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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS
Laboratorio de Física I
ERRORES EN LAS MEDICIONES
IntegrantesEstudiante Código E.A.P
Lucar Monzón, Cristhian Andree
14190127 Ing. Electrónica
Mendoza Castro, Diego Leonardo
14190274 Ing. de Telecomunicaciones
Milla Beteta, Jonathan 13170035 Ing. IndustrialNole Arias, Daniel Jesus
14190241 Ing. de Telecomunicaciones
Peralta Napan, José Jesus
14190141 Ing. Electrónica
Profesor
Jesús Flores Santibáñez
Ciudad Universitaria, 14 de abril del 2014
1
I.FINALIDADES
Describir, identificar y reconocer los diversos instrumentos de medida.
Interpretar las lecturas de los instrumentos ya conocidos
anteriormente.
Entender y aplicar las características de las mediciones directas e
indirectas.
Explicar el grado de precisión y propagación de incertidumbres en los
procesos de medición.
II. MATERIALES
Micrómetro o Tornillo de Palmer
Es un instrumento de
medición y su funcionamiento
se basa en un tornillo
micrométrico que sirve para
valorar el tamaño de un
objeto con gran precisión, en
un rango del orden de
centésimas o de milésimas de milímetro.
Vernier o Pie de rey.
2
Es un instrumento utilizado para medir dimensiones de objetos
relativamente pequeños, desde centímetros hasta fracciones de
milímetros (1/10 de milímetro, 1/20 de milímetro, 1/50 de milímetro).
Balanza de tres barras
La balanza es un
instrumento que
sirve para medir
la masa de un
objeto.
Cilindro metálico
Esfera metálica
Tarugo de madera
Placa de metal
III. MARCO TEÓRICO
Al igual que otras ciencias, la física está basada en observaciones
experimentales y mediciones cuantitativas. Realizar una medición es un
proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón
seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea
medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud.
La magnitud a medir se representa según la ecuación básica de
mediciones:
M=nU
Siendo: M = Magnitud a medir
3
(1)
n = Valor numérico de la magnitud
U = Unidad de la magnitud (S.I.)
Ejemplos: 110 KPa, 20Kg, 25m, 30s, 28° C.
Tipos de mediciones
1. MEDICIÓN DIRECTA
La medición directa se da cuando se obtiene con un instrumento
de medida que compara la variable a medir con un patrón. Por
ejemplo, si deseamos medir la longitud de un objeto, se puede
usar un calibrador. Nótese que se está comparando la longitud del
objeto con la longitud del patrón marcado en el calibrador,
haciéndose la comparación distancia-distancia. También, se da el
caso con la medición de la frecuencia de un ventilador con un
estroboscopio, la medición es frecuencia del ventilador (nº de
vueltas por tiempo) frente a la frecuencia del estroboscopio (nº de
destellos por tiempo).
2. MEDICIÓN INDIRECTA
No siempre es posible realizar una medida directa, porque existen
variables que no se pueden medir por comparación directa, es por
lo tanto con patrones de la misma naturaleza, o porque el valor a
medir es muy grande o muy pequeño y depende de obstáculos de
otra naturaleza, etc.
Medición indirecta es aquella en la que una magnitud buscada se
estima midiendo una o más magnitudes diferentes, y se calcula la
magnitud buscada mediante cálculo a partir de la magnitud o
magnitudes directamente medidas.
Por ejemplo queremos calcular el volumen de un cilindro,
entonces utilizaremos la fórmula del volumen del cilindro.
4
Cuando se tienen, por ejemplo, unas diez medidas directas, expresadas
con el mismo valor, entonces la variable que se mide es estable. La
medida directa que no tiene un valor único exacto se expresa de la
siguiente manera:
x=x i± ∆x
Siendo: x = Valor real
x i = Medida i-ésima
∆ x = Error o incertidumbre
Si se toman más de 5 medidas directas en las mismas condiciones
anteriores y éstas presentan variación en sus valores, decimos que esto
corresponde a fluctuaciones que están en un entorno o intervalo de
valores. Estas diferencias indican la imposibilidad de encontrar el valor
real. Las n-mediciones directas realizadas, con n grande, se pueden
tratar estadísticamente mediante la Teoría de la Medición. El valor real
de la medida queda expresado por:
x=x ±∆ x
Siendo: x = Valor real
x = Medida promedio
∆ x = Error o incertidumbre
Otras mediciones
1. MEDICIONES REPRODUCIBLES
Son aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la
misma variable y el aparato de medida empleado, se obtiene
siempre el mismo resultado. Ejemplo: Si se mide cualquier
número de veces un lado de un escritorio, siempre se obtiene el
5
(2)
(3)
mismo resultado. Las medidas reproducibles son procedimientos
no destructivos que además no producen una alteración
importante en el sistema físico sujeto a medición.
2. MEDICIONES ESTADÍSTICAS
Son aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la
misma variable y el aparato de medida empleado, se obtienen
distintos resultados cada vez. Ejemplo: Determinar el número de
personas que leen este artículo diariamente.
Aunque se obtienen resultados diferentes cada día, se puede
obtener un valor medio mensual o anual.
Tipos de errores
1. ERROR SISTEMÁTICO
Son los errores relacionados con la destreza del operador.
- Error de paralaje (EP), este error tiene que ver con la postura
que toma el operador para la lectura de la medición.
- Errores Ambientales y Físicos (EF), al cambiar las
condiciones climáticas, éstas afectan las propiedades físicas
de los instrumentos: dilatación, resistividad, conductividad,
etc.
También se incluyen como errores sistemáticos, los errores de
cálculo, los errores en la adquisición automática de datos y otros.
La mayoría de los errores sistemáticos se corrigen, se minimizan
o se toleran; su manejo, en todo caso, depende de la habilidad del
experimentador.
2. ERROR DEL INSTRUMENTO DE MEDICIÓN
6
Son los errores relacionados con la calidad de los instrumentos de
medición.
- Error de lectura mínima (ELM). Cuando la expresión numérica
de la medición resulta estar entre dos marcas de la escala de
la lectura del instrumento. La incerteza del valor se corrige
tomando la mitad de la lectura mínima del instrumento.
ELM=ML2
Siendo: ML = Mínima lectura del instrumento
- Error de cero (Eo). Es el error propiamente de los
instrumentos no calibrados. Ejemplo: cuando se tiene que las
escalas de lectura mínima y principal no coinciden, la lectura
se verá que se encuentra desviada hacia un lado del cero de
la escala.
Entonces, el error total que es causado por el instrumento e
medición está dada por:
Ei=√ELM2 +E0
2
Siendo: ELM = Error instrumental
ELM = Error de lectura mínima
E0 = Error de cero
3. ERROR ALEATORIO
Son los errores relacionados en interacción con el medio
ambiente, con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los
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(4)
(5)
errores sistemáticos hayan sido suficientemente minimizados,
balanceadas o corregidas.
Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos. Si
se toman n-mediciones de una magnitud física x, siendo las
lecturas x1, x2, x3,…, xn; el valor estimado de la magnitud física x,
se calcula tomando el promedio de la siguiente manera:
La diferencia de cada medida respecto de X se llama desviación.
El grado de dispersión de la medición, estadísticamente se llama
desviación estándar de la media σ y se le calcula de la
siguiente forma:
Siendo: σ = Desviación estándar
El error aleatorio (Ea) para un número pequeño de mediciones
(<100) es:
Ea=3 σ
√n−1
Tratamiento de los errores experimentales
8
(6)
(7)
(8)
1. ERROR ABSOLUTO (∆ x)
∆ x=√E i2+Ea
2+…
2. ERROR RELATIVO (Er)
ER=∆ xx
3. ERROR PORCENTUAL (E%)
E%=100 ER
Expresión de la medida
1. EN FUNCIÓN DEL ERROR ABSOLUTO
x=x ±∆ x
2. EN FUNCIÓN DEL ERROR RELATIVO
x=x ±ER
3. EN FUNCIÓN DEL ERROR PORCENTUAL
x=x ±E%
Precisión para las mediciones indirectas
9
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Las medidas indirectas son afectadas por los errores de las
mediciones directas. Estos errores se “propagan” cuando se calcula
el valor de la medición indirecta.
Si Z = Z(A,B) expresa una magnitud física cuya medición se realiza
indirectamente; A y B son ambas medidas directas, ambas indirectas
o una directa y la otra indirecta tal que:
Las medidas indirectas se calculan mediante las fórmulas que ahora
analizaremos.
- Si Z resulta de adiciones y/o sustracciones Z = A ± B ,
entonces:
- Si Z resulta de multiplicaciones o divisiones: Z = A * B o Z =
A / B , entonces:
- Si Z resulta de una potenciación: Z = K(A)n , entonces:
10
(15)
(16)
(17)
(18)
Finalmente, la expresión de la medida indirecta en cualquiera de los
casos anteriores será:
IV. PROCESAMIENTO DE DATOS
Para adquirir los datos finales es necesario, previamente, hacer las
precisas mediciones con los respectivos instrumentos bien calibrados
antes de cada medición.
Se harán 5 mediciones a cada objeto presentado, una por cada
integrante del grupo, y luego se elaborarán los diferentes promedios,
derivaciones y cálculo de errores del cilindro, tarugo, esfera y placa.
CILINDRO
En el cilindro de metal presentado calcularemos el diámetro y la
altura, ambos obtenidos con el vernier o pie de rey; además
calcularemos la masa, obtenida con la balanza de tres barras.
También se presentan dos factores especiales incluidos en el
cilindro:
- Orificio Cilíndrico: En el orificio cilíndrico calcularemos el
diámetro y la altura, ambos obtenidos con el vernier o pie de
rey.
- Ranura Paralelepípeda: En la ranura paralelepípeda
calcularemos el largo, ancho y la altura, todos obtenidos con
el vernier o pie de rey.
TARUGO
11
(19)
En el tarugo de madera presentado calcularemos el diámetro y la
altura, ambos obtenidos con el vernier o pie de rey; también
calcularemos la masa, obtenida con la balanza de tres barras.
ESFERA
En la esfera de vidrio presentada calcularemos el diámetro, obtenido
con el micrómetro; también calcularemos la masa, obtenida con la
balanza de tres barras.
PLACA
En la placa de plástico presentada calcularemos el largo y ancho,
ambos obtenidos con el vernier o pie de rey, además se calculara su
altura (espesor), obtenida con el micrómetro.
Luego de haber hallado los valores reales de las magnitudes (diámetro,
altura, ancho, espesor, masa) mediante mediciones directas, ahora nos
dedicaremos a hallar los valores reales mediante mediciones indirectas
(volumen y densidad).
El volumen se hallará con la siguiente fórmula:
V=Ab .h
Siendo: V = Volumen
Ab = Área de la base
h = Altura
En el caso de la esfera, su volumen se hallará:
V= 43π r3
12
(20)
(21)
Nota: En el caso del cilindro que tiene espacios vacíos, se tendrá
que calcular los volúmenes de estos espacios y restarlos con el
volumen del cilindro total.
La densidad de los cuerpos analizados se hallará con la fórmula:
ρ=mV
Siendo: ρ = Densidad
m = Masa
V = Volumen
Pasos seguidos del manual de laboratorio:
a) Con la balanza, mida las masas del cilindro metálico y la placa de
metal.
b) Con el calibrador vernier, proceda a medir el cilindro de metal con
orificio cilíndrico hueco y una ranura que es casi paralelepípeda,
realice como mínimo 5 mediciones de cada longitud.
c) Con el micrómetro, mida el espesor de la lámina de metal.
d) Mida la masa y las dimensiones del tarugo y la esfera, utilizando
instrumentos de medida apropiados.
¿Cómo son las medidas entre sí?
Todas las medidas han sido muy cercanas, algunos casos
coincidían resultados de dos o más compañeros.
13
(22)
¿Hay necesidad de tener más de una medida o basta con solo
una?, ¿en qué casos?
Se ha tenido que realizar más de una medida para cerciorarse de
tener la más alta precisión posible, ya que nosotros hemos
anotado las medidas según lo que cada uno ha visto en cada
instrumento.
¿Qué comentarios puede formular para los instrumentos de
medición utilizados?
En el caso del micrómetro utilizado, no estuvo bien calibrado por
fallas del instrumento, ya que marcaba 0,05 mm menos del punto
de inicio. Con los demás instrumentos no se ha tenido ningún
problema.
V. TABLA DE VALORES
CUADRO N°1
CILINDRO
Cilindro completo
Orificio cilíndrico Ranura paralelepípeda
MedidaD
(mm)H
(mm)do
(mm)ho
(mm)l
(mm)a
(mm)hp
(mm)
1 51,400 44,200 9,500 9,100 28,200 6,600 44,200
2 51,390 44,700 9,510 9,300 28,190 6,930 44,700
3 51,490 44,300 9,490 9,200 27,900 6,610 44,300
4 51,410 44,500 9,410 9,100 28,300 6,600 44,500
14
5 51,430 44,400 9,400 9,100 28,200 6,700 44,400
x 51,424 44,420 9,460 9,160 28,150 6,680 44,420
Ei= Elm 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025 0,025
σ 0,035 0,166 0,047 0,080 0,135 0,126 0,166Ea 0,053 0,249 0,071 0,120 0,203 0,189 0,249
∆ x 0,058 0,250 0,075 0,122 0,205 0,190 0,250Medida (mm)x ± ∆ x
51,424± 0,058
44,420± 0,250
9,460±0,075
9,160±0,122
28,150±0,205
6,680±0,190
44,420±0,250
Volumen (cm3) Volumen (cm3) Volumen (cm3)Medidaz ± ∆ z 92,257 ± 0,554 0,644 ± 0,018 8,353 ± 0,249
Masa (g)m ± ∆ m
m1 m2 m3 m4 m5 m ∆m
497,100 497,000 497,200 496,900 496,900 497,020 0,174
Volumen real
cilindro (cm3)
83,260 ± 0,608
Densidad exper. cilindro(g/cm3)
5,969 ± 0,044
CUADRO N°2
TARUGO – ESFERA – PLACA
Tarugo Esfera Placa
Medidad t
(mm)H
(mm)mt
(g)de
(mm)me
(g)l
(mm)a
(mm)hp
(mm)m p
(g)
1 17,420101,40
019,190 16,290 5,610 49,100 42,500 0,150 0,550
2 17,430101,60
019,159 16,240 5,600 49,600 42,510 0,140 0,540
3 17,390101,59
019,099 16,210 5,590 49,900 42,500 0,150 0,550
4 17,300101,50
019,209 16,280 5,610 50,000 42,490 0,140 0,560
5 17,350 101,51 19,119 16,330 5,610 49,500 42,500 0,140 0,550
15
0
x 17,378101,52
019,154 16,270 5,604 49,620 42,506 0,144 0,550
Ei= Elm 0,005 0,005 0,050 0,005 0,050 0,025 0,025 0,005 0,050
σ 0,047 0,072 0,092 0,041 0,008 0,508 0,008 0,010 0,006
Ea 0,071 0,108 0,138 0,062 0,012 0,762 0,012 0,015 0,009
∆ x 0,071 0,108 0,147 0,062 0,051 0,762 0.028 0,016 0,051
Medidax ± ∆ x
17,378 ±0,071
101,520 ±
0,108
19,154 ±0,147
16,270 ±0,062
5,604 ±0,051
49,620 ±0,762
42,506 ±0,028
0,144 ±0,016
0,550 ±0,051
Volumen Vt (cm3)Masa mt
(g)Volumen Ve (cm3)
Masa me
(g)Volumen Vp (cm3)
Masa mp
(g)Medida z ± ∆ z 24,080 ± 0,199
19,154 ±0,147
2,255 ± 0,026
5,604 ±0,051
0,304 ± 0,0340,550 ±0,051
Medida ρ ± ∆ ρ(g/cm3)
0,795 ± 0,009 2,458 ± 0,036 1,809 ± 0,263
VI. CUESTIONARIO
1. Coloque el error absoluto y halle el error relativo y el error porcentual
cometido en la medida del volumen del cilindro.
∆ Z Er E%
0,608 0,007 0,7%
16
2. Coloque el error absoluto y encuentre el error relativo y el error
porcentual que ha resultado al obtener la medida del volumen de la
placa de vidrio y/o metal y tarugo.
CUERPO ∆ Z(cm3) Er E%
Placa 0,034 0,119 11,9%
Tarugo 0,199 0,008 0,8%
3. Halle el error relativo y el error porcentual de la densidad del cilindro
y de la esfera metálica. Exprese la medida con estos errores. 5,969 ±
0,044
CUERPO Er E%x ± Er
(g/cm3)x ± E%
Cilindro 0,0073 0,73%5,969 ± 0,0073
5,969 ± 0,73%
Esfera 0,0146 1,46%2,458 ±0,0146
2,458 ±1,46%
4. Con la ayuda de tablas de densidades, identifique los materiales de
los cuerpos medidos en el experimento. Dichas tablas se encuentran
en textos, o en “Handbooks”, de Física.
CUERPO ρexp (g/cm3) ρteo (g/cm3)Clase de
sustancia que se identifica
Cilindro metálico
5,969 ± 0,044 6,4 Hierro
Placa de metal 1,809 ± 0,263 2,16 Plástico
17
Tarugo 0,795 ± 0,009 0,78 Madera
Esfera metálica
2,458 ± 0,036 2,60 Vidrio
5. Considere los valores de las tablas como valores teóricos. Halle el
error experimental porcentual de las densidades.
Se ha usado la siguiente relación:
%e=ρt− ρp
ρt100 %
Siendo: %e = Error experimental porcentual
ρt = Densidad en la teórica
ρp = Densidad en la práctica
CILINDRO PLACA TARUGO ESFERA
Error experimental porcentual
6,73% 16,25% -1,92% 5,46%
6. ¿Qué medida es mejor, la de un tendero que toma 1Kg de azúcar
con la precisión de un gramo, o la de un físico que toma 10cg de una
sustancia en polvo con una balanza que aprecia miligramos? Para
fundamentar mejor su respuesta anterior, conteste si es más
significativo recurrir al error absoluto o al error relativo.
En la medida de los objetos es más conveniente utilizar la que su
lectura mínima sea pequeña en comparación de la medida de la que
se toma, por lo cual la medida del físico; que usa una balanza cuya
18
(23)
lectura mínima es de 1mg, es más precisa que la del tendero; que
usa una balanza cuya lectura mínima es de 1g.
Es más significativo recurrir al error relativo (10), pues el cociente nos
dará un valor muy cercano posible.
7. Conociendo la estatura de una persona y el largo de la sombra que
proyecta, como también el largo de la sombra que proyecta un árbol,
¿puede determinarse la altura del árbol?, ¿afecta a los resultados la
posición del sol?
La altura del árbol si se puede determinar, por simple comparación
geométrica, siempre y cuando el sol de sobra a los dos cuerpos en
las mismas condiciones y que dichos cuerpos estén en paralelo
proyectando una sombra.
Cuando nos encontramos cerca al mediodía, el sol se encuentra
encima de los cuerpos, por lo tanto no hay sombra; por tanto si
afecta la posición del sol, cuando es mediodía. Pero si es posible
determinar la altura de un árbol cuando hay proyecciones de sombra.
8. De las figuras, ¿qué lecturas se observan, tanto del vernier como del
micrómetro?
19
9. Un extremo de una regla de longitud L, se apoya sobre una mesa
horizontal y el otro extremo sobre un taco de madera de altura H. Si
se mide el valor a desde el extremo de la regla hasta el punto de
contacto con la esfera, ¿cuánto mide el radio de la esfera?
Solución:
20
1,5 mm 72,35 mm
8,17 mm 4,83 mm
√L2−H 2
2 rβ
H
Aplicando razones trigonométricas:
tan β=2 ra
= H
√L2−H 2
Despejando:2ra
= H
√L2−H 2
r= aH
2√L2−H 2
Por lo tanto, el radio de la esfera mide r=aH
2√L2−H 2
VII. CONCLUSIONES
Se ha verificado que medir no era una tarea sencilla, se requiere de
mucha paciencia y precisión de la persona que hace la medición, para
evitar los errores posibles.
Además de tener en buen estado los instrumentos de medición, ya que
también son factores de diversos errores.
La medición no es exacta, siempre la respuesta estará en un rango. Hay
que procurar que la medida se encuentre en un menor rango posible.
VIII. BIBLIOGRAFÍA
21
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2006. Mechanical measurements. Ed. Prentice Hall. Sexta edición. ISBN
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22