1.Matrius S MACS

Lescarabat dorEdgar Allan Poe

A tots ens agradaria trobar un tresor que resolgus elsnostres problemes. De vegades no sabem exactament com hauria de ser. Daltres vegades ho sabem, per no tenim el mapa; o tenim un mapa ambles instruccions codificades. Aix s el que va li va passar a en Legrand, el protagonista de Lescarabat dor. Havia trobat el pergam al costat de les restes dunvaixell pirata, lhavia posat al foc perqu surts a la llum el missatge escrit amb tinta invisible, pernoms hi va aparixer el reguitzell de signes queveiem en el pargraf seleccionat.

Per la firma, de seguida va adonar-se que aquest missatge amagava un text en angls. Desxifrar-lo era elpreu que en Legrand havia de pagar pel seu tresor. Iho va aconseguir. En aquest pargraf explica a un amic com va comenar a desxifrar el missatge que el portaria fins al tresor amagat pels pirates. La seva estratgia inicial va ser comparar lafreqncia dels signes en el missatge amb la freqncia de cada lletra en la llengua anglesa. Elmissatge desxifrat en angls el podem trobar en qualsevol edici del relat, i tradut al catal, literalment, seria:

Un bon got a lhostal del bisbe a la cadira del diable quaranta-un graus i tretze minuts Nord-est i des del Nord branca principal set brot costat Est solar quart de lull esquerre del cap de mort una lnia recta des de larbre a travs de la bala cinquanta peus cap a fora.

Podem veure que el missatge encara t un aire misteris i incomprensible, i, ara, el problema consisteix a interpretar-lo. Amb imaginaci, constncia i una mica de sort, en Legrand va entendre qu significa aquest aparent galimaties va aconseguir desenterrar un tresor fabuls. Persaber com va fer-ho, sha dacabar de llegir el relat, que s un dels ms extraordinaris dEdgar Allan Poe.

42

1SOLUCIONARIO

L I T E R AT U R A I M AT E M T I Q U E S

Lescarabat dor[Juntament amb les restes dun vaixell pirata, el protagonista va trobar un pergam amb un missatge ple de signes:( 5 3 + 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 . ) 4 ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 6 Va sospitar que indicava la posici dun tresor i va comenar a desxi-frar-lo.]

Vaig comptar tots els signes i vaig formar aquesta taula.

Signe 8 ; 4 ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 - .

Freqncia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1

La lletra ms freqent en un text angls s la e. Desprs, la srie s la segent: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina fins al punt que s difcil trobar una frase dalguna longitud de la qual no si-gui el carcter principal. Com que el signe predominant s el 8, co-menarem per assignar-lo a la e de lalfabet natural. [] Ara, de totes les paraules, the s la ms usual; per tant, hem de veure si est repetida una combinaci de tres signes, lltim dels quals sigui el 8. [] Hi ha ni ms ni menys que set combinacions dels signes ; 4 8. Podem, per tant, suposar que ; representa t, 4 representa h, i 8 representa e.Acabem de fixar una sola paraula; pero aquesta paraula ens permet tamb descobrir alguns principis i finals dunes altres paraules. Vegem, per exemple, el penltim cas en qu apareix la combinaci ;48 gaire al final del missatge. Sabem que el ; que ve immediatament desprs s el principi duna paraula, i dels sis signes que segueixen a aquest the, en coneixem, al menys, cinc. Substitum, doncs, aquests signes per les lletres que representen, i deixem un espai per al desconegut: t_eeth.Provem lalfabet complet per trobar una lletra que es pugui adaptar aaquest forat i formi una paraula amb sentit. Ens nadonem que no existeix. Per tant, hem de descartar el grup th com a part daquesta paraula. Aix doncs, redum els signes a t_ee.Emprem lalfabet, si cal, com abans, i arribem a la paraula tree (arbre), com lnica intelligible. Obtenim, aix, una altra lletra, la r represen-tada per (.

EDGAR ALLAN POE

Nmeros realesMatrius1

917486 _ 0042-0089.indd 42 15/01/10 12:40

43

Lescarabat dorEdgar Allan Poe

A tots ens agradaria trobar un tresor que resolgus elsnostres problemes. De vegades no sabem exactament com hauria de ser. Daltres vegades ho sabem, per no tenim el mapa; o tenim un mapa ambles instruccions codificades. Aix s el que va li va passar a en Legrand, el protagonista de Lescarabat dor. Havia trobat el pergam al costat de les restes dunvaixell pirata, lhavia posat al foc perqu surts a la llum el missatge escrit amb tinta invisible, pernoms hi va aparixer el reguitzell de signes queveiem en el pargraf seleccionat.

Per la firma, de seguida va adonar-se que aquest missatge amagava un text en angls. Desxifrar-lo era elpreu que en Legrand havia de pagar pel seu tresor. Iho va aconseguir. En aquest pargraf explica a un amic com va comenar a desxifrar el missatge que el portaria fins al tresor amagat pels pirates. La seva estratgia inicial va ser comparar lafreqncia dels signes en el missatge amb la freqncia de cada lletra en la llengua anglesa. Elmissatge desxifrat en angls el podem trobar en qualsevol edici del relat, i tradut al catal, literalment, seria:

Un bon got a lhostal del bisbe a la cadira del diable quaranta-un graus i tretze minuts Nord-est i des del Nord branca principal set brot costat Est solar quart de lull esquerre del cap de mort una lnia recta des de larbre a travs de la bala cinquanta peus cap a fora.

Podem veure que el missatge encara t un aire misteris i incomprensible, i, ara, el problema consisteix a interpretar-lo. Amb imaginaci, constncia i una mica de sort, en Legrand va entendre qu significa aquest aparent galimaties va aconseguir desenterrar un tresor fabuls. Persaber com va fer-ho, sha dacabar de llegir el relat, que s un dels ms extraordinaris dEdgar Allan Poe.

1SOLUCIONARI

Una taula numrica com 3 4 1 2 30 1 7 2 1

s un exemple de matriu. Serveix

percodificar problemes o situacions com aquest: Una empresa dautobusos t tres lnies: A, B i C. Dilluns van sortir 4 autobusos de la lnia A, 5 de la B i 3 de la C. Dimarts en van sortir 1 de la A, 7 de la B i 3 de la C. Dimecres, 4 de la A, 5 de la B i 6 de la C. Representa enforma de matriu el trfic daquesta empresa durant els tres dies.

4 5 31 7 34 5 6

A la matriu, les files representen els dies de la setmana, i les columnes cadascuna de les lnies dautobs.

L I T E R AT U R A I M AT E M T I Q U E S

Lescarabat dor[Juntament amb les restes dun vaixell pirata, el protagonista va trobar un pergam amb un missatge ple de signes:( 5 3 + 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 . ) 4 ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 6 Va sospitar que indicava la posici dun tresor i va comenar a desxi-frar-lo.]

Vaig comptar tots els signes i vaig formar aquesta taula.

Signe 8 ; 4 ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 - .

Freqncia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1

La lletra ms freqent en un text angls s la e. Desprs, la srie s la segent: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina fins al punt que s difcil trobar una frase dalguna longitud de la qual no si-gui el carcter principal. Com que el signe predominant s el 8, co-menarem per assignar-lo a la e de lalfabet natural. [] Ara, de totes les paraules, the s la ms usual; per tant, hem de veure si est repetida una combinaci de tres signes, lltim dels quals sigui el 8. [] Hi ha ni ms ni menys que set combinacions dels signes ; 4 8. Podem, per tant, suposar que ; representa t, 4 representa h, i 8 representa e.Acabem de fixar una sola paraula; pero aquesta paraula ens permet tamb descobrir alguns principis i finals dunes altres paraules. Vegem, per exemple, el penltim cas en qu apareix la combinaci ;48 gaire al final del missatge. Sabem que el ; que ve immediatament desprs s el principi duna paraula, i dels sis signes que segueixen a aquest the, en coneixem, al menys, cinc. Substitum, doncs, aquests signes per les lletres que representen, i deixem un espai per al desconegut: t_eeth.Provem lalfabet complet per trobar una lletra que es pugui adaptar aaquest forat i formi una paraula amb sentit. Ens nadonem que no existeix. Per tant, hem de descartar el grup th com a part daquesta paraula. Aix doncs, redum els signes a t_ee.Emprem lalfabet, si cal, com abans, i arribem a la paraula tree (arbre), com lnica intelligible. Obtenim, aix, una altra lletra, la r represen-tada per (.

EDGAR ALLAN POE

Nmeros realesMatrius

917486 _ 0042-0089.indd 43 15/01/10 12:40

44

Matrius

ACTIVITATS

001 Escriu una matriu que compleixi les condicions segents: Dimensi 3 2. a32 = a21 = a11 = 1 a22 = a12 = a31 = 2

La matriu s:

002 Venen llistons de dues qualitats i de dues longituds. Els llistons grans de baixa qualitat costen 0,75 , i els dalta qualitat, 1 , mentre que els llistons petits de baixa qualitat costen 0,45 , i els dalta qualitat, 0,60 . Escriu aquestes dades enforma de matriu.

La matriu ser de dimensi 2 2. Les files nindiquen la qualitat; les columnes, lamida, i els elements de la matriu, el preu.

003 Troba el valor de cada incgnita perqu les dues matrius siguin iguals:

Perqu les matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensi i tots els seus elements han de ser iguals. Les dues matrius sn de dimensi 2 3. x + 1 = 2 x = 1 z + 1 = y + 2 z = y + 1 z = 33 = y + 1 y = 2 x + 2 = 3 x = 10 = 0 z 1 = y z = 1 + 2 = 3La soluci s x = 1, y =2 i z = 3.

004 Escriu un exemple de les matrius segents:a) Una matriu fila amb quatre columnes.b) Una matriu columna amb quatre files.c) Una matriu quadrada dordre 4.

Resposta oberta. Per exemple: a) A = (1 3 1 0)

b)

c)

ABANS DE COMENAR RECORDA

001 Resol aquests sistemes. a) x

xx

yyy

zzz

2 23

3

2

044

+

++

===

b) + = + = =

2 12 3 0

5 7

33

3

y zx y zx y z

a) xxx

yyy

zzz

x2 23

3

2

044

+

++

===

= = + =

y z y z y zy z y z

3 2 3 2 43 3 2 4

( )

= =

==

4 7 44 4

6 00

7y zy z

zz

4y z = 4 z = 0 y = 1

x + y + 3z = 0 y = 1, z = 0 x = 1

La soluci del sistema s x = 1, y = 1 i z = 0.

b)2

2

53

107

2xx

yyy

zz

z y+

+

===

= 11 2 3 2 1 05 7

2 5 35

x y yx y

x yx y

+ = =

=

( ) ==

= 7

10x

x y yx = = = 5 7 175

10

z y zy

= = = =

2 1345

1395

175

La soluci del sistema s x = 10, y z= = 175

395

i .

002 Resol aquests sistemes.

a) + =+ = =

x yx yx y

2 02 52 3 1

2

b) x yx yx yx y

=+ = =

=

44

02 33 4 1

2 3

a) + =+ =

=+ =

x yx y

x yx y

2 02 5

22 52

x y y y y= + = =2 4 5 1

y = 1 y = 2y x = 2

2 x 3y = 1 x = 2, y = 1 4 3 = 1. En aquest cas, la soluci del sistema s vlida.

b) + =+ =

= = =

x yx yx x y

02 33 3 1 1

3x 4y = 1 x = 1, y = 1 3 4 = 1

x 2y = 3 x = 1, y = 1 1 2 = 3

En aquest cas, la soluci del sistema s vlida.

917486 _ 0042-0089.indd 44 15/01/10 12:40

Matrius

45

1SOLUCIONARI

ACTIVITATS

001 Escriu una matriu que compleixi les condicions segents: Dimensi 3 2. a32 = a21 = a11 = 1 a22 = a12 = a31 = 2

La matriu s: 1 21 22 1

002 Venen llistons de dues qualitats i de dues longituds. Els llistons grans de baixa qualitat costen 0,75 , i els dalta qualitat, 1 , mentre que els llistons petits de baixa qualitat costen 0,45 , i els dalta qualitat, 0,60 . Escriu aquestes dades enforma de matriu.

La matriu ser de dimensi 2 2. Les files nindiquen la qualitat; les columnes, lamida, i els elements de la matriu, el preu.

0 45 0 750 60 1

, ,,

003 Troba el valor de cada incgnita perqu les dues matrius siguin iguals:

xz x z

yy y

++ +

++

1 3 0

1 2 12 1 0

2 3

Perqu les matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensi i tots els seus elements han de ser iguals. Les dues matrius sn de dimensi 2 3. x + 1 = 2 x = 1 z + 1 = y + 2 z = y + 1 z = 33 = y + 1 y = 2 x + 2 = 3 x = 10 = 0 z 1 = y z = 1 + 2 = 3La soluci s x = 1, y =2 i z = 3.

004 Escriu un exemple de les matrius segents:a) Una matriu fila amb quatre columnes.b) Una matriu columna amb quatre files.c) Una matriu quadrada dordre 4.

Resposta oberta. Per exemple: a) A = (1 3 1 0)

b) B =

1241

c) C =

1 2 3 40 2 3 15 2 2 01 1 1 1

ABANS DE COMENAR RECORDA

Resol aquests sistemes.

4y z = 4 y = 1

x + y + 3z = 0 x = 1

La soluci del sistema s x = 1, y = 1 i z = 0.

b)2

2

53

107

2xx

yyy

zz

z y+

+

===

= 11 2 3 2 1 05 7

2 5 35

x y yx y

x yx y

+ = =

=

( ) ==

= 7

10x

La soluci del sistema s x = 10,

Resol aquests sistemes.

y = 1 x = 2

2 x 3y = 1 4 3 = 1. En aquest cas, la soluci del sistema s vlida.

3x 4y = 1 3 4 = 1

x 2y = 3 1 2 = 3En aquest cas, la soluci del sistema s vlida.

917486 _ 0042-0089.indd 45 15/01/10 12:40

46

Matrius

010 Efectua aquestes operacions:

a) 2(A B) + 3C b) (2)(A C ) 3(B + 2C )

011 Calcula loperaci amb matrius segent:

012 Troba el valor de x en aquesta igualtat de matrius:

013 Efectua els productes que siguin possibles entre les matriusA, B i C.

A C no es poden multiplicar ja que la dimensi de A s 2 3 i la de C s 2 2. C B no es poden multiplicar ja que la dimensi de C s 2 2 i la de B s 3 2.

005 Escriu matrius que compleixin les condicions segents:a) Matriu diagonal dordre 4 que compleixi que aii = 7.b) Matriu identitat amb tres files.

a) A =

7 0 0 00 7 0 00 0 7 00 0 0 7

b) B =

1 0 00 1 00 0 1

006 Calcula (A B)t, si A i B sn les matrius segents:

A B=

=

1 70 35 4

4 15 8

1 70 35 4

4 15 8

=

t

t4 15 8

1 70 35 4

=

t

4 51 8

1 0 57 3 4

=

31 15 4057 24 27

007 Efectua loperaci amb matrius segent:

+

1 2 10 3 1

2 2 31 0 1

1 44 02 2 1

+

1 2 10 3 1

2 2 31 0 1

1 44 02 2 1

0 8 21 1 3

=

008 Determina els elements que falten si A + B = C.

Aa b

=

3 4 55

B c de

=

23 1

C f=

7 61 1 0

3 4 55

23 1

7 61 1a b

c de

f

+

= 00

5 4 55 3 1

+ ++ +

=

c de a b

f 77 61 1 0

f = 5 4 + c = 7 c = 3 5 + d = 6 d = 15 + e = 1 e = 4 a + 3 = 1 a = 4 b 1 = 0 b = 1

009 Fes aquesta operaci amb matrius:

23 3 11 2 01 5 2

34 0 41 1 20

2 3

1 0 22 3 11 1 0

23 3 11 2 01 5 2

34 0 41 1

22

0 2 3

1 0 22 3 11 1 0

=

5 6 121 2 51 15 13

917486 _ 0042-0089.indd 46 15/01/10 12:40

Matrius

47

1SOLUCIONARI

010 Efectua aquestes operacions:

A =

1 31 2

B =

2 03 1

C =

2 31 2

a) 2(A B) + 3C b) (2)(A C ) 3(B + 2C )

a) 2 3 2 1 32 3

3 2 31 2

( )A B C + =

+

=

8 157 0

b) ( )( ) ( ) ( ) + =

2 3 2 2

3 02 4

3A C B C

=

2 61 5

0 187 7

011 Calcula loperaci amb matrius segent:

2 3 1 4 5012

3 3 1 451

( ) ( )

00

2 3 1 4 5012

3 3 1 45

( ) ( )

=

10

6 2 805

10( )

( )9 3 12

510

==

= + + = + = 6 0 2 5 8 10 9 5 3 1 12 0 10 80 45 3 1122

012 Troba el valor de x en aquesta igualtat de matrius:

( ) ( )1 11

1 9310

x x = 0

( ) ( )1 11

1 9310

x x = = = =0 1 3 0 2 4 2 x x x x( )

013 Efectua els productes que siguin possibles entre les matriusA, B i C.

A B=

=

1 0 22 1 3

3 01 22 3

=

C

1 43 2

A B B A =

=

7 613 11

3 0 65 2 88 3 13

=

B C3 127 0

11 2

=

C A

9 4 141 2 0

A C no es poden multiplicar ja que la dimensi de A s 2 3 i la de C s 2 2. C B no es poden multiplicar ja que la dimensi de C s 2 2 i la de B s 3 2.

Escriu matrius que compleixin les condicions segents:a) Matriu diagonal dordre 4 que compleixi que aii = 7.b) Matriu identitat amb tres files.

Calcula (A B)t, si A i B sn les matrius segents:

1 70 35 4

4 15 8

=

t

t4 15 8

1 70 35 4

=

t

4 51 8

1 0 57 3 4

=

31 15 4057 24 27

Efectua loperaci amb matrius segent:

Determina els elements que falten si A + B = C.

3 4 55

23 1

7 61 1a b

c de

f

+

= 00

5 4 55 3 1

+ ++ +

=

c de a b

f 77 61 1 0

f = 5 4 + c = 7 c = 3 5 + d = 6 d = 15 + e = 1 e = 4 a + 3 = 1 a = 4 b 1 = 0 b = 1

Fes aquesta operaci amb matrius:

917486 _ 0042-0089.indd 47 15/01/10 12:40

48

Matrius

Perqu les dues files siguin dependents han de ser proporcionals, F2 = F1.

018 Determina el rang de les matrius segents:

a) Cap de les tres files no s proporcional a una altra fila. Comprovem si alguna fila s combinaci lineal de les altres dues:

Com que els valors de sn diferents, el sistema no t soluci. Cap fila scombinaci lineal de les altres dues, aix doncs, les tres files sn linealment independents i, per tant, el rang de la matriu s 3.

b) Com que F2 = 2F1 i F3 = 3F1, totes les files sn proporcionals. Aix doncs, el nombre

de files linealment independents s 1 i, per tant, el rang de la matriu s 1.

019 Calcula el rang per mitj del mtode de Gauss:

014 Determina la dimensi de la matriu que resulta daquesta operaci i, desprs, comprova-ho efectuant les operacions.

2 2 1 03 0 1

3 2 13 0

4 5 1

+

22 1 3

La dimensi de la matriu que en resulta s 2 3.

22 1 03 0 1

32 13 0

4 5 12 1

+

33

4 2 06 0 2

36 9 1

12 15 3

=

+

=

=

22 25 342 45 11

015 Comprova si es compleix que A (B + C ) = B A + C A, en qu:

A B C=

=

=

1 12 3

3 12 1

3 01 11

Si no s certa, aplica correctament la propietat.

1 12 3

3 12 1

3 01 1

+

=

1 12 3

0 11 0

=

1 13 2

+

3 1

2 11 12 3

3 01 1

=

1 12 3

5 04 1

+

=

3 33 2

2 31 1

La igualtat correcta s: A B C A B A C + = + ( )

1 12 3

3 12 1

1 12 3

+

=

3 0

1 11 0

12 5+

=

2 19 3

1 13 2

016 Extreu en primer lloc factor com de la matriu A i efectua loperaci B A + C A:

A B=

=

2 01 30 2

2 0 41 3 53 1 1

=

C1 3 22 0 31 1 5

Quina propietat has aplicat quan has extret factor com?

Per extreure factor com apliquem la propietat distributiva per la dreta.

B A C A B C A + = + ( )

( )B C A+ =

+

2 0 41 3 53 1 1

1 3 22 0

3

1 1 5

2 01

=

3

0 2

1 31 258 12

017 Completa els elements que falten a la matriu perqu les files siguin linealment dependents:

3 1 29 0

ba c

917486 _ 0042-0089.indd 48 15/01/10 12:40

Matrius

49

1SOLUCIONARI

Perqu les dues files siguin dependents han de ser proporcionals, F2 = F1.

== ==

= ===

9 3

02

33

0

a

bc

ab

c

6

3 1 29 0

3 1 0 ba c

229 3 0 6

018 Determina el rang de les matrius segents:

a)1 1 3 02 1 1 10 3 7 1

b)

1 1 32 2 63 3 9

a) Cap de les tres files no s proporcional a una altra fila. Comprovem si alguna fila s combinaci lineal de les altres dues:

F F F1 2 3

1 2130

= +

= = +

= +=

=

= +

= +

=

12

1 12

3 12

0 12

=

=

=

=

12

32

7212

Com que els valors de sn diferents, el sistema no t soluci. Cap fila scombinaci lineal de les altres dues, aix doncs, les tres files sn linealment independents i, per tant, el rang de la matriu s 3.

rang1 1 3 02 1 1 10 3 7 1

3

=

b) Com que F2 = 2F1 i F3 = 3F1, totes les files sn proporcionals. Aix doncs, el nombre de files linealment independents s 1 i, per tant, el rang de la matriu s 1.

rang1 1 32 2 63 3 9

1

=

019 Calcula el rang per mitj del mtode de Gauss: 3 2 70 1 25 3 0

3 2 70 1 25 3 0 3 3 1

53

= +

F F F

33 2 70 1 2

0193

353

F F F3 3 2

193

3 2 70 1 2

0 0733

= +

rang3 2 70 1 25 3 0

3

=

Determina la dimensi de la matriu que resulta daquesta operaci i, desprs, comprova-ho efectuant les operacions.

La dimensi de la matriu que en resulta s 2 3.

Comprova si es compleix que A (B + C ) = B A + C A, en qu:

Si no s certa, aplica correctament la propietat.

+

3 1

2 11 12 3

3 01 1

=

1 12 3

5 04 1

+

=

3 33 2

2 31 1

La igualtat correcta s:

Extreu en primer lloc factor com de la matriu A i efectua loperaci B A + C A:

Quina propietat has aplicat quan has extret factor com?

Per extreure factor com apliquem la propietat distributiva per la dreta.

Completa els elements que falten a la matriu perqu les files siguin linealment dependents:

917486 _ 0042-0089.indd 49 15/01/10 12:40

50

Matrius

Comprovem que ns la matriu inversa:

023 Calcula, pel mtode de Gauss-Jordan, la inversa daquestes matrius:

024 Troba, pel mtode de Gauss-Jordan, la inversa de la matriu:

020 Troba el rang mitjanant el mtode de Gauss: 1 3 5 78 3 2 142 1 4 0

1 3 5 78 3 2 142 1 4 0 2

=F FF FF F F

2 1

3 3 1

82

1 3 5 70 21 42 420 7 14 14

=

= F F F3 3 2

13

1 3 5 70 21 42 4220 0 0 0

rang1 3 5 78 3 2 142 1 4 0

2

=

021 Calcula, si s possible, la inversa daquestes matrius mitjanant la definici:

a) 1 22 4

b) 3 51 2

a) 1 22 4

1 00 1

=

a bc d

+ =+ =+ =+ =

a cb da cb d

2 12 0

2 4 02 4 1

+ =+ =+ =+ =

a cb d

a cb d

2 12 0

2 2 02 2 1

( )( )

El sistema no t soluci. Per tant, no existeix la matriu inversa.

b)3 51 2

1 00 1

=

a bc d

= =

+ = + =

3 5 13 5 0

2 02 1

a cb da cb d

= =

==

3 5 13 5 0

22 1

a cb d

a cb d

= =

===

6 5 16 3 5 0

251

c cd d

abcd ==

3

Comprovem que 2 51 3

ns la matriu inversa:

3 51 2

2 51 3

1 00 1

=

=

2 5

1 33 51 2

1 00 1

022 Determina, si s possible, la inversa daquesta matriu: 2 3 13 1 10 1 0

2 3 13 1 10 1 0

a b cd e fg h i

=

1 0 00 1 00 0 1

+++

++++++

222333

333

abcabc

defdef

gghighidef

=========

100010001

+ =+ =+ =+ =+ =

2 12 02 33 03

a gb hc ia gb h 11

3 1

2 13 02

c i

a ga gb

+ =

+ =+ =

++ =+ =+ =+ =

hb hc ic i

03 12 33 1

abcghi

= == == =

11

43

211

917486 _ 0042-0089.indd 50 15/01/10 12:40

Matrius

51

1SOLUCIONARI2 3 13 1 10 1 0

a b cd e fg h i

=

1 0 00 1 00 0 1

+++

++++++

222333

333

abcabc

defdef

gghighidef

=========

100010001

+ =+ =+ =+ =+ =

2 12 02 33 03

a gb hc ia gb h 11

3 1

2 13 02

c i

a ga gb

+ =

+ =+ =

++ =+ =+ =+ =

hb hc ic i

03 12 33 1

abcghi

= == == =

11

43

211

Comprovem que

1 1 40 0 13 2 11

ns la matriu inversa:

2 3 13 1 10 1 0

1 1 40 0 13 2 11

=

1 0 00 1 00 0 1

1 1 40 0 13 2 11

2 3 13 1 10 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

023 Calcula, pel mtode de Gauss-Jordan, la inversa daquestes matrius:

a) 6 212 5

b)

3 72 5

a)6 2

12 51 00 1

6 20 1

1 022 2 12

=

F F F 11

6 00 1

5 22 11 1 22

= F F F

=

F F1 1

16

1 0

0 1

56

26

2 1

b)

= +

3 72 5

1 00 1

3 7

01

2 2 123

F F F

33

1 023

1

3 0

1 1 221

= +F F F 00

13

15 2123

11 1

13

=

F F

FF F2 23

1 00 1

5 72 3

=

024 Troba, pel mtode de Gauss-Jordan, la inversa de la matriu:

3 0 12 3 10 1 1

Troba el rang mitjanant el mtode de Gauss:

1 3 5 78 3 2 142 1 4 0 2

=F FF FF F F

2 1

3 3 1

82

1 3 5 70 21 42 420 7 14 14

=

= F F F3 3 2

13

1 3 5 70 21 42 4220 0 0 0

Calcula, si s possible, la inversa daquestes matrius mitjanant la definici:

El sistema no t soluci. Per tant, no existeix la matriu inversa.

b)3 51 2

1 00 1

=

a bc d

= =

+ = + =

3 5 13 5 0

2 02 1

a cb da cb d

= =

==

3 5 13 5 0

22 1

a cb d

a cb d

= =

===

6 5 16 3 5 0

251

c cd d

abcd ==

3

Comprovem que ns la matriu inversa:

Determina, si s possible, la inversa daquesta matriu:

917486 _ 0042-0089.indd 51 15/01/10 12:40

52

Matrius

Matriu triangular inferior dordre 2

Matriu rectangular de dimensi 2 3

Matriu triangular superior dordre 3


026 Sn triangulars les matrius segents? Per qu?

No, perqu ni tots els elements situats per sobre de la diagonal principal ni tots els que hi estan situats per sota sn zero.

No, perqu no s quadrada.

S, perqu tots els elements situats per sobre de la diagonal sn zero.

027 Posa dos exemples daquestes matrius: a) Matriu columna. c) Matriu diagonal. e) Matriu triangular superior.b) Matriu fila. d) Matriu quadrada. f ) Matriu triangular inferior.

Resposta oberta. Per exemple:

028 Calcula la matriu transposada de cadascuna daquestes matrius:

3 0 12 3 10 1 1

1 0 00 1 00 0 1 2

F ==

F F2 123

3 0 1

0 353

0 1 1

1 0 023

1 0

0 0 1

=

F F F3 3 213

3 0 1

0 353

0 049

1 0 0

23

1 0

29

13

1

F F F

F F F

1 1 3

2 2 3

94154

3 0 0

0 3 0

0 049

32

34

9

= +

=

44

32

94

154

29

13

1

=

=

=

F F

F F

F F

1 1

2 2

3 3

131394

1 0 0

0 1 00

0 0 1

12

14

34

12

34

54

12

34

94

025 Classifica les matrius i determinan la dimensi:

A = (1 2 2) B = 017

C =

0 2 34 3 12 0 1

D =

2 00 2

E =

1 00 1

F = 3 0 00 1 00 1 1

G =

0 1 21 0 3

H =

1 1 10 1 30 0 2

J = 3 0

4 8

A = ( )1 2 2 Matriu fila de dimensi 1 3

B =

017

Matriu columna de dimensi 3 1

C =

0 2 34 3 12 0 1

Matriu quadrada dordre 2

D =

2 00 2 Matriu diagonal dordre 2

E =

1 00 1

Matriu unitat dordre 2

917486 _ 0042-0089.indd 52 15/01/10 12:40

Matrius

53

1SOLUCIONARI

F =

3 0 00 1 00 1 1


G =

0 1 21 0 3 Matriu rectangular de dimensi 2 3

H =

1 1 10 1 30 0 2

Matriu triangular superior dordre 3

J =

3 04 8 Matriu triangular inferior dordre 2

026 Sn triangulars les matrius segents? Per qu?

3 2 00 1 40 1 1

0 4 2

1 0 0

3 0 00 1 09 0 1

3 2 00 1 40 1 1

No, perqu ni tots els elements situats per sobre de la diagonal

principal ni tots els que hi estan situats per sota sn zero.

0 4 21 0 0

No, perqu no s quadrada.

3 0 00 1 09 0 1

S, perqu tots els elements situats per sobre de la diagonal sn zero.

027 Posa dos exemples daquestes matrius: a) Matriu columna. c) Matriu diagonal. e) Matriu triangular superior.b) Matriu fila. d) Matriu quadrada. f ) Matriu triangular inferior.

Resposta oberta. Per exemple:

a)

810

c)2 0 00 5 00 0 7

e)3 2 30 3 10 0 1

b) ( )3 2 9

d)

4 90 2

f)

3 0 02 3 03 1 1

028 Calcula la matriu transposada de cadascuna daquestes matrius:

A B C= =

=

( )1 7 2

017

5 4 34 3 12 8 9

=

=

D E4 00 4

0 1 71 9 3

Classifica les matrius i determinan la dimensi:

A = (1 2 2) B = C = D = E =

F = G = H = J =

Matriu fila de dimensi 1 3

Matriu columna de dimensi 3 1

Matriu quadrada dordre 2

Matriu diagonal dordre 2

Matriu unitat dordre 2

917486 _ 0042-0089.indd 53 15/01/10 12:40

54

Matrius

032 Considera les matrius: .

Quina relaci hi ha entre A B i B A?

A B i B A sn matrius oposades.

033 Considera les matrius: Calcula.

a) A + B C c) A B + C e) A (B C )b) A B + C d) A + B + C f ) C (A + B)

034 Determina una matriu X que verifiqui que A + X = B, en qu

i .

035 Considera les matrius:

Efectua, si s possible, els productes segents: a) AB b) BA c) AC d) BC

A B Ct t t=

= =

172

0 1 75 4 24 3( ) 883 1 9

4 00 4

=

D E

t tt =

0 11 97 3

029 Una empresa dautobusos t tres lnies: A, B i C. Dilluns van sortir 5 autobusos a la lnia A, 3 a la B i 4 a la C. Dimarts van sortir 2 autobusos a la lnia A, 1 a la B i 4 a la C. Dimecres en van sortir 1 a la lnia A, 3 a la B i 5 a la C.Representa-ho en forma de matriu.

Ho representem en una matriu de dimensi 3 3. Les files representen els dies dela setmana: dilluns, dimarts i dimecres. Les columnes corresponen a les lnies A, B i C, respectivament. Cada element de la matriu s el nombre dautobusos.

5 3 42 1 41 3 5

030 Una fbrica elabora dos tipus deproductes, X i Y, que ven a tres empreses, A, B i C. Al principi distribua 1.000 unitats de cada producte a cadascuna, per aquest mes lempresa A va rebre 600 unitats de X i 300 de Y; lempresa B va rebre 400 unitats de X i 800 de Y, ilempresa C va rebre 900 unitats de X i 700 de Y. Representa mitjanant una matriu lesdisminucions percentuals que shan produt en la distribuci dels productes aaquestes empreses.

Les files corresponen a cada tipus dempresa, A, B i C, i les columnes corresponen altipus de producte, X i Y. Cada element de la matriu s la disminuci percentual de la producci.

100 100600

1 00040 100 100

3001 000

70

100 1

= =

. .

000400

1 00060 100 100

8001 000

20

100 1009

= =

. .

0001 000

10 100 100700

1 00030

. .= =

40 7060 2010 30

031 Considera les matrius: A B=

=

0 1 61 4 3

9 1 61 8 9

Comprova amb aquestes matrius la propietat commutativa de la suma.

917486 _ 0042-0089.indd 54 15/01/10 12:40

Matrius

55

1SOLUCIONARI

0 1 61 4 3

9 1 61 8 9

9 2 120

+

= 112 6

9 1 61 8 9

0 1 61 4 3

9 2 120

+

= 112 6

032 Considera les matrius: A B=

=

0 54 11 3

5 54 22 3

i

.

Quina relaci hi ha entre A B i B A?

A B =

0 54 11 3

5 54 22 3

=

5 08 31 0

B A =

5 54 22 3

0 54 11 3

=

5 08 31 0

A ! B i B ! A sn matrius oposades.

033 Considera les matrius: A B C=

=

=

1 1 40 1 3

0 1 21 0 3

2 1 21 4 3

Calcula.

a) A + B C c) A B + C e) A (B C )b) A B + C d) A + B + C f ) C (A + B)

a) A B C+ =

3 1 40 5 3

d) + + =

A B C

3 3 02 5 3

b) A B C + =

1 1 40 3 3

e) A B C A B C = + =

( )

1 1 40 3 3

c) + =

A B C

3 1 40 5 3

f ) C A B A B C + = + =

( )

3 1 40 5 3

034 Determina una matriu X que verifiqui que A + X = B, en qu A =

6 1 21 0 4

i B =!

"###

$

%&&&&

0 1 21 9 3

.

A X B X B A+ = = =

!

0 1 21 9 3

6 1 21 0 4

=

6 0 02 9 1

035 Considera les matrius: A B C=

=

=

3 04 8

2 1 11 0 3

4 1

20 5 31 0 2

Efectua, si s possible, els productes segents: a) AB b) BA c) AC d) BC

Una empresa dautobusos t tres lnies: A, B i C. Dilluns van sortir 5 autobusos a la lnia A, 3 a la B i 4 a la C. Dimarts van sortir 2 autobusos a la lnia A, 1 a la B i 4 a la C. Dimecres en van sortir 1 a la lnia A, 3 a la B i 5 a la C.Representa-ho en forma de matriu.

Ho representem en una matriu de dimensi 3 " 3. Les files representen els dies de!la setmana: dilluns, dimarts i dimecres. Les columnes corresponen a les lnies A, B i C, respectivament. Cada element de la matriu s el nombre dautobusos.

Una fbrica elabora dos tipus de!productes, X i Y, que ven a tres empreses, A, B i C. Al principi distribua 1.000 unitats de cada producte a cadascuna, per aquest mes lempresa A va rebre 600 unitats de X i 300 de Y; lempresa B va rebre 400 unitats de X i 800 de Y, i!lempresa C va rebre 900 unitats de X i 700 de Y. Representa mitjanant una matriu les!disminucions percentuals que shan produt en la distribuci dels productes a!aquestes empreses.

Les files corresponen a cada tipus dempresa, A, B i C, i les columnes corresponen al!tipus de producte, X i Y. Cada element de la matriu s la disminuci percentual de la producci.

Considera les matrius:

Comprova amb aquestes matrius la propietat commutativa de la suma.

!"#$%&())$*+))%!,-.//00 "01)"1")"*2$)

56

Matrius

039 Amb les matrius calcula, si s possible:

a) 2A ! 3B b) 2A " 3B c) A(B + C) d) A ! 3B

040 Amb les matrius segents: calcula, si s possible:

a) ABC b) 2AB c) A(B ! C) d) B " 3C

c) No es pot efectuar aquesta operaci, ja que B i C no es poden restar perqu no tenen la mateixa dimensi.

041 Amb les matrius i , comprova que es compleixen

les!propietats segents: a) (At)t = A

b) (A + B)t = At + Bt

c) (AB)t = BtAt

a) AB=!

"#$$$

%& (

!!

"#$$$

%& =

!3 04 8

2 1 11 0 3

6 3 330 4 20!

"#$$$

%&

b) No es pot multiplicar B i A, ja que la dimensi de B s 2 ! 3 i la de A s 2 ! 2.c) No es pot multiplicar A i C, ja que la dimensi de A s 2 ! 2 i la de C s 3 ! 3.

d) BC=!!

"#$$$

%& (

!!

"

#

$$$$$$

2 1 11 0 3

4 1 20 5 30 0 2

%%

&

=

!! !

"#$$$

%&

7 3 31 1 8

036 Comprova que, en general, el producte de matrius no compleix la propietat commutativa multiplicant aquestes matrius:

A B=!!

"

#

$$$$$$

%

&

= !

"2 0 21 5 32 0 2

1 2 15 1 30 0 2##

$$$$$$

%

&

AB BA=!

!"

#

$$$$$$

%

&

=

!2 4 226 7 202 4 6

6 10 65 5 !!

"

#

$$$$$$

%

&

19

4 0 4

037 Comprova que es compleix la propietat distributiva del producte de matrius respecte!de la suma mitjanant aquestes matrius:

A B C=!

"

#$$$

%

& =

"

#$$$

%

& =

!!

3 04 8

3 10 2

2 11 0

""

#$$$

%

&

A B C( )+ =!

"

#$$$

%

& ( !

"

#$$$

%

& =

3 04 8

1 21 2

3 6112 8!

"

#$$$

%

&

AB AC+ =!

"

#$$$

%

& (

"

#$$$

%

& + !

3 04 8

3 10 2

3 04 88

2 11 0

9 312 12

"

#$$$

%

& (

!!

"

#$$$

%

& =

=!

"

#$$$$

%

& +

!"

#$$$

%

& = !

"

#$$$

%

&

6 30 4

3 612 8

038 Considera les matrius: A =!

"

#$$$

%

&

!2 1 31 2 0

B = !"

#

$$$$$$

%

&

!

!

0 11 21 1

Alguna de les operacions segents no es poden efectuar; raona per qu. Efectua les que sigui possible de fer.

A + B At + B AB ABt

(Activitat de Selectivitat)

No es pot efectuar A + B, perqu el nombre de files i columnes de A i B no coincideixen.

A A Bt t= !"

#

$$$$$$$

%

&

+ = !

"

#

2 11 23 0

2 11 23 0

$$$$$$$$

%

&

+ !

"

#

$$$$$$$

%

&

0 11 21 1

= !"

#

$$$$$$$

%

&

=!

"

#$

2 22 44 1

2 1 31 2 0

AB $$$%

& ( !

"

#

$$$$$$$

%

&

=

!"0 1

1 21 1

4 32 5##

$$$%

&

AB t no es pot efectuar, perqu el nombre de columnes de A no coincideix ambelnombre de files de B t.

!"#$%&())$*+))%!,-.//0& "01)"1")"*2$)

Matrius

57

1SOLUCIONARI

039 Amb les matrius A B C= !!

"

#$$$

%

& =

"

#$$$

%

& =

!1 13 2

2 01 4

1 0, i!!

"

#$$$

%

&4 1, calcula, si s possible:

a) 2A ! 3B b) 2A " 3B c) A(B + C) d) A ! 3B

a) 2 3 4 23 16

A B! = ! !!

"

#$$$

%

&

c) A B C( )+ = !!

"

#$$$

%

&

4 59 10

b ) 2 3 6 2424 48

A B! = ""

#

$%%%

&

((((

d) A B! = ! !!

"

#$$$

%

&3

5 10 14

040 Amb les matrius segents: A B= !!

"

#$$$

%

& =

!"

#

$$$$$$

%

&

1 1 00 2 3

1 20 53 8

, = !

"

#$$$

%

&i C

0 12 6

, calcula, si s possible:

a) ABC b) 2AB c) A(B ! C) d) B " 3C

a) ABC AB C= =

( ) 1 39 14

0 12 6

=

6 1728 75

b) 2 2 2 00 4 6

1 20 53 8

AB=

=

2 618 28

c) No es pot efectuar aquesta operaci, ja que B i C no es poden restar perqu no tenen la mateixa dimensi.

d) B C! ="#

$

%%%%%%%

&

((((((((! "#

$%3

1 20 53 8

0 36 18%%%

&

(((( =

#

$

%%%%%%%

&

((((((((

12 3930 9048 135

041 Amb les matrius A = !"

#$$$

%

&!

2 10 4

i B = !"

#$$$

%

&!

0 13 1

, comprova que es compleixen

les!propietats segents: a) (At)t = A

b) (A + B)t = At + Bt

c) (AB)t = BtAt

a) A A At= !"

#$$$

%

& = !

"

#$$$

%

&

2 10 4

2 01 4

! ! ( tt t A) = !"

#$$$

%

& =

2 10 4

b) A B A Bt+ = !"

#$$$

%

& + = !

"

#$$$

%

&2 2

3 52 32 5

! ( )

+ =!

"

#$$$

%

& + !

"

#$$$

%

&A B

t t 2 01 4

0 31 1

==!

"

#$$$

%

&

(

)

*****

+

*****

+ = +2 32 5

! ( )A B A Bt t tt

c) AB ABt= ! !"

#$$$

%

& =

!!

"

#$$$

%3 312 4

3 123 4

! ( )&&

=!

"

#$$$

%

& ( !

"

#$$$

%

&B A

t t 0 31 1

2 01 4

= !!

"

#$$$

%

&

)

*

+++++

,

+++++

=3 123 4

! ( )AB Bt t AAt

b) No es pot multiplicar B i A, ja que la dimensi de B s 2 ! 3 i la de A s 2 ! 2.c) No es pot multiplicar A i C, ja que la dimensi de A s 2 ! 2 i la de C s 3 ! 3.

Comprova que, en general, el producte de matrius no compleix la propietat commutativa multiplicant aquestes matrius:

Comprova que es compleix la propietat distributiva del producte de matrius respecte!de la suma mitjanant aquestes matrius:


Alguna de les operacions segents no es poden efectuar; raona per qu. Efectua les que sigui possible de fer.

A + B At + B AB ABt


No es pot efectuar A + B, perqu el nombre de files i columnes de A i B no coincideixen.

AB t no es pot efectuar, perqu el nombre de columnes de A no coincideix amb!el!nombre de files de B t.

!"#$%&())$*+))%!,-.//0# "01)"1")"*2$)

58

Matrius


Calcula AB.(Activitat de Selectivitat)

045 Considera les matrius i .

Calcula AB i BA. (Activitat de Selectivitat)

046 Considera les matrius i :

a) Calcula A2 + 2AB + B2. b) Calcula (A + B)2.(Activitat de Selectivitat)

047 Considera aquesta matriu 2 ! 2: . Calcula AtA i AAt.


042 Determina quines matrius sn simtriques o antisimtriques, i efectua els clculs que!indiquem, si s possible:

A =!

!

"

#

$$$$$$

%

&

!! !

!

2 1 21 5 32 3 2

B =!

"###

$

%&&&&

2 00 2

C =!

! !"

#

$$$$$$

%

&

!

! !

0 1 21 0 32 3 0

D =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 00 11 1

E=!

"

#$$$

%

&

! 1 11 1

a) AtC d) DD t

b) CDt e) AtC t

c) (B + E )t f ) (3E )t

Sn simtriques les matrius A i B, i s antisimtrica la matriu C.

a) A Ct =!

!

"

#

$$$$$$$

%

&

(

!!

2 1 21 5 32 3 2

0 1 21 00 32 3 0

5 4 71 10 171 4 5

!"

#

$$$$$$$

%

&

=

! ! !!!

""

#

$$$$$$$

%

&

b) No s possible, perqu C t 3 columnes i Dt t dues files.

c) ( )B Et+ =!

"###

$

%&&&&+

!

"###

$

%&&&&

(

)

2 00 2

1 11 1

***

+

,--

=

!

"###

$

%&&&& =

!

"###

$

%&&&&

t t3 11 3

3 11 3

d) DDt =!

"

#######

$

%

&&&&&&&&!

"###

1 00 11 1

1 0 10 1 1

$$

%&&&&=

!

"

#######

$

%

&&&&&&&&

1 0 10 1 11 1 2

e) A Ct t =!

!

"

#

$$$$$$$

%

&

(

!2 1 21 5 32 3 2

0 1 21 00 32 3 0

5 4 71 10 171 4 5! !

"

#

$$$$$$$

%

&

= ! !

! !

""

#

$$$$$$$

%

&

f ) ( )3 3 33 3

3 33 3

E tt

=!

"

#$$$

%

& =

!"

#$$$

%

&

043 Respon aquestes preguntes:

a) Existeix sempre el producte At ! A, en qu A s una matriu qualsevol? Per qu?

b) El producte de dues matrius simtriques de la mateixa dimensi, tamb s una matriu simtrica? Per qu?

a) Si que existeix, perqu el nombre de columnes de At sempre s igual al nombre de files de A.

b) En general no, perqu (AB)t = B tAt = BA.

!"#$%&())$*+))%!,-.//0% "01)"1")"*2$"

Matrius

59

1SOLUCIONARI


A =! !

"

#

$$$$$$

%

&

! !! !

1 0 32 1 01 0 1

B =!

!"

#

$$$$$$

%

&

!!

! !

2 0 13 2 01 0 1Calcula AB.


AB=! !

"

#

$$$$$$$

%

&

(

!!

1 0 32 1 01 0 1

2 0 13 2 01 00 1

5 0 27 2 23 0 0

"

#

$$$$$$$

%

&

= ! !

!

"

#

$$$$$$$$

%

&

045 Considera les matrius A = !"

#

$$$$$$

%

&

!

!

0 13 12 1

i B =!

"

#$$$

%

&

!1 3 20 1 4

.

Calcula AB i BA. (Activitat de Selectivitat)

AB= !"

#

$$$$$$$

%

&

(

!"

#$$$

%0 13 12 1

1 3 20 1 4&&

=!

! ! !"

#

$$$$$$$

%

&

0 1 43 8 102 7 0

BA=!

"

#$$$

%

& ( !

"

#

$$$$$$$

%

&

1 3 20 1 4

0 13 12 1

= !

! !"

#$$$

%

&

511

63

046 Considera les matrius A = !"

#$$$

%

&!

2 11 0

i B =!

"

#$$$

%

&

!1 32 2

:

a) Calcula A2 + 2AB + B2. b) Calcula (A + B)2.(Activitat de Selectivitat)

a) 2 11 0

2 2 11 0

1 32

2!"

#$$$

%

& + (

!"

#$$$

%

& ( ! 22

1 32 2

3 22 1

2"

#$$$

%

& + !

"

#$$$

%

& =

= !!

"

#$$$$

%

& +

"

#$$$

%

& +

!!

"

#$$$

%

&

0 162 6

7 32 10

="

#$$$

%

&

10 112 15

b) 2 11 0

1 32 2

!"

#$$$

%

& + !

"

#$$$

%

&

(

)**

+

,--

22 23 23 2

15 23 10

=!

"

#$$$

%

& =

"

#$$$

%

&

047 Considera aquesta matriu 2 ! 2: A =!

"###

$

%&&&&

0 21 5

. Calcula AtA i AAt.


A A

A A

t

t

=!

"###

$

%&&&& =

!

"###

$

%&&&&

=

0 21 5

0 12 5

0 12

,

550 21 5

1 55 29

!

"###

$

%&&&&

!

"###

$

%&&&&=

!

"###

$

%&&&&&

=!

"###

$

%&&&&

!

"###

$

%&&&&=AA

t 0 21 5

0 12 5

4 10110 26

!

"###

$

%&&&&

Determina quines matrius sn simtriques o antisimtriques, i efectua els clculs que!indiquem, si s possible:

a) AtC d) DD t

b) CDt e) AtC t

c) (B + E )t f ) (3E )t

Sn simtriques les matrius A i B, i s antisimtrica la matriu C.

b) No s possible, perqu C t 3 columnes i Dt t dues files.

Respon aquestes preguntes:

a) Existeix sempre el producte At ! A, en qu A s una matriu qualsevol? Per qu?

b) El producte de dues matrius simtriques de la mateixa dimensi, tamb s una matriu simtrica? Per qu?

a) Si que existeix, perqu el nombre de columnes de At sempre s igual al nombre de files de A.

b) En general no, perqu (AB)t = B tAt = BA.

!"#$%&())$*+))%!,-.//0! "01)"1")"*2$"

60

Matrius

052 Considera A una matriu de dimensi 5 ! 3, B una matriu de dimensi m ! n i C una matriu de dimensi 4 ! 7. Si sabem que podem obtenir la matriu ABC, quines sn les dimensions de B i de ABC?

Per poder obtenir el producte, B ha de tenir tantes files com columnes tingui A, i!tantes columnes com files tingui C. s a dir, la dimensi de B s 3 ! 4 i la dimensi del producte ABC s 5 ! 7.

053 Donades dues matrius A i B de mida 2 ! 2. s certa la igualtat (A + B)(A " B) = A2 " B2? Si s cert, prova-ho, i si s fals, buscan un contraexemple.


No s certa, perqu el producte no s commutatiu.

054 Amb les matrius ,

calcula (A + B)2 i A2 + 2A # B + B2. Per qu no coincideixen els resultats? Quina seria la frmula correcta per al quadrat duna suma de matrius?

Com que el producte de matrius no s commutatiu, el clcul correcte s:

Tornem a calcular el segon membre per comprovar-ho:

048 Amb les matrius:

A = !"

#$$$

%

&!

2 15 3

B =!

"###

$

%&&&&

3 44 4

C =!

"

#$$$

%

&

!2 12 1

Comprova la propietat associativa del producte de matrius. (Activitat de Selectivitat)

A B C( )+ = !"

#$$$

%

& (

"

#$$$

%

& +

2 15 3

3 44 4

2 12 !!

"

#$$$

%

&

)

*++

,

-..= !

"

#$$$

%

& (1

2 15 3

5 56 33

4 743 34

2 15 3

"

#$$$

%

& =

"

#$$$

%

&

+ = !"

AB AC##$$$

%

& (

"

#$$$

%

& +

!"

#$$$

%

&

3 44 4

2 15 3

(!

"

#$$$

%

& =

"

#$$$

%

& +

2 12 1

2 427 32

2 316 2

""

#$$$

%

& =

="

#$$$

%

&

4 743 34

049 a) Considera la matriu D =!

"

######

$

%

&&&&&&&

5 0 00 5 00 0 5

. Escriu dues matrius dordre tres diferents

i!multiplica cadascuna daquestes matrius per D.

b) Com actua D quan la multipliquem per una matriu A qualsevol?(Activitat de Selectivitat)

a) 1 2 32 1 01 0 1

5 0 00 5 00 0 5! !

"

#

$$$$$$

%

&

("

#

$$$$$$$

%

&

=

! !

"

#

$$$$$$

%

&

5 10 15

10 5 05 0 5

!!

!

"

#

$$$$$$

%

&

(

2 3 15 4 21 0 3

5 0 00 5 00 0 55

10 15 525 20 105 0 15

"

#

$$$$$$

%

&

=

!!

!

"

#

$$$$$$$

%

&

b) Actua igual com si multipliqussim la matriu pel nmero 5, ja que D = 5I.

050 Indica tots els productes de dues matrius diferents que podem efectuar amb les matrius segents:

A a bc d

=!

"###

$

%&&&& B

a bc de f

=!

"

######

$

%

&&&&&&& C a b c

d e f=

!

"###

$

%&&&& D a

b=

!

"###

$

%&&&& E = (a b)


Podem efectuar: AC, AD, BA, BC, BD, CB, DE, EA, EC, ED.


A = !!

"

#$$$

%

&

2 1 00 2 1

B =!

"###

$

%&&&&

2 12 2

C =!

!

"

#

$$$$$$

%

&

!! !

!

1 20 22 0

a) Determina la dimensi de la matriu M perqu el producte AMC es pugui efectuar.b) Determina la dimensi de N perqu CtN sigui una matriu quadrada.(Activitat de Selectivitat)

a) La matriu M ha de tenir tantes files com columnes t A i tantes columnes com!files t C; per tant, ser de dimensi 3 ! 3.

b) CC s 3 ! 2 ! C t s 2 ! 3; aix doncs, N ser 3 ! 2.

!"#$%&())$*+))%!,-.//&) "01)"1")"*2$"

Matrius

61

1SOLUCIONARI

052 Considera A una matriu de dimensi 5 ! 3, B una matriu de dimensi m ! n i C una matriu de dimensi 4 ! 7. Si sabem que podem obtenir la matriu ABC, quines sn les dimensions de B i de ABC?

Per poder obtenir el producte, B ha de tenir tantes files com columnes tingui A, i!tantes columnes com files tingui C. s a dir, la dimensi de B s 3 ! 4 i la dimensi del producte ABC s 5 ! 7.

053 Donades dues matrius A i B de mida 2 ! 2. s certa la igualtat (A + B)(A " B) = A2 " B2? Si s cert, prova-ho, i si s fals, buscan un contraexemple.


No s certa, perqu el producte no s commutatiu.

A B

A B A

=!

"###

$

%&&&& =

!

"###

$

%&&&&

+

1 23 1

0 12 3

,

( )( = + =

=!

"###

$

%&&&&

!

"###

B A AB BA B) 2 2

7 46 7

4 52 0

$$

%&&&&+

!

"###

!

"####$

$ $%

&

!

"###

3 111 7

2 36 7##

=%

&

!

"####

$ =%

&

!

"####$

$

6 525 21

7 46 7

2 2A B 22 36 7

5 112 14

$%

&

!

"####=

%

&

!

"####

+ $( )(A B A BB A B) ( $2 2

054 Amb les matrius A B=!!

"

#

$$$$$$

%

&

= !

0 0 21 4 12 0 0

0 1 15 1 30 0 2

i""

#

$$$$$$

%

&

,

calcula (A + B)2 i A2 + 2A # B + B2. Per qu no coincideixen els resultats? Quina seria la frmula correcta per al quadrat duna suma de matrius?

( )A B+ =!!

"

#

$$$$$$

%

&

(

!!2

0 1 16 5 42 0 2

0 1 16 5 442 0 2

4 5 622 31 344 2 2

"

#

$$$$$$

%

&

=

!!

"

#

$$$$$$$

%

&

A AB B2 224 0 02 16 60 0 4

0 0+ + =

!!!

"

#

$$$$$$

%

&

+

!!!

"

#

$$$$$$

%

&

+

!!

"840 10 260 4 4

5 1 15 6 40 0 4##

$$$$$$

%

&

=

!!

"

#

$$$$$$

%

&

1 1 947 32 360 4 4

Com que el producte de matrius no s commutatiu, el clcul correcte s:

( )A B A AB BA B+ = + + +2 2 2

Tornem a calcular el segon membre per comprovar-ho:

A AB BA B2 24 0 02 16 60 0 4

+ + + =!

!!

"

#

$$$$$$

%

&

+

00 0 420 5 130 2 2

3 4 15 4 11

!!

"

#

$$$$$$

%

&

+

+!

! !44 0 0

5 1 15 6 40 0 4

"

#

$$$$$$

%

&

+

!!

"

#

$$$$$$

%

&

=

!!

"

#

$$$$$$

%

&

4 5 622 31 344 2 2

Amb les matrius:

Comprova la propietat associativa del producte de matrius. (Activitat de Selectivitat)

a) Considera la matriu . Escriu dues matrius dordre tres diferents

i!multiplica cadascuna daquestes matrius per D.

b) Com actua D quan la multipliquem per una matriu A qualsevol?(Activitat de Selectivitat)

b) Actua igual com si multipliqussim la matriu pel nmero 5, ja que D = 5I.

Indica tots els productes de dues matrius diferents que podem efectuar amb les matrius segents:

E = (a b)


Podem efectuar: AC, AD, BA, BC, BD, CB, DE, EA, EC, ED.


a) Determina la dimensi de la matriu M perqu el producte AMC es pugui efectuar.b) Determina la dimensi de N perqu CtN sigui una matriu quadrada.(Activitat de Selectivitat)

a) La matriu M ha de tenir tantes files com columnes t A i tantes columnes com!files t C; per tant, ser de dimensi 3 ! 3.

b) CC s 3 ! 2 ! C t s 2 ! 3; aix doncs, N ser 3 ! 2.

!"#$%&())$*+))%!,-.//&" "01)"1")"*2$"

62

Matrius

Aix, tenim que:

058 Donada la matriu , troba A2.004.


059 Considera la matriu 1 ! 3:A = (1 2 a)

Calcula el valor de a si saps que AAt = 5. (Activitat de Selectivitat)

060 Considera les matrius i .

a) Troba el valor, o els valors, de x de manera que B 2 = A.b) Determina x perqu AB = I2.(Activitat de Selectivitat)

061 Donada la matriu 2 ! 2:

Calcula el valor de a si saps que AAt s una matriu diagonal. (Activitat de Selectivitat)

055 Considera la matriu A =!

"

######

$

%

&&&&&&&

0 1 00 0 11 0 0

. Determina la regla del clcul de les potncies

successives de A, s a dir, de An per a qualsevol nombre natural n.

A A=!

"

######

$

%

&&&&&&&=

!

"

#0 1 00 0 11 0 0

0 1 00 0 11 0 0

2 ######

$

%

&&&&&&&!

"

######

$

%

&&&&&&&=

0 1 00 0 11 0 0

00 0 11 0 00 1 0

0 0 11 0 00 1 0

3

!

"

######

$

%

&&&&&&&

=!

"

##A #####

$

%

&&&&&&&!

"

######

$

%

&&&&&&&=

0 1 00 0 11 0 0

1 00 00 1 00 0 1

4

!

"

######

$

%

&&&&&&&= = =I IA A A

Si dividim n entre 3 tenim que n = 3p + q, on q s el residu de dividir n entre 3 i s un nombre natural ms petit que 3.

A A A A A A AA qA q

q

n p q p q q q q= = = = ====

+3 3 2

12I

Ii

sisisi 00

!

"###

$###

056 Donada la matriu A =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 0 10 1 00 0 1

, troba A3, A5 i An.

A21 0 10 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

=!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

#######

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 0 20 1 00 0 1

3A ==!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

###1 0 20 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

####

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&

=

1 0 30 1 00 0 1

4A11 0 30 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

#######

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&=

1 0 40 1 00 0 1

15A

00 40 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

#######

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 0 50 1 00 0 1

En genneral:An

n =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 00 1 00 0 1

057 Calcula A2.000, si A =!

"

######

$

%

&&&&&&&

0 0 20 2 02 0 0

.

A A= !"

#

$$$$$$

%

&

= !2

0 0 10 1 01 0 0

20 0 10 1 01 0

2

002

0 0 10 1 01 0 0

"

#

$$$$$$

%

&

! !

"

#

$$$$$$

%

&

= !

"

#

$$$$$$

%

&

= !

21 0 00 1 00 0 1

21

2

3 2A00 0

0 1 00 0 1

20 0 10 1 01 0 0

"

#

$$$$$$

%

&

! !

"

#

$$$$$$$

%

&

= !

"

#

$$$$$$

%

&

2

0 0 10 1 01 0 0

3

En general:

t Si n s un nombre parell, tenim que: An n= !"

#

$$$$$$

%

&

2

1 0 00 1 00 0 1

t Si n s un nombre senar, tenim que: An n= !"

#

$$$$$$

%

&

2

0 0 10 1 01 0 0

!"#$%&())$*+))%!,-.//&* "01)"1")"*2$"

Matrius

63

1SOLUCIONARI

Aix, tenim que: An = !"

#

$$$$$$

%

&

2

1 0 00 1 00 0 1

2000.

058 Donada la matriu A =!

"

#$$$

%

&

!1 00 1

, troba A2.004.


A A A2 2004 2 1002 10021 00 1

=!

"###

$

%&&&& = = =!

. . .( ) I 11 00 1

!

"###

$

%&&&&

059 Considera la matriu 1 ! 3:A = (1 2 a)

Calcula el valor de a si saps que AAt = 5. (Activitat de Selectivitat)

AA a a

AA a a

t

t

= + + = +

= + = =

1 2 5

5 5 5 0

2 2 2 2

2! !

060 Considera les matrius A xx

=+

!

"###

$

%&&&&

11 1

i B =!

"###

$

%&&&&

0 11 1

.

a) Troba el valor, o els valors, de x de manera que B 2 = A.b) Determina x perqu AB = I2.(Activitat de Selectivitat)

a) B

B A x

2

2

1 11 2

1 11 2

1

=!

"###

$

%&&&&

=!

"###

$

%&&&&=! 11 1

1x

x+

!

"###

$

%&&&& =!

b) AB xx

x x=+

!

"###

$

%&&&&

!

"###

$

%&&&&=

+11 1

0 11 1

1xx x

AB x x

+ +!

"###

$

%&&&&

=!

"###

$

%&&&&=

+

1 2

1 00 12

I ! 111 2x x+ +

!

"###

$

%&&&&! No t soluci.

061 Donada la matriu 2 ! 2: A a= !"

#$$$

%

&!

32 4

Calcula el valor de a si saps que AAt s una matriu diagonal. (Activitat de Selectivitat)

AA a a at = !"

#$$$

%

& ( !

"

#$$$

%

& =

+32 4

23 4

9 22 aaa

a aa

!!

"

#$$$

%

&

+ !!

"

#$$

122 12 20

9 2 122 12 20

2

$$%

& =

"

#$$$

%

& ! = =

cd

a a00

2 12 0 6! !

Considera la matriu . Determina la regla del clcul de les potncies

successives de A, s a dir, de An per a qualsevol nombre natural n.

Si dividim n entre 3 tenim que n = 3p + q, on q s el residu de dividir n entre 3 i s un nombre natural ms petit que 3.

Donada la matriu , troba A3, A5 i An.

A21 0 10 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

=!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

#######

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 0 20 1 00 0 1

3A ==!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

###1 0 20 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

####

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&

=

1 0 30 1 00 0 1

4A11 0 30 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

#######

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&=

1 0 40 1 00 0 1

15A

00 40 1 00 0 1

1 0 10 1 00 0 1

!

"

######

$

%

&&&&&&&!

"

#######

$

%

&&&&&&&=

!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 0 50 1 00 0 1

En genneral:An

n =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 00 1 00 0 1

Calcula A2.000, si .

A A= !"

#

$$$$$$

%

&

= !2

0 0 10 1 01 0 0

20 0 10 1 01 0

2

002

0 0 10 1 01 0 0

"

#

$$$$$$

%

&

! !

"

#

$$$$$$

%

&

= !

"

#

$$$$$$

%

&

= !

21 0 00 1 00 0 1

21

2

3 2A00 0

0 1 00 0 1

20 0 10 1 01 0 0

"

#

$$$$$$

%

&

! !

"

#

$$$$$$$

%

&

= !

"

#

$$$$$$

%

&

2

0 0 10 1 01 0 0

3

En general:

t Si n s un nombre parell, tenim que:

t Si n s un nombre senar, tenim que:

!"#$%&())$*+))%!,-.//&0 "12)"2")"*3$"

64

Matrius


a) Considera x i y dues variables, i a un parmetre. Troba el sistema de dues equacions i dues incgnites que resulta quan plantegem AB ! C = D.

b) Estudia el sistema per als diferents valors de a. c) Troba una soluci per a a = 2.


b) s compatible indeterminat per a a = 1. s incompatible per a a = 0. Per a la resta de valors de a s compatible determinat.

066 En cadascuna de les matrius segents, determina mentalment quin s el nombre ms gran de files i de columnes linealment independents:

A = (1 2 3)

A = (1 2 3) ! 1 fila i 1 columna

! 1 fila i 1 columna

! 2 columnes (1a i 2a) i 2 files

! 2 columnes i 2 files


! 1 columna i 1 fila

062 Considera A xy

= !"

#$$$

%

&!

11

.

a) Calcula A2.

b) Calcula tots els valors de x i y per als quals es verifica que A x2 1 22 1

= + !!

"

#$$$

%

& .


a) A x x yx y y

22

2

11

= ! ! !+ !

"

#$$$

%

&

b) x x yx y y

x22

11

1 22 1

! ! !+ !

"

#$$$

%

& =

+ !!

"

#$$$

%

&&

! = +

+ =

! = ! =

(

)

****

+****

!

!

x x

x y

y y

x

2

2

1 1

2

1 1 0

++ = ==

y xy

2 20

""!

063 Determina els valors de x i y que fan certa la igualtat segent:

1 13 2

11

!"

#$$$

%

& (

"

#$$$

%

& = !

"

#$$$!

!xy

xy

%%

& (

"

#$$$

%

&

32


1 13 2

11

!"

#$$$

%

& (

"

#$$$$

%

&

=!

"

#$$$

x

yx

y%%

& (

"

#$$$$

%

&

!"

#$$$

%

& (

!

3

2

1 13 2

x

y""####

$

%&&&&&

=

+

!

"####

$

%&&&&&

!

"#

x y

x y

xy

3 2

11###$

%&&&&(

!

"####

$

%&&&&&

=+

!

"!!!!

"

#$3

2

3 2

3 2

x

y$$$$$

%

&

(

) = ++ = )

%&! x y x

x y y3 2

3 2 3 2((

) ) =) = )

%&(

=)

=)

*

+

! !x yx y

x

y

33 2

5

47

4,,

064 Considera les dues matrius, dordre 2 " 3, Ay

= !"

#$$$

%

&!

1 2 13 5

i B xz x z

= !+

"

#$$$

%

&!

1 13

en qu x, y i z denoten valors numrics desconeguts.

a) Determina, de manera raonada, els valors de x, y i z # R de manera que A = B.b) s possible calcular AB? Raona la resposta.


a) !"

#$$$

%

& =

!+

"

#$$$

%

&

1 2 13 5

1 13

2

yxz x z

!

====

+ =

(

)

*****

+

*****

===

,

-***

.

xy

zx z

xyz

33

5

233

!****

b) No s possible, perqu el nombre de columnes de A no coincideix amb el nombre de files de B.

!"#$%&())$*+))%!,-.//&$ "01)"1")"*2$"

Matrius

65

1SOLUCIONARI


A x yy

=!

"###

$

%&&&&0 B a=

!

"###

$

%&&&&1 C y

ay=

!

"###

$

%&&&& D ay

ay= !

!"

#$$$

%

&

61

a) Considera x i y dues variables, i a un parmetre. Troba el sistema de dues equacions i dues incgnites que resulta quan plantegem AB ! C = D.

b) Estudia el sistema per als diferents valors de a. c) Troba una soluci per a a = 2.


a) AB C D ax yy

yay

! = +"

#$$$

%

& !

"

#$$$

%

& =

!! 6 aaya

axy a

ay1 1

61!

"

#$$$

%

& !

"

#$$$

%

& =

!!( ) !!

"

#$$$

%

&

= !! = !

()**+**

a

ax ayy a a

! 61 1( )

b) s compatible indeterminat per a a = 1. s incompatible per a a = 0. Per a la resta de valors de a s compatible determinat.

c) 2 6 21

21

x yy

xy

= !! = !

"#$$%$$

==

&$$($$

!

066 En cadascuna de les matrius segents, determina mentalment quin s el nombre ms gran de files i de columnes linealment independents:

A = (1 2 3) B =!

"

######

$

%

&&&&&&&

013

C =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 4 52 5 73 6 9

D =!

"###

$

%&&&&

2 00 2

E=! !

"

#$$$

%

&

2 0 61 0 3

F =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 3 40 0 02 6 8

A = (1 2 3) ! 1 fila i 1 columna

B=!

"

######

$

%

&&&&&&&

013


C =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 4 52 5 73 6 9

! 2 columnes (1a i 2a) i 2 files

D =!

"###

$

%&&&&

2 00 2

! 2 columnes i 2 files

E=! !

"

#$$$

%

&

2 0 61 0 3


F =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 3 40 0 02 6 8

! 1 columna i 1 fila

Considera .

a) Calcula A2.

b) Calcula tots els valors de x i y per als quals es verifica que .


Determina els valors de x i y que fan certa la igualtat segent:


1 13 2

11

!"

#$$$

%

& (

"

#$$$$

%

&

=!

"

#$$$

x

yx

y%%

& (

"

#$$$$

%

&

!"

#$$$

%

& (

!

3

2

1 13 2

x

y""####

$

%&&&&&

=

+

!

"####

$

%&&&&&

!

"#

x y

x y

xy

3 2

11###$

%&&&&(

!

"####

$

%&&&&&

=+

!

"!!!!

"

#$3

2

3 2

3 2

x

y$$$$$

%

&

(

) = ++ = )

%&! x y x

x y y3 2

3 2 3 2((

) ) =) = )

%&(

=)

=)

*

+

! !x yx y

x

y

33 2

5

47

4,,

Considera les dues matrius, dordre 2 " 3, i

en qu x, y i z denoten valors numrics desconeguts.

a) Determina, de manera raonada, els valors de x, y i z # R de manera que A = B.b) s possible calcular AB? Raona la resposta.


b) No s possible, perqu el nombre de columnes de A no coincideix amb el nombre de files de B.

!"#$%&())$*+))%!,-.//&0 "01)"1")"*2$"

66

Matrius

069 Si saps que el rang de la matriu segent s 2, determina el valor de a.

Perqu el rang sigui 2, com que aquesta matriu s escalonada per columnes, lelement a!! !5 ha de ser zero, per tant a = 5.

070 Troba el valor de k, si existeix, perqu el rang de la matriu sigui 1.

La tercera columna s proporcional a la primera; per tant, el rang s, com a molt, 2. Perqu el rang sigui 1, la segona columna ha de ser proporcional a la primera,

per !aix s impossible perqu:

Aix doncs, no hi ha cap valor de k per al qual el rang sigui 1.

071 Una matriu quadrada dordre 3 t rang 2.

a) Quin s el rang de la matriu que en resulta quan traiem una fila?b) Quin s el rang de la matriu que en resulta si eliminem una columna?c) Qu passaria en els casos anteriors si el rang de la matriu inicial fos 3?

a) El rang de la matriu s 2 si neliminem una fila que depn linealment de les altres, i s 1 si les dues files que queden sn proporcionals.

b) El rang de la matriu s 2 si neliminem una columna que depn linealment de!les altres, i s 1 si les dues columnes que queden sn proporcionals.

c) En aquest cas, el rang sempre s 2, perqu les dues lnies que queden sn !sempre linealment independents.

072 Calcula la matriu inversa de les matrius segents:

067 Calcula el rang de les matrius segents:

A =!

!"

#

$$$$$$

%

&

1 22 43 6

B = !"

#

$$$$$$

%

&

1 4 01 3 22 2 0

C =!

! !"

#

$$$$$$

%

&

0 1 21 0 32 3 0

D = !"

#

$$$$$$

%

&

2 1 01 0 13 4 0

E=!

"

#

$$$$$$

%

&

1 2 3 4 50 1 1 2 31 2 1 3 4

El rang de A s 2, perqu la segona columna s proporcional a la primera.

BC C

= !"

#

$$$$$$$

%

&

= !

112

432

020 2 2

4!!!!"

CC C C1 3 3

112

076

020

!!

"

#

$$$$$$$

%

&

=!!!!"

!!

!

!

"

#

$$$$$$$$$

%

&

27 2

11

2

07

6

00

12

7C

Com que aquesta matriu s escalonada per columnes, rang (B) = 3.

CC C

= !!!

"

#

$$$$$$$

%

&

012

103

230

10

2 1

!!"#

33

012

230

3 3 13

!!!

"

#

$$$$$$$

%

&

= !!!!"F F F

1100

012

236 3 3

2!

!!

"

#

$$$$$$$

%

&

= +

!!!"F F FF

C2

100

010

230

!!!

"

#

$$$$$$$

%

&

" rang ( ))= 2

DC C

= !"

#

$$$$$$$

%

&

213

104

010

104

2

2 1

!!"#

!!"

#

$$$$$$$

%

&

= !13

010

100

2

3 3 14!!!"F F F

!!!

"

#

$$$$$$$

%

&

= +

15

010

1003 3 2

5!!!"F F F

2210

015

3!!

"

#

$$$$$$$

%

&

=" rang (D)

EF

=!

"

#

$$$$$$$

%

&

1 2 3 4 50 1 1 2 31 2 1 3 4 3

!!!"== !

! ! !

"

#

$$$$$$$

%

&

F F3 1

1 2 3 4 50 1 1 2 30 0 4 1 1

Com que aquesta matriu s escalonada, rang (E ) = 3.

068 Quin s el nombre ms gran de columnes linealment independents

de la matriu A = 1 0 20 1 12 1 3!

"

#

$$$$$$

%

&

?

102

011

213 3 3

2!

"

#

$$$$$$$

%

&

= !!!!!!"C C C11 2

102

011

000

!!

"

#

$$$$$$$

%

&

C

Com que el rang per columnes s 2, noms hi ha dues columnes linealment independents.

!"#$%&())$*+))%!,-.//&& "01)"1")"*2$"

Matrius

67

1SOLUCIONARI

069 Si saps que el rang de la matriu segent s 2, determina el valor de a.

Aa

= !! !

"

#

$$$$$$

%

&

1 0 17 2 1

11 4!!

17

11

024

11

3 3! !!

"

#

$$$$$$$

%

&

= !aC C C!!!"

11

17

11

024

0811! !

!+

"

#

$$$$$$$

%

&

aC!!!!"

33 3 24

17

11

024

00

5= +

! ! !

"

#

$$$$$$$

%

&

C C a

Perqu el rang sigui 2, com que aquesta matriu s escalonada per columnes, lelement a!! !5 ha de ser zero, per tant a = 5.

070 Troba el valor de k, si existeix, perqu el rang de la matriu A k=!

!!

"

#

$$$$$$

%

&

3 1 65 101 21/3 !

sigui 1.

La tercera columna s proporcional a la primera; per tant, el rang s, com a molt, 2. Perqu el rang sigui 1, la segona columna ha de ser proporcional a la primera,

per !aix s impossible perqu: 1

3."

1/3

1Aix doncs, no hi ha cap valor de k per al qual el rang sigui 1.

071 Una matriu quadrada dordre 3 t rang 2.

a) Quin s el rang de la matriu que en resulta quan traiem una fila?b) Quin s el rang de la matriu que en resulta si eliminem una columna?c) Qu passaria en els casos anteriors si el rang de la matriu inicial fos 3?

a) El rang de la matriu s 2 si neliminem una fila que depn linealment de les altres, i s 1 si les dues files que queden sn proporcionals.

b) El rang de la matriu s 2 si neliminem una columna que depn linealment de!les altres, i s 1 si les dues columnes que queden sn proporcionals.

c) En aquest cas, el rang sempre s 2, perqu les dues lnies que queden sn !sempre linealment independents.

072 Calcula la matriu inversa de les matrius segents:

A =!

"

#$$$

%

&

!1 20 1

B = ! !!

"

#$$$

%

&!

1 25 1

C = !"

#$$$

%

&!

6 00 1

D = !!

"

#

$$$$$$

%

&

! !!

!

1 0 02 4 00 1 2

E=!

!!

"

#

$$$$$$

%

&

!!!

1 1 10 2 10 0 2

F =!

!!

"

#

$$$$$$

%

&

!!

!

1 2 10 4 31 2 0

G =!

!

"

#

$$$$$$

%

&

!! !!

1 1 03 4 60 1 2

H =!

"

#

$$$$$$

%

&

!!

1 0 00 2 00 0 2

I =!

"

######

$

%

&&&&&&&

1 0 00 1 00 0 1

J =!

"

######

$

%

&&&&&&&

3 0 00 3 00 0 3

Calcula el rang de les matrius segents:

El rang de A s 2, perqu la segona columna s proporcional a la primera.

Com que aquesta matriu s escalonada per columnes, rang (B) = 3.

CC C

= !!!

"

#

$$$$$$$

%

&

012

103

230

10

2 1

!!"#

33

012

230

3 3 13

!!!

"

#

$$$$$$$

%

&

= !!!!"F F F

1100

012

236 3 3

2!

!!

"

#

$$$$$$$

%

&

= +

!!!"F F FF

C2

100

010

230

!!!

"

#

$$$$$$$

%

&

" rang ( ))= 2

Com que aquesta matriu s escalonada, rang (E ) = 3.

Quin s el nombre ms gran de columnes linealment independents

de la matriu A = ?

Com que el rang per columnes s 2, noms hi ha dues columnes linealment independents.

!"#$%&())$*+))%!,-.// "01)"1")"*2$"

68

Matrius

t

t 10

21

10

01

10

01

10

211 1 22!

"

#$$$

%

& !

"= +

!!!"F F F ##

$$$%

& !

"

#$$$

%

&= !

!!!" "F F

A2 2

10

01

10

21

11 1 20 1

=!

"

#$$$

%

&

t ! !!

"

#$$$

%

&

! !!= +

15

21

10

01

10

2112 2 15

!!!"F F F

115

01 0

011

15

2

1 1 211 2

"

#$$$

%

&

!!

!= !

!!!"F F F

1111

1 01

11

2

1

1 1

2 2

111111

"

#$$$

%

&

!

= !

= !

!!!"F F

F F

11

0 15

11

1

11

1

! !

"

#

$$$$$$$$$$

%

&

=!" B!!

! !

"

#

$$$$$$$$$$

%

&

1

11

2

115

11

1

11

t !"

#$$$

%

&

!"

= !

6 0 1 00 1 0

1 01

60

0 1 0 11 116

1!!!"F F ##

$$$$$$$

%

&

=

!"

#

$$$$$$$

%

&

!" C 11

60

0 1

t 1 0 0 1 0 02 4 0 0 1 00 1 2 0 0 1 2

!!

"

#

$$$$$$

%

&

!!!"F == !

!

"

#

$$$$$$

%

&

F F2 12

1 0 0 1 0 00 4 0 2 1 00 1 2 0 0 1

! ! !

"

#

$$$$$= !!!!"F F F3 3 24

1 0 0 1 0 00 4 0 2 1 00 0 8 2 1 4$$

%

&

== !

!!!"F F

F F2 2

3 3

14 1

8

1 0 0 1 0 0

0 1 01

2

1

400

0 0 11

4

1

8

1

2!

"

#

$$$$$$$$$$$$$

%

&

=

!

"

#

$$$$$$$$$$$$

%

&

!" D 1

1 0 01

2

1

40

1

4

1

8

1

2

t 1 1 1 1 0 00 2 1 0 1 00 0 2 0 0 1

!!!

"

#

$$$$$$

%

&

!!!"F22 2 31 1 3

22

2 2 0 2 0 10 4 0 0 2 10 0 2 0 0 1

= != +

!!

!

"

#

$$F F

F F F

$$$$$

%

&

!!

= +!!!"F F F1 1 22

4 0 0 4 2 10 4 0 0 2 10 0 22 0 0 1 1 1

2 2

3

1414

"

#

$$$$$$

%

&

=

=

=

!!!"F F

F F

F !!

!

!

"

#

$$$$$$$$$$

12 3

1 0 0 11

2

1

4

0 1 0 01

2

1

4

0 0 1 0 01

2F

$$$$$$$$

%

&

=!" E 1

11

2

1

4

01

2!!

!

"

#

$$$$$$$$$$$$$$$$$

%

&

1

4

0 01

2

!"#$%&())$*+))%!,-.//&% "01)"1")"*2$"

Matrius

69

1SOLUCIONARI

t 1 2 1 1 0 00 4 3 0 1 01 2 0 0 0 1

!!

!

"

#

$$$$$$$

%

&

!!! ""F F F3 3 1

1 2 1 1 0 00 4 3 0 1 00 0 1 1 0 1

= !

!!! !

"

#

$$$$$$$

%

&

!!

= += !

!!!"F F FF F F1 1 3

2 2 33

1 2 0 0 0 10 4 0 3 1 330 0 1 1 0 1

2

1 1 22! !

"

#

$$$$$$$

%

&

= +

!!!"F F F

00 0 3 1 10 4 0 3 1 30 0 1 1 0 1

!!

! !

"

#

$$$$$$$

%

&

!! !!"F F

F F

F F

1 1

2 2

3 3

1214

1 0 03

2

1

2

1

2

0 1 03

4

1

4

3

4=

=

= !

!

!

00 0 1 1 0 1!

"

#

$$$$$$$$$$$$$$

%

&

"" F! =

!

!

!

"

#

$$$$$$$$$$$$$$

%

&

1

3

2

1

2

1

23

4

1

4

3

41 0 1

t 1 1 0 1 0 03 4 6 0 1 00 1 2 0 0 1

!

!

"

#

$$$$$$$

%

&

!!!"FF F F2 2 13

1 1 0 1 0 00 7 6 3 1 00 1 2 0 0 1

= !

!!

!

"

#

$$$$$$$

%

&

!= += !

!!!"F F FF F F1 1 2

3 3 2

77

7 0 6 4 1 00 7 6 3 1 000 0 20 3 1 7 1 1

10 3! !

"

#

$$$$$$$

%

&

= +

!!!!"F F FFF F F

3

2 2 310 3

70 0 0 49 7 210 70 0 21 7 210 0 20 3 1 7= +

!! !

"

##

$$$$$$$

%

&

=

=

= !

!!!"F F

F F

F

1 1

2 2

3

1701

701120 3

1 0 07

10

1

10

3

10

0 1 03

10

1

10

3

10

0 0 13

20

1

20

7

F

!

! !220

"

#

$$$$$$$$$$$$$$$$$

%

&

= !

! !

"

#

$$

!" G 1

7

10

1

10

3

103

10

1

10

3

103

20

1

20

7

20

$$$$$$$$$$$$$$$$

%

&

t 1 0 0 1 0 00 2 0 0 1 00 0 2 0 0 1!

"

#

$$$$$$$

%

&

!!!"F22 2

3 3

12

12

1 0 0 1 0 0

0 1 0 01

20

0 0 1 0 01

2

=

= !!

"

#

$$$$$

F

F F

$$$$$$$$$

%

&

=

!

!" H 1

1 0 0

01

20

0 01

2

""

#

$$$$$$$$$$$$$

%

&

t I I! =1

t 3 0 0 1 0 00 3 0 0 1 00 0 3 0 0 1 1

!

"

#######

$

%

&&&&&&&& =!!"F 11

31313

1

2 2

3 3

1 0 01

30 0

0 1 0 01

30

0 0 1 0 01

3

F

F F

F F

=

=

!

"

#################

$

%

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

=" J 1

1

330 0

01

30

0 01

3

!

"

################

$

%

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

10

21

10

01

10

01

10

211 1 22!

"

#$$$

%

& !

"= +

!!!"F F F ##

1.Matrius S MACS

Documents

Transcript of 1.Matrius S MACS