10920 Curso BB - Estimaciones

UniversidadUniversidad AustralAustral

Facultad de IngenieríaFacultad de Ingeniería

BLACK BELT-GREEN BELT –Estimación puntual y por intervalosLic. Verónica ÁlvarezLic. Verónica Álvarez

Lic. Carlos Zavalla - Lic. Claudio BorsettiLic. Carlos Zavalla - Lic. Claudio Borsetti

Ing. Carlos Cacici – Lic. Horacio Gómez BeretIng. Carlos Cacici – Lic. Horacio Gómez Beret

Distribución Normal, Teorema del Limite Distribución Normal, Teorema del Limite Central y Central y Otras DistribucionesOtras Distribuciones

Ejemplo de Teorema Central del Límite

Ejemplo de aplicación del teorema del límite centralUna empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han repartido doscientos paquetes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy esté entre 30 y 35 minutos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en total, para los doscientos paquetes hayan estado más de 115 horas?

Consideremos la variable X = “Tiempo de entrega del paquete”. Sabemos que su media es 35 minutos y su desviación típica 8. Pero no sabemos si esta variable sigue una distribución normal.

Durante el día de hoy se han entregado n = 200 paquetes.Es decir, tenemos una muestra x1, x2, ..., xn de nuestra variable.


Por el teorema del límite central sabemos que la media muestral se comporta como una normal de esperanza 35 y desviación típica:

Si utilizamos esta aproximación, ya podemos contestar a la pregunta a. Debemos calcular:

que es aproximadamente igual a la probabilidad siguiente:


donde Z es una normal (0,1). Es decir, tenemos una probabilidad aproximada del 0,4616 de que la media del tiempo de entrega de hoy haya estado entre 30 y 35 minutos.

Por lo que respecta a la segunda pregunta, de entrada debemos pasar las horas a minutos, ya que ésta es la unidad con la que nos viene dada la variable. Observemos que 115 horas por 60 minutos nos dan 6.900 minutos. Se nos pide que calculemos la probabilidad siguiente:

y como que sabemos que la media se distribuye aproximadamente como una normal de media 35 y desviación típica 0,566 (supondremos siempre que la distribución de la media es normal, ya sea porque la ya sea porque la variable de interés es normal o porque la muestra es lo bastantevariable de interés es normal o porque la muestra es lo bastantegrande)grande), esta probabilidad se puede aproximar por la probabilidad de una distribución normal estándar Z:

Independientemente del tamaño de las muestras, el promedio de la el promedio de la distribución de las medias muestrales distribución de las medias muestrales

)(XE siempre coincide con el que se obtendría en caso de realizar un censo: coincide con la coincide con la media poblacionalmedia poblacional

Error estándar de la media

(o error muestral o Error Típico en Excel) nX

Distribución de muestreo de la Media: Teorema central del Límite

EstimaciónEstimación

Uno de los propósitos de la estadística inferencial es estimar

las características poblacionales desconocidas, examinando

la información obtenida de una muestra, de una población.

El punto de interés es la muestra, la cual debe ser

representativa de la población objeto de estudio.

Se seguirán ciertos procedimientos de selección para

asegurar de que las muestras reflejen observaciones a la

población de la que proceden, ya que solo se pueden hacer

observaciones probabilísticas sobre una población cuando

se usan muestras representativas de la misma.

Muestreo

Errores en el MuestreoCuando se utilizan valores muestrales, o estadísticos para estimar valores poblacionales, o parámetros, pueden ocurrir dos tipos generales de errores: el error muestral y el error no muestral.

El error muestral se refiere a la variación natural existente entre muestras tomadas de la misma población.

Error MuestralCualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional m, entonces la media muestral, como medida, conlleva algún error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media m = 15: si la media de la muestra es x=12, entonces a la diferencia observada x-m = -3 se le denomina el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional m y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces:X = µ + e


La media de la colección de medias muestrales es 4, la media de la población de la que se extraen las muestras. Si mx denota la media de todas las medias muestrales entonces tenemos:mx = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4

La suma de los errores muestrales es cero.e1 + e2 + e3 + . . . + e9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0

En consecuencia, si x se usa para medir, estimar, la media poblacional m, el promedio de todos los errores muestrales es cero.

Teorema central del Límite

Teorema del límite centralSi se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media m y desviación estándar s, entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a µ y una desviación estándar de .

La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor.

n


EjemploPara la distribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:

a) El error muestral de cada mediab) La media de los errores muestralesc) La desviación estándar de los errores muestrales.


EjemploPara la distribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:

a) El error muestral de cada mediab) La media de los errores muestralesc) La desviación estándar de los errores muestrales.

Solución:a) En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras y los errores muestrales:

b) La media de los errores muestrales es µe, es:

c) La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales σe, es entonces:


La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar de la media denotado por σx, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de una población se eligen muestras de tamaño n con reemplazo, entonces el error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los errores muestrales.

En general se tiene: σx = σe

Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrar sx .

donde s es la desviación estándar de la población de donde se toman las muestras, n es el tamaño de la muestra y N el de la población.


Como regla de cálculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es al menos 20 veces el tamaño de la muestra (N≥20), entonces se puede usar la fórmula.

El factor

se denomina factor de corrección para una población finita.

1

N n

N

Una población es Población FinitaPoblación Finita cuando el tamaño n n de la muestra presupuestado es mayor que el 5% del tamaño de la población. Esto es:

05.0N

n

Distribución de muestreo de la Media: Teorema central del Límite

Ejemplo:Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas:Maestro de matemáticas Antigüedad

A 6B 4C 2

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo.

Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral.


Solución:Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo.

Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral.Muestras Antigüedad Media MuestralA,B (6,4) 5A,C (6,2) 4B,C (4,2) 3


La media poblacional es:

La media de la distribución muestral es:

La desviación estándar de la población es:

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:

Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de corrección tendríamos que:Por lo que observamos que este valor

no es el verdadero. Agregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto:

El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando secalcula el valor del error estándar:

Recordamos Distribución Normal Recordamos Distribución Normal EstandarizadaEstandarizada

Si recordamos la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica.Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

Este es el recurso con que contamos para independizamos de la magnitud de la variable y que consiste en la estandarización

x

Z

Esta expresión mide la distancia entre cualquier valor de la variable y el la distancia entre cualquier valor de la variable y el promedio en términos del desvío estándarpromedio en términos del desvío estándar, y es adimensional.

Recordamos Distribución Normal Recordamos Distribución Normal EstandarizadaEstandarizada

x

Z

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.

Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribución normal con

µx = µ y σ = σx

Distribución de muestreo de la Media:

entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguiente manera:

y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

n

XZ

Distribución de muestreo de la Media

Ejemplo:Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solución:

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.


Ejemplo:Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8centímetros.b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo encada inciso.

Estimación PuntualEstimación Puntual

Un estimador de un parámetro poblacional es una función de los datos muestrales. En pocas palabras, es una fórmula que fórmula que depende de los valores obtenidos de una muestradepende de los valores obtenidos de una muestra, para realizar estimaciones.

Por ejemplo, un estimador de la media poblacional, μ, sería la media muestral X

según la siguiente fórmula

n

xxx

n

xx n

n

i .........211

Estimación PuntualEstimación PuntualEstimación puntual

Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se

pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos de la muestra. necesito los ejemplos

Cuando inferimos no tenemos garantía de que la conclusión que obtenemos sea exactamente correcta. Sin embargo, la estadística permite cuantificar el error asociado a la estimación.

La mayoría de las distribuciones de probabilidad dependen de cierto número de parámetros. Por ejemplo: P(λ ), N(μ ,σ2 ), Bi(n, p), etc. Salvo que estos parámetros se conozcan, deben estimarse a partir de los datos.

n

xxx

n

xx n

n

i .........211

Puntos e Intervalos de EstimaciónPuntos e Intervalos de Estimación

Estimadores Estimadores PuntualesPuntuales

X para estimar μ

S2 para estimar σ2

S para estimar σ

Representan a los parámetros poblacionalesRepresentan a los parámetros poblacionales

Se puede crear un intervalo que tenga una determinada Se puede crear un intervalo que tenga una determinada probabilidad de incluir al verdadero parámetro probabilidad de incluir al verdadero parámetro poblacional. Se lo llama “Intervalo de CONFIANZA”poblacional. Se lo llama “Intervalo de CONFIANZA”

El objetivo de la estimación puntual y por intervalos es usar una muestramuestra para obtener números que, en algún sentido, sean los que mejor representan a los verdaderos valores de los parámetros de interés.

Estimación PuntualEstimación PuntualObtenida una muestra representativa el siguiente paso es conocer parámetros de la población a partir esa muestra. Llamaremos estadístico a cualquier función determinada a partir de los datos muestrales y llamaremos estimador de un parámetro al estadístico que aproxima a ese parámetro.

El estadístico tiene que ser insesgadoinsesgado, es decir, la media de la distribución muestral del estadístico ha de coincidir con el parámetro poblacional, o lo que es lo mismo que coincide con la esperanza matemática.

SuficienciaSuficiencia, la muestra posee toda la información necesaria para acerca del parámetro.

ConsistenciaConsistencia, dado un estadístico diremos que es consistente si al aumentar el tamaño de la muestra, el estadístico converge en probabilidad al parámetro. Dicho de otro modo, cuando la muestra se hace muy grande la probabilidad de que el estimador esté muy cerca del parámetro es casi uno.

EficienciaEficiencia, de todos los estadísticos consistentes será mejor aquel que converja más rápidamente al parámetro. Esto lo sabremos por la varianza, a menor varianza menor dispersióna menor varianza menor dispersión.

Estimación PuntualEstimación Puntual1. Estimador de la media poblacional, es la media muestral

n

xX

n

ii

1

2. Estimador de la varianza poblacional, es la cuasivarianza muestral

La cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional.

1

)(1

2

2

n

xxS

n

ii

Estimación PuntualEstimación PuntualLa inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de conclusión acerca de uno o más parámetrosparámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muestrales. Por ejemplo, representamos con μμ (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la resistencia determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de μ. a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de μ.

De forma similar, si σ2 es la varianza de la distribución de resistencia a la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar para inferir algo acerca de σ2.Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega θ para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable de θ.

Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en horas de x1=5.0, x2=6.4 y x3=5.9. El valor calculado de la duración

media muestral es x x = 5.77= 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más adecuado de μ.μ.

Estimación por ProporcionesEstimación por Proporciones

Para estandarizar proporciones

npp

ppZ

)1(

ˆ

p̂Proporción poblacional Proporción muestral

Parámetros de la funciónParámetros de la función

• n: número de pruebas independientes y repetidas

• p: probabilidad de que ocurra un éxito en una prueba

Dominio de la variableDominio de la variable

0 ≤ x ≤ n

Valor esperado Valor esperado μμ = = E(x) = np

Varianza Varianza σσ22 V(x) = np(1-p)

Recordamos la variable aleatoria BinomialRecordamos la variable aleatoria Binomial

Para estandarizar proporciones

npp

ppZ

)1(

ˆ

Estimación por ProporcionesEstimación por ProporcionesSe sabe que la proporción de artículos defectuosos en un proceso de manufactura es del 0.10. El proceso se vigila periódicamente al tomar muestras aleatorias de tamaño 100 e inspeccionar las unidades.

Calcule la probabilidad de que esta muestra arroje una proporción de defectuosos a) mayor que 0.17 b) menor que 0.05

npp

ppZ

)1(

ˆ

333.2

1009.01.0

1.017.0

z

%099.000099.09901.01)333.2(1)17.0( ZPpP

a)

%75.40475.09525.01)05.0()05.0ˆ( zPpPb)

Aplicación sobre el caso del Negocio de Mariano:

Si él toma una muestra aleatoria de 60 días, ¿cuál es la probabilidad de que observe a lo sumo 25% de días con ventas superiores a $ 230?En este planteo, y según el estudio descriptivo inicial, identificamos la siguiente información:

X: número de días con ventas superiores a $230 → Bi (n = 60; p = 0,3636) Con p: proporción de días con ventas superiores a $230 en n = 60

Estimación por ProporcionesEstimación por Proporciones


Problemas de estimación puntual:

1.Los siguientes datos corresponden a los pesos (en kilogramos) de 15 hombres escogidos al azar y que trabajan en una empresa: 72, 68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70,69. Estime el peso promedio y la desviación estándar.

2.Entre los miembros de una comunidad se escogieron 150 personas al azar y se les preguntó si estaban de acuerdo con los programas que el gobierno estaba desarrollando para prevenir el consumo de drogas; la encuesta dio como resultado que 130 sí estaban de acuerdo. Estime la proporción de los que estaban de acuerdo y el error estándar.

3.De las 50 aulas que tiene un edificio de la facultad de matemáticas se escogieron al azar 5 y se determinó el número de alumnos que había en cada una de ellas en la primera hora de clases. Estime el número de alumnos que hay en el edificio si todas las aulas se encuentran ocupadas a esa hora, y si el numero de alumnos en cada una de las aulas inspeccionadas fue: 24, 35, 16, 30, 28.

4.Teniendo en cuenta los datos del problema I, estime el error del peso promedio.

5.Teniendo en cuenta los datos del problema III, estime el error del número total de estudiantes.

12 de abril de 202312 de abril de 2023 3636

Valor Crítico

Valor Crítico

1 - α Ocurrencia Rara

Ocurrencia Rara

α y Nivel de Confianzaα y Nivel de Confianza

2

2

12 de abril de 202312 de abril de 2023 3737

Valor Crítico

Valor Crítico

Ocurrencia Común

Ocurrencia Rara

Ocurrencia Rara

Para ser clasificada como SignificanteSignificante, el valor real medido debe exceder al valor Crítico.

Éste es el valor tabular determinado por la distribución de probabilidad y el riesgo de error.

Este riesgo de error se llama Riesgo Riesgo e indica la probabilidad que este valor ocurra naturalmente. Así, un riesgo de .05 (5%) significa que este valor crítico será excedido por una ocurrencia aleatoria < 5% de veces.

Para ser clasificada como SignificanteSignificante, el valor real medido debe exceder al valor Crítico.

Éste es el valor tabular determinado por la distribución de probabilidad y el riesgo de error.

Este riesgo de error se llama Riesgo Riesgo e indica la probabilidad que este valor ocurra naturalmente. Así, un riesgo de .05 (5%) significa que este valor crítico será excedido por una ocurrencia aleatoria < 5% de veces.

α y Nivel de Confianza y Significación Estadísticaα y Nivel de Confianza y Significación Estadística

%5.22 %5.22

Intervalos de EstimaciónIntervalos de Estimación

Cuando se obtiene una estimación puntual de un parámetro, es conveniente acompañar dicha estimación por una “medida” de la precisión de la precisión de la estimaciónestimación. Un modo es reemplazar la estimación puntual por un intervalo de valores posibles para el parámetro.

Si indicamos un nivel de Probabilidad con el cual deseamos realizar la estimación : 1 – αBuscamos 2 límites k1 y k2 entre los cuales esté el parámetro buscado

P (k1 < parámetro < k2) = 1 - α


Por ejemplo podríamos decir que la probabilidad de que la diferencia entre x y µ esté entre -2 y 2 sea 90%O sea que α = 0,10

P (-2 < x - µ < 2) = 0,90


Supongamos que tenemos datos de una distribución N(μ,σ2) con varianza conocida. Por ser los datos normales, sabemos que:

sabemos que la probabilidad de que se encuentre entre Z0.025=– 1,96 y Z0.975 =1,96 es 0,95, es decir

95,096.196.10

X

nP

1

210

2Z

XnZP


95,096,196,10

X

nP95%

Z=1,96Z=-1,96

2,5%

Estimación por Intervalos de confianzaEstimación por Intervalos de confianza

Por ejemplo, imagine que se usa el estadístico para calcular un estimado puntual de la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca, y suponga que la media x = 9322.7. Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá el caso de que x = μ.

Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un estimado de intervalo o intervalo de confianza (IC).

Un estimado puntual, por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación.


95,096,196,10

X

nP

95,096,196,195,096,196,1 0000

n

Xn

XPn

Xn

P

Es decir, que la probabilidad de que el intervalo contenga el verdadero valor del

parámetro μ es 0,95

nX

nX 00 96,1,96,1

se denomina intervalo de confianza de nivel (1 – α) para el parámetro µ.

Ejemplo: Puntos e Intervalos de EstimaciónEjemplo: Puntos e Intervalos de Estimación

Calcular el intervalo de 95 % de confianza para Calcular el intervalo de 95 % de confianza para µµ donde n = 16 ; donde n = 16 ; ss = 2.8 ; X = 15.7 = 2.8 ; X = 15.7

Qué Formula se Usa???Qué Formula se Usa???

n

StX

n

StX nn 2/,12/,1 ,

Calculo de Intervalos de Confianza con EXCELCalculo de Intervalos de Confianza con EXCEL

Estimar Estimar µµ cuando cuando σσ eses desconocidodesconocido

Excel no tiene una función incorporada para muestras, Excel no tiene una función incorporada para muestras, pero se puede resolver usando la función t-inversa, y la pero se puede resolver usando la función t-inversa, y la formula que se desarrollo y muestraformula que se desarrollo y muestra

n

StX

n

StX nn 2/,12/,1 ,

Tamaño de la Tamaño de la MuestraMuestra

Tamaño de la Muestra para estimar MediasTamaño de la Muestra para estimar MediasMuestreo aleatorio simple: consiste en elegir aleatoriamente n elementos sin reemplazamiento de entre los N que forman la población. Se pueden obtener así

muestras diferentes, todas ellas equiprobables.La probabilidad de que un elemento determinado de la población resulte elegido en la muestra es:

Para elegir los n elementos aleatoriamente podemos optar por:o Asignar un número a cada elemento de la población, meter en un bombo N bolas con los números asignados y extraer después n bolas.o Utilizar las tablas de números aleatorios. o Obtener números del 1 al N a partir de los números aleatorios comprendidos entre 0 y 1 que nos proporcionan las calculadoras y los ordenadores.

Tamaño de la Muestra para estimar MediasTamaño de la Muestra para estimar Medias

Si deseamos estimar una mediaestimar una media:: debemos saber:

a. El nivel de confianza o seguridad (1- ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un coeficiente (Z ). Para una seguridad del 95% = 1.96; para una seguridad del 99% = 2.58.

b. La precisión d d con que se desea estimar el parámetro (2 2 * * dd es la amplitud del intervalo de confianza).

c. La varianza σ2 de la distribución de la variable cuantitativa que se supone existe en la población. Sino se estima de la muestra


nzd x

)21( precisión

2

222222

d

ZnZnd

nZd x

xx

Para muestreo con repetición o población infinita

222

22

)1(

ZNd

ZNn

Para muestreo con una población finita considerando el tamaño de la población

2

22

d

Zn x


Para hacer un planeamiento económico de cierta zona del país es necesario estimar entre 10.000 establos lecheros el número de vacas lecheras por establo con un error de estimación de 4 y un nivel de confianza de 95%. Si se sabe que σ2 = 1.000.¿Cuántos establos deben visitarse para satisfacer estos requerimientos?

2355.2341000)96.1(999.916

000.1)96.1(000.10

4

000.1

96.1

000.10

2

2

2

nn

d

Z

N


Para hacer un planeamiento económico de cierta zona del país es necesario estimar entre 10.000 establos lecheros el número de vacas lecheras por establo con un error de estimación de 4 y un nivel de confianza de 95%. Si se sabe que σ2 = 1.000.¿Cuántos establos deben visitarse para satisfacer estos requerimientos?

Si ahora omitimos el tamaño de la población usamos la ecuación anteriorSi ahora omitimos el tamaño de la población usamos la ecuación anterior

24016

000.1)96.1(

4

000.1

96.1

000.10

2

2

n

d

Z

N


2

22

d

SZn

Población Infinita

222

22

)1( SZNd

SZNn

Población Finita

En la práctica la formula de la Población FinitaPoblación Finita se emplea cuando el tamaño n n de la muestra presupuestado es mayor que el 5% del tamaño de la población. Esto es:

05.0N

n


En cualquiera de ambas ecuaciones aparece el valor de la varianza, lo mas frecuente es que sea desconocido por ello debemos estimarla por cualquiera de estos medios:

1. Mediante la varianza muestral

2. Se utilizan estimaciones previas hechas en estudios anteriores (valores históricos)

3. Si hay evidencia que la población en estudio tiene una distribución normal se puede aproximar la varianza usando el rango de la población (para ello se debe conocer el valor máximo y mínimo de la población investigada

2

22

d

SZn

222

22

)1( SZNd

SZNn

Población Infinita Población Finita

4

R

1

)(1

2

2

n

XXS

n

ii

Tamaño de la Muestra para una proporciónTamaño de la Muestra para una proporciónDE POBLACIÓN INFINITADE POBLACIÓN INFINITA1. El nivel de confianza o seguridad (1-a ). 2. La precisión que deseamos para nuestro estudio.3. Una idea del valor aproximado del parámetro que queremos medir (en

este caso una proporción). Esta idea se puede obtener revisando la literatura, por estudio pilotos previos. En caso de no tener dicha información utilizaremos el valor p = 0.5 (50%).

Ejemplo: ¿A cuantas personas tendríamos que estudiar para conocer la prevalencia de diabetes?

Seguridad = 95%; Precisión = 3%: Proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5%; si no tuviésemos ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0,5 (50%) que maximiza el tamaño muestral:

Za 2 = 1.962 (ya que la seguridad es del 95%)

p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05) q = 1 – p (en este caso 1 – 0.05 = 0.95) d = precisión (en este caso deseamos un 3%)

2

2

d

qpZn

Tamaño de la Muestra para una proporciónTamaño de la Muestra para una proporción

¿A cuántas personas tendría que estudiar de una población de 15.000 habitantes para conocer la prevalencia de diabetes?Seguridad = 95%; Precisión = 3%; proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0.5 (50%) que maximiza el tamaño muestral.

Según diferentes seguridades el coeficiente de Z varía, así:Si la seguridad Z fuese del 90% el coeficiente sería 1.645 Si la seguridad Z fuese del 95% el coeficiente sería 1.96 Si la seguridad Z fuese del 97.5% el coeficiente sería 2.24 Si la seguridad Z fuese del 99% el coeficiente sería 2.576

Si la población es finita,población es finita, es decir conocemos el total de la población y deseásemos saber cuántos del total tendremos que estudiar la respuesta seria:

qpZNd

qpZNn

22

2

)1(

Phillips 66 Phillips 66 1. Determinar la estatura media de

un grupo de varones adultos cuyas alturas son: 162, 176, 169, 165, 171, 169, 172, 168, 167 y 175 cm.

2. Determinar un intervalo de confianza para la estatura media de toda la población de varones adultos con una confianza del 95% suponiendo un desvío de 4 cm.

3. Determinar el tamaño de muestra requerido para obtener la estatura media de la población, con una precisión de 1 cm, si la varianza poblacional es 25 cm2

Phillips 66 Phillips 66 1. Si de 100 personas encuestadas,

30 se manifiestan a favor de un determinado partido político, ¿qué porcentaje de votos obtendría dicho partido de celebrarse en ese momento las elecciones? (confianza del 95%)

2. Si el partido político desea realizar una encuesta con el fin de determinar el porcentaje de votantes con una precisión del 3% ¿A cuántos individuos hay que encuestar (confianza del 95%).

Mas Distribuciones

La DISTRIBUCION CHI CUADRADALa DISTRIBUCION CHI CUADRADA

2

22 )(

xxi

2

22 )1(

sn

La DISTRIBUCION CHI CUADRADALa DISTRIBUCION CHI CUADRADAEstudiamos ahora la distribución de la varianzavarianza de muestras aleatorias de poblaciones normales.Como S2 no puede ser negativa, deberíamos sospechar que esta distribución de muestreo no es una curva normal. A este tipo de distribución se la llama “Distribución Chi cuadrada”

TEOREMA Si S2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño ntomada de una población normal, con varianza 2, entonces:

es la variable aleatoria con la distribución Chi-cuadrada, con (n -1) grados de libertad.

.

2

22 )(

xxi

2

22 )1(

sn

La DISTRIBUCION CHI CUADRADALa DISTRIBUCION CHI CUADRADA

FUNCIÓN DE DENSIDADLa Distribución chi-cuadrado, tiene por función de densidad

Donde el parámetro k de , se denomina grados de libertad de la distribución.La Distribución chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura.

12 2

2

2

.( )

2 2

k x

k k

x ex

k

2k

Algunos ejemplos de uso de la distribución de Chi-cuadrado

1. Quiero conocer cual de 2 dispensadores de gaseosa presenta mayor variabilidadvariabilidad en el líquido vertido

2. La cantidad de cada uno de los compuestos de un medicamento

3. Los gastos mensuales en una pequeña empresa discriminados

Son variables que requieren la Son variables que requieren la implementación de rutinas de control implementación de rutinas de control que den cuenta de la eficiencia de la que den cuenta de la eficiencia de la

gestión o del procesogestión o del proceso

Ejemplo de aplicación de la Distribución Ejemplo de aplicación de la Distribución CHI-CuadradaCHI-Cuadrada

En un proceso de fabricación de cerveza un determinado compuesto tiene un σ2 = 25 Tomando 10 botellas se quiere saber la probabilidad que la varianza de la muestra supere 50.

Calcular con la formula y la tabla de probabilidad de χ2

Para el mismo proceso, cual será el valor del desvío de la muestra que ocurrirá solo 1 vez en 100 veces???

2

22 )(

xxi

2

22 )1(

sn

Ejemplo de aplicación de la Distribución CHI-Ejemplo de aplicación de la Distribución CHI-Cuadrada con EXCELCuadrada con EXCEL

Calcula-mos la X2 con la fórmula

Respuesta.Respuesta. Hay un 3,51% De probabilidad que la varianza supere los 50

Ejemplo de aplicación de la Distribución CHI-Ejemplo de aplicación de la Distribución CHI-Cuadrada inversa con EXCELCuadrada inversa con EXCEL

Respuesta: El valor de la varianza muestral pedido es de 60.2 Excel permite calcular el Valor Critico para obtener una determinada Probabilidad, para la situación dada, usando la función χ2 inversa

Encontramos de esta forma el valor de Chi Cuadrado para la Probabilidad 0.01 con 9 gl.Ahora despejamos de la fórmula el valor de la varianza

183.609

2566.2125

).110(665.21

2

2

s

s

Ejemplo de aplicación de la Distribución CHI-Ejemplo de aplicación de la Distribución CHI-Cuadrada inversa con EXCELCuadrada inversa con EXCEL

Excel permite calcular el Valor Critico para obtener una determinada Probabilidad, para la situación dada, usando la función χ2 inversa

RespuestaRespuesta: El valor de la varianza que ocurrirá 1 de 100 veces es 21.66

La Distribución FLa Distribución F

Recibió este nombre en honor a Sir Ronald Fisher, uno de los fundadores

de la estadística moderna. Esta distribución de probabilidad se usa como

estadística prueba en varias situaciones. Se emplea para probar si dos

muestras provienen de poblaciones que poseen varianzas iguales. Esta

prueba es útil para determinar si una población normal tiene una mayor

variación que la otra y también se aplica cuando se trata de comparar

simultáneamente varias medias poblacionales. La comparación

simultánea de varias medias poblacionales se conoce como análisis de

varianza (ANOVA). En ambas situaciones, las poblaciones deben ser

normales y los datos tener al menos la escala de intervalos.


Características de la distribución F 1.Existe una "familia" de distribuciones F. Un miembro específico de la familia se determina por dos parámetros: los grados de libertad en el numerador y en el denominador . Existe una distribución F para la combinación de 29 grados de libertad en el numerador y 28 grados en el denominador. Existe otra distribución F para 19 grados en el numerador y 6 en el denominador.

2.La distribución F es una distribución continua.

3.F no puede ser negativa

4.La distribución F tiene un sesgo positivo

5.A medida que aumentan los valores, la curva se aproxima al eje x, pero nunca lo toca6.


La distribución F esta relacionada con el cociente de varianzas .En

donde son las varianzas muestrales tienen una distribución

con (n - 1) grados de libertad.

Entonces podemos decir que:

en donde despejando convenientemente:

Función Densidad

21

22

ss2 2

1 2 y s s2

21

122

2

vF

v

22

2

1S ( n )

2122

SF

S


F = s1

2

s22

Hay tablas que tabulan las distribuciones normalmente para el 1% y para el 5 %

Si se sacan dos muestras aleatorias de una población Normal; las varianzas muestrales s1

2 y s22 , correspondientes a las dos muestras que no

necesariamente tienen el mismo tamaño ni pertenecen a la misma población.

Los grados de libertad del numerador y del denominador son respectivamente (n1 – 1) y (n2 – 1) en el denominador.

Esta distribución nos permite hacer inferencias sobre la varianza y además nos proporciona un medio para comparar las medias de 3 o mas poblaciones mediante el análisis de varianza (ANOVA)


El Gerente de Calidad de Aguas Argentinas tiene que medir la alcalinidad del agua. Para ello contrata a 2 laboratorios que sacan la misma cantidad de muestras y le envían los resultados.El analiza los datos por medio de un Box Plot y la Distribución F para decidir a que laboratorio contratar.

Laboratorio

TEST

LOYDBAYES

60

55

50

45

40

35

53,090952

9 Muestras Tomadas por c/ u de los laboratorios Loys y Bayes

1s

sF

2L

2B 1

s

sF

2L

2B

Siempre se arma la fórmula con la varianza mas grande en el numerador, por convención con el uso de las tablas

La Distribución FLa Distribución FT

UR

NO

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

B

A

6050403020

TU

RN

O

ANTES (seg)

B

A

2001751501251007550

Test Statistic 2,31P-Value 0,076

Test Statistic 2,76P-Value 0,105

F-Test

Levene's Test

Test for Equal Variances for ANTES (seg)

F asume normalidad y

Levene no asume normalidad de la

muestra

Síntesis de uso de DistribucionesSíntesis de uso de Distribuciones

NormalNormal y y

StudentStudent

estudian la distribución estudian la distribución de inferencia de la de inferencia de la

MEDIAMEDIA

PoissonPoisson

estudia ocurrencias estudia ocurrencias discretas sobre un discretas sobre un

continuo como el tiempocontinuo como el tiempo

ExponencialExponencialestudia el tiempo estudia el tiempo transcurrido entre transcurrido entre

ocurrencias como en ocurrencias como en PoissonPoisson

Chi CuadradoChi Cuadradoestudia distribución de estudia distribución de

la la VARIANZAVARIANZA

FF estudia la relación entre estudia la relación entre VARIANZAS VARIANZAS muestralesmuestrales

FinFin

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