1ra Prac a. Mat IV 4to c Civil 2012-II 2013

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

Creada por ley: 25265

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE CIVIL- HUANCAVELICA

CTEDRA : ANLISIS MATEMTICO IV

CATEDRTICO : Mag. Mat. CASTAEDA CAMPOS, Csar

ALUMNOS : CONDORI DUEAAS, Tony Edison

: MERINO ORTIZ, Rodrigo

: PAITN MONTAEZ, Claudio

: PEREZ QUISPE, Vitaliano

: QUISPE ALARCON, Willian Carlos

: TELLO LAURA, Ciro Robinson

: TORIBIO FERNANDEZ, Wilmer

CICLO : IV

SECCIN : B

HUANCAVELICA-PER

2013

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASTEMA:


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ANLISIS MATEMTICO IV Pgina 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD CIENCIAS DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL- HUANCAVELICA

A nuestros padres por su apoyo

incondicional y al docente que se

esfuerza da a da en transmiti rnos

nuevos conocimientos


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INTRODUCCIN

El presente trabajo de Anlisis Matemtico IV, ejercicios resueltos de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias que hemos realizado con el esfuerzo y dedicacin con los

integrantes del grupo, donde hemos tratado diversos mtodos para el desarrollo de

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias estudiados en clase.

LOS ALUMNOS


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PRIMERA PRCTICA DE ANLISIS MATEMATICO IV

I. Hallarelorden y grado de cada una de las EDOs:1). Solucin:

2). } Solucin:

} } )=


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3).

Solucin:

La ecuacin diferencial es de:

4 orden ; 5grado

4). Solucin:

3er orden; 2do grado

5). Solucin: }

Aplicamos la frmula:


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} } } }


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8). Solucin:

De orden 2 y grado no definido.

II. Verificar que la funcin dada es o no una solucin de la ecuacin diferencial ordinaria que laacompaa y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solucin:

1). Solucin:

Hacemos la primera derivada.

(I) Hacemos la segunda derivada.

Remplazamos en la ecuacin (I) la segunda derivada.

-6a entonces no se hace cero.ESTONCES no es solucin.2). Solucin:

Hacemos la primera derivada.


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Reemplazando la ecuacin (1) en (2)

}}3). Solucin:

-Reemplazamos II en I y el valor de y en funcin de x

* +


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4).

Solucin:

0

5). Solucin:

,

,


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7). { ||

||

Solucin:

{

|| || ||

||

|| || ||

||

8). , Solucin:

,

Reemplazando en ,


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9). Solucin:

()() -Reemplazamos II en I y el valor de Y en funcin de X[( )()]

11). ( ) Solucin:

( ) Reemplazando

( )


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Por lo tanto

( ) ; No es una solucin

III. Hllese una ecuacin diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las

relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas.

1). Solucin:

Numero de constantes (A, B)=2

Entonces la EDO es de 2 orden.

.2). Solucin:

Hacemos la primera derivada con respecto t

Sumamos la ecuacin 1 y 2 Hacemos la segunda derivada.


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En la ecuacin 1 reemplazamos el valor de A.

* + Los valores A y B reemplazamos en la ecuacin (3).

3). Solucin:Hacemos derivada respecto a x

Reemplazando ecuacin (2) en ecuacin (1).


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4). || Solucin:

|| ..1 Reemplazando en 1

Reemplazando en || || || 5). Solucin:

Derivamos: Derivamos (1):

Derivamos (3):


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Remplazamos (6) en (4): Remplazamos (6) y (7) en (2):

Remplazamos A, B y C en:


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6).

Solucin:

Derivando se tiene

Reemplazando la ecuacin (2) en (1).

Derivando de nuevo .respuesta7).

;

Solucin:

Primera derivada ..Segunda derivada

..

Sumamos las ecuaciones:


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Sumamos las ecuaciones:

Reemplazamos las variables a la ecuacin:

Rpta: 8). Solucin:

Numero de constantes (A, B)=2

Entonces la EDO es de 2 orden.


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IV. Hllese una ecuacin diferencial para cada una de las siguientes familias de las

curvas en el plano:1). Todas las rectas con pendiente igual a 1.

Solucin:


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2). Rectas con la pendiente y la interseccin con el eje iguales.Solucin:

3). Rectas con la pendiente y la interseccin con el eje iguales.Solucin:

- - - -

()


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4). Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a . SolucinSolucin:

Sea y=Ax+B la familia de rectas

Si y=0 Por condicin

5). Circunferencias con el centro en el origen.

Solucin:

Como los valores de h, k son ceros entonces se tiene. Derivando


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6). Circunferencias sobre el eje

EC. Circunferencia: Como la circunferencia esta sobre el eje , entonces es su centro que est en el eje ; cumpleque: ....derivando .derivando

Rpta:

8). Circunferencias con centro en el punto arbitrario radio igual a (

Solucin:

( )


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9). Parbolas con el eje paralelo al eje y con la distancia del vrtice al foco igual a

.

Solucin:

10). Parbolas con el eje y el foco sobre el eje Solucin:

Si:

derivando con respecto a x

Reemplazando en la ecuacin de la parbola


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11). Parbolas con el eje paralelo al eje.Solucin:

Por definicin de parbolas Por lo tanto su ecuacin diferencial es de tercer orden

Entonces derivamos la ecuacin (I)

Reemplazamos en la ecuacin (II) en (I)

Derivando la ecuacin (III)


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Derivando la ecuacin (IV)

.. Respuesta12). Hiprbolas equilteras con centro en Solucin:

Las hiprbolas equilteras se caracterizan por tener sus ejes transverso y conjugado de

igual longitud.

Es decir luego si la ecuacin de la hiprbola es: , toma la forma ms simple

Primera derivada de y:

Segunda derivada de y: ()

()

()


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Tercera derivada de y:

()

()

()

()

()()()() 13). Circunferencias tangentes al eje.Solucin:

Primero la ecuacin de la circunferencia es. El centro de la circunferencia es: C(h;k).

Como es tangente al eje x. Entonces r=k. .(1)Derivamos la ecuacin (1).

.(2)Hacemos la segunda derivada.

Hallamos el valor de h en la ecuacin (2).

reemplazamos en la ecuacin (1) los valores de h y k.


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,

-

,

-

, - , -

, - , - , -

,

-

, - 15). Tangentes a la parbola .Solucin:


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-

( ) -

-

.

/

( ) .Rpta


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V. Determinar para que valores de cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales ordinarias tiene soluciones de la forma

:

1). Solucin:

Si tiene la siguiente forma . (1)

.. (2)

2). Solucin:

Segn el dato: Derivando

Reemplazando en (1)


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} 3). ..Primera derivada de .

...

Segunda derivada de . ....Tercera derivada de . ....Reemplazamos las ecuaciones calculadas en la ecuacin diferencial.

Factorizando: factorizando por la teorema de Ruffini. Luego tenemos los valores de m:

}


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VI. Aplicando el mtodo de las isoclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones

diferenciales ordinarias siguientes:

2). Solucin:

Familia de isclinas

k=1

K=0

K=-1


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Creciente o decreciente


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3).

Solucin:

K=9

K=4

K=0

K=1

Rectas paralelas cuyo rango

es:


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-

- Analizar si una curva isclina es una o no una curva integral

- Analizar la existencia y unicidad


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VI. Resulvase cada una de las siguientes EDOs. de variables separables:2). Ahora integramos directamente cada trmino: .Rpta.


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3 Solucin:

Cancelamos y sumamos lo resto.

Por variables separables tenemos.

Luego integramos.

4). Solucin:


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5). Solucin:

-

- Rpta.6). Solucin: Probando si son homognea

,


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,

,

. Reemplazando

( -( =0 =

|| () ..Rpta.


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7). Solucin:

() Por lo tanto

M y N son homogneas de grado 1 Reemplazando

Integrando

||

||

..respuesta


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8). Solucin:

M N

Como vemos no se va a poder solucionar con variables separables,

Pero vamos a probar, si es una ecuacin diferencial exacta: Son iguales, por tanto, si es EXACTA.Ahora, integremos directamente, haciendo en As, tenemos:

+ + * + * + C

..respuesta9). Solucin:

Utilizamos el primer mtodo de cambio de variable.

;

;

;


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Entonces hacemos la sustitucin. .i .iiHallamos el valor de x, y Entonces.

;

Deriamos. ; Reemplazamos en la ecuacin original. probamos si es homognea.

M= M Y N son homogneas de grado 1.

Entonces hacemos la sustitucin.

Aplicamos variables separables. Integramos.


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|| ; ||

|| || Reemplazando los valores anteriores.

||

||

10). Solucin:

|| | | | | 11). Solucin:

||


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-

-

.

/

12. Solucin:


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VIII. Resulvase las siguientes EDOs mediante un cambio de variable:

1). Solucin:

Sea

Remplazando:


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.Rpta.

2).

Cambio de variable:

Reemplazamos:

Ahora integramos directamente cada trmino:


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3). Resolvemos por el segundo mtodo de cambio de variable.

Para ello hacemos la sustitucin.

Reemplazamos en la ecuacin principal.

Integramos.

|| ||

4).

Solucin:

||


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Ya que el resultado de estas derivadas son iguales quiere decir que la ecuacin es

exacta:

Integramos la ecuacin del siguiente modo:

5). Solucin: -

6). Solucin:


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M N

Como vemos no se va a poder solucionar con variables separables,

Pero vamos a probar, si es una ecuacin diferencial exacta: Son iguales, por tanto, si es EXACTA.Ahora, integremos directamente, haciendo en As, tenemos: + +

10). Solucin:


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;

11).

Solucin:

[ ] * + * +

* +


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||

|| || ( )|| || ||

|| || =c

|| || || || ||

Rpta.

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