2 Domini Di Comportamento AA-2012_13

8/19/2019 2 Domini Di Comportamento AA-2012_13

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENTALESezione Geotecnica

Comportamento dei terreni in presenza di carichi dinamici e ciclici

Prof. Ing. Claudia Madiai

DEFINIZIONIIn generale

CARICHI “DINAMICI” : carichi variabili nel tempo (in intensità e/o direzione

prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica

Se la variazione è abbastanza lenta rispetto alle caratteristiche dinamiche delproblema in esame, si può ritenere di essere nel campo delle azioni statiche

Nella Dinamica dei Terreni

CARICHI “DINAMICI” : carichi con velocità di applicazione così elevata da nonpoter trascurare le forze di inerzia e gli effetti indotti sul terreno (modificadelle condizioni di drenaggio, effetti viscosi )

CARICHI “CICLICI” : alternanza periodica (più o meno ‘regolare’ ) di fasi dicarico, scarico, ricarico

Un carico dinamico può essere:- monotono - ciclico

2 2


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2

DEFINIZIONI

Nelle più comuni applicazioni ingegneristiche i carichi dinamici sonogeneralmente anche ciclici e possono essere di tipo:


impulsivo (esplosioni) contenente frequenze molto elevate (fino anche a 300 Hz)

transitorio (terremoti) contenente prevalentemente frequenze medie (1 ÷10 Hz)

vibratorio (macchine industriali, traffico, etc.) contenente frequenze medio-alte(comunque superiori a 1 Hz)

CARATTERIZZATI DA UN ANDAMENTO ‘IRREGOLARE’

ondulatorio (vento, onde, ..) contenente frequenze molto basse (minori di 1 Hz)CARATTERIZZATI DA CICLI ‘REGOLARI/PERIODICI’

NB: Anche i carichi più irregolari (come i terremoti) possono essere ricondotti,applicando il teorema di Fourier, ad una sommatoria di carichi ‘regolari’(funzioni armoniche elementari)

3 3

LEGAME FREQUENZA-AMPIEZZA-VELOCITÀ DI APPLICAZIONEPer definire completamente un carico ciclico periodico ad andamento ‘regolare’(es. sinusoidale, rettangolare, triangolare ) occorre conoscere:

ampiezza


Relazione tra frequenza f , ampiezza Amax e velocità di applicazione

per un carico ciclico periodico di forma ‘triangolare’

A&

periodo: T= 1/f

frequenza durata

2T 3T

Α

Αmax

Α

A

&

max

&

t

f = 1/T bassavelocità di caricobassa

f = 1/T altavelocità di caricoalta

T/4

-Αmax

4 4

max


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3

Campi di frequenza tipici di alcune sorgenti di vibrazione


SORGENTE DI VIBRAZIONI C AMPO DI FREQUENZA [HZ]

Terremoti 1÷10

Moto ondoso 0.05 ÷ 0.2

Vento ~ 0.7

Traffico stradale e ferroviario ~ 1

Infissione di pali, cadute di magli 1÷10

Macchine industriali > 10

Esplosioni > 100

5 5

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

I carichi dinamici producono nel terreno vibrazioni meccaniche che si propagano intutte le direzioni imprimendo alle particelle del mezzo attraversato dei movimenti di


r r r rr r r u zequilibrio

Si generano così delle onde progressive di sforzo e di deformazione che, per

analogia con quelle generate dai terremoti, sono denominate ‘onde sismiche’ Le vibrazioni si attenuano con la distanza dalla sorgente e si smorzano nel tempo a

meno che la sorgente non sia continua (es. macchine vibranti)

’ ’ en e an amen o ne empo e ne o spaz o e e so ec az on e e ormaz oncicliche indotte nel terreno dai carichi dinamici dipendono strettamente dallecaratteristiche del carico dinamico, oltre che dalle proprietà del terreno

TEORIA DELLE VIBRAZIONI6 6


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4

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

La fase successiva al rilascio di energia è quello della propagazione delle ondesismiche nel mezzo ‘terreno’


n genera e, n pross m e a sorgen e:

- i carichi dinamici periodici regolari producono vibrazioni periodiche e regolari;- i carichi dinamici ad andamento impulsivo e casuale producono vibrazioni irregolari Ad una certa distanza dalla sorgente le vibrazioni indotte possono comunque avereun andamento irregolare nel tempo e nello spazio per effetto di vari fenomeni(riflessione e rifrazione all’interfaccia fra i vari strati di terreno e all’impatto con lasuperficie libera; interazione tra terreno e vibrazioni)

TEORIA DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE

La teoria della propagazione delle onde sismiche nei mezzi continui ed elastici è difondamentale importanza per comprendere i problemi legati alla propagazione delle ondesismiche nei terreni (anche se i terreni reali hanno caratteristiche molto particolaridifficilmente riconducibili a quelle del mezzo continuo ed elastico) 7 7

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE In prossimità della superficie libera il terreno e le sovrastanti costruzioni sono

soggetti a vibrazioni che inducono oscillazioni (libere o forzate) e deformazioni

Se la frequenza fondamentale delle vibrazioni si avvicina a quella del sistema-


Vibrazionidellastruttura

σvσvτ

δ

+τ δ‐δ

‐τ

Propagazione delle onde in direzione verticale

Nel seguito, quindi, verrà concentrata l'attenzione sullegame tra sollecitazioni e deformazioni di taglio (piano τ, γ)

In campo dinamico le deformazioni più critiche per la stabilitàdei terreni e delle opere sono le deformazioni di taglio γdovute al passaggio delle onde di taglio (onde S)

O N D E S

γ = δ/H = τ/G

δ

H

γ

= deformazione di taglio

G = modulo di taglio

δδ

8 8

τ = sforzo di taglio


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CARATTERISTICHE DEI PROBLEMI GEOTECNICI DINAMICI

il carico è dinamico e ciclico (varia rapidamente e irregolarmente nel


⇒ la velocità di applicazione e la successione di fasi di carico, scaricoe ricarico producono effetti sul terreno (modifica delle condizioni didrenaggio con possibile accumulo di pressioni interstiziali, effettiviscosi, sviluppo di deformazioni irreversibili, variazione di rigidezzae resistenza)

⇒ sforzi e deformazioni sono funzioni del tempo e si utilizzano ‘e uazioni d'onda’ anziché ‘e uazioni di e uilibrio’ er descrivere le

variazioni dello stato tensio-deformativo

il comportamento del terreno viene definito in termini di tensioni edeformazioni di taglio in un range molto ampio (da piccolissime agrandi deformazioni)

9 9

PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

Per la progettazione in zona sismica devono essere affrontate trefondamentali categorie di problemi:


1. identificazione delle caratteristiche dell‘azione sismica

2. analisi delle modalità di propagazione delleperturbazioni nel mezzo di trasmissione attraversato(terreno) e studio delle mutue interazioni fra vibrazionie mezzo attraversato

3. studio degli effetti indotti sul terreno e sui manufatti

Per affrontare i problemi indicati ai punti 2 e 3 è necessaria laconoscenza del comportamento del terreno in condizioni dinamiche

(DINAMICA DEI TERRENI)

10 10


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6

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

l’effetto indotto dai carichi dinamici sul terreno è molto più complesso rispettoalle condizioni statiche specie nei terreni saturi ove la velocità di applicazionedei carichi non consente la dissi azione delle sovra ressioni interstiziali.


Ciò può causare:

- nei terreni poco permeabili (argille) un’attivazione e rafforzamento dei legamiintramolecolari e un conseguente incremento della rigidezza e della resistenza

- nei terreni molto permeabili (sabbie) una riduzione delle tensioni efficaci econseguentemente della resistenza

Sono dunque spesso identificabili condizioni di deformazione e di resistenza

il comportamento del terreno sotto l’azione di carichi dinamici e ciclici è moltopiù complicato di quello esibito sotto l’azione di carichi dinamici monotoni: laripetitività del carico fa sì che gli effetti dinamici di modificazione dellecondizioni di drenaggio e di natura viscosa possano essere particolarmenterilevanti e produrre nel terreno effetti permanenti significativi

molto diverse durante l’applicazione dei carichi dinamici e dopo

11 11

a)


Non esistono condizioni di caricoesclusivamente dinamico (c’èsempre il peso proprio, poi spinte,


- se il rapporto è piccolo (a)l’influenza è limitata;

b)

ε0, u0

Acaric i esterni…

L’influenza dei carichi dinamici (eciclici) dipende dalla velocità di

applicazione e dal rapporto tral’ampiezza A del carico dinamico eciclico e lo sforzo statico iniziale τ0:

- in caso contrario (b)l’influenza è sensibile e gli effetticonseguenti dipendono da:- caratteristiche dell’azione dinamica- natura dei terreni- condizioni di drenaggio

ε0, u0

12 12


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7

1. conoscenza del comportamento dei terreni attraversati dalle onde sismiche in


La previsione realistica della risposta di un sottosuolo alle azioni sismiche richiede:


rove di laboratorio che riproducono condizioni analoghe a quelle del terrenoin sito sotto una determinata azione sismica

2. identificazione di un modello interpretativo di tale comportamento (leggecostitutiva ) per ogni strato di terreno attraversato dalle onde sismiche

3. accurata misura o stima dei parametri dinamici richiesti dal modello

a. quali sono gli stati di sollecitazione e deformazione indotti nell’elemento divolume dalle azioni sismiche

b. come si può applicare ad un provino di laboratorio una sollecitazione di taglioequivalente a quella indotta da un terremoto reale

13 13

a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

L’azione sismica in un deposito determina:


in prossimit e a super icie on eprevalentemente di taglio che sipropagano verticalmente (onde SHcon direzione di propagazioneverticale), ovvero tensioni tangenzialiτcyc e deformazioni di taglio γcycdinamiche e cicliche

condizioni non drenate conl’instaurarsi di sovrappressioniinterstiziali

14 14


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8

1) Prima del sisma sui piani orizzontali e


a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

sforzi normali (totali) σv e σh

tensioni tangenziali τst(nel caso di pendio o di caricoapplicato in superficie)

ver ca sono presen :

h

2) Durante il sisma vengono indotti sforzi di taglio dinamici

e ciclici τcyc

15 15

Il moto del terreno prodotto dall’azione sismica è irregolare in ampiezza efrequenza e pertanto anche gli sforzi di taglio hanno un andamento irregolare

+τ

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE


τ

In laboratorio, invece, per poter rendere i risultati generalizzabili, è utile fareriferimento a sequenze regolari di forma semplice (armonica, triangolare,

(a)O

t

−τ

τcyc

, . ,

È quindi necessario stabilire un’equivalenza tra gli sforzi di taglio applicati in laboratorio e quelli presenti (o ‘attesi’ ) in sito durante l’evento sismico

“TEORIA DEL DANNO EQUIVALENTE”

Seed et al., 1975

“Numero di cicli equivalente” 16 16


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9

1. Una sequenza irregolare di cicli di carico può essere considerata come unasommatoria di sequenze di cicli regolari, ognuna delle quali costituita da N i ciclidi am iezza



(b) Ot

+τ

−τ−τ

τi i, Ν

τ1

τ2

τ3

τ4

τcyc

2. Un elemento di terreno può essere portato a rottura in infiniti modi, ognunodei quali è caratterizzato da una particolare combinazione di ampiezze dellosforzo di taglio e di numero di cicli, ad esempio :

- con una sommatoria di Nif cicli di ampiezza i - con Nef cicli di ampiezza arbitraria e

17 17

3. L’effetto di Neq cicli di ampiezza τe è equivalente (danno equivalente) a quellodella sommatoria di Ni cicli di ampiezza τi e quindi a quello della sequenzairregolare iniziale (a) :



∑

f i

i

f e

eq

N

N

N

N

f e

f i

ieq N

N

N N

⋅

∑

+τ

τe eq , Ν

Magnitudo

M

Numero dei cicli equivalenti

N eq

Ot

−τ

6.5 8

7 12

7.5 15

8 20 τe = 0.65 τmax

18 18


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Modificazioni della struttura del terreno indotte dacarichi dinamici e ciclici

Il comportamento del terreno in presenza di carichi dinamici e ciclici è assaicomplesso a causa di:


- natura granulare del materiale- presenza di più fasi- instaurarsi di condizioni non drenate

In generale, le azioni dinamiche e cicliche:

in terreni asciutti comportano variazioni di volume in terreni saturi comportano variazioni delle pressioni interstiziali

Le modifiche della struttura del terreno (MICROSCALA) per effetto di carichidinamici e ciclici dipendono da:

natura del terreno (coesivo o incoerente) stato di addensamento o di consistenza iniziale (D r o I C ) ampiezza dello sforzo di taglio ciclico (τ) numero di cicli di carico (N )

19 19

Effetti della ciclicità

MEZZO IDEALE (sferette uguali, lisce e prive di peso)

In relazione allo stato di addensamento iniziale si avrà:


- terreno sciolto ⇒ iniziale riduzione di volume- terreno denso ⇒ iniziale aumento di volume

A PRESCINDERE DALLO STATO INIZIALE:

l’applicazione di un carico ciclico comporta l’alternanza di riduzioni e aumenti divolume; il comportamento è simmetrico (ad una inversione di τ corrispondeun’inversione di δ)

τ σ σ σ

δ δ

stato sciolto

stato addensato

τ τ σ σ σ

20 20


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11

Effetti della ciclicitàMEZZO IDEALE (sferette uguali e lisce) DOTATO DI PESO


e e s erette sono otate peso non c p s mmetr a: comportamentodiverso in relazione allo stato di addensamento iniziale:

{τ piccolo ⇒ riduzione di volume immediata e quasidefinitiva

τ grande ⇒ aumenti e riduzioni di volume con gradientedecrescente com lessiva densificazione

- stato sciolto

(il materiale tende a ‘dimenticare’ lo stato iniziale)

τ piccolo ⇒ movimento ciclico con piccole variazioni divolume regolari

- stato addensato

21 21

Effetti della ciclicità - TERRENI INCOERENTI ASCIUTTIτ piccolo ⇒ riduzione di volume contenuta (spostamento versoil basso delle particelle più piccole e rotazione delle più grandi) ecomportamento quasi reversibile- stato sciolto


τ gran e ⇒ r uz one vo ume n z a e gran e eprogressiva densificazione

τ piccolo ⇒ solo movimento ciclico delle particelle con

variazioni di volume praticamente nulle- stato addensato

{τ grande ⇒ alternanza di aumenti (comportamentodilatante) e riduzioni di volume con progressiva lentadensificazione

τ τσ σ σ

δ

δ δ

δSTATO SCIOLTO

(eτ

grande)

STATO ADDENSATO

(eτ

piccolo)

δ δ

δ δ

22 22


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12

Effetti della ciclicità - TERRENI COESIVI ASCIUTTI

progressiva rottura dei legami; orientamento delle particelle;- soffici


variazioni di volume significative solo per τ grandi; alternanzadi aumenti (comportamento dilatante) e riduzioni di volume concomplessiva diminuzione per numero di cicli elevato

- compatti{

τ τ σ σ σ

δδ

23 23

TERRENO SOFFICE

Agli effetti della ciclicità (“load repetition effects ”) si aggiungono altri effetti legatialla velocità di applicazione dei carichi (“strain velocity effects ”) che complicano

Effetti della velocità di applicazione del carico


no evo men e qua ro e e poss r spos e e erreno sopra u o n presenzadi acqua

Il comportamento di un terreno saturo è governato dal principio delle pressioni

efficaci e la resistenza a rottura è convenzionalmente descritta dal criterio diMohr-Coulomb

τ = σ ‘ tg ϕ’ + c’’ =σ ‐ u

L’applicazione veloce di carichi ciclici in un terreno saturo produce condizioni nondrenate e quindi una modificazione del regime delle pressioni interstiziali e dellepressioni efficaci, con ricadute sulla rigidezza e sulla resistenza al taglio

24 24


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14

Prova triassiale: carico dinamico monotono (2/2)

materiali argillosi e limosi (Ip = 15-50 %; w=20-50%)


s ara,

E d / E

s t

-per εa < 0.2%, il modulo di Young secante,Ed, non è molto influenzato dalla velocità diapplicazione del carico (Ed /Est 1)

-per εa > 2% Ed /Est > 1(con una tendenza a crescere all’aumentaredi εa , fino a raggiungere valori superiori a 2)

Deformazione assiale, εa

- la resistenza in prove rapide è sempre maggiore di quella in prove statiche e il rapportotra resistenza dinamica e resistenza statica può raggiungere valori anche superiori a 2

27 27

In generale la resistenza al taglio in condizioni di carico dinamico monotono èmaggiore di quella in condizioni statiche

Prova di taglio semplice: carico dinamico monotono


γ = δ/h = tg(θ) ≅ θτ = Τ/Α

con A: area della sezione

στ δ

hθ

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

÷

÷

=

15.10.1

0.35.1

F sabbie

F argille resistenza dinamica

F

T: forza di taglio

resistenza statica

28 28


15/28

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Parametri che influenzano la resistenza in condizioni dinamicheIn generale la resistenza al taglio in condizioni di carico dinamico aumenta

all’aumentare del grado di sovraconsolidazione, OCR, dell’indice di plasticità, IP ,

e della velocità di deformazione,γ&


29 29

Comportamento dei terreni in condizioni di carico dinamico monotono

curva di decadimento dellarigidezza con la deformazione


Parametri che definiscono la curva dorsale: • modulo di ta lio iniziale Gmax o G0

γ γ

curva sforzi deformazionidi taglio (‘backbone curve’

o ‘curva dorsale’)

• sollecitazione di taglio massima τmax

Sulla curva G-γ si identificanodue importanti livelli deformativi(soglie di deformazione ):

(≅ iperbole )( )( ) γ τ

γ γ τ

⋅+⋅

=maxmax

max

/1 G

G

• soglia di deformazione lineare (o elastica), γl• soglia di deformazione volumetrica, γv

30 30


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16

DEFINIZIONI SOGLIA DI DEFORMAZIONE LINEARE (O ELASTICA), γl :

deformazione di taglio oltre la quale il comportamento del terreno diventa


.Convenzionalmente viene definita, con riferimento alla curva G-γ, come ladeformazione di taglio in corrispondenza della quale il valore del modulo ditaglio G è pari al 95% del valore del modulo di taglio massimo Gmax

γl = γ (G=0.95 Gmax)

SOGLIA DI DEFORMAZIONE VOLUMETRICA, γv :deformazione di ta lio oltre la uale

- in condizioni drenate si hanno deformazioni volumetriche irreversibili- in condizioni non drenate si hanno incrementi della pressione interstiziale

È definita come la deformazione di taglio in corrispondenza della quale ilrapporto tra le sovrappressioni interstiziali e la pressione media diconfinamento raggiunge un valore prestabilito (di norma Δu/σ’ 0=1%)L’esperienza ha evidenziato che per γ=γv , G/Gmax=0.60÷0.85

31 31

I domini di comportamento del terreno e le relative soglie di deformazione,identificate sulla “curva dorsale” con riferimento a prove dinamiche di taglio

monotone, possono essere identificate anche in condizioni dinamiche e cicliche

Prova di taglio semplice: carico dinamico ciclico


Si considerano tre provini saturi dello stesso materiale (1, 2 e 3):

• consolidati alla stessa pressione di consolidazione verticale (σ’v)

• sottoposti a sforzi di taglio ciclici regolari, totalmente invertiti, di

ampiezza rispettivamente pari aτ

1 ,τ

2,τ

3 (τ

1 <τ

2 <τ

3)(“prova a sforzo controllato”)

CON RIFERIMENTO AL 1° CICLO DI CARICO

32 32

(Provini 1, 2 e 3)

σ’v

σ’h H (u0) σ’h

σ’v T t

(u0 + Δu)

δ

v

τ G0 G 11 τmax

γ

τ3

τ2

τ1


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17

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorio

Per uno sforzo di taglio ciclico, τ1, molto basso (⇒ γ1 moltobassa), si osserva:


τ

all’aumentare del numero dei cicli di carico-scarico, l'andamento delle

PROVINO 1

COMPORTAMENTO(VISCO)ELASTICOLINEARE

t

t

t

τ1

τ1

τ τ

γ

γ γ

u

D O M I N I O E L A S T I C O

L I N E A R E

SFORZO

CONTROLLATODEFORMAZIONE

CONTROLLATA

γ1

τ1

Δu

deformazioni e delle pressioni interstiziali è caratterizzato da piccoleoscillazioni intorno allo zero i cicli di carico, scarico, ricarico risultano praticamente ‘chiusi’ (modesta

dissipazione di energia) e sovrapposti indipendentemente dal valore di τ1(comportamento elastico lineare)

33 33

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorioPer uno sforzo di taglio ciclico maggiore (τ2 > τ1), ovvero tale da produrre unadeformazione di taglio ciclica maggiore (γ2 > γ1), si osserva:


SFORZO

CONTROLLATO

DEFORMAZIONE

CONTROLLATA

PROVINO 2

COMPORTAMENTO VISCOELASTICONON LINEARE

(ISTERETICO STABILE)

t

t

t

ττ

2

γc

τ τ

γ γ

γ

N1 10 100

γc

γ

u

D O M I N I O I S

T E R E T I C O

S T A B

I L E

G

1

Δu

i cicli di carico, scarico, ricarico sono approssimabili ad ellissi (cicli di isteresi )⇒ si ha dissipazione significativa di energia per attrito

all’aumentare del numero dei cicli di carico l’ampiezza massima delladeformazione ciclica cresce, stabilizzandosi intorno a un valore limite γc; i ciclidi isteresi tendono a sovrapporsi, assumendo la stessa forma (comportamentonon lineare: γc e energia dissipata dipendono dal valore di τ2)

le pressioni interstiziali oscillano intorno allo zero in modo all’incircasimmetrico 34 34


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18

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorioPer uno sforzo di taglio ciclico ancora maggiore (τ3 > τ2), ovvero tale daprodurre una deformazione di taglio ciclica elevata (γ3 > γ2), si osserva:


SFORZO DEFORMAZIONE

CONTROLLATA

PROVINO 3

COMPORTAMENTO VISCO-ELASTO-PLASTICONON LINEARE

(ISTERETICO INSTABILE)

t

t

t

ττ

3

γc

γ

γ

N1 10 100

γV

u

D O M I N I O I S T E R E T I C O

I N S T A B I L E

τ τ

γ γ

G11 G

n1

γc

Δu

l’ampiezza delle deformazioni e le pressioni interstiziali cresconoprogressivamente con il numero di cicli di carico

all'aumentare del numero dei cicli di carico, l'area racchiusa da ciascun ciclodi isteresi è sempre maggiore e la direzione della retta congiungente gliestremi è sempre più inclinata

l'azione continuata degli sforzi di taglio ciclici produce una crescenteinstabilità della struttura interna del terreno che porta il provino al collasso 35 35

Definizione del rapporto di smorzamento Il comportamento dissipativo del terreno viene interpretato facendo riferimento ad

un ciclo τ-γ corrispondente all’intera sequenza di carico, scarico e ricarico

La rigidezza media durante il ciclo è espressa con il modulo elastico equivalente


backbonecurve pp

eqGγ

τ =

S

D

W

W D

π 4=

eq pp pp -

se i cicli tensione-deformazione sono simmetrici, Geq coincide con il modulo secanteG della backbone curve

L’energia dissipata è definita mediante il rapporto di smorzamento D

W D

W S

γc• W D = area del ciclo di isteresi• W S = energia elastica immagazzinata in OA

La definizione di D deriva dalla teoria delleoscillazioni libere smorzate di un sistema visco-elastico ad un grado di libertà

36 36


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19

Definizione del rapporto di smorzamento

MODELLO DI KELVIN-VOIGT

m = massa del sistema


u

= cos an e e as ca e a mo ac = coefficiente di viscosità dello smorzatoreu = spostamento del sistema

0=++ kuucum &&&

Si definisce:

Equazione di moto per oscillazioni libere (F(t)=0)

[1]

pulsazione naturale del sistema

coefficiente di smorzamento critico

RAPPORTO DI SMORZAMENTO

00 f 2mk π ω == [2]

[3]

[4]

k

c

m

c

km

c

c

c

c 222

0

0

ω

ω ξ ====

kmcc 2=

37 37


Con le suddette definizioni l’equazione di moto diventa: 02 2

00 =++ uuu ω ξω &&&


Riferendosi al sistema ad un grado di libertà (SDOF - Single Degree of

Freedom) visco-elastico di Kelvin-Voigt,

t ut u sin)(0

=

la velocità è data da : t ut u ω cos)( 0=&

soggetto ad uno spostamento armonico:

z u z v :

t uct kut F t F t uct kut F ck ω ω cossin)()()()()( 00 +=+=+= &

componente

non dissipativa

componente

dissipativa

38 38


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20

Definizione del rapporto di smorzamentoL’energia dissipata in un ciclo di oscillazione, ovvero tra t0 e t0+T, è data dall’areainterna al ciclo di isteresi ovvero:

/2 /20 0t t ω π ω π + +


2

0

2

0

222

0

2

0 0

cos ucucdt t ucdt dt

F W t t

c D ω π ω

ω ω ω ==== ∫ ∫ [7]

20

2

1kuW S = [8]

F

u0-u0

ku0

0uωc

In corrispondenza del massimo spostamento, lavelocità è nulla e l’energia elastica accumulataè data da:

u

a e equaz on e segue c e:)/( 20uW c D ω π =

20/2 uW k S =

Sostituendo le espressioni di c e k nella [4], avendo posto si ottiene la

definizione di:

0ω ω =

S

D

c W

W

k

c

c

c D

π ξ

42

0 ====39 39


Se il comportamento del terreno è rappresentabile con il modello di Kelvin-Voigt• l’equazione sforzi-deformazioni è data dae se γ ha andamento armonico con ampiezza γc e frequenza circolare ω

γG' γGτ &⋅+⋅=


• un ciclo di isteresi è rappresentato da un’ellisse di area

• l’energia elastica immagazzinata tra 0 e γc è:

2' c D GW γ π ω = τ

γc

GγcG’ ωγc2

2

1cS GW γ =

γ

):' G( viscosità

Si osserva che D dipende dalla frequenza del carico ciclico,ovvero dalla velocità di deformazione

NOTA: i metodi per la determinazione del rapporto di smorzamento da provedinamiche di laboratorio fanno riferimento al SDOF visco-elastico di Kelvin-Voigt

G

G

W

W D

S

D

2

'

4π ==

Vale quindi laseguente relazione:

40 40


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21

DOMINI DI COMPORTAMENTOIn relazione all'ampiezza dello sforzo di taglio dinamico τ (o della deformazionedi taglio γ) i terreni mostrano comportamenti diversi. Al crescere dell'ampiezzadella deformazione di taglio si individuano tre diversi domini di comportamento:

1 elastico lineare er <


,

2) isteretico stabile, per γl


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22

Dominio elastico lineare


ELEVATE

l γ γ <

43 43

Dominio isteretico stabile

Si è nel dominio ‘isteretico stabile’ quando γl < γ < γvTale dominio di comportamento è caratterizzato da:


ciclo di carico, scarico, ricarico (comportamento visco-elastico)

deformazione massima crescente per alcuni cicli di carico fino ad un valore limitelegato all’entità della sollecitazione in modo non lineare;forma dei cicli τ−γ tendenti ad un limite legato al livello deformativo raggiunto

sovrappressioni interstiziali oscillanti intorno allo zero, con media quasi nulla

⇒ il comportamento non lineare del terreno è descritto mediante curve G(γ) e D(γ)

PROBLEMI DINAMICI: terremoti (risposta sismica locale), carichi ciclici irregolaritransitori con frequenze tra 1 e 10 HzMODELLI: visco-elastico lineare equivalente o non linearePARAMETRI: G0, D0 e leggi di variazione G=G(γ) e D=D(γ)

Medi livelli deformativi (5·10-3 % ≅ γl ≤ γ ≤ γv ≅ 10-1 %)

44 44


23/28

23

Dominio isteretico stabile

ELEVATE


v

45 45

Dominio isteretico instabile (1/2)

Si è nel dominio isteretico stabile quando γ > γvale dominio di comportamento è caratterizzato da:


significative deformazioni permanenti (comportamento elasto-plastico)

ampiezza massima della deformazione legata all’ampiezza della sollecitazionee progressivamente crescente col numero di cicli di carico N; significativa

dissipazione di energia durante un ciclo di carico, scarico, ricarico conandamento dei cicli di isteresi dipendente dal livello deformativo raggiunto edal numero di cicli di carico N (comportamento marcatamente non lineare)

accumulo di deformazioni volumetriche nei terreni asciutti o accumulo di’ ,

numero di cicli di carico N

⇒ il comportamento del terreno deve essere descritto mediante relazioniG(γ, N), D(γ, N) e Δu(γ, N)

46 46


24/28

24

Dominio isteretico instabile (2/2)

Inoltre, poiché applicando un numero crescente di cicli si può raggiungerela rottura⇒ è necessario talvolta conoscere le leggi di degradazione della


resistenza del terreno con il numero dei cicli τcyc = τcyc(N)

PROBLEMI DINAMICI: terremoti distruttivi e esplosioni (carichi ciclici irregolaritransitori di notevole entità e con frequenze elevate)

MODELLI: non lineari elastoplastici, con incrudimento, ecc.

PARAMETRI: G0, D0 e leggi di variazione con deformazione di taglio γ e numero

Elevati livelli deformativi (γ ≥ γv ≅ 10-1 %)

di cicli N: G = G(γ, N); D = D(γ, N); Δu = Δu (γ, N)τcyc =τcyc (N)

(per livelli deformativi γ > 5 ·10-1 % si può definire undominio di collasso incrementale con sviluppo di elevate

deformazioni progressive fino alla rottura generalizzata dei

contatti interparticellari)47 47

Dominio isteretico instabile


ELEVATE

vγ γ >48 48


25/28

25

TERRENI A GRANA GROSSA E A GRANA FINE

Dal punto di vista qualitativo i comportamenti descritti sono caratteristici di tutti i terreni;nello specifico la risposta dei terreni a grana grossa si differenzia da quella dei terreni a


Il comportamento dei terreni a grana grossa è governato esclusivamente da:

modificazioni dello scheletro solido (dilatanza )

principio delle pressioni efficaci

Il comportamento dei terreni a grana fine è più complesso e dipende anche dallana ura e egam n erpar ce ar

In particolare l’applicazione veloce di carichi dinamici potenzia i legami interparticellarimentre l’applicazione di carichi cicl ici opera nella direzione opposta, che è quella diprodurre fenomeni di fatica del materiale e una sua progressiva destrutturazione

49 49

SOGLIE DI DEFORMAZIONE

L’esperienza ha evidenziato che γv / γl 30 (Vucetic, 1994)γv ‐γl un ordine di grandezza (massimo due)

-3 -2


l

Valori tipici della soglia volumetrica: γv ≅ 10-2 ÷10-1 %

I valori delle soglie sono più elevati per le argille che per le sabbie

FATTORI CHE INFLUENZANO LE DUE SOGLIE:

1) nei terreni incoerenti: indice dei vuoti pressione di confinamento (tensioni geostatiche)

2) nei terreni coesivi:

indice di plasticità grado di sovraconsolidazione velocità di deformazione aging e cementazioneN.B. Le due soglie dipendono invece poco dalla pressione di confinamento 50 50


26/28

26

SABBIE – Andamento del rapporto sovrappressioniinterstiziali/pressione di confinamento per diversi valori di Dr



Δu/σ’0 = 0 per γ < 10‐4

u / ’ 0

51 51

TERRENI COESIVI – Influenza di IP su γl


1.E-01


1.E-03

1.E-02

t h r e s h o l d s h e a r s t r a i n , γ l

[ % ]

Senigallia Quaternary soils

- }

Crespellani e Simoni (2007)

γl = 0.0001 IP1.326 e l a s t i c a l i n e a

r e , γ l

[ % ]

1.E-04

0 10 20 30 40 50 60 70

plastici ty index, PI [%]

l i n e a r c y c l i

-

Gori (1998)

Several Authors (from Lo Presti, 1989)

Silvestri (1991)

Simoni (2003)

}

= .

Indice di plasticità, IP [%]

S o g l i

52 52


27/28

27

TERRENI COESIVI – Influenza di IP su γv


+


1.E-02

1.E-01

.

c l i c t h r e s h o l d s h e a r s t r a i n ,

V

[ % ]

Seni all ia Quaternar soils

Lo Presti (1989)

Lo Presti (1989)

Vucetic (1994)

Crespellani e Simoni (2007)

γ = 0.0024 I 0.859 a v o l u m e t r i c a , γ v

[ % ]

1.E-03

0 10 20 30 40 50 60 70

plasticity index, PI [%]

v o l u m e t r i c c y

Gori (1998)

Simoni (2003)

Tika et Al. (1999)Lo Presti (1989)

R 2=0.762 S o g l i

Indice di plasticità, IP [%]

53 53


ARGILLE DI SENIGALLIA


In uenza i IP su γl e γv

γ

v ‐γ

l ≅ costante al variare di IP

ARGILLE DI SENIGALLIAInfluenza di σ’ 0 sull’incremento delle

pressioni interstiziali

54 54


28/28

Influenza di OCR e di IP su γv



v o l u m e t r i c a , γ v

[ % ]

Grado di sovraconsolidazione, OCR

S o g l i a

55 55

2 Domini Di Comportamento AA-2012_13

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