3.Mola-Instabilita (1)
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8/18/2019 3.Mola-Instabilita (1)
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aicap Associazione Italiana Calcestruzzo Armato e PrecompressoConsiglio Superiore dei LL.PP.
Facoltà di Ingegneria della Università degli Studi di Bologna
LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO:LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO:
DALL’EUROCODICE 2 ALLE OR!E TECIC"EDALL’EUROCODICE 2 ALLE OR!E TECIC"E
Bologna
13 Marzo 2!
E##ETTI DEL 2$ ORDIE I PRESEZAE##ETTI DEL 2$ ORDIE I PRESEZADI CARICO ASSIALEDI CARICO ASSIALE
#ranco !OLA#ranco !OLA% Sara CATTAEO% #rancesca &IUSSAI% Sara CATTAEO% #rancesca &IUSSAI
Politecnico 'i !ilano% Dipartimento 'i In(e(neria StrutturalePolitecnico 'i !ilano% Dipartimento 'i In(e(neria Strutturale
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8/18/2019 3.Mola-Instabilita (1)
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ANALISI STRUTTURALE IN PRESENZA DI FENOMENI
DEL 2° ORDINE
DEFINIZIONI
•Elementi o sistemi controventati
•Elementi o sistemi controventanti
•Elementi isolati•Lun!e""a e##ettiva
•Momenti nominali $i secon$o or$ine
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PRIN%IPI
•Non linearit& meccanica
•Non linearit& eometrica
•Im'er#e"ioni
•Intera"ione con strutture a$iacenti
Analisi enerale inclu$ente li e##etti leati a(
)LI EFFETTI DI SE%ONDO ORDINE
POSSONO ESSERE TRAS%URATI SE
INFERIORI DEL *+, DEI
%ORRISPONDENTI DI PRIMO ORDINE
ANALISI STRUTTURALE IN PRESENZA DI FENOMENI
DEL 2° ORDINE
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"alore li#ite per la snellezza
Criteri sempli)icati per stimare la sensi*ilit+ a(li
e))etti 'el secon'o or'ine 'i elementi isolati
λ = × × ×lim C20 A B n
( )= + ×ϕef A 1 1 0.2
= + ωB 1 2 ω = s yd c cd A f (A f )= − mC 1.7 r =m 01 02r M M
( )= Ed c cdn N A f
$A=0.7%
$C=0.7%0102 M M ≥
$B=1.1%
λ = ×limC
15.4
n
TC
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SELLEZZA PER ELE!ETI ISOLATI
= × × + + ÷ ÷
+ +
1 2
0
1 2
k k l 0.5 l 1 1
0.45 k 0.45 k
= × + + × + ÷ ÷+ + + 1 2 1 2
0
1 2 1 2
10k k k k l l max 1 ; 1 1
k k 1 k 1 k
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E##ETTI &LO,ALI E&LI EDI#ICI
E##ETTI DELLA -ISCOSITA’
= π0B
EIlN
≤+ ∑
cd cs !Ed 1 2
s
E In" k n 1.# $
( )ϕ = ϕ ∞ 0E%&
ef 0
0Ed
M
!' M
( )ϕ ∞ ≤
λ ≤
≥
0
0Ed
Ed
!' 2
75M
(N
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& !eto'o &enerale .&!/
$'nalisi in presenza di non linearità geo#etrica e
#eccanica%
( TC: Analisi non lineare
& !eto'o 'ella Ri(i'ezza ominale .R/
$Metodo P()*valutazione dei +attori di a#pli+icazione degli e++etti di pri#o ordine secondo il #etodo della
colonna #odello #igliorato%
( TC: Analisi elastica lineare
& !eto'o 'ella Cur0atura ominale .C/
$Metodo del #o#ento co#ple#entare%( TC: )eter#inazione della curvatura attraverso l,i#posizionedell,e-uilirio in sezioni predeter#inate $i.e. !eto'o 'ella
Colonna !o'ello/
I !ETODI DI !ISURA DELLA SICUREZZA
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IL !ETODO DELLA RI&IDEZZA O!IALE
& /on linearità geo#etrica
& /on linearità #eccanica5 sti#a della distriuzione delle
rigidezze +lessionali
= +c cd c s s sEI ) E I ) E I
( )
=
=+ ϕ
s
1 2c
ef
1
k k
1
= ck 1f k *M+a,20
( )
=
=+ ϕ
s
c
ef
0
0!-
1 0!5
ρ >s 2
≤ ρ ≤s1 2
( )
≤⋅
≤λ⋅=20.0n30.0
2.0170
nk 2
TC = + ϕ cd c0.-
EI E I1 0.5
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IL !ETODO DELLA RI&IDEZZA O!IALE
& Con+ronto +ra le sollecitazioni agenti e -uelle resistenti
& /on linearità geo#etrica5 #etodi generali o approssi#ati
F
a
a2
a1
P
( ) ( ) + = + − = − π
2 2
1 2 1 1 12kl 4 l+ a a + M + M M M MEI EI
1M M 11 1
β= + α −
2k 4β = π
1MM
1
=− α
a1 sinusoidale
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IL !ETODO DELLA RI&IDEZZA O!IALE
N [kN]
M [kN m]
P PU6PU
eMIP.e
MMI $1(α%
Pπ2I4l2
αPP
= +c cd c s s sEI ) E I ) E I
-
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IL !ETODO DELLA CUR-ATURA O!IALE
& le#enti singoli* +orza nor#ale costante* lung7ezza di liera
in+lessione de+inita
& Con+ronto +ra il #o#ento agente e -uello resistente ulti#o
= +Ed 0Ed 2M M M
( )= + ≥ ≥0e 02 01 02 02 01M 0!#M 0!4M 0!4M M M
= ×2 Ed 2M N e
= ×20
2
l1e
r c
M1
M2
Mo#ento co#ple#entare
-
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IL !ETODO DELLA CUR-ATURA O!IALE
& Sti#a della curvatura nella sezione critica
ε=
yd
0
1
r 0.45d
( )( )
−= ≤−
/r
/ al
n n) 1n n
=
= + ω
Ed
cd c
/
Nn
f A
n 1
=aln 0!4
ϕ = + β×ϕ ≥ef 1 1 λβ = + −ck f 0!-5 200 150
ϕ= r0
1 1 r r
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IL !ETODO DELLA COLOA !ODELLO
– Gli spostamenti laterali sono descritti da curve predeterminate
– Il momento esterno del I ordine è massimo alla base della colonna
– La sezione trasversale è costante (calcestruzzo e acciaio)
– Il carico assiale è applicato in sommità
v()=v!1"#$%( &2')π
n* 0M (v (0))= M +,'+Nv′′
2 2
n* 0M (v (0))= (4' & )Nv (0)+M +,'′′ ′′π2 2
n* 0M (1&r)= (4' & )N(1&r)+M +,'π
-
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r#(12 * C2.2 $caso $a%% * 01873$I%9⋅8$I%c l9.: * 02
r#(12 * C2.2 $caso $%% * 01∞ * 02
r# * C1.; $caso $c%% * 01∞ * 02∞
r#1 * C.; $caso $d%% * 01.: * 02
r#1 * C.; $caso $e%% * 01∞ * 02
ESE!PIO 1 Controllo 'ella snellezza
(E-) b
(E-)#
l
Pd
(a)
(E-) b
(E-)#
l
Pd
(b)
(E-) b
(E-)#
l
Pd
(#)
(E-) b
(E-)#
l
Pd
(d)
(E-)#l
Pd
(e)
4/0
4/0
/0 /0
(4+4)Φ20
+ c0 3< MPa
+ =0 >>:Pd 1.< M/$I% $I%c23
7l 1.2
l : #
-
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× × ×λ = =lim
20 0.714 1.22 2.2#2.7#
0.-7-
λ = × × + = < λ+ lim
12 0.#0.5 # 1 2.5
0.45 0.45 0.#
× × ×λ = =lim
20 0.714 1.22 2.2#2.7#
0.-7-
λ = × × = < λlim12
0.7 # -2.--0.45
× × ×λ = =lim20 0.714 1.22 1.7
4.40.-7-
λ = × = < λlim12
# 4#.10.45
(E-) b
(E-)#
l
Pd
(a)
(E-) b
(E-)#
l
Pd
(b)
(E-) b
(E-)#
.
l
Pd
(#)
×λ = =N3Clim
15.4 2.255.47
0.-7-
×λ = =N3Clim15.4 2.2
55.470.-7-
×λ = =N3Clim
15.4 1.742.7
0.-7-
-
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× × ×λ = =lim
20 0.714 1.22 0.71.7
0.-7-
× × λ = × × + + = > λ ÷+ 1 2
lim
1 2
12 10 k k 0.## max 1 ; 1 #-.51
0.45 k k 1.#
× × ×λ = =lim
20 0.714 1.22 0.71.7
0.-7-
λ = × × = > λlim12
# 2 2.-0.45
(E-) b
(E-)#
l
Pd
(d)
(E-)#l
Pd
(e)
×λ = =N3Clim
15.4 0.717.#5
0.-7-
×λ = =N3Clim 15.4 0.7 17.#50.-7-
-
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ESE!PIO 2 !isura 'ella sicurezza allo stato limite 'i
insta*ilit+% applicazione 'ei meto'i R e C
l
PdFd
e0
70
70
(10+10)Φ24
/ /
l 12 ##e > ##
+ c0 > MPa
+ cd 22.:; MPa
+ =0 >
-
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ESE!PIO 2 3 !eto'o R% analisi strutturale
l
PdFd
e0
70
70
(10+10)Φ24
/ /
I.2⋅cd⋅Ic41⋅s⋅Is1;.; M/
α .33
!E' 4 1521 6m
+⋅⋅+
+⋅⋅=
"1
1lF
"1
1ePM Fd
P0dEd
TC
I.13⋅cd⋅Ic;.;!⋅113 /##2
/B1.33 M/
MdPd⋅e⋅81cos$λl%94Fd⋅L⋅8tg$λl%λl9
α .;
-
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ESE!PIO 2 3 !eto'o C% analisi strutturale
l
PdFd
e0
70
70
(10+10)Φ24
/ / 1r 1r e=d $.>l2 π2 ⋅ (1&r 0) = 3?.>> ##
Md MI 4 P ⋅e2!E' 4 129 6m
ω .31!
nu 1.31!Dr 1.33! E 1
essendo Dr E 1* si assu#e Dr 1.
β .2>3
Dϕ .3?essendo Dϕ G 1* si assu#e Dϕ 1.
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ESE!PIO 2 Analisi sezionale
70
70
//
ε#u
A% =4/ .2 #2
A%=4/.2 #2
ε%
n
ε%
εc εcuε, s (1.;@
εs 1?.?>@
ξ =n 7 .13?
/ (1 M/
!R 4 159; 6m
Md $H/% 1321 0/#Md $/C% 3
-
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ESE!PIO 2 3 !eto'o 'ella Colonna !o'ello
-
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ESE!PIO 5 3 Pro(etto 'i una colonna
l
Pd
Fde0
l 221 ##Pd (1> MPa+ cd 22.:; MPa
+ =0 >
CO O O O
-
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CO#ROTO TRA I !ETODI
Calcolo 'ella )orza orizzontale massima
3MK)K H/
( ) ( )
( )
a6 a6 a6
2
CN CN CN
Ed 0 2
CN
a6
e 74
200 74M F l P e e F l 14/0 F l 1378
1000
14 1378
F 30./5 kN20.21
=
+= × + × + = × + × = × +
−
= =
( )( )
1P
2 2 Ed
2 2
9N
a6
200M 14/0 20 kN31000
e M N 514 33
514M P e 14/0 1151 kN31000
14 20 1151F 2/.55 kN
20.21
= × =
= =
= × = × =
− += =
3MK)K C/
l
PdFd
e0
( )
( )
( )( )
P1 F1 9d
N:C
a6
0.8/8 1 1" 2.1
M M 2.1 M
14 1.4/ 200
F 1./8 kN20.21 2.1
α = α =
+ × =
− ×= =×
3MK)K /C
CO#ROTO CO IL !ETODO &EERALE E IL !ETODO DELLA
-
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CO#ROTO CO IL !ETODO &EERALE E IL !ETODO DELLA
COLOA !ODELLO
Fu $0/% e2 $##% M24MIP
$0/#%
M*d $0/#%
C/ 3.? 13;: 1??> Mu
H/ 2 1>;1 1??> Mu
MC >. >? 1 1!!GMu
/C 1?.
-
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CO#ROTO TRA I !ETODI DI AALISI
Criterio 'i e?ui0alenza
Metodo della Higidezza /o#inale
Metodo della Curvatura /o#inale
α
= − α2 1M M1
α≥ × ×
− α π
2
1 Ed 20
l 1M N 4
1 r
× λ≥ χ −
2cd1
0 c
n f M
M 10E
= = ε0 c c 0 c c ydM E I r E I (0.45d)
× λ
α = = π χ π χ ÷
2Ed cd
222 cc c 2
N n f
ErE A 4l
M2 $H/% ≥ M2 $C/%
0
2
2
2
14
r
l N M
Ed ⋅⋅⋅=π
CO#ROTO TRA I !ETODI DI AALISI
-
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CO#ROTO TRA I !ETODI DI AALISI
P PU6PU
MIP.e
MMI $1(α%
PUPU6
e
$e4e2%
M
/ (/
MIP.e
MP.$e4e2%
Metodo della Higidezza /o#inale Metodo della Curvatura /o#inale
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ESE!PIO 2 TC analisi elastica linea e
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ESE!PIO 2 3 TC% analisi elastica lineare
l
PdFd
e0
70
70
(10+10)Φ24
/ /
I.3$14.⋅122%9⋅1(:1.33 M/
MdPd⋅e⋅81cos$λl%94Fd⋅L⋅8tg$λl%λl9
α /d /B 11.33 .;⋅1:⋅$1.2?%4>⋅12⋅1:⋅$>.:;31.3:%9⋅1(:
!E' 4 5785 6m
l 2l 2> ##
r 22.; ##
l 11?
n .?
cd 2?.1:; APa * s 2 APa
ϕ ϕe+ 2.