1 Numeroscomplejos MR

8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE

EXTENSIÓN LATACUNGA

INGENIERÍAS: MECATRÓNICA y ELECTROMECÁNICA

1. Números complejos

PERÍODO ACADÉMICO: Abril Agosto 2016

Matemática Superior

Marcelo Román V.


2/97

2

"Pitágoras es probablemente el

matemático más conocido, pero

también es célebre en el ámbito más

general de la historia de la cultura.Su figura es una de las más

apasionantes e interesantes de la

historia del pensamiento.

Racionalista y místico, filósofo yteólogo, matemático y

experimentador, hombre de carne y

hueso y personaje mítico; Pitágoras

es el inductor de una parte

considerable de los elementosculturales que han ido conformando

la tradición del pensamiento

occidental".

Marcelo Román V.


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3

Marcelo Román V


4/97

4

Un número complejo z es un par ordenado de númerosreales x e y, escrito como:

z = ( x,y) (Notación en componentes o coordenadas cartesianas).

x se llama la parte real de z: Re (z ) := x

y se llama la parte imaginaria de z: Im (z ) :=y

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partesreales e imaginarias son iguales:

(x1 ,y1 ) = (x2 ,y2 ) sii x1= x2 , y1= y2

,con jyxz:),(: y x y xC

El conjunto de números complejos, se denota por C:

(William R. Hamilton)

Marcelo Román V


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(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

(Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones

con el símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).

Si x = 0 ( z = i y), entonces z se dice que es un imaginariopuro. Si y = 0 ( z = x), entonces z se comporta como unnúmero real.

z = x + i y

Un número complejo z = (x,y) se escribe comúnmentecomo (notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño):

)10( ,i

Marcelo Román V


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Suma y producto de números complejos

Suma

)()( 212121 y yi x x z z

)()( 1221212121 y x y xi y y x x z z

Producto

Sean:

222

111

iy x z

iy x z

Parte real Parte imaginaria

“En la facultad teníamos un profesor

cojo al que llamábamos el complejo.

Tenía una pierna real y otra imaginaria.” Memorias de un estudiantede matemáticas

Marcelo Román V


7/977

ii

iiiiii

223)1012()158(

]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(

1)00()10()0)(0(2 iiii(1)

(2)

Ejemplos:

De modo que podemos sustituir siempre:

12 i

Esto nos permite una manera práctica de operar.

Por ejemplo:

11112

ii

Marcelo Román V


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8

La resta y la división se definen como operaciones

inversas de la suma y la multiplicación respectivamente

Resta

División

(operación inversa a la suma)

(operación inversa al producto)

z z z 21

z z

z

2

1

2

2

2

2

2112

2

2

2

2

2121

y x

y x y xi

y x

y y x x z

¿Qué es z ? Es un número complejo tal que:z z2 = z1, siempre que z20.

¿Qué es z ? z + z2 = z1

)()( 2121 y yi x x z

Ejercicio:demostrar

que es cierto.

Marcelo Román V


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9

Calcular:

Re(z1 ) = 18, Re(z2 ) = -7

Im(z1 ) = 3, Im(z2 ) = 2

z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i

z1 z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i

Ejemplo: Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

Marcelo Román V


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10

Complejo conjugado

Es sencillo

demostrar

que:

El complejo conjugado de un número complejo z = x + i y se define como:

z

21212121

21212121

// z z z z z z z z

z z z z z z z z

iy x z * z :comodenotar suele seTambién

z z

i

z z z

z z z

2)Im(

2)Re(

)Re(2 212121 z z z z z z

Marcelo Román V


11/97

11

21

22112121

2121221121

)()()()(

)()()()(

z z

iy xiy x y yi x x

y yi x xiy xiy x z z

Por ejemplo:

212211

12212121

1221212121

))((

)()(

)()(

z z iy xiy x

y x y xi y y x x

y x y xi y y x x z z

)Re(2

2

2

)()(

2 z x

xiy xiy x z z

z iy xiy xiy x z

Marcelo Román V


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12

22 ))(( y xiy xiy x z z

Observemos que:

En la práctica, obtenemos el cociente de dos números

complejos z1 / z2 multiplicando el numerador y

denominador de por el complejo conjugado de z2.

2

2

2

2

2112

2

2

2

2

2121

22

22

22

11

22

11

y x

y x y xi

y x

y y x x

iy x

iy x

iy x

iy x

iy x

iy x

Marcelo Román V


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13

ii

i

i

ii

1

11

(1)

(2)

Ejemplos:

2121 15132)27)(318( z z i--i--i- z z

Sean de nuevo: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

53

57120

27

)27)(318(

z

z22

2

1 i-- i--i

2

1

22

2

1

53

57120

27

)27)(318(

z

z

z

z i-

i-i

Marcelo Román V


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14

Sea la ecuación: 0...10

n

n z z i C . Si p es una raíz de la ecuación, entonces p es raíz de la ecuación:

0...10

nn z z

Y en particular, si i , ni ,...,1 , p y p son raíces de la

misma ecuación, y obtenemos el conocido teorema que nos dice

que: las raíces no reales de la ecuación anterior con coeficientes

reales, aparecen en parejas de raíces conjugadas.

A pesar de la sencillez del conjugado y sus propiedades,

nos permite demostrar fácilmente cosas como esta:

Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no

nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente

es antónimo de número algebraico (Wikipedia).

Marcelo Román V


15/97

15

Marcelo Román V


16/97

16

Sol.:

2/1c)

5/135/1 b)

1a)

z

i z

i z

Sol.:

yiy y z

iy y z

,2

1

iinn

i

n z z i

n z z 10

0

10 )(

Demuestra el teorema del binomio para números complejos:

donde n es un entero positivo.Sugerencia: Usa inducción.

Marcelo Román V


17/97

Q é i ifi


18/97

18

Caspar Wessel

(1745 - 1818)Primera representación

geométrica en 1797.

Jean Argand (1768 - 1822)

Idem y además consideró

i como una rotación de 90º.Jhon Wallis (1616 - 1703)

“ Algebra”(1673)

¿Qué significa un

número complejo?Anteriores a Gauss:

Marcelo Román V.

El plano complejo (Plano z de Argand o de Gauss)


19/97

19

(Im)

22

: y x z r

x y z arctanarg:

El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)

Módulo:

También llamado “valor absoluto”

(el módulo de un real es su valor absoluto)

Argumento:

z

x

y

r

(Re)Eje real

Eje imaginario

Para z = 0, el ángulo no está definido.

222||

||||,Im||,Re|| z y x z z

z z z z z z

El argumento está multivaluado.Marcelo Román V.

Ejemplo:


20/97

20

x

y

r

13

)2()3( 22

z r

},7.213,7.33,3.146{3

2arctan

3

2arctanarg

z

3

2

rad73.3

Ejemplo:Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo yevaluar módulo y argumento

Módulo:

Argumento:

i23

La calculadora

no distingue

El argumento está multivaluado.Marcelo Román V.

Determinación o valor principal


21/97

21

z Arg:

),1,0(}255.2{

},455.2,255.2,55.2,255.2{arg

k k

z

z Arg

55.2Arg z

Determinación o valor principal

Ejemplo: supongamos que

Para que sea único, basta con imponer la condiciónadicional de que pertenezca a un cierto intervalo semiabierto

I de longitud

...),2,1,0(}2{Arg:arg k k z z

).etc],,(),2,0[como(2 Escoger este intervalo I se conoce comotomar una determinación del argumento.

Se denomina determinación principal o

valor principal a Arg z, el valor de enel rango:

Marcelo Román V.


22/97

22Marcelo Román V.


23/97

23

Ejercicios: Demostrar que

)0()6(

|||||||||;|||||)5(

||)4(

||||)3(

))(Im)(Re|:|(

|||Im|Im)2(

|||Re|Re)1(

2

2

1

2

1

21212121

2

222

z z

z

z

z

z z z z z z z z z z

z z z

z z

z z z Nota

z z z

z z z

nn

Marcelo Román V.

Ejercicio:


24/97

24

Ejercicio:

122

22

y x

y x

iy x

iy x

iy x

iy x

iy x

iy x

z

z

x

z y

z y

Gráficamente el conjugado

es una reflexión respecto

al eje real.

Marcelo Román V.


25/97

25Marcelo Román V.


26/97

26

Sol.:

x xi x z

yiy z

,2 b)

,2/3a)

Sol.:

)1(2

1,)1(

2

3c)

),(21,24 b)71,1a)

21

2121

21

i z i z

z z yi z i z i z i z

Marcelo Román V.

Ejercicio: Demostrar que para a b c d enteros siempre


27/97

27

222222 ))(( vud cba Ejercicio: Demostrar que para a, b, c, d enteros siempreexisten u y v enteros tal que:

222222

)133111)(10189( vu Encontrar u y v para:

Liber quadratorum (1225)Leonardo de Pisa (Fibonacci)

(1170-1250)

El matemático italiano Leonardo de Pisa escribió en

1202 el Liber Abaci, un texto en el que se explica

como sumar, restar, multiplicar y dividir con

numerales hindo-arábigos.

Marcelo Román V.

222222 )133111)(10189( vu


28/97

28

)133111)(10189( vu

ad bcvbd acuad bcibd acid cibaivu

t zw

t t zw zww z zwww z z t w z

ivut id cwiba z

||)()())((

))(())(())(()1(||||||

222 22

22

312.23626

048.23554.3

||

)()())((

))(())(()2(

ad bcvbd acu

ad bcibd acid cibaivu

t w z t t w z w z ww z z

Marcelo Román V.


29/97

29

"Una pareja de conejos tarda un mes en

alcanzar la edad fértil, a partir de ese

momento cada vez engendra una parejade conejos, que a su vez, tras ser fértiles

engendrarán cada mes una pareja de

conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo

de un determinado número de meses?"Marcelo Román V.

Suma y resta de números complejos


30/97

30

y p j

en el plano complejo

x

y

1 z

2 z 21 z z

12 z z

En la suma (y la resta)

los números complejos

se comportan como vectores

Prueba que si |z1| = |z2| = |z3| y z1 + z2 +z3 = 0,entonces estamos hablando de los vértices

de un triángulo equilátero.

Sugerencia:

Muestra que |z1-z2|2 = |z2-z3|

2 = |z3-z1|2

Marcelo Román V.

y


31/97

31

x

y

1 z 2

3 1 z

1

z

C con la suma y el producto por un escalar posee estructura

de espacio vectorial, isomorfo a R 2.

El conjunto {1, i} es base de ese espacio. Y podemosidentificar C con los vectores libres del plano R 2. Pero

recordemos que C tiene algo más: el producto complejo.

Marcelo Román V.

i i ||||||


32/97

32

Desigualdad triangular

El módulo de zes equivalente a

la distancia

euclidiana del

vector libre (x,y).

La distancia entre

z1 y z2 es |z1-z2|. Así disponemos de

un espacio métrico donde podemos

definir límites,

continuidad, ...

|| 21 z z

x

y1 z

2 z

21 z z

|| 1 z

|| 2 z

|||||| 2121 z z z z

¿Qué significa que |z1| > |z2|?Marcelo Román V.

Demostremos la desigualdad triangular:


33/97

33

221

2221

21

221

22

||||2||||2||2)Re(2

122111

21212121

2

21

|)||(|||||||2||||

))(())((||

21212121

z z z z z z z z

z z z z z z z z

z z z z z z z z z z

z z z z z z z z

Demostremos la desigualdad triangular:

Extrayendo la raíz cuadrada (recordemos que elmódulo es siempre positivo), la desigualdad triangular

queda demostrada.

Marcelo Román V.

Ejercicio: Demostrar que |||||| 2121 z z z z


34/97

34

Podemos generalizar la desigualdad triangular:

...),3,2(||11 n z z

n

j j

n

j j

Ejercicio:

Demostrar por inducción.Hemos demostrado que es cierto para n = 2.Supongamos que es cierto para n y demostremosque entonces es también cierto para n+1.

j e os que |||||| 2121

Ejercicio: Demostrar que |||||| 2121 z z z z

Marcelo Román V.

Forma polar y trigonométrica


35/97

35

z

x

y r

sin

cos

r y

r x

sincos ir r

iy x z

sincos ir z 0r

A partir de las coordenadas polares (r, ) tenemos:

p y g

Utilizamos el

argumento principal

r z Forma polar

Forma trigonométrica

cisr

r En ingeniería:

Marcelo Román V.

Ejemplo:


36/97

36

x

y

i z 11

1

12

1r

4sin

4cos21

i z

2)1()1( 2211 z r

argumento:

4/)Arg(

),1,0(}24/{

1

1arctanarg

11

1

z

nn

z

j p

Escribir el siguiente número complejo z1=1+i,en forma polar y trigonométrica:

módulo:

4/1 2 z Marcelo Román V.

Ejemplo: Módulo:


37/97

37

4

3

sin4

3

cos22 24/32

i z z

2)1()1( 2222 z r

Argumento:

x

y

i z 12

1

12 2r

j

Ídem para z2=-1-i :Módulo:

Nota: tan( 1 ) = tan( 2 ) = 1, pero z2 está en el tercercuadrante, así que 2 = -3 /4.

4/3)Arg(

),1,0(}24/{

1

1arctanarg

22

2

z

nn

z

Marcelo Román V.

Dos números complejos


38/97

38

0,0,2

0,0,2

0,0,arctan

0,0,arctan

0arctan

Arg

y x

y x

y x x

y

y x x

y

x x

y

z

21

21

ArgArg||||

z z z z

Dos números complejos

serán iguales sii:

Marcelo Román V.


39/97

39Marcelo Román V.

Propiedades del argumento


40/97

40

2121 argarg)arg( z z z z

}:2{arg

}:2{arg

22

11

Z nn z

Z nn z

22211121 sincos||sincos|| i z i z z z

}sincoscossin

sinsincoscos{||||

2121

212121

i

z z

Recordemos que el argumento está multivaluado:

Marcelo Román V.

Usemos las relaciones trigonométricas siguientes para


41/97

41

2121

2121

argarg}:2{}:2{

}:2{)arg(

z z Z nn Z nn

Z nn z z

)arg(

)sin()cos(||||

2121

21212121

z z

i z z z z

212121

212121

sincoscossin)sin(

sinsincoscoscos

g g p

la suma de ángulos:

Obtenemos que:

Marcelo Román V.


42/97

42

iiii arg2argarg)arg( 2

Tengamos en cuenta que arg z es un conjunto. Y en general

dado un conjunto A, A+A no es igual a 2A. Por ejemplo:

}:22/{arg Z nni }:2{argarg Z nnii

}:4{arg2 Z nni

iii

iii

argargarg2

arg2argarg

Marcelo Román V.

Hemos demostrado en particular que para z1= z2 = z:


43/97

43

Hemos demostrado en particular que para z1 z2 z:

z z z argarg)arg( 2

Pero recordemos que en general: z z arg2)arg( 2

Observemos que, sin embargo, para el argumento principal:

22

)Arg()Arg(

)1Arg(])Arg[( 2

ii

i

Así que, en general:2121 ArgArg)Arg( z z z z

Marcelo Román V.

Ejercicio: demostrar que


44/97

44

j q

2121 ArgArg)/Arg( z z z z

2121 argarg)/arg( z z z z

Y que en general:

Marcelo Román V.

Multiplicación en forma trigonométricalid d l l i i d l i d d


45/97

45

)]sin()[cos( 212121 ir r

2121 z z r r r 2121 argargarg z z z z

2121

2121

argargarg z z z z

z z z z

En realidad ya tenemos la solución a partir de las propiedades

del argumento:

22211121 sincossincos ir ir z z z

]sincoscossin

sinsincoscos[

2121

212121

i

r r

Marcelo Román V.

Producto de números complejos en el plano complejo


46/97

46

x

y

1 1r 1 z

2 z

2r

2

z

21r r r

21

21 z z z

Marcelo Román V.

Producto de números complejos en el plano complejo


47/97

47

x

y

1 1 z

2 z

2

21 z z

1

1

Observa que los

triángulos azul y

rojo son semejantes.

Marcelo Román V.

Potencias de i12i


48/97

48

1)1(1)( 2634254 iii

1

1

1

6

5

4

3

2

i

ii

i

ii

i

11

i

i

Por ejemplo:

Marcelo Román V.


49/97

49Marcelo Román V.

Multiplicar por i es equivalente a y


50/97

50

p p q

girar 90 grados en sentido anti-

horario (operador rotación):

"The number you have

dialed is imaginary.

Please rotate your phone90 degrees and try again."Anonimus

)]2/sin()2/[cos(

)cossin(

)sin(cos

ir

ir

iir iz

x

z

z i2 z i

3

iz

Prueba que:

)Im()Re(

Im)Re(

iz z

z iz

Marcelo Román V.


51/97

51Marcelo Román V.

¿Qué significa unnúmero complejo?

dx = 0


52/97

52

Bus parado en el

semáforo (arrancando)

Tú corriendo

para pillarlo

vavt d xat xt

d x xt

pb

pb

2

210

00

Alcanzar el bus en T:

a

vd

2

2

T es un tiempo complejo y no alcanzarás el bus.

Pero además tiene significado físico...

Supón que hay dos soluciones

reales. ¿Qué significan T+ y T-?

¿Y si hay una única solución real?

vT d aT T xT x pb 2

2

1,)()(

a

d

a

v

a

vT 2

2

Si:

Marcelo Román V.

22

Supongamos que perdemos el bus:


53/97

53

vt d at s x x s pb 2

2

1¿En que instante s es mínimo?

a

vt

dt

ds 0

Es decir: el tiempo

correspondiente a la

parte real del tiempo

complejo T.

y queremos saber en qué momento estuvimos más cerca...

22

22

a

v

a

d i

a

v

a

d

a

v

a

vT

Marcelo Román V.

Relatividad especial: la importancia de i


54/97

54

22222

2222

2

21

2

21

2

21

2

)'()'()'()'()(

)()()()(

)()()(

dz dydxdsds

dz dydxds

z z y y x x s

Distancia espacial

(teorema de Pitágoras)

Métrica euclidiana

Invariancia frente a rotaciones

y/o translaciones

Albert Einstein

(1879 – 1955)

Marcelo Román V.

Transformaciones


55/97

55

t t

z z y y

vt x x

'

''

'

Transformaciones

de Galileo

Transformaciones

de Lorentz

2

2

2

)/(1

/'

''

)/(1'

cv

cvxt t

z z y y

cv

vt x x

Marcelo Román V.

En vez de hablar de distancia entre eventos (posiciones) en el espacio

tridimensional los físicos hablan de intervalos entre eventos en


56/97

56

tridimensional, los físicos hablan de intervalos entre eventos en

el espacio cuatro-dimensional espaciotiempo. Parece razonable

definir la métrica de ese espaciotiempo como:

22222 )()()()()( dz dydxcdt ds

¡Pero es incorrecto! La métrica así definida no es invariante bajo

las transformaciones de Lorentz. Para comprobarlo, supón que

el movimiento es solo en el eje x, y calcula:

222222 )'()'()'()'()'()( dz dydxcdt dsds

dt cv

dxcv

cvdt

dt t

t dx

x

t dt

cv

cvxt t

22

2

2

2

)/(1

1

)/(1

/'

'''

)/(1

/'

Por ejemplo:

Marcelo Román V.

¿Cómo hacer (ds)2 invariante? Lo que Minkowski descubrióes que en vez de usar c(dt) debemos tomar ic(dt)


57/97

57

es que en vez de usar c(dt) debemos tomar ic(dt).

222222 )()()()()( dz dydxdt cds

Demostrar que de esta manera (ds)2 es invariante bajolas transformaciones de Lorentz. Observa que usando ic(dt) o lo que es lo mismo c(idt), ¡tenemos un “tiempo imaginario”!

“Las consideraciones sobre el espacio y el tiempo que quisiera presentarles surgieron en el seno de la física experimental, y enello radica su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante elespacio en sí mismo y el tiempo en sí mismo están condenados

a ser sombras; sólo un tipo de unión entre los dos conservaráuna realidad independiente”.Hermann Minkowski

(1864 – 1909) Marcelo Román V.

Pensemos que la división es la operación inversa del producto:

División en forma polar


58/97

58

Sean z1 = r 1(cos 1+i sin 1 ) y z2 = r 2(cos 2+i sin 2 ).Queremos z = z1 /z2 . Entonces: z z2 = z1. De modo que: |z z2| = |z| |z2| = |z1|

|z| = |z1|/|z2|arg(z z2 ) = arg(z) + arg(z2 ) = arg(z1 )

arg(z) = arg(z1 ) - arg(z2 )

Así que:

Pensemos que la división es la operación inversa del producto:

z1 /z2 = (r 1 /r 2 )[cos( 1- 2 )+i sin ( 1- 2 )]

Marcelo Román V.

División de números complejos en el plano complejo


59/97

59

1 z

x

y

21

z

2 z

2

r

2

1r

1

2

1

r

r

r

2

1

z

z z

Marcelo Román V.

ii22

Ejemplos: (1) Usando la forma trigonométrica, evaluar:


60/97

60

4/sin4/cos822

2/sin2/cos

ii

ii

i22

i

4/sin4/cos8

1

22

i

i

i

x

z y

z y z /1

(2) Ídem para: z /1

)sin(cos1

)]sin()[cos(11

)sin(cos

0cos1

ir

ir z

ir iy x z

Marcelo Román V.

Fórmula de MoivrePotencias enteras de complejos

f l

Abraham de Moivre (1667 - 1754)


61/97

61

en forma polar:

...,1,0sincos

)2sin()2cos(

)sin()cos(

2sin2cos

sincos

22

11

22

nninr z

ir z

ir z

ir z

ir z

nn

)sin()cos(sincos nini n Ejercicio: Demostrar por inducción.Marcelo Román V.

S l


62/97

62

Sol.: Z k i z ,

Marcelo Román V.

El teorema de Moivre es una máquina de

generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:


63/97

63

3223

3

sinsincos3sincos3cos)sin(cos3sin3cos

iiii

generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:

Igualando las partes reales e imaginarias:

32

23

sinsincos33sin

sincos3cos3cos

Marcelo Román V.

Otra manera ingeniosa de derivar identidades trigonométricas:

i i


64/97

64

)(cos2

cos2

sincos1

sincos

1

1

1

nnn z z

z z

i z z

i z

)cos(2

)sin()cos(

)sin()cos(

n z z

nin z

nin z

nn

n

n

Marcelo Román V.

Por ejemplo:


65/97

65

16

5)2cos(

32

15)4cos(

16

3)6cos(

32

1)(cos

)(cos220)2cos(30)4cos(12)6cos(2

6

66

...6;)(cos26 46616661 z z z z z z n

20)(15)(6)()2cos(2

22

)4cos(2

44

)6cos(2

66

z z z z z z

Marcelo Román V.

Ejercicio: Sumar

)cos(...)2cos(cos21

21)( nx x x x Dn

nn


66/97

66

xi x z kxS kxS n

k

n

k

sincos:)sin(:)cos(:0

2

0

1

n

k

nk

z

z z iS S 0

1

211

1

x

x xnnx

xi x

xni xn

z

z S

n

cos22

1cos])1cos[()cos(

sin)1(cos

1])1sin[(])1cos[(Re

1

1Re

1

1

2sin2

2

12sin

2

1

2

1

2

1)( 1

x

xn

S x Dn

En teoría de series deFourier la función

Dn(x) se llama

núcleo de Dirichlet.

)sin()cos( kxikx z k

Marcelo Román V.

Raíces de z


67/97

67

Si z = wn, entonces w se llama la raíz enésima de z y

podemos escribirla como:

que posee n distintos valores. Es decir n z está multivaluada.

Sean w = R(cos + i sin ), z = r(cos + i sin )

Entonces por el teorema de Moivre:

wn = Rn[cos(n ) + i sin(n )] = r(cos + i sin )

r = Rn , o R = n r

y n = +2k o = /n + 2k /n

tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n raíces.

n z w

¿Por qué solo hasta n-1?Marcelo Román V.

Resumiendo:


68/97

68

1,,1,0

2sin

2cos

nk n

k i

n

k r z nn

donde sincos ir z

Los n valores se equireparten en un círculo de radio n rcon centro en el origen, constituyendo los vértices de

un polígono regular de n caras.

El valor den

z obtenido al tomar el valor principal dearg(z) y k = 0 en la fórmula de arriba se asume como valor

principal de w = n z Marcelo Román V.

Ejercicio: Encontrar la raíz cúbica de z = i.Usando en la fórmula anterior r = 1, = arg z = /2:


69/97

69

, g

iiwk

iiwk

k ik wk

2

1

2

3

6

5sin

6

5cos,1

2

1

2

3

6sin

6cos,0

)3

22/sin3

22/(cos1

1

0

3/1

iiwk 2

3sin

2

3cos,2 2

Marcelo Román V.

Encontrar la raíz cuarta de z = 1 + i.Con r = 2½ , = arg z = /4; tenemos:


70/97

70

, g ;

iiwk

iiwk

k i

k wk

1664.12320.0)169sin

169(cos2,1

2320.01664.1)16

sin16

(cos2,0

)4

24/sin4

24/(cos2

8/11

8/10

8/1

iiwk

iiwk

1664.12320.0)16

25sin

16

25(cos2,3

2320.01664.1)16

17sin

16

17(cos2,2

8/13

8/12

Marcelo Román V.

Ejemplo: raíces de la unidad

2020

)0sin0(cos11

kk

i 1n

z Ecuaciónciclotómica


71/97

71

5

8sin

5

8cos

5

6sin

5

6cos

54sin

54cos

5

2sin

5

2cos

10sin0cos

4,,1,020

sin20

cos11

4

3

2

1

0

55

iw

iw

iw

iw

iw

k n

k i

n

k

Ejercicio: Encuentra las raíces cúbicas de 1 - iMarcelo Román V.

Ejercicio: Sea zk cualquier raíz enésima de la unidad, prueba que:

12 n


72/97

72

1,0...1 12 k

n

k k k z si z z z

Nota: Si 1, z1, z2, ..., zn-1 son las raíces de la unidad, demuestra:

12

121 ...1))...()(( n

n z z z z z z z z z

Sol.:i z

i z

2

2

2

1

Sol.: 1 z

Marcelo Román V.

Falacia (Del lat. fallacĭa). 1. f. Engaño, fraude o mentira con que se intenta dañar a alguien.

2. f. Hábito de emplear falsedades en daño ajeno.


73/97

73

jReal Academia Española

21;2

3

2

1

2

3

2

12

3

22

3

2

;

2

3

2

1

2

3

2

23

21

23

2;

21

2;1

1

1

1

1

1;

1

1

1

1;

1

1

1

1

2

i

i

i

i

i

ii

ii

i

i

ii

iiii

ii

ii

Marcelo Román V.

El segundo paso (extraer raíces a ambos lados) puede parecer

el origen de la falacia, pero no lo es. Basta con determinar el

valor principal en ambas raíces


74/97

74

valor principal en ambas raíces.

El tercer paso es el origen de la falacia. No existe regla que garantice

que:

b

a

b

a

excepto si a>0 y b>0.La única manera de que dos números u y v (u,v distintos de cero)tengan el mismo cuadrado es que u = v o u = -v. En nuestro caso, podíamos haber escrito:

ba

baó

ba

ba

Marcelo Román V.

111111


75/97

75

11

;

11

;

11

De esta manera no se produce falacia.

Observemos que pasa lo mismo con:

11;1;111

;1)1)(1(;1)1)(1(

2

i

De hecho, si operamos con i, sin pensar que es -1,todo funciona correctamente.

Marcelo Román V.

Un producto infinito para :

sincossincos 2/1 ii


76/97

76

2cos

2sin2sin

Igualando las partes imaginarias

Elevando al cuadrado a ambos lados:

2

sin2

cossincos ii

2cos

2sin2

2sin

2cossincos 22 ii

Marcelo Román V.

coscossin22cossin2sin

Un producto infinito para :


77/97

77

nn

n

2sin

2cos...

4cos

2cos2sin

(Aplicamos el resultado encontrado al ángulo mitad. )

Aplicándolo reiteradamente...

2cos

4cos

4sin22

2cos

2sin2sin

4cos

4sin2

Marcelo Román V.

2sin

2cos...

4cos

2cos

sin

n

n

n

Dividiendo la igualdad entre :


78/97

78

...16

cos8

cos4

cos2

2

...8

cos4

cos2

cossin

2

242

n

2 2cos2

k k

Producto infinito

de Viète para

Marcelo Román V.

Tomando ө = π /4:


79/97

79

...

2

222

2

22

2

22

2

cos1

2cos2

2

4cos

Usando reiteradamenteen el producto infinito

Marcelo Román V.

Potenciación de exponente racional Sean m Z , n N , con n m , primos entre sí.

Se definem

n n m

z z

1


80/97

80

Si j j isen r z cos , entonces:

) k 2 (

n

m sen i ) k 2 (

n

m cos r z n

m n

m

con 1 n ,..., 1 , 0 k .

Los n valores ( para 1,...,1,0 n k ) son distintos.Supongamos que para k y 'k se obtuviese el mismo nº complejo.

Sería entonces:

j j p k n

m k

n

m 22'2 , es decir: p

n

m k

n

m k ' .

O sea, )'()'( k k m pn k k n

m p

Como m y n son primos entre si, todo factor de n deberá estar en k k ' ,es decir k k n ' . Imposible pues n k k '

Marcelo Román V.

Ya podemos encontrar todas las soluciones

de una ecuación como:


81/97

81

Serán n soluciones.

O las soluciones de ecuaciones como:

¿Cuántas soluciones tiene?

nn z z 23023

n mmn z z )1(01/

Marcelo Román V.

Cualquier complejo elevado a m está univaluado,nos proporcionará un único valor.


82/97

82

Si m/n es irreducible, tendremos n soluciones. Si

es reducible, m/n = p/q, y tendremos q < n

soluciones distintas.

Es importante, por tanto, simplificar m/n siempre.

Además: supongamos que hemos simplificado

hasta

alcanzar m/n. Tomemos una solución de las n

posibles.

Al elevarla a n/m debería darnos z , ¡pero nos dará

m valores y solo uno de ellos es z !Marcelo Román V.

Propiedades algebraicasLa suma y el producto dotan

a C de estructura de cuerpo


83/97

83

Ley de clausura:

z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.

Ley asociativa:

(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )

(z1 z

2 ) z

3 = z

1(z

2 z

3 )

Ley distributiva:

z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3

Las propiedades son fáciles de probarescribiendo z en

forma algebraica

x+iy, y usando lascorrespondientes

propiedades de losnúmeros reales.

a C de estructura de cuerpo.

Ley conmutativa:

z1 + z2 = z2 + z1

z1 z2 = z2 z1

Marcelo Román V.

0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)

z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)


84/97

84

z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto)

z · z-1

= z-1

· z = 1 (Inverso para el producto){C,+,·} con las propiedades anteriores es un cuerpo.

No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.

Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2, por ejemplo.

z · 0 = 0 · z = 0 (Neutro para el producto)

(Para todo z distinto de 0)

Marcelo Román V.


85/97

85Marcelo Román V.


86/97

86Marcelo Román V.


87/97

87Marcelo Román V.


88/97

88Marcelo Román V.

Representación matricial de los números complejos

1001yx


89/97

89

01

10

10

01 y x

x y

y x z

Actúa como 1 Actúa como i(una rotación de 90º)

Con la suma y el producto matricial clásico, y teniendo en

cuenta que toda matriz no cero de este tipo es invertible,

tenemos un cuerpo.

El módulo es igual a la raíz cuadrada del determinante.

¿A qué corresponde el conjugado de z en forma matricial?

Marcelo Román V.

A pesar de las diferencias entre N, Z, Q, R y C ,poseen muchas propiedades comunes como

la conmutatividad y la asociatividad de la suma y


90/97

90

la conmutatividad y la asociatividad de la suma y

el producto, la distributividad del producto respectoa la suma o la existencia de elemento unidad

para la multiplicación.

Según el teorema de Frobenius no es posible un campo mayor

que C.

¿Se puede ampliar más el concepto denúmero de modo que se conservenestas propiedades?

F. Frobenius

(1849 - 1917)Marcelo Román V.

Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865)

Hamilton intentó extender los números

l j "t di i " H t


91/97

91

complejos a "tres dimensiones". Hasta

convencerse de que necesitaba cuatro:cuaterniones. Los cuaterniones son números

complejos en cuatro dimensiones en lugar de

dos (Hamilton 1843).

Parte Imaginaria

Parte Real

Así un cuaternión q se expresa como:

q = a + ib +jc + kd donde a,b,c,d son números reales.

{1, i, j, k} hacen de base en el hiperespacio de loscuaterniones. {1, i} era la base estándar para los

números complejos, simplemente se añaden dos

vectores unitarios, j y k , perpendiculares entre sí.

Cuaterniones

Marcelo Román V.

CuaternionesSuma:

La suma se realiza análogamente a como se hace con números


92/97

92

Como se puede apreciar en esta regla de multiplicación de los

elementos de la base, el producto entre cuaterniones es asociativo y

no conmutativo.

g

complejos:

Producto:

El producto se realiza componente a componente de acuerdo con las

leyes de combinación y producto de los elementos de la base (Reglas

de Hamilton):

Marcelo Román V.

Así el producto será:


93/97

93

Cuaternión conjugado:

Dado el cuaternión , su

conjugado se escribe como:

Cociente entre cuaterniones:

El cociente entre cuaterniones se obtiene rápidamente a

partir de la fórmula del inverso de un cuaternión:

93Marcelo Román V.

Es el precio que se paga porobtener un álgebra consistente con

los cuaterniones es la falta de


94/97

94

El software de vuelo del SpaceShuttle usaba cuaterniones para elcontrol de navegación y vuelo. Su

uso conseguía compacidad de

código, velocidad de cómputo y

evitaba aparición de singularidades

en los cálculos.

conmutatividad. En general, el

producto q· q´ de dos cuaternionesno es igual que el producto q´· q

(como ocurre con el producto

matricial estándar, por ejemplo).

Sorprendentemente, esta propiedad

viene al pelo para describir

rotaciones en 3 dimensiones.

Marcelo Román V.

Las rotaciones 3D no son conmutativas:


95/97

95

180 grados es el equivalente al cambio de signo en la multiplicación de cuaterniones. Los

cuaterniones tienen las propiedades adecuadas para describir rotaciones y en particular

composición de rotaciones. Los cuaterniones se usan para las rotaciones en los gráficos deordenador (a partir de ahora puedes decir cuando manejes la PS2 que estás computando

cuaterniones) y en GPS.

180 grados dediferencia

dependiendo del

orden de las

rotaciones.

Marcelo Román V.

Hamilton desarrolló también otraálgebra alternativa: la de los

números hipercomplejos. En

vez de sacrificar la


96/97

96

vez de sacrificar la

conmutatividad, sacrificó laexistencia de inverso. En el

álgebra hipercompleja no todo

elemento h distinto de 0 posee

inverso 1/h. La base de cuatroelementos posee la misma

notación que la de cuaterniones,

pero las reglas de multiplicación

son distintas:

i j = k, j k = -i, k i = -j j i = k, k j = -i, i k = -ji i = j j = -k k = -1 i j k = 1

El puente de Brougham sobre elCanal Real, donde Hamilton durante

un paseo dedujo las reglas para loscuaterniones.

Marcelo Román V.

“... los números complejoscomponen una notableunidad con la naturaleza.Es como si la propia


97/97

97

Es como si la propia

naturaleza estuviera tanimpresionada por elalcance y consistencia delsistema de los númeroscomplejos como lo estamos

nosotros, y hubieraconfiado a estos númeroslas operaciones detalladasde su mundo en sus

escalas más minúsculas”.

Roger Penrose,"El camino a la realidad".

Marcelo Román V.

1 Numeroscomplejos MR

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