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EDITORIAL MONFORT

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FSICA 9 I

Derechos reservados conforme a la Ley.Copyrightpor Editorial Monfort SRL. Caracas, Venezuela.Lapresentacin !i9isposicin generalde este l i ~ w , a s como susilusfraciofiN, IOndel. E ~ i t o ~ lo ~ n t o , no puede serreproducidopor ningn mecanismo de Impretl6n 'in 11alitOnzacljltetlAa de/lfJsmo. .

.,-. t J ' ~ ~ - Fcitot!o.ifJ1fQib@rfY jfqotie: Gabriel R o s a s ~ . , ....E ~ ~ p ; p 4 t l C # d ~ ~ Y i P i @ ' ! , a J l o r : Lic. Willi,m Hil1d. M.

0 c : ~ ~ . . ,.> _ .:X ~ ; ::'1ISBN9Sa-6186.-&l..X- ; ; ; ~ ~ ( C f ~ r i i g n o 8 i $ i j ~ ; - A ~ ~ ~ b a l a . 1998HeQIiP el dpsito.tle:lff. ':jD ~ t q ' , 1 ~ g a . l : I f 4 . z ~ - t 9 9 a $ 3 0 1 8 5 2

"; " . i.;;" . ~ ' :'r;1r a ~ ' ~ d i c i ~ : _ ~ ~ t:.Impreso enVe"neftWla por: P, licaciones Monfort C.A.

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PROLOGO

A continuacin presentamos este nuevo texto de Fsica que ha sido elaborado tomando en cuenta los objetivos y las estrategias metodolgicas contenidas en el programa oficial vigente, con la finalidad de complementar el trabajorealizado en aula.La Fsica es una ciencia que estudia los fenmenos de la Naturaleza y lasinteracciones entre los cuerpos; podemos decir que es un gran auxiliarde lasdems ciencias experimentales y contiene una serie de leyes que constituyenla base de las aplicaciones prcticas de las fuerzas naturales, de ah su granimportancia y el empeo que hemos puesto en su explicacin de una manerasencilla y natural.Este libro ha sido dividido en cinco unidades tomando en cuenta lOS puntos en l tratados: Mecnica, que abarca lo relativo al movimiento, la fuerza yel equilibrio; Calorimetra, trata lo relacionado al calor, la temperatura, la transferencia de energa trmica; Acstica, se desarrolla la parte del sonido y susefectos; Electricidad y magnetismo, se tratan en general los fenmenos de

'electrizacin j magnetizacin de los cuerpos, sus interacciones y circuitoselctricos simples; Optica. se estudia el comportamiento de la luz, sus propie-dades y un boceto sencillo sobrelgunos instrumentos pticos. .Cada u n , i d ~ d , anteriormente pitacj,a, se ha desarrollado por captulos y, dada- unodeellcis'en tres p r t e s : t e o , m ~ - ( j o n d e se exponede una manera senci- "' t i la 'las-leyes,'querigen'lbs fenmens naturales y se presentan;:numero$os'ejemplos ilustrados para facili tar la comprensin de las mismas; problemasresueltos, esta seccin contiene ejemplos resueltos para reforzar los aspectostericos expuestos, as como su aplicaciq,qprctica; la ltima seccin, proble-mas propuestos c o m p l e m e n t a n l a ~ " ~ " , r \ ~ r i b ~ r e s , cada p ~ o b l e m a va acompaadode su respectiva respuesta para facilitar y orientar la labor del educando.El primer captulo, Pre-requisitos, contiene una serie de puntos, que consideramos necesarios tratar previamente para as facilitar e,l, desarrollo de los captulos posteriores.Deseamos que este texto sea de gran utilidad para el alumno y un refuerto a lalabor desarrollada por el docente.

Los autores

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Objetivos programticos

l. Estudiar distintas manifestaciones y formulaciones delmovimiento ydel equilibrio mec-nico, mediante descripciones sistematizadas y anlisis de grficas de los parmetros ymagnitudes fsicas involucradas, para adquirir aquellos conceptos bsicos de la cinem-tica y la esttica que sean de uso frecuente en la vida diaria.1. Establecer las caractersticas y regularidades cinemticas X = X(t) y V = V(t), en el movimiento rectilneo uniforme de diversos cuerpos fsicos, mediante la realizacin y demostracin de experiencias reales y simuladas que se ilustren con el uso de esquemas ygrficas, para ejercitarse en el manejo del anlisis c inemt ico del movimiento rectilneo uniforme.2. Establecer las caractersticas y regularidades cinemticas del movimiento rectilneo uniforme variado, mediante la interpretacin fsica de su formulacin matemtica y del anlisis grfico respectivo, para ejercitarse en el manejo del anlisis cinemtico de dichomovimiento y aplicarlo a situaciones de la vida real. -3. Analizar situaciones fsicas cualitativas y cuantitativas, a travs de ejemplificaciones,resolucin de problemas y la realizacin de actividades prcticas y de laboratorio, queilustren y conf irmen la aplicacin efectiva de los conceptos y formulacin del movimiento uniforme y variado, que permitan adquirir un dominio en el uso de expresionesmatemticas, realizacin de clculos e interpretaciones fsicas de los resultados.4. Desarrollar una primera aproximacin a las ideas bsicas de la dinmica del movimientoy el equil ibrio fsico, mediante la descripcin de experiencias que muestren cualitativa y

cuantitativamente la relacin entre la fuerza aplicada a un cuerpo y el cambio que esteexperimenta, para adquirir un dominio en el manejo de los conceptos de causa-efecto,interaccin y fuerzas fsicas en la naturaleza y en la realizacin de clculos sencillos utilizando la Segunda y Tercera Ley de Dinmica.5. Realizar una descr ipcin de las ideas y principios fundamentales de la esttica,mediante exposiciones demostrativas y desarrollo de ejemplos que, en situaciones deequilibrio, permitan aplicar correctamente los conceptos fsicos.6. Aplicar los conceptos bsicos de la esttica a situaciones de la vida real, mediante larealizacin de ejerc ic ios y la solucin de problemas tericos y prcticos del reposo y

equilibrio de cuerpos fsicos, para ejercitarse en la realizacin de clculos y en el manejoefectivo de procedimientos manuales sencillos y cotidianos.

11. Estudiar la transferencia de la energa trmica entre cuerpos distintos, mediante la reali-zacin de experimentos con cuerpos que se encuentren a temperaturas diferentes yan-l isis de sUuaciones anlogas, con el objeto de adquirir los conceptos de temperatura,calor y capacidad calrica, que le permitan aplicarlos al tratar problemas fsicos desu ambiente.

7. Estudiar los fenmenos de dilatacin de los cuerpos y cambios de fases en la materiamediante la realizacin de experimentos reales controlados, con el objeto de determinarrelaciones cualitativas y cuantitativas entre las magnitudes que experimentan cambios.

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8. Realizar experiencias relacionadas con el equil ibrio trmico entre cuerpos que en con-tacto intercambien calor a temperaturas diversas, las cuales conduzcan a la adquisicinde habilidades y destrezas en la diferenciacin del equilibrio y no equilibrio trmico, ascomo el reconocimiento de la capacidad calrica de los cuerpos a fin de apl icar estosconocimientos en la resolucin de problemas relacionados con mediciones' y clculosde temperatura, cuyas soluciones puedan ser transferidas a situaciones de la vidareal.9. Realizarexperimentos con cuerpos de masas distintas cuyas temperaturas puedan man-tenerse constante y construir grficas asociadas a ellos, con el fin de interpretar y deter-minar las condicionesnecesarias que se requieren para mantener constante la tempera-tura de un cuerpo determinado, independiente de su masa.

10. Analizar situaciones relacionadas con la transferencia de energa trmica de un cuerpoa otro, imaginando los objetos fsicos e interacciones ms diversas, as como analogasficticias con tramas vinculadas a la vida diaria, a fin de relacionar las representacionesimaginarias involucradas con los fenmenos asociados al calor para disfrutar del l ibrejuego de su capacidad imaginativa.

111. Proporcionar un conjunto de experiencias y conocimientos terico-prcticos acerca delsonido, mediante la consideracin de situaciones reales e imaginaras donde se utilcenobjetos, instrumentos yaparatos que produzcan efectos acsticos, con el fin de comprender el comportamiento y naturaleza de las ondas sonoras.

11. Explicar las propiedades, comportamiento y efectos del sonido en slidos, l quidos ygases, mediante la realizacin de experiencias que conduzcan a la determinacin de lasmagnitudes, unidades y regularidades de las ondas sonoras.

12. Analizar efectos sonoros a part ir de situaciones reales e imaginarias, con el fin de darinterpretaciones fsicas adecuadas de los fenmenos fsicos involucrados.. f13. Producir sonidos de diferentes amplitudes, frecuencias y armnicos, mediante la cons-truccin y uso de diferentes i n s t r u m ~ $ t ( ) s musicales: diapasn, cuatro, guitarra, flauta,violn, sinfona, tambor, timbal; con el fin de determinar la relacin de dependencia entrelas caractersticas de las ondas sonoras y las cualidades del sonido para despertar suaprecio por el arte musical.

IV. Estudiar el comportamiento y las propiedades de diversos cuerpos fsicos electrizados eimanados, mediante la realizacin de experiencias reales que ilustren interacciones elctricas ymagnticas, con el fin de determinarmagnitudes yestablecer relaciones y regularidades de estas interacciones, que conduzcan a la comprensin de los conceptos eideas bsicas de la electricidad y el magnetismo.

14. Analizar el comportamiento de cuerpos fsicos electrizados e imanados cuando interac-tivan separadamente y entre s, mediante la realizacin de experimentos con cuerposcargados e imanados, que permitan comprender la naturaleza y establecer laspropiedades de las interacciones elctricas y magnticas.

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Contenido

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I.\... ~ =i

1 1, 95 10 I Propagacin d e ~ ~ a ~ ~ . e ~ ~ ~ ~ i ~ : ~ ~ ~ C ~ ~ j O calrico. Reservo-1 1 rio de temperatura. 1 I....1.._.. . ~ I - - - ~ Ii e 31 O n d ~ ; $QtH:Er:ijS. . 103 !I O ~ d a ~ . Propiedades. Ondas sonoras. Velocidad del soni- I IIdo. Cualidades del sonido: intensidad, tono y timbre. I I

!Teora fsica de la msica.! .- - ~ ~ - - ~ - - - - - - - ~ . . . . 14 Yl ' I E ~ C t f o ~ t t c ! @ 'i ! i H $ ~ r ! l e t i 5 m o . 125 1i Naturaleza y propiedades de las interacciones elctricas y '."!,I1magnticas. Carga elctrica. Fuerza de interaccin elc- -1trica y magntica. Estructura elctrica y magntica de los I..----.-JII I I Corriente eictrica. Potencial elctrico. Resistencia elc- 155 ,!,i Itrica. Potencia elctrica. Unidades. ;,- - - - - - - - " - ~ - ' ~ ~ r - - - - " - < ... ~ . ~ - ~ ... , . ~ - - ~ - - - ~ " ~ _ ~ - - ~ ~ ~ ~ - ~ - - - ~ - - ~ - - - " l - --. _ ~ - ~ ~17 Y l' I 1 175 I!Naturaleza de la luz. Propagacin. Velocidad de propaga- ! lI cin de la luz. Reflexin;:ltormacin de imgenes en espe- I1jos planos. Formacin de imgenes en espejos esfricos. 1 ,,1Refraccin. Angula lmte:Prisma. Lentes. Formacin de I

! imgenes con lentes. I1 ; I~ - - - + - - - - - - f r 'f - ------------;, iI~ ~ ~ I ~ ~ f : ' ; i ~ ~ a visin. Defectos de la visin y correctiv"". i 201 I1La lupa. El microscopio. El anteojo astronmico y el terres- 1I f e e _ ~ _ : = : ~ : ~ ~ P i O ' El telescopio. El proyector diascpico y ! ~ . _ J

I~ I

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1 Potencias de 10. Notacin cientffica. Despejes. Construccin degrficas. Magnitudes ffsicas. Vectores. Operaciones con vectores.PRE-REQUISITOS

Operaciones con potencias de 10.En muchos clculos prcticos y particular

mente en la Fsica, nos vemos obligados a utilizar potencias de 10, por ello presentamos elsiguiente cuadro con las principales leyes dela potenciacin.

OPeracin

Cociente de dos potencias

PotenciaOde .potencia

Desarrono

am-- = am-"a"

( a) " a "_ o ,= '_ _'b b"(a . b) "=a" ;ob"

Cuando el valor de a b es 10, estamoshablando de potencias de 10. Veamos algunos ejemplos.. 1 0 3 = 1000 105 = 100 000 10", n eN ::::: 1 ... Q.

n veces9

10-3 = 0,001. 10- 2 = 0,01

1 - = 10- 4 = 0,00011041 . - ,n eN = 10-" = 0.000 ... 0110" '--T "(n -1 ) veces

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Resolvamos algunos ejemplos aplicando lasleyes de potenciacin:

Expresemos en forma de potencia lossiguientes nmeros:

Observemos que cada uno de los ejem-plos anteriores lo escribimos como el pro-ducto de un nmero real, comprendido entre 1y 10, y multiplicado por una potencia de 10.Cuando expresamos un nmero utilizando elcriterio anterior decimos que utilizamos la.notacin cientfica.

En general, un nmero de la formaa X 10b est escrito en notacin cientfica sicumple las condiciones siguientes:

Expresemos en notacin cientfica los siguien-tes nmeros:

Debemos recordar que: b es positivo sicorremos la coma hacia la izquierda y sernegativo si la corremos a la derecha. .10

Orden de magnitud.Expresar una determinada cantidad enfuncin del orden de magnitud de la misma, es

un recurso muy utilizado por los cientficos enlos casos en que dichas cantidades seanextremadamente grandes o pequeas.Un ejemplo lo tenemos cuando se diceque el orden de magnitud de la vida de unaestrella es de 1020 segundos. Observa que lapotencia de 10 no est multiplicada por unnmero real menor que diez, es decir no estexpresado en notacin cientfica; la razn essencilla, la potencia es tan grande que el utili-zar la .notacin cientfica no suministra nin-guna informacin adicional.Para determinar el orden de magnitud de

un nmero nos basamos en la notacin cient-fica del mismo y utilizamos los siguientescriterios: Si a < 5 el orden de magnitud vienedado por la potencia de 10 del nmero. Si a > 5 el orden de magnitud lo obtene-mos sumndole 1 al exponente de lapotencia de 10. SI a = 5 podemos aplicar cualquiera delos criterios anteriores.

Veamos los siguientes ejemplos:

El orden de magnitud de un nmero e.la potencia de diez con exponente enteroque ms se aproxime al nmero.

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Despejes de variables en frmulas.

Una frmula es la expresin matemticade una ley o principio. En ellas se cumplen lasmismas propiedades que en las ecuaciones ybasndonos en ellas podemos despejar lavariable pedida. Despejemos b en A = (S + b) h.

2Eliminando denominadores tenemos:

2 A = (B + b) hh, est multiplicando en el segundo miembro, pasa al primero dividiendo.

2A-=S+bh

S, est sumando en el segundo miembro,pasa restando al primero.2 A 1 r - - - 2 - A - - - B - h ~ 1-- B= b o bh . h

1 1 1 Despejemos a en - = - +f a b1b pasa restando al otro miembro

Eliminamos denominadores m u l t i p l i c ~ n d ola ecuacin por el m.c.m. de los mismos'(m.c.m.= f.b.a)b a - f a = f b

Sacamos factor comn a.a(b-f) = f b

(b - f) pasa al segundo miembro dividiendo.I. lb I .- fa t 2 En x = Vo t +-2-despejamos a.

Eliminamos denominadores multiplicandola ecuacin por 2.2 x = 2 Vo t + a t2

Vo t lo pasamos restando al primer miembro.2 x - 2 V t = a t2ot2 pasa dividiendo al primer miembro.12 - /Vot _ a I

m v2 En E = mgh + 2 despejemos m.

Eliminamos denominadores.2 E = 2 mgh + m v2

Sacamos factor comn m en el segundomi'embro.2 E = m (2 gh + v2)

2 gh + v2 lo pasamos dividiendo.

12 g v' - miConstruccin de grficas.

Para la construccin de una grfica debemos conocer los puntos por donde pasa lamisma, representarlos en el plano y unirlos.Veamos rpidamente la forma de hacerlo. Representacin de puntos en el plano.

El espacio de dos dimensiones lo podemos referir a un sistema de ejes coordenadoscartesianos, el eje horizontal es el de las abscisas y el vertical el de las ordenadas. El puntode interseccin de los ejes determina el origende coordenadas (O)Cualquier punto del plano queda determinado por un par ordenado, el primer nmerodel par corresponde a la abscisa y el segundonmero corresponde a la ordenada.

Representemos los siguientes puntos:A (3, 4); B ( - 2, 1); C (- 3, 1), D (2, - 2);E (O, 5) Y F (- 4, O).Una vez que hemos trazado los ejes y divididos segn la escala escogida, seguimosestos pasos:

- Representamos en el eje de las abscisas laprimera componente del par y en el de lasordenadas la segunda.

- Por cada punto sealado en el eje trazamosuna perpendicular.11

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- La interseccin de las perpendiculares determina el punto.

La siguiente tabla corresponde a las mediciones efectuadas del volumen vertido delquido en un recipiente y la altura alcanzada.Altura (cm) 3 6 9 12 18Volumen (ce) 10 20 30 40 60'

Representemos los datos obtenidos en unsistema de ejes cartesianos (v - h).

Observa que al unir los puntos obtenemosuna recta que pasa por el origen de coordenadas. Analizando los datos observamos que lasdos magnitudes estn directamente relacionadas, a doble volumen doble altura, triple volumen triple altura, etc., es decir, son directamente proporcionales.

En general podemos decir que dos mag-nitudes son directamente proporcionalescuando al graficarlas obtenemos una rectaque pasa por el origen. El cociente entreambas magnitudes es la llamada constante deproporcionalidad, en nuestro ejemplo anteriorla funcin que las relaciona viene dada por:

3h=- v10( 130 = constante de proporcionalidad. )

Pendiente de una recta.La pendiente de una recta la podemos

definir como la relacin constante que existeentre el incremento de ordenadas y el de abscisas. Se representa por la letra m y la definimos operacionalmente como:

siendo (x1, Y1)Y (x2 , Y2) dos puntos pertenecientes a la recta.Apliquemos la frmula de la pendiente a

nuestro ejemplo.Para ello seleccionamos dos puntos cualesquiera, por ejemplo (10, 3) Y (30, 9).

D.. h h2 - h1m=--=D..V

9-3 6 3m = = - -= - -30 -1 O 20 10

La pendiente calculada coincide con laconstante de proporcionalidad.En conclusin podemos afirmar que dosmagnitudes son directamente proporcio-nales cuando las podemos expresar de laforma f(x) = mx, siendo m la constante dela proporcionalidad. Esta funcin es lineal ya

que el grado de la variable es uno.Representemos grficamente Y = 2xComo el grado de la variable es uno sabemos que su representacin grfica es unarecta; por ello, slo necesitamos conocer dospuntos que pertenezcan a la misma.

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Construyamos una tabla de datos, paraello asignamos valores arbitrarios a x y calculamos su correspondiente y.

x y = 2x (x, y)1 Y = 2 (1) = 2 (1, 2)2 Y = 2 (2) = 4 (2, 4)

Representemos los puntos obtenidos enel plano y tracemos la grfica.

La pendiente de la recta es 2. Por qu?

Funcin afn.

Representemos y = 3 x - 4Sabemos que la representacin grfica esuna recte pues el grado de la variable, tantodependiente como independiente, es uno.Determinemos dos puntos de la recta.

x y= 3x - 4 (x . y)O y= 3'0-4=-4 (0.-4)2 y=3-2-4= 2 ( 2.2)

13

Construyamos la grfica.

la funcin afn es una funcin de laforma y = mx + b donde m representa elvalor de la pendiente y b el punto donde larecta corta al eje y.

Aplicando lo anterior, de la funcin:Y=3 x - 4

podemos decir que:m=3b = - 4 -> pasa por el punto (O, - 4)En el caso particular de que b = O laecuacin y = m x + b queda reducida ay = m x cuya representacin vimos en elpunto anterior.

Funciones de la forma x y = K.Estas funciones donde el producto de lasvariables es siempre una constante, corresponden a variables que son inversamenteproporcionales.A partir de la siguiente tabla construyamosla grfica.

x 0,5 1 2 3 4 5Y 120 60 30 20 15 12

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Magnitudes f s ~ c a s y unidades_De la observacin de los fenmenos ffsicos naturales nacen los conceptos abstractosde las diversas "magnitudes.La longitud, el rea, el tiempo, el volumen,la fuerza, la velocidad son algunos ejemplosde estas magnitudes. .Una magni tud es una propiedad queInterviene en los fenmenos que observa-mos y que puede sermedible. La cuantra de .esta propiedad puede variar de un momento aotro o de un fenmeno a otro y dependiendode la especie de la magnitud escogeremos launidad de medida adecuada.Al efectuar una medida y expresar el resul-tado obtenido estamos indicando la cantidadde veces que est contenida la unidad demedida ~ el objeto o fenmeno medido.Segn la naturaleza de las magnitudespodemos clasificarlas en fundamentales yderivadas. Veamos brevemente cada una.

Como el grado de la variable indepen-diente (x) es dos, la funciny = ax2 + bx + erecibe el nombre de funcin cuadrfica y surepresentacin es una curva llamada par-bola. En matemtica vers el estudio deta-llado de esta funcin.

5 5/2

3 " 4

o 1 2 34

O 0;5 1

lei 'It "1: 'r '1I

-60 _-._: ...__ ~ "1 \t i '

. : 1I I .

~ r - t - - - . - T ~ ~ : ~ ~ ~ ~ . ~ ~ . '.. ._ , __ , ._I ~ ~ ~ ~ ~ .. ,' (6.12)10 ==1":.,':.-.- ..--1-.---.--:-.-:.:.:,=:,. - , ; o : - - ~ . , =I I i I I I 1

y120

Efectuando el producto entre los corres-pondientes de cada par, observamos quesiempre es constante e igual a 60. Luego lafuncin ser x y = 60.

Funciones de la forma y = a x2 +b x +c.Representemos la funcin y = x2 - 5 x + 4

Para ello construyamos una tabla asignn-dole valores a la variable x.

a) Magnitudes fundamentales. f lEntendemos por magnitudes fundamenta-les aquellas que para estar perfectamentedefinidas no necesitan de otras. Ejemplos deste tipo de magnitud los tenemos en el cua-dro que se presenta a continuacin.

Ademas de las mencionadas, las msconocidas por t hasta ahora, podemos nom-brar la intensidad de la corriente elctrica, latemperatura, la cantidad de sustancia y laintensidad de la luz.

14

4 -25/4y

4 O '-2 -2 O

JO:98'7

y

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b) Magnitudes derivadas.Las magnitudes derivadas son aquellasque estn definidas en funcin de otras. Algu-nos ejemplos de estas magnitudes los tene-mos en la superficie, el volumen, la velocidad,la fuerza, etc.Veamos un ejemplo. Si deseamos calcular

el rea de un terreno de forma rectangular pro-cedemos de la siguiente manera: medimos ellargo y el ancho del mismo y multiplicamos losresultados obtenidos.El rea es la medida de la superficie (S), yel largo y el ancho corresponden al conceptode espacio, medida de longitud; como lo quenos interesa es la dimensin de la magnitudsuperficie la expresamos en funcin de ladimensin de espacio. As:

S = [L] [L] = [L2]

Vectores,

En cursos anteriores, en la asignaturamatemtica, ya has estudiado los vectores; enfsica el empleo de ellos simplifica y facilita elanlisis de muchos fenmenos.Recordemos rpidamente algunos puntosimportantes:Vector en general lo definimos como unsegmento de recta orientado y distinguimosen l los siguientes elementos:El origen o punto de aplicacin (A).La direccin, determinada por la rectaque lo contiene (1).El sentido, indicado por la flecha en suextremo (de A hacia B).La magnitud o mdulo, distancia entre elorigen y el extremo lAS I

Otra clasificacin delas magnitudes fsicas.'

Cuando se efecta una medicin, al resul-tado numrico obtenido le aadimos las uni-dades correspondientes; ejemplos de estoson 60 cm; 30C; 12 mIs; 75 kg; 3,5 h, etc.

,"/eI ' A,

Note:Un vector puede denotarse de variasmaneras: Sel la lando el or igen y el extremo,en ese orden, y con una flechaarriba: AB. Ut il izando una letraminsculaconuna flecha arriba: c. Con una letra minscula en negri-ta: c.

Ahora bien, dependiendo de la naturalezade la magnitud, sta quedar o no, perfecta-mente definida con la informacin suminis+trada.Si decimos, la altura del edificio es de 70m no es necesario suministrar mayor informa-cin ya que sta es completa; la v e l o c i d a d c i ~un cuerpo es de 70 km/h, en este caso la infor7'macin noes completa ya que solamente e s t a ~mos indicando la medida y no sabemos ni ladireccin ni el sentido que lleva el cuerpo.Cuando una magnitud queda perfecta-mente definida mediante el vlor numrico delamisma y sus unidades, decimos que la mag-nitud es escalar, si adems tenemos queespecificar la direccin y el sentido para quela informacin sea precisa, estamos hablandode magnitudes vectoriales.Ejemplos de magnitudes escalares son la

distancia, el tiempo, la masa y la temperatura.Entre las magnitudes vectoriales podemosmencionar el desplazamiento, la velocidad y lafuerza.15

Operaciones con vectores enforma grfica.a) Adicin:

..... -t ' ......-... Dados los vectores a, b determinar: a + b

Como los vectores dados tienen la mismadireccin y el mismo sentido, el vector resul-tante ser otro vector con la misma direccin ysentido que los sumandos y su mdulo esigual a la suma de los mdulos de los vec-tores dados.;l

...1----- a+b

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-+ -+ Determinemos a + b siendo:

Dados los vectores:)

Ejemplos:

b) Sustraccin:Sean los vectoresayb definimosa-bcomo la suma del vector minuendo con elopuesto del vector sustraendo.

...... - - . -+ '. -..a - b = a + (- b)Como podemos ver, para restar vectoresdeterminamos el opuesto del vector sustraendo y procedemos de igual forma que eh

la suma.

Otra manera de realizar esta sumaes colocando los vectores sumandos uno a continuacin del otro siguiendo la misma di reccin ysentido, de forma tal que el origen de uno coincida con el extremo del otro. El vector sumaviene determinado por el origen del primero yel extremo del segundo.

-+b

b

J( ..

Los vectores dados t ienen la misma direccin y sentido opuesto. Para determinara +bcopiamos el vectorque tiene mayormdulo y apartir de su extremo copiamos, en sentidoopuesto, el otro vector. El vector suma es aquelque tiene por origen, el origen del primero ypor extremo, el extremo del segundo.

.. ';;'j, Cuando se nos presenta este caso podremos asegurarde antemano que el vector sumatendr la misma direccin y sentido que el vector dado de mayor mdulo. Sabiendo que:

determinemos a + 15Observemos que los vectores dados tienen diferente direccin y sentido. Para efectuar la suma trasladamos los vectores dadoshacindolos coincidir en sus orgenes y aplicamos la regla del p a r ~ l e l o g r a m o .

- . -- '>determinemos a - bPrimero determinamos el opuesto de O,

..... -b.

t,. ...-8 . ~ ~ - - - : , ~. ;;,- . . /ti- ......Luego procedemos a sumar a + (- b)

~ - - : : - - - ~ . : ~ : ; ~. . . " ~ ~ ~ ~ = ~ ' _ . ' .~ " '. -4

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2) Dados los vectores:

d .. _ .. -..... eterrnmemosc -d .

~ ~ Problemas Propuestos. ~ ~

1. Calcular las potencias 1, 2, 3 Y 4 de:a) 10 b) -10

1c)1 d)-0,2

2. Efecta los siguientes ejercicios.a) Calcula las potencias -1; - 2 Y - 3 de:

1 1a) 10 b) 1O Y C )2

I

b) 105 X 10- 8 + 107 X 10- 3

3. Escribe en notacin cientfica las siguientescantidades:

4. Escribe el orden de magnitud de las siguientes cantidades:a) 1,4 x 106 b) 7,21 x 106c) 3,5 x 10- 3 d) 9,1 x 10- 5

b) 3145d) 821,5 x 10- 1f) 621,004 x 10- 1

103105)

a) 804c) 74,65 x 103e) 0,00068

10- 5d) 10- 10e) 3 x 103 2 x 10-2f) 7 x 10- 3 5,1 x 103g) 3 x 10- 4 + 5 x 10- 3 + 8 x10- 2

4 x 10- 3 + 8 x 10- 2 + 9 x 10- 5h) 3 x 102 + 3 x 10- 14 + 5 x 10-3

..

...a

- - . - - - . . - 2 a-----t

determinemos 2a

2) Dadoel vector 'ti

Ejemplos:1) Dado el vector a

c) Multiplicacin de un vectorpor un escalar.Al multiplicar un vector (a) por un escalar(a) obtenemos otro ve'ctor con la mismadireccin que el vector dado y el sentido vienedeterminado por el signo del escalar; si a espositivo, tiene el mismo sentido y si es negativo, sentido opuesto. El mdulo del vectorresultante ser igual al mdulo del vectordadomultiplicado por el valor absoluto del escalar.

(B)(n)

. h

5. Despeja la variable indicada en cadafrmula.a) p' = n . I

B + bb) A = 21-'>--b3eterminemos

17

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b)a +ed)a -ofra + (6 - e)h) 3a

1-.-j) - c42 _ __1) - (b - 3 c)3

determina:

-+ -'>a)a + bc) {a +b) +e

-+ --e) b - a-+- -+--,.

g) (a - b) + (c - b)i) -ib

( 1 _ ...... )k) 3 2"a - b

7. Qu diferencia existe entre una magnitud escalar y una vectorial.8. A qu llamamosmagnitudes._.tales? Cita ejemplos.9. Por qu decimos que la fuerza es unamagnitud vectorial?

10. Dados los siguientes vectores:

18

(h)

(M)L - MMt

a) y = 4 x - 2b) 3 x + y - 2 = Oc) 2 x - 3 y + 1 = O

f) x . Y = 201g) Y=-x2

d) y = -x2e) y = x2 - 2 x + 1

i) S = a -n r1 - r (r)Ej) I = (n)

R + r/n

h) Y = Ix l

d) E = m . g . h (m)a t2e)x= Vo ' t + 2 (Vo); (a)

9f) F = - C + 32 (C)51g) V= - 11' d2 h4

h) I

6. Construye las grficas de las siguientes curvas:

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2 Cinemtica. Movimiento. Trayectoria. Desplazamiento. Movimiento rectilneo uniforme. Grfica posicin-tiempo. Grficadistancia-tiempo. Grfica rapidez-tiempo. Unidades de rapidezRapidez media. Velocidad instantnea. Cantidad de movimiento.MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

El movimiento ha sido y es uno de los pro-blemas bsicos de la ciencia. Para los griegos,todo lo que significara cambio eramovimiento:nacimiento, crecimiento, decrecimiento, des-plazamiento de un objeto, variaciones en lascualidades de los objetos, etc.El movimiento local se refera al despla-zamiento: cada de un objeto, vuelo de una fle-cha, navegacin de una embarcacin, trote deun caballo, etc.Al principio del siglo XVII los cientficoscentran su atencin en el estudio del movi-miento local, su descripcin y comprensin.Las matemticas van a jugar un papel pri-mordial en el anlisis, comprensin y estudiode todos los fenmenos de la naturaleza.Cuando estudamos el movimiento habla-mos de un objeto que se desplaza, pero culha de ser su tamao?

La cinemtica.la parte de la Fsica que estudia elmovimiento de un cuerpo, considerndolocomo una partcula sin masa y sin tomar encuenta las causas que producen dichomovimiento, recibe el nombre de cinemtica.Como slo interesa la descripcin delmovimiento del objeto, el tamao del mismo noreviste importancia, por eso se acostumbrahablar del movimiento de las partculas. Enten-demos porpartcula una mnima porcin demateria o cuerpo material de pequesimas

dimensiones. La partcula en la Fsica equivaleal punto en la Matemtica, es decir un objetosin extensin.21

Para estudiar el movimiento se necesitaestablecer un sistema respecto al cual referirla partcula y su cambio de posicin. Este sis-tema recibe el nombre de sistema de refe-reneia y puede constituirlo un objeto materialrespecto al cual el fsico estudia al movi-miento.Veamos los siguientes ejemplos y tome-mos el punto O como punto de referencia.

a)

La partcula sealada tiene la posicin Pde abscisa 3, es decir que se encuentra a tresunidades positivas del origen O tomado comopunto de referencia.

b)

En esta nueva situacin la partcula encuestin se encuentra en la posicin P' deabscisa 6, esto quiere decir que se encuentraa seis unidades positivas del origen O.El cambio de posicin de la partcula de Pa P' pone de manifiesto que se ha realizado undesplazamiento y se representa como PP'.

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x(m) t(S)3 O6 3

Supongamos que:3 = P (to) siendo to = Os y6 = P (t) siendo t = 3 s

Consideremos el siguiente sistema deejes coordenados y las diferentes posicionesocupadas por un objeto en el transcurso deltiempo.

A cualquier posicin de la partrcula lecorresponde un punto del plano.

Representemos en el eje de las abscisasel tiempo yen el de las ordenadas el desplaza-miento.

Construyamos una tabla que contenga losdatos anteriores.

Movimiento.

22

Ix==: x{tr!

Di: eje de t iemposOX: eje de los desplazamientosO: punto de referencia (origen)

Un sistema de referencia de ejes coorde-nados est constituido por dos ejes perpendi-culares, graduados, siendo su punto de corteel origen del sistema de referencia. Dicho ori-gen coincide con .el objeto material fijo res-pecto al cual se estudia el movimiento dela partcula.

Resulta evidente pensar que para haberserealizado este desplazamiento, cambio deposicin, se necesita haber empleado un tiem-po t.Consideremos que la posicin de la part-cula en el primer ejemplo (a) corresponde a untiempo to' esto lo escribimos as: 3 = P(to) y se

lee: tres es igual a P. de t subcero. Anloga-mente en el ejemplo b la posicin P' de la par-tcula para un tiempo t la escribimos 6 = P'(t) Yleeremos: seis es igual a P prima de t.En general podemos escribir cualquierposicin x de una partcula como una funcindel tiempo.

Comparando los dos sistemas estudiadospodemos concluir que ste aventaja al ante-rior por cuanto en l utilizamos un eje para eltiempo (t) y otro para las posiciones (x) mientrasque en el primero slo se representaban lasposiciones.Representemos las posiciones de la part-

cula de nuestros ejemplos anteriores y del vec- tor desplazamiento. Para ello necesitamosestablecer en qu tiempo se realiz dichodesplazamiento.

Sistema de referencia deejes coordenados.

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Cmo podemos interpretar dichas posiciones?Cuando el objeto se encuentra en la posicin A ha transcurrido un segundo desde elinicio del movimiento y se ha alejado del origen, punto de referencia, en sentido positivodos metros. Un segundo despus, el objeto ha

pasado por el origen y se ha alejado de l ensentido negativo dos metros. Finalmente cuando se encuentra en la posicin C, segundocinco, el objeto ha pasado nuevamente por elpunto de referencia y se alej de l un metro ensentido positivo.

Si observas la grfica comprobars fcilmente que las coordenadas de las posicionesson diferentes, lo que nos indica que el objetose ha movido.En un sistema de ejes (posicin, tiem-

po) decimos que un objeto est en movi-miento con respecto a dicho sistema si lascoordenadas correspondientes a sus posi-ciones varan con el tiempo.

Ya hemos visto que en un sistema de ejescoordenados cualquier punto del plano quedadeterminado por sus coordenadas. Un mvil alrealizar un desplazamiento ocupa diferentespuntos o posiciones en el plano. Si unimos lasdiferentes posiciones, en el mismo orden enque fueron ocupadas por la partcula en eltranscurso del tiempo, obtendremos una lneaque recibe el nombre de trayectoria.

x

trayectoria de una part(cula -

23

Clasificacin de las trayectorias.- Segn el tipo de lnea que obtengamos alunir las distintas posiciones ocupadas por elmvil en su recorrido, podemos clasificar lastrayectorias en:

a) Rectilneas: La trayectoria es una lnearecta. Un ejemplo de este tipo de trayectorialo tenemos en la forma de propagacin delos rayos de luz.

b) Curvilneas: Dentro de este tipo podemosencontrar las siguientes:-circulares, movimiento de las aspas de unventilador;-parablicas, lanzamiento de un proyectilcon un ngulo de elevacin;- elpticas, la rbita que describe la tierra ensu movimiento de traslacin.

",-? \

)" \/ \,"-----=-------:=c) Mixtas: Resultan de la combinacin de lasdos anteriores. Ejemplo de este tipo de trayectoria lo tenemos en el recorrido de unautomvil por una carretera.

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Trayectoria r e c t i t f n e a ~ d e s p l a z a m i e n t oAB coincide con el recorrido.

~ - - .E l d e s p j ~ i l m l E ! l l I o c A . B __coir]cide cOltel __. recorrido por estar el origen yel extremomuy prximos.

La sucesin de vectOl'esdesplazamintos muy pequei\os determinan la trayece-toria,

x

x

Los desplazamientos generalmente nocoinciden con el recorrido, slo, cuando la trayectoria sea una recta o los desplazamientos .sean muy pequeos podemos decir que coinciden.

,

j

1_______4

En un sistema de ejes rectangulares, ladireccin de un vector viene dada por elngulo (a) que forma la recta que lo contienecon el eje de las abscisas.Los vectores ASy cD" son vectores equivalentes ya que tienen igual mdulo, distanciaentre el origen y el extremo, la misma direccin

yel mismo sentido. El vector EF no es equivalente a los anteriores a pesar de tener igualmdulo y direccin, ya que su sentido esopuesto.

Hemos escogido dos puntos de la trayec-. - tona y los denotamos A y B. El vector AB repre-senta el desplazamiento del mvil y el recorrido viene dado por la parte de la trayectoriacomprendida entre A y B.El desplazamiento es una magnitud vectorial por lo tanto tiene longitud, direccin y sentido. Recordemos que la longitud es la medidadel segmento, la direccin viene dada por larecta sobre la cual se encuentra el vector desplazamiento y el sentido viene sealado por lapunta de flecha del vector.

El siguiente grfico nos muestra la trayectoria descrita por un mvil en su movimiento.Analicemos la diferencia entre desplazamiento y recorrido.

Desplazamiento.

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Movimiento recti l neo uniforme (M.R.U).

180 km km- 60-3 h h120 km

2 h60 km

1 h

Este valor constante obtenido lo llamamosrapidez y si le asignamos direccir:!...Y sentidoobtendremos el vector velocidad (v).

La velocidad es una magnitud vectorialque viene determinada por el cociente entre elvector desplazamiento (xj y el escalar tiempo.

La rapidez es el mdulo de la velocidad yal igual que el tiempo es una magnitud escalar.

Cuando un mvil posee movimiento uniforme y la trayectoria descrita por l es unaIrnea recta, decimos que tiene un movimientorectilneo uniforme.Un ejemplo de este movimiento lo tenemos en un mvil que se desplace en lnearecta y que recorra 60 km en cada hora, esdecir, 60 km en 1 hora, 120 km en 2 horas, 180km en 3 horas y as sucesivamente.Si establecemos la relacin entre la distancia y el tiempo empleado en recorrerlaobservamos que es una constante.

Grfica de pos ic in t iempo.Recordemos que para construir la grficaposicin-tiempo representamos en el eje delas abscisas el tiempo y en el de las ordenadasla posicin.Interpretemos la siguiente grfica correspondiente al movimiento efectuado por unmvil.

25

ALa grfica corresponde al recorrido de unciclista en un circuito cerrado. El punto Arepresenta el punto de partida y el de llegada.Si queremos determinar la distancia recorrida por el ciclista sumamos las longitudes detodos los vectores desplazamientos que determinan la trayectoria. Como la longitud es unamagnitud positiva, la distancia total r e c o r r i ~ ano es nula pero, qu ocurre con el desplazamiento?Observemos que el extremo del vectordesplazamiento que llega al final del recorridocoincide con el vector desplazamiento queparte del origen. Si hacemos memoria, recordaremos que la suma de estos vectores esnula, en consecuencia el desplazamiento tambin lo es.

Clasificacin de los movimientos.Anteriormente, clasificamos las trayectorias atendiendo al tipo de lnea que resultabade unir las diferentes posiciones de un mvilen su recorrido. Los movimientos los clasificaremos segn los desplazamientos realizadosen unidades de tiempo tomadas como patrones.

a) Movimiento uniforme: Decimos que unmvil posee movimiento uniforme cuandoefecta desplazamientos iguales en intervalos de tiempos iguales.b) Movimiento variado: Un mvil realiza unmovimiento variado cuando efecta desplazamientos desiguales en intervalos de tiempo iguales.

La distancia recorrida por un objeto ser lasuma de los mdulos de todos los vectoresdesplazamientos cuando el tamao de stossea tan pequeo que coincidan con el recorrido.Veamos el siguiente ejemplo:

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Representemos los puntos y unmoslos.

En una grfica distancia-tiempo representamos en el eje de las abscisas el t iempo y enel de las ordenadas la distancia.Construyamos la grfica correspondientea nuestro ejemplo anterior.Para ello elaboramos la siguiente tabla.

.9 h -1 Oh: Al finalizar la dcima hora de iniciado el movimiento el mvil seencuentra en el punto de partida,recorriendo en este intervalo unadistancia de 40 km.Como podemos observar, en la interpretacin realizada, el mvil recorre distancias desi

guales en intervalos de tiempo iguales por loque decimos que el movimiento es rectil-neo variado.

Para determinar la distancia total recorridabasta con sumar las distancias parciales, recordemos que son magnitudes escalares positivas. En conclusin diremos que en las diezhoras de movimiento el mvil recorri 280km. Comprubalo.

t(h) 2 4 5 7 8 9 10x(km) 50 70 120 120 170 240 280

Observa que la grfica parte del origen yaque para t = Oh, x = Okm, pues no se ha iniciado el movimiento.26

I 1_____ I ..I I, II I- - - - -:- -'' '=''=''21 I1 II I

--------:i,H ,"f 11., "t I: 1 '

I "\,"lT'l0----;"(h)10 ei f20 J*"0 - - - - - - - - - - - - - - , - - j

4

X ( k ~ 6 _605040302010

Comencemos diciendo que se trata de unmovimiento rectilneo ya que las trayectoriasdescritas por el mvil en IQS diferentes intervalos de tiempo son lneast"ectas.Veamos que ocurre en los diferentes intervalos.

Oh - 2 h: El mvil parte del origen y sealeja de l 50 kilmetros en sentido positivo..2 h - 4 h: En estas dos horas de movi

miento se ateja 20 kilmetrosms, del origen" yen sentidopositivo. Es decir que, al finalizarla cuarta hora de movimiento,est a 70 km del punto de partida. 4 h - 5 h: En este intervalo el mvil recorre50 km hacia el origen, se regresa. Al f inal izf la quinta hora demovimiento

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200 m m= 20-10 s s1:. xv = - -1:.t

Efectuamos el cociente 1:. x (rapidez)1:.t

Interpretando el resultado anterior podemos decir que en cada segundo el mvil recorre una distancia de 20 m.Qu ocurre si tomamos otros dos puntosde la recta? Comprubalo y establece conclusiones.En una grfica distancia-tiempo la pendiente de la recta determina la rapidez delmvil entre esos puntos.

Para construir la grfica rapidez-tiemporepresentamos en el eje de las abscisas eltiempo y en el de las ordenadas la rapidez,En nuestro ejemplo anterior el mvil desarroll un movimiento rectil neo uniforme conuna rapidez de 20 mis durante 20 s.La grfica rapidez-tiempo correspondiente a dicho movimiento es la siguiente.

Reprel$entacin grfica r a p i d e z ~ t i e m p oen un M.R.U.

Consideremos el siguiente cuadro de re'dos efectuados por un mvil.Posicin Tiempo (s) Recorrido (m)

O O OP 5 100Q 10 200R 15 300S 20 400

Con los datos del cuadro, construyamos larfica distancia-tiempo utilizando el procediento de nuestro ejemplo anterior.

0J--+-2 -4--+6-"'8--110","....1 2 ~ 1 + : - 4 ...."="6....1 : ! : " 8 - : 2 : t : : O ~ - ...t ~ ( s )La representacin obtenida correspondea una recta horizontal. Para cualquier tiempo larapidez es de 20 mis, es decir, es una constante.En todo movimiento rectllfneo uniforme la grfica rapidez-tiempo es unarecta paralela al eje de los tiempos.A partir de la grfica anterior podemosdeterminar la distancia recorrida por el mvilen un determinado tiempo. Para ello procedemos a calcular el rea bajo la curva en el intervalo deseado.

La grfica obtenida representa el movimiento efectuado por el mvil; es una lnearecta y decimos que el movimiento es rectilneo uniforme. Por qu?Las dos magnitudes relacionadas, distancia-tiempo, en este tipo de movimiento, son

directamente proporcionales, a mayor tiempomayor distancia y viceversa.La rapidez con que se ha movido el mvilla podemos determinar calculando la pendiente de la recta, recordemos el procedimiento.

Tomamos dos puntos cualesquiera de larecta, por ejemplo:Q (10, 200) YS (20, 400).

Calculamos 1:. x (variacin de la distancia)1:. x = x2 - x1 = 400 - 200 m = 200 m

Calculamos' 1:. t (variacin del tiempo)1:. t = t2 - t1 = 20 s - 1O s = 1O s

V(m/s)2 0 " ~ " '" - ~ ~ - - = ' = ' , ' ~ ~ ~ ~ ~ . " - "1510:5

-1III

27

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Calculemos la distancia recorrida por elmvil en 20 s.El rea corresponde a un rectngulo debase 20 s y de altura 20 mis.

Ac:::J = b X hmA = 20 -X 20 s = 400 ms

Observemos que las unidades obtenidasson de longitud y no de superficie ya que lasunidades operacionales son diferentes [v] y[t].

En funcin de lo anterior podemos con-cluir que la distancia recorrida por el mvil esde 400 m.Otra forma de calcular dicha distancia espartiendo de la frmula:

xv =-tdespejando x tenemos:

x = v . tsustituyendo valores

mx = 20 _. 20 s = 400 msEl rea de la figura limitada por la gr-fica y los ejes de coordenadas representala distancia recorrida por el mvil.

Unidades de rapidez.Recordemos que las magnitudes funda-

mentales utilizadas son las de longitud, masay tiempo. En funcin de ellas podemos formardos sistemas de medidas, el c.g.s. y elM.K.S.

En el c.g.s. las unidades utilizadas son elcentmetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s);en el M.K.S. tendremos el metro (m) el kilo-gramo (kg) Y el segundo (s).Anteriormente definimos la rapidez comoel mdulo de la velocidad y en consecuenciasus unidades vienen dadas por la frmula

Ivl = Ixl /t.El siguiente cuadro nos muestra las unida-des de la rapidez en los dos sistemas anterio-res y adems en el sistema prctico, sistemaque recibe este nombre por ser el de usoms comn.

Adems de las unidades mencionadasexisten otras correspondientes a otros siste-mas, tal es el caso del ingls.pie/s; mil la/h; nudo, etc.

Rapidez media.

Observa la siguiente grfica.

Recordemos que nuestro punto de refe-rencia es el origen; podemos ver fcilmenteque el cuerpo ya haba iniciado su movimientoantes de pasar por dicho punto. En la grficaest representado por una lnea punteada.El t iempo total de este movimiento es de15 segundos y la distancia total recorrida esde 24 metros. Verifcalo.

28

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Velocidad instantnea.

En determinadas ocasiones nos interesaconocer la velocidad que tiene un cuerpo enun determinado instante. Cuando vamos en unautomvil y observamos el velocmetro delmismo, el dato que obtenemos es precisamente el de la velocidad instantnea.Observemos la siguiente grfica.

Si queremos determinar la velocidad instantnea en el punto P bastar con determinarla pendiente de la recta tangente a la curva endicho punto (PI ).

to)

Lo relativo del movimiento.

La veloc idad instantnea podemosdefini rla como la velocidad media queposee un cuerpo en un intervalo de tiempoinfinitamente corto.

Existen un sinnmero de expresionescomo por ejemplo derecha, izquierda, arriba,abajo, delante, detrs, etc., que por s solas notienen significado alguno. Estas expresionesadquieren sentido cuando establecemos unsistema de referencia.

Un ejemplo de esto lo tenemos en las formaciones militares. El oficial que se encuentraal frente de la tropa imparte una orden, porejemplo derecha-ar, de no existir un sistema dereferencia previamente establecido esta ordenpodra crear confusin ya que los soldados nosabran si girar a su derecha o a l a derecha deloficial ( izquierda del soldado).29

m7,5-s

m1,6s

4s

24 m15 s

8 s - 4 s

Sustituyendo tenemos:60m - 30m 30 mVm

,--'V'eall1crs elsiguente ejempro.

En nuestro ejemplo la rapidez media delcuerpo es:

Observamos que las velocidades en losintervalos de t iempo son constantes en cadauno pero diferentes entre s.Podemos encontrar una rapidez cons-tante con la cual recorra los 24 m en los 15 s?

la respuesta es afirmativa; esta rapidez recibeel nombre de rapidez media y la definimosoperacionalmente como el cociente entre ladistancia total recorrida y el tiempo total.

56 7 8 9 1 0 t(s)La rapidez media de este movimiento nopodemos calcularla como en el caso anteriorya que no disponemos de las herramientaspara saber cul ha sido la distancia total recorrida entre los puntos A y B por ser la trayectoria una lnea curva.No obstante podemos determinar la Vm deldesplazamiento directo entre Ay B calculandola pendiente de la recta secante a la curva que

pasa por dichos puntos.

Concluimos que la rapidez media es larapidez constante de un mvil con la cualpuede recorrer la distancia total en elmismo tiempo que emple con movi-miento variado.

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Cantidad de movimiento.

Como te podrs dar cuenta, a partir de lafrmula, la cantidad de movimiento es unamagnitud vectorial ya que es el resultado de lamult iplicacin de un escalar, la masa, por unvector (Vi y tendr la misma direccin y sent iddo que la velocidad.

Las unidades de la cantidad de movimiento las podemos deducir a partirde la relacin anterior.

En el siguiente captulo veremos ms endetalle la cantidad de movimiento lineal, suconservacin y el impulso.

En la vida diaria observamos cuerpos quese desplazan: un baln de ftbol despus dehaber sido pateado, una flecha disparada porun arco, etc. Todos estos cuerpos por tenermasa y velocidad decimos que poseen cantidad de movimiento.

La cantidad de movimiento (p) de un cuerpo se define como el producto de su masa porla velocidad que posee.I -,=m ' v

Resolvamos algunos ejemplos:

1) Un cuerpo de masa 8 kg tiene una veloci-dad de 72 km/h; cul ser la cantidad demovimiento que posee el cuerpo?Recordemos que la cantidad de movi-miento la definimos operacionalmente como

-+ - .P = m . v.Antes de efectuar la operacin indicada,

~ ~ ~ s f o r m e m o s las unidades de velocidad aI72 _km_ = _72_._1O_O_O_m_ 20 _m_ 1Ih 3600 s s

Para evitar la situacin anterior, en las instrucciones militares se ha tomado al soldadocomo sistema de referencia.Muchas pelculas de comiquitas buscan,en la imprecisin del lenguaje que usan, producir momentos y situaciones hilarantes.

Como puedes observar, en los casos anteriores el movimiento se realiza en forma relativa; una partcula, respecto a un sistema dereferencia, puede estar en reposo y en movimiento respecto a otro. Tambin un sistema dereferencia puede estar en movimiento respecto a otro que se le considera en reposo oen movimiento.

Analiza los siguientes ejemplos. Al estar detenidos en una cola, en un automvil, con frecuencia nos sucede tener la sensacin de estar movindonos porque nos alejamos del carro que est a nuestro lado; sinembargo el verdadero movimiento lo realizabael otro autmovil, nosotros estbamos enreposo. Nos encontramos en un carro en movimiento y una persona est fuera de l, enreposo y observndonos. Respecto al automvilnosotros estamos en reposo ya que vamossentados; para el observador, el carro y nosotros formamos un slo conjunto, tenemos sumisma velocidad y estamos en movimiento yaque nos alejamos de l. Quin tiene la razn,el observador o nosotros?

30

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31

4

3

3

2

X(krn}

o

120 - - - - - - - -100 90 - - . - -- _ " , - . ~ __-_.8060 - - - - .4020

X(km)

2) La grfica x= x(t) corresponde a las diferentes posiciones de tres objetos en eltiempo, Determina las velocidades decada uno y establece una relacin deorden entre eflas.

A partirde la grfica podemos deducir queel mvil se encuentra en estado de reposo yaque en el transcurso de las tres horas la partcula no ha variado su posicin.

Para determinar la velocidad de cadacuerpo determinamos la pendiente de cadauna de las rectas. Para ello tomamos dos puntos pertenecientes a cada una y aplicamos lafrmula v = t::. x/ t::. t Para el 1.tomemos el punto (4 h, 60 km) y el origen(O h, O km)

t::. x = 60 k - O km = 60 kmt :: .t = 4h -O h= 4ht::. x 60 km kmv =-= = 15--1 t::. t 4 h h

cms

mp =200 kg , -s

350 9 . cm/s = 1425 9p

v=-m

Apliquemos la frmula:m mp = 10 kg ' 2 0 - =200 kg ,-s s

Posicin Tiempo100 km 1 h100 km 2 h100 km 3 h

Despejemos v de p = m .v y sustituyavalores.

En la siguiente tabla estn representadaslas posiciones de una partcula en eltranscurso del tiempo. Construye la grfica y analiza el movimiento.

Un cuerpo tiene una cant idad de movimiento de 350 9 . cm/s. Calculemos suvelocidad si la masa del mismo es de2,5 x10- 2 kg.Primeramente, efectuemos las transformaes necesarias. Como las unidades de pn en el sistema c.g.s. reduzcamos las unes de masa a dicho sistema.

m = 2,5 x10- 2 kg = 2,5 x10- 2 X 103 9 == 2,5 x 10 9m = 25 9

Representemos los datos en una grficax = x(t)

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c

Por qu?

h

hkm__ o t- - " t

Xl - = 80 km

X1 =V l "tyx2 = v2 t

La diferencia entre las dos distanciases:

Sustituyamos las velocidades por sus respectivos valores.km

El tiempo empleado por ambos mviles enllegar al punto e es el mismo, ya que ambosparten simultneamente. L1ammoslo t.Establezcamos la frmula de la distanciarecorrida por ambos:

Los dos mviles se encuentran a las 4 h dehaberse iniciado el movimiento ya 160 km dela ciudad B. (240 km - 80 km = 160 km)b) Solucin analtica.

Partamos del siguiente esquema:

32

hkm

3 h

2 h -O h 2h

a) Solucin grfica.Contruyamos una grfica x = x(t) en lacual la ciudad A estar ubicada en el origen decoordenadas.El punto sealado con la letra e es el lugardonde se encuentran los mviles. Proyectando el pu nto sobre los ejes de coordenadas

determinaremos dnde y cundo se encuentran.

3) Dos ciudades A y B estn separadas gdkm. De A parte un mvil hacia B con unarapidez constante de 60 km/h y simultneamente parte de B otro con rapiaetconstante de 40 km/s en el mismo sentido. A qu distancia de 8 y a qu hGrase encuentran?La solucin a este problema la haremosde dos maneras, grfica y analticamente.

De qu otra forma podras establecer larelacin entre las velocidades sin necesidadde haberlas calculado previamente?Observa los ngulos que forman con lahorizontal cada una de las rectas. Recuerdaque amayor ngulo mayor pendiente y en consecuencia mayor velocidad.Luego la relacin puede establecersecomparando los ngulos que forman las rectas con el eje de los tiempos.

Comparando los resultados obtenidos podemos concluir que:

Para el 2.tomemos los puntos(3 h, 90 km) y (O h, O km)

90 km-O km 90 kmv = = 302 3 h -O h

Para el 3.tomemos los puntos(2 h, 120 km) y (O h, O km)

120 km-O km 120 km kmv3 = - 60 - -h

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i i ! ! i ! ! ! ! 1 ! ! i ! ! ! ! 1 ! ~ Problemas Propuestos. ~ ~

Podemos concluir que se encuentran a los160 km de la ciudad B.

. " ....'...-

4. Qu diferencia existe entre desplazamiento y distancia?5. El desplazamiento puede ser una magnitud negativa? y, la distancia? .6. Una embarcacin recorre en direcc inhacia el Oeste 12 km, luego 21 km endireccin Sur-este con respecto a la horizontal y finalmente 24 km hacia el Este.Calcula: a) el desplazamiento resultante.de la embarcacin y, b) distancia totalrecorrida.

R: a) x = 30,6 km S.E. (Sol. grfica)b) x = 57 km

3. Define magnitud escalar y magnitud vectorial.

7. Una persona hace el siguiente recorrido,4 cuadras hacia el Norte, 6 cuadras haciael Este, 2 hacia el Sur y finalmente 3 haciael Oeste. Cuntas cuadras recorri?Cul fue la distancia total recorrida sicada cuadra mide 100 m? Cul fue eldesplazamiento recorrido?

R: a) 15 cuadrasb) x = 1500 me) x= 180 m N.E. (Sol. grfica)

8. En la grfica que se te presenta seala eltipo de movimiento que representa cadauna de las lneas e interpreta su significado.

t = 80 kmh20

1. Efecta las siguientes reducciones:a) 17 m a mmb) 0,2 dm a cmc) 3 km a md) 8 min a se) 0,5 s a minf) 1,7 h a min

80 kmt = 4 h20 km/h

-. __._-S u s t i t u y a m o s ~ - y Ox2 por sus respectivasexpresiones

km km60 - . t - 40 - - . t = 80 kmh hReduciendo trminos semejantes y despejando t tenemos:

km

El tiempo de encuentro es de 4 h.Calculemos a qu distancia de B se encuentran, para ello calculamos x2

km kmx = 40_ . t = 40-' 4 h = 160 km2 h h

m cmg) 3- ,a-mm skm mh)03-a--

'h sdm mi) 7,2- a -,-s mm, km mj )36-a-'h s

. , i . ~ ( )" m

t (s)

2: Un mvil parte del punto A desplazndose 6 m hacia el Sur, luego 4 m hacia elOeste y finalmente 12 m hacia el Norte.Realiza la grfica y calcula la distanciarecorrido por el mvil.

R: x = 22 m9. En un grfico x = x(t). Qu significadofsico tiene el rea bajo la curva? y, en ungrfico v = v(t)?

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x(km) t(h)160 O160 5160 10160 15160 20

R: b) o kme) m == Od) v = O km/h

a) Construye la grfica: x = x(t)b) Qu distancia recorri a las 15 h?c) Cul es el valor de la pendiente?d) Qu representa fsicamente?e) En qu estado se encuentra el cuer-po?

1

12. Interpreta cada una de las siguientesgrficas.

13, Las siguientes tablas corresponden alestudio del movimiento de un cuerpo.Contesta cada una de las siguientespreguntas.

34

R: mA = 1mB = 1me = -6

a) Qu tipo de movimiento tiene el m-vil A?b)Qu tipo de movimiento tiene el m-

vil8?e) Cul es la rapidez de cada mvil?d) Qu distancia recorri cada uno has-ta encontrarse?e) Cul es la distancia que separa losmviles en t = O h?f) Construye la grfica v = v(t) para am-bos mviles..

R: e) VI!, = 2 km/h y VB = -2km/hd) 20 kme) 40 km

11. La siguiente grfica representa la posi-cin de dos mviles en funcin deltiempo:

10. En el grfico que se presenta acontinua-cin, qu tipo de movimiento tienen losmviles A, 8 YC? Cul es la pendientede cada recta? Qu representan stasfsicamente?

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14. A partir de la siguiente grfica contestalas preguntas que se formulan.

Un cuerpo A tiene una velocidad de 36km/h y una cantidad de movimiento de150 kg mIs y un cuerpo B tiene una velocidad de 2000 cmls y una cantidad demovimiento de 2 X 10 7 9 cm/s. Cul cuerpo tiene mayor masa?

R: a) 202,5 kmb) 405 kme) 67,5 km/hd) 2:15 am del martes

16. Dos mviles estn separados por una distancia de 200 m. El mvil A parte hacia 8con una rapidez constante de 30 mIs ytardan en encontrarse 12 s. El mvil Bparti simultneamente con A en la misma direccin y sentido. Calcula:a) Distancia recorrida por el mvil 8 hastael encuentro.b) Rapidez del mvil 8 suponindolaconstante.c) Construye el grfico posicin-tiempo.

R: a) 160 mb) 13,33 mis

e) Rapidez de retorno.d) Si sali de A a las 20 horas de un dalunes, a qu da y a qu hora regres adicha ciudad?

17. Dos mviles A y 8 parten simultneamente de un mismo punto en la mismadireccin pero sentido contrario yal cabode 20 s la distancia que los separa es de2000 m. Calcula la velocidad de Asabiendo que la de 8 es 12 X 102 m/min.

R: VA = ~ mis

18. Dos mviles A y 8 estn sobre la mismahorizontal. El mvil A parte hacia 8 ,con una rapidez de 80 mIs y 8 parti 12 s despus en el mismo sentido que A y con rapidez de 60 mIs. Si se encuentran a1800 m del punto 8, determina la distancia que separaba los mviles.R: 1560 m

20.

19. Resuelve el problema anterior sabiendoque 8 parti 12 s antes que A. Interpretael resultado mediante un esquema.R: 360 m

x(m) t(x)30 O20 510 10O 15

a) Describe los movimientos sealadoscon las letras A, 8, C, D, E Y F.b) Calcula la pendiente de cada movimiento.c) Qu distancia recorri el mvil en losprimeros 20 min?d) Qu distancia recorre entre el minuto20 y el 40?e) Cul es la distancia total recorrida?f) Construye la grfica v = v(t)R: b) mA :. 0,5; ~ a = -,0,25; = 'me - mE - u,375, mo 0,mE = 0,75e) 7 m; d) 6 m; e) 13 m

2.

a) Construye la grfica x = x(t)b) Qu distancia recorri el cuerpo a los10 s?c) Cul es la pendiente?d) Construye la grf ica v = v(t)e) Qu tipo de movimiento realiza?R: b) ~ me) "':2

15. Un vehculo sale de una ciudad A haciaotra ciudad 8 con una rapidez constantede 90 km/h;al cabo de 135 min llega a Byse detiene por espacio de 1 h. Inicia elretorno, con rapidez constante, y llega aA en 3 h. Calcula:a) La distancia que separa a ambas ciudades.b) Distancia total recorrida por el vehculo.

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Movimiento uniformemente variado.

Movimiento uniformemente variado. Aceleracin. Distancia.Tiempo mximo y distancia mxima. Representacin grfica delM.R.u. V. Cada libre y lanzamiento vertical.71

b) Un mvil posee una aceleracin de:-10 m/s2

Por ser la aceleracin negativa, tambinllamada desaceleracin, el mvil sufre unadis-minucin de velocidad de 10 mis en cadasegundo.

a) Un cuerpo posee una aceleracin de:12 m/s2 .

Al decir que un cuerpo posee una acelera-cin de 12 m/s2 estamos indicando que lavelocidad del mismo sufre un incremento de12 mis en cada segundo.Supongamos que el mvil parte del repo-so (v = O mis). Cul ser su velocidad al

cabo de 2 s?En el primer segundo de iniciado el movi-miento el cuerpo tiene una velocidad de 12mis(O mis + 12 mis) yal finalizar el segundo dostendr una velocidad de 24 mis:

(12 mis + 12 mis).

Interpretacin.Sealemos el significado fsico de los

siguientes enunciados.

Dimensionalmente las unidades de acele-racin son: [L] [T-2]Anlogamente en el sistema c.g.s. las uni-dades de aceleracin son cm/s2

37= [ ~ S2[mis][s]

MOVII\'1IENTu RECTILINEOU N I F O R M E r ~ E N T E VARIADO

3

[a] = [1:::. v][1:::. t]

t(s) O 1 2 3 4 5v(m/s) O 3 6 9 12 15

....... 1:::. va=--I:::.tEn un movimiento uniformemente variadola aceleracin es constante.

Unidades de aceleracin.Para establecer las unidades de la acele-racin partimos de la frmula a = 1:::. vi 1:::. tTrabajamos en el sistema M.K.S.

En nuestro objetivo anterior estudiamos elmovimiento de un cuerpo cuando realizabadesplazamientos iguales en intervalos de tiem-po iguales y decamos que el mvil tena unmovimiento uniforme.Observa los registros que se le hicieron aun mvil durante su movimiento.

Puedes deducir fcilmente que el movi-miento no es uniforme ya que experimentavariaciones en su velocidad. Cmo son esoscambios de velocidad? Si calculamos losIncrementos de velocidad en cada segun-do obtendremos que son constantes y dire-mos que el movimiento es uniformemen-te variado.

En este tipo de movimiento interviene unanueva magnitud, la aceleracin y la definimoscomo la variacin de la velocidad respectoal tiempo.

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2 Vo + a t_...::.-__ . t2

x

Simplificando:

Ser esta la nica frmula para calcularla distancia?

Efectuamos la multiplicacin indicada:2 Vo t + a t2X = - ~ - - -2

Sustituyamos esta expresin en la ecuacinanterior:

Sustituyendo vm por su equivalente:v + Vov = ~ _ . . . : : . . .

m 2

(vo + a . t) + Vox = . t2

Recordemos que en un m.r.u.v. la velocidad final viene dada por la expresin:VI = Vo + a t

tenemos:

Reduciendo trminos semejantes tenemos:

Como el movimiento es variado no podemos hablar de una velocidad constante y enconsecuencia hablaremos de vm:X = vm t

Para deducir la frmula que nos permitecalcular la distancia recorrida por un mvil enun movimiento rectilneo uniformemente variado partimos de la frmula del movimientouniforme.

x = v . t

Distancia recorrida por el mvilen un M.R.U.V.

38

siendo v la velocidad final y Vo la inicial.1::. t = t - toy normalmente queda definidapor:I : : . t=1.Sustituyendo las expresiones obtenidas

de 1::. v y 1::. t tenemos:

Como te habrs dado cuenta, no necesitasaprenderte todas las frmulas, ya que unas sonconsecuencia de otras, bastar con recordaruna de ellas y hacer los despejes necesarios.A partir de la frmula anterior deduce lasde la VI y de t para el caso en que el mvil partadel reposo (vo = O).

1::. v la definimos como la variacin dela velocidad.

Despeja vo'

Despejemos t:

Despejemos VI:a . t = VI -vo

Suponiendo que el mvil, en un momentodeterminado,tiene una velocidad de 35 mIs, alsegundo siguiente su nueva velocidad ser de25 mIs (35 mIs -1 OmIs) y al siguiente 15 mIs.La aceleracin es una magnitud vecto-rial, tiene la misma direccin que el vectorvelocidad y el sentido est determinado por el

signo. Si la aceleracin es positiva tienen elmismo sentido que la velocidad y si es negativa, sentidos opuestos.Deduzcamos algunas frmulas delM.R.U.V.Partamos de la frmula de aceleracin:

1::. va=--I::.t

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Vot = t =-x a

Representemos los puntos obtenidos.

R ~ p r e $ e n t a c l n grfica de un M.R.U.V.

Durante el tiempo mximo el cuerpo reco-rre la llamada distancia mxima, deduzcamossu frmula partiendo de:x = vm tSustituyamos vm y t por

Construyamos la grfica correspondienteal siguiente caso. Un mvil parte del reposocon una aceleracin constante de 10m/s2Cul ser su velocidad al cabo de 5 s?

Una forma de resolver este problema esaplicando la frmula correspondiente de lavelocidad final:

Como el mvil tiene una velocidad finalnula (VI = O) en el tiempo mximo, la expresinanterior nos queda:

Como parte del reposo, Vo = O, tenemos:VI = a t sustituyendo

vf = 1O m/s 2 5 s = 50 misResolvamos el problema de forma grfica:Para ello construyamos una grfica:

v = v(t)representando en el eje de las abscisas, elt iempo y en el de las ordenadas, la velocidad.

Recordemos que el mvil parte del re-poso, es decir que para t = O s v = O mis.Como el movimiento es acelerado, a razn de10 mis por cadasegundo, en el primer segun'-do tendr una velocidad de 10 mls,en elsegundo 20 mis y as sucesivamente.

v = VI + Vo y t v I -VOm 2 ax = VI + Vo v I -VO2 a

Partamos de x = Vm tSustituyamos vm y t por:

Tiempo mximo y distancia mxima.

O = v -a toDespejando t obtenemos que:

La ecuaclon obtenida nos permite tam-bin expresar la velocidad final en funcin dela inicial, la distancia y la aceleracin.v 2 = v 2 +2axo

Cuando el mvil parte del reposo (vo= O)las ecuaciones obtenidas de la distancia que-dan transformadas en:

39

Cuando la aceleracin es negativa, desa-celeracin y constante decimos que el movi-miento es uniformemente retardado.Partamos de la frmula:

v, = Vo + a tComo la aceleracin es negativa, tenemosque:v l=vo-a t

Si el cuerpo sufre la desaceleracin hastaque se detenga, diremos que vf = O, sustitu-yendo tenemos:

La expresin corresponde al t iempo m-ximo (tmx ) y es el. tiempo que tarda uncuerpo en detenerse desde el momento enque se le aplica la desaceleracin.

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Solucin analtica.Partamos de la frmula:ae+-2

Por t = 10 s levantamos una perpendicu-lar y por el punto donde corta a la recta traza-mos una perpendicular al eje de las ordena-das determinando as la velocidad que poseeel cuerpo en ese instante.

Tracemos los ejes y construyamos la gr-fica.

Para determinar la distancia recorrida cal-culamos el rea de la figura limitada por losejes de coordenadas y la recta. Calculemos elrea del tringulo.b . h 10 s . 20 misx =-- =- - - - - -2 2x = 100 m

En 10 s el cuerpo habr recorrido 100 m.

Como sabemos que el mvil parte delreposo ya conocemos un punto de la recta, elorigen de coordenadas.Para conocer el otro punto calculamosqu velocidad tiene el mvil para un tiempodeterminado, por ejemplo para t = 2 s.t = O s -+ V = O mist = 1 s v = 2 mist = 2 s -+ V = 4 mis

40

Clculo de la distancia enfuncin de l rea.

Solucin grfica ..Construyamos una grfica v = v(t). Por ser

un movimiento uniformemente acelerado surepresentacin grfica ser una lnea recta,por lo tanto ser necesario conocer dos pun-tos pertenecientes a la misma.

Cuando estudiamos el movimiento rectil-neo uniformevimos que el rea bajo la curva,en un a grfica v = v(t), era numricamente "igual a la distancia recorrida p or el m v n , ' ~ 'de igual manera ocurre cuando el m o v i m i e n t ( ) ~es uniformemente variado. "\a) Calculamos la distancia recorrida en1Os por un mvil que parte del reposo con unaaceleracin constante de 2 m/s2Resolvamos este problema de dos formas,grfica y analticamente.

Para determinar la velocidad del mvil alos 5 s de iniciado el movimiento basta conlevantar una perpendicular al eje del tiempopor t = 5; por el punto donde corta a la rectatrazamos una perpendicular al eje de las o r d e ~nadas obteniendo as la velocidad pedida.En un a grfica v = v(t) la pendiente dela r ec ta e s equivalente a la aceleracin que

posee el cuerpo.

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Como el mvil parte del reposo (vo = O) laecuacin anterior queda transformada en:a t2x = --2

Sustituimos a y t por sus valores respecti-vos y resolvemos las operaciones indicadas:2 m/s2 (10 S)2 2 m/s2 100 S2x=-- - - - -2 2

Ix = 100 miComo ya te habrs dado cuenta los resul-tados obtenidos no dependen del procedi-miento seguido, siempre y cuando stos seanlos correctos.b) Calculemos la distancia recorrida por

un mvil en 10 s sabiendo que tiene una velo-cidad inicial de 30 mis y una aceleracinconstante de 5 m/s2Construyamos la grfica v = v(t) siguien-

do el procedimiento del ejemplo anterior.

10

La f igura obtenida a partir de la grfica esun trapecio cuyas dimensiones son:(B) Base mayor: 80 mis(b) Base menor: 30 mis(h) Altura: 10 s

Calculemos el rea del trapecio:(B + b) h (80 mis + 30 mis) . 10 sX= - - -2 2110 m/s-' 10 sx = 550 m2

41

La distancia recorrida por el mvil en 10 ses de 550 m.Comprobemos el resultado obtenido ha-ciendo el clculo correspondiente.

at2x=vt+--o 25 mis . (10 S)2x =30 mis' 10 s+----2

5 mis' 100 S2X = 300 m+ 2x = 300 m + 250 m

Ix = 550 mCada libre de los cuerpos ylanzamiento vertical.

Todos, en alguna oportunidad, hemos ob-servado lo que ocurre a un cuerpo al dejarlolibre en las proximidades de la superficieterrestre. Cae en direccin vertical, aumen-tando constante su velocidad.Otro fenmeno que habrs observadoseguramente es lo que le ocurre a un cuerpo allanzarlo verticalmente hacia arriba, con una

determinada velocidad inicial. El cuerpo'vaperdiendo velocidad, de una manera cons-tante, hasta detenerse (VI = O) y comienza acaer.En los dos casos anteriores acta, sobrelos cuerpos, una aceleracin constante quellamamos aceleracin de gravedad (g). En elprimer ejemplo la aceleracin es positiva yaque tiene el mismo sentido que el desplaza-miento, en el segundo es negativa ya qu e eldesplazamiento se efecta en sentido contra-

rio a la aceleracin de gravedad.La aceleracin de gravedad vara de unpunto a otro de la tierra pues depende de lalatitud y la altura del lugar, pero en un mismopunto es siempre constante. Para los efectosde nuestro estudio la tomaremos como unvalor constante equivalente a 9,8 m/s2 Como pudimos observar, los movimientos

de cada libre y lanzamiento vertical son rectil-neos uniformemente acelerados y las ecuacio-nes que los rigen son similares a las vistas eneste captulo con la salvedad que la acelera-cin es una constante. Positiva en cada libre ynegativa en el lanzamiento vertical.

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Otra forma de calcular la altura pedida esutilizando la frmula:

, 9,8 m/s 2 (5 S)2h = 49 mis' 5 s - - - - - - 2h = 245 m - 122,5 m= 122,5 m

122,5 m

Vl2 = Vo2 - 2 9 hV,2h=_o_2g

2h (49 m/s 2)2 . 9,8 m/s2

Ihmx = 122,5 mA los 8 s de iniciado el movimiento, elcuerpo alcanz la altura mxima y llevadescendiendo en cada libre 3 segundos.Por qu?h = Vo + 9 t (Vo = O)h = 9 t= 9,8 mis . 3 s = 29,4 mIh = 29,4 m I

Se lanza un cuerpo verticalmente haciaarrib con una velocidad inicial de 49 mis. Calculemos: a) tiempo mximo, b) altura mxima,c) altura a los 8 s y d) velocidad al llegar alsuelo.a) El tiempo mximo es el tiempo queemplea el cuerpo en llegar al puntoms alto de su trayectoria. En eseinstante la velocidad final es nula.

VI = Vo - 9 t (VI == O)t =.2.9

49 mist = = 5 s9,8 m/s 2

b) La altura mxima la alcanza el cuerpo enel t iempo mximo.gt2h=vt---o 2

c)

Para verificlr que todos los cuerpos, en elvaco, caen con la rnisma velocidad yal mismotiempo, Newton realiz el siguiente experimento. En un tubo de vidrio de 1,5 mde largo yde 4 5 cm de dimetro, introdujo monedas,plumas de aves y diversos objetos. Al voltearloobserv que tanto las monedas como los cuerpos ms pesados caan con la misma velocidad y tardaban el mismo tiempo en reCOrrer eltubo, no ocurriendo as con las plumasde ave,debido a la resistencia que ofreca el aire.Luego aplic el vaco el tubo y repiti el mismoexperimento observando que todos los cuerpos contenidos en el tubo caan con la mismavelocidad y al mismo tiempo.

Resolvamos algunos ejemplos. Dejamos caer un cuerpo desde una alturade 100 m; cul ser la velocidad al llegaral suelo?

Partamos de las ecuaciones conocidas.La incgnita a calcular es la velocidad final(VI = vo. + a t). Como el movimiento es decada libre sabemos que Vo = O Y a = g,entonces tenemos que:

VI = 9 . tPara aplicar esta frmula necesitarnosconocer el t iempo que tarda en recorrer los

100 m y para ello partimos de la ecuacinconocida:

42

tomando en cuenta las consideraciones anteriores y cambiando x por h,tenemos:9 t2h= -2

a t2X =v t+--o . 2

Despejemos t.t = ~ h9

Calculemos el tiempo de cada libre.t = ) 2 . 100,m _ /- V 20,41 S2 = 4,51 s9,8 m/s 2Conocido el tiempo de cada libre calculemos la velocidad con que l lega al suelo.

Vf = 9 . tvf = 9,8 m/s 2 4,51 s = 44,19 misIvf = 44,19 mis I

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x = 2S0 m

x == 2S0 m

S m/s2 (10 S)22

a . t2x==--2

S m/s2 100 S2- - - - - - - == 2S0 m2

Analticamente:a t2x == va' t + - 2

Por t = 10 s levantamos una perpendicular y por el punto donde corta a la recta,trazamos otra hasta el eje de las velocidades obteniendo as la velocidad pedida.v == SO mIs.Solucin anaUtlca.La velocidad pedida la calculamos pormedio de:VI = va + a tv, == O mIs + S m/s2 10 s == SO mIsv, = SO mIs

b) Para determinar la distancia recorridapodemos hacerlo calculando el rea bajola curva en el grfico v - t o bien analticamente. El rea bajo la curva equivale a la deun tringulo de base 10 Y altura SO.

b . h 10 SO misx =--== =2S0 m2 21. Un mvil parte del reposo con una aceleracin de S m/s2 a) Cul ser su velocidad a los 10 s? b) Distancia recorrida enlos 10 s.Resolvamos el problema grfica y analticamente.

Solucin grfica.Construyamos un sistema de ejes cartesianos v - 1. El mvil parte del reposo(va = O) Ypor tener una aceleracin constante de S m/s2 vara su velocidad enS mIs cada segundo. Construyamos lagrfica.

Para saber con qu velocidad llega a]suelo, partimos de:v/ = V02 + 2 g hcomo va = O por ser cada libre, tenemos:v =V2Qh =V 2 . 9,8 m/s2 122,S m === V 2401 m2/s2 = 49 mIs

IVI = 49 mIs IComo puedes observar la velocidad conque llega al suelo es la misma con la que parti (velocidad de lanzamiento). Tambin eneste tipo de movimiento el t iempo mximo(tiempo de subida) es igual al t iempo de cadalibre (tiempo de bajada).

Como era de suponer el resultado obtenido es el mismo, independientementedel mtodo utilizado.

2. Un mvil parte con una velocidad de 10mIs y una aceleracin de 2m/s2Calcular:a) velocidad a los 7 s; b) distancia recorrida entre el tercero y el quinto segundo.

a) Velocidad a los 7 s.vf = Vo + a . tvf = 1O mIs + 2 m/s2 7 sVI = 10 mIs + 14 mIs == 24 mIs

vf == 24 mIs43

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Como CE representa la velocidad de B enun tiempo te podemos escribirla as:CE = a . t = 4 teSustituyendo e igualando las distanciastenemos:

Despejando y simplificando obtenemos:te = 10 s.

4 t 220 t =_._e_e 2

20 . te

t . CExA = 20 . te y Xs = e 2

Los mviles se encontrarn cuando lasreas bajo las curvas correspondientessean iguales y esto ocurre en un tiempo,te' comn para ambos.La distancia recorrida por los mvilesest representada por el rea del rectn-gulo para el mvil A y la del tringulopara B.

3. Dos mviles A y B salen simultneamentede un mismo punto. A tiene unavelocidadconstante de 20 mis y B parte del reposocon una aceleracin de 4 m/s2 Calcular:a) A qu distancia del punto de partidase encuentran?, b) velocidad de B en elpunto de encuentro.Resolvamos el problema grf icamente.Para ello representamos las velocidadesde cada mvil.

44

Como el intervalo es entre el tercero y elquinto segundo, el t iempo a emplear en lafrmula es de 2 s.

x = 32 m + 4 m = 36 mGrficamente correspondera a calcularel rea del trapecio, sealado en la gr-fica, cuyas dimensiones son B = 20,b = 1 6 y h = 2

(B + b)x = h2x = (20 + 16) . 2 = 362

x = 36 m

o

10. /

2 m/s2 (2 s)2x = 16 mis ' 2 s +-----2

Para aplicarla necesitamos calcular pre-viamente la velocidad que lleva el mvilen los 3 s.vf = Vo + a tvf = 1O mis + 2 m/s 2 3 svf = 1O mis + 6 mis = 16 mis

302420

b) Distancia recorrida entre el tercero yel quinto segundo.Partamos de la frmula

a t2x = v t+--o 2

a) Para determinar la velocidad en formagrfica procedemos como en el ejem-plo anterior.

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Conocido te' calculemos la distancia querecorrieron hasta encontrarse.xA = 20 mis . 1O s = 200 mLa velocidad de B en dicho momento lacalculamos trazando las perpendicularescorrespondientes. As obtenemos que:Vs = 40 misResuelve el problema de forma analtica.

4. Un mvil parte con una velocidad inicialVo y una aceleracin a. Deduzcamos lafrmula para calcular la distancia recorrida por el mvil en un tiempo t partiendode un grfico v - 1.

v

El rea bajo la curva corresponde a la deun trapecio cuyas dimensiones son:B = Vo + a t; b = Vo Y h = t(B + b)x = h2

x = (vo + a t + vo) t2

2 Vo + a tx = . t22 Vo t + a t2x=--- - -

2a t2X = v t +--o 2

45

5. Un mvil mantiene una velocidad constante de 20 mis durante 15 segundos, al .cabo de ese tiempo se le aplica una aceleracin constante de 4 m/s2 durante 5segundos e inmediatamente se desacelera a razn de 2 m/s2 hasta detenerse.Calculemos: a) t iempo que tarda en detenerse; b) distancia total recorrida.a) Para calcular el tiempo que emplea hastadetenerse necesitaremos conocer la velocidad que tena el mvil en el instanteen que se desacelera.Calculemos la velocidad. Sabemos quetiene una velocidad inicial de 20 mis y sele apl ica una aceleracin de 4 m/s2 durante 5 s, entonces:vf = Vo + a tv = 20 mis + 4 m/s 2 5 sv = 40 misEn ese instante (v = 40 mis) se desacelera hasta adelantarse, entonces la velocidad final del movimiento es cero.v = Vo - a tO mis = 40 mis - 2 m/s2 t

-40 mist = 20 s-2 m/s2

t = 20 sEl tiempo que emplea en detenerse es de20 s.

b) Para determinar la distancia total recorrida podemos emplear el mtodo grficoo el analtico. Solucin grfica.Representamos el movimiento en un grfico v - 1. La distancia recorrida equivaleal rea bajo la curva.

V(m/s)40

o

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b) El t iempo que nos-piden es el de cadalibre menos 8 s.

/2 . 513,60 mte = V 9,8 m/s2 = 10,23 s

! lh - h, + 200 m ++,- ,

I : 200 m__U'. .,

t=t - 8 set = 10,23 s - 8 st =2,23 s

Como el cuerpo se deja caer, va = O.g t2 9,8 m/s2 64 S2h =-- = ------22

g . t2h l = va' t +-2

hl =313,60mLa altura tolal viene dada por h + 200 mcomo lo indica el esquema a ~ t e r i o r . 'h = hl + 200 mh = 313,60 m + 200 mh = 513,60 m

Para calcular desde qu altura se dejc.aer el cuerpo necesitamos conocer prvlamente la distancia recorrida en lo8 s.

7. Desde una altura de 122,5 m se deja caeruna piedra; 2 segundos despus se lanzaotra desde el mismo punto. Calculemos lavelocidad con que lanzamos la segundapiedra sabiendo que las dos llegan simultneamente al suelo.

x= x l +X2 +X3X = 300 m + 150 m + 400 mx = 850 m

Construyamos el grfico del movimiento.46

4 m/s2 25 S2x2 = 20 mIs' 5 s+-----2

40 I 20 2 m/s2 400 52x3 = ms s-------2x3 = 800 m - 400 m = 400 mx3 = 400 m

X2 = 100 m + 50 m = 150 mx2 = 150 m

La distancia total recorrida equivale a:x = Al + A2 + A3

( 40 + 20x = (15 . 20) m + . 5)m +220 40

+ 2 mx = 300 m + 150 m + 400 mx = 850 m

Solucin analtica.X=X l +X2 +X3

i) Xl = V1 t1 = 20 mIs . 15 s = 300 mXl = 300 m

ii) a t2x=v t+-2 o 2

6. Un cuerpo se deja caer desde ciertaaltura y al cabo de8 s est a 200 m delsuelo. Calculemos: a) desde qu altura sedej caer el cuerpo; b) en cunto tiemporecorrer los 200 m finales.

a t2iii) x3 =vo t +2

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Vo = 26,13 mis

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2gV 2o=--

La expresin anterior corresponde altiempo mximo, tiempo en el que alcanzala altura mxima.h 9 ' (tmYmx = Vo tmx - 2

~ ! ! ! ! ! ! ! i ! ! j Problemas Propuestos. ~ ~

Sustituimos tmx en la expresin anterior.Vo g ' (valg}2hmx = Vo . 9 - 2

V 2 V 2h o __0_mx =-9 2 9

1. Efecta las siguientes reducciones deunidades:a) 16 m/s2 a cm/s2b) 25 cm/s2 a m/s2e) 12 m/s2 a km/s2d) 14400 km/h2 a cm/s2e) 144000 m/s2 a km/s 2f) 129600 dam/h2 a m/s2g) 0,12 cm/s2 a km/h2

V 2 V02/gh. =_0mx 9 2

V 2h =_0_mx 2 9

2. Interpreta fsicamente los siguientesenunciados.a) Un cuerpo posee una aceleracinconstante

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0,4 0,6 .I(",in)

............10me . .

II

.10,1 0,2 0,3

R: b) 1500 me) 45 misd) -3 m/s2

R: d) V = 32 em/s

9. La siguiente cinta muestra los registrosobtenidos al pasar por el timer. Cada ticrepresenta 1 s y la distancia es en cm.

a) Construye el grfico x = x(t)b) Construye la grfica v = v(t}e) Qu tipo de movimiento representael marcado en la cinta?d) Qu aceleracin tena el mvil en losltimos 20 s?

8. Un mvil se mueve con rapidez constantede 30 mis durante 15 s luego acelera arazn de 3 m/s2 durante 10 s y frena hastadetenerse totalmente en 20 S.a) Construye la grfica v = v(t}b) Calcula la distancia total recorrida.e) Qu velocidad tena a los 20 s de ini

ciado el movimiento.d) Qu aceleracin tena el mvil en losltimos 20 s?

10. A partir de la siguiente grfica contestacada una de las siguientes preguntas.

t(s) v(m/s)O O2 54 106' 15

b) Si la aceleracin se mantiene constante calcula la velocidad que tiene alos 10 s y la distancia recorrida.

R: VI = 25 mis Yx = 1250 m

a) Construye las grfic_as:- v = v(t) .- a = a(t)- x = x(t)

6. Un mvil tiene una velocidad constante yrecorre 700 m en 35 s. Al cabo de estetiempo inicia un M.R.U.v. y en 15 s adquiere una velocidad de 50 mis. a) Calcula la distancia total recorrida por elmvil; b) velocidad media de todo elrecorrido.

7. La siguiente tabla registra los datos obteknidos al estudiar el movimiento de unmvil.

R: a) 122,5 m b) 24,5 mis

R: Vo = 5 mis y x = 250 m

4. Un cuerpo alcanza en 10 segundos unavelocidad de 162 km/h. Determina lavelocidad inicial del cuerpo sabiendoque tiene una aceleracin constante de4 m/s2 Qu distancia recorrer en esos10 s?

R: 494,40 m

5. Un mvil parte del reposo y recorre 81 Omcon una aceleracin de 5 m/s2Calcula eltiempo que tard en recorrer dicha distancia y su velocidad final.R: t = 18 s y VI = 90 mis

3. Un mvil pasa por unpunto con una velocidad de 80 km/h y a los 20 segundosalcanza una velocidad de 98 km/h. Qudistancia, en metros, habr recorrido elmvil en los 20 s?

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11 .

a) Calcula las pendientes de A, B Y C.b) Describe el movimiento.c) Qu ocurre para t = 0,4 min? Pue-de suceder en la realidad?d) Qu distancia total recorri el m-vil?e) Qu velocidad tiene a los 18 s de ini-ciado el movimiento?f) En qu instante la velocidad delcuerpo es de 25 mIs?

R; al mil = o; mB = 2,5; me = -- 2,5dl 840 mel v = 35 misf) 14 S Y 26 S

x(m) O 0,5 2 45 8 12,5 18t(s) O 1 2 3 4 5 6A partir de los datos anteriores:a) Construye las grficas x = (t);

v = v(l) y a = a(t).b) Qu tipo de movimiento tiene elcuerpo?

49

Suponiendo que el mvil para t = O stiene una velocidad de 5 mIs, contesta lassiguientes preguntas. .a) Qu velocidad tiene para t = 1 s?b) Qu distancia habr recorrido parat = 2 s?c) Qu tipo de movimiento tiene en elintervalo [2 s, 3 s]?d) Cul ser la velocidad en el quin-to segundo?e) Cul ser la distancia recorrida en elintervalo [4 s, 7 s]?f) Construye la grfica V = v(t).

R: al 11 misb) 25 mdl 23 misel 75 m

14. Es posible que un cuerpo est acele-rado y tenga rapidez cero? Justifica turespuesta.15. Un cuerpo se mueve con una rapidezconstante de 72 km/h durante una hora,luego acelera a razn de 4 m/s2 durante10 s, calcula: .

a) Qu rapidez, en kmlh, tiene al finali-zar el dcimo segundo?b) Qu variacin de velocidad experi-ment en los 1O s?c) Cul es la distancia total recorrida?

R: al 216 km/hbl 144 km/hel 72,4 km

16. Desde la azotea de un edificio se dejacaer un objeto y 4 segundos despusllega al suelo. Determina:a) Altura del edificio.b) Velocidad del cuerpo al llegar alsuelo.c) En qu instante la velocidad delcuerpo es de 24,5 mIs?

R: a) 78,40 km/hb) 39,20 misel 2,5 s

17. Se deja caer un cuerpo desde una alturade 100 m. Calcula: a) velocidad a los 45;b) tiempo de cada; c) altura a que seencuentra el cuerpo a los 3 s Yd) veloci-dad al llegar al suelo.

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18. Se deja caer un cuerpo y llega al suelo en4 s. Calcula: a) altura desde la cual cae elcuerpo y b) velocidad a los 2 s de movi-miento; c) construye las grficas x = x(t) yv = v(t)

19. Un muchacho deja caer metras, en inter-valos regulares de tiempo, desde unaaltura de 7,64 m. La primera llega al suelocuando la sexta inicia su cada. Deter-mina la altura de la cuarta metra en esemomento.R: 6,41 m

20. Se lanza un cuerpo hacia abajo con unavelocidad de 5 mIs, calcular desde quealtura se lanz si tard 5 s en llegar 81suelo. Cunto tiempo le falta para llegaral suelo en el momento en que la veloci-dad es de 24,6 mIs?

21. Se lanza verticalmente hacia arriba .uncuerpo con una velocidad de 49 mIs. Cal-cula: a) tiempo mximo; b) altura mxima;c) a los 7 s de movimiento, cul es lavelocidad y la altura que tiene elcuerpo?R: a) 5 sb) 122,5 m

e) 19,6 mIs y 102,9 m

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4 Dinmica. Leyes de Newton. Peso de los cuerpos. Ley de la gra-vitacin universal. Masa inercial y gravitatoria. Impulso.DINAMICA

Dinmica.En los captulos anteriores hemos visto elmovimiento sin atender a las causas que lo

producan y sin importarnos la masa de loscuerpos. La parte de la Fsica que se encargaba de dicho estudio la llambamos cinemtica. En este captulo discutiremos el movimiento y las causas que lo producen, estaparte de la Fsica la denominamos dinmica.La dinmica es la parte de la Fsica queestudia la dependencia entre el movi-miento y las causas que lo producen.Por experiencia sabemos que un autom

vil, una bicicleta o un cuerpo cualquiera no iniciarn jams un movimiento por s solos. Lanica manera de que comenzaran a moversees de que se vieran afectados por causasexternas, producidas por otros cuerpos quemodificaran su estado de reposo.

Analicemos el siguiente ejemplo. Si lanzamos una bola de billar perfectamente esfrica sobre una superficie horizontal y lisavemos que la velocidad de la bola va disminuyendo lentamente. Ahora bien, si lanzamos lamisma bola en una pista de hielo observaremos que la velocidad va disminuyendo mslentamente y que la distancia recorrida esmucho mayor. Esto nos lleva a pensar que silograramos lanzar la bola sobre una superficieque no causara ningn efecto sobre ella, semovera indefinidamente con velocidad constante.

Concluyamos que toda causa capaz demodificar el estado de reposo o de movi-miento uniforme de un cuerpo recibe elnombre de fuerza.51

Si tenemos un resorte y lo halamos producimos en l una elongacin, si apretamos untrozo de plastilina con nuestra mano cambiamos su forma, en ambos casos hemos aplicado fuerzas sobre los cuerpos y podemosconcluir que las fuerzas producendeforma-ciones en los cue