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CONSULTANCY & TRAINING

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ENSAYOS EN LABORATORIO EINSTRUMENTACION GEOTECNICA

1

Dr. Vidal Navarro TorresConsultor Intercade

2

Dr. Vidal Navarro Torres - Consultor Intercade

2

1. CONCEPTOS

DE ESFUERZO EFECTIVO


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3

Esfuerzo cortante es la diferencia entre el esfuerzo total en

una direccin ()y la presin de poros en los vacos delsuelo( ).

`= -

DEFINICION DEL ESFUERZO EFECTIVO

Esfuerzo totalaplicado

externamente

Membrana flexible impermeable

Presin deporos

Suelo saturado

4


4

b) Esfuerzos principales

Z Z

Z

Z

Z

y

y

yy

y

XX

XX

X

X

X

a) y

X

Z

b)

1

2

3

a) Estado general de esfuerzos en unelemento de suelo


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5

N

y

X

Ty

TxHuecos (poros)

Selecciones de

las partculas

Punto de contacto entre

partculas situadas por

encima y debajo del

plano de la seccion.

a

a

DEFINICION DE LOS ESFUERZOSEN UN SISTEMA DE PARTICULAS

6


6

Consideracin del esfuerzo efectivo para una columna de suelosaturado sin infiltracin

DEFINICION DEL ESFUERZO EFECTIVO

Agua de Poro

Partcula Slida

a

rea de CorteTransversal =A

a

HA

A


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7

Area de CorteTransversal =

a1 a2 a3a4

P1 P2P3

P4

Fuerzas que actan en los puntos de contacto de laspartculas de suelo en el nivel del punto A

CONCEPTO DE ESFUERZOS EFECTIVOS

8


8

ESTADOS DEL AGUA-AIRE EN RELACION CONEL PRINCIPIO DE ESFUERZO EFECTIVO

a) El fluido de poros es solo agua, presinpositiva.

b) El fluido de poros es agua con burbujasde aire, presin positiva

c) El fluido de poros es agua con burbujasde agua, presin negativa

d) El fluido de poros es agua con burbujasde aire, y vacios de aire conectados a laatmsfera, presin negativa


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9

ESFUERZOS IN SITU DEBIDOAL PESO DEL SUELO

D

Columnaunitaria

Esfuerzos totales

v

hh

v

-

-

( )

( )

10


10

EL PRINCIPIO DE LOS ESFUERZOS EFECTIVOSEN SUELOS SECOS Y SATURADOS

a. El esfuerzo efectivo es igual al esfuerzo total menosla presin de poros.

b. El esfuerzo efectivo control ciertos aspectos delcomportamiento del suelo, especialmente lacomprensibilidad y la resistencia.

Existen dos condiciones necesarias y suficientes

1. Las partculas del suelo son incomprensibles2. El esfuerzo de influencia en la partcula slida es

independiente del esfuerzo de confinamiento.

= u


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EL PRINCIPIO DE LOS ESFUERZOS EFECTIVOSEN SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS

= parmetro que depende del grado de saturacin Sr y delciclo humedecimiento-secado o cambio de esfuerzo del

espcimen.Los valores de no son necesariamente los mismo pararesistencia cortante y comprensibilidad.

=

=

=

=

a a w

w

w

w

a

aa

( (

k k1 2 a

presin de poros en el agua

presin de poros en el aire

( )

=

12


12

Las fuerzas internas de un elementoestn ubicadas dentro del materialpor lo que se distribuyen en todo elrea y es denominado esfuerzo, elcual se define como la fuerza porunidad de rea, y es denotado con laletra griega sigma (). Es unparmetro que permite comparar laresistencia de dos materiales, ya queestablece una base comn dereferencia.

CONCEPTO DE ESFUERZO

v

H H

v


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13

Fuerza axial

Area de laseccin

Esfuerzo

=P

A

14


14

Condiciones de equilibrio en medio

continuo sujeto a fuerzas externas

Al seccionar un cuerpo sometido a fuerzas por un plano Acualquiera, la parte inferior tambin est en equilibrio por laaccin de estas fuerzas (internas y externas), que tienen unpunto de aplicacin en la seccin transversal de un plano.

ESTADO DE ESFUERZO EN UN PUNTO

II

I


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15

La descomposicin de las fuerzasinternas en rea elemental dA

dFdN

n

A dAdT

I

16


16

EL esfuerzo normales la relacin entre la componentenormal de la fuerza actuante en el rea elemental dA.

El esfuerzo cortantees la relacin entre la componentede la fuerza cortante actuante en la rea elemental dA.


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17

A

tdT

dNdF

n

18


18

Esfuerzo normal

Esfuerzo cortante

=

=

lim

lim

dN

dA

dA

dT

dA

dA

0

0

n


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19

La fuerza elemental cortante dT se puede descomponer en dosejes de coordenadas (x e y), de los cuales se obtienen loscomponentes dTxy dTy.

y

20


20

Objetivo final

Conocer el estado del esfuerzo en cualquier plano.

x ylim limdT dT

= =dA dAdA dA0 0

x y


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21

Esfuerzos en el cubo elemental

y

z

y

yz

zy zx

xz

xy

yx

x

22


22

Condiciones de equilibrio

Tensor de esfuerzos

ESTADO DE ESFUERZO TRIDIMENSIONAL

x x

z

yyx

xy xy

xy

zx

zx

zy

xzzy

yz

yz yz

y ==

z

= = =


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23

EJEMPLOS

ZZ

Y

Y

X

Xyz

yzxz

a Za Z

es paralelo al eje Y, en un plano perpendiculares paralelo al eje Y, en un plano perpendicular

xz

24


24

En el caso de los 2 dibujos anteriores, tenamos nx=0, ny=0 ynz=1. Entonces, cuando S es rea las fuerzas sonrespectivamente:

Si tomamos una superficie de orientacin cualquiera,entonces

F = S

Z

Y

X

n

F = Sy xyz xz


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25

En el ltimo caso, las fuerzas se expresan mediante lasiguiente expresin matricial:

En la situacin de equilibrio, se debe verificar dos propiedades:

1. La sumatoria de las fuerzas igual cero

2. La sumatoria de los momentos igual cero

=

F n

n

n

F S

F

X x

y

XX yx zx

zy

zz

yy

yz

xy

xz

Y

Z

26


26

Los esfuerzos normales que producen tensin sonpositivos.

Los esfuerzos de cortes pueden ser de direccin positiva(+tyx,+txy ) si actan en la cara que est en sentido positivoal eje coordenado. Si el esfuerzo de tensin tiene unadireccin opuesta, es negativa (-tyx, -txy ).

CONVENCION DE SIGNOS EN LOSCOMPONENTES DEL TENSOR DE ESFUERZOS


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27

xy

yx

yx

xy

x

x

y

y

Esta convencin de signosdebe ser utilizada para

satisfacer las ecuaciones deequilibrio y las relaciones detransformacin del tensor.

Cara positiva

Cara negativaCarapositiva

Caranegativa

x

yi

j

Esfuerzos de direccin positivaque actan en la cara positiva,son positivos.

Esfuerzos cortantes de direccin

negativa que actan en la caranegativa, son negativos.

28


28

Los esfuerzos localizados en cualquier plano y en unsistema de coordenadas inicial (x,y,z) pueden serconocidos en cualquier ngulo de inclinacin que se basaen las coordenadas y los cosenos directores: Cos (x, x) Cos (y, y)

Cos (z, z)

Ver siguiente figura:

TRANSFORMACION DE COORDENADAS


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29

x

y

z

zxzy

yz

yx

xy

xz

x

z

y

z

y'

z'

z'x

z'yy'z

y'xx'y

x'z

x'

z'

y'

y

x

x'

cos(z, z)

cos(x, x)

cos(y, y)

Transformacin de coordenadas x,y,z para xyz

30


30

En cada esfuerzo se tiene lo siguiente:

Componentes delesfuerzo en 3D

Componentesdel estado de

esfuerzo en 3D

Cosenosdirectores

x x

y

z

yx

cos

cos

cos

yz

xy (x,y)

(y,y)

(z,z)

xy

zx zx

y

z

=


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31

El estado tensor de esfuerzos:

|1| = |A| .|| . |A|T

|1| - Tensor de esfuerzos en relacin al nuevo sistema decoordenadas.|A| - Matriz de los cosenos directores:

|A|T Matriz transportada de |A|

cos( x,x) cos( x,y) cos( x,z)

cos( y,x) cos( y,y) cos( y,z)

cos( z,x) cos( z,y) cos( z,z)

32


32

En cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar unsistema de ejes en los que solo existan esfuerzos normales(eliminamos los esfuerzos de corte):

ESFUERZOS PRINCIPALES

x x

x

x

2 1

2

11

12

12

11

22

22

21

21


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33

A estos esfuerzos se les llaman esfuerzos principales, y a losejes correspondientes ejes de esfuerzos principales.

Para encontrar los ejes y los esfuerzos principales, se usan

los conceptos de lgebra vectorial: bsqueda de valoresvectores principales.

==

1

20

0 0

0 0

0

3 2

3

1

34


34

2. CIRCULO DE MOHR

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35

La dificultad del clculo que implica elestudio de un problema tridimensionaldel esfuerzo puede reducirse muchasveces a un examen de la distribucinbidimensional del esfuerzo en uno delos planos principales.

A pesar de que tal simplificacin no sejustifica del todo, el anlisisbidimensional del esfuerzo puedeproporcionar una indicacin til sobre la

naturaleza de las distribucionestridimensionales de los esfuerzos.

ESTADO BIDIMENSIONAL DEL ESFUERZO

plano xy

x

z

y

36


36

z

z

a

x

Consideremos un cubo de rocaque se carga verticalmente con unesfuerzo axial mediano z.Supongamos que la roca est librepara expandirse lateralmente yque se comporta elsticamente,como lo hace la mayora de lasrocas tenaces a niveles deesfuerzos por debajo de su

resistencia a la compresin. Ladimensin vertical disminuir unacantidad W, mientras lasdimensiones laterales aumentarnuna cantidad u = v.

W

ESFUERZO PLANO


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37

La deformacin lineal vertical en el cubo se define como la

deformacin por unidad de longitud z=w/a.

Para un material elstico lineal, esta deformacin est

relacionada con el esfuerzo vertical mediante la ecuacin:

E = mdulo de Young

Ez

z=

38


38

La deformacin lateral x= y= -u/a se relaciona con elesfuerzo vertical por la ecuacin:

= relacin de Poisson

= relacin de PoissonE = mdulo de Young

CONSTANTESELASTICAS

xz

y

v

E==


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39

Si en lugar de la aplicacin del esfuerzo vertical y libredeformacin lateral el cubo se deforma en direccin x por laaplicacin de un esfuerzo normal

x, las deformaciones

lineales sern las siguientes:

x

z

y

z

x

z

x

z

x

1

1

E

E

E

( - )

( - )

( + )

v

v

v

=

=

=

40


40

Si el estado general de los esfuerzos aplicados en un plano

de un cubo de piedra se complementa con la aplicacin deun par de esfuerzos cortantes conjugados xz= zx, causaruna deformacin al cortante en el plano x-z. Estadeformacin al cortante xzpuede definirse como el cambiode un ngulo, medido en radianes, que originalmente erarecto. Esta es una medida de la distorsin que sufri el cuboy est relacionada con las constantes elsticas mediante lasiguiente ecuacin:

o

Mdulo cortante o elmdulo de rigidez

xz xz

xz

xz

2 (1 + )v

2 (1 + )v

E

EG =

G==


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41

Consideremos una situacin en la que, antes de cualquier excavacin,los esfuerzos principales a cierta profundidad bajo la superficie son

constantes en px, pyy pz.

Evidentemente la excavacin del tnel originar una redistribucin delos esfuerzos. El modelo de los esfuerzos alrededor del tnel ser

virtualmente el mismo para todas las secciones transversales, exceptopara las regiones cercanas a las bocas del tnel,. Esta situacin seaproxima bastante al ideal terico conocido como deformacin plana.

DEFORMACION PLANA

42


42

Las caractersticas de la formacin de un plano sonaquellos desplazamientos que se presentan durante elproceso de la excavacin (tomado como el plano x-z eneste caso), cuyo modelo se puede considerar de la mismaforma para todas las secciones transversales.

Para materiales elsticos lineales:

x x

z

xzz

xz

y

= =

=

= 0

1 2 (1 + )v

v = v

1 -v1 + v 2

xzE

EE =

1

( - )v

( - )v

E

E


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43

ESFUERZO PLANO DEFORMACION PLANA

Son de la misma naturaleza, pero con coeficientes diferentesy deformacin 0 en sentido y.

EFECTUANDO COMPARACIONES

x x

x z

x x

z z

xzxz

z z

x xz z

y y

= =

==

= =

= = 0

1 1

1

2 (1 + )v2 (1 + )v

v

xzxz EE

1

( + )

( - )v ( - )v

( - )v ( - )v

E E

EE

E

44


44

TRANSFORMACION BIDIMENSIONALDE LOS ESFUERZOS

En algunas ocasiones, es necesario introducir ejes inclinadosly my los componentes del esfuerzo asociado con ellos

l,

m

y lm

. Si los nuevos ejes se encuentran en el plano x-z y elngulo entre los ejes l y m es como se muestra en elcroquis, las ecuaciones de transformacin sers lassiguientes:

=

=

=

l

l

m

m

x

x

x

x

x

z

z

z

z

z

zx

zx

zx

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

( + ) + ( - ) cos2 + sen2

( + ) - ( - ) cos2 + sen2

cos2 - ( - )sen2


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45

Las magnitudes de los esfuerzos principales se obtienencuando se determina el valor de en el que

lm= 0 y

ly

m

logran los valores mximo y mnimo. A continuacin, se

ver cules son los esfuerzos principales:

Con direcciones:

=

=

=

=

= + 90

-

1

2

x

x

x

1

1,2

1

2 1

x

x

x

x

z

z

z

x

z

z

z

z

2

2

2

2

2

2

2

2

zx

zx

zx

zx

zx

zx

zx

zx

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2 tan arco (2 /( ))

tan arco (( - )/ )

4

4

4

4

( + ) + +

( + ) -

( - )

( - )

( - )

( - ) +

46


46

x

y

1

1

2

2

1

2


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47

Los esfuerzos principales y sus direcciones se puedenrepresentar grficamente por una construccin conocida como

diagrama circular de esfuerzos de Mohr.

El crculo se construye sobre los ejes vertical y horizontal de

t (esfuerzo cortante) y (esfuerzo normal),

respectivamente. Cuando el sentido es contrario al

movimiento del reloj por encima del eje x, ser t; cuando

sigue el sentido del reloj debajo del eje x, ser .

CIRCULO DE MOHR

48


48

x x

zx

zx

xz

xz

zx

zx

xz

xz

z

z

x

z

Esfuerzocortante

H

m ml

C

k( )

( )

( )

x

l

z

l

m

mmm

ll l

ml

12

2

1

xz

lm

zx

0 B

( )

F A

Esfuerzonormal

G

P

1

Q

OF = 0 , FK =

OC =

OA = =

OA = =

Tan = ( - )/

( + )

( + ) + { ( ) + 2}

( + ) + { ( ) + 2}

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

4

4

2

2

x

yx

x

x

x

11

x

1

2

z

z

z

z

x

z


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49

Si tenemos un slido sometido a un estado de esfuerzoplano (z = zx = xz = 0), y sea P un punto elstico (puntogeomtrico ms entorno material de forma paralelepipdicade lados infinitesimales) en su interior. Su estado tensionalvendr definido por las tensiones x, yy xy.

DESARROLLO DEL CIRCULO DE MOHR

y

x

I

yy

y

xxxy

x

P

P e

50


50

Si quisiramos determinar los esfuerzos en una direccincualquiera como la definida en la figura mediante el ngulo:

y y

u

n

x

x


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51

A continuacin, anotamos la convencin de signos enmecnica de rocas:

Los esfuerzos sern positivos si son decompresin.

Los esfuerzos cortantes son positivos sidesde el centro del punto elstico seproduce un giro en sentido horario.

ANTES DE SEGUIR

>0

52


52

Las componentes del vector tensin actuante

x y

ysobre el plano considerado, as como sus componentesnormal y tangencial, pueden calcularse de la siguientemanera:

y

yy y

x

x x

x

x

y

y

cos sen

sen

sen2

sen2

cos2sen2

cos2

cos2

sen2

+ +2

2 2

2

2

n

n

n

x

xx

x

x

x

y

yy

y

y

y

+

+ +

+

+-

-

+=

=

=

2

2

2

1

1

4

4

Independiente de 9

(

(

(

(

22

2

2

2

2

2

2

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

x

=

=

=

cos

sen [

[

[

[(x+y)/2 Centro de unacircunferencia

Radio de unacircunferencia


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53

Realizando la construccin grfica anterior se observa, queexiste una correspondencia biunvoca entre cada direccin

y un punto del crculo de Mohr: a cada direccin que pasa

por las proximidades del punto P le corresponde un punto

del crculo de Mohr cuya abscisa es componente habitual

del vector tensin que acta sobre la direccin considerada

y cuya ordenada es la componente tangencial de dicho

vector tensin.

54


54

2

=

=

2

2

+

y ,

y

1

n

x

x

1

2

(

( , 0)

mx = RadioPlano xy

Tensin principal mayor

Tensin principal menor

( , )

( , )

(xy

xy


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28

55


55

a) La primera propiedad es la que esquemticamente serepresenta en la siguiente figura.

PROPRIEDADES DEL CIRCULO DE MOHR

P

A

A

B

B

2

B

A

( , )

( , )

B

A

B

A

2

1

A

B

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