Opca metoda pomaka

kao uvod u metodu konacnih elemenata

K. F.

Umjesto uvoda

AZ metode konacnih elemenata: J. Argyris, R. W. Clough i O. C. Zienkiewicz

[Odlomci iz clanka O.C. Zienkiewicza Origins, Milestones and Directions of the Finite Element

MethodA Personal View (u Handbook of Numerical Analysis IV, urednici P.G.Ciarlet i

J. L. Lions)]

Since my early introduction to the possibilities offered by numerical approximation by Sir

Richard Southwell viz. his relaxation methods and Allen, my objective has been always that

of providing solutions for otherwise intractible problems of interest to applied science and en-

gineering. This objective indeed was shared by others with similar background and led to the

development of the finite element method in the late fifties and sixties.

This method was only made possible by the advent of the electronic, digital computer which

at the time was making its entry into the field of large arithmetic processing. Indeed the rapid

rise and widespread recognition of the methodology of Finite Elements is clearly linked with the

development of the computer. This of course led to a rapid development of the method which

1

today, through various commercial and research codes, provides the key for rational design of

structures, study of aeronautical fluid dynamics and electromagnetic devices needed by physics.

It is therefore not surprising that much of the development and direction of the finite element

method was provided by applied scientists (engineers) seeking to solve real problems. Though

recognising the roots of the methodology and the mathematical basis of the procedures, such

work frequently omitted the very rigorous proofs of the quality satisfying pure mathematicians.

It was therefore of much value to the field that in the seventies more formal, mathematical,

approaches were introduced generally confirming the validity of previous reasoning and adding a

deeper understanding.

[...] what I intended to present are in the main the various features of the generalised finite

element formulation which can be widely applied and offers many possibilities. The view that

the finite element method is simply a systematic technique for construction of RitzGalerkin

approximations for irregular domains is in my opinion too restrictive and I hope that wider

possibilities are implied in the name.

Nothing in the field of finite element activity is done in isolation. The technology transfer is

now rapid between one or another area of activity.

Finally, let me stress that the process is a playground of many, including both engineers and

mathematicians. The first, using intuition, frequently act before proof of correctness is made

available by the later. The history shows that in general this has been the path of progress!

1. O opcoj metodi pomaka, ponovo . . .

Nepoznanice opce metode pomaka translacijski su i rotacijski pomaci odabranih tocaka

stapne konstrukcije koje nazivamo cvorovima. Ravnotezni oblik cijele konstrukcije opi-

sali smo tako s pomocu poopcenih pomaka konacnoga broja tocaka. Drugim rijecima,

konstrukciju smo presutno diskretizirali.

Diskretizacijom nazivamo aproksimaciju neprekinute sredinekontinuumaprora-cunskim modelom cije je stanje odredeno konacnim brojem neovisnih velicina, pa diferen-

cijalne jednadzbe kojima opisujemo stanje ili ponasanje kontinuiranih sistemaklasicni

modeli matematicke fizikeprelaze u sustave algebarskih jednadzbi.

Osvrnut cemo se jos jednom na opcu metodu pomaka, sada u svjetlu postupka diskre-

tizacije. Vrijednosti nepoznatih pomaka i kutovi zaokreta cvorova odreduju se rjesavanjem

sustava jednadzbi ravnoteze sila i momenata u cvorovima pri cemu se unutarnje sile ustapnim elementima izrazavaju kao funkcije tih pomaka i zaokreta. Naime, na cvorove uz

zadane vanjske koncentrirane sile i momente djeluju i unutarnje sile u prikljucenim stapnim

elementima.1 To su sile kojima se stapovi odupiru pomacima cvorova u koje su prikljuceni,

a osim toga te sile u cvorove prenose i sva djelovanja na stapovekao sto znamo,2 vrijed-

nosti sila na krajevima stapnoga elementa pi, jq zbrojevi su vrijednosti sila zbog pomaka

1 K tomu se jos u djelovanja na lezajne cvorove ubrajaju i prisilni pomaci.2 Predavanje Metoda pomaka (1 ), odjeljak 3.1.

2

krajeva i vrijednosti sila upetosti:

fpi,jq kpi,jq upi,jq fpi,jq.

(Pod)vektor fpi,jqi

sadrzi vrijednosti sila na i-tome kraju elementa pa na cvor i djeluju sile

cije su vrijednosti komponente vektora fpi,jqi

.

Opci izrazi za komponente matrice krutosti kpi,jq mogu se izvesti tako da se analiticki

rijese homogene diferencijalne jednadzbe ravnoteze stapa (jednadzbe drugoga i cetvrtog

reda) uz nehomogene rubne uvjete, dobivena polja pomaka (opisana polinomima prvoga i

treceg stupnja) uvrste u diferencijalne veze polja unutarnjih sila i polja pomaka te nadu

sile na krajevima stapa.3 Druga je mogucnost izvodenja primjena metode sila rjesavanje

obostrano upete grede za zadane pomake.4 Slicno tome, vrijednosti sila upetosti izracuna-

vaju se rjesavanjem nehomogenih diferencijalnih jednadzbi ravnoteze uz homogene rubne

uvjete ili, ponovo, metodom sila.5

Oblikovanjem matrice krutosti stapa i vektora vrijednosti sila upetosti opis mehanicko-ga stanja cijelog stapnog elementabeskonacnoga, neprekinutog niza tocakazamijenili

smo opisom stanja dviju tocakakrajeva elementaomogucujuci time diskretizaciju.

Stapna je konstrukcija sklop stapnih elemenata medusobno povezanih u cvorovima.

Zaceta u analogiji s opcom metodom pomaka, osnovna je zamisao metode konacnih

elemenatarazbijanje slozene plosne ili masivne, pa i stapne konstrukcije na medusobno

povezane dijelove jednostavna oblika (slike 1. i 2.6) na kojima je nepoznato polje, najcesce

polje pomaka, odredeno vrijednostima polja u konacnom broju tocaka. Dijelove na koje se

konstrukcija razlaze nazivamo konacnim elementima. Tim je nazivom istaknuta razlika uodnosu na infinitezimalnebeskonacno malevelicine matematicke analize i

klasicne

matematicke fizike.

Diferencijalne jednadzbe ravnoteze stapa lako je analiticki rijesiti te stoga izraze za

koeficijente matrice krutosti stapnoga elementa i vektora vrijednosti sila upetosti nije tesko

izvesti. I primjena metode sila daje tocna, analiticka rjesenja. (Stovise, metodom sila mo-

gu se razmjerno lako odrediti i matrice krutosti zakrivljenih stapnih elemenata te stapnih

elemenata promjenjivoga poprecnog presjeka, ravnih i zakrivljenih.7) Medutim, za plosne

i volumne konacne elemente cesto je nemoguce naci analiticka rjesenja odgovarajucih dife-rencijalnih jednadzbi. Zbog toga se nepoznato polje na pojedinim elementima aproksimira

razmjerno jednostavnim funkcijama kao sto su polinomi. Cjelovita funkcija, sastavljena od

takvih medusobno povezanihkrpi, aproksimacija je nepoznatoga polja na citavoj kons-

trukciji. Kako bi se njihovim povezivanjem moglo ostvariti polje trazene glatkoce, funkcije

3 M.An-delic: Gradevna statika II, Gradevinski fakultet Sveucilista u Zagrebu, Zagreb, 2005., prvi dioodjeljka 4.2.3.1.4 Predavanje Metode pomaka (1 ), odjeljak 3.3.5 Gradevna statika II, odjeljak 4.2.3.2. ili Metode pomaka (1 ), odjeljak 3.2.6 D.Lazarevic, J. Dvornik, K. Fresl: Analiza ostecenja atrija Knezeva dvora u Dubrovniku, Grade-vinar, 56 (2004) 10, str. 601612.7 Gradevna statika II, drugi dio odjeljka 4.2.3.1.

3

Slika 1. Model atrija Knezeva dvora u Dubrovniku sa stapnim i plosnim konacnim elementima

Slika 2. Model atrija Knezeva dvora s tetraedarskim konacnim elementima

4

definirane na susjednim dijelovima moraju biti u stanovitom smislu uskladene. (Formalno,visedimenzionalni se elementi, kao i stapni, povezuju samo u cvorovima, ali se najcesce

trazi neprekinutost funkcije i derivacija odredena stupnja preko cijeloga zajednickog rubadvaju susjednih elemenata.)

Za izbor oblika elemenata i na njima definiranih funkcija bitan je zahtjev da se po-vecanjem broja elemenata, uz istodobno smanjivanje njihovih velicina, dobiva sve

bolja

aproksimacija. Time se otvara Pandorina kutija slozenih matematickih pitanja dokazakonvergencije te apriornih i aposteriornih ocjena pogresaka.

2. Pretpostavljeno polje pomaka

Kako su nepoznata polja najcesce polja pomaka, funkcije koje definiramo na elementimanazvat cemo pretpostavljenim poljima pomaka.

Pretpostavljeno polje pomaka mora zadovoljiti nekoliko uvjeta koji se mogu bez pre-

stroge matematicke formalizacije izvesti iz fizikalne interpretacije problema.

Ogranicit cemo se na dobro nam poznati problem savijanja ravne BernoulliEulerove

grede u ravnini xz, sazeto izrazen diferencijalnom jednadzbom

d2

dx2

$

'

'

%

Epxq Ipxqd2 wpxq

dx2

,

/

/

-

qpxq; (1)

nepoznata funkcija w opisuje progibnu liniju grede pod zadanom poprecnom distribuira-

nom silom ciju vrijednost opisuje funkcija q. Pomaci svih tocaka elementa odvijaju se popravcima koji su usporedni sa osi z pa su odredeni samo svojim vrijednostima. Iako je u

opcem slucaju polje pomaka vektorsko, u ovom ga jednostavnom slucaju mozemo smatratiskalarnim poljem.

x

z

(i,j)

E(i,j)I(i,j) = consti j

Slika 3.

Odgovarajuci je konacni element prikazan na slici 3.; nazvat cemo ga grednim elemen-

tom. Njegova matrica krutosti, znamo, povezuje vrijednosti poopcenih sila na krajevima(slika 4.b.) i vrijednosti poopcenih pomaka krajeva koje su jednake vrijednostima poopcenih

pomaka cvorova (slika a.). (Za ravne su elemente djelovanja u poprecnom i uzduznom smje-ru, kao sto znamo, medusobno neovisna pa se mogu i neovisno rjesavati. Moze se stoga

reci i da je matrica krutosti stapnoga elementa, koju smo uveli u opcoj metodi pomaka,nastala uklapanjem matrice krutosti zglobnog stapa u matricu krutosti grednog elementa,

a na isti je nacin sastavljen i vektor vrijednosti sila upetosti.)

5

wi wj

i ja.

Ti,j Tj,i

Mi,j Mj,i

b.

Slika 4.

Pomaci krutoga tijela. Pretpostavljeno polje pomaka mora omoguciti prikaz translacij-

skih i rotacijskih pomaka elementa kao krutoga tijela, dakle, pomaka pri kojima se element

ne deformira.

wi=wkt wjw(0)(x)

x

a.w(1)(x)

x

|kt|

b.

Slika 5.

Pri translacijskom pomaku okomito na os elementa sve tocke elementa imaju jednaki

pomak (slika 5.a.), pa polje pomaka mora sadrzavati konstantni clan:

wp0qpxq a0.

Polje pomaka nastalo rotacijom krutog tijela oko cvora i opisuje se u teoriji malih pomaka

(slika 5.b.) linearnom funkcijom

wp1qpxq a1 x.

Rotacija oko neke druge tocke moze se prikazati kompozicijom translacije i rotacije pa

cemo je opisati afinom funkcijom

wp0qpxq wp1qpxq a0 a1 x.

Stanje konstantne deformacije. Zamislimo li konstrukciju kao sklop konacnih eleme-

nata, koje u nizu uzastopnih, sve finijih aproksimacija smanjujemo (povecavajuci pritom

njihov broj), stanje deformacija ce se uzduz pojedinih elemenata sve manje mijenjati, od-

nosno, sve ce se vise priblizavati nekoj konstantnoj vrijednosti; naravno, u razlicitim se

elementima te vrijednosti mogu razlikovati, ovisno o slozenosti stvarnog polja naprezanja

u cijelom nosacu.

Pretpostavljeno polje pomaka mora, stoga, omoguciti prikaz konstantnoga polja defor-

macija unutar elementa. Osnovna je deformacijska velicina u teoriji BernoulliEulerove

grede zakrivljenost koju aproksimiramo drugom derivacijom polja pomaka. Kako je druga

derivacija kvadratne funkcije konstanta, pretpostavljeno polje pomaka mora sadrzavati i

kvadratni clan:

wp2qpxq a2 x2.

6

Neprekinutost u spoju elemenata. Kao i u metodi pomaka, konacni su elementi

medusobno povezani u cvorovima. Neprekinutost grednoga nosacanema prekida ni lo-movaosigurana je zahtjevom da u spoju susjedni elementi imaju jednaki pomak i jednaki

zaokret. Uvjete neprekinutosti treba zadovoljiti na oba kraja elementa sto znaci da na polje

pomaka unutar elementa utjecu (barem) cetiri medusobno neovisne velicine. Pretpostav-

ljenu polju pomaka moramo stoga dodati i cetvrti clan:

wp3qpxq a3 x3.

Vektorski prostor polinoma. Polje pomaka na elementu pretpostavit cemo, prema

tome, u obliku polinoma trecega stupnja:

wpxq a0 a1 x a2 x2 a3 x

3. (2)

Uvedemo li vektor

a ra0 a1 a2 a3sT

i jednorednu matricu

Xpxq

1 x x2 x3

,

funkciju w moze zapisati u obliku

wpxq Xpxq a.

Skup funkcija X

1, x, x2, x3(

cini bazu vektorskoga prostora funkcija koji sadrzi svepolinome do, ukljucujuci, treceg stupnja. Pojedini polinomi linearne su kombinacije baznih

funkcija s koeficijentima a0, a1, a2, a3. Prva je derivacija funkcije w

w1pxq X1pxq a,

gdje je X1pxq matrica prvih derivacija funkcija baze X :

X1

pxq

0 1 2 x 3 x2

.

Na slici 5. vidimo da koeficijenti a0 i a1 imaju jasnu geometrijsku interpretaciju:

a0 wkt i a1 kt.

Za preostala se dva koeficijenta to, medutim, ne moze reci.

Umjesto baze X pogodnije je polinome prikazati u bazi za koju su koeficijenti u linearnojkombinaciji vrijednosti pomaka i kutovi zaokreta krajeva elementa. Neka su

wp0q wi,

w1p0q i,

wppi,jqq wj,

w1ppi,jqq j .

(3)

7

Iz izraza (2) i njegove derivacije tada slijedi:

a0 wi,

a1 i,

a0 a1 pi,jq a2 2

pi,jq a3 3

pi,jq w1,

a1 2 a2 pi,jq 3 a3 2

pi,jq j.

Rijec je o sustavu jednadzbi u kojemu su nepoznanice brojevi a0, a1, a2 i a3:

1 0 0 0

0 1 0 0

1 pi,jq

2

pi,jq 3

pi,jq

0 1 2 pi,jq 3

2

pi,jq

a0a1a2a3

wiiwjj

.

Rijesimo li ga, dobivamo

a0 wi,

a1 i,

a2 3

2pi,jq

wi 2

pi,jq

i 3

2pi,jq

wj 1

pi,jq

j,

a3 2

3pi,jq

wi 1

2pi,jq

i 2

3pi,jq

wj 1

2pi,jq

j.

Uvrstavanje u (2) daje, nakon sredivanja,

wpxq

$

'

'

'

%

13 x2

2pi,jq

2 x3

3pi,jq

,

/

/

/

-

wi

$

'

'

'

%

x2 x2

pi,jq

x3

2pi,jq

,

/

/

/

-

i

$

'

'

'

%

3 x2

2pi,jq

2 x3

3pi,jq

,

/

/

/

-

wj

$

'

'

'

%

x2

pi,jq

x3

2pi,jq

,

/

/

/

-

j ,

ili, u vektorskome zapisu,wpxq Npxq ui,j, (4)

gdje su

ui,j rwi i wj jsT, (5)

Npxq

13 x2

2pi,jq

2 x3

3pi,jq

x2 x2

pi,jq

x3

2pi,jq

3 x2

2pi,jq

2 x3

3pi,jq

x2

pi,jq

x3

2pi,jq

. (6)

Moze se pokazati da su komponente matrice Npxq linearno nezavisne funkcije pa tvorebazu N koja razapinje isti vektorski prostor funkcija kao i baza X . Za razliku od funkcijabaze X , funkcije N, 1, 2, 3, 4, prikazane na slici 6., imaju sljedeca svojstva:

8

1. sve funkcije N polinomi su istoga, treceg stupnja;

2. N1p0q 1, N2p0q 0, N3p0q 0, N4p0q 0,

N 11p0q 0, N 1

2p0q 1, N 1

3p0q 0, N 1

4p0q 0,

N1ppi,jqq 0, N2ppi,jqq 0, N3ppi,jqq 1, N4ppi,jqq 0,

N 11p

pi,jqq 0, N1

2p

pi,jqq 0, N1

3p

pi,jqq 0, N1

4p

pi,jqq 1;

3. funkcije koje opisuju translacijske pomake, N1 i N3, tvore particiju jedinice:N1pxq N3pxq 1 x P r0,

pi,jqs.

3. Primjena teorema o virtualnom radu

Izraze za komponente matrice krutosti i za vrijednosti vektora sila upetosti mozemo,uz pretpostavljeno polje pomaka, izvesti primjenjujuci teorem o virtualnom radu.

Prisjetite se! Za elasticno tijelo teorem o virtualnom raduili teorem o virtualnim po-macimaglasi: ako se konstrukcija pod zadanim opterecenjem nalazi u stanju ravnoteze,tada je rad stvarnih vanjskih sila na po volji odabranim virtualnim pomacima njihovih hva-tista jednak radu stvarnih unutarnjih sila na diferencijalima pridruzenoga polja virtualnihpomaka i obratno, ako je rad stvarnih vanjskih sila na bilo kojim virtualnim pomacima jed-nak radu stvarnih unutarnjih sila na diferencijalima pridruzenoga polja virtualnih pomaka,tada su te stvarne vanjske i unutarnje sile u ravnotezi.

1 N1(x) = 13x2

2(i,j)+

2x3

3(i,j)

1 N2(x) = x+2x2

(i,j)

x3

2(i,j)

1 N3(x) =3x2

2(i,j)

2x3

3(i,j)

1 N4(x) =x2

(i,j)

x3

2(i,j)

Slika 6.

9

Za konacni element BernoulliEulerove grede matematicki je iskaz jednakosti virtualnihradova:

pi,jq

0

Mpxqpxqdx Tij wiMij iTji wjMji j

pi,jq

0

qpxq wpxqdx. (7)

Integralom s lijeve strane znaka jednakosti izrazen je rad momenata savijanja na dife-rencijalima polja virtualnih zaokreta poprecnih presjeka; prva cetiri clana s desne straneradovi su poopcenih sila na krajevima elementa, koje na element djeluju kao vanjske sile,na poopcenim virtualnim pomacima krajeva, a posljednji pak integral daje rad zadanogaopterecenja na polju virtualnih pomaka.

Moment savijanja i polje pomaka vezani su izrazom

Mpxq Epi,jqIpi,jq pxq Epi,jqIpi,jq w

2

pxq,

te se integral s lijeve stranevirtualni rad unutarnjih silamoze pisati u obliku

Upi,jq

pi,jq

0

Mpxq pxq dx Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

w2pxq w2pxq dx. (8)

Umjesto stvarnoga, nepoznatog polja pomaka uvrstit cemo u prethodni izraz pretpo-stavljeno polje (4) cija je druga derivacija

w2pxq Bpxq ui,j ; (9)

matrica Bpxq sadrzi druge derivacije baznih funkcija Nipxq:

Bpxq N2pxq

6

2pi,jq

12 x

3pi,jq

4

pi,jq

6 x

2pi,jq

6

2pi,jq

12 x

3pi,jq

2

pi,jq

6 x

2pi,jq

. (10)

Jednakost (7) vrijedi za po volji odabrano polje virtualnih pomaka, pa, stoga, i za poljeoblika

wpxq Npxq ui,j , (11)

gdje jeui,j rwi i wj js

T (12)

vektor poopcenih virtualnih pomaka krajeva elementa. Druga je derivacija odabranogavirtualnog polja

w2pxq Bpxq ui,j. (13)

Uvrstimo li pretpostavljena polja u desnu stranu izraza (8), dobit cemo:8

Upi,jq Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

uT

i,j

BpxqTBpxq ui,j dx

uT

i,j

$

'

'

%

Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

Bpxq

TBpxq dx

,

/

/

-

ui,j.

8 Mnozenje skalara je komutativno pa je pi,jq

0

w2pxq w2pxq dx

pi,jq

0

w2pxq w2pxq dx.

10

Integralni podizraz u zagradama,

kpi,jq Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

Bpxq

TBpxq dx, (14)

zapis je matrice cije su komponente

kpi,jq,

Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

BpxqBpxq dx; (15)

primjerice:

kpi,jq2,4

kpi,jq4,2

Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

B2pxqB4pxq dx

Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

$

'

'

'

%

4

pi,jq

6 x

2pi,jq

,

/

/

/

-

$

'

'

'

%

2

pi,jq

6 x

2pi,jq

,

/

/

/

-

dx

2Epi,jqIpi,jq

pi,jq

.

Izracunamo li sve komponente, dobit cemo:

kpi,jq

Epi,jqIpi,jq

pi,jq

12{ 2pi,jq 6{pi,jq 12{

2

pi,jq 6{pi,jq

6{pi,jq 4 6{pi,jq 2

12{ 2pi,jq 6{pi,jq 12{

2

pi,jq 6{pi,jq

6{pi,jq 2 6{pi,jq 4

. (16)

Virtualni rad unutarnjih sila mozemo sada sazeto zapisati kao

Upi,jq u

T

i,j kpi,jq ui,j. (17)

Rad zadanoga opterecenja na pretpostavljenim virtualnim pomacima bit ce:

Vpfq

pi,jq

pi,jq

0

qpxq wpxq dx

pi,jq

0

uT

i,j

NpxqT

qpxq dx uTi,j

pi,jq

0

NpxqT

qpxq dx.

Nadalje, kako za skalare trivijalno vrijedi a aT, mozemo pisati w2pxq

w2pxqT, odnosno

Bpxq ui,j

Bpxq ui,jT

uTi,j

BpxqT.

Te algebarske akrobacije omogucuju izlucivanje vektora uTi,j pred znak integrala, oblikovanje matrice pi,jq

0

BpxqT

Bpxq dx i, konacno, dovodenje izraza za Upi,jq u oblik u

Ti,j kpi,jq ui,j .

11

Podizraz iza posljednjega znaka jednakosti skalarni je produkt vektora uTi,j i vektora

fpi,jq

pi,jq

0

NpxqT

qpxq dx, (18)

pa je u kracem zapisu

Vpfq

pi,jq u

T

i,j f pi,jq. (19)

Komponente vektora fpi,jq su

fpi,jq

pi,jq

0

Npxq qpxq dx; (20)

primjerice, za qpxq q0 ce biti

fpi,jq

q0 pi,jq

2

q0 2

pi,jq

12

q0 pi,jq

2

q0 2

pi,jq

12

T

.

Napokon, oznacimo li sa fpi,jq vektor vrijednosti sila na krajevima elementa,

fpi,jq

Tij Mij Tji Mji

T, (21)

prva se cetiri clana na desnoj strani izraza (7) mogu sazeti u

Vpfq

pi,jq u

T

i,j f pi,jq. (22)

S pomocu izraza (17), (19) i (22) mozemo jednakost virtualnih radova unutarnjih i

vanjskih sila, izraz (7), zapisati u vektorskom obliku:

uT

i,j kpi,jq ui,j uT

i,j

fpi,jq fpi,jq

. (23)

Da bi gredni element bio u ravnotezi, ta jednakost mora vrijediti za polje virtualnih pomaka

odredeno bilo kojim vektorom ui,j pa mora biti

kpi,jq ui,j fpi,jq fpi,jq. (24)

Dobiveni je izraz sustav jednadzbi ravnoteze poopcenih sila koje djeluju na gredni element:

matrica kpi,jq je matrica krutosti grednog elementa (za pretpostavljeno polje pomaka), a

komponente vektora fpi,jq vrijednosti su sila upetosti.

12

4. Primjena teorema o stacionarnoj vrijednosti

potencijalne energije

Drugi je nacin izvodenja izraza za komponente matrice krutosti i za vrijednosti vektora

sila upetosti primjena teorema o stacionarnoj vrijednosti potencijalne energije sistema. Ta

je energija, znamo, jednaka zbroju potencijalne energije deformacije i potencijalne energije

aktivnih vanjskih sila.

Potencijalna je energija deformacije grednoga elementa u BernoulliEulerovoj teoriji

Api,jq

1

2

pi,jq

0

Mpxq pxq dx E

pi,jqIpi,jq

2

pi,jq

0

w2pxq2dx. (25)

Uvrstimo li umjesto stvarnoga pretpostavljeno polje pomaka, bit ce

Api,jq

Epi,jqIpi,jq

2

pi,jq

0

uT

i,j

Bpxq

TBpxq ui,j dx

1

2u

T

i,j

$

'

'

%

Epi,jqIpi,jq

pi,jq

0

BpxqTBpxq dx

,

/

/

-

ui,j ,

odnosno, oznacimo li kao i ranije matricu prikazanu podizrazom u zagradama sa kpi,jq,

Api,jq

1

2u

T

i,j kpi,jq ui,j. (26)

Potencijalna je energija zadanoga opterecenja, uz pretpostavljeno polje pomaka:

Epfq

pi,jq

pi,jq

0

qpxqwpxq dx uTi,j

pi,jq

0

Npxq

Tqpxq dx uTi,j f pi,jq, (27)

dok je potencijalna energija sila na krajevima elementa

Epfq

pi,jq u

T

i,j fpi,jq. (28)

Dakle, potencijalna je energija sistema:

pi,jq Api,jq E

pfq

pi,jq E

pfq

pi,jq

1

2u

T

i,j kpi,jq ui,j uT

i,j

fpi,jq fpi,jq

. (29)

Prema teoremu o stacionarnoj vrijednosti potencijalne energije sistema, od svih mo-

gucih stanja pomaka ravnoteznu konfiguraciju tijela cini ono polje pomaka za koje po-

tencijalna energija sistema, kao funkcija vrijednost pomaka i odgovarajucih deformacija,

poprima stacionarnu vrijednost.9

9 Pri linearnom odnosu sila i pomaka ili deformacija ta je vrijednost minimum.

13

Uvrstavanjem pretpostavljenoga polja pomaka (4) potencijalna energija sistema postaje

funkcijom vrijednost pomaka krajeva elementa:

pi,jq : ui,j pi,jq pui,jq.

Stacionarna vrijednost funkcije tocka je u kojoj njezin gradijent iscezava:

gradpi,jqpui,jq 0.

Gradijent funkcije vise varijabli definira se kao vektor cije su komponente derivacije funkcije

po pojedinim varijablama:

gradpi,jqpui,jq

Bpi,jqpui,jq

B ui,j

Bpi,jqpui,jq

Bwi

Bpi,jqpui,jq

B i

Bpi,jqpui,jq

Bwj

Bpi,jqpui,jq

B j

T

Funkcija pi,jqpui,jq sastavljena je od kvadratnoga i od linearnog dijela:

1

2u

T

i,j kpi,jq ui,j i uT

i,j

fpi,jq fpi,jq

.

Raspisivanjem prvoga izraza, uz cinjenicu da je kpi,jq simetricna matrica, moze se lako

vidjeti da je gradijent kvadratnoga dijela kpi,jq ui,j; slicno tome, gradijent je linearnog

dijela fpi,jq fpi,jq.

Slijedi

kpi,jq ui,j pfpi,jq fpi,jqq 0

ili

kpi,jq ui,j fpi,jq fpi,jq,

a to je, ponovo, sustav jednadzbi ravnoteze sila koje djeluju na gredni element.

14