UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA

USO DO MATHEMATICA EM PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA

MINISTRANTE: ELENILSON TAVARES CABRAL

BOLSISTA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

LABORATÓRIO DE SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

Material adaptado.

OBJETIVO

Apresentar aos participantes as principais ferramentas do software Mathematica com a

finalidade de facilitar o aprendizado e solucionar diversos problemas relacionados às disciplinas de

Fenômenos de Transporte, Termodinâmica da Engenharia Química e Cálculo de Reatores.

INTRODUÇÃO

O software Mathematica é um programa de computador, originalmente concebido por

Stephen Wolfram, que implementa um sistema de álgebra computacional para além de uma

linguagem de programação. Ele contém diversas bibliotecas de programação prontas a serem usadas

em diversos fins, em várias áreas das ciências exatas, além de servir como um ambiente para

desenvolvimento rápido de programas. As versões mais recentes permitem a troca de informação

com programas em Java, C++, etc., usando bibliotecas para comunicação entre aplicações, assim

possibilitando que um programa do Mathematica, por exemplo, acesse a porta serial (porta série) ou

receba informações de um equipamento (hardware) externo. Pode também ser usado para a

digitação de documentos com formatação matemática complexa. O Mathematica roda nas

plataformas Windows, Linux, SolariseMac OS X.

O Mathematica é no mundo o mais poderoso sistema de computação. Sua primeira versão

foi liberada em 1988, ela teve um efeito profundo sobre a forma como os computadores são

utilizados.

Desde a década de 1960 já existiam para pacotes individuais específicos tarefas numéricas,

algébricas, gráficas, etc., mas o conceito de visionário do Mathematica foi a criação de uma vez por

todas de um único sistema que possa lidar com todos os diferentes aspectos técnicos da computação

e mais além, de uma maneira coerente e unificada. O principal avanço intelectual que tornou isto

possível foi a invenção de um novo tipo de linguagem simbólica computacional que poderia, pela

primeira vez, manipular a vasta gama de objetos necessários para atingir a generalidade necessária

para computação técnica, utilizando apenas um número relativamente pequeno básico de primitivas.

No início, o impacto do Mathematica fez-se sentir principalmente no domínio das ciências

físicas, engenharia e matemática. Mas ao longo dos anos, o Mathematica tornou-se

extraordinariamente importante em uma ampla gama de áreas. O Mathematica é usado hoje em

todas as ciências: físicas, biológicas, sociais, etc. e conta com muitos dos principais cientistas do

mundo entre os seus entusiásticos apoiantes. Tem desempenhado um papel crucial em importantes

descobertas e tem sido a base para milhares de documentos técnicos. No comércio, o Mathematica

tem desempenhado um papel significativo no crescimento da sofisticada modelagem financeira, e

está sendo amplamente utilizada em muitos tipos gerais de planejamento e análise. O Mathematica

também tem surgido como uma ferramenta importante na ciência da computação e desenvolvimento

de software: a sua linguagem é componente amplamente utilizado como uma investigação,

protótipos, e interface ambiente.

A maior parte dos usuários da comunidade do Mathematica é constituída por técnicos e

outros profissionais. Mas o Mathematica também é muito utilizado na educação, e agora existem

muitas centenas de cursos, de ensino médio e de faculdades de graduação, com base no mesmo.

Além disso, com a disponibilidade dos alunos, o Mathematica tornou-se uma ferramenta popular e

prestigiada para os estudantes de todo o mundo.

Em nível técnico, o Mathematica é amplamente considerado como uma grande façanha da

engenharia de software. É um dos maiores programas aplicativos já desenvolvidos, e que contém

um vasto leque de novos algoritmos originais e importantes inovações.

Ao longo dos anos, a generalidade do núcleo de desenvolvimeno do Mathematica tem

permitido expandir o seu alcance. Desde sua origem como um sistema utilizado principalmente para

a Matemática e técnicos informáticos, o Mathematica tem gradualmente emergido como uma força

importante em muitas outras áreas da computação.

Informações sobre o Mathematica estão disponíveis na internet na página da Wolfram

Research, Inc. cujo endereço é www.wolfram.com .

OS NOTEBOOKS

No Mathematica trabalha-se com arquivos denominados "notebooks". Os notebooks são

documentos interativos estruturados, que misturam o input e o output do Mathematica com textos,

gráficos, tabelas e outros materiais. Os notebooks podem ser utilizados para executar computações

ou como meio de apresentar ou publicar resultados obtidos. Isto faz com que os notebooks sejam

uma poderosa ferramenta para solução e análise de muitos problemas. Desta forma o Mathematica

possui uma abrangente funcionalidade, podendo ser operado como um simples editor de textos até

uma poderosa ferramenta de programação de linguagem de alto nível.

A figura abaixo mostra um típico notebook, contendo texto, gráficos e cálculos (input e

output).

Repare nos colchetes azuis à direita, estes delimitam as células.

Os notebooks são estruturados e organizados em uma seqüência de células. Cada célula

contém material de um tipo definido, usualmente: textos, gráficos, sons ou expressões do

Mathematica.

Para fazer uma computação, prepara-se o material, podendo ser uma ou mais expressões, em

uma célula de input e pressiona-se SHIFT+ENTER ou o ENTER do “numpad” (a célula não

precisa estar selecionada). Esta ação fará com que o conteúdo desta célula seja enviado ao Kernel,

responsável por qualquer computação efetuada em uma sessão do Mathematica, e avaliado para

poder ser retornado como output. As células de input são as únicas que podem ser avaliadas.

Quando uma célula de input é avaliada, todas as expressões nela contidas tem o seu valor

calculado, podendo ou não ter-se um retorno, em células de output. A avaliação de uma expressão é

simplesmente a ação correspondente ao cálculo de seu valor. Deve-se ter em mente que o valor de

uma expressão nem sempre é um número, podendo ser uma função, um gráfico, uma equação, etc.

Isto é, qualquer outra expressão. Portanto, para executar uma declaração, fazer uma simples

operação aritmética, atribuir valores, definir uma regra; ou seja, calcular o valor de uma expressão,

basta digitá-la em uma célula e fazer com que o Mathematica avalie o seu conteúdo procedendo

como dito. Como exemplo, apresenta-se o notebook abaixo com uma célula de input, contendo o

material pronto para ser avaliado:

Ao avaliá-la o Kernel do Mathematica retorna o valor da expressão, neste caso um número:

Pode-se ter uma ou mais células agrupadas, repare que isto acontece no notebook exemplo

acima. De fato isto sempre ocorre com as células de input e output. Sempre que uma célula de

input produz uma de output ao ser avaliada, elas estaram agrupadas.

Após a inicialização do Mathematica, a avaliação da primeira célula de input, faz com que o

Kernel do Mathematica seja inicializado. Após o Kernel ter sido inicializado, quaisquer avaliações

subsequentes, definições, etc., ficam armazenadas na memória do computador. Estas informações

continuarão ali até que utilizem-se comandos para limpar definições (o que só funcionará para

definições associadas a símbolos) ou até que o Kernel seja reinicializado. Isto pode ser feito, indo

direto no menu Evaluation → Quit Kernel → Local e iniciando-o novamente. Toda vez que se

inicia o Kernel diz-se iniciar uma nova sessão do Mathematica. Aconselha-se ao usuário a habituar-

se a sempre que iniciar um novo notebook que inicie também uma nova sessão do Mathematica.

Lembre-se que para isto não é necessário "sair" e "entrar" novamente no programa Mathematica.

Os notebooks permitem que sejam criados documentos que possam ser vistos

interativamente na tela ou impressos em papel. Particularmente em notebooks maiores, é comum

ter-se capítulos, seções, etc., cada um representado por um grupo de células. A extensão destes

grupos são delimitadas pelo colchete azul, agrupando todas as células, à direita dos colchetes

menores que as delimitam. Observe o notebook exemplo:

Um grupo de células pode estar "aberto" ou "fechado". Quando aberto, todas as células

contidas nele são vistas explicitamente. Já quando fechado, apenas a célula cabeçalho (título) do

grupo é vista.

Notebooks grandes são frequentemente distribuídos com muitos grupos de células fechados,

assim quando se observa o notebook pela primeira vez, vê-se apenas um perfil (resumo) do seu

conteúdo. Pode-se então abrir as partes que interessam utilizando um clique duplo sobre os

colchetes apropriados. De fato, é assim que o usuário alterna um grupo de células entre aberto e

fechado.

Fazendo um clique duplo sobre o grupo presente no notebook exemplo anterior, fecha-se

este grupo:

Para abrí-los novamente, basta repetir a ação do clique duplo sobre os mesmos. Cada célula

em um notebook é definida com um estilo (ou tipo) particular que indica a sua função dentro do

notebook. Por exemplo, como já se sabe o material a ser executado pelo Kernel do Mathematica

deve estar em uma célula com o estilo Input enquanto o texto que apenas será lido está tipicamente

no estilo Text. Para criar uma nova célula basta estar fora de qualquer outra (a linha horizontal entre

duas células ou após a última estará aparecendo), e digitar-se o desejado. Uma nova célula será

inserida na respectiva posição. Por definição, esta será no estilo Input. Se desejar-se mudar o estilo

desta célula basta selecioná-la e fazer tal alteração pelo menu Format → Style, escolhendo um novo

formato. Alternativamente, podem-se criar células já nos estilos desejados, utilizando atalhos com o

teclado.

Os próprios notebooks também podem ser apresentados em diferentes estilos. Cada estilo

apresenta uma formatação específica para cada tipo de célula. Para alterar o estilo de um notebook

basta fazê-la pelo menu Format → StyleSheet e escolhendo o estilo desejado. O notebook pode ser

editado pelo menu Format. Modificações mais específicas podem ser feitas pelo menu Format →

Option Inspector. Um notebook pode também ser manipulado por comandos do Mathematica.

Aconselha-se, ao usuário iniciante, a não se preocupar muito com a formatação do notebook, e a se

preocupar mais em assimilar os conceitos relacionados à computação feita no Mathematica.

UTILIZANDO O SISTEMA MATHEMATICA

FUNÇÕES EMBUTIDAS

O Mathematica é um sistema que conta com uma grande variedade de funções. A este grupo

de funções (ou comandos) dá-se o nome de funções embutidas (do inglês, built-in functions), isto é,

funções que já fazem parte do programa e que estão sempre prontas para serem utilizadas logo que

seja iniciada uma sessão do Mathematica. Além destas funções há ainda uma variedade de outros

objetos embutidos que potêncializam ainda mais as capacidades do Mathematica, para serem

utilizados ou não com estas funções, como constantes matemáticas, nomes utilizados na

configuração de funções e outros símbolos. O número de objetos pré-definidos pode variar de

acordo com a versão do Mathematica. Se o usuário tiver a curiosidade de saber este número

exatamente basta avaliar Length[Names[“System`*”]] :

Sempre que se quiser saber como se utiliza uma função do Mathematica pode-se ir direto ao

"Help". Outra alternativa é usar um ponto de interrogação seguido do nome da função. Isto também

pode ser útil quando se procura pelo nome de uma função qualquer.

Pode-se pedir informação sobre qualquer objeto, seja este uma função embutida no

Mathematica, seja este lido de um pacote do Mathematica, ou seja, este introduzido pelo usuário.

Ao utilizar ? para pedir informação, tenha certeza de que o ponto de interrogação apareça como o

primeiro caractere na linha de input. Só assim o Mathematica saberá que está se pedindo

informação, ao invés de entrando com input comum para avaliação.

MENSAGENS DE ERRO

O Mathematica normalmente irá operar de maneira à só retornar algum output quando

acabar de efetuar os cálculos que o usuário pediu. Entretanto, se o Mathematica parecer fazer algo

que definitivamente não foi pedido, usualmente uma mensagem de erro será retornada para avisar o

usuário.

A maior parte das mensagens, como esta, normalmente não deve ser desligada. Todavia, há

determinadas mensagens que o usuário frequentemente achará conveniente desligar.

PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES

Ao longo das últimas seções, foram introduzidos cada um dos quatro tipos de

"encapsulamento" utilizados no Mathematica. São feitos de maneiras diferentes utilizando

caracteres diferentes: parênteses chaves ou colchetes. É muito importante lembrar de cada um dos

tipos pois eles têm significados bastante diferentes.

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS

ARITMÉTICA

As operações aritméticas são feitas com os símbolos " +, -, *, / " (o símbolo para a

multiplicação pode ser substituído por um espaço). Para indicar uma potência, utiliza-se o " ^ ". No

Mathematica, as operações aritméticas podem ser feitas como em uma calculadora.

As operações aritméticas no Mathematica são agrupadas de acordo com as convenções

padrões da matemática. A inclusão de parênteses muda a ordem de precedência na computação de

operações aritméticas. Como é usual, 2^3 + 4, por exemplo, significa (2^3) + 4, e não 2^(3 + 4).

Pode-se sempre controlar o agrupamento pela utilização explícita de parênteses.

RESULTADOS EXATOS E APROXIMADOS

Uma calculadora eletrônica comum faz todos os seus cálculos utilizando uma acurácia

prescrita, por exemplo: dez dígitos. Com o Mathematica, entretanto, pode-se frequentemente obter

resultados exatos.

O Mathematica utiliza dois importantes tipos de valores: aproximados e exatos. Valores

aproximados são obtidos de expressões numéricas com números contendo um ponto decimal.

Valores exatos podem ser inteiros ou frações definidas com numeradores e denominadores inteiros.

Quando digitado um inteiro como 4, o Mathematica assume que este é exato. Mas ao digitar

um número como 4.5, com um ponto decimal explícito, o Mathematica assume que este tem uma

acurácia de apenas uma quantidade fixa de casas decimais.

ALGUMAS FUNÇÕES E CONSTANTES MATEMÁTICAS

O Mathematica possui uma grande quantidade de funções matemáticas.

O leitor já deve ter observado o seguinte: os argumentos de qualquer função do Mathematica

estão sempre envolvidos por colchetes e que todas as funções embutidas no Mathematica são

iniciadas por letras maiúsculas. É importante lembrar que todos os argumentos de funções no

Mathematica devem ser envolvidos por colchetes, nunca parênteses. Os parênteses, no

Mathematica, servem apenas para indicar o agrupamento de termos.

O Mathematica retorna valores exatos para operações aritméticas envolvendo funções

matemáticas com argumentos exatos.

Calcular fatoriais assim pode resultar em números muito grandes. É possível calcular-se pelo

menos 2000! em pouco tempo.

A tabela abaixo apresenta alguma das constantes matemáticas mais comuns:

Note que todos os nomes destas constantes são iniciadas com letras maiúsculas.

Ao multiplicar por Degree o argumento é convertido para radianos.

As constantes matemáticas descritas nesta seção podem também ser digitadas no input com

auxílio da tecla ESC. Para a unidade imaginária, basta digitar ESC+-1+ESC, sem espaços. A

tabela abaixo apresenta estas formas para escrever as constantes acima.

DESENVOLVENDO COMPUTAÇÕES

ATRIBUIÇÃO DE VALORES A VARIÁVEIS

Ao fazer longas computações, é freqüentemente conveniente dar nomes aos resultados

intermediários. Exatamente como na matemática, ou em qualquer outra linguagem de programação,

isto pode ser feito pela introdução de variáveis.

É muito importante observar que os valores atribuídos a variáveis são permanentes. Tendo

definido um valor para uma certa variável, este valor será armazenado até que o usuário

explicitamente removao.

O valor irá logicamente desaparecer, se uma nova sessão do Mathematica for iniciada.

Esquecer definições feitas anteriomente é a causa mais comum de erros quando se utiliza o

Mathematica. Uma vez atribuído x = 5, supõe-se que será sempre desejado que x tenha o valor 5,

até que isto seja alterado. Para evitar erros, deve-se sempre remover os valores definidos logo que

estes não sejam mais utilizados. Este é um útil princípio que deve-se sempre seguir ao utilizar o

Mathematica.

As variáveis definidas podem ter uma imensa variedade de nomes. Não há limite no

tamanho de seus nomes. Uma restrição, entretanto, é que os nomes de variáveis nunca podem ser

iniciados com números. Por exemplo, x2 pode ser uma variável, mas 2 x significa 2 * x.

O Mathematica utiliza letras maiúsculas e minúsculas. Há uma convenção em que os objetos

embutidos do Mathematica sempre tenham nomes iniciados por letras maiúsculas. Para evitar

confusões, é aconselhável escolher nomes para os objetos definidos pelo usuário iniciados por letras

minúsculas.

REPRESENTAÇÃO DE LISTAS DE OBJETOS

Ao fazer cálculos, freqüentemente é conveniente agrupar vários objetos, e tratá-los como

uma única entidade. As listas permitem que se façam coleção de objetos no Mathematica. As listas

são estruturas muito importantes e gerais no Mathematica. Uma lista como {3, 6, 4} é uma coleção

de três objetos.

Uma das grandes vantagens das listas é o fato de poderem, de várias maneiras, ser tratadas

como um único objeto. Pode-se, por exemplo, fazer aritmética com a lista inteira de uma só vez ou

atribuir uma lista como sendo valor de uma única variável.

Para saber-se o número de elementos contidos em uma lista, utiliza-se a função Length.

Para referir-se a um elemento de uma lista utiliza-se a função Part dando o seu índice. Os

elementos estão em ordem numerada, iniciada por 1.

Os colchetes duplos são apenas uma forma resumida de escrever-se Part, pois ambos

constituem a mesma função.

Definindo uma variável como uma lista, é possível utilizar listas como os arrays de outras

linguagens de programação. Pode-se, por exemplo, modificar um elemento de uma lista atribuindo

um valor a v[[i]].

CONSTRUÇÃO DE LISTAS

Tabelas de Valores

É possível gerar listas, por exemplo, avaliando uma expressão para uma seqüência de

diferentes valores de um parâmetro. Há várias funções do Mathematica que utilizam a notação geral

de iteração de parâmetros do Mathematica. Visando introduzir esta notação, apresenta-se nesta parte

apenas uma função para geração de listas, porém analisando todos os casos possíveis para a

variação, ou iteração, do parâmetro utilizado.

Algumas vezes deseja-se gerar uma tabela apenas pela avaliação de uma expressão diversas

vezes, sem incrementar qualquer variável.

Notação Geral de Iteração do Mathematica

Antes de introduzir outras funções que gerem listas de valores, apresenta-se a notação geral

de iteração que o Mathematica utiliza em quase todas as suas funções que façam uso da variação de

um parâmetro. Esta mesma notação apareceu ao discutir-se a geração de listas utilizando Table, e

aparecerá em uma série de funções aqui discutidas.

Note no quadro acima a última opção, onde têm-se uma variação composta, onde para cada

parâmetro variado, varia-se outro. Apesar do quadro não expicitar, pode-se utilizar qualquer um dos

tipos de variação simples (os quatro primeiros), para compor a variação múltipla.

COMPUTAÇÕES ALGÉBRICAS

INTRODUÇÃO A COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA

Uma das mais importantes características do Mathematica é o fato de poder fazer tanto

cálculos símbólicos como numéricos. Isto significa que se pode manipular fórmulas algébricas da

mesma forma que números.

É possível digitar qualquer expressão algébrica utilizando os operadores descritos nas seções

anteriores. Pode-se utilizar espaços para multiplicações. Tome cuidado para não esquecer o espaço

em y x.

Ao digitar expressões mais complicadas, é importante a utilizações de parênteses nos lugares

certos.

Ao avaliar uma expressão, o Mathematica automaticamente aplica um vasto repertório de

regras para transformação de expressões. Estas compreendem as regras mais simples da álgebra,

tais como x -x = 0, juntamente com regras mais sofisticadas envolvendo funções matemáticas.

O princípio fundamental utilizado pelo o Mathematica para a transformação de expressões é

simples. Recebe-se uma expressão como input. Obtêm-se então uma série de resultados pela a

aplicação de uma sucessão de regras de transformação, até que nenhuma regra de transformação

possa mais ser aplicada. Este é princípio fundamental do Mathematica.

Além das variáveis definidas pelas letras convencionais do teclado, ainda pode-se fazer o

uso de letras gregas.

REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO

Quando o Mathematica transforma uma expressão como x +x em 2x , a variável x esta sendo

tratada de forma puramente simbólica. Em tais casos, x é um símbolo que pode ser qualquer

expressão. Entretanto, freqüentemente é necessário substituir x por um valor definido. Algumas

vezes este valor será um número e em outras, comumente, uma outra expressão.

Para tomá-la e substituir o símbolo x por um valor definido, é possível criar uma regra de

transformação e então aplicar esta regra à expressão.

Deve-se digitar → como uma seqüência dos caracteres – e > , sem espaços entre os

mesmos. Para aplicar uma regra de transformação a uma expressão digita-se expr/.regra. O

operador de substituição /. é digitado também como uma seqüência de caracteres sem espaços entre

os mesmos.

Então quando se aplica uma regra de transformação à uma expressão, cria-se uma nova

expressão tomando a anterior e alterando os valores descritos nas regra.

LISTAS DE REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO

Foi visto anteriormente, que para substituir uma série de valores em uma expressão, basta

agrupar as regras para cada símbolo que se deseja substituir, em uma lista de regras. Suponha agora

que se têm diferentes valores para a mesma variável e quer-se obter uma diferente resposta para

cada um dos valores substituídos. Para fazer-se isto basta montar uma lista de lista de regras. Isto é,

uma lista que cada um dos elementos é uma lista com uma regra dentro.

Para diferentes valores de vários símbolos, as substituições feitas são análogas.

Ao aplicar a regra entre um par de chaves a expressão x + 1, ocorre o mesmo que sem

chaves, mas quando utilizam-se duplas chaves uma lista é obtida.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Em seções anteriores foram discutidas atribuições como x = y, que define x como sendo

igual a y.

Nesta seção discutem-se equações, que testam igualdade. Uma equação no Mathematica é

digitada de modo similar a atribuição anterior, porém utilizam-se dois sinais de igual, sem espaços.

A equação x == y testa se x é igual a y.

É muito importante não confundir x = y com x == y. Enquanto x = y é uma declaração

imperativa que de fato faz uma atribuição, x == y meramente testa se x e y são iguais e não causa

nenhuma ação explícita.

OPERADORES RELACIONAIS E LÓGICOS

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Se as equações envolvem apenas funções lineares ou polinômios, então pode-se utilizar

Solve para obter aproximações numéricas para todas as soluções. Entretanto, quando as equações

envolvem funções mais complicadas, não há nenhum procedimento sistemático para a obtenção de

todas as soluções, mesmo numericamente. Em tais casos utiliza-se FindRoot para encontrar

soluções.

Deve-se ter observado que para FindRoot, diferente de NSolve, é necessário fornecer uma

estimativa inicial para o valor da raiz. Utilizando-a desta maneira, FindRoot utiliza o método de

Newton para encontrar as raízes. Utilizam-se duas estimativas iniciais uma variante do método da

secante é utilizada.

CÁLCULO SIMBÓLICO

LIMITES

DIFERENCIAÇÃO

A função D[xn, x] realmente calcula uma derivada parcial, supondo que n não dependa de x.

Há uma outra função no Mathematica, Dt, a qual calcula derivadas totais, supondo que todas as

variáveis são relacionadas. Na notação matemática, D[f, x] é como

, enquanto Dt[f, x] é como

.

Além de tratar variáveis como x simbolicamente, podem-se tratar funções simbolicamente.

Então, por exemplo, podem-se encontrar fórmulas para derivadas de f[x], sem precisar especificar a

forma explícita da função f.

Repare que, usando a função D, chega-se ao mesmo resultado que quando se faz uma

derivada total. Para isto, basta definir quais símbolos são funções de quais variáveis. Acima T foi

definido como uma função de t, logo, ao derivar, o Mathematica sabe que T é função de t.

INTEGRAÇÃO

O Mathematica sabe como calcular qualquer integral que possa ser feita em termos de

funções matemáticas convencionais. Porém deve-se notar que mesmo com um integrando que tenha

funções bem simples, sua integral pode envolver funções muito mais complicadas ou não ser

expressa em termos de funções matemáticas convencionais.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Já foi visto como formular equações e obter derivadas. Já é possível então formular uma

equação diferencial.

O y(x, t) com índice (2, 0) representa a derivada segunda em relação a primeira variável (x)

com índice (0, 1) representa a primeira derivada em relação a segunda variável (t), e com índice (1,

1) representa a derivada cruzada (derivada primeira com relação a x e t ).

No Mathematica, deve-se sempre entrar com as equações diferenciais explicitamente em

termos de funções como y[x], e deve-se especificar as variáveis como x de que as funções

dependam. Como resultado, deve-se escrever uma equação como y”(x) + y’(x) = y(x) na forma

y”[x] + y’[x] == y[x]. Não se pode escrevê-la na forma y'' + y' == y.

O Mathematica pode resolver equações diferenciais ordinárias lineares e não-lineares, tanto

como equações simultâneas. Se não forem especificadas condições iniciais ou de contorno

suficientes, o Mathematica irá retornar soluções que envolvem um número apropriado de

coeficientes indeterminados. Cada vez que se utilizar DSolve, ele irá chamar os coeficientes

indeterminados de C[1], C[2], etc..

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Com uma equação algébrica como x2 + 3x + 1 = 0, cada solução para x é simplesmente um

único número. Para uma equação diferencial, entretanto, a solução é uma função ao invés de um

único número. Por exemplo, na equação y’(x) = y(x), deseja-se obter uma aproximação para a

função y(x) com a variável independente x variando entre dois limites.

O Mathematica representa aproximações numéricas para funções como objetos

InterpolatingFunction. Estes objetos são utilizados para retornar valores aproximados de y(x) em

um ponto x. A InterpolatingFunction efetivamente armazena tabelas de valores para y(xi), e então

interpola esta tabela para encontrar uma aproximação para y(x) no determinado x requisitado.

OPERAÇÕES COM MATRIZES

SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Para sistemas grandes utilizar LinearSolve ao invés de Solve resulta em um tempo de

processamento significativamente menor.