בגרות לבתי ספר על־יסודיים א. סוג הבחינה: מדינת ישראל בגרות לנבחנים אקסטרניים ב. משרד החינוך

קיץ תשע"ד, מועד ב מועד הבחינה: 311 ,035801 מספר השאלון:

הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות

ה ק י ט מ ת מ3 יחידות לימוד — שאלון ראשון

הוראות לנבחן

משך הבחינה: שעה ורבע. א.

בשאלון זה שש שאלות. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: ב.

לכל שאלה — 25 נקודות.

מותר לך לענות על מספר שאלות כרצונך,

אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על 100.

חומר עזר מותר בשימוש: ג.

מחשבון לא גרפי. אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. )1(

שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה.

דפי נוסחאות )מצורפים(. )2(

הוראות מיוחדות: ד.

כתוב את כל החישובים והתשובות בגוף השאלון. )1(

אסור לכתוב על הפסים שבשוליים.

לטיוטה יש להשתמש בדפים שבגוף השאלון )כולל הדפים שבסופו( או בדפים )2(

שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה.

הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. )3(

חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה.

ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד.

! ה ח ל צ ה ב

/המשך מעבר לדף/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 2 -

שאלה 1

מתמטיקה, תשע"ד, מועד ב, מס' 035801 , 311 + נספח- 2 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

ת ו ל א ש הבשאלון זה שש שאלות. תשובה מלאה לשאלה מזכה ב־25 נקודות. מותר לך לענות, באופן מלא

או חלקי, על מספר שאלות כרצונך, אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על 100.

כתוב את כל החישובים והתשובות בגוף השאלון.

שים לב! הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה. חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה.

אלגברה

5 עפרונות ו־ 3 מחקים עולים יחד 36 שקלים. .1

המחיר של עיפרון אחד שווה לתשלום עבור 3 מחקים.

מצא את המחיר של עיפרון אחד ואת המחיר של מחק אחד. א.

קרן קנתה 4 עפרונות ו־ 2 מחקים. כמה שילמה קרן? ב.

/המשך בעמוד 3/

תשובה לשאלה 1

I דרך א.

נסמן ב־ x את המחיר של מחק אחד.

x3 המחיר של עיפרון אחד הוא:

x5 3$ המחיר של 5 עפרונות הוא:

x3$ המחיר של 3 מחקים הוא:

5 עפרונות ו־ 3 מחקים עולים יחד 36 שקלים,

x x5 3 3 36$ $+ = לכן מתקיים:

0

x18 36=

0

x= 2 שקלים המחיר של מחק אחד הוא:

3 2$ 6 שקלים = המחיר של עיפרון אחד הוא:

II דרך

המחיר עבור עיפרון אחד

התשלום עבור 5 עפרונות שווה לתשלום עבור 15 מחקים שווה לתשלום עבור 3 מחקים, לכן מתקיים:

5 עפרונות ו־ 3 מחקים עולים יחד 36 שקלים,

15( הוא 36 שקלים 3 18+ = ה תשלום עבור 18 מחקים ) לכן מתקיים:

1836= 2 שקלים המחיר של מחק אחד הוא:

2 3$ = 6 שקלים המחיר של עיפרון אחד הוא:

קרן קנתה 4 עפרונות ו־ 2 מחקים. ב.

4 6 2 2$ $+ = 28 שקלים המחיר ששילמה קרן הוא: /המשך בעמוד 3/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 3 -

שאלה 2 מתמטיקה, תשע"ד, מועד ב, מס' 035801 , 311 + נספח- 4 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

גלעד ורותם שחו בבֵרכה שאורכה 30 מטר. .2

הם התחילו את שחייתם בקצה אחד של הברכה, שהיא נקודת ההתחלה,

והמשיכו אל קצה הברכה שמולם.

כאשר הגיע כל אחד מהם לקצה שממול הוא נח מעט, ואז הוא שחה בחזרה

לנקודת ההתחלה.

שניהם התחילו לשחות באותו זמן. גלעד שחה מהר יותר מרותם.

בתרשים שלפניך מוצגים שני גרפים, I ו־ II . כל אחד מן הגרפים מתאר את המרחק של

אחד השחיינים מנקודת ההתחלה, על פי זמן השחייה שלו.

I II

00 30 60 90 120 150

20

40

הזמן(שניות)

המרחק מנקודת ההתחלה(מטרים)

איזה גרף מתאר את השחייה של גלעד? נמק. א.

כמה זמן נח גלעד לפני שהתחיל לשחות בחזרה לנקודת ההתחלה, ב.

וכמה זמן נח רותם?

כמה זמן נמשכה השחייה של רותם מנקודת ההתחלה עד לקצה הברכה? ג.

כעבור כמה זמן, בערך, מתחילת השחייה נפגשו השחיינים? ד.

בנקודת הפגישה, האם השחיינים שחו באותו כיוון או בכיוונים נגדיים? ה.

/המשך בעמוד 5/

תשובה לשאלה 2

. I גרף גלעד שחה מהר יותר מרותם. א.

, II הגיע לקצה השני של הברכה לפני שחיין I שחיין

לכן שחיין I הוא גלעד.

15 שניות על פי גרף I , גלעד נח בין השנייה ה־ 30 לשנייה ה־ 45 . ב.

15 שניות על פי גרף II , רותם נח בין השנייה ה־ 75 לשנייה ה־ 90 .

/המשך בעמוד 4/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 4 -

המשך תשובה לשאלה 2.

על פי גרף II , שחייתו של רותם ג.

75 שניות מנקודת ההתחלה של הברכה אל הקצה ממול נמשכה:

53 שניות. השחיינים נפגשו בערך כעבור: ד.

בנקודת הפגישה גלעד שחה בכיוון חזרה לנקודת ההתחלה, ה.

ואילו רותם שחה בכיוון אל קצה הברכה.

לכן בנקודה זו השחיינים שחו בכיוונים מנוגדים.

/המשך בעמוד 5/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 5 -

שאלה 3 מתמטיקה, תשע"ד, מועד ב, מס' 035801 , 311 + נספח- 6 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

OE ו־ AB :בסרטוט שלפניך מתוארים שני ישרים .3

)O — ראשית הצירים( .

. y x16 4= - נתונה המשוואה של אחד הישרים:

איזה ישר מבין שני הישרים מתאים למשוואה הנתונה? נמק. א.

. B ו־ A מצא את שיעורי הנקודות ב.

. AB היא אמצע הקטע E הנקודה ג.

. E מצא את שיעורי הנקודה

OEA הראה כי שטח המשולש ד.

. OEB שווה לשטח המשולש

/המשך בעמוד 7/

y

x

A

E

BO

תשובה לשאלה 3

הישר AB יורד ולכן שיפועו הוא מספר שלילי. . AB הוא הישר y x16 4= - הישר שמשוואתו א.

-4 , לכן המשוואה השיפוע של הישר הנתון הוא

. AB מתארת את משוואת הישר y x16 4= -

. y x16 4= - הנקודה A נמצאת על הישר ב.

, y נמצאת גם על ציר ה־ A הנקודה

לכן שיעור ה־ x של הנקודה A הוא 0 .

( , )A y0 A לכן מתקיים:

y 16 4 0A $= -

0

y 16A=

( , )A 0 16 השיעורים של הנקודה A הם:

. y x16 4= - הנקודה B נמצאת על הישר

, x נמצאת גם על ציר ה־ B הנקודה

לכן שיעור ה־ y של נקודה B הוא 0 .

x0 16 4$= - לכן מתקיים:

0

x 4=

( , )B 4 0 השיעורים של הנקודה B הם:

/המשך בעמוד 6/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 6 -

המשך תשובה לשאלה 3.

,x y20 4 2 2

16 0 8E E=+= =

+= הנקודה E היא אמצע קטע AB , לכן מתקיים: ג.

0 ( , )E 2 8 השיעורים של הנקודה E הם:

AO הגובה לצלע OEA במשולש ד.

. E של הנקודה x הוא שיעור ה־

. A של הנקודה y הוא שיעור ה־ AO אורך הצלע

)ראה ציור(.

Sy x2OEA

A E$=i

0 16= =S 2

16 2OEA

$i לכן, שטח משולש OEA הוא:

y הוא שיעור ה־ OB הגובה לצלע OEB במשולש .E של הנקודה

. B של הנקודה x הוא שיעור ה־ OB אורך הצלע )ראה ציור(.

Sx y2OEB

B E$=i לכן, שטח המשולש OEB הוא:

0 S 2

4 8 16OEB$

= =i

0 S=S OEA OEBi i מכאן:

לכן, שני המשולשים שווים בשטחם.

/המשך בעמוד 7/

y

x

A

E

(0,16)

(4,0)

(2,8)

BO

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 7 -

שאלה 4מתמטיקה, תשע"ד, מועד ב, מס' 035801 , 311 + נספח- 8 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

באולם יש 15 שורות של כיסאות. .4

בשורה הראשונה יש 20 כיסאות.

מספר הכיסאות בכל שורה גדול ב־ 2 ממספר הכיסאות שבשורה שלפניה.

כמה כיסאות יש בשורה האחרונה? א.

כמה כיסאות סך הכול יש באולם? ב.

/המשך בעמוד 9/

תשובה לשאלה 4מספר הכיסאות בכל שורה גדול ב־ 2 ממספר הכיסאות שבשורה שלפניה, א.

לכן הסדרה המתוארת היא סדרה חשבונית.

a 201= בשורה הראשונה 20 כיסאות, לכן:

מספר הכיסאות בכל שורה גדול ב־ 2

d 2= ממספר הכיסאות שבשורה שלפניה, לכן:

a15 :באולם 15 שורות, לכן השורה האחרונה היא

a 20 14 2 4815 $= + = מספר הכיסאות בשורה ה־ 15 הוא:

מספר הכיסאות בשורה האחרונה

48 כיסאות )היא השורה ה־ 15( הוא:

I דרך ב.

מספר הכיסאות בכל האולם הוא

סך כל הכיסאות בכל 15 השורות של האולם. [ ]S 22 20 14 2 15

15$ $ $

=+ לכן מתקיים:

0

S 51015= II דרך

מצאנו בסעיף א את מספר הכיסאות בשורה ה־ 15 , ( )

Sa a

215

151 15 $=+

לכן מתקיים:

0 ( )S 220 48 15

15$

=+

0

S 51015 =

510 כיסאות מספר הכסאות באולם הוא:

/המשך בעמוד 8/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 8 -

שאלה 5מתמטיקה, תשע"ד, מועד ב, מס' 035801 , 311 + נספח- 10 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

טריגונומטריה

. ABCD נתון מעוין .5

אורך הצלע של המעוין 25 ס"מ,

. 64o והזווית החדה של המעוין היא בת

AH הוא גובה המעוין )ראה ציור(.

. AH חשב את אורך הגובה א.

חשב את שטח המעוין. ב.

. DH חשב את אורך הקטע )1( ג.

. HC חשב את אורך הקטע )2(

/המשך בעמוד 11/

CD

A B

H64o

תשובה לשאלה 5 , AHD 90oB = המשולש ADH הוא ישר זווית, א.

sin AH64 25o= לכן מתקיים:

0 sinAH 25 64o$=

0 AH= 22.47 ס"מ האורך של הגובה AH הוא:

S2$=SABCD ADC ב.

I דרך S AH DC2

1ADC $ $=

0

S AH DCABCD $= שטח המעוין הוא:

DC= 25 ס"מ במעוין כל הצלעות שוות, לכן:

.S 25 22 47ABCD $= = 561.75 סמ"ר שטח המעוין הוא:

II דרך sinAD DC 64$ $ $=S 2

1ADC

o

sinS AD DC 64ABCDo$ $= שטח המעוין הוא:

0 AD DC 25= =

0 sinS 25 25 64ABCD

o$ $= = 561.75 סמ"ר

/המשך בעמוד 9/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 9 -

המשך תשובה לשאלה 5.

I דרך )1( ג.

cos DH64 25o= במשולש ישר־זווית ADH מתקיים:

0 cosDH 25 64o$= = 10.96 ס"מ אורך הקטע DH הוא:

II דרך

ADH במשולש ישר־זווית

AD AH DH2 2 2= + מתקיים משפט פיתגורס:

. DH25 22 472 2 2= + 0

.DH 120 092=

DH= 10.96 ס"מ אורך הקטע DH הוא:

HC DC DH= - )2(

.HC 25 10 96= - = אורך הקטע HC הוא: 14.04 ס"מ

/המשך בעמוד 10/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035801, 311- 10 -

זכות היוצרים שמורה למדינת ישראלאין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך

שאלה 6מתמטיקה, תשע"ד, מועד ב, מס' 035801 , 311 + נספח- 12 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

הסתברות

. O , AB , B , A :לכל אדם יש אחד מסוגי הדם האלה .6

לפניך טבלה המתארת את ההתפלגות של אחוז סוגי הדם אצל בני האדם באוכלוסייה.

ABABOסוג הדם

האחוז באוכלוסייה

38%19%8%

? O לכמה אחוזים מן האוכלוסייה יש סוג דם א.

. O יכול לקבל תרומת דם רק מבעל סוג דם O בעל סוג דם ב.

מהי ההסתברות שתורם אקראי יוכל לתרום דם לבעל סוג דם O ? פרט.

. A ו־ O יכול לקבל תרומת דם מבעלי כל אחד מסוגי הדם A בעל סוג דם ג.

מהי ההסתברות שתורם אקראי יוכל לתרום דם לבעל סוג דם A ? פרט.

/המשך בעמוד 13/

תשובה לשאלה 6

O , AB , B , A :לכל אדם יש סוג אחד מסוגי הדם א.

A 38% מהאוכלוסייה הם בעלי סוג דם

B 19% מהאוכלוסייה הם בעלי סוג דם

AB 8% מהאוכלוסייה הם בעלי סוג דם

% % % %38 19 8 65+ + = לכן מתקיים:

0 האחוז המשלים את סוגי הדם באוכלוסייה

% % %100 5 356- = ל־ 100% הוא:

0

O 35% מהאוכלוסייה הם בעלי סוג דם לכן:

, O 35% מהאוכלוסייה הם בעלי סוג דם ב.

לכן, ההסתברות שתורם אקראי

יוכל לתרום דם לבעל סוג דם O היא: 0.35

A 38% מהאוכלוסייה הם בעלי סוג דם ג.

O 35% מהאוכלוסייה הם בעלי סוג דם

% % %35 38 73+ = האחוז באוכלוסייה של בעלי סוג דם A או O הוא:

0 . . .0 35 0 38 0 73+ =

לכן, ההסתברות שתורם אקראי

יוכל לתרום דם לבעל סוג דם A היא: 0.73