126934936 Informe de Laboratorio de Fisica N2
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|UNMSMLABORATORIO DE FSICAINFORME 02
201522 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES
Las matemticas constituyen un lenguaje bello y el elegante. Desafortunadamente la elegancia con demasiada frecuencia tambin significa: elegancia para el experto y la oscuridad para el principiante. ANNIMOExperiencia N 2
I. OBJETIVOS :1. Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles grficos.2. Aprender tcnicas de ajuste de curvas, principalmente el mtodo de regresin lineal y el mtodo de mnimos cuadrados.3. Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenmeno fsico e interpretarlas.II. MATERIALES : El alumno traer: Calculadora cientfica (6) Hojas de papel milimetrado (2) Hojas de papel logartmico (1) Hoja de papel semilogartmico
Papel milimetrado Papel logartmico Papel semilogartmico
III. FUNDAMENTO TERICO :
Los datos tericos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de valores as confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones grficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas y semilogartmicas, segn sea el caso, con el fin de encontrar grficas lineales (rectas) para facilitarla construccin de las frmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenmeno.
USO DEL PAPEL MILIMETRADO:Empezamos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las coordenadas.2. La distribucin de puntos as obtenida se unen mediante una curva suave, usando una regla curva o trazo a media alzada.3. La representaciones grficas que aparecen con ms frecuencia son: Funcin lineal y = b + mx Funcin Potencial y = k xn Funcin Exponencial y = k 10xn Veamos el primer caso, si la distribucin de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados .Esto significa que la relacin que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuacin es: y = mx + bEn donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuacin:Primero se construye una tabla de la forma:Tabla 1
xiyixi yixi2
x1y1x1 y1x12
x2y2x2 y2x22
...xp...yp...xp yp...xp2
Luego se calcula la pendiente y el intercepto.
m = ; b = En el segundo caso, cuando la distribucin de puntos en el papel milimetrado no es de tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla un papel logartmico o semilogartmico, en alguno de estos papeles la distribucin de los puntos saldr una recta.
USO DEL PAPEL LOGARTMICO:Las relaciones de la forma y = k xn ; ( n1 ), son funciones potenciales y sus grficas en el papel logartmico son rectas de pendientes m = n, que cortan el eje vertical en b = log k. Se recomienda preferentemente usar papel logartmico 3x3; en donde cada ciclo est asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logartmico puede empezar con ., 10-1 , 100 , 101 , 102 , 103 ,etc.Al tomar logaritmo decimal a la ecuacin y = k xn ; ( n1 ) obtenemos logy = mlogx + logk , que tiene la forma lineal Y = mX + b , en donde X = logx, Y = logy y b = logk .Concluimos entonces, que el mtodo de regresin lineal puede ser aplicado a una distribucin potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mnimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna.
xiyiXi = log xiYi = log yiXi Yi =logxi logyiXi2=(log xi)2
x1y1log x1log y1logx1 logy1
x2y2log x2log y2logx2 logy2
...xp...yp...log xp...log yp...logxp logyp...
Para determinar la ecuacin de la recta en el papel logartmico, se calculan ahora los valores de:m = ; b = Para encontrar la ecuacin de la funcin potencial y = k xn graficada en el papel milimetrado debemos determinar los valores de m y k. Del prrafo anterior se tiene que m = n y k = 10.
USO DEL PAPEL SEMILOGARTMICO:Para relaciones exponenciales de la forma y = k 10xn se utiliza papel semilogartmico, por qu? Construya adecuadamente su tabla para aplicar el mtodo de regresin lineal.EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL:El estudio de este mtodo relativamente sencillo y tiene doble inters: de un lado este tipo de diferencia es frecuente entre magnitudes fsicas; por otro lado, muchas otras dependencias ms complicadas pueden reducirse a la forma linela mediante un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestran en la siguiente tabla:
Forma inicialCambioForma lineal
y = a x2x2 = zy = a z
y = a = zy = a z
y = a exp (nx)ln(y) = z ; ln(a) = bz = nx + b
y = a ln(y) = z ; ln(a) = b ; ln(x) = tz = b + nt
USO DE LA CALCULADORA CIENTIFICA :Estas calculadoras presentan la funcin LR del ingls linear regresin lo cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlacin (r) usando el mtodo de regresin linealpor mnimos cuadrados.Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y presentan otros modos de regresin tales como: lineal, logartmica, exponencial, potencial, inversa y cuadrtica, aqu el concepto del coeficiente de correlacin juega un rol muy importante.Para hallar la frmula experimental de la curva obtenida en papel milimetrado haga uso de la siguiente tabla:Distribucin de puntos enCalculadora
PapelMilimetradoPapelLogartmicoPapelSemilogartmicoTipoRegresinFrmula
LinealLineal y = A + Bx
CurvaLinealPotencialy = AxB
CurvaLinealExponencialy = A exp(Bx)
CurvaLinealCuadrticay = A + Bx + Cx2
USO DEL COMPUTADOR:Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o Basic para hacer los ajustes que se requieran. Tambin se puede usar programas como Gnuplot, Microcal Origin, entre otros. Pero el ms accesible es el EXCEL que nos permite hacer grficas y presentar las curvas de regresin con sus respectivas frmulas de correspondencia y coeficientes de correlacin.
IV. PROCEDIMIENTO: Se analizarn tres experimentos: la conduccin de corriente por un hilo conductor de micrn, la evaluacin de agua de un depsito y la actividad radiactiva del radn.1. En la tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente elctrica i conducida por un hilo conductor de nicrn y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos. TABLA 1i (A) V (V)
0.5 2.18
1.0 4.36
2.0 8.72
4.0 17.44
2. La tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depsito con agua y las medidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes dimetros (D). TABLA 2h (cm)30201041
D (cm) Tiempo de vaciado t (s)
1.573.059.943.026.713.5
2.041.233.723.715.07.8
3.018.414.910.56.83.7
5.06.85.33.92.61.5
7.03.22.72.01.30.8
3. La tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radn. El da cero se detect una desintegracin de 4.3 x 1018 ncleos.
TABLA 3
t (dias)012345678910
A (%)10084705949413427242017
V. CUESTIONARIO:
1. Grafique las siguientes distribuciones :De la Tabla 1 :a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs. I. De la Tabla 2 :b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D. para cada una de las alturas. c) id) En una hoja de papel logartmico grafique t vs. D. para cada una de las alturas.e) En una hoja de papel logartmico grafique t vs. h. para cada dimetro.f) Haga el siguiente cambio de variables z = 1 / D2 y grafique t = t (s) en papel milimetrado.Obs. En cada hoja debern presentar cinco grficas. De la Tabla 3 :g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T.h) En una hoja de papel semilogartmico grafique A vs. T.
2. Hallar las frmulas experimentales :
a) Obtenga las frmulas experimentales usando el mtodo de regresin lineal para las grficas obtenidas en los casos a), d), e) y f).
Caso a)
xiyixi yixi2
0.52.181.090.25
1.04.364.361.0
2.08.7217.444.0
4.017.4469.7616.0
m = = = 4.36 Y = mx + b Y = 4.36x
b = = = 0 Caso d)
Para h = 30 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
1.573.00.17611.86330.32810.3010
2.041.20.30101.61490.48610.0906
3.018.40.47711.26480.60340.2276
5.06.80.698970.83250.58190.4886
7.03.20.84510.50510.42690.7142
m = = = - 2.0145 b = = = 2.227 10b = 168.655
Y = 168.655x- 2.0145
Para h = 20 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
1.559.90.17611.77740.31300.3010
2.033.70.30101.52760.45980.0906
3.014.90.47711.17320.55970.2276
5.05.30.698970.72430.50630.4886
7.02.70.84510.43140.36460.7142
m = = = - 2.01396 b = = = 2.133 10b = 135.8313
Y = 135.8313x- 2.01396
Para h = 10 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
1.543.00.17611.63350.28770.3010
2.023.70.30101.37470.41380.0906
3.010.50.47711.02120.48720.2276
5.03.90.698970.59110.41320.4886
7.02.00.84510.30100.25440.7142
m = = = - 1.9848 b = = = 1.9760 10b = 94.6237
Y = 94.6237x- 1.9848
Para h = 4 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
1.526.70.17611.42650.25120.3010
2.015.00.30101.17610.3540.0906
3.06.80.47710.83250.39720.2276
5.02.60.698970.414970.290050.4886
7.01.30.84510.11390.09630.7142
m = = = - 1.9489 b = = = 1.7666 10b = 58.4252
Y = 58.4252x- 1.9489
Para h = 1 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
1.513.50.17611.13030.1990.3010
2.07.80.30100.89210.26850.0906
3.03.70.47710.56820.27110.2276
5.01.50.698970.17610.12310.4886
7.00.80.8451-0.0969-0.08190.7142
m = = = - 1.8248 b = = = -1.4457 10b = 27.9062
Y = 27.9062x- 1.8248
Caso e)
Para D = 1,5 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
3073.01.47711.86332.75232.1819
2059.91.301031.77742.31251.6927
1043.01.00001.63351.63351.000
426.70.60211.42650.85890.3625
113.50.00001.13030.00000.000
m = = = 0.4979 b = = = 1.13 10b = 13.4896
Y = 13.4896x.0.4979
Para D = 2 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
3041.21.47711.61492.38542.1819
2033.71.301031.52761.987951.6927
1023.71.00001.37471.37471.000
415.00.60211.17610.70810.3625
17.80.00000.89210.00000.000
m = = = 0.4905 b = = = 0.8874 10b = 7.7161
Y = 7.7161x.0.4905
Para D = 3 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
3018.41.47711.26481.86822.1819
2014.91.301031.17321.54621.6927
1010.51.00001.02121.02121.000
46.80.60210.83250.50120.3625
13.70.00000.56820.00000.000
m = = = 0.4711 b = = = 0.5592 10b = 3.6241
Y = 3.6241x.0.4711
Para D = 5 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
306.81.47710.83251.22972.1819
205.31.301030.72430.94231.6927
103.91.00000.59110.59111.000
42.60.60210.414970.24990.3625
11.50.00000.17610.00000.000
m = = = 0.4383 b = = = 0.1638 10b = 1.4581
Y = 1.4581x0.4383
Para D = 7 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
303.21.47710.50510.74612.1819
202.71.301030.43140.56131.6927
102.01.00000.30100.30101.000
41.30.60210.11390.06860.3625
10.80.0000- 0.09690.00000.000
m = = = 0.4129 b = = = - 0.1108 10b = 0.7748 Y = 0.7748x.0.4129
Caso f)
Para h = 30 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
0.444473.0- 0.35221.8633- 0.65630.1240
0.2541.2- 0.60211.6149- 0.97230.3625
0.111118.4- 0.95431.2648- 1.2070.9107
0.046.8- 1.39790.8325- 1.16381.9541
0.023.2- 1.698970.5051- 0.85812.8865
m = = = 1.0024 b = = = 2.2197 10b = 165.84
Y = 165.84x.1.0024
Para h = 20 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
0.444459.9- 0.35221.7774- 0.6260.1240
0.2533.7- 0.60211.5276- 0.91980.3625
0.111114.9- 0.95431.1732- 1.1960.9107
0.045.3- 1.39790.7243- 1.01251.9541
0.022.7- 1.698970.4314- 0.73292.8865
m = = = 1.002 b = = = 2.1299 10b = 134.865 Y = 134.865x.1.002 Para h = 10 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
0.444443.0- 0.35221.6335- 0.57530.1240
0.2523.7- 0.60211.3747- 0.82770.3625
0.111110.5- 0.95431.0212- 0.97450.9107
0.043.9- 1.39790.5911- 0.82631.9541
0.022.0- 1.698970.3010- 0.51142.8865
m = = = 0.9877 b = = = 1.9731 10b = 94.00
Y = 94.0x.0.9877
Para h = 4 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
0.444426.7- 0.35221.4265- 0.50240.1240
0.2515.0- 0.60211.1761- 0.70810.3625
0.11116.8- 0.95430.8325- 0.79450.9107
0.042.6- 1.39790.41497- 0.58311.9541
0.021.3- 1.698970.1139- 0.19352.8865
m = = = 0.9698 b = = = 1.7637 10b = 58
Y = 58x00.9698 Para h = 1 cm
xiyilog xilog yilogxi logyi(log xi)2
0.444413.5- 0.35221.1303- 0.39810.1240
0.257.8- 0.60210.8921- 0.53710.3625
0.11113.7- 0.95430.5682- 0.54220.9107
0.041.5- 1.39790.1761- 0.24621.9541
0.020.8- 1.69897-0.0969- 0.16462.8865
m = = = 0.9078 b = = = 1.4428 10b = 27.7
Y = 27.700.9078
b) Haciendo uso de la calculadora cientfica encuentre las frmulas experimentales e indique el factor de correlacin para todos las grficas obtenidas en los casos desde la a) hasta la h).
Caso a)
Y = 4.36xr = 1
Caso b) y d)
Para h=30 cm Y = 166.9654x-2.0143r = -0.9997
Para h=20 cmY = 135.8455x-2.0139r = -0.99998
Para h=10 cmY = 94.6428x-1.9849r = -0.99994
Para h=4 cmY = 58.4211x-1.9488r = -0.99991
Para h=1 cmY = 27.9005x-1.8245r = -0.99993
Caso c) y e)Para D=1.5 cm Y = 13.4934x0.4978r = 0.99993
Para D=2 cmY = 7.7163x0.4905r = 0.99987
Para D=3 cmY = 3.6241x0.4712r = 0.9994
Para D=4 cmY = 1.4582x0.4383r = 0.9982
Para D=7 cmY = 0.7748x0.4129r = 0.9983
CacCaso f)
Para h=30 cm Y = 165.7728x1.0023r = 0.99986
Para h=20 cmY = 134.84099x1.0019r = 0.99998
Para h=10 cmY = 93.9498x0.9875r = 0.99991
Para h=4 cmY = 58.0087x0.9696r = 0.99995
Para h=1 cmY = 27.7139x0.9077r = 0.99993
Caso g) y h)
Y = 100.08995e-0.1795r = - 0.99949
c) Haciendo uso del MS EXCEL grafique y presente frmulas experimentales y el factor de correlacin para todos los casos desde la a) hasta la h) .
Caso a)
i (A)v (V)
0.52.18
14.36
28.72
417.44
Caso b)
D (cm)t (s)
1.573.0
241.2
318.4
56.8
73.2
Y = 166.97x-2.0143 R2 = 0.9995
D (cm)t (s)
1.559.9
233.7
314.9
55.3
72.7
Y = 135.85x-2.0139 R2 = 1
D (cm)t (s)
1.543.0
223.7
310.5
53.9
72.0
Y = 94.643x-1.9849 R2 = 0.9999
D (cm)t (s)
1.526.7
215.0
36.8
52.6
71.3
Y = 58.421x-1.9488 R2 = 0.9998
D (cm)t (s)
1.513.5
27.8
33.7
51.5
70.8
Y = 27.9x-1.8245 R2 = 0.9999
Caso c)
h (cm)t (s)
3073.0
2059.9
1043.0
426.7
113.5
Y = 13.493x0.4978 R2 = 0.9999
h (cm)t (s)
3041.2
2033.7
1023.7
415.0
17.8
Y = 7.7163x0.4905 R2 = 0.9997
h (cm)t (s)
3018.4
2014.9
1010.5
46.8
13.7
Y = 3.6241x0.4712 R2 = 0.9988
h (cm)t (s)
306.8
205.3
103.9
42.6
11.5
Y = 1.4582x0.4383 R2 = 0.9964
h (cm)t (s)
303.2
202.7
102.0
41.3
10.8
Y = 0.7748x0.4129 R2 = 0.9966
Caso d)
D (cm)t (s)
1.573.0
241.2
318.4
56.8
73.2
Y = 166.97x-2.0143 R2 = 0.9995
D (cm)t (s)
1.559.9
233.7
314.9
55.3
72.7
Y = 135.85x-2.0139 R2 = 1
D (cm)t (s)
1.543.0
223.7
310.5
53.9
72.0
Y = 94.643x-1.9849 R2 = 0.9999
D (cm)t (s)
1.526.7
215.0
36.8
52.6
71.3
Y = 58.421x-1.9488 R2 = 0.9998
D (cm)t (s)
1.513.5
27.8
33.7
51.5
70.8
Y = 27.9x-1.8245 R2 = 0.9999
Caso e)
h (cm)t (s)
3073.0
2059.9
1043.0
426.7
113.5
Y = 13.493x0.4978 R2 = 0.9999
h (cm)t (s)
3041.2
2033.7
1023.7
415.0
17.8
Y = 7.7163x0.4905 R2 = 0.9997
h (cm)t (s)
3018.4
2014.9
1010.5
46.8
13.7
Y = 3.6241x0.4712 R2 = 0.9988
h (cm)t (s)
306.8
205.3
103.9
42.6
11.5
Y = 1.4582x0.4383 R2 = 0.9964
h (cm)t (s)
303.2
202.7
102.0
41.3
10.8
Y = 0.7748x0.4129 R2 = 0.9966
Caso f)
D (cm)Z = 1/D2t (s)
1.50.444473.0
20.2541.2
30.111118.4
50.046.8
70.023.2
Y = 165.77x1.0023 R2 = 0.9997
D (cm)Z = 1/D2t (s)
1.50.444459.9
20.2533.7
30.111114.9
50.045.3
70.022.7
Y = 134.84x1.0019 R2 = 1
D (cm)Z = 1/D2t (s)
1.50.444443.0
20.2523.7
30.111110.5
50.043.9
70.022.0
Y = 93.95x0.9875 R2 = 0.9998
D (cm)Z = 1/D2t (s)
1.50.444426.7
20.2515.0
30.11116.8
50.042.6
70.021.3
Y = 58.009x0.9696 R2 = 0.9999
D (cm)Z = 1/D2t (s)
1.50.444413.5
20.257.8
30.11113.7
50.041.5
70.020.8
Y = 27.714x0.9077 R2 = 0.9999
Caso g)
t (dias)012345678910
A (%)10084705949413427242017
Y = 100.09e-0.1795x R2 = 0.999
Caso h)
t (dias)012345678910
A (%)10084705949413427242017
Y = 100.09e-0.1795x R2 = 0.999
d) Compare sus resultados. Cul (es) de los mtodos de regresin le parece confiable?RPTA:El uso de EXCEL y de la calculadora cientfica (CASIO fx-3650P SUPER - FX) son los mtodos ms confiables porque permiten trabajar con mayor facilidad las cifras decimales y as afinar resultados, cosa que nos permite el mtodo de regresin lineal ya que el uso de cifras decimales se hace tedioso e induce al error al aproximar cifras.3. Interpolacin y extrapolacin :Considerando sus grficos (en donde ha obtenido rectas)a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los ncleos de radn, segn la tabla 3.TABLA 3t(das)012345678910
A (%)10084705949413427242017
Tiempo [dias]rea(%)[yi]TiYi=logyiTilogyiTi2
01000200
18411.92431.92431
27021.84513.69024
35931.77095.31279
44941.69026.760816
54151.61278.063525
63461.53159.18936
72771.431410.019849
82481.380211.041664
92091.301011.70981
1017101.230412.304100
Hallando: n y k
Reemplazando en las ecuaciones:
m=n y k=antilog bLa formula quedara:
Ahora para A% = 50
t =3.8703 diasRespuesta: en 3.8703 das se desintegro el 50% de los ncleos de radnb) Halle los tiempos de vaciado de agua si:
CASOSALTURA h(cm)DIAMETRO d(cm)TIEMPO t(s)
01204.0
02401.0
03253.5
04491.0
Hallando los valores n y kALTURA h(cm)DIAMETRO d(cm)Xi=LogdiYi=LoghiXiYiXi2
204.00.6021.3010.7830.362
401.001.60200
253.50.5441.3980.7610.296
491.001.69000
Hallando n y k
n=m y k=10b La formula quedara:
Ahora reemplazando los valores (d) en la frmula, el cuadro quedara de la siguiente manera :CASOSALTURA h(cm)DIAMETRO d(cm)TIEMPO t(s)
01204.021.484
02401.044.36
03253.523.038
04491.044.36
4. Haga w = para las alturas y dimetros correspondientes y complete la tabla :
t (s)73.043.026.715.010.53.91.5
W
5. Grafique t = t(s) en papel milimetrado. Si la distribucin es lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuacin experimental correspondiente : t = t(h.d).
6. Para investigar:
Para obtener la frmula de una distribucin de puntos en donde solo se relacionan dos variables y = y(x), se utiliz la regresin simple.Cuando se tiene tres o ms variables , y = y(v,w,..,z) se tendr que realizar la regresin simple.
a) Encuentre la frmula t = t(h.d), utilice la Tabla 2.b) Hallar t para h = 15 cm y D = 6 cm.c) Hallar t para h = 40 cm y D = 1 cm.
Universidad mayor de san marcos (Universidad del Per, decana de amrica)
Facultad de ciencias fsicas
Integrantes: Salazar Vargas junior 14160056 Conislla illanes cristina 14160048Profesora: Maria luisa cern Turno: 2-4 pmFecha: 11-09-2015 2015
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