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8/19/2019 6-pres-cinematiquesolide-a.pdf

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Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,

Sommaire

1 Coordonnées d’un point dans l’espaceRepère et référentielRepère orthonorméSens trigonométriqueCoordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriquesCoordonnées sphériquesRelations

2 Position et orientation d’un solide3 Solides et repères associés

Solides

Repères associésExercices

4 Trajectoire et vitesse d’un pointmatériel

TrajectoireExemple : trajectoire de la valved’une roue de véloVitesse et accélération d’un point

Vitesse d’un pointAccélération d’un point

Vecteur vitesse de rotation5 Compléments mathématiques

Produit scalaireProduit vectorielProduit mixteDouble produit vectoriel

Dérivation vectorielle6 Exercices

Valve de roueÉolienne

Cinématique des Solides Robert Papanicola Lycée Charlemagne- Paris 4e


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ObjectifsLa cinématique du solide est l’étude des mouvements des corps

solides indépendamment des causes de ces mouvements.Objectif :

Déterminer la position d’un point dans l’espace, sa vitesse et sonaccélération

Déterminer la position d’un solide dans l’espace, sa vitesse et son

accélérationDéterminer la position et la vitesse d’un solide par rapport à unautre



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Repère et référentiel Repère orthonormé Sens Trigo cartésiennes cylindriques sphériques Relatio

CoordonéesRepère orthonormé

On montre qu’il est possible décrire de manière unique la position d’un pointdans l’espace à partir de sa projection dans un repère constitué d’un pointorigine et d’une base de trois vecteurs orthonormés (orthogonaux et denorme unitaire).Lorsque c’est trois vecteurs sont orientés dans le sens direct, on dit que l’ona un repère orthonormé direct.

La figure 1 présente deux repères orthonormés directs et la méthode de lamain droite pour tracer un repère direct.


C é P S T CM E


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CoordonéesRepère orthonormé

#»x

#» y

#»z O

(D 1)

#»

i

(D 2) #» j

(D 3)

#»

k

(O ,x )

#»x 1

(O , y )

#» y 1

(O ,z )

#»z 1

Figure: Repères orthonormés

Remarque : L’usage en Sciences Industrielles est de noter la base de travailavec le nom des axes soit ( #»x , #» y , #»z )


C d é P iti S lid T j t i CM E i


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CoordonéesSens trigonométrique

Il est important pour l’étude et la description des mouvements de faireattention au sens direct.Le sens direct dans le plan (O , #»x , #» y ) se confond avec le senstrigonométrique (figure 2(a)). La figure 2 précise l’orientation directe dansles autres plans.

#»x

#»

y

#»z

(a) Sens directdans le plan(O , #»x , #» y )

#» y

#»

z

#»x

(b) Sens directdans le plan(O , #» y , #»z )

#»z

#»

x

#» y

(c) Sens directdans le plan(O , #»z , #»x )

O P #»x s

#»z s

#» y s

(d) trièdre dans lesens direct

Figure: Sens directCinématique des Solides Robert Papanicola Lycée Charlemagne- Paris 4e

Coordonnées Position Solides Trajectoire CM E ercic


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CoordonéesCoordonnées cartésiennes

La manière la plus naturelle pour décrire la position d’un point est d’utiliserles coordonnées cartésiennes (figure 3), pour cela, on définit un repèreorthonormée direct dit repère cartésien constitué de 3 vecteurs unitairesorthogonaux deux à deux et d’un point pour origine.Il est nécessaire de préciser 3 dimensions pour décrire de manière unique laposition d’un point. Sur l’exemple de la figure 3 le vecteur

#»

OH s’écrit :

#»

OH = X · #»

i +Y · #»

j + Z · #»

k

On note (X ,Y ,Z ) les coordonnées cartésiennes du vecteur #»

OH dans la base( #»x , #» y , #»z ).X , Y et Z sont les trois projections de suivant les axes (O , #»x ), (O , #» y ) et

(O , #»

z ) de

#»

OH .


Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic


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CoordonéesCoordonnées cartésiennes

O y

O #» y

#»z

z

#»x

x

H

X

Y

Z




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Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,Repère et référentiel Repère orthonormé Sens Trigo cartésiennes cylindriques sphériques Relatio

CoordonéesCoordonnées cylindriquesLe système de coordonnées cylindrique (figure 4) est une extension dusystème de coordonnées polaires utilisé dans le plan, en ajoutant à l’anglepolaire orienté et au rayon polaire un troisième dimension perpendiculaireau plan.




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CoordonéesCoordonnées cylindriques

O y

O #» y

#»z

z

#»x

x

H

R

#»n

X

Y

Z

θ

R




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CoordonéesCoordonnées cylindriquesSur la figure 4, le vecteur

#»

OH est défini par : #»

OH = R · #»n + Z · #»z

Le vecteur #»n est précisé par l’angle θ tel que θ = ( #»x , #»n ) et la figure de calcul(figure 5).Le vecteur

#»

OH est décrit de manière unique par les trois dimensions : R , θ etZ .

#»x

#» y

#»n

θ

Figure: Figure de calcul




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CoordonéesCoordonnées sphériquesUn point en coordonnées sphériques est défini par une distance et deuxangles. Le vecteur #»OH s’écrit #»OH = ρ · #»e r . avec ρ la distance entre l’originedu repère et le point H et #»u le vecteur unitaire porté par la droite (OH ) etdéfini par les deux figures de calculs de la figure 6.le vecteur

#»

OH est défini par : #»

OH = ρ · #»e r

Le vecteur #»n est porté par la projection de la droite (OH ) dans le plan(O , #»x , #» y ).Le vecteur

#»

OH est décrit de manière unique par les trois dimensions ρ, ϕ etθ.

#»x

#» y

#»n

θ #»z

#»n

#»e r

ϕ




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j,Repère et référentiel Repère orthonormé Sens Trigo cartésiennes cylindriques sphériques Relatio

CoordonéesCoordonnées sphériques

O y

O #» y

#»z

z

#»x

x

H

R

#»n

ρ

#»e r

ϕ

X

Y

θ

Figure: Coordonnées s héri uesCinématique des Solides Robert Papanicola Lycée Charlemagne- Paris 4e Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic


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j,Repère et référentiel Repère orthonormé Sens Trigo cartésiennes cylindriques sphériques Relatio

CoordonéesRelations

Cartésiennes ↔ Cylindriques :

#»

OH = X #»x +Y #» y +Z #»z :

X = R · cosθ

Y = R · sinθ

Z = Z

↔ #»

OH = R · #»n +Z · #»z :

R = X 2 +Y 2

θ = arctan Y

X

Z = Z

Cartésiennes ↔ Sphériques :

#»

OH = X #»x +Y #» y +Z #»z :

X = ρ · sinϕ · cosθ

Y = ρ · sinϕ · sinθ

Z = ρ · cosϕ

↔ #»

OH = ρ · #»u :

ρ = X 2 +Y 2 +Z 2

θ = arctan Y

X

ϕ = arctan

X 2 +Y 2

Z

Cylindriques ↔ Sphériques : #»

OH = R · #»n + Z · #»z

R = ρ · sinϕ

Z = ρ · cosϕ↔

#»

OH = ρ · #»u

ρ =

R 2 +Z 2

ϕ = arctan R

Z


C P S T CM E


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Position et orientation d’un solideSi pour décrire la position d’un point, trois dimensions sont nécessaires et suffisante,ce n’est plus suffisant pour décrire la position d’un solide et son orientation :

En ne précisant qu’un point, le solide peut pivoter librement autour de ce point.En précisant deux points, le solide a une direction imposée, mais il peut tournerlibrement autour de l’axe formé par les deux points.

En précisant, trois points non colinéaires, la position du solide estcomplètement définie.

Soit trois points A , B et C non colinéairesd’un solide, on peut écrire les relationssuivantes pour préciser la position dusolide :

#»

O 0A = X A · #»

x 0 +Y A · #»

y 0 + Z A · #»

z 0 #»

O 0B = X B · #»x 0 +Y B ·

#» y 0 + Z B · #»z 0

#»

O 0C = X C · #»x 0 + Y C ·

#» y 0 + Z C · #»z 0


C d é P i i S lid T j i CM E i


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Position et orientation d’un solideSi pour décrire la position d’un point, trois dimensions sont nécessaires et suffisante,ce n’est plus suffisant pour décrire la position d’un solide et son orientation :

En ne précisant qu’un point, le solide peut pivoter librement autour de ce point.En précisant deux points, le solide a une direction imposée, mais il peut tournerlibrement autour de l’axe formé par les deux points.

En précisant, trois points non colinéaires, la position du solide estcomplètement définie.

Soit trois points A , B et C non colinéairesd’un solide, on peut écrire les relationssuivantes pour préciser la position dusolide :

#»

O 0A = X A · #»

x 0 +Y A · #»

y 0 + Z A · #»

z 0 #»

O 0B = X B · #»x 0 +Y B ·

#» y 0 + Z B · #»z 0

#»

O 0C = X C · #»x 0 + Y C ·

#» y 0 + Z C · #»z 0

rajoutent la distance entre chaque point :

d AB =

(X B −X A )2 + (Y B −Y A )2 + (Z B −Z A )

d AC =

(X C −X A )2 + (Y C −Y A )2 + (Z C −Z A )

d BC =

(X C −X B )2 + (Y C −Y B )2 + (Z C −Z B )

On montre donc, à partir de ces 6équations, qu’il est nécessaire depréciser 6 dimensions pour positionnercomplètement le solide (système de 6Cinématique des Solides Robert Papanicola Lycée Charlemagne- Paris 4e



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Position et orientation d’un solideRepèresPlutôt que de positionner le solide avec 3 points on préfère lui associer un repère et

positionner ce repère dans l’espace avec 3 distances et trois angles(figure 8).

O 0

#»x 0

#» y 0

#»z 0

A

#»x 1

B

#» y 1C

#»z 1

’ ’Cinématique des Solides Robert Papanicola Lycée Charlemagne- Paris 4e



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Position et orientation d’un solideRepèresLa figure 9 montre l’orientation d’un solide dans l’espace à l’aide de 3 angles.




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Solides Repères associés Exercic

Solides et repères associésSolidesEn mécanique classique, nous supposerons que les solides sont indéformables.

∀A ,B ∈ S ⇒ #»

AB = d

avec S un solide, A et B deux points du solide S et d une constante.

Ce modèle sera précisé plus loin dans ce cours.




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Solides et repères associésRepères associésA chaque solide, on convient d’associer un repère représentant le solide.

Sur la figure 10, pour quelques solides de la bicyclette sont précisés les repèresassociés :

L’origine de chaque repère est placé sur un point caractéristique du solide (l’axede la roue arrière, l’axe du pédalier,. . .).

Les axes du repère sont orientés en fonctions des caractéristiques du solide

(pour le pédalier, un des axes est porté par l’axe de rotation, l’autre par le brasdu pédalier).


Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,S lid R è ié E i


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Solides et repères associésRepères associés

O P

#» y s

#»z s

#»x s

O P

#» y p

#»z p

#»x p

#» y r #»z r

#»x r

#» y c

#»

z c

#»x c

Figure: Solides et repèresCinématique des Solides Robert Papanicola Lycée Charlemagne- Paris 4e

Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,S lid s R è s ss ciés E cic


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Solides et repères associésRepères associésLe passage d’un repère à un autre est représenté graphiquement par des figures

nommées figure plane de changement de base ou figure de calcul. Sur cette figure,on représente la rotation plane qui permet de passer d’une base à une autre, ainsisur la figure 11(a) on précise le passage de la base liée au cadre à celle liée aupédalier par une rotation d’angle α autour de l’axe #»x p =

#»x c .

#» y c

#»z c

#» y p

#»z p

α

#»x p = #»x c

(a) passage du repère ducadre au repère du péda-lier

#» y c

#»z c

#» y r

#»

z r

β

#»x p = #»x c

(b) passage du repère ducadre au repère de la rouearrière

Figure: figures planes de changement de base de la bicycletteCinématique des Solides Robert Papanicola Lycée Charlemagne- Paris 4e

Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,Solides Repères associés Exercic


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Solides et repères associésExercices

Exercice :Repères et figures planesOn considère, la salle, la porte de la salle et sa poignée.Q1. Associer à chacun des solides un repère, précisez les axes et pointscaractéristiques de chaque solide.Q2. Tracer les figures planes qui permettent de décrire la position et l’orientation dechaque solide.




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Solides et repères associésExercicesExercice :Repères et figures planes de la bicyclette

On reprend l’exemple de la bicyclette à partir de la figure ci dessous.




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Solides et repères associésExercices

Exercice :Repères et figures planes de la bicycletteQ3. Préciser pour chaque repère, dans chaque vue, les axes, le point origine.Q4. Préciser les rotations et translations à réaliser pour passer du repère lié aucadre, à celui lié à la roue avant.Q5. Tracer les figures planes correspondantes


Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,Trajectoire Exemple : trajectoire de la valve d’une roue de vélo Vitesse et accélération d’un point Vecteur vitesse de


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Trajectoire Exemple : trajectoire de la valve d une roue de vélo Vitesse et accélération d un point Vecteur vitesse de

Trajectoire et vitesse d’un point matérielTrajectoireOn appelle point matériel ou corps ponctuel tout corps ou toute partie de corps très

petit à l’échelle d’observation. Par extension, c’est également un corps dont on nepeut définir le mouvement de rotation sur lui-même.On appelle trajectoire de M par rapport R 0 l’ensemble des positions successives de M par rapport à R 0 quand la date t varie. La trajectoire est une courbe liée à R 0.La trajectoire dépend du repère R 0 dans lequel elle est décrite. On utilisegénéralement une représentation paramétrique en fonction temps t pour décrire la

trajectoire. La courbe CM / R 0 qui décrit la trajectoire dans un repère cartésien estdonc de la forme :

CM / R 0 =

x = f 1(t )

y = f 2(t )

z = f 3(t )

avec f 1(t ), f 2(t ) et f 3(t ) trois fonction de la variable t . Pour la suite ces troisfonctions seront nommées x (t ), y (t ) et z (t ).Pour déterminer l’équation paramétrique de la trajectoire d’un point, on écrira lesprojections dans le référentiel d’étude de

#»

OM .




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j p j p

Trajectoire et vitesse d’un point matérielTrajectoire valveOn se propose de déterminer l’équation de la trajectoire de la valve de la roue de vélo

#»x 0O

#» y 0

#»x 0

#» y 0

#»x 1

#» y 1

θ




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Trajectoire et vitesse d’un point matérielTrajectoire valveOn pose :

Le repère R 0 = (O 0, #»

x 0, #»

y 0, #»

z 0) est lié au sol.Le repère R 1 = (O 1,

#»x 1, #» y 1,

#»z 1) est lié à la roue avec O 1 confondu avec l’axe derotation de la roue par rapport au cadre. On suppose que la roue reste dans le planvertical donc #»z 0 =

#»z 1.On note θ = ( #»x 0,

#»x 1) l’angle orienté de #»x 0 vers

#»x 1.Cet angle est proportionnel à la vitesse angulaire de la roue θ = ω · t .

Le point V associé à la valve est défini par : #»O 1V = R v · #»x 1 .

Le vélo se déplace à la vitesse v (t ) suivant #»x 0, la roue ne patine pas, elle roule sansglisser, on a donc v = −R ·ω. Pour la suite nous supposerons que la vitesse estconstante : v (t ) = v .La position du centre de la roue (O 1) par rapport au sol est donc définie par : #»

O

0O

1 = v · t · #»x

0 + R · #» y

0.

La position de la valve (V ) par rapport au sol est définie par : #»

O 0V = v · t · #»x 0 + R ·

#» y 0 + R v · #»x 1.




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Trajectoire et vitesse d’un point matérielVitesse et accélérationOn note

#»

V M / R 0 le vecteur vitesse de M par rapport à R 0. Par définition :

#»

V M / R 0 =

d

dt

#»

O 0M

B 0

(1)

Avec O 0 origine du repère R 0 et B 0 base de R 0Le vecteur vitesse d’un point M dans une base donnée correspond à la dérivée de cevecteur dans cette base.On appelle B 0 la base de dérivation, il ne faut pas confondre cette base avec la basede projection.Le vecteur vitesse est tangent en M à la trajectoire.




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Trajectoire et vitesse d’un point matérielVitesse et accélérationon note

#»

ΓM / R 0 le vecteur accélération de M par rapport à R 0 Par définition :

#»

ΓM / R 0 =

d

dt

#»

V M / R 0

B 0

=

d2

dt2

#»

O 0M

B 0

Le vecteur accélération du point M dans son mouvement par rapport au repère R 0,correspond à la dérivée du vecteur vitesse de ce point dans cette base.

Nous verrons dans le chapitre suivant comment calculer ces dérivées vectorielles.Remarque importante : ces grandeurs dépendent du repère (de la base) par rapportauquel on étudie le mouvement.




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Trajectoire et vitesse d’un point matérielVecteur rotationDe la même manière que l’on définit le vecteur vitesse d’un point, on définit le vecteur

vitesse de rotation d’un repère par rapport à un autre.On note

#»

ΩR 1 / R 0

le vecteur vitesse de rotation du repère R 1 par rapport au repère R 0.Cas d’une rotation autour d’un axe

#»

x 0

#» y 0

#»x 1

#» y 1

θ

Soit le repère R 1 en mouvement de rotation autour de l’axe(O 0,

#»z ) par rapport au repère R 0, avec θ = ( #»x 0,

#»x 1) = ( #» y 0,

#» y 1).Le vecteur rotation est porté parle vecteur perpendiculaire au plan de la rotation (ici #»z 0 =

#»z 1) et sa mesure algébrique est la dérivée temporelle duparamètre angulaire de mouvement entre les deux repères.

#»

ΩR 1 / R 0 = dθ

dt · #»z 0 = .θ · #»z 0




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Trajectoire et vitesse d’un point matérielVecteur rotationDans le cas général, le mouvement de rotation du repère R 1 par rapport au repère R 0

est constitué de plusieurs rotations élémentaires d’angle θi autour de l’axe (O i , #»

e i ).Alors :

#»

ΩR 1 / R 0 =

n

0

dθi dt · #»e i =

n

0

.θi ·

#»e i

Le vecteur vitesse de rotation se construit comme la somme des vecteurs vitessesdes rotations élémentaires.




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Trajectoire et vitesse d’un point matérielExemple

Vitesse et accélération de la valveQ6. Déterminer la vitesse de la valve de la roue arrière par rapport au sol le vélo sedéplaçant en translation suivant (O , #»x 0), le cadre restant dans le plan vertical.Q7. Déterminer la vitesse de la valve de la roue arrière par rapport au sol le vélo sedéplaçant suivant une trajectoire circulaire de centre d’axe (O 0,

#» y 0), le cadre restantdans le plan vertical.Q8.

Déterminer le vecteur rotation de la roue arrière par rapport au sol.


Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,Produit scalaire Produit vectoriel Double produit vectoriel Dérivation vectorie


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Compléments mathématiquesProduit scalaireSoit #»u et #»v deux vecteurs alors

#»u · #»v = #»u · #»v · cos( #»u , #»v )

avec

( #»u , #»v ) : l’angle orienté de #»u vers #»v

Si #»u et #»v sont définis dans la base B :

#»u = x u · #»x + y u ·

#» y + z u · #»z

#»v = x v · #»x + y v ·

#» y + z v · #»z

alors

#»u · #»v = x u · x v + y u · y v + z u · z v




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Compléments mathématiquesProduit vectorielSoit #»u et #»v deux vecteurs alors

#»u ∧ #»v = #»u · #»v · sin ( #»u , #»v ) · #»w

avec

( #»u , #»v ) : l’angle orienté de #»u vers #»v #»w : le vecteur unitaire perpendiculaire aux deux vecteurs #»u et #»v tel que

( #»

u , #»

v , #»

w ) forme un trièdre direct (figure 2(d)).




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Compléments mathématiquesProduit vectorielSoit B = ( #»x , #» y , #»z ) une base orthonormée directe alors :

#»x ∧ #» y = #»z #» y ∧ #»z = #»x #»z ∧ #»x = #» y

#» y ∧ #»x = − #»z #»z ∧ #» y = − #»x #»x ∧ #»z = − #» y




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Compléments mathématiquesProduit vectorielSi #»u et #»v sont définis dans la même base B :

#»u = x u · #»x + y u ·

#» y + z u · #»z

#»v = x v · #»x + y v ·

#» y + z v · #»z

#»u ∧ #»v =

x u

y u

z u

∧

x v

y v

z v

=

+ ( y u · z v − y v · z u) · #»x

+ (z u · x v − z v · x u ) · #» y

+ (x u · y v − x v · y u) · #»z

On utilisera la petite figure mnémotechnique ci-dessous pour mémoriser le produitvectoriel.

x u

y uz u

x u

∧x v y v z v

x v

sens -sens +

= y u · z v − y v · z uz u · x v − z v · x ux u · y v − x v · y u




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Compléments mathématiquesProduit vectoriel

Distributivité : #»u ∧ ( #»v + #»w ) = #»u ∧ #»v + #»u ∧ #»w (2)

Linéarité

λ · #»u ∧µ · #»v = λ ·µ · ( #»u ∧ #»v )

anti-symétrie :

#»u ∧ #»v = − #»v ∧ #»w

Attention : Le produit vectoriel est anti-symétrique.




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Compléments mathématiquesProduit mixteLe produit mixte est la quantité scalaire notée ( #»u , #»v , #»w ) et définie par

( #»u , #»v , #»w ) = #»u · ( #»v ∧ #»w )

Le produit mixte se conserve par permutation circulaire

( #»u , #»v , #»w ) = ( #»v , #»w , #»u ) = ( #»w , #»u , #»v ) #»u · ( #»v ∧ #»w ) = #»v · ( #»w ∧ #»v ) = #»w · ( #»u ∧ #»v )

Le produit mixte se calcule comme de la matrice constitué des 3 vecteurs encolonne0

#»u ∧ ( #»v ∧ #»w ) = ( #»u · #»w ) · #»v − ( #»u · #»v ) · #»w




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Compléments mathématiquesDérivation vectorielle

Dérivation vectorielle d’une somme de vecteurs Si a et b sont deux fonctions

scalaires et #»u et #»v deux vecteurs alors : d

dta · #»u + b · #»v

B

= da

dt · #»u +a ·

d

dt

#»u

B

+ db

dt · #»v + b ·

d

dt

#»v

B

dérivation d’un vecteur de la base de dérivation Si #»u0 = a0 · #»x 0 + b 0 ·

#» y 0 + c 0 · #»z 0 est

un vecteur dont les coordonnées (a0,b 0,c 0) dans de la base

B 0 = (

#»

x 0, #»

y 0, #»

z 0) sont constantes alors : d

dt

#»u0

B 0

= #»

0

La dérivée d’un vecteur constant d’une base dans sa base d’écritureest nulle.Pour les vecteurs il est obligatoire de toujours préciser la basse de

dérivation.Il ne faut pas confondre la base de dérivation et la base de projection(d’écriture) du vecteur. Il n’est pas nécessaire de projeter un vecteurpour le dériver.




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Dérivation d’un vecteur quelconque Il est toujours possible de projeter le vecteurquelconque dans la base de dérivation et utiliser les propriétésci-dessus pour n’avoir à dériver que les coordonnées, mais souventcela n’est pas recommandé. Dans le cas général :

Soit #»u1 un vecteur défini dans la base B 1, et B 0 la base de dérivationalors

ddt

#»u1B 0

= ddt

#»u1B 1

+ #»ΩR 1 / R 0 ∧ #»u1

avec #»

ΩR 1 / R 0 le vecteur rotation du repère R 1 par rapport au repère R 0

La quantité #»

ΩR 1 / R 0 ∧ #»u1 est le produit vectoriel du vecteur

#»

ΩR 1 / R 0 etdu vecteur #»u1.




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Dérivation d’un vecteur de base Soit #»u1

, un vecteur constant de la base de la baseB 1 = (

#»x 1, #» y 1,

#»z 1). Soit #»u1 un vecteur défini dans la base B 1, et B 0 la

base de dérivation alors d

dt

#»u1

B 0

=

d

dt

#»u1

B 1

+ #»

ΩR 1 / R 0 ∧ #»u1

Or ddt

#»u1B 1

= #»

0 (vecteur constant) on déduit :

d

dt

#»u1

B 0

= #»

ΩR 1 / R 0 ∧ #»u1

Le vecteur dérivé d’un vecteur constant dans une base B 1

est unvecteur orthogonal à ce vecteur.


Coordonnées Position Solides Trajectoire CM Exercic,Valve de roue Éolien


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ExercicesValve de roue

Vitesse et accélération de la valve

Après cet intermède mathématique, reprenons la détermination de la vitesse dupoint V de la valve par rapport au sol (R 0).Q9. Déterminer la vitesse de la valve et son accélération par rapport au repère R 0sans projeter le vecteur dans la base B 0.



Valve de roue Éolien


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ExercicesÉolienne

O

#»x 0 #» y 0

#»z 0 #»x 1

A

#»z 2 B

Nacelle 1

Mas 0

Hélice 2

Soit l’éolienne de la figure ci-contre : La na-celle (1) pivote autour du mas (0) suivant l’axe(O , #»z 0). On note θ = (

#»x 0, #»x 1) le paramètre

de rotation. L’hélice (2) pivote autour de l’axe(A , #»x 1).Onnote β = (

#»z 0, #»z 1) le paramètre de ro-

tation. #»

OA = a · #»x 1

B le point à l’extrémité de la pale #»

AB = b · #»z 2 avec b = 2,3 m.

Q1. Tracer les figures de changement de baseQ2. Déterminer la vitesse et l’accélération dupoint A et du point B par rapport au repère R 0Q3. la vitesse maximale admissible au bout dela pale est V max = 70m s−1, en déduire ω21 =dβ(t )

dt pour θ constant.


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