0 .0963 e - 15 .83 t

- 26 -

(2) c = 100로 줄이면

y ( t) = e - 5 . 506 11 t ( 0 . 1500 cos 8 .227 t + 0 . 1004 s in 8 .227 t )

(3) 중근을 갖게 하기 위해 c = 179 .8로 설정하고 초기조건을 이용하면 해

y ( t) = ( 0 . 150 + 1 .485 t ) e - 9 . 899 t

를 얻는다. 이들을 함께 그리면 다음과 같다.

<그림 2- 7>

- 27 -

제 3 장 수 의 체 계

§1. 중등수학에서의 체

1. 수집합에서의 닫힌 연산

중등과정에서 말하는 임의의 수집합에서의 사칙연산이란 긍국적으로 유리수체

나 실수체가 아닌 체를 구성하는 것을 의미한다. 예를 들면 중등과정에서 요구하

는

12 + 3 2

를 유리화 하여라.

는 본질적으로

수집합 A = { a + b 2 | a , b Q } 는 체이다.

를 의미한다. 이는 수집합 A 에 있는 0이 아닌 원소의 역원이 다시 수집합 A

에 존재함을 보이는 것이고 따라서 수집합 A 에서의 사칙연산은 A 가 체임을

보이는 것이다. 즉, 대수적 기호로는 Q[ 2 ] = Q( 2)임을 의미한다.

2. 작도 가능한 수 집합

주어진 선분을 단위가 1인 길이로 약속하자. 주어진 실수 r 에 대하여 길이가

|r |인 선분을 자(str aightedg e)와 콤파스만을 유한 번 사용하여 작도할 수 있을

때, 실수 r 을 작도 가능수(con st ructable number )라 부른다. 독자는 다음을 증명

해보기 바란다.

i) a 와 b 가 작도 가능수이면, a + b , a - b , ab , ba

( a 0 )는 작도 가능수이

다.

ii) a 가 작도 가능수이면 a도 작도 가능수이다.

따라서 모든 유리수는 작도 가능수이며 작도 가능한 실수의 집합을 F 라 하면

F 는 체(field)이고 Q F R 이다.

자와 컴퍼스만을 사용하여 작도할 수 없는 문제로 오래 전부터 수많은 수학자

들이 고심했던 3대 작도불능 문제는 다음과 같다.

- 28 -

i) 정육면체의 부피의 두 배가되는 정육면체는 작도할 수 없다.

ii) 임의의 각을 삼 등분하는 작도는 불가능하다.

iii) 원의 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형은 작도할 수 없다.

이제 추상대수이론을 이용하여 이들이 왜 작도불가능한지를 알아보자. 무리수

가 작도 가능하면 [ Q ( ) : Q ] = 2 n 여기서 Q 는 유리수체이고 n 은 음이 아

닌 정수이다. 위에서 배적 문제는 한 변의 길이를 1로 하면 2배가되는 정육면체

의 한 변의 길이는 3 2이다. 이 때, 3 2는 기약다항식 x 3 - 2 Q [ x ]의 근이고

[ Q( 3 2) : Q ] = 3 이다. 따라서 3 2는 작도 불가능하다. 각의 3등분에 대하여

생각해보자. 각 를 작도한다는 것은 본질적으로 | cos |를 작도하는 것이다.

예를 들어 각 60 는 작도 가능하다. 이제 이를 3등분하지 못하는 원인을 알아보

자. 등식 cos 3 = cos (2 + ) = cos 2 cos - s in 2 s in

= 4 cos 3 - 3 cos

에서 = 20 라면 cos 3 = 12

이다. 이제 = cos 20 라 하자. 위 등식으로부터

등식 4 3 - 3 = 12

을 얻고 따라서 는 기약다항식 8x 3 - 6 x - 1 Q [ x ] 의 한

근이다. 한편 [ Q ( ) : Q ] = 3 이다. 따라서 는 작도 불가능하다. 즉, 60 를 3

등분할 수 없다. 끝으로 원적문제를 살펴보자. 주어진 원의 반경을 1이라 하면 이

원의 면적은 이다. 따라서 원적문제는 한 변의 길이가 인 정사각형을 작도

하는 것인데 불행히도 는 Q 상에서 초월수(제1장 1절 주석 3 참고) 임으로

도 Q 상에서 초월수이다. 따라서 원적문제는 작도 불가능하다.

§2. 대수적 의미에서의 수체계의 확장

1. 유리수체

정수에서 실수를 만드는 과정에서 필요한 것이 바로 유리수이다. 먼저, 우리가

알고 있는 유리수란 두 정수 a , b 0의 몫(quotient ) ab

= a/ b = a b - 1이다. 유리

- 29 -

수 창작의 핵심은 a c , b d 인 상황에서 a/ b = c/ d 가 발생하므로 이를 극복

하는 곳에 있다(예를 들면 1/ 3 = 7/ 21). 이에 대한 극복을 어떻게 하는지 알아보

자. 일반적으로 집합 S ( /= ) 위에 정의된 관계(r elation ) 가 다음 세 조건을

만족시킬 때, 이 관계를 집합 S 에서의 동치관계(equiv alen ce relation )라고 부른

다.

(3- 1) x x (반사율, reflexiv e)

(3- 2) x y y x (대칭율, sym m etr ic )

(3- 3) x y , y z x z (추이율, tr an sit iv e)

집합 S 에서의 동치관계 가 정의되어 있을 때, 두 원소 x , y S 에 대하여

x y 일 때, x 와 y 는 서로 동치(equiv alent )라 한다. 각 원소 x 와 동치인 S

의 원소 모임을 x 에 의하여 결정된 동치류(equiv alen ce class )라 하고

[ x ] = {y S | x y }

로 나타낸다. 동치류 [ x ] 로 이루어진 집합을 S / 로 표시하자. 즉,

S / = { [x ] | x S }

이 때, S = [ x ] 이고 x 와 y 가 동치관계가 아니면 [ x ] [ y ] = 이다. 즉, 주

어진 집합은 동치류들로 완전히 분할된다. Z * = Z - {0 }으로 표시하여 집합

Z Z * = { ( a , b) | a , b Z , b 0 }

에 관계(relat ion ) 를 다음과 같이 정의하자.

(3- 4) ( a , b) ( c , d) ad = bc

정리 3 .1 . 식 (3- 4)에서의 관계(relat ion ) 는 집합 Z Z *에서 동치관계

(equiv alen ce relat ion )이다.

(증 명 ) (i) (reflex iv e) a b = a b 이므로 ( a , b) ( a , b)이다. 그리고

(ii) (symm etr ic ) 만일 ( a , b) ( c , d) 이면 ac = bd이고 따라서 cb = da 이다. 따

라서 ( c , d) ( a , b)이다. 마지막으로

(iii) (tr an stiv e) ( a , b) ( c , d)이고 ( c , d) ( e , f )이면 a f = be를 보일 수 있고 따

- 30 -

라서 ( a , b) ( e , f )를 얻는다.

이제 집합 Z Z *에 임의의 원소 ( a , b)에 대하여 이를 포함하는 동치류

[ ( a , b) ]를 간단히ab

로 표시하자. 즉,

(3- 5) ab

= {( c , d ) | ( a , b ) ( c , d ) } .

한편, 이러한 동치류의 전체모임 Z Z * / 은 집합 Z Z *을 완전히 분할하며

이를 유리수집합(기호로 Q )으로 부르고 동치류 사이의 연산은 다음과 같이 정

의한다.

(3- 6) ab

+ cd

= ad + bcbd

, ab

cd

= acbd

.

실제 우리가 사용하는 유리수23 란 식 (3- 5)에서 무한집합

23

= { , ( - 20 , - 30) , (2 , 3) , (4 , 6) , (6 , 9) , , ( 200 , 300) , }

을 나타내며 식 (3- 6)에서 정의된 연산에 의하여 유리수집합은 체(field)를 형성

한다. 이때, 덧셈에 관한 항등원은 집합01

이고 곱셈에 관한 항등원은 집합

11 = { , ( - 2 , - 2) , ( - 1, - 1) , ( 1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , }

이다. 이제 우리가 사용해온 정수 n 을 집합n1

으로 동일시하면 Z Q 이다.

2. 실수체

기원전 6세기 피타고라스 학파는 단위 길이로 만들어진 정사각형의 대각선의

길이는 유리수가 아님을 보였다.

문제 3 .2 . r 2 = 2를 만족하는 수 r 가 존재한다면 이는 유리수가 아님을 보여라.

문제 3.2는 유리수집합 Q 는 사칙연산이 가능(보다 구체적으로 Q 는 체이다)하

- 31 -

지만 연결되지 않은 점들로 분포되어있음을 시사하고 있다. 즉, 유리수집합에는

수많은 틈(g ap )이 존재한다. 이런 틈을 메워 매끈한 직선으로 만든 집합을 우리

는 실수집합이라한다(이 과정을 com pletion이라 부른다). 유리수집합에서 틈새를

메운 실수집합을 만드는 방법은 Dedekin d의 cut와 Cantor의 Cau chy sequen ce를

이용하는 방법이 있다. 본 지면에선 Cauchy sequ ence를 이용하는 방법에 대하여

알아보자.

정의 3 .3 . (코 시수 열 , Cau ch y s e qu en c e ) 수열 {a n } 에 대하여 임의의 양수

(매우 작은 수)에 대하여 양의 정수 N 가 존재하여

n , m N |a n - a m |

을 만족할 때, 수열 {a n } 을 코시수열(Cauchy sequen ce)이라 부른다.

유리수로 이루어진 코시수열을 다 모아서 이 집합을 S 로 표시하자. S 의 두 원

소 f = {a n } 과 g = {b n } 사이의 관계 를 다음과 같이 정의하자.

(3- 7) f g |a n - bn | 0 ( n ) .

식 (3- 7)은 동치관계이고 따라서 동치류의 집합 S / = { [ f ] | f S } 이 우리가 사

용해온 실수집합 R 이다. 즉, 실수집합 R 은 유리수집합 Q 와 식 (3- 7)에서 본

바와 같이 유리수집합 위에 정의된 절대값 | | 에 대해서 유리수로 만들어진

코시수열의 극한값의 모임이다. 다시 말해 실수집합이란 유리수집합과 우리들이

사용하고 있는 절대값 | | 에 의하여 결정되는 새로운 집합이다.

3 . p - 진수

우리는 절대값 개념에 주위를 기울여야함으로 절대값 정의를 먼저 살펴보자.

유리수 x 의 절대값(ab solut e v alue) | x | 의 정의는 다음과 같다.

(3- 8) |x | = {x ( x 0 )- x ( x < 0 )

이 때, 식 (3- 8)은 유리수의 크기(n orm )를 의미하는 하나의 함수

- 32 -

| | : Q R , | | (x ) = | x |

이며, 다음 성질을 가지고 있다.

(3- 9) |x | 0 이고 | x | = 0 x = 0

(3- 10) |x y | = | x | | y |

(3- 11) |x + y | | x | + |y | (삼각부등식, t riangle in equality ).

실제, 우리가 크기라는 용어를 사용하려면 식 (3- 9), (3- 10), (3- 11)이 만족 되어

야한다.

이제 유리수집합 Q 위에 식 (3- 8)이 아닌 다른 크기를 정의하여 보자. 즉, 식

(3- 9, 10, 11)을 만족하는 Q 에서 R 로의 새로운 함수(크기)를 만들어보자. 소수

p 를 고정시키고 0 이 아닌 정수 m 에 대하여 m 을 소인수분해했을 때, p 의

최대 멱을 ord p m 라 쓰자. 예를 들면,

ord 5 50 = 2 , ord 5 250 = 3 , ord 2 96 = 5 , ord 2 103 = 0

등이다. 한편, ord p 0 = 로 정의하면

ord p ( m n ) = ord p m + ord p n

임을 보일 수 있다. 이 정의를 유리수로 확장하자. 유리수 q = mn

에 대하여,

(3- 12) ord p q = ord pmn

= ord p m - ord p n

로 정의하자. 이 때, (3- 12)의 정의는 q 에만 의존하고, q 를 표현하는 m , n 과는

무관함을 확인하기 바란다.

정의 3 .4 . 이제 유리수집합에서 정의된 새로운 함수 | | p : Q R 을

(3- 13) | x | p = p- ord p x

(0 /= x Q) , |0| p = 0

로 정의하자.

우리는 | x | p 을 x 의 p - 진절대값( p - adic ab solute v alue of x )라 부른다.

예를 들면,

- 33 -

|6 | 3 = |15 | 3 = 13

, | 14 |

2= | 3

4 |2

= 4

이다. 우리는 정의 4.1에서 새로운 크기함수를 정의하였다. 이를 유리수로 이루어

진 코시수열들 사이에 동치관계를 정의하는데 사용하자.

유리수로 이루어진 코시수열을 다 모아 이 집합을 S 로 표시하자. S 의 두 원소

f = {a n } 와 g = { bn } 사이의 관계 를 다음과 같이 정의하자.

(3- 14) f g |a n - bn | p 0 ( n ) .

식 (3- 14)는 동치관계이고 동치류의 집합

S / = { [ f ] | f S }

를 Qp 로 표시하고 각 원소를 p - 진수라 부른다. 이 p - 진수집합은 유리수집합을

품는 수체계로 실수집합과는 본질적으로 다르다. 실수체계에서 주어진 원의 중심

은 유일하고 임의의 모양의 삼각형이 존재한다. 그러나 수체계가 일반화되었을

때, 예상치 않은 일이 벌어질 수 있다. 두 가지 다른 면을 살펴보자.

정리 3 .5 . Qp 의 세계에서 모든 삼각형은 이등변 삼각형이다.

(증 명 ) x , y Qp 일 때, x - y Qp 이다. | x | p < | y | p 를 가정하고 다음 삼각형을

생각하자.

|y | p

|x | p|x - y | p

<그림 4- 1>

이 때, | x - y | p m ax ( | x | p , | y | p ) = | y | p 이고

|y | p = |x - (x - y ) | p m ax ( | x | p , |x - y | p ) |x - y | p

이므로 | x - y | p = |y | p 이다.

- 34 -

정리 3 .6 . Qp 의 세계에서 주어진 원의 중심은 무수히 많다.

(증 명 ) 중심이 a Qp 이고 반지름이 r R , r 0 인 개원판은

disc ( a , r ) = {x Qp | | x - a | p < r }

이다. b 를 d isc( a , r) 에서 임의로 택하자. 만일 x d isc ( a , r)이면

| x - a | p < r 이다. 한편,

| x - b | p = |(x - a) + ( a - b ) | p m ax ( |x - a | p , | a - b | p ) r

이므로 x d isc ( b , r) 이다. 따라서 disc( a , r) disc ( b , r)이다. 마찬가지 방법

으로 d isc( b , r) disc ( a , r ) 을 얻는다. 그러므로

disc ( a , r) = disc ( b , r)

이다. 따라서 주어진 원의 중심은 무한히 많다.

4 . 복소수, 사원수, 행렬

우리는 앞 절에서 실수집합 R 에 대하여 알아보았다. 이제 새로운 집합

(3 .15) R R = { ( a , b) | a , b R }

에 다음과 같은 두 연산을 정의하자.

(3 .16) ( a , b) + ( c , d) = ( a + c , b + d) , ( a , b) ( c , d) = ( ac - bd , ad + bc) .

이 때, 식 (3.15)에서의 집합은 연산 (3 .16)에 의하여 체(field )가 된다. 우리는 이

체를 복소수체라 부르며 C 로 나타낸다. 특히 R R 의 원소 (0 , 1)을 간단히

i (0 , 1) 로 나타내면 i2 = ( 0 , 1) ( 0 , 1) = ( - 1, 0)이고 원소 ( 1 , 0)을 간단히

1 ( 1 , 0)으로 나타내면 i2 = - 1을 얻게된다. 따라서 식 (3- 8)에서 정의된 집합

R R 의 임의의 원소 ( a , b)는 ( a , b) = a + b i로 표현되며 이를 중등과정에서

평면상의 점으로 사용해왔다. 복소수의 표현법으로 단위 원 상에서 점 ( 1 , 0)으

로부터 반시계 방향으로 만큼 회전한 복소수 z 는

z = ( cos , s in )

이다. 한편, 단위원 상의 두 복소수

z 1 = ( cos 1 , s in 1 ) , z 2 = ( cos 2 , s in 2 )

- 35 -

의 곱은

z 1 z 2 = ( cos 1 cos 2 - s in 1 s in 2 , cos 1 s in 2 + s in 1 cos 2)

= ( cos ( 1 + 2) , s in ( 1 + 2) )

이다. 따라서 복소수의 곱은 평면상에서 회전의 합성을 의미한다.

행렬환은 대표적인 비가환이며, 행렬환의 태동은 1843년 영국인 Hamilton이 비가

환체(division algebra , skew field )의 예로 처음 고안한 사차원수(the quaternion s )

= { a + b i + cj + d k : a , b , c , d R },

i2 = j 2 = k 2 = - 1,

ij = k , j k = i , k i = j , j i = - k , k j = - i , i k = - j ,

에서 찾을 수 있다. 처음 Hamilton의 의도는 무엇이었을까? 두 복소수의 곱은 평면

상에서 회전의 합성이다. 따라서 Hamilton은 이와 같은 상황을 공간에서 시도하였

다. 이 시도는 실패하였고 실수체의 네 짝을 생각하다 4차원수를 창조하게되었다.

1880년에 Frobeniu s와 C.S . Peirces는 실수체, 복소수체 그리고 4차원수만이

finite - dim en sional division algebras over the reals 임을 보였고 1890년대에 독립

적으로 Cartan , Molien , Frobenius 에 의하여 일반화(finite dimen sional simple,

semi- simple algebras over the reals ) 되었고, 1907년에 일반적인 체로

Wedderburn에 의하여 확장되었다. 이는 본질적으로 skew field(체의 정의에서 곱에

관한 교환법칙이 생략됨) D i 로 이루어진 행렬환들의 유한 직합(direct sum )

M at n 1( D 1 ) M a t n 2

( D 2 ) M at n t( D t )

이다.

예제 3 .7 . 복소수체

C = {a + b i | a , b R }

는 실수에서 정의된 크기(size) 2 2행렬환(기호로 M at 2 2 ( R ) )의 부분체

(subfield )

- 36 -

{[ ]a - bb a

| a , b 는 실수 }이다. 즉, 함수

: C = {a + b i | a , b R } M at 2 2 ( R ) ,

( a + b i ) = [ ]a - bb a

,

는 환(r ing )으로서의 일대일 준동형사상(準同型寫像, hom om orphism )이다 (우리는

일대일 준동형사상을 同型寫像(m on om orphism )이라 부른다). 특히

1 [ ]1 00 1

, i [ ]0 - 11 0

로 동질화(identify )되며, 우리가 사용하는 공액복소수를 행렬의 형태로 표현하면

전치행렬이다.

따라서 우리는 다음 줄 세우기

{1, 2 , 3 , } M a t 2 2 ( )

를 얻는다.

참고 . 위 줄 세우기는 자연스럽게 지수함수의 거듭제곱에서 사용하는 수의 확대

를 의미한다. 즉,

e 2 , e 3 , e 3 + 2 i , e [ ]1 23 4

등의 지수함수를 정의해야하며 이런 함수류의 미분을 정의해야 한다.

예제 3 .8 . 사차원수체(the quat ernion s )

= { a + b i + cj + d k | a , b , c , d 는 실수 }

에서 i , j , k 는

i

0 - 1 0 01 0 0 00 0 0 - 10 0 1 0

, j

0 0 - 1 00 0 0 11 0 0 00 - 1 0 0

, k

0 0 0 - 10 0 - 1 00 1 0 01 0 0 0

로 동질화된다. 즉, 사차원수체 는 행렬환 M at 4 4 ( ) 에 부분환

- 37 -

(subdivision ring )이다. 함수

: M at 4 4 ( ) , ( a + b i + cj + d k ) =

a - b - c - db a - d cc d a - ad - c a a

는 환에서의 동형사상(r ing m on om orphism )이다.

한편, 사차원수 a + b i + cj + d k 에서 a 를 실수부분(real par t )이라 하고 나머

지 b i + cj + d k를 허수부분(im aginary part )이라 부른다. 그리고 4차원수의 표현

을 = { z 1 + j z 2 | z 1 , z 2 는 허수 }, j 2 = - 1, zj = j z 으로 표현하기도 한다.

- 38 -

Ⅲ .결론 및 제언

수학은 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 이해하고, 사물의 현상을 수학

적으로 관찰하여 해석하는 능력을 기르며, 실생활의 여러 가지 문제를 논리

적으로 사고하고 합리적으로 해결하는 능력과 태도를 기르는 교과라는 측면

에서 볼 때 중등학교에서의 수학 교과의 목적은 학생들의 구체적인 경험에

근거하여 사물의 현상을 수학적으로 해석하고 조직하는 활동, 구체적인 사실

에서 점진적인 추상화 단계로 나가는 과정, 직관이나 구체적인 조작에 바탕

을 둔 통찰 등의 수학적 경험을 통하여 형식이나 관계를 발견하고, 수학적

개념, 원리, 법칙 등을 이해할 수 있는데 있다고 본다. 이러한 수학적 지식

을 바탕으로 실생활의 여러 가지 문제를 해결해 봄으로써 수학의 필요성과

실용성을 인식할 수 있으며 나아가 수학에 대한 더욱 긍정적인 태도를 갖게

할 수 있게 된다고 본다.

현실적인 측면에서 볼 때 중·고등학교의 교육과정에 있어서 수학 교과의

중요성은 대학입시에 중요 필수 과목으로서 뿐만 아니라 기초도구교과로서

타 교과와의 연계성도 밀접하다고 본다.

이러한 측면에서 본 논문은 중·고등학교 수학교육과정에 있어서 대수분야

를 살펴보고 이를 대학의 대수분야와의 관계를 살펴보고자 했다.

수와 다항식의 전개에 있어서 연산의 성질을 이해하고 계산능력을 신장시

킬 수 있는 방안을 살펴보았고, 소수의 지도 방안에서는 소수의 무한성과 실

제 소수의 개수를 구하는 것에 대하여, 다항식에서는 실생활에서 구할 수 있

는 일·이차다항식을 구하는 방법을 살펴보았다. 또한 작도 가능한 수집합을

연구하여 유리수와 무리수를 구별하여 봄으로써 이를 현장에서 교사들이 이

해하고 활용할 수 있는 방안을 모색하여 보았다.

학교 현장에서 학습자에게 수학이 어렵고 공부하기 힘든 과목으로 여겨지

는 이유는 과목의 특성상 선수학습이 중요하고 또한 체계적 학습이 필요하기

때문이다. 그럼에도 불구하고 학교 현장에서는 입시에 대한 과도한 부담과

- 39 -

교육과정상의 진도관계로 학생 개개인의 능력이나 학습 준비 상황을 고려하

지 못하고 단순 강의식으로 진행하여 학생들로 하여금 수학을 더욱 멀리하게

만들고 있다. 따라서 교사는 중등교육과정의 내용을 충분히 이해함은 물론,

보다 폭넓은 지식 즉, 대학과정에서의 중등과정과 연계되는 영역까지를 이해

하고 있음으로써 학습자에게 고등학교 교육과정을 쉽게 이해시킬 수 있으며

학습자의 흥미를 이끌어 낼 수 있다고 본다.

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A b s tract

In this paper , w e study abstract algebra related to the high school

mathematics . We focus on factorizations, polynomials , and fields .

In the factorization , we define the definition of factorization and study

the Euclidean algorithm to characterize real number as rational or

irrational number s .

We study the polynomial ring R [X ] as an R - vector space and the

construction of real number s from rationals . Also, w e study the p- adic

integers and the quaternions

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참고문헌

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