47199052-algebra

8/7/2019 47199052-algebra

1/124

Contents

Chapter 1. Spatiul vectorilor liberi 31. Vectori liberi 32. Operatii cu vectori liberi 53. Coliniaritate si coplanaritate 84. Produse cu vectori liberi 155. Probleme 22

Chapter 2. Spatii vectoriale 271. Denitia unui spatiu vectorial. Exemple 272. Subspatii vectoriale. Operatii cu subspatii vectoriale 283. Combinatii liniare. Sisteme de generatori. Dependenta si independenta

liniara 314. Baza. Dimensiune 335. Dimensiunea unui subspatiu vectorial 366. Rangul unui sistem de vectori si rangul matricei sale. Sisteme de ecuatii

liniare 377. Matricea de trecere de la o baza la alta. Schimbarea coordonatelor unui

vector la schimbarea bazei 42

8. Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebriceliniare 449. Probleme 49

Chapter 3. Aplicatii liniare 531. Aplicatii liniare. Izomorsme de spatii

vectoriale 532. Nucleu si imagine 553. Matricea asociata unei aplicatii liniare 584. Matrice si aplicatii liniare 605. Transformarea matricei unei aplicatii liniare la schimbarea bazelor 626. Probleme 64

Chapter 4. Valori si vectori proprii. Forma canonica a unui endomorsm 671. Valori si vectori proprii ai unui

endomorsm 672. Polinom caracteristic. Polinoame de matrice si de endomorsm.

Teorema Hamilton-Cayley 703. Diagonalizarea matricelor 724. Forma canonica Jordan 765. Probleme 80

1

8/7/2019 47199052-algebra

2/124

2 CONTENTS

Chapter 5. Spatii euclidiene. Endomorsme pe spatii euclidiene 831. Spatii euclidiene 832. Ortogonalitate. Baze ortonormate 863. Complementul ortogonal al unui subspatiu 904. Transformari liniare autoadjuncte 915. Transformari liniare ortogonale 936. Probleme 95

Chapter 6. Forme biliniare. Forme patratice 991. Forme biliniare. Matrice asociata. Rangul unei forme biliniare 992. Forme patratice. Reducerea la forma canonica 1013. Legea de inertie a formelor patratice 1094. Reducerea simultana la forma canonica a doua forme patratice 1105. Probleme 112

Chapter 7. Elemente de calcul tensorial 115

1. Dualul unui spatiu vectorial 1152. Aplicatii multiliniare. Forme multiliniare 1183. Tensori. Coordonatele unui tensor ntr-o baza 1194. Operatii cu tensori 1205. Transformarea coecientilor unui tensor la schimbarea bazei 1226. Probleme 124

8/7/2019 47199052-algebra

3/124

CHAPTER 1

Spatiul vectorilor liberi

Calculul vectorial este o creatie matematica, care si aa originea n zica(mecani-ca). n acest capitol prezentam operatiile cu vectori care constituie algebra vec-toriala. Vectorii sunt entitati matematice introduse pentru a reprezenta marimimecanice ca: forta, viteza, acceleratia etc.

1. Vectori liberi

Fie S spatiul geometriei elementare denit cu axiomele lui Euclid (numit sispatiul zic sau spatiul intuitiv). Spatiul S este tocmai spatiul n care traim sieste conceput ca o multime de puncte. Dreptele, planele sunt submultimi ale luiS. Punctul, dreapta, planul si spatiul Ssunt notiuni primare legate prin anumiteaxiome, cunoscute din geometria elementara.

n geometrie, vectorii sunt segmente orientate, iar n zica acele marimi repre-zentabile geometric prin segmente orientate. Astfel forta aplicata ntr-un punct alunui sistem material este un vector legat.

DEFINITIE. O pereche ordonata de puncte 2 S Sse numeste segmentorientat sau vector legat si se noteaza

!A

(g. 1.1). Punctul A se numeste origine,iar punctul B extremitate. Daca A 6 , dreapta determinata de punctele A si Bse numeste dreapta suport a vectorului

!A . Vectorul legat !AA se numeste vectorlegat nul, dreapta sa suport ind nedeterminata.

Vectorii legati!A si !A se numesc opusi si sunt distincti daca A 6 .

DEFINITIE. Doi vectori legati nenuli!A si !C au aceeasi directiedaca dreptele

lor suport sunt paralele sau coincid.

Un vector legat nenul!A determina unic dreapta AB si un sens de parcurs pe

aceasta dreapta: sensul de la A la B.

Fig. 1.1

3

8/7/2019 47199052-algebra

4/124

4 1. SPA TIUL VECTORILOR LIBERI

DEFINITIE. Fie punctele necoliniare A; B; C; D . Vectorii legati nenuli!A si!C au aceeasi orientare (acelasi sens) daca au aceeasi directie si daca punctele

B si D se aa de aceeasi parte a dreptei determinata de A si C (g. 1.2). DacaA; B; C; D sunt coliniare, consideram punctele E;F =2 A astfel nct !A si !F auacelasi sens. Spunem ca

!A si !C au acelasi sens daca !C si !F au acelasi sens.Doi vectori legati care au aceeasi directie, dar nu au aceeasi orientare, se spune caau orientari opuse (sensuri opuse).

Fig. 1.2 Fig. 1.3

DEFINITIE. Se numeste norma (lungimea sau modulul) unui vector legat!A ,

distanta dintre punctele A si B (relativ la o unitate de masura xata) si se noteazak!AB k. Evident lungimea vectorului legat nul este egala cu zero.

OBSERVATIE. Vectorii legati!A si !C sunt egali daca si numai daca A C

si B

D.

DEFINITIE. Doi vectori legati nenuli !A si !C se numesc echipolenti (vomnota

!AB !C ) daca au acelasi sens si aceeasi lungime (g.1.3). Vom admite catoti vectorii legati nuli sunt echipolenti.

Este clar ca:a)

!AB !C D () !AC !b)

!AB !C D () AC este paralelogram;c)

!AB !C D () si au acelasi mijloc.EXEMPLU. n patrulaterul ABCD, e I, J, K, L, M, N mijloacele segmentelor, , , , , respectiv . Deoarece IJ si LK sunt linii

mijlocii n triunghiurile ABC respectiv ACD , rezulta ca IJ kLK si k!J k k!LK k

k!AC k. Cum J si K se aa n acelasi semiplan, ! si !LK au acelasi sens. nconsecinta

!J !LK . Similar se arata ca !L ! si !LM !.Relatia de echipolenta n multimea vectorilor legati are aceleasi proprietati ca

si relatia de egalitate a numerelor si anume:1)

!AB !A ; (reexivitate)2)

!AB !C D ) !C D !A ; (simetrie)3)

!AB !C si !C D !F ) !AB !F . (tranzitivitate)

8/7/2019 47199052-algebra

5/124

2. OPERA TII CU VECTORI LIBERI 5

Aceste proprietati rezulta din denitia echipolentei. De exemplu, 3) este con-secinta a tranzitivitatii paralelismului si a egalitatii numerelor reale.

Fiind dat un vector legat, exista o innitate de vectori legati echipolenti cuacesta.

DEFINITIE. Se numeste vector liber multimea tuturor vectorilor legati echipolenticu un vector legat dat.

Vom nota vectorii liberi cu litere latine mici cu sageata: !a !Fie

!A un vector legat. Consideram vectorul liber !a =f!C !C D !AB g.Orice vector legat din !a se numeste reprezentant al vectorului liber !a . Normal ar sa scriem

!AB 2 !a , nsa cum se obisnuieste (prin abuz) vom scrie !A !a .Vectorul liber determinat de toti vectorii legati nuli l vom nota cu

!si se va

numi vectorul nul.

Vom nota cuV

3 multimea vectorilor liberi din spatiulS

.

DEFINITIE. Fie !a 2 V3. Prin directie, sens si lungime ale vectorului liber !avom ntelege directia, sensul respectiv lungimea comune tuturor vectorilor legatidin !a .

Pentru orice vector liber !a 2 V3 vom nota cu k!a k norma sau lungimea lui !a ,care coincide deci cu norma oricarui reprezentant al sau. Daca !a !A , atuncivectorul liber determinat de

!A l vom nota cu !a , deci !A !a .DEFINITIE. Doi vectori liberi !a si ! sunt egali si vom scrie !a ! daca

reprezentantii lor sunt echipolenti sau, echivalent, daca au acelasi sens si aceeasilungime.

DEFINITIE. Un vector liber cu lungimea unu se numeste versor.

DEFINITIE. Doi sau mai multi vectori liberi nenuli care au aceeasi directie senumesc vectori coliniari. Trei sau mai multi vectori liberi nenuli care au reprezen-tantii paraleli cu acelasi plan se numesc vectori coplanari.Vectorul nul

!avnd

directia nedeterminata, se considera coliniar cu orice vector liber.Vectorul nul!

este coplanar cu orice doi vectori liberi nenuli.

OBSERVATIE. Fie O 2 Sun punct xat, numit origine. Pentru orice !a 2 V3exista un singur punct M astfel nct

! !a . n acest fel se stabileste o bijectientre V3 si spatiul zic Sn care am xat originea O.

2. Operatii cu vectori liberi

Fie, deci, V3 multimea tuturor vectorilor liberi din S3. Multimea V3 se poate

organiza ca un grup aditiv comutativ, denind adunarea prin regula triunghiuluisau a paralelogramului.

DEFINITIE. Fie !a !b 2 V3 si !A 2 !a !AB 2!

. Vectorul liber ! dereprezentant

!(g. 2.1) se numeste vectorul suma al vectorilor !a si ! si se

noteaza ! !a ! sau n reprezentanti ! !A !A .Este evident ca vectorii !a ! ! !a ! sunt coplanari. Regula cuprinsa n

aceasta denitie se numeste regula triunghiului.

8/7/2019 47199052-algebra

6/124


Fig. 2.1

OBSERVATII. 1) Vectorul liber suma ! !a ! nu depinde de alegereapunctului O, deci denitia este corecta. Asadar daca

!C D 2 !aC 6 si !E 2!, atunci

!C este echipolent cu !.2) Daca

!A 2 !a si !B 2 !, atunci vectorul liber ! !C , unde OC estediagonala paralelogramului OACB , este, evident, vectorul suma

! !a!

(g.2.2), iar regula respectiva se numeste regula paralelogramului. Aceasta regula sepoate aplica numai daca vectorii !a si ! nu sunt coliniari. Mentionam ca cele douareguli pot extinse la suma unui numar oarecare de vectori liberi.

Fig. 2.2

3) Experienta arata ca actiunea a doua forte n acelasi punct poate nlocuitacu actiunea unei singure forte reprezentata de diagonala paralelogramului constituitcu cele doua forte (vectori). Asadar, regula paralelogramului si are originea nmecanica, compunerea fortelor facndu-se dupa aceasta regula:

!C este rezultantafortelor

!A si !.PROPOZITIA 2.1. V3; este un grup comutativ.Mai precis au loc:

1) !a ! ! !a; 8!a !b 2 V3; (comutativitate)2) !a ! ! !a ! ! !a ! !c 2 V3; (asociativitate)3) 9! 2 V3 astfel nct !a ! !a; 8!a 2 V3;4) 8!a 2 V3 9 !a 2 V3 astfel nct !a !a !

Demonstratie. Comutativitatea este asigurata de regula paralelogramului. Sajusticam acum asociativitatea. Fie !a ! !c 2 V3, cu !A 2 !a !AB 2 !!C 2 !(g. 2.3). Atunci !a ! ! are ca reprezentant pe !C ! !C ,unde

!B 2 !a !, iar vectorul !a ! ! are ca reprezentant pe !C!A !AC , unde !AC 2 ! !. Deci !a ! ! !a ! ! , deoareceau acelasi reprezentant

!C . Elementul neutru este vectorul nul !. Pentru orice!a 2 V3, vectorul !a este simetricul (opusul) vectorului !a .

8/7/2019 47199052-algebra

7/124

2. OPERA TII CU VECTORI LIBERI 7

Fig. 2.3

OBSERVATIE. Existenta opusului unui vector permite denirea scaderii a doivectori liberi !a ! prin !a ! !a ! .

n continuare, vom introduce o lege de compozitie externa: R V3 ! V3numita nmultirea unui vector liber cu un numar real (scalar) astfel:

DEFINITIE. Fie 2 R si !a 2 V3. Prin vectorul liber !a ntelegem un vectorliber determinat astfel:

a) k!a k jj k!a k;b) daca

!a 6si > atunci

!asi

!aau acelasi sens, iar daca < au

sensuri opuse; cnd sau !a !, atunci !a !.

PROPOZITIA 2.2. n V3, nmultirea cu scalari a vectorilor liberi are urma-toarele proprietati:

5) !a !a; 8!a 2 V3;6) !a !a; 8 2 R; 8!a 2 V3;7) !a !a !a; 8 2 R; 8!a 2 V3;8) !a ! !a !; 8 2 R; 8!a !b 2 V3.

Demonstratie. Propunem 5) si 6) ca exercitiu. 7) Asadar, e ;

2R si

!a 2 V3. Vom arata ca !a !a !a . Distingem mai multe cazuri.a) Daca > , atunci vectorii !a si !a !a au acelasi sens cu!a daca ; > si sens contrar lui !a daca ; < . Totodata j j j j j j.

Atunci k !a !a k k !a k k !a k j j k!a k j j k!a k j j j j k!a kj j k!a k k !a k.

b) Daca > si , atunci !a !a !a !a!a !a !a !a , conform a).Similar se trateaza celelalte cazuri.

8/7/2019 47199052-algebra

8/124


Fig. 2.4

8) Fie > si!A; ! !C ! reprezentanti ai vectorilor !a ! !a !

!a ! (g. 2.4). Daca ED k O , E 2 OA si F D k OA , F 2 O , din teorema

fundamentala a asemanarii rezulta k!E k k!A k . Similar k!F k k!B k. nconsecinta ! !A; !F !. Din ! ! !F rezulta 8). Daca daca M 2 AB .

PROPOZITIA 3.7. Daca A;B2 S A 6 si punctul M 2 A mparten raportul , atunci

!M

!A !B

Demonstratie. Deoarece !A ! !A ! ! si ! !B !,rezulta !A ! !, adica tocmai relatia din enunt. COROLAR 3.7.1. Daca M mparte segmentul n raportul si

A A; y A; A B ; y B ; B , atunci

x A x B A y B A z B

n particular, daca M este mijlocul lui , atunci si deci

x A B A B A B

PROBLEME REZOLVATE 1) Fie G centrul de greutate al unui triunghi ABC

si O un punct oarecare din spatiu. Sa se arate ca ! !A ! !C .Solutie. Daca AD este mediana,

!B !C , deci ! ! !C .De asemenea din

!A ! obtinem ! !A ! de unde rezultaarmatia.

2) Fie n puncte materiale M1, M2, :::, Mn, de mase m1, m2, :::, mn, respectiv.Sa se arate ca exista un punct G unic determinat astfel nct

(3.3) m1! 1 2! 2 n! n !

Daca M este un punct oarecare, atunci

(3.4) m1! 1 2! 2 n! n 1 2 n !

Solutie. Punctul G, daca exista, este unic. ntr-adevar, daca G1 ar un altpunct ce satisface

m1!

1 1 2!

1 2 n!

1 n!

atunci, scaznd din (3.3) si tinnd seama ca!

1 i ! i !1 , i n ,rezulta ca 1 2 n

!1

!. Cum m1 2 n 6 , obtinem

ca G1 .

8/7/2019 47199052-algebra

13/124

3. COLINIARITATE SI COPLANARITATE 13

n ceea ce priveste existenta punctului G, e O un punct xat. Cum! i!

i !, i n , rezulta ca

OG1 2 n

1!

1 2!

2 n!

n

Punctul O ind x, iar punctele M i si numerele reale mi; i n ind date,rezulta ca punctul G este bine determinat prin relatia de mai sus. Relatia (3.4) seobtine folosind faptul ca

!i

! ! i, i n , si (3.3).DEFINITIE. Punctul G dat de relatia (3.3) se numeste baricentrul (centrul de

greutate) sistemului de puncte 1, M 2, :::, Mn relativ la sistemul de ponderi 1,m2, :::, mn . Daca m1 2 n 6 , se spune ca sistemul de puncte esteomogen, iar punctul G se numeste izobaricentrul sistemului de puncte.

Sa remarcam ca:a) punctul G ramne acelasi cnd ponderile se nmultesc cu un acelasi numar

real nenul;b) baricentrul nu depinde de ordinea punctelor M i;c) baricentrul nu se schimba daca se nlocuiesc r puncte (r < n ) prin baricentrul

lor avnd ca pondere suma nenula a ponderilor acestor puncte;d) daca

! !j ; !k este un reper cartezian ortogonal n spatiu siMi i; y i; i , i n , G G; y G; G , atunci

xG

nPi=1

ix i

nPi=1

i

; y G

nPi=1

iy i

nPi=1

i

; G

nPi=1

i i

nPi=1

i

:

Daca sistemul de puncte este omogen, atunci xGn

Pi=1 i, yGn

Pi=1 i,zGnP

i=1i. Pentru n obtinem mijlocul segmentului 1 2 , iar pentru n

este centrul de greutate al triunghiului M1 2 3.

Fie!A un vector legat si d S o dreapta. Prin A si B ducem planele P1

respectiv P2, perpendiculare pe d. Notam C \ P1; \ P2.

DEFINITIE. Vectorul legat!C construit mai sus se numeste proiectia ortogo-

nala a vectorului legat!A pe dreapta d.

Daca AB ? d , atunci !C !.

Daca !F !A si ! este proiectia ortogonala a lui !F pe dreapta d, atuncieste evident ca

!H !C . Putem, deci, deni proiectia ortogonala a unui vectorliber!a 2 V3 pe o dreapta ca ind proiectia ortogonala a unui reprezentant oarecareal vectorului. Daca d0kd atunci proiectiile ortogonale ale unui vector legat !A pe d0respectiv d sunt vectori legati echipolenti. Putem vorbi deci de proiectia ortogonalaa unui vector liber !a pe un alt vector liber nenul !, pe care o notam !

b!a (este

un vector liber!).

8/7/2019 47199052-algebra

14/124


DEFINITIE. Fie !a !b 2 V3nf!g si !A 2 !a !B 2 !. Numarul real ' 2ce reprezinta unghiul dintre dreptele suport ale vectorilor

!A si ! se numesteunghiul dintre vectorii !a si !.

Evident, denitia nu depinde de alegerea punctului O.

DEFINITIE. Daca unghiul ' , atunci vectorii !a si ! se numesc vectoriortogonali.

Prin conventie, se accepta ca vectorul nul!

este ortogonal pe orice vector.Daca ! este un versor al vectorului !

b!a , atunci exista 2 R astfel nct

!b!a !. Este clar ca daca unghiul dintre !a si ! este ' , atunci

k!a k si ca > , daca ' 2 , < daca ' 2 si daca ' .

DEFINITIE. Fie !a !b 2 V3nf!g, 2 unghiul dintre ei. Numarul real

k!a k, notat pr!

b !ase numeste marimea algebrica a proiectiei ortogonale a

vectorului !a pe vectorul !. Deci pr!b!a k!a k (g.3.4).

Fig. 3.4

OA0 k!a k !b!a

PROPOZITIA 3.8. Marimea algebrica a proiectiei ortogonale are urmatoareleproprietati:1) pr!c

!a ! !c !a !c!; 8!a ! !c 2 V3nf!g.

2) pr!b

!a !b!a; 8 2 R; !a !b 2 V3nf!g.

Demonstratia nu prezinta dicultati.Vom justica, de exemplu, 1).Fie

!A 2 !a !AB 2 ! si !B 2 !a ! (g. 3.5). Atuncipr!c

!a 0 0 ; !c! 0 0

; !c!a ! 0 0

Armatia rezulta deoarece O0 0 0 0 0 0.

Fig. 3.5

8/7/2019 47199052-algebra

15/124

8/7/2019 47199052-algebra

16/124


Analog se obtine ultima egalitate.3) Se observa ca !a !b k!b k pr !

b!a k!a k pr !a

!. Atunci:

!a ! !c k!a k pr!a ! !c k!a k !a ! !a ! !a !!a ! (propozitia 3.5).4) !a !a k!a k2 k!a k2 8!a 2 V3nf!g !a !a ()

k!a k () !a !.5) Daca !a si !b 2 V3nf!g sunt ortogonali, atunci ' , deci !a ! .

Reciproc, daca !a ! , atunci sau k!a k !a ! , sau ! sau ,deci ' 2 , adica !a si ! sunt ortogonali.

6) Folosind 5) rezulta!i !j !j !k !k ! . n plus, !i !

k!i k2 !j !j !k !k . Expresia analitica se obtine atunci folosind1),2),3).

7) Tinem seama de cele de mai sus si de !a

!= k

!a k k

!b k

.

8) Folosim (6).

PROBLEME REZOLVATE. 1) Fie !a !u ! !b ! !; k!u kk!v k p ind unghiul dintre ! si ! Sa se calculeze:

a) !a !;b) lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe vectorii !a si ! si

unghiul dintre ele.Solutie. a) Cum !u ! , rezulta ca !a !b . b) Diagonalele parale-

logramului sunt!

1!a ! !2 !a

!, deci

!1 !

!2

!u ! Atuncik!1k k!v k

p k!2k2 !u ! !u ! n consecinta k!2kp

.

cos !

1!

2

k!1k k!2k p.

2) Fie A;B; C; D patru puncte n spatiu. Sa se demonstreze egalitatea lui Euler:

!AB !C !C !A !AC !

Solutie. Daca O este un punct din spatiu, egalitatea rezulta folosind!A!B

!A etc.Din aceasta egalitate obtinem:a) n triunghiul AB C, e H punctul de intersectie a doua naltimi, e ele AH

si BH . Aplicnd egalitatea lui Euler punctelor A; B; C; H , rezulta ca si CH estenaltime. Astfel se demonstreaza vectorial concurenta naltimilor ntr-un triunghi.

b) Daca ntr-un tetraedru exista doua perechi de muchii opuse perpendiculare,atunci si cea de a treia pereche de muchii opuse este formata din muchii perpen-diculare.

3) Se dau punctele A , B , C . Sa se calculeze perimetrul,aria triunghiului ABC si lungimea naltimii din B.

Solutie. Cum k!AB k p , k!AC k p , k!C k p , perimetrul este pp p. Dar 2 k!AB k2k!AC k2 2 k!AB k2k!AC k2 k!AB k2k!AC k2

8/7/2019 47199052-algebra

17/124

4. PRODUSE CU VECTORI LIBERI 17

2 , deci Sq

k!AB k2k!AC k2 !AB !AC 2. Calculnd obtinem Sp

,

hb k!AC k

pp .

4.2. Produsul vectorial a doi vectori liberi. Fie !a !b 2 V3 si 2unghiul dintre !a si ! daca !a !b 2 V3nf!g.

DEFINITIE. Se numeste produs vectorial al vectorilor !a si ! si se noteaza!a !, vectorul:

!a !(

k!a k k!b k ! , daca !a si ! sunt necoliniari!, daca !a si ! sunt coliniari ;

unde ! este un versor perpendicular pe planul determinat de reprezentantii lui !asi

!avnd aceeasi origine si orientat dupa regula burghiului si anume n sensul

de naintare a unui burghiu cnd !a se roteste catre ! printr-un unghi minim (g.4.1).

Fig. 4.1

OBSERVATIE. Efectul de rotire pe care l produce o forta!F se masoara prin

momentul fortei. Daca O este un punct xat si P punctul de aplicatie al fortei!F,

momentul este prin denitie vectorul!P !F. Punctul O se mai numeste si polul

momentului.

PROPOZITIA 4.2. Produsul vectorial are proprietatile:

1) !a !b !b !a 8!a !b 2 V3 (anticomutativitate)2) !a ! !a ! !a !; 8 2 R; !a !b 2 V33) !a !b ! !a ! !b !, 8!a ! !c 2 V3;

(distributivitate fata de adunarea vectorilor)4) !a !a ! 8!a 2 V35) k!a !b k2 k!a k2 k!b k2 !a ! 2; 8!a !b 2 V3

(identitatea lui Lagrange)

8/7/2019 47199052-algebra

18/124


6) Daca !a 1! 2!j 3!k , ! 1! 2!j 3!k , atunci!a

!2 3

a3 2

!3 1

a1 3

!j

1 2

a2 1

!

k! !j !ka1 a 2 a 3

1 2 3

(expresia analitica a produsului vectorial)

7) k!a !b k este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentantilorlui !a si ! avnd aceeasi origine. Aria unui triunghi ABC este data de

AABC k!AB !AC kDemonstratie.1) Daca !a !b 2 V3nf!g, atunci:

!b !a k!b kk!a k ' !e k!a kk!b k !e !a !2) Daca > si !a !b 2 V3nf!g, atunci ^ !a ! ^ !a ! , deci:

!a !b k!a kk!b k !e k!a kk!b k ! !a !

Celelalte cazuri se trateaza analog.3) Fie

!A 2 a !B 2 ! !C 2 ! !D 2 ! !a ! (g. 4.2) si un planperpendicular pe OC n O. Fie A0 ; 0 ; 0 proiectiile ortogonale ale punctelor A;B respectiv D pe planul . Evident OA0 0 0 este un paralelogram. Fie

!A 00!A 0 !C !00 !0 !C !00 !0 !C . Daca ' este unghiul dintre !A si!C , atunci k!A 0k k!A k si cum unghiul dintre !A 0 si !C este 0, rezultaca

!A

!C

!A

0

!C

. Similar obtinem!B

!C

!0

!C

!D

!C!0 !C . Dar k!A 00k k!A 0k k!C k; !A 00?!C !A 00?!A 0. Rezulta ca !A 00

se obtine rotind vectorul!A 0 n planul cu un unghi de 0. Analog se obtin!

00,!

00. Asadar OA00 00 00 se obtine rotind paralelogramul OA0 0 0 cu 0,deci este un paralelogram. n concluzie

!00

!A 00 !00 sau, folosind relatiileanterioare,

!D !C !A !C !B !C , adica !a !b ! !a ! !b !.

Fig. 4.2

8/7/2019 47199052-algebra

19/124


4) Folosim denitia.5) Deoarece 2 2 , rezulta

k!a !b k2 k!a k2k!b k2 k!a k2k!b k2 2 k!a k2k!b k2 !a ! 26) Se tine seama ca

!i !j !k !j ! !j !k !i !k !j ;!k ! !j !i !k si !i ! !j !j !k !k !. Determinantul se vadezvolta dupa elementele primei linii.

7) Daca!A !a ! !, atunci aria paralelogramului este

k!A k k!B k k!a k k!b k k!a !b k. (g. 4.3)

Fig. 4.3

OBSERVATIE. Din proprietatea 3 rezulta ca daca ntr-un punct P sunt aplicatemai multe forte, atunci momentul rezultantei este egal cu suma momentelor fortelor(Varignon).

PROBLEME REZOLVATE. 1) Sa se calculeze aria paralelogramului construitpe vectorii !1 !a

!, !2 !a

!, stiind ca k!a k

p, k!b k si

^!a ! .

Solutie. k!a !b k k!a kk!b k , !1 !2!b !a . Aria paralelo-

gramului este k!1 !2k k!b !a k .

2) Fie A , B , C . Sa se calculeze aria triunghiuluiABC.Solutie.

!A !i !j !k , !AC ! !j !k , !AB !AC !!j !k . AtunciA4ABC k!AB !AC k

p

4.3. Produsul mixt a trei vectori liberi. DEFINITIE. Se numeste produsmixt al vectorilor !a ! !c 2 V3, numarul real, notat !a

! ! , care este egal cuprodusul scalar al vectorilor !a si !b !:

!a ! ! !a !b !PROPOZITIA 4.3. Produsul mixt are urmatoarele proprietati:

1) Daca!a 1! 2!j 3!k ! 1! 2!j 3!k ! 1! 2!j 3!k atunci

(4.1) !a ! !a1 a 2 a 3

1 2 3

1 2 3

:(expresia analitica a produsului mixt a trei vectori liberi);

8/7/2019 47199052-algebra

20/124


2) !a ! ! ! ! !a ! !a ! !a ! !c !a ! ! ;3) !a ! ! daca si numai daca !a ! ! sunt coplanari;4) !a ! ! este volumul paralelipipedului oblic construit pe suporturile reprezen-

tantilor vectorilor !a ! ! considerati cu origine comuna;5) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! .

Demonstratie. 1) Se folosesc expresiile analitice ale produsului scalar si aleprodusului vectorial.

2) Se utilizeaza proprietatile determinantilor.3) Produsul mixt este nul daca si numai daca o linie a determinantului din (4.1)

este combinatie liniara de celelalte doua, ceea ce este echivalent cu faptul ca unuldintre vectori este combinatie liniara a celorlalti doi, adica sunt coplanari.

4) Daca

!A 2 !a !B 2 ! !C 2 ! !D 2 !b !' ^ !a !b !atunci considernd ca baza paralelogramul OBCM (g. 4.4) si cum OA0 estenaltimea paralelipipedului relativ la aceasta baza, rezulta:

V k!b !c k OA 0 k!b !c kk!a k j j !a ! ! :

5) Se folosesc proprietatile determinantilor.

Fig. 4.4

PROBLEME REZOLVATE. 1) Sa se determine volumul paralelipipedului con-struit pe vectorii !a ! !, ! !u ! !, ! ! !v !, stiind cak!u k p , k!v k p , k!w k , ^ ! ! , iar unghiul dintre vectorul ! si

planul determinat de vectorii ! si ! este .Solutie. !a ! ! ! ! ! ! ! ! !u !v !w k!u k

k!v !w k , deoarece k!v !w k k!v kk!w k . Atunci volumuleste V .

2) Sa se determine volumul V si naltimea h din D ale tetraedrului ABC D ,daca A , B , C , D .

8/7/2019 47199052-algebra

21/124


Solutie.!AB ! !j !k , !AC ! !j !k , !A !j !k ,

!A !AC !A , !AB !AC !i !j !k . V !A !AC !A

.Aria 4AC este

p, deci h p .

4.4. Dublul produs vectorial. DEFINITIE. Daca !a ! !c 2 V3, vectorul!a !b ! se numeste dublul produs vectorial al vectorilor !a ! !.

PROPOZITIA 4.4. Dublul produs vectorial! !a !b ! este un vector

coplanar cu vectorii!

si ! si!

! !!a ! !a !

Demonstratie. Din denitie !d ?!a !d ?!b !. Dar si !b ?!b ! !c ? !b !,

deci!

este coplanar cu!

si !. Egalitatea din enunt se demonstreaza folosindexpresiile analitice ale produsului vectorial si ale produsului scalar.

OBSERVATIE. Deoarece produsul vectorial nu este asociativ, este obligatoriee-xistenta parantezelor n expresia dublului produs vectorial. Spre exemplu, daca!a ! !j ; ! !j !k ! !k ! atunci !a !b !c ! !j ; iar!a !b !c ! !k

PROPOZITIA 4.5. Daca !a ! ! !d 2 V3, atunci

!a

!b

!c

!

!a ! !a !

!b ! !b ! :Demonstratie. Fie ! !c !. Folosind proprietatile produsului mixt si

produsului scalar, rezulta:

!a !b ! !v !a ! !c !d !a ! !a ! !d !a ! !c ! !a ! !b !d !a ! !b !

DEFINITIE. Daca !a ! !c 2 V3, numarul real:

!a !a !a ! !a !!b !a !b ! !b !

!c !a !c ! !c !

se numeste determinantul Gram al celor trei vectori.

PROPOZITIA 4.6. Vectorii !a ! ! sunt coplanari daca si numai daca deter-minantul lor Gram este nul.

Demonstratie. Folosind expresiile analitice ale vectorilor !a ! ! se arata cadeterminantul Gram este egal cu !a ! ! 2.

8/7/2019 47199052-algebra

22/124


5. Probleme

1. Fie ABC un triunghi si M un punct variabil. Sa se arate ca vectorul

!A !B !C este constant.2. Daca O este punctul de intersectie al diagonalelor paralelogramului ABC D ,

iar M un punct oarecare, atunci!A ! !C ! !.

3. Fie AB si CD doua coarde perpendiculare n cercul de centru O si I punctullor de intersectie. Sa se arate ca

!A ! !C ! !.4. Sa se arate ca G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, daca si

numai daca!A ! !C !. n plus, daca M; N; P sunt mijloacele laturilor

triunghiului ABC , atunci triunghiurile M NP si ABC au acelasi centru de greutate.

5. Fie Ai, i mijloacele laturilor unui hexagon convex. Sa se arate ca:a) se poate construi un triunghi cu segmentele 1 2 , 3 4 , 5 6 ;

b) triunghiurile A1 3 5 si A2 4 6 au acelasi centru de greutate.

6. Punctul C se aa pe segmentul la de B . Daca M este un punct

oarecare, sa se exprime!C n functie de !a !A si ! !.

7. Daca punctele A1, B1, C1 mpart segmentele , , respectiv nacelasi raport , sa se arate ca segmentele 1 , 1 , 1 pot laturile unuitriunghi.

8. Daca AD este bisectoarea unghiului A a triunghiului ABC, D 2 , iarb, c sunt lungimile laturilor si atunci!D

!B

!C

b.

9. Daca a; b; c sunt lungimile laturilor , , respectiv ale unuitriunghi ABC, iar I centrul cercului nscris n triunghiul ABC, atunci are loc

a!A !B !C !I:10. Sa se demonstreze ca cele trei drepte care unesc mijloacele muchiilor opuse

ale unui tetraedru si cele patru drepte care unesc ecare vrf cu centrul de greutateal fetei opuse sunt concurente.

11. Fie A si B doua puncte distincte. Determinati multimea punctelor Mpentru care exista t 2 R astfel nct !M !A !B. Caz particular t 2 .

12. Punctele C1, A1, B1 mpart laturile , respectiv n rapoartele , , respectiv . Punctele A1, B1, C1 sunt coliniare daca si numai daca (teorema lui Menelaus).

13. Se dau punctele A , B , C . Sa se determine unpunct D astfel nct ABCD sa e paralelogram.

14. a) Sa se arate ca punctele A , B , C suntcoliniare;

b) Pentru ce valoare a lui punctele A, B si D sunt coli-niare?

c) Punctele A, B si E pot coliniare?

8/7/2019 47199052-algebra

23/124

5. PROBLEME 23

15. Sa se determine astfel nct vectorii !a ! !j !k , ! ! !j !k , ! !i !j !k sa e coplanari. Pentru

sa se descompuna vectorul !a dupa directiile lui ! si !.16. Fie !, !n , !ptrei vectori necoplanari.a) Sunt coplanari vectorii ! ! !n !p, ! ! !n !p, !! !n !p?b) Sa se descompuna vectorul !a ! !n !pdupa directiile vectorilor!, !, !.17. Fie !a , ! vectori nenuli. Sa se arate ca vectorii !a ! si !a ! sunt

ortogonali daca si numai daca k!a k k!b k.18. Sa se arate ca vectorii ! !a !b !c !a !c ! si !a sunt ortogonali.19. Daca ! si ! sunt doi versori ortogonali, atunci vectorii !a !u ! si

! ! ! sunt ortogonali.20. Sa se interpreteze geometric egalitatea k!a !b k2 k!a !b k2 k!a k2

k!b k2.21. Sa se arate ca k!a !b k2 k!a !b k2 k!a k2 k!b k2 . Interpretare

geometrica.

22. Daca G este baricentrul sistemului de puncte materiale 1; M 2; :; M nre-lativ la sistemul de ponderi 1; m 2; :; m n , iar M un punct arbitrar, sa se arate

canP

i=1ik!ik2 k!G k2

nPi=1

i

nPi=1

ik! ik2 (Stewart).

23. Sa se calculeze rezultanta fortelor!F1 ! !n !p, !F2 !m !n , daca

k!m k , k!pk , ] ! !p .24. Daca k!a k k!b k k!c k si !a ! ! !, sa se calculeze

!a! !! !a!.25. Fie vectorii ! si !n , unde k!m k , k!n k p , ] ! !n . Sa se

determine astfel ca vectorii !a !m !n si ! ! !n sa e ortogonali.26. Pentru ce valoare a lui , vectorii ! ! !j !k , !!i !j !k sunt ortogonali?27. Fie vectorii ! !a !, !v !a !, unde k!a k , k!b k ,

iar !a

si!

sunt ortogonali. Sa se calculeze lungimile diagonalelor paralelogramului

construit pe vectorii ! si ! si unghiul dintre ele.28. Se dau punctele A , B , C . Sa se calculeze

perime-trul si unghiurile triunghiului ABC:

29. Se dau punctele A , B , C . Sa se arate ca:a) triunghiul AOB este isoscel;b) triunghiul AOC este dreptunghic;c) sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

8/7/2019 47199052-algebra

24/124


30. Sa se determine un vector de norma situat n planul xOy, care sa eperpendicular pe vectorul !a ! !j !k .

31. Se considera vectorii !a ! !j !k , ! ! !j !k . Sa se calculezeunghiul dintre vectorii !a si !, precum si pr!a !b

!.

32. Sa se determine un versor al bisectoarei unghiului C al triunghiului ABC,unde A , B , C .

33. Sa se arate ca punctele A , B , C , D suntcoplanari. Sa se calculeze aria patrulaterului ABCD.

34. Sa se calculeze !a !b !b !a . Interpretare geometrica.35. Sa se arate ca n orice triunghi ABC are loc

!AB !C !C !C A!C A !A .36. Sa se calculeze aria si lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe

vectorii ! !a !, ! !a !, stiind ca k!a k , k!b k , ] !a ! .

37. Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii !a ! !j !k , ! !i !j !k . Sa se determine un versor perpendicular pe cei doi vectori.

38. Fie vectorii necoliniari ! si !. Pentru ce valoare a lui vectorii !a!u !, ! ! ! sunt coliniari?39. Se dau punctele A , B , C . Sa se calculeze aria

triunghiului AB C si lungimea naltimii din C pe AB .

40. Fie vectorii !a !i !j !k , ! ! !j !k . Sa se determine unvector ! astfel nct !v !a !.

41. Sa se determine volumul paralelipipedului construit pe vectorii !a , !, !,unde !a ! !n !p, ! ! !n !p, ! ! !n !p, unde k!m k ,k!n k p , k!pk p , ] !n !p , iar unghiul dintre vectorul ! si planuldeterminat de vectorii !n si !pare masura .

42. Sa se arate ca vectorii ! !a ! !, !n !a !b !, !p!a ! ! sunt coplanari.

43. Sa se arate ca vectorii !a ! !j !k , ! ! !j !k , ! !!j !k nu sunt coplanari. Sa se descompuna vectorul ! ! !j !kdupa directiile vectorilor !a , !, !.

44. Se dau vectorii !a ! !j !k , ! ! !j !k , ! !i !j !k .Se cere:a) volumul paralelipipedului construit pe vectorii !a , !, !;b) lungimea naltimii paralelipipedului pe baza determinata de !a si !.

45. Se dau punctele A , B , C , D . Sa se cal-culeze volumul tetraedrului ABCD si lungimea naltimii din B pe planul ACD aacestui tetraedru.

8/7/2019 47199052-algebra

25/124

5. PROBLEME 25

46. Sa se determine astfel nct volumul paralelipipedului construit pe vectorii!a !i !j !k , ! ! !j !k , ! ! !j sa e .

47. Sa se determine astfel nct vectorii !a ! !j !k , !b !j !k , ! ! !j !k sa e coplanari. Pentru sa se descompuna !adupa directiile vectorilor

!si !.

48. Sa se arate ca !a !b ! !b !c !a !c !a ! !.49. Sa se arate ca !a ! !b ! !c !a !a ! ! 2.

8/7/2019 47199052-algebra

26/124

8/7/2019 47199052-algebra

27/124

CHAPTER 2

Spatii vectoriale

Notiunea de spatiu vectorial este una din notiunile cele mai importante nmatematica si n aplicatiile acesteia n alte stiinte. n zica si n stiintele ingineresti,spatiile vectoriale constituie un aparat indispensabil pentru a reprezenta anumitemarimi: forte, viteze, starea unui sistem n mecanica cuantica etc.

1. Denitia unui spatiu vectorial. Exemple

n cele ce urmeaza vom nota cu K, e corpul numerelor complexe (C), e corpulnumerelor reale (R).

DEFINITIE. O multime nevida V se numeste spatiu vectorial (sau liniar) pestecorpul K daca este nzestrata cu doua legi de compozitie: una interna, notataaditiv, ! x (deci o aplicatie a produsului cartezian V V n V ) si unaexterna, notata multiplicativ ! (deci o aplicatie a produsului cartezianK V n V ), cu urmatoarele proprietati:

1) x 8xy 2 V;2) 8x z 2 V;3) exista un element V astfel nct x V 8x 2 V;4) pentru orice x 2 Vexista un element x 0 2 Vastfel nct x 0 V;

5) x 8x 2 V ;6) 8 2 K; 8x 2 V ;7) 8 2 K; 8x 2 V ;8) 8 2 K; 8x y 2 V.Adesea, n loc de spatiu vectorial peste corpul K vom spune, simplu, K -spatiu

vectorial. Cnd K R, V se numeste spatiu vectorial real, iar cnd K C, V senumeste spatiu vectorial complex.

Elementele lui V se numesc vectori, iar cele din K se numesc scalari. Vom nota,n general, vectorii cu litere latine, iar scalarii prin litere grecesti.

Proprietatile 1)-4) spun ca este grup comutativ. Vectorul V din 3) esteunic si se numeste vector nul al spatiului V. De asemenea, pentru orice x 2 V,elementul x

0

care intervine n 4) este unic, se numeste opusul lui x si se noteaza

x. Suma dintre vectorul x si opusul vectorului y se noteaza x

si se numeste

diferenta dintre x si y.

PROPOZITIA 1.1. (Reguli de calcul ntr-un spatiu vectorial).a) y ; 8x y 2 V ; 8 2 K ;b) V V ; 8 2 K ;c) ; 8x 2 V ; 8 2 K ;d) V ; 8x 2 V;e) x 8x 2 V ; 8 2 K ;

27

8/7/2019 47199052-algebra

28/124

28 2. SPA TII VECTORIALE

f) daca x 2 V si 2 K , atunci x V () sau x V.Demonstratie. a) y y b) n a) se ia x .c) . d) n c) se ia .e) x x x V V. x x V. f) Conform b) si d), V V. Reciproc, daca

x V si 6 , atunci exista 1 (K ind corp), deci 1 1 V V.Dar 1

1 , deci x V.

EXEMPLE. 1) Multimea vectorilor liberi din spatiu sau din plan, notata V3respectiv V2 (cap.1), este un R-spatiu vectorial n raport cu adunarea vectorilorliberi si nmultirea cu un scalar a unui vector liber(prop. 2.1, 2.2, cap. 1).

2) Fie n 2 N si K n K :: 1; x 2; :; x n i 2 K .Daca x 1; :; x n 2 K n; y 1; :; y n 2 K n si 2 K , denim:

x 1 1; :; x n n 1; :; n

De exemplu, n R2,

. De aseme-nea, n R3, . nzestrat cucele doua legi de compozitie K n este un K -spatiu vectorial. Vectorul nul este

, iar opusul vectorului x 1; :; x n este vectorul x x 1; :; x n .Proprietatile 1)-8) se verica imediat. Astfel se poate organiza Rn ca R-spatiuvectorial, iar Cn ca C-spatiu vectorial. Elementele lui K n se numesc vectori (linie)n-dimensionali, iar K n se numeste spatiu aritmetic cu n dimensiuni. n particularR

n se numeste spatiu aritmetic real cu n dimensiuni.n unele aplicatii este avantajos sa dam vectorii lui K n sub forma de coloane

x

0BBBB@

1

2

n

1CCCCA

i 2 K

n acest caz K n va numit spatiul vectorilor coloana n-dimensionali.3) Multimea matricelor cu m linii si n coloane cu coecientii n K , notata

Mm;n , poate nzestrata cu o structura de K -spatiu vectorial, cele doua oper-atii ind adunarea matricelor si nmultirea cu un scalar a unei matrice.

4) Fie R multimea polinoamelor n nedeterminata X cu coecienti n R.n raport cu adunarea polinoamelor si nmultirea unui polinom cu un scalar, Reste un R-spatiu vectorial.

5) Fie M o multime oarecare, V un K-spatiu vectorial siF ff ! V g Daca f; g 2 F si 2 K , denim

8x 2 M ; 8x 2 M

Se verica usor ca F nzestrat cu cele doua legi de compozitie este unK -spatiu vectorial.

2. Subspatii vectoriale. Operatii cu subspatii vectoriale

DEFINITIE. Fie V un K -spatiu vectorial. O submultime nevida S V senumeste subspatiu vectorial daca:

1) x; y 2 S ) x 2 S ;2) x 2 S 2 K ) x 2 S.

8/7/2019 47199052-algebra

29/124

2. SUBSPA TII VECTORIALE. OPERA TII CU SUBSPA TII VECTORIALE 29

Multimea S nzestrata cu legile induse de ! x si ! este unK -spatiu vectorial.

PROPOZITIA 2.1. (Criteriul subspatiului). S V este subspatiu vectorial() 8y 2 Ssi ; 2 K ) x 2 S.EXEMPLE. 1) Multimea f Vg este un subspatiu vectorial al lui V numit sub-

spatiu nul, iar V se numeste subspatiu total. f Vg este cel mai mic (fata de incluzi-une) subspatiu posibil al lui V, iar V cel mai mare subspatiu posibil al lui V. Celedoua subspatii se numesc improprii sau triviale. Orice subspatiu diferit de acestedoua subspatii se numeste subspatiu propriu.

2) n K n consideram, pentru orice i n , multimileSi fx 2 K n 1; :; x i1; K; x i+1; :; x n g

Se verica usor ca Si este subspatiu vectorial al lui K n, pentru orice indice i; i n . Mai general, e m 2 N m n. Submultimea S K n formata din toti

vectorii ce au pe m componente xate elementul K, este un subspatiu vectorial allui K n.

3) Fie n 2 N. Multimea Rn a polinoamelor n nedeterminata X , cu coe-cienti n R, de grad n, este un subspatiu vectorial al lui R . ntr-adevar, dacaf; g 2 Rn si ; 2 R, atunci grad , deci Rneste un subspatiu vectorial al lui R .

4) Fie a;b 2 R, a < b . Submultimea C R F R , C Rff ! R continuag este un subspatiu vectorial al lui F R .

PROPOZITIA 2.2. Daca V1 si V2 sunt doua subspatii vectoriale ale lui V,atunci V1 \ V2 este un subspatiu vectorial al lui V.

Demonstratie. De remarcat ca V1\ V2 6 , deoarece V 2 V1\ V2. De asemeneadaca x; y 2 V1 \ V2, atunci x;y 2 Vi; i , deci x 2 Vi; i 8 2 K ,deoarece Vi sunt subspatii vectoriale. n consecinta, x

2 V1

\ V2.

OBSERVATIE. n general, orice intersectie de subspatii vectoriale este un sub-spatiu vectorial.

Fie acum M o submultime a unui K -spatiu vectorial V . Exista subspatii vec-toriale ale lui V care contin submultimea M (spre exemplu V nsusi). Intersectiaacestor subspatii vectoriale este cel mai mic subspatiu vectorial (n raport cu in-cluziunea) care contine M .

DEFINITIE. Se numeste subspatiu vectorial generat de M si se noteaza S pintersectia tuturor subspatiilor vectoriale ale lui V care contin M . Multimea Mse numeste sistem de generatori pentru Sp . Prin conventie, vom considera caSp f Vg.

DEFINITIE. Daca V1, V2 sunt doua subspatii vectoriale ale lui V, denim sumasubspatiilor V1 si V2, notata V1 2, ca ind:

V1 2 fx 2 V 1 2; 1 2 V1; 2 2 V2g:Analog se poate deni:

V1 2 n fx 2 V 1 n; x i 2 Vi; i gOBSERVATIE. n general, reuniunea a doua subspatii vectoriale ale unui spatiu

vectorial nu este subspatiu vectorial. De exemplu, multimile V1 f

8/7/2019 47199052-algebra

30/124


x 2 Rg R2; 2 f 2 Rg R2 sunt subspatii vectoriale ale lui R2;dar reuniunea lor nu este subspatiu vectorial al lui R2, deoarece 2 V1 si

2 V2, dar

2 V1 [ V2. Daca V

1 V2sau V

2 V1atunci

V1 [ V2 este subspatiu vectorial al lui V si n acest caz V1 [ V2 2 respectivV1 [ V2 1.

PROPOZITIA 2.3. Daca V1; V 2 sunt subspatii vectoriale ale lui V, atunci:a) V1 2 este subspatiu vectorial al lui V;b) V1 2 1 [ V2 .Demonstratie. a) Este clar ca V 2 V1 2, deci V1 2 6 . Fie acum

x; y 2 V1 2. Atunci x 1 2, y 1 2 cu x1; y 1 2 V1 si x2; y 2 2 V2. Daca; 2 K atunci x 1 1 2 2 . Cum V1; V 2 sunt subspatiivectoriale, rezulta ca x i i 2 Vi; i , deci x 2 V1 2. n consecintaV1 2 este un subspatiu vectorial.

b) Vom arata mai nti ca V1 2 S p 1 [ V2 . Fie x 2 V1 2 si S un spatiuvectorial ce contine V1 [ V2. Atunci x 1 2 cu x 1 2 V1; x 2 2 V2. n consecintaxi 2 S; deci x 2 S. Asadar x este n intersectia tuturor subspatiilorcare contin V1 [ V2, adica x 2 S p 1 [ V2 . Sa aratam acum incluziunea inversa,Sp 1 [ V2 V1 2. Conform a), V1 2 este un subspatiu vectorial. Armatiarezulta daca aratam V1 [ V2 V1 2. Aceasta este imediata, deoarece dacax1 2 V1, atunci x1 1 V 2 V1 2, adica V1 V1 2. Similar V2 V1 2,deci V1 [ V2 V1 2.

OBSERVATIE. Daca x 2 V1 2, atunci x 1 2 cu xi 2 Vi, i .Nu nseamna ca vectorii x1; x 2 sunt unici (Construiti un exemplu!). Suntem decicondusi la examinarea conditiilor n care descompunerea este unica.

DEFINITIE. Suma subspatiilor vectoriale V1 si V2 se numeste directa si senoteaza V1

V2, daca orice vectorx

2 V1 2 se scrie n mod unic sub forma

x 1 2, cu xi 2 Vi; i . Mai general, suma subspatiilor vectoriale V1; :; V neste directa si se noteaza V1 : Vn, daca orice x 2 V1 n se scrie n modunic sub forma x 1 2 n, cu xi 2 Vi, 8i .

PROPOZITIA 2.4. Fie V1; V 2 subspatii vectoriale ale unui spatiu vectorial V.Urmatoarele armatii sunt echivalente:

a) Suma V1 2 este directa;b) V1 \ V2 f Vg.Demonstratie. a))b) Fie y 2 V1 \ V2. Atunci V V V 2 V1 2 si

V y . Cum suma este directa, scrierea ind unica, rezulta y V, deciV1 \ V2 f Vg.

b))a) Daca x 1 2, x0 010

2, cu xi; x0

i 2 Vi, i atunci x1 0

10

2 x 2. Dar x1 x0

1 2 V1, x0

2 x 2 2 V2, iar V1 \ V2 f Vg, deci x1 x0

10

2 2 V. n consecinta x10

1 si x20

2, deci scrierea este unica.

DEFINITIE. Se spune ca doua subspatii vectoriale V1, V2 ale unui subspatiuvectorial V sunt suplementare n V, daca V 1 V2.

EXEMPLE. 1) Fie V1 f 2 Rg, V2 f 2 Rg, V3 f2 Rg. V1; V 2; V 3 sunt subspatii vectoriale ale lui R2. Atunci R2 1 V2

1 V3 2 V3. Vom arata, de exemplu, ca R2 1 V3. Fie x; y 2 R2. Atunci

8/7/2019 47199052-algebra

31/124

3. COMBINA TII LINIARE. SISTEME DE GENERATORI. DEPENDEN T A SI INDEPENDEN T A LINIAR A31

, deci 2 V1 3. Fie acum 2 V1 \ V3. Cum2 V1, rezulta y , iar din 2 V3, rezulta x , deci .

2) Fie D

R, o multime simetrica fata de origine (adica x2 D ) x 2 D

,V F R (ex. 5, 1), V1 multimea functiilor pare din Vsi V2 multimea functiilorimpare din V. Atunci V1 si V2 sunt subspatii vectoriale suplementare n V. ntr-adevar, orice functie f se scrie n mod unic sub forma f , unde

hx 2 V1 si g f x 2 V2.

3. Combinatii liniare. Sisteme de generatori. Dependenta siindependenta liniara

Fie V un K -spatiu vectorial. Orice parte nita a lui V se numeste sistem devectori sau familie nita de vectori din V.

DEFINITIE. Fie f 1; :; x ng un sistem nit de n vectori din V. Se numeste

combinatie liniara a vectorilor x1; :; x n orice vector x 2 V, de forma x 1 1nx n, unde 1; 2; :; n 2 K si se numesc coecientii combinatiei liniare.EXEMPLU. n Rn , consideram vectorii

e1 2 n

Orice vector x 1; :; x n 2 Rn este combinatie liniara de e1; e 2; :; e n,deoarece

1; :; x n 1; 2; n

1 1 2 2 n n:

n particular pentru n , e1 2 si 1 2:Fie acum o submultime nevida M V.

DEFINITIE. Se numeste combinatie liniara a vectorilor din M, orice vectorx 2 V cu proprietatea urmatoare: exista n 2 N, o familie nita de vectorif 1; :; x ng si scalarii 1; 2; :; n 2 K astfel nct x 1 1 nx n.

TEOREMA 3.1. Fie V un K -spatiu vectorial si M o submultime nevida a lui V.Atunci subspatiul vectorial generat de M coincide cu multimea tuturor combinatiilorliniare ale vectorilor din M .

Demonstratie. Fie M0

multimea combinatiilor liniare ale vectorilor din M .Vom arata mai nti ca M

0

este subspatiu vectorial al lui V care contine M , deciSp M 0 . Daca x 2 M , atunci V x 2 M 0 , deci M 0 6 . Fie acumx 1 1 nx n; y 1 1 my m doi vectori din M

0

si ; 2 .Atunci x 1 nx n 1 1 my m este o combinatieliniara a vectorilor x1; :; x n; y 1; :; y m din M , deci x

2 M0

si, n consecinta,M 0 este subspatiu vectorial al lui V. n plus M 0 , deoarece pentru oricex 2 M x x 2 M 0 . Pentru incluziunea inversa, sa remarcam ca daca S este unsubspatiu vectorial al lui V ce contine M , atunci S contine multimea combinatiilorliniare ale vectorilor din M, deci M

0 S. Prin urmare M 0 S p . COROLAR 3.1.1. Fie V unK -spatiu vectorial si x1; :; x n 2 V. Subspatiul

vectorial generat de fx 1; :; x ng este multimea combinatiilor liniare cu vectoriix1; x 2; :; x n.

8/7/2019 47199052-algebra

32/124


n particular, pentru orice vector nenul x 2 V, subspatiul generat de fx g estemultimea fx 2 K g numita dreapta vectoriala generata de x. De asemenea, dacax

6 Vsi y

2 fx 2 K g, subspatiul generat de vectorii x; y

2 Veste multimea

fx 2 K g numita plan vectorial generat de x si y.DEFINITIE. Se spune ca vectorii x1; :; x n din V formeaza un sistem de gene-

ratori pentru V, daca subspatiul vectorial generat de fx 1; :; x ng coincide cu V,adica pentru orice x 2 Vexista 1; :; n 2 K astfel ca x 1 1 nx n.

EXEMPLE. 1) n Rn , vectorii n constituie un sistem de generatori.2) n R3, vectorii v1 2 3 formeaza un sistem

de generatori. ntr-adevar, e x 2 R3; 1; x 2; x 3 . Trebuie sa aratam caputem determina 1; 2; 3 astfel nct x 1 1 2 2 3 3. Aceasta relatiese mai scrie 1; x 2; x 3 1; 1 2; 1 2 3 , de unde 1 1; 1 2

2; 1 2 3 3. Rezulta 1 1; 2 2 x 2; 3 3 x 2, deciv1; v 2; v 3 formeaza un sistem de generatori n R3.

DEFINITIE. Vom spune ca vectorii x1; :; x n din V sunt liniar independenti(sau ca familia fx 1; :; x ng este libera) daca din 1 1 nx n V rezulta

1 2 n . Vom spune ca vectorii x1; :; x n din V sunt liniardependenti (sau ca familia fx 1; :; x ng este legata) daca exista scalarii 1; :; n nutoti nuli astfel nct 1 1 nx n V. O familie innita de vectori din V senumeste liniar independenta sau libera daca orice submultime nita a sa este liniarindependenta.

OBSERVATII. 1) Orice subfamilie a unei familii libere este o familie libera.2) Elementele unei familii libere sunt nenule.3) Orice suprafamilie a unei familii legate este o familie legat a.

EXEMPLE. 1) n Rn , familia f ng este liniar independenta, deoa-rece orice polinom nul are toti coecientii nuli.

2) n Rn, vectorii e1 2 n suntliniar independenti, deoarece din 1 1 n n se obtine 1 n .

3) n R3, vectorii x1 2 3 sunt liniar depen-denti deoarece x1 2 3 .

4) n Mm;n R , matricele Eij ; i date de

Eij

0BBBB@1CCCCA ! i

#

jsunt liniar independente.5) n R3, vectorii v1 2 3 sunt liniar inde-

pendenti. ntr-adevar, daca 1; 2; 3 2 R satisfac 1 2 2 2 3 3 ,atunci 1 1 2 1 2 3 , de unde 1 2 3 .

PROPOZITIA 3.1. Fie V un K -spatiu vectorial si x1; :; x n vectori n V.Pentru ca familia f 1; :; x ng sa e legata este necesar si sucient ca unul dintrevectorii xi sa e combinatie liniara de ceilalti.

8/7/2019 47199052-algebra

33/124

4. BAZ A. DIMENSIUNE 33

Demonstratie. Daca familia f 1; :; x ng este legata, atunci exista scalarii 1;; n nu toti nuli astfel ca 1 1 nx n V. Daca, de exemplu, 1 6 ,atunci x

1 1

1 2 2 : 1

1 nx

n, deci x

ieste combinatie liniara de x

2; :; x

n:

Reciproc, daca, de exemplu, x1 2 2 nx n, 2; :; n 2 K , atunci 1 2 2 n n V, ceea ce arata ca familia f 1; x 2; :; x ng este legata,

deoarece coecientul lui x1 este , deci nenul.

4. Baza. Dimensiune

Familiile de vectori care sunt simultan sisteme de generatori si familii libere vorjuca un rol fundamental n ceea ce urmeaza.

DEFINITIE. Fie V un K -spatiu vectorial. Se spune ca familia fe 1; :; e ng devectori din V este o baza n V daca vectorii e1; :; e n sunt liniar independenti sigenereaza V.

TEOREMA 4.1. Familia F fe 1; :; e ng este baza n V daca si numai dacaorice vector x 2 V se exprima n mod unic ca o combinatie liniara de vectoriie1; :; e n.

Demonstratie. Necesitatea. Familia F ind baza n V, exista 1; :; n 2 Kastfel nct x 1 1 n n. Daca ar exista 1; :; n 2 astfel ca x

1 1 n n, atunci 1 1 1 n n n V. Familia fe 1; :; e ng indlibera, rezulta 1 1 2 2 n n , adica 1 1; :; n n,deci scrierea lui x ca o combinatie liniara de e1; e 2; :; e n este unica.

Sucienta. Cum orice vector x 2 Vse scrie n mod unic ca o combinatie liniarade e1; e 2; :; e n, rezulta ca familia fe 1; :; e ng genereaza V. Fie acum 1; :; n 2 Kastfel nct 1 1 n n V. Cum 1 n V si scrierea elementuluinul este unica, rezulta 1 2 n , adica familia fe 1; :; e ng este libera,deci este baza n V.

DEFINITIE. Fie V un K -spatiu vectorial si B fe 1; :; e ng o baza n V. Atuncipentru orice x 2 Vexista o familie unica de scalari din K, f 1; :; ng astfel nctx 1 1 n n. Scalarii 1; :; n se numesc coordonatele sau componentelelui x n raport cu baza B

Este evidenta

TEOREMA 4.2. Daca B fe 1; :; e ng este baza n V si x 1 1 n n,y 1 1 n n, atunci

x 1 1 1 n n n; x 1 1 n n; 2 Kx 1 1 n n; 2 K

COMENTARIU. Teorema scoate n evidenta importanta notiunii de baza. Ope-ratiile denite n mod abstract ntr-un spatiu vectorial devin operatii uzuale cunumere si anume cu coordonatele vectorilor relativ la acea baza:

DEFINITIE. Spunem ca spatiul vectorial V este de dimensiune n sau n-dimen-sional si se noteaza dimKV daca exista n V n vectori liniar independentisi orice n vectori sunt liniar dependenti. n acest caz spatiul se numeste nit-dimensional. Spatiul vectorial care contine o familie libera innita se numesteinnit-dimensional.

Deoarece orice sistem de n vectori este legat rezulta ca toate sistemele devectori care contin mai mult de n vectori este legat. n consecinta dimensiunea

8/7/2019 47199052-algebra

34/124


unui spatiu vectorial este numarul maxim de vectori liniar independenti din acestspatiu vectorial.

TEOREMA 4.3. ntr-un spatiu vectorial V de dimensiune n exista o bazaformata din n vectori; mai mult, orice sistem de n vectori liniar independenti dinV constituie o baza a lui V.

Demonstratie. Cum V este de dimensiune n, exista un sistem de vectori liniarindependenti, S f 1; e 2; :; e ng. Vom arata ca S este sistem de generatori, decibaza a lui V. Fie x 2 V. Vectorii x;e 1; e 2; :; e n sunt liniar dependenti, deciexista ; 1; 2; :; n 2 K , nu toti nuli astfel nct x 1 1 n n V.Atunci 6 , deoarece n caz contrar, S ar liniar dependent. n consecintax 1 1 1 n n , deci S este sistem de generatori.

TEOREMA 4.4. Daca B f 1; :; e ng este baza n V , atunci dimKV .Demonstratie. Evident n V exista n vectori liniar independenti. Fie S

f 1; :; x

n; x

n+1gun sistem format din n vectori. Presupunem prin absurd

ca S este liber. Atunci x1 1 1 2 2 n n. Cum x1 6 V rezulta ca1; 2; :; n nu sunt toti nuli. Renumerotnd eventual elementele lui B, putem

presupune ca 1 6 . n consecinta putem scrie e1 1 1 2 2 n n.Cum x2 1 1 2 2 n n, tinnd seama de expresia lui e1 rezulta cax2 1 1 2 2 n n. Daca 2 3 n , atunci x2 1 1,deci vectorii x1, x2 sunt liniar dependenti, ceea ce contrazice ipoteza ca S esteliber. Renumerotnd convenabil elementele lui B, putem presupune ca 2 6 .Atunci din expresia lui x2 rezulta ca e2 1 1 2 2 3 3+ n n, x3

1 1 2 2 3 3+ n n. Procednd din aproape n aproape, obtinem caxn+1 1 1 2 2 nx n, ceea ce contrazice ipoteza ca S este liber. AsadarS este liniar dependent, deci dimKV .

TEOREMA 4.5. (Teorema bazei incomplete) Fie V un spatiu vectorial de di-

mensiune n. Pentru orice parte libera S f 1; :; x pg din V, p < n , exista vectoriixp+1; :; x n 2 V astfel nct fx 1; :; x p; x p+1; :; x ng sa e baza n V.

Demonstratie. Fie V0

Atunci dimV0

, V0 6 . Asadar

V V0 6 si nu contine V. Orice x 2 V V0 formeaza mpreuna cu S un sistemliber. ntr-adevar, daca S [ fx g ar legat, ar exista 1; 2; :; p; 2 K nu totinuli astfel nct 1 1 px p V. Daca , ar rezulta ca S este legat,deci 6 . Atunci x 1 1 1 px p , adica x 2 V0 , ceea ce contrazicefaptul ca x 2 V V0 . Notam xp+1 , deci S 0 fx 1; :; x p; x p+1g este liber. FieV

00 0

, dimV00

. Daca p se repeta procedeul de mai sus.Alegem xp+2 2 V V00 si sistemul S 0 [ f p+2g este liber etc. Obtinem astfel dinaproape n aproape un sistem liber B f 1; :; x ng care conform teoremei 4.3 estebaza n V .

EXEMPLE. 1) n V3 orice trei vectori necoplanari formeaza o baza (teorema3.6, prop. 3.5, cap. 1). n particular f! !j ; !k g este o baza, numita baza canonicaa lui V3. Deci dimV3 Similar n V2 orice doi vectori liberi necoli-niari formeazao baza, deci dimV2 n V1 orice vector nenul este baza, deci dimV1=

2) n Rn vectorii e1 , e2 nformeaza o baza, deci dim RRn . Cum pentru orice x 2 Rn; x 1; x 2; :; x navem x 1 1 n n , rezulta ca coordonatele n baza canonica a unui

8/7/2019 47199052-algebra

35/124

4. BAZ A. DIMENSIUNE 35

vector x 2 Rn coincid cu componentele acestuia. De aceea baza fe 1; :; e ng senumeste baza canonica a lui Rn. Sa observam ca coordonatele unui vector diferade la o baza la alta. De exemplu, n R3, coordonatele vectorului x nbaza canonica sunt , coinciznd cu componentele lui x. Pe de alta parte,vectorii v1 2 3 formeaza, de asemenea, o bazaa lui R3. Coordonatele lui x n baza v1; v 2; v 3 sunt , pentru cax 1 2 3.

3) n Rn , polinoamele n formeaza o baza, numita baza canonica alui Rn . De asemenea, pentru orice a 2 R, polinoamele pi a i, i nformeaza o baza a lui V, deci dim RRn . Vom arata aceasta pentru n .Fie 0; 1; 2; 3 astfel nct

0 1 a 2 a 2 3 a 3

Rezulta ca 3 , 2 3a , 1 2a 3a 2 , 0 1a 2a 2 3a 3 , de unde 0 1 3 , deci polinoamele p0; 1; 2; 3 sunt liniarindependente. Sa aratam ca aceste polinoame formeaza un sistem de generatoripentru R3 . Fie f 2 R3 . Trebuie sa aratam ca exista 0; 1; 2; 3 astfelnct

f 0 1 a 2 a 2 3 a 3Derivnd formal, obtinem succesiv:

Df 1 2 a 3 a 2 ;2

2 3 a3

3

Lund n egalitatile de mai sus valoarea polinomului n punctul a, obtinem

0 1 22

33 , deci:

f a 3 a 2 3 a 3

n general, n Rn , pentru orice a 2 R, polinoamele a; a 2 ; :; a n ;

formeaza o baza si coordonatele unui polinom f 2 Rn n aceasta baza sunt:

f 2 n

deci

f a 2 a 2 n a n :

4) n Mm;n

R , matricele Eij

; i , j ,

Eij

0BBBB@1CCCCA !

#j

8/7/2019 47199052-algebra

36/124


formeaza o baza, numita baza canonicaa lui Mm;n R .n concluzie dimM m;n R

5) n spatiul vectorialC

R , functiile 2; :; t k sunt liniar indepen-dente. Cum aceasta se ntmpla pentru orice k, rezulta ca acest spatiu vectorialeste innit dimensional.

OBSERVATIE. Dimensiunea unui spatiu vectorial depinde de corpul de baza.Astfel C C , dar R C . Mai general, orice C-spatiu vecto-rial de di-mensiune n este un R-spatiu vectorial de dimensiune . Este sucient sa remarcamca daca f 1; :; e ng este baza ntr-un C-spatiu vectorial, atunci fe 1; :; e n; ie 1; :; i ngeste baza n acel spatiu considerat ca R-spatiu vectorial.

5. Dimensiunea unui subspatiu vectorial

Subspatiul nul f Vg nu contine nici un sistem liber. De aceea dimensiuneaacestuia se considera egala cu zero.

TEOREMA 5.1. Fie V un K -spatiu vectorial de dimensiune n si S un subspatiuvectorial al lui V. Atunci:a) K K daca si numai daca V ;b) daca S este subspatiu propriu al lui V, atunci K K ;c) S admite un suplement S1 si avem:

K K K 1

Demonstratie. a) Fie n K K si B So baza cu n elemente.Cum B V, conform teoremei 4.3, rezulta ca B este baza n V. Atunci oriceelement din V este combinatie liniara de elemente din B S, deci este n S. nconcluzie S .

b) Fie p K , n K . Daca p > n , deoarece S V, rezulta caar exista n V un sistem liber cu p vectori, depasind dimensiunea lui V, ceea ce nu

se poate. Cum S este subspatiu propriu al lui V, tinnd seama de a), rezulta cap < n .c) Fie fx 1; :; x pg o baza a lui S. Cum V este de dimensiune n, exista n p

vectori xp+1; :; x n astfel ca fx 1; :; x p; x p+1; :; x ng este o baza n V (teorema 4.5).Familia fx p+1; :; x ng ind libera, S 1 fx p+1; :; x ng este de dimensiune n p.Pe de alta parte, orice vector x 2 V se scrie n mod unic sub forma

x 1 1 px p p+1 p+1 nx n

unde y 1 1 px p 2 Ssi z p+1 p+1 nx n 2 S1, ceea ce arata caV S1 si K K K 1 .

TEOREMA 5.2. (Grassmann) Daca S1 si S2 sunt subspatii vectoriale nitdimensionale ale lui V, atunci

K 1 2 K 1 K 2 K 1 \ S2Demonstratie. Fie B0 fe 1; :; e kg o baza n S1 \ S2 S1. O completam

pna la o baza a lui S1, e aceasta B 00 fe 1; :; e k ; 1; :; f lg, respectiv pna la obaza B 000 fe 1; :; e k; 1; :; g mg a lui S2. Deci presupunem ca K 1 \ S2

K 1 K 2 . Daca aratam ca sistemul de vectoridin V, B f 1; :; e k; 1; :; f l; 1; :; g mg formeaza o baza a subspatiului S1 2demonstratia este ncheiata, deoarece K 1 2 si identitatea dinenunt este satisfacuta.

8/7/2019 47199052-algebra

37/124

6. RANGUL UNUI SISTEM DE VECTORI SI RANGUL MATRICEI SALE. SISTEME DE ECUA TII LINIARE37

Vom arata mai nti ca B este liniar independenta.Fie ;:::; k ; 1; :; l; 1; :; k 2 K astfel ca

(5.1)kX

i=1

i i

lXj=1

j j

mXs=1

s s V :

Daca notam xmP

s=1s s 2 S2, atunci din (5.1) rezulta x 2 S1, deci x 2

S1 \ S2. n consecinta exista 1; :; k 2 astfel camP

s=1s s

kPh=1

h e h;care

se mai scriemP

s=1s s

kPh=1

h h V. Deoarece B000 este baza n S2, rezulta

1 m si 1 k . Atunci (5.1) se mai scriekP

i=1i i

lPj=1 j j V si cum B 00 este baza n S1, rezulta 1 k si 1l . Asadar toti scalarii din (5.1) sunt nuli, deci B este liniar independenta.

Vom arata acum ca B este un sistem de generatori pentru S 1 2. Fie deci

x 2 S1 2; 1 2 cu x1 2 S1; 2 2 S2. Atunci x1kP

i=1i i

lPj=1

j j

si x2kP

i=1i i

mPs=1

s s, deoarece B 00 000 sunt baze n S1, respectiv S2. n

consecinta xkP

i=1i i i

lPj=1

j j

mPs=1

s s si teorema este demonstrata.

COROLAR 5.2.1. Fie S1; S 2 subspatii vectoriale nit dimensionale ale lui V.Daca suma S1 2 este directa, atunci

K 1 S2 K 1 K 2Demonstratie. Se tine seama ca S1 \ S2 f Vg.

6. Rangul unui sistem de vectori si rangul matricei sale. Sisteme deecuatii liniare

DEFINITIE. Fie V un K -spatiu vectorial si S fx 1; :; x mg un sistem devectori din V. Se numeste rangul sistemului S dimensiunea subspatiului generat deS.

Evident, dimensiunea subspatiului generat de un sistem S V este egala cunumarul maxim de vectori liniar independenti continuti n S .

Daca B fe 1; :; e ng este baza n V, atunci xjnPi=1 a ij i; 8j .

DEFINITIE. Matricea A ij , de tip n , formata cu coordonatele vecto-rilor xj (unic determinate), pe coloane, se numeste matricea sistemului S n raportcu baza B.

TEOREMA 6.1. (teorema rangului). Rangul unui sistem de vectoriS fx 1; :; x mg din V este egal cu rangul matricei sale n raport cu o baza arbitraraB f 1; :; e ng din V.

8/7/2019 47199052-algebra

38/124


Demonstratie. Fie A ij matricea sistemului S n raport cu baza B. Ream-intim ca rangul unei matrice A, nenula, este un ntreg r; , cuproprietatea ca exista un minor nenul al lui A de ordin r , iar toti minorii de or-din r , daca exista, sunt nuli. Sa presupunem ca rangA . Deoarece rangulunei matrice nu se schimba daca se permuta liniile sau coloanele ntre ele, putempresupune ca urmatorul determinant este nenul:

D

a11 a 12 : a 1ra 21 a 22 : a 2r

::: ::: ::: : ::

a r1 a r2 : a rr

:Daca vectorii x1; :; x r ar liniar dependenti, atunci un vector ar combinatie

liniara de ceilalti, deci una dintre coloanele minorului D este combinatie liniara decelelalte. Atunci D , ceea ce nu este posibil. n consecinta, vectorii x1; :; x rsunt liniar independenti.

Vom arata acum ca Spf

1; :; x r

g f1; :; x m

g. Daca r < m , este

sucient sa aratam ca Sp fx 1; :; x mg S p f 1; :; x rg . Cum rangul lui A ester, pentru ecare j > r , urmatorii determinanti sunt nuli:

i

a11 : a 1r a 1j::: ::: ::: :::

a r1 : a rr a rj

a i1 : a ir a ij

Dezvoltnd dupa ultima linie, obtinem: ci1a i1 ira ir aij , unde

prin cil; l , am notat complementii algebrici ai elementelor de pe ultima linie.Cum D 6 , rezulta

aij 1a i1 r a ir; i

unde k D 1 ik, k , nu depind de i, ci numai de elementele primelor rlinii, deci ramn xe cnd i . Prin urmare pentru j > r , avem

xj 1 1 r x r;

deci Sp fx 1; :; x mg S p fx 1; :; x rg . n concluzie rangA . OBSERVATIE. Din demonstratia teoremei, rezulta ca rangul unei matrice este

egal cu numarul maxim de coloane liniar independente. Cum rangul unei matricecoincide cu rangul matricei transpuse, rezulta ca rangul unei matrice este egal cunumarul maxim de linii liniar independente.

DEFINITIE. O matrice patratica A se numeste singulara daca sinesingulara n caz contrar.

COROLAR 6.1.1. O matrice patratica este nesingulara daca si numai dacatoate liniile sau toate coloanele sunt liniar independente.

Pentru determinarea rangului unei matrice se pot folosi transformari elementare.

DEFINITIE. Se numesc transformari elementare ale unei matrice urmatoareleoperatii:

- schimbarea a doua linii (coloane) ntre ele;- nmultirea tuturor elementelor unei linii (coloane) cu acelasi factor nenul;- adunarea la elementele unei linii (coloane) a elementelor corespunzatoare ale

altei linii (coloane).

8/7/2019 47199052-algebra

39/124

6. RANGUL UNUI SISTEM DE VECTORI SI RANGUL MATRICEI SALE. SISTEME DE ECUA TII LINIARE39

Tinnd seama ca aceste transformari elementare nu afecteaza proprietatea unuideterminant de a nul sau nenul, rezulta ca rangul unei matrice nu se modicadaca asupra matricei se efectueaza transformari elementare. n practica, pentrudeterminarea rangului unei matrice, procedam astfel: se efectueaza transformarielementare asupra matricei pna cnd toate elementele devin nule cu exceptia unorelemente de pe diagonala principala care devin 1. Rangul unei matrice este numarulelementelor 1 de pe diagonala principala.

EXEMPLU. Sa determinam rangul matricei

A

0BB@

1CCA:Avem succesiv

0BB@

1CCA 1 ! L1 42 ! L2 43 ! L3 4

! 0BB@

1CCA 4 ! L4 1!!

0BB@1CCA C2 ! C 2 13 ! C 3 1

4 ! C 4 1!

0BB@1CCA !

L2 ! L2=3 ! L3 24 ! L4 2

!

!

0BB@

1CCA

C3 ! C3 24 ! C 4 2

!!

!

0BB@1CCA ! L3 ! 34 ! L4 L3! !

0BB@1CCA!

! C 4 ! C 4 C 3! !

0BB@1CCA

deci rangA (n ecare caz s-au mentionat operatiile indicate: notatiaL1 ! L1 4 nseamna linia 1 se nlocuieste cu suma liniilor 1 si 4 etc.).

n continuare vom utiliza teorema rangului n studiul sistemelor de ecuatiiliniare. Fie deci sistemul de ecuatii liniare:

(6.1)

8>>>:a11 1 12 2 1nx n 1a 21 1 22 2 2nx n 2

a m1 1 m2 2 mnx n m

;

unde aij 2 R, i , j , bi 2 R, i .

8/7/2019 47199052-algebra

40/124


Reamintim ca un sistem ordonat de numere reale 1; 2; :; n se numestesolutie a sistemului (6.1), daca nlocuind necunoscutele x1; x 2; :; x n respectiv prinaceste numere, toate ecuatiile acestui sistem sunt vericate, adica:

nXJ=1

a ij j i; i

Daca admite cel putin o solutie, sistemul se numeste compatibil, iar daca nuadmite nici o solutie sistemul se numeste incompatibil. Daca sistemul (6.1) admiteo singura solutie, sistemul se numeste compatibil determinat, iar daca admite maimulte solutii sistemul se numeste compatibil nedeterminat. Sa remarcam ca sistemulse scrie sub forma Ax , unde

A

0BB@ a

11 a 12 : a 1n

a 21 a 22 : a 2n

::: ::: ::: ::: :::

a m1 a m2 : a mn

1CCA

0BBBBBB@

1

2

n

1CCCCCCA

0BBBBBB@

1

2

1CCCCCCA

Matricea

eA0BB@a11 a 12 : a 1n b 1a 21 a 22 : a 2n b 2

: : : : :

a m1 a m2 : a mn b m

1CCAse numeste matricea extinsa a sistemului (6.1).

Daca r si

Dr

a11 : a 1r::: ::: :::

a r1 : a rr

6

atunci Dr se numeste determinant principal al sistemului (6.1), necunoscutelex1; :; x r se numesc necunoscute principale, iar xr+1; :; x n daca n > r se numescnecunoscute secundare. Primele r ecuatii se numesc ecuatii principale, celelalte(daca r < m ) se numesc ecuatii secundare. Daca r < m , pentru orice j > r ,determinantul de forma

a11 : a 1r b1: : :

a r1 : a rr b r

a j1 : a j bj

se numeste determinant caracteristic al sistemului (6). Deci numarul determi-nantilor caracteristici este egal cu numarul ecuatiilor secundare.

TEOREMA 6.2. (Kronecker-Capelli) Conditia necesara si sucienta ca sistemul(6.1) sa e compatibil este ca rangA eA.

Demonstratie. ) Notam cu aj ; j , vectorii coloana ai matricei A.Sistemul ind compatibil exista 1; :; n astfel nct:

1a1

nan

Asadar b 2 S pa1; :; a n si din teorema rangului rezulta ca rangAeA.

8/7/2019 47199052-algebra

41/124

8/7/2019 47199052-algebra

42/124

8/7/2019 47199052-algebra

43/124

8/7/2019 47199052-algebra

44/124


ceea ce este echivalent cu (7.2).

EXEMPLU. n R3, e baza canonica B

fe1; e 2; e 3

gsi vectorul x .

Sa determinam coordonatele vectorului x n baza B 0 f 01; e 02; e 03g, unde e0102 03 . Deoarece e01 1 3; 02 1

e 2; e 03 1 3, rezulta ca matricea de trecere de la baza B la baza B 0 este

C

0@ 1A:Totodata e1 e 01 03; e 2 e 01 02 03; e 3 01 03,

deci matricea de trecere de la baza B 0 la baza B este C1

0@

1A:Daca, n baza B 0, x 01

01

02

02

03

03, atunci din (7.2) rezulta

0@ 010203

1A10@ 1A 0@ 1A:Asadar x 01 02.

8. Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebriceliniare

Sa cosideram sistemul de ecuatii algebrice liniare:

(8.1)

8>>>:a11 1 12 2 1nx n 1a 21 1 22 2 2nx n 2

a m1 1 m2 2 mnx n m

:

Metoda este de fapt procedeul de eliminare a necunoscutelor pe care l descriem

n continuare.Sa presupunem a11 6 ; atunci putem elimina prima necunoscuta x1 din ecuati-

ile , nmultind prima ecuatie cu factorii:

mi1i1

a 11;

si scaznd-o, respectiv din ecuatiile .Obtinem astfel sistemul echivalent

(8.2)

8>>>>>:

a(2)11 1 (2 )12 2 (2)13 3 (2)1n x n (2)1a

(2 )22 2

(2)23 3

(2)2n x n

(2)2

a(2 )m2 2

(2)m3 3

(2)mnx n

(2)m

;

unde daca a(1)ij ij , i; j , b(1)i i, i , avem

a(2)ij

8>:a(1)ij ; daca i

daca i (1)ij i1a (1)1j ; daca i

(2)i

((1)i ; daca i(1)i i1 (1)1 ; daca i

8/7/2019 47199052-algebra

45/124

8. METODA LUI GAUSS PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUA TII ALGEBRICE LINIARE45

Daca a11 schimbam prima ecuatie a sistemului cu o alta ecuatie n carecoecientul lui x1 este nenul. Se observa ca prima ecuatie a sistemului (8.2) coincide

cu prima ecuatie a sistemului (8.1). Daca a

(2)

22 6 , atunci, n mod analog, putemelimina necunoscuta x2 din ultimele m ecuatii ale sistemului (8.2). Introducndmultiplicatorii

mi2(2 )i2

a(2 )22

;

obtinem sistemul echivalent

(8.3)

8>>>>>>>>>:

a(3)11 1 (3)12 2 (3)13 3 (3)1n x n (3)1a

(3)22 2

(3)23 3

(3)2n x n

(3)2

a(3)33 3

(3)3n x n

(3)3

a(3)m3 3

(3)mnx n

(3)m

;

cu coecientii si termenii liberi

a(3)ij

8>:a(2)ij ; daca i

daca i (2)ij i2a (2)2j ; daca i

respectiv b(3)i

((2)i ; daca i(2)i i2 (2)2 ; daca i

Daca a(2)22 schimbam ecuatia a doua cu una din ecuatiile n carecoecientul lui x2 este nenul. Primele doua ecuatii ale sistemului (8.3) coincid cuprimele doua ecuatii ale sistemului (8.2). Procedeul continua. Elementele a(1)11 , a

(2)22 ,

a(3)33 , ::: se numesc elemente pivot. Daca a(k)kk 6 , notnd cu A(k+1) matricea sis-

temului echivalent din care au fost eliminati x1, x2, :::, xk (adica matricea sistemuluidupa k < m pasi), prin b(k+1) vectorul coloana al termenilor liberi corespunzatori,atunci elementele a(k+1)ij ale lui A

(k+1) si b(k+1)i ale lui b(k+1) se calculeaza recursiv

prin formulele

a(k+1)ij

8>:a(k)ij ; daca i k

daca i k k

a(k)

ij ika

(k)

kj; daca i

k k(k)i

( (k)i ; daca i k(k)i ikb (k)k ; daca i k

unde mik(k)ik

a(k)kk

; i . Prin urmare, matricea sistemului, dupa efectuarea

pasului k, va

8/7/2019 47199052-algebra

46/124


A(k+1)

0BBBBBBBBBB@

a(1)11 a

(1)12 : a

(1)1k

(2)22 : a

(2)2k

(k)kk

a(1)1;k+1 : a

(1)1n

a (2)2;k+1 : a (2)2n

::: ::: :::

(k+1)k+1;k+1 : a

(k+1)k+1;n

::: ::: :::

a(k+1)m;k+1 : a

(k+1)mn

1CCCCCCCCCCA

(k+1)

0BBBBBBBBBBBBBBBB@

(1)1(2)2

(k)k

b(k+1)k+1(k+1)k+2

(k+1)m

1CCCCCCCCCCCCCCCCA:

Daca a(k)kk si cel putin unul din elementele de pe coloana k si de pe liniile

k este nenul, e acesta a(k)rk , atunci permutam liniile k si r ntre elesi continuam eliminarea. Pe parcursul algoritmului pot apare urmatoarele situatii:

-coecientii unei ecuatii devin toti nuli, iar termenul liber corespunzator estenenul, caz n care sistemul este incompatibil;

-coecientii unei ecuatii sunt toti nuli si termenul liber corespunzator este nul,atunci ecuatia respectiva este consecinta a celorlaltor (deci inutila).

Daca m si sistemul este compatibil, atunci este compatibil nedeterminat.Daca m si rangul matricei sistemului este n, atunci toti pivotii sunt nenuli.

Dupa n pasi vom obtine sistemul triunghiurilor echivalent cu sistemul (8.1):8>>>>>:a(1)11 1 (1)12 2 (1)1n x n (1)1

a(2)22 2

(2)2n x n

(2)2

:

a(n)nn x n

(n)n

;

care se poate rezolva regresiv:

(8.4)

xn(n)n

a(n)nn

x i

(i)

i nPj=i+1 a (i)ij x j

a(i)ii

; i

Algoritmul lui Gauss ne permite sa rezolvam simultan p sisteme de ecuatii cuaceeasi matrice A, dar cu termeni liberi diferiti. n acest caz, la ecare pas ope-ratiile aplicate asupra termenului liber se aplica tuturor celor p vectori coloanatermeni liberi. Dupa eliminare vom obtine p sisteme triunghiulare. Un caz particu-lar al acestui procedeu este inversarea unei matrice. ntr-adevar, daca n relatia

8/7/2019 47199052-algebra

47/124

8. METODA LUI GAUSS PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUA TII ALGEBRICE LINIARE47

AA 1 n, notam A1 , atunci AX n sau Axj j unde xj si ejsunt coloanele j din X respectiv I n. Astfel, coloanele matricei A1 sunt solutiilesistemelor liniare cu termenii liberi respectiv egali cu coloanele matricii unitate.

OBSERVATII. 1) Am vazut mai sus ca este posibil sa e necesar sa efectuampermutari de linii cnd un element pivot este nul. Din motive de stabilitate nu-merica, trebuie sa efectuam permutari de linii nu numai cnd un element pivot esteexact egal cu zero ci si cnd el este aproape egal cu zero. De asemenea, pentrua preveni ca inuenta erorilor de rotunjire sa devina catastrofala, este, de obicei,necesar sa alegem elementul pivot, la efectuarea pasului k; astfel: se alege num arulr egal sau cel mai mic numar ntreg pentru carea(k)rk kim a(k)ik si se permuta liniile k si r . Deci, alegem ca pivot, la ecare pas k, primul elementmaxim n modul ntlnit sub elementul a(k)kk .

2) Daca m , atunci determinantul matricei sistemului (8.1) este egal cu s a (1)11 a (2)22 a (n)nn unde s este numarul total de permutari de linii efectuate (evi-

dent cnd se aplica pivotarea).3) Cnd m , exista cazuri cnd pivotarea nu este necesara si anume cnd:

- matricea sistemului este slab diagonal dominanta;- matricea sistemului este simetrica si pozitiv denita.

n ncheiere, mentionam ca metoda lui Gauss este o metoda directade rezolvarea sistemelor, adica dupa un numar nit de operatii logice si aritmetice si n ipotezaabsentei rotunjirilor, metoda da solutia exacta a sistemului.

EXEMPLE. 1. Fie sistemul8>>>:

1 2 31 2 31 2 3

1 2 3Sa rezolvam sistemul prin metoda lui Gauss. Vom elimina pe rnd necunos-

cutele x1; 2; 3. Pentru simplitatea scrierii, operatiile necesare vor efectuateasupra matricei extinse a sistemului.0BB@

1CCA !

0BBB@

1CCCA !0BBB@

1CCCA !0BB@

1CCA:

Deci ultima ecuatie este consecinta a celorlalte. Sistemul este compatibil de-terminat. Avem de rezolvat sistemul superior triunghiular8

8/7/2019 47199052-algebra

48/124


2. Aceeasi problema, pentru sistemul

8>>>:1

11

1

2

222

3

33

4

4

4

Procednd ca mai sus, obtinem succesiv0BB@

1CCA !

0BB@

1CCA !

0BB@

1CCA:Ultimele doua ecuatii sunt consecinta a primelor doua. sistemul este compatibil

dublu nedeterminat. Sistemul:1 2

2 34 4

este echivalent cu sistemul initial si are o innitate de solutii:

x1 3 4; 2 3 4; 3 2 R; 4 2 R:

3. Aceeasi problema pentru sistemul8

8/7/2019 47199052-algebra

49/124

9. PROBLEME 490@

1A

!0@

1A

!

0@

1A.

Pentru rezolvarea celor trei sisteme, vom cauta ca prin transformari elementareasupra liniilor sa obtinem n stnga, matricea unitate. Deci0@

1A 1 3 ! L1

2 3 ! L1L3 ! L3

!0@

1A,deci A1 0@

1A:9. Probleme

1. Fie V 1 . Sa se arate ca n raport cu operatiile x , x; y 2 Vsi , 2 R, x 2 V, V devine spatiu vectorial real.

2. Fie V un K -spatiu vectorial si v 2 V, v 6 V. Denim x y vy 2 V ; x 2 K x 2 V : Sa se determine f astfel nct Vnzestrat cu cele doua operatii sa e spatiu vectorial.

3. Sa se precizeze care din urmatoarele submultimi ale lui R3 sunt subspatiivectoriale ale lui R3?

a) S 1 f 1; x 2; x 3 1 2 3 g; b) S2 f 1; x 2; x 3 1 2 3g;c) S3 f 1; x 2; x 3 jx 1j jx 2j g; d) S4 f 1; x 2; x 3 21 2 g;e) S5 f 1; x 2; x 3 1 2g.4. n Mn R , e S1 fA 2 M n R T g, S2 fA 2 M n R T

Ag. Sa se arate ca S 1 si S2 sunt subspatii vectoriale ale lui Mn R si Mn R1 S2. Sa se gaseasca dimensiunile acestor subspatii.

5. Fie A 2 M m;n R , A ij si S fx 2 RnnP

j=1a ij x j , i m g. Sa

se arate ca S este un subspatiu vectorial al lui Rn.

6. Fie V un spatiu vectorial si v1, v2, v3

2 Vliniar independenti. Sa se arate

ca si vectorii w1 1 2 3, w2 1 2 3, w3 1 2 3 sunt liniarindependenti.

7. Sa se arate ca vectorii v1 , v2 , v3 ,v4 sunt liniar dependenti. Sa se scrie v4 ca o combinatie liniara dev1, v2, v3.

8. Sa se arate ca vectorii v1 , v2 , v3 formeaza o baza a lui R3. Sa se determine coordonatele vectorilor x

8/7/2019 47199052-algebra

50/124


si y n aceasta baza. Aceeasi problema pentru vectorii v01 ,v02 , v

03 , x

0 , y0 .

9. Sa se arate ca vectorii v1, v2, v3, v4 formeaza o baza a lui R4

. Sa se determinecoordonatele vectorului x n raport cu aceasta baza:a) v1 , v2 , v3 , v4 ;

x ;b) v1 , v2 , v3 , v4 ;

x .

10. Sunt liniar independente matricele A

, B

,

C

? Dar functiile f1; f 2; f 3 R ! R; f 1 x, f2 x,f3 2x?

11. Sa se determine dimensiunea si o baza a subspatiului generat de vectorii:

a) v1 , v2 , v3 , v4 ;b) v1 , v2 , v3 , v4 ,

v5 .

12. Sa se determine dimensiunile sumei si intersectiei subspatiilor generate:a) u1 , u2 , u3 , respectiv v1 ,

v2 ;b) u1 , u2 , u3 , respectiv

v1 , v2 , v3 .

13. Sa se completeze sistemul format din vectorii v1 , v2la o baza a lui R3.

14. Sa se arate ca functiile f1; f 2; f 3 R ! R, f1 , f2 2 ,f3 2 formeaza o baza n spatiul polinoamelor de grad cel mult 2. Sa sedetermine coordonatele functiilor t2 respectiv t2 n raport cu aceastabaza.

15. Sa se gaseasca o baza n spatiul vectorial al solutiilor sistemului x1 2x 3 , x1 2 4 , x2 4 .

16. n spatiul vectorial al functiilor f R ! R sa se arate ca functiile f1, f2 , f3 sunt liniar independente.

17. Sa se gaseasca rangul matricelor:

a)

0BB@

1CCA

; b)

0@

1A.18. Fie S1 si S2 subspatiile vectoriale ale lui R4 date de: S1 f 1; x 2; x 3; x 4

2 3 4 g, S2 f 1; x 2; x 3; x 4 1 2 , x3 4g. Sa se gaseascadimensiunile si baze ale acestor subspatii, precum si ale subspatiilor S1\ S2, S 1 2.

19. n R2 e x 1 2, unde f1 , f2 . Sa se determinecoordonatele lui x n baza fg1; g 2g, unde g1 , g2 .

20. Sa se determine matricea de trecere de la baza B ff1; f 2; f 3g la bazaB 0 fg1; g 2; g 3g daca f1 , f2 , f3 , g1 ,

8/7/2019 47199052-algebra

51/124

9. PROBLEME 51

g 2 , g3 . Cum se schimba coordonatele unui vector cnd setrece de la baza B 0 la baza B?

8/7/2019 47199052-algebra

52/124

8/7/2019 47199052-algebra

53/124

CHAPTER 3

Aplicatii liniare

Alaturi de notiunea de spatiu vectorial, notiunea de aplicatie liniara sau deoperator liniar are o importanta deosebita n algebra liniara si n aplicatiile acesteia,ca purtator de informatie liniara de la un spatiu vectorial la altul. Vom prezentaacest concept de baza n cele ce urmeaza.

1. Aplicatii liniare. Izomorsme de spatiivectoriale

DEFINITIE. Fie V , W doua subspatii vectoriale peste acelasi corp K . Senumeste aplicatie liniara sau operator liniar (sau morsm de spatii vectoriale) ofunctie T ! W cu proprietatile:

a) T 8xy 2 V; este aditivab) T 8 2 K x 2 V. este omogenaDaca, n plus, T este bijectiva, atunci T se numeste izomorsm de spatii vec-

toriale, iar spatiile V si W se numesc izomorfe si se noteaza V ' WVom folosi de asemenea, notatia Tx n loc de T , daca nu este pericol de

confuzie.

O aplicatie liniara T! V

se numeste transformare liniara sau operatorliniar al lui V sau endomorsm al lui V. Se numeste automorsm al lui V oriceendomorsm bijectiv al lui V.

O aplicatie liniara f ! K se numeste forma liniara pe V sau functionalaliniara pe V.

Vom nota cu L multimea aplicatiilor liniare de la V la W si cu Lmultimea endomorsmelor lui V.

OBSERVATII. 1) Daca n conditia a) punem x V, se obtine T V W.De asemenea, lund n b), se obtine T x T

2) T ! W este liniara daca si numai daca T8xy 2 V ; 2 K

EXEMPLE. 1) Aplicatia ! W;

W,8x 2 V ;

este liniara si se

numeste aplicatia nula de la V la W .2) Aplicatia identica, V ! V ; V 8x 2 Veste liniara. Mai mult,

este automorsm al lui V.3) Fie A 2 M m;n R o matrice xata, A ij Daca x 2 Rn, x 1; :; x n

denim:

T Rn ! Rm; T xnX

i=1

a 1ix i;

nXi=1

a 2ix i; :::;

nXi=1

a mix i

53

8/7/2019 47199052-algebra

54/124

54 3. APLICA TII LINIARE

T este o aplicatie liniara numita aplicatia liniara asociata matricei A. Deexemplu, aplicatia T R3 ! R3; T 1; x 2; x 3 1 2; x 1 x 3; x 1 2

3 este aplicatia generata de matricea A 0@ 1A:4) Fie V un K -spatiu vectorial si un element nenul din K . Aplicatia

T ! V ; este un automorsm al lui V si se numeste omotetie deraport :

5) Fie x 2 Rn; x 1; :; x n Pentru orice k, k n , aplicatiapk Rn ! R; k k este o aplicatie liniara numita proiectie canonica deindice k.

6) Fie c1; :; c n 2 Rn numere xate; aplicatia T Rn ! R; 1; :; x n1 1 nx n este o forma liniara pe Rn:7) Fie a;b 2 R; a< Aplicatia D C1 R ! C0 R 0 8f 2

C1 R este o aplicatie liniara (numita operatorul de derivare). De asemeneaI C0 R ! R; I

bRa

dx; 8f 2 C0 R este o functionala liniara.8) n spatiul vectorilor liberi V3; consideram baza canonica f j k g: Daca

v 2 V3 atunci ~v 1 2 3 Aplicatia T V3 ! R3; 1; v 2; v 3 este,evident, un izomorsm de spatii vectoriale.

PROPOZITIA 1.1. Daca V, W sunt K -spatii vectoriale, atunci L are ostructura naturala de K -spatiu vectorial.

Demonstratie. Fie T;S 2 L si 2 K Denim T ! Wastfel: 8x 2 V si 8x 2 V . T este oaplicatie liniara. ntr-adevar,

8x y 2 V ; 2 KSimilar,

8 2 K y 2 V :Se verica usor ca L nzestrat cu cele doua operatii are o structura de K -spatiu vectorial.

PROPOZITIA 1.2. Fie Vi; i trei K -spatii vectoriale si T2 L 1; V 22 L 2; V 3 Atunci:

a) Aplicatia S

este liniara;

b) Daca T este izomorsm, atunci T1 2 ! V1 este un izomorsm despatii vectoriale.

Demonstratie. a) Din liniaritatea lui T si S , rezulta ca pentru orice x; y 2 V1;; 2 K avem:

T T

8/7/2019 47199052-algebra

55/124

2. NUCLEU SI IMAGINE 55

b) Deoarece inversa unei aplicatii bijective este bijectiva, este sucient sa aratamca T1 este liniara. Fie x;y 2 V2; ; 2 K Exista x0 0 2 V1 astfel nct x 0

0 Atunci:

T1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1;

deci T1 este liniara.

TEOREMA 1.3. a) Orice K -spatiu vectorial de dimensiune n este izomorf cun

:

b) Doua K -spatii vectoriale nit dimensionale V si W sunt izomorfe daca sinumai daca K K

Demonstratie. a) Fie fe 1; :; e ng o baza n V si x 2 n; x 1; :; x nDenim T n ! V astfel Tx 1 1 n n: Vom arata ca T este unizomorsm de spatii vectoriale. T este surjectiva, deoarece, daca v 2 Vatunci exista

1; :; n 2 K astfel nct v 1 1 n n: Exista, deci, x 1; :; n 2n astfel ca T x . De asemenea, T este injectiva, deoarece daca x;y 2 n;x 1; :; x n 1; :; y n si T x , atunci 1 y 1 1 n

n n V : Cum sistemul de vectori f 1; :; e ng este liniar independent, rezultax1 1; :; x n n; adica x . Asadar T este bijectiva.

Vom arata acum ca T este liniara. Fie x; y 2 n ca mai sus si ; 2 Atunci:

T 1 1 1 n n n 1 1 n n

1 1 n n

deci T este liniara. n concluzie K n ' V b) ) Sa presupunem ca V ' W deci exista T ! W izomorsm.

Fie Bfe

1; :; e n

gbaza n V. Vom arata ca B 0

fT1; :; T n

geste baza n

W , de unde K K ind surjectiva, pentru orice y 2 W existax

nPi=1

i i 2 V astfel nct ynP

i=1i i (T ind liniara). Atunci B 0

este un sistem de generatori n W . Pe de alta parte, dacanP

i=1iT i W, atunci

TnP

i=1i i W V : Cum T este injectiva, rezulta

nPi=1

iT i V si cum

B este liniar independenta, vom avea 1 n Asadar B 0 este liniarindependenta si, n consecinta, baza n W .

( Daca K K conform a), exista S1 n ! V S2 n ! izomorsme de spatii vectoriale, Atunci T 2 S11 este unizomorsm.

OBSERVATIE. Izomorsmul U ! n; x 2 V ; x 1 1 n n;x 1; :; x n se numeste izomorsm canonic.

2. Nucleu si imagine

Fie V, W doua K -spatii vectoriale si T 2 LTEOREMA 2.1. a) Daca M este subspatiu vectorial al lui V, atunci T

este subspatiu vectorial al lui W ;

8/7/2019 47199052-algebra

56/124

56 3. APLICA TII LINIARE

b) Daca N este subspatiu vectorial al lui W , atunci T1 fx 2 V 2 N g este subspatiu vectorial al lui V.

Demonstratie. a) Cum V 2 M , rezulta T V W 2 T , deci T 6Fie acum y;y0 2 T si ; 2 K Exista x; x 0 2 M astfel ca Tx 0 0 : ind liniara, rezulta y 0 0 0 Cum M este subspatiuvectorial al lui V, rezulta x 0 2 M , deci y 0 2 T adica T estesubspatiu vectorial al lui W .

b) V 2 1 , deoarece W 2 , deci T1 6 Fie x;y 2 12 K Atunci Tx;Ty2 N deci T 2 N deoarece N este

subspatiu vectorial al lui W . n consecinta, x 2 T 1 DEFINITIE. Subspatiul vectorial T1 W fx 2 V Vg se numeste

nucleul lui T si se noteaza KerT : De asemenea, subspatiul T fy 2 9x 2 V a: g se numeste imaginea lui T si se noteaza

Evident, KerT V si WTEOREMA 2.2. a) T injectiva () T f Vgb) T surjectiva ()Demonstratie. a) ) Fie x 2 K deci Tx W V : Cum T este

injectiva, rezulta x V, deci KerT f Vg( Fie x;y 2 V astfel ca T x . Atunci T y V, adica

x y 2 K , deci x V. Asadar x si T injectiva.b) rezulta imediat din denitia lui

LEM A 2.3. Daca K V si f 1; :; e ng este o baza a lui V, atuncifT 1; :; T ng este un sistem de generatori pentru .Acest sistem de generatoriva baza n dac a si numai daca T este injectiva.

Demonstratie. ntr-adevar, daca y 2 , exista x 2 Vastfel ca Tx Darx 1 1 n n; i 2 K deci y

nPi=1

i i, adica fT 1; :; T ngeste sistem de generatori n . Daca T este injectiva si 1 1 nT n

W, atunci T 1 1 n n W V deci 1 1 n nV : Cum fe 1; :; e ng este liniar independenta, rezulta 1 n , adica

f 1; :; T ng este liniar independenta, deci baza n ImT:Reciproc, presupunem ca fT 1; :; T ng este liniar independenta. Fie

x 2 K , x 1 1 n n si cum T x W, rezulta 1 1 nT nW: Cum fT 1; :; T ng este liniar independenta, rezulta 1 n , deci

x V, adica T este injectiva.

OBSERVATIE. Fie V astfel ca K Cum KerT V, conform teo-remelor 2.1 si 5.1, cap. 2, K n . Conform teoremelor 2.1 si 4.2, cap.2, K n

Putem deci formula:

DEFINITIE. Presupunem ca K Daca T este o aplicatie liniaraT ! W , atunci K se numeste defectul lui T si se noteaza defT :De asemenea, K se numeste rangul lui T si se noteaza rangT:

8/7/2019 47199052-algebra

57/124

2. NUCLEU SI IMAGINE 57

TEOREMA 2.4. (teorema rang-defect) Fie V,W doua K -spatii vectoriale cuK si T2 L Atunci:

K

Demonstratie. Fie p p n; B fe 1; :; e ng baza n KerT, deciT ei i p: Completam baza B la o baza B 0 f 1; :; e p; p+1; :; e ng a luiV. Vom demonstra ca B 00 fT p+1; :; T ng formeaza o baza n . Vom aratamai nti ca B 00 este liniar independenta. Daca p+1 p+1 nT n W,rezulta T p+1 p+1 n n W, deci p+1 p+1 n n 2 K Prinurmare exista 1; :; p 2 K astfel nct p+1 p+1 n n 1 1 p psau 1 1 p p p+1 p+1 n n V : B 0 ind baza n V,rezulta 1 n , deci B 00 este liniar independenta. Sa

47199052-algebra

Documents

Transcript of 47199052-algebra