A-2007-HDR

8/10/2019 A-2007-HDR

1/111

UNIVERSIT DE TOULOUSE III PAUL SABATIER

HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES

DE lUNIVERSIT PAUL SABATIER

Spcialit : MATHMATIQUES APPLIQUES

prsente par

Philippe PONCET

Soutenue le 24 octobre 2007

Mthodes lagrangiennes pour le calcul

et le contrle des coulements tridimensionnels

Lagrangian methods for computation

and control of three-dimensional flows

Composition du Jury :

Richard Pasquetti, Prsident du juryAhmed Ghoniem, Rapporteur

Jean-Claude Ndlec, RapporteurOlivier Pironneau, RapporteurJean-Michel Roquejoffre, ExaminateurJean-Paul Vila, Examinateur

Habilitation diriger des recherches prpare lInstitut de Mathmatiques de Toulouse

8/10/2019 A-2007-HDR

2/111

8/10/2019 A-2007-HDR

3/111

TABLE DES MATIRES/ TABLE OF CONTENTS

Introduction 7

1 Mthodes Vortex-in-Cell hybrides en gomtrie complexe 15

1.1 La formulation hybride grille-particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Formulation harmonique pour des bords de gomtrie arbitraire . . . . . . . . . . 22

1.3 Quelques cas dcoulements en fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figures du chapitre 1/ Figures of chapter 1 27

1 Hybrid Vortex-in-Cell methods in Complex Geometries 411.1 Hybrid Grid-Particle formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2 Harmonic formulation for arbitrarily shaped bodies . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.3 A few ideal fluid computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Conditions aux limites en vorticit pour les mthodes lagrangiennes 51

2.1 Sparation des effets diffusifs et mthode de Chorin . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Mthodes PSE discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Formulation intgrale des conditions dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Formulation en vorticit du glissement cinmatique du premier ordre . . . . . . . 57


2 Vortical boundary conditions for Lagrangian methods 69

2.1 Splitting diffusive effects and Chorins formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2 Discrete Particle Strength Exchange methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3 Integral formulation of no-slip boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4 Vortical formulation of first order kinematic boundary conditions . . . . . . . . . 75

8/10/2019 A-2007-HDR

4/111

3 Contrle des sillages 77

3.1 Algorithme gntique et lissage de profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Notion defficacit, optimisation topologique et VIV . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Contrle 3D uni-modal amplitude variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Contrle 3D multi-modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


3 Control of three-dimensional wakes 89

3.1 Genetic Algorithms and profile smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Efficiency, topological optimization and vortex induced vibration . . . . . . . . . 90

3.3 One-mode 3D control with variable amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4 Multi-modal control of 3D wakes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Conclusion 95

Bibliographie /References 101

Articles de lauteur/ Authors articles 109

8/10/2019 A-2007-HDR

5/111

REMERCIEMENTS

Je tiens tout dabord remercier Richard Pasquetti de mavoir fait lhonneur de prsider monjury dhabilitation diriger des recherches, ainsi que Ahmed Ghoniem, Jean-Claude Ndlec etOlivier Pironneau davoir pris le temps dtudier et de rdiger un rapport sur ce manuscrit. Jeremercie galement Jean-Michel Roquejoffre davoir particip mon jury et de mavoir encouragdepuis mon arrive au laboratoire ( prsent quipe) MIP.

Je tiens aussi remercier Jean-Paul Vila qui depuis mon arrive lINSA, a encourag etfavoris de faon permanente mes choix dactivit de recherche. Les conditions de travail et lalibert que jai eues mont permis de faire vivre mes collaborations lextrieur du laboratoire.

Je remercie galement Georges-Henri Cottet, qui, le premier, ma form la recherche, sachantme guider tout en me laissant prendre lindpendance indispensable un chercheur. Je lui dois toutce que je suis devenu scientifiquement.

Je remercie les personnes qui mont encourag et fait confiance depuis le dbut : Petros Kou-moutsakos, Grgoire Winckelmans, Andr Giovannini, Michel Deville, Yvon Maday. Quelquespersonnes ont galement contribu de manire dterminante la direction prise par mes recherches,par leurs conseils ponctuels mais clairs : Alessandro Bottaro, Marie Farge et Michel Provansal.

Dautre part, jadresse une chaleureuse pense toute lquipe pdagogique des dpartementsde gnie mathmatique et modlisation (GMM) et de gnie des procds pour lenvironnement

(GPE) de lINSA Toulouse, avec qui travailler ft un rel plaisir pendant ces quelques annes.

8/10/2019 A-2007-HDR

6/111

6 Remerciements

8/10/2019 A-2007-HDR

7/111

INTRODUCTION

Les travaux rassembls dans ce manuscrit dhabilitation diriger des recherches sont ddis llaboration et lutilisation de mthodes numriques lagrangiennes pour la rsolution desquations de Navier-Stokes tridimensionnelles en formulation vitesse-vorticit.

Les mthodes lagrangiennes que lon considre appartiennent la classe des schmas de Vortexin Cell, et ont la particularit de transporter des cellules de tourbillon, dont le calcul des trajectoiresutilise un couplage entre grilles et rseaux de particules. La motivation de ce travail est de lesgnraliser suffisamment pour pouvoir apprhender le calcul et le contrle des grands coulementstridimensionnels, et les utiliser dans des cas oprationnels, ou du moins le plus proche possibledes gomtries relles. Mon but a donc t de dvelopper ces mthodes numriques dans un soucipermanent defficacit dimplmentation.

De telles mthodes peuvent prsenter de relles alternatives aux schmas eulriens classiqueset aux codes industriels. Leur prcision, robustesse, rapidit et fiabilit en font des outils int-ressants pour la ralisation davant projets. En effet, les cas tests utiliss pour la validation desschmas et de leur implmentation montrent que lon obtient des diagnostiques mcaniques satis-faisant sans ajustement de paramtres. Les champs dapplication incluent ltude du comportementgnrique des sillages, les coulements avioniques et en diverses gomtries, le contrle optimaldes sillages, ainsi que les micro et nano-fluides, les coulements biologiques et gophysiques, cesderniers tant en cours de dveloppement.

Tout dabord, mon travail de thse de doctorat, sous la direction de G-H. Cottet (LJK Gre-noble), a consist implmenter une telle mthode dans le cas des coordonnes cylindriques.Quelques pistes ont t donnes quant la faisabilit et le cot calculatoire des sillages de cy-lindre. Mes travaux ont ensuite ports, dans un premier temps, sur la fiabilisation et lamliorationde cette mthode afin de capturer le comportement des solutions de Navier-Stokes en temps longpour les coulements instables. Ce comportement est tudi par le calcul de diagnostics mca-niques. Ceci signifie que les solutions sont valides partir de tout bilan dnergie du systme etpar caractrisation de lattracteur par projection. Dans un second temps, jai port mes efforts surla mise au point de techniques pouvant gnraliser la mthode aux gomtries quelconques, et surlutilisation intensive du code cylindre pour le contrle optimal des coulements.

Lesprit dans lequel ces schmas sont dvelopps est de dcomposer les quations de Navier-Stokes en sous-problmes, de telle sorte que lon puisse utiliser des outils adapts chaque sous-

8/10/2019 A-2007-HDR

8/111

8 Introduction

problme, plutt que de chercher construire une discrtisation pour les quations originales deNavier-Stokes. En effet, les aspects convectifs et diffusifs sont spars par une technique dal-gorithme pas fractionnaire, dont lordre est contrlable. En pratique, la partie convective est

traite par une mthode purement lagrangienne, ou particulaire, dont la formulation standard et sagnralisation aux gomtries arbitraires sont prsentes au chapitre 1. La partie diffusive et sesdcompositions font lobjet du chapitre 2 : elle est elle-mme spare par linarit en une partieintrieure au fluide avec conditions aux limites homognes et une partie avec source aux parois.La partie diffusive est traite par une mthode arbitrairement eulrienne ou lagrangienne (PSE),tandis que le problme parabolique avec source aux parois est trait par une mthode intgrale.Par ailleurs, ces schmas lagrangiens ne souffrent pas de problmes de dispersion des rseaux departicules, car des techniques de remaillage dordre lev sont utilises.

Le premier chapitre prsente les concepts lmentaires, partir desquels mon travail se base :la description du systme dynamique dun fluide en vorticit, et sa discrtisation particulaire. La

validit et lefficacit des techniques de reconstruction de vitesse, partir dun champ de tour-billon, sont alors fondamentales : il est alors notoirement prfrable dutiliser des grilles sous-jacentes aux rseaux de particules, plutt que de considrer les formules de Biot-Savart. Sur cesgrilles sous-jacentes, la vitesse est alors obtenue par drivation de la solution dun problme ellip-tique.

Cependant, les conditions de non pntration dun fluide travers un bord impermable (paropposition des conditions de porosit) et dincompressibilit couplent les composantes de la vi-tesse. Il en rsulte que naturellement, le problme elliptique relatif au calcul de vitesse est vectoriel,ce qui nuit au cot calculatoire de la mthode. Une faon de dcoupler ce problme de fonctioncourant vectorielle en problmes elliptiques scalaires, permettant alors lutilisation des solveurs

rapides, est dintroduire une quatrime composante propre aux conditions de non-pntration.

Tandis que cette quatrime composante peut tre explicite dans des gomtries simples, elleest relie un problme harmonique dans le cas dune gomtrie arbitraire. Cette mthode rentredans la classe des techniques de surfaces immerges, et ltude de loprateur de trace intgro-diffrentiel associ ce problme harmonique revt alors une importance toute particulire :les proprits du spectre de cet oprateur (appel oprateur dimmersion) sont la garantie duneconvergence rapide. En effet, le regroupement de ses valeurs singulires permet le bon condi-tionnement des systmes linaires en dcoulant, particulirement intressant lors de lutilisationde mthodes de rsolution itratives. En pratique, il est mme possible dinverser cet oprateurde trace, agissant sur les bords du domaine : on obtient alors une mthode extrmement rapide.

Quelques applications sont alors considres, fournissant des validations de la mthode. Il estcependant montr que loprateur dimmersion nest pas naturellement auto-adjoint.

Le second chapitre sintresse au calcul des effets visqueux, cest dire comment calculer lasolution dune quation de diffusion sur la vorticit avec conditions aux limites cinmatiques (surla vitesse), dans un contexte de gomtrie arbitraire. La formule de Chorin, dcrite dans la premiresection du chapitre 2, est loutil permettant de convertir des conditions aux limites cinmatiquesen conditions usuelles, en introduisant la notion de vitesse de glissement rsiduelle.

Cette vitesse rsiduelle est la consquence de ce changement de type des conditions aux li-mites pour le problme de diffusion de vorticit. La solution glissante de cette quation de diffu-

sion est calcule numriquement par une mthode dite de Particle Strength Exchenge, dont uneformulation intrinsquement discrte est prsente dans la section 2.2, garantissant un ordre de

8/10/2019 A-2007-HDR

9/111

Introduction 9

convergence indpendamment de lchelle des changes de force entre particules. Bien que lesmthodes PSE soient naturellement lagrangiennes, elles sont utilises sur des rseaux de parti-cules rchantillonns sur des rseaux uniformes, ce qui leur donne des proprits dinvariance

intressantes.

Afin de garantir les conditions dadhrence (vitesse nulle fixe aux bords), la vitesse rsiduelleest utilise pour dfinir la source aux limites dune quation de diffusion avec conditions aux li-mites de type Fourier-Robin. Cette dernire quation garantit la gnration dune couche limitetourbillonnaire produite par la condition dadhrence. Une mthode utilisable la fois dans uncontexte eulrien et lagrangien est la formulation intgrale de ce problme de diffusion. Les va-leurs significatives de sa solution sont localises prs des bords, et la solution fondamentale de ceproblme parabolique est un flux gaussien dont la densit est dfinie sur le bord. Cette densit etelle-mme solution dune quation intgro-diffrentielle. La section 2.3 du chapitre 2 fournit desestimationsad hocde cette densit, faisant notamment intervenir les courbures de la sous-varit

de R3 sur laquelle cet oprateur est dfini.

On sintresse alors, dans la section 2.4, gnraliser ces formules intgrales de flux de tour-billon aux conditions de glissement cinmatique du premier ordre, du type u = u/n, oest appele longueur de glissement. Lorsque > 0, on parle alors de condition hydrophobe. Cescoulements glissants concernent de nombreuses applications, dont les modles de couches limitesturbulentes, ou les coulements micro et nanomtriques. En effet, pour des distances la paroi su-prieures lpaisseur de la couche de Knudsen, il est possible de ngliger les effets cintiques,tout en nayant pas dadhrence cette chelle. Bien que de la dynamique de tels coulementssoient souvent compltement dtermine par les effets visqueux (cest dire avec des termesconvectifs ngligeables), de nouveaux matriaux fortement hydrophobes comme les nanotubes

de carbones deviennent utilisables comme contrleurs passifs ou actifs des coulements aronau-tiques, donc de fortes vitesses pour lesquelles les effets de glissement et les effets convectifs sonttous deux des facteurs dominants de lcoulement. Ces travaux en cours, mens en collaborationavec P. Koumoutsakos (ETHZ Zrich), sont appels fournir des stratgies efficaces de contrlepassif, les premiers rsultats dans ce sens tant encourageants.

Le chapitre 3 est relatif au contrle des coulements externes, principalement par lutilisationdun profil de vitesse tangential au bord (procd appel contrle par actuateurs). Ce travail at men en collaboration avec R. Hildebrand, G-H. Cottet (LJK Grenoble), M. Milano (ArizonaState University) et P. Koumoutsakos (ETHZ Zrich). Aprs avoir considr plusieurs approchesstochastiques (volutionnaires) et dterministes pour le contrle des sillages 2D, un profil de rf-

rence bidimensionnel a t construit.

Les deux mthodes retenues ont t le lissage dune solution robuste obtenue par un algorithmegntique, ainsi quune mthode de descente de type Newton nergie variable. Les valuationsdune fonction objectif pour chaque lment dune population de paramtres de contrle (dans lecas stochastique), ainsi que les valuations par diffrences finies du gradient et de la hessienne dela fonction objectif (dans le cas dterministe) sont massivement paralllisable, et ont fait lobjetdun travail dimplmentation.

Ce rsultat a t utilis sur les coulements tridimensionnels afin dtudier son impact sur latopologie de lcoulement et sur lamplitude de loscillation des forces de trane et de portance

(phnomnes de Vortex-Induced-Vibration). Par ailleurs, en se focalisant sur le problme de larduction des forces de trane, ltude de la rduction de trane en fonction de lamplitude du

8/10/2019 A-2007-HDR

10/111

10 Introduction

contrle avec ce profil a permit llaboration dune fonction objectif plus pertinente que la simplerduction de trane.

Nous nous sommes finalement intresss au contrle tridimensionnel des sillages. Aprs avoirdfini des fentres pertinentes de lespace de contrle pour les amplitudes et frquences de contrle,un algorithme de descente a t mis au point. Le profil de contrle est une modulation de loptimalbidimensionnel par quatre harmoniques dphases (espace des paramtres de dimension 8). Larobustesse, la rapidit et la prcision de ces mthodes particulaires rendent alors accessibles cescalculs dcoulements tridimensionnels. Les excutions du code de calcul, pour chaque ensemblede paramtres de contrle, ont t massivement paralllises. On assiste alors une rduction detrane importante, vrifie pour des nombres de Reynolds de 300 et 1000, en simulation num-rique directe.

Enfin, en conclusion, on dressera un bilan des enjeux venir et des dveloppements en cours.

8/10/2019 A-2007-HDR

11/111

INTRODUCTION

The work presented in this manuscript of accreditation to supervise research resumes myscientific activities related to the development of Lagrangian schemes, as well as their practicalconsiderations, for numerical simulation of three-dimensional Navier-Stokes equations in theirvelocity-vorticity formulation.

The Lagrangian methods considered herein belongs to the Vortex-in-Cell methods, whose mainfeatures are to transport cells of vorticity, and to compute their trajectory using grid-particle cou-pling. The motivation of this approach is to generalize the VIC methods sufficiently to performlarge three-dimensional flow computation, as close as possible to real world configuration, and

perform their optimal control. Consequently, the numerical methods presented have been develo-ped with the concern of high computational efficiency.

Such schemes can be a meaningful alternative to standard Eulerian schemes and industrialsoftware. Their accuracy, robustness, speed and liability make them belong to the most interes-ting tools for mechanical process design. Indeed, test cases for validation of the schemes and theirimplementation show that one gets satisfactory mechanical diagnostics, without any parameter tu-ning. Application fields involve generic behaviour of wakes, flows around aeronautics (and other)geometries, optimal control of wakes, micro and nanofluidics, biological and geophysical flows,these two last being currently under development.

My PhD work, under the supervision of G-H. Cottet (LJK, Grenoble, France), has consis-ted of implementing hybrid Vortex in Cell method in the context of cylindrical coordinates (thusthe computation of the flow around a cylindrical body). A few directions have been pointed out,

concerning feasibility and computational cost of three-dimensional cylinder wake simulations. Mywork has then been focused on improvement and reliability of the method, in order to compute thelong-time behaviour of the solutions of the Navier-Stokes equations, for physically unstable flows.This behaviour is quantified by means of mechanical diagnostics, that is to say by means of valida-tion of energy dynamics and attractor projection. In a second time, my goal has been to generalizethese numerical methods to complex geometries, and to use intensively the computational code incylindrical geometry for optimal control of wakes.

The spirit of this class of vortex methods is to split it into subproblems related to the Navier-Stokes equations, such as it is possible to use specific tools for each subproblem. Indeed, convec-tive and diffusive effects are split apart by a fractional time step algorithm, for which order can

be as high as required, but limited in practice to first or second order in time and up to fourthorder in space. The convective part is usually solved by a pure Lagrangian method (or particle

8/10/2019 A-2007-HDR

12/111

12 Introduction

method), whose standard formulation and its generalization to complex geometries are presentedin chapter 1. Diffusive part and its decompositions are the topic of chapter 2 : it is itself split bylinearity in a part related to the inner part of the fluid with homogeneous boundary conditions,

and another part with boundary sources. The first diffusive part is solved by a Particle-Strength-Exchange scheme, which is arbitrarily Eulerian or Lagrangian. The second part, a parabolicequation with boundary source, is solved by means of an integral method. Furthermore, such

Lagrangian schemes are not affected by distortion of particle lattice, since these high order reme-shing techniques are used jointly.

First chapter presents elementary concepts, from which my work is based on : the descriptionof dynamical system for a vortical flow, and its particle discretization. Validity and efficiency ofthe velocity computation from a vorticity field are then fundamental : it is then notoriously betterto consider underlying grids on which Poisson equations are solved, instead of considering Biot-Savart laws on the particle lattice.

On grids, velocity is basically obtained by means of derivation of stream functions. Neverthe-less, no-flow-through conditions on a body (to the opposite of porous media) and incompressibilityare coupling velocity components on body boundary when it presents curvature. It follows directlythat elliptic problems arising in velocity computation are naturally of vectorial kind, which is aserious drawback when it comes to computational cost. A way to avoid such coupling is to intro-duce a scalar potential stream (somehow a fourth component to the stream), aiming at satisfyingthe no-slip-through conditions. It is then possible to split the vectorial elliptic equation on streaminto three scalar problems, since only the divergence-free condition is then required.

While this potential stream can be explicited in simple geometries, it is related to an harmonic

problem in the context of complex geometries. This method is a kind of immersed boundaries me-thod, and the analysis of integro-differential operator (called immersion operator) associated tothis harmonic problem is then of fundamental interest : its properties, especially its spectrum com-

pacity, can lead to fast convergence of the algorithms enforcing the no-through-flow conditions,whether it is related to iterative methods or not. It is also shown that this immersion operator is notnaturally self-adjoint (and not even a normal operator). Furthermore, it is possible, in practice,to inverse this trace operator acting on domain boundaries : one gets then a very fast numericalmethod. A few applications are finally given in this chapter, mainly in a validation point of view.

Second chapter focuses on computational aspects of viscous effects, that is to say on howto compute the solution of a diffusion equation on vorticity, with kinematic boundary conditions

(relying on velocity), in the context of complex geometries.

The Chorin formula, described in the first part of chapter 2, is the appropriate tool for conver-ting kinematic boundary conditions into standard conditions, by introducing the concept of spu-rious velocity (residual velocity from homogeneous boundary conditions in diffusion equations).The slip-flow velocity field is computed by means of a Particle Strength Exchange, for which anintrinsically discrete formulation is presented in section 2.2, leading to a convergence order inde-

pendent of the scaling between particle distance and support size of the exchange kernel, whichwas until recently the main drawback of PSE methods.

In order to satisfy adherence conditions (zero velocity at boundaries), the spurious velocity is

used to define boundary source of a diffusion equation with Robin-Fourier boundary conditions.The solution of this last equation generates a vortical boundary layer. Integral methods are well

8/10/2019 A-2007-HDR

13/111

Introduction 13

appropriate tools for such diffusion problems, when used arbitrarily in Eulerian or Lagrangiancontexts. Significant values of the solution are localized near boundaries, and the fundamentalsolution of this parabolic problem is a Gaussian flux whose density is solution of an integro-

differential equation. Section 2.3 of chapter 2 describesad hocestimates of this density, dependingon curvatures of the submanifold ofR3 defining domain boundary.

We are then interested, in section 2.4, in generalizing these integral formulae of vortical fluxto kinematic boundary condition of first order, which readu = u/n, where is called sliplength. When > 0, the boundary is said to be hydrophobic. Such slipping flows are relatedto numerous applications, including turbulent boundary layers, micro and nanofluidics, granular

flows or rough material. Indeed, for characteristic lengths larger than the Knudsen layer, it ispossible to neglect kinetic effects (for non-polarized material), but not the slip at boundary (at thisscale).

Although the dynamics of such slip-flows are often related to scales below micrometer, thuscompletely determined by viscous effects, new trends in flow control involve ultra-hydrophobicmaterial at very high velocity, for which both convection and slip are the dominant feature of the

flow. This ongoing work is made in collaboration with P. Koumoutsakos (ETHZ Zrich), and aimsat giving efficient strategies of passive control, the first results being encouraging.

Chapter 3 deals with control of external flows, mainly by means of tangential velocity onthe body (in practice related to device control called actuators). This work has been made incollaboration with R. Hildebrand, G-H. Cottet (LJK Grenoble), M. Milano (Arizona State Uni-versity) and P. Koumoutsakos (ETHZ Zrich). After considering several stochastic methods (evo-lutionary strategies) and deterministic methods for control of two-dimensional wakes, an optimaltwo-dimensional velocity field has been put forward.

The two selected methods have been on the one hand to smooth a robust solution obtained bymeans of a genetic algorithm, and on the other hand a Newton method with variable energy. Theevaluation of the objective function, in the context of evolutionary algorithms (on every populationelements), or in the context of the computation of its gradient and Hessian by means of finite diffe-rence schemes, have been massively parallelized and the focus of highly efficient implementation.

This reference profile has been used on three-dimensional flows, in order to analyse its impacton flow topology, and on amplitude of drag and lift oscillations (that is to say on Vortex-Induced-Vibration). Furthermore, we have then focused on the problem of drag reduction : the analysisof drag reduction with respect to control strength allowed us to introduce a more meaningful

objective function.

Finally, we have considered three-dimensional control of wakes behind a cylinder. After havingdefined windows for control parameters (amplitude and wavelength), a descent algorithm has beenintroduced and implemented. The control profile considered is a modulation of the reference two-dimensional profile by four spanwise harmonics (out of phase, thus a parameter space of dimen-sion 8). Robustness, speed and accuracy of such particle methods make these three-dimensional

flow computations accessible. The result is then a dramatic decrease of the drag coefficient, atReynolds numbers 300 and 1000, for direct numerical simulation.

Eventually, forthcoming challenges and ongoing developments are given as concluding re-marks of this manuscript.

8/10/2019 A-2007-HDR

14/111

14 Introduction

8/10/2019 A-2007-HDR

15/111

Chapitre 1

MTHODESVORTEX-IN-CELL HYBRIDES

EN GOMTRIE COMPLEXE

Ce premier chapitre est ddi dune part la prsentation des mthodes de Vortex-in-Cellhydrides, cest dire utilisant un couplage grilles-particules, et dautre part leur gnralisation une gomtrie arbitraire dans le cas des fluides parfaits, en utilisant le formalisme de lanalyseharmonique. Les aspects relatifs aux fluides adhrents sont dvelopps dans le chapitre suivant.

La section 1.1 rappelle la construction des quations de Navier-Stokes en vorticit, aprs avoirnonc quelques lments caractristiques ayant trait au calcul de champs de pression et de vorti-cit. La discrtisation lagrangienne et la scission de ces quations est alors dcrite.

La section 1.2 prsente les conditions de non pntration dun fluide travers corps laidedun oprateur harmonique surface vers surface, qui en pratique peut sinverser et donc per-mettre des calculs dcoulements en gomtrie complexe pour le mme cot calculatoire que dansune bote cartsienne sans objet.

1.1 La formulation hybride grille-particules

Cette section dcrit successivement la construction des quations de Navier-Stokes en vorticitet les mthodes de Vortex-in-Cell usuelles, ainsi que leur utilisation pour le calcul de sillagestridimensionnels derrire un cylindre et leur instabilits hydrodynamiques. Une reprsentationsynthtique de lalgorithme est disponible sur la figure 1.2.

Largumentation du choix entre les formulations vitesse-pression et vitesse-vorticit fait in-tervenir de nombreux aspects. Dune part, la pression est une quantit naturelle pour les fluidescompressibles et la modlisation des fluides plusieurs espces ou surface libre. Dautre part,

la dynamique dun coulement est sensible aux conditions aux limites sur la pression (notammentaux limites de domaines fictifs), alors quelle est moins sensible aux conditions sur la vorticit.

8/10/2019 A-2007-HDR

16/111

16 Chapitre 1. Mthodes Vortex-in-Cell hybrides en gomtrie complexe

Ceci permet une conomie substantielle sur la taille des domaines de calcul considrs pourles formulations en vorticit, mme avec des conditions de sortie peu subtiles, tout en gardant desdiagnostics mcaniques fiables. Par ailleurs, les mthodes lagrangiennes ne considrent les champs

que sur leurs supports : les champs de vorticit sont numriquement support compact dans lesdomaines extrieurs, alors que les champs de pression sonta prioripartout non nuls. Cependantlconomie ainsi ralise est marginale, dautant plus que la vorticit est vectorielle alors que lapression est scalaire.

Un des arguments principalement retenus est le fait quil faut une tape de drivation pourcalculer un champ de vorticit partir dun champ de vitesse et de pression, do une perte dergularit. Par contre, la reconstruction dun champ de pression partir dun champ de vorticitnintroduit pas de perte de rgularit. En choisissant de rsoudre des quations naturellement for-mules en vorticit, on obtient des diagnostics et des champs peu bruits. Enfin, le systme dyna-mique issu de la discrtisation lagrangienne dune cellule de tourbillon comporte un terme[

u]T

rgularisant, terme qui nest pas prsent lors de la discrtisation lagrangienne en vitesse-pression.

Par ailleurs, les discrtisations particulaires permettent de saffranchir des termes de transportet donc de leur condition de stabilit, habituellement trs restrictives.

Pour toutes ces raisons, les algorithmes de discrtisation particulaire des quations de Navier-Stokes fournissent, dans le cadre de la simulation numrique directe, un ensemble de techniquesappropries pour le calcul des grands coulements tridimensionnels.

1.1.1 Drivation usuelle des quations de Navier-Stokes en vorticit

Etablissons tout dabord les quations de Navier-Stokes en formulation vitesse-vorticit utili-ses pour le calcul de la dynamique dun fluide visqueux incompressible. Bien que ces rsultatssoient trs usuels, il en dcoule lcriture de lvolution dun champ de vorticit en tant que sys-tme dynamique, qui sera utilise tout au long du manuscrit.

Dune manire gnrale, on considre un fluide newtonien de masse volumiqueet de visco-sit dynamique. Le champ de vitesse de ce fluide est not uet sa pressionp.

Lquation fondamentale de la dynamique (quation de Cauchy) est

u

t

+ div(u

u) = div(S) +f

o S= pI+ 2D+ div(uI)est le tenseur des contraintes, avec D= u+ ut /2tant letenseur des dformations. Les coefficients et sont lis par la relation de Stokes 3+ 2 = 0,le coefficient pouvant tre normalis de manires diffrentes suivant les sources bibliogra-phiques [107, 116].

La conservation de la masse scritt +div(u) = 0et lincompressibilitt + u = 0,leur diffrence devenantdivu= 0dans tout le domaine couvert par le fluide, qui est la conditionhabituellement utilise dincompressibilit. Le terme de contrainte scrit

div(S) = p+ div(2D) +divu= p+u+ (+)divu

De plus, on a div(u u) = (u )u+udivu+(u )u

8/10/2019 A-2007-HDR

17/111

8/10/2019 A-2007-HDR

18/111


1.1.2 Schmas Vortex-in-Cell hybrides classiques

La formulation lagrangienne de type Vortex-in-Cell consiste discrtiser lespace par unensemble de cellules de volumes vp et de positions xp(t) R3 (en pratique le centre degravit). On citera [26, 40] pour une vue densemble des rsultats et pratiques usuelles relatifs ces mthodes.

La discrtisation particulaire est alors une somme de masses de Dirac :

(t) =Pp=1

p(t)xp(t)vp (1.5)

Sur chacune des cellules, la vorticit ponctuelle (ou moyenne pour la condition initiale) est

notep. De manire synthtique, ces variables vrifient le systme dynamique suivant, dcoulantde lquation (1.3), pour chacune des cellules :

dpdt

=

uxp

+[]xp

dxpdt

=u(xp)

dvpdt

=vp(t)divu(xp(t)) 0

(1.6)

o uest un champ de vitesse vrifiantdivu= 0sur,rotu(xp) =ppour toutpet u= 0sur .Le champutilis pour calculer

uetest une estimation adquate de la formule (1.5).

Lavantage immdiat est la disparition du terme convectifu , qui induit en gnral unecondition CFL de stabilit trs restrictive pour les coulements dont le transport est un phnomnedominant, notamment pour des fluides peu visqueux pour lesquels la condition CFL de diffusionnest pas difficile satisfaire. On peut alors utiliser des pas de temps beaucoup plus grands quepour une mthode eulrienne conventionnelle, tout en gardant une fiabilit dvaluation des diag-nostics mcaniques.

La difficult est par contre de construire un tel champ de vitesse. Il est bien sr possible de laconstruire en utilisant une formule de convolution

u(x) =K(x) = R3K(x y) (y)dy (1.7)

oKest un noyau de Green. Dans R3,Kest en pratique une rgularisation de (4|x|)1. Cesthistoriquement ainsi que les mthodes de Vortex-in-Cell ont t introduites, appeles justementmthodes des singularits : une cellule de vorticit pde volume vp, donc de circulation p =pvp, cre le champ de vitesse

up(x) =K (pxp) = K(x xp) p (1.8)

La vitesse en un point xest alors donne par

u(x) = pK(x xp) pvp (1.9)

8/10/2019 A-2007-HDR

19/111

1.1 La formulation hybride grille-particules 19

Cependant, un travail de construction dun noyau adquat est ncessaire pour assureru n= 0sur, qui nest en pratique pas gnralisable une gomtrie arbitraire, moins davoir des sy-mtries particulires ou de rsoudre pleinement les quations intgrales associes ce problme.

De plus, ces mthodes de Green ne permettent pas de vrifier la condition dadhrence totaleu = 0. Mme pour le problme dans R3 sans bord, les noyaux de Green ne sont pas supportcompact : les sommes dvaluation de ces noyaux voluent comme le carr du nombre de parti-cules. Les techniques damlioration de ce calcul, comme les sommations hirarchises [42] et/oules dveloppements multi-polaires [32, 59], ne sont cependant pas suffisamment efficaces [13]pour traiter des cas tridimensionnels de grande taille.

Au milieu des annes 1990, ces mthodes ont t revisites en utilisant un couplage grille-particules pour les domaines sans bord physique (domaine ouvert tronqu ou tripriodique, voir[47]) : le champ de vorticit lagrangien est transfr sur une grille via une convolution avec unnoyau dordre lev. Une quation de Poisson vectorielle permet de calculer une fonction courant,

dont le rotationnel est le champ de vitesse recherch. Il est alors facile de calculer uet sur la grille, puis de transfrer ces valeurs sur les particules, afin dintgrer en temps le systmedynamique (1.6) par une mthode dEDO (mthode de Runge-Kutta dordre 2 ou 4 en pratique).

Une discrtisation temporelle efficace de lquation (1.2), consiste faire un algorithme pasfractionnaire (splitting) convectif-diffusif [38], les deux problmes tant rsolus successivement.Ces deux tapes de convection et diffusion, prsentes brivement ici, sont dveloppes respecti-vement dans les sections 1.2 et 2.3, et de manire plus exhaustive dans [3] et [4].

NotonsA un oprateur qui inverse le rotationnel, cest dire qui associe un champu= A divergence nulle et sans pntrationu n= 0 un champ de vorticitgalement divergence

nulle :A : : div= 0dans u : divu= 0dans, u n= 0sur (1.10)

vrifiantrotu= rotA= . La construction de cet oprateur A est dcrite la section 1.2.

Lquation (1.2), sans terme source et sans diffusion, scrit alors

t + (A ) ( )A= 0 (1.11)

avec une condition aux limitesu n= A n= 0satisfaitede factopar dfinition de loprateur

A. Cet oprateur est construit en gomtrie arbitraire dans la section 1.2 en utilisant les outils de

lanalyse harmonique. Lquation (1.11) devient alors, par discrtisation lagrangienne, le systmedynamique suivant [20] :

dpdt

=

Axp

dxpdt

= A(xp)dvpdt

=vp(t)divA(xp(t)) 0

(1.12)

Notons que lquation (1.11) ne cre pas de tourbillon partir dun champ de vorticit initia-

lement nul. Lorsque lon considre ce systme dynamique en tant que discrtisation des quationsdEuler, il convient de faire attention la gnration de tourbillons et nappes tourbillonaires aux

8/10/2019 A-2007-HDR

20/111


points de perte de rgularit (notamment aux bords de fuite non C1). Dune part il est ncessaire degarantir la compatibilit de la condition initiale avec les quations dEuler (ce qui peut suffire in-troduire la vorticit dans la condition initiale, qui est alors transporte). Dautre part loprateur

Agnre des singularits statiques lorsque la surface possde des coins, singularits super-poser au champdont lamplitude est donne par la circulation globale [104, 113]. Cependant, lagnration de tourbillon singulier spcifique aux quations dEuler nest pas prendre en comptesi lon considre lquation (1.11) comme la partie convective des quations de Navier-Stokes, carles effets visqueux et les conditions dadhrence gnrent le profil tourbillonnaire adquat, mmeau bord de fuite [39].

Ltape de diffusion consiste alors rsoudre une quation de la chaleur

t = 0 (1.13)

avec condition aux limites cinmatiqueu= A= 0, en utilisant la valeur finale de la solution de(1.11) comme donne initiale de (1.13). Cette mthode de pas fractionnaire dordre 1, est basesur le dveloppement

et(A+B) =etAetB + O(t2)Un splitting dordre 2 peut tre mis en uvre aisment en sinspirant de la formule de Strang

et(A+B) =etA/2etBetA/2 + O(t3)

ou bien un ordre plus lev en utilisant les formules de permutation de Trotter. Un inconvnientpotentiel de cette monte en ordre est le raccourcissement de lchelle de temps de diffusion,

correspondant la gnration dune couche limite tourbillonnaire de plus en plus petite (voirsection 2.3). Notons quune telle monte en ordre du splitting nest intressante que si les calculsde convection et diffusion sont galement raliss un ordre quivalent. En pratique, on se limiteaux ordres1et2en temps (et jusqu4en espace).

Une manire de transformer ces conditions cinmatiques u =A = 0 en conditions deNeumann ou Robin-Fourier sur la vorticit est dutiliser la formule de Chorin (voir section 2.3).Lquation aux drives partielles ainsi obtenue est rsolue par mthode intgrale, dveloppe dansun cadre gnral la section 2.3 et dans [4, 5].

A ces deux tapes de convection et diffusion, il est ncessaire dajouter un traitement de re-

distribution des particules (remaillage), afin dviter les points daccumulation et les trous dedensit de particules, notamment prs des bords. Ce remaillage, ralis via une convolution avecun noyau rgulier (de classe C2) dordre 3 support compact (le noyau M4, voir [45]), et parti-culirement utile entre ces deux tapes : elle permet de redistribuer les particules sur un rseauuniforme avant de diffuser et dappliquer un flux de tourbillon aux parois avec suffisamment departicules receveuses. Lensemble de lalgorithme est reprsent sur le diagramme de la figure 1.2.

Labsence de condition de stabilit sur la vitesse impose aux bords, permet de pouvoir consi-drer une grande varit de choix pour exercer un contrle efficace et robuste du fluide par unedistribution de vitesse sur le bord. Dautre part, atteindre par de tels schmas les temps longs dela dynamique du fluide permet un estimation fiable des diagnostiques mcaniques, au sens o lon

est sr de ne pas mesurer des effets transitoires. Ces aspects relatifs au contrle sont dveloppsdans la partie 3.

8/10/2019 A-2007-HDR

21/111

1.1 La formulation hybride grille-particules 21

Par ailleurs, les noyaux de transfert et les supports numriques de gaussienne tant trs com-pact (quelques points de grille dont le nombre est fix), toutes les tapes de lalgorithme (voirfigure 1.2) ont un cot de calcul linaire en fonction du nombre de points de grille. Seule la r-

solution des problmes elliptiques sur une grille cartsienne standard est en O(n log n), utilisantla librairie de calcul FIS HPACK. Lalgorithme gnral a donc un cot de calcul total, en termedoprations et donc de temps de calcul, en O(n log n).

1.1.3 Calcul de sillages tridimensionnels gnrs par un cylindre

Ma thse de doctorat [16] a consist faire ltude mathmatique et numrique de ces sch-mas dans le cas des gomtries cylindriques, incluant la mthodologie pour prendre en compteles conditions aux limites u = 0. Mon travail de thse a galement consist implmenter un

code haute performance pour les calculs de sillages tridimensionnels gnrs par un cylindre infi-niment long. Les points mathmatiques originaux ont t la formulation des conditions aux limitesen vorticit pour cette gomtrie, ainsi que des conditions de sortie du domaine de calcul, de typetraction (recollement de vitesse avec lcoulement potentiel perturb). Les interpolations entre dif-frents rseaux structurs (grilles) et non structurs (lagrangiens), notamment prs des bords, ontgalement fait lobjet dune approche originale dans le traitement de la consistance des transferts,en utilisant des interpolations slectives [16].

Le code a t utilis pour identifier les bifurcations dans la typologie des sillages, principale-ment gouvernes par le nombre de Reynolds Re = UD/oest la viscosit du fluide,Usa vitesse dentranement, et D est le diamtre dy cylindre (ou plus gnralement, la longueur

caractristique de lobjet perpendiculairement la direction dentrainement).

Lobjectif tait notamment ltude des bifurcations secondaires pour lesquels les sillages decylindre deviennent spontanment tridimensionnels. En effet, il est maintenant bien connu quepour des nombres de Reynolds suffisamment levs ( partir de Re = 190), plusieurs modesdinstabilits tridimensionnelles non turbulentes se dclenchent spontanment (phnomne mis envidence exprimentalement [70] et numriquement [62]). Les instabilits croissent exponentiel-lement jusqu ce quelles contiennent autant de circulation que le sillage nominal, atteignant alorsun rgime de saturation (voir figure 1.1).

Ces instabilits peuvent se superposer aux effets turbulents pour des nombres de Reynolds pas

trop grands (au moins jusquRe= 4000, voir [68, 63]). Ceci se rpercute sur les diagnostics telsque le coefficient de trane, trac sur la figure 1.4 et prsentant une perte de charge [67].

La figure 1.3 montre la comparaison avec lexprimentation de linstabilit de type mode BpourRe 260. Le profil spectral de ces instabilits hydrodynamiques a pu tre dcrit avec uneprcision ingale (cf. figure 1.5). Des calculs de sillages autour de cylindres en rotation ont permisdamorcer un thme de recherche sur le contrle topologique des coulements (voir section 3.2 et[9, 14]).

Une des priorits fut ensuite de fiabiliser le code en apportant des discrtisations plus efficaces[11], afin de pouvoir atteindre des rgimes en temps longs, principalement pour dcrire les attrac-

teurs avec une prcision suffisante, puisque le fluide ne se comporte plus comme un oscillateurpriodique lorsque les instabilits hydrodynamiques sont dveloppes.

8/10/2019 A-2007-HDR

22/111


Le fait de ne plus avoir de condition CFL de transport permet de considrer des objets dont lebord est en mouvement tangentiel sans avoir diminuer le pas de temps, ce qui autorise des pas detemps jusqu103 plus grands que pour des mthodes eulriennes pour une mme prcision des

diagnostics mcaniques et topologiques : pour le cylindre fixe dans un courant uniforme, voir [11] compar [65] (lments spec-

traux), et [69] (volumes finis) ; pour le cylindre en rotation alterne, voir [9] en 3D, valid jusquRe = 2000en 2D et

Re= 500en 3D, compar [73] et [76], tous deux en 2D et par lments finis.

1.2 Formulation harmonique pour des bords de gomtrie arbitraire

Le but de cette section est de rsumer les acquis de mes recherches concernant les techniques

efficaces de prise en compte des conditions aux limites de non-pntration u n= 0dun fluide travers une paroi. Le formalisme dvelopp dans cette section est valide pour un bord suffisammentrgulier, ici de classe C1. Des outils adapts de telles conditions aux limites, et destin analyserla rgularit des solutions, existent pour des domaines moins rguliers, voire fractals [103], maisleur utilisation nest pas envisage dans cette tude.

Loprateur de reconstruction de vitesse A, prend un champ de vorticit divergence nulleet rend un champ de vitesse u= Avrifiantdivu= 0,rotu= partout dans, etu n= 0aubord.

Lide habituelle est dintroduire une fonction courant vectorielletelle que = dans, ayant comme des conditions aux limites impliquant rot n= 0etdiv= 0.

Le champu= A = rotvrifie alors toutes les conditions requises : la non-pntration par dfinition des conditions aux limites, le champest divergence nulle, cardivest lunique solution du problmediv = div= 0

div= 0

qui admet la fonction nulle comme solution, on a alorsrotu= rotrot= + div= .

La principale lacune dune telle technique est linvitable couplage au bord des deux condi-

tionsrot n = 0et div = 0, rendant le problme de Poisson systmatiquement vectoriel, nepermettant pas lusage des solveurs rapides disponibles pour les quations de Poisson scalaires.Dautre part, suivant la gomtrie que lon considre, les matrices de rigidit de ce problme el-liptique ne sont pas aussi standards que celles dcoulant des discrtisations usuelles du laplacienen diffrences finies. Je me suis donc attel proposer des solutions mathmatiques et numriquespour ces deux problmes.

Considrons donc lcoulement autour dune surface . Une faon de dcoupler lquationelliptique vectorielle = est doublier la gomtrie du problme et de plongerdans unebote de calcul cartsienne. On considre alorscomme unesurface immergedans.

Les surfaces immerges ont fait lobjet de nombreuses tudes et analyses [44], que ce soit dansun cadre elliptique de calcul de champ de vitesse [34, 35, 110], directement dans les quations de

8/10/2019 A-2007-HDR

23/111

1.2 Formulation harmonique pour des bords de gomtrie arbitraire 23

Navier-Stokes [53, 57], conduisant en gnral des formulations trs lourdes manipuler, oualors dans des formulations intgrales plus gnrales [54, 30]. Notons que le formalisme intgralse prte bien aux discrtisations de type lments finis, les lments de bord tant une discipline

part entire [58, 46, 37].

Notons galement quune autre approche du calcul en gomtrie complexe consiste utiliserdes mthodes de pnalisation [23], qui sont galement rapides mais dont la faiblesse est la priseen compte dobjets minces et la non conservativit algbrique de la gomtrie. Cependant lesmthodes de surfaces immerges et de pnalisation sont complmentaires lune de lautre cartoutes deux oprationnelles pour les calculs en gomtrie complexe.

Loriginalit du travail que jai ralis est de caractriser et quantifier loprateur dimmersion.Limplmentation de la mthode relve ici dun contexte elliptique, grce la formulation en vor-ticit des quations de Navier-Stokes. Ceci conduit des outils beaucoup plus lgers manipuler

que ceux introduits sur les quations primitives de Navier-Stokes en vitesse-pression. En terme deformulation discrtise, lencodage de loprateur dimmersion sous sa forme matricielle peut treinvers, et permet de raliser des calculs dcoulements en gomtrie complexe pour un de cotde calcul supplmentaire marginale par rapport un calcul en bote cartsienne.

La mthode consiste ne pas imposer la condition de non-pntration rot n= 0sur:= dansC.L. div = 0sur (1.14)

Soumis uniquement la condition aux limites div = 0 sur , le problme de Poisson

vectoriel (1.14) peut tre dcoupl composante par composante en trois problmes de Poissonscalaires. Des solveurs trs rapides tels que F IS HPACK ou MUDPACK sont alors disponibles.

Afin de garantir la condition u n = 0, on introduit une quatrime quation scalaire harmo-nique, appele potentiel courant :

= 0 dans

n= rot n sur

(1.15)

Le champ de vitesseuest alors dfini par

u= A = rot (1.16)et vrifieu n= rot n n = 0, ainsi quedivu= divrot = 0et

rotu= rotrot rot= =

La gomtrie du bord nintervient pas dans la dtermination du courant, du moment que longarantitdiv = 0sur les bords du domaine de calcul. La gomtrie intervient via la trace de sonflux surdans lquation (1.15).

On peut donc considrer nimporte quelle gomtrie pour calculer un champ de vitesseusans

pntration travers, partir du champ de vorticit (via la formule (1.16)), du moment quelon sait rsoudre le problme harmonique (1.15), scalaire elliptique.

8/10/2019 A-2007-HDR

24/111


Il est possible de rsoudre le problme harmonique (1.15) en le transformant en

= T dans

(1.17)

avecTune distribution surfacique porte par de densit Hs():

< T, >=

(x)(x)d(x) (1.18)

oest la mesure induite de Lebesgue sur. Il faut alors chercher la densittelle que

n= rot n sur (1.19)

Loprateur : n est appel oprateur dimmersion, qui nest autre quun oprateurharmonique de degr 0, dont on peut attendre de bonnes proprits spectrales [115]. Ltude deses proprits mathmatiques et numriques sont dcrites dans [3]. Trouver la densitadquaterevient alors calculer = 1(rot n), cest dire rsoudre un systme linaire.

Cependant, chaque valuation de requiert la rsolution de lquation de Poisson sur , etrsoudre() = rot nsignifie rsoudre deux systmes linaires imbriqus :

celui relatif = T, de grande taille (de la taille de discrtisation de ) et de formestandard (cest dire permettant lutilisation dun solveur rapide)

celui relatif () =n , petit comparativement au premier (de la taille de discrtisationde), et rsolu en pratique par une mthode itrative de minimisation de rsidu (GMRES)dont chaque itration ncessite la rsolution du premier systme linaire de grande taille.

Il a t remarqu que ce procd converge beaucoup plus vite que si lon construit la matrice derigidit pour prendre en compte directement la gomtrie complexe. Cette approche a t valideassez tt sur un calcul bidimensionnel jusqu un nombre de Reynolds de 9500 (voir [13]).

On montre dans [3] que cet oprateur est auto-adjoint dans H1/2(), mais non-normal dansL2(). Nanmoins, la dcomposition en valeurs singulires (SVD), fait apparatre un regroupe-

ment de ces valeurs, que la gomtrie soit lisse (sphre), singulire (NACA2412), ou complexe(gomtrie avionique). Ceci implique un conditionnement born et petit, garantissant une conver-gence rapide de la mthode.

Par ailleurs, le cas o la surface immerge est moins rgulire queC1, cest direC0,1(lipschitzienne), fera lobjet dune tude approfondie ultrieurement.

En pratique, cette mthode est utilise pour le calcul de champs de vitesse sur une grille :les points de discrtisation de la surface immerge sont transfrs sur une grille. La densit devient alors volumique, son support tant les points de grille dans un voisinage volumiqueV de. Loprateur dimmersion discrtis sur la grille est alors une fonction : V V.Il est montr dans [3] que la formulation volumique est quivalente la formulation surfacique plusieurs couches de surfaces, et quil nen rsulte pas de dgradation du regroupement du spectre.

La consquence immdiate du transfert de la surface sur une grille est le lissage des sin-gularits gomtriques, ce qui rend la mthode utilisable mme pour des surfaces prsentant descoins. Ce lissage est bien entendu invalide pour les quations dEuler (pour lesquelles il est alors

ncessaire de rintroduire les singularits dans loprateur A), mais valide pour les quations deNavier-Stokes avec un bord non rgulier et pour les quations dEuler avec bord rgulier.

8/10/2019 A-2007-HDR

25/111

1.3 Quelques cas dcoulements en fluide parfait 25

Notons 1 loprateur qui associe la solution de (1.14) son membre de droite , etrappelons la notationTqui injecte lespace des densits sur dans son dual, parT() : .

En rsum, on peut remarquer que tout le procd, qui construit un champ usans pntration travers partir dun champ pntrant u, peut tre rsum par lexpression

u= u+ 1 T1(u n) (1.20)Cette expression montre bien le caractre doublement implicite de cette formulation, qui pr-

sente lavantage davoir1 indpendant de la gomtrie du problme et valu laide desolveurs trs rapides.

De plus,agit sur la surfaceuniquement, donc correspond en pratique des discrtisations

impliquant un nombre de points bien infrieur celui de . Enfin,1 peut tre explicit dansles cas o la discrtisation surfacique nest pas trop raffine, comme le montre les quelques casvalidatifs prsents dans la section suivante 1.3.

1.3 Quelques cas dcoulements en fluide parfait

1.3.1 Gomtrie avionique

Des calculs dcoulements autour dune gomtrie avionique de type Falcon 20, en hypothsede fluide parfait, ont t raliss avec succs, comme le montrent les figures 1.7 et 1.8, au sens ola conservation de la circulation et lhypothse de non-pntration sont vrifes. On ne sintressepas, dans ce cas, aux nappes singulires de tourbillon gnres aux bords de fuite, ces calculstant destins tre coupls avec le calcul de couches limites pour les quations de Navier-Stokes(fluides rels), technique dveloppe au chapitre suivant.

Lencodage matriciel de loprateuret son inversion conduisent des calculs extrmementrapides (moins de 12 minutes pour la simulation relative la figure 1.8 sur processeur squentielOpteron), tout en garantissant algbriquement le respect de la condition de non-pntration (voirfigure 1.6). Les dtails de ces simulations sont disponibles dans [3].

1.3.2 Cas dcoulement autour dun solide "tress"

Afin de tester la robustesse de la mthode de surface immerge, jai utilis une gomtriede type gnie civil : un pont structures mtalliques (voir figure 1.9). Le spectre de loprateurdimmersion pour cette gomtrie reste trs regroup autour de lorigne et dans le cercle unit duplan complexe, comme le montre la figure 1.10.

Un telle structure permet lcoulement de lair entre ses lments mtalliques (cf. figure 1.11).Il est donc intressant de pouvoir dterminer quels endroit de la structure les efforts produits

par lair en mouvement sont les plus forts. Cependant, cette gomtrie a t utilise simplementcomme cas test svre pour la mthode de surface immerge.

8/10/2019 A-2007-HDR

26/111

8/10/2019 A-2007-HDR

27/111

Figures du chapitre 1

Figures of chapter 1

Figure 1.1 Dveloppement de la partie transverse de lenstrophieZ

= (x2

2+ y2

2) Reynolds

Re= 400,ztant la direction axiale dans le repre(x,y,z).Figure 1.1 Evolution of transverse enstrophyZ = (x22+ y22)at Reynolds numberRe = 400,zbeing the spanwise direction.

8/10/2019 A-2007-HDR

28/111

8/10/2019 A-2007-HDR

29/111

29

Figure 1.3 Comparaison de la simulation des instabilits hydrodynamiques de typemode Bavec lexp-rimentation : Williamson [70], gauche; Calcul numrique ralis en 2003, droite, tir de [8].

Figure 1.3 Comparison ofmode Bhydrodynamic instabilities between experimentation and numericalsimulation : Experimental work by Williamson (from [70], to the left), and computation performed in 2003

(from [8].

Figure 1.4 Coefficient de trane CD dun sillage de cylindre Re = 300 : la srie temporelle perdson caractre doscillateur priodique et 20% de sa valeur lorsque les instabilits hydrodynamiques de typemode B deviennent le phnomne dominant (voir [9, 11]).

Figure 1.4 Drag coefficientCD for the wake generated behind a cylinder atRe = 300 : signal is nolonger a periodic oscillator andCDdecreases by20%when hydrodynamic instabilities become the mainfeature (see[9, 11] for instance).

8/10/2019 A-2007-HDR

30/111

30 Chapitre 1. Figures

Figure 1.5 Profil spectral du champ de vitesse dans la longueur donde de plus grande croissance, partransforme de Fourier dans la direction axiale, dans le rgime non satur : partir des quations de Navier-Stokes linarises ( gauche, tir de [62]), et calculs prsents ( droite, tir de [9]).

Figure 1.5 Spectral velocity profile related to the wavelength of fastest growth, obtained by Fouriertransform in spanwise direction, when instabilities are not yet fully grown : From linearized Navier-Stokes

equations (to the left, from [62]), and present computations (to the right, from [9]).

8/10/2019 A-2007-HDR

31/111

31

Figure 1.6 Utilisation de loprateur dimmersion Mdans le cas du calcul dun champ potentiel tendantvers0 x linfini (gnrant une vitesse de 1 dans la directionex, axe de lavion) autour dun Falcon 20.La densit rsultanteM1FavecF = n exest trace sur la figure du milieu, et la vitesse rsiduelle esttrace en bas.

Figure 1.6 Immersion operatorMused for potential flow computation around a Falcon 20 geometry,with a far field condition 0 x (generating a velocity equal to 1 in direction ex, the aircraft main axis).Resulting density M1F with F = n ex is plotted on middle picture, residual slip-through velocity isplotted on bottom picture.

8/10/2019 A-2007-HDR

32/111


Figure 1.7 Interaction entre une gomtrie de type Falcon 20 et deux tourbillons verticaux (pouvantgnrer des forces de lacet), dans le cas dun fluide parfait.

Figure 1.7Interaction between a counter-rotating pair of vortex tubes (able to generate yaw angle motion)and a Falcon 20 geometry, in the inviscid case.

8/10/2019 A-2007-HDR

33/111

33

Figure 1.8 Interaction entre une gomtrie avionique et deux tourbillons asymtriques, tir de [3].Figure 1.8Interaction between aircraft geometry and two non-symmetric vortex tubes, from [3].

8/10/2019 A-2007-HDR

34/111


Figure 1.9 A gauche : Pont de Coalbrookdale (1779, Shropshire, Angleterre, Royaume-Uni), constructionde type pont en arc mtallique, dont la gomtrie est de genre tresse creuse (Copyright Pr. MichaelLittman/Structur). A droite : Viaduc de Garabit (1864, Ruynes/Saint-Flour, Cantal, Socit Gustave Effeil& Cie), dune longueur de tablier de 565m, permettant la traverse des Gorges de la Truyre (affluent duLot).

Figure 1.9 To the left : Coalbrookdale Bridge (1779, Shropshire, England, UK), an iron hollow-framed arched-bridge (Copyright Pr. Michael Littman/Structur). To the right : Garabit Viaduc (1864,

Ruynes/Saint-Flour, Cantal, Socit Gustave Effeil & Cie), a 565m long roadway bridge.

8/10/2019 A-2007-HDR

35/111

35

Figure 1.10 En haut gauche : Pont de Mngsten (Allemagne). En haut droite : Gomtrie utilise pour

le calcul dcoulement. En bas : Spectre de loprateur dimmersion pour la gomtrie du pont.Figure 1.10Top-left corner : Mngsten Bridge (Germany). Top-right corner : Geometry actually used asbody for flow computation. Bottom picture : Spectrum of immersion operator for the bridge geometry.

8/10/2019 A-2007-HDR

36/111


Figure 1.11 Snapshots de lcoulement dun tourbillon interagissant avec un pont de gomtrie du mmetype que celui reprsent sur la figure 1.9, pourt = 0..30.

Figure 1.11 Bridge-Vortex flow snapshots for a body whose geometry is of the same kind as the bridgedisplayed on figure 1.9, fort = 0..30.

8/10/2019 A-2007-HDR

37/111

37

Figure 1.12 Surface disovorticit = 0.05t = 12.5ett = 28, et erreur relative de circulation pourchaque composante jusqut = 400.

Figure 1.12Vorticity isovalue at level = 0.05att = 12.5andt = 28, and circulation relative errorup tot = 400for all three components.

8/10/2019 A-2007-HDR

38/111


Figure 1.13 Dispositif exprimental permettant de crer un tourbillon avec un jet interne dans sa direc-tion axiale (en haut), et exemple dinstabilit non linaire obtenu exprimentalement (en bas gauche) et

numriquement (en bas droite).Figure 1.13 Experimental device generating a column vortex with internal jet aligned with its axis (toppictures), and example of non-linear instability obtained experimentally (bottom left picture) and numeri-cally (bottom right picture).

8/10/2019 A-2007-HDR

39/111

39

Figure 1.14 Surfaces disovorticit dun tourbillon impactant un profil NACA0012 tridimensionnel (sanstorsion), par mthode de surface immerge. Lgende : vorticit colinaire laxe du tourbillon en rougetranslucide et orthogonale en vert.

Figure 1.14 Isovorticity surfaces of a column vortex impacting a NACA0012 profiled body (three-dimensional but torsionless body), using immersed boundary method. Legend : vorticity component col-linear to the tube axis (in red), and normal to its axis (in green).

8/10/2019 A-2007-HDR

40/111


8/10/2019 A-2007-HDR

41/111

Chapter 1

HYBRIDVORTEX-IN-CELL METHODS

INCOMPLEXGEOMETRIES

This first chapter aims at presenting Hybrid Vortex-in-Cell methods, that is to say the useof coupling between grid and particles, and their extension to complex geometry (ie around anarbitrarily shaped body), using harmonic analysis tools. Aspects related to no-slip flows (or flows

with slip laws), are developed in next chapter.

The section 1.1 recalls the construction Navier-Stokes of equations in their vorticity formula-tion. The Lagrangian discretization and the split of these equations is then described. Moreover,section 1.2 presents no-through-flow boundary conditions with a surface-to-surface harmonicoperator, which is in practice fully inversible, thus allowing to perform flow computation in com-

plex three-dimensional geometries, for almost the same computational cost as in a standard Car-tesian box.

1.1 Hybrid Grid-Particle formulation

The present section describes the Navier-Stokes equations as a pure dynamical systems onvorticity, and the particle discretization following from this formulation. The resulting algorithm,available as a synthetic diagram on figure 1.2, is applied to numerical simulation of three-dimensionalwakes behin a circular cylinder.

Among the main advantage of particle methods using vorticity, one finds the fact that convec-tion vanishes in the equations, as well as its stability condition, in practice very restrictive, es-

pecially for moving boundaries. Moreover, vortical formulation make all implicitation rely on

elliptic problems, allowing the use of very fast solvers and large time step without noticeable lossof quality for mechanical diagnostics.

8/10/2019 A-2007-HDR

42/111

42 Chapter 1. Hybrid Vortex-in-Cell methods in Complex Geometries

1.1.1 Set up of Navier-Stokes in their vorticity formulation

One considers a Newtonian fluid of densityand of dynamic viscosity. The velocity field isdenotedu, and the pressurep.

The fundamental equation of dynamics (Cauchys equation) is

u

t + div(u u) = div(S) +f

where S= pI+ 2D+ div(uI)is the stress tensor, with D= u+ ut /2being the straintensor. Coefficientsetare linked by the Stokes relation3+ 2= 0.

Mass conservation and incompressibility lead to the usual Navier-Stokes equations :

u

t + (u )u u= 1

(f p) (1.1)with = /being the kinematic viscosity and the velocity fieldu satisfyingdivu = 0all overthe domain. The physical adherence boundary condition is writtenu= 0.

The vorticity is then introduced as = rotu. By taking the curl of Navier-Stokes equa-tions (1.1), one gets

t +u u = rotf

1

2( (f p)) sur [0, T] (1.2)

with R3 sufficiently smooth, or tensorial product of sufficiently smooth open sets, whoseboundary is denotedand on which one considers the normal fieldn:

R3.

By definition, vorticity is a divergence-free field. While it is obvious to compute vorticity fromvelocity, it is not obvious, but possible, to build a velocity field satisfying both no-slip-through anddivergence-free conditions, from a divergence-free vorticity field. Let such a vorticity-to-velocity

field be denotedu= A, which will be described in the next sections.

In the case of biphasic fluid without miscibility (and without diffuse interface models), it isnoticeable that the expression pbecomes singular, of surface Dirac function.

Moreover, we will consider only external forces deriving from a potential field (ie f = ).When densityis constant (and remains constant by incompressibility), right hand side of equa-

tion (1.2) vanishes, and the Navier-Stokes equations can be written as a dynamical system :

t + A A = 0 sur [0, T] (1.3)

with boundary conditionsu= A= 0in the case of adherence conditions without body motion.

Furthermore, ideal fluids ( = 0), whose dynamical is modelled by the Euler equations, arenot satisfying the full no-slip conditions u = 0, but only the no-through-flow condition u n= 0,systematically satisfying by definition of vorticity-to-velocity operatorA. The Euler equations, intheir vorticity formulation, read as the following dynamical system :

t +A A= 0 sur [0, T] (1.4)

without any other boundary condition than the condition already included in the definition ofA.

8/10/2019 A-2007-HDR

43/111

8/10/2019 A-2007-HDR

44/111


An efficient alternative to Green kernels is the use of grids, underlying the particle lattice. Sucha grid-particle coupling has been revisited in the 90s, for domains without physical boundaries, orwith periodic boundary conditions (see [47] for instance) : the vorticity field is transferred to the

grid by means of a convolution using high order compact-supported kernel. A vectorial Poissonequation, solved on the grid by fast solvers (FIS HPACK orMUDPACK in practice), allows to getthe stream function whose curl is the velocity field. Quantities uandare computed on thegrid by means of finite difference schemes (usually 4th order, as well as for the Poisson equationdiscretization). The stretching and diffusion terms are interpolated back to particles, in order to

perform a step for the ordinary differential equation (1.6), usually using second or fourth orderRunge-Kutta schemes.

A meaningful time discretization of equation (1.2) consists in a fractional step algorithm split-ting apart convective and diffusive part [43, 38], these problems being solved one after another.These two steps of convection and diffusion, briefly present herein, are detailed respectively in

sections 1.2 and 2.3, and even more detailed and analysed in [3] and [4].

LetA be an operator inversing the curl operator (ie such asrotu= rotA= ), from and tospaces of divergence free fields, such as u= Asatisfiesu n= 0at boundaries :

A : : div= 0in u : divu= 0in, u n= 0sur (1.10)The full description of operatorA, including its formulation in complex geometries, is given

at section 1.2.

Equation (1.2), source-free and without diffusion, reads

t

+ (A ) ( )A= 0 (1.11)

whose boundary conditionu n =A n = 0is systematically satisfied. The dynamical sys-tem (1.11) becomes then, by particle discretization [20] :

dpdt

=

Axp

dxpdt

= A(xp)dvp

dt

=vp(t)div

A(xp(t))

0

(1.12)

One can notice that equation (1.11) does not create vorticity from void, which may be the casefor ideal fluids streaming around non-smooth body (that is to say presenting. Firstly, void vorticityfield are not initial conditions compatible to stationary solutions of irrotational flow in singulargeometries. Secondly, singular vortex created for ideal fluids at geometry corners is completelydetermined by global circulation and can be set manually [104, 113]. Thirdly, one aims at consi-dering viscous flows, for which corner effects are dealt with by means of the no-slip conditions,generating appropriate vorticity (possibly strong for sharp corners, see [39]).

The diffusion step consists in solving the following parabolic problem over a time step :

t = 0 (1.13)

8/10/2019 A-2007-HDR

45/111

8/10/2019 A-2007-HDR

46/111

8/10/2019 A-2007-HDR

47/111

1.2 Harmonic formulation for arbitrarily shaped bodies 47

components. This makes the Poisson equation (for steam computation) fully vectorial with non-standard boundary conditions, thus a strong loss of performance.

Let the surface around which the flow is computed be denoted. A way to avoid the couplingbetween components of the vectorial elliptic equation = is to forget the boundaryandimmerse it in a standard Cartesian computational box, denoted. The surface is then calledanimmersed boundaryin.

Immersed boundaries have been the topic of many studies in the last decades [44], holdingfor elliptic configurations [34, 35, 110], directly within the Navier-Stokes equations [53, 57],usually leading to expressions uneasy to put into practice, or related to more general integralequations [54, 30]. One can notice that integral formulation is well adapted to discretizations like

finite elements, boundary element methods being a full research field by itself [58, 46, 37].

My work described in [3] has been to characterize and quantify the immersion operator.Thanks to the vorticity formulation of Navier-Stokes equations, the immersion holds in an ellipticcontext. The method consists in avoiding to set up the no-through-flow conditionrot n= 0on: = in

Boundary conditions implyingdiv = 0on (1.14)

With only boundary conditionsdiv = 0on, the vectorial Poisson problem (1.14) can besplit component by component in three scalar Poisson equations. Fast solvers likeF IS HPACK orMUDPACK are then available.

In order to satisfy the conditionu n = 0, a fourth scalar equation in then introduce, whosesolution is harmonic : = 0 in

n= rot n on

(1.15)

The velocity fielduis then given by

u= A = rot (1.16)

and satisfies u

n= rot

n

n

= 0,

divu= divrot = 0 rotu= rotrot rot= =

The boundary shape is not involved in the computation of stream . It is then possible toconsider any geometry (sufficiently smooth), around which it is possible to compute velocity fromvorticity. The hamronic problem (1.15) can be solved by rewriting it under the form

= T in (1.17)

whereTis a generalized function-supported, whose density is Hs():

< T, >=

(x)(x)d(x) (1.18)

8/10/2019 A-2007-HDR

48/111


whereis the induced Lebesgue measure on . The goal is then to findsuch as

n= rot

n on (1.19)

The operator : n is calledimmersion operator, and is a harmonic operatorof degree zero, from which good spectral properties are expected [115]. Its mathematical andnumerical properties are described and detailed in [3]. Finding the density requires either tocompute= 1(rot n)or to solve the related linear system, for example by using an iterativemethod like GMRES, which does not require to build the matrix of (but only to be able to evaluateit).

However, each evaluation ofalso requires to solve the elliptic equation = T. It hasbeen shown that is it much faster to solve these two overlapping linear system than to solve the

full linear system coming from the stiffness matrix of the vectorial Poisson equation involving allgeometrical features. Such an approach has been validated on the test case of the two-dimensionalcylinder wake with impulsive start atRe = 9500[13].

It is shown in [3] that the immersion operatoris self-adjoint in H1/2(), but is a non-normal operator in its natural space L2(). Nevertheless, it is observed that its singular valuedecomposition is grouped, whether the geometry is smooth (sphere), singular (NACA2412) orcomplex (aircraft geometry). This leads to a small conditioning, thus good convergence properties.

Let 1 denote the operator that gives the solution of (1.14) from its right-hand-side. One recalls the notation T, which injects the space of densities over is its dual space, byT() :

< , >.

As a summary, the immersed boundary method builds a velocity field u satisfying the no-through-flow condition on, from a velocity fieldua prioriflowing through, as follows :

u= u+ 1 T1(u n) (1.20)This expression shows the feature of overlapping linear systems arising in this formulation.

One recalls that one of its main advantages is that1 is independent of body shape, thusallowing the use of very fast solvers. Moreover, the operatoracts only on(a surface), and itsdiscretizations are in practice of much smaller size than the domain (a volume). Consequently,when the surfaceis not over-refined, it is possible to compute explicitly1, as shown for a fewvalidating examples described in the next section 1.3.

1.3 A few ideal fluid computations

1.3.1 Aircraft geometry

In order to validate the immersed boundary approach, computations of flows around an air-craft geometry have been performed in the context of incompressible ideal fluid (Euler equations) :

without viscosity and with only the no-through-flow boundary conditionu n = 0. These simu-lations have been successfully performed, as shown on figures 1.7 and 1.8. Indeed, circulation is

8/10/2019 A-2007-HDR

49/111

1.3 A few ideal fluid computations 49

well conserved, and no-through-flow condition is algebraically satisfied all throughout the timeevolution (see figure 1.6).

The matrix encoding of immersion operatorand its inversion lead to very fast computation(less than 12 minutes for the simulation shown on figure 1.8, on a sequential Opteron processor).

Details of these simulation are available in [3].

1.3.2 Flow around a hollow-framed solid

In order to check robustness of this immersed boundary method, a kind a civil engineeringgeometry has been used : a hollow-framed iron bridge (see figure 1.9). The spectra of immersionoperator is well grouped around origin, as shown on figure 1.10, despite the complexity of bodygeometry.

Such a solid geometry allows air to flow between its iron pieces (cf. figure 1.11). It is thusinteresting to point out where the forces applied by the flow on the structure are the strongest.

However, this example has been used only as a benchmark, meaningful due to the complexity ofits shape.

Despite this severe benchmark, one gets a flow whose enstrophy and energy are bounded, withan acceptable conservation of circulation (see figure 1.12).

1.3.3 Interaction between a column vortex and a NACA airfoil

This project, in collaboration with A. Giovannini (IMFT, Toulouse, France) and partially fun-ded by DGA, consists in understanding the dynamics of column vortex containing an axial jet, andits different kinds of interaction with a body, presently a NACA0012.

The first part of this project concerns the study of stability of such column vortex. Their equi-librium has been studied during the PhD thesis of I. Gillieron. The experimental device has beenset up by B. Ferret. Experimentation and numerical simulations have been performed by H. Slei-man during his Master Thesis, under the supervision of P. Brancher and myself, aiming at iden-tifying stable regime and charactistic instabilities at different Swirl and Reynolds numbers (cf.

figure 1.13).

Once a stable configuration is reached and reproducible both by experiments and numericalsimulations, the interaction between a column vortex and an airfoil could be studied. Such com-

putations are already available in the case of ideal fluids (cf. figure 1.14). The no-slip-throughcondition used here is similar to the one used for the dynamics of annular vortex interacting witha solid cylinder (figure 2.7).

Vortex methods are already a valuable tool for computation of vortical rotating jets (see [66]),and could be used to study fluid-structure interaction in complex geometries.

8/10/2019 A-2007-HDR

50/111


8/10/2019 A-2007-HDR

51/111

Chapitre 2

CONDITION AUX LIMITES EN VORTICIT

POUR LES MTHODES LAGRANGIENNES

Une famille de mthodes VIC avec couplage grille-particules a t prsente au premier cha-pitre. Une technique de surfaces immerges a t galement prsente, garantissant en gomtriearbitraire la condition de non-pntration cinmatiqueu n= 0reposant sur lanalyse harmonique

de loprateur dimmersion.Nous nous intressons prsent traduire la condition dadhrence u = 0au bord en terme

de conditions sur la vorticit. La technique utilise repose essentiellement sur la gnralisation desformules de Chorin [105] et la rsolution des quations intgrales associes. En effet, la littratureexistante ne propose pas destimation valide pour les dterminationsad hocde leurs solutions pourle cas tridimensionnel, ni danalyse derreur. Dans la configuration tridimensionnelle, les effets decourbure et de courbure transverse interviennent lordre principal, ce qui nest pas le cas pour laconfiguration bidimensionnelle.

Lesprit est sensiblement le mme que dans le chapitre premier, savoir dvelopper une m-thode consistante pour une gomtrie quelconque, avec une quantification de lerreur, la moins

coteuse possible en terme de temps de calcul, afin de rendre la mthode oprationnelle pour lesgrands coulements tridimensionnels.

La section 2.1 dcrit comment lquation de diffusion (1.13) avec condition aux limites cin-matique, responsable des effets visqueux, peut tre dcoupe par linarit en deux parties.

Dune part, une partie diffusive sur tout le domaine fluide avec conditions aux limites usuelles,rsolue en pratique par des schmas PSE arbitrairement lagrangiens ou eulriens, dcrits lasection 2.2, et plus en dtail dans [5].

Dautre part, une partie diffusive gnrant un flux de tourbillon aux parois, rsolue par mthode

intgrale. La formulation intgrale de ce problme est dcrite dans la section 2.3 et plus en dtaildans [4], des validations tant disponible en 2D dans [13] et en 3D dans [11].

8/10/2019 A-2007-HDR

52/111

52 Chapitre 2. Conditions aux limites en vorticit pour les mthodes lagrangiennes

On considre, de mme quau chapitre prcdent, loprateur notA qui assure la transforma-tion vorticitvitesse : u= A. La condition dadhrence u= 0est transposable immdiatementen condition dadhrence sur un bord en mouvement tangentiel u = ugoal, condition utilise de

manire intensive pour le contrle des coulements 3D au chapitre 3. La transposition aux condi-tions du premier ordre u = nunest, par contre, pas du tout immdiate et fait lobjet de lasection 2.4 et de [1].

2.1 Sparation des effets diffusifs et mthode de Chorin

En tudiant sparment les contributions visqueuses lintrieur du domaine fluide et au voisi-nage des parois, cela se traduit par la rsolution de deux quations de la chaleur avec des conditionsaux limites de type Fourier-Robin, respectivement homognes avec condition initiale non nulle, et

non homognes avec condition initiale nulle.

Notons que ce splitting est ralis par linarit de lquation de la chaleur, donc sans in-troduire derreur de non-commutativit des semi-groupes, contrairement au splitting convectif-diffusif (1.11)-(1.13).

Il est galement remarquer que ces effets visqueux peuvent tre calculs sur un rseau departicules arbitraire. Cependant, en pratique, il est judicieux de raliser le remaillage du rseau departicules entre les calculs de convection et de diffusion, comme le montre le diagramme 1.2, afindobtenir une rpartition plus rgulire et plus conservative de la diffusion. De rcentes techniquespermettent de raliser la diffusion et le remaillage par un seul calcul de convolution [60]. Une

approche galement voisine est de suivre des maillages dlments finis le long de caractristiques,la diffusion tant calcule sur ce maillage [50].

En effet, on souhaite rsoudre lquation de diffusion dont la donne initiale est le champ devorticit0solution de lquation de convection (1.11) linstant final :

t = 0 dans [0, T]

u= A= 0 sur [0, T](x, 0) =0(x) sur

(2.1)

Pour ce faire, on considre tout dabord lquation

t = 0 dans [0, T]

L= 0 sur [0, T](x, 0) =0(x) sur

(2.2)

oL est un oprateur diffrentiel dfinissant les conditions aux limites de Robin-Fourier pourchaque composante de: si i,i= 1, 2est une base mobile tangentielle sur, on a

i L = n i+i i (2.3)

o i est la courbure le long de la direction i (cf. [9, 11]), la courbure moyenne tant note = (1 + 2)/2. Cette quation (2.2) est en pratique rsolue par des mthodes de Particle

8/10/2019 A-2007-HDR

53/111

2.2 Mthodes PSE discrtes 53

Strength Exchenge discrtes, labores dans un contexte arbitrairement eulrien ou lagrangien,et dveloppes dans [5] et plus brivement dans la section 2.2.

On rsout ensuite lquation avec donne initiale nulle et source aux bords :

t = 0 dans [0, T]

L= g sur [0, T](x, 0) = 0 sur

(2.4)

Il sagit de trouvergtelle que la somme des solutions de (2.2) et (2.4), notes respectivement1et2, vrifieu= A = 0: il sagit de la formule de Chorin [105] :

g(x, t) =n(x)

A1t

(x, t) (2.5)

revisite dans [106], qui prouve lquivalence asymptotique entre (2.1) et (2.2)-(2.4) au sensH2(). Les sections 2.2 et 2.3 sintressent respectivement la rsolution des quations (2.2)

et (2.4).

2.2 Mthodes PSE discrtes

Ces travaux relatifs au calcul des effets visqueux, produits par lquation (2.2), ont eu pourbut de lever lambigut sur la notion de consistance qui leur a t historiquement affecte dans le

cadre des mthodes particulaires.

Tout dabord, on remarque facilement que si lon sait rsoudre (2.4), on peut rsoudre (2.2)sans imposer de condition aux limites. En effet, si on appelle1la solution de t = 0avec condition aux limites arbitraire, on peut noter q =L1 et considrer 1 la solution delquation suivante :

t = 0 dans [0, T]

L= q sur [0, T](x, 0) = 0 sur

(2.6)

qui est du mme type que (2.4) et qui implique par linarit que 1+ 1est solution de (2.2).La mthode de Particle-Strength-Exchange (PSE) consiste, pour rsoudre lquation de la cha-

leurt = 0, distribuer la circulation dune particule sur les voisins dans un rayon .

Dune manire gnrale, on considre la description lagrangienne (1.5) de la fonction :

(t) =Pp=1

p(t)xp(t)vp

que lon souhaite diffuser en discrtisant lquation parabolique suivante :

t div(L) = 0

8/10/2019 A-2007-HDR

54/111

54 Chapitre 2. Conditions aux limites en vorticit pour les mthodes lagrangiennes

Loprateur dchange entre particules est dfini par

Q(xk) =n

l=1 (xk, xl) l k vl (2.7)et permet une approximation dediv(L). Le but est alors de trouver la relation entre etL. La rapidit dvaluation de cette somme est garantie par le choix dun noyau supportfortement compact.

La formulation PSE base sur un noyau symtrie sphrique consiste crire sous laforme

(x, y) = 1

7

y x

M

x+y

2

: (x y)2 (2.8)

Diffrents choix poursont discuts dans [5, 16]. En introduisant Atel que

Aij = R3 x2ix2j(x) dx i, j= 1..3 (2.9)on remarque queAkk = 3Akl = pour toutk =l.

Les travaux originaux construisant la mthode PSE (voir [29]) ont tabli que

M =1L 1

5 Tr(L)Id3 (2.10)

Cependant, lorsque lon introduit la distance caractristique entre particules, note h, la conver-gence dun tel schma est en O [(h/)p]. Ce qui signifie que lors dun raffinement de maillage h/veps constant, le schma nest pas utilisable sous cette forme. Ceci est rgulirement sujet controverse quant lutilisation des schmas PSE.

Une ide dj prsente dans [16] consiste introduire les deux moments discrets suivants :

1= Aii=

R3

x4i(x) dx, 2= Aij =

R3

x2ix2j(x) dx i, j = 1..3, i =j (2.11)

Il est alors tabli dans [5] que

M = 2(1+ 22)

21+ 12 222L 22

21+ 12 222Tr(L)Id3 + H (2.12)

avec

Hij = 21 12 622

2(21 + 12 2

22) (1 ij) Lij (2.13)

oest le symble de Kronecker. Cette expression se rduit H 0 dans le cas dun oprateurde diffusionLdiagonal ou dans le cas 1= 32(incluant le cas continu).

Cette mthode base sur les moments discrets est intrinsquement convergente, nayant paslinconvnient de faire intervenir dans le taux de convergence la largeur du noyau utilis. Lesexemples validatifs, tirs de [5], sont svres :

Conservation de la circulation et validation de lordre de convergence avec un anneau tour-billonnaire rendant singuliersur laxe de symtrie (figure 2.2),

Champs de vorticit initiaux alatoires, validant la valeur du taux de dcroissance ner-gtique (viscosit effective) et dveloppant un spectre dnergie en k5/3, Re = 2000

(figure 2.1), etRe= 2 105

.Une analyse de sensibilit a galement t ralise dans [5].

8/10/2019 A-2007-HDR

55/111

2.3 Formulation intgrale des conditions dadhrence 55

2.3 Formulation intgrale des conditions dadhrence

Cette section sintresse la rsolution rapide de lquation parabolique avec source aux bords(2.4) gnrant un flux de tourbillon aux parois responsable du phnomne de couche limite :

t = 0 dans [0, T]

L= g sur [0, T](x, 0) = 0 sur

o L est un oprateur diffrentiel dfinissant le type de condition aux limites.

En pratique, la dynamique de lensemble dun fluide est gouverne par la dynamique de la

couche limite [114, 111] : la mise au point dune mthode efficace pour la rsolution de (2.4) estdonc essentielle pour obtenir des calculs dcoulement prcis.

Ce calcul de couche limite permet de garantir les conditions dadhrences. Bien que les m-thodes de panneaux aient t intensivement dveloppes et analyses pour les conditions normales(voir section 1.2), elles ont fait lattention de peu de travaux rigoureux en ce qui concerne leurformulation pour les conditions tangentielles.

Il a t montr que des conditions de Neumann rpondent au problme en dimension 2 [106,6

A-2007-HDR

Documents

Transcript of A-2007-HDR