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7/30/2019 10.1.1.38.9220
1/92
C i v i l A i r c r a f t A u t o p i l o t D e s i g n
U s i n g R o b u s t C o n t r o l
R . M . P . G o v e r d e
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
2/92
C i v i l A i r c r a f t A u t o p i l o t D e s i g n
U s i n g R o b u s t C o n t r o l
R . M . P . G o v e r d e
R a p p o r t t e r v e r k r i j g i n g v a n h e t c e r t i -
c a a t t e c h n o l o g i s c h o n t w e r p e r a a n d e
T e c h n i s c h e U n i v e r s i t e i t D e l f t . P r e s e n -
t a t i e v a n h e t r a p p o r t v i n d t p l a a t s o p 1 5
f e b r u a r i 1 9 9 6 o m 1 0 . 0 0 u u r i n D e l f t .
J a n u a r y 1 9 9 6
S t a t i s t i c s , S t o c h a s t i c s , a n d O p e r a t i o n s R e s e a r c h U n i t
D e p a r t m e n t o f T e c h n i c a l M a t h e m a t i c s a n d I n f o r m a t i c s
D e l f t U n i v e r s t i t y o f T e c h n o l o g y
-
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E x a m i n a t i o n b o a r d :
P r o f . D r . R . M . C o o k e ( D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y )
D r s . A . A . t e n D a m ( N a t i o n a l A e r o s p a c e L a b o r a t o r y N L R )
D r . H . v a n M a a r e n ( D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y )
P r o f . D r . G . J . O l s d e r ( D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y )
I r . J . S c h u r i n g ( N a t i o n a l A e r o s p a c e L a b o r a t o r y N L R )
I r . J . C . T e r l o u w ( N a t i o n a l A e r o s p a c e L a b o r a t o r y N L R )
D r . J . W . v a n d e r W o u d e ( D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y )
-
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S u m m a r y
B e s i d e s p r o v i d i n g s t a b i l i t y a n d c o n t r o l t o a i r c r a f t , i g h t c o n t r o l s y s t e m s p l a y a n
i n c r e a s i n g l y i m p o r t a n t r o l e i n m e e t i n g c o s t a n d p e r f o r m a n c e o b j e c t i v e s f o r m o d e r n
c i v i l a n d m i l i t a r y a i r c r a f t . R o b u s t c o n t r o l t h e o r y o e r s a s y s t e m a t i c a p p r o a c h t o d e -
s i g n a n d e v a l u a t e i g h t c o n t r o l s y s t e m s t h a t f u n c t i o n p r o p e r l y i n a l l i g h t c o n d i t i o n s
a n d a i r c r a f t s t a t e s . I t d e a l s e x p l i c i t l y w i t h t h e u n c e r t a i n t i e s i n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f
t h e a i r c r a f t a n d i n t h e e n v i r o n m e n t i n w h i c h i t h a s t o o p e r a t e . A s a c o n s e q u e n c e ,
i g h t c o n t r o l s y s t e m s d e s i g n e d u s i n g r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e s m a y g i v e a r e d u c t i o n
i n t i m e a n d c o s t o f t h e i g h t c o n t r o l d e s i g n p r o c e s s , c o m p a r e d t o c l a s s i c a l c o n t r o l
d e s i g n m e t h o d s .
U n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s , t h e m o t i o n s o f a i r c r a f t c a n b e d e c o u p l e d i n t o s y m -
m e t r i c a n d a s y m m e t r i c m o t i o n s . H e r e b y , s e p a r a t e c o n t r o l l e r s c a n b e d e s i g n e d f o r t h e
s y m m e t r i c a n d a s y m m e t r i c m o t i o n s , r e s p e c t i v e l y . U s i n g r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e s ,
a c o n t r o l l e r h a s b e e n d e s i g n e d f o r t h e s y m m e t r i c m o t i o n s o f a c i v i l a i r c r a f t f o r t h e
n a l a p p r o a c h .
A m o d e r n a p p r o a c h t o r o b u s t c o n t r o l i s H
1
o p t i m a l c o n t r o l . T h i s m e t h o d c a n b e
i n t e r p r e t e d a s t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e t r a n s f e r m a t r i x o f t h e s y s t e m i n a w o r s t c a s e
s c e n a r i o . T h e r e s u l t i n g c o n t r o l l a w g u a r a n t e e s s t a b i l i t y o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m
a n d a c h i e v e m e n t o f t h e o b j e c t i v e s f o r t h e w h o l e c l a s s o f s y s t e m s i n d u c e d b y t h e
u n c e r t a i n t y . G e n e r a l l y , u n c e r t a i n t y i n a s y s t e m i s p r e s e n t a t v a r i o u s c o m p o n e n t s
a n d i s i n t h i s w a y h i g h l y s t r u c t u r e d . A m e a s u r e o f r o b u s t n e s s t h a t e x p l i c i t l y t a k e s
t h e s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y i n t o a c c o u n t i s t h e s t r u c t u r e d s i n g u l a r v a l u e o r . T h e
i n u e n c e o f t h e s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y o n s y s t e m p e r f o r m a n c e c a n b e a n a l y s e d b y
a p p l y i n g a n a l y s i s . A c o m b i n a t i o n o f t h e t e c h n i q u e s o f H
1
o p t i m a l c o n t r o l a n d
a n a l y s i s p r o v i d e s a m o d e r n a p p r o a c h t o d e s i g n a n d a n a l y s e r o b u s t c o n t r o l s y s t e m s .
T h i s d e s i g n a p p r o a c h i s p r o v i d e d b y s y n t h e s i s .
A n a i r c r a f t c a n b e r e g a r d e d a s a s y s t e m h a v i n g i n p u t a n d o u t p u t s i g n a l s . P a -
r a m e t e r s t h a t v a r y d u r i n g o p e r a t i o n o f a s y s t e m c a u s e u n c e r t a i n t y i n t h e b e h a v i o u r
o f t h e s y s t e m . T h e s e u n c e r t a i n p a r a m e t e r s c a n b e m o d e l l e d a s s t r u c t u r e d u n c e r -
t a i n t y i n t h e s y s t e m u s i n g p a r a m e t r i c u n c e r t a i n t y m o d e l l i n g . I n t h e d e s i g n p r o j e c t
a p r o c e d u r e h a s b e e n d e v e l o p e d t h a t i l l u s t r a t e s h o w v a r i a t i o n s i n t h r e e o r m o r e
p a r a m e t e r s c a n b e d e a l t w i t h , a s o p p o s e d t o t h e m o r e c o n v e n t i o n a l m o d e l l i n g o f
o n l y o n e o r t w o u n c e r t a i n p a r a m e t e r s . C o m p u t a t i o n a l a s p e c t s h a v e b e e n c o n s i d e r e d
t o m i n i m i z e c o m p u t a t i o n t i m e . B e s i d e s t h e p a r a m e t r i c u n c e r t a i n t y , a l s o e x t e r n a l
i
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d i s t u r b a n c e s b y w i n d a n d t u r b u l e n c e h a v e b e e n t a k e n i n t o a c c o u n t .
U s i n g s y n t h e s i s , a i g h t c o n t r o l s y s t e m h a s b e e n d e s i g n e d f o r t h e m o d e l o f
t h e s y m m e t r i c d y n a m i c s o f t h e a i r c r a f t . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e c o n t r o l l e r h a s b e e n
a n a l y s e d b y a n a l y s i s a n d c l o s e d - l o o p t i m e r e s p o n s e s .
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S a m e n v a t t i n g ( S u m m a r y i n
D u t c h )
E e n F l i g h t C o n t r o l S y s t e m ( F C S ) z o r g t v o o r s t a b i l i t e i t e n a u t o m a t i s c h e b e s t u r i n g
v a n e e n v l i e g t u i g . D a a r n a a s t h e e f t e e n F C S e e n s t e e d s g r o t e r e i n v l o e d o p d e k o s t e n
e n p r e s t a t i e s v a n m o d e r n e c i v i e l e e n m i l i t a i r e v l i e g t u i g e n . R o b u u s t e r e g e l t e c h n i e k
m a a k t h e t m o g e l i j k o m o p e e n s y s t e m a t i s c h e m a n i e r e e n F C S t e o n t w e r p e n e n t e
a n a l y s e r e n , z o d a n i g d a t h e t r e g e l s y s t e e m g o e d w e r k t v o o r a l l e m o g e l i j k e v l i e g t u i g -
e n v l i e g t o e s t a n d e n .
O n d e r b e p a a l d e v o o r w a a r d e n k u n n e n d e v l i e g t u i g b e w e g i n g e n o n t k o p p e l d w o r d e n
i n s y m m e t r i s c h e e n a s y m m e t r i s c h e b e w e g i n g e n . D i t m a a k t h e t m o g e l i j k o m a p a r t e
r e g e l a a r s t e o n t w e r p e n v o o r r e s p e c t i e v e l i j k d e s y m m e t r i s c h e e n d e a s y m m e t r i s c h e
b e w e g i n g e n . M e t b e h u l p v a n t e c h n i e k e n u i t d e r o b u u s t e r e g e l t e c h n i e k i s e e n r e g e -
l a a r o n t w o r p e n v o o r d e s y m m e t r i s c h e b e w e g i n g e n v a n e e n c i v i e l v l i e g t u i g v o o r h e t
a u t o m a t i s c h u i t v o e r e n v a n d e n a d e r i n g s v l u c h t .
R o b u u s t e r e g e l a a r s k u n n e n w o r d e n o n t w o r p e n m e t b e h u l p v a n H
1
o p t i m a l e
r e g e l t e c h n i e k . D e z e m e t h o d e k a n w o r d e n g e n t e r p r e t e e r d a l s h e t m i n i m a l i s e r e n v a n
d e o v e r d r a c h t s m a t r i x v a n e e n s y s t e e m o n d e r d e s l e c h t s d e n k b a r e o m s t a n d i g h e d e n .
D e m i n i m a l i s a t i e v i n d t h i e r p l a a t s o v e r a l l e r e g e l a a r s d i e h e t r e s u l t e r e n d e s y s t e e m
m e t d e r e g e l a a r ( h e t g e s l o t e n - l u s s y s t e e m ) s t a b i e l m a k e n . D e a l d u s g e v o n d e n r e g e -
l a a r g a r a n d e e r t s t a b i l i t e i t e n p r e s t a t i e v a n h e t g e s l o t e n - l u s s y s t e e m v o o r d e h e l e
k l a s s e v a n s y s t e m e n v o o r t g e b r a c h t d o o r d e o n z e k e r h e i d . O v e r h e t a l g e m e e n i s o n z e k -
e r h e i d a a n w e z i g b i j v e r s c h i l l e n d e c o m p o n e n t e n v a n h e t s y s t e e m e n d u s s t e r k g e s t r u c -
t u r e e r d . E e n m a a t v o o r r o b u u s t h e i d d i e e x p l i c i e t d e g e s t r u c t u r e e r d e o n z e k e r h e i d i n
b e s c h o u w i n g n e e m t , w o r d t g e g e v e n d o o r d e g e s t r u c t u r e e r d e s i n g u l i e r e w a a r d e ( )
v a n e e n s y s t e e m . D e i n v l o e d v a n d e g e s t r u c t u r e e r d e o n z e k e r h e i d o p d e p r e s t a t i e s v a n
h e t s y s t e e m k a n w o r d e n g e a n a l y s e e r d m e t b e h u l p v a n - a n a l y s e . E e n c o m b i n a t i e v a n
H
1
o p t i m a l e r e g e l t e c h n i e k e n - a n a l y s e l e v e r t e e n m o d e r n e t e c h n i e k o m r o b u u s t e
r e g e l s y s t e m e n t e o n t w e r p e n e n t e a n a l y s e r e n . D e z e t e c h n i e k h e e t - s y n t h e s e .
E e n v l i e g t u i g k a n w o r d e n o p g e v a t a l s e e n s y s t e e m m e t i n g a n g s - e n u i t g a n g s s i g -
n a l e n . P a r a m e t e r s d i e k u n n e n v a r i e r e n t i j d e n s d e w e r k i n g v a n h e t s y s t e e m l e i d e n t o t
o n z e k e r h e d e n i n h e t g e d r a g v a n h e t s y s t e e m . D e p a r a m e t e r s k u n n e n w o r d e n g e m o d -
e l l e e r d a l s g e s t r u c t u r e e r d e o n z e k e r h e i d i n h e t s y s t e e m . T i j d e n s h e t m o d e l l e r e n v a n
h e t v l i e g t u i g i s r e k e n i n g g e h o u d e n m e t v a r i a t i e s i n v i e r v e r s c h i l l e n d e p a r a m e t e r s .
i i i
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H i e r v o o r i s e e n m e t h o d e o n t w i k k e l d o m v a r i a t i e s i n m e e r d e r e p a r a m e t e r s t e k u n n e n
b e h a n d e l e n , w a a r b i j r e k e n t e c h n i s c h e a s p e c t e n i n o g e n s c h o u w z i j n g e n o m e n o m d e
r e k e n t i j d t e m i n i m a l i s e r e n . N a a s t d e p a r a m e t r i s c h e o n z e k e r h e i d i s b i j h e t m o d e l l e r e n
v a n h e t v l i e g t u i g o o k r e k e n i n g g e h o u d e n m e t e x t e r n e v e r s t o r i n g e n v a n h e t s y s t e e m
d o o r w i n d e n t u r b u l e n t i e .
M e t b e h u l p v a n - s y n t h e s e i s e e n r e g e l a a r o n t w o r p e n v o o r h e t m o d e l v a n d e s y m -
m e t r i s c h e v l i e g t u i g b e w e g i n g e n . D e p r e s t a t i e v a n d e r e g e l a a r i s g e t e s t d o o r m i d d e l
v a n - a n a l y s e e n g e s l o t e n - l u s t i j d s r e s p o n s i e s .
-
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P r e f a c e
T h i s r e p o r t p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f t h e p r o j e c t e x e c u t e d a t t h e N a t i o n a l A e r o s p a c e
L a b o r a t o r y N L R w i t h i n t h e s c o p e o f t h e s e c o n d y e a r d e s i g n p r o j e c t o f t h e p o s t - M S c
m a t h e m a t i c a l d e s i g n e n g i n e e r i n g p r o g r a m m e \ W i s k u n d i g e B e h e e r s - e n B e l e i d s m o d -
e l l e n " ( W B B M ) o f t h e D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ( T U D ) .
I n J u n e , 1 9 9 5 , a n a c t i o n g r o u p o f t h e G r o u p f o r A e r o n a u t i c a l R e s e a r c h a n d T e c h -
n o l o g y i n E u r o p e ( G A R T E U R ) s t a r t e d t h e R o b u s t F l i g h t C o n t r o l D e s i g n C h a l l e n g e .
I n t h i s d e s i g n c h a l l e n g e a c i v i l a n d m i l i t a r y r o b u s t i g h t c o n t r o l d e s i g n p r o b l e m h a v e
b e e n f o r m u l a t e d w h i c h a r e s o l v e d b y 2 2 r e s e a r c h g r o u p s o f t h e E u r o p e a n a e r o n a u t i c a l
i n d u s t r y , u n i v e r s i t i e s , a n d r e s e a r c h l a b o r a t o r i e s .
M y t a s k a t N L R h a s b e e n t o w o r k o n t h e c i v i l a i r c r a f t c o n t r o l p r o b l e m . T h e
p r o b l e m i s b a s e d o n t h e R e s e a r c h C i v i l A i r c r a f t M o d e l ( R C A M ) a n d c o n s i d e r s a
c i v i l a i r c r a f t d u r i n g n a l a p p r o a c h .
R o u g h l y t h e r s t h a l f y e a r o f m y s t a y a t N L R , I s t u d i e d t h e m e t h o d s o f r o b u s t
c o n t r o l . T h e s t u d y i n v o l v e d a n e x t e n s i v e l i t e r a t u r e s t u d y a n d e x p e r i m e n t i n g w i t h
t h e r e l e v a n t M A T L A B t o o l b o x e s . A d d i t i o n a l l y , I d i d s o m e w o r k o n t h e m i l i t a r y
c o n t r o l p r o b l e m , t h e H i g h I n c i d e n c e R e s e a r c h M o d e l ( H I R M ) b e n c h m a r k . T h i s
p e r i o d r e s u l t e d i n a n N L R t e c h n i c a l r e p o r t 1 4 ] .
D u r i n g t h i s p e r i o d I a l s o a s s i s t e d i n t h e e d i t i n g o f t h e H I R M m a n u a l . M o r e o v e r ,
I s t a r t e d j o i n i n g t h e A u t o m a t i c F l i g h t C o n t r o l ( A F C ) m e e t i n g s o f t h e S t a b i l i t y a n d
C o n t r o l G r o u p o f t h e F a c u l t y o f A e r o s p a c e a t T U D . T h e A F C m e e t i n g s a r e o r g a n i z e d
b y J . C . v a n d e r V a a r t a n d a r e i n t e n d e d f o r P h D s t u d e n t s a n d s t u d e n t s i n t h e l a s t
s t a g e o f t h e i r s t u d y w h o a r e i n t e r e s t e d i n i g h t c o n t r o l .
T h e s e c o n d p a r t o f m y s t a y a t N L R , I w a s e n g a g e d w i t h t h e R C A M b e n c h m a r k .
D u r i n g t h i s p e r i o d I d e v e l o p e d s o m e s o f t w a r e r o u t i n e s f o r u n c e r t a i n t y m o d e l l i n g
a n d c o n t r o l l e r d e s i g n . T h e s e t o o l s a r e b a s e d o n e x i s t i n g M A T L A B t o o l b o x e s . U s i n g
t h e s e t o o l s I d e s i g n e d a c o n t r o l l e r f o r t h e l o n g i t u d i n a l m o t i o n s o f t h e R C A M a i r c r a f t .
T h i s p e r i o d a l s o r e s u l t e d i n a n N L R t e c h n i c a l r e p o r t 1 5 ] .
A t N L R , I t h a n k T o n n y t e n D a m o f M a t h e m a t i c a l M o d e l s a n d M e t h o d s , a n d J a n
T e r l o u w , J a n S c h u r i n g a n d P a u l L a m b r e c h t s o f F l i g h t M e c h a n i c s , f o r t h e i r s u p p o r t
d u r i n g m y s t a y a t N L R .
A t T U D , I t h a n k G e e r t J a n O l s d e r a n d J a c o b v a n d e r W o u d e f o r t h e i r s u p p o r t
f r o m t h e u n i v e r s i t y s i d e .
I t h a n k H a n s v a n M a a r e n f o r t h e o p p o r t u n i t y o f j o i n i n g t h e p o s t - M S c p r o g r a m m e
v
-
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9/92
v i
a n d t h e r e b y g i v i n g m e t h e c h a n c e t o f u r t h e r d e v e l o p m y i n t e r e s t i n t h e a p p l i e d
m a t h e m a t i c s . F i n a l l y I t h a n k m y c o l l e a g u e s , a n d e s p e c i a l l y m y r o o m - m a t e s , a t t h e
S t a t i s t i c s , S t o c h a s t i c s , a n d O p e r a t i o n s R e s e a r c h U n i t a t T U D f o r a g r e a t w o r k i n g
a t m o s p h e r e . M y d e e p e s t a p p r e c i a t i o n g o e s t o G u i d o t e B r a k e w h o m a n a g e d t o
s u r v i v e m y c o m p a n y f o r o v e r 1 0 h o u r s a ( w o r k i n g ) d a y d u r i n g w h o l e 1 9 9 4 , i n c l u d i n g
r o o m - m a t i n g a n d c a r - p o o l i n g .
R o b G o v e r d e
D e l f t , J a n u a r y 1 9 9 6
-
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C o n t e n t s
S u m m a r y i
S a m e n v a t t i n g ( S u m m a r y i n D u t c h ) i i i
P r e f a c e v
1 I n t r o d u c t i o n 1
1 . 1 R o b u s t F l i g h t C o n t r o l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1 . 2 T h e G A R T E U R P r o j e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1 . 3 T h e R C A M D e s i g n B e n c h m a r k : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3
1 4 S y n t h e s i s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
1 . 5 T h e D e s i g n P r o j e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1 . 6 O u t l i n e o f t h e R e p o r t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
2 R o b u s t C o n t r o l T h e o r y 6
2 . 1 S y s t e m D e s c r i p t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
2 . 1 . 1 S t a t e - S p a c e R e a l i z a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
2 . 1 . 2 T r a n s f e r M a t r i c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
2 . 1 . 3 L i n e a r F r a c t i o n a l T r a n s f o r m a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : 7
2 . 2 L i n e a r F e e d b a c k C o n t r o l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
2 3 H
1
O p t i m a l C o n t r o l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
2 . 4 U n c e r t a i n t y M o d e l l i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3
2 . 4 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3
2 . 4 . 2 I n t e r c o n n e c t i o n s o f L F T s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3
2 . 4 . 3 R e a l P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5
2 . 5 T h e S t r u c t u r e d S i n g u l a r V a l u e ( ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
2 6 A n a l y s i s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2
2 7 S y n t h e s i s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4
2 . 8 C o n t r o l S y s t e m D e s i g n C y c l e D e s c r i p t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7
2 . 9 A d d i t i o n a l R e a d i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7
3 C o n t r o l P r o b l e m F o r m u l a t i o n 2 9
3 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9
v i i
-
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v i i i C o n t e n t s
3 . 2 A i r c r a f t M o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0
3 . 2 . 1 L o n g i t u d i n a l D y n a m i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0
3 . 2 . 2 M e a s u r e m e n t S i g n a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1
3 . 2 . 3 A c t u a t o r S i g n a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1
3 . 3 A c t u a t o r M o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2
3 . 4 W i n d a n d T u r b u l e n c e M o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2
3 . 5 R e f e r e n c e S i g n a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4
4 M o d e l l i n g 3 5
4 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5
4 . 2 P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y M o d e l l i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6
4 . 2 . 1 O n e U n c e r t a i n P a r a m e t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6
4 . 2 . 2 T w o U n c e r t a i n P a r a m e t e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9
4 . 2 . 3 F o u r U n c e r t a i n P a r a m e t e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1
4 . 3 S t a n d a r d P l a n t f o r C o n t r o l l e r D e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4
5 C o n t r o l l e r D e s i g n P r o c e s s 4 9
5 . 1 R o b u s t C o n t r o l l e r D e s i g n f o r 1 - D i m e n s i o n a l P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y 4 9
5 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
5 . 1 . 2 D - K I t e r a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
5 . 1 . 3 C o n t r o l l e r O r d e r R e d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2
5 . 2 R o b u s t C o n t r o l l e r D e s i g n f o r 4 - D i m e n s i o n a l P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y 5 2
5 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2
5 . 2 . 2 D - K I t e r a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2
5 . 2 . 3 C o n t r o l l e r O r d e r R e d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 8
6 A n a l y s i s o f t h e D e s i g n e d C o n t r o l l e r 6 2
6 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2
6 2 A n a l y s i s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2
6 . 3 T i m e R e s p o n s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3
7 C o n c l u s i o n s a n d R e c o m m e n d a t i o n s 6 8
R e f e r e n c e s 7 1
A S o f t w a r e D e s c r i p t i o n 7 4
A . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4
A . 2 P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y M o d e l l i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4
A . 3 C o n t r o l l e r D e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
B N o m e n c l a t u r e 7 8
-
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12/92
C h a p t e r 1
I n t r o d u c t i o n
1 . 1 R o b u s t F l i g h t C o n t r o l
N o m a t h e m a t i c a l s y s t e m c a n e x a c t l y m o d e l a p h y s i c a l s y s t e m . U n c e r t a i n t y d u e t o
u n m o d e l l e d d y n a m i c s a n d u n c e r t a i n p a r a m e t e r s i s a l w a y s p r e s e n t . T w o a d d i t i o n a l
c a u s e s o f i n c o n s i s t e n c y b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l a n d t h e p h y s i c a l s y s t e m
a r e i n t e n t i o n a l m o d e l s i m p l i c a t i o n , s u c h a s l i n e a r i z a t i o n a n d m o d e l r e d u c t i o n , a n d
i n c o m p l e t e o r i n e x a c t d a t a f r o m i d e n t i c a t i o n e x p e r i m e n t s . R o b u s t c o n t r o l t h e o r y
d e a l s w i t h t h e a n a l y s i s a n d s y n t h e s i s o f c o n t r o l s y s t e m s f o r p l a n t s w i t h u n c e r t a i n t y .
A r o b u s t c o n t r o l s y s t e m c o p e s w i t h v a r i o u s s t a b i l i t y a n d p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s
i n t h e f a c e o f p l a n t u n c e r t a i n t y 8 ] .
S t a b i l i t y a n d c o n t r o l i s o n e o f t h e m a j o r t e c h n i c a l c h a l l e n g e s i n t h e d e s i g n o f a n
a i r c r a f t . F l i g h t c o n t r o l s y s t e m s m u s t f u n c t i o n p r o p e r l y i n a l l i g h t c o n d i t i o n s a n d
a i r c r a f t s t a t e s i n o r d e r t o e n s u r e s a f e t y o f i g h t . T h e a i r c r a f t i s a v e r y c o m p l e x s y s -
t e m w i t h l o t s o f u n c e r t a i n t i e s d u e t o u n m o d e l l e d d y n a m i c s , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y ,
s e n s o r n o i s e , a c t u a t o r e r r o r s , e t c . A l s o t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e a i r c r a f t a n d i t s
e n v i r o n m e n t h a s t o b e d e a l t w i t h , i n c l u d i n g w i n d d i s t u r b a n c e s s u c h a s w i n d s h e a r s ,
g u s t s , a n d t u r b u l e n c e . F u r t h e r m o r e , s p e c i a l s i t u a t i o n s s u c h a s e n g i n e f a i l u r e m a y
b e t a k e n i n t o a c c o u n t 2 , 9 ] .
B e s i d e s s t a b i l i t y a n d c o n t r o l , t h e c o n t r o l s y s t e m i s p l a y i n g a n i n c r e a s i n g l y i m p o r -
t a n t r o l e i n m e e t i n g c o s t a n d p e r f o r m a n c e o b j e c t i v e s f o r m o d e r n c i v i l a n d m i l i t a r y
a i r c r a f t . T h e s e o b j e c t i v e s m a y i n c l u d e c o m m a n d a n d s t a b i l i t y a u g m e n t a t i o n f o r
s u p e r i o r y i n g q u a l i t i e s a n d m a n o e u v r a b i l i t y ; a u t o m a t i c i g h t t r a j e c t o r y a n d s p e e d
c o n t r o l f o r o p e r a t i o n s i n a l l w e a t h e r c o n d i t i o n s ; m a n o e u v r e a n d g u s t l o a d r e d u c t i o n
f o r e x t e n d e d s e r v i c e l i f e ; r i d e q u a l i t y e n h a n c e m e n t s f o r c r e w a n d p a s s e n g e r c o m -
f o r t ; a e r o d y n a m i c a n d p r o p u l s i o n p e r f o r m a n c e o p t i m i z a t i o n f o r r e d u c e d o p e r a t i n g
c o s t ; u t t e r s u p p r e s s i o n a n d f a i l u r e o r b a t t l e d a m a g e r e c o n g u r a t i o n f o r e n h a n c e d
s a f e t y 2 ] . T h e c o n t r o l s y s t e m h a s t o p r o v i d e s t a b i l i t y a n d a c h i e v e t h e p e r f o r m a n c e
r e q u i r e m e n t s i n t h e f a c e o f u n c e r t a i n t y , w i t h o u t b e i n g c o n s e r v a t i v e , s i n c e c o n t r o l
l a w s t h a t m e e t t h e p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s f o r u n r e a l i s t i c l e v e l s o f u n c e r t a i n t y
1
-
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13/92
2 C h a p t e r 1 I n t r o d u c t i o n
s a c r i c e p e r f o r m a n c e w h e n a p p l i e d t o t h e r e a l s y s t e m .
F l i g h t c o n t r o l s y s t e m d e s i g n b y c l a s s i c a l c o n t r o l m e t h o d s i s t i m e - c o n s u m i n g a n d
e x p e n s i v e . T h i s i s d u e t o t h e u n c e r t a i n t i e s t h a t o c c u r i n c h a r a c t e r i z i n g t h e a i r c r a f t
a n d t h e e n v i r o n m e n t i n w h i c h i t h a s t o o p e r a t e . C l a s s i c a l c o n t r o l t h e o r y d o e s n o t
e x p l i c i t l y d e a l w i t h t h e s e u n c e r t a i n t i e s . A s a c o n s e q u e n c e t h e c o n t r o l e n g i n e e r h a s t o
s p e n d a l a r g e a m o u n t o f t i m e i n v e s t i g a t i n g t h e e e c t o f t h e n e g l e c t e d u n c e r t a i n t i e s
o n t h e d e s i g n e d c o n t r o l s y s t e m . E v e n t h e n i t i s n o t g u a r a n t e e d t h a t p r o b l e m s d o
n o t o c c u r i n t h e n a l p h a s e s o f a d e s i g n p r o g r a m m e b e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f
u n e x p e c t e d o r u n m o d e l l e d d y n a m i c s , e t c . R e c t i f y i n g t h e s e p r o b l e m s a t t h i s l a t e
s t a g e i s v e r y d i c u l t a n d e x p e n s i v e .
R o b u s t c o n t r o l t h e o r y y i e l d s n e w d e s i g n a p p r o a c h e s t o d e a l w i t h c o m p l e x m u l t i -
v a r i a b l e c o n t r o l s y s t e m s . I t h a s b e e n e s p e c i a l l y d e v e l o p e d t o d e a l w i t h u n c e r t a i n t i e s
i n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e v e h i c l e a n d t h e e n v i r o n m e n t i n w h i c h i t h a s t o o p e r a t e .
I t o e r s a s y s t e m a t i c a p p r o a c h t o i n v e s t i g a t i n g a n d e v a l u a t i n g t h e e e c t s o f m a n y
u n c e r t a i n t i e s o n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e o v e r a l l s y s t e m . A s a c o n s e q u e n c e i g h t
c o n t r o l s y s t e m s d e s i g n e d u s i n g r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e s m a y g i v e a r e d u c t i o n i n
t i m e a n d c o s t o f t h e i g h t c o n t r o l d e s i g n p r o c e s s . M o r e o v e r , a i r c r a f t w i t h i m p r o v e d
p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s m a y b e d e s i g n e d 9 ] .
1 . 2 T h e G A R T E U R P r o j e c t
R o b u s t c o n t r o l h a s b e e n w e l l a s s e s s e d i n l i t e r a t u r e , w h e r e a g r e a t n u m b e r o f p a p e r s
c a n b e f o u n d d e a l i n g w i t h t h e v a r i o u s a s p e c t s o f r o b u s t n e s s , p a r a m e t e r v a r i a t i o n s ,
m o d e l l i n g u n c e r t a i n t y , u n m o d e l l e d d y n a m i c s , e t c . A t t h e s a m e t i m e a w i d e v a r i -
e t y o f a l g o r i t h m s i m p l e m e n t i n g r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e s c a n b e f o u n d i n m a n y
t e c h n i c a l r e p o r t s a n d g e n e r a l p u r p o s e s o f t w a r e , s u c h a s M A T L A B = S I M U L I N K a n d
M A T R I X
X
H o w e v e r , r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e s a r e s e l d o m l y u s e d b y E u r o p e a n a i r c r a f t m a n -
u f a c t u r e r s f o r t h e d e s i g n o f i g h t c o n t r o l s y s t e m s . T h e r e a r e t h r e e m a i n r e a s o n s f o r
t h i s :
T h e a p p l i c a t i o n o f r o b u s t c o n t r o l t h e o r y t o t h e a i r c r a f t c o n t r o l l a w d e s i g n
p r o b l e m h a s n o t b e e n d e m o n s t r a t e d . T h e t e c h n i q u e s a n d a l g o r i t h m s a s s o -
c i a t e d w i t h r o b u s t c o n t r o l t h e o r y a r e c l e a r l y e x p r e s s e d b u t d o n o t , i n t h e i r
c u r r e n t f o r m , l e n d t h e m s e l v e s t o d i r e c t i g h t c o n t r o l s y s t e m s a p p l i c a t i o n .
T h e r e a r e a l i m i t e d n u m b e r o f d e d i c a t e d r o b u s t c o n t r o l d e s i g n t o o l s , w h i l e
m o s t m a n u f a c t u r e r s h a v e a n e x t e n s i v e s u i t e o f c l a s s i c a l c o n t r o l d e s i g n t o o l s
t h a t t h e y h a v e d e v e l o p e d o v e r a p e r i o d o f s e v e r a l y e a r s .
T h e r e i s n o s p e c i c b i b l i o g r a p h i c s o u r c e a v a i l a b l e o n r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e s .
C o n s e q u e n t l y , a l o t o f t i m e h a s t o b e s p e n t i n s e a r c h i n g f o r a p p r o p r i a t e r e f e r -
e n c e s i n a v a r i e t y o f w i d e l y d i s t r i b u t e d l i b r a r i e s , j o u r n a l s , a n d g e n e r a l p u r p o s e
d a t a - b a s e s .
-
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14/92
1 . 3 . T h e R C A M D e s i g n B e n c h m a r k 3
T h e G r o u p f o r A e r o n a u t i c a l R e s e a r c h a n d T e c h n o l o g y i n E u r o p e ( G A R T E U R )
i s a n o r g a n i z a t i o n f o r r e s e a r c h c o l l a b o r a t i o n i n E u r o p e i n t h e e l d o f a e r o n a u t i c s .
T h e G A R T E U R a c t i o n g r o u p F M ( A G 0 8 ) ( F l i g h t M e c h a n i c s A c t i o n G r o u p 0 8 ) i s
c o n c e r n e d w i t h \ R o b u s t F l i g h t C o n t r o l i n a C o m p u t a t i o n a l A i r c r a f t C o n t r o l E n -
g i n e e r i n g E n v i r o n m e n t ( C A C E E ) " . S u b p r o j e c t F M - A G 0 3 - 3 a i m s a t r e m o v i n g t h e
a b o v e m e n t i o n e d d r a w b a c k s a n d a t d e m o n s t r a t i n g t o E u r o p e a n a i r c r a f t m a n u f a c -
t u r e r s t h a t a s i g n i c a n t i m p r o v e m e n t i n t h e o v e r a l l d e s i g n p r o c e s s i s p o s s i b l e b y
u s i n g r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e s . I n g r e a t e r d e t a i l , t h e a i m i s :
T o i d e n t i f y a n d a p p l y e x i s t i n g a n d n e w c o n t r o l l e r d e s i g n m e t h o d s t o r o b u s t
c o n t r o l p r o b l e m s t h a t a r e r e p r e s e n t a t i v e o f o p e r a t i o n a l i n d u s t r i a l n e e d s .
T o i n t r o d u c e r o b u s t c o n t r o l l e r d e s i g n a n d a n a l y s i s m e t h o d s i n t o t h e c o n t r o l
l a w d e s i g n c y c l e , i n o r d e r t o c o p e m o r e e c i e n t l y w i t h u n c e r t a i n t y i n t h e
m o d e l s u s e d a n d w i t h o p e r a t i o n a l c h a n g e s t h a t m a y o c c u r .
T o i d e n t i f y t o o l s w h i c h c a n b e u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h m u l t i - d i s c i p l i n a r y
d e s i g n o p t i m i z a t i o n t o i m p r o v e o v e r a l l d y n a m i c s y s t e m p e r f o r m a n c e .
T o d e v e l o p r o b u s t c o n t r o l l e r d e s i g n p r o c e d u r e s t h a t i n t e r f a c e w i t h i n d u s t r i a l
r e q u i r e m e n t s .
T h e G A R T E U R a c t i o n g r o u p F M ( A G 0 8 ) h a s d e n e d t w o r o b u s t i g h t c o n t r o l
d e s i g n b e n c h m a r k s , w h i c h a r e s o l v e d b y d e s i g n e r s f r o m t h e E u r o p e a n a e r o n a u t i c a l
i n d u s t r y , r e s e a r c h e s t a b l i s h m e n t s , a n d u n i v e r s i t i e s . A w i d e v a r i e t y o f m o d e r n a n d
c l a s s i c a l d e s i g n m e t h o d s a r e a p p l i e d , w h i c h w i l l t h e n b e c o m p a r e d a n d e v a l u a t e d .
T h e t w o b e n c h m a r k s c o v e r a n a u t o m a t i c l a n d i n g c o n t r o l p r o b l e m f o r t h e R e s e a r c h
C i v i l A i r c r a f t M o d e l ( R C A M ) 9 ] a n d a h i g h a n g l e o f a t t a c k e n h a n c e d m a n u a l c o n t r o l
p r o b l e m f o r t h e H i g h I n c i d e n c e R e s e a r c h M o d e l ( H I R M ) 1 0 ] , r e s p e c t i v e l y .
1 . 3 T h e R C A M D e s i g n B e n c h m a r k
T h e R C A M b e n c h m a r k p r o b l e m i s e s s e n t i a l l y t h e d e s i g n o f a n a u t o p i l o t f o r t h e
n a l a p p r o a c h o f a c i v i l a i r c r a f t . A n o n l i n e a r m o d e l h a s b e e n s u p p l i e d t o b e u s e d
f o r d e s i g n a n d s i m u l a t i o n . T h e p r o b l e m f o r m u l a t i o n i s i n t e n d e d t o b e \ n o n - t r i v i a l "
f o r i g h t c o n t r o l s y s t e m d e s i g n : a r e a l i s t i c s e t o f d e s i g n s p e c i c a t i o n s h a s b e e n
f o r m u l a t e d i n w h i c h a n u m b e r o f i m p o r t a n t t r a d e - o s i s t o b e c o n s i d e r e d . O n
t h e o t h e r h a n d , i t m a y n o t b e e x p e c t e d t h a t t h e s e s p e c i c a t i o n s a r e c o m p l e t e f o r
a c t u a l i g h t c o n t r o l s y s t e m d e s i g n . A f u l l y a u t o m a t e d e v a l u a t i o n p r o c e d u r e h a s
b e e n d e v e l o p e d t o b e a b l e t o c o m p a r e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e r e s u l t i n g c o n t r o l l e r s ,
i r r e s p e c t i v e o f t h e m e t h o d s u s e d t o d e s i g n t h e m .
I t i s e x p e c t e d f r o m d e s i g n b e n c h m a r k p a r t i c i p a n t s t h a t t h e y s u p p l y i n s i g h t i n t h e
u s e f u l n e s s o f t h e c o n s i d e r e d m e t h o d , n o t o n l y i n t h e s e n s e o f c o n t r o l l e r p e r f o r m a n c e ,
-
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15/92
4 C h a p t e r 1 I n t r o d u c t i o n
b u t a l s o i n t h e s e n s e o f c o n t r o l l e r c o m p l e x i t y a n d c o n t r o l l e r d e s i g n t i m e . E s p e c i a l l y
t h e l a t t e r i s c o n s i d e r e d t o b e o f t h e u t m o s t i m p o r t a n c e f o r t h e a i r c r a f t i n d u s t r y .
I n p a r t i c u l a r , t h e d e s i g n e d c o n t r o l l e r s h o u l d b e r o b u s t w i t h r e s p e c t t o v a r i a t i o n s
i n w e i g h t a n d c e n t e r o f g r a v i t y p o s i t i o n , t i m e d e l a y s , n o n l i n e a r i t i e s , a n d e n g i n e f a i l -
u r e . M o r e o v e r , v a r i o u s e x t e r n a l c o n d i t i o n s s u c h a s w i n d s h e a r a n d t u r b u l e n c e h a v e
t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t . A l s o p a s s e n g e r c o m f o r t , s a f e t y , a n d p o w e r c o n s u m p t i o n
c r i t e r i a h a v e t o b e c o n s i d e r e d .
T h e p r e s e n t r e p o r t d e a l s w i t h t h e d e s i g n o f t h e R C A M d e s i g n b e n c h m a r k u s i n g
s y n t h e s i s . T h e d e s i g n c o v e r s t h e i g h t c o n t r o l s y s t e m f o r t h e s y m m e t r i c ( l o n g i t u d i -
n a l ) m o t i o n s o f t h e R C A M a i r c r a f t . R o b u s t n e s s w i t h r e s p e c t t o v a r i a t i o n s i n w e i g h t
a n d c e n t e r o f g r a v i t y p o s i t i o n i s c o n s i d e r e d e x p l i c i t l y . T i m e d e l a y i s n o t c o n s i d e r e d
i n t h e p r e s e n t d e s i g n .
1 . 4 S y n t h e s i s
A m o d e r n r o b u s t c o n t r o l a p p r o a c h i s H
1
o p t i m a l c o n t r o l t h e o r y . F u r t h e r m o r e , a
p o w e r f u l t o o l t o m e a s u r e r o b u s t n e s s i s s t r u c t u r e d s i n g u l a r v a l u e ( ) a n a l y s i s A
c o m b i n a t i o n o f H
1
o p t i m a l c o n t r o l t h e o r y a n d a n a l y s i s r e s u l t s i n s y n t h e s i s
w h i c h p r o v i d e s a m o d e r n a p p r o a c h t o d e s i g n a n d a n a l y s e r o b u s t c o n t r o l s y s t e m s .
H
1
o p t i m a l c o n t r o l t h e o r y i s a h i g h l y d e v e l o p e d t h e o r y w h i c h y i e l d s c o n t r o l l a w s
s u c h t h a t e v e n i n t h e w o r s t c a s e s c e n a r i o t h e s t a b i l i t y a n d p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s
a r e s t i l l m e t . O f c o u r s e , t h e s u c c e s s o f n d i n g s u c h a c o n t r o l l e r d e p e n d s o n t h e
p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . I f t h e s e a r e t o o d e m a n d i n g , n o c o n t r o l l e r c a n b e f o u n d .
I n t h i s c a s e , t h e o b j e c t i v e s h a v e t o b e a d j u s t e d . A n e c i e n t s y n t h e s i s m e t h o d h a s
b e e n d e v e l o p e d u s i n g s t a t e - s p a c e a l g o r i t h m s . H o w e v e r , t h i s a p p r o a c h m a y l e a d t o
c o n s e r v a t i v e r e s u l t s , s i n c e i t n e g l e c t s p o s s i b l e k n o w l e d g e o f s t r u c t u r e i n t h e u n c e r t a i n
m o d e l 4 , 1 7 ] .
A w a y t o g a i n b e t t e r r e s u l t s i s t o e x p l o i t a v a i l a b l e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t r u c t u r e
o f t h e u n c e r t a i n t y . T h r o u g h o u t t h e s y s t e m , u n c e r t a i n t i e s m a y b e p r e s e n t . I n s t e a d
o f m o d e l l i n g t h e s e u n c e r t a i n t i e s a s u n s t r u c t u r e d , t h e g e n e r a l u n c e r t a i n t i e s a t t h e
v a r i o u s c o m p o n e n t s c a n b e t a k e n i n t o a c c o u n t o n e b y o n e e x p l i c i t l y , a n d r e a r r a n g e d
t o f o r m s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y a t t h e s y s t e m l e v e l . T h i s u n c e r t a i n t y m o d e l l i n g i s
d o n e b y m a k i n g e x t e n s i v e u s e o f t h e t h e o r y o f l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s
( L F T s ) 5 , 1 6 ] .
T h e i n u e n c e o f s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y o n s y s t e m p e r f o r m a n c e c a n e x p l i c i t l y
b e a n a l y s e d b y a p p l y i n g a n a l y s i s A n a l y s i s i s t h e r e f o r e a p o w e r f u l t o o l t o
a n a l y s e c o n t r o l s y s t e m s f o r u n c e r t a i n s y s t e m s i n a n o n c o n s e r v a t i v e w a y a n d d u r i n g
t h e l a s t d e c a d e a l o t o f r e s e a r c h h a s b e e n d o n e i n t h i s a r e a . U n f o r t u n a t e l y , n o
e e c t i v e s y n t h e s i s m e t h o d s h a v e y e t b e e n d e v e l o p e d t o a p p l y a n a l y s i s i n t h e
d e s i g n p r o c e s s o f c o n t r o l s y s t e m s w i t h g e n e r a l u n c e r t a i n t y s t r u c t u r e . H o w e v e r , f o r
a r e s t r i c t e d c l a s s o f m o d e l l e d u n c e r t a i n t i e s | b o u n d e d c o m p l e x p e r t u r b a t i o n s o f t h e
s y s t e m | a - s y n t h e s i s m e t h o d h a s b e e n d e v e l o p e d , f o r w h i c h t h e D - K i t e r a t i o n
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
16/92
1 . 5 . T h e D e s i g n P r o j e c t 5
a p p r o a c h y i e l d s g o o d r e s u l t s d e s p i t e p r e s e n t l y u n s o l v e d c o n v e r g e n c e p r o b l e m s . T h e
- s y n t h e s i s p r o b l e m i s s o l v e d h e r e b y s e q u e n t i a l l y a p p l y i n g H
1
s y n t h e s i s a n d
a n a l y s i s 1 , 3 , 1 8 ] .
1 . 5 T h e D e s i g n P r o j e c t
T h e p r o j e c t t h a t i s t h e s u b j e c t o f t h i s r e p o r t , h a s b e e n e x e c u t e d a t t h e N a t i o n a l
A e r o s p a c e L a b o r a t o r y N L R w i t h i n t h e s c o p e o f t h e p o s t - M S c m a t h e m a t i c a l e n g i -
n e e r i n g p r o g r a m m e W B B M o f T U D . T h e p r o j e c t h a s b e e n s u p e r v i s e d b y A . A . t e n
D a m , J . S c h u r i n g , a n d J . C . T e r l o u w a t N L R , a n d G . J . O l s d e r a n d J . W . v a n d e r
W o u d e a t T U D .
T h e s u b j e c t o f t h e d e s i g n p r o j e c t w a s t h e d e s i g n o f a r o b u s t c o n t r o l l e r w i t h i n t h e
f r a m e w o r k o f t h e R C A M d e s i g n b e n c h m a r k . T h e a p p l i e d r o b u s t c o n t r o l a p p r o a c h
h a s b e e n s y n t h e s i s . T h i s a p p r o a c h h a s b e e n s u g g e s t e d b y N L R m o t i v a t e d b y t h e i r
g o o d e x p e r i e n c e w i t h t h i s d e s i g n m e t h o d .
B y t h e n a t u r e o f t h e c o n t r o l p r o b l e m a p a r a m e t r i c u n c e r t a i n t y m o d e l l i n g a p -
p r o a c h h a s b e e n a p p l i e d , a s o p p o s e d t o c o m p l e x u n c e r t a i n t y m o d e l l i n g u s i n g m u l t i -
p l i c a t i v e a n d a d d i t i v e c o m p l e x p e r t u r b a t i o n s o f t h e s y s t e m t o c o v e r t h e u n c e r t a i n t y .
D u e t o a l i m i t a t i o n i n t i m e , t h e d e s i g n p r o j e c t h a s b e e n c o n c e n t r a t e d o n t h e d e -
s i g n o f a l o n g i t u d i n a l c o n t r o l l e r f o r t h e R C A M i g h t c o n t r o l p r o b l e m . T h e m o d e l l i n g
o f 4 - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y h a s b e e n e m p h a s i z e d a n d c o m p u t a t i o n a l a s -
p e c t s h a v e b e e n c o n s i d e r e d .
1 . 6 O u t l i n e o f t h e R e p o r t
C h a p t e r 2 p r e s e n t s t h e t h e o r y o f r o b u s t c o n t r o l a s u s e d f o r t h e R C A M i g h t c o n t r o l
s y s t e m d e s i g n . T h e f o u n d a t i o n s t o t h e - s y n t h e s i s a p p r o a c h a r e d e a l t w i t h , i n c l u d i n g
u n c e r t a i n t y m o d e l l i n g , H
1
o p t i m a l c o n t r o l , c o m p u t a t i o n a l i s s u e s o f , a n a l y s i s ,
a n d D - K i t e r a t i o n .
C h a p t e r 3 f o r m u l a t e s t h e c o n t r o l p r o b l e m t h a t h a s b e e n i n v e s t i g a t e d . T h i s i n -
c l u d e s a d e s c r i p t i o n o f t h e a i r c r a f t v a r i a b l e s , t h e a c t u a t o r m o d e l , a n d t h e w i n d a n d
t u r b u l e n c e m o d e l s .
C h a p t e r 4 g i v e s a p r o c e d u r e t o o b t a i n a n u n c e r t a i n t y d e s c r i p t i o n o f t h e a i r c r a f t
i n t h e f o r m a t o f a n L F T d e s c r i p t i o n u s i n g p a r a m e t r i c u n c e r t a i n t y m o d e l l i n g . A l s o
t h e s t a n d a r d p l a n t i s f o r m u l a t e d f o r w h i c h a c o n t r o l l e r h a s t o b e d e s i g n e d .
C h a p t e r 5 d e s c r i b e s t h e a c t u a l c o n t r o l l e r d e s i g n p r o c e s s u s i n g s y n t h e s i s .
C h a p t e r 6 a n a l y s e s t h e d e s i g n e d c o n t r o l l e r i n t e r m s o f a n d c l o s e d - l o o p t i m e
r e s p o n s e s .
F i n a l l y , C h a p t e r 7 g i v e s c o n c l u s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s .
-
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17/92
C h a p t e r 2
R o b u s t C o n t r o l T h e o r y
2 . 1 S y s t e m D e s c r i p t i o n s
2 . 1 . 1 S t a t e - S p a c e R e a l i z a t i o n s
W e c o n s i d e r l i n e a r ( u n c e r t a i n ) s y s t e m s t h a t c a n b e d e s c r i b e d b y a s t a t e - s p a c e d e -
s c r i p t i o n a s f o l l o w s :
8
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
18/92
2 . 1 . S y s t e m D e s c r i p t i o n s 7
T h e s y s t e m m a t r i c e s A ; B ; C ; a n d D a r e c a l l e d t h e s t a t e m a t r i x , i n p u t m a t r i x , o u t p u t
m a t r i x , a n d d i r e c t - f e e d t h r o u g h m a t r i x , r e s p e c t i v e l y .
2 . 1 . 2 T r a n s f e r M a t r i c e s
B y t a k i n g t h e L a p l a c e t r a n s f o r m s , t h e t i m e - d o m a i n s y s t e m f u n c t i o n s o f t h e f o r m e r
s e c t i o n c a n b e m a p p e d i n t o f u n c t i o n s t h a t a r e d e n e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . T h e
t r a n s f e r m a t r i x G i s t h e i n p u t / o u t p u t r e l a t i o n d e n e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . I n
t e r m s o f s t a t e - s p a c e d a t a t h e t r a n s f e r m a t r i x i s g i v e n a s
G ( s ) =
G
1 1
G
1 2
G
2 1
G
2 2
;
w h e r e
G
i j
= C
i
( s I
n
? A )
? 1
B
j
+ D
i j
a n d s i s a c o m p l e x v a r i a b l e . F i g u r e 2 . 1 s h o w s t h e i n t e r p r e t a t i o n o f G ( s ) a s i n -
p u t / o u t p u t r e l a t i o n .
G
w
u
z
y
F i g u r e 2 . 1 : T r a n s f e r f u n c t i o n G
T h r o u g h o u t t h i s r e p o r t w e m a y r e f e r t o a s y s t e m b y e i t h e r i t s s t a t e - s p a c e d e -
s c r i p t i o n ( 2 . 1 ) o r i t s t r a n s f e r m a t r i x G
2 . 1 . 3 L i n e a r F r a c t i o n a l T r a n s f o r m a t i o n s
L e t P b e a m a t r i x p a r t i o n e d a s
P =
P
1 1
P
1 2
P
2 1
P
2 2
2 I R
( m
1
+ m
2
) ( p
1
+ p
2
)
T h e n w e d e n e t h e l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s ( L F T s ) a s t h e m a p s
F
l
( P ; ) : I R
p
2
m
2
! I R
m
1
p
1
; F
u
( P ; ) : I R
p
1
m
1
! I R
m
2
p
2
d e n e d b y
F
l
( P ;
l
) : = P
1 1
+ P
1 2
l
( I ? P
2 2
l
)
? 1
P
2 1
;
F
u
( P ;
u
) : = P
2 2
+ P
2 1
u
( I ? P
1 1
u
)
? 1
P
1 2
C l e a r l y t h e e x i s t e n c e o f t h e i n v e r s e s i n t h e d e n i t i o n s i s n e c e s s a r y f o r t h e L F T s t o
b e w e l l d e n e d . I f t h e s e i n v e r s e s e x i s t w e s a y t h a t t h e L F T s a r e w e l l - p o s e d . W e c a l l
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
19/92
8 C h a p t e r 2 R o b u s t C o n t r o l T h e o r y
P
P
l
P
u
w
u
z
y
w
u
z
y
w z
u y
a P
b F
l
( P ;
l
) c F
u
( P ;
u
)
F i g u r e 2 . 2 : L i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s .
P t h e ( l i n e a r f r a c t i o n a l ) c o e c i e n t m a t r i x , a n d
l
a n d
u
a r e c a l l e d p e r t u r b a t i o n s
M o r e g e n e r a l l y w e c a n i n t h e s a m e w a y d e n e L F T s w i t h r e s p e c t t o c o m p l e x r a t i o n a l
m a t r i c e s P ( s ) ,
l
( s ) , a n d
u
( s )
T h e L F T s a r i s e n a t u r a l l y i n s y s t e m t h e o r y w h e n d e s c r i b i n g f e e d b a c k s y s t e m s :
C o n s i d e r a t r a n s f e r m a t r i x P ( s ) w i t h i n p u t s w a n d u , a n d o u t p u t s z a n d y a s i n
F i g u r e 2 . 2 . a . T h e n t h e c l o s e d - l o o p t r a n s f e r m a t r i c e s f r o m w t o z o f F i g u r e 2 . 2 . b
a n d f r o m u t o y o f F i g u r e 2 . 2 . c a r e t h e L F T s F
l
( P ;
l
) a n d F
u
( P ;
u
) , r e s p e c t i v e l y .
T h e s u b s c r i p t s l a n d u r e f e r t o w h e t h e r w e a r e c l o s i n g t h e l o w e r o r u p p e r l o o p . W e
t h u s r e f e r t o l o w e r L F T s a s c l o s e d - l o o p s y s t e m s f r o m t h e e x o g e n o u s i n p u t t o t h e
o b j e c t i v e , a n d t o u p p e r L F T s a s c l o s e d - l o o p s y s t e m s f r o m t h e c o n t r o l i n p u t t o t h e
m e a s u r e m e n t .
T r a n s f e r f u n c t i o n s c a n a l s o b e r e p r e s e n t e d b y L F T s . C o n s i d e r t h e s t a t e - s p a c e
r e a l i z a t i o n o f a s y s t e m g i v e n a s
_x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t )
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t )
T h i s c a n b e r e f o r m u l a t e d a s
_x ( t )
y ( t )
=
A B
C D
x ( t )
u ( t )
= P
x ( t )
u ( t )
a n d t h e t r a n s f e r m a t r i x i s
G ( s ) = D + C ( s I ? A )
? 1
B
= D + C
1
s
I ( I ? A
1
s
I )
? 1
B
= F
u
( P ;
1
s
I )
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
20/92
2 . 2 . L i n e a r F e e d b a c k C o n t r o l 9
T h i s i s a n u p p e r L F T w i t h r e s p e c t t o a r e p e a t e d c o m p l e x s c a l a r p e r t u r b a t i o n
1
s
I
L F T s c a n b e u s e d b o t h t o d e s c r i b e l i n e a r f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m s a n d t o m o d e l
s y s t e m u n c e r t a i n t y . A s a m a t t e r o f c o n v e n t i o n w e r e s t r i c t t h e u s e o f t h e l o w e r L F T s
t o m o d e l f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m s a n d t h e u p p e r L F T s t o m o d e l s y s t e m u n c e r t a i n t y .
M o r e o v e r , L F T s h a v e t h e u s e f u l p r o p e r t y t h a t t h e i n t e r c o n n e c t i o n o f L F T s i s a g a i n
o n e L F T . T h e s e c o n c e p t s a r e e x p l a i n e d i n m o r e d e t a i l i n t h e n e x t s e c t i o n s .
2 . 2 L i n e a r F e e d b a c k C o n t r o l
T h e c o n t r o l i n p u t i s a b l e t o i n u e n c e t h e b e h a v i o u r o f t h e s y s t e m . B y u s i n g i n f o r -
m a t i o n o f t h e m e a s u r e m e n t o u t p u t , t h e c o n t r o l i n p u t c a n b e m a n i p u l a t e d t o g i v e
t h e s y s t e m a d e s i r e d b e h a v i o u r . T h i s i s t h e c o n c e p t o f d y n a m i c o u t p u t f e e d b a c k
c o n t r o l . T h e m e a s u r e m e n t o u t p u t i s h e r e f e d b a c k t o t h e c o n t r o l s y s t e m t h a t u s e s
t h i s i n f o r m a t i o n t o d e n e a c o n t r o l f u n c t i o n . T h i s c o n t r o l f u n c t i o n i s t h e n u s e d a s
c o n t r o l i n p u t . F i g u r e 2 . 3 i l l u s t r a t e s t h i s c o n c e p t . H e r e t h e c o n t r o l s y s t e m i s d e n o t e d
b y t h e t r a n s f e r m a t r i x K
T h e c o n t r o l s y s t e m i s d e n e d i n s t a t e - s p a c e d e s c r i p t i o n a s
_p ( t ) = P
1 1
p ( t ) + P
1 2
y ( t )
u ( t ) = P
2 1
p ( t ) + P
2 2
y ( t ) ;
w h e r e t h e m a t r i c e s P
i j
( 1 i ; j 2 ) h a v e a p p r o p r i a t e d i m e n s i o n s . T h e f u n c t i o n s
y a n d u a r e t h e m e a s u r e m e n t o u t p u t a n d c o n t r o l i n p u t o f t h e o r i g i n a l s y s t e m ,
r e s p e c t i v e l y . N o t e , t h a t t h e m e a s u r e m e n t f u n c t i o n i s t h e i n p u t t o t h e c o n t r o l s y s t e m
a n d t h e c o n t r o l f u n c t i o n i s t h e o u t p u t o f t h e c o n t r o l s y s t e m . T h e f u n c t i o n p i s t h e
s t a t e o f t h e c o n t r o l s y s t e m a n d i s c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e .
T h e t r a n s f e r m a t r i x K o f t h e c o n t r o l s y s t e m t h a t m a p s t h e L a p l a c e t r a n s f o r m
o f y t o t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f u i s d e n e d i n s t a t e - s p a c e d a t a a s
K ( s ) = P
2 1
( s I ? P
1 1
)
? 1
P
1 2
+ P
2 2
G
K
=
F
l
( G ; K )
z
w z
w
u y
F i g u r e 2 . 3 : O u t p u t f e e d b a c k a n d t h e L F T F
l
( G ; K )
B y i m p l e m e n t i n g a f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m , a c l o s e d - l o o p s y s t e m r e s u l t s , h a v -
i n g t h e e x o g e n o u s i n p u t w a n d t h e o b j e c t i v e o u t p u t z a s o n l y i n p u t a n d o u t p u t ,
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
21/92
1 0 C h a p t e r 2 R o b u s t C o n t r o l T h e o r y
r e s p e c t i v e l y . T h i s c l o s e d - l o o p s y s t e m c a n b e f o r m u l a t e d a s a n L F T a s
F
l
( G ; K ) : = G
1 1
+ G
1 2
K ( I ? G
2 2
K )
? 1
G
2 1
;
s e e F i g u r e 2 . 3 . N o t e t h a t t h i s L F T i s w e l l - p o s e d i t h e i n v e r s e o f I ? G
2 2
K e x -
i s t s . W e l l - p o s e d n e s s i m p l i e s t h a t t h e o u t p u t f u n c t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g c l o s e d -
l o o p s y s t e m a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d , o r e q u i v a l e n t l y , t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s
c a u s a l .
A c o n t r o l s y s t e m h a s t o b e d e s i g n e d i n s u c h a w a y t h a t t h e r e s u l t i n g c l o s e d - l o o p
s y s t e m i s s t a b l e . A c o n t r o l f u n c t i o n t h a t s a t i s e s t h i s d e m a n d i s c a l l e d i n t e r n a l l y
s t a b i l i z i n g . F o r c o n v e n i e n c e w e d e n o t e t h e s e t o f i n t e r n a l s t a b i l i z i n g c o n t r o l f u n c t i o n s
b y A . R e c a l l t h a t a s y s t e m i s s t a b l e i f t h e s t a t e s c o n v e r g e t o z e r o w i t h r e s p e c t t o
t i m e i n d e p e n d e n t l y o f t h e i n i t i a l s t a t e o f t h e s y s t e m . F o r t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m t h i s
i m p l i e s t h a t b o t h t h e s t a t e x o f t h e o r i g i n a l s y s t e m a n d t h e s t a t e p o f t h e c o n t r o l
s y s t e m h a v e t o c o n v e r g e t o z e r o . I n t e r m s o f s t a t e - s p a c e d a t a t h i s i s e q u i v a l e n t t o
t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f t h e s t a t e m a t r i x o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m
a l l h a v e n e g a t i v e r e a l p a r t .
2 . 3 H
1
O p t i m a l C o n t r o l
C o n s i d e r t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m M : = F
l
( G ; K ) o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n . A m e a s u r e
o f p e r f o r m a n c e o f a s y s t e m i s t o l o o k a t t h e w o r s t v a l u e o f t h e o u t p u t z o v e r a l l
p o s s i b l e i n p u t s w , i . e . ,
s u p
w 2 L
2
w 6= 0
k z k
2
k w k
2
; ( 2 2 )
w h e r e k k
2
i s t h e L
2
- n o r m d e n e d a s
k f k
2
: =
Z
1
0
f ( t )
2
d t
1 = 2
;
w h e r e i s t h e E u c l i d e s n o r m d e n e d a s f ( t ) =
p
f ( t )
T
f ( t ) . I t c a n b e p r o v e n
t h a t ( 2 . 2 ) e q u a l s t h e H
1
- n o r m o f t h e t r a n s f e r m a t r i x f r o m w t o z i n t h e f r e q u e n c y
d o m a i n ,
k M k
1
= s u p
! 2 I R
( M ( j ! ) )
H e r e i s t h e m a x i m u m s i n g u l a r v a l u e ,
( M ) : =
p
( M
M ) ;
w i t h t h e s p e c t r a l r a d i u s o r l a r g e s t e i g e n v a l u e .
H
1
i s t h e H a r d y s p a c e c o n s i s t i n g o f a l l c o m p l e x - v a l u e d ( m a t r i x ) f u n c t i o n s o f
o n e c o m p l e x v a r i a b l e t h a t a r e a n a l y t i c a n d b o u n d e d i n t h e o p e n r i g h t h a l f p l a n e ,
R e ( s ) > 0
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
22/92
2 . 3 . H
1
O p t i m a l C o n t r o l 1 1
T h e H
1
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s t o d e s i g n a f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m K s u c h
t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m F
l
( G ; K ) i s s t a b l e a n d t h e H
1
- n o r m o f t h e c l o s e d - l o o p
t r a n s f e r f u n c t i o n i s m i n i m i z e d , i . e . ,
i n f
K 2 A
k F
l
( G ; K ) k
1
( 2 3 )
T h e o p t i m a l c o n t r o l s y s t e m i s c a l l e d t h e o p t i m a l H
1
c o n t r o l l e r a n d t h e p r o c e d u r e
t o n d t h e H
1
c o n t r o l l e r s i s c a l l e d H
1
s y n t h e s i s . F o r u n c e r t a i n s y s t e m s t h e H
1
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m c a n b e i n t e r p r e t e d a s p l a n n i n g f o r t h e w o r s t s c e n a r i o o f u n -
c e r t a i n t y i n t h e s y s t e m t h a t c a n p o s s i b l y o c c u r a n d t h e n o p t i m i z i n g t h e o b j e c t i v e s
f o r t h i s s i t u a t i o n . T h e r e s u l t i s t h a t t h e o b j e c t i v e s a r e s a t i s e d f o r t h e w h o l e c l a s s
o f p r o b l e m s i n d u c e d b y t h e u n c e r t a i n t y .
T h e H
1
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m c a n b e s o l v e d b y i t e r a t i o n . T h e p r o b l e m i s t h e n
r e f o r m u l a t e d i n c h e c k i n g w h e t h e r a s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r K 2 A e x i s t s s u c h t h a t
k F
l
( G ; K ) k
1
< . B y a s e a r c h o v e r t h e s o l u t i o n o f t h e H
1
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m
i s o b t a i n e d .
A n e c i e n t s t a t e - s p a c e a l g o r i t h m e x i s t s t h a t s o l v e s t h e i t e r a t i o n p r o b l e m . T h i s
p r o c e d u r e i n v o l v e s c h e c k i n g t h a t t w o H a m i l t o n i a n m a t r i c e s c o n s i s t i n g o f s t a t e - s p a c e
d a t a d o n o t h a v e a n y e i g e n v a l u e s o n t h e i m a g i n a r y a x i s , a n d n d i n g p o s i t i v e s e m i d e f -
i n i t e s o l u t i o n s t o t w o R i c c a t i e q u a t i o n s .
I n o r d e r t o a p p l y t h i s p r o c e d u r e w e n e e d t h e f o l l o w i n g a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s
o n o u r s y s t e m .
A s s u m p t i o n s
( i ) ( A ; B
2
) i s s t a b i l i z a b l e a n d ( C
2
; A ) i s d e t e c t a b l e .
( i i ) D
1 2
h a s f u l l c o l u m n r a n k m
2
a n d D
2 1
h a s f u l l r o w r a n k p
2
( i i i ) T h e m a t r i x
A ? j ! I
n
B
2
C
1
D
1 2
h a s f u l l c o l u m n r a n k n + m
2
f o r a l l ! 2 I R , a n d
A ? j ! I
n
B
1
C
2
D
2 1
h a s f u l l r o w r a n k n + p
2
f o r a l l ! 2 I R 2
A s s u m p t i o n ( i ) i s n e c e s s a r y a n d s u c i e n t f o r t h e e x i s t e n c e o f s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r s .
A s s u m p t i o n ( i i ) e l i m i n a t e s t h e p o s s i b i l i t y o f s i n g u l a r p r o b l e m s . I t r e q u i r e s t h e d i -
m e n s i o n o f z t o b e a t l e a s t t h a t o f u , w h i l e t h e d i m e n s i o n o f w m u s t b e a t l e a s t t h a t
o f y . P u t i n a n o t h e r w a y , w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e a t l e a s t a s m a n y o b j e c t i v e s a s
c o n t r o l s , a n d a s m a n y e x o g e n o u s i n p u t s a s m e a s u r e m e n t s . S i n c e n o m e a s u r e m e n t i s
e r r o r f r e e , a n d n o c o n t r o l a c t i o n i s c o s t l e s s , t h e s e a r e r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n s . T h e
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
23/92
1 2 C h a p t e r 2 R o b u s t C o n t r o l T h e o r y
r a n k c o n d i t i o n s i n a s s u m p t i o n ( i i i ) i m p l y t h a t t h e f e e d b a c k c o n n e c t i o n o f t h e r e a l -
i z a t i o n s f o r G a n d K a r e d e t e c t a b l e a n d s t a b i l i z a b l e , c o r r e s p o n d i n g t o t h e r s t a n d
s e c o n d r a n k c o n d i t i o n r e s p e c t i v e l y . T h e s e c o n d i t i o n s a r e n e c e s s a r y f o r t h e e x i s t e n c e
o f s o l u t i o n s t o t h e t w o R i c c a t i e q u a t i o n s t h a t a r e i n v o l v e d i n t h e s o l u t i o n o f t h e H
1
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m .
T h e o r e m 2 . 1 g i v e s a p r o c e d u r e t o c h e c k w h e t h e r t h e u p p e r b o u n d o n t h e H
1
-
n o r m i s s a t i s e d . T h i s t h e o r e m a s s u m e s t h e f o l l o w i n g a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s t h a t c a n
b e m a d e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y s i n c e a n y p l a n t c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a p l a n t
s a t i s f y i n g t h e s e c o n d i t i o n s 1 9 ] .
A d d i t i o n a l A s s u m p t i o n s
( i v ) T h e s y s t e m i s s c a l e d s u c h t h a t
D
T
1 2
( C
1
D
1 2
) = ( 0 I ) a n d
B
1
D
2 1
D
T
2 1
=
0
I
( v ) D
1 1
= 0 a n d D
2 2
= 0 2
I n o r d e r t o s t a t e t h e t h e o r e m w e d e n e t h e f o l l o w i n g t w o H a m i l t o n i a n m a t r i c e s :
I
1
=
A
? 2
B
1
B
T
1
? B
2
B
T
2
? C
T
1
C
1
? A
T
a n d
J
1
=
A
T
? 2
C
T
1
C
1
? C
T
2
C
2
? B
1
B
T
1
? A
F u r t h e r m o r e w e d e n e t h e t w o R i c c a t i e q u a t i o n s
A
T
X
1
+ X
1
A + X
1
(
? 2
B
1
B
T
1
? B
2
B
T
2
) X
1
+ C
T
1
C
1
= 0 ( 2 4 )
a n d
A Y
1
+ Y
1
A
T
+ Y
1
(
? 2
C
T
1
C
1
? C
T
2
C
2
) Y
1
+ B
1
B
T
1
= 0 ( 2 5 )
T h e o r e m 2 . 1 L e t t h e s y s t e m ( 2 . 1 ) s a t i s f y a l l a s s u m p t i o n s ( i ) - ( v ) s t a t e d a b o v e .
T h e n t h e r e e x i s t s a n i n t e r n a l l y s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r K s u c h t h a t k F
l
( G ; K ) k
1
<
i t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d :
( i ) T h e H a m i l t o n i a n m a t r i c e s I
1
a n d J
1
d o n o t h a v e a n y p u r e l y i m a g i n a r y e i g e n -
v a l u e s ,
( i i ) X
1
a n d Y
1
a r e p o s i t i v e s e m i d e n i t e s o l u t i o n s t o t h e t w o R i c c a t i e q u a t i o n s
( 2 . 4 ) a n d ( 2 . 5 ) r e s p e c t i v e l y ,
( i i i ) ( X
1
Y
1
) <
2
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
24/92
2 . 4 . U n c e r t a i n t y M o d e l l i n g 1 3
A n i n t e r n a l l y s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r i s t h e n g i v e n b y
_p ( t ) = A
1
p ( t ) ? Z
1
L
1
y ( t )
u ( t ) = F
1
p ( t ) ;
w h e r e
A
1
: = A +
? 2
B
1
B
T
1
X
1
+ B
2
F
1
+ Z
1
L
1
C
2
;
F
1
: = ? B
T
2
X
1
;
L
1
: = Y
1
C
T
2
;
Z
1
: = ( I ?
? 2
Y
1
X
1
)
? 1
2
N o t e t h a t t h e d i m e n s i o n o f t h e c o n t r o l l e r e q u a l s t h e d i m e n s i o n o f t h e o r i g i n a l s y s t e m .
T h e H
1
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m ( 2 . 3 ) c a n n o w b e s o l v e d b y i t e r a t i v e l y a p p l y i n g
T h e o r e m 2 . 1 u s i n g f o r i n s t a n c e a b i s e c t i o n a l g o r i t h m .
I f a s y s t e m i s c o n s i d e r e d t h a t d o e s n o t s a t i s f y t h e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s ( i v )
a n d ( v ) t h e n t h i s s y s t e m c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a s y s t e m t h a t d o e s . T h e H
1
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i s s o l v e d f o r t h i s t r a n s f o r m e d s y s t e m a n d t h e n t h e c o n t r o l l e r
c o m p u t e d f o r t h e s i m p l e r t r a n s f o r m e d s y s t e m i s b a c k - t r a n s f o r m e d t o o b t a i n t h e
c o n t r o l l e r o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m . A l s o a n a l g o r i t h m e x i s t s t h a t d o e s n o t n e e d t h e
a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s ( i v ) a n d ( v ) . T h e a l g o r i t h m s a r e i m p l e m e n t e d i n M A T L A B
i n t h e - A n a l y s i s a n d S y n t h e s i s T o o l b o x a n d t h e R o b u s t C o n t r o l T o o l b o x
2 . 4 U n c e r t a i n t y M o d e l l i n g
2 . 4 . 1 I n t r o d u c t i o n
L F T s a r e p r e - e m i n e n t l y s u i t e d f o r m o d e l l i n g u n c e r t a i n t i e s . E a c h c o m p o n e n t o f
a s y s t e m w h i c h i s u n c e r t a i n c a n b e m o d e l l e d s e p a r a t e l y a s a n L F T . L F T s h a v e
t h e u s e f u l p r o p e r t y t h a t t h e i n t e r c o n n e c t i o n o f L F T s c a n b e r e a r r a n g e d a s o n e
s i n g l e L F T h a v i n g a b l o c k d i a g o n a l ( p e r t u r b a t i o n ) u n c e r t a i n s t r u c t u r e . H e r e b y , a l l
c o m p o n e n t s i n L F T f o r m c a n t h e n b e t a k e n t o g e t h e r t o o b t a i n a s i n g l e L F T f o r t h e
w h o l e u n c e r t a i n s y s t e m . I n t h i s w a y t h e m o d e l u n c e r t a i n t y i s d e r i v e d s y s t e m a t i c a l l y .
M o d e l u n c e r t a i n t y t h a t c a n b e t i n t o t h e L F T s t r u c t u r e i s c a l l e d l i n e a r f r a c t i o n a l
u n c e r t a i n t y . T h e b l o c k d i a g o n a l p e r t u r b a t i o n s t r u c t u r e i s r e f e r r e d t o a s s t r u c t u r e d
u n c e r t a i n t y
2 . 4 . 2 I n t e r c o n n e c t i o n s o f L F T s
A n y a r b i t r a r y i n t e r c o n n e c t i o n s t r u c t u r e o f L F T s c o n s i s t i n g o f s e r i e s , p a r a l l e l , a n d
f e e d b a c k c o n n e c t i o n s c a n b e r e a r r a n g e d a s o n e L F T w i t h a b l o c k - d i a g o n a l p e r t u r -
b a t i o n s t r u c t u r e . T h e r e f o r e g e n e r a l u n c e r t a i n t y a t t h e c o m p o n e n t l e v e l b e c o m e s
s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y a t t h e s y s t e m l e v e l .
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
25/92
1 4 C h a p t e r 2 R o b u s t C o n t r o l T h e o r y
P
2
2
P
1
1
P
=
u u yy
F i g u r e 2 . 4 : S e r i e s c o n n e c t i o n o f L F T s .
C o n s i d e r t w o L F T s w i t h c o e c i e n t m a t r i c e s P
1
a n d P
2
, r e s p e c t i v e l y , d e n e d a s
P
1
: =
P
1
1 1
P
1
1 2
P
1
2 1
P
1
2 2
; P
2
: =
P
2
1 1
P
2
1 2
P
2
2 1
P
2
2 2
;
a n d d e n e
: =
1
0
0
2
( 2 6 )
T h e n t h e s e r i e s c o n n e c t i o n o r c a s c a d e s y s t e m o f F
u
( P
1
;
1
) a n d F
u
( P
2
;
2
) a s i n
F i g u r e 2 . 4 i s t h e L F T F
u
( P ; ) w i t h a s d e n e d i n ( 2 . 6 ) a n d c o e c i e n t m a t r i x
P =
0
@
P
1
1 1
P
1
1 2
P
2
2 1
0 P
2
1 1
P
1
1 2
P
2
2 2
P
2
1 2
P
1
2 1
P
1
2 2
P
2
2 1
P
1
2 2
P
2
2 2
1
A
T h e l i n e s i n t h i s c o e c i e n t m a t r i x e m p h a s i z e t h e p a r t i t i o n i n g .
P
2
2
P
1
1
=
P
u y
u y
er
+
+
F i g u r e 2 . 5 : P a r a l l e l c o n n e c t i o n o f L F T s .
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
26/92
2 . 4 . U n c e r t a i n t y M o d e l l i n g 1 5
T h e p a r a l l e l c o n n e c t i o n o f F
u
( P
1
;
1
) a n d F
u
( P
2
;
2
) a s i n F i g u r e 2 . 5 i s a n L F T
F
u
( P ; ) w i t h a s i n ( 2 . 6 ) a n d c o e c i e n t m a t r i x
P =
0
@
P
1
1 1
0
0 P
2
1 1
P
1
1 2
P
2
1 2
P
1
2 1
P
2
2 1
P
1
2 2
+ P
2
2 2
1
A
P
1
y
P
u y
=
e r
+
+
u
F i g u r e 2 . 6 : A n L F T i n a f e e d b a c k l o o p .
C o n s i d e r a f e e d b a c k l o o p c o n t a i n i n g a n L F T a s i n F i g u r e 2 . 6 , w h e r e
P
1
=
P
1
1 1
P
1
1 2
P
1
2 1
P
1
2 2
i s a s q u a r e m a t r i x . T h i s f e e d b a c k l o o p c a n b e r e w r i t t e n a s a n L F T F
u
( P ; ) w i t h
t h e s a m e p e r t u r b a t i o n a n d c o e c i e n t m a t r i x
P =
P
1
1 1
+ P
1
1 2
( I ? P
1
2 2
)
? 1
P
1
2 1
P
1
1 2
( I ? P
1
2 2
)
? 1
( I ? P
1
2 2
)
? 1
P
1
2 1
( I ? P
1
2 2
)
? 1
C l e a r l y , f o r w e l l - p o s e d n e s s I ? P
1
2 2
h a s t o b e n o n s i n g u l a r .
2 . 4 . 3 R e a l P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y
U n c e r t a i n p a r a m e t e r s a r i s e n a t u r a l l y i n s y s t e m s w h e n p a r a m e t e r s c h a n g e d u r i n g
o p e r a t i o n o f t h e s y s t e m . C o n s i d e r f o r i n s t a n c e a n a i r c r a f t . T h e t o t a l m a s s o f t h e
a i r c r a f t d e p e n d s o n t h e a m o u n t o f c a r g o o r t h e n u m b e r o f p a s s e n g e r s a t a p a r t i c u l a r
i g h t . M a s s i s t h u s a n u n c e r t a i n p a r a m e t e r . A l s o t h e e x a c t p o s i t i o n o f t h e c e n t e r
o f g r a v i t y i s u n c e r t a i n d u e t o t h e f a c t t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e c a r g o a n d / o r
p a s s e n g e r s o v e r t h e a i r c r a f t d i e r s a t e a c h i g h t . T h e s e p a r a m e t e r s a r e r e a l - v a l u e d
a n d c a n b e r e f o r m u l a t e d a s t i m e - i n v a r i a n t p a r a m e t e r v a r i a t i o n i f l o w e r a n d u p p e r
e s t i m a t e s o f t h e p a r a m e t e r s c a n b e o b t a i n e d . T h e p a r a m e t e r v a r i a t i o n i n s t a t e -
s p a c e d a t a c a n t h e n b e m o d e l l e d a s u p p e r L F T s w i t h r e a l p e r t u r b a t i o n s w h i c h w e
w i l l e x p l a i n i n t h i s s e c t i o n .
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
27/92
1 6 C h a p t e r 2 R o b u s t C o n t r o l T h e o r y
C o n s i d e r a v e c t o r p = ( p
1
; ; p
r
)
T
2 I R
r
c o n s i s t i n g o f r b o u n d e d s c a l a r p a r a m -
e t e r s . L e t t h e m o d e l o f t h e p e r t u r b e d s y s t e m b e g i v e n a s a s t a t e - s p a c e r e a l i z a t i o n
i n w h i c h t h e e n t r i e s o f t h e s y s t e m m a t r i c e s d e p e n d o n t h e p a r a m e t e r p ,
_x ( t ) = A ( p ) x ( t ) + B ( p ) u ( t )
y ( t ) = C ( p ) x ( t ) + D ( p ) u ( t )
( 2 7 )
T h e p a r a m e t e r p i s a l l o w e d t o e n t e r t h e s y s t e m m a t r i x e n t r i e s a s r e a l - r a t i o n a l p o l y -
n o m i a l s i n p
i
T h e s y s t e m ( 2 . 7 ) c a n b e r e f o r m u l a t e d a s
_x ( t )
y ( t )
= S ( p )
x ( t )
u ( t )
; ( 2 8 )
w h e r e
S ( p ) : =
A ( p ) B ( p )
C ( p ) D ( p )
i s t h e m a t r i x c o n s i s t i n g o f t h e p a r a m e t e r d e p e n d e n t s y s t e m m a t r i c e s .
S i n c e w e a s s u m e d t h e p a r a m e t e r s t o b e r e a l , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y c a n n a t u r a l l y
b e m o d e l l e d a s r e a l - v a l u e d p a r a m e t e r v a r i a t i o n s : w e a s s u m e t h a t l o w e r a n d u p p e r
b o u n d s c a n b e o b t a i n e d f o r a l l s c a l a r p a r a m e t e r s p
i
. T h e r e s u l t i n g l o w e r a n d u p p e r
b o u n d v e c t o r s f o r p a r e d e n o t e d b y p a n d p , r e s p e c t i v e l y . D e n e
p
0
=
p + p
2
a n d s =
p ? p
2
T h e n w i t h = (
1
; ;
r
) ,
i
2 ? 1 ; 1 ] w e h a v e
p
i
= p
0
+ s
i
i
; i = 1 ; ; r ( 2 9 )
S u b s t i t u t i n g ( 2 . 9 ) i n ( 2 . 8 ) y i e l d s s c a l e d ( m u l t i - d i m e n s i o n a l ) p o l y n o m i a l e x p r e s s i o n s
f o r a l l v a r y i n g n u m e r a t o r s a n d d e n o m i n a t o r s . F o r e x a m p l e , s u p p o s e a n u m e r a t o r i s
g i v e n a s n
i j
( p
1
; p
2
) = p
1
p
2
. T h e n w i t h ( 2 . 9 ) t h e s c a l e d n u m e r a t o r i s
n
i j
(
1
;
2
) = p
0
1
p
0
2
+ p
0
2
s
1
1
+ p
0
1
s
2
2
+ s
1
s
2
1
2
( 2 1 0 )
T h e i n d i v i d u a l p a r t s o f a n u m e r a t o r o r d e n o m i n a t o r c o n s i s t o f a n u m b e r o f t e r m s
t h a t c a n b e w r i t t e n a s s e p a r a t e u p p e r L F T s . F o r e x a m p l e , t h e t h r e e v a r y i n g t e r m s
o f t h e s c a l e d n u m e r a t o r i n ( 2 . 1 0 ) c a n b e w r i t t e n a s t h r e e u p p e r L F T s a s f o l l o w s :
p
0
2
s
1
1
= F
u
0 p
0
2
s
1
1 0
;
1
; p
0
1
s
2
2
= F
u
0 p
0
1
s
2
1 0
;
2
a n d
s
1
s
2
1
2
= F
u
0
@
0
@
0 0
1 0
s
1
s
2
0
0 1 0
1
A
;
1
0
0
2
1
A
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
28/92
2 . 4 . U n c e r t a i n t y M o d e l l i n g 1 7
T h e a d d i t i o n o f a l l t e r m s i n e a c h v a r y i n g n u m e r a t o r c a n b e w r i t t e n a s a s i n g l e
L F T u s i n g t h e f a c t t h a t a p a r a l l e l c o n n e c t i o n o f L F T s i s a g a i n a n L F T , s e e S e c -
t i o n 2 . 4 . 2 . S i n c e w e a r e u s i n g u p p e r L F T s , t h e n o m i n a l ( c o n s t a n t ) p a r t o f e a c h
n u m e r a t o r r e s u l t s i n a f e e d t h r o u g h t e r m , w h i c h c a n b e i n c o r p o r a t e d i n t h e P
2 2
t e r m
o f t h e c o m b i n e d L F T . U s i n g t h e L F T s c o n s t r u c t e d a b o v e f o r e a c h t e r m o f n
i j
(
1
;
2
) ,
a n d t h e r e s u l t s o f S e c t i o n 2 . 4 . 2 o n p a r a l l e l c o n n e c t i o n s o f L F T s , t h e r e s u l t i n g c o m -
b i n e d L F T b e c o m e s
F
u
0
B
B
B
B
@
0
B
B
B
B
@
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
p
0
2
s
1
p
0
1
s
2
s
1
s
2
0
1 1 0 1 p
0
1
p
0
2
1
C
C
C
C
A
;
0
B
B
@
1
0 0 0
0
2
0 0
0 0
1
0
0 0 0
2
1
C
C
A
1
C
C
C
C
A
S e t t i n g u p a s i n g l e L F T d e s c r i p t i o n f o r d e n o m i n a t o r t e r m s i n v o l v e s o b t a i n i n g
t h e i n v e r s e o f a m u l t i - d i m e n s i o n a l p o l y n o m i a l . T h i s i n v e r s e c a n b e o b t a i n e d b y
r s t c o n s t r u c t i n g a s i n g l e L F T o f t h e p a r a l l e l c o n n e c t i o n o f a l l t h e t e r m s i n t h e
d e n o m i n a t o r , a s i s d o n e a b o v e f o r t h e n u m e r a t o r . T h e n n o t e t h a t r e f e r r i n g t o
F i g u r e 2 . 6 o f S e c t i o n 2 . 4 . 2 w e h a v e t h e r e
F
u
( P ; ) = ( I ? F
u
( P
1
; ) )
? 1
T h i s y i e l d s t h a t w e h a v e t o s u b t r a c t t h e o b t a i n e d L F T f r o m t h e u n i t m a t r i x a n d p u t
t h e r e s u l t i n a f e e d b a c k l o o p l i k e F i g u r e 2 . 6 . T h e d e s i r e d L F T t h e n f o l l o w s b y t h e
r e s u l t s o f S e c t i o n 2 . 4 . 2 o n a n L F T i n a f e e d b a c k l o o p . T h e w e l l - p o s e d n e s s c o n d i t i o n
f o r a n L F T i n a f e e d b a c k l o o p , i . e . , t h e c o n d i t i o n t h a t ( I ? P
1
2 2
) i s i n v e r t i b l e ( i n
t e r m s o f S e c t i o n 2 . 4 . 2 ) , c o r r e s p o n d s t o t h e r e s t r i c t i o n t h a t t h e n o m i n a l p a r t s o f a l l
t h e v a r y i n g d e n o m i n a t o r s o f a s t a t e - s p a c e m o d e l a r e n o t a l l o w e d t o e q u a l z e r o , s o
t h a t t h e e n t r i e s o f t h e n o m i n a l m o d e l a r e b o u n d e d .
U s i n g t h e r e s u l t s o f S e c t i o n 2 . 4 . 2 o n s e r i e s c o n n e c t i o n s o f L F T s , t h e L F T s o f e a c h
n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r p a i r o f i n d i v i d u a l v a r y i n g e n t r i e s c a n n o w b e c o m b i n e d
a s o n e s i n g l e L F T .
W h e n a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f a l l u n c e r t a i n e n t r i e s i n t h e f o r m o f L F T s i s
o b t a i n e d , t h e v a r i o u s L F T s c a n b e r e a r r a n g e d t o f o r m o n e s i n g l e L F T . F i n a l l y ,
b y s i m p l y i n t e r c h a n g i n g r o w s a n d c o l u m n s o f t h e o b t a i n e d L F T , t h e p e r t u r b a t i o n
m a t r i x
u
h a s a s t r u c t u r e b e l o n g i n g t o t h e s e t
B
r r
: = f d i a g
1
I
k
1
; ;
r
I
k
r
:
i
2 ? 1 ; 1 g ;
t h e n o r m a l i z e d b l o c k - d i a g o n a l m a t r i c e s w i t h r e p e a t e d r e a l s c a l a r b l o c k s . I t f o l l o w s
t h a t u n c e r t a i n t y d u e t o p a r a m e t e r v a r i a t i o n i n s t a t e - s p a c e d a t a c a n b e m o d e l l e d a s
l i n e a r f r a c t i o n a l u n c e r t a i n t y h a v i n g a r e a l p e r t u r b a t i o n s t r u c t u r e .
T h e a b o v e p r o c e d u r e i s i m p l e m e n t e d i n t h e M A T L A B P a r a m e t r i c U n c e r t a i n t y
M o d e l l i n g ( P U M ) T o o l b o x 1 6 , 2 1 ] . T h e r o u t i n e a l s o i n c l u d e s a r e d u c t i o n p r o c e d u r e
f o r t h e d i m e n s i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n m a t r i x
u
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
29/92
1 8 C h a p t e r 2 R o b u s t C o n t r o l T h e o r y
2 . 5 T h e S t r u c t u r e d S i n g u l a r V a l u e ( )
S e c t i o n 2 . 3 c o n s i d e r e d u n s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y , i . e . , u n c e r t a i n t y w i t h n o f u r t h e r
i n f o r m a t i o n o n i t s n a t u r e . T h i s m a y l e a d t o u n n e c e s s a r y c o n s e r v a t i v e r e s u l t s w h e n
k n o w l e d g e a b o u t t h e s t r u c t u r e o f t h e u n c e r t a i n t i e s i s a v a i l a b l e . T h i s s e c t i o n c o n s i d -
e r s a n a p p r o a c h t o d e a l w i t h s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y b y w h i c h w e c a n e x p l o i t a v a i l a b l e
i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t r u c t u r e o f t h e u n c e r t a i n t i e s t o g a i n b e t t e r r e s u l t s .
G
K
w
1
z
1
u y
w
2
z
2
F i g u r e 2 . 7 : T h e g e n e r a l p r o b l e m w i t h s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y .
C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f a n i n t e r c o n n e c t e d l i n e a r s y s t e m w i t h m u l t i p l e i n d e p e n -
d e n t p e r t u r b a t i o n s o c c u r r i n g t h r o u g h o u t , d u e t o u n m o d e l l e d d y n a m i c s , p a r a m e t e r
v a r i a t i o n , a c t u a t o r e r r o r s , s e n s o r n o i s e , e t c . B y r e a r r a n g i n g t h e s y s t e m i t i s a l -
w a y s p o s s i b l e t o i s o l a t e t h e p e r t u r b a t i o n s a s a s i n g l e b l o c k - d i a g o n a l p e r t u r b a t i o n
a s i n F i g u r e 2 . 7 . I n t h i s w a y , t h e e x o g e n o u s i n p u t a n d o b j e c t i v e o u t p u t c a n b e
u s e d t o d e s c r i b e p e r t u r b a t i o n s o f t h e s y s t e m . H e r e w e h a v e s p l i t t h e e x o g e n o u s
i n p u t w = ( w
1
w
2
)
T
a n d t h e o b j e c t i v e o u t p u t z = ( z
1
z
2
)
T
c o r r e s p o n d i n g t o t h i s
s t r u c t u r e :
w
1
t h e p e r t u r b a t i o n i n p u t o f d i m e n s i o n m
1 1
c o r r e s p o n d i n g t o s y s -
t e m p e r t u r b a t i o n s ,
w
2
t h e p e r f o r m a n c e i n p u t o f d i m e n s i o n m
1 2
c o r r e s p o n d i n g t o e x -
t e r n a l d i s t u r b a n c e s ,
z
1
t h e p e r t u r b a t i o n o u t p u t o f d i m e n s i o n p
1 1
c o r r e s p o n d i n g t o
s y s t e m p e r t u r b a t i o n s ,
z
2
t h e p e r f o r m a n c e o u t p u t o f d i m e n s i o n p
1 2
c o r r e s p o n d i n g t o t h e
o u t p u t t h a t h a s t o b e c o n t r o l l e d .
T h e p e r t u r b a t i o n m a t r i x b e l o n g s t o a s e t o f b l o c k - d i a g o n a l m a t r i c e s
K
t h a t
d e n e s t h e a l l o w e d p e r t u r b a t i o n b l o c k s t r u c t u r e . T h r e e t y p e s o f b l o c k s a r e p o s s i b l e :
r e p e a t e d r e a l s c a l a r b l o c k s w h i c h c o r r e s p o n d s t o r e a l p a r a m e t e r v a r i a t i o n a s w e
h a v e s e e n i n S e c t i o n 2 . 4 . 3 ; r e p e a t e d c o m p l e x s c a l a r b l o c k s w h i c h c a n b e u s e d t o
a p p r o x i m a t e t h e r e p e a t e d r e a l s c a l a r b l o c k s b y c o n s i d e r i n g t h e r e a l p a r a m e t e r s a s
-
7/30/2019 10.1.1.38.9220
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2 . 5 . T h e S t r u c t u r e d S i n g u l a r V a l u e ( ) 1 9
c o m p l e x ; a n d f u l l c o m p l e x b l o c k s w h i c h c a n b e u s e d t o m o d e l u n m o d e l l e d d y n a m i c s
( t h i s i s n o t a p p l i e d i n o u r a p p r o a c h ) o r t o d e n e t h e s o - c a l l e d p e r f o r m a n c e b l o c k i n
o r d e r t o m e a s u r e r o b u s t p e r f o r m a n c e . T h i s i s e x p l a i n
