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APLICAO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E EM ONDALETA S SRIES TEMPORAIS DE DIFERENAS DE ALTITUDE, DETERMINADAS POR GPS, ACOPLADO A SHAKER NA BASE USP.The application of the Fourier and wavelet transform to altitude differences of temporal series, set out by GPS, acopled a shaker at USP bases. RGIS FERNANDES BUENO 2 DENIZAR BLITZKOW 2 EDVALDO SIMES DA FONSECA JUNIOR 2 NICOLA PACILO NETTO 3 AUGUSTO CSAR BARROS BARBOSA Geovector Engenharia Geomtica Ltda [email protected]; 2 Escola Politcnica da Universidade de So Paulo EPUSP [email protected]; [email protected]; [email protected] 3 Instituto Astronomia, Geofsica e Cincias Atmosfricas - IAG [email protected] 1

RESUMO A monitorao dinmica de pontes rodovirias atravs da determinao de deslocamentos espaciais uma das atuais reas de interesse da geodsia aplicada engenharia de estruturas. A tecnologia de posicionamento por satlite uma das ferramentas disponveis para este fim e foi avaliada neste artigo. Verifica-se que o GPS pode contribuir para com a monitorao dinmica de estruturas se estas experimentarem suficiente deslocamento espacial para ser analisado por meio desta tecnologia. Nos ltimos anos se observam aplicaes em grandes pontes estaiadas na sia, na Europa e na Amrica do Norte. Alguns experimentos foram realizados na Base de Calibrao de Instrumentos Geodsicos da USP empregando-se a tecnologia GPS e anlise modal. No presente estudo analisou-se a aplicao desta tecnologia atravs da simulao com um shaker. A partir de determinaes no mtodo relativo cinemtico obtiveram-se os deslocamentos tridimensionais e a freqncia do primeiro modo de vibrao da mesa do shaker instalado sobre um dosBol. Cinc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 14, no 4, p.557-570, out-dez, 2008.

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Aplicao da transformada de Fourier e em ondaletas s...

pilares da base. As anlises foram realizadas atravs da aplicao da transformada de Fourier e em Ondaleta (Wavelet). Palavras-chave: Geodsia; Monitorao; Transformadas de Fourier; Ondaletas. ABSTRACT The dynamic monitoring of road bridges through the determination of space displacements is one of the current areas of interest of geodesy applied to the engineering of structures. The technology of satellite positioning is one of the available tools for this purpose and in this article it is partially evaluated. The GPS can contribute to the dynamic monitoring of structures if they have enough spatial displacement to be analysed by means this technology. In recent years, it have observed applications in great stayed bridges in Asia, in Europe and in North America. Some experiments had been carried out through the Base of Calibration of Geodetic Instruments of the USP using the GPS technology and modal analysis. In the present study, the application of this technology through the simulation with a shaker was analysed. From the application of the kinematic relative method, the three-dimensional displacements were obtained and the frequency of the first mode of table vibration, where the shaker was installed in one of the pillars of the baseline. The analysis was been carried out through the application of the Fourier and Wavelet transform. Kyewords: Geodesy; Monitoring; Fourier Transform; Wavelet Transform. 1. INTRODUO A ocorrncia de falhas num ambiente estrutural, alm de fator de prejuzo econmico, vai mais alm: representa risco vida humana ou ao meio ambiente. As falhas em sistemas estruturais podem dar-se por diferentes razes e graus de intensidade. Nas ltimas dcadas verifica-se a intensificao de investigaes com o objetivo de desenvolver tcnicas confiveis de identificao de propriedades dinmicas de estruturas. Por outro lado, os ltimos cinqenta anos representaram um grande desenvolvimento para a Geodsia e tecnologias associadas, ampliando os campos de atuao desta cincia. Um destes campos correlaciona-se mais uma vez s obras de engenharia, agregando novos mtodos geodsicos monitorao de estruturas. A tecnologia de posicionamento por satlite empregada em Geodsia desde a dcada de 60. As aplicaes geodsicas no campo da engenharia utilizam esta tecnologia atravs do sistema GPS (Global Positioning System) h aproximadamente 20 anos. O GPS se mostrou revolucionrio, pois proporciona alta preciso nas determinaes, apresenta maior praticidade na operao dos instrumentos os quais, sob vrios aspectos, so automatizados, bem como, permite a integrao com equipamentos de outras tecnologias, tais como: sistemas inerciais, acelermetros, cmaras aerofotogramtricas, sondas hidro-acsticas, sistemas laserBol. Cinc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 14, no 4, p.557-570, out-dez, 2008.

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e computadores de bordo com sistemas de informao espacial para vrias finalidades, dentre elas a navegao pessoal. Neste artigo apresenta-se um mtodo para a determinao da freqncia de resposta em um experimento realizado na base USP analisando-se determinaes GPS acoplado a um dispositivo oscilatrio. Para estudos mais abrangentes recomenda-se consultar MAIA et al (1997) e ARMER (2001) e PENNER (2001) e BUENO (2007). 2. ANLISE DOS DESLOCAMENTOS A anlise espectral de sries temporais atravs da transformada de Fourier permite discriminar as freqncias presentes nestas sries, porm, o faz de forma independente da localizao no tempo. Outrossim, observa-se que esta forma de proceder anlise espectral melhor se aplica em sries temporais ergdicas, as quais se desenvolvem no tempo aleatoriamente, mas possuem momentos estatsticos invariantes; este fato no se verifica em geral com os dados experimentais de processos fsicos, tal como a vibrao de uma estrutura. Ainda, conforme observa MORETTIN (1999), sobre as Bases de Fourier pequenas mudanas em algumas das observaes podem provocar mudanas em todas as componentes de uma expanso de Fourier. Com o emprego do mtodo de Fourier para anlise de dados no ergdicos deixa-se de ter acesso s informaes sobre a distribuio de freqncias e a densidade de energia em relao ao intervalo de tempo em que se desenvolve a srie, visto que, estas informaes variam no desenvolvimento da srie no estacionria. A anlise de sries temporais no estacionrias com uso de ondaletas (wavelet) tem se mostrado uma eficiente forma de tratamento, pois, pode proporcionar a localizao em freqncia e em tempo (ou espao) contrariamente ao que se obtm com a anlise de Fourier. A transformada em ondaletas (TO) utiliza funes assim denominadas por terem a caracterstica de pequenas ondas com curto perodo de durao; estas funes possuem energia finita e propriedades de localizao temporal, podendo ser utilizadas com eficincia para representar sinais de pequena durao no domnio do tempo, tal como uma pequena onda que vai ao pice e decai em um curto perodo de tempo. A eficincia desta anlise se d na medida em que, para a representao de um sinal complexo, seja necessrio somente um nmero finito de parmetros. Devido a este carter, as bases de ondaletas so denominadas de transientes, sendo adequadas para analisar funes que tambm apresentam tal caracterstica. Portanto, a funo ondaleta (t) deve satisfazer a duas propriedades bsicas: possuir integral igual a zero e ter energia unitria. Assim:+

(t )dt

= 0

(1)

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(t )dt2

=1

(2)

A primeira confere a propriedade de expressar uma onda cuja rea sob seu grfico seja nula; esta caracterstica garante funo ondaleta uma forma do tipo onda, conhecida como condio de admissibilidade. A segunda propriedade (equao 2) proporciona um suporte compacto, conferindo o decrscimo rpido em amplitude e garantindo que se tenha a localizao espacial. Estas so propriedades importantes, pois, se a energia concentrada em uma pequena regio, a ondaleta mais localizada e fornece melhor representao do sinal no plano tempo-freqncia ou tempo-escala, ou seja, maior resoluo, PINTO (2005). A ondaleta (t) chamada usualmente de ondaleta me e sofre dilataes (t) (2t) e translaes (t) (t+1), gerando ondaletas filhas, as quais contribuem para a energia total da ondaleta me. A primeira definida por:

a.b (t ) =

1 t b , a,b e a>0 a a

(3)

onde: a o fator de escala; b o fator de translao. A forma da ondaleta permanece invarivel, mesmo sob a dilatao ou a compresso. Estas caractersticas so obtidas variando-se a escala a, onde a ondaleta me ampliada (a>1) ou contrada (0< a < 1). Pelo fato da funo ondaleta ser localizada em um intervalo finito, quando se aumenta a escala a, a correspondente funo ondaleta fica localizada em intervalos de tempo cada vez menores, proporcionando a localizao temporal de cada funo ondaleta filha. O princpio bsico da anlise em ondaleta consiste em se decompor o sinal em vrios nveis de resoluo alterando-se a escala e transladando-se essa funo ao longo da srie temporal analisada. Este processo conhecido como Multiresoluo e fornece uma moldura hierrquica para interpretao do sinal, BOLZAN (2006). Sob diferentes escalas se caracterizam distintas estruturas fsicas do sinal. A escolha da melhor ondaleta para um dado problema no uma tarefa simples, mas basicamente deve-se procurar por aquela que possa melhor realar as caractersticas do sinal estudado, OLINTO (2005). Nesta pesquisa, aps testes com os dados, utilizando-se a funo wavemenu do MATLAB verso 7.0, considerou-se a ondaleta de Morlet como sendo a mais eficiente na identificao das freqncias dos sinais aqui empregados, por se tratar de uma ondaleta complexa.Bol. Cinc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 14, no 4, p.557-570, out-dez, 2008.

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A ondaleta de Morlet definida da seguinte forma:

0 ( ) = 4eiw e10

1 2 2

(4)

onde: w0 uma freqncia adimensional tendo sido utilizado o valor 6 para esta freqncia (Torrence e Compo, (1998) apud BARBOSA (2007)). um tempo adimensional (=1,...,N), sendo N o nmero de valores da srie analisada. Em funo da transformada em ondaleta no ser perfeitamente localizada no tempo, resultam desta caracterstica efeitos de borda, devendo-se usar o cone de influncia, para que estes efeitos possam ser desprezados. Torna-se conveniente realizar testes de significncia, procedimento que tem sido pouco usado na maioria das aplicaes de ondaletas, apresentando assim, apenas resultados quantitativos. A significncia estatstica dos resultados pode ser obtida com emprego da hiptese nula em que o sinal rudo vermelho com dado Espectro de Energia de Fundo (Pk). Em ALLEN e SMITH (1998) apud BARBOSA (2007) pode-se verificar maiores detalhes, donde se extrai:

P= k

1 2 1e2ik2

(5)

onde: k a ordem da banda de freqncia de Fourier e um coeficiente de auto correlao da srie com rudo vermelho. Considera-se que o nvel de confiana de 95% no espectro de energia da ondaleta obtido quando esta energia for aproximadamente 3 vezes maior que Pk do rudo vermelho. 3. ENSAIO COM SHAKER E TRANSDUTOR DE DESLOCAMENTO Em janeiro de 2003 foi realizado um experimento com um shaker e dois receptores GPS Javad Legacy, com antenas choke ring, ambos pertencentes respectivamente aos laboratrios de Estruturas e Materiais (LEM) e de Topografia e Geodsia (LTG) da EPUSP. O shaker modelo 113 Electro-Seis fig. 1 um dispositivo oscilador eletro dinmico leve, com curso longo e projetado para operao s ou em conjunto para excitao e estudo de respostas de estruturas na faixa de freqncias ssmicas.Bol. Cinc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 14, no 4, p.557-570, out-dez, 2008.

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Os equipamentos GPS, adquiridos pelo LTG para pesquisa em monitorao dinmica de estruturas, possuem antena choke ring (fig. 1), contam com taxa de aquisio de dados de 20 Hz, algoritmo de reduo de multicaminhamento, memria de 80 Mb e capacidade de observao de sinais L1, L2, cdigos C/A e P. Com o objetivo de conseguir um acoplamento adequado da antena com a mesa superior do shaker e deste no pilar, foram projetados e construdos dois dispositivos conforme pode ser observado na figura 1. Desta forma o shaker permanece centrado em uma posio conhecida e a antena firmemente afixada ao dispositivo, podendo ser correlacionada posio do pilar. A coleta de dados se realizou em 21-11-03,entre os horrios de 14:04:30 e 14:17:21 (Tempo GPS). Fig. 1- Antena choke ring acoplada ao shaker sobre o pilar 2 da BASE USP. No detalhe direita observa-se o transdutor de deslocamento, acoplado.

Neste experimento foram adotados os seguintes procedimentos: os receptores GPS tiveram a taxa de gravao ajustada para 20 Hz (uma poca a cada 0,05 segundos); o receptor base (n/s 8RR3VQ40740) foi instalado no pilar P0 e o mvel (n/s 8PQN92EVQWW) foi instalado no P2; a distncia que separa os dois de 68,166m; as sesses entre o repouso da mesa do shaker, seu perodo de vibrao e novamente o repouso foram gravadas em modo cinemtico contnuo. No perodo de repouso a sesso foi gravada no modo esttico do mtodo semi-cinemtico;


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a amplitude dos deslocamentos da mesa foi medida com um Transdutor de Deslocamento (TD) Gefran, modelo PY2 F50S, no 01120092 e registrada em arquivo atravs do programa Aqdados, desenvolvido pela Lynx Eletrnica Ltda.

Os dados foram processados no mtodo cinemtico no programa Pinnacle v. 1.0, prprio dos receptores Javad Legacy empregados. As caractersticas do processamento so apresentadas a seguir: modo de processamento: stop-and-go (v.01.22.053), L1&L2 c (iono-free), com correo de variaes de centro de fase; ngulo de mascaramento: 15o; efemrides transmitidas; soluo de ambigidades fixa, taxa 99,94 %; PDOP variando entre 2,19 e 1,7; quantidade mnima e mxima de 7 e 8 satlites e as ambigidades foram fixas aps 50 pocas (2,50 seg). Os dados do TD, na freqncia de aquisio de 20 Hz, foram organizados em arquivos separados segundo a freqncia de oscilao do shaker. Processo semelhante foi realizado com os dados GPS, exportado do programa Pinnacle. Os resultados obtidos para os deslocamentos em altitude geodsica, na freqncia de 1, 2 e 4 Hz, tanto do GPS como do TD, foram inseridos no programa Matlab v 6.5 e processados com a ferramenta de processamento de sinais Sptool. Os procedimentos aplicados no tratamento de dados deste experimento foram: separao em amostras contendo 1024 ou 2048 registros; obteno dos desvios em relao s mdias aritmticas das altitudes geodsicas e dos deslocamentos medidos com o TD; aplicao da anlise por transformadas de Fourier e em ondaletas para verificar a correspondncia com a freqncia de operao do shaker, filtrando-se ou no o sinal, conforme o caso; aplicao de um filtro passa banda ou passa alta para gerar sinais sem os efeitos perturbadores verificados no sinal original,cujos detalhes podem ser verificado em BUENO (2007); re-anlise do sinal filtrado. 3.1 Anlise dos resultados relativos ao experimento do shaker oscilando em 1 Hz. Nos grficos de sinais dispostos a seguir a unidade do eixo de abscissas a poca eqidistante em 0,05 segundos e a do eixo de ordenadas, que dispe os deslocamentos medidos na mesa, o metro. Nos grficos de funo de densidade espectral (PSD) as unidades da abscissa e da ordenada so, respectivamente, Hz e m2/Hz.Bol. Cinc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 14, no 4, p.557-570, out-dez, 2008.

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A figura 2 apresenta o grfico do sinal formado pelos desvios das medies do TD, no perodo de oscilao em 1 Hz. Nota-se um pequeno efeito ascendente, bem como variaes no movimento oscilatrio do shaker; entretanto, pode-se observar que h uma regularidade nos deslocamentos de pico a pico. A mdia aritmtica destes valores no representa o ponto mdio do deslocamento. Tomando-se o valor zero como referncia no grfico e medindo-se 10 picos positivos obteve-se a mdia de 0,0104 m para estes desvios, em relao mdia (0,0216 m) dos deslocamentos medidos com o TD. A transformada de Fourier da srie de deslocamentos do shaker, feita sem a filtragem para se ter uma avaliao primeira, mostrada na figura 3 onde se percebe claramente a maior amplitude de energia na freqncia de 1Hz. Maiores detalhes podem ser obtidos em BUENO (2007). Em uma segunda avaliao procedeu-se filtragem dos dados para extrair os rudos em baixa freqncia, aplicando-se, para tanto, o filtro passa alta (0,8 Hz). Com esta segunda anlise objetivou-se avaliar se a filtragem empregada poderia comprometer os valores dos deslocamentos. O espectro tambm demonstrou a freqncia em que operou o shaker; nas figuras 4 e 5 verificam-se estes resultados. Os dez deslocamentos medidos acima do valor nulo no grfico da figura 4 resultaram na mdia de 0,0108 m. Em seguida repetiram-se os procedimentos para os dados do GPS, coletados no mesmo perodo do transdutor de deslocamentos. Na figura 6 pode-se verificar o comportamento dos desvios em relao mdia das determinaes do GPS (725,440 m). A srie apresenta variaes distintas daquelas demonstradas pelos dados do TD, com um componente de baixa freqncia e outro de alta. No primeiro pode haver efeitos, por exemplo, de multicaminhamento dos sinais e no segundo est tambm o comportamento do shaker. Observa-se, no incio da srie, a ocorrncia de variaes da ordem de 0,1 m. Fig. 2 - Grfico dos desvios em relao mdia dos dados do TD no shaker a 1 Hz.


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Fig. 3 - Espectro dos desvios em relao mdia dos dados do TD no shaker a 1 Hz.

Fig. 4 - Sinal dos desvios em relao mdia dos dados do TD no shaker a 1 Hz, aps uso de filtro passa alta.


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Fig. 5 - espectro dos desvios em relao mdia dos dados do TD no shaker a 1 Hz, aps uso do filtro.

Fig 6 - Desvios de altitude geodsica (m)

em relao mdia das determinaes do GPS sobre shaker a 1 Hz, sem uso de filtro.


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Fig. 7 - Espectro dos desvios de altitude geodsica em relao mdia, dados do GPS sobre shaker a 1 Hz, sem filtro.

A figura 7 mostra o espectro destes dados, onde se verifica um pico em 1Hz e um harmnico em 2Hz. Nota-se tambm os efeitos dos rudos, em baixa freqncia, removidos a posteriori aps aplicao do filtro passa alta, figura 9. A amplitude se reduziu na maioria das pocas, exceo do trecho inicial que j apresentava valores excessivos nos dados originais. Na figura 8 pode-se ver a linha tracejada indicando a amplitude de 0,0108 m determinada nos dados do TD. No princpio da srie, de 5,95 at 16,95 segundos, se verificam valores elevados de 0,022 m a 0,0135 m, entretanto, pode-se observar uma tendncia de proximidade com o valor obtido pelo TD a partir de 25 segundos. Neste trecho a variao acima da referncia se d entre os extremos 0,0138 m a 0,0046 m. Nos grficos das figuras 9 e 10 observam-se as sries temporais obtida com o GPS e os respectivos espectros da transformada em ondaleta. O eixo das abscissas representa o tempo espaado a cada 0,05 segundos e o eixo das ordenadas o inverso da freqncia em Hertz. As cores tendendo ao vermelho indicam o maior nvel de energia. Na figura 9 mostrada a srie temporal na freqncia de 1 Hz sem uso do filtro. Observa-se que os perodos de maior energia nesta freqncia so intercalados e limitados por permetros que assinalam a regio de 95% de nvel de confiana. Outros dois permetros em 2 Hz se destacam, mas com menor nvel de energia e por curto intervalo de tempo. Em freqncias mais altas, prximo a 8 Hz (0,125 m) observam-se tambm permetros com nveis mais altos de energia.Bol. Cinc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 14, no 4, p.557-570, out-dez, 2008.

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Esta srie, aps a mesma filtragem (passa banda), evidencia uma significativa melhora na visualizao, vide figura 10. Pode-se distinguir uma faixa contnua em 1 Hz dentro de um permetro contnuo ao longo de todo o tempo da srie. Com a transformada em ondaleta confirma-se a evidncia obtida para os grficos das figuras anteriores de nmero 8. Fig. 8 - Desvios de altitude geodsica em relao mdia, aps uso de filtro passa banda LSFIR.

Fig.9 - Espectro de potncia em ondaleta da srie dos desvios de altitude geodsica em relao mdia.


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Fig. 10 - Espectro de potncia em ondaletas dos desvios de altitude geodsica em relao mdia, aps uso de filtro passa banda LSFIR.

4. CONCLUSES Comparando-se as sries temporais resultantes do transdutor de deslocamento (fig. 4) e do posicionamento GPS (fig. 6) verifica-se que este ltimo contm rudos da ordem de at 10 cm de amplitude, evidenciando perturbaes nas observaes GPS. A srie do TD apresenta variaes em amplitude de poucos milmetros. A TO se sobressai em relao aplicao da transformada de Fourier pela caracterstica de discriminar a contribuio de cada freqncia existente em uma srie temporal para contribuio total da energia. A sua aplicao nos resultados do GPS acoplado ao shaker demonstra, neste caso, a ocorrncia da freqncia de oscilao do mesmo (1Hz.) em todo o perodo da srie. Entretanto, observam-se sinais de baixa freqncia (0,25 Hz.), que mesmo fora do nvel de confiana de 95%, evidenciam as perturbaes restritas srie temporal produzida com GPS, pois no esto presentes na srie oriunda do transdutor de deslocamento. Creditar estas discriminaes a uma causa especfica, como o multicaminho, pode ser ainda prematuro, pois, embora a antena do receptor no estivesse esttica, para que o efeito do multicaminhamento apresentasse lenta variao no tempo, ainda pairam dvidas, porque este elemento do receptor experimentou apenas deslocamentos verticais da ordem de 2 cm. Seriam estes responsveis pela rpida variao dos efeitos de multicaminho nas determinaes? Por esta razo supe-se sobre a possibilidade haver outras fontes significativas de erro envolvidas tais como o comportamento atmosfrico. Sob tais argumentaes


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conclui-se pela a realizao de novos experimentos, sob uma estratgia apropriada, objetivando identificar as fontes e as possibilidades de mitigar seus efeitos. Aps a filtragem dos dados, os resultados (figura 10) mostram maior consistncia do resultado por GPS com o espectro da srie temporal produzida a partir das determinaes do transdutor de deslocamento, onde a freqncia de 1 Hz aparece com maior energia durante o perodo total amostrado. Embora este mtodo tenha produzido resultados compatveis com as oscilaes induzidas pelo shaker, naquela freqncia e noutras avaliadas, verifica-se necessrio escoimar os efeitos perturbadores de forma a proporcionar maior eficincia e confiabilidade ao mtodo de monitorao dinmica por tecnologia de posicionamento por satlite em freqncias inferiores a 1 Hz. 5. LISTA DE REFERNCIAS ARMER, G. S. T. Monitoring and Assesment of Structures. London and New. York. Spon Press. 2001. 167 p . BARBOSA, A. C. Estudo da Variabilidade Acoplada Oceano-Atmosfera no Atlntico Tropical. So Paulo, 2007. 116 p. Dissertao (Mestrado) Instituto Astronmico e Geofsico da Universidade de So Paulo. BUENO, R.F. Monitorao, por GPS, de deslocamentos em estruturas com carga dinmica. So Paulo, 2007. 213p. Tese (Doutorado) Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. MAIA, N. M. M.; Silva, J. M. M.; He, J.; Leven, N. A. J.; Lin, R. M.; Skingle, G. W.; To, W.; URGUEIRA, A. P. V. Theoretical and Experimental Modal Anzlysis. Tauton, Somerset, England. Research Studies Press Ltd. 1997. 468 p. MORETTIN. P. A. Onda e Ondaletas: Da Anlise de Fourier Anlise de Ondaletas So Paulo Editora da Universidade de So Paulo. 1999. OLINTO, C. R. Estudo experimental das caractersticas do escoamento turbulento nas primeiras fileiras de bancos de tubos. Porto Alegre, 2005. 120 p. Tese (Doutorado). Programa de Ps Graduao em Engenharia Mecnica Universidade Federal do Rio Grande do Sul PENNER, E. Avaliao de desempenho de sistemas estruturais de pontes de concreto. So Paulo, 2001. 256p. Tese (Doutorado) Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. PINTO, S. C. D. Anlise de formas 3D usando Wavelets 1D, 2D e 3D. So Carlos, 2005. 90 p. Tese (Doutorado). Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo Recebido em fevereiro/08. Aceito em novembro/08)


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