JOURNAL OF SCIENCE OF HNUEEducational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 108-115This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO SINH VIÊNTHÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hoàng Văn TàiTrường Đại học Mỏ - Địa chất

Tóm tắt. Trong dạy học môn Toán, cùng với nhiệm vụ trang bị tri thức, rèn luyện kĩ năngcho sinh viên, nhiệm vụ phát triển tư duy cho họ rất cần được giáo viên quan tâm một cáchthích đáng. Bài báo này trình bày một số biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toáncho sinh viên trong dạy học Hình học Họa hình ở những trường Đại học khối kĩ thuật.Từ khóa: Tư duy thuật toán, biện pháp, thuật giải.

1. Mở đầuThuật toán, “Thuật toán là một khái niệm cơ bản được hiểu như một quy tắc mô tả những

chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mụcđích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định” [2].

Theo Nili Naveh [3]: Một thuật toán có thể được định nghĩa là một tập hợp hữu hạn các bướchướng dẫn thực thi rõ ràng mà thực hiện từng bước sẽ dẫn đến một mục tiêu được xác định trước.

“Trong phần lớn các trường hợp, kết quả hoạt động của con người phụ thuộc vào mức độtoán học của các hoạt động của người đó. Nhờ kinh nghiệm có được, khi giải quyết một loại côngviệc người ta biết: cần phải có các hoạt động gì? Mỗi hoạt động có các thao tác gì? Thứ tự các thaotác như thế nào?

Việc tìm ra một dãy các hoạt động, các thao tác, theo đó giải quyết được vấn đề, có thể xemnhư đã xây dựng được một thuật toán nào đó, mà việc tuân theo nó một cách “máy móc” sẽ dẫnđến kết quả” [4].

Về thuật toán người ta thường nêu bật ba tính chất đặc trưng:- Tính kết thúc: sau một số hữu hạn bước thực hiện.- Tính xác định: các bước rõ ràng, thao tác chính xác.- Tính phổ dụng: giải quyết được các bài toán cùng loại.Tư duy thuật toán. Thực tiễn cho thấy, trong nhiều công việc ta không thể đưa ra được quy

trình thuật toán nhưng ta có thể đưa ra quy trình thuật giải (quy trình tựa thuật toán) để để giảiquyết công việc đó. Cách nghĩ đó, cách suy nghĩ để giải quyết một loại công việc nào đó theo mộttrình tự nhất định có thể gọi là tư duy thuật toán (tư duy thuật giải).

Theo Nguyễn Bá Kim [1], phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau: thựchện những thao tác theo một trình tự nhất định phù hợp với một thuật toán cho trước; phân tích

Liên hệ: Hoàng Văn Tài, e-mail: taihh.mdc@gmail.com.

108

Phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên thông qua dạy học Hình học Họa hình

một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự nhất định; mô tảchính xác quá trình tiến hành một hoạt động; khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượngriêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng; so sánh những con đường khác nhau cùngthực hiện một công việc và phát hiện con đường tối ưu.

2. Biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinhviên trong dạy học Hình học Họa hìnhNgoài những kiến thức tối thiểu sinh viên đã được trang bị về Hình học Họa hình, chẳng

hạn như: biểu diễn một điểm, biểu diễn một mặt phẳng, xác định ví trí của một điểm. . . , sinh viêncần giải được một số dạng toán cơ bản khác. Những biện pháp đề xuất dưới đây nhằm mục đíchkép: rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên, đồng thời giúp sinh viên có kĩ năngtốt hơn trong việc giải một số dạng toán đó.

Biện pháp 1. Rèn luyện cho sinh viên thành thạo một số thuật giải cơ bản trong Hình họcHọa hình.

Chúng tôi cho rằng, trong Hình học Họa hình có ba thuật giải cơ bản sau:(1) Thuật giải “Xác định điểm”

Hình 1.

Thuật giải này gồm các bước sau:- Dựa vào các thuộc tính của điểm cần xác định mà bài toán đã cho.- Nếu điểm thuộc mặt phẳng, gắn điểm đó vào một đường thẳng của mặt phẳng.- Nếu điểm thuộc mặt cong, gắn điểm đó vào một đường sinh của mặt cong.Ví dụ 1.1. Xác định vết đứng của đường bằng b, vết bằng của đường mặt m thuộc mặt phẳng

R(v1R, v2R).

- Giả sử b là một đường bằng thuộc mặt phẳng R.Vì vết bằng v2R của mặt phẳng R là đường bằng có độ cao bằng 0 nên b//v2R. Suy ra: b1//x

109

Hoàng Văn Tài

và b2//v2R.

Vết đứng của đường bằng b là điểm M ∈ v1R.- Giả sử m là đường mặt thuộc mặt phẳng R.Vì vết đứng v1R của mặt phẳng R là đường mặt có độ xa bằng 0 nên m//v1R. Suy ra: m2//x

và m1//v1R.

Vết bằng của đường mặt m là điểm N ∈ v2R.Sở dĩ những thuật giải trên được gọi là cơ bản vì trong Hình học Họa hình, những bài toán

sau sẽ quy về thuật giải cơ bản này:(1.1) Bài toán xác định hình chiếu (đứng/ bằng) chưa biết của một đa giác thuộc một mặt

phẳng cho trước khi đã biết một hình chiếu (bằng/đứng) của nó.(1.2) Bài toán về tương giao của hai mặt (mặt phẳng, đa diện, mặt cong. . . );(2) Thuật giải “Xác định giao điểm của một đường thẳng và mặt phẳng, xác định giao tuyến

của hai mặt phẳng”.Thuật giải này gồm các bước sau:- Bước 1: Gắn đường thẳng đã cho vào mặt phẳng phụ trợ (thường chọn là mặt phẳng chiếu);- Bước 2: Tìm giao tuyến phụ của mặt phẳng phụ trợ và mặt phẳng ban đầu;- Bước 3: Tìm giao điểm của đường thẳng đã cho và giao tuyến phụ.Chú ý: Bài toán xác định giao tuyến của hai mặt phẳng quy về bài toán xác định giao điểm

của đường thẳng và mặt phẳng hoặc dùng mặt phẳng phụ trợ thứ 3.Những bài toán sau sẽ quy về thuật giải cơ bản này:(2.1) Xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng;(2.2) Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng;(2.3) Tìm một điểm thuộc một đường thẳng hoặc một mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện

cho trước;(2.4) Dựng một đường thẳng hoặc một mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện cho trước.Biện pháp 2. Rèn luyện cho sinh viên giải những bài toán Hình học Họa hình dựa vào

những thuật giải cơ bản.Biện pháp này nhằm giúp sinh viên có kĩ năng giải một cách thành thạo những dạng toán

(1.1), (1.2), (2.1), (2.2). . . như đã trình bày ở trên.Ví dụ 2.1. (Hình 2) Cho điểm K và hai đường thẳng a, b bất kì. Hãy dựng đường thẳng d

qua K và cắt hai đường thẳng a, b.- Dựng mặt phẳng (a,K). Lấy điểm I ∈ a. Ta có hai đường thẳng IK, a ∈ P .- Tìm giao điểm Jb∩P : Dùng mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng T chứa b(T1 ≡ b1); tìm giao

tuyến phụ CD = P ∩ T và giao điểm J = CD ∩ b.- Đường thẳng d cần dựng là đường thẳng qua K và J , nó cắt a tại M và cắt b tại J .

110

Phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên thông qua dạy học Hình học Họa hình

Hình 2.

Ví dụ 2.2. Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Q.a - Q(ABC) b - Q(A, x)

c - Q(v1Q ∩ v2Q) d - Q(v1Q//v2Q)

e - Q(v1Q ≡ v2Q) f - Q(v1Q ∩ v2Q)vd2//x

g - Q(v1Q ∩ v2Q) và d là đường cạnh xác định bởi hai điểm A,B

Hình 3.

1. Cách 1: Dựng mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng R chứa d: v1R ≡ d1; v2R⊥x+ Tìm giao tuyến MN = R ∩Q trong đó M = v1R ∩ v1Q; N = v2R ∩ v2Q.+ Xác định giao điểm K = MN ∩ d;K2 = M2N2 ∩ d2;K2 ⇒ K1 ∈ d1.

Cách 2: Dựng mặt phẳng phụ trợ R là mặt phẳng mặt chứa d : R2 ≡ d2

+ Tìm giao tuyến g = R ∩Q: trong đó g ∈ Q và là đường mặt nên g1//v1Q.

+ Xác định giao điểm K = g ∩m;K1 = g1 ∩m1;K1 ⇒ K2 ∈ d2.+ g ∈ Q

2. Cách 1: Dựng mặt phẳng phụ trợ R xác định bằng hai đường thẳng song song p và q vớip qua A, q qua B; ở đây ta lấy p và q là hai đường thẳng mặt.

111

Hoàng Văn Tài

+ Tìm giao tuyến IJ = R∩Q trong đó I = p∩Q; J = q ∩Q. Để có I ta dùng mặt phẳngmặt M làm mặt phẳng phụ trợ. Để có J ta dùng mặt phẳng mặt N làm mặt phẳng phụ trợ (cánhtìm I, J đã biết trong trường hợp (1)).

+ Xác định giao điểm K = IJ ∩ d.Cách 2: Dựng mặt phẳng phụ trợ R là mặt phẳng cạnh: v1R ≡ v2R ≡ A1B1 ≡ A2B2.

+ Tìm giao tuyến MN = R ∩Q với M = v1R ∩ v1Q; N = v2R ∩ v2Q.+ Vẽ hình chiếu cạnh của AB và MN . Xác định giao điểm K = AB ∩MN :K3 = A3B3 ∩M3N3;K3 ⇒ K1 ∈ A1B1vK2 ∈ A2B2.Ta thấy, khuất của đường thẳng d so với mặt phẳng Q trên hai hình chiếu đã được ghi rõ

trên hình vẽ.

Hình 4.

Biện pháp 3. Rèn luyện cho sinh viên có thói quen tìm ra thuật giải khi giải một dạng toánnào đó.

Chẳng hạn như bài toán- Xác định giao của hai mặt bằng các phép biến đổi hình chiếu;- Dạng toán biểu diễn đường cong, mặt. . . .Ví dụ 3.1. Cho mặt phẳng Q, hình chiếu bằng O2 của điểm O ∈ Q. Hãy vẽ các hình chiếu

của đường tròn (e) ∈ Q có tâm là O và bán kính bằng R cho trước trong các trường hợp sau:a - Q là mặt phẳng chiếu đứng; b - Q là mặt phẳng chiếu bằng;c - Q là mặt phẳng chiếu cạnh; d - Q là mặt phẳng bất kì.

Giải: Trường hợp này có thể giải theo các cách sau:Cách 1 (Hình 5): Trước hết xác định hình chiếu đứng O1 của tâm O bằng cách gắn O vào

đường bằng b ∈ Q. Thay mặt phẳng hình chiếu hai lần.+ Thay P 1 bằng P ′1⊥ để Q trở thành mặt phẳng chiếu đứng (x′⊥v2Q) và vẽ elip hình chiếu

bằng của (e) như trường hợp (a).+ Thay P 2 bằng P ′2⊥ để Q trở thành mặt phẳng chiếu bằng (x⊥v1Q) và vẽ elip hình chiếu

đứng của (e) như trường hợp (b).

112

Phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên thông qua dạy học Hình học Họa hình

Hình 5.

Cách 2: (Hình 6): Sau khi gắn O vào đường mặt m để tìm O1 ta đặt trên m1 các đoạnO1E1 = O1F1 = R. E1F1 là trục lớn của elip (e1)-hình chiếu đứng của đường tròn (e). Trục nhỏcủa (e1) nằm trên đường dốc nhất d vẽ qua O của Q so với P 1 : d1⊥v1Q và d1 ∈ O1.

Hình 6.

Trên đường bằng b ∈ Q và qua O ta đặt đườngkính AB = 2R : A2B2 = 2R là trục lớn của elip(e2)-hình chiếu bằng của đường tròn (e). Trục nhỏ của(e2) nằm trên đường dốc nhất/ vẽ qua O của Q so vớiP 2 : l2⊥v2Q và l1 ∈ O2.

Để xác định các trục nhỏ của (e1) và (e2) taquay mặt phẳng Q quanh vết bằng v2Q để Q ≡ P 2.Ta có đường kính CoDo(⊥v2Q) là hình gấp của đườngkính CD ∈ /(Do ⇒ D2 nhờ đường thẳng (BoKo) vàGoHo⊥v1Q) là hình gập của đường kính GH ∈ d(Go ⇒G1 bằng cách gắn G vào một đường mặt của Q)

Ví dụ 3.2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng chiếuđứng R với hình nón tròn xoay. Xét thấy khuất của giaotuyến và hình nón.

Giải:Cách 1: Dùng mặt phẳng phụ trợ (Hình 7):- Để xác định dạng của giao tuyến (R∩ nón) ta vẽ

qua S mặt phẳng P//R: vẽ đường mặt m qua S và songsong với v1R, tìm vết bằng H của m và vết bằng v2P //v

2R

và qua H). Vì v2P không có điểm chung với đáy nón nênP chỉ có một điểm chung với nón là đỉnh S vậy giao tuyến (R∩ nón) là một elip.

- Cắt R và nón bằng Q mặt phẳng chiếu bằng qua trục nón và vuông góc với R(v2Q ∩ v2R).

113

Hoàng Văn Tài

Hình 7.

Hình 8.

Tìm giao KL = Q∩R; giao SI, SJ = Q∩ nón và các giao điểm A = SI ∩KL,B = SJ ∩KL.Vì Q là mặt phẳng đối xứng chung của R(Q⊥R) và nón Q(Q chứa trục nón) nên AB là một trụccủa elip (e) = R∩ nón; vì KL là đường dốc nhất của R so với P 2 nên A là điểm thấp nhất, B làđiểm cao nhất của (e). Trung điểm V của đoạn thẳng AB là tâm của (e).

114

Phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên thông qua dạy học Hình học Họa hình

- Dựng qua V mặt phẳng bằng B, tìm giao tuyến b = B ∩R, giao tuyến (i) = B∩ nón ((i)là một vĩ tuyến của nón) và các giao điểm C,D = b ∩ (i). Đoạn CD là trục thứ hai của (e). Haitrục AB,CD của (e) có hình chiếu bằng A2B2, C2D2 là hai trục của elip hình chiếu bằng của (e)và có hình chiếu đứng A1B1, C1D1 là hai đường kính liên hợp của elip hình chiếu đứng của (e).

- Để xác định thấy khuất trên hình chiếu đứng cần tìm các giao điểm E = SM ∩ R vàF = SN ∩ R. Ta dùng mặt phẳng mặt M qua trục nón làm mặt phẳng phụ trợ: tìm giao tuyếna = M ∩R và các giao điểm E = SM ∩ a và F = SN ∩ a.

- Kết quả xét thấy khuất thấy rõ trên hình vẽ.Cách 2: Dùng phép biến đổi hình chiếu (Hình 8):- Thay mặt phẳng hình chiếu đứng P1 để trở thành R mặt phẳng chiếu đứng rồi giải như

bài 8 và đưa kết quả về hình chiếu ban đầu.

3. Kết luậnTrong chương trình đào tạo của các trường thuộc khối kĩ thuật, Hình học Họa hình là một

học phần có vai trò quan trọng. Môn học này nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bảnvề biểu diễn các đối tượng trong không gian lên mặt phẳng. Qua đó sinh viên có thể đọc và thiếtkế được các bản vẽ kĩ thuật. Môn học này còn là cơ hội thuận lợi dể rèn luyện và phát triển tư duythuật toán cho sinh viên.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Bá Kim, 2004. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội, tr.376 - 378.

[2] Bùi Văn Nghị, 1996. Khả năng phát triển tư duy thuật toán trong giải toán hình học khônggian. Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục ISSN 0866 - 7470, Số 10, (293)/1996, tr. 16 - 18.

[3] Nili Naveh, 2005. Developing of Algorithmic Thinking in Middle School Pupils in Israel. ADissertation in partial fulfillment of the Requirements of Anglia Raskin University for thedegree of Doctor of Philosophy.

ABSTRACT

Using Descriptive Geometry to teach algorithms

Mathematics teachers need a certain level of knowledge and skill toget students’ brainsmoving. The aim of the Descriptive Geometry course aims to teach students how to conceptualizerepresentative objects in space on a plane. This paper presents some methods of teaching studentshow to thinks about algorithms when teaching Descriptive Geometry at the Technical University.

115