Κεφάλαιο 7

7. Σειρές Fourier

Λίγο πριν το 1800, ο Γάλλος μαθηματικός/φυσικός/μηχανικός Jean Baptiste Joseph Fourier έκανε μιαεκπληκτική ανακάλυψη. Μέσω των ενδελεχών αναλυτικών ερευνών του στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσειςπου μοντελοποιούν την διάδοση της θερμότητας σε σώματα, ο Fourier οδηγήθηκε στον ισχυρισμό ότι κάθεσυνάρτηση μπορεί να παρασταθεί ώς ένα άπειρο άθροισμα από στοιχειώδεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις,ημιτόνων και συνημιτόνων.

Για παράδειγμα, αναλύοντας τον ήχο που παράγεται από ένα πιάνο, βιολί, τρομπέτα ή ένα τύμπανο στιςτριγωνομετρικές συνιστώσες του αποκαλύπτονται οι βασικές συχνότητες οι οποίες συνδυάζονται για ναπαράγουν το ιδιαίτερο ηχόχρωμα του κάθε μουσικού οργάνου.

Η ανακάλυψη αυτή του Fourier συγκαταλέγεται πολύ εύκολα στις δέκα σημαντικότερες μαθηματικές εξελίξειςόλων των εποχών, συμπεριλαμβανομένων της ανάλυσης του Newton, και της διαφορικής γεωμετρίας τωνGauss και Riemann. Η ανάλυση Fourier αποτελεί πλέον μια ουσιώδη συνιστώσα πολλών σύγχρονων κλάδωντόσο των εφαρμοσμένων όσο και των θεωρητικών μαθηματικών. Αποτελεί ένα ισχυρότατο αναλυτικό εργαλείογια να επιλύσουμε ένα ευρύ φάσμα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων στην φυσική, μηχανική, βιολογία,οικονομικά, ή ακόμα και για να "ακούσουμε" την κατανομή των πρώτων αριθμών! Η ανάλυση Fourierβρίσκεται στην καρδιά της επεξεργασίας ήχου, φωνής, εικόνας, σεισμικών δεδομένων και ραδιοφωνικήςμετάδοσης. Πολλές σύγχρονες τεχνολογίες όπως η τηλεόραση, μουσικά CD και DVD, κινητά τηλέφωνα,κινηματογραφικές ταινίες, γραφικά υπολογιστών, ανάλυση δακτυλογραφικών αποτυπωμάτων κ.α. έχουν ταθεμέλιά τους στην θεωρία του Fourier. Είναι ένα από τα ισχυρότερα όπλα στην φαρέτρα κάθε μαθηματικού,φυσικού, μηχανικού, όπως ακριβώς η ανάλυση και η γραμμική άλγεβρα.

7.1 Τι είναι μια σειρά Fourier

Ας θεωρήσουμε μια συνεχή συνάρτηση που ορίζεται στο διάστημα . Η σειρά Fourier της ορίζεται από την σχέση

όπου το δηλώνει ότι η συνάρτηση έχει την αναπαράσταση με τον άπειρο γραμμικό συνδυασμό τωνημιτόνων και συνημιτόνων στο δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης. Τα , ονομάζονται συντελεστές Fourier.

Όπως ήδη γνωρίζουμε ένα άπειρο άθροισμα, ή καλύτερα σειρά, είναι πολύ πιο ευαίσθητη από μιαπεπερασμένη σειρά και συνεπώς μια τέτοια φορμαλιστική κατασκευή απαιτεί μια πολλή προσεχτικήμαθηματική ανάλυση. Τα κύρια ερωτήματα που θα μας επιτρέψουν να ξεκλειδώσουμε το πρόβλημα απόμαθηματική σκοπιά είναι:

Πότε μια άπειρη τριγωνομετρική σειρά συγκλίνει?Τι είδους συναρτήσεις μπορούν να παρασταθούν από μια συγκλίνουσα σειρά Fourier?Δοσμένης μια τέτοιας συνάρτησης , πως μπορούμε να καθορίσουμε τους συντελεστές Fourier ,

;Επιτρέπεται να παραγωγίζουμε και να ολοκληρώνουμε σειρές Fourier όρο προς όρο?

Από τα παραπάνω ερωτήματα η πρώτη δουλειά που έχουμε να κάνουμε είναι να δούμε αν μπορούμε να βρούμετους συντελεστές , , και μετά οτιδήποτε άλλο όπως θέματα σύγκλισης κτλ.

Το κλειδί που ξεκλειδώνει το σεντούκι του θησαυρού Fourier είναι η ορθογωνιότητα. Δυο διανύσματα , στον είναι ορθογώνια αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν . Όπως έχουμε ήδηδιαπιστώσει η ορθογωνιότητα, και ειδικότερα οι ορθοκανονικές βάσεις, έχουν πολύ σημαντικές συνέπειεςστην γραμμική άλγεβρα, όπως στη προσέγγιση συνεχών συναρτήσεων σε ένα διάστημα.

Η αφετηρία είναι να ορίσουμε ένα κατάλληλο εσωτερικό γινόμενο στον απειροδιάστατο χώρο συναρτήσεων σεένα διάστημα, το οποίο θα παίζει τον ρόλο του εσωτερικού γινομένου στο πεπερασμένο χώρο των οικείων μαςδιανυσμάτων. Για τις κλασικές σειρές Fourier, χρησιμοποιούμε το εσωτερικό γινόμενο

στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού στο διάστημα . Δεν είναι δύσκολο ναδείξει κανείς ότι το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο ικανοποιεί όλα τα αξιώματα (διγραμμικότητα, συμμετρία,θετικά ορισμένο) ενός εσωτερικού γινομένου στον (απειροδιάστατο) διανυσματικό χώρο , τωνπραγματικών συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα . Η αντίστοιχη νόρμα είναι

f(x) [−π, π] f(x)

f(x) ∼ + [ cos k x + sin k x ] ,a0

2∑k=1

∞

ak bk

∼ f(x)ak bk

f(x)f(x) ak

bk

ak bk

v wRn ⋅ = 0v w

L2

< f, g >= f(x) g(x) x , (1)1π

∫π

−π

d

[−π, π]CR [−π, π]

[−π, π]CR[−π, π]

∥f∥ = = .< f, f >− −−−−−−√ f(x x

1π

∫π

−π

)2 d− −−−−−−−−−−−

√

Λήμμα 1. Με το εσωτερικό γινόμενο (1), οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις ορθογωνιότητας

όπου μη αρνητικοί ακέραιοι. Η απόδειξη είναι καθαρά θέμα πράξεων, οπότε χρησιμοποιούμε το Sage!

Απόδειξη

In [1]:

def inner(f,g): return 1/pi * integrate(f*g,x,-pi,pi)

In [2]:

var('k l')assume(k,'integer')assume(k>0)assume(l,'integer')assume(l>0)print inner(cos(k*x),cos(l*x))print inner(sin(k*x),sin(l*x))print inner(cos(k*x),sin(l*x))

In [3]:

norm_1 = sqrt(inner(1,1)) ; print norm_1

In [4]:

norm_cos = sqrt(inner(cos(k*x),cos(k*x))) ; print norm_cos

In [5]:

norm_sin = sqrt(inner(sin(k*x),sin(k*x))) ; print norm_sin

για κάθε μη-αρνητικούς ακέραιους .

Το προηγούμενο λήμμα συνεπάγεται ότι οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις φτιάχνουν έναορθογώνιο σύστημα, που σημαίνει ότι κάθε ζευγάρι συναρτήσεων είναι ορθογώνιο μεταξύ τους, ως προς τοεσωτερικό γινόμενο (1). Αν αντικαθιστούσαμε το με το , τότε θα είχαμε ένα ορθοκανονικό σύστημα,

που σημαίνει ότι επιπλέον όλα τα στοιχεία θα είχαν νόρμα . Όμως, το επιπλέον είναι εντελώςενοχλητικό, και είναι καλύτερα να μην το λαμβάνουμε υπόψη και να χρησιμοποιούμε το .

1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , …

< cos k x, cos ℓ x > = < sin k x, sin ℓ x >= 0

< cos k x, sin ℓ x >= 0 ,

∥1∥ = , ∥cos k x∥ = ∥sin k x∥ = 1 ,2–√

για

για κάθε

για

k ≠ ℓ ,

k , ℓ ,

k ≠ 0 ,

k, ℓ

k , ℓ ≥ 0

1 12√1 2–√

1

000

sqrt(2)

1

1

Παρατήρηση: Δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ορθογώνιες μεταξύτους. Είναι απόρροια του γεγονότος ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι οι ιδιοσυναρτήσεις ενόςαυτοσυζυγούς προβλήματος συνοριακών τιμών, το οποίο είναι το "συναρτησιακό" ανάλογο τηςορθογωνιότητας των ιδιοδιανυσμάτων για συμμετρικούς πίνακες στην γραμμική άλγεβρα.

Αν αφήσουμε προς το παρόν θέματα σύγκλισης τριγωνομετρικών σειρών, τότε οι σχέσεις ορθογωνιότηταςχρησιμεύουν στο να καθορίσουμε τους συντελεστές Fourier , . παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο στα δυομέλη της εξίσωσης

έχουμε

δηλαδή

Με παρόμοιο τρόπο παίρνουμε ότι

και το εσωτερικό γινόμενο της με την μονάδα δίνει

που εξηγεί τον λόγο που πήραμε ως νόρμα του το . Οπότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι αν η σειρά

Fourier συγκλίνει στην συνάρτηση , τότε οι συντελεστές Fourier της σειράς καθορίζονται παίρνοντας ταεσωτερικά γινόμενα της συνάρτησης με τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Ορισμός 2. Η σειρά Fourier μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα είναι η

της οποίας οι συντελεστές Fourier δίνονται από τις σχέσεις των εσωτερικών γινομένων

ak bk

f(x) = + [ cos k x + sin k x ] ,a0

2∑k=1

∞

ak bk

< f , cos ℓ x > =

=

< 1 , cos ℓ x > + [ < cos k x , cos ℓ x > + < sin k x , cos ℓ x > ]a0

2∑∞

k=1 ak bk

< cos ℓ x , cos ℓ x >= ,aℓ aℓ

= < f , cos k x > ,ak

= < f , sin k x > ,bk

f(x)

< f , 1 >= < 1 , 1 > + [ < cos k x , 1 > + < sin k x , 1 > ] = ,a0

2∑k=1

∞

ak bk a0

1 12√

f(x)

f(x) [−π, π]

f(x) ∼ + [ cos k x + sin k x ] , (2.a)a0

2∑k=1

∞

ak bk

= < f , cos k x >= f(x) cos k x x , k = 0, 1, 2, … (2.b)ak1π

∫π

−π

d

= < f , sin k x >= f(x) sin k x x , k = 1, 2, … (2.c)bk1π

∫π

−π

d

Η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι τελείως αυθαίρετη, αφού τουλάχιστον τα ολοκληρώματα θα πρέπει ναυπάρχουν και να είναι πεπερασμένοι πραγματικοί αριθμοί. Έστω κι αν οι συντελεστές είναι πεπερασμένοιαριθμοί δεν υπάρχει εγγύηση ότι οι σειρές που προκύπτουν θα συγκλίνουν, και έστω κι αν συγκλίνουν δενυπάρχει εγγύηση ότι θα συγκλίνουν στην συνάρτηση , έστω και κατά σημείο. Γι' αυτούς τους λόγουςτείνουμε να χρησιμοποιούμε το σύμβολο αντί αυτού της ισότητας όταν γράφουμε μια σειρά Fourier.

Παράδειγμα 3. Θεωρούμε την συνάρτηση . Οι συντελεστές Fourier της είναι:

In [6]:

f(x)=x ; print f

In [7]:

pf = plot(f,(x,-pi,pi)); pf.show(figsize=4)

In [8]:

def inner(f,g): return 1/pi * integrate(f*g,x,-pi,pi)

In [9]:

var('k')assume(k,'integer')a0 = inner(f(x),1); print str('a0 = '), a0; a(k) = inner(f(x),cos(k*x)) ; print str('ak = '), a(k);b(k) = inner(f(x),sin(k*x)); print str('bk = '), b(k);

In [10]:

fourier4 = a0/2 + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [1..4]); fourier4.show()

In [11]:

fourier6 = a0/2 + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [1..6]); fourier10 = a0/2 + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [1..10]);

f(x)

f(x)∼

f(x) = x f(x)

x |--> x

a0 = 0ak = 0bk = -2*(-1)^k/k

− sin(4 x) + sin(3 x) − sin(2 x) + 2 sin(x)12

23

In [12]:

pfr4 = plot(fourier4,(x,-pi,pi),color='brown'); pfr6 = plot(fourier6,(x,-pi,pi),color='green');pfr10 = plot(fourier10,(x,-pi,pi),color='red'); myGraphicsArray = graphics_array([[pf,pf+pfr4],[pf+pfr6,pf+pfr10]])myGraphicsArray.show(figsize=5,ticks=[[],[]])

Παρατηρούμε ότι όσο περισσότερους όρους περιλαμβάνουμε στην σειρά Fourier τόσο καλύτερα η τελευταίαπροσεγγίζει την συνάρτησή μας , όχι όμως σε όλα τα σημεία στο διάστημα . Όσους όρους και ναπάρουμε στην σειρά, στα άκρα του διαστήματος η σειρά εξακολουθεί να αστοχεί να βρει την πραγματική τιμήτης . Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως φαινόμενο Gibbs. Για παράδειγμα, αν πάρουμε 50 όρους στηνσειρά Fourier, τότε προκύπτει η παρακάτω προσέγγιση

In [13]:

fourier50 = a0/2 + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [1..50]); pfr50 = plot(fourier50,(x,-pi,pi),color='red',ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi] ); (pf+pfr50).show(figsize=5)

f(x) [−π, π]

f(x)

Τι γίνεται όμως πέρα από το διάστημα ;

In [14]:

pfr10 = plot(fourier10,(x,-3*pi,3*pi),color='red' , \ ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi]); (pf+pfr10).show(figsize=4)

Παρατηρούμε ότι η σειρά Fourier πέρα από το διάστημα δεν ακολουθεί πλέον την συνάρτησή μας , αλλά τραβάει τον δικό της δρόμο, ο οποίος μάλιστα δείχνει να επαναλαμβάνεται περιοδικά με

περίοδο .

7.2 Περιοδικές επεκτάσεις συναρτήσεων

Η τελευταία παρατήρηση στο προηγούμενο παράδειγμα είναι ένα γεγονός που έπρεπε να το περιμέναμε αφούοι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι όλες μαζί περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο . Οπότε αν ησειρά Fourier συγκλίνει, η οριακή συνάρτηση οφείλει και η ίδια να είναι περιοδική συνάρτηση, καιμάλιστα με την ίδια περίοδο :

Μια σειρά Fourier μπορεί να συγκλίνει μόνο σε μια -περιοδική συνάρτηση. Οπότε είναι παράλογο ναπεριμένουμε η σειρά Fourier να συγκλίνει στην απεριοδική συνάρτηση , του προηγούμενουπαραδείγματος παντού στο . Μαλλον θα έπρεπε να συγκλίνει στην - περιοδική επέκταση της , η οποίαικανοποιεί για κάθε .

Λήμμα 4. Αν είναι μια οποιαδήποτε συνάρτηση ορισμένη στο , τότε υπάρχει μοναδική -περιοδική συνάρτηση , που ονομάζεται η -περιοδική επέκταση της , η οποία ικανοποιεί

για κάθε .Απόδειξη Δοσμένου , υπάρχει μοναδικός ακέραιος , τέτοιος ώστε . Ηπεριοδικότητα της μας οδηγεί στο να ορίσουμε

Ειδικότερα, αν , τότε και συνεπώς για ένα τέτοιο . Ο αναγνώστης καλείταινα γεμίσει την απόδειξη ότι πραγματικά η συνάρτηση που προκύπτει από τον παραπάνω τρόπο είναι -περιοδική.

[−π, π]

[−π, π]f(x) = x

2 π

2 π

(x)f

2 π

(x + 2 π) = (x) για κάθε x ∈ .f f R

2 π

f(x) = x

R 2 π f(x)

(x) = f(x)f −π < x ≤ π

f(x) [−π, π] 2 π

(x)f 2 π f(x)

(x) = f(x)f −π < x ≤ π

x ∈ R m ∈ Z (2 m − 1) π < x ≤ (2 m + 1) π

(x)f

(x) = (x − 2 m π) = f(x − 2 m π) .f f

−π < x ≤ π m = 0 (x) = f(x)f x

(x)f 2 π

Παρατήρηση Η περιοδική επέκταση , από την κατασκευή της, χρησιμοποιεί την τιμή στο δεξίάκρο της . Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να ορίσουμε , όπου γενικά .Δεν υπάρχει κανένας λόγος να είναι προτιμητέα μια επιλογή από την άλλη. Μάλιστα η σειρά Fourier δενπροτιμά καμιά από τις δύο τιμές, γιατί η σειρά Fourier συγκλίνει στην μέση τιμή των τιμών στα άκρα:

η οποία σταθεροποιεί τις τιμές της στα περιττά πολλαπλάσια του .

Παράδειγμα 5. H -περιοδική επέκταση της είναι η πριονωτή συνάρτηση του παρακάτω σχήματος.Αναλυτικά η -περιοδική επέκταση είναι

Στο Sage υλοποιούμε ως εξής:

In [15]:

f(x) = x ; print f

In [16]:

def f_ext(x): if x % pi.n() == 0.0 : y = 0 else: y = f( ( x ) % (2*pi.n()) ) return y

In [17]:

set_verbose(-1)pf_ext = plot(f_ext,(x,-5*pi,5*pi),ymin=-4,ymax=4, exclude=[(2*i-1)*pi for i in [-2..3] ], \ thickness=2 , ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi]) ; pf_ext.show(figsize=5)

(x)f (−π) = (π) = f(π)f f

f (−π) = (π) = f(−π)f f f(−π) ≠ f(π)

(−π) = (π) = ( f(π) + f(−π) ) ,f f12

(x)f π

2 π f(x) = x

2 π (x)f

(x) = {fx − 2 m π ,

0 ,(2 m − 1) π < x < (2 m + 1) π ,

x = (2 m − 1) π .

x |--> x

Με αυτές τις παραδοχές μπορεί να αποδειχθεί ότι η σειρά Fourier που βρήκαμε παραπάνω συγκλίνει παντούστην - περιοδική επέκταση . Ειδικότερα,

Ο τύπος αυτός, όσο απλοϊκός κι αν δείχνει, έχει εκπληκτικές και μη τετριμένες συνέπειες. Αν θέσουμε και διαιρέσουμε με , παίρνουμε την σειρά Gregory

η οποία αν και προϋπήρχε της θεωρίας του Fourier, είναι πολύ δύσκολο να αποδειχθεί άμεσα.

In [18]:

print sum((-1)^(k+1)/k * sin (k*pi/2),k,1,oo)

In [19]:

print 1/2*fourier50(x=pi/2) - pi.n()/4

In [20]:

pfr10_b = plot(fourier10,(x,-5*pi,5*pi),color='red');(pf_ext+pfr10_b).show(figsize=4, ticks=[pi,pi], tick_formatter=[pi,pi])

2 π (x)f

2 sin k x = {∑k=1

∞ (−1)k+1

k

x ,0 ,

−π < x < π ,x = ±π .

x = π2

2

= 1 − + − + − ⋯ .π

413

15

17

19

1/4*pi

0.00999600796130951

7.3 Τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις

Ορισμός 6. Μια συνάρτηση λέγεται τμηματικά συνεχής στο διάστημα , αν ορίζεται και είναισυνεχής εκτός πιθανά από ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων . Επιπλέον, σε κάθεσημείο ασυνέχειας, θα πρέπει τα πλευρικά όρια

να υπάρχουν. Στα άκρα του διαστήματος αρκεί να υπάρχει μόνο το από δεξιά όριο , και αντίστοιχαμόνο το από αριστερά όριο .

Δεν απαιτείται η να ορίζεται στα σημεία .Αν η ορίζεται στα , δεν απαιτείται η τιμή της στα σημεία αυτά να είναι ίση με τα πλευρικάόρια.

Παρόμοια ορίζεται και μια τμηματικά διαφορίσιμη συνάρτηση και και γενικότερα μια τμηματικά -φορέςδιαφορίσιμη σε ένα διάστημα .

Η πιο απλή τμηματικά συνεχής συνάρτηση είναι η αλματική συνάρτηση . Η συνάρτηση

αυτή στο Sage είναι η unit_step.

In [21]:

p = plot(unit_step, -1, 1,ymin=-0.5,ymax=1.5 , exclude=[0],thickness=2 , ticks=[[],[1]])p.show(figsize=3)

7.4 Το θεώρημα σύγκλισης των σειρών Fourier Θεώρημα 7. Έστω η -περιοδική, τμηματικά διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε για κάθε , η σειράFourier συγκλίνει (κατά σημείο) στα

αν η είναι συνεχής στο ,

αν το είναι σημείο ασυνέχειας.

Παράδειγμα 8. Θα βρούμε την σειρά Fourier της συνάρτησης . Η γραφική παράσταση

της αλματικής συνάρτησης είναι

f(x) [a, b]a ≤ < < ⋯ < ≤ bx1 x2 xn

f( ) = f(x) , f( ) = f(x) ,x−k

limx→x−

k

x+k

limx→x+

k

[a, b] f( )a+

f( )b−

f(x) xk

f(x) xk

f(x) n

[a, b]

(x) = {u1 ,0

x > 0 ,x < 0 .

(x)f 2 π x ∈ R

(x) ,f (x)f x

( ( ) + ( ) ) ,12

( f x+ f x− ) x

(x) = {u1 ,0 ,

x > 0 ,x < 0 .

In [22]:

punit = plot(unit_step,-2,2,ymin=-0.5,ymax=1.5,exclude=[0], thickness=2);p0 = point((0,1/2),size=20); (punit+p0).show(figsize=3,ticks=[[],[1]])

Η -περιοδική επέκταση της είναι η συνάρτηση

για οποιοδήποτε ακέραιο . Με τις επόμενες δυο εντολές υλοποιούμε στο Sage την -περιοδική επέκτασητης και απεικονίζουμε την γραφική της παράσταση.

In [23]:

def u_ext(x): if x % pi.n() == 0.0 : y = 0 else: y = unit_step( ( x ) % (2*pi.n()) ) return y

In [24]:

pu_ext = plot(u_ext,-5*pi,5*pi, ymin=-0.3 , ymax=1.3, \ exclude=[i*pi for i in [-4..5] ], ticks=[pi,[1]], tick_formatter=[pi,1/2], \ thickness=2 , aspect_ratio=5 )pu_points = point([(i*pi,1/2) for i in [-5..5]],size=15)(pu_ext+pu_points).show(figsize=8)

Οι συντελεστές Fourier της σειράς Fourier της είναι

2 π (x)u

(x) =u⎧⎩⎨⎪⎪

0 ,

1 ,

,12

(2 m − 1) π < x < 2 m π ,

2 m π < x < (2 m + 1) π ,

x = m π ,

m 2 π

(x)u

(x)u

In [25]:

var('k')assume(k,'integer')a0 = inner(unit_step(x),1); print str('a0 = '), a0; a(k) = inner(unit_step(x),cos(k*x)) ; print str('ak = '), a(k);b(k) = inner(unit_step(x),sin(k*x)); print str('bk = '), b(k);

Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές μπορούν να απλοποιηθούν περαιτέρω, ανάλογα αν ο ακέραιος είναιπεριττός ή άρτιος

In [26]:

assume(k,'odd')print str('if k is odd : bk = '), b(k).simplify();forget(k,'odd')assume(k,'even')print str('if k is even: bk = '), b(k).simplify();forget(k,'even'); print assumptions()

Συνεπώς οι συντελεστές Fourier είναι , , και

Οι πρώτοι δέκα όροι στη σειρά Fourier της είναι

In [27]:

fourier_u10 = a0/2 + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [1..10]); fourier_u10.show()

Στο παρακάτω γραφικό αναπαριστούμε το μερικό άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της σειράς Fourier της μαζί με την -περιοδική επέκταση της στην οποία συγκλίνει η σειρά Fourier.

In [28]:

pfu10 = plot(fourier_u10,(x,-5*pi,5*pi) , ymin=-0.3 , ymax=1.3,color='red' , aspect_ratio=5); (pu_ext+pu_points+ pfu10).show(figsize=9, ticks=[pi,[1]], tick_formatter=[pi,1/2])

bk k

= 0a0 = 0ak

= {bk

,2k π

0 ,

k περιττός ,

k άρτιος .

(x)u

(x)u 2 π (x)u

a0 = 1ak = 0bk = -((-1)^k - 1)/(pi*k)

if k is odd : bk = 2/(pi*k)if k is even: bk = 0[k is integer, k > 0, l is integer, l > 0]

+ + + + +2 sin(9 x)

9 π

2 sin(7 x)7 π

2 sin(5 x)5 π

2 sin(3 x)3 π

2 sin(x)π

12

7.5 Άρτιες και περιττές συναρτήσεις

Ορισμός 9. Μια συνάρτηση λέγεται άρτια αν , σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Μιασυνάρτηση λέγεται περιττή αν , σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Το άθροισμα δυο άρτιων συναρτήσεων είναι μια άρτια συνάρτηση, και ομοίως τοάθροισμα δυο περιττών συναρτήσεων είναι μια περιττή συνάρτηση.Το γινόμενο δυο άρτιων ή περιττών συναρτήσεων είναι μια άρτια συνάρτηση, ενώ το γινόμενο μιαςάρτιας με μια περιττή συνάρτηση είναι περιττή συνάρτηση.Όπως έχετε ήδη μάθει στον Απειροστικό Λογισμό αν η είναι περιττή στο συμμετρικό διάστημα

, τότε το ολοκλήρωμά της στο διάστημα αυτό είναι μηδέν

Αν η είναι άρτια στο συμμετρικό διάστημα , τότε το ολοκλήρωμά της στο διάστημα αυτόείναι

Θεώρημα 10.

Αν η είναι άρτια συνάρτηση τότε οι συντελεστές Fourier των ημιτόνων είναι μηδέν, οπότε η έχει την αναπαράσταση σε σειρά Fourier

Αν η είναι περιττή συνάρτηση τότε οι συντελεστές Fourier των συνημιτόνων είναι μηδέν,οπότε η έχει την αναπαράσταση σε σειρά Fourier

Παράδειγμα 11. Η είναι άρτια συνάρτηση, οπότε έχει σειρά Fourier μόνο κατά συνημίτονα. ΣτοSage βρίσκουμε

In [29]:

def inner_even_odd(f,g,a,b): if a>=0: return 2/pi * integrate(f*g,x,a,b)

In [30]:

f(x) = abs(x); print f

f(−x) = f(x)f(−x) = −f(x)

f(x) + g(x)f(x) + g(x)

f(x)[−a, a]

f(x) x = 0 .∫a

−a

d

f(x) [−a, a]

f(x) x = 2 f(x) x .∫a

−a

d ∫a

0d

f(x) bk

f(x)

f(x) ∼ + cos k x , = f(x) cos k x x , k = 0, 1, 2, … .a0

2∑k=1

∞

ak ak2π

∫π

0d

f(x) ak

f(x)

f(x) ∼ sin k x , = f(x) sin k x x , k = 1, 2, … .∑k=1

∞

ak bk2π

∫π

0d

f(x) = x| |

x |--> abs(x)

In [31]:

var('k')assume(k,'integer')a0 = inner(f(x),1); print str('a0 = '), a0; a(k) = inner_even_odd(f(x),cos(k*x),0,pi) ; print str('ak = '), a(k);b(k) = inner(f(x),sin(k*x)); print str('bk = '), b(k);

In [32]:

assume(k,'odd')print str('if k is odd : ak = '), a(k).simplify();forget(k,'odd')assume(k,'even')a.simplify(); print str('if k is even: ak = '), a(k).simplify();forget(k,'even'); print assumptions()

Συνεπώς οι συντελεστές Fourier είναι , , και

Οι πρώτοι οχτώ όροι στη σειρά Fourier της είναι

In [33]:

fourier_abs = a0/2 + sum( a(k)*cos(k*x) + b(k)*sin(k*x) for k in [1..8]); fourier_abs.show()

Αντικαταθιστώντας στην σειρά , τότε παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα

το οποίο το γνωρίζει και το Sage!

In [34]:

var('j')print sum(1/(2*j+1)^2,j,0,oo)

Αλλάζοντας μεταβλητή στην άθροιση , με , τότε το Sage μας δίνει

In [35]:

sum(1/k^2,k,1,oo).show()

Αν αντί για θέσουμε στο εκθέτη της σειράς έναν περιττό θετικό ακέραιο, π.χ. 7, το Sage μας δίνει

= 0bk = πa0

= {ak

− ,4πk2

0 ,

k περιττός ,

k ≠ 0 άρτιος .

f(x) = x| |

x = 0

= 1 + + + + ⋯ = ,π2

819

125

149

∑j=0

∞ 1(2 j + 1)2

k = 2 j + 1 k = 1, 2, …

2

a0 = piak = 2*((-1)^k/k^2 - 1/k^2)/pibk = 0

if k is odd : ak = -4/(pi*k^2)if k is even: ak = 0[k is integer, k > 0, l is integer, l > 0]

π − − − −12

4 cos(7 x)49 π

4 cos(5 x)25 π

4 cos(3 x)9 π

4 cos(x)π

1/8*pi^2

16

π2

In [36]:

z7 = sum(1/k^7,k,1,oo) ; print z7 ; z7.show()

Από την βοήθεια που μας δίνει το Sage για την συνάρτηση , συμπεραίνουμε ότι πρόκειται για την συνάρτηση του Riemann, η οποία ορίζεται αρχικά από την σχέση

όπου , είναι μιγαδικός αριθμός με πραγματικό μέρος , και κατόπιν επεκτείνεται αναλυτικά στο . Οπότε με την βοήθεια των σειρών Fourier για την συνάρτηση , βρήκαμε ότι .

Γενικότερα, αν άρτιος θετικός ακέραιος, αποδεικνύεται ότι η τιμή της συνάρτησης είναι έναςρητός πολλαπλασισμένος με . Η συνάρτηση είναι η πιο διάσημη συνάρτηση στην θεωρία αριθμών, καιη πηγή του πιο εξέχοντος (και άλυτου μέχρι στιγμής) προβλήματος στα μαθηματικά, της υπόθεσης τουRiemann. Η εύρεση όλων των μιγαδικών ριζών της συνάρτησης του Riemann, έχουν επικηρυχθεί με .

Στα επόμενα δυο σχήματα απεικονίζουμε την -περιοδική επέκταση της , καθώς και τους πρώτουςοχτώ όρους στη σειρά Fourier.

In [37]:

def abs_ext(x): if x % pi.n() == 0.0 : y = 0 else: y = f( ( x ) % (2*pi.n()) ) return yabs_ext = plot(abs_ext,-4*pi-pi/3 , 4*pi+pi/3, ymin=-0.3 , ymax=3.15, \ ticks=[pi,[pi]], tick_formatter=[pi,pi], \ thickness=2 , aspect_ratio=2 )abs_ext.show(figsize=7)

In [38]:

pfabs8 = plot(fourier_abs,(x,-4*pi-pi/3,4*pi+pi/3) , ymin=-0.3 , ymax=3.15, \ color='red' , aspect_ratio=2, thickness=1); (pfabs8).show(figsize=7, ticks=[pi,[pi]], tick_formatter=[pi,pi])

ζ

ζ(s)

ζ(s) = ,∑k=1

∞ 1ks

s (s) > 1Re

∖ {1}C f(x) = x| | ζ(2) = π2

6s = 2 n ζ(s)

π2 n ζ(s)

ζ(s) $106

2 π f(x) = x| |

zeta(7)

ζ(7)

7.6 Παραγώγιση και ολοκλήρωση σειρών Fourier

7.6.1 Ολοκλήρωση

Η ολοκλήρωση είναι μια διαδικασία που το αποτέλεσμά της είναι μια συνάρτηση πιο ομαλή από αυτήν πουολοκληρώνουμε. Σε αντιδιαστολή, η παραγώγιση οξύνει τα προβλήματα που ενδεχομένως έχει η συνάρτησηπου παραγωγίζουμε. Για παράδειγμα, το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης του παραδείγματος 8., ηοποία παρουσιάζει ασυνέχεια στο , είναι η , η οποία είναι συνεχής στο . Από την άλλη, ηπαράγωγος της συνεχούς συνάρτησης είναι η η οποία παρουσιάζει ασυνέχεια στο .

Οπότε για μια συγκλίνουσα σειρά Fourier δεν θα έπρεπε να είχαμε κανένα πρόβλημα να την ολοκληρώσουμεόρο κατά όρο. Όμως υπάρχει ένα λεπτό σημείο που χρειάζεται αν προσέξουμε. Το ολοκλήρωμα μιας περοδικήςσυνάρτησης δεν είναι αναγκαστικά περιοδική συνάρτηση. Το ζήτημα είναι ο σταθερός όρος στη σειράFourier. Έστω κι αν η σταθερή συνάρτηση είναι περιοδική συνάρτηση, το ολοκλήρωμά της, δηλαδή η , δενείναι με κανένα τρόπο περιοδική. Το πρόβλημα αυτό προφανώς δεν υπάρχει για τους όρους με τα ημίτονα καιτα συνημίτονα των οποίων τα ολοκληρώματα είναι περιοδικές συναρτήσεις. Οπότε μόνο ο όρος

δηλαδή η μέση τιμή της στο διάστημα μπορεί να δημιουργήσει κάποια δυσκολία στηνολοκλήρωση. Αν η μέση τιμή της στο διάστημα είναι μηδέν, τότε ισχύει το ακόλουθο:

Λήμμα 12. Αν η είναι περιοδική συνάρτηση τότε το ολοκλήμωμά της , είναιπεριοδική συνάρτηση αν και μόνο αν , δηλαδή η μέση τιμή της στο είναι μηδέν.

Θεώρημα 13. Αν η τμηματικά συνεχής και έχει μηδενική μέση τιμή στο , τότε η σειρά Fourier της , μπορεί να ολοκληρωθεί όρο προς όρο και είναι η σειρά Fourier

όπου είναι η μέση τιμή της στο , .

Γενικότερα, αν η μέση τιμή της δεν είναι μηδέν στο , τότε η σειρά που προκύπτει από την όροπρος όρο ολοκλήρωση της σειράς Fourier της , θα περιλαμβάνει και την ταυτοτική συνάρτηση , δηλαδή

Υπάρχουν δυο τρόποι για να ερμηνεύσουμε το αποτέλεσμα αυτό.

Μπορούμε να γράψουμε την σχέση

στην οποία το αριστερό μέλος είναι μια - περιοδική συνάρτηση.Εναλλακτικά, μπορούμε να αντικαταστήσουμε στην παραπάνω σχέση, την σειρά Fourier της πουβρήκαμε στο παράδειγμα 3. Το αποτέλεσμα θα είναι η -περιοδική επέκταση του ολοκληρώματος μετο οποίο ορίζεται η .

(x)ux = 0 x (x) + cu x = 0

x| | 2 (x) − 1u x = 0

1x

= f(x) x ,a0

21

2 π∫

π

π

d

f(x) [−π, π]f(x) [−π, π]

f(x) 2 π g(x) = f(t) t∫ x

0 df(x) x = 0∫ π

−πd f(x) [−π, π]

f(x) [−π, π]f(x)

g(x) = f(t) t ∼ M + (− cos k x + sin k x ) ,∫x

0d ∑

k=1

∞bk

k

ak

k

M g(x) [−π, π] M = g(x) x∫ π

−πd

f(x) [−π, π]f(x) x

g(x) = f(t) t ∼ x + M + (− cos k x + sin k x ) .∫x

0d

a0

2∑k=1

∞bk

k

ak

k

g(x) − x ∼ M + (− cos k x + sin k x ) ,a0

2∑k=1

∞bk

k

ak

k

2 π

x

2 π

g(x)

7.6.2 Παραγώγιση

Η σειρά που προκύπτει παραγωγίζοντας την σειρά Fourier μιας συνάρτησης , όρο προς όρο, θα πρέπει ναπαραμένει τμηματικά συνεχής. Οπότε η θα πρέπει να είναι δυο φορές τμηματικά διαφορίσιμη για ναμπορέσουμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 7. της σύγκλισης. Πιο συγκεκριμένα

Θεώρημα 14. Αν η έχει μια τμηματικά, δυο φορές διαφορίσιμη, τότε η σειρά Fourier της , μπορεί ναπαραγωγιστεί όρο προς όρο και είναι

Παράδειγμα 15. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι η συνάρτηση προσήμου:

Παραγωγίζουμε όρο προς όρο την σειρά Fourier της που βρήκαμε στο Παράδειγμα 11. και έχουμε

In [39]:

fourier_abs.diff(x).show()

δηλαδή

7.7 Αλλαγή κλίμακας

Ορίσαμε την σειρά Fourier μιας συνάρτησης στο διάστημα , με μήκος , που είναι ίσο με τηνπερίοδο της περιοδικής επέκτασης της . Όμως, δεν υπάρχει κάποιος λόγος να θεωρούμε ότι υπάρχει κάτιτο ιδιαίτερο με το μήκος του διαστήματος αυτού. Το αντίθετο μάλιστα, στα προβλήματα του πραγματικούκόσμου τα μήκη ράβδων, νημάτων κτλ. δεν έχουν μήκος . Γι' αυτό τον λόγο κρίνεται σκόπιμο να ορίσουμετην σειρά Fourier μιας συνάρτησης σε οποιοδήποτε συμμετρικό διάστημα , με θετικόπραγματικό αριθμό.

Ο τρόπος που θα υλοποιήσουμε την μετατροπή αυτή είναι να τεντώσουμε κατάλληλα την μεταβλητή πουδιατρέχει το διάστημα , έτσι ώστε τα άκρα του διαστήματος για τo να συμπέσουν με τα άκρατου διαστήματος που διατρέχει το . Αυτό επιτυγχάνεται με την αλλαγή μεταβλητής

f(x)f(x)

f(x) f(x)

(x) ∼ (k cos k x − k sin k x ) .f ′ ∑k=1

∞

bk ak

f(x) = x| |

f(x) = (x) = {dxd

sign +1 ,−1 ,

x > 0 ,x < 0 .

x| |

x ∼ (sin x + + + + ⋯) .sign4π

sin 3 x

3sin 5 x

5sin 7 x

7

f(x) [−π, π] 2 π

f(x)

2 π

f(x) [−L, L] L

y

[−π, π] [−π, π] y

[−L, L] x

x = y − π ≤ y ≤ π , −π ≤ x ≤ π .L

π

+ + +4 sin(7 x)

7 π

4 sin(5 x)5 π

4 sin(3 x)3 π

4 sin(x)π

Με την αλλαγή αυτή μια συνάρτηση που παριστάνεται με την σειρά Fourier

στο , με

μετατρέπεται κάτω από την αλλαγή κλίμακας , σε μια συνάρτηση που έχει την αναπαράσταση σεσειρά Fourier

στο , με

Παράδειγμα 16. Θα βρούμε την σειρά Fourier της στο διάστημα . Επειδή η είναι περιττήσυνάρτηση αναμένουμε στην σειρά Fourier να μην εμφανίζονται συνημίτονα. Τροποποιούμε ανάλογα στοSage τα ολοκληρώματα τα άκρα της ολοκλήρωσης, τους συντελεστές κτλ. και έχουμε

In [40]:

f(x)=x ; print f

In [41]:

pf = plot(f,(x,-1,1)); pf.show(figsize=4)

In [42]:

def inner_scaled(f,g,L): return 1/L * integrate(f*g,x,-L,L)

F(y)

F(y) ∼ + ( cos k y + sin k y ) ,a0

2∑k=1

∞

ak bk

[−π, π]

= f(y) cos k y y , = f(y) sin k y y ,ak1π

∫π

−π

d bk1π

∫π

−π

d

x = yLπ

f(x)

f(x) ∼ + ( cos + sin ) ,a0

2∑k=1

∞

akk π x

Lbk

k π x

L

[−L, L]

= f(x) cos x , = f(x) sin x .ak1L

∫L

−L

k π x

Ld bk

1L

∫L

−L

k π x

Ld

f(x) = x [−1, 1] x

x |--> x

In [43]:

var('k')l = 1assume(k,'integer')a0 = inner_scaled(f(x),1,1); print str('a0 = '), a0; a(k) = inner_scaled(f(x),cos(k*x*pi/l),l) ; print str('ak = '), a(k);b(k) = inner_scaled(f(x),sin(k*x*pi/l),l); print str('bk = '), b(k);

In [44]:

fourier6_x_scaled = a0/2 + sum( a(k)*cos(k*x*pi/l) + b(k)*sin(k*x*pi/l) for k in [1..6]); fourier6_x_scaled.show()

Στο παρακάτω γραφικό απεικονίζουμε το μερικό άθροισμα των έξι πρώτων όρων της σειράς Fourier της στο διάστημα , μαζί με την -περιοδική επέκταση της στην οποία συγκλίνει η σειρά

Fourier.

In [45]:

def fx_ext(x): y = f( ( x ) % (2.0*l.n() ) ) return y

In [46]:

px_ext = plot(fx_ext,-5.,5, ymin=-1.2 , ymax=1.2, \ exclude=[i for i in [-4..5] ], ticks=[1,1], tick_formatter=[1,1], \ thickness=2 , aspect_ratio=1, plot_points=400 )px_points = point([(i,0) for i in [-3,-1,1,3]],size=20)pf_x_6 = plot(fourier6_x_scaled,(x,-5,5) , ymin=-1.2 , ymax=1.2,color='red' , aspect_ratio=1); (px_ext + px_points + pf_x_6 ).show(figsize=8)

7.8 Το φαινόμενο Gibbs

Όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει στα σημεία που η δεν είναι συνεχής, η σειρά Fourier αστοχεί ναταυτιστεί με την πραγματική τιμή της . Μάλιστα αυτή η αστοχία αυτή δεν οφείλεται στην αποκοπή τωνόρων στην σειρά Fourier. Όσους όρους και να συμπεριλάβουμε στη σειρά Fourier, η τελευταία εξακολουθεί νααστοχεί και μάλιστα η αστοχία δείχνει να μην αλλάζει. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο Gibbs καιη απόδειξή του είναι αρκετά πονηρή. Αλλά με την βοήθεια του Sage είναι πολύ πιο εύκολο να την κατανοήσεικανείς.

f(x) = x [−1, 1] 2 f(x)

f(x)f(x)

a0 = 0ak = 0bk = -2*(-1)^k/(pi*k)

− + − + − +sin(6 πx)

3 π

2 sin(5 πx)5 π

sin(4 πx)2 π

2 sin(3 πx)3 π

sin(2 πx)π

2 sin(πx)π

Θεωρούμε την συνάρτηση προσήμου του Παραδείγματος 15. Όπως είδαμε οι οχτώ πρώτοι όροι στησειρά Fourier της είναι οι

In [47]:

f_sign = fourier_abs.diff(x); f_sign.show()

In [48]:

def sign_ext(x): if x % pi.n() == 0.0 : y = 0 else: y = sign( ( x ) % (2*pi.n() ) ) return y

In [49]:

psign_ext = plot(sign_ext,-5*pi,5*pi, ymin=-1.2 , ymax=1.2, \ exclude=[i*pi for i in [-5..5] ], ticks=[pi,1], tick_formatter=[pi,1/2], \ thickness=2 , aspect_ratio=3 )psign_points = point([(i*pi,0) for i in [-5..5]],color = 'blue' , size=20)pf_sign = plot(f_sign,(x,-5*pi,5*pi) , ymin=-1.2 , ymax=1.2,color='red' , aspect_ratio=1); (psign_ext + pf_sign + psign_points ).show(figsize=8)

Από το σχήμα, διαβάζοντας τις διαβαθμίσεις του γραφικού του Sage, παρατηρούμε ότι η τιμή της σειράςFourier υπερβαίνει την τιμή που έχει η συνάρτηση για , περίπου κατά , το μέγιστο. Αντίστοιχεςδιαπιστώσεις ισχύουν και αριστερά του σημείου . Θέλουμε να βρούμε πόση ακριβώς είναι η μεγαλύτερηαστοχία της σειράς Fourier, όσους όρους (άπειρους) και να συμπεριλάβουμε στην σειρά Fourier.

Τα πιθανά ακρότατα της σειράς Fourier (ψάχνουμε για τοπικό μέγιστο στο διάστημα ) είναι εκεί πουμηδενίζεται η πρώτη παράγωγός της για πρώτη φορά, οπότε

In [50]:

f_sign.diff().show()

H μερικό άθροισμα της σειράς σειράς Fourier που προκύπτει από την παραγώγιση της σειράς Fourier της , όρο προς όρο, είναι

Είναι αξιοσημείωτο γεγονός ότι το άθροισμα αυτό έχει κλειστό τύπο τονοποίο γνωρίζει το Sage!! Πραγματικά

(x)sign(x)sign

x > 0 +0.2x = 0

(0, π)

(x)sign

(x) ∼ ( cos x + cos 3 x + ⋯ + cos(2 N − 1) x ) .sign′N

4π

+ + +4 sin(7 x)

7 π

4 sin(5 x)5 π

4 sin(3 x)3 π

4 sin(x)π

+ + +4 cos(7 x)

π

4 cos(5 x)π

4 cos(3 x)π

4 cos(x)π

In [51]:

var('x,k,N')

In [52]:

sum_1 = 4/pi * sum(cos((2*k-1)*x), k, 1, N);sum_2 = sum_1({arctan2(sin(2*x),cos(2*x)) : 2*x}).trig_simplify();sum_3 = sum_2.trig_reduce(); sum_3.show()

Δηλαδή

Η ψηλότερη κορυφή στην αστοχία στο διάστημα είναι εκεί όπου μηδενίζεται για πρώτη φορά ηπαραπάνω παράγωγος, δηλαδή για . Θέτοντας την τιμή αυτή για το στο μερικό άθροισμα της

βρίσκουμε ότι

Το παραπάνω άθροισμα είναι ένα άθροισμα Riemann, όπου ως ενδιάμεσα σημεία παίρνουμε τα μέσα τωνδιαστημάτων . Οπότε καθώς το απειρίζεται, το παραπάνωάθροισμα γίνεται το παρακάτω ορισμένο ολοκλήρωμα Riemann

Με άλλα λόγια, καθώς το απειρίζεται, η τιμή της σειρά Fourier της στο σημείο με την μεγαλύτερηαστοχία τείνει στην τιμή του παραπάνω ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα αυτό υπολογίζεται μόνο μεαριθμητική προσέγγιση, οπότε με την βοήθεια του Sage (σε ακρίβεια e-13) βρίσκουμε

In [53]:

astoxia = 2/pi * integrate(sin(x)/x,(x,0,pi)) ; print astoxia.n()

Δηλαδή η τιμή της σειράς Fourier της στο σημείο με την μεγαλύτερη αστοχία είναι1.17897974447217, που σημαίνει ότι η σειρά Fourier αστοχεί να βρει την σωστή τιμή της πουπροσεγγίζει, περίπου κατά 0.18, το οποίο είναι 9% του άλματος από το -1 στο 1. Το ίδιο συμβαίνει για όλεςτις ασυνεχείς συναρτήσεις που παρουσιάζουν άλματα σε σημεία, δηλαδή

Στο σημείο ασυνέχειας μιας συνάρτησης , η σειρά Fourier της αστοχεί να βρει τηνσωστή τιμή κατά 9% του άλματος που παρουσιάζει η στο σημείο . Υπενθυμίζεται ότι τοάλμα της στο είναι ο αριθμός .

(x) = .sign′N

2π

sin 2 N x

sin x

(0, π)x = π

2 Nx

(x)signN

( ) = ( + + ⋯ + ) .signNπ

2 N

2π

π

N

sin(π 2 N)/

π 2 N/

sin(3 π 2 N)/

3 π 2 N/

sin 2 N − 1) π 2 N( / )

(2 N − 1)π 2 N/

0 = < < < ⋯ < < = πx0 x1 x2 xN−1 xN N

( ) = x , Δ x = .limN→∞

signNπ

2 N

2π

∫π

0

sin x

xd

π

N

N (x)sign

(x)signf(x)

x0 f(x) f(x)f(x) x0

f(x) x0 f( ) − f( )x+0 x−

0

Out[51]:

(x, k, N)

2 csc(x) sin(2 Nx)π

1.17897974447217