14 Turbinas Kaplan

8/16/2019 14 Turbinas Kaplan

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Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)

1

Capítulo 14

Turbinas Kaplan


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2

TURBINAS DE REACCIÓN (FRANCIS Y KAPLAN)

Si nos dan de dato:

med D (Media aritmética de int D y ext D ) y mmm V V V == 21 Si 21 D D = 21 U U =

Si nos dicen:

“Sin componente acimutal en la salida” o “el agua sale del rodete con dirección radial”:º902 =α 22 mV V =

Ángulos:

:0α Ángulo de entrada álabes del distribuidor :2 β Ángulo de salida álabes del rodete

:1α Ángulo de salida álabes del distribuidor :3α Ángulo de entrada álabes del difusor

:1 β Ángulo de entrada álabes del rodete

Triángulo de velocidades:

Velocidades:

xV : Velocidad absoluta del fluido.

xW : Velocidad relativa del fluido respecto al rotor.

xU : Velocidad lineal/periférica/de arrastre del rotor.

mxV : Componente meridiana /radial del vector velocidad absoluta.

uxV : Componente acimutal del vector velocidad absoluta.

Fórmulas (triángulos de velocidades):

;60

n DU x

x

π = ;

60n D

U med π

= ; x x

vmx

Db

QV

π

η =

( );

42int

2 D D

QV

ext

vm

−=π

η ;cot xmx xux gV U V β +=

g

V U V U H uuu

2211 −= ;2

2

1

1

D

U

D

U = Se suele usar cuando no conocemos la velocidad de giro n

Al variar α :

xV y xU se mantienen constantes - al aumentar α aumenta el caudal ( )Q

,mxV ,cxV xW y Q varían, haciéndolo en la misma proporción en todos los triángulos

....==′

′

mx

xm

V

V

sen

sen

α

α x x β β β −′=∆

Conservación momento cinético:

1100 ** DV DV uu = Siendo 0 D el diámetro sección de salida del distribuidor y 00 cosα V V uo =


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3

Fórmulas varias:

h

un

H H

η = Si unh Lr H H H =→=→= 10 η

ϕ H H H bn −= Siendo ϕ H la pérdida de carga en la conducción hasta la turbina.

u Ln H H H += Siendo L H la altura de pérdidas de carga.

Lest Ldist Ldif Lr d Lv L H H H H H H ++++= −

Si tenemos que incluir las pérdidas a la salida ( )gV H xsal 2 / 2=

*Cómo estos cinco sumandos sólo aparecen en esta expresión si no nos dicen nada los tomamos como cero

t nt gQH W η ρ = Siendo hvt η η η η 0= 0 / η t u W W = et e W W η =

salrozinyh ϕ ϕ ϕ η −−−=1 Siendo salroziny −−ϕ las pérdidas por unidad de salto neto.

QQQQ fe fiv

/ −−=η Si no hay fugas ni internas ni externas, 1=vη

Tipos de turbinas:

Velocidad específica Tipo de turbina5 – 30 Pelton con un inyector30 – 50 Pelton con varios inyectores50 – 100 Francis lenta100 – 200 Francis normal200 – 300 Francis rápida300 – 500 Francis doble gemela rápida o express

+ 500 Naplan o hélice

4 5

735 /

n

s

H

W nn = Siendo sn la velocidad específica en rpm

Bernoulli:

( ) n H z zg

p p

g

V V =−+

−+

−21

212

22

1

2 ρ

Si se considera el movimiento plano:

( ) 021 =− z z

( ) Ldif H z z

g

p p

g

V V =−+

−+

−32

322

32

2

2 ρ

Siendo:

24 x

vv

DQ

AQV

π η η ==

Circulación, paso y componentes de la fuerza por unidad de anchura:

( )21 uu V V t −=Γ Z Dt m / π = ( )21 / p pt bF x −= ( )21 / uum y V V t V bF −= ρ

Unidades magnitudes y otras:

Pacm

kg981001

2 = 211

m

N Pa = W CV 7351 = rad rev π 21 =

4 5

75,0

t

t

s

p

W W ∆

Ω= ρ 602π n=Ω nt QgH p =∆


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5

Problema 14.1.- (C.U. 161) Una turbina Kaplan de eje vertical, con un rodete de diámetroexterior m D

ext 8= y diámetro interior m D 2,3int = , funciona con un salto neto m H n 11= y un

caudal smQ / 500 3= , girando a una velocidad rpmn 2,65= . La potencia eléctrica generada

por el alternador es de MW W e

45= . El rendimiento del alternador es 96,0=eη y el

rendimiento orgánico de la turbina es 97,00 =η . La velocidad absoluta a la salida del rodete

no tiene componente acimutal, los álabes se han diseñado de forma que a lo largo de ellos lacirculación se mantiene constante. La componente axial de la velocidad es uniforme en todoel rodete.El tubo difusor tiene una relación de áreas de 1,5:1, y se sección de entrada está a una alturade 2m por encima del nivel de agua en el canal de desagüe. La pérdida de energía en elinterior del difusor se estima en un 10% de la energía cinética en su sección de entrada. Sesupondrá una presión de saturación de vapor 2 / 2500 m N p

v = . Determinar:

a) Rendimiento total de la turbina.b) Rendimiento hidráulico (se supondrá 1=vη ).

c)

Triángulo de velocidades de entrada y salida en las secciones correspondientes alextremo y a la raíz de los álabes.

d) Presión absoluta en la sección de entrada del difusor. Comentar la posibilidad de quela turbina funcione en condiciones de cavitación.

Solución:

Resumen de datos Distribuidor Rodete Turbina Difusor

Entrada Salida MW W e 45=

m Dext 8= m D 2,3int = m H n 11= gv H Ld 2 / 1,023=

smQ / 500 3= 34 5,1 S S = rpmn 2,65=

96,0=eη

97,00 =η

1=vη


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6

a) Rendimiento total de la turbina.

La potencia total viene dada, por:

kW

W W

W e

e

t 875.4696,0

10*45 6===

η

Como la potencia total viene dada por:

t nt gQH W η ρ =

Por lo que el rendimiento total será:

869,011* / 500* / 81,9* / 1000

875.46 23 ===msmsmmkg

kW gQH W

n

t t

ρ η

869,0=t η

b) Rendimiento hidráulico (se supondrá 1=vη )

Teniendo en cuenta que el rendimiento total es:

0η η η η hvt =

896,01*97,0

869,0

0

===η η

η η

v

t h

896,0=hη


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7

c) Triángulo de velocidades de entrada y salida en las secciones correspondientes al extremo ya la raíz de los álabes.

mm H H hnu 856,9896,0*11 === η

Por la ecuación de Euler:

g

U V H uu

11= (Ya que 02 =uV )

smm D

nU ext ext / 311,2760

8*2,65

601 ===

π π

smm D

nU / 924,1060

2,3*2,65

60int

int1 === π π

Cómo:

AV Qm

= A

QV

m =

( )2int2

2int

2

444 D D

D D A ext

ext −=−= π π π

Sustituyendo valores:

( ) ( ) sm

sm

sm

D D

Q

A

QV

ext

m / 842,11

/ 2,38 / 500*4*4

2222

3

2int

2 =−=

−==

π π

smV m / 842,11=


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8

ext D smV m / 842,11=

11

U

g H V uu =

smU

g H V uu / 532,3311,27

81,9*834,9

11 ===

º53,153º47,26º180532,3311,27 842,11º180º180 111 =−=

−−=

−−= arctg

V U V arctg

u

m β

º56,156º44,23º180311,27

842,11º180º180

2

22 =−=−=−= arctg

U

C arctg β

int D smV m / 842,11=

11

U

g H V uu =

smU

g H V uu / 831,8924,10

81,9*834,9

11 ===

º02,100º98,79º180831,8924,10

842,11º180º180

111 =−=

−−=

−−= arctg

V U

V arctg

u

m β

º69,132º31,47º180924,10

842,11º180º180

2

22 =−=−=−= arctg

U

C arctg β


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9

d.1) Presión absoluta en la sección de entrada del difusor.

( ) Ld H z z

g

v

g

v

g

P

g

P=−+

−+

− 43

24

2343

22 ρ ρ

Dónde:

102

4 =g

P

( ) ( ) mm

msm

sm

Dg

Q

gD

Q

g

S Q

g

v

ext

043,510*966,3

10*2

8* / 81,9*

/ 500*8

**

*88

2

/

2 56

422

262

42

2

43

2

223

223 ======

π π π

( )( ) ( )

msm Dg

Q

gD

Q

g

S Q

g

S Q

g

v

ext

241,2 / 10*966,3

10*89,8881,9*

500*556,3556,3182

5,1 / 2 /

2 2556

42

2

42

2

43

2

223

224

224 =======

π π π

m z z 243 =−

mmg

v H Ld 5043,0043,5*1,02

1,023 ===


( ) ( ) mg

P5043,02241,2043,5103 =+−+

−

ρ

( )2241,2043,5105043,03 −+−+= gP ρ

( ) 233 / 56,939.557023,5 / 9810 m N mm N P ==

23 / 56,939.55 m N P =


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d.2) Comentar la posibilidad de que la turbina funcione en condiciones de cavitación.

Cómo:

223 / 2500 / 56,939,55 m N Pm N P v =>=

No existe cavitación.


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11

Problema 14.2.- (C.U. 161) Bajo ciertas condiciones de funcionamiento de una turbinaKaplan, el triángulo de velocidades correspondiente a una cierta posición radial en la secciónde entrada al rodete está determinado por las siguientes magnitudes: smU / 301 = smV / 131 =

y º141 =α . El número de álabes es suficientemente grande, de forma que puede suponerse quela dirección de la velocidad relativa a la salida de los álabes del rodete coincide en cualquiercondición de funcionamiento con la dirección de sustentación nula. Determinar:

a) Triángulo de velocidades en la dirección de salida del rodete, correspondiente a lamisma posición radial considerada, suponiendo que existe una pérdida de altura

mg

V u 25,02

22 = debida a la existencia de una componente acimutal de la velocidad

absoluta a la salida.b) Ángulo que deben girar los álabes del distribuidor y del rodete si el caudal disminuye

en un 10%, manteniéndose constante el módulo de la velocidad absoluta de entrada alrodete y el ángulo de ataque sobre éste.

c) Triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete en las condiciones del

apartado anterior:

Solución:


Entrada SalidasmU / 301 = mgV u 25,02 /

22 =

smV / 131 =

º141 =α º1702 = β


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12

Partiendo de los datos dados, representamos el triángulo de velocidades a la entrada delrodete:

Dónde:

( ) smsensmsenV V m

/ 144,3º14* / 13111 === α

( ) ( ) smV V V mu / 614,12144,313222

12

11 =−=−=

Puesto qué:

1111 β ctgV U V mu +=

º73,169133,3

30641,12

1

111 =

−=

−= arcct

V

U V arcctg

m

u β

Aplicando el teorema del coseno, tenemos:

( ) ( ) ( ) 169,312º14cos*30*13*23013cos2 2211121

21

21 =−+=−+= α U V U V W

smW / 668,171 =

a) Triángulo de velocidades en la dirección de salida del rodete, correspondiente a la misma

posición radial considerada, suponiendo que existe una pérdida de altura mg

V u 25,02

22 = debida

a la existencia de una componente acimutal de la velocidad absoluta a la salida.

Partiendo del triángulo de velocidades a la entrada del rodete, podemos construir el triángulode velocidades a la salida del mismo:


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13

Nos dicen que:

mg

V u 25,02

22 = => smsmmgV u / 215,2 / 81,9*2*25,0*2*25,0

22 ===

smV u / 215,22

=

En una turbina Kaplan se cumple:

mmm V V V == 21

Por lo tanto:

( ) ( ) smV V V V umm / 144,3641,1213

222

1

2

112 =−=−==

smV m / 144,32 =

En el triángulo de salida, tenemos:

2

22

u

m

V

V tg =α =>

=

2

22

u

m

V

V arctgα

Por lo que:

º84,54215,2144,3

2 =

= arctgα

º84,542 =α

( ) ( ) smsmsmV V V mu / 836,3 / 133,3 / 215,2222

2222 =+=+=

smV / 846,32 =

2222 cot β gV U V mu +=

º54,173144,3

/ 30215,2

2

222 =

−=

−=

smarcctg

V

U V arcctg

m

u β

º54,1732 = β


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14

b) Ángulo que deben girar los álabes del distribuidor y del rodete si el caudal disminuye en un10%, manteniéndose constante el módulo de la velocidad absoluta de entrada al rodete y elángulo de ataque sobre éste.

Se verifica:

Si %10↓Q entonces %10↓mV

Por lo tanto:

smsmV V mm

/ 830,29,0* / 144,39,0*11 ===′

( ) ( ) smV U V mm

/ 688,12830,213 221211 =−=′−=′

1

11

u

m

V

V tg

′

′=′α

º574,12688,12

830,2

1

11 =

=′

′

=′ arctgV

V arctg

u

m

α

º426,1º14574,1211 −=−=−′=∆ α α α

º426,1−=∆α

1111 β ′′+′=′ ctgV U V mu

º714,1708305,2

/ 30688,121

111 =

−=

′′−′=′ smarcctg

V U V arcctg

m

u β

Cómo:

º731,169144,3

/ 30641,12

1

111 =

−=

−=

smarcctg

V

U V arcctg

m

u β

º983,0º731,169º714,17011 =−=−′=∆ β β β

º983,0=∆ β


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15

c) Triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete en las condiciones del apartadoanterior:

º98,012 =∆=∆ β β

º52,174º98,0º54,173º983,0*22 =+==′ β β

º52,1742 =′

β

2222 β ′+=′ ctgV U V mu

smsctgmsmV u / 501,0º52,174 / 83,2 / 302 =+=′

smV u / 501,02 =′

( ) ( ) smsmsmV V V mu

/ 874,2 / 83,2 / 501,0 2222222 =+=+′=′

smV / 874,22 =′

2

22

u

m

V

V tg

′

′=′α

º96,79501,0830,2

2

22 =

=

′

′=′ arctg

V

V arctg

u

mα

º96,792 =′α


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17

Problema 14.3.- (C.U. 161) Una turbina hidráulica tiene un rendimiento total mínimogarantizado del 75% para el rango de potencias comprendido entre 150 y 270 kW, trabajandobajo un salto de 3 m y girando a 250 rpm. Se supondrá un rendimiento orgánico 96,00 =η . El

área de la sección transversal de salida del difusor, de 9200 cm², es igual a la de la sección desalida del rodete, Esta se halla situada a 1,5 m por encima del nivel del agua en el socaz. Elángulo de salida de los álabes del distribuidor es de 80º. En el tubo difusor se produce una

pérdida de carga igual ag

V m

26,0

22 . El diámetro medio del rodete es de 1,04m.

a) Indicar el tipo de turbina de que se trata.b) Determinar si será posible obtener una potencia de 400 kW, manteniendo el mismo

rendimiento indicado, si se dispone de un salto de 4,5 m.c) Si se consigue elevar el salto disponible hasta 5 m, determinar las potencias mínima y

máxima que podrán alcanzarse.d) Determinar el número de pares de polos que debe tener un alternador síncrono

acoplado a la turbina para las condiciones del apartado c).

e)

Determinar si existe peligro de cavitación en el rango de condiciones del apartado c).f) Determinar los triángulos de velocidades para la sección correspondiente al diámetromedio del rodete en las dos condiciones extremas de funcionamiento del apartado c).

g) En las condiciones del apartado c), determinar el rendimiento óptimo si éste se alcanzapara un caudal igual a la media de los caudales máximo y mínimo.

Solución:

a) Indicar el tipo de turbina de que se trata.

Para poder saber de qué turbina se trata necesitamos conocer la velocidad específica:

4

5

2

1

H

nPns =

Para W = 150 kW => P = 204,1 CV

( )57,904250*

3

1,2044 / 5

2 / 1

4

5

2

1

===

H

nPns

Para W = 270 kW => P = 367,3 CV

( )35,1214250*

3

8,3674 / 5

2 / 1

4

5

2

1

===

H

nPns

Cómo:

1214904


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18

b) Determinar si será posible obtener una potencia de 400 kW, manteniendo el mismorendimiento indicado, si se dispone de un salto de 4,5 m.

Para W = 400 kW P = 400000/735 = 544,2 CV

22

21

2

1

n

n

H

H = =>

( ) rpm H

H

nn 18,3063

5,4

250

2

1

22

12 ===

( )9,117418,306*

5,4

2,5444 / 5

2 / 1

4

5

2

1

===

H

nPns

Cómo: 1214904 ( ) rpm

H

H nn 74,322

35250 2

1

2212 ===

CV Pns 36,37374,322

5904

4 / 5

904 =

== => 274,4kW

CV Pns 34,67374,322

51214

24 / 5

1214 =

== => 494,9kW

d) Determinar el número de pares de polos que debe tener un alternador síncrono acoplado ala turbina para las condiciones del apartado c).

rpmn 74,322=

rpm Hz f 300050 ==

29,974,322

3000º ===

n

f polosn

9º = polosn


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19

e) Determinar si existe peligro de cavitación en el rango de condiciones del apartado c).

Datos:

Del apartado c), tenemos:

rpmn 74,3222 =

Del enunciado:

g

V H m Ld 2

6,022=

22 92,09200 mcm Ad ==

Planteando la ecuación de Bernoulli entre las secciones de entrada y salida del difusor:

( ) Ld ad

ad ad H z zg

v

g

v

g

P

g

P=−+

−+

−

22

22

ρ ρ

Considerando:

mg

Pa 10=

ρ

=

g

v

g

v ad

22

22

( ) m z z ad 5,1=−

( )g

V m

g

v

g

vm

g

P mad d

26,05,1

2210

22

22

=+

−+

−

ρ

g

V m

g

V mm

g

P mmd

26,05,8

26,05,110

22

22 +=+−=

ρ

Cómo para agua a 20º 2 / 2331 m N Pv ≈ => mg

Pa 2376,0

9810

2331==

ρ

g

V m

g

P ma

26,05,8

22+=

ρ

( ) smgV m / 437,162376,05,86,02 =−=


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f) Determinar los triángulos de velocidades para la sección correspondiente al diámetro mediodel rodete en las dos condiciones extremas de funcionamiento del apartado c).

No entiendo muy bien a que te refieres con u1....

Si te refieres a u1, en una kaplan u=u_1=u_2, y conociendo el dato de la velocidad de giroobtenida en el partado d, y con el dato del diámetro medio, ya tienes el valor de u.

Si es v_1, recuerda que en una kaplan la vm_1=vm_2=vm, y con el dato de los caudalesmáximos y mínimos ya tienes vm.

Ten en cuenta que para el último apartado vu_2=0 ya que nos imponen la condición derendiemiento óptimo.

De todas formas, en el archivo de dudas de problemas del capítulo 14, al final del archivo

tienes resuelto el apartado.

g) En las condiciones del apartado c), determinar el rendimiento óptimo si éste se alcanza paraun caudal igual a la media de los caudales máximo y mínimo.


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E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Segunda semana. Febrero 2006. Duración 2h (2,5 P)

Problema 14.4.- 4.- Una turbina tubular (grupo bulbo) con rodete tipo Kaplan y distribuidoraxial con álabes móviles funciona en condiciones de diseño con un salto m H n 15= y un

caudal smQ / 400 3= , alcanzando un rendimiento hidráulico 9,0=hη . El rodete gira a una

velocidad srad w / 8,6= , y tiene unos diámetros exterior e interior m Dext 6= y m D 4,2int = ,respectivamente. Los álabes se han diseñado de forma que a lo largo de ellos la circulación semantiene constante. La componente axial de la velocidad es uniforme en todo el rodete. Laturbina dispone de un sistema que permite regular la potencia actuando simultáneamentesobre los álabes del distribuidor y el rodete, de tal forma que se mantiene constante el módulode la velocidad absoluta de entrada al rodete y el ángulo de ataque sobre los álabes de éste. Sesupondrá que los diámetros, exterior e interior del distribuidor coinciden con los ejes delrodete y que el momento cinético se conserva entre el distribuidor y el rodete. Determinar:

a) Ángulos de entrada y salida del rodete y ángulo de salida del distribuidor en la

posición radial correspondiente al diámetro medio. Se supondrá que en las condicionesde diseño el agua sale del rodete sin componente acimutal.b) Ángulo que deben girar los álabes del rodete si se giran 1º los álabes del distribuidor

para reducir el caudal.c) Rendimiento manométrico en el punto de funcionamiento del apartado anterior.

Solución:


Entrada Salida smQ / 400 3=

m Dext

6= m D 4,2int = m H n 15=

srad w / 8,6=

02 =uV 9,0=hη


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22

a) Ángulos de entrada y salida del rodete y ángulo de salida del distribuidor en la posiciónradial correspondiente al diámetro medio. Se supondrá que en las condiciones de diseño elagua sale del rodete sin componente acimutal.

Diámetro medio:

m D D

D ext med 2,424,26

2int =

+=

+=

Velocidad de arrastre para el diámetro medio:

smmsrad D

wU U U med / 28,142

2,4* / 8,6

221 =====

Velocidad meridiana:

( ) ( ) sm

m

sm

D D

QV V V

ext

mmm / 842,164,26

/ 400*4

4

222

3

2int

221 =

−=

−

===π π

De los triángulos de velocidades, tenemos:


−=

1

11

m

u

V

U V arcctg β

( )U

V tg m22º180 =− β

−=

U

V arctg m22 º180 β

1

1

1u

m

V

V

tg =α

=

1

1

1u

m

V

V

arctgα


23/38


23

De la ecuación de Euler, tenemos:

g

U V

g

U V U V H uuuu

112211 =−

= (Ya que 02 =uV )

Por otra parte:

hnu H H η =

Por lo que tendremos:

hnu H g

U V η =11

De dónde:

smsmsm

mg

U

H V hn

u / 274,9 / 81,9*

/ 28,149,0*15 2

11 ===

η

Por lo que los ángulos buscados serán:

º55,106842,16

28,14274,9

1

1

1 =

−=

−=

arcctgV

U V

arcctg m

u

β

º55,1061 = β

º29,130º7,49º18028,14

842,16º180º180 22 =−=

−=

−= arctg

U

V arctg m β

º29,1302 = β

º16,61274,9842,16

1

11 =

=

= arctg

V

V arctg

u

mα

º16,611 =α


24/38


24

b) Ángulo que deben girar los álabes del rodete si se giran 1º los álabes del distribuidor parareducir el caudal.

Si se quiere reducir el caudal la variación de un grado en los álabes del distribuidor, será demenos, (se reduce caudal pero la velocidad absoluta permanece constante); al reducir caudal,

se reduce la velocidad meridiana mV .

º16,60º1º16,61º111 =−=−=′ α α

Variación en 1 β :

Cómo la velocidad absoluta permanece constante:

( ) ( ) smV V V V um

/ 266,19274,9842,16 22212111 =+=+==′

En el triángulo de velocidades, podemos ver:

smsensenV V m

/ 677,16º16,60*266,19111 ==′′=′ α

smV V u

/ 567,9º16,60cos*266,19cos 111 ==′′=′ α

Cómo:

111 β ′′+=′ ctgV U V mu => º78,105677,1628,14567,9

1

11 =

−=

′

−′=′ arcctg

V

U V arcctg

m

u β

Por lo tanto la variación de 1 β será:

º77,0º55,106º78,105111 −=−=−′=∆ β β β

º77,01 −=∆ β


25/38


25

Variación de 2 β :

Del triángulo de velocidades, tenemos:

º52,129º77,0º29,130122 =−=∆+=′ β β β

º52,1292 =′ β

c) Rendimiento manométrico en el punto de funcionamiento del apartado anterior.

Del triángulo de velocidades, tenemos:

222 β ′′+=′ ctgV U V mu

smctgV u / 523,0º52,129677,1628,142 =+=′

( )m

g

U V U V H uuu 165,1381,9

523,0567,928,14

81,9

28,14*523,028,14*567,921 =−

=−

=′−′

=

Cómo:

hnu H H η =

878,015165,13

===n

uh

H

H η

878,0=hη


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26


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27

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Segunda semana. Febrero 2008. Duración 2h (2,5 P)

Problema 14.5.- 3.- Una turbina Kaplan dispone de un sistema de doble regulación que actúasimultáneamente sobre los álabes del distribuidor y del rodete, permitiendo variar la potenciaque produce la turbina en función de la demanda. Girando los álabes del distribuidor se

reduce o aumenta el caudal (manteniéndose constante el módulo de la velocidad absoluta desalida del distribuidor), y girando los álabes del rodete se consigue mantener constante elángulo de ataque sobre éstos, con lo que se evitan las pérdidas por choque. El distribuidor escilíndrico y en él el flujo carece de componente axial. Bajo ciertas condiciones defuncionamiento, el triángulo de velocidades correspondiente al diámetro medio, m D en la

sección de entrada al rodete está determinado por las siguientes magnitudes: smU / 30= smV / 131 = y º141 =α , y en la sección de salida del distribuidor, por smV / 60 = y º200 =α .

El ángulo de salida de los álabes del rodete correspondiente al diámetro medio es º1702 = β .El número de álabes es suficientemente grande, de forma que puede suponerse que ladirección de la velocidad relativa a la salida de los álabes del rodete coincide en cualquier

condición de funcionamiento con la dirección de sustentación nula. Determinar:

a) Triángulo de velocidades en la sección del rodete, correspondiente al diámetro medio.b) El valor de 0 / D Dm , siendo el diámetro de la sección de salida del distribuidor.

Considérese que se conserva la componente axial del momento cinético,u

rv , entre las

secciones de salida del distribuidor y de entrada del rodete.

Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor 1º para aumentar el caudal,y simultáneamente los álabes del rodete un ángulo β ∆ . Despréciese la variación de 0 D

debida al giro de los álabes del distribuidor. Determinar, en las nuevas condiciones de

funcionamiento:

c) El triángulo de velocidades a la salida del distribuidor y la variación de caudal en tantopor ciento. Indicar justificadamente si el sentido en el que giran los álabes deldistribuidor, para conseguir un aumento del caudal, es el mismo que el del giro delrodete.

d) El triángulo de velocidades en la sección de entrada al rodete, correspondiente aldiámetro medio y él ángulo que giran los álabes del rodete. (Nótese que el módulo dela velocidad absoluta a la entrada del rodete ha cambiado.)

e) El triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete.

Solución:


Entrada SalidasmU / 30=

smV / 60 = smV / 131 =

º200 =α º141 =α º1702 = β


28/38


28

a) Triángulo de velocidades en la sección del rodete, correspondiente al diámetro medio.

Velocidad de arrastre:

smU U / 3012 ==

Velocidad meridiana:

12 mm V V =

Componente acimutal:


Ángulo 2α :

2

22u

m

V

V tg =α

Teniendo en cuenta el triángulo de velocidades a la entrada del rodete, donde conocemos:

smU / 30=

smV / 131 =

º141 =

α

Podemos hallar la velocidad meridiana 1mV :

smsensmsenV V m / 145,3º14* / 13111 === α

Por lo tanto:

smV V mm

/ 145,312 ==

smV m / 145,32 =


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29

Conocida la velocidad meridiana, podemos obtener ya la componente acimutal:

smctgsmsmV u / 164,12º170* / 145,3 / 302 =+=

smV u / 164,122 =

El ángulo 2α será:

258,0 / 164,12

/ 145,3

2

22 ===

sm

sm

V

V tg

u

mα => ( ) º50,14258,02 == arctgα

º50,142 =α

b) El valor de 0 / D Dm , siendo el diámetro de la sección de salida del distribuidor.

Considérese que se conserva la componente axial del momento cinético,u

rv , entre las

secciones de salida del distribuidor y de entrada del rodete.

Conservación momento cinético

1100 DV DV uu =

Del triángulo de velocidades a la salida del distribuidor:

000 cosα V V u =

smsmV u / 638,5º20cos* / 60 ==

Del triángulo de velocidades a la entrada del rodete, tenemos:

1

11

u

m

V

V tg =α => sm

tg

sm

tg

V V m

u / 614,12º14

/ 145,3

1

11 ===

α

447,0 / 614,12

/ 638,5

1

0

0

1 ===sm

sm

V

V

D

D

u

u

447,00

1 = D D


30/38


30

Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor 1º para aumentar el caudal,y simultáneamente los álabes del rodete un ángulo β ∆ . Despréciese la variación de 0 D

debida al giro de los álabes del distribuidor. Determinar, en las nuevas condiciones defuncionamiento:

c) El triángulo de velocidades a la salida del distribuidor y la variación de caudal en tanto porciento. Indicar justificadamente si el sentido en el que giran los álabes del distribuidor, paraconseguir un aumento del caudal, es el mismo que el del giro del rodete.

Se verifica:

00 V V =′

000 α senV V m = 000 / α senV V m=

=> 0000 / / α α senV senV mm =′′

000 α ′′=′ senV V m 000 / α ′′=′ senV V m

Por lo tanto:

00 / / α α senQsenQ =′′ => 00 / * α α sensenQQ ′=′

( ) ( ) 0478,1*º20 / º21* QsensenQQ ==′

0478,0=−′=∆ QQQ

%78,4=∆Q

Los álabes del distribuidor parece que giran en sentido contrario, para demostrarlo seríanecesario hallar 1 β ′

Cómo puede apreciarse en el triángulo de velocidades, que al aumentar el ángulo de los álabesdel distribuidor, aumenta la componente meridional de la velocidad a la salida del

distribuidor, como consecuencia de un aumento del caudal.


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31

d) El triángulo de velocidades en la sección de entrada al rodete, correspondiente al diámetromedio y él ángulo que giran los álabes del rodete. (Nótese que el módulo de la velocidadabsoluta a la entrada del rodete ha cambiado.)

Como consecuencia del aumento del caudal, la componente meridional de la velocidad a la

entrada del rodete aumentara en la misma proporción al aumento del caudal.

11 α α ′

′=

sen

Q

sen

Q

º140478,1º140478,1

1 sensenQ

Qsen

Q

Qsen ==

′=′ α α

( ) º68,14º140478,1 ==′ Senarcsenα

º68,0º14º68,14111 =−=−′=∆ α α α

º68,01 =∆α

1111 cot β ′′+′=′ gV U V mu

′

′−′=′

1

111

m

u

V

U V arcctg β

Dónde:

sm D D

V V u

u / 530,12443,0

601,5

/ 010

1 ==′

=′

smU U / 3011 ==′


32/38


32

smsmV Q

QV

mm / 294,3 / 144,3*0478,1* 11 ==′

=′

º32,169294,3

30530,12

1

111 =

−=

′

′−′=′ arcctg

V

U V arcctg

m

u β

º32,1691 =′ β

Cómo antes de girar los álabes, teníamos:

1111 cot β gV U V mu +=

º75,169144,3

3061,12

1

111 =

−=

−= arcctg

V

U V arcctg

m

u β

Por lo tanto:

º43,0º75,169º32,169111 −=−=−′=∆ β β β

º43,01 −=∆ β

e) El triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete.

º57,16943,017022 =−=∆+=′ β β β

smV V mm / 294,312 =′=′

smctggV U V mu / 105,12º57,169294,330cot 2222 =+=′′+′=′ β

2

22

u

m

V

V tg

′

′=′α => º23,15

105,12294,3

2 =

=′ arctgα

º23,152 =′α


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33

E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Primera semana. Febrero 2009. Duración 2h (2,5 P)

Problema 14.6.- 4.- Una turbina Kaplan de eje vertical que funciona en condicionesnominales con un caudal smQ / 390 3= está acoplada a un alternador que gira a una velocidad

rpmn 2,65= y tiene un rendimiento 96,0=eη . La velocidad específica de la turbina es

98,2=sw . Los diámetros interior y exterior del rodete son m D 5,3int = y m Dext 5,7= ,respectivamente. Los rendimientos hidráulico, orgánico y volumétrico se tomarán

9,0=hη 97,00 =η y 0,1=vη respectivamente. Considérese que la componente axial del

momento cinético es uniforme en la sección de entrada al rodete y para el caudal indicado,nula en la sección de salida. Se supondrá que el agua entra al rodete sin choque y que ladirección de la velocidad relativa del agua a la salida de los álabes del rodete no varía en lascondiciones de funcionamiento consideradas. Determinar, para las condiciones nominales:

a) Potencia eléctrica generada.b) Triángulo de velocidades de entrada y de salida del rodete en la posición radial

correspondiente al diámetro medio.

Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor de forma que el caudal sereduce un 5% , el salto neto un 3% y el rendimiento hidráulico un 7%.

c) Calcular el ángulo que deben girar los álabes del rodete para mantener el ángulo deataque en la posición radial correspondiente al diámetro medio (para determinar elvalor de β ∆ debe utilizarse un procedimiento iterativo).

Nota:4 / 5

4 / 32 / 1

t

s

p

W w

∆

Ω= ρ &

Solución:


Entrada Salidam D 5,3int = m Dext 5,7= smQ / 390

3= rpmn 2,65=

96,0=eη 02 =uV 98,2=sw

9,0=hη

97,00 =η

0,1=vη


34/38


34

a) Potencia eléctrica generada.

4 / 5

4 / 32 / 1

t

s p

W w

∆Ω=

ρ &

Dónde:

98,2=s

w

sran / 828,6602

2,65602

===Ω π

W H H gQH W nnt nt 7,010.340.31*97,0*90,0**390*81,9*103 === η ρ

nnnt H H gH p 981081,9*103

===∆ ρ

( ) ( )( )

4 / 34 / 5

4 / 332 / 1

729,229810

107,010.340.3 / 828,698,2 n

n

n H H

H srad ==

m H n 01,1598,2729,22

3

4

=

=

Entonces:

W W W et e

52,4813995196,0*01,15*7,010.340.3* === η

MW W e 14,48=


35/38


36/38


36

Aplicando la ecuación de Euler, y teniendo en cuenta que la componente acimutal de lavelocidad a la salida es nula, tenemos:

g

U V H u

u11= =>

11

U

gH V u

u =

Por otra parte tenemos:

m H H hnu 509,139,0*01,15* === η

Por lo tanto la componente acimutal de la velocidad en el triángulo de velocidades a laentrada será:

smsm

msm

U

gH V u

u / 058,7

/ 776,18509,13* / 81,9 2

11 ===

En el mismo triangulo de velocidades, tenemos:


º07,136286,11

776,18058,7

1

111 =

−=

−= arcctg

V

U V arcctg

m

u β

º07,1361 = β

Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor de forma que el caudal sereduce un 5%, el salto neto un 3%, y el rendimiento hidráulico un 7%.

Es decir:

smsmQQ / 5,37095,0* / 390%5 33 ==′⇒↓

mm H H nn 56,1497,0*01,15%3 ==′⇒↓

837,093,0*9,0%7 ==′⇒↓ hh η η


37/38


37

c) Calcular el ángulo que deben girar los álabes del rodete para mantener el ángulo de ataqueen la posición radial correspondiente al diámetro medio (para determinar el valor de β ∆ debeutilizarse un procedimiento iterativo).

En esta nueva situación la componente acimutal de la velocidad de salida ya no tiene por quéser nula, y tendremos:

g

U V U V H uuu

2211 ′−′=′ => ( )21 uuu V V U H g ′−′=′

Dónde ahora:

mm H H hnu 187,12837,0*56,14* ==′′=′ η

1111 β ′′+=′ ctgV U V mu β β β ∆+=′ 11

( )sm

QV V mm / 721,10

5,35,74

3

2221 =

−

′=′=′π

2222 β ′′+=′ ctgV U V mu β β β ∆+=′ 22

Desarrollando la expresión: ( )21 uuu V V U H g ′−′=′

( ) ( )( ) β β β β ∆+′−−∆+′+=′

2211 ctgV U ctgV U U

H gmm

u

( ) ( )( ) β β β β ∆+′−∆+′=′

2211 ctgV ctgV U U

H gmm

u

( ) ( )( ) β β β β ∆+′−∆+′=′

22112 ctgV ctgV U

H gmmu


38/38



( ) ( ) ( )( ) β β ∆+−∆+= 99,148721,1007,136721,10

/ 776,18

187,12* / 81,92

2

ctgctgsm

msm

( ) ( )( ) β β ∆+−∆+=

99,14807,136721,103391,0 ctgctg

( ) ( )( ) β β ∆+−∆+= 99,14807,1360316318,0 ctgctg

Para resolver, esta expresión tendremos que iterar distintos valores de β ∆ :

14 Turbinas Kaplan

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