Interpola*on  and    

Curves    and    

Mo*on  on  a  Path  

Problem  statement  

•  How  can  we  construct  smooth  paths?  – Define  smoothness  in  terms  of  geometry  – What  is  the  input?  – Where  does  the  input  come  from?  • Pathfinding  data  • Animator  specified  

Interpola>on  

•  Interpola*on:  The  process  of  inser>ng  in  a  series  an  intermediate  number  or  quan>ty  ascertained  by  calcula>on  from  those  already  known.  

•  Examples  – Compu>ng  midpoints  – Curve  fiHng  

Interpola>on  terms  

•  Order  (of  the  polynomial)  – Linear  – Quadra>c  – Cubic  

•  Dimensions  – Bilinear  (data  in  a  2D  grid)  – Trilinear  (data  in  a  3D  grid)  

Linear  interpola>on  

•  Given  two  points,  P0  and  P1  in  2D  •  Parametric  line  equa>on:  

P  =  P0  +  t  (P1  –  P0)  ;  OR  X  =  P0.x  +  t  (P1.x  –  P0.x)  Y  =  P0.y  +  t  (P1.y  –  P0.y)  

•  t  =  0    Beginning  point  P0  •  t  =  1    End  point  P1  

Linear  interpola>on  •  Rewrite  the  parametric  equa>on  

P  =  (1-‐t)P0  +  t  P1  ;  OR  X  =  (1-‐t)P0.x  +  t  P1.x  

Y  =  (1-‐t)P0.y  +  t  P1.y  

•  Formula  is  equivalent  to  a  weighted  average    •  t  is  the  weight  (or  percent)  applied  to  P1  •  1  –  t  is  the  weight  (or  percent)  applied  to  P0  

•  t  =  0.5    Midpoint  between  P0  and  P1  =  Pmid  •  t  =  0.25    1st  quar>le  =  midpoint  between  P0  and  Pmid  •  t  =  0.75    3rd  quar>le  =  midpoint  between  Pmid  and  P1  

Bilinear  interpola>on  process  

•  Given  4  points  (Q’s)  

•  Interpolate  in  one  dimension  – Q11  and  Q21  give  R1  – Q12  and  Q22  give  R2  

•  Interpolate  with  the  results  – R1  and  R2  give  P  

Bilinear  interpola>on  applica>on  

•  Resizing  an  image  

Curve  Fi5ng  

Interpola>on  vs.  approxima>on    

Polynomial  complexity  

Con>nuity:  first  degree  (tangen>al)  

Local  vs.  global  control:  local  

Informa>on  requirements:  tangents  needed?  

Interpola>on  vs.  Approxima>on  

Polynomial  complexity:  Cubic  

Low  complexity    reduced  computa>onal  cost  

Therefore,  choose  a  cubic  polynomial  

With  a  point  of  inflec>on,  the  curve  can  match  arbitrary  tangents  at  end  

points  

Con>nuity  orders  C-‐1  discon>nuous   C0  con>nuous  

C1:  first  deriva>ve  is  con>nuous   C2:  first  and  second  deriva>ves  are  con>nuous  

Local  vs.  Global  control  

Informa>on  requirements  

just  the  points  

tangents  

interior  control  points  

just  beginning  and  ending  tangents  

Cubic  Bezier  Curve  

p0

p1

p2

p3

•  Find  the  point  x  on  the  curve  as  a  func>on  of  parameter  u:  

x(u) •

de  Casteljau  Algorithm  

•  Describe  the  curve  as  a  recursive  series  of  linear  interpola>ons  

•  Intui>ve,  but  not  the  most  efficient  form  

de  Casteljau  Algorithm  

p0

p1

p2

p3

•  Cubic  Bezier  curve  has  four  points  (though  the  algorithm  works  with  any  number  of  points)  

de  Casteljau  Algorithm  

p0

q0

p1

p2

p3

q2

q1

Lerp  =  linear  interpola>on  

de  Casteljau  Algorithm  

q0

q2

q1

r1

r0

de  Casteljau  Algorithm  

r1 x

r0 •

Bezier  Curve  

x •

p0

p1

p2

p3

h8p://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve  

Bezier  Curve  Anima*on  

Cubic  Bezier  

Curve runs through Pi and Pi+3 with starting tangent PiPi+1 and ending tangent Pi+2Pi+3

Controlling  Mo*on  along  p=P(u)    

Step  2.  Reparameteriza*on  by  arc  length  u  =  U(s)                      where  s  is  distance  along  the  curve  

p=P(u)

But segments may not

have equal length

Step  1.  vary  u  to  create  points  on  the  curve  

Step  3.  Speed  control  

s  =  ease(t)              where  t  is  >me  for  example,  ease-‐in  /  ease-‐out  

Reparameterizing  by  Arc  Length  

Analy>c  Forward  differencing     Supersampling     Adap>ve  approach  Numerically     Adap>ve  Gaussian  

Reparameterizing  by  Arc  Length  -‐  supersample  

1. Calculate a bunch of points at small increments in u

2. Compute summed linear distances as approximation to arc

length

3. Build table of (parametric value, arc length) pairs

Notes

1. Often useful to normalize total distance to 1.0

2. Often useful to normalize parametric value for multi-

segment curve to 1.0

index

u

Arc Length

(s)

0

0.00

0.000

1

0.05

0.080

2

0.10

0.150

3

0.15

0.230

...

...

...

20

1.00

1.000

Build  table  of  approx.  lengths  

Speed  Control  

Time-‐distance  func>on  Ease-‐in  Ease-‐out     Sinusoidal     Cubic  polynomial     Constant  accelera>on  General  distance-‐>me  func>ons  

time

distance

Time  Distance  Func>on  

s  =  S(t)  

s  

t    the  global                  >me  variable  

S  

Ease-‐in/Ease-‐out  Func*on  

s  =  S(t)  

s  

t  

S  

0.0

0.0

1.0

1.0

Normalize distance and time to 1.0 to facilitate reuse

Ease-‐in:  Sinusoidal  

Ease-‐in:  Single  Cubic  

Ease-‐in:  Constant  Accelera>on  

Ease-‐in:  Constant  Accelera>on  

Mo>on  on  a  curve  –  solu>on  steps  

1.  Construct  a  space  curve  that  interpolates  the  given  points  with  piecewise  first  order  con>nuity  

2.  Construct  an  arc-‐length-‐parametric-‐value  func>on  for  the  curve  

3.  Construct  >me-‐arc-‐length  func>on  according  to  given  constraints  

p=P(u)

u=U(s)

s=S(t)

p=P(U(S(t)))