Ενδεικτικές επαναληπτικές ασκήσεις Κλασικής Φυσικής 2019-20

1. Για να χάσει βάρος κάποιος αποφασίζει να ανεβοκατέβει τρέχοντας τα σκαλιά ενός σταδίου. Τα σκαλιά είναι 80, με ύψος 0,15m το καθένα και τα ανεβαίνει σε 65 sec. Θεωρώντας ότι η ενέργεια που καταναλώνει στο κατέβασμα είναι ελάχιστη, η απόδοση των μυών είναι 20%, η μάζα του ανθρώπου είναι 75kg, ο μεταβολισμός ενός g λίπους αποδίδει 9kcal (1kcal=4186Joule), υπολογίστε: α)Πόσες φορές πρέπει να ανεβοκατέβει τις σκάλες για να χάσει 1 kg λίπους, β) Πόση είναι η ισχύς του ανθρώπου; γ) Πόσο αποτελεσματική είναι η συγκεκριμένη άσκηση για απώλεια βάρους;

2. Ενας κύβος μάζας 200g αφήνεται να κινηθεί σπό το σημείο Α ενός δοχείου όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ακτίνα του δοχείου είναι 30cm. Μεταξύ του κύβου και της επιφάνειας του δοχείου υπάρχει τριβή. Η ταχύτητα του κύβου στο σημείο Β είναι 1,5m/s. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του κύβου στο σημείο Β; Πόση μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια από το σημείο Α στο σημείο Β; Μπορείτε από τα παραπάνω δεδομένα να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής μεταξύ κύβου και δοχείου. (Το δοχείο παραμένει ακίνητο).

3. Σώμα βάρους 4kg κινείται κατά τον χ άξονα σύμφωνα με την εξίσωση x=t+2t3. Βρείτε α) την εξίσωση της κινητικής ενέργειας σε σχέση με το χρόνο, β) την εξίσωση της δύναμης και της επιτάχυνσης με το χρόνο, γ) την εξίσωση της ισχύος με το χρόνο, δ) Τo έργο στο σώμα από τα 0 μέχρι τα 2 sec.

4. Μια ομοιογενής ράβδος μήκους L κινείται χωρίς τριβές σε οριζόντια διεύθυνση όπως φαίνεται στο σχήμα. Μετά από το όριο η επιφάνεια χαρακτηρίζεται από συντελεστή τριβής μ. Πόση είναι η επιτάχυνση της ράβδου όταν το πρόσθιο άκρο της βρίσκεται σε απόσταση χ από το όριο. Η ράβδος ακινητοποιείται ακριβώς τη στιγμή που το πίσω άκρο της φτάνει στο όριο. Ποια ήταν η αρχική της ταχύτητα;

5. Μετωρίτης που κινείται με 30m/s συγκρούεται με ακίνητο μετεωρίτη διπλάσιας μάζας και κολλάει πάνω του. Τι σχέση έχει η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετά την κρούση με την κινητική ενέργεια πριν την κρούση;

232 CHAPTER 8 | Conservation of Energy

with a rough horizontal surface. The coefficient of kinetic friction between the board and the second surface is mk. (a) Find the acceleration of the board at the moment its front end has traveled a distance x beyond the boundary. (b) The board stops at the moment its back end reaches the boundary as shown in Figure P8.75b. Find the initial speed v of the board.

76. A uniform chain of length 8.00 m initially lies stretched out on a horizontal table. (a) Assuming the coefficient of static friction between chain and table is 0.600, show that the chain will begin to slide off the table if at least 3.00 m of it hangs over the edge of the table. (b) Determine the speed of the chain as its last link leaves the table, given that the coefficient of kinetic friction between the chain and the table is 0.400.

77. Jane, whose mass is 50.0 kg, needs to swing across a river (having width D) filled with person-eating crocodiles to save Tarzan from danger. She must swing into a wind exerting constant horizontal force F

S, on a vine having

length L and initially making an angle u with the vertical (Fig. P8.77). Take D 5 50.0 m, F 5 110 N, L 5 40.0 m, and u 5 50.08. (a) With what minimum speed must Jane begin her swing to just make it to the other side? (b) Once the rescue is complete, Tarzan and Jane must swing back across the river. With what minimum speed must they begin their swing? Assume Tarzan has a mass of 80.0 kg.

tal but curving in the vertical plane. Assume its radius of curvature is 20.0 m. Find the force the chute exerts on the sled at point !.

Challenge Problems

74. Starting from rest, a 64.0-kg person bungee jumps from a tethered hot-air balloon 65.0 m above the ground. The bungee cord has negligible mass and unstretched length 25.8 m. One end is tied to the basket of the bal-loon and the other end to a harness around the person’s body. The cord is modeled as a spring that obeys Hooke’s law with a spring constant of 81.0 N/m, and the person’s body is modeled as a particle. The hot-air balloon does not move. (a) Express the gravitational potential energy of the person–Earth system as a function of the person’s variable height y above the ground. (b) Express the elastic poten-tial energy of the cord as a function of y. (c) Express the total potential energy of the person–cord–Earth system as a function of y. (d) Plot a graph of the gravitational, elastic, and total potential energies as functions of y. (e) Assume air resistance is negligible. Determine the minimum height of the person above the ground during his plunge. (f) Does the potential energy graph show any equilibrium position or positions? If so, at what elevations? Are they stable or unstable? (g) Determine the jumper’s maximum speed.

75. Review. A uniform board of length L is sliding along a smooth, frictionless, horizontal plane as shown in Fig-ure P8.75a. The board then slides across the boundary

a

Figure P8.73

!"

#

9.76 m

50.0 m

20.0 m

54.3 m

bEn

grav

ing

from

Sci

entif

ic A

mer

ican

, Jul

y 188

8

BoundaryvS

a

b

L

v ! 0

Figure P8.75

Wind L

D

Jane

u

fFS

TarzanTarzanTarzan

Figure P8.77

78. A ball of mass m 5 300 g is connected by a strong string of length L 5 80.0 cm to a pivot and held in place with the string vertical. A wind exerts constant force F to the right on the ball as shown in Figure P8.78. The ball is released

a b

L

m

L

Pivot Pivot

Hm

FS

FS

Figure P8.78

| Problems 227

transformed to other forms due to friction in the pulley). Neglecting the mass of the pulley, find the time required to lift the piano from the street to the apartment.

38. A 650-kg elevator starts from rest. It moves upward for 3.00 s with constant acceleration until it reaches its cruis-ing speed of 1.75 m/s. (a) What is the average power of the elevator motor during this time interval? (b) How does this power compare with the motor power when the elevator moves at its cruising speed?

39. A loaded ore car has a mass of 950 kg and rolls on rails with negligible friction. It starts from rest and is pulled up a mine shaft by a cable connected to a winch. The shaft is inclined at 30.08 above the horizontal. The car accelerates uniformly to a speed of 2.20 m/s in 12.0 s and then con-tinues at constant speed. (a) What power must the winch motor provide when the car is moving at constant speed? (b) What maximum power must the winch motor provide? (c) What total energy has transferred out of the motor by work by the time the car moves off the end of the track, which is of length 1 250 m?

40. Energy is conventionally measured in Calories as well as in joules. One Calorie in nutrition is one kilocalorie, defined as 1 kcal 5 4 186 J. Metabolizing 1 g of fat can release 9.00 kcal. A student decides to try to lose weight by exercising. He plans to run up and down the stairs in a football stadium as fast as he can and as many times as necessary. To evaluate the program, suppose he runs up a flight of 80 steps, each 0.150 m high, in 65.0 s. For simplic-ity, ignore the energy he uses in coming down (which is small). Assume a typical efficiency for human muscles is 20.0%. This statement means that when your body converts 100 J from metabolizing fat, 20 J goes into doing mechani-cal work (here, climbing stairs). The remainder goes into extra internal energy. Assume the student’s mass is 75.0 kg. (a) How many times must the student run the flight of stairs to lose 1.00 kg of fat? (b) What is his average power output, in watts and in horsepower, as he runs up the stairs? (c) Is this activity in itself a practical way to lose weight?

Additional Problems

41. A small block of mass m 5 200 g is released from rest at point ! along the horizontal diameter on the inside of a frictionless, hemispherical bowl of radius R 5 30.0 cm (Fig. P8.41). Calculate (a) the gravitational potential energy of the block–Earth system when the block is at point ! relative to point ", (b) the kinetic energy of the block at point ", (c) its speed at point ", and (d) its kinetic energy and the potential energy when the block is at point #.

Section 8.5 Power

28. A certain rain cloud at an altitude of 1.75 km contains 3.20 3 107 kg of water vapor. How long would it take a 2.70-kW pump to raise the same amount of water from the Earth’s surface to the cloud’s position?

29. An 820-N Marine in basic training climbs a 12.0-m verti-cal rope at a constant speed in 8.00 s. What is his power output?

30. The electric motor of a model train accelerates the train from rest to 0.620 m/s in 21.0 ms. The total mass of the train is 875 g. (a) Find the minimum power deliv-ered to the train by electrical transmission from the metal rails during the acceleration. (b) Why is it the minimum power?

31. Make an order-of-magnitude estimate of the power a car engine contributes to speeding the car up to highway speed. In your solution, state the physical quantities you take as data and the values you measure or estimate for them. The mass of a vehicle is often given in the owner’s manual.

32. Sewage at a certain pumping station is raised vertically by 5.49 m at the rate of 1 890 000 liters each day. The sew-age, of density 1 050 kg/m3, enters and leaves the pump at atmospheric pressure and through pipes of equal diameter. (a) Find the output mechanical power of the lift station. (b) Assume an electric motor continuously operating with average power 5.90 kW runs the pump. Find its efficiency.

33. An energy-efficient lightbulb, taking in 28.0 W of power, can produce the same level of brightness as a conventional lightbulb operating at power 100 W. The lifetime of the energy-efficient bulb is 10 000 h and its purchase price is $4.50, whereas the conventional bulb has a lifetime of 750 h and costs $0.42. Determine the total savings obtained by using one energy-efficient bulb over its lifetime as opposed to using conventional bulbs over the same time interval. Assume an energy cost of $0.200 per kilowatt-hour.

34. An electric scooter has a battery capable of supplying 120 Wh of energy. If friction forces and other losses account for 60.0% of the energy usage, what altitude change can a rider achieve when driving in hilly terrain if the rider and scooter have a combined weight of 890 N?

35. When an automobile moves with constant speed down a highway, most of the power developed by the engine is used to compensate for the energy transformations due to friction forces exerted on the car by the air and the road. If the power developed by an engine is 175 hp, estimate the total friction force acting on the car when it is moving at a speed of 29 m/s. One horsepower equals 746 W.

36. An older-model car accelerates from 0 to speed v in a time interval of Dt. A newer, more powerful sports car accelerates from 0 to 2v in the same time period. Assuming the energy coming from the engine appears only as kinetic energy of the cars, compare the power of the two cars.

37. A 3.50-kN piano is lifted by three workers at constant speed to an apartment 25.0 m above the street using a pulley system fastened to the roof of the building. Each worker is able to deliver 165 W of power, and the pulley system is 75.0% efficient (so that 25.0% of the mechanical energy is

2R/3

R

!

"#

Figure P8.41 Problems 41 and 42.

42. What If? The block of mass m 5 200 g described in Problem 41 (Fig. P8.41) is released from rest at point !, and the surface of the bowl is rough. The block’s speed at

6. Μια ατσάλινη μπάλα 10kg χτυπάει σε ένα τοίχο με ταχύτητα 10m/s υπό γωνία 600 (όπως φαίνεται στο σχήμα). Αναπηδά με την ίδια ταχύτητα και γωνία (προς τα πάνω). Αν η μπάλα παραμένει σε επαφή με τον τοίχο για 0,2sec βρείτε τη δύναμη που της ασκεί ο τοίχος.

7. Τρεις κύβοι μάζας m1=4kg, m2=10kg, m3=3kg κινούνται σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές με ταχύτητες u1=5m/s, u2=3m/s, u3=4m/s με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι κύβοι κολλάνε ματξύ τους μετά την κρούση. Βρείτε την τελική ταχύτητα του συστήματος. Εχει σημασία αν η κρούση συμβεί ταυτόχρονα και για τους τρεις;

8. Είστε πάνω σε ένα έλκηθρο σε μια παγωμένη λίμνη και κινείστε χωρίς τριβές. Ενας λύκος εμφανίζεται από το δάσος και τρέχει προς το έλκηθρο. Επειδή η φυσική σώζει βρίσκετε ένα τρόπο αντίδρασης και οι εξισώσεις που περιγράφουν την κατάσταση είναι:

α) Ποιος ήταν ο τρόπος αντίδρασης; β)Ποιές οι τιμές των u2α και u2b, γ) Πόση ενέργειά σας μετετράπη σε κινητική;

9. Δύο σωματίδια μάζας m και 3m κινούνται το ένα προς το άλλο στον χ-άξονα (το m προς τα αριστερά και το 3m προς τα δεξιά) με ίδιο μέτρο ταχύτητας uα. Μετά από ελαστική κρούση το m κινείται προς την αρνητική φορά του άξονα ψ. Βρείτε τις τελικές ταχύτητες των σωματιδίων συναρτήσει της uα. Υπό ποια γωνία σκεδάζεται το 3m;

10. Η μπάλα του τέννις είναι μια κούφια σφαίρα με λεπτό επιφανειακό τοίχωμα (Ι=2mR2/3). Αφήνεται να κυλήσει στο διάδρομο που φαίνεται στο σχήμα με ταχύτητα 4,1 m/s. Η ακτίνα του διαδρόμου είναι 45 cm και το ύψος h από το οποίο η μπάλα εγκαταλείπει τον κύκλο είναι 20 cm κάτω από το αρχικό. α) Πόση είναι η ταχύτητα της μπάλας στην κορυφή του κύκλου. β) Αποδείξτε ότι η μπάλα δεν θα πέσει στην κορυφή του κύκλου. γ) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας όταν εγκαταλείπει τον κύκλο δ) Εαν η μπάλα δεν κυλούσε αλλά ολίσθαινε η ταχύτητά της στην κορυφή του κύκλου θα ήταν μικρότερη, ίδια ή μεγαλύτερη;

314 CHAPTER 10 | Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

strand of the cord extends 16.0 cm from the outer edge of the spool. (a) When switched on, the trimmer speeds up from 0 to 2 500 rev/min in 0.215 s. What average power is delivered to the head by the trimmer motor while it is accel-erating? (b) When the trimmer is cutting grass, it spins at 2 000 rev/min and the grass exerts an average tangential force of 7.65 N on the outer end of the cord, which is still at a radial distance of 16.0 cm from the outer edge of the spool. What is the power delivered to the head under load?

Section 10.9 Rolling Motion of a Rigid Object

55. A cylinder of mass 10.0 kg rolls without slipping on a hori-zontal surface. At a certain instant, its center of mass has a speed of 10.0 m/s. Determine (a) the translational kinetic energy of its center of mass, (b) the rotational kinetic energy about its center of mass, and (c) its total energy.

56. A solid sphere is released from height h from the top of an incline making an angle u with the horizontal. Calculate the speed of the sphere when it reaches the bot-tom of the incline (a) in the case that it rolls without slip-ping and (b) in the case that it slides frictionlessly without rolling. (c) Compare the time intervals required to reach the bottom in cases (a) and (b).

57. (a) Determine the acceleration of the center of mass of a uniform solid disk rolling down an incline making angle u with the horizontal. (b) Compare the acceleration found in part (a) with that of a uniform hoop. (c) What is the minimum coefficient of friction required to maintain pure rolling motion for the disk?

58. A smooth cube of mass m and edge length r slides with speed v on a horizontal surface with negligible fric-tion. The cube then moves up a smooth incline that makes an angle u with the horizontal. A cylinder of mass m and radius r rolls without slipping with its center of mass moving with speed v and encounters an incline of the same angle of inclination but with sufficient friction that the cylinder continues to roll without slipping. (a) Which object will go the greater distance up the incline? (b) Find the difference between the maximum distances the objects travel up the incline. (c) Explain what accounts for this difference in dis-tances traveled.

59. A uniform solid disk and a uniform hoop are placed side by side at the top of an incline of height h. (a) If they are released from rest and roll without slipping, which object reaches the bottom first? (b) Verify your answer by calculating their speeds when they reach the bottom in terms of h.

60. A tennis ball is a hollow sphere with a thin wall. It is set rolling without slipping at 4.03 m/s on a horizontal sec-tion of a track as shown in Figure P10.60. It rolls around the inside of a vertical circular loop of radius r 5 45.0 cm. As the ball nears the bottom of the loop, the shape of the track deviates from a perfect circle so that the ball leaves the track at a point h 5 20.0 cm below the horizontal section. (a) Find the ball’s speed at the top of the loop. (b) Demonstrate that the ball will not fall from the track at the top of the loop. (c) Find the ball’s speed as it leaves

the track at the bottom. What If? (d) Suppose that static friction between ball and track were negligible so that the ball slid instead of rolling. Would its speed then be higher, lower, or the same at the top of the loop? (e) Explain your answer to part (d).

r

h

Figure P10.60

61. A metal can containing condensed mushroom soup has mass 215 g, height 10.8 cm, and diameter 6.38 cm. It is placed at rest on its side at the top of a 3.00-m-long incline that is at 25.08 to the horizontal and is then released to roll straight down. It reaches the bottom of the incline after 1.50 s. (a) Assuming mechanical energy conservation, cal-culate the moment of inertia of the can. (b) Which pieces of data, if any, are unnecessary for calculating the solution? (c) Why can’t the moment of inertia be calculated from I 5 12mr 2 for the cylindrical can?

Additional Problems

62. As shown in Figure 10.18 on page 294, toppling chim-neys often break apart in midfall because the mortar between the bricks cannot withstand much shear stress. As the chimney begins to fall, shear forces must act on the topmost sections to accelerate them tangentially so that they can keep up with the rotation of the lower part of the stack. For simplicity, let us model the chimney as a uniform rod of length , pivoted at the lower end. The rod starts at rest in a vertical position (with the frictionless pivot at the bottom) and falls over under the influence of gravity. What fraction of the length of the rod has a tangential accelera-tion greater than g sin u, where u is the angle the chimney makes with the vertical axis?

63. Review. A 4.00-m length of light nylon cord is wound around a uniform cylindrical spool of radius 0.500 m and mass 1.00 kg. The spool is mounted on a frictionless axle and is initially at rest. The cord is pulled from the spool with a constant acceleration of magnitude 2.50 m/s2. (a) How much work has been done on the spool when it reaches an angular speed of 8.00 rad/s? (b) How long does it take the spool to reach this angular speed? (c) How much cord is left on the spool when it reaches this angular speed?

64. An elevator system in a tall building consists of a 800-kg car and a 950-kg counterweight joined by a light cable of constant length that passes over a pulley of mass 280 kg. The pulley, called a sheave, is a solid cylinder of radius 0.700 m turning on a horizontal axle. The cable does not slip on the sheave. A number n of people, each of mass 80.0 kg, are riding in the elevator car, moving

270 CHAPTER 9 | Linear Momentum and Collisions

21. A neutron in a nuclear reactor makes an elastic, head-on collision with the nucleus of a carbon atom initially at rest. (a) What fraction of the neutron’s kinetic energy is transferred to the carbon nucleus? (b) The initial kinetic energy of the neutron is 1.60 3 10213 J. Find its final kinetic energy and the kinetic energy of the carbon nucleus after the collision. (The mass of the carbon nucleus is nearly 12.0 times the mass of the neutron.)

22. A tennis ball of mass mt is held just above a basketball of mass mb, as shown in Figure P9.22. With their cen-ters vertically aligned, both are released from rest at the same moment so that the bottom of the basketball falls freely through a height h and strikes the floor. Assume an elastic collision with the ground instantaneously reverses the velocity of the basketball while the tennis ball is still mov-ing down because the balls have separated a bit while fall-ing. Next, the two balls meet in an elastic collision. (a) To what height does the tennis ball rebound? (b) How do you account for the height in (a) being larger than h? Does that seem like a violation of conservation of energy?

23. A 12.0-g wad of sticky clay is hurled horizontally at a 100-g wooden block initially at rest on a horizontal surface. The clay sticks to the block. After impact, the block slides 7.50 m before coming to rest. If the coefficient of friction between the block and the surface is 0.650, what was the speed of the clay immediately before impact?

24. A wad of sticky clay of mass m is hurled horizontally at a wooden block of mass M initially at rest on a horizon-tal surface. The clay sticks to the block. After impact, the block slides a distance d before coming to rest. If the coef-ficient of friction between the block and the surface is m, what was the speed of the clay immediately before impact?

25. (a) Three carts of masses m1 5 4.00 kg, m2 5 10.0 kg, and m3 5 3.00 kg move on a frictionless, horizontal track with speeds of v1 5 5.00 m/s to the right, v2 5 3.00 m/s to the right, and v3 5 4.00 m/s to the left as shown in Figure P9.25. Velcro couplers make the carts stick together after colliding. Find the final velocity of the train of three carts. (b) What If? Does your answer in part (a) require that all the carts collide and stick together at the same moment? What if they collide in a different order?

15. The magnitude of the net force exerted in the x direc-tion on a 2.50-kg particle var-ies in time as shown in Figure P9.15. Find (a) the impulse of the force over the 5.00-s time interval, (b) the final veloc-ity the particle attains if it is originally at rest, (c) its final velocity if its original veloc-ity is 22.00 i^ m/s, and (d) the average force exerted on the particle for the time interval between 0 and 5.00 s.

16. Review. A force platform is a tool used to analyze the per-formance of athletes by measuring the vertical force the athlete exerts on the ground as a function of time. Starting from rest, a 65.0-kg athlete jumps down onto the platform from a height of 0.600 m. While she is in contact with the platform during the time interval 0 , t , 0.800 s, the force she exerts on it is described by the function

F 5 9 200t 2 11 500t2

where F is in newtons and t is in seconds. (a) What impulse did the athlete receive from the platform? (b) With what speed did she reach the platform? (c) With what speed did she leave it? (d) To what height did she jump upon leaving the platform?

17. Water falls without splashing at a rate of 0.250 L/s from a height of 2.60 m into a 0.750-kg bucket on a scale. If the bucket is originally empty, what does the scale read in new-tons 3.00 s after water starts to accumulate in it?

Section 9.4 Collisions in One Dimension 18. A 1 200-kg car traveling initially at vCi 5 25.0 m/s in

an easterly direction crashes into the back of a 9 000-kg truck moving in the same direction at vTi 5 20.0 m/s (Fig. P9.18). The velocity of the car immediately after the colli-sion is vCf 5 18.0 m/s to the east. (a) What is the velocity of the truck immediately after the collision? (b) What is the change in mechanical energy of the car–truck system in the collision? (c) Account for this change in mechanical energy.

4F (N)

3

2

1

0 1 2 3 4 5t (s)

Figure P9.15

Before After

vCiS vTi

S vCfS vTf

S

Figure P9.18

19. A 10.0-g bullet is fired into a stationary block of wood hav-ing mass m 5 5.00 kg. The bullet imbeds into the block. The speed of the bullet-plus-wood combination immedi-ately after the collision is 0.600 m/s. What was the original speed of the bullet?

20. A car of mass m moving at a speed v1 collides and cou-ples with the back of a truck of mass 2m moving initially in the same direction as the car at a lower speed v2. (a) What is the speed vf of the two vehicles immediately after the col-lision? (b) What is the change in kinetic energy of the car–truck system in the collision?

Figure P9.22

v1 v2 v3

m2m1 m3

Figure P9.25

26. As shown in Figure P9.26, a bullet of mass m and speed v passes completely through a pen-dulum bob of mass M. The bullet emerges with a speed of v/2. The pendulum bob is suspended by a stiff rod (not a string) of length , and negligible mass. What is

m!

M

vS v/2S

Figure P9.26

F

17.Μια σφαίρα 500g µε αρχική ταχύτητα u1 ίση µε 400m/s, διαπερνά ένα κύβο 1kg όπως φαίνεται στο σχήµα. Ο κύβος αρχικά ισορροπεί σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές και είναι συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς 900N/m. Αφού τον διαπεράσει η σφαίρα ο κύβος µετακινείται κατά 5cm προς τα δεξιά. Βρείτε την ταχύτητα µε την οποία η σφαίρα βγαίνει από τον κύβο.

F

18. Στο σχήµα το σώµα 1 µάζας m1 ολισθαίνει ξεκινώντας από την ηρεµία κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου χωρίς τριβές από αρχικό ύψος h=2,5m. Στη συνέχεια συγκρούεται µε ακίνητο σώµα µάζας m2=2m1. Μετά την κρούση ακολουθεί περιοχή µε συντελεστή τριβής 0,5. Σε πόση απόσταση θα σταµατήσει το σώµα 2 σε περίπτωση α. ελαστικής και β. πλαστικής κρούσης.

19. Ενας µαθητής βρίσκεται στην κορυφή ενός κτιρίου ύψους 50m. Πετάει µια πέτρα κάθετα πρός τα πάνω µε ταχύτητα u και µια προς τα κάτω µε την ίδια ταχύτητα u. Ακριβώς πριν χτυπήσουν στο έδαφος ποια πέτρα έχει µεγαλύτερη ταχύτητα;

20. Ενα βότσαλο αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση από συγκεκριµένο ύψος h. Φτάνει στο έδαφος µε ταχύτητα 4m/s. Το ίδιο βότσαλο ρίχνεται µε αρχική ταχύτητα 3m/s από το ίδιο ύψος. Με πόση ταχύτητα θα φτάσει στο έδαφος;

m1

m2

(270 kg)(7, 5 m/s)i = (15 kg)(� u2ai) + (255 kg)( u2bi)

u2a + u2b = 8 m/s

11. Σε περιστρεφόμενο τροχό η ταχύτητα περιστροφής αλλάζει λόγω τριβής σύμφωνα με

Αν η αρχική ταχύτητα του τροχού είναι 3.5 rad/sec και στα 9,3 δευτερόλεπτα είναι 2 rad/sec, να υπολογιστούν οι σταθερές σ και ω0, η γωνιακή επιτάχυνση στα 3 δευτερόλεπτα, ο αριθμός στροφών

που έχει διαγράψει ο τροχός τα πρώτα 2,5 δευτερόλεπτα καθώς και ο συνολικός αριθμός στροφών μέχρι να σταματήσει.

12. Εστω ότι κάποιος θέλει να σηκώσει βάρη με τον τρόπο που φάινεται στο σχήμα. Η σπονδυλική στήλη περιστρέφεται γύρω από τον 5ο σπόνδυλο και η δύναμη στήριξης προέρχεται από τον ραχιαίο μύ. Η τάση Τ ασκείται στα 2/3 του μήκους της σπονδυλικής στήλης. Υπολογίστε το Τ και την δύναμη που συμπιέζει τη σπονδυλική στήλη. Είναι ο ενδεδειγμένος τρόπος ανύψωσης βάρους; Μπορείτε να σκεφτείτε εναλλακτικό;

13. Μια μπάλα αφήνεται να πέσει από ύψος 4m στο έδαφος. Η κρούση με το έδαφος είναι ελαστική. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει αντίσταση αέρα και επομένως η μπάλα δεν χάνει μηχανική ενέργεια, δείξτε ότι η κίνηση της μπάλας θα είναι περιοδική και προσδιορίστε την περίοδο. Η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντωση ή όχι;

14.Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του χιονιού και των πεδίλων του σκι είναι 0,200. Θεωρώντας ότι η θερμοκρασία του χιονιού είναι 00C, η μάζα του σκιερ 75kg και όλη η ενέργεια που καταναλώνεται από την τριβή μετατρέπεται σε θερμότητα, πόση απόσταση πρέπει να διανύσει ο σκιερ για να λιώσει 1kg χιόνι (L=334kJ/kg);

15.Ενα παγάκι 75g και θερμοκρασίας 00C βυθίζεται σε νερό 825 g και θερμοκρασίας 250C. Ποια η τελική θερμοκρασία του συστήματος (L=334kJ/kg, c=4,18J/g·grad);

16.Ενα λίτρο τσαγιού θερμοκρασίας 1000C τοποθετείται σε μονωμένο γυάλινο μπουκάλι θερμοκρασίας 200C. Αν η μάζα του μπουκαλιού είναι 0,2kg ποια θα είναι η τελική θερμοκρασία του τσαγιού (cνερού=1cal/gr·grad, cγυαλιού:0,18 cal/gr·grad);

17.Ένας ποδοσφαιριστής χάνει στα 90min ενός αγώνα περίπου 4kg. Να υπολογίσετε: α) τη θερμότητα, που αποβάλλεται από την επιδερμίδα του στο περιβάλλον ως λανθάνουσα θερμότητα εξαέρωσης, β) τη θερμική ισχύ, που αντιστοιχεί σε αυτόν το ρυθμό αποβολής ( L=2260kJ/kg ).

18.Δίνεται το παρακάτω διάγραμμα φάσης ενός στοιχείου:

370 CHAPTER 12 | Static Equilibrium and Elasticity

oted with a frictionless pin at A and rests against a smooth support at B. Find the reaction forces at (a) point A and (b) point B.

200 N, and is 6.00 m long, and it is supported by a wire at an angle of u 5 60.0°. The basket weighs 80.0 N. (a) Draw a force diagram for the beam. (b) When the bear is at x 5 1.00 m, find the tension in the wire supporting the beam and the components of the force exerted by the wall on the left end of the beam. (c) What If? If the wire can withstand a maximum tension of 900 N, what is the maximum dis-tance the bear can walk before the wire breaks?

44. The following equations are obtained from a force diagram of a rectangular farm gate, supported by two hinges on the left-hand side. A bucket of grain is hanging from the latch.

2A 1 C 5 0

1B 2 392 N 2 50.0 N 5 0

A(0) 1 B(0) 1 C(1.80 m) 2 392 N(1.50 m)

2 50.0 N(3.00 m) 5 0

(a) Draw the force diagram and complete the statement of the problem, specifying the unknowns. (b) Determine the values of the unknowns and state the physical meaning of each.

45. A uniform sign of weight Fg and width 2L hangs from a light, horizontal beam hinged at the wall and supported by a cable (Fig. P12.45). Determine (a) the tension in the cable and (b) the components of the reaction force exerted by the wall on the beam in terms of Fg, d, L, and u.

u

d

2L

Lulu and Lisa’s Cafe

Figure P12.45

46. A 1 200-N uniform boom at f 5 658 to the vertical is sup-ported by a cable at an angle u 5 25.08 to the horizontal as shown in Figure P12.46. The boom is pivoted at the bot-tom, and an object of weight m 5 2 000 N hangs from its top. Find (a) the tension in the support cable and (b) the components of the reaction force exerted by the floor on the boom.

!34 !

u

m

f

Figure P12.46

47. A crane of mass m1 5 3 000 kg supports a load of mass m2 5 10 000 kg as shown in Figure P12.47. The crane is piv-

B

A

2.00 m6.00 m

m2

1.00 m Sm1g

Figure P12.47

48. Assume a person bends forward to lift a load “with his back” as shown in Figure P12.48a. The spine pivots mainly at the fifth lumbar vertebra, with the principal supporting force provided by the erector spinalis muscle in the back. To see the magnitude of the forces involved, consider the model shown in Figure P12.48b for a person bending for-ward to lift a 200-N object. The spine and upper body are represented as a uniform horizontal rod of weight 350 N, pivoted at the base of the spine. The erector spinalis mus-cle, attached at a point two-thirds of the way up the spine, maintains the position of the back. The angle between the spine and this muscle is u 5 12.08. Find (a) the tension T in the back muscle and (b) the compressional force in the spine. (c) Is this method a good way to lift a load? Explain your answer, using the results of parts (a) and (b). (d) Can you suggest a better method to lift a load?

a b

Pivot

Back muscle

Ry

Rx

12.0!

200 N350 N

TS

Figure P12.48

49. A 10 000-N shark is supported by a rope attached to a 4.00-m rod that can pivot at the base. (a) Calculate the tension in the cable between the rod and the wall, assuming the cable is hold-ing the system in the position shown in Figure P12.49. Find (b) the horizontal force and (c) the vertical force exerted on the base of the rod. Ignore the weight of the rod.

20.0!

60.0! 10 000 N

Figure P12.49

d✓

dt= !0e

��t

<latexit sha1_base64="2YUSpE2TSlxdZqIjcaFt7rOR2ek=">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</latexit>

Αν είχατε μια ποσότητα του παραπάνω στοιχείου μαζί σας, σε ποια φάση θα βρισκότανε; β. Πώς θα μπορούσε να εξαχνωθεί το στοιχείο;γ. Για ποιες τιμές πίεσης και θερμοκρασίας συνυπάρχουν και οι τρείς φάσεις; δ. Αν θέλατε θα μπορούσατε να πιείτε αυτό το στοιχείο;ε. Ποσότητα αυτού του στοιχείου βρίσκεται σε πίεση 1,75atm και θερμοκρασία 4000C. Ποια μεταβολή (ες) φάσης θα υποστεί αν η πίεση μειωθεί στις 0,25atm;

19. Φτιάξτε ένα διάγραμμα της θερμοκρασίας σε συνάρτηση με τη θερμότητα για να φτάσει ένα κομμάτι πάγος 100g από τους -200C έως τους 1500C. (Lτήξης=333kJ/kg, Lεξατμ.=2260kJ/kg, Cπάγου=2100J/kg grad, Cνερού=2100J/kg grad).

20. Ενας πύραυλος εκτοξεύεται από την κορυφή πύργου ύψους 50m. Οι συντεταγμένες του είναι της μορφής x(t)=A+Bt2, y(t)=C+Dt3, όπου A, B, C και D σταθερές. Επιπλέον η επιτάχυνση του πυραύλου 1s μετά την εκτόξευση είναι α=(4i+3j)m/s2. Θεωρήστε ότι η αρχή των αξόνων είναι στη βάση του πύργου. α. Βρείτε τις τιμές και τις μονάδες των σταθερών A, B, C και D. β. Ποιό το διάνυσμα θέσης του πυραύλου 10s μετά την εκτόξευση;

21. Ενα σώμα εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με επιτάχυνση , όπου κ θετική σταθερά και u το μέτρο της ταχύτητας. Εάν τη χρονική στιγμή t0=0 το σώμα κινείται με ταχύτητα u0 και βρίσκεται στη θέση x0=0, να υπολογιστούν η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με τη θέση, η θέση του σώματος σε συνάρηση με το χρόνο, το χρονικό διάστημα μέχρι να σταματήσει το σώμα, το συνολικό διάστημα μέχρι να σταματήσει.

22. Σώμα μάζας m κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα, όπου c σταθερά και χ η θέση του σώματος. Να υπολογιστεί το έργο των δ υ ν ά μ ε ω ν π ο υ ασκούνται στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο.

23. Ενα σώμα κινείται υπό την επίδραση δύναμης F=F0-ku, όπου κ σταθερά και u η ταχύτητα του σώματος. Εάν η αρχική ταχύτητα και η αρχική θέση του σώματος είναι 0, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

24. Η γρηγορότερη ρίψη στο μπέιζμπολ έχει μετρηθεί στα 46 m/s. Μια κλασική μπάλα μπειζμπολ έχει μάζα 145g. Αν ο ρίπτης θεωρηθεί ότι άσκησε στην μπάλα δύναμη οριζόντια και σταθερή για μια απόσταση 1m, πόση ήταν αυτή η δύναμη;

25. Ενας φορτωμένος ανελκυστήρας έχει ολική μάζα 2200 kg και φθαρμένα συρματόσχοινα πού μπορούν να αντέξουν μέγιστη τάση 28000Ν. Ποια είναι η μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να έχει ο ανελκυστήρας ώστε να μην σπάσουν τα συρματόσχοινα; Ποια θα ήταν η αντίστοιχη τιμή στο φεγγάρι με επιτάχυνση της βαρύτητας 1,62m/s2;

↵ = �kpu

<latexit sha1_base64="1F2gO4eHfqkoVAmfkwUlJ1T+Kdk=">AAACAXicbVDLSsNAFJ3UV42vqBtBF4NFcGNJpKIboehGV1awD2hCmUwn7dDJJM5MhBLqxh9x4caFIm79i+7c+yFO2i60ei4XDufcy8w9fsyoVLb9aeRmZufmF/KL5tLyyuqatb5Rk1EiMKniiEWi4SNJGOWkqqhipBELgkKfkbrfO8/8+h0Rkkb8RvVj4oWow2lAMVJaallbJnSzQizuInh60HPlrVBpMmhZBbtojwD/EmdCCuWdo+Hl19VjpWUN3XaEk5BwhRmSsunYsfJSJBTFjAxMN5EkRriHOqSpKUchkV46umAA97TShkEkdHMFR+rPjRSFUvZDX0+GSHXltJeJ/3nNRAUnXkp5nCjC8fihIGFQRTCLA7apIFixviYIC6r/CnEXCYSVDs3UITjTJ/8ltcOiUyqWrnUaZ2CMPNgGu2AfOOAYlMEFqIAqwOAePIEX8Go8GM/Gm/E+Hs0Zk51N8AvGxzcvxZkp</latexit>

u = cpx

<latexit sha1_base64="gQk2GZ0B70W7b+eUqT8PSMaoBzM=">AAAB/HicbVDLSsNAFJ3UV42vaJe6GCyCq5JIRTdC0Y2urGAf0IQymU7aoZNJnJmIIdRf0YULRdz6Id2590OcPhbaei4XDufcy9w5fsyoVLb9ZeQWFpeWV/Kr5tr6xuaWtb1Tl1EiMKnhiEWi6SNJGOWkpqhipBkLgkKfkYbfvxj5jXsiJI34rUpj4oWoy2lAMVJaalsFE7q6EngGsSvvhMoeBm2raJfsMeA8caakWNk7Hl59Xz9X29bQ7UQ4CQlXmCEpW44dKy9DQlHMyMB0E0lihPuoS1qachQS6WXj4wfwQCsdGERCN1dwrP7eyFAoZRr6ejJEqidnvZH4n9dKVHDqZZTHiSIcTx4KEgZVBEdJwA4VBCuWaoKwoPpWiHtIIKx0XqYOwZn98jypH5Wccql8o9M4BxPkwS7YB4fAASegAi5BFdQABil4Aq/gzXg0Xox342MymjOmOwXwB8bnD0vilvg=</latexit>

26. Το κυκλοφορικό σύστημα ενός ανθρώπου είναι κλειστό - δηλαδή το αίμα που αντλείται έξω από την αριστερή κοιλία της καρδιάς προς τις αρτηρίες, περιορίζεται σε μια σειρά από συνεχή, διακλαδιζόμενα αγγεία καθώς περνά μέσα από τριχοειδή αγγεία και από τις φλέβες για να επιστρέψει στην καρδιά. Εάν η συστολή της αριστερής κοιλίας διαρκεί 250ms και η ταχύτητα της ροής του αίματος στην αορτή είναι 0,8m/s στο τέλος της συστολής, πόση είναι η μέση επιτάχυνση ενός αιμοσφαιρίου ενώ αναχωρεί από την καρδιά; Εάν η αρχική διάμετρος της αορτής είναι ίση με dα και διακλαδίζεται σε δύο ίσης διαμέτρου αρτηρίες συνολικού εμβαδού ίσου με της αορτής, πόση είναι η διάμετρος κάθε αρτηρίας σε σχέση με την dα; Η ταχύτητα του αίματος στην αορτή μπορεί να μετρηθεί μέσω υπέρηχογραφήματος. Μια τυπική γραφική παράσταση της ταχύτητας του αίματος σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα. Ποιά είναι η μέγιστη ταχύτητα του αίματος στην αορτή; Αλλάζει το αίμα κατεύθυνση; Πότε είναι μέγιστη η επιτάχυνση του αίματος σε μέτρο;

27. Σε μεγάλο περιστρεφόμενο βαρέλι σε λούνα παρκ, οι επιβάτες στέκονται ακουμπώντας στο εσωτερικό τοίχωμα ενός κατακόρυφου κυλίνδρου ακτίνας 2,5m. Ο κύλινδρος αρχίζει να περιστρέφεται και όταν ο ρυθμός περιστροφής σταθεροποιηθεί στις 0,6 περιστροφές το δευτερόλεπτο, το δάπεδο υποχωρεί κατά 0,5m. Οι άνθρωποι παραμένουν προσκολλημένοι στο τοίχωμα χωρίς να ακουμπούν στο πάτωμα. Πόσος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος συντελεστής τριβής ώστε ο άνθρωπος να μην ολισθήσει προς το πάτωμα;

28. Ενα πρωτόνιο μάζας 1,67Χ10-27kg εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα 3Χ105 m/s ακριβώς στην κατεύθυνση ενός πυρήνα ουρανίου που βρίσκεται σε απόσταση 5m από το πρωτόνιο. Το πρωτόνιο απωθείται από τον πυρήνα ουρανίου με δύναμη F=α/χ2, όπου χ είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σωματιδίων και α=2,12Χ10-26Nm2. Υποθέστε ότι ο πυρήνας ουρανίου παραμένει σε ηρεμία. Οταν το πρωτόνιο βρίσκεται σε απόσταση 8Χ10-10m από τον πυρήνα ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητάς του; Καθώς το πρωτόνιο πλησιάζει τον πυρήνα ουρανίου, η απωστική δύναμη επιβραδύνει το πρωτόνιο μέχρι αυτό να ακινητοποιηθεί στιγμιαία, ενώ στη συνέχεια το πρωτόνιο απομακρύνεται από τον πυρήνα ουρανίου. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση προσέγγισης του πρωτονίου στον πυρήνα; Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτηατς του πρωτονίου όταν ξαναβρεθεί σε απόσταση 5 m από τον πυρήνα;

29. Η ανθρώπινη καρδιά είναι μια ισχυρή και αξιόπιστη αντλία. Κάθε μέρα εισρέουν και εκρέουν από την καρδιά περίπου 7500 λίτρα αίματος. Θεωρείστε ότι το έργο που παράγει η καρδιά είναι ίσο με το αντίστοιχο που απαιτείται για να ανυψωθεί η παραπάνω ποσότητα αίματος σε ύψος 1,63m. Η πυκνότητα του αίματος είναι ίση με 1,05Χ103kg/m3. Πόσο έργο παράγει η ανθρώπινη καρδιά σε μια ημέρα; Ποια είναι η ισχύς λειτουργίας της σε Watt;

30. Βαγόνι τρένου λούνα παρκ κυλά χωρίς τριβές κατά μήκος βρόχου όπως φαίνεται στο σχήμα. Το βαγόνι ξεκινά από την ηρεμία από το σημείο Α, σε ύψος h από τη βάση του βρόχου. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του h (συναρτήσει της ακτίνας R) έτσι ώστε το βαγόνι να ολοκληρώσει την ανακύκλωση χωρίς να πέσει φτάνοντας στο Β; Αν h=3,5R και R=14m υπολογίστε την ταχύτητα, την ακτινική και εφαπτομενική επιτάχυνση όταν το βαγόνι βρίσκεται στο C (άκρο οριζόντιας διαμέτρου του βρόχου).

31. Βράχος 28kg πλησιάζει τους πρόποδες λόφου με ταχύτητα 15m/s. Το πρανές του λόφου έχει σταθερή ανηφορική κλίση γωνίας 400 με το οριζόντιο επίπεδο. Οι συντελεστές στατικής και κινητικής τριβής μεταξύ του λόφου και του βράχου είναι 0,75 και 0,20 αντίστοιχα. Σε ποιο μέγιστο ύψος φτάνει ο βράχος από τους πρόποδες του λόφου; Ο

h

AB

C

βράχος θα παραμείνει σε ηρεμία στο ψηλότερο σημείο που θα φτάσει ή θα ολισθήσει προς τη βάση του λόφου; Εαν ολισθήσει προς τη βάση ποια θα είναι η ταχύτητά του όταν ξαναφτάσει στη βάση;

32. Μικρό ορθογώνιο σώμα μάζας 0,5kg ολισθσίνει χωρίς τριβές στην εσωτερική επιφάνεια κατακόρυφου κύκλου ακτίνας R=0,8m. Οταν το σώμα βρίσκεται στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του η κάθετη δύναμη που ασκείται από τον κύκλο στο σώμα έχει μέτρο 3,4 Ν. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης όταν το σώμα βρίσκεται στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του;

33. Ενα βλήμα μάζας 12kg εκτοξεύεται σε γωνία 550 πάνω από την οριζόντια κατεύθυνση με αρχική ταχύτητα 150m/s. Οταν βρίσκεται στο μέγιστο ύψος του το βλήμα εκρήγνυται και σπάει σε δυο κομμάτια, το ένα με μάζα τριπλάσια της μάζας του άλλου. Τα δύο θραύσματα φτάνουν στο έδαδος την ίδια στιγμή. Θεωρείστε ότι η επιφάνεια του εδάφους είναι οριζόντια και η αντίσταση του αέρα αμελητέα. Αν το βαρύτερο θραύσμα προσγειώνεται στο σημείο εκτόξευσης του βλήματος πού θα προσγειωθεί το άλλο θραύσμα και πόση ενέργεια εκλύθηκε κατά την έκρηξη;

34. Για να μετρήσετε τη ροπή αδράνειας ενός τροχού ως προς το κέντρο του, τοποθετείτε τον τροχό σε οριζόντιο άξονα διερχόμενο από το κέντρο του, με μέθοδο που να ελαχιστοποιεί την τριβή, τυλίγετε ένα ελφρύ σχοινί γύρω από τον τροχό και αναρτάτε μάζα 8,2kg από το ελεύθερο άκρο του. Αφήνετε τη μάζα με μηδενική αρχική ταχύτητα και αυτή κατέρχεται κατά 12cm σε 4sec. Εαν η ακτίνα του τροχού είναι 0,64m, πόση είναι η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο του;

35. Υπολογίστε το ποσό θερμότητας που διαπερνά την επιδερμίδα σας δεχόμενη τη θερμότητα α)25g ατμού αρχικά στους 1000C όταν ψύχονται στη θερμοκρασία της επιδερμίδας (340C) και β)25g νερού στους 1000C όταν ψύχονται ως τους 340C. (Lεξ,νερού 2,26X106 J/kg, cνερού=4190J/kg K)

36. Ψύχετε ερυθροπυρωμένο κομμάτι σιδήρου (7450C) μάζας 100g βυθίζοντάς το σε ένα θερμομονωμένο δοχέιο αμελητέας μάζας, το οποίο περιέχει 85g νερό σε θερμοκρασία 200C. Υποθέτοντας ότι δεν ανταλάσσεται θερμότητα με το περιβάλλον ποια είναι η τελική θερμοκρασία του νερού και ποια η τελική μάζα του σιδήρου και του εναπομείναντος νερού; (Lεξ,νερού 2,26X106 J/kg, cνερού=4190J/kg K, cσιδήρου=470J/kg K)