[2006] Relationship of Modulation Schemes for Matrix Converters.pdf

8/9/2019 [2006] Relationship of Modulation Schemes for Matrix Converters.pdf

1/5

R e l a t i o n s h i p

o f M o d u l a t i o n

S c h e m e s f o r

M a t r i x

C o n v e r t e r s

F a n

Y u e ,

P a t r i c k W. W h e e l e r ,

a n d J o n C . C l a r e

S c h o o l

o f E l e c t r i c a l

&

E l e c t r o n i c E n g i n e e r i n g

U n i v e r s i t y

o f N o t t i n g h a m ,

U n i v e r s i t y P a r k

N o t t i n g h a m ,

NG7

2RD

UK

e e x f y t

n o t t i n g h a m .

a c .

u k ,

P a t .

W h e e l e r @ n o t t i n g h a m .

a c .

u k ,

J o n .

C l a r e @ n o t t i n g h a m .

a c .

u k

K e y w o r d s :

m o d u l a t i o n ,

m a t r i x

c o n v e r t e r , r e l a t i o n s h i p .

A b s t r a c t

T h i s p a p e r

r e v e a l s t h e

r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n s o m e

w e l l - k n o w n

m a t r i x

c o n v e r t e r

m o d u l a t i o n

s t r a t e g i e s ,

b a s i c / o p t i m u m

A l e s i n a - V e n t u r i n i

( A V )

m e t h o d s

a n d d i r e c t / i n d i r e c t

s p a c e

v e c t o r

m o d u l a t i o n ( S V M ) .

T h e

d i r e c t / i n d i r e c t

SVM m e t h o d s

a r e

i n h e r e n t l y

t h e

s a m e .

Two

SVM m e t h o d s

a r e

a l s o

p r o p o s e d ,

w h i c h

a r e

e q u i v a l e n t

t o t h e


AV

m e t h o d s

r e s p e c t i v e l y .

1

I n t r o d u c t i o n

M o d u l a t i o n s t r a t e g i e s

o f m a t r i x c o n v e r t e r s

a r e

i n t e r e s t i n g

b e c a u s e

t h e c o n t r o l

o f

i n p u t

c u r r e n t s a n d

o u t p u t

v o l t a g e s

m u s t

b e

c a r r i e d o u t

i n

o n e

a l g o r i t h m .

S o m e

t e c h n i q u e s u s i n g

d i f f e r e n t

t h e o r e t i c a l

a p p r o a c h e s

h a v e

b e e n

w e l l

e s t a b l i s h e d

i n

l i t e r a t u r e . T h e


AV

m e t h o d

[ 1 ; 2 ]

i s

b a s e d

o n

d u t y - c y c l e

m a t r i x

a p p r o a c h

a n d

r e p r e s e n t e d

w i t h

q u a n t i t i e s

i n

t h e t i m e d o m a i n .

SVM

r e p r e s e n t s

a

m o d u l a t i o n

s o l u t i o n

b a s e d

o n

s p a c e

v e c t o r

d e p i c t i o n

i n

t h e

c o m p l e x

s p a c e

[ 3 - 5 ] .

T h e

i n v e s t i g a t i o n

o f

t h e r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t h e s e w e l l -

k n o w n

s t r a t e g i e s

i s

e s s e n t i a l ,

w h i c h c a n

n o t

o n l y p r o v i d e

a n

u n d e r s t a n d i n g

o f

m o d u l a t i o n

p r o c e s s

b u t a l s o

d e v e l o p

e f f i c i e n t m o d u l a t i o n t e c h n i q u e s .

A

s i m p l e

r e v i e w

o f m o d u l a t i o n s t r a t e g i e s u n d e r i n v e s t i g a t i o n

i s

g i v e n . T h e

AV

m e t h o d

i s

r e p r e s e n t e d b y q u a n t i t i e s

i n

t h e

t i m e

d o m a i n ,

a n d

t h e

SVM

m e t h o d

a s i t s name

i n d i c a t e s

i s

b a s e d

o n

t h e

s p a c e

v e c t o r d e n o t a t i o n

i n

t h e

c o m p l e x

s p a c e .

F o r

SVM,

t h e r e

a r e t w o

a p p r o a c h e s d e v e l o p e d

i n

l i t e r a t u r e ,

i n d i r e c t [ 5 ]

a n d

d i r e c t

SVM

[ 3 ] .

I n t h i s

p a p e r

i t i s s h o w n t h a t

b o t h m e t h o d s

a r e

e q u i v a l e n t

t o e a c h o t h e r .

Q u a n t i t i e s

i n

t h e t i m e

d o m a i n

a n d

c o m p l e x s p a c e

a r e

i n v e s t i g a t e d .

T h e b i d i r e c t i o n a l

t r a n s f o r m a t i o n

i s e s t a b l i s h e d

w h i c h c o n t r i b u t e s

a

f o u n d a t i o n

o f f u r t h e r r e s e a r c h a b o u t

m o d u l a t i o n

r e l a t i o n s h i p .

T h e

s w i t c h i n g s e q u e n c e

i s i l l u s t r a t e d

b o t h

i n

t h e t i m e

d o m a i n

a n d

c o m p l e x s p a c e .

D u t y - c y c l e s

o f

e a c h s w i t c h

i n

t h e

t i m e d o m a i n

c a n b e

r e p r e s e n t e d b y

c o m b i n a t i o n s

o f

s p a c e

v e c t o r s

a n d

v i c e v e r s a .

W i t h

a l l

t h e s e

m u t u a l l i n k s

b e t w e e n t h e

t i m e

d o m a i n

a n d

c o m p l e x

s p a c e ,

t h e

b r i d g e

o f

d i f f e r e n t

m o d u l a t i o n

s t r a t e g i e s

c a n b e b u i l t .

F o r d i f f e r e n t

m o d u l a t i o n

t e c h n i q u e s ,

i t i s s h o w n

t h a t c o n t r o l

o f a c t i v e

c o n f i g u r a t i o n s

i s

e q u i v a l e n t

w h i l e

g r e a t

v a r i a t i o n s

e x i s t

i n

t h e

z e r o

c o n f i g u r a t i o n s .

Two

new SVM

m e t h o d s

a r e p r o p o s e d c o r r e s p o n d i n g

t o b a s i c

a n d

o p t i m u m

A V . U n l i k e c o n v e n t i o n a l

SVM m e t h o d s ,

t h e

p r o p o s e d

a p p r o a c h e s

d i s t r i b u t e

z e r o


u n e q u a l l y t o

a c h i e v e

t h e s a m e m o d u l a t i o n

p r o c e s s

a s


A V .

2

M o d u l a t i o n

T e c h n i q u e s

2 . 1 A l e s i n a - V e n t u r i n i m e t h o d

D e f i n i n g

a

s e t

o f s i n u s o i d a l i n p u t

v o l t a g e s

a n d

a

s e t

o f

s i n u s o i d a l

o u t p u t

c u r r e n t s a s

f o l l o w

A (

O S 6 t t

( t

)

C O S O )

t

+

( P

) ( )

I I

~~~~~47

V i

=

V

( t ) j

v

C O s ( o t

+

3 )

9

[ O

h } I,t

+

t

-)

c o s ( o t

+-) c o s ( c O t +

) D f ,

- )

t h e

m o d u l a t i o n

p r o b l e m

c a n b e a s s u m e d

a s

f i n d i n g t h e

s o l u t i o n

f o r

t h e m o d u l a t i o n

m a t r i x

M

( t )

s o t h a t

''V.

q J j , ~ ~

c o s c o ~ t

a

( l )

co(@t)

v =M

( t ) - v ;

=

v ,

( t )

=

q

V i m ,

c o s (

c o t + 4 - )

c o s ( O t

+

)

( 2 )

o s ( c o t

+

q , )

c o s ( e , )

c o s ( a ± t

9+

+-)

c o s ( o + )

2 f f

c o s ( a ~ t

+

y

- )

3

-

I n

e q u a t i o n ( 1 )

a n d

( 2 ) ,

q i s t h e v o l t a g e

t r a n s f e r

r a t i o ,

w ) i

a n d

w 0

a r e

t h e

i n p u t a n d o u t p u t

a n g u l a r f r e q u e n c i e s a n d

y ,

a n d

q 0

a r e

t h e

i n p u t

a n d

o u t p u t

p h a s e

d i s p l a c e m e n t

a n g l e s


A

r e s t r i c t i o n

o n

t h e

p e r m i s s i b l e

s w i t c h i n g


i s

t h a t

s h o r t c i r c u i t s

o f

t h e

c a p a c i t i v e i n p u t s i d e

a n d o p e n

c i r c u i t s o f t h e

i n d u c t i v e

o u t p u t

s i d e m u s t

b e

a v o i d e d .

S o l v i n g e q u a t i o n s

( 1 )

a n d

( 2 ) ,

t h e

b a s i c

AV

m e t h o d i s

g i v e n

a s f o l l o w :

m K i

[ I

+

v 2 ]

3

v i m

f o r K

= A , R B , C

a n d

j

= a , h b , c .

( 3 )

2 6 6

i

( t )

, i

[M

( t ) ] T . , .

i

(t )

L - i ,

( t ) ,


2/5

T h i s

s o l u t i o n ,

b a s e d

o n a d i r e c t

t r a n s f e r

f u n c t i o n

r e p r e s e n t a t i o n ,

r e q u i r e s

t h a t

t h e d e s i r e d

o u t p u t

v o l t a g e

r e f e r e n c e

m u s t

f i t i n t o

t h e

i n p u t v o l t a g e

e n v e l o p s

w h i c h

r e s u l t s

i n a

50

l i m i t a t i o n

o n

t h e maximum

v o l t a g e t r a n s f e r

r a t i o .

T h e

i n c l u s i o n o f

t h i r d

common

m o d e

h a r m o n i c s

V c m

A V

i n

b o t h

i n p u t

a n d

o u t p u t

v o l t a g e

w a v e f o r m s

h a s

s u c c e s s f u l l y

d e v e l o p e d

a s

s h o w n

i n t h e

f o l l o w i n g

e q u a t i o n

V c m A V 4 =

V m

-

+ c o s 3 w 0 t )

+

( 3 t ) ]

I [

±

+

f s i n ( c o t

± A K )

s i n ( 3 c t ) ]

f o r

K

=

A , B , C a n d j

=

a , b , c .

( 4 )

T h i s m e t h o d

i s k n o w n

a s o p t i m u m

A V ,

w h i c h

i n c r e a s e s

t h e

v o l t a g e

t r a n s f e r

r a t i o u p

t o

8 6 .

2 . 2

D i r e c t

SVM

m e t h o d

T h e r e

a r e

2 7

d i f f e r e n t

s w i t c h i n g


N o r m a l l y

t h e

SVM

m e t h o d

m a k e s u s e

o f

t h e

e i g h t e e n

f i x e d

d i r e c t i o n

a n d

t h r e e

z e r o c o n f i g u r a t i o n s

t o

a c h i e v e

t h e

d e s i r e d

o u t p u t

v o l t a g e

a n d i n p u t

c u r r e n t c o n t r o l .

T h e

o u t p u t

l i n e - l i n e

v o l t a g e s a n d

i n p u t c u r r e n t s

a r e d e t e r m i n e d

o n l y

b y a c t i v e c o n f i g u r a t i o n s .

T h e z e r o c o n f i g u r a t i o n s

a r e

i m p l e m e n t e d

t o c o m p l e t e

t h e

s w i t c h i n g

c y c l e .

D i r e c t

s p a c e

v e c t o r

m o d u l a t i o n

p r o v i d e s

a n i m m e d i a t e

m o d u l a t i o n p r o c e s s

w i t h o u t

t h e

n e e d

o f

a f i c t i t i o u s

DC

l i n k i n

I S V M .

F u l l c o n t r o l

o f t h e o u t p u t

v o l t a g e s a n d

t h e

i n p u t p o w e r

f a c t o r c a n

b e a c h i e v e d

a t

t h e s a m e t i m e

r e g a r d l e s s

o f

t h e

o u t p u t

p o w e r

f a c t o r .

F o r a n y

c o m b i n a t i o n

o f i n p u t / o u t p u t

s e c t o r s ,

f o u r

a c t i v e


l y i n g

a d j a c e n t

t o t h e

d e s i r e d v e c t o r s

c a n b e

i d e n t i f i e d .

F o u r s y m b o l s

( I ,

I I ,

I I I a n d I V )

a r e i n t r o d u c e d

t o

i d e n t i f y

t h e f o u r

a c t i v e s w i t c h i n g


0 i

i s t h e

a n g l e

o f

t h e r e f e r e n c e

i n p u t

v e c t o r

w i t h i n

i t s

s e c t o r .

I m p o s i n g

t h e

d i r e c t i o n

d e f i n e d

b y

0 i

o n t h e

t w o

a d j a c e n t

v e c t o r

d i r e c t i o n s ,

t h e

f o l l o w i n g

e q u a t i o n s

c a n b e

w r i t t e n :

( I , l < i

+

1 ' 3

) - . e j ( O '

- , 1 6 ) e j ( K , -

1 ) , / 3

=

o

( 5 )

( I 1 , 1 a m 1

+

I

5 v ) .

j e j ( O

7 - , r 6 ) e j ( K I

- 1 ) z / 3

=

0 .

( 6 )

0 0

i s

t h e

a n g l e

o f

t h e r e f e r e n c e

o u t p u t

p h a s e

v o l t a g e

v e c t o r

w i t h i n

t h e

r e f e r e n c e

l y i n g

s e c t o r .

W i t h

r e s p e c t

t o t h e

o u t p u t

v o l t a g e

s y n t h e s i s ,

t h e

r e f e r e n c e

i s r e s o l v e d

i n t o

t w o

c o m p o n e n t s

a l o n g

t h e

t w o

a d j a c e n t

v e c t o r d i r e c t i o n s .

Two

e q u a t i o n s

d e a l i n g

w i t h t h e s e t w o

c o m p o n e n t s

r e s p e c t i v e l y

a r e

d e r i v e d

a s f o l l o w

v O I d +

v 1 3 l 1 =

2

Vo

s i n ( 9

) e J ( K - 1 ) i r 1 3 + ; r / 3

( 7 )

V 1 1 1 3 ' 1 1

+

V : g = 5VI

-

j ( K i - ) g / 3 *

( 8 )

- - - -

s i n o (

O ) e ( K

~ F3

O3

2

s i n ( 6 j ) s i n ( 9 0 )

~ 3

C O S ( ( 7 i

)

c o s ( q i

s i n ( ' 7

)

s i n ( - 0 )

c o s ( i )

7 ' r

2

s i n ( - - S i ) n (

-

- 0 )

21

3

3

, [ 3 -

c o s ( P i )

( 9 )

2 . 3

I n d i r e c t SVM

m e t h o d

I n d i r e c t s p a c e

v e c t o r

m o d u l a t i o n

i s

a

m o d u l a t i o n

s t r a t e g y ,

w h i c h

d e c o u p l e s

t h e c o n t r o l

o f

i n p u t

c u r r e n t s

a n d o u t p u t

v o l t a g e s i n t o t w o s t e p s .

I t

r e q u i r e s

t w o t r a n s f e r

m a t r i x e s

t o

c o n t r o l t h e w h o l e

m a t r i x c o n v e r t e r

a n d t h e

w e l l - k n o w n

SVM

m e t h o d

i s a p p l i e d

t o

t h e r e c t i f y i n g

a n d

i n v e r t i n g

s t a g e


T h e r e f e r e n c e

i n p u t

c u r r e n t

s p a c e

v e c t o r i s

s y n t h e s i s e d

b y t h e

t w o

a d j a c e n t

s w i t c h i n g

v e c t o r s

I 1

a n d

I 6

w i t h

t h e i r

d u t y

c y c l e s

d y

a n d d a

d 6 - m 0 s i n ( 9 i )

( 1 0 )

d , 5

=

m c

s i n ( O , )

*

( I 1 1

w h e r e

m ,

i s

t h e

c u r r e n t

m o d u l a t i o n i n d e x


b y t h e

m a g n i t u d e

o f t h e i n p u t

c u r r e n t w i t h

r e s p e c t t o

t h e D C - c u r r e n t .

T h e c u r r e n t m o d u l a t i o n

i n d e x

i s

u s u a l l y

s e t

t o b e

u n i t y .

D u e

t o

t h e l a c k

o f

t h e

e n e r g y

s t o r a g e

e l e m e n t a c r o s s

t h e

i m a g i n a r y

DC

l i n k ,

t h e

i n p u t

p o w e r

e q u a l s t h e

DC l i n k

p o w e r .

V p n

= - V i m ,

c o s ( 9 i )

( 1 2 )

2

T h e

r e f e r e n c e

o u t p u t

v o l t a g e

s p a c e

v e c t o r

i s

s y n t h e s i s e d

b y

t w o

a d j a c e n t

s w i t c h i n g

v e c t o r s

V 0

a n d

V

w i t h

t h e

d u t y

c y c l e

d a a n d

d A

d f i = m 0 s i n ( 9 - 0 O )

( 1 3 )

d , 6 =

m , s i n ( f O )

*

( 1 4 )

w h e r e

m ,

i s t h e

v o l t a g e

m o d u l a t i o n

i n d e x .

T h e v o l t a g e

m o d u l a t i o n

i n d e x

m ,

d e f i n e s

t h e

d e s i r e d v o l t a g e

t r a n s f e r

r a t i o

u n d e r

l i n e a r

m o d u l a t i o n

c o n d i t i o n s .

T o g e t

t h e

e x a c t b a l a n c e

o f t h e

i n p u t c u r r e n t

a n d o u t p u t

v o l t a g e

i n

t h e

s a m e

s w i t c h i n g p e r i o d ,

t h e

m o d u l a t i o n

s c h e m e

i s

r e q u i r e d

t o

p r o d u c e

a l l


o f t h e

t w o

m o d u l a t i o n

s t a g e s b y p r o d u c t s

o f

t h e

c o r r e s p o n d i n g

d u t y

c y c l e s ,

i t

c a n

b e

f o u n d

a ' = d 6

8 = d , r

8 1 a

= d a 8

aW

d a

d y .

( 1 5 )

I t

m e a n s

t h e s e

t w o SVM s c h e m e s

a r e

e q u i v a l e n t

t o e a c h

o t h e r

a n d

c a n

b e

c o n s i d e r e d

a s

o n e

u n i f i e d

s p a c e

v e c t o r

m o d u l a t i o n

t e c h n i q u e .

S o l v i n g

( 5 - 8 ) ,

g i v e s

t h e

r e q u i r e d d u t y - c y c l e s

f o r t h e

f o u r

I n t h e f o l l o w i n g

p a r t , u n i t y i n p u t p o w e r f a c t o r

w i l l

b e

a c t i v e s w i t c h i n g c o n f i g u r a t i o n s

a s f o l l o w s

a s s u m e d .

2 6 7


3/5

3

Q u a n t i t i e s

i n t h e

Time Domain a n d

C o m p l e x

S p a c e

G i v i n g

a

s i n u s o i d a l

v o l t a g e

s e t

e x p r e s s e d

w i t h 0 ,

i f

s i n ( O i

+

- )

- V x

( t ) -

3

_ V ,

( t ) _

=

V , , s i n m

7

' 3

i f

t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n

t h e i n p u t v o l t a g e a n d

i n p u t

h e x a g o n

c a n b e

e s t a b l i s h e d

i n

T a b l e 1 .

- - s e c t o r

1 2 3

4

5

, I v o l t

VA VX Vy

-Vz

VX

-Vy

V z

VB -Vy

V z Vx

Vy

-Vz

VX

VC

V z

VX V y

V z

Vx

V y

T a b l e 1 :

I n p u t

p h a s e

v o l t a g e

a n d

i n p u t c u r r e n t h e x a g o n

A s s u m i n g

a

s i n u s o i d a l

v o l t a g e

s e t

e x p r e s s e d

w i t h

0 0

V t OS(oo) ( 1 7 )

i f

| V ,

( t )

3

i

°( 0

C S 3

-0 o

t h e

r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n

t h e o u t p u t

v o l t a g e r e f e r e n c e a n d t h e

o u t p u t v o l t a g e h e x a g o n c a n

b e e s t a b l i s h e d i n

T a b l e 2 .

- + s e c t o r

1 2 3 4 5

6

~ v o l t a g e

__

V a V u V v

-Vw

v u

V v V

Vw

V b

|

V V

V W V U

V V - V W -VU

v -vw

v u

v v

V W

V _

v v

T a b l e

2 :

O u t p u t

r e f e r e n c e

v o l t a g e

a n d o u t p u t h e x a g o n

4

S w i t c h i n g

P a t t e r n

i n

t h e T i m e

Domain a n d

C o m p l e x

S p a c e

D u r i n g

a s w i t c h i n g

c y c l e ,

a l l o c a t i o n s

o f a p p l i e d v e c t o r s a r e

n o t u n i q u e . D i f f e r e n t s w i t c h i n g

p a t t e r n s

h a v e d i f f e r e n t

i n f l u e n c e o n

t h e p e r f o r m a n c e o f t h e m a t r i x c o n v e r t e r .

D o u b l e

s i d e d

m o d u l a t i o n

i s a l w a y s

p r e f e r r e d d u e t o b e t t e r

i n p u t

a n d

o u t p u t r i p p l e s

a t t h e e x p e n s e

o f

o n l y

a

s l i g h t

i n c r e a s e

i n

t h e

n u m b e r o f

s w i t c h c o m m u n i c a t i o n s

a n d l o s s e s .

A

t y p i c a l

d o u b l e

s i d e d

s w i t c h i n g p a t t e r n

i s

g i v e n

a s f o l l o w .

N o t l o s i n g g e n e r a l i t y ,

a l l t h e

t h r e e

z e r o


a r e

d i s t r i b u t e d

t h r o u g h o u t

t h e s w i t c h i n g p e r i o d .

W i t h t h e

a s s u m p t i o n

o f z e r o

d u t y - c y c l e , a n y

o n e o r

t w o

o f z e r o


c a n

b e

e l i m i n a t e d . T h e s w i t c h i n g

s e q u e n c e i s

d e p e n d e n t

o n t h e

i n p u t

a n d

o u t p u t h e x a g o n .

T h e

s u m o f

t h e

i n p u t

a n d

o u t p u t

s e c t o r i n d i c a t e s

t w o

s w i t c h i n g

s c h e m e s

a s

s h o w n

i n

T a b l e

3 .

I n

e a c h

s c h e m e , o n l y

o n e

s w i t c h

c h a n g e s

s t a t e

a t a

c o m m u n i c a t i o n

t i m e .

c 5 1 ,

a 0 2

a n d

a 0 3

s t a n d f o r

d u t y -

c y c l e s

o f t h r e e

z e r o

c o n f i g u r a t i o n s r e s p e c t i v e l y .

( 1 6 )

T a b l e

3 : V e ct o r s e q u e n ce

o f

t h e

f i r s t

P h a s e

v o l t a g e s

u s e d

f o r


a r e

i l l u s t r a t e d

i n

T a b l e

4 .

T h e v a r i a t i o n o f z e r o

c o n f i g u r a t i o n s w i t h

d i f f e r e n t

i n p u t

c u r r e n t s e c t o r

c a n

b e

n o t i c e d .

- - z e r o o l

6 0 2

6 0 3

i s e c t o r

1 , 4 v c

V A

V B

2 , 5

V B

V C

VA

3

, 6

, VA

VB VC

T a b l e

4 : Z e r o c o n f i g u r a t i o n s i n

e a c h i n p u t

h e x a g o n

F r e e d o m l i e s o n

t h e

s e l e c t i o n

a n d

d i s t r i b u t i o n

o f

z e r o


T h e

d i s t r i b u t i o n

o f


c a n b e

e q u a l o r u n e q u a l l e a d i n g

t o d i f f e r e n t s w i t c h i n g p a t t e r n s .

Any

o n e

o r t w o o f

t h e t h r e e

z e r o c o n f i g u r a t i o n s c a n b e

d r o p p e d o f f

l e a d i n g t o t w o

z e r o o r o n e z e r o s w i t c h i n g p a t t e r n s . W i t h

o n e

z e r o

s w i t c h i n g p a t t e r n , e i g h t c o m m u n i c a t i o n s

o c c u r i n

e a c h

m o d u l a t i o n p e r i o d ,

t w o

z e r o

h a s

t e n c o m m u n i c a t i o n s a n d

t h r e e z e r o g e n e r a t e s t w e l v e c o m m u n i c a t i o n s .

T h e


s w i t c h i n g

s e q u e n c e

i n t h e t i m e d o m a i n

i s

s h o w n

i n

T a b l e 5 . I t

c a n

b e n o t e d

t h a t t h e s e q u e n c e v a r i e s

w i t h

t h e

i n p u t

c u r r e n t s e c t o r . C o n c i s e

s e l e c t i o n a n d p l a c e m e n t

o f

z e r o

v e c t o r s

i s

a d v a n t a g e o u s d o u b l i n g t h e i n p u t

d o m i n a n t

s w i t c h i n g f r e q u e n c y , w h i c h

c a n

g i v e

a c o m p a c t

i n p u t

f i l t e r .

I n p u t

s e x t a n t s e q u e n c e

1 , 4 C - A - B - B - A - C

2 , 5

|

B - C - A - A - C - B |

3 , 6

| A - B - C - C - B - A

l

T a b l e 5 : S w i t c h i n g

s e q u e n c e

i n t h e t i m e d o m a i n

T h e

p a r t i c u l a r

c a s e

w i t h b o t h

t h e

o u t p u t v o l t a g e a n d i n p u t

c u r r e n t

v e c t o r s l y i n g

i n

s e c t o r

1

i s s h o w n

i n

F i g u r e

1 .

F C a

1

c

p

wCe

S C b

i n

t h e st

D C b 1

S C C 0

a B

Z 0 0C c

M C J 2

i n

d m 2 :

I

* 0

0 y ' m ; i 0 ; ; M C C 2

tS,3g ~ ~ ' 0 o 2

ga1g 03

gI

golWa

2

2

22

2

F i g u r e

1 :

S w i t c h i n g

p a t t e r n w i t h

t h e

i n p u t / o u t p u t

r e f e r e n c e

l y i n g

i n

t h e s e c t o r

1 .

2 6 8


4/5

5 D u t y - c y c l e s

i n t h e T i m e

Domain

a n d

C o m p l e x S p a c e

T h e d u t y - c y c l e

o f

e a c h

s w i t c h i n t h e

t i m e

d o m a i n c a n b e

r e p r e s e n t e d b y

on e

or s e v e r a l space v e c t o r s . E i t h e r a c t i v e

or

zero


ca n b e

u s e d .

I n

t h e

case

s h o w n

i n

F i g u r e 1 ,

t h e

d u t y - c y c l e o f s w i t c h

S c a

( m c a )

ca n

b e e x p r e s s e d w i t h a 0 1 .

MAa

c o n s i s t s

o f

f i v e

v e c t o r s ,

a l l

t h e f o u r

a c t i v e

v e c t o r s

a '

t o

a Jv

a n d on e zero v e c t o r a 0 2 . m B a i S

i n d i c a t e d b y

0 3 .

T a b l e

6

i l l u s t r a t e s t h i s s p e c i f i c case. T h i s

r e l a t i o n s h i p c a n b e e x t e n d e d

t o

o t h e r i n p u t / o u t p u t s e c t o r c o m b i n a t i o n s .

m A a

m B a I m C a I

m A b

I

m B b MCb

{ m A c I

m B c

m c C

3 0 2 + 1 + 1 + 1 1 1 + l V 3 0 3 3 0 1 3 0 2 + 1 + 1 1

g 0 3 + 1 V

j01+111

3 0 2 3 0 3 + 1 l + I V 3 0 1 + 1 + 1 1 1

T a b l e

6 : R e p r e s e n t a t i o n

o f d u t y - c y c l e s i n t i m e d o m a i n w i t h

s p a c e v e c t o r s

T h e

t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n

d u t y - c y c l e s i n

t h e t i m e

d o m a i n

a n d t h e

c o m p l e x

s p a c e i s b i d i r e c t i o n a l . T h e

r e v e r s e

t r a n s f o r m a t i o n w i t h b o t h r e f e r e n c e

v e c t o r s l y i n g i n t h e

s e c t o r

1

i s

s h o w n

i n

T a b l e

7 .

1 0 1

10 2 103

' I

I

a '

IV

mC mA c

m B a

mCcJnCb

M B c - M B b

mCbMCa m B b J B a

T a b l e

7 :

R e p r e s e n t a t i o n

o f i n p u t / o u t p u t r e f e r e n c e v e c t o r s i n

t h e s e c t o r

1

w i t h

d u t y - c y c l e s

i n

t i m e d o m a i n

T i l l

n o w , t h e b i d i r e c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n

i s d e r i v e d . T h i s

m u t u a l r e l a t i o n s h i p

p r o v i d e s

a

b r i d g e b e t w e e n

t h e

m o d u l a t i o n

b a s e d o n t i m e v a r i a b l e s s u c h

a s


AV a n d SVM.

6

E q u i v a l e n c e

i n

M o d u l a t i o n

o f

A ct i v e V e ct o r s

A s

i s

w e l l - k n o w n ,

t h e

m o d u l a t i o n o f

a

t h r e e - p h a s e m a t r i x

c o n v e r t e r c a n h a v e

i n p u t

a n d

o u t p u t

t r i p l e

h a r m o n i c s

i n t h e

o u t p u t

l i n e - n e u t r a l

v o l t a g e s

s i n c e

t h e y

c a n c e l o u t

i n t h e l i n e -

l i n e

v o l t a g e s .

T h u s ,

a

z e r o - s e q u e n c e

w a v e f o r m d o e s

n o t

p r o d u c e

o u t p u t

d i s t o r t i o n s .

I t

c a n

b e i n d i c a t e d t h a t

t h e

o u t p u t

l i n e - l i n e v o l t a g e s

a r e

d e t e r m i n e d

b y

t h e

a c t i v e

c o n f i g u r a t i o n s ,

n o t

z e r o


A l s o

f o r t h e

i n p u t

c u r r e n t

c o n t r o l ,

t h e

s a m e

p r i n c i p l e a p p l i e s .

A c t i v e


d e l i v e r t h e

o u t p u t

c u r r e n t i n t o

t h e

i n p u t

s i d e

w h i l e

z e r o


f r e e

w h e e l

o u t p u t

c u r r e n t s

w i t h i n t h e m a t r i x

c o n v e r t e r .

R e g a r d i n g

t o


o f

a c t i v e

c o n f i g u r a t i o n s ,

i t c a n b e

v a l i d a t e d

t h a t

SVM

a n d


A V h a v e t h e same

e x p r e s s i o n s .

A

p a r t i c u l a r

c a s e

w i l l

b e c o n s i d e r e d

f i r s t w i t h t h e

i n p u t

a n d

o u t p u t

r e f e r e n c e s

b o t h

l y i n g

i n

t h e

s e c t o r

1 . T h e a c t i v e

c o n f i g u r a t i o n

a '

c o r r e s p o n d s

t o

m C m J n c b .

E v e n

b a s i c

AV a n d

o p t i m u m

AV h a v e

d i f f e r e n t

d u t y - c y c l e e x p r e s s i o n s ,

t h e same

m C M J n C b

c a n

b e d e r i v e d

a s f o l l o w

m c b

=

2

v

V b )

(

1 8 )

R e p l a c i n g i n p u t / o u t p u t v o l t a g e

w i t h

t h e i r

c o u n t e r p a r t

i n

t h e

c o m p l e x

s p a c e ,

t h e

f o l l o w i n g e q u a t i o n

c a n b e d e r i v e d

m

-

m c b - =

2

q

s i n ( t ) s i n ( 6 O J )

( 1 9 )

S o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s t e n a b l e

31

=

M C C

M C b -

( 2 0 )

T h e

c o n s i s t e n c y

o f

e q u a t i o n

( 2 0 ) c a n

b e

e x t e n d e d t o

o t h e r

c o n d i t i o n s . T h e a c t i v e c o n f i g u r a t i o n s

w h i c h c o n t r i b u t e

e f f e c t i v e

m o d u l a t i o n p r o ce du r e s h o w t h a t

SVM

a n d


A V

a r e e q u i v a l e n t .

7 SVM T e c h n i q u e E q u i v a l e n t t o

AV

F o r t h e

SVM m e t h o d ,

d u e

t o

t h r e e

z e r o c o n f i g u r a t i o n s a r e

u s e d t o

c o m p l e t e t h e s w i t c h i n g

c y c l e , d i f f e r e n t w a y s

e x i s t

t o

p l a c e

a n d d i s t r i b u t e z e r o

v e c t o r s .

D i f f e r e n t

d i s t r i b u t i o n s

y i e l d

d i f f e r e n t

SVM

m e t h o d . N o r ma l l y , i d e n t i c a l d u t y - c y c l e s a r e

s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d

i n

e a c h

s w i t c h i n g p e r i o d .

I n

t h i s p a p e r , t h e a s y m m e t r i c a l d i s t r i b u t i o n

w i l l b e


a n d d u t y - c y c l e s o f

t h e

t h r e e z e r o c o n f i g u r a t i o n s

w i l l

b e

c a l c u l a t e d t o

e s t a b l i s h

t h e

e q u i v a l e n t

SVM m e t h o d t o

t h e b a s i c / o p t i m u m A V

m e t h o d s .

Two d i f f e r e n t

A V

m e t h o d s

a r e

w e l l - e s t a b l i s h e d , t h e

m e t h o d w i t h o u t

t h e

common

m o d e

i n j e c t i o n a n d

t h e m e t h o d w i t h t h e i n j e c t i o n . T h e

i n p u t

a n d

o u t p u t

t r i p l e h a r m o n i c s a r e i n s e r t e d t o

e x p e n d

t h e

l i n e a r

m o d u l a t i o n r a n g e

f r o m 5 0 t o 8 6 .

C o r r e s p o n d i n g t o e a c h

m e t h o d , t w o d i f f e r e n t SVM

m e t h o d s

a r e d e r i v e d .

7 . 1 B a s i c

AV

SVM

F i r s t l y , b o t h

i n p u t / o u t p u t r e f e r e n c e v e c t o r s

a r e a s s u m e d

l y i n g

i n

s e c t o r

1 .

W i t h t h e

h e l p o f

t h e r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t h e t i m e

d o m a i n

a n d t h e

c o m p l e x

s p a c e , ° 0 1 ,

a 0 2

a n d

a 0 3

c a n b e d e r i v e d

b y t r a n s f o r m i n g


M C a

M A c

a n d

M B a


A p p l y i n g

t h e

s a m e

p r i n c i p l e ,

i t

i s

p o s s i b l e

t o

d e t e r m i n e

d u t y -

c y c l e e x p r e s s i o n s

o f

o t h e r


v e c t o r c o m b i n a t i o n .

T h e

u n i f i e d e x p r e s s i o n s

a r e

s u m m a r i s e d

a s f o l l o w .

F o r

e v e n i n p u t / o u t p u t

v e c t o r

s u m s ,

3 0 1

=

l [ 1

-

2 q

s i n 9 i )

c o s ( 0 O ) ]

3 1

f i

3 0 2

=

- [ 1

-

2 q

s i n ( 0 i

+

)

c o s ( -

0 0 ) ]

3 3

3

g 3 1

i f

0 3

= - [ 1

-

2 q s i n (

-

0 , ) c o s ( 0 ) ] '

3 3

)

a n d

f o r o d d


v e c t o r

s u m s ,

3 0 1

=

-

[ 1

-

2 q

s i n ( 0 )

c o s (

1

-

0 0 ) ]

3

3

3 0 2

=

[ 1

-

2 q

s i n 0 i

+

1 7 )

c o s ( 0 ) ]

3

3

0

[ 1 - 2 s i n (

i f

c s

3

3 3

)

( 2 1 )

( 2 2 )

T h i s

m e t h o d

w i l l

b e

r e f e r r e d a s b a s i c

AV SVM

w h i c h

i s

t h e


m o d u l a t i o n

m e t h o d

o f

t h e

b a s i c

AV

m e t h o d

i n

t h e


B a s i c

AV

i s

t h e

r e p r e s e n t a t i o n

o f

b a s i c

AV SVM

i n

t h e

t i m e d o m a i n .

I n

o t h e r

w o r d s ,

b a s i c

AV c a n

b e

v i e w e d

a s a

p a r t i c u l a r

c a s e

( b a s i c

AV

S V M )

o f t h e

SVM

a l g o r i t h m

i n t h e t i m e d o m a i n .

2 6 9


5/5

7 . 2

Optimum

A V

SVM

D u e t o t h e c o m p l i c a t i o n

o f

e x p r e s s i o n ( 4 ) ,

t h e

SVM m e t h o d


t o

t h e

o p t i m u m

AV m e t h o d i s

a

l i t t l e

h a r d t o

g e t c o m p a r e d

w i t h t h e b a s i c AV m e t h o d .

T h e t h i r d

common

m o d e

v o l t a g e s

a r e


t o

i n c r e a s e

t h e l i n e a r

m o d u l a t i o n

r a n g e .

T o

g e t

t h e


o f

o p t i m u m

AV

i n

t h e

c o m p l e x

s p a c e ,

q u a n t i t i e s

i n

t h e

( 4 )

a r e

t r a n s f o r m e d

i n t o

q u a n t i t i e s

i n

t h e

c o m p l e x

s p a c e .

U s i n g

t h e

m u t u a l

t r a n s f o r m a t i o n i l l u s t r a t e d

a b o v e ,

t h e

o p t i m u m

A V m e t h o d c a n

b e


b y

SVM. T h i s

new SVM m e t h o d w i l l b e

r e f e r r e d

a s

O p t i m u m A V

SVM.

D u t y - c y c l e s

o f a c t i v e c o n f i g u r a t i o n s

s t a y

t h e s a m e a s

c o n v e n t i o n a l

SVM,

w h i l e


o f

z e r o


a r e a s y m m e t r i c a l l y

d i s t r i b u t e d a n d t w o

e x p r e s s i o n

s e t s

w h i c h

a r e

d e p e n d a n t

o n

t h e

p a r i t y

o f


s e c t o r s u m s c a n b e

d e r i v e d .

F o r

e v e n

s e c t o r s u m s , d u t y - c y c l e s

o f

z e r o

c o n f i g u r a t i o n s a r e

d e r i v e d a s :

=

= - 2 q s i n ( 6 j ) [ c o s ( 6 , ) -

c o s ( 3 0 , )

+

j T s i n ( 3 0 , ) ]

3

3

4

+ c

q c o s ( ) c o s ( 3 0 9 ) }

V

i ~ ~ ~ ~ ~ 1

30 f l {

-

2 q s i n ( O ,

+

j i ) [ c o s ( j

- 9 ,

cs3,

s i n ( 6 )

3 0 3

3

3 - 2 q s i n (

9

) [ c o s 9

-6

o s ( 3 0

+

s i n ( 3 0 ) ]

+

±

q

c o s ( ±

+

- ) c o S ( 3 0

) }

( 2 3 )

F o r

o d d

s e c t o r

s u m s ,

t h e d u t y - c y c l e s

a r e

o b t a i n e d :

= 0 1

=

1

2 q s i n 6 t -

[ c o s (

- , )

+

6 c o s 3 6 , )

+

s i n 3 0 9 ) ]

3

3 6 3

_

= q

c o s ( 6

D

) c o s ( 3

3 0

}

3

3

6

0

0 2 l

fl

{

-

2 q s i n S i

3 ) [ c o s ( S O

-

6

1 o ( 0 ) - 3 s ( S )

+

r

q c o s ( o ,

+ ± 3

) c o s ( 3 o s ) }

3 0 3

{ 1

2 q

s i n E 3

-

S ) [ O (

-

0 ,

)

+

6 c o s ( 3 9 ,

)

+

1

s i n ( 3 6 9 ]

3

3

6

3 2 J 0 , )

q c o s (

- ) c o s ( 3 0 , ) }

3 V 3

2~~~~~~~~~~~~~ 4

T h e o p t i m u m A V SVM

m e t h o d

i s

t h e e q u i v a l e n t


o f

o p t i m u m

AV

i n

t h e

c o m p l e x

s p a c e .

I t

s h o w s

t h a t

t h e

m o d u l a t i o n b a s e d o n t h e

t i m e

d o m a i n

d e s c r i p t i o n

c a n b e

t r a n s f o r m e d t o

SVM i n

t h e


W i t h t w o

d e g r e e s

o f f r e e d o m

p r o v i d e d

b y

z e r o

c o n f i g u r a t i o n

s e l e c t i o n ,

SVM

r e p r e s e n t s

a

u n i v e r s a l

s o l u t i o n o f

t h e

m o d u l a t i o n

p r o b l e m .

8 C o n c l u s i o n

T h i s

p a p e r r e v i e w s

s o m e

w e l l k n o w n

m o d u l a t i o n

t e c h n o l o g i e s :


A V

m e t h o d a n d

s p a c e

v e c t o r

m e t h o d . Two SVM

a p p r o a c h e s

a r e

d e v e l o p e d i n

l i t e r a t u r e ,

i n d i r e c t a n d

d i r e c t SVM. I t

i s

s h o w n t h a t b o t h

m e t h o d s

a r e

e q u i v a l e n t

t o

e a c h o t h e r .

E v e n

s e e m i n g a p p a r e n t l y d i f f e r e n t ,

d i r e c t a n d i n d i r e c t

s p a c e

v e c t o r s c h e m e s

c a n b e v i e w e d a s

o n e

u n i f i e d

SVM m e t h o d .

T h e

g e n e r a t i o n

o f

t h e s e

t w o

a p p r o a c h e s

h a s

m o r e

h i s t o r i c a l

m e a n i n g

t h a n

p r a c t i c a l .

T h i s

p a p e r a l s o i n v e s t i g a t e s t h e

i n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p b e t w e e n

t h e

u n i f i e d SVM m e t h o d

a n d

t h e A V m e t h o d s .

U n i t y i n p u t

p o w e r

f a c t o r

i s

a s s u m e d

i n

t h i s

i n v e s t i g a t i o n .

T h e A V m e t h o d i s


i n

t h e t i m e

d o m a i n ,

a n d

t h e

SVM

i s r e p r e s e n t e d

b y

s p a c e

v e c t o r s i n t h e

c o m p l e x

s p a c e .

T h e r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t h e i n p u t / o u t p u t

v o l t a g e i n

t h e

t i m e

d o m a i n

a n d

t h e


r e f e r e n c e

v e c t o r

i n

t h e c o m p l e x

s p a c e

i s

s y s t e m a t i c a l l y a n a l y s e d .

T h e d u t y - c y c l e o f e a c h

s w i t c h i n t h e

t i m e

d o m a i n c a n

b e r e p r e s e n t e d

b y c o m b i n a t i o n

o f

s p a c e

v e c t o r s .

And

t h e r e v e r s e

t r a n s f o r m a t i o n

i s

a l s o

e s t a b l i s h e d .

T h e

e q u i v a l e n t SVM m e t h o d s

c o r r e s p o n d i n g t o t h e

t w o A V

a l g o r i t h m s

a r e

p r o p o s e d . U n l i k e t h e

c o n v e n t i o n a l SVM,

w h i c h

d i s t r i b u t e s z e r o v e c t o r

i d e n t i c a l l y , t h r e e z e r o


a r e u t i l i s e d w i t h

u n e q u a l

i n t e r v a l s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ]

A .

A l e s i n a a n d

M .

V e n t u r i n i ,

S o l i d - s t a t e p o w e r

c o n v e r s i o n :

A

F o u r i e r a n a l y s i s

a p p r o a c h t o g e n e r a l i z e d

t r a n s f o r m e r

s y n t h e s i s , I E E E

T r a n s a c t i o n s o n C i r c u i t s

S y s t e m s ,

v o l .

C A S - 2 8 ,

p p .

3 1 9 - 3 3 0 ,

A p r . 1 9 8 1 .

[ 2 ]

A . A l e s i n a

a n d M . V e n t u r i n i ,

A n a l y s i s a n d d e s i g n o f

o p t i m u m a m p l i t u d e

n i n e - s w i t c h

d i r e c t AC-AC

c o n v e r t e r s ,

IEEE

T r a n s a c t i o n s o n P o w e r

E l e c t r o n i c ,

v o l .

4 , p p .

1 0 1 - 1 1 2 ,

J a n . 1 9 8 9 .

[ 3 ]

D . C a s a d e i , G .

S e r r a ,

A .

T a n i ,

a n d

L . Z a r r i , S p a c e

v e c t o r

c o n t r o l o f

m a t r i x c o n v e r t e r s w i t h

u n i t y

i n p u t

p o w e r

f a c t o r a n d

s i n u s o i d a l i n p u t / o u t p u t w a v e f o r m s ,

I E E

P r o c e e d i n g s

o f F i f t h E u r o p e a n

C o n f e r e n c e

o n

P o w e r

E l e c t r o n i c s a n d A p p l i c a t i o n s , v o l .

7 ,

p p . 1 3 - 1 6 ,

S e p t .

1 9 9 3 .

[ 4 ] D .

C a s a d e i , G . S e r r a , A . T a n i , a n d L . Z a r r i ,

M a t r i x

c o n v e r t e r m o d u l a t i o n

s t r a t e g i e s :

a

new

g e n e r a l

a p p r o a c h

b a s e d

o n

s p a c e - v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n

o f

t h e

s w i t c h

s t a t e ,

IEEE

T r a n s a c t i o n s o n

I n d u s t r i a l

E l e c t r o n i c ,

v o l .

4 9 ,

n o .

2 , p .

- 3 8 1 , A p r . 2 0 0 2 .

[ 5 ]

L . H u b e r a n d D .

B o r o j e v i c , S p a c e

v e c t o r

m o d u l a t e d

t h r e e p h a s e

t o

t h r e e

p h a s e

m a t r i x

c o n v e r t e r w i t h

i n p u t

p o w e r

f a c t o r

c o r r e c t i o n ,

IEEE

T r a n s a c t i o n s o n

I n d u s t r y

A p p l i c a t i o n s ,

v o l .

3 1 ,

n o .

6 , p p . 1 2 3 4 - 1 2 4 6 ,

1 9 9 5 .

2 7 0

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