6. フィルタリング (Filtering)• 6.1 線形時間不変システムとフィルター

Linear Time Invariant (LTI) system and filters– FIRフィルターとIIRフィルター

FIR and IIR filters – 移動平均

Moving average (Running mean)

• 6.2 周波数応答

Frequency response

• 6.3 フィルターの種類High-pass/Low-pass/Band-pass filters

• 6.4 様々なフィルターと海洋への応用– 潮汐の例

Application to ocean tides

1

7.1 線形時間不変システムとフィルター

入力

x(n)

出力

y(n)

2

3

この説明は、http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/swk/lecture/yaruodsp/node10.htmlを参照(2)

(1)

4

5

フィルター

移動平均 Moving average (Running mean)

M個の移動平均は

h(k) =1/M (g(k) = 0) のFIRフィルターである。

5個の移動平均の場合

h(k) = 1/56

7.2

周波数応答

この説明は、http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/swk/lecture/yaruodsp/node10.htmlを参照

7

8

7.3 フィルターの種類7.3 フィルターの種類

Frequency responsefor ideal filters

fc : cut-off frequencyfN : Nyquist frequency

Band-pass filterBand-pass filterは、Low-pass filterとHigh-pass filterの組合せ

Emery andThomson(2001)

9

生データDR

ローパスデータDLP

ハイパス データ

DHP

フィルターの適用

DR = DLP + DHP

DHP =DR – DLP

ハイパスフィルターを適用する必要は無し

Emery andThomson(2001)

10

良いLow-pass filterとは？

切れの良いcut off不要な高周波成分を効果的に除去

比較的フラットなpass band低周波成分に影響を与えない

リーズナブルな幅のstop/pass band間の遷移域狭過ぎると、Gibbs現象により出力が不安定

位相のずれが無い時間に対して対称なフィルターであれば問題

無し（例：移動平均）

7.4 様々なフィルターと海洋への応用

柳 (1993) Emery and Thompson (2001)

Moving average(Running mean)

Moving average(Running mean)

Gaussian Godin-type

Lanczos-cosine Lanczos-cosine

Butterworth

非再帰性フィルターFIR

再帰性フィルターIIR

}

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例：一時間毎の水位の時系列から潮汐成分を除去して低周波の変動を調べたい。

12

13

パワーゲイン：ゲインの二乗

ハーフパワーポイント：パワーゲインが半分になる周期

柳

(1983)

Gaussian: 切れが悪い

Cosine-Lanczos

Running Mean高周波の漏れ

n日移動平均は、ほぼ2n日以下の周期を

フィルター

データ数: 2549121

14

移動平均の問題点

平均を取る期間を長くすると括弧内の項は小さくなる

柳

(1983)

L1

は

X1

(t) の周期

高周波成分の除去：移動平均：×コサイン・ランチョスフィルター：○

幅の広いフィルター：最初と最後でデータが多く失われる

柳

(1983)

15

16

Tide-killer filter (Thompson, 1983)

潮汐周期や慣性周期の変動を効率良く除去

Tide-killer filter (Thompson, 1983)

○：非常に切れが良い。（1.7日以上の周期の変動には影響無し）×：幅が広いので最初と最後でそれぞれ5日分のデータが

失われる データの最初と最後だけ幅の狭いフィルターを

使用

17

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Godin-type filters

fNΔt = 0.5 1 hr

fΔt = 0.3 1.67 hrfΔt = 0.2

2.5 hr

Emery and Thomson(2001)

fΔt = 0.03 33 hrfNΔt = 0.5 2 hr

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移動平均の適用例：1日毎のデータを30日間移動平均

季節変動のような長周期の変動に注目

Emery and Thomson (2001) 20

まとめ

•

フィルターの形はインパルス応答関数。

•

ある特定の周波数帯に注目したい場合数値 フィルターを用いる。長周期にはローパス・

短周期にはハイパス・特定の中間周期にはバ ンドパスを用いる。

•

フィルタ幅が広い方が理想に近いフィルタが 得られるが、失われるデータ数も多い。

•

移動平均では高周波に漏れがある。

21