3-4.Fungsi Dan Limit

8/18/2019 3-4.Fungsi Dan Limit

1/41

FUNGSI dan LIMITA.FUNGSI

Sebuah perubah (variabel) y dikatakan sebuah fun si darisebuah perubah (variabel) ! apabila ada hubun an antara ! dany sede"ikian rupa sehin a untuk tiap#tiap har a ! yan dapatdiasu"sikan ada satu hubun an atau lebih den an har a y.

$%nt%h &' y ! * +! , "ende-nisikan sebuah hubun anantara variabel ! dan y.

apabila ! / &/ / #& "aka "asin #"asin y / # / #0/ 1

$%nt%h ' 2elilin sebuah lin karan (2) adalah fun si dari 3ari# 3ari lin karan (r)/ hubun an tersebut dapat diberikan %leh2 4 r.

apabila r &/ 5/ + ft "aka "asin #"asin 2 4/ 6 4/ & 4ft


2/41

N%tasi fun si• N%tasi fun si y f(!)/ diba7a 8 y sa"a den an f dari !9/

hal"ana untuk "enun3ukkan bah:a 8 y adalah fun si dari!9 . ;ariabel ! adalah variabel bebas/ dan variabel y adalah

variabel tidak bebas.

• Men atakan bah:a y adalah fun si dari ! adalah sa"aden an "enyatakan bah:a y ter antun pada !. N%tasinyay f(!)

•


3/41

Fun si variabel • ;ariabel = dikatakan "en3adi fun si dari variabel

! dan y apabila ada sebuah hubun an sede"ikianrupa sehin a tiap#tiap pasan an har a ! dan ybersesuaian den an satu atau lebih har a#har a=.

! dan y adalah variabel bebas dan = adalahvariabel tidak bebas.

• N%tasinya di unakan = f (!/y)/ diba7a' = sa"aden an fun si dari ! dan y/ "aka f (a/b)"enyatakan har a = ketika ! a dan y b/asalkan fun si terdi-nisikan untuk har a#har aitu.

Apabila f (!/y) ! 5 , !y # !/ "aka f ( /5) 5 ,


4/41

$%nt%h'Nyatakan luas bu3ur san kar A seperti ter a"bar di ba:ahini seba ai fun si dari'a). Sisi !/ b). 2elilin >/ 7). ?ia %nal ?

?!

!

Jawab:a). A = x 2 A = f (x) = x 2

16)(:

164

,

4

P=atau x4x=P b).

2

222

P P f A Jadi

P P x Amaka

==

=

==

2)(:

22

222).

2

22

2

222

D

D f A Jadi

D Aatau

D x A Maka

D xatau x x x x Dc

==

=

==

===+=


5/41

. Nyatakan' a). Luas A/ b). 2elilin >/ 7). ?ia %nal ? darisebuah e"pat perse i pan3an seba ai fun si sisi#sisinya !dan y seperti ter a"bar'

?y

!


6/41

$%nt%h'&). y f (!) y ! * +! ,

y adalah fun si berhar a tun al dari ! sebab untuk setiap har a! yan diberikan ada satu dan hanya satu har a y yanbersesuaian.

) 2 f (r) 4 r 2 adalah fun si berhar a tun al dari r sebab untuk setiap

har a r yan diberikan ada satu dan hanya satu har a 2 yanbersesuaian.

• Suatu fun si y f (!) disebut 8fun si berhar a banyak/ bila untuksetiap har a ! yan di"un kinkan terdapat lebih dari satu har a y.

banyak har a y yan bersesuaian den an tiap#tiap har a ! yandapat diasu"sikan atau y adalah berhar a banyak dari !.

$%nt%h'


7/41

• Se"ua an ka input ! yan dapat dipr%ses %leh suatu fun si se7arabersa"a#sa"a

disebut 8d%"ain9 fun si tersebut. 2u"pulan se"ua bilan an y yanberkaitan

den an bilan an dala" d%"ain itu disebut daerah nilai (ran e atauk%d%"ain)

fun si tersebut.

$%nt%h'&). Tin3au persa"aan y f (!) ! 5/ * ! B 5

Fun si ini dide-nisikan hanya untuk set nilai ! terbatas yan diketahui/

sehin a d%"ainnya diberikan seba ai * ! B 5 dan daerah nilainya(ran e) seba ai' *1 y B C/ karena *1 seba ai nilai "ini"u" y dan C seba ai nilai"aksi"u" y dala" d%"ain itu.

). ?iketahui' y f (!) ! , &/ D ! D 5

Tentukan' a). b). ran e fun si tersebut


8/41


9/41

Jeberapa sifat al3abar serin dite"ui?ari Se iti a siku#siku'

222222222 ac##ca#ac −=⇒−=⇒+=•

aa

a

a

aa#a#a#a#a

#a

#a

#a

#a

#a

#a

#a#a#a

111

..

21

21

21

21

2

2

22

2

2

==•==•−≠−•+≠+•

=•=

=•

=•=•

−

−

c

a

b


10/41

.

•

Fun si Easi%nal Julat Kaitu fun si di "ana variabel ! tidak terdapat diba:ah tanda akar $%nt%h' y ! , C

K ! * C! , 1 K 0! 5 * 1! , &&

( )( )

( )( )

aac##

xc#xaxkuadrat Persamaan

$E%T&$ '!$&M!(M

dst

#a##a#aa#a

#a##aa#a

#a#a#a

#a#a

Pascal Segitiga

24

0:

.....................................................................................................

14641464

133133

1212

11

:

2

122

4322344

32233

222

1

−±−=⇒=++•

⇒

•++++=+•

+++=+•

++=+•+=+•


11/41

• Fun si Easi%nal >e7ah

$%nt%h'

• Fun si 2%nstan$%nt%h' y f(!) 7 7 k%nstan

• Fun si >%lin%" (suku banyak)Jentuk u"u"' y > n (!) a n ! n ,a n#& ! n#& ,....,a & ! , a a n

disebut >%lin%" dera3at n

Jentuk khusus'Untuk n &' y > & (!) a & ! , a a & / disebut fun si linier. a & radient (k%e-sien arah)/ ra-knya berupa aris lurus$%nt%h' y > & (!) ! , & Untuk n ' y > (!) a ! , a & ! , a a & / disebut fun sikuadrat

$%nt%h' y > (!) ! , 0 ! , 5

1

12

3

2

−+=

−=

x x x

y

x y


12/41

• Fun si Irasi%nal Kaitu fun si di "ana variabel ! terdapat di ba:ah tanda

akar.

• Fun si G%ni%"etriMe"punyai bentuk seba ai berikut'y sin !y sin ! , 7%s !y 7%s 5! #&y t ! * 7%t 5!

16

18: 3

−=−−=

x y

x x y)ontoh


13/41

. Jeberapa sifat#sifat %ni%"etri yan serin dite"ui'

α

1cos2sin21sincos2cos

cot1cos1sec

sin.cos2sin1cossin

cot.sinsin

cos.coscotcos

sin

1sin.cossin

1cos

1cos.seccos

1sec

cot1

sincos

cotcossin

cossin

222

2222

2222

−=−=−=•+=•+=•

=•=+•

==•==•

=⇒=•

=⇒=•

=⇒=•=•

=•=•=•

α α α α α

α α α α

α α α α α

α α α

α α α α

α

α α

α α α

α

α α α

α

α α

α

α α

α

α α

α α α

g ectg

g tg

tg g

ecec

g tg g tg

#a

tg c#

ca

c

a

b


14/41

. Fun si L% arit"aMe"punyai bentuk seba ai berikut'y l% (! * +6! * +)y l% (! * &)y l% (! 5 , ! , &)y l% 5! y 5 l% ! y l% !Ol% 5


15/41

Jilan an e biasa di unakan dala" Eu"us#ru"us Il"u Fisikadan Il"u Teknik

Q fakulteitOfa7t%rialOfakultas + Q +.0.5. .&. &5 unsur dapat disusun "en3adi 6 "a7a" susunanMisal ' AJ$ AJ$/ A$J/ JA$/ J$A/ $JA/ $AJ 5Q 5. .&

6

Jilan an e / C&1 1&1 10+ biasa ditulis den an +desi"al/ yaitu / C&1 1 dan disebut Jilan an Transendental

....59182818284,2!

1...............

!31

!21

!11

1)1()1

1(1

0=++++++=+=+=

→∞→ nk mil

hmil e k

h

h

h


16/41

. Jeberapa sifat#sifat l% arit"a yan serin dite"ui'R e l% ! ln !R ln e & lne n n R ln & R ln &Oe #ln e #& ln &O! # ln ! R

Rln e l% & ln & /5 6 dan l% e /0505R ln & &Ol% e l% e &Oln &R ln ! ln y ! yR ! ln y y e ! R l% & & l% & n nR ln ! y ln ! , ln y R l% !y l% ! , l% y l%

a

!y l% a ! , l% a yR ln !Oy ln ! * ln y atau a l% !y a l% ! , a l% yR ln ! y y ln ! R l% !Oy l% ! * l% yR d aOb.7 a l% !Oy a l% ! * a l% y

ln d ln a * ln b , ln 7 R ! l% y l% yOl% !atau l% a !Oy l% a

! * l% a y a l% y l% yOl%a

R l% ! y y l% ! l% ! l% !


17/41

• Fun si !p%nensialy + !y (&O ) !

Sifat#sifat'f (!) a ! untuk se"ua !a p .a V a p,V

(a p ) V a pV

* * *

aaa

a

a −− == .

#a

#a =


18/41

• Fun si Sikl%"etriFun si sikl%"etri adalah kebalikan fun si %ni%"etri.


19/41

Fun si Wiperb%lik dan InverseWiperb%lik

• Fun si Wiperb%lik

Fun si hiperb%lik dide-nisikan dari fun sieksp%nensial

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

ee x xechee x xh

eeee

x x

x gheeee

x x

xtgh

ee x

ee x

−−

−

−

−

−

−−

−==+==

−+==+

−==

+=−=

2sin"1cos#2cos"1sec#

sin"cos"

cot#cos"sin"

#

2cos"#

2sin"#

Id i W b F i#f i Wi b%lk i


20/41

Identitas Wubun an Fun si#fun si Wiperb%lk yan serindite"ui

1cos"21cos2

sin"21sin21

sin"cos"2cos"sincos2cos

sin".cos"22sinsin.cos22sin

1cotcos1cotcos

1sec1sec

1sin"cos"1sincossin"

1cos

sin

1cos

cos"

1sec

cos

1sec

1cot

1cot

22

2222

2222

2222

2222

−=−=

+=−=+=•−=•

=•=•−=•+=•

−=•+=•=−•=+•

=•=•

=•=•

=•=•

x x

x x

x x x x x x

x x xh x x x

x g xech x g xec

xtgh xh xtg x

x x x x x

xech x

xec

x xh

x x

xtgh

x gh

xtg

x g

+i er#olik ,oniometri


21/41

.

Contoh :

y gh x gh y gh x gh

y x gh

ytgh xtgh ytgh xtgh

y xtgh y x y x y x

y x y x y x

cotcot1cot.cot

)(cot

.1)(

sin".sin"cos".cos")(cos"

sin".cos"cos".sin")(sin"

±±=±•

±

±=±•±=±•

±=±•

32 )1(.2

3sin".1

xtgh y

x y

+==


22/41

• Fun si Inverse Wiperb%lik Suku#suku fun si hiperb%lik terdiri dari fun si#fun sieksp%nernsial/ sedan inverse O kebalikan fun si hiperb%liktidak harus terdiri dari fun si eksp%nensial/ akan tetapidapat berupa fun si l% arit"a.Misal '

( )( )( )

( ) ( )1ln1lncos"

1ln

01ln:

1ln

22lnln

2442

:

01201

21

2

2

cos"

cos"

22

2

2

2

2

2

2

−−=−+==

−−=≥−+=

−±= −±=

−±=

=+−⇒=+−⇒+=

+=

==

−

x x ydan x x y

xarc y(ntuk x x y

x x y Jadi

x x y

x xe

x xe

kuadrat Persamaan xeee xeee x

ee

x x xarc y

y

y

y y y

y y

y

y y


23/41

?en an 7ara yan sa"a/ "aka identitas inversehiperb%lik adalah'

$%nt%h'

( )( )

011

lncos

1011

lnsec

11

1ln

2

1cot

111

ln21

11lncos"

1lnsin"

2

2

2

2

2

2

≠→−+

=

≤→−

+=


24/41

Fun si an3il dan fun si enap


25/41

Ja ian#ba ian Gan3il dan GenapTidak setiap fun si itu dapat di %l%n kan "en3adi fun si

enap atau an3il/ tetapi banyak fun si dapat ditulis seba ai

pen3u"lahan ba ian enap dan ba ian an3il.


26/41

Gra-k Fun si

• Gra-k sebuah fun si y f (!) adalah te"pat

kedudukan dari se"ua titik (!/y) yan "e"enuhipersa"aan y f(!).setiap fun si real dapat di a"barkan den an"en unakan siste" k%%rdinat 7artesius/ yanterdiri dari dua su"bu yan salin te ak lurus.Su"bu "endatar (su"bu X) "enyatakan su"bupra peta (su"bu variabel bebas)/ dan su"bu te ak(su"bu K) "enyatakan su"bu peta (variabel takbebas).

• Fun si di a"barkan ra-knya den an 7ara"en a"barkan pasan an berurutan dari fun sitersebut.

$%nt%h'


27/41

$%nt%h&). y f (!) ! * &.

?en an "en7ari nilai#nilai y yan bersesuaian den an ! #5/ # / #&/ / &/ / 5 sehin a diper%leh titik#titik k%rdinat

(!/ y) seba ai"ana tabel berikut'Titik#titik k%%rdinat (#5/#C)/ (# /#+)/ (#&/#5). ( /#&)/ (&/&)/( /5)/ dan (5/+) di a"barkan seba ai berikut'

X

K yf(!)

Se"ua titik#titik yan "e"enuhi y ! * & terletak pada sebuah aris

lurus.Se7ara u"u" dinyatakan' y a! ,

b/ sedan a dan b adalahk%nstanta sebuah aris lurus/sehin a y a! , b atau f (!) a!, b disebut fun si linear .2arena "erupakan aris lurus/"aka hanya dua titik perlu

! #5 # #& & 5y #C #+ #5 #& & 5 +

) y ! * ! # 1 atau f (!) ! * ! # 1


28/41

). y ! * ! # 1 atau f (!) ! * ! # 1Nilai#nilai y yan bersesuaian den an ! "erupakan titik#titik k%rdinat (!/ y) seba ai"ana tabel berikut'

Titik#titik k%%rdinat (#0/&6)/ (#5/C)/ (# / ). (#&/#+)/ ( /#1) danseterusnya di a"barkan seba ai berikut (lebih "udah"en unakan skala yan berbeda pada su"bu ! dan y)

! # 0 # 5 # # & & 5 0 + 6

K &6 C #+ # 1 # #1 #+ C &6

X

K

yf(!)X

XX

>(&/#)


29/41

.

X

! # 0 # 5 # # & & 5 0 + 6 K &6 C #+ # 1 # #1 #+ C &6

K

X

X

X

>(&/#)

X


30/41

LIMIT FUNGSI

>en ertian dan Te%re"a Li"it• Li"it suatu fun si f(!) untuk ! "endekati a adalah

har a pendekatan dari f(!) pada saat ! "endekati nilaia.

f(a) adalah nilai pendekatan untuk ! disekitar a•

2%nsep li"it (dala" "ate"atika) di unakan untuk"en3elaskan sifat dari suatu fun si saat ar u"en"endekati kesuatu titik/ atau tak terhin a/ atau sifatdari suatu barisan saat indeks "endekati tak terhin a.


31/41

$%nt%h

atau ditulis:

f(!) "e"punyai di-nisi yan 3elas (terdi-nisi) pada titik dannilainya sa"a den an li"itnya/ yaitu /0

se"akin ! "endekati / nilai f(!) "endekati /0/ dan karenaitu'


32/41

$%nt%h

atau ditulis:


33/41

se"akin besar nilai ! "aka se"akin ke7il nilai f(!)/ karenase"akin ke7il


34/41

. $atatan' untuk 7 k%nstanta / dala" k%nteks li"it berlaku'

Lan kah u"u" penyelesaian li"it fun si al3abar'&). Subsitusikan lan sun nilai ! a ke f(!)

).


35/41

$%nt%h :

• ?en an subsitusikan lan sun '

• Fakt%rkan atau dikalikan akar seka:an'In at ' (a * b)(a , b) a * b

takonsadalahc x g

x f Limit

x g

x f Limit maka

iterdifinis x g x f

Limit dan x g x f

Limit Jika

c xc x

c xc x

tan,)(

)(

)(

)(

)()(

00

)()(

→→

→→

=

=

.....1

1)(

11=

−−=

→→ x

x Limit x f Limit

x x

)(00

11

11

1

1)(

11tentutak iterdifinistidak

x

x Limit x f Limit

x x=

−−=

−−=

→→

211)1()1(

)1)(1(

1

1111

=+=+=−

+−=−

−→→→

x Limit x

x x Limit

x

x Limit

x x x

• ?en an dalil L[ W%spital


36/41

?en an dalil L[ W%spital In at turunan dari'


37/41

$%nt%h :

21

42

142

,14

2

:

21

042

1

4

214

2

142

)12)(12(22

)12)(12()12(

)12)(12()12(

1212

:

*..........1212

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22323

2222

22

==

−=⇒

−

•

=

−=

−

=

−⇒=•

−=

+−+−+

=

+−−−

+−+=

+−

−

=

+−

−

∞→∞→

∞→∞→

∞→∞→

∞→∞→

∞→

x x

Limit makanm x

x Limit

enye#ut dan em#ilang adatertinggi angkat koefisien Melihat x

Limit

x x x x

Limit xdengan Di#agi

x x

Limit x x x x x x

Limit

x x x x

x x x x

Limit x x

x x

Limit

an Penyelesai

x x

x x

Limit

x x

x x

x x

x x

x

Sifat#sifat Li"it Fun si'


38/41

Sifat#sifat Li it Fun si


39/41

S%al#s%al Latihan '

Tentukan nilai li"it dari bentuk'

1

45).1

2

2

1 −+−

→ x

x x Limit

x

x x Limit

x −−−

→ 1231).2

1

2425).3

2

2

5 −−−→ x x Limit

x

1

1)(1().4

1 −+−

→ x

x x Limit

x

−−

−→ 11

221).5 21 x x

Limit x

)12)(1(

)21().6 2

3

++− −∞→ x x x x

Limit x


40/41


41/41

3-4.Fungsi Dan Limit

Documents

Transcript of 3-4.Fungsi Dan Limit