KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVENFACULTEIT TOEGEPASTE WETENSCHAPPENDEPARTEMENT BURGERLIJKE BOUWKUNDELABORATORIUM REYNTJENSKasteelpark Arenberg 40, B - 3001 Heverlee (Belgium)

Probabilistic evaluation of structuralunreinforced masonry

Promotor: Proefschrift voorgedragen totprof. dr. ir. D. Van Gemert het behalen van het doctoraat

in de toegepaste wetenschappen

door

ir. Luc Schueremans

December 2001

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVENFACULTEIT TOEGEPASTE WETENSCHAPPENDEPARTEMENT BURGERLIJKE BOUWKUNDELABORATORIUM REYNTJENSKasteelpark Arenberg 40, B - 3001 Heverlee (Belgium)

Probabilistic evaluation of structuralunreinforced masonry

Jury Members:

prof. dr. ir. E. Aernoudt, Chairman Dissertation submitted to theprof. dr. ir. D. Van Gemert, Promotor Faculty of Applied Scienceprof. dr. ir. G. De Roeck, Assessor for the Degree of Doctor in prof. dr. ir. J. Van Dyck, Assessor Civil Engineeringprof. dr. ir.-arch. K. Van Balen prof. dr. ir. M. Maes, University of Calgary, Canadaprof. dr. ir. L. Taerwe, R.U.Gent by

ir. Luc Schueremans

U.D.C. 624.012

December 2001

OnderzoeksinstellingKatholieke Universiteit LeuvenDepartement Burgerlijke BouwkundeAfdeling Bouwmaterialen en BouwtechniekenLaboratorium ReyntjensKasteelpark Arenberg 40B - 3001 Heverlee - Belgi

Research InstituteKatholieke Universiteit LeuvenDepartment of Civil EngineeringDivision of Building Materials and Building TechnologyReyntjens LaboratoryKasteelpark Arenberg 40B - 3001 Heverlee - Belgium

Beursverlenende instantieInstituut voor de aanmoediging van Innovatie door Wetenschap en Technologie in Vlaanderen (IWT-Vlaanderen)Bischoffsheimlaan 25B - 1000 Brussel - Belgi

Research grant offered byInstitute for the encouragement of Innovation by Scienceand Technology in Vlaanderen (IWT-Vlaanderen)Bischoffsheimlaan 25B - 1000 Brussels - Belgium

2001 Faculteit Toegepaste Wetenschappen, Katholieke Universiteit Leuven

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden vermenigvuldigd en/of openbaargemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of op welke anderewijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever, DepartementBurgerlijke Bouwkunde, Katholieke Universiteit Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, 3001Heverlee, Belgi.

All rights reserved. No part of this book may be reproduced, stored in a database or retrievalsystem or published in any form or in any way - electronically, mechanically, by print,photoprint, microfilm or by any others means - without the prior written permission of thepublisher, Department of Civil Engineering, Katholieke Universiteit Leuven, KasteelparkArenberg 40, 3001 Heverlee, Belgium.

D/2001/7515/35ISBN 90-5682-327-2

iVoorwoord

Met dit doctoraat sluit ik een periode van 6 jaar onderzoek aan het Departement Bouwkunde af.Een gelegenheid om de vele mensen te bedanken voor hun ondersteuning in de totstandkomingvan dit werk.

Dionys Van Gemert heeft me de ruimte gelaten mijn eigen weg te zoeken in ditonderzoeksdomein, zonder evenwel het doel uit het oog te verliezen. Ook naast hetpromotorschap wil ik mijn waardering uitdrukken. De veelzijdige onderzoeksprojecten enoranje mapjes hebben gezorgd voor een boeiende verrijking als ingenieur, door de begeleidingvan projectonderwijs en oefenzittingen heb ik een band met het onderwijs kunnen behouden.

De assessoren Guido De Roeck en Jozef Van Dyck wil ik bedanken voor hun grondige lectuuralsook feedback bij voorliggende tekst. Hun kritische noten hebben mij verplicht het conceptvanuit meerdere invalshoeken te herdenken.

Bijzondere dank gaat ook uit naar Marc Maes. Mijn verblijf aan de University of Calgary,Canada, in 1998 heeft het onderzoek een belangrijke duw in de rug gegeven. Daarnaast heb ikmet volle teugen kunnen genieten van het prachtige land en zijn aangename inwoners.

Ook Paul Waarts en Ton Vrouwenvelder wil ik danken voor de mogelijkheid deeltijds onderzoekte verrichten aan TNO, Nederland. Het doctoraatswerk van Paul Waarts en de discussies overhet onderzoeksdomein vormden een springplank voor het eigen onderzoek.

Ik wil ook graag de leden van de jury bedanken: Koen Van Balen, Luc Taerwe en Marc Maes.Afgelopen 6 jaar heb ik de gelegenheid gehad om met hen meermaals van gedachten te wisselen,nieuwe ideen op te doen en met steeds meer motivatie door te werken. Ik ben vereerd dat zijin mijn jury zetelen. Ik dank ook Etienne Aernoudt voor het waarnemen van de voorzittertaak.

De collegas van de afdeling bouwmaterialen en bouwtechnologie en de mensen van hettechnisch personeel draag ik een warm hart toe. Aan de vele leuke momenten op het werk en deaangename samenwerking behoud ik mooie herinneringen. Zij hebben elk op hun manier eenwezenlijke bijdrage geleverd.

Tot slot wil ik een woord van dank richten tot vrienden en familieleden. Hoewel ze nietrechtstreeks bij dit werk betrokken waren, zijn ze van onschatbare waarde voor mij.

Ouders en schoonouders vernoem ik in n adem. Hun steun, enthousiasme en bezorgdheidlijken wel onuitputtelijk.

Een bijzondere plaats behoud ik voor Pascale en onze twee kleine spruiten, Judith en Bas. Zijzijn mijn zekerheden in dit onzekere bestaan.

Luc Schueremans, December 2001

ii

-iii-

Nederlandstalige Abstract

Het doel van dit onderzoek is tweeledig. Enerzijds wordt een algemene methodologie opgesteldom objectieve veiligheidswaarden te berekenen voor bestaande structuren, anderzijds spitst hetonderzoek zich toe op ongewapende historische metselwerkstructuren.

Vooreerst worden mogelijke doelwaarden voor de veiligheid of betrouwbaarheid aangereikt. Omhet huidige veiligheidsniveau te berekenen, wordt een niveau III methode of probabilistischemethode vooropgesteld. Na een overzicht van de bestaande betrouwbaarheidstechnieken, komenrecent ontwikkelde technieken aan bod.

Het onderzoek beoogt de berekening van de veiligheid van gehele systemen. De kans dat degrenstoestandsfuncties van het systeem worden overschreden, wordt berekend. In eenvoudigegevallen zal deze grenstoestand in een analytische vorm beschikbaar zijn, in andere niet. In datlaatste geval zal een numerieke techniek, bijvoorbeeld een niet-lineaire eindige elementenberekening, vereist zijn. Deze berekeningen kunnen veel tijd vergen en daarom is het nuttig omover een techniek te beschikken die het aantal oproepen naar deze grenstoestandsfunctiesminimaliseert. De grenstoestanden voor metselwerk worden gebundeld en aangepast waar nodigom gehanteerd te worden in een probabilistische procedure.

De recent ontwikkelde betrouwbaarheidstechnieken hebben tot doel een systeembetrouwbaarheidte berekenen, met een minimum aantal expliciete oproepen naar de grenstoestandsfunctie. Zijbestaan veelal uit een combinatie van de traditionele methodes, aangevuld met het gebruik vaneen aanpasbaar responsoppervlak. Deze methodes worden verder uitgewerkt en verbeterd.

In de niveau III methode kunnen alle probleemvariabelen gedefinieerd worden alstoevalsvariabelen om de aanwezige onzekerheid in rekening te brengen. Het betreft:- de belastingen (krachten en verplaatsingen zoals zettingen),- de geometrie (dwarsdoorsnede, excentriciteiten),- de materiaaleigenschappen zoals sterkte- en stijfheidseigenschappen.

De materiaaleigenschappen komen uitgebreid aan bod in het experimenteel luik. Dewaarschijnlijkheidsverdelingen van de belangrijkste materiaaleigenschappen worden opgesteld.Niet enkel metselwerk in druk, maar ook het gedrag in trek, dwarskracht en multi-axialespanningstoestand komen aan bod. Voor deze laatste wordt gebruik gemaakt van een triaxiaalceldie speciaal voor het onderzoek van heterogene materialen werd aangeschaft.

De techniek wordt toegepast op verscheidene voorbeelden, waaronder de veiligheid vanmeerschalig metselwerk, een excentrisch belaste kolom, bogen en afschuifwanden. Hiermeekomen zowel analytische als numerieke problemen aan bod. Met de veiligheid vanafschuifwanden wordt een link gelegd naar meer hedendaags metselwerk.

-iv-

-v-

English Abstract

The scope of this thesis is twofold. On the one hand, a general methodology is looked for toobtain objective safety values for existing structures, on the other hand, the methodology focuseson unreinforced historical masonry structures.

Possible target values for the failure probability or reliability index are given. To calculate thepresent safety level, a level III method or probabilistic method is proposed. Traditional reliabilitymethods are reviewed and recent developments are treated.

The safety value, failure probability or reliability index of a whole system or structure or astructural element is aimed at. Calculating the failure probability means calculating theprobability that a limit state function is exceeded. In some cases the limit state function is knownanalytically, in other cases each limit state function evaluation will require a (non-linear) finiteelement calculation. The latter may require a substantial amount of calculation time. Therefor,a methodology that minimizes the number of direct limit state function evaluations is veryfruitful. The limit state functions for masonry and calculation models are retrieved and rephrasedfor assessment purposes where necessary.

Recently developed reliability methods aim at calculating a system reliability index, minimizingthe number of direct limit state function evaluations. This can be achieved by combiningtraditional reliability methods with an adaptive response surface. The new methodology isfurther developed and improved.

In case of a level III method, all variables are treated as random variables, accounting for thepresent uncertainties. These include:- loads (forces and displacements such as settlements),- geometrical properties (cross-sections, eccentricities)- material properties (strength and stiffness properties).

The material properties that govern the masonry material behavior are dealt with in theexperimental part. The probability distribution function of the main material properties aregathered. Not only masonry in compression is treated, but also masonry in tension regime, shearand multi-axial stress state. For the latter, a triaxial cell testing device was acquired capable ofhandling low strength heterogeneous materials.

The technique is illustrated on several examples: safety of three-leaf masonry, eccentricallyloaded masonry column, arches and shear walls. These cover analytical as well as numericalproblems. With the safety of shear walls, a link to more contemporary masonry is made.

-vi-

-vii-

Table of ContentsVoorwoord - Foreword i

Nederlandstalige abstract - Dutch abstract iii

English abstract v

Table of contents vii

List of notations and abbreviations xiii

Nederlandstalige samenvatting - Dutch Summary xxi1. Inleiding xxi2. Betrouwbaarheidsmethodes - literatuuroverzicht xxiii

2.1. Algemeen betrouwbaarheidsprobleem, technieken en vereiste xxiiinauwkeurigheid

2.2. Analytische en numerieke integratie xxiv2.3. Monte Carlo xxiv2.4. Directional Integration en Directional Sampling xxv2.5. Eerste orde en tweede orde betrouwbaarheidsmethodes xxv

3. Betrouwbaarheidsmethodes die gebruik maken van een aanpasbaar xxvresponsoppervlak3.1. DARS xxvi3.2. Monte Carlo en FORM met een aanpasbaar responsoppervlak (ARS) xxvii3.3. Vergelijking met niveau I methodes xxix

4. Rekenmodellen voor metselwerk xxix5. Experimenteel onderzoek xxxi

5.1. Componenten baksteen en mortel xxxii5.2. Composiet metselwerk xxxiii5.3. Metselwerk in druk - stochastische uitbreiding xxxvi5.4. Homogenisering - stochastische uitbreiding xxxvii5.5. Metselwerk in afschuiving xxxviii5.6. Metselwerk in trek xxxix5.7. Metselwerk in een multi-axiale spanningstoestand xl

6. Toepassingen xlii6.1. Consolidatie van meerschalig metselwerk xlii6.2. Een kolom belast op een excentrisch aangrijpende drukkracht xliv6.3. Metselwerk bogen xlv6.4. Metselwerk afschuifwanden xlvii

7. Besluiten en verder onderzoek l7.1. Besluiten l7.2. Verder onderzoek l

8. Appendix A li9. Appendix B lii

1. Introduction 1

-viii-

1.1. General framework 11.1.1. The need for assessment 11.1.2. The objectives of a reliability assessment 21.1.3. The assessment framework 31.1.4. Different levels to assess a structures safety 31.1.5. Target safety for existing (historical) buildings 5

1.1.5.1. Target failure probabilities 61.1.5.2. Target reliability index 8

1.2. Building Materials and Building Technology Division 91.3. Scope of this thesis 101.4. Outline of this thesis 11

2. Reliability analysis - literature review 132.1. Introduction 132.2. Formulation of the generalized reliability problem 132.3. Required accuracy 162.4. Overview of standard reliability methods 172.5. Analytical and numerical integration 202.6. (Importance Sampling) Monte Carlo 22

2.6.1. Crude Monte Carlo 222.6.2. Importance Sampling Monte Carlo 23

2.7. Directional integration and Directional (Importance Sampling) 272.7.1. Directional Integration 272.7.2. Directional Sampling 282.7.3. Importance Sampling 29

2.8. First order and second order reliability methods 312.8.1. FOSM - First Order Second Moment method 312.8.2. FORM - First Order Reliability Method 372.8.3. SORM - Second Order Reliability Method 382.8.4. System analysis (SA) 41

2.9. Conclusions 44

3. Reliability analysis using an adaptive response surface 473.1. Introduction 473.2. Implicit limit states - Response surface methodology 47

3.2.1. Selection of random variables 483.2.2. Response Surface - functional form 503.2.3. Design of Experiments 513.2.4. Validation of the Response Surface 523.2.5. Design updating 53

3.3. DARS - Directional Adaptive Response Surface Sampling 543.3.1. DARS - Governing relations 553.3.2. DARS - Validation 593.3.3. DARS - Remarks 613.3.4. DARS (add=var) 62

3.4. MC or FORM and an Adaptive Response Surface (ARS) 663.4.1. Monte Carlo and an Adaptive Response Surface (MCARS) 66

-ix-

3.4.2. FORM and an Adaptive Response Surface (FORMARS) 723.5. Comparison with level I methods 733.6. Conclusions 74

4. Structural modeling of masonry 774.1. Introduction 774.2. Masonry subjected to a vertical loading 78

4.2.1. Analytical models 794.2.2. Vertical loading - Design model according to EC6 84

4.3. Masonry arches 854.3.1. Thrust lines 854.3.2. Arching - Design model according to EC6 87

4.4. Lateral loading (wind) and shear walls 884.4.1. Unreinforced walls subjected to lateral loads - design model according

to EC6 894.4.2. Unreinforced masonry shear walls - design model according to EC6 91

4.5. Finite element modeling of masonry 924.5.1. Macro-model - anisotropic continuum modeling 934.5.2. Masonry in compression 954.5.3. Masonry in tension 964.5.4. Masonry in shear 97

4.6. Material properties 974.7. Conclusions 98

5. Experimental research 995.1. Introduction 995.2. Components - brick and mortar 103

5.2.1. Bricks 1035.2.2. Cores 50mm with a height of 44 mm 1045.2.3. Couplets with a height of 120 mm 1075.2.4. Prisms sawn from bricks with a height of 160 mm 1095.2.5. Discussion of results - compressive strength fc 1095.2.6. Mortar 112

5.3. The composite masonry - masonry in compression 1145.3.1. Small masonry pillars 1145.3.2. Masonry cores 1165.3.3. Masonry Wallets 1175.3.4. Influence of test bank and measurement setup 1195.3.5. Effect of sample size and boundary conditions on the compressive

strength fc 1205.4. Compressive strength of masonry - stochastic extension 1235.5. Homogenization - stochastic extension 126

5.5.1. Homogenization - State of the art 1265.5.2. Governing relations - 2D elastic formulation 1275.5.3. 2D - Stochastic extension 131

5.6. Masonry in shear regime 1335.6.1. Masonry cores 135

-x-

5.6.2. Wallets 1375.7. Masonry in tension 1395.8. Masonry in a multi-axial stress state 142

5.8.1. Introduction 1425.8.2. Triaxial cell testing device - test results 1435.8.3. Test results - mortar 1455.8.4. Test results - masonry 148

5.9. Conclusions 154

6. Applications 1576.1. Introduction 1576.2. Consolidation of three-leaf masonry walls - grout injection 157

6.2.1. Problem definition 1576.2.2. Material model 1586.2.3. Reliability analysis 1606.2.4. Conclusions 163

6.3. Masonry column subjected to an eccentric vertical load 1636.3.1. Problem definition 1636.3.2. Ultimate Limit State - probabilistic evaluation on level III 1656.3.3. Ultimate Limit State - checkpoints according to EC1 - level I 1686.3.4. Serviceability Limit State - probabilistic evaluation on Level III 1696.3.5. Time dependency 1716.3.6. Conclusions 172

6.4. Safety of masonry arches 1736.4.1. Problem definition 1736.4.2. Evaluating the safety of an existing arch 1756.4.3. Reliability analysis - DARS and MCARS+VI 1766.4.4. Upgrading the reliability index - different possibilities 1816.4.5. Conclusions 184

6.5. Masonry Shear Walls 1856.5.1. Problem definition 1856.5.2. Finite element modeling 1876.5.3. Reliability analysis -ULS 1886.5.4. Reliability analysis - SLS 1926.5.5. Reliability analysis - analytical model according to EC6 1936.5.6. Conclusions 194

6.6. Conclusions 195

7. Conclusions and further research 1977.1. General conclusions 1977.2. Further research 201

8. References 203Annex A - Academic examples 225

A.1. Standard R-S problem 227A.2. Noisy limit state function 228A.3. R-S problem with quadratic term 229

-xi-

A.4. Limit state function with 10 quadratic terms 230A.5. Limit state function with 25 quadratic terms 231A.6. Convex failure domain 232A.7. Oblate Spheroid 233A.8. Saddle surface 234A.9. Discontinuous limit state function 235A.10. Two branches 237A.11. Concave failure domain 238A.12. Series system with 4 branches 239A.13. Parallel system 240A.14. Altered series system with 4 branches - described in Chapter 2 and Chapter 3241A.15. Reliability of a plane frame - DARS-CALFEM: a stochastic finite element 242

method

Annex B - Experimental results - summary and statistical processing 245B.1. Cores 50 with a height of 44 mm 246B.2. Couplets with a height of 120 mm 247B.3. Prisms sawn from bricks with a height of 160 mm 249B.4. Mortar samples - lwh = 1604040 mm3 251B.5. Masonry pillars 254B.6. Masonry cores =150 mm - vertically drilled 256B.7. Masonry wallets - uni-axial compressive test 256B.8. Masonry cores =150 mm - diagonally drilled 257B.9. Masonry wallets - shear test 257B.10. Masonry cores - tension 259B.11. Triaxial testing - mortar cores 261B.12. Triaxial testing - vertically drilled masonry cores 262B.13. Triaxial testing - diagonally drilled masonry cores 263

Curriculum Vitae 265

List of Publications 267

Acknowledgment 273

-xii-

-xiii-

List of notations and abbreviations

Lower cases

a,b numerical parameterai degradation rate for parameter iarot distance chosen by the rotatability requirementc cohesioncov coefficient of variationd thicknessdc crack depthdel depth of elastic areadef effective thicknessdk search direction in kth iterationdi thickness of layer idpl depth of plastic areadr 2nd order deviation with respect to perfect circular form in arch analysise eccentricityei auxiliary strainsfX(x) marginal probability distribution function of random variable X fb brick compressive strengthfb,m brick mean compressive strengthfc compressive strengthfext compressive strength of the external leaf of a multi-leaf wallfft flexural strengthfgr compressive strength of the injection groutfinf,0 compressive strength of the infill material of a multi-leaf wall before

strengtheningfinf,inj compressive strength of the injected infill materialfinf,s compressive strength of the infill material of a multi-leaf wall after

strengtheningfk characteristic strengthfm mortar compressive strengthfm,45 mortar compressive strength under 45 with respect to material axisft tensile strengthfv shear strengthfwc,0 compressive strength of multi-leaf wall before strengtheningfwc,s compressive strength of multi-leaf wall after strengtheningfx flexural strengthg limit state functiongULS Ultimate Limit State functiongSLS Serviceability Limit State functionh heighthef effective heighthv(v) importance sampling function

-xiv-

l lengthlc length of area in compressionlref reference lengthm(u) merit functionn 1number of random variables,

number of test samplesnLSFE number of limit state function evaluationsnp number of personsnroot number of roots found during the sampling proceduren2 number of central points in optimal design of experimentsn number of samples required to limit a type II error to a level pf failure probability

sample failure probabilitypfpS safety probabilitypf,N nominal failure probabilitypf,T target failure probabilityp-value probability on a type I errorr radiusr0 radius of archr bending moment coefficientrg shear retention factorr orthogonal strength ratio of the characteristic flexural strengths of masonrys sample standard deviationsl step length sl=[0...1]t timeth threshold, number of extremes used in UH-plotti auxiliary stressestL (design) service lifet0 quantile for test statistic evaluated for null hypothesis t quantile with significance level u vector of random variables in u-space (standard normal space)u vector of random variables in u-space (rotated standard normal space)u, ui random variables in u-space (standard normal space)u* design point, most likely failure point in u-spacev velocityw widthwc crack widthx vector of values of random variables X in x-spacex, xi possible values of random variable X in x-spacex* design point, most likely failure point in x-space

expansion point for Taylor series expansion~xxc centre point for design of experiments

sample meanxy yearsz z-value (standard normal distribution) for a significance level

-xv-

Uppercases

A,B,C numerical parameterA Hessian matrix (with normalized second order derivatives)A observation matrixA surface, cross sectionAc activity factorC stiffness matrixCf cost factorCh homogenized stiffness matrixD diameterE Youngs modulus Ex, Ey according to x,y-material axisEy,LVDT Youngs modulus in y-axis according to plate displacementE[ ] expected valueF F-distribution typeF =upper quantile of F-distributionFc compressive forceFt tensile forceFV vertical forceFX(x) cumulative distribution function of random variable XG shear modulusGfc fracture energy in compressive regimeGf,I mode I (tension) fracture energyGf,II mode II (shear) fracture energyH0 null-hypothesisH1 alternative hypothesisI moment of inertiaI [ ] indicator functionK factor accounting for brick type diversification in masonry strength calculationM momentum forceN 1number of random samples,

normal probability distribution functionNRd normal Design Resistance force of a wallPe strain Projection matrixPf failure probabilityPt stress Projection matrixR global symbol for a random resistance variable referring to the standard R-S

problemR orthonormal transformation matrixRd design resistance variableS 1global symbol for a random load variable referring to the standard R-S

problemestimator of standard deviation

S2 estimator of varianceSc social criterionSp pooled estimator of standard deviation

-xvi-

T test statistic of Student distributionV total volume of a multi-leaf wallV() coefficient of variation of () V0 initial volume of voids in the inner leaf of loose rubble material Vext volume of the external leafs of a multi-leaf masonry wallVinf volume of the infill material, inner leaf of loose rubble materialVinj injected volumeW warning factorWk characteristic wind load per unit areaX random variable in original spaceX vector of random variables in the original spaceY outcome, based on estimated response surface~LN lognormal distributed random variable~N normal distributed random variable x~N((x),(x))

Greek - lower cases

1confidence, significance level for hypothesis tests of confidence intervalsangle

g geometrical safety factorai 1direction cosine, with respect to the variable i

importance factor when used as checkpoints according to EC1 (EC1,1994)S static safety factor 1reliability index

Significance level in hypothesis test for type II errora actual reliability indexFOSM First Order Second Moment reliability indexFORM First Order Reliability Method reliability indexSORM Second Order Reliability Method reliability index RS,SORM reliability index based on the Response Surface (RS), calculated using a

Second Order Reliability Method (SORM)T target reliability index normalizing factor for bricks according to EC6g,add additional distance in MCARS+VI reliability procedure parameter of Generalized Pareto Distribution (GDP) parameter of Generalized Pareto Distribution (GDP) 1error term, model uncertainty, normal distributed random variable ~N(,)

Straing,i error between outcome RS and real LSF for sample ih homogenized strainsL lack of fit error termnn vertical dilatationr residual error termv vertical strains

-xvii-

0 pure error term friction angle marginal normal distribution function shear angle m material partial safety factorF load partial safety factor (polar coordinates) unit vector which defines a direction in the standard

normal spacei regression coefficient i 1length of vector in the standard normal space, more specific used as length to

the root of the limit state function in the standard normal space in case ofDirectional Sampling proceduresslenderness

add additional distance in the u-space used in DARS to distinguish the importantfrom the non-important region

add,fin the final additional distance in the u-space used in DARS to distinguish theimportant from the non-important region, obtained at the end of the iterationprocedure

ADI,min minimum distance in the u-space found during the Axis DirectionalIntegration procedure (ADI)

eq equivalent slendernessmin minimum distance in the u-space found during the sampling procedure (DS or

DARS) mean value Poissons ratio 1correlation,

densityn reduction factor that accounts for the stiffening of a wall at the loaded ends 1standard deviation

stressc confining pressureh standard deviation of the sampling function (hv(v)~N(h,h)), used in Variance

Increase (VI)h homogenized stressesh,fin final standard deviation of the sampling function (hv(v)~N(h,h)), used in

Variance Increase (VI) obtained at the end of the sampling procedurev vertical stress shear stressn Chi-square distribution type with n degrees of freedomi curvature i

Greek - upper cases

cumulative normal distribution

-xviii-

i,m capacity reduction factor

Scientific

diameterj Partial derivativesi Jacobian, matrix with first order partial derivativesi matrix with second order partial derivatives

Abbreviations

ADI Axis Directional IntegrationANOVA Analysis of VarianceARS Adaptive Response Surface CCD Central Composite DesignCI Confidence IntervalCPU Computer Processing UnitsDARS Directional Adaptive Response surface SamplingDS Directional SamplingEV-I Extreme value distributions of type I (Gumbel), such as: exponential, gamma,

Weibull, normal, lognormal, logisticEV-II Extreme value distributions of type II (Frechet), such as: Pareto, Cauchy, log-

gammaFORM First Order Reliability MethodGPD Generalized Pareto Distribution type (extreme value distribution type)GUI Graphical User InterfaceISMC Importance Sampling Monte CarloLA Limit Analysis used for the calculation of thrust lines in masonry archesLN Lognormal distribution typeLSF Limit State FunctionLSFE Limit State Function EvaluationLVDT Linear Varying Deformation TransducerMC Monte CarloMCARS+VI Monte Carlo Adaptive Response surface Sampling with Variance IncreaseMSE Mean Squares (pure error)MSL Mean Squares (lack of fit)MSR Mean Squares (total error)MVFM Mean Value First Moment reliability indexNAD National Application DocumentNTM Non Tension MaterialPDF Probability Distribution FunctionQQ-plot Quantile-Quantile plotRAM Random Accessible MemoryRH Relative Humidity

-xix-

RS Response SurfaceRVE Representative Volume ElementSLS Serviceability Limit StateSSE Sum of Squares (lack of fit)SSL Sum of Squares (pure error)SSR Sum of Squares (total error)SORM Second Order Reliability MethodUH-plot gereralized quantile plotULS Ultimate Limit State

-xx-

-xxi-

Nederlandstalige samenvatting

1. Inleiding

Instortingen zoals die van de gewelven van de Sint-Fransiscus basiliek (Itali, 1997), de toren vanPavia (Itali, 1989) of de toren van Chichester Cathedral (Engeland, 1861), bewijzen datveiligheid, betrouwbaarheid en risico sleutelbegrippen zijn in het behoud van het bouwkundigerfgoed. Het bouwkundig erfgoed in Belgi is uitzonderlijk rijk. Met ongeveer 10 000beschermde monumenten vraagt het behoud hiervan belangrijke inspanningen. De KoningBoudewijn Stichting rekent voor dat een bedrag van 2.25 miljard Euro nodig is om debouwkundige staat van het beschermde monumentenbestand zo te verbeteren, dat bij normaalonderhoud de eerste vijftig jaar geen ingrijpende restauratiewerken nodig zijn.

Veiligheid, zowel in de uiterste grenstoestand als gebruiksgrenstoestand, maakt dan ook nietlanger enkel deel uit van het ontwerp. Steeds meer wordt aandacht besteed aan de evaluatie vanbestaande structuren. Deze evaluatie kan gevraagd worden omwille van een schare vanoorzaken, waaronder: een verandering in gebruik, het overschrijden van de vooropgesteldelevensduur, een controle na een specifieke ramp (aardbeving) of vastgestelde schade.

In het conservatieproces komt de betrouwbaarheidsanalyse meermaals voor. De aandacht vandit onderzoek gaat in de eerste plaats naar de gedetailleerde structurele analyse van de bestaandetoestand, waarbij een objectief antwoord wordt gezocht op de vraag naar het huidigeveiligheidsniveau. Daarnaast heeft de betrouwbaarheidsanalyse belangrijke troeven bij deverdere stappen in het conservatieproces. Zowel bij het voorstellen van de therapie als decontrole, is het interessant te weten in welke mate het veiligheidsniveau wordt benvloed dooreen ingreep.

Doorheen de geschiedenis werden structuren ontworpen overeenkomstig de dan geldende normenen beschikbare kennis. Eurocode 1 ordent deze evolutie in ontwerpregels van niveau 0 tot niveauIV. De niveau III en IV methodes zijn de meest objectieve en nauwkeurige. Ze berekenen deexacte faalkans van een geheel structureel systeem of structureel element, gebruik makend vande exacte waarschijnlijkheidsfunctie van alle toevalsvariabelen. Het is dan ook dezeprobabilistische procedure die wordt nagestreefd in deze studie. Niveau IV methodes voegenkosten-baten elementen toe aan de probabilistische procedure. Dit valt buiten het doel van ditonderzoek.

Voor de beoogde veiligheid worden een aantal streefwaarden vooropgesteld. Uitgaande vanliteratuurvoorbeelden wordt een globaal model aangereikt dat rekening houdt met uiteenlopendeinvloedsfactoren, zoals: type van mogelijke schade, voorziene levensduur van de structuur, hetaantal mensen dat blootgesteld is aan risico, de mate waarin mensen worden gewaarschuwd voornakend gevaar. Om de waarde van het gebouw in het kader van het erfgoed te plaatsen, wordtn van de evaluatiefactoren geherdefinieerd (Sc). Streefwaarden voor globaleveiligheidsniveaus kunnen bepaald worden volgens Vgl. 1 en Tabel 1:

-xxii-

(1)p S tn

AW

CfT c Lp

cf=

10 4

Kostenfactor Cf Waarschuwingsfactor Wniet ernstigernstigzeer ernstig

1010.1

- gefaald-veilig conditie- gradueel falen met zekere waarschuwing- gradueel falen verborgen aan het zicht- plots falen, zonder waarschuwing

0.010.10.31.0

Activiteitsfactor Ac Sociaal criterium Sc- Post-ramp activiteit- Normale activititeiten: Gebouwen Bruggen- Structuren met hogeblootstelling (off-shore)

0.3

1.03.010.0

- publieke verzamelplaatsen, stuwdam,(historische gebouwen, met groot belang voorde mensheid of opgenomen in de UNESCOlijst bv.)- woningen, kantoren, handelspanden(geschermde monumenten)- bruggen- torens, masten, off-shore constructies

0.005

0.05

0.55

Tabel 1: Invloedsfactoren bij het bepalen van nominale streefwaarden voor de faalkans

Huidige normen die verwijzen naar niveau II en III berekeningen, hanteren over het algemeenbetrouwbaarheidsindices in plaats van faalkansen. Beide zijn gerelateerd via de standaardnormaal verdeling, Vgl. 2 en Tabel 2:

(2)( )pf = pf 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7

1.3 2.3 3.1 3.7 4.2 4.7 5.2Tabel 2: Verband tussen en pfHet doel van dit onderzoek is tweeledig. Vooreerst wordt een algemene methodologie opgesteldom objectieve veiligheidswaarden te berekenen voor bestaande structuren. Vervolgens legt hetwerk zich voornamelijk toe op ongewapend historisch metselwerk. Deze algemene methodemoet toelaten de systeembetrouwbaarheid te berekenen van de ganse structuur of het structureelelement dat voorwerp is van de studie.

Het berekenen van de faalkans vereist de evaluatie van de grenstoestanden. In een aantalgevallen zijn deze grenstoestanden analytisch beschikbaar, in andere gevallen leidt dit tot (niet-lineaire) eindige elementen berekeningen. Vooral dan is het interessant over een methode tebeschikken die een minimum aantal rechtstreeks te berekenen grenstoestandsevaluaties vereist.

Om een objectieve veiligheidswaarde te berekenen, overeenkomstig niveau III, moeten allevariabelen als toevalsvariabelen kunnen ingevoerd worden. In het experimenteel onderzoek gaatde aandacht voornamelijk naar de materiaaleigenschappen.

-xxiii-

De methode wordt toegepast op uiteenlopende voorbeelden om zowel de kracht van demethodiek als de praktische toepasbaarheid te illustreren.

2. Betrouwbaarheidsmethodes - literatuuroverzicht

Dit hoofdstuk behandelt, samen met het volgende hoofdstuk, het berekenen van debetrouwbaarheid van structurele systemen. De bestaande methodes worden overlopen, de voor-en nadelen worden aangehaald en de methode wordt gellustreerd aan de hand van eenacademisch voorbeeld. Verscheidene van deze methodes worden gebruikt in de toepassingen,Hoofdstuk 6 en Annex A.

2.1. Algemeen betrouwbaarheidsprobleem, technieken en vereiste nauwkeurigheid Voor het meest algemene geval is de faalkans gedefinieerd overeenkomstig:

(3)( )[ ] ( )( )

p P g f dfg

= =

X x xXX

00

...

waar g(X) de grenstoestandsfunctie aangeeft en fX(x) de gezamenlijkewaarschijnlijkheidsverdeling van de toevalsvariabelen X. Om de faalkans (pf) te berekenen, zijnde afgelopen 20 jaar verschillende standaardtechnieken ontwikkeld. Samen met de recenteontwikkelingen, Hoofdstuk 3, zijn deze aangegeven in Tabel 3.

Betrouwbaarheidsmethode - Niveau (I, II, III) - Direct/Indirect (D/ID)Integratiemethodes

Analytische en Numerieke Integratie (AI/NI, III, D)

Directional Integration (DI, III, D)Samplingmethodes

(Importance Sampling) Monte Carlo ((IS)MC, III, D)

(Importance) Directional Sampling ((I)DS, II, D)

FORM/SORMmethodes

Eerste orde tweede momenten methode (FOSM, II, D)

Eerste orde en tweede orde betrouwbaarheidsmethodes (FORM/SORM)(niveau II) in combinatie met een systeemanalyse (FORM/SORM-SA, III, D)

Methodesmet eenaanpasbaarrespons-oppervlak

FORM/SORM met een aanpasbaar responsoppervlak (ARS) (niveau II) incombinatie met een systeemanalyse (III)(D-ID)

Directional Sampling met aanpasbaar responsoppervlak (DARS, III, D-ID)

Monte Carlo Sampling met aanpasbaar responsoppervlak (MCARS, III, D-ID)

Tabel 3: Overzicht van verschillende betrouwbaarheidsmethodes overeenkomstig niveau III

-xxiv-

In Hoofdstuk 2 en 3 worden de methodes gellustreerd op een academisch voorbeeld, Vgl. 4. Ditis reeds behandeld door verscheidene auteurs. Het is voldoende eenvoudig om illustratief teblijven en bevat de nodige complexiteit om de kracht of zwakte van de verschillende methodesaan te geven (u1~N(0,1) en u2~N(0,1)):

(4)( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

g u u

g u u u uu u

g u u u uu u

g u u u ug u u u u

1 2

1 1 2 1 22 1 2

2 1 2 1 22 1 2

3 1 2 1 2

4 1 2 2 1

2 0 012

2 0 012

2 5 22 5 2

, min

, . .

, . .

, ., .

=

= + +

= + ++

= +

= +

Om de verschillende methodes objectief met mekaar te kunnen vergelijken, wordt een criteriumvoorgesteld dat de vereiste nauwkeurigheid van de resulterende betrouwbaarheidsindex vastlegt:

(5)( ) ( ) = = 015 3 00 0 05 3 00. , . : . , .voor en V voor2.2. Analytische en Numerieke IntegratieAnalytische en Numerieke Integratie (AN/NI) zijn beide niveau III methodes. Het belangrijkstenadeel is het aantal grenstoestandsevaluaties dat vereist is met betrekking tot het aantaltoevalsvariabelen in het probleem (n): 9n, voor =4 en V()=0.05. Daarom worden zevoornamelijk gebruikt bij de validatie van andere methodes en bij problemen met een beperktaantal toevalsvariabelen (n@5).

2.3. Monte CarloDe elementaire Monte Carlo (MC) techniek is een niveau III methode. Het voornaamstevoordeel is de eenvoud van de techniek. Dat maakt de techniek zeer aantrekkelijk om tecombineren met eindige elementen methodes of een responsoppervlak. Het grootste nadeel ligtin het grote aantal simulaties dat vereist is om de vooropgestelde nauwkeurigheid te bereiken(NA3/pf). Tegemoetkomen aan dit nadeel kan gedeeltelijk door gebruik te maken van ImportanceSampling, waar de simulaties zich beperken tot het interessante gebied. Twee grote families vansimulatiefuncties kunnen worden onderscheiden. In de eerste wordt het gebied waar desimulaties worden uitgevoerd, verlegd naar de meest kritische zone (ISMC), waar het meestwaarschijnlijke faalpunt (x*) gelegen is. Deze techniek is interessant wanneer dit punt gekendis en wanneer dit het enige faalpunt is. In andere gevallen kan ze leiden tot inefficintie of zelfseen foutief resultaat. Globaal gezien blijft het aantal simulaties evenredig met het aantaltoevalsvariabelen: N=300n. In de tweede techniek wordt het domein waarin de simulatiesworden uitgevoerd, verbreed zodat men een grotere kans heeft om voldoende simulaties in hetfaaldomein te realiseren. Voor deze variantietoename (MC+VI) wordt een experimenteelbepaalde simulatiefunctie gebruikt:

(6) h n= 0 4.

Het is duidelijk dat in beide gevallen enige voorkennis van het probleem vereist is.

-xxv-

2.4. Directional Integration en Directional SamplingHet gebruik van poolcordinaten leidt tot een serie technieken die gelijkaardig zijn aanbovengenoemde. Directional Integration (DI) en Directional Sampling (DS) hebben dan ookvergelijkbare voor- en nadelen en een vergelijkbare efficintie. Directional Sampling heeft hetbijkomend voordeel dat de nulpunten van de grenstoestanden berekend worden. Dit is de grenstussen het veilige en onveilige gebied. Uiteraard is dit met betrekking tot structureel inzichtbelangrijke informatie.

Gemiddeld is voor het bepalen van dit nulpunt volgens een lukraak gekozen richting een drietalgrenstoestandsevaluaties vereist. Omdat het aantal grenstoestandsevaluaties proportioneel is methet aantal toevalsvariabelen, blijft deze techniek interessant voor problemen met een groter aantaltoevalsvariabelen. Gezien de efficintie van de techniek, komt ze zeker in aanmerking omgecombineerd te worden met een responsoppervlak. Voor =4 bedraagt het gemiddeld aantalsimulaties ongeveer N=160n wat resulteert in 480n grenstoestandsevaluaties (LSFE).

2.5. Eerste orde en tweede orde betrouwbaarheidsmethodesEerste orde en tweede orde betrouwbaarheidsmethodes (FOSM/FORM/SORM) zijn niveau IImethodes. In plaats van benaderende methodes te gebruiken om de uitkomst van de faalkans tebegroten, wordt bij deze technieken de integrand in het faalpunt vereenvoudigd tot een eerste oftweede orde veelterm.

De eerste orde tweede momenten methode (FOSM) beperkt zich tot de eerste twee momenten,gemiddelde en standaard deviatie en is daardoor slechts benaderende voor toevalsvariabelen dieniet normaal of Gaussiaans verdeeld zijn. Met de eerste orde en tweede orde methodes(FORM/SORM) wordt aan dit euvel verholpen door het invoeren van een normaal-staarttransformatie. Daarbij wordt de eerste orde of tweede orde veeltermbenadering gecentreerd rondhet faalpunt (x*), wat de methode invariant maakt voor de gekozen probleemdefinitie.

Hoewel het zeer efficinte methodes betreft met betrekking tot het aantal rechtstreeksegrenstoestandsevaluaties, is een systeemanalyse vereist om een niveau III schatting te verkrijgenvan de faalkans. Omdat enkel een boven- en ondergrens berekend wordt, beperkt dit het gebruikin combinatie met andere methodes, ondanks hun intrinsieke efficintie. Deze efficintie wordtgellustreerd op 14 voorbeelden in Annex A.

3. Betrouwbaarheidsmethodes die gebruik maken van eenaanpasbaar responsoppervlak

Dit hoofdstuk behandelt recente ontwikkelingen in betrouwbaarheidsmethodes. De klassiekemethodes, beschreven in Hoofstuk 2, worden gecombineerd met een aanpasbaarresponsoppervlak (ARS).

Extreem gedealiseerde systemen kunnen op een analytische wijze bestudeerd worden, zoweldeterministisch als probabilistisch. Een reel systeem heeft echter een hoge graad vancomplexiteit. Een mogelijke oplossing voor deze complexe systemen ligt, zo ook voor eendeterministische analyse, bij de numerieke methodes, waaronder eindige elementen methodes.

-xxvi-

Bij het gebruik van een responsoppervlak wordt de respons, die een complexe functie is van deinputvariabelen, benaderd door een eenvoudig verband van deze inputvariabelen. Wanneer ditresponsoppervlak gerealiseerd is, dan kan de betrouwbaarheidsanalyse worden uitgevoerd op hetresponsoppervlak, in plaats van op het originele probleem. Gezien het responsoppervlak eeneenvoudig functioneel verband is, vereist dit slechts een fractie van de rekentijd.

3.1. DARSHoewel het gebruik van een responsoppervlak veelbelovend is, heeft deze techniek een grootnadeel. Het aantal directe grenstoestandsevaluaties nodig om een accuraat responsoppervlak tefitten, is evenredig met ~2n. Daardoor dreigt de techniek enkel een verschuiving vangrenstoestandsevaluaties mee te brengen. Dit zou deze methode weinig aantrekkelijk makenvoor toepassingen met een groot aantal toevalsvariabelen.

Om het aantal grenstoestanden tot een minimum te beperken, wordt de techniek gecombineerdmet een van de traditionele betrouwbaarheidsmethodes. Waarts was de eerste om DirectionalSampling te combineren met een aanpasbaar responsoppervlak (DARS). Globaal bestaat detechniek uit 3 stappen: Stap 1: naast een grenstoestandsevaluatie in de oorsprong van de standaard normaal

ruimte (u-ruimte), wordt de waarde van elke toevalsvariabele individueel verhoogd, tothet nulpunt () van de grenstoestand (grens tussen veilig en onveilig) is teruggevonden.Dit kan gezien worden als een vorm van Directional Integration volgens de hoofdassen(ADI).

Stap 2: een eerste responsoppervlak wordt gefit doorheen deze data op basis van eenkleinste kwadraten benadering.

Stap 3: deze stap is een iteratieve stap. Het responsoppervlak wordt aangepast en defaalkans of betrouwbaarheidsindex worden geupdated tot de vereiste nauwkeurigheid isbereikt. Daarvoor wordt de elementaire Directional Sampling toegepast op hetresponsoppervlak. Voor elke simulatie wordt eerst het nulpunt op het responsoppervlakbepaald. Omdat dit een lage orde veelterm is, is de rekentijd minimaal. Vervolgenswordt gecontroleerd of de desbetreffende richting een belangrijke richting is: RSmin+add. Waarts stelt voor om add=3.0 te nemen. Is de afstand kleiner, dan betreft hetinderdaad een belangrijke richting en wordt het rele nulpunt berekend. Deze nulpuntenworden gebruikt om het responsoppervlak aan te passen. Is de richting niet belangrijkgenoeg - de bijdrage tot de faalkans is klein - dan kan het resultaat van hetresponsoppervlak gebruikt worden. De winst ligt uiteraard in deze onrechtstreeksegrenstoestandsevaluatie.

De globale efficintie bedraagt ongeveer N=15n, waarmee het aantal evaluaties opnieuwproportioneel is met het aantal toevalsvariabelen. Er is geen voorkeur voor een welbepaaldefaalmode, zodat opnieuw een faalkans op niveau III wordt berekend. Deze techniek is verderuitgewerkt en de efficintie is verhoogd: om het responsoppervlak te valideren wordt een F-test uitgevoerd, een variabele additionele afstand add= var wordt ingevoerd in plaats van de constante

en arbitrair gekozen waarde add=3.0. De variabele additionele afstand is rechtstreeksfunctie van de fout tussen het responsoppervlak en het rele systeem,

er wordt automatisch gekozen tussen een schare van lage orde veeltermen. Deze die leidttot de kleinste fout wordt aangewend als functioneel verband voor het responsoppervlak.

-xxvii-

Stap 3: Directional Sampling ophet responsoppervlak:

If i,RS < min+addBerekenpi(LSF)=2(i,LSF,n)Pas het respons-oppervlak aan met hetnieuwe nulpunt

ElseBerekenpi(RS)= 2(i,RS,n)

u1

u2

gRS,2= 0.92+0.046u1 -0.023u2-0.074u1u2 -0.097u12-0.084u22

gRS,2 = 0

min = 2.05add = 3.0

Figuur 1: DARS (add = var) - Stap 3 in de betrouwbaarheidsprocedure

Stap 3 voor de aangepaste techniek met add=var, is weergegeven in Figuur 1 voor hetacademisch voorbeeld.

3.2. Monte Carlo en FORM met een aanpasbaar responsoppervlak (ARS)Hoofdstuk 2 gaf aan dat de efficintie van Monte Carlo met Variance Increase vergelijkbaar ismet Directional Sampling. De combinatie met een aanpasbaar responsoppervlak leidt dan ooktot een gelijkaardig resultaat.

De procedure verschilt enkel van de DARS procedure in de laatste stap. Deze stap wordt alsvolgt geherformuleerd: Stap 3: deze stap is opnieuw een iteratieve stap. Variance Increase Monte Carlo

Sampling wordt toegepast op het responsoppervlak. De uitkomst op basis van ditresponsoppervlak wordt gevalueerd. Valt het punt buiten het grensgebied tussen veiligen onveilig, dan kan dit resultaat gehanteerd worden. Omgekeerd, ligt het binnen hetinteressante gebied, dan wordt een nieuwe grenstoestandsfunctie gevalueerd op hetoriginele systeem. De nieuwe data worden gebruikt om het responsoppervlak aan tepassen.

Voor de variantietoename wordt het experimentele verband uit Vgl. 6 gebruikt. Een eersteschatting wordt verkregen uit stap 1 in de procedure.

-xxviii-

u

gLSFRS

RS

add

g,add

g,add

i

gRS,i

gLSF,i

g,i

Figuur 2: Onderscheid tussen de belangrijke en niet-belangrijke regio in u-ruimte

Om na te gaan of het punt tot het grensgebied tussen veilig- en onveilig behoort, worden tweealternatieven uitgewerkt, Figuur 2. Een eerste is gestoeld op de DARS procedure, waarbij deafstand tot de grens tussen veilig en onveilig gebied wordt gehanteerd. Omdat bij de MonteCarlo techniek geen nulpunten worden berekend, is het gebruik van een variabele afstand nietvanzelfsprekend. Een arbitraire waarde (add) gelijk aan 3 wordt aangehouden. Een tweedemethode bestaat erin een afstand in de uitkomstruimte te definiren die gerelateerd wordt aan defout in de uitkomstruimte:

(7) g i LSF i RS ig g, , ,=

(8)( ) ( )( ){ } g add g n gabs t LSFE, . ,max= 0 01 1Hiermee wordt opnieuw een objectief criterium tot stand gebracht om het onderscheid te maken.

De efficintie van DARS en MCARS+VI hangen af van de mogelijkheid van hetresponsoppervlak om het rele systeemgedrag te beschrijven. Voor meer complexe systemen zalDARS efficinter zijn. Dit is voornamelijk omdat DARS enkel nulpunten gebruikt om hetresponsoppervlak aan te passen. Dus enkel een beschrijving in het kritieke gebied tussen veiligen onveilig wordt gerealiseerd. MCARS, waar geen nulpunten worden berekend, maakt gebruikvan alle grenstoestandsevaluaties. Voor complexe systemen kan een lage orde veeltermonvoldoende zijn om het globaal gedrag voldoende nauwkeurig te beschrijven, waar hetbeschrijven van de nulpunten misschien nog wel voldoende nauwkeurig is.

Voor eenvoudige systemen daarentegen zal MCARS+VI efficinter zijn. Dit juist omdat het alle

-xxix-

LSFE gebruikt. Daardoor zal het responsoppervlak sneller aansluiten bij het rele gedrag.Weglaten van tussenliggende resultaten, zoals bij DARS, staat dan gelijk aan weglaten vaninformatie.

Omdat eerste orde betrouwbaarheidsmethodes (FORM) zeer efficint zijn, werden reeds eerderstappen ondernomen om ze te combineren met een aanpasbaar responsoppervlak. Groot nadeelblijft dat het een niveau II procedure is. Achteraf blijft een systeemanalyse vereist om debijdragen van de verschillende faalmodes te combineren. Dit levert slechts een onder- enbovengrens op voor de globale faalkans. Daarom wordt de techniek niet verder gebruikt.

3.3. Vergelijking met niveau I methodesUitgaande van de niveau III methode kunnen de controlepunten berekend worden die in eenniveau I methode (methode der grenstoestanden) worden gehanteerd, ter controle van deveiligheid:

(9)RS

d R T R

d S T S

=

= +

0 80 7

..

Het actuele veiligheidsniveau wordt niet berekend. Er wordt enkel gecontroleerd (RdSd) of aaneen vooropgesteld niveau (T) voldaan wordt.

Wanneer de grenstoestandsfunctie analytisch gekend is, zijn de meestebetrouwbaarheidsmethodes geschikt om een accurate waarde voor de faalkans te berekenen, zoook de traditionele methodes, beschreven in Hoofdstuk 2. Wanneer dit niet het geval is, en meernog, wanneer een evaluatie veel rekenwerk vereist, dan verdient een combinatie van DirectionalSampling of Monte Carlo met een aanpasbaar responsoppervlak de voorkeur.

4. Rekenmodellen voor metselwerk

Om de veiligheid te berekenen van een structuur, zijn steeds de grenstoestanden (uiterstegrenstoestand, gebruiksgrenstoestand) vereist. Dit ongeacht of de analyse uitgevoerd wordtovereenkomstig een niveau I, II dan wel niveau III methode. Dit hoofdstuk geeft een overzichtvan de verschillende modellen die voorhanden zijn en die ook gebruikt zullen worden in detoepassingen om het onderscheid tussen veilig en onveilig te bepalen.

Wat betreft de analytische modellen ligt de nadruk op metselwerk in druk. Omdat centraalaangrijpende drukkrachten haast nooit zullen voorkomen, wordt het effect van een excentrischebelasting in detail beschreven, Figuur 3. Naast een materiaalmodel dat geen trek kan opnemen(NTM), wordt de invloed van een beperkte treksterkte en plastisch gedrag in druk behandeld.

-xxx-

d

FV

e

wVoor-aanzicht

Bovenaanzicht

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Excentriciteit e [mm]

e=d/6Dru

kspa

nnin

g

[N/m

m2 ]

FVe

fc

dc dpl

ElastischplastischmodelFVe

ftdc

fcElastischbrosmodel

NTM

ft0

Figuur 3: Metselwerk belast op een excentrisch aangrijpende drukkracht

Dit deel sluit naadloos aan bij de beschrijving van bogen. Immers, bogen dragen verticale lastenaf door het vormen van een druklijn die de vorm van de fysische boog volgt. In een willekeurigedoorsnede leidt dit tot een excentrisch aangrijpende drukkracht. Het veiligheidstheorema vooreen boog luidt: Als een druklijn kan gevonden worden die in evenwicht is met de uitwendigekrachten en die geheel binnen de fysische grenzen van de boog gelegen is, dan is de structuurveilig.

Voor excentrische druk en boogwerking worden ter vergelijking de analytische modellen uit EC6opgenomen. Omdat deze een eerder conservatief resultaat opleveren, is een zekerevoorzichtigheid nodig wanneer ze gehanteerd worden in een probabilistische benadering. Hetis immers nodig dat de grens tussen veilig en onveilig zo juist mogelijk is. Het model zelf magniet intrinsiek al een zekere veiligheidsmarge bevatten. Dit benvloedt het resultaat.

Analytische modellen voor horizontale lasten zoals windlasten en afschuifwanden zijn eerderelementair. Zij tonen het belang aan van numerieke modellen om een voldoende nauwkeurigeovereenkomst met de realiteit te verkrijgen zoals nodig wanneer ze deel uitmaken van eengrenstoestandsfunctie bij een probabilistische benadering.

Bij de numerieke modellering gaat de aandacht voornamelijk naar eindige elementen modellen(FEM). Discrete elementen modellen (DEM) worden niet behandeld, al leveren ook zijveelbelovende resultaten op.

Hoewel een gedetailleerd micro-model meer nauwkeurige resultaten oplevert, wordt een macro-model voor metselwerk vooropgesteld. Dit om redenen van rekenefficintie. Bedoeling isimmers een methode te bewerkstelligen, haalbaar voor ganse structuren of structurele elementen.

-xxxi-

Rankinevon Mises

2

ft

ftfc

fc

2RankineDrucker Prager

ftftfc

fc

12

12

Rankine criterium

1

2

12

Hill criterium

2

1

ftft

fc

fc

012 3

Diana model

Figuur 4: Rankine en Hill criterium in druk en trek

Een micro-model zou in dat geval onaanvaardbaar veel rekentijd vergen. Het globale anisotropecontinuum model opgesteld door Loureno, wordt gehanteerd. Dit model omvat een combinatievan een Rankine vloeicriterium in trek en een Hill criterium in druk, Figuur 4.

Voor metselwerk in druk, trek en afschuiving zijn, naargelang het gebruikte eindige elementenpakket (Atena2D, Diana) verschillende mogelijkheden voorhanden, alsook beperkingengekoppeld. Een van de beperkingen is het veronderstelde isotrope materiaalgedrag.

De rekenmodellen vereisen de invoer van een hele reeks materiaaleigenschappen. Wanneer eenprobabilistische procedure wordt nagestreefd, dan zijn de waarschijnlijkheidsverdelingen vandeze materiaaleigenschappen vereist.

5. Experimenteel onderzoek

Dit hoofdstuk geeft de resultaten weer van het experimenteel onderzoek op metselwerk, decomponenten baksteen en mortel en de statistische verwerking van de data. Het doel is dewaarschijnlijkheidsverdelingen op te stellen voor de belangrijkste materiaalparameters die vereistzijn in de rekenmodellen die het onderscheid tussen het veilige en onveilige gebied maken. Hetonderzoek richt zich op drie niveaus: de componenten baksteen en mortel, het composietmetselwerk en de relatie tussen beide. De belangrijkste elementen zijn de variabiliteit van hetcomposiet metselwerk (verdelingstype en parameters), de component-composiet relatie en debruikbaarheid van beschikbare testen om deze informatie in situ te verzamelen bij bestaandestructuren. Omdat het aantal proeven relatief groot is voor bepaalde testen, kunnen enkeleinteressante opmerkingen gemaakt worden omtrent grootte-effect, verschil tussen proefmethodesen anisotropie. Dit onderzoek betracht niet enkel experimenteel onderzoek. Daarom zullen, daarwaar nodig en mogelijk, de experimentele waarden aangevuld worden met literatuurgegevens.

-xxxii-

De variabiliteit van het metselwerk is slechts gedeeltelijk het gevolg van intrinsiekemateriaalvariabiliteit. Extra onzekerheid komt van de gebruikte proefprocedure, het beperkteaantal proefmonsters of de beperkte kennis van het fenomeen zelf. In vergelijking tot anderematerialen zoals staal of beton, is een extra onzekerheid te wijten aan het composietgedrag.Metselwerk is opgebouwd uit (bak)steen en mortel, volgens een (on)regelmatig patroon. Relatiefgrote proefmonsters zijn vereist om de materiaaleigenschappen van dit composiet te achterhalen.

Om de verschillende proefresultaten onderling te kunnen vergelijken, is slechts n typebaksteen, n type mortel en n type metselverband (Vlaams Verband) gebruikt. Het aantalproefmonsters is voldoende groot gehouden om de statistische onzekerheid te beperken en omonderling significante uitspraken te kunnen doen. Verschillende proeftechnieken wordengebruikt, Tabel 4.

Type proef geometrie Data [#proefstukken]

mortel standaardmortelbalk

3-puntsbuigproef drukproef

lhw = 1604040 mmlhw = 404040 mm

ft [53]fc, -, E [108]

kernen triaxiaaltest = 0q, = 150 mm, h = 300 mm vloeicriterium [28]

baksteen doubletten drukproef 2-lagen baksteen en een enkelevoeg, lhd = 18812648mm

fc, -, E [50]

kernen drukproef verticaal geboord uit baksteen=50 mm, h =58 mm

fc, -, E [51]

prismas drukproef bhd = 1604525 mm fc, -, E [40]

metsel-werk

kernen drukproefafschuifproef

= 0q, 45q = 150 mm, h = 300 mm

fc, -, E, Gfc [5] -, GfII [5]

trekproef verticaal geboord uit doubletten = 50 mm, h = 126 mm

ft [56]

triaxiaaltest = 0q, 45q = 150 mm, h = 300 mm

vloeicriterium [30,15]

pijlertjes drukproef 6-lagen baksteen (kruisverband)whd = 188338188 mm

fc, -, E[20]

muurtjes drukproefafschuifproef

= 0q, 45qwhd = 582570188 mm

fc, -, E, Gfc [3] -, GfII [3]

Tabel 4: Overzicht experimenteel proefprogramma

5.1. Componenten baksteen en mortelEen handgevormde gevelsteen module 50 type Kempenbrand (NBN B23-002, 1986)lwh=1888848mm3, wordt onderworpen aan 3 types verplaatsingsgestuurde (v=1mm/min)drukproeven: kernen 50 met een hoogte van 44 mm (h2/S=1), doubletten met een hoogte gelijkaan 120 mm en prismas, gezaagd uit een baksteen, met een hoogte gelijk aan 160 mm. Deresultaten zijn samengevat in Tabel 5.

-xxxiii-

fc[N/mm2]

kernen 50, h=44mm doubletten, h=120mm prismas, h=160mm

xs [N/mm2]cov [%]nPDF

6.342.3737.451LN

5.161.563050LN

8.001.9324.240LN

Tabel 5: Drukproeven op baksteen

Een extreme-waarde-analyse uitgevoerd op de kernen 50, leert dat een Pareto-verdeling bestaansluit bij de proefresultaten. De zware staart is echter veroorzaakt door het opvullen van degroef in de baksteen met een standaardmortel. Dit benvloedt de resultaten. Deze hoge waardenzijn geen eigenschap van de baksteen. Daarom wordt geopteerd voor een lognormaal verdeling.Om na te gaan of het verschil tussen de gemiddelde druksterkte van de populatie () significantis, wordt de techniek van de hypothesetesten gebruikt. De nulhypothese (H0) en de alternatieveeenzijdige hypothese (H1) luiden: H0:1=2, H1: 1 >2. Een significantie niveau van 95% wordtaangehouden. Daaruit blijkt inderdaad een significant verschil tussen de drie types proeven. Deverklaring voor dit verschil moet gezocht worden in twee richtingen. Enerzijds speelt hetgrootte-effect mee. Eurocode 6 voorziet een normalisatiefactor () om dit te compenseren: fb =fb,m=0.826.34 = 5.20 N/mm2 voor kernen 50 en fb = 1.115.16=5.73 N/mm2 voordoubletten. Het verschil tussen deze genormaliseerde waarden is niet langer significant.Wanneer de resultaten vergeleken worden met de prismas die uit een baksteen werden gezaagden volgens de lengte-as (x-as) werden beproefd, dan speelt de orintatie blijkbaar een belangrijkerol. Ondanks de grotere slankheid, zijn deze proefstukken sterker volgens deze materiaalas. Dekernen 50 en doubletten worden beproefd volgens de hoogteas van de baksteen (y-as), net zoalsde metselwerk proefstukken. Voor de druksterkte worden deze waarden verder gehanteerd.

De mortel is een kalk-cement mortel type M4 (NBN B24-301, 1980). De proefresultaten opstandaard mortelbalkjes zijn samengevat in Tabel 6. De mortelbalkjes werden aangemaaktsamen met het metselen van de andere proefstukken om zoveel mogelijk representatief te zijn.

195 dagen ft [N/mm2] fc,y [N/mm2] E [N/mm2]

xs [N/mm2]cov [%]nPDF

2.600.491953trunc. N/LN

8.311.8021.6108trunc. N/LN

139825218107trunc. N

Tabel 6: Mortel proefstukken lwh=4040160 mm3 - samenvattende statistiek van deproefresultaten

5.2. Composiet metselwerkDe eerste serie proefstukken zijn kleine pijlertjes, opgebouwd uit 6 lagen, Figuur 5. Deresulterende materiaaleigenschappen - fc, Ey, Gfc - zijn weergegeven in Figuur 5. De gemiddeldedruksterkte is lager dan de waarden gevonden op de baksteen- en mortelproefstukken. De

-xxxiv-

0

1

2

3

4

5

6

0 0.003 0.005 0.008 0.01 0.013 0.015

Rek [mm/mm]

140dagen

fc,y[N/mm2]

Ey[N/mm2]

Gf,c[Nmm/mm2]

xscov [%]nPDF

4.260.831919(N)/LN

16733682218N

1.710.563318N

h =

360

mm

w = 188 mm d = 18

8 mm20

0 m

m

LVDT

Figuur 5: Metselwerk pijlertjes - spanning-rek relatie en materiaaleigenschappen

0

1

2

3

4

5

6

0 0.003 0.005 0.008 0.01 0.013 0.015

Rek [mm/mm]

152dagen

fc,y[N/mm2]

Ey[N/mm2]

Gf,c[Nmm/mm2]

xscov [%]n

4.540.77175

1690372225

1.351.02765

200

mm

h =

300

mm

= 150 mm

LVDT

Figuur 6: Metselwerk kernen - spanning-rek verband en materiaaleigenschappen

waarden van de breukenergie stemmen overeen met literatuurwaarden.

De tweede reeks proefstukken bestaat uit 5 metselwerk kernen, diameter 150mm en hoogte300mm. Deze werden uit muurtjes geboord die gelijktijdig met de andere proefstukken zijnopgetrokken. De materiaaleigenschappen - fc, Ey, Gfc - zijn mee opgenomen in Figuur 6. Globaalgenomen zijn de gemiddelde waarden sterk gelijklopend met de waarden op pijlertjes, Figuur 5.Het aantal proeven is te klein om een verdelingstype uit af te leiden.

Drie metselwerk muurtjes zijn het voorwerp van de laatste reeks proefstukken, Figuur 7:wdh=600188600 mm3. De gemiddelde druksterkte is relatief hoog (fc = 6.07 N/mm2). De

-xxxv-

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015Rek [mm/mm]

141dagen

fc[N/mm2]

Ey[N/mm2]

Y Gfc[Nmm/mm2]

x 6.07 1642 0.19 2.73

s 0.57 140 0.06 0.60

Cov [%] 9.3 8.5 31 22

h =

570

mm

w = 577 mmd =

188 m

m

lref = 400 mml ref =

460

mm

lref = 100 mm

Figuur 7: Metselwerk muurtjes - spanning-rek relatie en materiaaleigenschappen

spreiding op de druksterkte is klein. Dit kan aangeven dat grotere proefstukken tot eenhomogener geheel leiden. De elasticiteitsmodulus (E=1642 N/mm2) valt vrijwel samen met dewaarde opgemeten op pijlertjes (E=1673 N/mm2) en metselwerk kernen (E=1690 N/mm2).

Op basis van de horizontaal geplaatste LVDTs wordt een waarde voor de cofficint vanPoisson () berekend. De spreiding is relatief hoog, wat mee aangeeft dat deze parameter nietzo eenvoudig kan worden opgemeten als de andere materiaaleigenschappen. Toch stemt degemiddelde waarde goed overeen met wat in de literatuur wordt teruggevonden. De gemiddeldebreukenergie (Gfc=2.73 Nmm/mm2) is hoger dan in het geval van metselwerk pijlertjes (Gfc=1.71N/mm2). De metselwerk muurtjes hebben niet enkel een minder bros breukgedrag, de hogerebreukspanning draagt evenzeer bij tot de hogere waarden voor de breukenergie.

De gemiddelde druksterkte blijkt af te nemen in functie van de slankheid van het proefstuk,Figuur 8. De waarden verkregen uit pijlertjes en kernen blijken daarbij meer representatief te zijnvoor metselwerk dan metselwerk muurtjes. Omdat kernen eenvoudiger te ontnemen zijn, wordtdit type proefstukken verkozen. Bijkomend geven ze informatie over de rele toestand van hetgebouw.

-xxxvi-

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1.25 1.45 1.65 1.85 2.05 2.25 2.45 2.65Slankheid: =

muurtjes (n=3)

kernen =113 mm, h=170 mm (n=6)(*)

pijlertjes (n=19)

kernen =150mm (n=5)

muur (n=1)(*): wxhxd=2000x2000x188

( ) = 2 hd wef EC6, 1995

Figuur 8: Druksterkte in functie van slankheid (*: literatuurwaarden)

5.3. Metselwerk in druk - stochastische uitbreidingOnder de vele andere formules, is het verband dat wordt voorgesteld in EC6 (1995) een van demeest betrouwbare en praktisch bruikbare om de druksterkte van het composiet metselwerk (fk)af te leiden uit de sterktewaarden van de componenten baksteen (fb) en mortel (fm):

(10)( ) ( )f K f fk b m' . ..= 0 65 0 25Voor de baksteen wordt de genormaliseerde druksterkte gehanteerd (). De waarde voor decofficint K voor groep 1 metselwerk stenen bedraagt 0.6. De gemiddelde waarde en spreidingvan de resulterende lognormale verdeling kan analytisch berekend worden, Tabel 7.

fc [N/mm2] PDF cov proefstukken

metselwerkexperimenteel

LN 4.26 0.81 19 pijlertjes

/ 4.53 0.77 17 kernen 150

metselwerknumeriek,Vgl. 10

LN 4.60 1.00 22 baksteen sterkte op basis van kernen 50

LN 4.55 0.84 18 baksteen sterkte op basis van doubletten

Tabel 7: Waarschijnlijkheidsverdeling en parameters voor metselwerk druksterkte

De numerieke resultaten (fc=4.55-4.60 N/mm2) stemmen overeen met de experimentele (fc=4.26-4.53 N/mm2). Tevens wordt een goede waarde voor de variatiecofficint verkregen. In beidegevallen schommelt deze rond de 20%. Het numerieke model bevestigt het idee dat een meer

-xxxvii-

Homogenisering volgens x-as

Homogeniseringvolgens y-as

x

y

B1 B2 B3

B4 B5 B6

B7 B8 B9

M1 M2

M3M4 M5

M6M7 M8

d4

Figuur 9: Homogenisering - basiscel en twee-stappen-x-y-homogeniseringsprocedure voorperiodieke gelaagde materialen

homogeen composiet wordt gevormd, wanneer de variatiecofficint vergeleken wordt met dezevan de componenten baksteen en mortel.

5.4. Homogenisering - stochastische uitbreidingDe homogeniseringsprocedure zoals voorgesteld door Loureno, wordt uitgebreid met deinvoering van toevalsvariabelen voor materiaaleigenschappen en geometrie. Dit om na te gaanof deze numerieke procedure een volwaardig alternatief oplevert voor het rechtstreeks schattenvan de waarschijnlijkheidsverdeling van de elasticiteitsmodulus (E) op metselwerk proefstukken.Bedoeling is om de waarschijnlijkheidsverdeling van de elasticiteitsmodulus af te leiden uit decomponentwaarden.

De procedure bestaat hoofdzakelijk uit twee opeenvolgende homogeniseringsstappen voorperiodieke gelaagde materialen. Elke component wordt verondersteld isotroop te zijn. Degehomogeniseerde stijfheidsmatrix (Ch) wordt verkregen uit de constitutieve eigenschappen vande componenten (Ci) baksteen en mortel, overeenkomstig:

(11)( ) ( )C P C P P C P Ch i t i ei

i t i ei

ip p= 1 1

Hierin zijn Pt en Pe projectie matrices en pi de relatieve dikte van een laag in het periodiekmedium. De basiscel voor metselwerk heeft duidelijk geen gelaagde structuur. Verschillendeauteurs suggereren een benaderende aanpak met een twee-stappen-procedure, Figuur 9.

Om de fysische onzekerheden van baksteen en mortel in rekening te brengen, wordt voor beidede elasticiteitsmodulus als toevalsvariabelen in rekening gebracht. Om ook de geometrischeonzekerheid in rekening te brengen wordt de dikte van de mortel laag als toevalsvariabelegedefinieerd. De aangehouden parameters voor deze toevalsvariabelen zijn samengevat in Tabel8. Zij zijn afkomstig van het experimenteel onderzoek. Om de resulterende stijfheidsmatrix teberekenen wordt een Monte Carlo simulatie (N=105) gebruikt bij de twee-stappen-x-y-homogeniseringsprocedure. De resultaten zijn samengevat in Tabel 9.

-xxxviii-

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

Afschuifhoek [rad]

200

mm

h =

300

mm

d = 150 mm

LVDT

209dagen

gmax[N/mm2]

G[N/mm2]

Gf,II[Nmm/mm2]

xscov [%]n

2.430.43185

883271315

0.860.57665

Figuur 10: Metselwerk kernen - - verband en materiaaleigenschappen

Toevalsvariabelen PDF cov [%]Baksteen (prismas) Eb1,...,Eb9 LN 1711 N/mm2 23Mortel (mortel balkjes) Em1,...,Em8 N 1398 N/mm2 18

dm1,...,dm8 LN 10 mm 10Tabel 8: Toevalsvariabelen voor de componenten baksteen, mortel en de geometrie

elasticiteitsmodulus (Ey) [N/mm2] [N/mm2] cov [%] # PDF

kernen 150 1690 372 22 5 /

muurtjes V1-V3 1642 140 8,5 3 /

volle schaal muur 1587 / / 1 /

pijlertjes 1673 368 22 18 /

xy-homogenisering 1596 119 7,5 105 NTabel 9: Elasticiteitsmodulus, vergelijking tussen experimentele en numerieke waarden

Het is duidelijk dat de resulterende stijfheid ergens tussen deze van de baksteen (E=1717 N/mm2)en mortel (E=1398 N/mm2) in moet gelegen zijn. Hoewel de componenten zelf een redelijk grotespreiding vertonen, is de spreiding op het resulterende metselwerk klein (cov(Ey)=7.5%).Opnieuw wordt een meer homogeen resultaat verkregen.

5.5. Metselwerk in afschuivingDe eerste reeks proefstukken zijn kernen, geboord uit muurtjes onder een hoek van 45. Deschuifsterkte (max), glijdingsmodulus (G) en breukenergie (Gf,II) voor een mode II afschuifbreuk,zijn weergegeven in figuur 10.

-xxxix-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025Afschuifhoek [rad]

158 dagen gmax [N/mm2] G [N/mm2] Gf,II [Nmm/mm2]x 1.49 748 1.32

s 0.19 108 0.76

cov [%] 13 14 58

l0 = 300 mm l0 = 300 mm

l 0 =

300

mm

w= 57

7 mm

h= 570 mm

w = 300 mm

Figuur 11: Metselwerk muurtjes - - verband en samenvattende resultaten

Het tweede type proefstukken zijn drie metselwerk muurtjes, Figuur 11. De glijdingsmodulusleunt sterk aan bij de waarde die numeriek kan berekend worden: G=E/2(1+). Wanneer Ey=1642 N/mm2 en =0.19, Figuur 7, dan is de glijdingsmodulus gelijk aan: G= 690 N/mm2. Dit isvergelijkbaar met het experimenteel gemiddelde: (G)= 748 N/mm2. x

Literatuurwaarden voor de breukenergie (Gf,II) liggen veelal lager (0.05-0.50 Nmm/mm2). Zekerwanneer de hechting faalt, ligt de breukenergie laag. Bij dit type metselwerk is een grotehaakweerstand aanwezig omdat de bakstenen een groef bevatten. De mortelvulling ervanveroorzaakt een hoge wrijvingsweerstand in het afschuifoppervlak. Omwille van dehaakweerstand, wordt een hoge spreiding verkregen in het nascheurgedrag, wat merkbaar is inGf,II.

De wrijvingswet van Coulomb wordt vaak gebruikt in analytische modellen: =c+tan(). Dewrijvingscofficint is daarbij relatief onafhankelijk van het type baksteen of mortel dat gebruiktwordt: tan()~LN(0.81,(0.15)2). Daarmee kan de cohesiecofficint (c) berekend worden,gebruik makend van de proefresultaten (max): c~LN(0.50;(0.15)2).

5.6. Metselwerk in trekVoor het bepalen van de treksterkte van metselwerk, wordt een directe trekproef gebruikt (prEN-1542): ft~LN(0.28,(0.10)2). Van de 56 proefstukken, begaven 8 in de baksteen/mortelovergangszone, 10 in de mortel en 38 in de baksteen zelf. De breukenergie (Gf,I) wordt berekendop basis van de dalende tak in de spanning-scheuropening-relatie (-wc):

(12)

fe

t

fG

wff I

c

=

,

Een schatting van de breukenergie wordt verkregen op basis van lineaire regressie:Gf,I~LN(0.005,(0.0033)2).

-xl-

triaxiaalcelRing met radiale LVDTs op 90Axiale LVDTs op 90Mortel proefstuk in mantel

Data-acquisitieTitan hoge druk pompINFCP

Figuur 12: Triaxiaalcel - proefopstelling

5.7. Metselwerk in een multi-axiale spanningstoestandSpeciaal voor de studie van het materiaalgedrag van heterogene materialen met lage sterkte, werdeen triaxiaalcel aangekocht door het Laboratorium Reyntjens, Figuur 12. De studie richt zich opde wijzigingen in het materiaalgedrag wanneer het onderhevig is aan een multi-axialespanningstoestand. Deze wordt in de triaxiaalcel gesimuleerd door een steundruk en eenverticale spanning te laten aangrijpen op geboorde metselwerk kernen 150 mm, met hoogte tot300 mm. Specifiek gaat de aandacht naar het plastisch gedrag, grotere vervormbaarheid en deoptredende versterkingsfactor bij de breuksterkte.

De breukresultaten voor de mortelproefstukken (150 en h=120mm) zijn weergegeven in Figuur13. De samenstelling van de mortelkernen is identiek aan de mortelbalkjes, zie hoger. Naast debreukwaarden zijn tevens de spanningspaden aangegeven en drie mogelijke modellen om hetvloeicriterium en de versterkingsfactor ten gevolge van de steundruk te schatten.

-xli-

02468

1012141618202224

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Legende :gefaald niet gefaald

Belastingspadmet constante3/1-verhouding

1(=V) [MPa]

3=2 (=c) [MPa]

Lourenos model

Elliptisch vloeicriterium

Vloeicriterium inpoolcordinaten, kleinstekwadraten benadering

0.050.10

0.15

0.25 0.50 0.75 1.00

Figuur 13: Triaxiaalproeven op mortel - resultaten en vloeicriterium

Reeds bij lage verhoudingen (3/1=0.05) wordt een overgang van quasi-bros naar elastisch-plastisch materiaalgedrag vastgesteld, alsook een sterke toename in (plastische) vervorming.Wanneer wordt uitgegaan van een maximale steundruk in de mortelvoeg gelijk aan de treksterktevan de baksteen (ft=0.28 N/mm), dan wordt een spanningsverhouding 3/1=0.043 bereikt.Onder deze voorwaarde is plastische vervorming van de mortelvoeg plausibel. Tot slot wordenreeds bij deze lage steundrukken beduidend hogere druksterktes opgemeten.

Voor de metselwerkproefstukken (150 en h=300mm) zijn de resultaten minder talrijk, zeker bijde hogere 3/1-verhoudingen. Het optreden van lekken in de oliedichting omheen deproefstukken en het bereiken van de maximaal toelaatbare steundruk zijn de voornaamsteoorzaken. Hoewel het niet mogelijk was om op basis van de verkregen proefresultaten hetanisotroop gedrag van het metselwerk te begroten, noch het volledige vloeicriterium in de multi-axiale druk-druk-zone, kon de versterkingsfactor bij lage steundrukken bepaald worden. Tevenswerd dezelfde overgang naar plastisch materiaalgedrag teruggevonden bij verhogingen van de3/1-verhouding: 3/1A0.4.

-xlii-

De belangrijkste materiaaleigenschappen, hun verdelingstype en parameters zijn samengevat inTabel 10.

materiaaleigenschappen Eenheid PDF

elastischeeigenschappen

E [N/mm2] 1600 120 N

[Nmm/mm2] 0,19 0,06 LN

G [N/mm2] 748 108 LN

druk fc [N/mm2] 4,5 0,85 LN

Gfc [Nmm/mm2] 2,73 0,6 LN

afschuiving c [N/mm2] 0,5 0,15 LN

tan() / 0,81 0,15 LN

Gf,II [Nmm/mm2] 1,32 0,76 LN

trek ft [N/mm2] 0,28 0,1 LN

Gf,I [Nmm/mm2] 0,05 0,03 LNTabel 10:Metselwerk materiaaleigenschappen, verdelingstype en parameters

6. Toepassingen

Dit hoofdstuk bevat vier voorbeelden waarin de methodologie wordt toegepast op ongewapendmetselwerk. Niet alleen analytische problemen komen aan bod, zoals grout-injectie vanmeerschalig metselwerk of een metselwerk kolom belast op een excentrische drukkracht. Meercomplexe metselwerkstructuren zoals metselwerk bogen en afschuifwanden illustreren decombinatie van de probabilistische procedure met een externe numerieke methode die degrenstoestand evalueert. In de laatste drie voorbeelden wordt het niet-lineair materiaalgedrag inrekening gebracht. Met de eerste voorbeelden ligt de nadruk op historisch metselwerk. Met hetlaatste voorbeeld verschuift de nadruk naar meer hedendaagse toepassingen. Daar waar mogelijkwordt de vergelijking gemaakt met het veiligheidsniveau volgens een niveau I procedure ofmethode der grenstoestanden.

6.1. Consilidatie van meerschalig metselwerkMeerschalig metselwerk komt veelvuldig voor bij historische gebouwen. Wanneer hetdraagvermogen van deze wanden in vraag wordt gesteld, kan een groutinjectie oplossing bieden.De druksterkte na injectie kan berekend worden op basis van de bijdrage van de externeparementen (Vext, fext) en die van het genjecteerde breuksteenmetselwerk ertussen (Vinf, finf,s):

(13)f VV

fVV

fwc s ext ext s,inf

inf,= +

-xliii-

Groutinjectie: initieel holtepercentage V0 = 30%

33.23.43.63.8

44.24.44.64.8

5

2 4 6 8 10 12 14 16Gemiddelde druksterkte injectiemateriaal: (fgr)

V(fgr)=0,10V(fgr)=0,15V(fgr)=0,20V(fgr)=0,25

variatiecofficint vanhet injectiemateriaal

T=3,7

Vinj=20%Vinj=25%Vinj=30%

Figuur 14: Evolutie van de betrouwbaarheidsindex bij consolidatie van meerschalig metselwerk

De modelonzekerheid () wordt ingevoerd omdat het verband opgesteld is op basis van eenbeperkt aantal experimenten. De sterkte van het genjecteerde breuksteenmetselwerk op haarbeurt kan verkregen worden uitgaande van de sterkte van de grout (fgr) via:

(14)f finj grinf,..= 0 31 1 18

De parameters van de toevalsvariabelen zijn samengevat in Tabel 11.

Toevalsvariabelen parameter cov [%] PDF

verticale spanningbuitenparementopvulmetselwerkgroutvolume holtengenjecteerd volumemodelonzekerheid

S [N/mm2]fext [N/mm2]finf [N/mm2]fgr [N/mm2]V0 [%]Vinj [%]

1.04.260.5112.0530var1

0.070.810.401.04//0.15

719789//15

NLNLNLNconstantconstantN

Tabel 11: Toevalsvariabelen en hun parameters

Op basis van deze analyse is het mogelijk om evaluatiecurven op te stellen ter controle van deuitgevoerde injectie. Figuur 14 geeft de betrouwbaarheidsindex weer in functie van devullingsgraad en de materiaalparameters van het injectieproduct.

Hieruit blijkt dat niet enkel de gemiddelde druksterkte van de grout van belang is, maar tevens

-xliv-

de spreiding op deze materiaalkarakteristiek. Dit benadrukt het belang van een verzorgdeuitvoering.

6.2. Een kolom belast op een excentrisch aangrijpende drukkrachtBij de beoordeling van de veiligheid (uiterste grenstoestand) van een metselwerk kolom, belastop een excentrische drukkracht, wordt zowel een elastisch-bros (overeenkomstig NBN B24-301,1980) alsook een elastisch-plastisch materiaalmodel (overeenkomstig EC6, 1995) geanalyseerd,Figuur 3. De winst in veiligheid wordt bekeken. Daarnaast wordt ook de invloed van eenbeperkte treksterkte in rekening gebracht bij het optreden van scheurvorming(gebruiksgrenstoestand).

Voor de niveau III methode worden zowel de traditionele methodes, Hoofdstuk 2, als degecombineerde technieken uit Hoofdstuk 3 gebruikt. Dit laat toe hun efficintie onderling tevergelijken. De toevalsvariabelen zijn samengevat in Tabel 12.

Toevalsvariabelen parameter cov [%] PDF

verticale krachtexcentriciteitbreedtediktedruksterktetreksterkte

FV [N]e [mm]w [mm]d [mm]fc [N/mm2]ft [N/mm2]

1400001506006004.260.28

140002530300.810.11

1017551939

NNNNLNLN

Tabel 12: toevalsvariabelen en hun parameters

De resultaten van de betrouwbaarheidsanalyse zijn weergegeven in Tabel 13. De impact van eenmeer gedetailleerd materiaalmodel laat zich gevoelen in de betrouwbaarheidsindex. Niet enkelvoor de uiterste grenstoestand (elastisch-bros elastisch-plastisch): =3.66 4.06 of pf = 1.310-4 2.5 10-5, maar ook voor de gebruiksgrenstoesand (NTM ft 0): =-1.96 0.52 of pf= 0.98 0.30. De veiligheid neemt in beide gevallen een orde grootte toe. Door het beterbegrijpen van het structureel gedrag, zal de betrouwbaarheidsindex verder convergeren naar derele waarde. Oudere structuren, ontworpen op basis van een elastisch-bros of NTMmateriaalgedrag, neigen dan ook de veiligheid eerder conservatief te benaderen.

Ondanks het sterke niet-lineaire verloop van de uiterste grenstoestand in functie van deexcentriciteit (e), waarvoor een 2de orde veelterm niet het optimaal functioneel verband is, zijnde DARS en MCARS+VI procedures in staat om de faalkans accuraat te schatten. Omdat degrenstoestandsfuncties analytisch beschikbaar zijn, leveren de traditionele methodes zoalsFORM/SORM een vergelijkbare efficintie. Daar waar het centrum van het responsoppervlak(gemiddelde waarden voor de toevalsvariabelen) zich reeds in het faalgebied bevindt, biedtDARS/MCARS geen uitkomst. Dit doet zich voor bij het NTM materiaalmodel in degebruiksgrenstoestand.

Uiterste grenstoestand - elastisch-bros materiaalmodel

-xlv-

niveau III procedure pf #LSFE

nauwkeurigheid

DARS (add=var)MCARS+VI (add=3.0)MCARS+VI (add=var)

3.663.663.66

1.24 10-41.24 10-41.36 10-6

2482332

V(pf)=51%, ()=0.17, V()=0.04V(pf)=51%, ()=0.17, V()=0.04V(pf)=42%, ()=0.17, V()=0.04

Uiterste grenstoestand - elastisch-plastisch materiaalmodel

DARS (add=var)MCARS+VI (add=3.0)MCARS+VI (add=var)

4.164.064.08

1.60 10-52.44 10-52.25 10-5

1112923

V(pf)=67%, ()=0.09, V()=0.02V(pf)=67%, ()=0.09, V()=0.02V(pf)=67%, ()=0.09, V()=0.02

Gebruiksgrenstoestand - NTM materiaalmodel

FORM/SORMDARS/MCARS

-1.96/

0.98/

23/

//

Gebruiksgrenstoestand - ft 0

DARS (add=var)MCARS+VI (add=3.0)MCARS+VI (add=var)

0.520.480.55

0.300.320.29

16029028

V(pf)=9%, ()=0.42V(pf)=9%, ()=0.42V(pf)=9%, ()=0.42

Tabel 13: Resultaat betrouwbaarheidsanalyse voor de verschillende grenstoestanden

Wanneer een probabilistische benadering wordt gebruikt, wordt de impact van elketoevalsvariabele begroot. Deze informatie is niet beschikbaar van een analyse volgens demethode der grenstoestanden (niveau I). Daarin worden veralgemeende invloedsfactorenaangenomen voor de verschillende probleemvariabelen.

6.3. Metselwerk bogenDit voorbeeld illustreert de praktische toepasbaarheid van de DARS en MCARS+VI methodevoor het geval de grenstoestandsfunctie enkel impliciet beschikbaar is. De automatischekoppeling tussen de betrouwbaarheidsprocedure en de grensanalyse via Calipous maken hetmogelijk de ganse procedure in een gesloten lus uit te voeren. Er zijn geen verdere manuelehandelingen vereist. De grensanalyse Calipous berekent de veiligheidsfactoren (g en S) voorde faalcriteria van de metselwerk boog op basis van een NTM-model en enkele geometrischeparameters, Tabel 14, Figuur 15.

Toevalsvariabelen Parameter cov [%] PDF

binnenstraal boogdikte boogafwijking t.o.v cirkelboog verticale kracht

x1 = r0 [m]x2 = d [m]x3= dr [m]x4 = FV [N]

2.500.160.0750

0.020.020.02150

0.040.17/20

NNNLN

Tabel 14: Toevalsvariabelen en parameters

Deze kunnen eenvoudig vergaard worden via een landmeetkundige opmeting. Op basis daarvan

-xlvi-

FV~LN(750,(150))

d~N(0.16,(0.02))

50 blokkenr=r0+drr0~N(2.5,(0.02))dr~N(0,(0.02))

Figuur 15: Metselwerk boog - definitie toevalsvariabelen

kan een eerste schatting gemaakt worden van het aanwezige veiligheidsniveau.

Omwille van de twee impliciete faalmodes, zijn DARS en MCARS+VI bijzonder geschikt omde systeemfaalkans te begroten, Tabel 15. Bij het gebruik van FORM/SORM zou de oplossingslechts convergeren naar een componentbetrouwbaarheid. Een systeemanalyse is dan vereist omuit deze componentbetrouwbaarheden een benaderende systeembetrouwbaarheid af te leiden.

Wanneer de huidige veiligheid onvoldoende blijkt, laat een sensitiviteitsanalyse in het meestwaarschijnlijke faalpunt (u*) toe om het effect van mogelijke interventies te beoordelen. In ditgeval is de dikte (d) de variabele met de grootste invloed op de veiligheid. Een toename van deveiligheid moet dan ook gezocht worden in een toename van de gemiddelde dikte of een afnamevan de spreiding op de dikte, Tabel 15. Dit eerste betekent een ingreep in de structuur, dit laatstebetekent een nauwkeurigere opmeting. Het responsoppervlak kan gebruikt worden om snel eeneerste schatting van de winst in veiligheid te begroten. Een toename in de nauwkeurigheid vande opmeting ((d) = 0.005 i.p.v 0.02 m) leidt tot een toename in betrouwbaarheid van 1.26 naar3.4-3.55, wat nagenoeg gelijk is aan de algemene streefwaarden, Hoofdstuk 1. Wanneer ditvoldoende wordt geacht, kan de structuur onaangeroerd blijven. Indien niet, dan is eenverhoogde gemiddelde dikte tot 0.21 m nodig om de betrouwbaarheid te verhogen tot 3.67-3.83.

Het gebruik van een variabele additionele afstand add=var, bewijst een zeer bruikbareverbetering te zijn in de praktijk. Het aantal grenstoestandsevaluaties daalt beduidend tegenoverde DARS methode met een constante afstand add=3.0. In dit voorbeeld is de winst in rekentijdvoelbaar. Een grensanalyse met Calipous vergt ongeveer 20 seconden. De winst is groternaarmate het responsoppervlak beter in staat is om het rele gedrag van de structuur te benaderen.Het feit dat doorheen de verschillende analyses, de waarde add varieert tussen 0.05-1.60,bevestigt dit. Daarnaast kiest de betrouwbaarheidsanalyse zelf welk functioneel verband uit eenfamilie van lage orde veeltermen, wordt verkozen. In sommige analyses is dit een zuiver

-xlvii-

kwadratisch model, in andere zijn ook de lineaire- en kruistermen aanwezig.

procedure d~N(0.16,(0.02))

pf LSFE(CPU-time)

nauwkeurigheid

DARS (add= 3.0)DARS (add=var)MCARS+VI (add=3.00)MCARS+VI (g,add=var)

1.261.221.251.30

0.110.120.110.10

149 (50 min)43 (17 min)45 (18 min)23 (12 min)

V(pf)= 33%, ()=0.15V(pf)= 33%, ()=0.15V(pf)= 33%, ()=0.15V(pf)= 33%, ()=0.15

betrouwbaarheidsanalyse - verhoogde nauwkeurigheid op de dikte: d~N(0.16,(0.005))

DARS (add= 3.0)DARS (add=var)MCARS+VI (add=3.00)MCARS+VI (g,add=var)

3.443.553.433.46

2.1 10-41.9 10-42.1 10-42.7 10-4

122 (41 min)34 (13 min)60 (22 min)56 (21 min)

V()=0.05V()=0.05V()=0.05V()=0.05

betrouwbaarheidsanalyse - verhoogde gemiddelde dikte: d~N(0.21,(0.02))

DARS (add= 3.0)DARS (add=var)MCARS+VI (add=3.00)MCARS+VI (g,add=var)

3.723.693.833.67

1.0 10-41.1 10-40.6 10-41.2 10-4

126 (52 min)45 (17 min)34 (14 min)23 (12 min)

V()=0.05V()=0.05V()=0.05V()=0.05

Tabel 15: Betrouwbaarheidsanalyse - initile toestand en mogelijkheden voor verhoogdebetrouwbaarheid

Een gelijkaardige gedachtegang gaat op voor MCARS+VI. Het toevoegen van een variabeleafstand in de uitkomstruimte (g,add=var) leidt ook hier tot een verbetering. Hetresponsoppervlak valt nagenoeg samen met het rele structurele gedrag. De uiteindelijkevariabele afstanden zijn zeer beperkt en variren tussen: g,add= 0.016-0.09.

6.4. Metselwerk afschuifwandenAfschuifwanden hebben als functie het opnemen van horizontale lasten. Deze komen meestalvan de windbelasting op het gebouw. In dat geval zijn ze beperkt in vergelijking tot de verticalelasten. In aardbevingsgevoelige gebieden kunnen ze genduceerd worden door grondbewegingen.Dan kunnen ze de dominante belasting worden.

In de uiterste grenstoestand, gaat de interesse bij afschuifwanden voornamelijk naar het multi-modaal faalgedrag (verbrijzelen van metselwerk, trekbreuk en afschuifbreuk). Om dit gedrag opeen voldoende realistische manier te beschrijven volstaat het niet langer een linear-elastischmateriaalgedrag te hanteren. Het materiaalmodel moet de spanningsherverdeling na het optredenvan de eerste trekscheuren kunnen simuleren. Om rekening te houden met het fysisch niet-lineairgedrag, wordt de analyse uitgevoerd met het eindige elementen pakket Atena2D.

De toevalsvariabelen zijn samengevat in Tabel 16. De initile verticale verplaatsing is eenvertaling van de invloed van het eigengewicht van de bovenliggende structuur.

-xlviii-

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7Horizontale verplaatsing dx [mm]

Horizontale verplaatsing voor gemiddelde horizontale kracht

FH,max = 117,7 kN

X

Y

X

Y

dxFH

Optreden eerste scheur

71,7

45

0,56

Figuur 16: Kracht-verplaatsingsverloop voor gemiddelde waarden materiaalparameters

Toevalsvariabelen Parameter cov [%] PDF

S

R

x1x2x3x4x5x6x7

Horizontale krachtVerticale verplaatsingE-moduluscofficint van Poissondikte van de wanddruksterktetreksterkte

FH [kN]dy [m]E [N/mm2] [-]d [m]fc [N/mm2]ft [N/mm2]

456.04 10-416420.190.1884.260.28

11.255.4 10-51400.060.0080.810.10

2598320.41936

LNLNNLNNLNLN

Tabel 16: Toevalsvariabelen en hun parameters

Het kracht-verplaatsingsdiagramma voor de gemiddelde materiaalparameters en de optredendeschade zijn weergegeven in Figuur 16.

Uit de resultaten van de betrouwbaarheidsanalyses, Tabel 17, blijkt dat niet voldaan is aan destreefwaarden voor de uiterste grenstoestand: =3.55

-xlix-