8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 116

STUDII ŞI COMUNICĂRI DIS 983158983151983148 VIII 983090983088983089983093

STRATEGII ACTIV983085CREATOARE IcircNCADRUL LECŢIILOR DE GEOMETRIE

Costică LUPU983089

costica_lupuyahoocom

983105983106983123983124983122983105983107983124 In this paper are presented the interactive methodsand their importance in the study of mathematics The experi-ment method brainstorming and problematization method areconsidered relevant to the achievement of learning geometry to

put the student in the center of learning geometry Examples aregiven for each method used in the study of geometryThis study aims to identify to what extent the learning styles varyin student learning and program changes as learning strategieswithin four years of secondary schoolIn this sense it aims preference for one or more students learn-ing styles and oscillation between several learning strategies ortheir combination during secondary educationThe study was applied to 100 students in two classes VII andtwo classes VIII National Pedagogical College Stefan cel Marein Bacau983115983109983129983127983119983122983108983123 interactive methods brainstorming experimentalresearch ascertaining-ameliorative

Introducere O lecţie eficientă implică atacirct realizarea competenţelor generale şi

specifice cacirct şi utilizarea unor strategii adecvate pentru a oferi elevilorposibilitatea dezvoltării inteligenţei logico ndash matematice a creativităţiia motivaţiei pentru studiul matematicii Demersul profesorului de mate-matică trebuie să icircncurajeze la elevi formarea unei stime de sine ridicatăbazată pe icircncrederea ca parteneriatul şi comunicarea cu profesorul poateduce la rezolvarea situaţiilor problemă la icircnvăţarea plăcută a matematicii

Este bine cunoscut faptul că icircnvăţarea prin descoperire dezvoltă armo-nios icircnsuşirile şi trăsăturile de personalitate umană cum ar fi elementele

1 Lect univ dr Universitatea bdquoVasile Alecsandrirdquo din Bacău Departamentul deMatematică Informatică și Știinţele Educaţiei Calea Mărășești No 157 600115 Bacău

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 216

450 Costică LUPU

cunoaşterii senzoriale gacircndirea limbajul imaginaţia creativitatea curi-ozitatea epistemică calităţile moral-volitive precum şi trăsăturile decaracter Practicarea metodei are efecte deosebite asupra formării perso-

nalităţii elevilor realizacircnd o nuanţată motivaţie intrinsecă dezvoltacircndpotenţialul intelectual şi oferind posibilitatea de muncă independent şiautoinstruire

1 Aspecte pedagogice I Cerghit determină icircn funcţie de caracterul determinant al icircnvăţării

două tipuri de strategiindash Strategiile prescrise sunt bazate pe dirijarea strictă a icircnvăţării (imi-

tative explicative ndash reproductive algoritmice)ndash Strategiile neprescrise pun accentul pe stimularea efortului propriu

al celui care icircnvaţă pe icircncurajarea muncii independente prin dirijarearedusă la minim Strategiile neprescrise sunt reprezentate și icircn racircndulstrategiilor de activizare

ndash Strategiile euristice vizează implicarea icircn descoperire căutareaactivă avacircnd trăsături specifice investigaţiei ştiinţifice Dintre strategiileeuristice putem aminti strategiile explicativ-investigative de descoperire

semidirijată cum ar fi conversaţia euristică problematizarea descoperireaindependentă cercetarea icircn echipă [8]

Strategiile euristice de predare icircnvăţare a matematicii icircn gimnaziu sepot clasifica icircn

ndash Strategii de formare a capacităţilor de cunoaştere a conceptelor şi pro-prietăţilor acestora

ndash Strategii de descoperire a noilor cunoștinţe de către elevi prin ela-borarea de algoritmi reguli metode principii formule proprietăţi ale

noţiunilor și conceptelorndash Strategii de formare a capacităţilor de aplicare a regulilor proprietă-

ţilor algoritmilor principiilor legilor teoremelor etc icircn rezolvarea deprobleme

ndash Strategiile creative ndash pun accentul pe capacitatea de reflecţie sintezăevaluare critică creaţie

Icircnvăţarea prin descoperire se poate realiza prin intermediul stra-tegiilor euristice şi icircn funcţie de nuanţa euristică cum ar fi observarea

dirijată observarea independentă icircnvăţarea prin icircncercări ndash experienţe

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 451

(experienţială) problematizarea studiul de caz etc deosebim mai multetipuri de descoperire

Descoperire inductivă Aceasta presupune organizarea unor situaţii

care să confere celor care icircnvaţă elemente cazuri similare particulare pabaza cărora prin efort propriu să ajungă la generalizări reguli definiţii

Descoperirea deductivă se realizează pornind de la adevăruri generale(principii legi reguli la cunoştinţe particulare

Descoperirea analogică se realizează pe baza asemănării unor elementea două sisteme şi aplicarea unor raţionamente asemănătoare

Descoperirea transductivă apelează la prezentarea metaforică a conţi-nutului fapt pentru care necesită o viziune comparativă metaforică asupra

unor obiecte procese fenomene de la abstract către concret sau invers [7]Practicile educative de predare activizată şi de stimulare a potenţia-

lului creativ al elevilor se icircnscriu icircn dezideratele pedagogiei moderniste şipost moderniste de cooperare şi reflexie asupra icircnvăţării Un profesor alcărui stil de predare se icircnscrie pe această linie directoare va trebui să ofereelevilor situaţii de icircnvăţare care să le solicite interesul şi dorinţa de a seimplica icircn procesul de instruire Fiecare act creativ icircncepe cu icircntrebări daracestea trebuie să fie deschise să aibă sens şi să nu sugereze răspunsuri

predeterminate Una dintre căile cele mai sigure de stimulare şi generarede idei noi şi de dezvoltare a acestora pentru a soluţiona diferite problemeeste organizarea de microgrupuri şi promovarea interacţiunilor icircntremembrii acestora

Utilizarea metodelor interactive de grup se poate folosi cu eficienţăicircn rezolvarea problemelor de geometrie complexe cu grad mare de difi-cultate sau la probleme care admit mai multe soluţii [1] Vom prezenta icircncontinuare un exemplu de utilizare a tehnicii rezolvării unor probleme de

geometrie icircn spaţiu cu ajutorul completării la poliedre icircn cadrul unei lecţiide geometrie icircn spaţiu folosind strategii activ-creatoare

Etapele tehnicii rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cuajutorul completării la poliedre sunt următoarele [4]

Etapa introductivă Profesorul enunţă următoarea problemă Fie

ABCD un tetraedru cu AD CD BC CD şi M (AB) Dacă N este

proiecţia lui M pe dreapta CD demonstraţi că anali-

zează problema precizacircnd ipoteza şi concluzia notează datele problemei[2]

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 416

452 Costică LUPU

Etapa lucrului individual Elevii lucrează individual pe cont propriupentru rezolvarea problemei timp de 5 minute Icircn această etapă se reali-zează planul de rezolvare notacircnd icircntrebările legate de rezolvare

Etapa lucrului icircn perechi Elevii lucrează icircn perechi pentru a discutarezolvările individuale la care a ajuns fiecare Se notează noile idei desco-perite de celălalt coleg din pereche

Etapa lucrului icircn grupe mari Profesorul va icircmparţi clasa icircn 4 grupepentru a prezenta cacirct mai multe rezolvări ale problemei date Fiecare grupăva găsi cacircte o rezolvare folosindu-se eventual de unele indicaţii privindgăsirea unor soluţii cacirct mai variate prezentate gradat fie icircntr-o fişă deindicaţii fie prezentate de profesor fiecărei grupe Pentru a găsi soluţii

cacirct mai variate și mai originale elevii au nevoie de aceste indicaţii Sevor oferi icircnsă numai indicaţiile esenţiale şi nu toată rezolvarea problemeiProfesorul va acorda o mare atenţie icircntrebărilor puse de elevi iar şi profe-sor Ele trebuie să anticipeze rezolvările problemei

Faza raportărilor soluţiilor colective Icircntreaga clasă reunită urmăreştesoluţiile colegilor le analizează le completează dacă este nevoie Dacă ele-vii nu reuşesc să rezolve problema icircn icircntregime profesorul poate interveni

Grupa I primeşte ca primă indicaţie sa folosească teorema lui Thales

O a doua indicaţie le sugerează să construiască o paralelă MP la BC MP BC CD BC CD

MP CD MN şi CD MP CD (MNP)

CD PN şi cum CD AD avem că AD PN Icircn triun-

ghiul ACD se aplică Teorema lui Thales şi se obţine că

adică tocmai o variantă de soluţie [6]Grupa a II-a primeşte ca primă indicaţie de rezolvare să foloseascăproiecţiile şi teorema reciprocă a Teoremei celor trei perpendiculare O adoua indicaţie este de a proiecta punctul A pe planul BCD icircn punctul OSe va proiecta pe acelaşi plan şi punctul M icircn punctul T

Se observă imediat ca AO este paralelă cu MT AO (BCD) şi AD

CD OD CD (reciproca teoremei celor trei perpendicu-lare) Deoarece TN si BC sunt perpendiculare si ele pe CD si sunt situate

icircn planul (BCD) vom avea că OD TN BC In ABO se aplică

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 453

teorema lui Thales (1) Aplicacircnd teorema paralele-

lor neechidistante avem că (2) Din (1) și (2) avem

că adică tocmai o nouă variantă de soluţie [5]Grupa a III-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrul

ABCD icircntr-un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu bazele BCDE şiFGHA şi muchiile laterale BF EA DH CG Feţele AFBE şi BCDE suntincluse icircn plane perpendiculare şi putem aplica o teoremă de perpendi-

cularitate (BFAE) (BEDC) (BFAE) (BEDC) = BE MP

(BEDC) şi cum MN CD din Reciproca teoremei celor trei perpendi-

culare vom avea că PN CD DN = EP BP = CN Fie MP BE In

ABE se aplica Teorema lui Thalesadică tocmai o a treia soluţie

Grupa a IV-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrulABCD icircntr-o prismă triunghiulară dreaptă CEBDAP cu bazele CED şi DPAşi muchiile laterale CD EA BP In dreptunghiul EDBP ducem prin M o

paralelă TV la ED T EA V BP CD (CED) deci CD EB şi

cum EB TV CD TV Dar din ipoteza MN CD CD

(NTV) CD NV Dar si CB CD deci NV BC si DNVB

este un dreptunghi Vom avea ca DN = PV şi NC = VB Icircn ABP se aplică

Teorema lui Thales adică tocmaio ultimă soluţie

Faza decizională Se discută cele 4 soluţii şi elevii vor decide care dintreele a fost mai uşor de aplicat Se pun icircn evidenţă avantajele ultimelor douăsoluţii bazate pe includerea tetraedrului in două poliedre Se stabileşteaportul elevilor icircn găsirea soluţiilor

Tehnica rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cu ajutorulcompletării la poliedre stimulează icircnvăţarea prin cooperare sporește icircncre-derea icircn forţele proprii prin verificarea ideilor emise individual mai icircntacirciicircn perechi apoi icircn grupuri mici şi icircn final cu icircntreaga clasă Tehnica pro-

pusă dezvoltă capacitatea de a emite soluţii inedite la problemele apărute

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 616

454 Costică LUPU

precum şi spiritul de echipă Profesorul va trebui icircnsă să gestioneze foartebine timpul de lucru şi să cunoască potenţialul creativ al elevilor săiEvaluarea va fi mai puţin criterială şi mai mult reflexivă integracircnd metode

alternative de evaluare [3]

2 Descrierea cercetării aplicativea) Obiectivele cercetării aplicative Acest studiu icircşi propune să identifice cum icircşi schimbă rezultatele icircn

lecţiile de geometrie prin folosirea strategiilor activ creatoare icircn timpulpracticii pedagogice realizată icircn cadrul formării iniţiale de 10 studenţi aianului III facultatea de matematică prin Departamentul pentru Pregătirea

Personalului DidacticIcircn acest sens se urmăreşte preferinţa elevilor pentru unul sau mai

multe stiluri de icircnvăţare şi oscilaţia icircntre mai multe strategii de icircnvă-ţare sau chiar combinarea acestora pe parcursul practicii pedagogice dingimnaziu

Studiul s-a aplicat asupra a 50 elevi din două clase a VIII-a printr-unchestionar și asupra a 50 elevi din două clase a VII-a prin teste de cerce-tare experimentală de la Colegiul Naţional Pedagogic Ştefan cel Mare din

Bacăub) Ipotezele cercetării aplicative Dacă stilurile de icircnvăţare ale elevilor variază la fiecare individ icircn parte

şi nu sunt potrivite icircn egală măsură pentru aceştia atunci identificareaexactă a stilului propriu de icircnvăţare (auditiv vizual şi chinestezic) nece-sită o perioadă de verificare prin aplicarea fiecărui stil Această perioadăculminează cu identificarea stilului potrivit sieşi ce poate fi folosit de elevicircn procesul de icircnvăţare

Dacă strategiile de icircnvăţare activ-creative sunt identificate icircn func-ţie de tipul de inteligenţă şi gradele distincte ale dezvoltării psihologiceatunci odată cu dezvoltarea intelectuală şi experienţa acumulată icircn cadrulanilor de şcoală elevii pot fi capabili să icircşi modifice şi chiar să icircşi perfecţi-oneze strategiile utilizate icircn procesul de icircnvăţare

c) Metodologia cercetării aplicative Elevii au primit un chestionar pentru determinarea stilurilor de

icircnvăţare şi au fost icircntrebaţi care este strategia cea mai des folosită de

aceştia pentru ca procesul de icircnvăţare să fie cacirct mai eficient şi de lungădurată

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 716

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 455

c1 Chestionarul este format din 25 de icircntrebări la care se poate răs-punde cu Da sau Nu

c2 Icircn urma completării chestionarului elevilor li s-a adresat urmă-

toarea icircntrebare La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficientpentru teste

d) Centralizarea şi prelucrarea statistică a datelor obţinute d1 Chestionar pentru aflarea stilurilor de icircnvăţare Răspunde prin DA sau NU alege un singur răspuns la fiecare

icircntrebare

Nrcrt Icircntrebări DA NU

983089 Cacircnd descrieţi o vacanţă sau o petrecere insistaţi asupradetaliilor ce privesc sunetele pe care le-aţi auzit

983090 Cacircnd vorbiţi folosiţi gestica macircinilor983091 Vă place mai mult să ascultaţi ştirile decacirct să le citiţi983092 Consideraţi imaginile vizuale utile icircn

timpul utilizării calculatorului983093 Puteţi vizualiza icircn timpul jocului X

şi 983088 poziţia acestor semne983094 Vă place să desfaceţi sau să reparaţi diferite obiecte983095 Preferaţi să desenaţi diagrame decacirct să luaţi notiţe983096 Cacircnd vă imaginaţi ortografia unui cuvacircnt icircl

scrieţi pe foaie pacircnă ajungeţi să descoperiţio ortografie ce vi se pare corectă

983097 Vă place să citiţii cu voce tareinstrucţiunile unui obiect nou

983089983088 Obişnuiţi să asamblaţi componentele unor lucruri983089983089 Consideraţi mai eficientă avertizarea prin

semnale sonore icircn timpul lucrului la calculatora unor erori sau a finalizării unei acţiuni983089983090 Folosiţi imagini sau diagrame cacircnd icircnvăţaţi983089983091 Vă amintiţi cacircnd vi se spune ceva

fără a fi nevoiţi să repetaţi983089983092 Vă plac activităţile practice icircn aer liber983089983093 Ascultaţi muzică icircn timpul liber983089983094 Vă place să studiaţi obiectele din vitrine

mai mult cacircnd sunteţi singur

983089983095 Vă amintiţi numele oamenilor mai uşor decacirct feţele lor

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 216

450 Costică LUPU

cunoaşterii senzoriale gacircndirea limbajul imaginaţia creativitatea curi-ozitatea epistemică calităţile moral-volitive precum şi trăsăturile decaracter Practicarea metodei are efecte deosebite asupra formării perso-

nalităţii elevilor realizacircnd o nuanţată motivaţie intrinsecă dezvoltacircndpotenţialul intelectual şi oferind posibilitatea de muncă independent şiautoinstruire

1 Aspecte pedagogice I Cerghit determină icircn funcţie de caracterul determinant al icircnvăţării

două tipuri de strategiindash Strategiile prescrise sunt bazate pe dirijarea strictă a icircnvăţării (imi-

tative explicative ndash reproductive algoritmice)ndash Strategiile neprescrise pun accentul pe stimularea efortului propriu

al celui care icircnvaţă pe icircncurajarea muncii independente prin dirijarearedusă la minim Strategiile neprescrise sunt reprezentate și icircn racircndulstrategiilor de activizare

ndash Strategiile euristice vizează implicarea icircn descoperire căutareaactivă avacircnd trăsături specifice investigaţiei ştiinţifice Dintre strategiileeuristice putem aminti strategiile explicativ-investigative de descoperire

semidirijată cum ar fi conversaţia euristică problematizarea descoperireaindependentă cercetarea icircn echipă [8]

Strategiile euristice de predare icircnvăţare a matematicii icircn gimnaziu sepot clasifica icircn

ndash Strategii de formare a capacităţilor de cunoaştere a conceptelor şi pro-prietăţilor acestora

ndash Strategii de descoperire a noilor cunoștinţe de către elevi prin ela-borarea de algoritmi reguli metode principii formule proprietăţi ale

noţiunilor și conceptelorndash Strategii de formare a capacităţilor de aplicare a regulilor proprietă-

ţilor algoritmilor principiilor legilor teoremelor etc icircn rezolvarea deprobleme

ndash Strategiile creative ndash pun accentul pe capacitatea de reflecţie sintezăevaluare critică creaţie

Icircnvăţarea prin descoperire se poate realiza prin intermediul stra-tegiilor euristice şi icircn funcţie de nuanţa euristică cum ar fi observarea

dirijată observarea independentă icircnvăţarea prin icircncercări ndash experienţe

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 451

(experienţială) problematizarea studiul de caz etc deosebim mai multetipuri de descoperire

Descoperire inductivă Aceasta presupune organizarea unor situaţii

care să confere celor care icircnvaţă elemente cazuri similare particulare pabaza cărora prin efort propriu să ajungă la generalizări reguli definiţii

Descoperirea deductivă se realizează pornind de la adevăruri generale(principii legi reguli la cunoştinţe particulare

Descoperirea analogică se realizează pe baza asemănării unor elementea două sisteme şi aplicarea unor raţionamente asemănătoare

Descoperirea transductivă apelează la prezentarea metaforică a conţi-nutului fapt pentru care necesită o viziune comparativă metaforică asupra

unor obiecte procese fenomene de la abstract către concret sau invers [7]Practicile educative de predare activizată şi de stimulare a potenţia-

lului creativ al elevilor se icircnscriu icircn dezideratele pedagogiei moderniste şipost moderniste de cooperare şi reflexie asupra icircnvăţării Un profesor alcărui stil de predare se icircnscrie pe această linie directoare va trebui să ofereelevilor situaţii de icircnvăţare care să le solicite interesul şi dorinţa de a seimplica icircn procesul de instruire Fiecare act creativ icircncepe cu icircntrebări daracestea trebuie să fie deschise să aibă sens şi să nu sugereze răspunsuri

predeterminate Una dintre căile cele mai sigure de stimulare şi generarede idei noi şi de dezvoltare a acestora pentru a soluţiona diferite problemeeste organizarea de microgrupuri şi promovarea interacţiunilor icircntremembrii acestora

Utilizarea metodelor interactive de grup se poate folosi cu eficienţăicircn rezolvarea problemelor de geometrie complexe cu grad mare de difi-cultate sau la probleme care admit mai multe soluţii [1] Vom prezenta icircncontinuare un exemplu de utilizare a tehnicii rezolvării unor probleme de

geometrie icircn spaţiu cu ajutorul completării la poliedre icircn cadrul unei lecţiide geometrie icircn spaţiu folosind strategii activ-creatoare

Etapele tehnicii rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cuajutorul completării la poliedre sunt următoarele [4]

Etapa introductivă Profesorul enunţă următoarea problemă Fie

ABCD un tetraedru cu AD CD BC CD şi M (AB) Dacă N este

proiecţia lui M pe dreapta CD demonstraţi că anali-

zează problema precizacircnd ipoteza şi concluzia notează datele problemei[2]

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 416

452 Costică LUPU

Etapa lucrului individual Elevii lucrează individual pe cont propriupentru rezolvarea problemei timp de 5 minute Icircn această etapă se reali-zează planul de rezolvare notacircnd icircntrebările legate de rezolvare

Etapa lucrului icircn perechi Elevii lucrează icircn perechi pentru a discutarezolvările individuale la care a ajuns fiecare Se notează noile idei desco-perite de celălalt coleg din pereche

Etapa lucrului icircn grupe mari Profesorul va icircmparţi clasa icircn 4 grupepentru a prezenta cacirct mai multe rezolvări ale problemei date Fiecare grupăva găsi cacircte o rezolvare folosindu-se eventual de unele indicaţii privindgăsirea unor soluţii cacirct mai variate prezentate gradat fie icircntr-o fişă deindicaţii fie prezentate de profesor fiecărei grupe Pentru a găsi soluţii

cacirct mai variate și mai originale elevii au nevoie de aceste indicaţii Sevor oferi icircnsă numai indicaţiile esenţiale şi nu toată rezolvarea problemeiProfesorul va acorda o mare atenţie icircntrebărilor puse de elevi iar şi profe-sor Ele trebuie să anticipeze rezolvările problemei

Faza raportărilor soluţiilor colective Icircntreaga clasă reunită urmăreştesoluţiile colegilor le analizează le completează dacă este nevoie Dacă ele-vii nu reuşesc să rezolve problema icircn icircntregime profesorul poate interveni

Grupa I primeşte ca primă indicaţie sa folosească teorema lui Thales

O a doua indicaţie le sugerează să construiască o paralelă MP la BC MP BC CD BC CD

MP CD MN şi CD MP CD (MNP)

CD PN şi cum CD AD avem că AD PN Icircn triun-

ghiul ACD se aplică Teorema lui Thales şi se obţine că

adică tocmai o variantă de soluţie [6]Grupa a II-a primeşte ca primă indicaţie de rezolvare să foloseascăproiecţiile şi teorema reciprocă a Teoremei celor trei perpendiculare O adoua indicaţie este de a proiecta punctul A pe planul BCD icircn punctul OSe va proiecta pe acelaşi plan şi punctul M icircn punctul T

Se observă imediat ca AO este paralelă cu MT AO (BCD) şi AD

CD OD CD (reciproca teoremei celor trei perpendicu-lare) Deoarece TN si BC sunt perpendiculare si ele pe CD si sunt situate

icircn planul (BCD) vom avea că OD TN BC In ABO se aplică

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 453

teorema lui Thales (1) Aplicacircnd teorema paralele-

lor neechidistante avem că (2) Din (1) și (2) avem

că adică tocmai o nouă variantă de soluţie [5]Grupa a III-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrul

ABCD icircntr-un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu bazele BCDE şiFGHA şi muchiile laterale BF EA DH CG Feţele AFBE şi BCDE suntincluse icircn plane perpendiculare şi putem aplica o teoremă de perpendi-

cularitate (BFAE) (BEDC) (BFAE) (BEDC) = BE MP

(BEDC) şi cum MN CD din Reciproca teoremei celor trei perpendi-

culare vom avea că PN CD DN = EP BP = CN Fie MP BE In

ABE se aplica Teorema lui Thalesadică tocmai o a treia soluţie

Grupa a IV-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrulABCD icircntr-o prismă triunghiulară dreaptă CEBDAP cu bazele CED şi DPAşi muchiile laterale CD EA BP In dreptunghiul EDBP ducem prin M o

paralelă TV la ED T EA V BP CD (CED) deci CD EB şi

cum EB TV CD TV Dar din ipoteza MN CD CD

(NTV) CD NV Dar si CB CD deci NV BC si DNVB

este un dreptunghi Vom avea ca DN = PV şi NC = VB Icircn ABP se aplică

Teorema lui Thales adică tocmaio ultimă soluţie

Faza decizională Se discută cele 4 soluţii şi elevii vor decide care dintreele a fost mai uşor de aplicat Se pun icircn evidenţă avantajele ultimelor douăsoluţii bazate pe includerea tetraedrului in două poliedre Se stabileşteaportul elevilor icircn găsirea soluţiilor

Tehnica rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cu ajutorulcompletării la poliedre stimulează icircnvăţarea prin cooperare sporește icircncre-derea icircn forţele proprii prin verificarea ideilor emise individual mai icircntacirciicircn perechi apoi icircn grupuri mici şi icircn final cu icircntreaga clasă Tehnica pro-

pusă dezvoltă capacitatea de a emite soluţii inedite la problemele apărute

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 616

454 Costică LUPU

precum şi spiritul de echipă Profesorul va trebui icircnsă să gestioneze foartebine timpul de lucru şi să cunoască potenţialul creativ al elevilor săiEvaluarea va fi mai puţin criterială şi mai mult reflexivă integracircnd metode

alternative de evaluare [3]

2 Descrierea cercetării aplicativea) Obiectivele cercetării aplicative Acest studiu icircşi propune să identifice cum icircşi schimbă rezultatele icircn

lecţiile de geometrie prin folosirea strategiilor activ creatoare icircn timpulpracticii pedagogice realizată icircn cadrul formării iniţiale de 10 studenţi aianului III facultatea de matematică prin Departamentul pentru Pregătirea

Personalului DidacticIcircn acest sens se urmăreşte preferinţa elevilor pentru unul sau mai

multe stiluri de icircnvăţare şi oscilaţia icircntre mai multe strategii de icircnvă-ţare sau chiar combinarea acestora pe parcursul practicii pedagogice dingimnaziu

Studiul s-a aplicat asupra a 50 elevi din două clase a VIII-a printr-unchestionar și asupra a 50 elevi din două clase a VII-a prin teste de cerce-tare experimentală de la Colegiul Naţional Pedagogic Ştefan cel Mare din

Bacăub) Ipotezele cercetării aplicative Dacă stilurile de icircnvăţare ale elevilor variază la fiecare individ icircn parte

şi nu sunt potrivite icircn egală măsură pentru aceştia atunci identificareaexactă a stilului propriu de icircnvăţare (auditiv vizual şi chinestezic) nece-sită o perioadă de verificare prin aplicarea fiecărui stil Această perioadăculminează cu identificarea stilului potrivit sieşi ce poate fi folosit de elevicircn procesul de icircnvăţare

Dacă strategiile de icircnvăţare activ-creative sunt identificate icircn func-ţie de tipul de inteligenţă şi gradele distincte ale dezvoltării psihologiceatunci odată cu dezvoltarea intelectuală şi experienţa acumulată icircn cadrulanilor de şcoală elevii pot fi capabili să icircşi modifice şi chiar să icircşi perfecţi-oneze strategiile utilizate icircn procesul de icircnvăţare

c) Metodologia cercetării aplicative Elevii au primit un chestionar pentru determinarea stilurilor de

icircnvăţare şi au fost icircntrebaţi care este strategia cea mai des folosită de

aceştia pentru ca procesul de icircnvăţare să fie cacirct mai eficient şi de lungădurată

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 716

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 455

c1 Chestionarul este format din 25 de icircntrebări la care se poate răs-punde cu Da sau Nu

c2 Icircn urma completării chestionarului elevilor li s-a adresat urmă-

toarea icircntrebare La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficientpentru teste

d) Centralizarea şi prelucrarea statistică a datelor obţinute d1 Chestionar pentru aflarea stilurilor de icircnvăţare Răspunde prin DA sau NU alege un singur răspuns la fiecare

icircntrebare

Nrcrt Icircntrebări DA NU

983089 Cacircnd descrieţi o vacanţă sau o petrecere insistaţi asupradetaliilor ce privesc sunetele pe care le-aţi auzit

983090 Cacircnd vorbiţi folosiţi gestica macircinilor983091 Vă place mai mult să ascultaţi ştirile decacirct să le citiţi983092 Consideraţi imaginile vizuale utile icircn

timpul utilizării calculatorului983093 Puteţi vizualiza icircn timpul jocului X

şi 983088 poziţia acestor semne983094 Vă place să desfaceţi sau să reparaţi diferite obiecte983095 Preferaţi să desenaţi diagrame decacirct să luaţi notiţe983096 Cacircnd vă imaginaţi ortografia unui cuvacircnt icircl

scrieţi pe foaie pacircnă ajungeţi să descoperiţio ortografie ce vi se pare corectă

983097 Vă place să citiţii cu voce tareinstrucţiunile unui obiect nou

983089983088 Obişnuiţi să asamblaţi componentele unor lucruri983089983089 Consideraţi mai eficientă avertizarea prin

semnale sonore icircn timpul lucrului la calculatora unor erori sau a finalizării unei acţiuni983089983090 Folosiţi imagini sau diagrame cacircnd icircnvăţaţi983089983091 Vă amintiţi cacircnd vi se spune ceva

fără a fi nevoiţi să repetaţi983089983092 Vă plac activităţile practice icircn aer liber983089983093 Ascultaţi muzică icircn timpul liber983089983094 Vă place să studiaţi obiectele din vitrine

mai mult cacircnd sunteţi singur

983089983095 Vă amintiţi numele oamenilor mai uşor decacirct feţele lor

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 451

(experienţială) problematizarea studiul de caz etc deosebim mai multetipuri de descoperire

Descoperire inductivă Aceasta presupune organizarea unor situaţii

care să confere celor care icircnvaţă elemente cazuri similare particulare pabaza cărora prin efort propriu să ajungă la generalizări reguli definiţii

Descoperirea deductivă se realizează pornind de la adevăruri generale(principii legi reguli la cunoştinţe particulare

Descoperirea analogică se realizează pe baza asemănării unor elementea două sisteme şi aplicarea unor raţionamente asemănătoare

Descoperirea transductivă apelează la prezentarea metaforică a conţi-nutului fapt pentru care necesită o viziune comparativă metaforică asupra

unor obiecte procese fenomene de la abstract către concret sau invers [7]Practicile educative de predare activizată şi de stimulare a potenţia-

lului creativ al elevilor se icircnscriu icircn dezideratele pedagogiei moderniste şipost moderniste de cooperare şi reflexie asupra icircnvăţării Un profesor alcărui stil de predare se icircnscrie pe această linie directoare va trebui să ofereelevilor situaţii de icircnvăţare care să le solicite interesul şi dorinţa de a seimplica icircn procesul de instruire Fiecare act creativ icircncepe cu icircntrebări daracestea trebuie să fie deschise să aibă sens şi să nu sugereze răspunsuri

predeterminate Una dintre căile cele mai sigure de stimulare şi generarede idei noi şi de dezvoltare a acestora pentru a soluţiona diferite problemeeste organizarea de microgrupuri şi promovarea interacţiunilor icircntremembrii acestora

Utilizarea metodelor interactive de grup se poate folosi cu eficienţăicircn rezolvarea problemelor de geometrie complexe cu grad mare de difi-cultate sau la probleme care admit mai multe soluţii [1] Vom prezenta icircncontinuare un exemplu de utilizare a tehnicii rezolvării unor probleme de

geometrie icircn spaţiu cu ajutorul completării la poliedre icircn cadrul unei lecţiide geometrie icircn spaţiu folosind strategii activ-creatoare

Etapele tehnicii rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cuajutorul completării la poliedre sunt următoarele [4]

Etapa introductivă Profesorul enunţă următoarea problemă Fie

ABCD un tetraedru cu AD CD BC CD şi M (AB) Dacă N este

proiecţia lui M pe dreapta CD demonstraţi că anali-

zează problema precizacircnd ipoteza şi concluzia notează datele problemei[2]

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 416

452 Costică LUPU

Etapa lucrului individual Elevii lucrează individual pe cont propriupentru rezolvarea problemei timp de 5 minute Icircn această etapă se reali-zează planul de rezolvare notacircnd icircntrebările legate de rezolvare

Etapa lucrului icircn perechi Elevii lucrează icircn perechi pentru a discutarezolvările individuale la care a ajuns fiecare Se notează noile idei desco-perite de celălalt coleg din pereche

Etapa lucrului icircn grupe mari Profesorul va icircmparţi clasa icircn 4 grupepentru a prezenta cacirct mai multe rezolvări ale problemei date Fiecare grupăva găsi cacircte o rezolvare folosindu-se eventual de unele indicaţii privindgăsirea unor soluţii cacirct mai variate prezentate gradat fie icircntr-o fişă deindicaţii fie prezentate de profesor fiecărei grupe Pentru a găsi soluţii

cacirct mai variate și mai originale elevii au nevoie de aceste indicaţii Sevor oferi icircnsă numai indicaţiile esenţiale şi nu toată rezolvarea problemeiProfesorul va acorda o mare atenţie icircntrebărilor puse de elevi iar şi profe-sor Ele trebuie să anticipeze rezolvările problemei

Faza raportărilor soluţiilor colective Icircntreaga clasă reunită urmăreştesoluţiile colegilor le analizează le completează dacă este nevoie Dacă ele-vii nu reuşesc să rezolve problema icircn icircntregime profesorul poate interveni

Grupa I primeşte ca primă indicaţie sa folosească teorema lui Thales

O a doua indicaţie le sugerează să construiască o paralelă MP la BC MP BC CD BC CD

MP CD MN şi CD MP CD (MNP)

CD PN şi cum CD AD avem că AD PN Icircn triun-

ghiul ACD se aplică Teorema lui Thales şi se obţine că

adică tocmai o variantă de soluţie [6]Grupa a II-a primeşte ca primă indicaţie de rezolvare să foloseascăproiecţiile şi teorema reciprocă a Teoremei celor trei perpendiculare O adoua indicaţie este de a proiecta punctul A pe planul BCD icircn punctul OSe va proiecta pe acelaşi plan şi punctul M icircn punctul T

Se observă imediat ca AO este paralelă cu MT AO (BCD) şi AD

CD OD CD (reciproca teoremei celor trei perpendicu-lare) Deoarece TN si BC sunt perpendiculare si ele pe CD si sunt situate

icircn planul (BCD) vom avea că OD TN BC In ABO se aplică

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 453

teorema lui Thales (1) Aplicacircnd teorema paralele-

lor neechidistante avem că (2) Din (1) și (2) avem

că adică tocmai o nouă variantă de soluţie [5]Grupa a III-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrul

ABCD icircntr-un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu bazele BCDE şiFGHA şi muchiile laterale BF EA DH CG Feţele AFBE şi BCDE suntincluse icircn plane perpendiculare şi putem aplica o teoremă de perpendi-

cularitate (BFAE) (BEDC) (BFAE) (BEDC) = BE MP

(BEDC) şi cum MN CD din Reciproca teoremei celor trei perpendi-

culare vom avea că PN CD DN = EP BP = CN Fie MP BE In

ABE se aplica Teorema lui Thalesadică tocmai o a treia soluţie

Grupa a IV-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrulABCD icircntr-o prismă triunghiulară dreaptă CEBDAP cu bazele CED şi DPAşi muchiile laterale CD EA BP In dreptunghiul EDBP ducem prin M o

paralelă TV la ED T EA V BP CD (CED) deci CD EB şi

cum EB TV CD TV Dar din ipoteza MN CD CD

(NTV) CD NV Dar si CB CD deci NV BC si DNVB

este un dreptunghi Vom avea ca DN = PV şi NC = VB Icircn ABP se aplică

Teorema lui Thales adică tocmaio ultimă soluţie

Faza decizională Se discută cele 4 soluţii şi elevii vor decide care dintreele a fost mai uşor de aplicat Se pun icircn evidenţă avantajele ultimelor douăsoluţii bazate pe includerea tetraedrului in două poliedre Se stabileşteaportul elevilor icircn găsirea soluţiilor

Tehnica rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cu ajutorulcompletării la poliedre stimulează icircnvăţarea prin cooperare sporește icircncre-derea icircn forţele proprii prin verificarea ideilor emise individual mai icircntacirciicircn perechi apoi icircn grupuri mici şi icircn final cu icircntreaga clasă Tehnica pro-

pusă dezvoltă capacitatea de a emite soluţii inedite la problemele apărute

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 616

454 Costică LUPU

precum şi spiritul de echipă Profesorul va trebui icircnsă să gestioneze foartebine timpul de lucru şi să cunoască potenţialul creativ al elevilor săiEvaluarea va fi mai puţin criterială şi mai mult reflexivă integracircnd metode

alternative de evaluare [3]

2 Descrierea cercetării aplicativea) Obiectivele cercetării aplicative Acest studiu icircşi propune să identifice cum icircşi schimbă rezultatele icircn

lecţiile de geometrie prin folosirea strategiilor activ creatoare icircn timpulpracticii pedagogice realizată icircn cadrul formării iniţiale de 10 studenţi aianului III facultatea de matematică prin Departamentul pentru Pregătirea

Personalului DidacticIcircn acest sens se urmăreşte preferinţa elevilor pentru unul sau mai

multe stiluri de icircnvăţare şi oscilaţia icircntre mai multe strategii de icircnvă-ţare sau chiar combinarea acestora pe parcursul practicii pedagogice dingimnaziu

Studiul s-a aplicat asupra a 50 elevi din două clase a VIII-a printr-unchestionar și asupra a 50 elevi din două clase a VII-a prin teste de cerce-tare experimentală de la Colegiul Naţional Pedagogic Ştefan cel Mare din

Bacăub) Ipotezele cercetării aplicative Dacă stilurile de icircnvăţare ale elevilor variază la fiecare individ icircn parte

şi nu sunt potrivite icircn egală măsură pentru aceştia atunci identificareaexactă a stilului propriu de icircnvăţare (auditiv vizual şi chinestezic) nece-sită o perioadă de verificare prin aplicarea fiecărui stil Această perioadăculminează cu identificarea stilului potrivit sieşi ce poate fi folosit de elevicircn procesul de icircnvăţare

Dacă strategiile de icircnvăţare activ-creative sunt identificate icircn func-ţie de tipul de inteligenţă şi gradele distincte ale dezvoltării psihologiceatunci odată cu dezvoltarea intelectuală şi experienţa acumulată icircn cadrulanilor de şcoală elevii pot fi capabili să icircşi modifice şi chiar să icircşi perfecţi-oneze strategiile utilizate icircn procesul de icircnvăţare

c) Metodologia cercetării aplicative Elevii au primit un chestionar pentru determinarea stilurilor de

icircnvăţare şi au fost icircntrebaţi care este strategia cea mai des folosită de

aceştia pentru ca procesul de icircnvăţare să fie cacirct mai eficient şi de lungădurată

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 716

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 455

c1 Chestionarul este format din 25 de icircntrebări la care se poate răs-punde cu Da sau Nu

c2 Icircn urma completării chestionarului elevilor li s-a adresat urmă-

toarea icircntrebare La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficientpentru teste

d) Centralizarea şi prelucrarea statistică a datelor obţinute d1 Chestionar pentru aflarea stilurilor de icircnvăţare Răspunde prin DA sau NU alege un singur răspuns la fiecare

icircntrebare

Nrcrt Icircntrebări DA NU

983089 Cacircnd descrieţi o vacanţă sau o petrecere insistaţi asupradetaliilor ce privesc sunetele pe care le-aţi auzit

983090 Cacircnd vorbiţi folosiţi gestica macircinilor983091 Vă place mai mult să ascultaţi ştirile decacirct să le citiţi983092 Consideraţi imaginile vizuale utile icircn

timpul utilizării calculatorului983093 Puteţi vizualiza icircn timpul jocului X

şi 983088 poziţia acestor semne983094 Vă place să desfaceţi sau să reparaţi diferite obiecte983095 Preferaţi să desenaţi diagrame decacirct să luaţi notiţe983096 Cacircnd vă imaginaţi ortografia unui cuvacircnt icircl

scrieţi pe foaie pacircnă ajungeţi să descoperiţio ortografie ce vi se pare corectă

983097 Vă place să citiţii cu voce tareinstrucţiunile unui obiect nou

983089983088 Obişnuiţi să asamblaţi componentele unor lucruri983089983089 Consideraţi mai eficientă avertizarea prin

semnale sonore icircn timpul lucrului la calculatora unor erori sau a finalizării unei acţiuni983089983090 Folosiţi imagini sau diagrame cacircnd icircnvăţaţi983089983091 Vă amintiţi cacircnd vi se spune ceva

fără a fi nevoiţi să repetaţi983089983092 Vă plac activităţile practice icircn aer liber983089983093 Ascultaţi muzică icircn timpul liber983089983094 Vă place să studiaţi obiectele din vitrine

mai mult cacircnd sunteţi singur

983089983095 Vă amintiţi numele oamenilor mai uşor decacirct feţele lor

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 416

452 Costică LUPU

Etapa lucrului individual Elevii lucrează individual pe cont propriupentru rezolvarea problemei timp de 5 minute Icircn această etapă se reali-zează planul de rezolvare notacircnd icircntrebările legate de rezolvare

Etapa lucrului icircn perechi Elevii lucrează icircn perechi pentru a discutarezolvările individuale la care a ajuns fiecare Se notează noile idei desco-perite de celălalt coleg din pereche

Etapa lucrului icircn grupe mari Profesorul va icircmparţi clasa icircn 4 grupepentru a prezenta cacirct mai multe rezolvări ale problemei date Fiecare grupăva găsi cacircte o rezolvare folosindu-se eventual de unele indicaţii privindgăsirea unor soluţii cacirct mai variate prezentate gradat fie icircntr-o fişă deindicaţii fie prezentate de profesor fiecărei grupe Pentru a găsi soluţii

cacirct mai variate și mai originale elevii au nevoie de aceste indicaţii Sevor oferi icircnsă numai indicaţiile esenţiale şi nu toată rezolvarea problemeiProfesorul va acorda o mare atenţie icircntrebărilor puse de elevi iar şi profe-sor Ele trebuie să anticipeze rezolvările problemei

Faza raportărilor soluţiilor colective Icircntreaga clasă reunită urmăreştesoluţiile colegilor le analizează le completează dacă este nevoie Dacă ele-vii nu reuşesc să rezolve problema icircn icircntregime profesorul poate interveni

Grupa I primeşte ca primă indicaţie sa folosească teorema lui Thales

O a doua indicaţie le sugerează să construiască o paralelă MP la BC MP BC CD BC CD

MP CD MN şi CD MP CD (MNP)

CD PN şi cum CD AD avem că AD PN Icircn triun-

ghiul ACD se aplică Teorema lui Thales şi se obţine că

adică tocmai o variantă de soluţie [6]Grupa a II-a primeşte ca primă indicaţie de rezolvare să foloseascăproiecţiile şi teorema reciprocă a Teoremei celor trei perpendiculare O adoua indicaţie este de a proiecta punctul A pe planul BCD icircn punctul OSe va proiecta pe acelaşi plan şi punctul M icircn punctul T

Se observă imediat ca AO este paralelă cu MT AO (BCD) şi AD

CD OD CD (reciproca teoremei celor trei perpendicu-lare) Deoarece TN si BC sunt perpendiculare si ele pe CD si sunt situate

icircn planul (BCD) vom avea că OD TN BC In ABO se aplică

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 453

teorema lui Thales (1) Aplicacircnd teorema paralele-

lor neechidistante avem că (2) Din (1) și (2) avem

că adică tocmai o nouă variantă de soluţie [5]Grupa a III-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrul

ABCD icircntr-un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu bazele BCDE şiFGHA şi muchiile laterale BF EA DH CG Feţele AFBE şi BCDE suntincluse icircn plane perpendiculare şi putem aplica o teoremă de perpendi-

cularitate (BFAE) (BEDC) (BFAE) (BEDC) = BE MP

(BEDC) şi cum MN CD din Reciproca teoremei celor trei perpendi-

culare vom avea că PN CD DN = EP BP = CN Fie MP BE In

ABE se aplica Teorema lui Thalesadică tocmai o a treia soluţie

Grupa a IV-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrulABCD icircntr-o prismă triunghiulară dreaptă CEBDAP cu bazele CED şi DPAşi muchiile laterale CD EA BP In dreptunghiul EDBP ducem prin M o

paralelă TV la ED T EA V BP CD (CED) deci CD EB şi

cum EB TV CD TV Dar din ipoteza MN CD CD

(NTV) CD NV Dar si CB CD deci NV BC si DNVB

este un dreptunghi Vom avea ca DN = PV şi NC = VB Icircn ABP se aplică

Teorema lui Thales adică tocmaio ultimă soluţie

Faza decizională Se discută cele 4 soluţii şi elevii vor decide care dintreele a fost mai uşor de aplicat Se pun icircn evidenţă avantajele ultimelor douăsoluţii bazate pe includerea tetraedrului in două poliedre Se stabileşteaportul elevilor icircn găsirea soluţiilor

Tehnica rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cu ajutorulcompletării la poliedre stimulează icircnvăţarea prin cooperare sporește icircncre-derea icircn forţele proprii prin verificarea ideilor emise individual mai icircntacirciicircn perechi apoi icircn grupuri mici şi icircn final cu icircntreaga clasă Tehnica pro-

pusă dezvoltă capacitatea de a emite soluţii inedite la problemele apărute

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 616

454 Costică LUPU

precum şi spiritul de echipă Profesorul va trebui icircnsă să gestioneze foartebine timpul de lucru şi să cunoască potenţialul creativ al elevilor săiEvaluarea va fi mai puţin criterială şi mai mult reflexivă integracircnd metode

alternative de evaluare [3]

2 Descrierea cercetării aplicativea) Obiectivele cercetării aplicative Acest studiu icircşi propune să identifice cum icircşi schimbă rezultatele icircn

lecţiile de geometrie prin folosirea strategiilor activ creatoare icircn timpulpracticii pedagogice realizată icircn cadrul formării iniţiale de 10 studenţi aianului III facultatea de matematică prin Departamentul pentru Pregătirea

Personalului DidacticIcircn acest sens se urmăreşte preferinţa elevilor pentru unul sau mai

multe stiluri de icircnvăţare şi oscilaţia icircntre mai multe strategii de icircnvă-ţare sau chiar combinarea acestora pe parcursul practicii pedagogice dingimnaziu

Studiul s-a aplicat asupra a 50 elevi din două clase a VIII-a printr-unchestionar și asupra a 50 elevi din două clase a VII-a prin teste de cerce-tare experimentală de la Colegiul Naţional Pedagogic Ştefan cel Mare din

Bacăub) Ipotezele cercetării aplicative Dacă stilurile de icircnvăţare ale elevilor variază la fiecare individ icircn parte

şi nu sunt potrivite icircn egală măsură pentru aceştia atunci identificareaexactă a stilului propriu de icircnvăţare (auditiv vizual şi chinestezic) nece-sită o perioadă de verificare prin aplicarea fiecărui stil Această perioadăculminează cu identificarea stilului potrivit sieşi ce poate fi folosit de elevicircn procesul de icircnvăţare

Dacă strategiile de icircnvăţare activ-creative sunt identificate icircn func-ţie de tipul de inteligenţă şi gradele distincte ale dezvoltării psihologiceatunci odată cu dezvoltarea intelectuală şi experienţa acumulată icircn cadrulanilor de şcoală elevii pot fi capabili să icircşi modifice şi chiar să icircşi perfecţi-oneze strategiile utilizate icircn procesul de icircnvăţare

c) Metodologia cercetării aplicative Elevii au primit un chestionar pentru determinarea stilurilor de

icircnvăţare şi au fost icircntrebaţi care este strategia cea mai des folosită de

aceştia pentru ca procesul de icircnvăţare să fie cacirct mai eficient şi de lungădurată

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 716

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 455

c1 Chestionarul este format din 25 de icircntrebări la care se poate răs-punde cu Da sau Nu

c2 Icircn urma completării chestionarului elevilor li s-a adresat urmă-

toarea icircntrebare La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficientpentru teste

d) Centralizarea şi prelucrarea statistică a datelor obţinute d1 Chestionar pentru aflarea stilurilor de icircnvăţare Răspunde prin DA sau NU alege un singur răspuns la fiecare

icircntrebare

Nrcrt Icircntrebări DA NU

983089 Cacircnd descrieţi o vacanţă sau o petrecere insistaţi asupradetaliilor ce privesc sunetele pe care le-aţi auzit

983090 Cacircnd vorbiţi folosiţi gestica macircinilor983091 Vă place mai mult să ascultaţi ştirile decacirct să le citiţi983092 Consideraţi imaginile vizuale utile icircn

timpul utilizării calculatorului983093 Puteţi vizualiza icircn timpul jocului X

şi 983088 poziţia acestor semne983094 Vă place să desfaceţi sau să reparaţi diferite obiecte983095 Preferaţi să desenaţi diagrame decacirct să luaţi notiţe983096 Cacircnd vă imaginaţi ortografia unui cuvacircnt icircl

scrieţi pe foaie pacircnă ajungeţi să descoperiţio ortografie ce vi se pare corectă

983097 Vă place să citiţii cu voce tareinstrucţiunile unui obiect nou

983089983088 Obişnuiţi să asamblaţi componentele unor lucruri983089983089 Consideraţi mai eficientă avertizarea prin

semnale sonore icircn timpul lucrului la calculatora unor erori sau a finalizării unei acţiuni983089983090 Folosiţi imagini sau diagrame cacircnd icircnvăţaţi983089983091 Vă amintiţi cacircnd vi se spune ceva

fără a fi nevoiţi să repetaţi983089983092 Vă plac activităţile practice icircn aer liber983089983093 Ascultaţi muzică icircn timpul liber983089983094 Vă place să studiaţi obiectele din vitrine

mai mult cacircnd sunteţi singur

983089983095 Vă amintiţi numele oamenilor mai uşor decacirct feţele lor

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 453

teorema lui Thales (1) Aplicacircnd teorema paralele-

lor neechidistante avem că (2) Din (1) și (2) avem

că adică tocmai o nouă variantă de soluţie [5]Grupa a III-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrul

ABCD icircntr-un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu bazele BCDE şiFGHA şi muchiile laterale BF EA DH CG Feţele AFBE şi BCDE suntincluse icircn plane perpendiculare şi putem aplica o teoremă de perpendi-

cularitate (BFAE) (BEDC) (BFAE) (BEDC) = BE MP

(BEDC) şi cum MN CD din Reciproca teoremei celor trei perpendi-

culare vom avea că PN CD DN = EP BP = CN Fie MP BE In

ABE se aplica Teorema lui Thalesadică tocmai o a treia soluţie

Grupa a IV-a primeşte ca indicaţie de rezolvare să icircncadreze tetraedrulABCD icircntr-o prismă triunghiulară dreaptă CEBDAP cu bazele CED şi DPAşi muchiile laterale CD EA BP In dreptunghiul EDBP ducem prin M o

paralelă TV la ED T EA V BP CD (CED) deci CD EB şi

cum EB TV CD TV Dar din ipoteza MN CD CD

(NTV) CD NV Dar si CB CD deci NV BC si DNVB

este un dreptunghi Vom avea ca DN = PV şi NC = VB Icircn ABP se aplică

Teorema lui Thales adică tocmaio ultimă soluţie

Faza decizională Se discută cele 4 soluţii şi elevii vor decide care dintreele a fost mai uşor de aplicat Se pun icircn evidenţă avantajele ultimelor douăsoluţii bazate pe includerea tetraedrului in două poliedre Se stabileşteaportul elevilor icircn găsirea soluţiilor

Tehnica rezolvării unor probleme de geometrie icircn spaţiu cu ajutorulcompletării la poliedre stimulează icircnvăţarea prin cooperare sporește icircncre-derea icircn forţele proprii prin verificarea ideilor emise individual mai icircntacirciicircn perechi apoi icircn grupuri mici şi icircn final cu icircntreaga clasă Tehnica pro-

pusă dezvoltă capacitatea de a emite soluţii inedite la problemele apărute

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 616

454 Costică LUPU

precum şi spiritul de echipă Profesorul va trebui icircnsă să gestioneze foartebine timpul de lucru şi să cunoască potenţialul creativ al elevilor săiEvaluarea va fi mai puţin criterială şi mai mult reflexivă integracircnd metode

alternative de evaluare [3]

2 Descrierea cercetării aplicativea) Obiectivele cercetării aplicative Acest studiu icircşi propune să identifice cum icircşi schimbă rezultatele icircn

lecţiile de geometrie prin folosirea strategiilor activ creatoare icircn timpulpracticii pedagogice realizată icircn cadrul formării iniţiale de 10 studenţi aianului III facultatea de matematică prin Departamentul pentru Pregătirea

Personalului DidacticIcircn acest sens se urmăreşte preferinţa elevilor pentru unul sau mai

multe stiluri de icircnvăţare şi oscilaţia icircntre mai multe strategii de icircnvă-ţare sau chiar combinarea acestora pe parcursul practicii pedagogice dingimnaziu

Studiul s-a aplicat asupra a 50 elevi din două clase a VIII-a printr-unchestionar și asupra a 50 elevi din două clase a VII-a prin teste de cerce-tare experimentală de la Colegiul Naţional Pedagogic Ştefan cel Mare din

Bacăub) Ipotezele cercetării aplicative Dacă stilurile de icircnvăţare ale elevilor variază la fiecare individ icircn parte

şi nu sunt potrivite icircn egală măsură pentru aceştia atunci identificareaexactă a stilului propriu de icircnvăţare (auditiv vizual şi chinestezic) nece-sită o perioadă de verificare prin aplicarea fiecărui stil Această perioadăculminează cu identificarea stilului potrivit sieşi ce poate fi folosit de elevicircn procesul de icircnvăţare

Dacă strategiile de icircnvăţare activ-creative sunt identificate icircn func-ţie de tipul de inteligenţă şi gradele distincte ale dezvoltării psihologiceatunci odată cu dezvoltarea intelectuală şi experienţa acumulată icircn cadrulanilor de şcoală elevii pot fi capabili să icircşi modifice şi chiar să icircşi perfecţi-oneze strategiile utilizate icircn procesul de icircnvăţare

c) Metodologia cercetării aplicative Elevii au primit un chestionar pentru determinarea stilurilor de

icircnvăţare şi au fost icircntrebaţi care este strategia cea mai des folosită de

aceştia pentru ca procesul de icircnvăţare să fie cacirct mai eficient şi de lungădurată

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 716

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 455

c1 Chestionarul este format din 25 de icircntrebări la care se poate răs-punde cu Da sau Nu

c2 Icircn urma completării chestionarului elevilor li s-a adresat urmă-

toarea icircntrebare La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficientpentru teste

d) Centralizarea şi prelucrarea statistică a datelor obţinute d1 Chestionar pentru aflarea stilurilor de icircnvăţare Răspunde prin DA sau NU alege un singur răspuns la fiecare

icircntrebare

Nrcrt Icircntrebări DA NU

983089 Cacircnd descrieţi o vacanţă sau o petrecere insistaţi asupradetaliilor ce privesc sunetele pe care le-aţi auzit

983090 Cacircnd vorbiţi folosiţi gestica macircinilor983091 Vă place mai mult să ascultaţi ştirile decacirct să le citiţi983092 Consideraţi imaginile vizuale utile icircn

timpul utilizării calculatorului983093 Puteţi vizualiza icircn timpul jocului X

şi 983088 poziţia acestor semne983094 Vă place să desfaceţi sau să reparaţi diferite obiecte983095 Preferaţi să desenaţi diagrame decacirct să luaţi notiţe983096 Cacircnd vă imaginaţi ortografia unui cuvacircnt icircl

scrieţi pe foaie pacircnă ajungeţi să descoperiţio ortografie ce vi se pare corectă

983097 Vă place să citiţii cu voce tareinstrucţiunile unui obiect nou

983089983088 Obişnuiţi să asamblaţi componentele unor lucruri983089983089 Consideraţi mai eficientă avertizarea prin

semnale sonore icircn timpul lucrului la calculatora unor erori sau a finalizării unei acţiuni983089983090 Folosiţi imagini sau diagrame cacircnd icircnvăţaţi983089983091 Vă amintiţi cacircnd vi se spune ceva

fără a fi nevoiţi să repetaţi983089983092 Vă plac activităţile practice icircn aer liber983089983093 Ascultaţi muzică icircn timpul liber983089983094 Vă place să studiaţi obiectele din vitrine

mai mult cacircnd sunteţi singur

983089983095 Vă amintiţi numele oamenilor mai uşor decacirct feţele lor

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 616

454 Costică LUPU

precum şi spiritul de echipă Profesorul va trebui icircnsă să gestioneze foartebine timpul de lucru şi să cunoască potenţialul creativ al elevilor săiEvaluarea va fi mai puţin criterială şi mai mult reflexivă integracircnd metode

alternative de evaluare [3]

2 Descrierea cercetării aplicativea) Obiectivele cercetării aplicative Acest studiu icircşi propune să identifice cum icircşi schimbă rezultatele icircn

lecţiile de geometrie prin folosirea strategiilor activ creatoare icircn timpulpracticii pedagogice realizată icircn cadrul formării iniţiale de 10 studenţi aianului III facultatea de matematică prin Departamentul pentru Pregătirea

Personalului DidacticIcircn acest sens se urmăreşte preferinţa elevilor pentru unul sau mai

multe stiluri de icircnvăţare şi oscilaţia icircntre mai multe strategii de icircnvă-ţare sau chiar combinarea acestora pe parcursul practicii pedagogice dingimnaziu

Studiul s-a aplicat asupra a 50 elevi din două clase a VIII-a printr-unchestionar și asupra a 50 elevi din două clase a VII-a prin teste de cerce-tare experimentală de la Colegiul Naţional Pedagogic Ştefan cel Mare din

Bacăub) Ipotezele cercetării aplicative Dacă stilurile de icircnvăţare ale elevilor variază la fiecare individ icircn parte

şi nu sunt potrivite icircn egală măsură pentru aceştia atunci identificareaexactă a stilului propriu de icircnvăţare (auditiv vizual şi chinestezic) nece-sită o perioadă de verificare prin aplicarea fiecărui stil Această perioadăculminează cu identificarea stilului potrivit sieşi ce poate fi folosit de elevicircn procesul de icircnvăţare

Dacă strategiile de icircnvăţare activ-creative sunt identificate icircn func-ţie de tipul de inteligenţă şi gradele distincte ale dezvoltării psihologiceatunci odată cu dezvoltarea intelectuală şi experienţa acumulată icircn cadrulanilor de şcoală elevii pot fi capabili să icircşi modifice şi chiar să icircşi perfecţi-oneze strategiile utilizate icircn procesul de icircnvăţare

c) Metodologia cercetării aplicative Elevii au primit un chestionar pentru determinarea stilurilor de

icircnvăţare şi au fost icircntrebaţi care este strategia cea mai des folosită de

aceştia pentru ca procesul de icircnvăţare să fie cacirct mai eficient şi de lungădurată

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 716

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 455

c1 Chestionarul este format din 25 de icircntrebări la care se poate răs-punde cu Da sau Nu

c2 Icircn urma completării chestionarului elevilor li s-a adresat urmă-

toarea icircntrebare La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficientpentru teste

d) Centralizarea şi prelucrarea statistică a datelor obţinute d1 Chestionar pentru aflarea stilurilor de icircnvăţare Răspunde prin DA sau NU alege un singur răspuns la fiecare

icircntrebare

Nrcrt Icircntrebări DA NU

983089 Cacircnd descrieţi o vacanţă sau o petrecere insistaţi asupradetaliilor ce privesc sunetele pe care le-aţi auzit

983090 Cacircnd vorbiţi folosiţi gestica macircinilor983091 Vă place mai mult să ascultaţi ştirile decacirct să le citiţi983092 Consideraţi imaginile vizuale utile icircn

timpul utilizării calculatorului983093 Puteţi vizualiza icircn timpul jocului X

şi 983088 poziţia acestor semne983094 Vă place să desfaceţi sau să reparaţi diferite obiecte983095 Preferaţi să desenaţi diagrame decacirct să luaţi notiţe983096 Cacircnd vă imaginaţi ortografia unui cuvacircnt icircl

scrieţi pe foaie pacircnă ajungeţi să descoperiţio ortografie ce vi se pare corectă

983097 Vă place să citiţii cu voce tareinstrucţiunile unui obiect nou

983089983088 Obişnuiţi să asamblaţi componentele unor lucruri983089983089 Consideraţi mai eficientă avertizarea prin

semnale sonore icircn timpul lucrului la calculatora unor erori sau a finalizării unei acţiuni983089983090 Folosiţi imagini sau diagrame cacircnd icircnvăţaţi983089983091 Vă amintiţi cacircnd vi se spune ceva

fără a fi nevoiţi să repetaţi983089983092 Vă plac activităţile practice icircn aer liber983089983093 Ascultaţi muzică icircn timpul liber983089983094 Vă place să studiaţi obiectele din vitrine

mai mult cacircnd sunteţi singur

983089983095 Vă amintiţi numele oamenilor mai uşor decacirct feţele lor

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 716

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 455

c1 Chestionarul este format din 25 de icircntrebări la care se poate răs-punde cu Da sau Nu

c2 Icircn urma completării chestionarului elevilor li s-a adresat urmă-

toarea icircntrebare La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficientpentru teste

d) Centralizarea şi prelucrarea statistică a datelor obţinute d1 Chestionar pentru aflarea stilurilor de icircnvăţare Răspunde prin DA sau NU alege un singur răspuns la fiecare

icircntrebare

Nrcrt Icircntrebări DA NU

983089 Cacircnd descrieţi o vacanţă sau o petrecere insistaţi asupradetaliilor ce privesc sunetele pe care le-aţi auzit

983090 Cacircnd vorbiţi folosiţi gestica macircinilor983091 Vă place mai mult să ascultaţi ştirile decacirct să le citiţi983092 Consideraţi imaginile vizuale utile icircn

timpul utilizării calculatorului983093 Puteţi vizualiza icircn timpul jocului X

şi 983088 poziţia acestor semne983094 Vă place să desfaceţi sau să reparaţi diferite obiecte983095 Preferaţi să desenaţi diagrame decacirct să luaţi notiţe983096 Cacircnd vă imaginaţi ortografia unui cuvacircnt icircl

scrieţi pe foaie pacircnă ajungeţi să descoperiţio ortografie ce vi se pare corectă

983097 Vă place să citiţii cu voce tareinstrucţiunile unui obiect nou

983089983088 Obişnuiţi să asamblaţi componentele unor lucruri983089983089 Consideraţi mai eficientă avertizarea prin

semnale sonore icircn timpul lucrului la calculatora unor erori sau a finalizării unei acţiuni983089983090 Folosiţi imagini sau diagrame cacircnd icircnvăţaţi983089983091 Vă amintiţi cacircnd vi se spune ceva

fără a fi nevoiţi să repetaţi983089983092 Vă plac activităţile practice icircn aer liber983089983093 Ascultaţi muzică icircn timpul liber983089983094 Vă place să studiaţi obiectele din vitrine

mai mult cacircnd sunteţi singur

983089983095 Vă amintiţi numele oamenilor mai uşor decacirct feţele lor

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 816

456 Costică LUPU

983089983096 Pentru a ortografia un cuvacircnt găsiţi necesarăscrierea acestuia icircnainte pe hacircrtie

983089983097 Cacircnd icircncercaţi să vă amintiţi un lucru se icircntacircmplă

să vă apară icircn minte imaginea acelui bdquocevardquo983090983088 Simţiţi nevoia de a avea libertate de mişcare cacircnd lucraţi983090983089 Preferaţi să icircnvăţaţi ortografierea unui

cuvacircnt prin pronunţare repetată983090983090 Icircn cazul icircn care povestiţi imaginea de ansamblu

a unei petreceri puneţi accentul pe descriereahainelor şi a culorilor din icircncăpere

983090983091 Sunteţi genul de elev care preferă rezolvareaunei sarcini imediat după primirea acesteia

983090983092 Găsiţi necesară pentru o icircnvăţare eficientă asistareala demonstraţii practice a unor noţiuni

983090983093 Vă amintiţi mai uşor feţele decacirct numele oamenilor983090983094 La ce strategii apelaţi pentru a icircnvăţa repede şi eficient pentru teste

Icircntrebările 4 6 8 12 1317 22 24 25 se referă la stilul vizual de icircnvăţareIcircntrebările 1 3 9 11 14 16 18 21 se referă la stilul auditiv de icircnvăţareIcircntrebările 25 7 10 15 19 20 23 se referă la stilul de icircnvăţare

chinestezicPentru identificarea stilului de icircnvăţare al elevilor s-au luat icircn consi-derare răspunsurile afirmative predominante la un anumit tip de icircnvăţare

Răspunsurile oferite de elevi au condus la următoarele rezultate Dincei 50 elevi care se află icircn clasa a VIII-a ndash 8 folosesc stilul chinestezic ndash 9folosesc stilul vizual ndash 10 folosesc stilul auditiv ndash 10 folosesc stilul auditivşi chinestezic ndash 13 folosesc toate cele trei stiluri vizual auditiv și chines-tezic Răspunsurile elevilor la icircntrebarea 26 au fost diverse icircnsă cele mai

frecvente strategii de icircnvăţare s-au dovedit a fi următoarele ndash citirea repe-tată a lecţiei şi sublinierea ideilor principalendash subliniere icircngroşare realizarea unei scheme ndash scrierea pe o foaie

separată a ideilor principale si repetarea lor ndash icircnvăţare cu voce tarePrezentăm icircn continuare testele de evaluare aplicate icircn cercetarea

experimentală de tip constatativ ameliorativăTest de evaluarea iniţială pentru clasa a VII-a Obiectivele operaţionale

au urmărit

O1 ndash Să aplice teorema referitoare la unghiurile şi laturile unuitriunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 916

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 457

O2 ndash Să aplice consecinţele teoremei referitoare la unghiurile şi latu-rile unui triunghi

O3 ndash Să extindă cunoştinţele asupra oblicelor şi perpendicularelor

dintr-un punct la o dreaptăO4 ndash Să rezolve probleme şi exerciţii simpleO5 ndash Să demonstreze teorema referitoare la oblice şi perpendiculareO6 ndash Să redea şi să aplice definiţia unghiului exteriorItemii evaluăriiI1 ndash Notăm lungimile laturilor unui triunghi cu a b c Stabiliţi ce

relaţii există icircntre numerele a b c pentru ca triunghiul să fie oarecareisoscel echilateral

I2 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că AB = 5 BC = 7 CA = 9 Să se scrie icircn ordineacrescătoare a măsurilor lor unghiurile ∆ ABC

I3 ndash Icircn ∆ ABC ştiu că m( ) = 300 m(( ) = 800 Să se scrieicircn ordinea crescătoare a lungimilor lor laturile ∆ ABC

I4 ndash Enumeraţi şi demonstraţi teorema asupra oblicelor şi perpendi-cularei dintr-un punct la o dreaptă

I5 ndash Rezolvaţi următoarea problemă Dacă ABG şi ArsquoBrsquoGrsquo sunt două

triunghiuri icircn care [AB] equiv [ArsquoBrsquo] [AG] equiv [ArsquoGrsquo] şi m( ) gt m(

) atunci BG gt BrsquoGrsquoI6 ndash Definiţi unghiul exterior unui triunghi Ce ştiţi despre măsura saRezolvare

1 a ltblt c a =b = c 2 m( ) gtm( ) gtm( )

3 m( )=1800 ndash [m( )+ m(

)]=1800 ndash1100= 700 THORN AC gtAB gt BC 4 Dintre două drepte

oblice duse dintr-un punct spre aceeaşi dreaptăcea mai depărtată de piciorul perpendiculareidin acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă este cea mailungă

Demonstraţie Cazul I A icircntre B şi NIcircn acest caz unghiul MAB este unghi

exterior ∆ MNA și deci m( MAB)=900

+ m( NMA) gt900gtm( MBA) Icircn ∆

M

NA BA

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1016

458 Costică LUPU

MAB inegalitatea m( MAB) gt m( MBA) implică [MB]gt[MA]

Cazul II N icircntre A și BVom face o construcţie ajutătoare

şi anume luăm pe semidreapta [NB unpunct Arsquo astfel icircncacirct [NArsquo] equiv[NA] Cum[NB]gt[NA] rezultă că [NB] gt [NArsquo] si deciArsquo este intre B si N Conform cazului I [MB]gt [MArsquo] Dar din congruenţa triunghiurilor dreptunghice MNA și MNArsquo

deducem ca [MA]equiv[MArsquo] [MB] gt [MA]5 Putem presupune ca A=Arsquo şi B=Brsquo

Se observă că figura conţine şi ipoteza m( A) gt m( ) Considerăm bisectoarea unghiului GAGrsquo Ea intersectează dreaptaBG icircntr-un punct D situat in interiorul segmentului [BG] ca icircn figuraurmătoare

∆ AGD equiv ∆ AGrsquoD (LUL)rArr [GD] equiv[GrsquoD]

Deci BG=BD+DG=BD+DGrsquogtBGrsquoCum B=Brsquo rezultă că BGgtBrsquoGrsquo(qed)

6 Definiţie Unghiul care este adiacentşi suplementar unui unghi al unui triunghi senumeşte unghi exterior al acelui triunghi

Unghiul ACD este exterior ∆ ABC fiind adi-acent şi suplementar cu unghiul ACB al triunghiuluiMăsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalcu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiu-lui neadiacente cu el

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1-(I1 )ndash4sit 020p=080p O2-(I2 )ndash2sit 010p=020p

O3-(I3 )ndash1sit 100p=100pO4-(I4 )ndash4sit 100p=100p O5-(I5)ndash1sit

300p=300p O6-(I6)ndash2sit 050p=100pTotal 10p (nota 10) Timp de lucru 20 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului iniţial de eva-

luare este redată icircn

A = B =

G

A

CB D

A B

G

D

G

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1116

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 459

18

18

1716

12

19

Ponderea obiectivelor icircn testul de evaluare

Obiectiv 1

Obiectiv 2

Obiectiv 3

Obiectiv 4

Obiectiv 5

Obiectiv 6

Graficul nr 1 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

Realizacircnd reprezentarea areolară a obiectivelor obţinute la acest test

putem face o analiză a aprecierii nivelului realizării obiectivelor propuseDupă icircnregistrarea datelor s-a constat că 82 dintre elevi cunosc relaţiileicircntre laturile şi unghiurile unui triunghi iar 24 nu ştiu teorema referitoarela oblicele şi perpendicularele duse din acelaşi punct pe o dreaptă 72 din-tre elevi reuşesc să rezolve aplicaţii simple referitoare la inegalităţi iar 7elevi (334) nu reuşesc să demonstreze o teoremă aici icircnregistracircndu-seprocentajul cel mai mic de realizare (566) şi doar 4 elevi nu-şi amintescşi proprietăţile unghiului exterior(I6-O6)

Icircn consecinţă la prima oră afectată temei Inegalităţi geometrice sereactualizează cunoştinţele acumulate icircn gimnaziu şi se rezolvă exerciţiicare să asigure icircnţelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute de itemişi posibilitatea rezolvării acestora

După predarea cunoştinţelor aplicacircndu-se strategii eficiente dedezvoltare a capacităţilor de aplicare a inegalităţilor prin rezolvarea deprobleme activizacircnd elevii prin metode euristice şi antrenacircndu-i intensicircn activitatea de autoinstruire prin utilizarea manualului şi a culegerilor

am aplicat măsuri ameliorative prin lucrul diferenţiat şi suplimentar cuelevii care icircntacircmpină greutăţi şi doar după o muncă susţinută au putut fiobţinute progrese Toţi elevii au fost solicitaţi icircn rezolvarea de problemeicircncercacircnd să evităm superficialitatea sau automulţumirea punacircnd accentpe icircnţelegere rigoare concizie mobilizacircnd procesele psihice (atenţiavoinţa şi gacircndirea logică)

Test de evaluare finală clasa a VII-a Obiectivele operaţionale au urmăritO1- Să recunoască relaţia dintre laturile şi unghiurile unui triunghi

O2 ndash Să reproducă teorema unghiului exterior unui triunghiO3 ndash Să scrie relaţiile dintre lungimile laturilor unui triunghi

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1216

460 Costică LUPU

O4 ndash Să cunoască şi să aplice teorema bisectoarei cazurile de con-gruenţă ale unui triunghi formulele pentru aria semiperimetrul şi razacercului icircnscris icircn triunghi

O5 ndash Să demonstreze o teoremă datăO6 ndash Să formuleze o problemă după o relaţie datăItemii evaluării suntI1 ndash Demonstraţi următoarea teoremă bdquoSuma lungimilor a două laturi

ale unui triunghi este mai mare decacirct lungimea celei de a treia laturirdquoI2 ndash Fie triunghiul ABC şi D mijlocul laturii (BC) Să se arate că

I3 ndash Formulaţi o problemă bazată perelaţia din problema anterioarăI4 ndash Să se arate că icircn orice triunghi lun-

gimea bisectoarei dintr-un vacircrf este mai micăsau egală decacirct lungimea medianei din ace-laşi vacircrf

I5 ndash Să se demonstreze că raza r a cercu-lui icircnscris icircntr-un triunghi dreptunghic este

mai mică decacirct sfertul ipotenuzeiI6 ndash Enunţaţi teorema unghiului exteriorunui triunghi

RezolvareFie ABC un triunghi şi M isin AB astfel icircncacirct

B isin (AM) şi (BC) equiv (BM) Prin construcţie ∆CBM este isoscel deci∢ AMCequiv ∢ BCM Cum Bisin Int( ∢ ACM) m( ∢ ACM) gt m( ∢ BCM) = m( ∢

AMC)rArr

AM gt AC dar AM = AB + BM = AB +BC rArr AB + BC gt AC (qed)

Fie Arsquoisin AD a icirc (AD)equiv (DA ) ∆ ABDequiv ∆ ArsquoDC (LUL) (BD)equiv (DC)(ipoteză) (AD) equiv(AˈD) (construcţie) ∢ ADB equiv ∢ ArsquoDC (opuse la vacircrf ) rArr (AB) equiv (ArsquoC)

Icircn ∆ AArsquoC Dar

Rezultă 2ǀADǀ lt ǀACǀ + ǀABǀ sau

C

A

B

A

D

C

A B M

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1316

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 461

Să se demonstreze că lungimea oricăreimediane dintr-un triunghi este mai mică decacirctmedia aritmetică a lungimilor laturilor care

pleacă din acelaşi vacircrf cu eaBAD equiv DAC (BE) equiv (EC) Fie AM

BCDacă triunghiul este isoscel cu (AB) equiv (AC)

icircnălţimea şi mediana coincid deci au aceeaşilungime

Fie AB ne AC de exemplu AB lt AC rArr m( MAB) (sunt comple-

mentele unghiurilor C şi B)rArr

bisectoarea (AD a unghiului BAC esteinclusă icircn Int( MAC) rArr D (MC)

Folosind teorema bisectoarei icircn ∆ ABC

Deci D este maiaproape de B decacirct E rezultă D isin (ME)Atunci oblica [AD] este mai scurtă decacirct[AE]

Fie triunghiul ABC icircn care AD perp BCD isin (BC) Arsquo isin (BC) (ArsquoB) equiv (ArsquoC) Notămcu a b c lungimile laturilor triunghiului

ABC

ş i

(S fiind aria triunghiului) Dar

şi cum obţinem

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decacirct oricare din unghiu-rile triunghiului neadiacente cu acel unghi

EM

B

D

CA

A

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1416

462 Costică LUPU

Punctajul şi convertirea acestuia icircn notăO1 ndash (I1 ) ndash 3 sit times 050 = 150 p O2 ndash (I2 ) ndash 1sit times 075 = 075 p O3- (I3 ) ndash 3

sit times 075 = 225 p O4 ndash (I4 ) ndash 5 sit times 050 = 250 p O5- (I5 ) ndash 1 sit times 200 = 200 p

O6 ndash (I6 ) ndash 1 sit times 100 = 100 p Total 10 p (nota 10) Timp de lucru 45 minuteReprezentare areolară a realizării pe obiective a testului final de eva-

luare este redată icircn

Graficul nr 2 Reprezentare areolară a realizării pe obiective

După icircnregistrarea datelor din tabelul nr3 am constat că rezultatele

la această probă conduc la următoarele repartiţiibull 107 nu au ținut cont icircn rezolvarea problemelor de relațiile dintre

laturile şi unghiurile unui triunghi nerealizacircnd obiectivul O1bull 36 din elevi nu au memorat corect teorema unghiului exterior

bull 144 nu cunosc formulele cerutebull 12 nu au reuşit să formuleze problema după relația dată

bull 22 nu stăpacircnesc metodele de demonstrare a unei teoremeTransformacircnd notele icircn calificative obţinem următoarele rezultate cesunt icircn măsură să indice nivelul la care s-a ajuns cu elevii icircn rezolvareaproblemelor după parcurgerea acestui capitol Prelucracircnd datele obţinemprocentele şi de aici calificativele pentru elevii de nivel cel puţin mediu şipentru elevii de nivel cognitiv sub mediu

Tabel nr 3 Procentele şi calificativele la testul final

Nota obţinută 983091 983092 983093 983094 983095 983096 983097 983089983088Număr elevi 983088 983092 983092 983096 983089983092 983089983088 983089983088

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1516

Strategii activ-creatoare icircn cadrul lecţiilor de geometrie 463

Calificativ Nesatisfăcător Satisfăcător Bine Foarte bineProcente - 983089983094 983092983092 983092983088

0

5

10

15

Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota

10

Test initial

Test final

Graficul nr 3 Reprezentarea grafică comparativă a rezultatelor la cele două teste

Analizacircnd datele celor două tabele (test iniţial şi test final) se constatăcă a crescut numărul elevilor cu rezultate foarte bune de la 4 la 10 şi a scă-zut cu 16 procentajul celor cu rezultate satisfăcătoare

Concluzii Icircn concluzie procesul de icircnvăţare general şi şcolar reprezintă fun-

damentul icircn formarea elevilor ca parte a unui mediu social şi culturalTipurile stilurile şi strategiile de icircnvăţare variază icircn funcţie de capacitateade icircnvăţare a elevilor

Rezultatul acestei cercetări relevă faptul că stilurile de icircnvăţare vari-ază la fiecare elev icircn parte Mai mult decacirct atacirct un elev nu foloseşte unsingur stil ci le combină pe toate trei icircn proporţii diferite potrivit sieşiDupă ce elevii icircşi personalizează stilul de icircnvăţare pot cu uşurinţă să des-copere strategii potrivite fiecăruia de la cele mai simple (sublinierea unor

idei) pacircnă la cele mai complexe (capacitatea de sinteză)Prezentarea comparativă a rezultatelor obţinute la testul iniţial şi lacel final evidenţiază posibilităţile de progres ale elevilor Creşterea medieide la 692 (la testul iniţial) la 804 (la testul final) demonstrează o creşterea nivelului general de activitate al elevilor precum şi eficienţa strategiiloricircntreprinse de studenţi

Se poate concluziona că rezultatele la cele două teste diferă dato-rită particularităţilor individuale ale elevilor pentru că nu se poate pune

problema icircnlăturării totale a diferenţierii elevilor după aptitudini capaci-tate de muncă inteligenţă Se constată că instruirea curriculară cognitivă

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti

8182019 2015_8_02pdf

httpslidepdfcomreaderfull2015802pdf 1616

464 Costică LUPU

folosind strategii de tip euristic contribuie la creşterea motivaţiei icircnvăţăriia rezolvării problemelor de matematică la crearea unei atitudini pozitivea elevilor faţă de icircnvăţarea matematicii

Bibliografie

[1] Bracircnzei D Metodica predării matematicii Editura Paralela 45 Piteşti 2000[2] Cacircrjan F Strategii euristice icircn didactica matematicii Editura Paralela 45

Piteşti 2000[3] Flavell J Metacognitive aspects of problem- solving 1976[4] Jinga I Istrate E Manual de Pedagogie Editura ALL București 2008[5] Lupu C The Model Object-product-cognitive Operation Through

Mathematical Education Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume163 19 December 2014 Pages 132ndash141

[6] Lupu C The Axiomatic of Didactics Discipline of Education as Applied toMathematics Procedia ndash Social and Behavioral Sciences Volume 116 21February 2014 Pages 4775ndash4779

[7] Lupu C Elemente de geometrie și didactica predării Editura Alma MaterBacău 2013

[8] Lupu C Metodica predării geometriei ndash Editura Paralela 45 Piteşti 2003[9] Oprea C L Strategii didactice interactive Editura Didactică şi Pedagogică

2006 Bucureşti[10] Neacşu I Metode şi tehnici de icircnvăţare eficientă Editura Militară 1990

Bucureşti