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Análisis Matemático I

para estudiantes de Ciencias Económicas

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COLECCIÓN: EL NÚMERO DE ORO

DIRECTOR : Act. Alberto Landro

Álgebra para estudiantes de Ciencias Económicas

Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof Análisis Matemático I para estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof

Análisis Matemático II para estudiantes de Ciencias Económicas Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof

Los matemáticos que hicieron la historia Alejandro E. García Venturini

Análisis de Series de Tiempo, univariadas y multivariadasHeriberto Urbisaia – Juana Brufman

Decisión Estadística Bayesiana, a modo de introducciónEmma Fernández Loureiro de Pérez

Estadística no Paramétrica, a modo de introducciónEmma Fernández Loureiro de Pérez

Teoría de los Conjuntos Borrosos, a modo de introducciónEmma Fernández Loureiro de Pérez

Estadística: Herramientas de InferenciaGabriela Kurincic

Estadística: Probabilidades y DistribucionesGabriela Kurincic

Los Métodos Cuantitativos en las Ciencias Sociales Alejandro E. García Venturini – Federico Castelli

Aplicaciones del Análisis Matemático a la EconomíaBlanca R. Vitale

Modelos para el Análisis de Series de TiempoJuan Carlos Abril

Análisis Matemático I para estudiantes de Ingeniería Alejandro E. García Venturini – Mónica Scardigli

Cálculo FinancieroJuan R. Garnica Hervás - Esteban O. Thomasz - Romina P. Garófalo

Elementos de Econometría de los fenómenos dinámicos Alberto H. Landro – Mirta L. González

Acerca de la probabilidad Alberto H. Landro

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Alejandro E. García Venturini - Axel Kicillof

AnálisisMatemático I

para estudiantes de CienciasEconómicas

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EEddii ttoor r iiaa ll aassoocciiaaddaa aa::

IMPRESO EN ARGENTINA – PRINTED IN ARGENTINA

Ediciones Cooperativas es un emprendimiento cooperativo de docentes de la Facultad de Ciencias

Económicas de la Universidad de Buenos Aires para

difundir sus trabajos e investigaciones

García Venturini, Alejandro Ezequiel

Análisis Matemático I: para estudiantes de ciencias económicas /García Venturini, Alejandro Ezequiel y Axel Kicillof. –6ª. ed.1a. reimp. – Buenos Aires: Ediciones Cooperativas, 2012.

580 p.; 21x14 cm.

ISBN 987-98315-4-3

1. Análisis Matemático I. Kicillof, Axel. II TítuloCDD 515

© 2000, Alejandro E. García Venturini – Axel Kicillof Derechos exclusivos

© 2000, Ediciones CooperativasTucumán 3227, (1189) Buenos Aires Argentina Tel.: 54 11 15 4 198 5667 [email protected] Colección: El número de oro

www.edicionescoop.gov.ar Director : Act. Alberto Landro

1º edición, Agosto 20006º edición, Marzo 2012

HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723

Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de cubierta

puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera

alguna ni por ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico

de grabación o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su

infracción está penada por las leyes 11723 y 25446.

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Prólogo

La publicación de esta obra es en realidad la culminación de un proyecto iniciado hace cercade ocho años. En aquella ocasión nos planteamos elaborar un material acorde a as necesidades delos estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires que cum-pliera con un doble requisito: ser accesible desde el punto de vista expositivo y de alta calidad aca-démica.

El resultado de ese esfuerzo se plasmó en la Serie Notas Teóricas, publicada por la Secreta-ría de Cultura del Centro de Estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas a partir de 1993.Trabajamos conjuntamente en tres títulos: Análisis Matemático 1, Análisis Matemático 11 y Álgebra,

con la pretensión de hacer un aporte original, en especial en el complejo problema del tratamiento delos temas económicos en materias de la rama matemática. Allí es donde resultó provechoso el inter-cambio entre las perspectivas aportadas por cada uno de nosotros, desde su respectiva especiali-dad.

Inmediatamente las publicaciones tomaron vida, nutriéndose de los comentarios de estu-diantes y profesores que las hicieron propias, transformándolas. Por nuestra parte el compromiso serenovaba, a o largo de las casi veinte ediciones y los más de 10.000 ejemplares impresos, a travésde un proceso de actualización permanente.

En la presente edición se han agregado algunos temas y reformulado otros, tanto en la partematemática como en las aplicaciones económicas.

El haber convertido en libro lo que nació como un simple material de estudio nos llena de or-gullO ya que corona un esfuerzo de muchos años. Para nosotros ese esfuerzo no es más que unaforma de reafirmar nuestro compromiso con la Universidad Pública, a a que este trabajo va dedica-do. Este libro se suma al de Algebra y al de Análisis Matemático 11, publicados durante el presenteaño.

Agradecemos a odos los que han contribuido aque este libro hoy pueda ponerse aconside-

ración de alumnos y colegas.

Los autoresAgosto 2000

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IntroducciónEl lenguaje matemático.Producto cartesiano - Relaciones binarias:dominio e imagen.Representación gráfica de las relaciones.

Relación inversa.Conjuntos de puntos: entornos e intervalos.Puntos exteriores, interiores, fronteras y deacumulación.Conjunto de números reales: cotas,extremos. Conjuntos acotados.

Valor absoluto: propiedades, ejemplos.Los polinomios: regla de Ruffini, factoreo,cálculo de raíces racionales: teorema deGauss, ecuaciones polinómicas y raciona-les.Las ecuaciones y las identidades.

Los conjuntos numéricos.Principales operaciones y sus propiedades.Binomio de Newton. Notación científica.

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Introducción 11

En esta unidad haremos un repaso de temas que no son específicos de

este curso pero cuyos conocimientos son fundamentales para poder

abordar los temas del programa de Análisis, como ser los conceptos

de producto cartesiano, relación y función. Propiedades de los conjun-

tos de puntos, entornos, intervalos y valor absoluto. Resolución de

ecuaciones e inecuaciones, cálculo de raíces y factoreo de polinomios;

propiedades de las operaciones, etc.

EL LENGUAJE MATEMÁTICO

En matemática se utiliza un lenguaje propio que ya habrás, en parte,

utilizado en la escuela secundaria o en el C.B.C. Repasamos aquí al-

gunos de esos símbolos.

7 es mayor que 5 7 > 5 2 es menor que 6 2 < 6

el 5 está entre 2 y 8 2 < 5 < 8 valor absoluto de x x x es mayor o igual que 3 x 3 x es menor o igual que 6 x 6

3 es un número natural 3 Û 31 es un número racional

31 Q

2 es un número real 2 Ü-5 no es natural -5 ∉ Û

9 es múltiplo de 3 39 = el 3 divide a 12 3 12y ∧ o ∨

implica si y sólo si ⇔⇔⇔⇔

está incluido en GGGG para todo ~~~~existe al menos 1 }}}} aproximadamente igual ≅

no existe ÔÔÔÔ no pertenece ∉

# (se lee cardinal y es el número de elementos de un conjunto)

Letras griegas más utilizadas

• alpha į delta minúscula • rho • epsilon

ß betha ǻ delta mayúscula Q phi • mu

Ȗ gamma Ȝ lambda π pi ∇ nabla

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Alejandro E. García Venturini 12

PRODUCTO CARTESIANO

Una operación muy importante que se define entre dos conjuntos es el

producto cartesiano que se denomina como A x B. Es el conjunto for-

mado por todos los pares ordenados cuya primera componente perte-

nece a A y cuya segunda componente pertenece a B.

A x B = {( x; y)/ x A ∧ y B}

Ejemplo: A={1;3;5} B={2;5}

A x B={(1;2),(1;5),(3;2),(3;5),(5;2),(5;5)}

Nota: Si # 1A= m y # 2B= n # 3A x B= m x n

R ELACIONES BINARIAS

Se denomina relación de A en B (R: A→B) a todo subconjunto del

producto cartesiano A x B.

El conjunto A se denomina conjunto de partida y el conjunto B conjunto de llegada.

Del ejemplo anterior se pueden extraer las siguientes relaciones:

R 1 = {(1;2), (3;2), (5;2)}

R 2 = {(1;5), (3;2), (3;5), (5;2)}

R 3 = {(1;2), (1;5)}

Se puede demostrar que si # 4 A x B = m x n } 2mxn

relaciones de A→ B. En este caso 2

6= 64.

Dominio de una relación

Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares or-

denados de la relación.

Ejemplos: Dom R 1={1;3;5} Dom R 2={1;3;5} Dom R 3={1}

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Introducción 13

Imagen de una relación

Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares or-

denados de la relación.

Ejemplos: Im R 1={2} Im R 2={2;5} Im R 3={2;5}

Imagen y preimagen de un elemento

Si el par ( x; y) R, se dice que y es la imagen de x y que x es la pre-

imagen de y.

En los ejemplos vistos podemos decir que en R 1 se verifica que el 2 esimagen del 1, del 3 y del 5. Se dice que f (1)= f (3)= f (5) = 2.

También se verifica que el 1, el 3 y el 5 son preimágenes del 2.

Representación gráfica de una relación

Las relaciones se pueden representar de diversas formas, una de ellas

es a través de diagramas de Venn.

A cada flecha le corresponde un par ordenado de la relación y vice-versa.

Los elementos de los cuales parten flechas en A, forman parte del do-

minio de la relación. Los elementos a los cuales llegan flechas en B

son los elementos que pertenecen al conjunto imagen de la relación.

BB

R1 R2R3

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Representación cartesiana

Otra forma de representar una relación es a través de un sistema de

ejes cartesianos. A cada par ordenado le corresponde un punto del

plano. Sobre el eje x se representa el conjunto A y sobre el eje y el

conjunto B. Veamos las representaciones cartesianas correspondiente

a las 3 relaciones vistas.

Relación inversa

Si R es una relación binaria entre A y B, se llama relación inversa de R y

se designa R -1

a la relación entre B y A formada de la siguiente manera:

R -1

= {( y; x) / ( x; y) R}

Ejemplos: veamos las relaciones inversas de las 3 relaciones dadas

R 1-1

= {(2;1), (2;3), (2;5)}R 2

-1= {(5;1), (2;3), (5;3), (2;5)}

R 3-1

= {(2;1), (5;1)}

Grafo de una relación

Para definir una relación se necesitan tres partes: un conjunto de par-

tida A, un conjunto de llegada B y algo que establezca como se rela-

cionan los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B. Ese algo se denomina grafo.

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Introducción 15

El grafo puede estar dado por los pares ordenados, como vimos en los

primeros ejemplos, por un diagrama de Venn, o de otras formas. Por

ejemplo por una ecuación.

Relaciones definidas por ecuaciones

Si consideramos los conjuntos A y B ya definidos, podemos establecer

R 4 de la siguiente forma: R 4={( x; y) / y = x + 2}

En esta relación están aquellos pares cuya 21 componente sea igual a

la 11 + 2.

Vemos que el único par que cumple con dicha condición es el (3;5).

R 4= {(3;5)}.

Las Funciones

Hasta ahora nos hemos referido a las relaciones. Las funciones son un

caso particular de relaciones que verifican las siguientes condiciones:

a) Todo elemento del conjunto de partida A tiene imagen en B

Dom = A. b) Esa imagen es única

De las 4 relaciones definidas anteriormente solamente la 11 cumple

con las dos condiciones. Si la función está definida por una ecuación

suele expresarse de la siguiente forma: f : A→B / y = f ( x). Donde A y

B son el conjunto de partida y de llegada respectivamente.

Relaciones entre conjuntos infinitos

Vimos hasta ahora ejemplos donde los conjuntos A y B son finitos y

por lo tanto las relaciones se pueden expresar por extensión. Si los

conjuntos son infinitos no se puede expresar la relación por extensión.

Para indicar qué pares están en la relación recurrimos a la representa-

ción cartesiana de la misma.

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Ejemplo: f : → / f ( x) = x + 3

Vemos que los pares ordenados que están en la re-

lación son aquellos en los cuales y sea igual a x + 3. Por ejemplo: (1;4), (2;5), (–3;0), (–1;2), (0;3), ....

Si los representamos gráficamente vemos que es-

tán alineados sobre la recta y = x+3. En este caso la relación corres-

ponde a una función, ya que al sumarle 3 a cualquier número real se

obtiene como resultado otro número real, que además es único.

Funciones escalares o reales de variable real

Se denomina así a las funciones cuyo dominio son los números reales

o un subconjunto de ellos y cuyo conjunto imagen también son los nú-

meros reales. En general se expresan como: f : → / y = f ( x).

La representación gráfica de una función escalar de una variable real

es una curva en el plano. Este tema se desarrolla en la Unidad 1.

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Recordemos los conjuntos numéricos

( )( )

( )

( )

( )

0

-

Naturales

0Enteros Z

Enteros Negativos

Z

Racionales Q Reales

Fraccionarios

Irracionales

⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪

ℵ⎪ ⎪⎪ ⎪ℵ ⎨⎪ ⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎩⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎪ ⎨

ℜ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎪⎩

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Introducción 17

Ahora vamos a estudiar en particular algunas características de los nú-

meros reales.

CONJUNTOS DE NÚMEROS R EALES

Intervalos

Intervalo real cerrado [a;b]

Es el conjunto de números reales formado por los números mayores o

iguales que a y menores o iguales que b.

[ ] { }b x a / x=b;a ≤≤ℜ∈

Longitud del intervalo: b – a

Intervalo real abierto (a;b)

Es el conjunto de números reales formado por los números mayores

que a y menores que b.( ) { }b< x< a / x=b;a ℜ∈

Intervalos semiabiertos o semicerrados

( ] { }b x < a / x=b;a ≤ℜ∈

[ ) { }b< x a / x =b;a ≤ℜ∈

Ejemplos: a)+

= (0;+ ∞) b) –

= (– ∞ ; 0)

c) = (– ∞;+∞) d) { x∈ / x ≥ 3} = [3;+ ∞)

e) { x∈ / x < 2} = (– ∞;2)

Cota superior

k es una cota superior de un conjunto S de números reales sí y sólo k es

un número real que no es superado por ningún elemento del conjunto S .

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k es cota superior de S ⇔∀ x∈S : x ≤ k

Un conjunto está acotado superiormente sí y sólo si tiene cota supe-

rior.

Ejemplo:–

está acotado superiormente, tiene infinitas cotas superio-

res (0, 1, 2, etc.).

Extremo superior o supremo

Es la menor de las cotas superiores.

s es supremo ⇔ s es cota superior y ∀ k que es cota superior: s ≤ k

Ejemplo: el 0 para –

Nota: el extremo superior o supremo es único.

Máximo: si el extremo superior o supremo pertenece al conjunto S

entonces es el máximo del conjunto.

Ejemplo: el 0 no es máximo para –

{ } x < x / x= A 52 <∧ℜ∈ , no tiene máximo, el 5 es

supremo pero no máximo

{ } x < x / x= B 52 ≤∧ℜ∈ , 5 es máximo

Conjunto mayorante

El conjunto mayorante del conjunto S es el conjunto formado por to-

das las cotas superiores.

Conjunto mayorante = { }S x x / x desuperior cotaes∧ℜ∈

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Introducción 19

Cota inferior

h es una cota inferior de un conjunto S de números reales sí y sólo h es

un número real que no supera a ningún elemento del conjunto S .

h es cota inferior de S ⇔∀ x∈S : x ≥ h

Ejemplo: el 0, –1, –2, etc. para +

Un conjunto está acotado inferiormente ⇔ tiene cota inferior.

Extremo inferior o ínfimo

Es la mayor de las cotas inferiores.

s es ínfimo ⇔ s es cota inferior y ∀h que es cota inferior: s ≥ h

Ejemplo: el 0 para +

Nota: el extremo inferior o ínfimo es único.

Mínimo: si el extremo inferior o ínfimo pertenece al conjunto S enton-

ces es el mínimo del conjunto.

Ejemplos.: el 0 no es mínimo para +

{ }52 < x < x / x= A ∧ℜ∈ no tiene mínimo

{ }< x x / x= B 52 ≤∧ℜ∈ 2 es mínimo

Conjunto minorante

El conjunto minorante del conjunto S es el conjunto formado por todas

las cotas inferiores.

Conjunto minorante = { }S x x / x deinferior cotaes∧ℜ∈

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Conjunto acotado

Un conjunto está acotado sí y sólo sí tiene cota superior e inferior.

Ejemplo: { }< x /x x= A 72 ≤∧ℜ∈

Conjunto mayorante = { }7 x /x x ≥∧ℜ∈ , 7 es el supremo, no tiene

máximo.

Conjunto minorate = { }2 x /x x ≤∧ℜ∈ , 2 es el ínfimo, y mínimo.

A es un conjunto acotado.

Axioma de continuidad

Caracteriza a los números reales. Si un conjunto no vacío de números

reales tiene cota superior entonces tiene extremo superior o supremo.

No es así en Q donde la cota superior puede no pertenecer al conjunto.

Ejemplo: { }< xQ /x x= A 22

∧∈ Q∉2

VALOR ABSOLUTO -MÓDULO

Se llama valor absoluto o módulo de un número real al mismo número

si es positivo o cero y a su opuesto si es negativo.

⎩⎨⎧

−

≥

0<asia

0asia =a

Ejemplos: 33 =|| 44 = ||− 00 =||

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Introducción 21

Propiedades

1) ( )00 >|a|a:a ⇒≠ℜ∈∀

2) aa:a −=ℜ∈∀

3) k ak ak a:a −=∨=⇔=ℜ∈∀

4) aaa a ≤≤−ℜ∈∀ :

5) b.a =b.a:b ,a ℜ∈∀ℜ∈∀

6) ba =ba:b ,a : : ℜ∈∀ℜ∈∀

7) ( )0k > , x : x k k x k ∀ ∀ ∈ ℜ ≤ ⇔ − ≤ ≤

8) ( )0k > , x : x k x k x k ∀ ∀ ∈ ℜ ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ −

9) |b|+|a| |b+a|:b ,a ≤ℜ∈∀ℜ∈∀ (desigualdad triangular)

10) |b||a| |ba|:b ,a −≥−ℜ∈∀ℜ∈∀

11) |ba| |b||a|:b ,a −≤−ℜ∈∀ℜ∈∀

Ejemplos de aplicación de las propiedades

Resolver las siguientes inecuaciones y determinar el conjunto solución

a) ⎜ x – 2 ⎜≤ 3

–3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇒ – 3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2 ⇒ –1 ≤ x ≤ 5

x ∈ [–1;5]. [ ]1 5S ;= −

b) ⎜ x + 1⎜< 5

–5 < x + 1 < 5 ⇒ –5 – 1 < x < 5 –1 ⇒ – 6 < x < 4, ( )46; x −∈

( )6 4S ;= −

c) ⎜ x + 3⎜≥ 2

x +3 ≥ 2 ∨ x + 3 ≤ – 2 ⇒ x ≥ – 1 ∨ x ≤ – 5

( ] [ )+∞−∪−∞−∈ ;; x 15 . ( ] [ )5 1S ; ;= −∞ − ∪ − +∞

-5 -1

-6 4

-1 5

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d) ⎜ –2 x + 3 ⎜≥ 4

–2 x + 3 ≥ 4 ∨ –2 x + 3 ≤ – 4 ⇒ x ≥ 2

7 ∨ x ≤

2

1− ∴

⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡+∞∪⎥

⎦

⎤⎜⎝

⎛ −∞−∈ ;; x

2

7

2

1

1 7

2 2S ; ;

⎛ ⎤ ⎡ ⎞= −∞ − ∪ +∞⎜ ⎟⎥ ⎢

⎝ ⎦ ⎣ ⎠

e) x < 6 < x−5

x < 6 ⇔ – 6 < x < 6

x−5 > 6 ⇔ 5 – x > 6 ∨ 5 – x < – 6 ⇒ x > 11 ∨ x < – 1

El conjunto solución está formando por los números reales que verifi-

can todas las condiciones, es decir (–6; –1). ( )6 1S ;= − −

f) 31

6 >− x

⇔ x

16 − > 3 ∨

16 − < – 3 ⇒

316

>−

x

x ∨ 3

16−<

−

x

x ⇒ 013

>−

x

x ∨ 0

19<

−

x

x

i)

3

1>

x ∧

0>

x ∨

3

1<

x ∧

0<

x

⇒ 3

1>

x ∨

0<

x

ii)9

1> x ∧ 0< x ∨

9

1< x ∧ 0> x ⇒

9

10 << x

{ }1 1

09 3

x ; ;⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∈ −∞ ∪ +∞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. { }1 1

09 3

S ; ;⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −∞ ∪ +∞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-6 -1

-1/2 7/2

1/9 1/3

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Introducción 23

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTO DE PUNTOS

Entorno de un punto

Si a es un número real cualquiera y h un número positivo se llama en-

torno de centr o a y radio h al conjunto de puntos que están a una

distancia de a mayor o igual a 0 y menor que h , es decir al intervalo

abierto (a – h ; a + h).

( ) ( ) { } { }h< |a x| / x=h+a< x< ha / x=h+a;ha=h;a E −≤−− 0

Entorno reducido

Es el entorno del cual se excluye al centro, es decir al punto a:

( ) ( ) { } { }h<|a x| < / x=ah;a E =ha; E *

−− 0

Ejemplos

E (2;0,05) = (1,95;2,05) E * (2;0,05) = (1,95;2,05) – {2}

Punto de acumulación

Si S es un conjunto de puntos de la recta real, un punto x es de acumu-

lación de S sí y sólo sí a todo entorno reduci-

do de centro x pertenece por lo menos un ele-

mento de S .Si ( ]b;aS = , a y b son de acumulación, c no lo es.

x es un punto de acumulación de S ⇔ ( ) ( ) φ ≠∩∀ S x E / x E **

Conjunto derivado

Dado un conjunto de puntos S , el conjunto formado por todos sus pun-

tos de acumulación se denomina conjunto derivado ( )' S .

En un intervalo real cerrado todos los puntos son de acumulación.

a b c

S

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En un intervalo real abierto o semiabierto todos los puntos son de acu-

mulación, aunque los extremos no pertenezcan al conjunto.

Si [ ]baS ; = , [ ]baS ;

'

= , ( )baS ; = , [ ]baS ;

'

= , [ )b;aS = , [ ]baS ;

'

=

En el conjunto de los números naturales no hay puntos de acumulación.

Ejemplo:

{ }5242 =∨≤−∧ℜ∈= x x x / x A

0442422 ≤−≤−⇒≤−≤− x x (recordemos que al dividir por un

número negativo cambia el

sentido de la desigualdad)

Por lo tanto 10 ≤≤ x ∨ 5= x . Resulta así [ ] { }510 ∪= ; A y [ ]10; A' =

Conjunto denso en sí

Un conjunto es denso en sí si todos sus puntos son de acumulación.

Por lo tanto debe estar incluido en el conjunto derivado. S ⊆ S ́ .

Ejemplos: , un intervalo cerrado o un intervalo abierto son conjuntos

densos en sí porque todos sus puntos son de acumulación.

El conjunto A recién mencionado no es denso en sí.

Conjunto cerrado

Un conjunto es cerrado sí y solo sí contiene a todos sus puntos de

acumulación.

Ejemplo: un intervalo cerrado es un conjunto cerrado porque contiene

a todos sus puntos de acumulación en cambio un intervalo abierto no

lo es porque los extremos son de acumulación y el conjunto no loscontiene.

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Introducción 25

Conjunto compacto

Un conjunto es compacto sí y solo sí es cerrado y acotado.

Ejemplo: un intervalo cerrado

Conjunto perfecto

Un conjunto es perfecto si es cerrado y denso en sí. Es decir si es

igual a su conjunto derivado S = S ́ .

Ejemplo: y un intervalo cerrado son conjuntos perfectos. no es perfecto porque es denso en sí pero no es cerrado.

Punto aislado

Un punto x que pertenece a un conjunto S es aislado si y sólo sí existe

un entorno reducido x en el cual no hay ningún punto del conjunto S .

x es aislado ⇔ ( ) ( ) φ =∩∃∧∈ S x E / x E S x**

Si [ ) { }cb;aS ∪= , c es aislado.

Ejemplo: cada número natural y cada número entero son puntos aislados.

Punto interior

Un punto x perteneciente a un conjunto S es interior al conjunto S si ysólo si existe un entorno de x totalmente incluido en S . Designamos al

conjunto de puntos interiores como iS .

x es interior ⇔ ( ) ( ) S x E / x E S x ⊆∃∧∈ Si [ ]b;aS = , c es interior.

Ejemplos: a) Todo número real b) en S = [0;2), x = 1

a b c

S

a c b

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Conjunto abier to

Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores.

Ejemplos: y los intervalos abiertos son conjuntos abiertos; no losson los intervalos semiabiertos o los intervalos cerrados.

Punto exterior

Un punto x es exterior a un conjunto S si y sólo si existe un entorno de x al cual no pertenece ningún punto de S . Designamos al conjunto de

puntos exteriores comoe

S .

x es exterior a S ⇔ ( ) ( ) φ =∩∃ S x E / x E Si [ ]b;aS = , c es exterior.

Ejemplo: en S = [0;2), c = 3

Punto frontera

Un punto x es frontera del conjunto S si y sólo no es interior ni exte-rior al mismo. En todo entorno de x existe algún punto que pertenece aS y alguno que no pertenece a S . El punto frontera puede o no pertenecer al conjunto. Designamos al conjunto de puntos frontera

como f S . Si [ )b;aS = , a y b son frontera.

Ejemplo: el 0 es frontera para+

o –

Teorema de Weierstrass

Si un conjunto infinito está acotado entonces dicho conjunto tiene por

lo menos un punto de acumulación.

a b

S

a b c

S

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Introducción 27

EJEMPLOS RESUELTOS

Dados los siguientes conjuntos, determinar los puntos de acumulación,

aislados, interiores, exteriores y frontera.

a) ( ]71; A =

Todos los puntos son de acumulación [ ]71; A' = , aislados no hay, interio-

res son ( )71; Ai = , exteriores son ( ) ( )+∞∪−∞−= ;; Ae 71 y frontera

{ }71; A f = .

b) { }362<∧ℜ∈= x x / x B . ( )66; B −=

Todos los puntos son de acumulación [ ]66; B'

−= , aislados no hay, inte-

riores son todos ( )66; Bi −= , exteriores son ( ) ( )+∞∪−∞−= ;; Be 66 y

frontera { }66; B f −= . B es un conjunto abierto.

c) { }531 =∨<≤−∧ℜ∈= x x x / xC

Los puntos de acumulación son [ ]31;C '

−= , punto aislado es x = 5, in-

teriores son ( )31;C i −= , exteriores son ( ) ( ) { }531 −+∞∪−∞−= ;;C e y

frontera { }531 ;;C f −= .

d) { }17642 =−∨<−∧ℜ∈= x x x / x D

5110226426 <<−⇒<<−⇒<−<− x x x

68171717 =∨=⇒−=−∨=−⇒=− x x x x x

( ) { }8651 ;; D ∪−=

Los puntos de acumulación son [ ]51; D'

−= , puntos aislados son x = 6 y

x = 8, interiores son ( )51; Di −= .

Exteriores son ( ) ( ) { }8651 ;;;C e −+∞∪−∞−= y frontera { }8651 ; ,;C f −= .

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Determinar el conjunto de todos los números reales tales que su cua-

drado sea menor que 16.2) Hallar todos los entornos con centro en el origen que contengan al

intervalo (–1;3).

3) Resolver las siguientes desigualdades

a) 02

1≤

+

−

x

xb) 410 <+< x c) 022

≥−− x x

4) Hallar cotas y extremos de los conjuntos solución del ejercicio 3.

5) Encuentre el conjunto derivado y el conjunto de puntos aislados de:

a) A = b)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ℵ∈∧+

+== n

n

n x / x A

35

1

c) { }742

=∨<= x x / x B

6) Dado el conjunto { }743 =∨<−∧ℜ∈= x x x / x A , determinar:

a) conjunto mayorante, b) conjunto minorante, c) supremo, d) máxi-

mo, e) ínfimo, f) mínimo, g) conjunto derivado, h) puntos interio-res, i) puntos exteriores, j) puntos frontera.

R ESPUESTAS

1) (–4;4) 2) E (0,3 + ε)

3) a) (– ∞;–2) ∪ [1;+∞) b) (–5;–1)∪ (–1;3) c) (– ∞;–1] ∪ [2;+∞)

4) 3a) y 3c) no son conjuntos acotados, 3b) conj. may. = [3;+∞) y

conj. min. = (– ∞;–5], el supremo es 3, el ínfimo es –5.

5) a) =' A , conjunto aislado =∅

b) =' A⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

5

1, conjunto aislado = A

c) =' B [ ]22;− , conjunto aislado A ={ }7

6) a) [7;+∞), b) (– ∞;–1], c) el supremo es 7, d) el máximo es 7,

e) el ínfimo es –1, f) ∃/ mínimo, g) [ ]71;' A −= , h) ( )71; Ai −= ,i) ( ) ( )+∞∪−∞−= ;; Ae 71 , j) { }71; A f = .

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Introducción 29

POLINOMIOS - FACTOREO - ECUACIONES POLINÓMICAS

Se llama polinomio a una expresión algebraica racional entera de la

forma:

pn ( x) = an.xn

+ an-1. xn-1

+...+a0 con an ≠ 0

El polinomio es de grado n y an es el coeficiente pri ncipal .

Valor numérico

Se llama valor numérico de un polinomio al número que se obtiene dedarle a la variable x un determinado valor, por ejemplo x = a.

( ) 01

1 a+...+a.a+ a.a= a p nn

nnn

−

−

Ejemplo: p ( x) = 3 x3 + 2 x – 1

p (1) = 3.13 + 2.1 – 1 = 4 p (2) = 3.23 + 2.2 – 1= 27

Ceros o raíces de un polinomio

Son los valores de x para los cuales el polinomio tiene valor numérico

0. Se los denomina x1, x2, ... , etc.

Ejemplo: p ( x) = x3 – 2 x + 1 x1 = 1 es raíz o cero porque p (1) = 0.

Propiedad

Si x1= a es raíz de p ( x) ⇒ p ( x) es divisible por x – a.

División de polinomios - La regla de Ruffini

Esta regla sirve para efectuar la división de polinomios cuando el divi-

dendo es de la forma x + a. Para calcular los coeficientes del polino-

mio cociente y el resto se adopta la siguiente disposición práctica co-

nocida como Regla de Ruf f ini , debida al médico y matemático italia-

no Paolo Ruff in i (1765-1822).

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Sea la división( )

( ) xC R

a+ x| x D, donde D ( x) es el polinomio dividien-

do, C ( x) es el polinomio cociente y R es el resto de la división.

Veamos la regla a partir del siguiente ejemplo

x| + x+ x x x 39141352345

−−−

Disposición de los coeficientes

a) En la primera fila se escriben los coeficientes del polinomio divi-dendo ordenado y completo, (si faltase algún coeficiente se completa

con 0). En este caso van 2, –5, –13, 0, 14, 9. El 0 va porque falta el

término de 2º grado.

b) En la segunda fila a la izquierda se escribe (–a).

En este caso a = –3, – a = 3.

c) En la tercera fila se escriben los coeficientes que se van obteniendo.

Obtención de los coeficientes

Se baja el primer coeficiente del dividendo (que va a ser el primer

coeficiente del cociente). En este caso el 2. Se lo multiplica por (– a),

es decir por 3. Se obtiene 6. Este resultado se coloca debajo del 2ºcoeficiente del dividendo, en este caso debajo del –5. Se suman ahora

el –5 y el 6. Se obtiene 1. Este número (el 1) es el 2º coeficiente del

cociente. Este resultado se vuelve a multiplicar por (– a), es decir por

el 3, se obtiene así el 3 que se coloca debajo del siguiente coeficiente

del dividendo (el –13). Se vuelve a sumar y así sucesivamente se re-

pite el procedimiento hasta llegar al último coeficiente, en este caso el

237, que es el resto de la división.

23776301012

228903036391401352

|

| |

−−

−−

−−

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Introducción 31

Los coeficientes del polinomio cociente son los coeficientes que apa-

recen en la 3º fila, excepto el último que ya dijimos es el resto. El

grado del cociente es un grado menor que el del polinomio dividendo,

en este caso es de grado 4. El cociente de esta división por lo tanto es:

C( x) = 2 x4+ x

3 – 10 x

2 – 30 x + 76

Cálculo de los ceros o raíces

Para calcular los ceros de un polinomio se iguala el mismo a 0: p ( x) = 0.

Para calcular los ceros debemos por lo tanto resolver la ecuación poli-

nómica asociada al polinomio. Todo polinomio de grado n tiene n raí-ces reales o complejas.

Si el polinomio es de grado 1 es de la forma p ( x)= a1 x + a0 con a1 ≠ 0;

la ecuación asociada es una ecuación de 11 grado: a1 x + a0= 0 ⇒

x1=1

0

a

a− .

Si el polinomio es de grado 2 es de la forma p ( x) = a2 x

2

+a1 x + a0 cona2 ≠ 0; la ecuación asociada es a2 x2 +a1 x + a0 = 0, o como más usual-

mente se la conoce: ax2 + bx + c = 0; es una ecuación de 2º grado que

se resuelve aplicando la fórmula resolvente: x =a

acb+b 2

2

4 _ −−, fórmula

del siglo XII debida al matemático hindú BHASKHARA.

Si el polinomio es de grado ≥ 3 ya no es tan fácil encontrar las raíces.

A veces es posible obtener alguna raíz por tanteo. Vamos a ver el teo-

rema de Gauss que permite analizar cuales pueden ser las posibles

raíces racionales del polinomio restringiendo el tanteo.

Cálculo de las raíces racionales (Teorema de GAUSS)

Si p (x ) = 0 tiene coeficientes enteros (si tuviera coeficientes raciona-

les es muy simple transformarla en una ecuación que los tenga) y tie-

ne raíces racionales, éstas son de la formaq p .

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p son los divisores del término independiente, q son los divisores del

coeficiente principal.

Este método no indica cuáles son las raíces, sino que indica cuáles sonlas posibles raíces. En lugar de probar con cualquier número, proba-

mos con los números que surgen del teorema.

Ejemplo: x3 – 2 x2 – x + 2 = 0

Aplicamos el teorema:1

21

±→

±±→

q

, p

de donde surge que las posibles raíces son: 21 ±± ,=q p .

Las posibles raíces son: –1, 1, –2 y 2. En lugar de probar con cual-

quier número probamos con estos.

p (1) = 1–2–1+ 2 = 0, p (–1) = –1–2+1+2 = 0,

p (2) = 8 – 8 – 2 + 2 = 0 p (–2) = –8–8+2+2 ≠ 0,

las raíces son x1=1, x2= –1, x3=2.

Factoreo de un Polinomio

Dado un polinomio pn( x) = an.xn + an-1. x

n-1 +...+ a0, éste se puede fac-

torear de la siguiente forma: p n (x ) = a n .(x -x 1).(x -x 2).(x -x 3)....(x -x n),donde x1, x2,..., xn son sus ceros o raíces.

Todo polinomio de grado n, y por lo tanto toda ecuación polinómicade grado n , puede ser factoreada en n factores lineales, no contando

entre ellos la constante an. La descomposición factorial es única y si el

grado del polinomio es n , tiene n raíces.

Las raíces pueden ser reales o complejas, simples (aparece una sola

vez cada una) o múltiples (puede aparecer una raíz más de una vez).

Una ecuación polinómica de grado n no puede tener más de n raíces y

el número de raíces diferentes es ≤ n.

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Introducción 33

Ejemplo

a) Factorear p( x) = 2 x2 + 3 x – 2

Por ser un polinomio de 2º grado podemos buscar sus raíces aplicando

la fórmula correspondiente: 2 x2 + 3 x – 2 = 0 ⇒ x1= –2, x2 =21 .

p( x) =2.( x+2) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

21 x

b) Factorear p ( x) = 2 x3 – x

2 – 2 x+1

Primero buscamos las raíces, podemos aplicar Gauss.

p → ±1, q → ±1, ±2 ⇒ 2

11 ±± , =

q

p. Probamos:

p (1) = 2 – 1 – 2 + 1= 0, p (–1) = –2 –1 + 2 + 1 = 0

p (1/2)= 1141

41 +−− = 0, p(–1/2)= 11

41

41 ++−− ≠ 0

⇒ x1 =1, x2 = –1, x3 =21

A partir del conocimiento de las raíces, factoreamos:

p( x) = 2( x – 1).( x + 1). ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

21 x

c) Factorear p( x) = x3 – x

2 – 3 x + 3

Primero buscamos las raíces, podemos aplicar Gauss.

p → ±1, ±3; q → ±1, ⇒ 31 ±± ,=q

p. Probamos:

p (1) = 1 – 1 – 3 + 3 = 0, p (–1) = –1 – 1 + 3 + 3 ≠ 0

p (3) = 27– 9 – 9 + 3 ≠ 0, p (–3) = –27 – 9 + 9 + 3 ≠ 0

por lo tanto la única raíz racional es x1=1. Las otras dos raíces no son

racionales. Para calcularlas aplicamos la propiedad de las raíces de los

polinomios. Dividimos p( x) por x – 1. Podemos aplicar la regla de Ru-

ffini.

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0301

3011

3311

|

|

|

−

−

−−

⇒ x3 – x2 –3 x + 3 = ( x –1).( x2 – 3)

Las otras dos raíces se obtienen haciendo ( x2 – 3) = 0 ⇒ x2= 3 y

x3 = – 3 , p ( x) = ( x – 1).( x – 3 ).( x + 3 ).

Conocida una raíz siempre es posible efectuar la división y bajar así el

grado del polinomio.

ECUACIONES - IDENTIDADES

Ambas son igualdades, las ecuaciones se verifican para ciertos valores

de las variables mientras que las identidades se verifican para cual-

quier valor de la variable.

Por eso es que las ecuaciones se resuelven , es decir hay que encontrar

los valores de las variables para los cuales se verifica la igualdad. En

cambio una identidad se verifica , es decir se muestra esa igualdad en

forma más evidente.

Ejemplos

x + 5 = 2 es una ecuación , se verifica para x = –3, la solución de la

ecuación es x = –3, el conjunto solución es S = {–3}.

x2 – 4 x + 3 = 0 es una ecuación de 2º grado que se resuelve aplicando

la fórmula resolvente.

Aplicando la fórmula obtenemos x1 = 1, x2 = 3. El conjunto solución es

S = {1;3}

( x + 1)2 = x2 + 2 x + 1 vemos que es una identidad porque esta expre-

sión es válida ∀ x.

Identidades trigonométricas

Son identidades donde aparecen involucradas funciones trigonométricas.

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Introducción 35

Ejemplo

tg 2 x + 1 = sec2 x

Esta igualdad es una identidad porque se verifica ∀ número real x para

los que están definidas las funciones. Vamos a verificar la identidad,

es decir mostrar la igualdad en forma más evidente.

x sec= xcos

= xcos

xcos+ x sen =+

cos

x sen =+ xtg

2

22

22

2

22 1

11

Otras identidades trigonométricas se desarrollan en el capítulo de fun-

ciones.

INECUACIONES POLINÓMICAS - R ACIONALES

Veamos como se resuelven inecuaciones de este tipo.

a) 3 x2 – 6 x > 0

Primero factoreamos extrayendo factor común, con las raíces de cada

factor dividimos la recta real en subintervalos y analizamos el signo de

cada factor para cada subintervalo. Luego analizamos el signo final

aplicando la regla de los signos. 3 x2 – 6 x > 0 ⇒ 3 x.( x – 2) > 0.

3 x x –2

(– ∞;0) – – > 0

(0;2) + – < 0

(2;+∞) + + > 0

El conjunto solución es S = (– ∞;0) ∪ (2;+ ∞), es decir la unión de los

intervalos para los cuales el producto de los factores es positivo.

+∞

– ∞

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b) x3 – x

2 – 2 x ≥ 0

Factoreamos extrayendo primero factor común y luego aplicando el

factoreo del trinomio de 2º grado: x3

– x2

– 2 x = x( x+1)( x – 2).

Formamos los subintervalos

x x+1 x – 2

(– ∞;–1) – – – < 0

(–1;0) – + – > 0

(0;2) + + – < 0(2;+ ∞) + + + > 0

El conjunto solución es S = [–1;0] ∪ [2;+∞), es decir la unión de los

intervalos para los cuales el producto de los factores es positivo o

cero. Ahora se incluyen los extremos de los intervalos porque la

desigualdad es de ≥.

c) 02

12

2

x x

x≤

−

−

Factoreamos numerador y denominador: x2 –1 = ( x+1).( x –1),

x2 –2 x = x.( x –2).

Formamos los subintervalos con las raíces de ambos polinomios.

x+1 x –1 x –2 x

(– ∞;–1) – – – – > 0

(–1;0) + – – – < 0

(0;1) + – – + > 0

(1;2) + + – + < 0

(2;+∞) + + + + > 0

∞ +∞

+∞-∞

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Introducción 37

El conjunto solución es S = [–1;0) ∪ [1;2), es decir la unión de los

intervalos para los cuales el producto de los factores es negativo o

cero. Obsérvese que se incluyen los extremos de los intervalos que

anulan el numerador, no así el denominador.

d) 01

12

x

x≤

−

+

Vemos en este caso que el signo del cociente depende únicamente del

signo del denominador ya que el numerador siempre es positivo, por lo

tanto para que el cociente sea menor que 0 debe ser x – 1< 0 ⇒ x < 1,

entonces S = (– ∞;1).

e) – x2 + x + 2 < 0

Factoreamos, queda: – ( x + 1).( x – 2) < 0 ⇒ ( x+1).( x – 2) > 0

Multiplicamos por (–1) y cambiamos el sentido de la desigualdad.

Ahora se procede como en los casos anteriores.

ALGUNAS OPERACIONES Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES

Ahora veremos una síntesis de las principales operaciones y sus pro-

piedades.

Propiedades de la Potenciación

a) ( ) nnnb.a=a.b b)

b

a =

b

an

nn

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ c) 0a ,

a=a n

n≠∀

−1

d) a= a.am + nmn e) a=

a

a m n

m

n− f) ( ) a=a

n.mm n

g) ( ) ( )m nnma=a h) 010

≠∀ a ,=a i)a

b=

b

an

nn

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

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j)a

b=

b

a⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −1

Diferencia de cuadrados: ( ) ( )ba.ba=ba −+−22

Cuadrado de un binomio : ( ) 2222 b+aba = ba ±±

Propiedades de la radicación (∀a > 0, ∀b > 0)

a) nnn b.a=a.b b)n

n

n

b

a =

b

ac) nnn b a ba ±≠±

d) m.n=

n m aa e) n a=an

1

f )n a

=an 11−

g) ( )a =a mn

m

n

h) , x= xn n ∀n par; , x= x

n n ∀n impar

Estas propiedades son válidas siempre y cuando las raíces existan.

Operaciones con fracciones

adición b.d

b.c + a.d =

d

c+

b

a

sustracción d

c+

b

a =

d

c

b

a −−

multiplicación b.d a.c =

d c .

ba división

cd .

ba =

d

cb

a

propiedad distr ibuti va a derecha: c

b

c

a =

c

ba±

±

Relación de < y > entre fracciones

Vamos a determinar, dados dos números racionales positivos, cual es

mayor de ellos.

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Introducción 39

Para ello también efectuamos las multiplicaciones cruzadas. Si el pri-

mer producto es mayor que el segundo, la primera fracción es mayor

que la segunda, si el primer producto es menor que el segundo, la pri-

mera fracción es menor que la segunda fracción.Veamos los siguientes ejemplos:

a)7

4

5

3 y

hacemos 3 • 7 = 21 y 4 • 5 = 20, como 21 > 20 entonces7

4

5

3 >

b)6

7

7

8 y

hacemos 8 • 6 = 48 y 7 • 7 = 49, como 48 < 49 entonces6

7

7

8 <

Si ahora consideramos números racionales positivos y negativos, para

saber cuál es mayor aplicamos los criterios vistos para números enteros.

En síntesis

Si dos números racionales son positivos, es mayor el de mayor valor

absoluto.

Si dos números racionales son negativos, es mayor el de menor valor

absoluto.

Siempre un número racional positivo es mayor que uno negativo.

Completá: a)5

4

7

3 ...... b)

7

2

8

3 ...... −− c)

5

6

7

4−.....

d)

6

7

4

5 ...... −− e)

7

2

3

8 ...... − f)

8

11

7

9−− .....

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Desigualdades

a) a < b ⇒ a + c < b + c b) a < b ⇒ – a > – b c) a > b ⇒ – a < – b

d) a ≤ b ⇒ a < b o a = b e) a ≥ b ⇒ a > b o a = b f) a < b < c ⇒ a + x < b + x < c + x

g) ( ) ( )00000 <b <a>b >a>b

a∧∨∧⇔

h) ( )00000 >b <(a )<b>a<b

a∧∨∧⇔

BINOMIO DE NEWTON

Se trata de obtener la potencia enésima de un binomio. En cursos an-

teriores has estudiado el cuadrado y cubo de un binomio. Recordemos

sus expresiones: ( ) 2222 b+ab+a=b+a

( ) 3223333 b+ab+ba+a=b+a

De estas expresiones podemos sacar las siguientes conclusiones: todoslos términos son de grado n (potencia a la que está elevado el

binomio), mientras las potencias del 1º término descienden a partir de

n hasta 0, las potencias del 2º término crecen desde 0 hasta n. Siempre

hay n +1 términos.

Sabiendo esto sólo falta determinar los coeficientes para poder obtener

el desarrollo de la potencia de cualquier binomio.

Triángulo de Tar taglia

Este triángulo, llamado de Tartaglia o Pascal, permite obtener los

coeficientes del desarrollo del binomio de Newton.

El triángulo se forma de la siguiente manera: el 1º renglón tiene un sólo

término que es un 1. El 2º renglón tiene 2 términos que son 2 unos. Los

siguientes renglones comienzan y terminan con unos, y los términos res-tantes se obtienen sumando 2 términos consecutivos del renglón anterior.

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Introducción 41

15101051

14641

1331

121

11

1

Y así sucesivamente.

Cada renglón corresponde a los coeficientes de una potencia del

binomio, empezando por la de grado 0. Si queremos los coeficientesdel cuadrado del binomio debemos buscarlos en el 3º renglón, y así

sucesivamente.

En cuanto a su formación, en el 3º renglón tenemos los coeficientes 12 1, la suma del 1 y el 2 dan origen al 3 que se encuentra en el renglón

siguiente, y así sucesivamente.

Pero si bien este procedimiento permite obtener el desarrollo de la potencia de un binomio, no es práctico para potencias muy grandes o

para el caso en que sólo necesitemos algún término del desarrollo y no

todos ellos.

Otra expresión de la potencia de un binomio

( )b

.a

.i

n =b+a iin

n

=i

n −

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∑0

En esta expresión hemos introducido un contador i que permite ordenar

los términos del desarrollo desde 1 a n + 1. Variando i se obtienen los

distintos términos que constan de 3 factores: primero el coeficiente, que

es un número combinatorio, y luego las potencias de a y de b. Se puede

verificar que si se desarrollan los números combinatorios de esta expre-

sión se obtienen los mismos coeficientes que los del triángulo de

Tartaglia.

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Esta expresión permite obtener términos aislados del desarrollo.

Veamos los siguientes ejemplos:

a) queremos el 4º término de ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

x+ x

1 5

.

x =

x x.=

x . x.=T - 101

101

3

53

2

3

354 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Aclaración: i vale 3 porque arranca de 0, para el 4º término i vale 3.

b) el 7º término de ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

x x

2210

( ) 2

6

8

6

2 444013

64210

2

6

10 x.=

x x=

x . x.=T 7 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Una forma de representar números que son muy grandes o muy pe-queños en valor absoluto, consiste en expresarlos como el producto

entre un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. Si el número a

expresar es menor que 1 el exponente es negativo.

Ejemplos

50.000 = 5.104 2.000 = 2.103 56.300 = 5,63.104 0,00004= 4.10-5

0,00232 = 2,32.10-3

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Capítulo 1

Funciones

Definición y clasificación. Dominio, imagen.Ceros.Función inversa. Función compuesta. Paridad.Funciones polinómicas: función lineal, cuadrática y cúbica.

Función raíz cuadrada, función homográfica.Función logaritmo y función exponencial.Propiedades de los logaritmos.Funciones trigonométricas e hiperbólicas.Identidades trigonométricas.Función mantisa, función parte entera, funciónsigno.

La circunferencia y la elipse. Aplicaciones económicas: las funciones económi-cas: oferta, demanda, costo, beneficio, ingreso,

interés compuesto.

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Funciones 45

FUNCIONES

La relación ( ) x f y / B A: f =→ es una función sí y solo sí verifica

las siguientes condiciones de existencia y unicidad.

a) Todo elemento del conjunto de partida A tiene imagen en B.

Dom f = A.

b) Esa imagen es única.

Veremos en este capítulo algunas características generales de las fun-ciones y haremos un breve repaso de las distintas funciones que utili-

zaremos a lo largo del curso.

Funciones escalares o reales de variable real

Se denomina así a las funciones cuyo dominio son los números reales

o un subconjunto de ellos y cuyo conjunto de llegada también son nú-

meros reales. En general se expresan como:

f : A→ B / y = f ( x) donde A ⊆ ℜ y B ⊆ ℜ

La representación gráfica de una función escalar de una variable real

es una curva en el plano donde se considera un sistema de coordena-

das ortogonales y se toma el dominio sobre el eje de abscisas y la ima-

gen sobre el eje de ordenadas.

Debido a la definición dada para funciones, para que el gráfico de una

relación represente a una función si trazamos paralelas al eje y (en la

zona del dominio), éstas deben cortar a la curva y deben hacerlo en un

solo punto.

Analizaremos los siguientes ejemplos de relaciones definidas de

[a;b] → ℜ:

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Los casos A, B, y F representan funciones.

Los casos C y E no lo son porque hay elementos que tienen dos

imágenes.

El caso D no lo es porque hay elementos que no tienen imagen (la

paralela al eje y no corta a la curva).

Dominio de una función escalar

El dominio está formado por todos los números reales para los cuales

existe imagen real. ( ){ }Dom f x A / y B y f x= ∈ ∃ ∈ ∧ = .

Hay que tener en cuenta tres tipos de restricciones:

1) Denominadores ≠ 0.

2) Argumentos de logaritmos > 0.

3) Radicando de raíces de índice par ≥ 0.

Ejemplos

Determinar el conjunto A para que las siguientes relaciones sean fun-ciones de A → ℜ.

yyy

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Funciones 47

a) f : A → ℜ / f ( x) = x

1

Vemos que existe imagen para todo x ≠ 0:

Dom f = A = { x / x∈ℜ ∧ x ≠ 0} = ℜ – {0}

b) f : A → ℜ / f ( x) =2

4

2

x−

Vemos que existe imagen para todo x ≠ 2 :

Dom f = A = { x / x∈ℜ ∧ x ≠ 2 ∧ x ≠ – 2} = ℜ – {2; – 2}

c) f : A → ℜ / f ( x)= 2− x

Para que exista imagen el radicando debe ser mayor o igual a cero

x – 2 ≥ 0⇒ x ≥ 2 ∴ Dom f = A = { x / x∈ℜ ∧ x ≥ 2} = [2;+∞)

Vemos que también se puede expresar como intervalo.

d) f : A → ℜ / f ( x) = ln (2 x+3)

Para que exista imagen el argumento del logaritmo debe ser positivo.

2 x + 3 > 0⇒ x >23− ∴ Dom f = A = +∞−=−>∧ℜ∈ ; x x / x

23

23

e) f : A → ℜ / f ( x) =1+

2

x, para que exista imagen el radicando

debe ser mayor a 0. x + 1 > 0 ⇒ x > –1

Dom f = A = { x / x ∈ℜ ∧ x > –1} = (–1;+∞)

Conjunto imagen

Se denomina así al conjunto de valores que toman las imágenes (esdecir y). Si f : A→ B / y = f ( x) , Im f ⊆ B.

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Ejemplos

a) f : ℜ→ℜ / f ( x) = x2

El dominio son todos los números reales, pero el conjunto imagen son

los reales no negativos, ya que al elevar un número real al cuadrado no

se puede obtener un número negativo, por lo tanto Im f = [0;+∞).

b) f : ℜ → ℜ / f ( x) = 1– x2

El dominio son todos los números reales. En este caso las imágenes

son números menores o iguales a 1 ya que estamos restando de 1 unnúmero no negativo, por lo tanto Im f = (– ∞;1].

c) f : ℜ→ℜ / f ( x) =2 x

El dominio son todos los números reales. Vemos ahora que el conjun-

to imagen son los números reales positivos, ya que al elevar un núme-

ro positivo a cualquier exponente real, se obtiene otro número positivo

por lo tanto Im f = ℜ+.

Nota: no siempre es fácil obtener el conjunto imagen. Veremos lue-

go, al ver las representaciones gráficas de distintas funciones,

que muchas veces es más sencillo obtener el conjunto imagen

a partir de los gráficos.

Ceros o raíces de una función - Intersección con el eje x

Se denomina así a los valores de x para los

cuales la función se anula, es decir:

( ){ }0 Dom 0C x / x f f x= ∈ ∧ = .

Geométricamente representa los puntos don-

de la curva interseca al eje x. Los denomi-

namos como x 1, x 2, x 3,... x n.

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Funciones 49

Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2

Para buscar los ceros hacemos x + 2 = 0⇒ x1 = – 2.

b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 – 4

x 2 – 4 = 0⇒ x2 = 4 ⇒ x 1 = 2, x2 = –2, esta función tiene 2 ceros.

c) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = 2 x+1

2 x+1 ≠ 0 ∀ x ∈ℜ

Esta función no tiene ceros, es decir que la curva representativa de la

misma no interseca al eje x.

d) f : (1;+∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x – 1)

Hacemos ln ( x – 1) = 0⇒ x – 1 = 1 ∴ x1 = 2

Nota: si un cero es simple o múltiple de orden impar la curva atra-

viesa al eje x, si es múltiple de orden par rebota .

Ejemplos

f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 tiene dos ceros: x1 = x2 = 0

El 0 es raíz doble,

por lo tanto la curva

rebota sobre el eje x.

g : ℜ→ℜ / g ( x) = x3

tiene tres ceros:

x1 = x2 = x 3 = 0.

El 0 es raíz triple, por lo tanto la curva atraviesa el eje x.

x

g f

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Conjunto de positividad y negatividad

Se denomina así al conjunto de valores del dominio para los cuales la

función es positiva o negativa respectivamente.

( ){ }Dom 0C x / x f f x+

= ∈ ∧ > ( ){ }Dom 0C x / x f f x−

= ∈ ∧ <

Ejemplo: f : (1;+∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x – 1)

C 0 : ln ( x – 1) = 0, x – 1 = 1 ⇒ x = 2 C 0 = {2}

C +

: ln ( x – 1) > 0, x – 1 > 1 ⇒ x > 2 C +

= (2;+∞)

C – : ln ( x – 1) < 0, x – 1 < 1 ⇒ 1 < x < 2 C – = (1;2)

Dom f = C + ∪ C – ∪ C 0

Intersección con el eje y – la ordenada al origen

El punto donde la curva interseca al eje y se obtiene

haciendo x = 0, siempre y cuando 0∈

Dom f . Lodenominamos ordenada al origen y se designa

como y1. Si la curva representa a una función no

puede intersecar al eje y en más de un punto.

Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2

Para buscar la intersección con el eje y hacemos x = 0: 0 + 2 = 2

⇒ y1 = 2.

b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 – 4, hacemos x = 0⇒ y1 = – 4

c) f : ℜ→ ℜ / f : ℜ→ ℜ / f ( x) = 2 x+1

, hacemos x = 0⇒ 21

= 2 ∴ y1 = 2

d) f : (1;∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x – 1) x = 0 ∉ Dom f ⇒ no existe intersección con el eje y.

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Funciones 51

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Función inyectiva

Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio les co-

rresponden imágenes distintas, o lo que es lo mismo un elemento de B

no puede ser imagen de dos elementos distintos de A.

f : A → B es inyectiva⇔ ∀ x1∈ A, ∀ x2∈ A : x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1) ≠ f ( x2)

Ejemplos: a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2

x1 ≠ x2 ⇒ x1+2 ≠ x2+2⇒ f ( x1) ≠ f ( x2), f es una función inyectiva.

b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2

En este caso hay elementos distintos que tienen la misma imagen:

22 = ( – 2)2. Por lo tanto f no es inyectiva de ℜ→ ℜ. Pero si restrin-

gimos el dominio tenemos f *: [0;+∞) → ℜ / f ( x) = x2 que sí es

inyectiva. f *es un restricción de f .

c) f : ( – 2;+∞)→ ℜ / f ( x) = ln ( x+2)

x1 ≠ x2 ⇒ ln ( x1+2) ≠ ln ( x2 + 2) ⇒ f ( x1) ≠ f ( x2), f es una función

inyectiva.

Gráficamente se puede distinguir una función inyectiva de la siguiente

manera:

a) si el gráfico es un diagrama de Venn a un elemento de B no pueden

llegar más de una flecha.

R 1 R 2 R 3

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Las relaciones 2 y 3 son funciones inyectivas. La relación 1 no lo es

porque los elementos 1 y 3 tienen la misma imagen, el 2.

b) si la representación gráfica es un gráfico cartesiano para saber si lafunción es inyectiva se deben trazar paralelas al eje x y éstas deben

cortar a la curva una sola vez.

Ninguno de los gráficos de la página 46 representa a una función in-

yectiva porque las paralelas cortan a la curva más de una vez. Analice-

mos los siguientes gráficos de las siguientes funciones definidas de

[a;b]→ [c;d]:

Los casos B, C, E y F representan funciones inyectivas, no así loscasos A y D.

Función sobreyectiva

Una función f definida de A→ B es sobreyectiva si todos los elementos

de B son imagen de algún elemento de A, es decir que el conjunto

imagen coincide con el conjunto de llegada. Im f = B. Todos los ele-

mentos de B tienen que tener preimágenes en A.

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Funciones 53

f : A → B es sobreyectiva ⇔ ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A / ( x; y) ∈ f .

Para saber si una función es sobreyectiva debemos calcular el conjun-

to imagen y compararlo con el conjunto de llegada ( B).

A veces hay que considerar una restricción del conjunto A o del con-

junto B para que la función sea sobreyectiva.

Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 2

Vemos que las imágenes son números reales, por lo tanto la función es

sobreyectiva de ℜ→ ℜ.

b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2+ 1

Vemos que las imágenes son números reales mayores o iguales a 1. Por

lo tanto la función es sobreyectiva de ℜ → [1;+∞). Esta nueva función

f *: ℜ → [1;+∞) / f * ( x) = x2 + 1 es una restricción de f .

c) f : (–2;+∞) → ℜ / f ( x) = ln ( x + 2)

Vemos que las imágenes son números reales, por lo tanto la función es

sobreyectiva de (–2;+∞) → ℜ.

d) f : ℜ → ℜ / f ( x) = x2 + 4 x + 9

Buscamos el conjunto imagen. ( )22 4 9 2 5 x x x+ + = + + . Vemos que

el conjunto imagen son los números reales mayores o iguales 5. Por lo

tanto la función es sobreyectiva de ℜ → [5;+∞). Esta nueva función

f *: ℜ → [5;+∞) / f

*( x) = x

2+ 4 x + 9 es una restricción de f .

Gráficamente podemos distinguir una función sobreyectiva si a todo

elemento de B llega una flecha (en el caso del diagrama de Venn) o si

trazando paralelas al eje x las mismas cortan a la curva.

De los diagramas de Venn de la página 51 no es sobreyectiva la fun-

ción 2 ya que el elemento 3 no es imagen de ningún elemento de A.

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De los gráficos cartesianos de la página 52 no representa una función

sobreyectiva el caso C, ya que hay elementos del [c;d] que no son

imagen de ningún elemento del [a;b].

Función biyectiva

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva

Ejemplos de funciones biyectivas son la función 3 de los diagramas de

Venn de la página 51 y los casos B, E y F de los gráficos cartesianos

de la página 52.

Función inversa

Vimos en el capítulo introductorio el concepto de relación inversa. Si

ésta es a su vez función recibe el nombre de función inversa y se de-

signa como f –1. Si f : A → B ⇒ f –1 : B → A.

El Dom f –1

= Im f y viceversa. Por lo tanto otra forma de calcular la

Im f (que a veces no es sencillo) es calculando el Dom f –1.

Para que una función admi ta función inversa ésta debe ser biyectiva .

Si la función no fuese inyectiva la relación inversa no sería función

porque algunos elementos de B tendrían dos imágenes en A. Si no

fuese sobreyectiva habría elementos de B sin imagen en A. Por lo

tanto la función debe ser biyectiva para admitir función inversa de lo

contrario admite relación inversa. A veces deben efectuarse restriccio-

nes para que la función sea biyectiva y admita función inversa.

Ejemplos de funciones que admiten función inversa

f : A → B ⇒ f –1 : B → A

g : [a;b]→ [c;d]⇒

g –1

: [c;d]→ [a;b]

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Funciones 55

Cálculo de la función inversa

Primero debemos asegurar la biyectividad. Luego, para calcular la

función inversa, debemos expresar x en función de y , es decir despejar la x, tarea que no siempre es sencilla.

Como es habitual expresar a la variable independiente como x, tam-

bién llamamos x a la variable independiente de f –1

, por lo tanto f –1

es

f –1

( x).

Ejemplos

a) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x + 3

Es una función biyectiva, despejamos la x: x = y –3

⇒ f –1: ℜ→ ℜ / f –1 ( x) = x – 3

b) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = 2 x+1

Es una función biyectiva, despejamos la x: x =

2

1− y ⇒

f –1: ℜ→ ℜ / f –1 ( x) =2

1− x

c) f : ℜ→ ℜ / f ( x) = x2 + 1

Ya vimos que esta función así definida no es sobreyectiva, tampoco es

inyectiva. Debemos restringir su dominio y su conjunto de llegada pa-

ra que cada elemento de B sea imagen de un solo elemento de A. Parasaber como efectuar la restricción analizamos la función, hay que

seleccionar los x ≥ 0 para que sea inyectiva, y para que sea sobreyec-

tiva vemos que las imágenes son números ≥ 1, porque a un número

positivo o cero le sumamos 1. Por lo tanto consideramos la siguiente

restricción de f ,

f *: [0;+∞) → [1;+∞) / f * ( x) = x2 +1, obtenemos así una función biyec-

tiva. Para buscar la inversa despejamos la x: x = 1− y , entonces:

f * –1 : [1;+∞) → [0;+∞) / f * –1 ( x) = 1− x .

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Nota 1: Si una función es biyectiva su inversa también lo es.

Nota 2: Las gráficas de dos funciones biyectivas son simétricas res-

pecto de la bisectriz del 1º y 3º cuadrante si se toma la mis-

ma escala en los dos ejes.

Veamos las gráficas de los casos b) y c). Más adelante veremos como

se obtienen estas gráficas.

d) f : A → ℜ / f ( x) = ln ( x+2)

Primero buscamos A para que f sea función x + 2 > 0⇒ x > – 2. Dom f = (–2;+∞)

Esta función es biyectiva, buscamos la inversa para lo cual despeja-

mos x: x + 2 = e y ⇒ x = e y – 2 ⇒ f

–1: ℜ → (–2;+∞) / f

–1( x) = e

x –2.

e) f : ℜ → ℜ / f ( x) = x2 – 2 x + 5

Esta función no es ni inyectiva ni sobreyectiva. De- bemos restringir el dominio y la imagen. Para saber

como hacer la restricción completamos cuadrados,

f ( x) = ( x –1)

2+ 4. Vemos que para que la función

sea inyectiva, x ≥ 1 (de esta manera se evita que

dos números distintos tengan la misma imagen).

Por otro lado vemos que al ser ( x –1)2 ≥ 0, las imágenes son ≥ 4.

Consideramos la siguiente restricción de f :

f *: [1;+∞)→ [4;+∞) / f * ( x) = x2 – 2 x + 5, que es biyectiva.

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Funciones 57

Para buscar la función inversa despejamos la x: x = 1+4− y .

f * –1

: [4;+∞) → [1;+∞) / f * –1

( x) = 4 + 1 x −

Nota: cuando veamos las representaciones gráficas de las funciones

veremos que a veces es más fácil obtener las restricciones a

partir de los gráficos.

Paridad (Sólo para funciones con dominio simétrico con respecto al

origen, si x∈ A ⇒ – x∈ A)

Una función es par ⇔ ∀ x∈Dom f : f (– x) = f ( x)Una función es impar ⇔ ∀ x∈Dom f : f (– x) = – f ( x)

Si una función no es par ni impar se dice que no ti ene par idad.

Ejemplos

f ( x) = x2 f (– x) = (– x)2 = x2 = f ( x) ⇒ f es par

f ( x) = x3

f (– x) = (– x)3

= – x3

= – f ( x)⇒ f es impar f ( x) = x + x

2 f (– x) = – x + (– x)

2= – x + x

2 ≠ f ( x) ∧ ≠ – f ( x)

⇒ f no tiene paridad

Nota: Si una función es par su

gráfica es simétrica res-

pecto del eje y.

Si una función es impar

su gráfica es simétricarespecto del centro de co-

ordenadas.

Álgebra de funciones con pari dad

Si P es una función par e I es una función impar se verifica que:

x

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