36624687-Manual-Maple-11

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL DDEE CCAAJJAAMMAARRCCAA

FACULTAD DE INGENIERA

EESSCCUUEELLAA AACCAADDMMIICCOO PPRROOFFEESSIIOONNAALL DDEE IINNGGEENNIIEERRAA CCIIVVIILL

Tema:

APLICACIN DEL MAPLE AL ANALISIS MATEMATICO

CURSO:

AANNAALLIISSIISS MMAATTEEMMAATTIICCOO IIIIII

Aplicacin del Maple al Anlisis Matemtico INGENIERIA CIVIL

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INTRODUCCIN

En los ltimos aos los ordenadores han incrementado de forma drstica su capacidad para resolver grandes problemas procedentes de los ms diversos campos de la Ciencia debido, de un lado al portentoso avance que ha sufrido el hardware (ordenadores ms potentes y rpidos) y de otro al reciente desarrollo de software con un elevado nivel de sofisticacin. Como parte de este software estn los sistemas de Clculo Cientfico que permiten llevar a cabo no slo clculos numricos complicados sino manipulaciones analticas y tratamientos grficos de los problemas. Son mltiples los sistemas de este tipo, mencionaremos algunos como DERIVE, REDUCE, MACSIMA, Mathematica, Maple. MuPAD o AXIOM, que estn entre los de propsito general. Citamos tambin otros, ms dirigidos al clculo numrico, como Mathcad o Matlab que han incorporado el ncleo algebraico de Maple para manipulaciones analticas

Qu es el maple?

Maple es un programa matemtico de propsito general capaz de realizar clculos simblicos, algebraicos y de lgebra computacional. Fue desarrollado originalmente en 1981 por el Grupo de Clculo Simblico en la Universidad de Waterloo en Waterloo, Ontario, Canad. Su nombre proviene de MAthematical PLEasure (Placer Matemtico).

Desde 1988 ha sido mejorado y vendido comercialmente por Waterloo Maple Inc. (tambin conocida como Maplesoft), una compaa canadiense con sede en Waterloo, Ontario. La ltima versin conocida es Maple 11.

OBJETIVOS:

Entender lo que es el sistema Maple Adquirir las nociones bsicas del trabajo con Maple. Manejar la ayuda y la interfaz del programa. Formarse una idea global de las mltiples capacidades de este manipulador.

HOJAS DE TRABAJO

Cuando inicies una sesin de MAPLE aparecer una hoja de trabajo (worksheet ) en blanco, en la que vers un signo mayor que precedido de un corchete abierto([> ). El corchete indica un rea de trabajo y el signo > indica una zona de entrada.

TIPOS DE REGIONES Hay varios tipos de regiones:

Regin de entrada de texto, como esta que ests leyendo, donde aparecen comentarios en negro. Puedes activar una zona de comentarios pulsando el icono T en la barra de comandos. Podrs escribir con diferentes formatos, tamaos, etc.

Regin de comando(input), como la que aparece al iniciar MAPLE. Se reconoce por el signo > y en ella el texto escrito aparecer en rojo. Puedes iniciar una zona de comando pulsando el icono [> en la barra de comandos. Dentro de una zona de comando se pueden introducir comentarios aclaratorios. Para ello utilizamos el smbolo #, despus se escribe el comentario.

Regin de salida (output), en la que aparecer, en azul, la salida producida por un comando


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AYUDAS

Lo primero que debes saber es cmo llamar a la ayuda de MAPLE. Es tan sencillo como teclear ? en una lnea de comando y pulsar [INTRO]

> ?

Si lo que ocurre es que tienes dudas sobre cul es la sintaxis de un determinado comando, teclea ? y detrs el nombre del comando, despus pulsa [INTRO], por ejemplo:

nos dar informacin acerca del comando factor

Se puede obtener una ayuda general de todas las posibilidades de MAPLE con el comando:

COMANDOS

MAYSCULAS Y MINSCULAS

MAPLE es case sensitive, es decir, distingue entre maysculas y minsculas . Por esto deberemos tener especial cuidado al escribir variables. Por ejemplo: para MAPLE las variables Numero y numero son distintas.

En general, los comandos se escriben en minscula.

Reservaremos las maysculas para las funciones y procedimientos definidos por nosotros.

SINTAXIS GENERAL DE UN COMANDO

Como norma general un comando consta de un palabra clave seguida de unos argumentos que se escribirn englobados en un parntesis separados por comas. Por ejemplo:

El comando solve resuelve la ecuacin del polinomio (igualado a 0) que aparace como primer argumento en el parntesis despejando la variable que aparecere como segundo argumento en el parntesis. Para ver con ms detalle cmo se utiliza este comando teclea:

Hay comandos que no tienen este tipo de sintaxis, como son las operaciones bsicas, la potenciacin, el factorial.


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FINALIZADOR DE UN COMANDO

Para que el comando sea ejecutado ser necesario escribir un finalizador y pulsar [INTRO]. Hay dos tipos de finalizador de comando:

el punto y coma (;) ejecutar el comando y producir una salida que se ver en pantalla en color azul.

los dos puntos (:) que ejecuta el comando pero no producir salida alguna. Es muy til cuando sea necesario ejecutar una serie de comandos donde nicamente interese la salida del ltimo de ellos.

Por ejemplo, el comando para factorizar enteros es ifactor (i por integer y factor por factorizar):

Hay comandos que no tienen este tipo de sintaxis, como son las operaciones bsicas, la potenciacin, el factorial. Puedes ver algunos de ellos tecleando:

> ?index,expression

VARIABLES

Una variable puede llamarse como queramos, siempre que no utilicemos como nombre de la variable el de un comando de MAPLE. Tampoco podemos empezar el nombre de la variable con nmeros e interesa que no incluyamos cdigos extraos (acentos, ee, etc). Recordemos, tambin, que MAPLE distingue entre maysculas y minsculas.

ASIGNACIN DE VARIABLES

Para asignar valor a una variable se utiliza la combinacin dos puntos e igual :=, por ejemlo:

> a:=13;

que devuelve como eco la asignacin a la variable a del valor 13.

Si no queremos el eco debemos usar el terminados dos puntos.

> a:=25:

Ahora no hay eco y, adems a ha cambiado de valor. Esto podemos comprobarlo preguntando el valor de a:

> a;


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ELIMINACION DE VARIABLES

Para eliminar el valor de una variable basta con igualarla a s misma entre comillas simples:

> a:='a';

Si lo que queremos es eliminar todas las variables asignadas podemos utilizar el comando restart

> restart;

"simplify " y "expand

Dos comandos muy utilizados son simplify y expand.

El comando simplify se utiliza para simplificar expresiones, como quebrados, potencias, etc.

Por ejemplo:

Simplificar:

El comando expand se utiliza para expandir expresiones.

Por ejemplo:

> =

PAQUETES DE COMANDOS

MAPLE guarda en su memoria los comandos ms usuales, el resto se guarda en paquetes (packages) que ser preciso cargar cuando vayamos a utilizarlos. Para ver el listado de paquetes disponibles teclea:


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CARGANDO UN PAQUETE

Si necesitamos cargar un paquete concreto utilizaremos el comando with indicando el nombre del paquete. El resultado por pantalla es distinto segn el finalizardor: con punto y coma se listan los comando cargados, con dos puntos el paquete se carga pero no se nos indica nada.

Si utilizamos un comando de un paquete no cargado MAPLE no har nada, simplemente devolver un eco del comando escrito.

OPERACIONES NUMRICAS BSICAS

SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN, DIVISIN Y POTENCIACIN

Se utilizan los signos comunes: +, - , *, / y ^ adems de los parntesis (reiterados si es necesario). MAPLE respeta la prioridad de las operaciones. Por ejemplo:

> ;

Para operaciones bsicas no se utilizarn corchetes ni llaves, nicamente parntesis:

> ;

FACTORIALES

El factorial se indica con el signo admiracin cerrada< !

> 45!;


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OPERACIONES

Las operaciones bsicas con conjuntos son la union, interseccin y diferencia, que en MAPLE se hacen con los operadores union, intersect y minus, respectivamente:

> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} : B:={2,3,5,7,11,13}:

> A union B;

> A intersect B;

> A minus B;

RADICALES

Para obtener la raz de un nmero vamos a las paletas de Expression y seleccionamos el smbolo de raz. Y si se quiere el resultado aproximado se escribe

RACIONALIZACIN

Utilizaremos el comando rationalize:

La funcin rationalize intenta racionalizar la expresin dada, eliminando todas las races del denominador. La funcin no opera dentro de una funcin trascendental como lo son: exp, sin.


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NMEROS ESPECIALES

EL NMERO PI

En MAPLE se escribe Pi o lo obtenemos desde la paleta y podemos obtenerlo con la precisin que deseemos con evalf, por ejemplo con 50 decimales:

>

EL NMERO e

El nmero e es, posiblemente, el nmero ms importante en matemticas superiores. Aparece en muchos procesos de crecimiento, en la desintegracin radiactiva, en la frmula de la catenaria, etc. Podemos obtenerlo desde la paleta expression a travs del siguiente lmite:

Para conseguir todos los decimales que queramos damos, como segundo argumento de c el nmero de decimales requerido.

LOGARITMOS Y EXPONENCIALES

MAPLE calcula de forma directa los logaritmos neperianos con ln() log(). Para que se evalu hay que utilizar evalf:


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Para calcular logaritmos en otra base utilizamos el comando log[base](nmero) :

Podemos utilizar los comandos expand o simplify para desarrollar expresiones con logaritmos y potencias:

TRIGONOMETRA

MAPLE conoce todas las relaciones entre lneas trigonomtricas. Podemos utilizar los comandos simplify y expand para desarrollar una expresin trigonomtrica:

SENO Y COSENO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA

Ahora podemos calcular el seno de la resta y coseno y seno de la suma pidiendo a MAPLE que expanda a la expresin con el comando expand:

>


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NMEROS COMPLEJOS

LA UNIDAD IMAGINARIA I

En MAPLE la unidad imaginaria (raz cuadrada de -1) se escribe con I mayscula. Sus potencias son:

FORMAS DE REPRESENTAR UN COMPLEJO

Ya sabemos que los elementos del cuerpo de los nmeros complejos, isomorfo con RxR, se pueden escribir en diferenes notaciones (binmica, polar, exponencial, trigonomtrica).

FORMA BINMICA

En forma binmica el nmero complejo se escribe:

Para obtener su forma polar utilizamos el comando convert:

FORMA POLAR (MDULO-ARGUMENTO)

Para obtener el mdulo y el argumento de un complejo se utilizan los comandos abs y argument, respectivamente:

Si lo que queremos es pasar un complejo en forma polar a forma binmica usamos evalc (evalue complex):


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FORMA EXPONENCIAL-TRIGONOMTRICA

Utilizando la Frmula de Euler (que podemos obtener utilizando series):

Podemos relacionar la forma trigonomtrica de un complejo Z con su forma exponencial:

Para obtener la forma exponencial y trigonomtrica de un complejo utilizaremos exp y evalc, respectivamente.

POLINOMIOS

DEFINICIN Y GRADO

Para definir un polinomio basta con asignarlo a una variable:

Para ver el grado del polinomio q, se utiliza degree:

Si queremos ver el grado del polinomio podemos hacerlo globalmente o por cada una de sus variables:

Podemos pedir a MAPLE que ordene un polinomio en el grado de la variable que deseemos, por ejemplo:


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OPERACIONES BSICAS

SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIN

Basta con usar los operadores habituales. Por ejemplo, sea:

Sin embargo al hacer la mltiplicacin nicamente la dejar indicada siendo necesario expandirla:

POTENCIA DE POLINOMIOS

Con la potencia ocurre igual que con el producto de polinomios, MAPLE se limita a dejarla indicada siendo necesario pedirle que la expand a:

FACTOR COMN

Para extraer factor comn se utiliza el comando collect, indicando sobre qu polinomio actuar y qu queremos sacar factor comn:


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DIVISIN DE POLINOMIOS

Si realizamos la divisin de polinomios utilizando el operador / no obtendremos los resultados deseados, por ejemplo sean los polinomios p y q:

Vamos a realizar la operacion p/q e incluso a pedir que la expand a:

Como podemos ver no hace la divisin entera de polinomios, para ello tenemos que usar los comandos quo y rem que nos devolvern el cociente y el resto de la divisin, respectivamente. Como parmetros hay que dar el polinomio dividendo, el polinomio divisor y la variable respecto de la que dividimos:


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FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones algebraicas son aquellas cuyo numerador y denominador son polinomios. Una de las operaciones bsicas que podemos hacer con ellas es simplificarlas, si es posible. Para ello utilizamos el comando simplify:

Fracciones Simples

MAPLE es capaz de descomponer fracciones algebraicas complejas en fracciones ms simples. Esto puede ser muy til en el clculo de ciertas integrales. Para hacer esto utlizamos en comando convert, que recibe como primer parmetro la fraccin a simplificar, como segundo parmetro la palabra clave parfrac y como ltimo parmetro la variable:

>

FACTORIZACIN DE POLINOMIOS

Para factorizar un polinomio utilizamos el comando factor:


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ECUACIONES E INECUACIONES. SISTEMAS

ECUACIONES

El comando para resolver ecuaciones es solve poniendo entre parntesis dos parmetros: la ecuacin a resolver y la variable que queremos hallar. Por ejemplo:

Sea la ecuacin:

Si lo que queremos es hallar soluciones reales aproximadas, el comando es fsolve (float solve):

MAPLE tambin encuentra soluciones imaginarias (hay que recordar que I es la unidad imaginaria):

ECUACIONES NO ALGEBRAICAS

MAPLE puede resolver diferentes tipos de ecuaciones no algebraicas (recordemos que las ecuaciones algebraicas son aquellas que se pueden resolver efectuando operaciones algebracias: suma, resta, multiplicacin y divisin).

ECUACIONES CON RADICALES

En el caso de races cuadradas, estas ecuaciones se pueden convertir en algebraicas elevando al cuadrado ambos miembros las veces que sea necesario. De todas formas MAPLE resuelve estas ecuaciones sin incluir soluciones falsas (lo que si ocurre al convertirlas en algebraicas). El comando sqrt indica raz cuadrada. Por ejemplo:

ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

MAPLE resuelve las ecuaciones trigonomtricas dando la solucin para el primer periodo. Hay que recordar que las funciones trigonomtricas en MAPLE se escriben: sin(), cos() y tan() para el seno, coseno y tangente, respectivamente. Por ejemplo:


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ECUACIONES EXPONENCIALES

MAPLE resuelve ecuaciones exponenciales recurriendo a logaritmos neperianos.

Si queremos la solucin real aproximada debemos usar el comando fsolve:

Podemos incluso plantear ecuaciones "curiosas", como: qu nmero elevado a s mismo da 2?

ECUACIONES CON VALORES ABSOLUTOS

MAPLE utiliza el comando abs para indicar valor absoluto. Podemos resolver ecuaciones de este tipo con el comando solve:

>

Tambin lo podemos hacer desde la paleta expression

;


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INECUACIONES

Se resuelven utilizando el comando solve. En la solucin se indica si el intervalo es abierto con Open.

Puede ocurrir que no tengan solucin:

SISTEMAS

SISTEMAS DE ECUACIONES

Para resolver un sistema de ecuaciones se utiliza el comando solve dando dos argumentos. El primero es el conjunto de las ecuaciones, y el segundo el conjunto de las incgnitas.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:


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En el caso de ser sistema compatible indeterminado, la solucin se expresa con parmetros:

En el caso de que el sistema sea incompatible, MAPLE no devuelve nada:

SISTEMAS DE INECUACIONES

Para resolverlos utilizaremos el comando solve con dos parmetros: el conjunto de inecuaciones y el conjunto de incgnitas. En caso de no aparecer respuesta es que el sistema no tiene solucin Por ejemplo:

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCGNITA

Basta con utilizar el comando solve, dando la inecuacin entre llaves y la incgnita entre tambin entre llaves.

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCGNITAS

El comando simplifica el conjunto de inecuaciones.

En este tipo de sistemas es ms til pintar las soluciones. Para ello necesitamos cargar el paquete , y utilizar el comando Este comando tiene como argumentos el conjunto de inecuaciones, el rango en X, el rango en Y y la posibilidad de indicar el color de las diferentes zonas. Interesa ver las diferentes opciones del comando:

> inequal({2*x-y


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En este ejemplo hemos pedido: - La zona solucin en color verde; - La zona excluida en color amarillo; -Las fronteras abiertas en color azul; - Las fronteras cerradas en color rojo.

MATRICES Y VECTORES

VECTORES

Para definir un vector utilizamos el comando , dando las componentes del vector en forma de lista:

OPERACIONES CON VECTORES

En general se puede hacer cualquier operacin con vectores pidiendo que se evale con el comando

La suma, resta y multiplicacin por un nmero real se expresan con los operadores habituales (+,-,*):


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PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar se calcula a travs del comando previamente activando el paquete , que recibe como parmetros los dos vectores que se multiplican. Est definido considerando que los vectores pueden ser complejos. Esto quiere decir que de los vectores u y v, devuelve el producto escalar de u por el conjugado de v (esto permite calcular el mdulo de un complejo):

Entonces:

Norma o mdulo de un vector

El mdulo de un vector se puede calcular como la raz cuadrada positiva del producto escalar de un vector por s mismo. Recordemos que para calcular el producto escalar se utiliza el comando del paquete

Clculo del vector unitario

Calcular el vector unitario de otro dado, esto es, el vector de mdulo 1 de la misma direccin y sentido que el primero, se denomina normalizar un vector.

Para obtener el vector unitario dividimos el v1 sobre el modulo con el comando :

>


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PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial se consigue con el comando del paquete

Como podemos ver, el vector resultante es perpendicular al plano definido por los otros dos vectores.

MATRICES Para definir una matriz en este caso tenemos una paleta en de donde podemos insertar una matriz, aunque tambin se puede hacer con el comando matrix Usando la paleta: para insertar se despliega la paleta matrix y se elige el numero de filas y columnas de la matriz y luego se da Insert Matrix. Rows: numero de filas Columns: numero de columnas

Usando el comando: para insertar una matriz se escribe el comando matrix y luego se indica escribe los elementos como se ve en la a continuacin en la figura:


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OPERACIONES CON MATRICES

Podemos hacer las operaciones bsicas con matrices (suma resta y multiplicacin por un nmero) utilizando los operadores normales (+, - ,*), y despus evaluar la matriz resultado con el comando

>


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MULTIPLICACIN DE MATRICES

Para multiplicar dos matrices es necesario utilizar la combinacin de smbolos &*, dado que este producto no es conmutativo. Tenemos que recordar que, para que dos matrices se puedan multiplicar, es necesario que el nmero de columnas de la primera coincida con el nmero de filas de la segunda. Para evaluar el resultado utilizaremos el comando evalm.

>

FUNCIONES

MAPLE permite dibujar funciones en el plano y en el espacio, para ello utiliza los comandos plot y plot3d, respectivamente.

FUNCIONES EN EL PLANO

DEFINICIN

A PRIORI

Para definir una funcin a priori se utiliza el operador ->

> f:=x->x^2-2*x+1;

> g:=t->1/2*9.8*t^2;


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En el caso de haber varias variables se escriben todas entre parntesis:

> h:=(x,y,z)->x^2+y*z-1;

Es posible especificar el tipo de variable independiente, por ejemplo:

> f:=(x::integer)->x;

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Para definir funciones a trozos utilizamos en comando piecewise, inidcando el primer intervalo, la primera funcin, el segun inervalor, la segunda funcin, etc:

> f:=x->piecewise(x plot(f(x),x=-4..6,y=-1..3);

FUNCIONES CON VALORES ABSOLUTOS

El comando abs calcula el valor absoluto de una expresin.

> g:=x->abs((x-1)*(x+1));plot(g(x),x=-3..3);


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A POSTERIORI

Podemos tomar el resultado de un clculo anterior y convertirlo en funcin con el comando unapply, que tiene como primer argumento la candidata a funcin y como segundo argumento la candidata a variable independiente.

> a:=expand(2*(x-1)^2+3);

> f:=unapply(a,x);

OPERACIONES CON FUNCIONES

SUMA Y RESTA DE FUNCIONES

A partir de dos o ms funciones podemos definir la funcin suma y resta:

> f:=x->2*x-4:g:=x->x^2-4:

> suma:=x->f(x)+g(x);resta:=x->f(x)-g(x);

> with(plots):

> p:=plot({f(x),g(x),suma(x),resta(x)},x=-2..4,color=[yellow,red,green,blue]):

> t:=textplot([[4,f(4),'f(x)'],[4,g(4),'g(x)'],[4,suma(4),'f+g'],[4,resta(4),'f-g']]):

> display(p,t,title=`Suma y resta de funciones`);


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> restart:

PRODUCTO Y DIVISIN DE FUNCIONES

Para definr el producto o divisin de dos funciones hacemos:

> f:=x->x-1 : g:=x->x^2-4:

> m1:=x->2*f(x); m2:=x->f(x)*g(x); m3:=x->f(x)^2 ; d1:=x->f(x)/g(x);

> plot(m3(x),x=-4..4);


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COMPOSICIN DE FUNCIONES

Para componer dos funciones podemos hacer:

> f:=x->x-1 : g:=x->x^2+1:

> h:=x->g(f(x));

> with(plots):

> p:=plot({f(x),g(x),h(x)},x=-3..3,color=[red,green,blue]):

> t:=textplot([[-3,f(-3),'f(x)'],[-3,g(-3),'g(x)'],[-3,h(-3),'g(f(x))']]):

> display(p,t,title=`Composicin de funciones`);

> restart:

TRASLACIN DE FUNCIONES

Vamos a tratar aqu cmo podemos trasladar matemticamente una determinada funcin horizontal y verticalmente.

TRASLACIN VERTICAL

Para trasladar una funcin verticalmente basta con sumar, o restar, un valor a la funcin: g(x)=f(x)+k

Vamos a ver cmo se traslada verticalmene la funcin f(x)=x^2-3:

> f:=x->x^2-3:

> with(plots):


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> animate(f(x)+t,x=-3..3,t=-3..3);

> restart:

Como podemos ver, el comando animate (que est en el paquete plots) permite ver la secuencia de movimientos. Como parmetros tiene la funcin (con dos variables: la x y el paso de tiempo), el rango del eje x y el rango de tiempo. Si hacemos click sobre la figura aparecer un men con las opciones clsicas de un video. nicamene tenemos que probar.

TRASLACIN HORIZONTAL

Para trasladar una funcin horizontalmente basta con sumar, o restar, un valor al argumento de la funcin: g(x)=f(x+k)

Vamos ver cmo se traslada horizontalmente la funcin f(x)x^2-3:

> f:=x->x^3:

> with(plots):

> animate(f(x+t),x=-6..6,t=-3..3);

> restart:


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INVERSA DE UNA FUNCIN

La funcin inversa de otra dada se puede obtener as:

> f:=x->x^(1/2);solve(y=f(x),x);g:=unapply(%,y);

> plot({f(x),g(x)},x=0..4,y=0..4,scaling=constrained);

GRFICA DE UNA FUNCIN

EL COMANDO PLOT

Con el comando plot podemos dibujar una o varias funciones. Adems de la funcin indicamos el intervalo de valroes en los que se pintar la funcin (obligatorio) y el intervalo de valores del eje Y (opcional).

> f:=x->(x-1)^3:

> plot(f(x),x=-1..3);


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Si hacemos click sobre el cuadro de la funcin veremos cmo se activa un nuevo men que nos permitir colocar los ejes, cambiar el aspecto de la funcin, etc. nimo... la curiosidad es la mejor baza.

Si lo que queremos es representar varias funciones a la vez tambin podemos usar el comando plot, pero ahora debemos pasar un conjunto de funciones (entre llaves, aunque tambin podemos pasar una lista de las funciones, entre corchetes). Podemos elegir los colores de cada una con la opcin color y el nombre de los colores en ingls:

> f:=x->x : g:=x->x^2 : h:=x->x^3:

> plot({f(x),g(x),h(x)},x=-2..2,color=[red,green,blue]);

Podemos utilizar ms opciones de plot. Lo mejor es acudir a la ayuda y experimentar:

> ?plot

TEXTOS EN LAS GRFICAS

Se puede rotular una grfica utilizando el comando textplot. Como argumentos se dan listas que se forman con las coordenadas y el texto, entre comilla simple, que queremos escribir:

Para ver el resultado necesitamos el comando display.

> ?textplot

EL COMANDO DISPLAY

El comando display est en el paquete plots, y permite pintar varias grficas juntas, con rtulos e incluso ttulo:

> ?plots,display

Si queremos pintar varais grficas y rotularlas, la mejor opcin es ir definiendo cada grfica con el comando plot y guardarlas como variables. Los rtulos se definen con textplot y se guardan en otra variable. El comando display permite recoger todas estas variables y pintar la grfica.


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> with(plots):

> g1:=plot(ln(x),x=0.1..7,color=red):

> g2:=plot(exp(x),x=-5..2,color=blue):

> g3:=plot(x,x=-4..5,color=green):

> t:=textplot([[6,ln(6)-1,'ln(x)'],[3,exp(2),'exp(x)'],[6,5,x]]):

> display(g1,g2,g3,t,title=`Funciones inversas`,scaling=CONSTRAINED);

> restart:

MOVIMIENTO EN LAS GRAFICAS: animate

El comando animate del paquete plots permite animar grficas. Es necesario dar tres parmetros: la funcin, que debe depender de dos variables (la variable independiente normal y otra variable que indique el paso temporal para la animacin), el rango de variacin de la variable independiente y el intervalo de variacin del paso temporal. Es recomendable ver qu otras opciones tiene animate:

> ?plots,animate

Una vez pintada la grfica, al hacer click sobre ella quedar seleccionada y aparecer un men, parecido al de un video, en la barra de mens: la curiosidad es la mejor recomendacin:

> with(plots):animate(sin(t*x),x=-Pi..Pi,t=-10..10);restart:


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GRFICAS EN DIFERENTES COORDENADAS

Adems de la representacin en forma explcita clsica, que se realiza con el comando plot. Tambin podemos representar curvas implcitas, en paramtricas y en coordenadas polares.

REPRESENTACIN IMPLCITA

Para representar una funcin con ecuaciones implcitas se utiliza el comando implicitplot del paquete plots. Al comando implicitplot hay que darle la funcin implcita, el intervalo de variacin de la variable independiente y el intervalo de variacin de la variable dependiente.

> with(plots):implicitplot(x^2-y^2=2,x=-3..3,y=-3..3,scaling=CONSTRAINED);restart:

Haciendo click sobre la figura, sta queda seleccionada y se activa un men (en la barra de mens) con diferentes opciones para probar.


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REPRESENTACIN PARAMTRICA

Para representar una curva en ecuaciones paramtricas se utiliza el comando plot. El conjunto de ecuaciones paramtricas se le da a plot en forma de lista ordenada: primero x(t), luego y(t), junto con la variacin del parmetro t. El resto de opciones de plot siguen siendo vlidas.

Una de las conocidas curvas de Lissajous se puede obtener as:

> plot([5*sin(1/4*t),7*sin(t),t=-2*Pi..8*Pi]);

La curva locura de Stanley S. Miller ilustra de una forma excelente la representacin de curvas a travs de ecuaciones parametrizadas:

> plot([sin(0.99*t)-0.7*cos(3.1*t),cos(1.01*t)+0.1*sin(15.03*t),t=0..50],color=blue);


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COORDENADAS POLARES

MAPLE puede representar curvas dadas en coordenadas polares utilizando el comando polarplot del paquete plots. Este comando recibe dos parmetros: la funcin polar r=r(theta) y el intervalo de variacin del argumento.

> with(plots):polarplot(5,theta=0..Pi/2,scaling=CONSTRAINED);restart:

> with(plots):polarplot(cos(6*alpha),alpha=0..2*Pi,scaling=CONSTRAINED);restart:

Tambin podemos dar el mdulo y el argumento en forma paramtrica, utilizando tambin el comando polarplot dando una lista ordenada con la ecuacin del mdulo y la del argumento en funcin de un parmetro, y dando el intervalo de variacin del parmetro.

> with(plots):polarplot([t,t,t=0..4*Pi],color=blue,scaling=CONSTRAINED);restart:


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GRFICAS A TRAMOS

Podemos representar una curva poligonal haciendo una lista de los vrtices por los que pasa. Los pares ordenados se ponen entre corchetes, como las listas, para indicar precisamente que estn ordenados.

> p:=[[-3,1],[-1,0],[1,3],[2,4],[4,5],[6,2]]:

> plot(p,x=-4..7);

SUPERFICIES Y CURVAS EN EL ESPACIO

Adems de la representacin en forma explcita, que se realiza con el comando plot3d. Tambin podemos representar superficies dadas de modo implcito, en paramtricas y en coordenadas esfricas y cilndricas.

EL COMANDO plot3d

MAPLE puede representar superficies en el espacio con el comando plot3d, al que hemos de darle la funcin explcita de dos variables y el intervalo de variacin de cada una de ellas

> f:=(x,y)->x^2-y^2;


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> plot3d(f(x,y),x=-8..8,y=-8..8,grid=[50,50]);

Si hacemos click sobre la imagen se activar un men en la barra de mens que nos permitir elegir el tipo de grid, los ejes y la escala, as como rotar la funcin alrededor de los ejes. Si hacemos click sin soltar el botn sobre la funcin podremos moverla para verla desde diferentes ngulos.

El comando plot3d tiene muchas opciones con las que podemos cambiar el aspecto de la grfica (como la opcin grid utilizada en el ejemplo. Es recomendable acudir a la ayuda de MAPLE para ver estas opciones:

> ?plot3d[option]

Con el comando plot3d podemos pintar varias funciones a la vez, basta con pasar como parmetro al comando plot3d el conjunto de las funciones a representar.

> f:=(x,y)->sin(x)-cos(x);

> g:=(x,y)-> cos(x*y);

> plot3d({f(x,y),g(x,y)},x=-Pi..Pi,y=0..Pi,axes=BOXED);


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SUPERFICIES EN PARAMTRICAS

Para representar una superficie dada en forma de ecuaciones paramtricas basta con utilizar el comando plot3d dando como primer argumento la lista de las ecuaciones paramtricas y despus el intervalo de variacin de los parmetros:

> x:=-(3+sin(u))*sin(v):y:=(3+sin(u))*cos(v):z:=cos(v):

> plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)],u=-Pi..Pi,v=-Pi..Pi,axes=BOXED,orientation=[137,72]);

Si hacemos girar una circunferencia definida en el plano YZ, en torno al eje X, obtendremos un toro:

> x:=10*cos(u)+3*cos(u)*cos(v):y:=10*sin(u)+3*sin(u)*cos(v):z:=3*sin(v):

> plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)],u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,axes=NORMAL,labels=[X,Y,Z],scaling=CONSTRAINED);


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SUPERFICIES EN FORMA IMPLCITA

Para representar superficies dadas en forma implcita necesitamos el comando implicitplot3d del paquete plots. Como primer argumento damos la funcin en forma implcita y despus el intervalo de variacin de las tres variables. Aqu tenemos la representacin de un paraboloide hiperblico:

> restart:with(plots):

> implicitplot3d(x^2-y^2-z=0, x=-5..5, y=-5..5,z=-5..5,orientation=[68,51],grid=[20,20,20],axes=BOXED);

> restart:

Y aqu la de un hiperboloide (de una hoja):

> with(plots):

> implicitplot3d(x^2+y^2-z^2=1, x=-4..4, y=-4..4, z=-4..4,orientation=[59,67],grid=[20,20,20],axes=BOXED);

> restart:


39

CUDRICAS

Las llamadas superficies cuadrticas, o simplemente cudricas, se definen mediante ecuaciones de la forma:

> f:=Sum(a[ij]*x[i]*x[j],ij=i..3)+Sum(b[i]*x[i],i=1..3)+c=0;

Los casos no triviales se pueden llevar a uno de los seis siguientes:

1.- Elipsoide:

> with(plots):

> ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1;a:=5:b:=4:c:=3:

> implicitplot3d(ec1,x=-5..5,y=-4..4,z=-3..3,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Elipsoide`,orientation=[68,73]);

> restart:


40

2.- Hiperboloide de una hoja:

> with(plots):

> ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1;a:=5:b:=4:c:=3:

> implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=-6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Hiperboloide de una hoja`,orientation=[61,73]);

> restart:


41

3.- Hiperboloide de dos hojas:

> with(plots):

> ec1:=x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1;a:=5:b:=4:c:=3:

> implicitplot3d(ec1,x=-15..15,y=-15..15,z=-10..10,axes=NORMAL,scaling=CONSTRAINED,title=`Hiperboloide de dos hojas`,orientation=[115,74]);

> restart:

4. - Paraboloide elptico:

> with(plots):

> ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2-z=0;a:=5:b:=4:

> implicitplot3d(ec1,x=-20..20,y=-20..20,z=0..17,axes=NORMAL,scaling=CONSTRAINED,title=`Paraboloide elptico`,orientation=[81,69]);

> restart:


42

5.- Paraboloide hiperblico:

> with(plots):

> ec1:=x^2/a^2-y^2/b^2-z=0;a:=5:b:=4:

> implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=-6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Paraboloide elptico`,orientation=[69,64]);

> restart:


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6.- Cono cudrico (x,y,z>(0,0,0):

> with(plots):

> ec1:=x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0;a:=5:b:=4:c:=3:

> implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=-6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Cono cudrico`,orientation=[52,81]);

> restart:

SUPERFICIES EN COORDENADAS ESFRICAS

MAPLE puede representar superficies dadas en coordenadas esfricas usando el comando sphereplot del paquete plots.

> with(plots):

> r:=(theta,phi)->5*theta*phi;

> sphereplot(r(theta,phi),theta=0..2*Pi,phi=0..2*Pi,axes=BOXED,style=LINE,orientation=[-137,36]);

> restart:


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SUPERFICIES EN COORDENADAS CILNDRICAS

MAPLE puede representar superficies dadas en coordenadas cilndricas usando el comando cylinderplot del paquete plots.

> with(plots):

> r:=(theta,z)->2*theta;

> cylinderplot(r(theta,z),theta=0..5*Pi,phi=0..10,axes=BOXED,style=LINE);

> restart:


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TEXTO EN LAS GRFICAS. COMANDO display

Se puede incluir texto en las grficas con el comando textplot3d del paquete plots indicando, en forma de lista, las tres coordenadas y el text.

El proceso es el siguiente:

1) definimos la grfica (con plot3d o implicitplot3d) y la guardamos en una variable

2) usando textplot3d definimos los textos y los guardamos en otra variable

3) por ltimo utilizamos el comando display, del paquete plots, para pintarlo todo. display recibe en forma de conjunto las variariables que guardan las grficas y los textos. Adems display puede recibir muchas opciones. Conviene visitar la ayuda de MAPLE y tener curiosidad.

> with(plots):

> ec1:=x^2/a^2-y^2/b^2-z=0;a:=5:b:=4:

> c:=implicitplot3d(ec1,x=-10..10,y=-10..10,z=-6..6,axes=BOXED,scaling=CONSTRAINED,title=`Paraboloide elptico`,orientation=[139,57],style=PATCHNOGRID): #hemos guardado la grafica en la variable g

> t:=textplot3d([0,0,0,`Punto de silla`], font=[COURIER,BOLD,14],color=black): #hemos guardado los textos en la variable t

> display({c,t},title=`Punto de silla en un paraboloide hiperblico`);

> restart:


46

CURVAS EN EL ESPACIO

Para representar curvas en el espacio se utiliza el comando spacecurve del paquete plots. Este comando recibe las ecuaciones paramtricas de la funcin en forma de lista, y el intervalo de variacin del parmetro.

> with(plots):

> x:=t->2*cos(t):y:=t->2*sin(t):z:=t->t:

>spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=0..6*Pi,axes=NORMAL,labels=[X,Y,Z],orientation=[96,63],title=`HELICE CIRCULAR`);

> restart:

El comando tubeplot, del paquete plots, permite realzar la curva con la opcin radius, que permite dar grosor, en forma de tubera, a la curva. Para ello incluiremos la opcin radius=a un nmero que ser el grosor de la tubera:

> with(plots):

> x:=t->20*cos(t):y:=t->20*sin(t):z:=t->t:

> tubeplot([x(t),y(t),z(t)],t=0..6*Pi,axes=NORMAL,labels=[X,Y,Z],orientation=[-32,67],radius=2,scaling=UNCONSTRAINED,title=`Tubo en forma de hlice circular`);

> restart:


47

ANIMACIN EN TRES DIMENSIONES: animate3d

MAPLE permite animar grficas en el espacio con el comanod animate3d del paquete plots. Es necesario dar la funcin con un parmetro, que indicar el paso temporal. Tambin es preciso dar los intervalos de variacin de las variables de la funcin y del parmetro temporal.

> with(plots):

> f:=(x,y)->cos(t*x)^2+sin(t*y):

> animate3d(f(x,y),x=0..Pi,y=0..Pi,t=1..2);

> restart:

Una vez dibujada la grfica hacemos click sobre ella. Entonces aparecer un men, similar al de un video, en la barra de mens. Basta con pular el play...


48

ASNTOTAS DE UNA FUNCIN

Podemos encontrar las asntotas de una funcin mediante la utilizacin de lmites.

ASNTOTAS HORIZONTALES

Las asntotas horizontales (AH) se calculan de la siguiente manera:

> restart:

> AHd=Limit(f(x),x=infinity);

Tambin podemos ver las AH hacia la izquierda:

> AHi=Limit(f(x),x=-infinity);

La siguiente funcin tiene AH en y=0 por la derecha y por la izquierda:

> f:=x->x/(x^2+1);

> AHd=limit(f(x),x=infinity);

> AHi=limit(f(x),x=-infinity);

> plot(f(x),x=-100..100);


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La siguiente funcin tiene AH en y=0 nicamente por la izquierda:

> f:=x->exp(x);

> AHd=limit(f(x),x=infinity);

> AHi=limit(f(x),x=-infinity);

> plot(f(x),x=-4..4);

ASNTOTAS VERTICALES

Una funcin tiene asntotas verticales (AV) en x=k si el lmite cuando x tiende a k de la funcin es infinito (ms infinito o menos infinito) o indeterminado.

El comando discont de la librera general devuelve puntos anmalos candidatos a ser AV:


50

> readlib(discont):

> f:=x->x^2/(x^2-1);

> discont(f(x),x);

> limit(f(x),x=-1);

> limit(f(x),x=1);

> plot(f(x),x=-2..2,y=-10..10,discont=true,color=blue);

ASNTOTAS OBLICUAS

Las asntotas oblicuas (AO) son rectas (y=mx+n) cuya pendiente y ordenada hay que determinar.

Para determinar la pendiente efectuamos el lmite:

> restart:

> m=Limit(f(x)/x,x=infinity);


51

Si este lmite se va a infinito no hay AO. Si el lmite se anula es probable que haya una AH.

Para determinar la ordenada en el origen (n) de la AO se calcula el siguiente lmite:

> n=Limit(f(x)-m*x,x=infinity);

> f:=x->x^2/(x-2);

> m:=limit(f(x)/x,x=infinity);

> n:=limit(f(x)-m*x,x=infinity);

> AO:=x->m*x+n;

> plot([f(x),AO(x)],x=-3..10,y=-5..20,color=[blue,red]);

DERIVADAS

MAPLE es capaz de realizar cualquier clculo con derivadas: derivacin implcita, logartmica, derivada parcial, etc. Para ello utiliza los comandos diff y D. El comando diff ofrece la forma inerte si lo escribimos Diff:


52

EL COMANDO diff

Para hallar la derivada de una funcin se utiliza el comando diff, que en su forma Diff da la expresin inerte de la derivada. diff tiene dos argumentos: la funcin a derivar y la variable respecto de la que se deriva.

> f:=x^2*sin(x):

> Diff(f,x) = diff(f,x);

diff puede aplicarse sobre una expresin, como en el caso anterior, o sobre una funcin:

> f:=x->x^2*sin(x):

> Diff(f(x),x) = diff(f(x),x);

Podemos preguntarle a MAPLE las diferentes reglas de derivacin: se las sabe todas! (incluso con la aplicacin de la regla de la cadena):

> restart:

> Diff(sin(x),x)=diff(sin(x),x);

> Diff(cos(f(x)),x)=diff(cos(f(x)),x);

> Diff(arctan(f(x)),x)=diff(arctan(f(x)),x);


53

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Para hacer una deriva de orden superior ponemos la variable a derivar tantas veces como sea el orden de la derivada. Por ejemplo, para hallar la derivada quinta de la funcin f=sin(x^2), hacemos:

> diff(sin(x^2),x,x,x,x,x);

Aunque tambin podemos escribir x$5 en vez de x cinco veces:

> diff(sin(x^2),x$5);

DERIVADAS PARCIALES

Cuando una funcin tiene varias variables se deriva respecto de una de ellas, considerando constante a las dems:

> f:=(x,y,z)->x^2+4*x*y-y^2*z^3+5:

> Diff(f(x,y,x),y,x) = diff(f(x,y,z),y,x);

DERIVACIN LOGARMICA

Para hacer derivadas de funciones potencial exponenciales recurrimos al logaritmo neperiano.

> y=x^x;

> ln(y(x)) = x*ln(x);

> diff(ln(y(x)),x) = diff(x*ln(x),x);

> diff(y(x),x) = y(x)*diff(x*ln(x),x);


54

MAPLE no tiene por qu realizar todo este proceso. MAPLE realiza estas deriadas de forma automtica:

> diff(x^x,x);

FUNCIN DERIVADA

Para obtener la funcin derivada (no la expresin de la derivada) se utiliza el operador D. Este operador nicamente acta sobre funciones.

> f:=x->x^2;

> F:=D(f);

> plot({f(x),F(x)},x=-3..3,title=`Una funcin y su funcin derivada`);

APLICACIONES DE LA DERIVADA

La derivada se utiliza en multitud de clculos matemticos, como pueden ser los desarrollos de Taylor y en serie de potencias, el clculo de mximos y mnimos, la determinacin de ciertos lmites de funciones, etc.

PROBLEMAS DE MXIMOS Y MNIMOS

Hallar los mximos y mnimos relativos de la funcin: y = e^xsen(x)


55

> y:=x->x^4*exp(-x^2);

Hallamos la derivada primera y la derivada segunda de la funcin:

> Diff(y(x),x)=diff(y(x),x);

> dp:=rhs(%);

> Diff(y(x),x$2)=diff(y(x),x$2);

> ds:=rhs(%);

Igualamos a cero la primera derivada y resolvemos la ecuacin, as encontramos la abscisa de un punto singular, pero no sabemos si es un mximo o un mnimo:

> p:=solve(dp=0,x);

Probamos los valores obtenidos en la segunda derivada:

> DS:=unapply(ds,x);

> p[1],DS(p[1]);


56

> p[4],DS(p[4]);

> p[5],DS(p[5]);

Como la derivada segunda en p=0, es 0 sera necesario analizar el comportamiento de f'

La derivada segunda en p=+sqrt(2) da negativo, luego la funcin tiene un mximo en +sqrt(2)

La derievada segunda en p=-sqrt(2) da negativo, luego la funcin tiene otro mximo en -sqrt(2)

INTEGRALES

MAPLE puede calcular integrales con el comando int. Si escribimos el comando Int obtendremos la expresin interte de la integral.

En el paquete student hay comandos referidos a la integracin. Conviene, por lo tanto, mirar la ayuda:

> ?student

INTEGRAL INDEFINIDA

Podemos integrar expresiones con el comando int dando como primer argumento la expresin, y como segundo argumento la variable con respecto a la cual integramos:

> int(2*x*sin(x),x);

Para integrar funciones basta con que el primer parmetro sea la funcin a integrar:

> f:=x->x*exp(x);Int(f(x),x)=int(f(x),x);

MAPLE conoce todas las reglas de integracin, por ejemplo:

> Int(sin(x),x)=int(sin(x),x);


57

MAPLE es capaz de integrar por diferentes mtodos: cambio de variable, por partes y por fracciones simples, aunque para el usuario el procedimiento no se ve, basta con utilizar el comando int. De todas formas podemos forzar a MAPLE a integrar por partes con el comando intparts del paquete student, dando como primer parmetro la expresin de la integral y como segundo parmetro la funcin u (de int(udv) = uv-int(vdu)):

> with(student):intparts(int(x^4*exp(x),x),x^4);restart:

INTEGRAL DEFINIDA

Para evaluar una integral definida tambin se utiliza el comando int, dando como primer parmetro la expresin o la funcin a integrar, y como segundo argumento el intervalo de variacin de la variable. Recordemos que Int devuelve la expresin inerte:

> Int(x*sin(x),x=0..Pi)=int(x*sin(x),x=0..Pi);

> f:=x->1/sqrt(a^2-x^2):

> Int(f(x),x=0..a)=int(f(x),x=0..a);

REA BAJO UNA CURVA

Utilizando los comandos letbox, rightbox y middlebox del paquete student podemos ver la interpretacin geomtrica de la integral definida: como parmetros damos la funcin, el intervalo del eje X y el nmero de rectngulos que queremos que aparezcan. Tambin podemos pedir direrentes colores, etc.

Incluso podemos pedir que se calcule la suma de las reas de los rectngulos (interpretacin de la integral de Riemann)

> f:=x->10*x/(x^2+4):

> with(student):


58

> rightbox(f(x),x=0..5,10);Suma1:=evalf(rightsum(f(x),x=0..5,10));

> middlebox(f(x),x=0..5,10);Suma2:=evalf(middlesum(f(x),x=0..5,10));

> leftbox(f(x),x=0..5,10);Suma3:=evalf(leftsum(f(x),x=0..5,10));

Podemos ver cmo estos tres valores convergen cuando el nmero de rectngulos crece.


59

INTEGRALES IMPROPIAS

MAPLE calcula automticamente integrales impropias, sean de la especie que sean, con el comando int.Como primer argumento se da la expresin a integrar y como segundo argumento el intervalo de integracin, poniendo el infinito como infinity

> f:=x->x/(sqrt(x^4+1)):

> Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

> f:=x->exp(-x^2):


> Int(f(x),x=-infinity..infinity)=int(f(x),x=-infinity..infinity);

> f:=x->sin(p*x)^2/x^2:


> f:=x->exp(-a*x^2):

> assume(a>0):Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);


60

> assume(a=0):Int(f(x),x=0..infinity)=int(f(x),x=0..infinity);

> assume(a f:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2:

> Int(Int(Int(f(x,y,z),z=0..1),y=0..1),x=0..1)=int(int(int(f(x,y,z),z=0..1),y=0..1),x=0..1);

> Int(Int(Int(x^2+y^2+z^2,z = 0 .. 1),y = 0 .. 1),x = 0 .. 1) = 1;

Tambin podemos utilizar los comando Doubleint y Tripleint del paquete student, siendo necesario evaluar luego la salida de estos comandos:

> with(student):

> f:=(x,y,z)->x*y*z+x^2:

Warning, new definition for D


61

> Tripleint(f(x,y,z),z=0..1,y=-2..2,x=-1..1);

> %=value(%);

En este ltimo comando hemos utilizado el comodn.

ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES Para trabajar con comandos relativos a ecuaciones y sistemas diferenciales es necesario cargar las siguientes libreras:

Los comandos ms importantes de Maple que resuelven ecuaciones y sistemas diferenciales son los siguientes:

Resuelve simblicamente la ecuacin diferencial ordinaria para la funcin La solucin suele venir en forma implcita como una ecuacin en , en y en las constantes . Se considera como variable independiente y como variable dependiente.

Resuelve la ecuacin diferencial expr = 0.

Resuelve la ecuacin diferencial deqn sujeta a las condiciones inciales

dsolve(deqn, fnc(var), explicit=true); Da la solucin en forma explcita de la ecuacin diferencial deqn, si es posible.

Resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales dado, para la variable independiente var y las dependientes fnc1,...,fncn. dsolve({deqn1,...,deqnn, cond1,...,condm},{fnc1(var),...,fncn(var)}); Resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales dado, para la variable independiente var y las dependientes fnc1,..., fncn y las condiciones iniciales cond1,..., condm.

Encuentra soluciones exponenciales de una ecuacin diferencial lineal deqn. odeadvisor(ode,[help]); Nos indica el tipo de la ecuacin diferencial ode.


62

Encuentra un factor integrante para la ecuacion diferencial deqn.

Muestra un grfico bidimensional para el resultado de la ecuacin diferencial deqn, que satisface las condiciones iniciales, con variable dependiente vardep y con variable independiente varind variando entre a y b ( la variable dependiente vara por defecto entre -10 y 10.

Dibuja las soluciones del sistema de ecuaciones dado verificando las condiciones iniciales. El comando admite las mismas opciones que ecuaciones diferenciales. TRANSFORMADA DE LAPLACE Para trabajar con la transformada de Laplace es necesario cargar la librera:

Algunos comandos importates relativos a la transformada de Laplace son los siguientes:

Calcula la transformada de Laplace de expr con respecto a t. La transformada es de variable s.

Calcula la transformada inversa de Laplace de la expr con respecto a s. La transformada inversa de Laplace es de variable t.

Fuerza al uso de la transformada de Laplace en la resolucin de la ecuacin diferencial edo..

Fuerza al uso de la transformada de Laplace en la resolucin del sistema de ecuaciones ecu1,..., ecun en las variables var1,...,varn.

Representa a la funcin Gamma.

Representa la funcin escaln en la expresin de la variable independiente

Representa la funcin delta de Dirac en la expresin de la variable

BIBLIOGRAFIA:

Manuales bajados de paginas de internet:

36624687-Manual-Maple-11

Documents

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