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2) Un corpo di massa 15 kg è posto su un piano inclinato di 20°. Una forza
orizzontale di 200 N fa risalire il corpo lungo il piano inclinato con
un’accelerazione di 0.25 m/s2. Qual è il coefficiente d’attrito fra il corpo e il
piano inclinato?
3) Un corpo di 0.60 kg scivola senza attrito su un lungo piano inclinato di 30°.
Sul corpo agisce la resistenza aerodinamica R=(-0.80 kg/s) v. Calcola la velocità
limite del corpo.
Lavoro ed Energia Il lavoro L svolto da una forza
costante è il prodotto scalare della
forza per lo spostamento del punto
di applicazione della forza
medesima
sFFssFL //cos
F = 0
L = 0 se: s = 0
= 90°
[L] = [ML2T-2]
N x m = J (S.I.)
dyne x cm = erg (C.G.S.)
1J = 107 erg
F//
esempio 1
Il lavoro svolto da F per sollevare il blocco di massa m è L = mgh
Il lavoro svolto da F durante lo spostamento d è nullo ( = 90°)
Il lavoro svolto dalla forza di gravità è Lg = -mgh
esercizio
Un uomo tira una cassa con una forza F =
90N e la sposta di 2.0 m. La fune forma un
angolo di 60° rispetto al pavimento. Calcolare
il lavoro svolto da F. Quale forza avrebbe
dovuto applicare, a parità di L, se la fune
fosse stata parallela al pavimento ( = 0°) ?
L = F x s = Fs cos = 90 J; F’ = L/(s cos ) = 45 N
θ
Lavoro svolto da una forza variabile
xFL
xFLL
xFL
jx
jj
jj
0lim
f
i
x
x
dxxFL
Lavoro svolto da una molla
kxF
2222
2
2
1
2
1
2
1
fiif
x
x
x
x
x
x
el
xxkxxk
kxkxdxFdxLf
i
f
i
f
i
legge di Hooke
Potenza la potenza è la rapidità con cui viene svolto un lavoro
o, più in generale, la rapidità con cui viene trasferita
dell’energia
potenza
media
potenza istantanea
t
LP
dt
dL
t
LP
t
0lim
[P] = [ML2T-3]
J/s = W (S.I.)
erg/s (C.G.S.)
h=146 m;
V= 2,3 x106 m3;
2,5 x106 blocchi;
20 anni;
rroccia=2700 Kg/ m3
PIRAMIDE DI CHEOPE…
Energia cinetica e teorema delle forze vive
2
2
1mvK energia cinetica
KL teorema delle forze vive
l’energia è la capacità di compiere un lavoro
Campi di Forza
esempio: campo
gravitazionale (radiale
attrattivo)
campo: regione dello spazio sotto l’azione di una forza.
Ad ogni punto dello spazio si può associare un vettore
che rappresenta la forza agente su un corpo sonda posto
in quel punto.
un campo viene rappresentato graficamente
mediante le linee di forza (tangenti al vettore
campo).
campo elettrico, +q
(radiale repulsivo)
Forze conservative e forze non conservative
B
A
dsFL
se L1 L2 L3 forza non conservativa
se L1 = L2 = L3 forza conservativa
se le forze sono conservative il lavoro lungo un
percorso chiuso è nullo
A
B
1
2
3
LAA = L1 + (-L2) = 0
BABBBAAAAB UUzyxUzyxUL ,,,,
zyxU ,,Energia Potenziale
ABAB LUUU
se UB = 0 LAB = UA B posizione di riferimento
U(x,y,z) è definita a meno di
una costante additiva
BAAB UUL
A C
B
LAC = UA – UC
LCB = UC – UB LAB = LAC + LCB = UA –UC + UC – UB = UA – UB
L’energia potenziale in un punto è il lavoro svolto dalle forze del campo
per spostare il corpo da quel punto alla posizione di riferimento.
[U] = [ML2T-2] J (S.I)
erg (C.G.S)
Se prendiamo C come posizione di riferimento
esempio: il campo gravitazionale è conservativo
mghU
mghLL
mghdsenmgdmgdPL
LLL
ABCB
AC
CBACAB
0
cos
energia potenziale
gravitazionale
B
A
ymgmgdyLU
mghhPLAB
A
B C
P = mg
c
a
b h
d
y
O
esempio: il campo dovuto all’azione di una
forza elastica è conservativo kxF
22
2
1fi xxkL
2
2
1kxxU energia potenziale elastica
se xi = xf (ciclo) L = 0 Fel è conservativa
l’energia è la capacità di compiere un lavoro
)(2
1 22if xxkLU
se xi = 0
Principio di conservazione dell’energia meccanica
ipotesi: campo conservativo, sistema isolato
UUUL fi KmvmvL if 22
2
1
2
1
EUK
UKUK
KKUU
ffii
iffi
E = energia meccanica totale
in un sistema isolato in cui agiscano solo forze
conservative l’energia meccanica totale si conserva
esempio: moto di un grave
ffii mgymvmgymv 22
2
1
2
1
se U(yi) = 0 e vf = 0
g
vy
mgymv
if
fi
2
2
1
2
2
esempio: sistema massa molla
2222
2
1
2
1
2
1
2
1ffii kxmvkxmv
se U(xi) = 0 e vf = 0
k
mvx
kxmv
if
fi
22
22
2
1
2
1
Per rendere fertili le uova, lo sperma del granchio reale deve
penetrare attraverso due strati protettivi dello spessore di circa 40
mm. Per ottenere ciò un insieme lungo 60 mm di filamenti di
actina assemblati tra loro viene raddrizzato e spinge con una
forza di 1.9x10-9 N. Se i filamenti di actina hanno una massa
dell’ordine di 10-16 Kg, quale è il modulo della velocità di
filamenti alla fine di questo processo?
Un vagone di massa m=1000 Kg viene sparato da una molla di
costante k=1000 N/m sul punto iniziale di un percorso di
montagne russe (h=60m). Di quanto è stata accorciata la molla
durante il caricamento per raggiungere quel punto?
Una volta partito il vagone che velocità avrà nel punto 2=?
Se per attrito si perde un 30 % dell’energia nel punto 2 quanto
sarà l’altezza nel punto B?
2
h=?
Quantità di moto
Data una particella di massa m e velocità v si definisce
quantità di moto: p = mv [P] = [MLT-1] Kg m/s (S.I.)
Esempio: v = 10 m/s, m1 = 1 kg, m2 = 10 kg p1 = 10 kg m/s, p2 = 100 kg m/s
dt
pd
dt
vmd
dt
vdmamF
Relazione valida anche per sistemi a
massa variabile
dt
pdFF extris
Se il sistema è isolato la
risultante delle forze è nulla e
la q.m. si conserva
.cos00 tpdt
pdFris
II legge di Newton
esempi: il cannone e il biliardo m1, v1 m2, v2
ffii pppp 2121
se si conserva
anche l’energia
cinetica l’urto si
dice ELASTICO
URTI….
Completamente
ELASTICO: si conserva
anche l’energia cinetica
Completamente
ANELASTICO: le due
masse dopo l’urto restano
attaccate
2
22
2
11
2
22
2
11
22112211
2
1
2
1
2
1
2
1ffii
ffii
vmvmvmvm
vmvmvmvm
fii vmmvmvm
212211
Il centro di massa il centro di massa di un corpo o di
un insieme di corpi è quel punto
che si muove come se tutta la
massa fosse ivi concentrata e tutte
le forze esterne agissero in quel
punto
cmrisext aMFF
Esempio: i fuochi d’artificio