7 Capítulo 7 Relieve, Interpolación y MDT

7/26/2019 7 Captulo 7 Relieve, Interpolacin y MDT

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Captulo VIII Relieve y curvas de nivel.

CAPTULO VIII RELIEVE Y CURVAS DE NIVEL.

8.1 Importancia de reie!e para a In"enier#a Ci!i

Relieve (geografa), en geomorfologa, nombre genrico que se da al conunto de lasirregularidades o accidentes del terreno que conforman o modelan la superficie de la corte!a

terrestre."as obras civiles se construyen sobre el terreno, en el que el relieve es in#erente, por lo queconocer el relieve del $rea donde se construir$ es fundamental, sobre todo en las obras lineales(carreteras, ferrocarriles, canales), donde el costo de la obra depende de c%mo la misma sevincula al terreno. &l relieve es determinante en los c$lculos de movimiento de tierra presente entoda obra ingeniera, por lo del ingeniero debe ser capa! de interpretarlo correctamente parautili!arlo a su favor.

&n la actualidad con el desarrollo de la inform$tica y la edici%n de mapas y planos del relievepuede representarse en forma bidimensional o plana (dos dimensiones '') y tridimensional oespacial (tres dimensiones '*').

8.$ %&todo' de repre'entaci(n )idimen'iona *$D+ de reie!e.

+n suponiendo de momento que la superficie que #aya que representarse sea lo suficientementepeque-a para poder prescindir de la esfericidad terrestre, siempre ser$ preciso representar sobreun plano, que tiene s%lo dos dimensiones, el terreno con su relieve, que es de tres, por lo que #ade aplicarse algunos de los sistemas representativos que estudia la eometra escriptiva.

e los cuatro sistemas fundamentales s%lo prescindiremos de los mtodos que suelen llamarseperspectivos (c%nico y a/onomtrico), porque de forma las figuras al variar sus dimensiones enlas distintas direcciones. &ntre los sistemas mtricos tampoco nos sirve el sistema didrico, o de0onge (planta y al!ado), porque siendo la proyecci%n vertical muc#o menor que la #ori!ontal, seacumularan y superpondran en ella las proyecciones de tal nmero de puntos queimposibilitaran su lectura.&/isten diferentes mtodos para representar el relieve entre los cuales los m$s empleados son1

0todo de la escala de color, representaci%n pl$stica, del plano acotado mtodo de las mayas y de las curvas de nivel.

&n general los mtodos m$s utili!ados en la topografa son el del plano acotado y de las curvas denivel.

8.$.1 %&todo de a e'caa de coor

2e emplea en los mapas geogr$ficos a peque-a escala (&3 41 4555 555) para lo cual se puedeemplear1

4. 6n solo color cuya intensidad aumenta con la altura, emple$ndose generalmente 7'8escalones.

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. os colores, verde para las !onas llanas y marr%n para alturas, con varios matices en cadacolor, logr$ndose :'45 escalones.

*. Varios colores logr$ndose sustituir al marr%n por colores c$lidos que se vanintensificando, emple$ndose el anaranado y el roo; como color de transici%n entre losescalones verdes y los anaranados se emplea el amarillo. Con estos colores se logrageneralmente una escala de 45'47 escalones.

,i"-ra 8.1 %apa con reie!e repre'entado por e m&todo de a' e'caa' de coore'.

&l empleo de los colores es en general un proceso costoso que requiere de un equipamiento

especiali!ado, es esencialmente un mtodo cualitativo de representaci%n del relieve. &ste mtodosolo se utili!a en los mapas geogr$ficos (4 555 555 y menores).

8.$.$ %&todo de repre'entaci(n p'tica

2e empleaba generalmente en mapas a escalas 41 455 555 y a 414555 555 en !onas monta-osas yconsiste en visuali!ar el relieve mediante un efecto pl$stico logrado con1

4. efecto de lu! y sombra. rayado por normales.

*5


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&l empleo del mtodo pl$stico es un verdadero arte, requirindose de personal altamenteespeciali!ado por lo que se utili!a poco en la actualidad, resultando s%lo efica! en terrenosmonta-osos, es esencialmente un mtodo cualitativo de representaci%n del relieve.

8.$./ Pano' acotado'

2e denomina plano acotado, aquel en que conuntamente con la representaci%n de la posici%nrelativa de los detalles de e/isten en el terreno, se le escriben los valores de las cotas, cantidadesque representan elevaciones y dimensiones, con las cuales es posible establecer comparaciones dealturas, tama-os y separaci%n entre detalles. 6n terreno que definido si a la y #ori!ontal se leacompa-a la cota1 que sirven para caracteri!arlo

&n el sistema acotado (,i"-ra 8.$) se representan los diversos puntos del espacio tomando unplano #ori!ontal < arbitrariamente elegido, denominado plano de comparacin; sobre ste seproyecta ortogonalmente en alos diversos puntos +, y de este modo se sustituye la figura delespacio, de tres dimensiones, por su proyecci%n sobre el plano, de s%lo dos.

"a representaci%n, sin embargo, #a de ser reversible, o sea que de la proyecci%n #emos de deducirla verdadera forma en el espacio, y claro est$ que si no poseysemos otros elementos de lapredicaci%n a del punto +, lo nico que podremos afirmar es que el punto en el espaciofor!osamente al encontrarse sobre la proyectante +a, pero en esta recta podr$ ocupar infinitasposiciones, es decir, que si bien, dado el cuerpo en el espacio, obtendremos f$cilmente suproyecci%n en el plano, del solo conocimiento de esta no podremos pasar a la primera.

&s necesario, por tanto, un elemento m$s, que en elsistema acotado es la distancia z que e/iste entrecada punto y su proyecci%n; ste, en el dibuo, sese-ala al lado de la proyecci%n a y se denomina

como sabemos cota; con la proyecci%n y la cota, elpunto queda perfectamente definido, o sea en laproyectante +ano puede #aber m$s de uno de cotaz; de este modo se #abr$ #ec#o reversible el sistemade representaci%n.

"a cota c puede ser positiva, cero, o negativa, segn + se encuentre encima, en el plano o pordebao. &n la representaci%n topogr$fica el plano de comparaci%n casi siempre se toma como elnivel medio del mar (=00) para que la mayora de las cotas en la tierra resulten con valorpositivo o elevaci%n y en el mar con valor negativo o de profundidad.

"os planos acotados se emplean s%lo para grandes escalas y en los I= por sus siglas en ingls >riangulation Irregular =et?or@) o por una malla decuadrados (6R= por sus siglas en ingls 6niform Regular =et?or@). &ste mtodo es empleado

*4

z

A

a*c+P

,i"-ra 8.$ Proecci(n acotada de -n p-nto.


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fundamentalmente en la representaci%n tridimensional (*) del terreno, y en el plano se empleapara la obtenci%n de las curvas de nivel como veremos m$s adelante.

A.2 %aa Irre"-ar de Trin"-o'3 "a TIN es una malla de tri$ngulos conectados entre s, conal menos un lado comn, que se obtiene utili!ando la triangulaci%n %ptima de elaunay, la queconsiste en unir los puntos de forma tal que al tra!ar un crculo que pase por los puntos vrtices

de los tri$ngulos, este crculo no contenga a ningn otro punto de la malla. "a superficie de cadatri$ngulo se considera plana, donde a cada vrtice se le denomina nodo y constituye el punto datodel terreno. &ste mtodo se utili!a cuando la distribuci%n de la masa de puntos de datos delterreno tiene un car$cter aleatorio, o sea est$n distribuidos de forma irregular.

&AI=ICIB=&2

+ lo largo de todas las p$ginas de documentaci%n se #a tratado de dar una idea de conceptos lom$s clara posible, pero se #an evitado las definiciones formales.


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Dia"rama de Voronoi1 ado un conunto < de npuntos en el plano, se define diagramade Voronoi de < como la subdivisi%n del plano en n regiones (una para cada punto de de un conunto de puntos

del plano entre los puntos pi y pjpertenecientes a ). 2i esos dos tri$ngulos forman uncuadril$tero, podemos obtener una nueva triangulaci%n >G eliminando la arista e de > einsertando la arista entrep@ ypl en su lugar. + sea operaci%n se la conoce como flip.

Ari'ta ie"a1 ada una triangulaci%n de elaunay > de un conunto de puntos del plano entre los puntospi yppertenecientes a ). 2i C es una circunferencia que contiene a pi, p, p@ diremos que la arista e es ilegal si ys%lo sipl queda en el interior de C.

**


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8.$./ %&todo de a' c-r!a' de ni!e

2e emplea en todos los planos topogr$ficos y en los mapas de escala &H414555 555, consiste enrepresentar sobre el plano o mapa las lneas de igual cota (isolnea).

Isolnea1 son las curvas que unen los puntos de igual valor del par$metro representado. +s por

eemplo1Is%gonas igual declinaci%n magnticaIsotermas igual temperaturaIsobaras igual presi%n atmosfricaIsobatas igual profundidad&s un mtodo cualitativo y cuantitativo de representaci%n del relieve, as en la figura vemos queel punto best$ m$s alto que el punto a(cualitativamente), pero podemos precisar que est$ 7 mpor encima (cuantitativo).&l mtodo de las curvas de nivel es el m$s empleado por1

sencillo en su aplicaci%n cualitativo y cuantitativo facilidad en la interpretaci%n no atiborra el plano.

8.$.6 C-r!a' de ni!e

2e llama curva de nivel (C=) a unalnea imaginaria que une todos lospuntos que tienen igual altura sobrela superficie de referencia. >ambin

puede definirse como el contorno#ori!ontal de la lnea de intersecci%nde planos #ori!ontales equidistantesentre si que cortan al terreno.

,i"-ra 8.1 C-r!a' de Ni!e *CN+.

*

Curvas de nivel en el plano

Curvas de nivel levantadas en superficie


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a) b)

c) d)

,i"-ra 8.7 Pano acotado a+ '-' corre'pondiente' pano' con c-r!a' de ni!e )+ c+ d+.

8.7 E9-idi'tancia entre c-r!a' de ni!e *CN+.

&quidistancia es la separaci%n vertical entre los planos #ori!ontales que determinan las curvas denivel y por tanto es el desnivel (J) entre dos curvas de nivel.

*7


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,i"-ra 8.0 E9-idi'tancia entre c-r!a' de ni!e.

"a equidistancia es el ndice de la precisi%n en la representaci%n del relieve, a menorequidistancia mayor ser$ el nmero de planos de corte permitiendo representar o mayor nmerodetalles del terreno, aparecer$n representados accidentes del terreno que de lo contrario noapareceran.

&n la figura :. se pueden apreciar el plano acotado y tres eemplos de representaci%n del relievecon distintas equidistancias verticales.Valores empleados de equidistancia para los mapas y planos topogr$ficos.

5,7 m 45 m

5,75 m 5 m4,5 m 7 m,5m7,5m 75 m

455 m

Nota1 =o se emplean otras equidistancias que las normadas, relacionadas arriba.

Como se puede apreciar en la Aigura :. aparecen planos con curvas de nivel obtenidos a partirdel mismo plano acotado (:. a)) que poseen diferentes equidistancias, as por eemplo1 la figura:. b) tiene equidistancia 7m, la :. c) equidistancia m y la :. d) equidistancia 4m.

8.7.1 Reaci(n entre a e9-idi'tancia a e'caa de pano a 'eparaci(n entre c-r!a' deni!e.

e K ! K 4m

75

7

7

78

e K ! K m

75

7

74

7

7*

75

75

*8


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&/isten dos elementos que nos permiten determinar la equidistancia entre curvas de nivel, laescala y el relieve."a informaci%n que brinda un plano crece a medida que aumenta la escala y vimos como lainformaci%n sobre el relieve aumenta a medida que disminuye la equidistancia, debiendo por lotanto e/istir una relaci%n entre la escala y la equidistancia. + mayor escala mayor informaci%n brinda el plano.

+ menor equidistancia mayor informaci%n sobre el relieve.

Veamos c%mo obtener esta relaci%n1

2ean a y b dos puntos situados sobre dos curvas de nivel consecutivas, y sea s la distancia entreellos en el plano."a pendiente de la recta en el terreno +L ser$1

0Ms

ep

)

NJ== 0MsMpe =

e1 equidistancia

p1 pendiente m$/ima del terrenos1 separaci%n mnima entre curvas de nivel en el plano (5,55 O 5, sus un 545 m )01 denominador de la escala del plano

"a pendiente es la relaci%n que e/iste entre el desnivel y la distancia e/presada en por ciento (P)o el $ngulo que se forma entre la #ori!ontal y la direcci%n a otro punto, o sea1

P455M

!p = %

)

!pQnse

=

)

!arcsenpQ

=

*pQ

!


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ebe tenerse en cuenta que si la separaci%n entre las curvas de nivel es mnima lacorrespondiente pendiente del terreno ser$ m$/ima.

&n las =ormas Cubanas se establece la equidistancia entre curvas de nivel en funci%n de la escalapara mantener la equidistancia entre curvas de nivel, si el relieve es muy abrupto o monta-osoesta equidistancia por norma puede aumentarse y si es muy llano puede disminuirse.


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2oluci%n10MsMpe = K 5,557 M 5,47 M 755

e K 5,*7 m se redondea por e/ceso a 5,7 meK 5,7 m

E4empo 73

etermine si es posible emplear una equidistancia de 4m en un plano de escala 41 7555 de una!ona con pendientes entre el 45P y 47P.

2oluci%n1

0MsMpe = 554*,57555M5,47

4s

0Mp

e===

Como s3 smn no se puede emplear

la equidistancia a emplear ser$1

e K 5,55 M 5,47 M 7555 K 4,7 m e K m.

8.0 Tipo' de c-r!a' de ni!e

"as curvas de nivel del mapa que se corresponden con el intervalo vertical establecido se tra!ancon lneas continuas y se denominan c-r!a' de ni!e principae'(ndices e intermedias).

Con frecuencia se encuentran casos en que entre dos curvas de nivel dadas a y detalles del relieveque no se reflean en el mapa por estar situados entre dos curvas de nivel a equidistancia normal,en tales casos adem$s de las curvas de nivel principales se emplean las curvas de nivel

complementarias (semicurvas de nivel) que se tra!an con lneas discontinuas a la mitad deintervalo vertical.


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1. C-r!a' de ni!e #ndice'.

2e colocan a 7 veces la equidistancia entre curvas de nivel, se refuer!an con lneas m$s gruesas yse acotan.

&quidistancia C= Sndice5,7 ,74 7 457 7

$. C-r!a' intermedia'.

2on las que mantienen la equidistancia

7. C-r!a' compementaria'.

2on tra!adas entre dos curvas intermedias, o una intermedia y una ndice en aquellos lugaresdonde las curvas est$n muy separadas y quedan dudas sobre el relieve. 2e colocan a la mitad de laequidistancia entre curvas de nivel y casi nunca se cierran por lo que se les llama semicurvas.

0. C-r!a' a-5iiare'.

2u empleo es el mismo que las curvas de nivel complementarias, cuando el uso de las

complementarias no es suficiente en los terrenos muy llanos o cuando se quiere se-alar algncambio de pendiente del terreno que no pueda ser resuelto mediante las curvas de nivelcomplementarias. 2e colocan a un cuarto de la equidistancia entre curvas de nivel y tambin sonsemicurvas.

,i"-ra 8.0 Tipo' de c-r!a' de ni!e.

8./ Caracter#'tica' de a' C-r!a' de ni!e

75

85

Sndices Complementarias

+u/iliares

Intermedias

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odos los puntos de una misma curva de nivel tienen la misma elevaci%n sobre el nivel medio

del mar. &sta propiedad se deriva de la propia definici%n de curvas de nivel como lnea queune los puntos que tienen igual altura sobre una superficie de referencia.

. "as curvas de nivel son siempre cerradas ya sea dentro de los lmites del plano o fuera de

estos.

,i"-ra 8./ Propiedad de a' c-r!a' de ni!e de 'er c-r!a' cerrada'.

&sta propiedad se deriva de la continuidad del terreno que #ace que todo el plano #ori!ontalcorte al terreno en forma de curva cerrada.

*. "as curvas de nivel no se cortan entre s e/cepto en el caso de salientes pronunciadas queno son muy frecuentes ver Aigura :..

,i"-ra 8.: Comportamiento de a' c-r!a' de ni!e en 'aiente' pron-nciada'.

. "as curvas de nivel en las elevaciones aparecen como un conunto de curvas cerradas conlas de menor elevaci%n envolviendo a las de mayor elevaci%n Aigura :..

7. "as curvas de nivel en las depresiones aparecen como un conunto de curvas cerradas conlas de mayor elevaci%n envolviendo a las de menor elevaci%n Aigura :.7.

8. "as curvas de nivel no se dividen o ramifican, aunque en los farallones y frentes decanteras las curvas se unen debido a la fuerte pendiente.

4"mites del planotopogr$fico

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,i"-ra 8.8 Corte de a' c-r!a' de ni!e en -n ;ara(n.

. &n las vaguadas las curvas de nivel forman una curva pronunciada cortando al ee de lavaguada en $ngulo agudo con la parte conve/a frente al sentido de circulaci%n del agua.

:. &n las divisorias las curvas de nivel forman una curva suave cort$ndola en $ngulo recto.9. &n las pendientes uniformes las curvas de nivel aparecen uniformemente espaciadas,

cuando la pendiente aumenta disminuye la separaci%n entre las curvas y viceversa.45. "as depresiones entre dos elevaciones se denominan sillas o pasos.

farall%n

7


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Introd-cci(n

Ea conocemos las caractersticas de las C= lo que nos permite interpretar debidamente el relieverepresentado en un plano y debemos a#ora aprender a determinar las C= para lo cual e/istenmtodos que pueden dividirse en 1

0todos irectos

=ivel de trpode. =ivel de mano.

0todos Indirectos Cuadrcula


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onde < ser$ un punto sobre la C=.

E4empo

a) Calcule cu$ntos y cuales C= pueden determinarse con un nivel que lee .4m sobre un punto+ de cota *8.7m, si la equidistancia es 4m.b) eterminar las lecturas para situar cada curva.

So-ci(n

+I KJ+ T 0& K *8.7 T .4 K *:.4mJma/K +I K *:.4mJminK +I O .55 K *:.4 O .55 K *.4m&ntonces entre *.4 y *:.4m con eK4m tenemos las C=1 *7, *8, * y *:

Nota3 &/plicar que la primera C= es la Ucero y que a partir de a# se va sumando laequidistancia, as para1

e K 5.7m (5'4'4,7''.7'*'*.7...*8'*8.7)e K4 m (4, , *,,...7, 8,)

e K m (, , 8,:,...8,:)e K 7m (5, 7,45,5...7, *5,*7)

0A K +I O Cota ener por obetivo la posici%n planimtrica de cada uno de los puntos que conforman cada C=,generalmente se emplea la taquimetra (con el teodolito o preferiblemente con el taqumetroautorreductor) determin$ndose la distancia y el $ngulo para levantar cada punto por coordenadaspolares. &l teodolito o taqumetro se estaciona en un punto de la Reodolitoo

>aqumetro

Red del"evantamiento

FI! 3


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%&todo Indirecto.

2on aquellos mtodos en los que las C= de nivel se determinan sobre el plano a partir de la cotade un conunto de puntos a partir de los cuales se determinan las C= pueden estar distribuidos de

tres formas1 Cuadrculas


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&/isten * procedimientos b$sicos1 0todo analtico 0todo gr$fico 0todo de estima

%&todo ana#tico.

&s el m$s lento y preciso y se emplea poco en la pr$ctica, aunque lo estudiamos para conocer elfundamento de la interpolaci%n que es el mismo que el de la interpolaci%n del relieve W&ntre dospuntos de cota conocida la pendiente es uniformeWW.

J

2ea + y L entre los cuales queremos interpolar las curvas de cota J 4y J, entonces para terminarlos valores de d4y dtenemos1

44

4

4d#

#

dd

d#

d

#

d

==

((

(

(d#

#

dd

d#

d

#

d

==

E4empo prop-e'to.eK4m

So-ci(n3

Xay que interpolar y :

d

dd4

dJ4

J

JLJ

J4J1 desnivel entre + y Ld1 distancia entre + y L en elplano.dJ41 desnivel entre + y 4dJ1 desnivel entre + y

d41 distancia +'4 en el planod1 distancia +' en el plano.

8.8 : :.

8.cm

.4

4.


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JK :. O 8.8 K .4m

Curva 1 dJ4K '8.8K5.m d4K cm(.4I.5Y4.(

(.8=

Curva :1 dJK:'8.8K4.m

dKcm4.II.4

4.(

(.8=

%&todo "r;ico

&s m$s r$pido aunque menos preciso que el mtodo analtico y se emplea con frecuencia,especialmente por aquellos que no tienen gran e/periencia. &/isten varias variantes del mtodogr$fico, siendo las m$s conocidas1

0todo de la escala 0todo de la banda el$stica 0todo de los patrones transparentes.

E4empo

%&todo de e'tima.

&s el m$s r$pido aunque el m$s impreciso de los mtodos de interpolaci%n y s%lo da buenosresultados cuando lo emplea un personal de e/periencia y #abilidad.Consiste en dividir Ua estimael segmento entre los puntos de cota conocida de manera que #ayaproporcionalidad entre los tramos y los #

Variante de m&todo directo de determinaci(n con ta9-#metro a-tored-ctor.

Variante I. &mpleando el taqumetro autorreductor .2i disponemos de un taqumetro autorreductor podemos eecutar los trabaos altimtricos yplanimtricos con este instrumento, en cuyo caso los trabaos seran1Tra)a4o' atim&trico'.

:

5

4

*

7

4.* * 7 8


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>ienen por obetivo determinar un conunto de puntos en cada C= para lo cual es necesariodeterminar la lectura de mira para el replanteo de cada curva, esto es 1

JKClTi OmJKC(X. O X=) T i O mJKC(X). O C(X=) T i'm

$

mi%&$#%'

de(

++=

)(

si colocamos el X= en cero tenemos1

$

mi#%'

di(

+=

E4empo 1

etermine la lectura de mira necesaria para replantear la C= de cota 5m si se dispone de untaqumetro autorreductor estacionado sobre el vrtice + de cota *8.47m con altura 4.75m.

So-ci(n3

2i colocamos X=K5.555 ent.$

mi#%'

di(

+=

JKJC=O J+K 5'*8.47K*.:7m iK4.75 mK4.5mComo el J es positivo las curves de trabao ser$n1 T45, T5, T75, T455, comen!aremos siemprecon la curva menor1

CK T45 tenemos X K m*R7.545

I5.475.4:7.*=

XK 5.*7m (con X=K5.555m)

E4empo $

etermine la lectura de mira necesaria para replantear la C= de cota 75m, si se dispone de un>.+. estacionado sobre un punto L de cota 78.8 con altura de instrumento de 4.7m.

So-ci(n3

X=K5.555m con$

mi#%'

di(

+=

JKJC=O JLK 75'78.8K '8.8m IK4.7m mK 4.5m

Como el J es negativo las curves de trabao ser$n O45, '5, '75, '455, comen!aremos siemprecon la curva menor1

CK'45, tenemos X K m8*4.545

I5.4I7.4(8.8=

+

XdesnK 5.8*4m (con X=K5.555

Nota32i la lectura obtenida es mayor de .55 #ay que reducir la X=K'4.555m y calcular la Xesnnuevamente un valor mayor de .55, se toma la curva T5 % O5.

9


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Tra)a4o' panim&trico'.

6na ve! situados los puntos se procede al levantamiento de dic#os puntos , para lo cual sedetermina la distancia #ori!ontal y el $ngulo de direcci%n .

P-nto


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b). Caso de una cuadricula con punto lateral.

Pa'o.1.ividir en tri$ngulos uniendo el punto de cambio de pendiente con los vrtices opuestos.

Pa'o.$70.

7


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Sdem anterior.

Pa'o.6.Repetir los pasos del al 7en los otros tri$ngulos.

c) caso de una con un punto interior.

&quid K 4m

II). Interpolaci%n de una red irregular (&"&V+CIB=&2 +I2"++2). &quid K 4m

7*


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Conc-'ione'.

"a interpolaci%n en una red de puntos se basa en la interpolaci%n del plano del terreno con planos#ori!ontales, para lo cual se forman tri$ngulos uniendo entre si los puntos mas pr%/imos,procurando que los lados no corten a las lneas divisorias o a las vaguadas.

&n el caso de interpolaci%n de redes regalares (cuadriculas se presentan * casos).

Caso + Caso L Caso C

&n el caso de redes irregulares se formaran los tri$ngulos de la forma estudiada. Ver eemplosiguiente

&quid. K m

7


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. Interpolar las curvas de nivel con e K 5,7m empleando el mtodo gr$fico.

*. Interpolar las C.= con e K4m en la siguiente cuadrculas. =o borrar las construccionesau/iliares.

. Interpolar las C.= con e K4m empleando el mtodo grafico. =o borre las construccionesau/iliares.

78

8:,9.

5,4 .

.89,*

.5,89,. .5,5

.5,5

.5,

4, .

. ,7

. 4,:

,4 .

85,8 8, 8,

8, 8*,: 84, 8,8


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7. Interpolar las C.= con e Km empleando el mtodo grafico. =o borre las construccionesau/iliares.

8. Interpolar las C.= con e K4m empleando el mtodo grafico. =o borre las construcciones

au/iliares.

. Interpolar las C.= con e K4m empleando el mtodo grafico. =o borre las construccionesau/iliares.

7

74,4

7,*

7,8

78,7

8,57,:*,5

, 7,:

:,

,4

,7,74,

*, ,* 5,8


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uibas, "., and \. 2tolfi (49:7), ]ransactions on rap#ics, v. , n. , p. '4*.

"a?son, C. ". (49), ]2oft?are for C4 surface interpolation,] in 0at#ematical 2oft?are III, \.Rice (ed.), +cademic

7 Capítulo 7 Relieve, Interpolación y MDT

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